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Notas de Aula

Autovalores do Laplaciano

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso Topicos em Analise: Autovalores do Laplaciano do Programa

de Pos-Graduacao em Matematica, ministrado durante o segundo semestre do ano de 2006.

16 de novembro de 2006

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.

Sumario

1 Os Autovalores do Laplaciano 41.1 Motivacao para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Metodo de Expansao em Autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Problema Isospectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Princıpio do Maximo Fraco: O Laplaciano nao possui Autovalores Negativos . . . . . . . . . 101.4 Metodos Variacionais para Autovalores de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Os Espacos de Sobolev W 1,2 e W 1,2

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 A Derivada Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Propriedades dos Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Existencia e Unicidade de Solucoes para o Laplaciano atraves do Metodo Variacional . . . . . 181.6.1 Solucoes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2 Existencia, Unicidade e Regularidade de Solucoes Fracas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 O Espectro do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7.1 Existencia e Caracterizacao Variacional dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . 211.7.2 Comparacao de Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Conjunto Nodal e Domınios Nodais de uma Autofuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8.1 Princıpio do Maximo Forte: o Primeiro Autovalor do Laplaciano e Simples . . . . . . 301.8.2 Conjunto Nodal e Domınios Nodais de Autofuncoes do Laplaciano . . . . . . . . . . . 32

1.9 Multiplicidade dos Autovalores do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Metodo de Diferencas Finitas 392.1 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Series de Taylor e Diferencas Finitas em Uma Dimensao . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.2 Discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.3 Resolucao Numerica do Problema de Autovalor Unidimensional . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 O Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.1 A Formula dos Cinco Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.2 Existencia e Unicidade da Solucao Discreta – Autovalores do Problema Bidimensional 472.2.3 Princıpio do Maximo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.4 Convergencia da Solucao Discreta para a Solucao Classica . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3 Discretizacoes de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Caso Bidimensional: A Formula dos Nove Pontos Compacta . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Diferencas Finitas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5 Domınios Arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

1


3 Existencia e Unicidade de Solucoes Discretas 693.1 Normas Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3 Teorema dos Discos de Gershgorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4 Propriedade FC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5 Matrizes Irredutıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.6.1 Esquemas de Diferencas Finitas para o Intervalo e para o Retangulo . . . . . . . . . . 843.6.2 Esquema de Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6.3 Esquema de Shortley-Weller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Metodos Iterativos para a Resolucao de Sistemas Lineares 864.1 Metodos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.1 Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2 Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Metodo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.4 Comparacao da Velocidade de Convergencia dos Tres Metodos . . . . . . . . . . . . . 894.1.5 Metodo de Jacobi Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Analise de Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.1 Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Velocidade de Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 944.2.3 Convergencia para Matrizes Simetricas Positivas Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares para as Matrizes de Discretizacao . . . . . . . 974.3.1 Convergencia do Metodo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.2 Convergencia do Metodo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.3.3 Convergencia do Metodo SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.4 Convergencia do Metodo de Jacobi Amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Metodo do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.1 Metodos de Descida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4.2 Metodo da Descida Mais Acentuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.3 Metodo do Gradiente Conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5 Metodos Multigrid 1205.1 Suavizacao de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2 Operador Restricao e Operador Extensao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3 Ciclos V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.4 Multigrid Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.6 Multigrid Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.7 Multigrid Algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6 Metodo de Elementos Finitos 1216.1 O Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.1.1 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.1.2 Elementos Finitos Lineares por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.2 O Caso Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2.1 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.2 Triangulacoes e Elementos Finitos Lineares por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.3 Interpretacao Geometrica do Metodo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Formulacao Abstrata do Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


7 Aproximacao de Autovalores do Laplaciano 1317.1 Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.2 Convergencia dos Autovalores Discretos para os Autovalores Contınuos . . . . . . . . 1377.1.3 Convergencia das Autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8 Metodos Numericos para a Obtencao de Autovalores de Matrizes 1408.1 Metodo das Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.1.1 Iteracao Inversa e Iteracao com Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Iteracao de Subespacos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.3 Metodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.3.1 O Algoritmo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.3.2 Implementacao Eficiente do Algoritmo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.4 Metodos para Matrizes Esparsas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4.1 Processo de Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4.2 Representacao Matricial do Processo de Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.4.3 Metodo de Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Capıtulo 1

Os Autovalores do Laplaciano

Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. O problema de autovalor para o laplaciano consiste em encontrar os valoresλ tais que

−∆u = λu em Ω (1.1)

admite solucoes nao triviais, com alguma condicao de fronteira imposta sobre u. A equacao de autovalor dolaplaciano tambem e conhecida como equacao de Helmholtz. Nestas notas, consideraremos o problema deautovalor com condicao de Dirichlet

−∆u = λu em Ω,u = 0 sobre ∂Ω,

(1.2)

e o problema de autovalor com condicao de Neumann−∆u = λu em Ω,∂u

∂η= 0 sobre ∂Ω.

(1.3)

O problema e tradicionalmente escrito nesta forma, com o sinal negativo multiplicando o laplaciano, porqueassim todos os autovalores sao nao-negativos. No caso do problema de Dirichlet, este fato segue imediata-mente do princıpio do maximo. De fato, este implica que todos os autovalores, se existirem, devem serpositivos, como veremos neste capıtulo. Por outro lado, zero e um autovalor no problema de Neumann, poisas funcoes constantes sao autofuncoes associadas a este.

1.1 Motivacao para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano

1.1.1 Metodo de Expansao em Autofuncoes

Varios problemas de equacoes diferenciais parciais podem ser resolvidos atraves do chamado metodo deexpansao em autofuncoes do laplaciano.

Considere o seguinte problema de Dirichlet para a equacao da onda em um aberto limitado Ω ⊂ Rn:

utt = c2∆u se x ∈ Ω e t > 0,u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω,ut (x, 0) = g (x) se x ∈ Ω,u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t > 0,

onde c ∈ R, f ∈ C2(Ω

)e g ∈ C1

(Ω

). Se Ω ⊂ R2, entao este problema modela as vibracoes transversais

de baixa amplitude de uma membrana fina fixada em um aro com o formato de ∂Ω: se ∂Ω e um retangulo,

4


estamos estudando as vibracoes de uma membrana retangular; se ∂Ω e um cırculo, o estudo e o de umamembrana circular (um tambor usual), e assim por diante. Este problema pode ser resolvido pelo metodode separacao de variaveis: supomos que a solucao do problema pode ser escrita na forma

u (x, t) = F (x) G (t) , x ∈ Ω e t > 0.

Substituindo esta expressao na equacao da onda, obtemos

F (x)G′′ (t) = c2∆F (x)G (t) .

Separando as variaveis, segue que∆F (x)F (x)

=1c2

G′′ (t)G (t)

= −λ

onde λ ∈ R e alguma constante a ser determinada. Como em geral G (t) nao e a funcao identicamente nula,a condicao de fronteira implica que F (x) = 0 para x ∈ ∂Ω. Portanto, a funcao F satisfaz o problema deDirichlet para a equacao de Laplace

−∆F (x) = λF (x) se x ∈ Ω,F (x) = 0 se x ∈ ∂Ω,

ou seja, λ e um autovalor do laplaciano em Ω. Como veremos, os autovalores do laplaciano em Ω formamum conjunto enumeravel λnn∈N e existe um conjunto associado de autofuncoes Fnn∈N que constitui umabase de Schauder (em outras palavras, um conjunto ortonormal completo) para L2 (Ω). A solucao geral paraa equacao diferencial ordinaria

G′′ (t) = −λnc2G (t)

eGn(t) = an cos

√λnt + bn sen

√λnt.

Logo, a solucao do problema da onda e

u (x, t) =∞∑

n=1

(an cos

√λnt + bn sen

√λnt

)Fn (x) ,

onde os coeficientes an, bn sao determinados pelas condicoes iniciais (posicao inicial e velocidade inicial damembrana):

f (x) =∞∑

n=1

anFn (x) ,

g (x) =∞∑

n=1

bn

√λnFn (x) ,

ou seja, usando as relacoes de ortonormalidade das funcoes Fn,

an =∫

Ω

f(x)Fn (x) dx,

bn =1√λn

∫

Ω

f(x)Fn (x) dx.

Assim, no caso bidimensional, os autovalores do laplaciano correspondem as frequencias naturais de vibracaode uma membrana, enquanto que as autofuncoes associadas correspondem aos modos naturais de vibracaoda membrana. Estas ideias se generalizam para fenomenos vibratorios em tres ou mais dimensoes.


O metodo de expansao em autofuncoes tambem pode ser usado para resolver o problema de Neumannda equacao da onda ou outros problemas mais gerais. Nestes casos, devem ser buscados os autovalores dolaplaciano de acordo com a condicao de fronteira considerada.

O metodo de expansao em autofuncoes tambem pode ser usado para resolver o problema do calor comas condicoes de fronteira apropriadas. Por exemplo, para o problema de Dirichlet

ut = K∆u se x ∈ Ω e t > 0,u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω,u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t > 0,

a solucao e dada por

u (x, t) =∞∑

n=1

ane−√

λnKtFn (x) ,

onde os coeficientes an sao determinados pelas condicao inicial (distribuicao de temperaturas inicial na placabidimensional ou no objeto tridimensional):

f (x) =∞∑

n=1

anFn (x) ,

isto e,

an =∫

Ω

f(x)Fn (x) dx.

1.1.2 Problema Isospectral

Dada uma variedade Riemanniana compacta com fronteira (M, g), pode-se definir um operador laplaciano∆gu = div (∇u). Em coordenadas locais, ele e um operador elıptico. Como no caso de abertos de Rn, olaplaciano em variedades possui uma sequencia de autovalores (o seu espectro). Dizemos que duas variedadesRiemannianas sao isospectrais se seus espectros coincidirem, contando multiplicidades. Uma questao naturale a seguinte: duas variedades Riemannianas isospectrais sao isometricas? Se considerarmos variedades n-dimensionais contida em Rn sob a metrica euclidiana, duas variedades serem isometricas e equivalente aelas serem congruentes do ponto de vista da geometria euclidiana classica. Esta questao para domıniosplanos foi colocada de maneira mais colorida por Bers e Kac em 1966 ([Kac]; o ultimo atribui o problemaa Bochner em meados dos anos 1950s) como “e possıvel escutar o formato de um tambor?”, ja que no casode domınios no plano os autovalores do laplaciano correspondem ao quadrado das frequencias naturais devibracao produzidas por uma membrana, como vimos na secao anterior. Pode-se tracar as origens destaespeculacao ao resultado obtido por Weyl em 1911 [Weyl] de que a area de um domınio plano e determinadapelo espectro do laplaciano; em particular, domınios com diferentes areas nunca podem ter o mesmo espectro.Sabe-se tambem que o espectro determina o perımetro e o numero de componentes conexas de um domınioplano (veja [Kac] para referencias). Kac, usando a desigualdade perimetrica (perımetro(Ω) > 4π area(Ω)) eo fato que a area e o perımetro sao determinadas pelo espectro do laplaciano, conseguiu provar que se umdomınio plano possui o mesmo espectro de um disco de raio r, entao ele e congruente ao disco, mostrandoque existem domınios que sao determinados pelo espectro do laplaciano.

No entanto, a resposta a este problema no caso geral e negativa: o formato de um tambor nao e audıvel.No caso de variedades Riemannianas, Milnor ja havia construıdo em 1964 [Milnor] um par de variedadesisospectrais nao-isometricas de dimensao 16; varios outros exemplos se seguiram, incluindo superfıcies deRiemann (veja [GWW1] e [Protter], para referencias) ate que em 1980 Vigneras [Vigneras] obteve exemplosde variedades compactas isospectrais nao-isometricas de qualquer dimensao n > 2. Entretanto, a questao deKac para domınios no plano permaneceu em aberta ate 1992, quando Gordon, Webb e Wolpert ([GWW1];veja [GWW2] para os detalhes completos), usando resultados de teoria de espacos de recobrimento e teoriados grupos, obtiveram um par de domınios planos simplesmente conexos nao-isometricos com os mesmos


espectros de Dirichlet e de Neumann. Os contra-exemplos que eles obtiveram tem o formato de uma regiaopoligonal, nao-convexa, e o metodo permite a obtencao de uma larga colecao de contra-exemplos. Osprimeiros 54 autovalores do primeiro contra-exemplo de Gordon, Webb e Wolpert, que ficou conhecido comoos tambores GWW, foram encontrados experimentalmente por Sridhar e Kudrolli [Sridhar-Kudrolli]; elesconstruıram cavidades de microondas com o formato da regiao poligonal e mediram ressonancias em ondasmagneticas transversais, que obedecem a equacao de Helmoltz. Posteriormente, varios autores calcularamautovalores e autofuncoes dos tambores GWW atraves de metodos numericos; veja [Driscoll], [Heuveline] eas referencias nestes artigos.

Uma demonstracao mais simples e versatil do resultado de Gordon, Webb e Wolpert, foi dada por Berard[Berard2], usando a chamada tecnica de transplantacao de autofuncoes, introduzida pelo proprio [Berard1].Os domınios sao construıdos a partir de translacoes, rotacoes e reflexoes de uma unica forma, tal como umtriangulo, sem sobreposicoes. Dada uma autofuncao em um domınio, pode-se prescrever uma funcao sobreo outro domınio cujos valores sobre cada parte sao combinacoes lineares dos valores da autofuncao sobrevarias das partes do primeiro domınio. As combinacoes sao escolhidas de modo a satisfazer as condicoesde fronteira e igualar valores da funcao e suas derivadas nas interfaces entre as partes. O resultado e umaautofuncao na segunda regiao tendo o mesmo autovalor. Para completar a prova de isospectralidade, bastamostrar que o procedimento e invertıvel. Usando esta tecnica, Chapman [Chapman] obteve alguns exemplosque podem ser explicados em nıvel elementar atraves de dobraduras de papel e ate mesmo um exemplo ondeos autovalores do laplaciano podem ser calculados explicitamente (este exemplo consiste de dois domınioscada um com duas componentes conexas, um retangulo e um triangulo isosceles reto; veja Exemplo 4 naproxima secao).

Todos os contra-exemplos dados nas referencias acima sao de domınios nao-convexos ou com quinas.Watanabe ([Wat1], [Wat2]) determinou a existencia de uma classe nao-enumeravel de domınios suaves quenao e um disco (incluindo exemplos convexos e nao-convexos) que sao determinados pelos espectros de Dirich-let ou de Neumann do laplaciano. Outros exemplos de domınios determinados pelo espectro do laplaciano,com a propriedade adicional de serem analıticos reais e simetricos com respeito a reflexoes em relacao a umeixo horizontal e a um eixo vertical, foram dados por Zelditch [Zelditch]. A identificacao de todas as classesde domınios que sao determinados pelo espectro do laplaciano e um problema em aberto.

1.2 Exemplos

Exemplo 1. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no caso unidimensional −u′′ = λu em [0, L] ,

u (0) = u (L) = 0,

sao

λn =n2π2

L2, n ∈ N.

As autofuncoes correspondentes saoun (x) = sen

nπx

L.

¤

Exemplo 2. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no retangulo R = [0, a]× [0, b] ⊂ R2

− (uxx + uyy) = λu em R,u = 0 sobre ∂R,

sao

λnm = π2

(n2

a2+

m2

b2

), n,m ∈ N.


As autofuncoes correspondentes sao

unm (x, y) = sennπx

asen

mπy

b.

¤

Exemplo 3. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet em um triangulo isosceles retoT ⊂ R2 com lado menor de comprimento c

− (uxx + uyy) = λu em T,u = 0 sobre ∂T,

sao

λnm = π2

(n2

c2+

m2

c2

), n,m ∈ N.


unm (x, y) = sennπx

csen

mπy

c− sen

mπx

csen

nπy

c.

¤

Exemplo 4. [Chapman] A partir dos Exemplos 2 e 3 podemos construir dois domınios planos isospectraisΩ1 e Ω2 que nao sao isometricos. De fato, cada Ωi e a uniao disjunta de um retangulo e um trianguloisosceles reto:

Ω1 = R1 ∪ T1,

Ω2 = R2 ∪ T2,

onde R1 e um quadrado unitario, R2 e um retangulo de comprimento 2 e altura 1 e T1 e T2 sao triangulosisosceles retos, os lados menores do primeiro tendo comprimento 2 e os do segundo com comprimento√

2. Os autovalores de um domınio que e a uniao disjunta de varias componentes conexas (incluindoas fronteiras de cada componente) e a uniao dos autovalores de cada componente, as autofuncoes dodomınio sendo as funcoes que sao iguais as autofuncoes em cada componente e zero nas demais. Deacordo com os Exemplos 2 e 3, segue que os espectros dos domınios Ω1 e Ω2 sao dados por

ΛΩ1 =π2

(n2 + m2

)n,m∈N ∪

π2

(n2

4+

m2

4

)

n,m∈N,

ΛΩ2 =

π2

(N2

4+ M2

)

N,M∈N∪

π2

(N2

2+

M2

2

)

N,M∈N.

ΛΩ2 ⊂ ΛΩ1 : Seja λ ∈ ΛΩ2 um autovalor da forma π2

(N2

2+ M2

), N, M ∈ N. Se N e par, tomamos

n =N

2e m = M , obtendo

N2

4+ M2 = n2 + m2; se N e ımpar, escolhemos n = max (N, 2M), m =

min (N, 2M), produzindoN2

4+M2 =

n2

4+

m2

4. Se λ ∈ ΛΩ2 e um autovalor da forma π2

(N2

2+

M2

2

),

N, M ∈ N, escolhemos n = N + M e m = |N −M |, de modo queN2

2+

M2

2=

n2

4+

m2

4.

ΛΩ1 ⊂ ΛΩ2 : Se λ ∈ ΛΩ1 e um autovalor da forma π2(n2 + m2

), n,m ∈ N, escolhemos N = 2n

e M = m, obtendo n2 + m2 =N2

4+ M2. Seja λ ∈ ΛΩ2 um autovalor da forma π2

(n2

4+

m2

4

),


n,m ∈ N. Se n e par, tomamos N = m e M =n

2, de modo que

n2

4+

m2

4=

N2

4+ M2; se m e par,

tomamos N = n e M =m

2para produzir o mesmo resultado.

Portanto,ΛΩ1 = ΛΩ2

embora Ω1 e Ω2 nao sejam congruentes. Observe que, como requer o resultado obtido por Weil(discutido na secao anterior), Ω1 e Ω2 possuem a mesma area igual a 2, o mesmo perımetro igual a8 + 2

√2 e obviamente o mesmo numero de componentes conexas. ¤

Exemplo 5. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no paralelepıpedo P = [0, a]×[0, b]×[0, c] ⊂ R3 − (uxx + uyy + uzz) = λu em P,

u = 0 sobre ∂P,

sao

λnmk = π2

(n2

a2+

m2

b2+

k2

c2

), n,m, k ∈ N.


unmk (x, y) = sennπx

asen

mπy

bsen

kπz

c.

¤

Exemplo 6. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no disco D =x ∈ R2 : ‖x‖ 6 R

−

(urr +

1rur + +

1r2

uθθ

)= λu se 0 < r < 1 e 0 < θ < 2π,

u = 0 se r = R e 0 < θ < 2π,

saoλnm =

(αn,m

R

)2

, n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .

onde αn,m e o m-esimo zero positivo da funcao de Bessel do primeiro tipo Jn

Jn(r) =∞∑

k=0

(−1)k

k!(k + n)!

(r

2

)2k+n

.


u0m (r, θ) = J0 (λ0mr) ,

u1nm (r, θ) = cos nθJn (λnmr) e u2

nm (r, θ) = sen nθJn (λnmr) .

Note que para m = 1, 2, . . . temos duas autofuncoes distintas para um dado autovalor, isto e, taisautovalores tem multiplicidade pelo menos igual a 2. ¤

Exemplo 7. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet na bola B =x ∈ R3 : ‖x‖ 6 R

−

(urr +

2rur +

1r2

(uθθ + cot θ uθ + csc2 θuφφ

))= λu se 0 < r < 1, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π

u = 0 se r = R, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π

sao

λnm =(

αn+ 12 ,m

R

)2

, n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .


onde αn+ 12 ,m e o m-esimo zero positivo da funcao de Bessel do primeiro tipo Jn+ 1

2

Jn+ 12(r) =

∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(k + n + 1

2 + 1)

(r

2

)2k+n+ 12

.

A cada autovalor λnm correspondem 2n + 1 autofuncoes

uknm (r, θ, φ) = jn (λnmr)Yn,k (θ, φ) , k = −n,−n + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n− 1, n,

onde jn e a funcao de Bessel esferica do primeiro tipo

jn (r) =√

π

2rJn+ 1

2(r),

e Yn,k sao as harmonicas esfericas

Yn,k (θ, φ) =

√2n + 1

4π

(n− k)!(n + k)!

P kn (cos θ) eikφ,

com P kn sendo a funcao de Legendre

P 0n (r) =

12nn!

dn

drn

(r2 − 1

)n,

P kn (r) = (−1)k (

1− r2)k/2 dk

drkP 0

n (r) , se 0 6 k 6 n,

P kn (r) = (−1)k (n + k)!

(n− k)!P−k

n (r) , se − n 6 k < 0.

¤

1.3 Princıpio do Maximo Fraco: O Laplaciano nao possui Auto-valores Negativos

1.1 Lema. (Princıpio do Maximo Fraco) Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Seja u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω).

Se ∆u > 0 em Ω, entaomax

Ωu = max

∂Ωu;

Se ∆u 6 0 em Ω, entaomin

Ωu = min

∂Ωu.

Em particular, se u satisfaz ∆u = 0 em Ω, entao u atinge o seu maximo e o seu mınimo na fronteirade Ω.

Prova: SejamM = max

Ωu e m = max

∂Ωu

e suponha por absurdo que m < M . Entao existe um ponto x0 ∈ Ω\∂Ω tal que u (x0) = M . Defina a funcao

v (x) = u (x) +M −m

4d2|x− x0|2 ,


d = diam Ω. Se x ∈ ∂Ω, temos

v (x) 6 m +M −m

4d2d2 =

34m +

M

4< M,

e como u (x0) = v (x0) = M , segue que o maximo de v tambem e assumido em um ponto de Ω\∂Ω, digamosem x. Mas, como x e um ponto de maximo para v, devemos ter

∆v (x) 6 0,

enquanto que, pela definicao de v e pelo fato de u satisfazer a equacao de Laplace, para todo x temos

∆v (x) = ∆u (x) +M −m

2d2> M −m

2d2> 0,

uma contradicao. Isso mostra que u atinge o seu maximo em ∂Ω.Para provar a segunda afirmacao, basta considerar −u e observar que minu = −max(−u). ¥Defina a parte positiva e a parte negativa de uma funcao u respectivamente por

u+ = max(u, 0),u− = min(u, 0).

1.2 Corolario. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Seja λ ∈ R, λ 6 0. Seja u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω).

Se −∆u− λu 6 0 em Ω, entaomax

Ωu 6 max

∂Ωu+.

Se −∆u− λu > 0 em Ω, entaomin

Ωu > min

∂Ωu−.

Em particular, se u satisfaz −∆u = λu em Ω, entao

maxΩ|u| = max

∂Ω|u|

de modo que se o problema de Dirichlet −∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

possuir solucao u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), entao a solucao e trivial. Consequentemente, o problema deDirichlet para o laplaciano nao possui autovalores negativos ou nulos.

Prova. Assuma primeiro −∆u − λu 6 0 em Ω. Se u 6 0 em Ω, entao o corolario vale trivialmente. Logo,podemos assumir que Ω+ = x ∈ Ω : u(x) > 0 6= ∅. Como −λu > 0 em Ω+, temos que ∆u > 0 em Ω+.Segue do Princıpio do Maximo Fraco que

maxΩ+

u = max∂Ω+

u.

Mas u = 0 em ∂Ω+ ∩ Ω, logo o maximo deve ser atingido em ∂Ω. O caso −∆u− λu 6 0 segue do primeiroconsiderando −u. ¥


1.4 Metodos Variacionais para Autovalores de Operadores Lin-eares

Nesta secao vamos rever os metodos variacionais para a obtencao de autovalores para operadores linearesdefinidos em espacos de dimensao finita providos de produto interno. A teoria sera entao generalizada maistarde para obter a existencia e algumas propriedades basicas dos autovalores do laplaciano. Em primeirolugar, discutiremos o Princıpio de Rayleigh, que afirma que o menor autovalor de um operador linear podeser encontrado como o mınimo de um certo funcional, enquanto que o seu maior autovalor e o maximo destemesmo funcional:

1.3 Teorema. (Princıpio de Rayleigh) Seja V um espaco vetorial com produto interno de dimensao n eT : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Sejam λ1 6 . . . 6 λn os autovalores de T , de modo queλ1 e o menor autovalor de T e λn e o maior autovalor de T . Entao

λ1 = minx∈Vx6=0

〈Tx, x〉‖x‖2 = min

x∈V‖x‖=1

〈Tx, x〉 (1.4)

e

λn = maxx∈Vx 6=0

〈Tx, x〉‖x‖2 = max

x∈V‖x‖=1

〈Tx, x〉 (1.5)

Prova: Seja B = v1, . . . , vn uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores

λ1 6 . . . 6 λn de T . Entao, para todo x =n∑

i=1

xivi ∈ V temos

〈Tx, x〉 =

⟨T

(n∑

i=1

xivi

),

n∑

j=1

xjvj

⟩=

⟨n∑

i=1

xiTvi,

n∑

j=1

xjvj

⟩=

⟨n∑

i=1

λixivi,

n∑

j=1

xjvj

⟩

=n∑

i,j=1

〈λixivi, xjvj〉 =n∑

i,j=1

λixixj 〈vi, vj〉

=n∑

i=1

λix2i .

Portanto, para todo x ∈ V , x 6= 0, vale

λ1 ‖x‖2 =n∑

i=1

λ1x2i 6 〈Tx, x〉 6

n∑

i=1

λnx2i = λn ‖x‖2

O mınimo e atingido em x = v1, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λ1, e o maximo e atingidoem x = vn, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λn. ¥O quociente

〈Tx, x〉‖x‖2

e chamado o quociente de Rayleigh.Os demais autovalores de T , λ2, . . . , λn−1, sao pontos de sela e podem ser encontrado atraves de um

princıpio de minimax:

1.4 Teorema. (Princıpio de Minimax para Autovalores) Seja V um espaco vetorial com produto interno dedimensao n e T : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Sejam λ1 6 . . . 6 λn os autovalores de


T . Entao, se Wj denota o conjunto dos subespacos de V de dimensao j, temos

λj = minW∈Wj

max

x∈W‖x‖=1

〈Tx, x〉 = min

W∈Wj

max

x∈Wx 6=0

〈Tx, x〉‖x‖2

. (1.6)

ou, dualmente,

λj = maxW∈Wj−1

min

x⊥W‖x‖=1

〈Tx, x〉 = max

W∈Wj−1

min

x⊥Wx 6=0

〈Tx, x〉‖x‖2

. (1.7)

Prova: Provemos primeiro (1.6). Seja W ⊂ V um subespaco de dimensao j. Primeiro mostraremos que

maxx∈W‖x‖=1

〈Tx, x〉 > λj .

Seja B = v1, . . . , vn uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores λ1, . . . , λn.Seja Z = 〈v1, . . . , vj−1〉. Como Z⊥ = 〈vj , . . . , vn〉, temos

n > dim(W + Z⊥

)= dim W + dim Z⊥ − dim

(W ∩ Z⊥

)= j + n− (j − 1)− dim

(W ∩ Z⊥

),

de modo quedim

(W ∩ Z⊥

)> 1

e existe um vetor x ∈ W ∩ Z⊥ tal que ‖x‖ = 1. Escrevendo x =n∑

k=j

xkvk, temos ‖x‖ =n∑

k=j

x2k = 1, donde

〈Tx, x〉 =

⟨n∑

k=j

xkTvk,

n∑

l=j

xlvl

⟩=

⟨n∑

k=j

xkλkvk,

n∑

l=j

xlvl

⟩=

n∑

k,l=j

λkxkxl 〈vk, vl〉

=n∑

k=j

λkx2k > λj

n∑

k=j

x2k = λj .

Para completar a demonstracao, devemos encontrar um subespaco W ⊂ V de dimensao j tal que 〈Tx, x〉 6λj para todo x ∈ W com ‖x‖ = 1. Tomemos W = 〈v1, . . . , vj〉. Temos

〈Tx, x〉 =

⟨j∑

k=1

xkTvk,

j∑

l=1

xlvl

⟩=

⟨j∑

k=1

xkλkvk,

j∑

l=1

xlvl

⟩=

j∑

k,l=1


=j∑

k=1

λkx2k 6 λj

j∑

k=1

x2k = λj .

O minimax e atingido em vj .Vamos agora provar o princıpio dual (1.7). Seja W ⊂ V um subespaco de dimensao j − 1. Primeiro

mostraremos queminx⊥W‖x‖=1

〈Tx, x〉 6 λj .

Como antes, B = v1, . . . , vn e uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovaloresλ1, . . . , λn. Seja Z = 〈v1, . . . , vj〉. Como W⊥ tem dimensao n− (j − 1), temos

n > dim(W⊥ + Z

)= dim W⊥ + dim Z − dim

(W⊥ ∩ Z

)= n− (j − 1) + j − dim

(W⊥ ∩ Z

),


de modo quedim

(W⊥ ∩ Z

)> 1

e existe um vetor x ∈ Z tal que x ⊥ W e ‖x‖ = 1. Escrevendo x =j∑

k=1

xkvk, temos ‖x‖ =j∑

k=1

x2k = 1, donde

〈Tx, x〉 =

⟨j∑

k=1

xkTvk,

j∑

l=1

xlvl

⟩=

⟨j∑

k=1

xkλkvk,

j∑

l=1

xlvl

⟩=

j∑

k,l=1


=j∑

k=1

λkx2k 6 λj

j∑

k=1

x2k = λj .

Para completar a demonstracao, devemos encontrar um subespaco W ⊂ V de dimensao j − 1 tal que〈Tx, x〉 > λj para todo x ⊥ W com ‖x‖ = 1. Tomemos W = 〈v1, . . . , vj−1〉. Entao W⊥ = 〈vj , . . . , vn〉 epara todo x ∈ W⊥ com ‖x‖ = 1 temos

〈Tx, x〉 =

⟨n∑

k=j

xkTvk,

n∑

l=j

xlvl

⟩=

⟨n∑

k=j

xkλkvk,

n∑

l=j

xlvl

⟩=

n∑

k,l=j


=n∑

k=j

λkx2k > λj

n∑

k=j

x2k = λj .

O maximin e atingido em vj . ¥

1.5 Os Espacos de Sobolev W 1,2 e W 1,20

Para generalizar os metodos variacionais discutidos na secao anterior para encontrar os autovalores do Lapla-ciano, e necessario definir um espaco de funcoes dotado de um produto interno adequado. Para domınioslimitados, o espaco adequado para se trabalhar e o espaco de Sobolev.

1.5.1 A Derivada Fraca

Seja Ω um aberto de Rn. Suponha que u ∈ C1(Ω) e uma funcao real continuamente diferenciavel. Seϕ ∈ C∞0 (Ω) e uma funcao suave com suporte compacto em Ω, segue da formula de integracao por partes que

∫

Ω

u∂ϕ

∂xidx = −

∫

Ω

∂u

∂xiϕdx (1.8)

para i = 1, . . . , n. Nao ha termos de fronteira exatamente porque ϕ tem suporte compacto em Ω.

Definicao. Seja Ω ⊂ Rn um subconjunto aberto e u ∈ L1loc(Ω). Dizemos que uma funcao vi ∈ L1

loc(Ω) euma derivada fraca de u, se ∫

Ω

u∂ϕ

∂xidx = −

∫

Ω

viϕdx, (1.9)

para toda ϕ ∈ C∞0 (Ω). Se este for o caso, denotamos

vi =∂u

∂xi. (1.10)

Dizemos que u e fracamente diferenciavel se todas as derivadas fracas de primeira ordem de uexistirem. O espaco vetorial das funcoes fracamente diferenciaveis e denotado por W 1(Ω).


Quando existe, vi e unicamente determinada a menos de conjuntos de medida nula. Claramente C1(Ω) ⊂W 1(Ω): o conceito de derivada fraca e uma extensao do conceito classico de derivada que mantem a validadeda formula de integracao por partes.

Exemplo 1. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e

u(x) =

x se 0 < x 6 1,1 se 1 6 x < 2.

Entao, se

v(x) =

1 se 0 < x 6 1,0 se 1 6 x < 2,

temos u′(x) = v(x). De fato, dada ϕ ∈ C∞0 ((0, 2)), temos

∫ 2

0

uϕ′ dx =∫ 1

0

xϕ′ dx +∫ 2

1

ϕ′ dx

= ϕ(1)− 0−∫ 1

0

ϕdx + 0− ϕ(1)

= −∫ 2

0

vϕ dx.

¤

Exemplo 2. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e

u(x) =

x se 0 < x 6 1,2 se 1 6 x < 2.

Entao u nao possui uma derivada fraca. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma funcaov ∈ L1

loc((0, 2)) satisfazendo ∫ 2

0

uϕ′ dx = −∫ 2

0

vϕ dx,

para toda ϕ ∈ C∞0 ((0, 2)). Entao

−∫ 2

0

vϕ dx =∫ 1

0

xϕ′ dx + 2∫ 2

1

ϕ′ dx = ϕ(1)− 0−∫ 1

0

ϕdx + 0− 2ϕ(1)

= −ϕ(1)−∫ 1

0

ϕdx,

ou seja,

ϕ(1) =∫ 1

0

ϕdx +∫ 2

0

vϕ dx.

para toda ϕ ∈ C∞0 ((0, 2)). Escolhendo uma sequencia de funcoes-teste (ϕm) ⊂ C∞0 ((0, 2)) satisfazendoϕm(1) = 1, 0 6 ϕm 6 1 e ϕm(x) → 0 para todo x 6= 1, obtemos atraves do teorema da convergenciadominada de Lebesgue que

1 = limm→∞

ϕm(1) = limm→∞

[∫ 1

0

ϕm dx +∫ 2

0

vϕm dx

]= 0,

uma contradicao. ¤


Estes exemplos nao sao acidentais. E possıvel provar que uma funcao real em uma variavel real possui umaderivada fraca se e somente se ela for absolutamente contınua (a menos de modificacoes em conjuntos demedida nula); em particular, isso implica que ela e diferenciavel no sentido classico em quase todo ponto. Nocaso de funcoes de varias variaveis, pode-se provar que uma funcao u ∈ L1

loc(Ω) e fracamente diferenciavelse e somente se ela e igual, a menos de um conjunto de medida nula, a uma funcao que (1) e absolutamentecontınua em quase todos os segmentos em Ω paralelos aos eixos coordenados e (2) as derivadas parciais deu sao localmente integraveis. Para maiores detalhes, veja [Biezuner].

1.5.2 Espacos de Sobolev

Seja Ω um aberto de Rn. Definimos

W 1,2(Ω) =

u ∈ W 1(Ω) : u ∈ L2(Ω) e∂u

∂xi∈ L2(Ω) para todo i = 1, . . . , n

. (1.11)

W 1,2(Ω) e claramente um espaco vetorial. Ele e munido da norma

‖u‖W 1,2(Ω) =

(∫

Ω

|u|2 +n∑

i=1

∫

Ω

∣∣∣∣∂u

∂xi

∣∣∣∣2)1/2

. (1.12)

Definimos tambemW 1,2

0 (Ω) = fecho de C∞0 (Ω) em W 1,2(Ω).

Em ambos os espacos vetoriais normados W 1,2(Ω) e W 1,20 (Ω) definimos o produto interno

〈u, v〉 =∫

Ω

uv +n∑

i=1

∫

Ω

∂u

∂xi

∂v

∂xi= 〈u, v〉L2(Ω) +

n∑

i=1

⟨∂u

∂xi,

∂v

∂xi

⟩

L2(Ω)

. (1.13)

Desta forma, a norma definida acima e derivada deste produto interno. Ela tambem e equivalente a norma

‖u‖W 1,2(Ω) =(∫

Ω

|u|2)1/2

+n∑

i=1

(∫

Ω

∣∣∣∣∂u

∂xi

∣∣∣∣2)1/2

= ‖u‖L2(Ω) +n∑

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥L2(Ω)

.

1.5.3 Propriedades dos Espacos de Sobolev

Assumiremos os resultados a seguir sem demonstracao (veja [Biezuner] para a demonstracao destes resulta-dos).

1.3 Teorema. W 1,2(Ω) e um espaco de Hilbert. Em particular, W 1,20 (Ω) tambem e um espaco de Hilbert.

1.4 Teorema. C∞(Ω) ∩W 1,2(Ω) e denso em W 1,2(Ω). Se Ω um aberto com fronteira de classe C1, entaoC∞(Ω) ∩W 1,2(Ω) e denso em W 1,2(Ω).

Os seguintes resultados caracterizam o espaco W 1,20 (Ω):

1.5 Teorema. Se u ∈ W 1,2(Ω) satisfaz supp u ⊂⊂ Ω, entao u ∈ W 1,20 (Ω).

Se Ω ⊂ Rn e um aberto com fronteira de classe C1 e se u ∈ W 1,2(Ω) ∩C(Ω), entao u ∈ W 1,20 (Ω) se e

somente se u = 0 em ∂Ω.


As propriedades de imersao compacta dos espacos de Sobolev sao as que lhe conferem a sua grandeutilidade. Recordamos os conceitos de imersao contınua e imersao compacta:

Definicao. Seja E um subespaco vetorial normado de um espaco normado F (ou seja, a norma em E naoprecisa necessariamente ser a norma induzida de F ). Dizemos que a inclusao E ⊂ F e uma imersao(contınua) se a aplicacao inclusao I : E → F definida por Ix = x for contınua. Denotamos este fatopor

E → F.

Se, alem disso, a aplicacao inclusao for compacta, dizemos que a imersao E → F e compacta.Denotaremos a imersao compacta de um espaco vetorial normado E em um espaco vetorial normadoF por

E →→ F.

Como a aplicacao inclusao e linear, o fato de existir uma imersao E → F e equivalente a existencia de umaconstante C tal que

‖x‖F 6 C ‖x‖E para todo x ∈ E.

Em particular, se (xn) e uma sequencia de Cauchy em E, entao (xn) tambem e uma sequencia de Cauchyem F ; logo, se xn → x em E, entao xn → x em F tambem. E claro que se E tem a norma induzida de F ,entao a inclusao E ⊂ F e uma imersao, com C = 1. Quando existe uma imersao E → F , dizer que ela ecompacta e equivalente a dizer que sequencias limitadas de (E, ‖·‖E) possuem subsequencias convergentesem (F, ‖·‖F ).

1.6 Teorema. (Teorema da Imersao de Sobolev) Seja Ω ⊂ Rn um aberto. Entao

W 1,2 (Ω) → L2(Ω),

W 1,20 (Ω) → L2(Ω).

Prova: Usando a norma equivalente introduzida acima, se E = W 1,2 (Ω) ou se E = W 1,20 (Ω) temos

‖u‖E = ‖u‖L2(Ω) +n∑

i=1

∥∥∥∥∂u

∂xi

∥∥∥∥L2(Ω)

> ‖u‖L2(Ω) .

¥

1.7 Teorema. (Teorema de Rellich–Kondrakhov) Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira de classeC1. Entao

W 1,2 (Ω) →→ L2 (Ω) ,

Se trocarmos W 1,2 por W 1,20 , o resultado e valido para abertos arbitrarios.

1.8 Teorema. (Desigualdade de Poincare) Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Entao

‖u‖L2(Ω) 6( |Ω|

ωn

)1/n

‖∇u‖L2(Ω) .

para todo u ∈ W 1,20 (Ω) (aqui ωn e o volume da bola unitaria em Rn).

Observe que o Teorema 1.8 nao e valido se trocamos W 1,20 por W 1,2 porque as funcoes constantes pertencem

a W 1,2 e nao satisfazem a desigualdade de Poincare (pois tem derivada nula).


1.6 Existencia e Unicidade de Solucoes para o Laplaciano atravesdo Metodo Variacional

De agora em diante, Ω ⊂ Rn sera sempre um aberto limitado.

1.6.1 Solucoes Fracas

Definicao. Seja f ∈ L2 (Ω). Dizemos que u ∈ W 1,20 (Ω) e uma solucao fraca para o problema de Dirichlet

∆u = f em Ω,u = 0 sobre ∂Ω,

(1.14)

se ∫

Ω

∇u · ∇v = −∫

Ω

fv para todo v ∈ W 1,20 (Ω) .

Se os dados do problema de Dirichlet (1.14) sao suficientemente regulares e a solucao fraca tambem esuficientemente regular, entao ela e uma solucao classica:

1.9 Proposicao. (Solucoes Fracas Regulares sao Solucoes Classicas) Sejam f ∈ C0 (Ω). Se existir umasolucao fraca u ∈ C2 (Ω) ∩ C0

(Ω

)para o problema


entao u e uma solucao classica.

Prova: Pela Primeira Identidade de Green, para todo v ∈ C∞0 (Ω) temos∫

Ω

∇u · ∇v =∫

∂Ω

∂u

∂νv −

∫

Ω

(∆u) v = −∫

Ω

(∆u) v.

Daı e da definicao de solucao fraca segue que∫

Ω

(∆u) v =∫

Ω

fv

para todo v ∈ C∞0 (Ω), ou seja,∆u = f em Ω.

Alem disso, como u ∈ W 1,20 (Ω)∩C0

(Ω

), segue da caracterizacao dos espacos W 1,2

0 (Ω) que u = 0 em ∂Ω. ¥

1.6.2 Existencia, Unicidade e Regularidade de Solucoes Fracas

Quando uma solucao fraca existe ela e unica:

1.10 Proposicao. (Unicidade da Solucao Fraca) Seja f ∈ L2 (Ω). Se existir uma solucao fraca para oproblema


entao ela e unica.


Prova: O resultado segue imediatamente da estabilidade fraca da equacao de Poisson, isto e, se u1, u2 ∈W 1,2 (Ω) satisfazem

∆u1 = f1, ∆u2 = f2 em Ω

para f1, f2 ∈ L2 (Ω), eu1 − u2 ∈ W 1,2

0 (Ω) ,

entao existe uma constante C = C (n, Ω) tal que

‖u1 − u2‖W 1,2(Ω) 6 C ‖f1 − f2‖L2(Ω) . (1.15)

De fato, temos ∫

Ω

∇ (u1 − u2) · ∇v = −∫

Ω

(f1 − f2) v,

para todo v ∈ W 1,20 (Ω), em particular para v = u1 − u2. Portanto segue da desigualdade de Poincare que

‖∇u1 −∇u2‖2L2(Ω) =∫

Ω

|∇ (u1 − u2)|2

=∫

Ω

(f1 − f2) (u1 − u2)

6 ‖f1 − f2‖L2(Ω) ‖u1 − u2‖L2(Ω)

6 C ‖f1 − f2‖L2(Ω) ‖∇u1 −∇u2‖L2(Ω) ,

donde‖∇u1 −∇u2‖L2(Ω) 6 C ‖f1 − f2‖L2(Ω) .

Novamente usando a desigualdade de Poincare, isso e suficiente para estabelecer (1.15). ¥No caso do problema de Dirichlet para a equacao de Poisson, a existencia de uma solucao fraca e imedi-

atamente estabelecida pelo equivalente ao princıpio de Dirichlet visto no inıcio do capıtulo anterior:

1.11 Teorema. (Existencia da Solucao Fraca) Sejam f ∈ L2 (Ω). Entao existe uma unica solucao fracau ∈ W 1,2

0 (Ω) para o problema ∆u = f em Ω,u = 0 sobre ∂Ω.

(1.16)

Prova: Considere o funcional de Dirichlet I : W 1,20 (Ω) → R definido por

I (v) =12

∫

Ω

|∇v|2 dx +∫

Ω

fv.

Afirmamos que um ponto crıtico u deste funcional e uma solucao fraca de (1.16). De fato, se u e um pontocrıtico de I, entao a derivada direcional de I na direcao de qualquer v ∈ W 1,2

0 (Ω) e igual a 0, logo

0 =d

dt[I (u + tv)|t=0 =

d

dt

[12

∫

Ω

|∇ (u + tv)|2 +∫

Ω

f (u + tv)∣∣∣∣t=0

=∫

Ω

∇u · ∇v +∫

Ω

fv

para todo v.Para provar o teorema, basta entao encontrar uma funcao u ∈ W 1,2

0 (Ω) que minimiza I, isto e, u tal que

I (u) = minv∈W 1,2

0 (Ω)

(12

∫

Ω

|∇v|2 dx +∫

Ω

fv

),


pois um ponto de mınimo e um ponto crıtico de um funcional diferenciavel. Pela desigualdade de Poincare,o funcional I e limitado por baixo, pois

I (v) =12‖∇v‖2L2(Ω) +

∫

Ω

f (v − g) +∫

Ω

fg

> 12‖∇v‖2L2(Ω) −

∣∣∣∣∫

Ω

f (v − g)∣∣∣∣ +

∫

Ω

fg

> 12‖∇v‖2L2(Ω) − ‖f‖L2(Ω) ‖(v − g)‖L2(Ω) +

∫

Ω

fg

> 12‖∇v‖2L2(Ω) − C ‖f‖L2(Ω) ‖∇ (v − g)‖L2(Ω) +

∫

Ω

fg

> 12‖∇v‖2L2(Ω) − C ‖f‖L2(Ω) ‖∇v‖L2(Ω) +

∫

Ω

fg − C ‖f‖L2(Ω) ‖∇g‖L2(Ω) ,

e a funcao real h (t) =t2

2−at+b e limitada por baixo para t ∈ R, quaisquer que sejam os valores de a, b ∈ R.

Podemos entao definirI0 = inf

v∈W 1,20 (Ω)

I (u) .

Seja (um)m∈N uma sequencia minimizante para I, isto e,

I (um) =12

∫

Ω

|∇um|2 dx +∫

Ω

fum → I0.

E facil ver, que o funcional I e convexo. De fato, isto e uma consequencia imediata da convexidade da funcaox 7→ |x|2

I (tu + (1− t) v) =∫

Ω

|t∇u + (1− t)∇v|2 dx +∫

Ω

f (tu + (1− t) v)

6∫

Ω

[t |∇u|2 + (1− t) |∇v|2

]dx + t

∫

Ω

fu + (1− t)∫

Ω

fv

= tI (u) + (1− t) I (v) .

A convexidade da funcao x 7→ |x|2 por sua vez pode ser provada do seguinte modo:

|tx + (1− t) y|2 − t |x|2 − (1− t) |y|2 =(t2 − t

) |x|2 + 2t (1− t)x · y +[(1− t)2 − (1− t)

]|y|2

= −t (1− t) |x− y|2 6 0.

Logo,

I0 6 I

(uk + ul

2

)6 1

2I (uk) +

12I (ul) → I0

quando k, l →∞. Por outro lado, temos

12

∫

Ω

|∇ (uk − ul)|2 dx =∫

Ω

|∇uk|2 dx +∫

Ω

|∇ul|2 dx− 2∫

Ω

∣∣∣∣∇(

uk + ul

2

)∣∣∣∣2

dx

=∫

Ω

|∇uk|2 dx + 2∫

Ω

fuk +∫

Ω

|∇ul|2 dx + 2∫

Ω

ful

− 2∫

Ω

∣∣∣∣∇(

uk + ul

2

)∣∣∣∣2

dx− 4∫

Ω

f

(uk + ul

2

)

= 2I (uk) + 2I (ul)− 4I

(uk + ul

2

),


donde concluımos que (∇um) e uma sequencia de Cauchy em L2 (Ω). Pela desigualdade de Poincare temosque

‖uk − ul‖L2(Ω) 6 C ‖∇uk −∇ul‖L2(Ω) ,

logo (um) tambem e uma sequencia de Cauchy em L2 (Ω) e portanto (um) e uma sequencia de Cauchy emW 1,2

0 (Ω), ou seja, existe u ∈ W 1,20 (Ω) tal que um → u em W 1,2

0 (Ω). Em particular, segue que I (u) = I0.Como um → u em L2 (Ω) e ∇um → ∇u em L2 (Ω), temos que

12

∫

Ω

|∇um|2 dx +∫

Ω

fum → 12

∫

Ω

|∇u|2 dx +∫

Ω

fu,

e concluımos que u e o minimizador do funcional de Dirichlet I. ¥Se a fronteira e os dados do problema sao suficientemente regulares, pode-se provar que uma solucao

fraca e uma solucao classica (veja [Gilbarg-Trudinger] ou [Biezuner] para os detalhes):

1.12 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira de classe C∞. Seja f ∈ C∞ (Ω).. Seu ∈ W 1,2

0 (Ω) e uma solucao fraca de


entao u ∈ C∞(Ω

).

1.7 O Espectro do Laplaciano

1.7.1 Existencia e Caracterizacao Variacional dos Autovalores do Laplaciano

Para o problema de Dirichlet, o espaco natural para aplicar o metodo variacional e W 1,20 (Ω), enquanto que

para o problema de Neumann trabalharemos em W 1,2 (Ω). Examinaremos primeiro o problema de autovalordo laplaciano para condicao de fronteira de Dirichlet.

Definicao. Dizemos que u ∈ W 1,20 (Ω) e uma solucao fraca para o problema de autovalor do laplaciano

para condicao de fronteira de Dirichlet −∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

se ∫

Ω

∇u · ∇v = λ

∫

Ω

uv para todo v ∈ W 1,20 (Ω) . (1.17)

Aceitaremos o seguinte resultado de regularidade sem demonstracao.

1.13 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira de classe C∞. Seja λ ∈ R. Se u ∈ W 1,20 (Ω)

e uma solucao fraca de −∆u = λu em Ω,u = 0 sobre ∂Ω,

entao u ∈ C∞(Ω

).

1.14 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Entao o problema de autovalor

−∆u = λu em Ω, u ∈ W 1,20 (Ω)

possui um numero infinito enumeravel de autovalores

0 < λ1 6 λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .


tais queλj →∞,

e autofuncoes uj que constituem um sistema ortonormal completo para L2 (Ω), isto e,

v =∞∑

i=1

αiui

para todo v ∈ L2 (Ω). Em particular,

‖v‖2L2(Ω) =∞∑

i=1

〈v, ui〉2L2(Ω) .

Alem disso, para todo v ∈ W 1,20 (Ω) vale

‖∇v‖2L2(Ω) =∞∑

i=1

λi 〈v, ui〉2L2(Ω) .

Prova: Generalizando o princıpio de Rayleigh, gostarıamos de obter o primeiro autovalor do laplacianocomo o mınimo do funcional de Rayleigh:

λ1 = infu∈W 1,2

0 (Ω)\0

〈−∆u, u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

.

No entanto, nossas funcoes estao em W 1,20 (Ω) e em geral nao possuem derivadas parcias de segunda ordem

e portanto seus laplacianos nao estao definidos. Porem, lembrando que C∞0 (Ω) e denso em W 1,20 (Ω) e a

primeira identidade de Green para funcoes em C∞0 (Ω) toma a forma

〈−∆u, u〉L2(Ω) =∫

Ω

(−∆u)u =∫

Ω

〈∇u,∇u〉 −∫

∂Ω

u∂u

∂η= 〈∇u,∇u〉L2(Ω)

consideramos o funcional I : W 1,20 (Ω) \ 0 → R definido por

I (u) =

∫Ω|∇u|2∫Ω

u2=〈∇u,∇u〉L2(Ω)

〈u, u〉L2(Ω)

=‖∇u‖2L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

.

Afirmamos que seλ1 = inf

u∈W 1,20 (Ω)\0

I (u) , (1.18)

entao existe u ∈ W 1,20 (Ω), u 6= 0, tal que

−∆u = λ1u,

ou seja, λ1 e um autovalor do laplaciano. Para provar isso, observe em primeiro lugar que o funcional Ie invariante por escala, no sentido de que I (αu) = I (u) para todo α 6= 0, logo podemos considerar umasequencia minimizante (uk) ⊂ W 1,2

0 (Ω) que satisfaz ‖uk‖L2(Ω) = 1 para todo k. Em particular,

‖∇uk‖2L2(Ω) → λ1,

logo (uk) e uma sequencia limitada em W 1,20 (Ω). Segue do Teorema de Rellich-Kondrakhov que, a menos

de uma subsequencia, uk → u em L2 (Ω) e, portanto, ‖u‖L2(Ω) = 1, o que implica em particular que u 6= 0.Afirmamos que uk → u em W 1,2

0 (Ω). De fato, valem as identidades

‖∇ (uk − ul)‖2L2(Ω) + ‖∇ (uk + ul)‖2L2(Ω) = 2 ‖∇uk‖2L2(Ω) + 2 ‖∇ul‖2L2(Ω) ,

‖uk − ul‖2L2(Ω) + ‖uk + ul‖2L2(Ω) = 2 ‖uk‖2L2(Ω) + 2 ‖ul‖2L2(Ω) = 4.


A segunda identidade implica que ‖uk + ul‖2L2(Ω) → 4 quando k, l → ∞. Usando a primeira identidadejuntamente com a desigualdade

‖∇ (uk + ul)‖2L2(Ω) > λ1 ‖uk + ul‖2L2(Ω) ,

que segue da definicao de λ1, obtemos

‖∇ (uk − ul)‖2L2(Ω) 6 2 ‖∇uk‖2L2(Ω) + 2 ‖∇ul‖2L2(Ω) − λ1 ‖uk + ul‖2L2(Ω) → 0

quando k, l →∞, isto e, (∇uk) e uma sequencia de Cauchy em L2 (Ω), o que prova a afirmacao. Segue que

λ1 = ‖∇u‖2L2(Ω)

e o Teorema de Poincare implica que λ1 6= 0. Vamos denotar u = u1. Para mostrar que u1 e uma solucaofraca de −∆u1 = λ1u1, observe que para todo v ∈ W 1,2

0 (Ω) fixado temos

I (u1 + tv) =〈∇ (u1 + tv) ,∇ (u1 + tv)〉L2(Ω)

〈(u1 + tv) , (u1 + tv)〉L2(Ω)

=‖∇u1‖2L2(Ω) + 2t 〈∇u1,∇v〉L2(Ω) + t2 ‖∇u1‖2L2(Ω)

‖u1‖2L2(Ω) + 2t 〈u1, v〉L2(Ω) + t2 ‖u1‖2L2(Ω)

onde |t| e suficientemente pequeno para que o denominador nunca se anule. Como u1 e um mınimo paraeste funcional, segue que

0 =dI

dt(u + tv)

∣∣∣∣t=0

=

(2 〈∇u1,∇v〉L2(Ω) + 2t ‖∇u1‖2L2(Ω)

)‖u1 + tv‖2L2(Ω) −

(2 〈u1, v〉L2(Ω) + 2t ‖u1‖2L2(Ω)

)‖∇ (u1 + tv)‖2L2(Ω)

‖u1 + tv‖4L2(Ω)

∣∣∣∣∣∣t=0

=2 〈∇u1,∇v〉L2(Ω) ‖u1‖2L2(Ω) − 2 〈u1, v〉L2(Ω) ‖∇u1‖2L2(Ω)

‖u1 + tv‖4L2(Ω)

=2 〈∇u1,∇v〉L2(Ω) − 2λ1 〈u1, v〉L2(Ω)

‖u1 + tv‖4L2(Ω)

,

ou seja, ∫

Ω

∇u1 · ∇v = λ1

∫

Ω

u1v

para todo v ∈ W 1,20 (Ω).

Suponha como hipotese de inducao que obtivemos (λ1, u1) , . . . , (λj−1, uj−1) satisfazendo

ui ∈ W 1,20 (Ω) ,

λ1 6 . . . 6 λj−1,

−∆u = λiu em Ω,

e〈ui, uk〉L2(Ω) = δik

para todos 1 6 i, k 6 j. Definimos

Hj =v ∈ W 1,2

0 (Ω) : 〈v, ui〉L2(Ω) = 0 para i = 1, . . . , j − 1

.


Em outras palavras, Hj e o subespaco de Hilbert ortogonal ao subespaco de dimensao finita gerado pelasautofuncoes u1, . . . , uj−1. Defina

λj = infu∈Hj

I (u) .

Como o ınfimo esta tomado sobre um espaco menor, segue que

λj > λj−1.

O fato de que Hj e um subespaco fechado de W 1,20 (Ω) permite repetir o mesmo argumento acima para obter

uj ∈ Hj tal que ‖uj‖L2(Ω) = 1, λj = ‖∇uj‖2L2(Ω). Tambem analogamente obtemos

∫

Ω

∇uj · ∇v = λj

∫

Ω

ujv

para todo v ∈ Hj e a relacao e trivialmente verdadeira para todo v ∈ W 1,20 (Ω), ja que uj e ortogonal ao

subespaco gerado por u1, . . . , uj−1. Portanto uj e uma solucao fraca de −∆u = λju em Ω.Para ver que λj →∞, suponha por absurdo que λj → λ0. Entao obtemos uma sequencia (uj) ⊂ W 1,2

0 (Ω)de autofuncoes associadas aos autovalores λk tais que ‖uj‖L2(Ω) = 1 e

‖∇uj‖2L2(Ω) = λj → λ0.

Em particular, podemos usar novamente o Teorema de Rellich-Kondrakhov para concluir que uj → u emL2 (Ω). Mas isso e um absurdo, pois a sequencia (uj) e ortonormal em L2 (Ω) e portanto satisfaz

‖uk − ul‖2L2(Ω) = ‖uk‖2L2(Ω) + ‖ul‖2L2(Ω) = 2.

Falta apenas provar os resultados de expansao. Para v ∈ W 1,20 (Ω), escreva

αi = 〈v, ui〉L2(Ω)

e

vk =k∑

i=1

αiui,

wk = v − vk.

Para todo i 6 k temos

〈wk, ui〉 =

⟨v −

k∑

i=1

αiui, ui

⟩= 〈v, ui〉 − αi = 0.

Daı, como ui e solucao fraca, para todo i 6 k temos tambem

〈∇wk,∇ui〉L2(Ω) = λi 〈wk, ui〉L2(Ω) = 0,

donde

〈wk, wk〉L2(Ω) = 〈v, v〉L2(Ω) − 〈vk, vk〉L2(Ω) ,

〈∇wk,∇wk〉L2(Ω) = 〈∇v,∇v〉L2(Ω) − 〈∇vk,∇vk〉L2(Ω) .

Desta ultima identidade segue que

〈∇wk,∇wk〉L2(Ω) 6 〈∇v,∇v〉L2(Ω) .


Por definicao de λk,〈∇wk,∇wk〉L2(Ω) > λk+1 〈wk, wk〉L2(Ω) ,

logo

‖wk‖2L2(Ω) = 〈wk, wk〉L2(Ω) 6 1λk+1

〈∇v,∇v〉L2(Ω) → 0.

Em particular, concluımos que

v = lim vk + lim wk =∞∑

i=1

αiui em L2 (Ω) . (1.19)

Para provar a segunda expansao, escreva

∇vk =k∑

i=1

αi∇ui,

donde

‖∇vk‖2L2(Ω) =k∑

i=1

α2i 〈∇ui,∇ui〉 =

k∑

i=1

α2i λi 〈ui, ui〉 =

k∑

i=1

λiα2i .

Como〈∇wk,∇wk〉L2(Ω) + 〈∇vk,∇vk〉L2(Ω) = 〈∇v,∇v〉L2(Ω) ,

segue que‖∇vk‖2L2(Ω) 6 ‖∇v‖2L2(Ω) .

Somando-se a isso o fato que os λi sao nao-negativos, concluımos que a serie∞∑

i=1

λiα2i converge, de modo que

‖∇ (wk − wl)‖2L2(Ω) = ‖∇ (vl − vk)‖2L2(Ω) =l∑

i=k+1

λiα2i

e portanto (∇wk) tambem e uma sequencia de Cauchy em L2 (Ω), ou seja, (wk) converge em W 1,20 (Ω).

Consequentemente, em vista do resultado anterior, wk → 0 em W 1,20 (Ω), logo

‖∇v‖2L2(Ω) = lim ‖∇vk‖2L2(Ω) + 2 lim 〈∇vk,∇wk〉+ lim ‖∇wk‖2L2(Ω) =∞∑

i=1

λiα2i .

Segue que (uj) e uma sequencia ortonormal e o fecho do subespaco gerado por (uj) e um espaco de Hilbertcontendo W 1,2

0 (Ω) contido em L2 (Ω). Como W 1,20 (Ω) = L2 (Ω), concluımos que uj e um sistema ortonor-

mal completo para L2 (Ω). ¥Observacao 1. Segue deste teorema, em particular, que aquelas funcoes v em L2 (Ω) que nao estao emW 1,2

0 (Ω) podem ser caracterizadas pelo fato que∑∞

i=1 λi 〈v, ui〉L2(Ω) diverge.Observacao 2. Pelo Teorema 1.13, se ∂Ω for de classe C∞, entao as autofuncoes do problema de Dirichletestao em C∞

(Ω

)e sao solucoes classicas.

A demonstracao do resultado equivalente para o problema de autovalor com condicao de Neumann eanaloga (veja [Jost]):

1.15 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Entao o problema de autovalor

−∆u = λu em Ω, u ∈ W 1,2 (Ω)


possui um numero infinito enumeravel de autovalores

0 = λ0 6 λ1 6 λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .

tais queλj →∞,

e autofuncoes uj que satisfazem∂u

∂η= 0 sobre ∂Ω

e constituem um sistema ortonormal completo para L2 (Ω), isto e,

v =∞∑

i=1

αiui

para todo v ∈ L2 (Ω). Em particular,

‖v‖2L2(Ω) =∞∑

i=1

〈v, ui〉2L2(Ω) .

Alem disso, para todo v ∈ W 1,2 (Ω) vale

‖∇v‖2L2(Ω) =∞∑

i=1

λi 〈v, ui〉2L2(Ω) .

Na demonstracao do Teorema 1.14 usamos o princıpio de Rayleigh para obter o primeiro autovalordo laplaciano como o mınimo do funcional de Rayleigh. Como os autovalores do laplaciano formam umasequencia infinita que cresce arbitrariamente em modulo, o funcional de Rayleigh para o laplaciano naopossui um maximo. Entretanto, da mesma forma que no caso de operadores lineares em dimensao finita,podemos tambem derivar um princıpio de minimax para obter os demais autovalores do laplaciano:

1.16 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Sejam

0 < λ1 6 λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .

os autovalores do laplaciano com condicao de Dirichlet:

−∆u = λu em Ω, u ∈ W 1,20 (Ω) .

Entao, se Lj denota o conjunto dos subespacos vetoriais de W 1,20 (Ω) de dimensao j, temos

λj = minL∈Lj

max

u∈L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

= min

L∈Lj

max

u∈Lu 6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

(1.20)

ou, dualmente,

λj = maxL∈Lj−1

min

u⊥L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

= max

L∈Lj−1

min

u⊥Lu 6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

. (1.21)

O resultado analogo vale para os autovalores do laplaciano com condicao de Neumann trocando-seW 1,2

0 (Ω) por W 1,2 (Ω) e λj por λj−1.


Prova: Vimos na demonstracao do Teorema 1.13 que se L = 〈u1, . . . , uj−1〉 e o subespaco gerado pelasprimeiras j − 1 autofuncoes u1, . . . , uj−1 do laplaciano, entao

λj = minu⊥Lu6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

;

de fato, o mınimo e realizado em u = uj . Por outro lado, se L′ = 〈u1, . . . , uj〉 e o subespaco gerado pelasprimeiras j autofuncoes u1, . . . , uj do laplaciano, tambem temos

λj = maxu∈L′u6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

.

De fato, para todo ui com i < j vale

〈∇ui,∇ui〉L2(Ω)

‖ui‖2L2(Ω)

= λi 6 λj ,

enquanto que〈∇uj ,∇uj〉L2(Ω)

‖uj‖2L2(Ω)

= λj .

Portanto, se u =n∑

i=1

aiui ∈ L′, temos

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

=〈∇u,∇u〉L2(Ω)

〈u, u〉L2(Ω)

=

⟨n∑

i=1

ai∇ui,n∑

i=1

ai∇ui

⟩

L2(Ω)⟨n∑

i=1

aiui,n∑

i=1

aiui

⟩

L2(Ω)

=

n∑i=1

a2i 〈∇ui,∇ui〉L2(Ω)

n∑i=1

a2i 〈ui, ui〉L2(Ω)

=

n∑i=1

λia2i 〈ui, ui〉L2(Ω)

n∑i=1


6 λj

n∑i=1


n∑i=1


= λj ,

e o maximo e realizado em u = uj .Agora, para provar (1.20), seja L′ ⊂ Lj outro subespaco de W 1,2

0 (Ω) de dimensao j, digamos L′ =

〈v1, . . . , vj〉. Afirmamos que existe um vetor nao nulo v =j∑

i=1

aivi ∈ L′ tal que v ⊥ ui para i = 1, . . . , j − 1.

De fato, basta tomar uma das solucoes nao triviais do sistema homogeneo

〈v, u1〉 =j∑

i=1

ai 〈vi, u1〉 = 0

...

〈v, uj−1〉 =j∑

i=1

ai 〈vi, uj−1〉 = 0

que possui j − 1 equacoes e j incognitas. Logo, disso e do Teorema 1.15 segue que

〈∇v,∇v〉L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=‖∇v‖2L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=

∞∑i=1

λi 〈v, ui〉2L2(Ω)

∞∑i=1

〈v, ui〉2L2(Ω)

=

∞∑i=j


∞∑i=j

〈v, ui〉2L2(Ω)

>λj

∞∑i=j

〈v, ui〉2L2(Ω)

∞∑i=j

〈v, ui〉2L2(Ω)

= λj ,


e portanto

maxu∈L′u 6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

> λj .

Isso prova (1.20).Para provar a afirmativa dual (1.21), seja L ⊂ Lj um subespaco de W 1,2

0 (Ω) de dimensao j− 1, digamos

L = 〈v1, . . . , vj−1〉. Afirmamos que existe um vetor nao nulo v =j∑

i=1

aiui ⊥ L, combinacao linear dos vetores

u1, . . . , uj . De fato, basta tomar uma das solucoes nao triviais do sistema homogeneo

〈v, v1〉 =n∑

i=1

ai 〈ui, v1〉 = 0

...

〈v, vj−1〉 =n∑

i=1

ai 〈ui, vj−1〉 = 0

que possui j − 1 equacoes e j incognitas. Entao algum dos vetores u1, . . . , uj e perpendicular a L, digamosui. Logo, disso e do Teorema 1.13 segue que

〈∇v,∇v〉L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=‖∇v‖2L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=

∞∑i=1


∞∑i=1

〈v, ui〉2L2(Ω)

=

∞∑i=1

λi

⟨j∑

k=1

akuk, ui

⟩2

L2(Ω)

∞∑i=1

⟨j∑

k=1

akuk, ui

⟩2

L2(Ω)

=

j∑i=1

a2i λi 〈ui, ui〉2L2(Ω)

∞∑i=1

a2i 〈ui, ui〉2L2(Ω)

6λj

j∑i=1


∞∑i=1


= λj ,

e portanto

minu⊥Lu 6=0

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

‖u‖2L2(Ω)

6 λj ,

o que prova (1.21). ¥

1.7.2 Comparacao de Autovalores

Como uma consequencia simples da caracterizacao minimax obtemos uma comparacao entre os autovaloresdo laplaciano de Dirichlet e os autovalores do laplaciano de Neumann de um mesmo domınio:

1.17 Corolario. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Sejam

0 < λD1 6 λD

2 6 . . . 6 λDk 6 . . .

os autovalores do laplaciano com condicao de Dirichlet e

0 = λN0 6 λN

1 6 λN2 6 . . . 6 λN

k 6 . . .

os autovalores do laplaciano com condicao de Neumann. Entao

λNj−1 6 λD

j

para todo j.


Prova: Denotando

Lj

(W 1,2

0 (Ω))

=

L ⊂ W 1,20 (Ω) : L e um subespaco vetorial de dimensao j

,

Lj

(W 1,2 (Ω)

)=

L ⊂ W 1,2 (Ω) : L e um subespaco vetorial de dimensao j

,

como W 1,20 (Ω) ⊂ W 1,2 (Ω), segue que

Lj

(W 1,2

0 (Ω))⊂ Lj

(W 1,2 (Ω)

).

Em particular, o mınimo sobre Lj

(W 1,2

0 (Ω))

nao pode ser maior que o mınimo sobre Lj

(W 1,2 (Ω)

). Segue

que

λNj−1 = min

L∈Lj(W 1,2(Ω))

max

u∈L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

6 min

L∈Lj(W 1,20 (Ω))

max

u∈L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

= λD

j .

¥O que acontece com os autovalores do laplaciano de um domınio Ω quando este aumenta? Se nos

restringirmos a simples aumentos de escala, a resposta e simples. Denote Ωa = ax : x ∈ Ω. Se u satisfaz −∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

entao v (x) = u(x

a

)satisfaz

−∆v =

λ

a2v em Ωa,

v = 0 sobre ∂Ωa.

Em particular, se a > 1 (dilatacao), entao os autovalores do laplaciano em Ωa sao menores que os autovaloresdo laplaciano em Ω. No caso geral, ainda e verdade que os autovalores decrescem quando o domınio aumenta,e no caso dos autovalores de Dirichlet isto e novamente uma consequencia simples da caracterizacao minimax:

1.18 Corolario. Sejam Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ Rn abertos limitados. Sejam λj (Ω1) e λj (Ω2) os autovalores deDirichlet do laplaciano em Ω1 e Ω2, respectivamente. Entao

λj (Ω2) 6 λj (Ω1)

para todo j.

Prova: Podemos considerar W 1,20 (Ω1) ⊂ W 1,2

0 (Ω2), porque qualquer funcao u ∈ W 1,20 (Ω1) pode ser esten-

dida a uma funcao u ∈ W 1,20 (Ω2) definindo-se

u (x) =

u (x) se x ∈ Ω1,0 se x ∈ Ω2\Ω1.

Em particular, usando a notacao do corolario anterior, temos que

Lj

(W 1,2

0 (Ω1))⊂ Lj

(W 1,2

0 (Ω2))

.

e o mınimo sobre Lj

(W 1,2

0 (Ω1))

nao pode ser maior que o mınimo sobre Lj

(W 1,2 (Ω2)

). Logo

λj (Ω2) = minL∈Lj(W 1,2

0 (Ω2))

max

u∈L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

6 min

L∈Lj(W 1,20 (Ω1))

max

u∈L‖u‖=1

〈∇u,∇u〉L2(Ω)

= λj (Ω1) .


¥No caso dos autovalores de Neumann, o resultado continua valido mas a demonstracao e mais complicadaporque o operador extensao E : W 1,2 (Ω1) −→ W 1,2 (Ω2) nao preserva a norma: em geral ‖Eu‖W 1,2(Ω2)

>

‖u‖W 1,2(Ω1)(embora exista uma constante C > 0 tal que ‖Eu‖W 1,2(Ω2)

6 C ‖u‖W 1,2(Ω1), esta constante e

geralmente maior que 1) e por este motivo W 1,2 (Ω1) nao pode ser considerado um subespaco de Hilbert deW 1,2 (Ω2).

1.8 Conjunto Nodal e Domınios Nodais de uma Autofuncao

1.8.1 Princıpio do Maximo Forte: o Primeiro Autovalor do Laplaciano e Sim-ples

O primeiro autovalor do laplaciano e simples, isto e, o seu autoespaco associado tem dimensao 1, e possuiuma autofuncao associada positiva. Para provar este resultado, precisamos do Princıpio do Maximo Fortepara operadores elıpticos, adaptado para o operador de Helmholtz (veja [Gilbarg-Trudinger] ou [Biezuner]para uma demonstracao):

1.19 Lema. (Princıpio do Maximo Forte) Seja Ω ⊂ Rn um aberto conexo. Seja u ∈ C2(Ω).

Se ∆u > 0 em Ω e u atinge o seu maximo no interior de Ω, entao u e constante.

Se ∆u 6 0 em Ω e u atinge o seu mınimo no interior de Ω, entao u e constante.

Prova: Provaremos a segunda afirmacao, que sera usada na sequencia; a demonstracao da primeira eanaloga. Afirmamos que se ∆u > 0 em Ω, vale a seguinte desigualdade do valor medio: para qualquer bolaBR (x) ⊂⊂ Ω temos

u (x) > 1|BR|

∫

BR

u =1

ωnRn

∫

BR

u, (1.22)

onde ωn e o volume da bola unitaria em Rn. Para provar esta desigualdade, defina para r ∈ (0, R] a funcao

φ(r) =1

|∂Br|∫

∂Br

u.

Para obter a derivada da funcao φ, fazemos a mudanca de variaveis

ω =y − x

r,

de modo que

φ(r) =1

nωnrn−1

∫

∂Br

u(y) ds =1

nωn

∫

∂B1(0)

u(x + rω) dω =1

|∂B1(0)|∫

∂B1(0)

u(x + rω) dω,

e daı

φ′(r) =1

|∂B1(0)|∫

∂B1(0)

∇u(x + rω) · ω dω =1

|∂Br|∫

∂Br

∇u(y) · y − x

rds

=1

|∂Br|∫

∂Br

∂u

∂νds,

pois o vetor normal unitario a ∂Br(x) apontando para fora e exatamente o vetory − x

r. Mas, pelo Teorema

da Divergencia e por hipotese, temos ∫

∂Br

∂u

∂ν=

∫

Ω

∆u 6 0,


logoφ′(r) 6 0

e φ(r) e uma funcao decrescente. Portanto,

1|∂Br|

∫

∂Br

u > 1|∂BR|

∫

∂BR

u

para todo 0 < r 6 R. Usando o Teorema do Valor Medio para Integrais

limr→0

1|∂Br|

∫

∂Br

u = u(x),

obtemosu(x) > 1

|∂BR|∫

∂BR

u. (1.23)

Em particular, como R e arbitrario, vale a desigualdade

nωnrn−1u(x) >∫

∂Br

u

para todo r, e a desigualdade do valor medio (1.22) e obtida integrando-se esta equacao de r = 0 ate r = R.Vamos agora provar o lema. Seja m = minΩ u e considere o conjunto A = x ∈ Ω : u(x) = m. Por

hipotese, A e nao-vazio e fechado em Ω, pois u e contınua em Ω. Como Ω e conexo, para provar que A = Ω eportanto que u e constante, basta provar que A e aberto. De fato, dado x ∈ A e uma bola BR = BR(x) ⊂⊂ Ω,temos pela desigualdade do valor medio para funcoes harmonicas que

m = u(x) > 1|BR|

∫

BR

u > 1|BR|

∫

BR

m = m.

Se houvesse pelo menos um ponto em BR(x) cujo valor e estritamente maior que m, entao a desigualdadeacima seria estrita, o que constituiria uma contradicao. Concluımos que u ≡ m em BR(x), logo A e aberto.¥

1.20 Lema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto. Seja u ∈ C2(Ω) uma solucao de −∆u = λu em Ω, λ > 0. Se uatinge um mınimo igual a 0 no interior de Ω, entao u e constante.

Prova: Se minΩ u = 0, em particular u > 0 em Ω. Logo, ∆u = −λu 6 0 em Ω. Pelo Princıpio do MaximoForte, concluımos que u e constante. ¥

1.21 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado conexo. Entao o problema de autovalor −∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

possui uma solucao positiva u1 > 0 em Ω. Alem disso, qualquer outra autofuncao associada a λ1 emultipla de u1.

Prova: Para simplificar a demonstracao, assumiremos que Ω tem regularidade suficiente para que u ∈C2 (Ω)∩C0

(Ω

)de modo que podemos usar o Princıpio do Maximo Forte classico dado no lema anterior (um

princıpio do maximo forte para funcoes em W 1,20 (Ω) pode ser visto em [Gilbarg-Trudinger]). Pela formulacao

variacional, se u e uma autofuncao associada a λ1, entao |u| tambem e, pois I (u) = I (|u|). A teoria deregularidade (Teorema 1.13) garante entao que |u| ∈ C2 (Ω) ∩ C0

(Ω

)tambem. Pelo lema anterior, u nao

pode se anular no interior de Ω, pois isso implicaria que |u| atinge o seu mınimo no interior, logo u > 0.Este argumento tambem implica que as autofuncoes associadas a λ1 sao negativas ou positivas em Ω, logonao podem ser ortogonais, e portanto o subespaco associado a λ1 so pode ser unidimensional. ¥

Mais geralmente, vale o resultado do Teorema 1.24 a seguir para todos os autovalores do laplaciano.


1.8.2 Conjunto Nodal e Domınios Nodais de Autofuncoes do Laplaciano

Definicao. Se λj e um autovalor do laplaciano em Ω e uj e uma autofuncao associada, definimos o conjuntonodal de uj por

Γj = x ∈ Ω : uj (x) = 0 .

As componentes conexas de Ω\Γj sao chamadas os domınios nodais de uj .

O conjunto nodal de uj e simplesmente o conjunto dos pontos onde uj se anula; a terminologia nodal e oriundado estudo das vibracoes de cordas e membranas em Mecanica. O Teorema 1.21 afirma que o conjunto nodalde u1 e vazio; em particular, se Ω e conexo, entao Ω\Γ1 possui uma componente conexa, isto e, apenasum domınio nodal. Para as demais autofuncoes, o Teorema do Conjunto Nodal de Courant (Teorema 1.24abaixo) afirma que o numero de domınios nodais da autofuncao uj nao pode exceder j.

1.22 Lema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado conexo e

0 < λ1 < λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano e u1, u2, . . . , uj , . . . as respectivas autofuncoes associadas. Seλj tem multiplicidade r, de modo que

λj−1 < λj = λj+1 = . . . = λj+r−1 < λj+r,

Entao uj possui no maximo j + r − 1 domınios nodais.

Prova: A demonstracao do lema e baseada na caracterizacao variacional dos autovalores do laplaciano.Suponha que uj tenha m domınios nodais Ω1, · · · , Ωm. Defina

wi (x) =

βiuj (x) se x ∈ Ωi,0 caso contrario,

onde o fator de escala βi e escolhido de tal forma que ‖wi‖L2(Ω) = 1. Observe que, como os domınios nodaisΩi sao disjuntos, as funcoes wi sao ortogonais em L2 (Ω) e em W 1,2

0 (Ω). Como∫

Ω

∇uj · ∇v = λj

∫

Ω

ujv

para todo v ∈ W 1,20 (Ω), em particular temos

∫

Ωi

∇wi · ∇wi = λj

∫

Ωi

w2i

(embora wi seja uma autofuncao do laplaciano em Ωi associada a λj , wi nao e uma autofuncao do laplacianoem Ω associada a λj ; pelo Princıpio da Continuacao Unica (veja o lema a seguir), uma autofuncao que seanula em um aberto, deve-se anular no domınio todo). Considere combinacoes lineares v dos wi tais que‖v‖L2(Ω) = 1, isto e,

v =m∑

i=1

aiwi

e a1, . . . , am ∈ R sao quaisquer escalares que satisfazem

m∑

i=1

a2i = 1.


Em particular,

〈∇v,∇v〉L2(Ω) =m∑

i=1

a2i 〈∇wi,∇wi〉L2(Ωi)

=m∑

i=1

a2i λj 〈wi, wi〉L2(Ωi)

= λj ,

ou seja,〈∇v,∇v〉L2(Ω)

‖v‖L2(Ω)

= λj .

Por outro lado, podemos escolher a1, . . . , am de tal forma que

〈v, ui〉L2(Ω) = 0

para i = 1, . . . ,m− 1, pois o sistema

〈v, u1〉 =n∑

i=1

ai 〈wi, u1〉 = 0

...

〈v, um−1〉 =n∑

i=1

ai 〈wi, um−1〉 = 0

possui m− 1 equacoes e m incognitas. Para esta escolha de v, segue do Teorema 1.13 que

〈∇v,∇v〉L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=‖∇v‖2L2(Ω)

‖v‖2L2(Ω)

=

∞∑i=1


∞∑i=1

〈v, ui〉2L2(Ω)

=

∞∑i=m


∞∑i=m

〈v, ui〉2L2(Ω)

>λm

∞∑i=m

〈v, ui〉2L2(Ω)

∞∑i=m

〈v, ui〉2L2(Ω)

= λm.

Portanto,λm 6 λj .

Como λj < λj+r, segue que λm < λj+r, donde m < n + r. ¥Em particular, se λj e um autovalor simples, o numero maximo de domınios nodais de uj e j. Paramostrar que esta mesma estimativa vale para as demais autofuncoes, Courant e Hilbert produziram umrefinamento complicado do seu argumento no lema acima. A demonstracao simplificada apresentada aseguir e devida a Herrman [Herrman] e Pleijel [Pleijel] (reproduzida em [Gladwell-Zhu]) e e baseada noPrincıpio da Continuacao Unica (uma demonstracao deste pode ser encontrada em [Aronszajn]):

1.23 Lema. (Princıpio da Continuacao Unica) Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado conexo. Se u e uma solucaode

−∆u = λu em Ω

que se anula em um aberto nao vazio de Ω, entao u ≡ 0.

1.24 Teorema. (Teorema do Conjunto Nodal de Courant) Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado conexo e

0 < λ1 < λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano e u1, u2, . . . , uj , . . . as respectivas autofuncoes associadas.Entao uj possui no maximo j domınios nodais.

Prova: Suponha por absurdo que uj tenha m > j domınios nodais. Defina wi e v como na demonstracaodo Lema 1.22, escolhendo

aj+1 = . . . = am = 0,


de modo que v ≡ 0 em Ωj+1 ∪ . . . ∪ Ωm. Como antes, temos

〈∇v,∇v〉L2(Ω)

‖v‖L2(Ω)

= λj

e podemos escolher a1, . . . , aj de tal forma que

〈v, ui〉L2(Ω) = 0

para i = 1, . . . , j − 1. Isso implica que v e uma autofuncao associada a λj (como vimos na demonstracaodo Teorema 1.13, nestas condicoes o mınimo λj do quociente de Rayleigh e realizado em uma autofuncaode λj), isto e, e uma solucao fraca de −∆u = λju em Ω. Como v se anula em Ωj+1 ∪ . . . ∪ Ωm, segue doPrincıpio da Continuacao Unica que v ≡ 0 em Ω, contradizendo ‖v‖L2(Ω) = 1. ¥Observe que o Teorema 1.24 implica que se λj tem multiplicidade r, de modo que

λj−1 < λj = λj+1 = . . . = λj+r−1 < λj+r,

entao qualquer autofuncao associada a λj possui no maximo j domınios nodais, mesmo as autofuncoesuj+1, . . . , uj+r−1.

1.25 Corolario. O Teorema do Conjunto Nodal de Courant vale mesmo se Ω nao e conexo.

Prova: Sejam Ω = Ω1 ∪ . . . ∪ Ωp a decomposicao de Ω em componentes conexas. Denote porλk

j

j∈N

a sequencia crescente de autovalores de Ωk comuk

j

j∈N as correspondentes autofuncoes. Seja λjj∈N =

λ1j

j∈N ∪ . . . ∪

λpj

j∈N a sequencia crescente de autovalores de Ω; as autofuncoes correspondentes sao da

forma

uj (x) =

uki (x) se x ∈ Ωk,

0 caso contrario,

para alguns ındices i, k, com j > i. Pelo Teorema do Conjunto Nodal de Courant aplicado a Ωk, uki nao tem

mais que i domınios nodais em Ωk, logo uj nao tem mais que j domınios nodais em Ωk e e nula fora de Ωk.¥

1.26 Corolario. Uma autofuncao u2 associada ao segundo autovalor λ2 possui exatamente 2 domıniosnodais. Autofuncoes associadas a outros autovalores λj, j 6= 1, 2, possuem pelo menos dois domıniosnodais.

Prova: Pelo Teorema do Conjunto Nodal de Courant, o numero de domınios nodais de u2 nao pode exceder2. Por outro lado, o fato de que uma autofuncao u1 associada ao primeiro autovalor λ1 6= λ2 ter o mesmosinal em Ω, juntamente com o fato que u1 ⊥ u2, implicam que u2 muda de sinal em Ω, logo nao pode terapenas um domınio nodal. Este mesmo argumento de ortogonalidade, u1 ⊥ uj se j 6= 1, implica que qualquerautofuncao associada a um autovalor diferente de λ1 necessariamente muda de sinal em Ω. ¥O Corolario 1.26 sugere que a estimativa dada no Teorema 1.24 e a melhor possıvel. Isso nao e verdade, noentanto. Usando a desigualdade de Faber-Krahn e a Lei de Weyl sobre a expansao assintotica dos autovalores,Pleijel [Pleijel] provou que para valores suficientemente grandes de j, o numero maximo de domınios nodaisj nunca e atingido (Corolario 1.30, a seguir). A demonstracao da desigualdade de Faber-Krahn dada a seguire baseada na simetrizacao de Schwartz, que definiremos a seguir.

Definicao. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. O domınio simetrizado Ω∗ e a bola B = x ∈ Rn : |x| < Rque possui o mesmo volume de Ω.

Dada uma funcao u : Ω −→ R, a funcao simetrizada u∗ : Ω∗ −→ R e definida da seguinte forma.Denotando

Ωµ = x ∈ Ω : u (x) > µdefinimos

u∗ (x) = supµ : x ∈ Ω∗µ

.


Observe que u∗ e uma funcao radialmente simetrica, nao-crescente. Assumiremos os seguintes resultadossem demonstracao (para uma prova, veja [Bandle], Lema 2.4 e Corolario 2.1):

1.27 Lema. Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado. Entao∫

Ω

f 6∫

Ω∗f∗

e ∫

Ω

|∇u|2 >∫

Ω∗|∇u∗|2 .

1.28 Teorema. (Desigualdade de Faber-Krahn) Seja Ω ⊂ R2 um aberto limitado. Se λ1 e o primeiroautovalor de Dirichlet do laplaciano em Ω, entao vale

λ1 >πα2

0,1

A,

onde α0,1 e o primeiro zero positivo da funcao de Bessel J0 e A e a area de Ω.

Prova: Seja (un) ⊂ W 1,20 (Ω) uma sequencia minimizante para o quociente de Rayleigh I do primeiro

autovalor de Dirichlet λ1 (Ω) do laplaciano em Ω. Como I (|u|) = I (u), podemos assumir un > 0 para todon. Entao u∗n ∈ W 1,2

0 (D), onde D = Ω∗ e o disco de raio R que possui area A. Segue que

λ1 (Ω) = lim inf

∫Ω|∇un|2∫Ω

u2n

> lim inf

∫D|∇u∗n|2∫

D(u∗n)2

> minu∈W 1,2

0 (Ω)\0

∫Ω|∇u|2∫Ω

u2= λ1 (D)

=α2

0,1

R2=

π

πR2α2

0,1 =πα2

0,1

A.

¥A desigualdade de Faber-Krahn entre outras coisas comprova a conjectura de Rayleigh de que entre todasas regioes de mesma area, o disco tem o menor primeiro autovalor.

1.29 Teorema. (Lei de Weyl) Seja Ω ⊂ R2 um aberto limitado conexo e

0 < λ1 < λ2 6 . . . 6 λj 6 . . .

os autovalores de Dirichlet do laplaciano em Ω. Entao

λj ∼ 4πj

A,

onde A e a area de Ω. Mais geralmente, se Ω ⊂ Rn e um aberto limitado, entao

λj ∼ 4π2

(j

ωnV

)2/n

,

Prova: Veja [Weyl] ou [Courant-Hilbert], pag. .429–443 ¥

1.30 Corolario. Seja Ω ⊂ R2 um aberto limitado conexo. Existe apenas um numero finito de autovaloresλj para os quais o numero maximo j de domınios nodais e atingido.


Prova: A demonstracao deste corolario depende da observacao de que se u e uma autofuncao associada aum certo autovalor de Dirichlet λ e Ωi e qualquer domınio nodal de u, entao λ e o primeiro autovalor dolaplaciano em Ωi, isto e,

λ1 (Ωi) = λ.

De fato, ui = u|Ωi e uma autofuncao associada a λ em Ωi, pois ui ∈ C2 (Ωi) ∩ C0(Ωi

)satisfaz −∆ui = λui

em Ωi e ui = 0 em ∂Ωi (pois ∂Ωi esta contida na uniao do conjunto nodal de u e ∂Ω, onde u = 0). Alemdisso, ui nao muda de sinal em Ωi por definicao de domınio nodal de u, logo possui apenas um domınio nodale portanto segue do Corolario 1.26 que ui e uma autofuncao associada ao primeiro autovalor de Dirichlet emΩi.

Sejam Ω1, · · · , Ωm, m 6 j, os domınios nodais de uma autofuncao u associada a λj . Como λj = λ1 (Ωi)para todo i, segue da Desigualdade de Faber-Krahn que

λj >πα2

0,1

A (Ωi),

onde A (Ωi) e a area de Ωi, para todo i. Escrevendo estas desigualdades na forma

A (Ωi)πα2

0,1

> 1λj

,

e somando-as para i = 1, . . . ,m, segue queA (Ω)πα2

0,1

> m

λj.

Logo, se o caso maximo m = j ocorre, temos

A (Ω)πα2

0,1

> j

λj.

Se o numero maximo m = j de domınios nodais fosse atingido para um numero infinito de ındices j, tomandoo limite nesta desigualdade quando j →∞ para esta subsequencia de ındices, terıamos pela Lei de Weyl que

A (Ω)πα2

0,1

> A (Ω)4π

,

dondeα0,1 6 2.

Mas α0,1 = 2.404825558..., contradicao. ¥Com relacao aos conjuntos nodais das autofuncoes do laplaciano, pode-se dizer que eles sao altamente

regulares: o conjunto nodal de uma autofuncao u do laplaciano em Ω ⊂ Rn e localmente composto dehiperfıcies de dimensao n − 1, que podem se intersectar em superfıcies de dimensao menor que n − 1 (veja[Cheng] para o enunciado preciso e sua demonstracao). Estas hiperfıcies nao podem terminar no interior deΩ, o que significa que ou elas sao fechadas, ou elas comecam e terminam na fronteira de Ω. Alem disso, nocaso bidimensional, quando as curvas nodais se intersectam, ou quando elas interceptam a fronteira, elas ofazem em angulos iguais; assim, por exemplo, se uma curva nodal intercepta a fronteira, ela o faz em umangulo reto, enquanto que se duas curvas nodais interceptam a fronteira no mesmo ponto, elas o fazem emangulos de π/3 e guardam tambem um angulo de π/3 entre si (veja [Courant-Hilbert]).

Exemplo 8. Como vimos no Exemplo 2, os autovalores de Dirichlet do laplaciano no quadrado Q = [0, π]2 ⊂R2 sao dados por

λnm = n2 + m2, n,m ∈ N,


com correspondentes autofuncoes

unm (x, y) = sen nx sen my.

O autovalor λ2 = λ3 = 5 tem multiplicidade 2 e o seu autoespaco e constituıdo pelas funcoes da forma

u (x, y) = A senx sen 2y + B sen 2x sen y, A,B ∈ R.

Para A = 0, u tem uma reta nodal vertical (x = π/2); para B = 0, u tem uma reta nodal horizontal(y = π/2); se A = ±B, u tem uma reta nodal diagonal (a reta y = x se A = −B e a reta y = −x + 1se A = B); nos demais casos, a curva nodal e especificada pela equacao transcendental

A cos y + B cos x = 0,

que e uma curva que intercepta a fronteira em dois pontos em angulos retos. Em todos os casos, acurva nodal de uma autofuncao associada ao autovalor 5 divide o quadrado em dois domınios nodais.

O autovalor λ4 = 8 e simples, com o seu autoespaco gerado pela autofuncao

u (x, y) = sen 2x sen 2y,

cujo conjunto nodal e a uniao das retas vertical x = π/2 e horizontal y = π/2; ela possui portantoquatro domınios nodais.

O autovalor λ5 = λ6 = 10 tambem tem multiplicidade 2 e o seu autoespaco e constituıdo pelas funcoesda forma

u (x, y) = A senx sen 3y + B sen 3x sen y, A,B ∈ R.

Para A = 0, u tem duas retas nodais verticais (x = π/3 e x = 2π/3); para B = 0, u tem duas retasnodais horizontais (y = π/3 e y = 2π/3); em ambos os casos, temos tres domınios nodais. Se A = −B,u tem as duas diagonais do quadrado como retas nodais, originando quatro domınios nodais, enquantoque se A = B, u tem uma curva nodal fechada

sen2 x + sen2 y = 3/2

que divide o quadrado em apenas dois domınios nodais, a regiao interior a curva e a regiao exterior.

Pleijel verifica em [Pleijel] que os unicos autovalores do laplaciano no quadrado que possuem aut-ofuncoes que assumem o numero maximal de domınios nodais sao λ1 = 2 (um domınio nodal),λ2 = λ3 = 5 (dois domınios nodais) e λ4 = 8 (quatro domınios nodais). ¤

1.9 Multiplicidade dos Autovalores do Laplaciano

Em regioes com algum tipo de simetria, o laplaciano frequentemente possui autovalores com multiplicidadesmaiores que 1.

Exemplo 9. Como os autovalores de Dirichlet do laplaciano no quadrado Q = [0, π]2 ⊂ R2, dados por

λnm = n2 + m2, n,m ∈ N,

com correspondentes autofuncoes

unm (x, y) = sen nx sen my,

vemos imediatamente que sempre que n 6= m o autovalor λnm tera multiplicidade pelo menos igual a2, ja que as autofuncoes

unm (x, y) = sen nx sen my e umn (x, y) = sen mx sen ny


sao linearmente independentes. Na verdade, o conjunto de todas as autofuncoes unm associadas aoautovalor λnm e linearmente independente, logo a questao da multiplicidade do autovalor λnm e re-duzida a questao de quantos maneiras diferentes um numero inteiro p pode ser escrito como a somade quadrados inteiros n2 + m2. A Teoria dos Numeros permite responder precisamente a esta questao(veja [Kuttler-Sigillito] para referencias). Obtemos a decomposicao em primos do autovalor

λnm = 2αpr11 . . . prk

k qs11 . . . qsl

l ,

onde os primos pi sao da forma 4t + 1, enquanto que os primos qj sao da forma 4t + 3, e todos os si

sao pares. Segue que a multiplicidade do autovalor λnm e

mult (λnm) =k∏

i=1

(ri + 1) .

Em particular, o laplaciano possui autovalores no quadrado de multiplicidade arbitrariamente grande.¤

O comportamento exibido pelo laplaciano no quadrado nos Exemplos 8 e 9 nao e tıpico, no entanto.Em [Uhlenbeck1] e [Uhlenbeck2], Uhlenbeck mostrou que na maioria das regioes (no sentido generico), osautovalores do laplaciano sao todos simples, os conjuntos nodais das autofuncoes sao de fato hiperfıciesque nao se autointerceptam e os pontos crıticos das autofuncoes sao maximos ou mınimos nao-degenerados(as autofuncoes sao funcoes de Morse). Assim, dada qualquer regiao, existem perturbacoes suficientementepequenas que a transformarao em uma regiao com estas propriedades, ou seja, autovalores multiplos setornarao distintos e cruzamentos das linhas nodais desaparecerao.

Capıtulo 2

Metodo de Diferencas Finitas

2.1 O Caso Unidimensional

Nesta secao, desenvolveremos um metodo numerico de diferencas finitas para resolver o problema de Dirichletpara a equacao de Poisson em uma dimensao

−u′′ = f (x) em [0, a] ,u (0) = u (a) = 0,

e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano −u′′ = λu em [0, a] ,

u (0) = u (a) = 0.

2.1.1 Series de Taylor e Diferencas Finitas em Uma Dimensao

Seja ∆x > 0. Considere as seguintes expansoes de Taylor de uma funcao u em torno de um ponto x0,respectivamente a direita e a esquerda de x0:

u(x0 + ∆x) = u(x0) + u′(x0)∆x +12!

u′′(x0)∆x2 +13!

u′′′(x0)∆x3 + . . . , (2.1)

u(x0 −∆x) = u(x0)− u′(x0)∆x +12!

u′′(x0)∆x2 − 13!

u′′′(x0)∆x3 + . . . (2.2)

Daı,

u′(x0) =u(x0 + ∆x)− u(x0)

∆x− 1

2!u′′(x0)∆x− 1

3!u′′′(x0)∆x2 − . . . ,

u′(x0) =u(x0)− u(x0 −∆x)

∆x+

12!

u′′(x0)∆x− 13!

u′′′(x0)∆x2 + . . .

Isso fornece duas aproximacoes possıveis para a primeira derivada u′(x0) de u em x0:

u′(x0) ≈ u(x0 + ∆x)− u(x0)∆x

, (2.3)

u′(x0) ≈ u(x0)− u(x0 −∆x)∆x

. (2.4)

A primeira e chamada uma diferenca progressiva e a segunda e uma diferenca regressiva. Pela Formulade Taylor com Resto, o erro destas aproximacoes e dado por

ε = ±12u′′(ξ)∆x = O(∆x),

39


onde x0 6 ξ 6 x0 + ∆x no primeiro caso, e x0 −∆x 6 ξ 6 x0 no segundo caso.Por outro lado, se subtrairmos (2.2) de (2.1), obtemos

u′(x0) =u(x0 + ∆x)− u(x0 −∆x)

2∆x− 1

3!u′′′(x0)∆x2 − 1

5!u(5)(x0)∆x4 − . . .

o que da uma outra aproximacao possıvel para a primeira derivada u′(x0) de u em x0:

u′(x0) ≈ u(x0 + ∆x)− u(x0 −∆x)2∆x

(2.5)

com erroε = −1

6u′′′(ξ)∆x2 = O(∆x2),

para algum x0−∆x 6 ξ 6 x0 +∆x. Esta aproximacao por diferenca finita e chamada diferenca centrada.Ela e uma melhor aproximacao que as aproximacoes laterais (progressiva e regressiva).

Se, ao inves, adicionarmos (2.1) e (2.2), obtemos

u′′(x0) =u(x0 + ∆x) + u(x0 −∆x)− 2u(x0)

∆x2− 2

4!u(4)(x0)∆x2 − 2

5!u(6)(x0)∆x4 − . . .

o que fornece uma aproximacao para a derivada segunda u′′(x0) de u em x0:

u′′(x0) ≈ u(x0 + ∆x) + u(x0 −∆x)− 2u(x0)∆x2

(2.6)

com erroε = − 1

12u(4)(ξ)∆x2 = O(∆x2),

onde x0 − ∆x 6 ξ 6 x0 + ∆x. Esta aproximacao e tambem chamada uma diferenca centrada para aderivada segunda.

2.1.2 Discretizacao

Dividimos o intervalo [0, a] em n subintervalos de comprimento ∆x = a/n atraves de n− 1 pontos interioresuniformemente espacados:

x0 = 0, x1 = ∆x, x2 = 2∆x, . . . , xn−1 = (n− 1) ∆x, xn = n∆x = a,

de modo que [0, a] = [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−1, xn]. Introduzimos a notacao:

ui = u(xi),fi = f (xi) .

Esta e uma discretizacao uniforme do intervalo [0, a]. Uma vez discretizado o domınio da equacao diferencialparcial, procedemos a discretizacao desta. Usando diferencas centradas para cada ponto interior xi, 1 6 i 6n− 1, temos

−ui−1 + 2ui − ui+1

∆x2= fi. (2.7)

Para os pontos de fronteira, a condicao de Dirichlet implica simplesmente que

u0 = un = 0. (2.8)


Portanto, para encontrar a solucao discretizada temos que resolver o sistema linear com n − 1 equacoes an− 1 incognitas:

∆x−2 (2u1 + u2) = f1

∆x−2 (−u1 + 2u2 − u3) = f2

...∆x−2 (−un−3 + 2un−2 − un−1) = f2

∆x−2 (−un−2 + 2un−1) = fn−1

,

ou seja,

1∆x2

2 −1−1 2 −1

−1. . . . . .. . . . . . −1

−1 2 −1−1 2

u1

u2

...

...un−2

un−1

=

f1

f2

...

...fn−2

fn−1

.

Esta e uma matriz tridiagonal simetrica, esparsa. Alem disso, como veremos na proxima subsecao, ela epositiva definida (isto e, seus autovalores sao positivos) e portanto possui uma inversa, o que garante aexistencia e unicidade da solucao. Dada sua simplicidade, ela pode ser resolvida por eliminacao gaussianaou sua inversa pode ser efetivamente calculada. Por exemplo, para n = 4, 5, 6 temos

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

−1

=

1 12

13

0 1 23

0 0 1

12 0 00 2

3 00 0 3

4

1 0 012 1 013

23 1

=

14

3 2 12 4 21 2 3

,

2 −1 0 0−1 2 −1 0

0 −1 2 −10 0 −1 2

−1

=

1 12

13

14

0 1 23

24

0 0 1 34

0 0 0 1

12 0 0 00 2

3 0 00 0 3

4 00 0 0 4

5

1 0 0 012 1 0 013

23 1 0

14

24

34 1

=

15

4 3 2 13 6 4 22 4 6 31 2 3 4

2 −1 0 0 0−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 00 0 −1 2 −10 0 0 −1 2

−1

=

1 12

13

14

15

0 1 23

24

25

0 0 1 34

35

0 0 0 1 45

0 0 0 0 1

12 0 0 0 00 2

3 0 0 00 0 3

4 0 00 0 0 4

5 00 0 0 0 5

6

1 0 0 0 012 1 0 0 013

23 1 0 0

14

12

34 1 0

15

25

35

45 1

=16

5 4 3 2 14 8 6 4 23 6 9 6 32 4 6 8 41 2 3 4 5

.

A forma da inversa no caso geral pode ser facilmente adivinhada.


2.1.3 Resolucao Numerica do Problema de Autovalor Unidimensional

Os autovalores de Dirichlet do laplaciano em [0, a] devem ser aproximados pelos autovalores da matriz(n− 1)× (n− 1)

A =1

∆x2

2 −1−1 2 −1

−1. . . . . .. . . . . . −1

−1 2 −1−1 2

quando n →∞ e correspondentemente ∆x → 0.Lembrando que as autofuncoes de Dirichlet do laplaciano no intervalo [0, a] sao as funcoes

Uj (x) = senjπx

a,

este fato sugere que os autovetores uj da matriz A sao os vetores de coordenadas

Uj (x1) , Uj (x2) , . . . , Uj (xn−2) , Uj (xn−1) = Uj (∆x) , Uj (2∆x) , . . . , Uj ((n− 2) ∆x) , Uj ((n− 1) ∆x) ,

ou seja, como ∆x = a/n, os vetores12

sinθ

2= cos θ

uj =(

senjπ

n, sen

2jπ

n, . . . , sen

(n− 2) jπ

n, sen

(n− 1) jπ

n

).

Usando identidades trigonometricas, vamos verificar que isso de fato acontece:

2.1 Lema. Os n− 1 autovalores da matriz A sao

λj =2

∆x2

(1− cos

jπ

n

)=

4∆x2

sen2 jπ

2n, j = 1, . . . , n− 1, (2.9)

e os autovetores correspondentes sao

uj =(

senjπ

n, sen

2jπ

n, . . . , sen

(n− 2) jπ

n, sen

(n− 1) jπ

n

), j = 1, . . . , n− 1. (2.10)


Prova. Temos

2 −1−1 2 −1

−1. . . . . .. . . . . . −1

−1 2 −1−1 2

senjπ

n

sen2jπ

n...

sen(n− 2) jπ

n

sen(n− 1) jπ

n

=

2 senjπ

n− sen

2jπ

n

− senjπ

n+ 2 sen

2jπ

n− sen

3jπ

n...

− sen(n− 3) jπ

n+ 2 sen

(n− 2) jπ

n− sen

(n− 1) jπ

n

− sen(n− 2) jπ

n+ 2 sen

(n− 1) jπ

n

= 2(

1− cosjπ

n

)

senjπ

n

sen2jπ

n...

sen(n− 2) jπ

n

sen(n− 1) jπ

n

,

pois

2 senjπ

n− sen

2jπ

n= 2 sen

jπ

n− 2 sen

jπ

ncos

jπ

n= 2

(1− cos

jπ

n

)sen

jπ

n,

− sen(n− k − 1) jπ

n+ 2 sen

(n− k) jπ

n− sen

(n− k + 1) jπ

n

= − sen[(n− k) jπ

n− jπ

n

]+ 2 sen

(n− k) jπ

n− sen

[(n− k) jπ

n+

jπ

n

]

= − sen(n− k) jπ

ncos

jπ

n+ cos

(n− k) jπ

nsen

jπ

n+ 2 sen

(n− k) jπ

n

− sen(n− k) jπ

ncos

jπ

n− cos

(n− k) jπ

nsen

jπ

n

= 2(

1− cosjπ

n

)sen

(n− k) jπ

n,

e

− sen(n− 2) jπ

n+ 2 sen

(n− 1) jπ

n

= − sen[(n− 1) jπ

n− jπ

n

]+ 2 sen

(n− 1) jπ

n

= − sen(n− 1) jπ

ncos

jπ

n+ cos

(n− 1) jπ

nsen

jπ

n+ 2 sen

(n− 1) jπ

n

= − sen(n− 1) jπ

ncos

jπ

n− sen

(n− 1) jπ

ncos

jπ

n+ 2 sen

(n− 1) jπ

n

= 2(

1− cosjπ

n

)sen

(n− 1) jπ

n,

onde na penultima identidade usamos o fato que

cos(n− 1) jπ

nsen

jπ

n= − sen

(n− 1) jπ

ncos

jπ

n


porque

0 = sen jπ = sen[(n− 1) jπ

n+

jπ

n

]= sen

(n− 1) jπ

ncos

jπ

n+ cos

(n− 1) jπ

nsen

jπ

n.

¥Os autovalores de A sao positivos, portanto A e uma matriz positiva definida. Observe que, fixado j, se n earbitrariamente grande entao

cosjπ

n≈ 1− j2π2

2n2,

pois o desenvolvimento em serie de Taylor da funcao cosseno em torno da origem e

cosx = 1− 12x2 + O

(x3

);

tomando x = jπ/n para n suficientemente grande e desprezando os termos de terceira ordem, obtemos aaproximacao acima. Daı,

2∆x2

(1− cos

jπ

n

)=

2n2

a2

(1− cos

jπ

n

)≈ 2n2

a2

(1−

[1− j2π2

2n2

])=

j2π2

a2,

de forma que os menores autovalores da matriz A sao uma boa aproximacao para os menores autovalores deDirichlet do laplaciano no intervalo [0, a]. Ja o maior autovalor da matriz A e

λn−1 =2

∆x2

(1− cos

(n− 1)π

n

)=

2n2

a2

(1− cos

(n− 1)π

n

)≈ 4n2

a2,

que nao e uma boa aproximacao para um autovalor do laplaciano. Vemos que se aumentarmos o numero depontos de discretizacao (malha mais refinada) obteremos melhores aproximacoes e uma quantidade maior deautovalores proximos aos autovalores do laplaciano. Para comparar, veja a tabela a seguir para os autovaloresdo laplaciano no intervalo [0, π]; na primeira coluna temos os autovalores exatos do laplaciano, enquanto que

na demais colunas os autovalores da matriz A, λj =2n2

π2

(1− cos

jπ

n

), com a linha superior indicando o

numero n de subintervalos na malhan = 11 n = 21 n = 31 n = 51 n = 101 n = 1001

1 0.993 221 21 0.998 136 38 0.999 144 44 0.999 683 82 0.999 919 37 0.999 999 184 3.892 419 95 3.970 248 82 3.986 325 21 3.994 943 16 3.998 710 15 3.999 986 879 8.462 720 39 8.849 945 24 8.930 889 79 8.974 415 97 8.993 471 18 8.999 933 5116 14.333 863 96 15.528 221 28 15.782 100 25 15.919 213 41 15.979 370 36 15.999 789 8725 21.030 205 54 23.855 895 28 24.469 653 89 24.802 991 47 24.949 649 29 24.999 486 9936 28.009 247 34 33.646 940 78 34.904 404 68 35.592 050 94 35.895 629 79 35.998 936 2249 34.705 588 92 44.682 641 99 46.979 277 93 48.245 465 23 48.806 722 35 48.998 029 2364 40.576 732 50 56.716 479 58 60.570 369 11 62.715 235 6 63.670 436 30 63.996 637 9781 45.147 032 93 69.479 637 52 75.538 215 24 78.946 473 26 80.472 391 97 80.994 614 71100 48.046 231 68 82.687 007 94 91.729 225 95 96.877 607 56 99.196 334 56 99.991 792 02

2.2 O Caso Bidimensional

Nesta secao, desenvolveremos um metodo numerico de diferencas finitas para resolver o problema de Dirichletpara a equacao de Poisson no retangulo (0, a)× (0, b)

−∆u = f (x, y) em (0, a)× (0, b) ,u = 0 sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) ,

e para o problema de autovalor de Dirichlet para o laplaciano no retangulo −∆u = λu em (0, a)× (0, b) ,

u = 0 sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) .


2.2.1 A Formula dos Cinco Pontos

Vamos estabelecer alguma notacao. Denote

Ω = (0, a)× (0, b) =(x, y) ∈ R2 : 0 < x < a, 0 < y < b

.

Ao discretizar Ω atraves dos pontos

(xi, yj) = (i∆x, j∆y) , 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m

onde∆x =

a

n, ∆y =

b

m,

substituımos o domınio Ω pela malha (ou gride) uniforme

Ωd = (x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 1 6 i 6 n− 1, 1 6 j 6 m− 1 .

Sua fronteira discretizada e o conjunto

∂Ωd = (x, y) ∈ ∂Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m ,

de forma queΩd =

(x, y) ∈ Ω : x = i∆x, y = j∆y, 0 6 i 6 n, 0 6 j 6 m

.

A equacao de Poisson−uxx − uyy = f (x, y)

pode ser agora discretizada. Denotamos

ui,j = u (xi, yj) ,

fi,j = f (xi, yj) .

Aproximamos cada derivada parcial de segunda ordem pela sua diferenca centrada, obtendo

−uxx ≈ −ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j

∆x2,

−uyy ≈ −ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1

∆y2.

Portanto, a equacao de Poisson discretizada toma a forma

−ui−1,j + 2ui,j − ui+1,j

∆x2+−ui,j−1 + 2ui,j − ui,j+1

∆y2= fi,j . (2.11)

Como a funcao u e calculada em cinco pontos, esta equacao e chamada a formula dos cinco pontos.Para cada ponto interior da malha obtemos uma equacao, logo temos um sistema linear de (n− 1) (m− 1)

equacoes com o mesmo numero de incognitas. Diferente do caso unidimensional, no entanto, nao existe umamaneira natural de ordenar os pontos da malha, logo nao podemos obter imediatamente uma representacaomatricial para o problema discretizado. Precisamos antes escolher uma ordenacao para os pontos da malha,e como existem varias ordenacoes possıveis, existem varias matrizes associadas.

Talvez a mais simples ordenacao e a ordem lexicografica induzida de Z2. Nesta ordem, os pontos damalha sao percorridos linha por linha, da esquerda para a direita, de baixo para cima:

u1,1, u2,1, . . . , un−1,1, u1,2, u2,2, . . . , un−1,2, . . . . . . , u1,m−1, u2,m−1, . . . , un−1,m−1.


Neste caso, a matriz associada ao sistema linear e uma matriz (n− 1) (m− 1) × (n− 1) (m− 1) que podeser escrita como uma matriz de (m− 1)× (m− 1) blocos de dimensao (n− 1)× (n− 1) na forma

A =

B − 1∆y2

I

− 1∆y2

I B − 1∆y2

I

− 1∆y2

I. . . . . .

. . . . . . − 1∆y2

I

− 1∆y2

I B − 1∆y2

I

− 1∆y2

I B

(m−1)×(m−1)

onde I e a matriz identidade (n− 1)× (n− 1) e B e a matriz (n− 1)× (n− 1) dada por

2(

1∆x2

+1

∆y2

)− 1

∆x2

− 1∆x2

2(

1∆x2

+1

∆y2

)− 1

∆x2

− 1∆x2

. . . . . .

. . . . . . − 1∆x2

− 1∆x2

2(

1∆x2

+1

∆y2

)− 1

∆x2

− 1∆x2

2(

1∆x2

+1

∆y2

)

(n−1)×(n−1)

Observe que

aii = 2(

1∆x2

+1

∆y2

)

para todo 1 6 i 6 (n− 1) (m− 1), enquanto que

aij = − 1∆y2

se o ponto j e vizinho a esquerda ou a direita do ponto i e

aij = − 1∆x2

se o ponto j e vizinho acima ou abaixo do ponto i. Por exemplo, no caso especial ∆x = ∆y, se n = 4 e m = 6


(ou seja 3× 5 = 15 pontos internos na malha e uma matriz 15× 15), temos

A =1

∆x2

4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0−1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 00 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 −1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

Observe que a matriz A e uma matriz simetrica, pentadiagonal e esparsa.

2.2.2 Existencia e Unicidade da Solucao Discreta – Autovalores do ProblemaBidimensional

Denotaremos por ud a funcao u|Ωd, isto e, ud e a discretizacao da funcao u no domınio discretizado Ωd.

Vamos definir o operador laplaciano discreto obtido a partir da formula dos cinco pontos por

−∆dud = −(

ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j

∆x2+

ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1

∆y2

). (2.12)

de modo que a discretizacao do problema −∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

e o problema −∆dud = fd em Ωd,ud = 0 sobre ∂Ωd.

(2.13)

Para estabelecer a existencia e unicidade da solucao discreta, provaremos que a matriz de discretizacao A,que e uma matriz simetrica, e tambem uma matriz positiva definida, pois isso implica em particular que Ae invertıvel.

Lembrando que as autofuncoes de Dirichlet do laplaciano no retangulo [0, a]× [0, b] sao as funcoes

Ukl (x, y) = senkπx

asen

lπy

b,

este fato sugere que os autovetores ukl da matriz A na ordem lexicografica sao os vetores de coordenadas

Ukl (x1, y1) , Ukl (x2, y1) , . . . , Ukl (xn−1, y1) ,

Ukl (x1, y2) , Ukl (x2, y2) , . . . , Ukl (xn−1, y2) ,

...Ukl (x1, ym−1) , Ukl (x2, ym−1) , . . . , Ukl (xn−1, ym−1)


= Ukl (∆x, ∆y) , Ukl (2∆x, ∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x, ∆y) ,

Ukl (∆x, 2∆y) , Ukl (2∆x, 2∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x, 2∆y) ,

...Ukl (∆x, (m− 1)∆y) , Ukl (2∆x, (m− 1)∆y) , . . . , Ukl ((n− 1)∆x, (m− 1)∆y) ,

ou seja, como ∆x = a/n e ∆y = b/m, os vetores

ukl =(

senkπ

nsen

lπ

m, sen

2kπ

nsen

lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

lπ

m,

senkπ

nsen

2lπ

m, sen

2kπ

nsen

2lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

2lπ

m,

. . . ,

senkπ

nsen

(m− 1) lπ

m, sen

2kπ

nsen

(m− 1) lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

(m− 1) lπ

m

).

2.2 Lema. Os (n− 1)× (m− 1) autovalores da matriz A sao

λkl = 2[

1∆x2

(1− cos

kπ

n

)+

1∆y2

(1− cos

lπ

m

)]= 4

(1

∆x2sen2 kπ

2n+

1∆y2

sen2 lπ

2m

), (2.14)

k = 1, . . . , n− 1, l = 1, . . . ,m− 1, e os autovetores correspondentes sao

ukl =(

senkπ

nsen

lπ

m, sen

2kπ

nsen

lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

lπ

m,

senkπ

nsen

2lπ

m, sen

2kπ

nsen

2lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

2lπ

m, (2.15)

. . . ,

senkπ

nsen

(m− 1) lπ

m, sen

2kπ

nsen

(m− 1) lπ

m, . . . , sen

(n− 1) kπ

nsen

(m− 1) lπ

m

),

k = 1, . . . , n− 1, l = 1, . . . , m− 1.

Prova. Embora a demonstracao deste lema possa ser feita de maneira analoga a do Lema 2.1, usandoidentidades trigonometricas, daremos uma demonstracao diferente. Lembrando que as autofuncoes e osautovalores de Dirichlet do laplaciano no retangulo sao facilmente obtidos atraves do metodo de separacaode variaveis, encontraremos os autovalores da matriz A usando um metodo de separacao de variaveis discretopara achar os autovalores do laplaciano discreto

−(

ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j

∆x2+

ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1

∆y2

)= λui,j . (2.16)

Em particular, este metodo nao depende da maneira como os pontos da malha sao ordenados (nao dependeda matriz A usada para representar o laplaciano discreto). Como no metodo de separacao de variaveiscontınuo, assumimos que as solucoes da equacao discreta acima sao produtos da forma

ui,j = F (i)G (j) , (2.17)

onde F e G sao funcoes de uma variavel inteira. Substituindo esta expressao na equacao de Helmholtzdiscreta, obtemos

F (i− 1)G (j)− 2F (i)G (j) + F (i + 1) G (j)∆x2

+F (i) G (j − 1)− 2F (i) G (j) + F (i)G (j + 1)

∆y2= −λF (i)G (j) .


Dividindo esta equacao por F (i)G (j), segue que

F (i− 1)− 2F (i) + F (i + 1)∆x2F (i)

+G (j − 1)− 2G (j) + G (j + 1)

∆y2G (j)= −λ.

Separando as variaveis, concluımos que cada um dos quocientes acima e independente de i ou de j, isto e,eles sao constantes:

F (i− 1)− 2F (i) + F (i + 1)F (i)

= A, (2.18)

G (j − 1)− 2G (j) + G (j + 1)G (j)

= B, (2.19)

onde as constantes α, β estao relacionadas pela identidade

A

∆x2+

B

∆y2= −λ. (2.20)

Estas equacoes podem ser escritas como formulas de recorrencia (analogas as equacoes diferenciais ordinariasobtidas no metodo de separacao de variaveis contınuo)

F (i + 1)− (A + 2) F (i) + F (i− 1) = 0,

G (j − 1)− (B + 2) G (j) + G (j + 1) = 0.

Para resolve-las, e mais conveniente trabalhar com as constantes

2α = A + 2, 2β = B + 2.

Desta forma, as equacoes para F e G tornam-se

F (i− 1)− 2αF (i) + F (i + 1) = 0, (2.21)G (j − 1)− 2βG (j) + G (j + 1) = 0. (2.22)

Observe que

λ = 2(

1− α

∆x2+

1− β

∆y2

). (2.23)

Vamos resolver a equacao para F , ja que a equacao para G e completamente analoga. Substituindo em(2.21) uma solucao da forma

F (i) = zi (2.24)

obtemoszi−1 − 2αzi + zi+1 = 0,

donde, dividindo por zi−1 extraımos a equacao quadratica (analoga a equacao indicial)

z2 − 2αz + 1 = 0. (2.25)

As duas raızes saoz± = α±

√α2 − 1,

com z+ + z− = 2α e z+z− = 1. Portanto, a solucao geral para a equacao (2.21) e

F (i) = c1zi+ + c2z

i−

para algumas constantes c1, c2. Para determinarmos estas constantes e tambem α, aplicamos as condicoesde fronteira, que implicam

F (0) = F (n) = 0.


A primeira destas por sua vez implica que c1 = −c2, logo

F (i) = c(zi+ − zi

−). (2.26)

Como a equacao para F e homogenea, a constante c e arbitraria. Aplicando a segunda, segue que

zn+ = zn

−,

ou, como z+z− = 1,z2n+ = 1

Consequentemente, z+ e uma 2n-esima raiz complexa de 1:

z+ = eijπ/n (2.27)

para algum inteiro 1 6 k 6 2n − 1, onde i =√−1. Como z− = 1/z+, podemos restringir 0 6 k 6 n − 1 e

(2.26) produz todas as solucoes nao-triviais F de (2.21).Portanto,

α =z+ + z−

2=

eiπk/n + e−iπk/n

2= cos

kπ

n, 0 6 k 6 n− 1,

e, escolhendo c = 1/2,

Fk (i) = eiπki/n − e−iπki/n = senikπ

n.

Analogamente,

β = coslπ

m, 0 6 l 6 m− 1,

eGl (j) = sen

jlπ

m.

Segue que os autovalores sao

λkl = 2[

1∆x2

(1− cos

kπ

n

)+

1∆y2

(1− cos

lπ

m

)]

e as coordenadas das autofuncoes associadas sao dadas por

(ukl)i,j = Fk (i) Gl (j) = senikπ

nsen

jlπ

m.

¥

2.3 Teorema. (Existencia e Unicidade da Solucao Discreta) Seja Ω = (0, a) × (0, b). Entao o problemadiscretizado −∆dud = fd em Ωd,

ud = 0 sobre ∂Ωd,

possui uma unica solucao.

Prova. Pelo lema anterior, os autovalores da matriz simetrica A sao positivos, logo ela e uma matrizinvertıvel. ¥


2.2.3 Princıpio do Maximo Discreto

Para obter uma estimativa a priori para a equacao de Poisson discretizada, e com isso provar a convergenciada solucao discreta para a solucao classica, usaremos um princıpio do maximo discreto que enunciaremos eprovaremos nesta subsecao.

2.3 Lema. (Propriedade do Valor Medio) Se ∆dud = 0, entao para pontos interiores vale

ui,j =∆x2 (ui,j−1 + ui,j+1) + ∆y2 (ui−1,j + ui+1,j)

2 (∆x2 + ∆y2).

Em particular, se ∆x = ∆y, entao para pontos interiores vale

ui,j =ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j

4.

2.4 Teorema. (Princıpio do Maximo Discreto) Se ∆dud > 0, o maximo de ud em Ωd e atingido na fronteira∂Ωd; se o maximo de ud e atingido no interior, entao ud e constante.

Se ∆dud 6 0, o mınimo de ud em Ωd e atingido na fronteira ∂Ωd; se o mınimo de ud e atingido nointerior, entao ud e constante.

Prova. Primeiro provaremos para ∆x = ∆y, para ilustrar a analogia com o caso contınuo. ∆dud > 0 implica

ui,j 6 ui,j−1 + ui,j+1 + ui−1,j + ui+1,j

4.

Logo, um ponto interior e um maximo local, isto e,

ui,j > ui,j−1, ui,j+1, ui−1,j , ui+1,j

(ou seja, e um maximo em relacao aos seus quatro vizinhos), somente se cada um dos seus quatro vizinhosassume este mesmo valor maximo, e a desigualdade torna-se uma identidade. Aplicando este argumento atodos os pontos da malha, concluımos que ou nao existe um maximo interior, e portanto o maximo e atingidona fronteira, ou existe um maximo interior e todos os pontos da malha assumem o mesmo valor, isto e, ud econstante.

No caso geral ∆x 6= ∆y, se ∆dud > 0 temos(

1∆x2

+1

∆y2

)ui,j 6 1

2

(ui,j−1 + ui,j+1

∆y2+

ui−1,j + ui+1,j

∆x2

).

Se ui,j e um maximo local, segue que(

1∆x2

+1

∆y2

)ui,j 6 1

2

(ui,j + ui,j

∆y2+

ui,j + ui,j

∆x2

)=

12

(1

∆x2+

1∆y2

)ui,j ,

logo nenhum dos seus quatro vizinhos pode assumir um valor menor que ui,j , isto e, cada um dos quatrovizinhos assume o mesmo valor maximo e o argumento prossegue como no caso anterior. O caso ∆dud 6 0e provado considerando-se −ud. ¥

2.2.4 Convergencia da Solucao Discreta para a Solucao Classica

Por simplicidade, trabalharemos no quadrado unitario, isto e, Ω = (0, 1) × (0, 1). Consideraremos a normado maximo discreta para funcoes vd definidas no domınio discretizado Ωd:

‖vd‖∞ = max06i6n06j6m

|vi,j | .

Em primeiro lugar, obtemos uma estimativa a priori discreta (que tambem pode ser visto como um resultadode regularidade discreto) para solucoes da equacao de Poisson discreta com condicao de Dirichlet homogenea:


2.5 Lema. (Estimativa a Priori) Seja Ω = (0, 1)2. Seja ud uma solucao de −∆dud = fd em Ωd,

ud = 0 sobre ∂Ωd.

Entao‖ud‖∞ 6 1

8‖∆dud‖∞ . (2.28)

Prova. Considere a funcao

w (x, y) =14

[(x− 1

2

)2

+(

y − 12

)2]

e sua versao discretizada wd definida por

wi,j =14

[(xi − 1

2

)2

+(

yj − 12

)2]

. (2.29)

Entaow > 0 e ∆w = 1,

e tambemwd > 0 e ∆dwd = 1, (2.30)

pois

∆dwd =wi−1,j − 2wi,j + wi+1,j

∆x2+

wi,j−1 − 2wi,j + wi,j+1

∆y2

=14

[(xi−1 − 1

2

)2 +(yj − 1

2

)2 − 2(xi − 1

2

)2 − 2(yj − 1

2

)2 +(xi+1 − 1

2

)2 +(yj − 1

2

)2

∆x2

+

(xi − 1

2

)2 +(yj−1 − 1

2

)2 − 2(xi − 1

2

)2 − 2(yj − 1

2

)2 +(xi − 1

2

)2 +(yj+1 − 1

2

)2

∆y2

]

=14

[(xi−1 − 1

2

)2 − 2(xi − 1

2

)2 +(xi+1 − 1

2

)2

∆x2+

(yj−1 − 1

2

)2 − 2(yj − 1

2

)2 +(yj+1 − 1

2

)2

∆y2

]

=14

[(xi −∆x− 1

2

)2 − 2(xi − 1

2

)2 +(xi + ∆x− 1

2

)2

∆x2+

(yj −∆y − 1

2

)2 − 2(yj − 1

2

)2 +(yj + ∆y − 1

2

)2

∆y2

]

=14

[(x2

i + ∆x2 + 14 − 2xi∆x− xi + ∆x

)− 2(x2

i − xi + 14

)+

(x2

i + ∆x2 + 14 + 2xi∆x− xi −∆x

)

∆x2

+

(y2

j + ∆y2 + 14 − 2yj∆y − yj + ∆y

)− 2(y2

j − yj + 14

)+

(y2

j + ∆y2 + 14 + 2yj∆y − yj −∆y

)

∆y2

]

=14

(2∆x2

∆x2+

2∆y2

∆y2

)= 1.

Considere agora a funcaoud − ‖∆dud‖∞ wd. (2.31)

Temos entao

∆d (ud − ‖∆dud‖∞ wd) = ∆dud − ‖∆dud‖∞∆dwd

= ∆dud − ‖∆dud‖∞6 0.


Segue do Princıpio do Maximo Discreto que a funcao ud − ‖∆dud‖∞ wd assume o seu mınimo na fronteira.Este ultimo e igual a −‖∆dud‖∞max∂Ωd

wd. Por sua vez, o maximo de wd na fronteira e menor ou igual aomaximo de w em ∂Ω, dado por

max06x61

14

(x− 1

2

)2

= max06x61

14

(y − 1

2

)2

=18.

Portanto, concluımos que

ui,j > ui,j − ‖∆dud‖∞ wi,j > −18‖∆dud‖∞ (2.32)

para todos i, j. Analogamente,∆d (ud + ‖∆dud‖∞ wd) > 0

e a funcao ud + ‖∆dud‖∞ wd assume o seu maximo na fronteira, igual a ‖∆dud‖∞max∂Ωdwd 6 1

8a, donde

ui,j 6 ui,j − ‖∆dud‖∞ wi,j 6 18‖∆dud‖∞ (2.33)

para todos i, j. Reunindo as duas desigualdades, segue que

|ui,j | 6 18‖∆dud‖∞

para todos i, j, o que conclui a demonstracao. ¥

2.6 Teorema. Seja Ω = (0, 1)2. Sejam u ∈ C4(Ω

)uma solucao classica para o problema de Dirichlet

−∆u = f em Ω,u = 0 sobre ∂Ω,

e vd uma solucao do correspondente problema discretizado −∆dvd = fd em Ωd,

vd = 0 sobre ∂Ωd.

Entao existe uma constante C > 0 independente de u tal que

‖ud − vd‖∞ 6 C∥∥D4u

∥∥L∞(Ω)

(∆x2 + ∆y2

). (2.34)

Prova. A hipotese f ∈ C2,α(Ω

)garante que u ∈ C4

(Ω

). Lembre-se que

∥∥D4u∥∥

L∞(Ω)= sup

(x,y)∈Ωp+q=4

∣∣∣∣∂4u

∂xp∂yq(x, y)

∣∣∣∣ .

Pela Formula de Taylor,

∂2u

∂x2(xi, yj) =

u(xi −∆x, yj)− 2u(xi, yj) + u(xi + ∆x, yj)∆x2

− 24!

∂4u

∂x4(xi, yj)∆x2 − 2

5!∂6u

∂x6(xi, yj)∆x4 − . . .

=ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j

∆x2− 2

4!∂4u

∂x4(xi, yj)∆x2 − 2

5!∂6u

∂x6(xi, yj)∆x4 − . . . ,

∂2u

∂y2(xi, yj) =

u(xi, yj −∆y)− 2u(xi, yj) + u(xi, yj + ∆y)∆y2

− 24!

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y2 − 2

5!∂6u

∂y6(xi, yj)∆y4 − . . .

=ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1

∆y2− 2

4!∂4u

∂y4(xi, yj)∆y2 − 2

5!∂6u

∂y6(xi, yj)∆y4 − . . . ,


donde

∆u (xi, yj) = (∆dud)ij −13!

(∂4u

∂x4(xi, yj)∆x2 +

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y2

)+ O

(∆x4, ∆y4

). (2.35)

Como−∆u (xi, yj) = f (xi, yj) ,

temos que

− (∆dud)i,j = (fd)i,j −13!

(∂4u

∂x4(xi, yj)∆x2 +

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y2

)+ O

(∆x4, ∆y4

). (2.36)

Subtraindo desta equacao a equacao− (∆dvd)i,j = (fd)i,j ,

obtemos

− (∆dud −∆dvd)i,j = − 13!

(∂4u

∂x4(xi, yj)∆x2 +

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y2

)+ O

(∆x4, ∆y4

),

o que implica

‖∆d (ud − vd)‖∞ 6 13!

∥∥D4u∥∥

L∞(Ω)

(∆x2 + ∆y2

)+ O

(∆x4, ∆y4

)

6 C∥∥D4u

∥∥L∞(Ω)

(∆x2 + ∆y2

).

Usando a estimativa a priori do lema anterior, obtemos finalmente o resultado desejado. ¥

Definicao. Dizemos que as solucoes do problema discretizado −∆dvd = fd em Ωd,

vd = 0 sobre ∂Ωd,

convergem para a solucao exata u do problema de Poisson −∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,

com relacao a norma ‖·‖ se‖ud − vd‖ → 0

quando ∆x, ∆y → 0. Dizemos que a convergencia e de ordem k (ou que o esquema de diferencasfinitas e convergente de ordem k) se

‖ud − vd‖ = O(∆xk,∆yk

).

O Teorema 2.6 diz que o esquema de diferencas finitas da formula de cinco pontos e um esquema convergentena norma do sup de ordem 2, se u ∈ C4

(Ω

). Maior regularidade da solucao u nao causa melhor convergencia

no metodo. Na verdade, a ordem de convergencia da formula de cinco pontos ainda e 2 mesmo sob hipotesesmais fracas sobre a regularidade de u: basta assumir u ∈ C3,1

(Ω

), ao inves de u ∈ C4

(Ω

). No entanto,

regularidade menor que esta em u afeta negativamente a ordem de convergencia da formula de cinco pontos.Em geral, pode-se provar que se u ∈ Ck,α

(Ω

), 2 6 k 6 4, entao existe uma constante C = C (k, α) tal que

‖ud − vd‖∞ 6 C(∆xk+α−2 + ∆yk+α−2

) ‖u‖Ck,α(Ω) . (2.37)

Para uma demonstracao destes resultados, veja [Hackbusch], pags. 60-61. Se quisermos uma melhor ordemde convergencia para as solucoes discretizadas, e necessario considerar outras forma de discretizar o laplacianoatraves de diferencas finitas. Isto sera feito na proxima secao.


2.3 Discretizacoes de Ordem Superior

Para obter esquemas de diferencas finitas com melhor ordem de convergencia, em geral e necessario acres-centar mais pontos na formula. O metodo dos coeficientes indeterminados e um metodo simples paraconstruir estes esquemas.

2.3.1 Caso Unidimensional

Vamos obter um esquema de diferencas finitas convergente de ordem 4 para o caso unidimensional. Oesquema envolvendo tres pontos, que obtivemos no inıcio do capıtulo atraves da aproximacao da derivadasegunda em um ponto por uma diferenca finita centrada (que envolve o ponto e seus dois vizinhos, a esquerdae a direita), e convergente de ordem 2 (isso que pode ser provado de maneira semelhante a como fizemos paraa formula de cinco pontos). Para obter um esquema com uma maior ordem de convergencia, acrescentamosmais dois pontos a formula de diferencas finitas do esquema, que denotaremos por δui:

δui = c1ui−2 + c2ui−1 + c3ui + c4ui+1 + c5ui+2. (2.38)

Cada termo tem sua expansao em serie de Taylor:

u(xi − 2∆x) = u(xi)− 2u′(xi)∆x +42!

u′′(xi)∆x2 − 83!

u′′′(xi)∆x3 +164!

u(4)(xi)∆x4 − 325!

u(5)(xi)∆x5 + O(∆x6

),

u(xi −∆x) = u(xi)− u′(xi)∆x +12!

u′′(xi)∆x2 − 13!

u′′′(xi)∆x3 +14!

u(4)(xi)∆x4 − 15!

u(5)(xi)∆x5 + O(∆x6

),

u(xi + ∆x) = u(xi) + u′(xi)∆x +12!

u′′(xi)∆x2 +13!

u′′′(xi)∆x3 +14!

u(4)(xi)∆x4 +15!

u(5)(xi)∆x5 + O(∆x6

),

u(xi + 2∆x) = u(xi) + 2u′(xi)∆x +42!

u′′(xi)∆x2 +83!

u′′′(xi)∆x3 +164!

u(4)(xi)∆x4 +325!

u(5)(xi)∆x5 + O(∆x6

).

Substituindo estas expressoes na formula acima, obtemos:

δui = (c1 + c2 + c3 + c4 + c5)u (xi)+ ∆x (−2c1 − c2 + c4 + 2c5)u′(xi)

+ ∆x2

(2c1 +

12c2 +

12c4 + 2c5

)u′′(xi)

+ ∆x3

(−4

3c1 − 1

6c2 +

16c4 +

43c5

)u′′′(xi)

+ ∆x4

(23c1 +

124

c2 +124

c4 +23c5

)u(4)(xi)

+ ∆x5

(− 4

15c1 − 1

120c2 +

1120

c4 +415

c5

)u(5)(xi)

+ O(∆x6

).

Como procuramos um esquema de diferencas finitas com ordem de convergencia maior que 2, queremos obteruma solucao nao-nula para o sistema

c1 + c2 + c3 + c4 + c5 = 0−2c1 − c2 + c4 + 2c5 = 0

2c1 +12c2 +

12c4 + 2c5 =

1∆x2

−43c1 − 1

6c2 +

16c4 +

43c5 = 0

23c1 +

124

c2 +124

c4 +23c5 = 0

;


isso implicaria em princıpio em um esquema com ordem de convergencia pelo menos igual a 3:

δui = u′′(xi) + O(∆x3

).

Como a matriz

1 1 1 1 1−2 −1 0 1 2

212

012

2

−43

−16

016

43

23

124

0124

23

tem determinante igual a 1, ela e invertıvel e o sistema possui a solucao unica

c1 = − 112

1∆x2

,

c2 =43

1∆x2

,

c3 = −52

1∆x2

c4 =43

1∆x2

,

c5 = − 112

1∆x2

.

Incidentalmente, esta solucao tambem implica

− 415

c1 − 1120

c2 +1

120c4 +

415

c5 = 0

o que permite obter um esquema com ordem de convergencia igual a 4:

δui = u′′(xi) + O(∆x4

),

aproximando a derivada segunda u′′ pela diferenca finita

u′′ =− 1

12ui−2 +

43ui−1 − 5

2ui +

43ui+1 − 1

12ui+2

∆x2

ou−u′′ =

ui−2 − 16ui−1 + 30ui − 16ui+1 + ui+2

12∆x2. (2.39)

2.3.2 Caso Bidimensional: A Formula dos Nove Pontos Compacta

Um esquema de ordem 4 para a equacao de Poisson em duas dimensoes e a formula de nove pontos compacta.Se buscassemos uma formula de nove pontos simplesmente a partir da formula de cinco pontos unidi-

mensional obtida na subsecao precedente (como obtivemos a formula de cinco pontos bidimensional a partirda formula de tres pontos unidimensional), escreverıamos

−∆dud =ui−2,j − 16ui−1,j + 30ui,j − 16ui+1,j + ui+2,j

12∆x2+

ui,j−2 − 16ui,j−1 + 30ui,j − 16ui,j+1 + ui,j+2

12∆y2,

(2.40)


que pode ser resumida na forma

−∆dud =

− 112∆y2

− 1612∆y2

− 112∆x2

− 1612∆x2

30(

112∆x2

+1

12∆y2

)− 16

12∆x2− 1

12∆x2

− 1612∆y2

− 112∆y2

.

Embora este esquema seja de fato de ordem 4, ele apresenta dificuldades para pontos interiores adjacentes afronteira do retangulo (por exemplo, se considerarmos o ponto (x1, y1), os pontos (x−1, y1) e (x1, y−1) estaofora do retangulo). Uma possibilidade para resolver este problema seria aplicar a formula dos cinco pontosnos pontos interiores adjacentes a fronteira e aplicar a formula dos nove pontos apenas nos pontos interioresmais distantes da fronteira. No entanto, como a formula de cinco pontos e de segunda ordem, a convergenciadeste metodo misto nao deve ser de ordem 4.

Vamos tentar encontrar uma formula de nove pontos compacta, em que os nove pontos estao dispostosem tres linhas e tres colunas, de modo que nao ha problemas em usa-la nos pontos interiores adjacentes afronteira. Aplicando o metodo dos coeficientes indeterminados, buscamos nove coeficientes para a diferencafinita

−∆dud = c1ui−1,j−1 + c2ui,j−1 + c3ui+1,j−1

+ c4ui−1,j + c5ui,j + c6ui+1,j (2.41)+ c7ui−1,j+1 + c8ui,j+1 + c9ui+1,j+1.

Observe a distribuicao dos nove pontos. Alem dos cinco usuais, foram acrescentados os quatro pontos queocupam as posicoes diagonais. Para os quatro pontos vizinhos horizontais ou verticais do ponto central, aformula de Taylor produz

u(xi −∆x, yj) = u(xi, yj)− ∂u

∂x(xi, yj)∆x +

12!

∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 − 1

3!∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 +

14!

∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4

− 15!

∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + O

(∆x6

)

u(xi + ∆x, yj) = u(xi, yj) +∂u

∂x(xi, yj)∆x +

12!

∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 +

13!

∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 +

14!

∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4

+15!

∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + O

(∆x6

)

u(xi, yj −∆y) = u(xi, yj)− ∂u

∂y(xi, yj)∆y +

12!

∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2 − 1

3!∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3 +

14!

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

− 15!

∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + O

(∆x6

)

u(xi, yj + ∆y) = u(xi, yj) +∂u

∂y(xi, yj)∆y +

12!

∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2 +

13!

∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3 +

14!

∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

+15!

∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + O

(∆x6, ∆y6

)


enquanto que para os quatro pontos diagonais temos

u(xi + ∆x, yj + ∆y)

= u(xi, yj) +[∂u

∂x(xi, yj)∆x +

∂u

∂y(xi, yj)∆y

]+

12!

[∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 + 2

∂2u

∂x∂y(xi, yj)∆x∆y +

∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2

]

+13!

[∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 + 3

∂3u

∂x2∂y(xi, yj)∆x2∆y + 3

∂3u

∂x∂y2(xi, yj)∆x∆y2 +

∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3

]

+14!

[∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4 + 4

∂4u

∂x3∂y(xi, yj)∆x3∆y + 6

∂4u

∂x∂y3(xi, yj)∆x2∆y2 + 4

∂3u


∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

]

+15!

[∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + 5

∂5u

∂x4∂y(xi, yj)∆x4∆y + 10

∂5u

∂x3∂y2(xi, yj)∆x3∆y2 + 10

∂5u

∂x∂y4(xi, yj)∆x2∆y3

+5∂5u


∂5u

∂y5(xi, yj)∆y5

]+ O

(∆x6, ∆y6

),

u(xi −∆x, yj −∆y)

= u(xi, yj)−[∂u

∂x(xi, yj)∆x +

∂u

∂y(xi, yj)∆y

]+

12!

[∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 + 2

∂2u


∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2

]

− 13!

[∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 + 3

∂3u

∂x2∂y(xi, yj)∆x2∆y + 3

∂3u


∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3

]

+14!

[∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4 + 4

∂4u

∂x3∂y(xi, yj)∆x3∆y + 6

∂4u

∂x∂y3(xi, yj)∆x2∆y2 + 4

∂3u


∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

]

− 15!

[∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + 5

∂5u

∂x4∂y(xi, yj)∆x4∆y + 10

∂5u

∂x3∂y2(xi, yj)∆x3∆y2 + 10

∂5u


+5∂5u


∂5u

∂y5(xi, yj)∆y5

]+ O

(∆x6

)

u(xi + ∆x, yj −∆y)

= u(xi, yj) +[∂u

∂x(xi, yj)∆x− ∂u

∂y(xi, yj)∆y

]

+12!

[∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 − 2

∂2u


∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2

]

+13!

[∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 − 3

∂3u

∂x2∂y(xi, yj)∆x2∆y + 3

∂3u

∂x∂y2(xi, yj)∆x∆y2 − ∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3

]

+14!

[∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4 − 4

∂4u

∂x3∂y(xi, yj)∆x3∆y + 6

∂4u

∂x∂y3(xi, yj)∆x2∆y2 − 4

∂3u


∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

]

+15!

[∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 − 5

∂5u

∂x4∂y(xi, yj)∆x4∆y + 10

∂5u

∂x3∂y2(xi, yj)∆x3∆y2 − 10

∂5u


+5∂5u

∂x∂y4(xi, yj)∆x∆y4 − ∂5u

∂y5(xi, yj)∆y5

]+ O

(∆x6, ∆y6

),


u(xi −∆x, yj + ∆y)

= u(xi, yj) +[−∂u

∂x(xi, yj)∆x +

∂u

∂y(xi, yj)∆y

]

+12!

[∂2u

∂x2(xi, yj)∆x2 − 2

∂2u


∂2u

∂y2(xi, yj)∆y2

]

+13!

[−∂3u

∂x3(xi, yj)∆x3 + 3

∂3u

∂x2∂y(xi, yj)∆x2∆y − 3

∂3u


∂3u

∂y3(xi, yj)∆y3

]

+14!

[∂4u

∂x4(xi, yj)∆x4 − 4

∂4u

∂x3∂y(xi, yj)∆x3∆y + 6

∂4u

∂x∂y3(xi, yj)∆x2∆y2 − 4

∂3u


∂4u

∂y4(xi, yj)∆y4

]

+15!

[−∂5u

∂x5(xi, yj)∆x5 + 5

∂5u

∂x4∂y(xi, yj)∆x4∆y − 10

∂5u

∂x3∂y2(xi, yj)∆x3∆y2 + 10

∂5u


−5∂5u


∂5u

∂y5(xi, yj)∆y5

]+ O

(∆x6, ∆y6

).

Substituindo estas expressoes na formula acima, obtemos:

−∆dud = (c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9)u (xi, yj)

+ ∆x (−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9)∂u

∂x(xi, yj)

+ ∆y (−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9)∂u

∂y(xi, yj)

+ ∆x2

(12c1 +

12c3 +

12c4 +

12c6 +

12c7 +

12c9

)∂2u

∂x2(xi, yj)

+ ∆x∆y (c1 − c3 − c7 + c9)∂2u

∂x∂y(xi, yj)

+ ∆y2

(12c1 +

12c2 +

12c3 +

12c7 +

12c8 +

12c9

)∂2u

∂y2(xi, yj)

+ ∆x3

(−1

6c1 +

16c3 − 1

6c4 +

16c6 − 1

6c7 +

16c9

)∂3u

∂x3(xi, yj)

+ ∆x2∆y

(−1

2c1 − 1

2c3 +

12c7 +

12c9

)∂3u

∂x2∂y(xi, yj)

+ ∆x∆y2

(−1

2c1 +

12c3 − 1

2c7 +

12c9

)∂3u

∂x∂y2(xi, yj)

+ ∆y3

(−1

6c1 − 1

6c2 − 1

6c3 +

16c7 +

16c8 +

16c9

)∂3u

∂y3(xi, yj)

+ ∆x4

(124

c1 +124

c3 +124

c4 +124

c6 +124

c7 +124

c9

)∂4u

∂x4(xi, yj)

+ ∆x3∆y

(16c1 − 1

6c3 − 1

6c7 +

16c9

)∂4u

∂x3∂y(xi, yj)

+ ∆x2∆y2

(14c1 +

14c3 +

14c7 +

14c9

)∂4u

∂x2∂y2(xi, yj)

+ ∆x∆y3

(16c1 − 1

6c3 − 1

6c7 +

16c9

)∂4u

∂x∂y3(xi, yj)

+ ∆y4

(124

c1 +124

c2 +124

c3 +124

c7 +124

c8 +124

c9

)∂4u

∂y4(xi, yj)


+ ∆x5

(− 1

120c1 +

1120

c3 − 1120

c4 +1

120c6 − 1

120c7 +

1120

c9

)∂5u

∂x5(xi, yj)

+ ∆x4∆y

(− 1

24c1 − 1

24c3 +

124

c7 +124

c9

)∂5u

∂x4∂y(xi, yj)

+ ∆x3∆y2

(− 1

12c1 +

112

c3 +112

c7 +112

c9

)∂5u

∂x3∂y2(xi, yj)

+ ∆x2∆y3

(− 1

12c1 − 1

12c3 − 1

12c7 +

112

c9

)∂5u

∂x2∂y3(xi, yj)

+ ∆x∆y4

(− 1

24c1 +

124

c3 − 124

c7 +124

c9

)∂5u

∂x∂y4(xi, yj)

+ ∆y5

(− 1

120c1 − 1

120c2 − 1

120c3 +

1120

c7 +1

120c8 +

1120

c9

)∂5u

∂y5(xi, yj)

Para obter um esquema com ordem de convergencia pelo menos igual a 3, precisarıamos obter uma solucaonao-nula para o sistema

c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 + c9 = 0−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0

c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9 =1

∆x2

c1 − c3 − c7 + c9 = 0

c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9 =1

∆y2

−c1 + c3 − c4 + c6 − c7 + c9 = 0−c1 − c3 + c7 + c9 = 0−c1 + c3 − c7 + c9 = 0−c1 − c2 − c3 + c7 + c8 + c9 = 0c1 + c3 + c4 + c6 + c7 + c9 = 0c1 − c3 − c7 + c9 = 0c1 + c3 + c7 + c9 = 0c1 − c3 − c7 + c9 = 0c1 + c2 + c3 + c7 + c8 + c9 = 0

Infelizmente este sistema nao tem solucao pois ele e inconsistente: a sexta e a ultima equacao sao incom-patıveis, assim como a quarta e a decima primeira. Portanto, nao existe uma formula de nove pontoscompacta tal que

−∆dud = −∆u + O(∆x3, ∆y3

).

No entanto, em 1975 o matematico e logico Rosser introduziu a seguinte formula de nove pontos compactano caso especial ∆x = ∆y (em [Rosser1]; veja tambem [Rosser2])

∆dud =ui−1,j−1 + 4ui,,j−1 + ui+1,j−1 + 4ui−1,j − 20ui,j + 4ui+1,j + ui−1,j+1 + 4ui,j+1 + ui+1,j+1

6∆x2, (2.42)

que pode ser resumida na forma

−∆dud =1

6∆x2

−1 −4 −1−4 20 −4−1 −4 −1

, (2.43)

a qual produz um esquema convergente de quarta ordem se a solucao u ∈ C6(Ω

)(ou mesmo se u ∈ C5,1

(Ω

)apenas) dependendo de como a funcao f e discretizada. Para entender como isso ocorre, observe que se


u ∈ C8(Ω

)a formula de Taylor produz

−∆dud = −∆u− ∆x2

12∆2u− ∆x4

360

[∂4

∂x4+ 4

∂4

∂x2∂y2+

∂4

∂y4

]∆u + O

(∆x6

)(2.44)

= −∆u− ∆x2

12∆f − ∆x4

360

[∂4

∂x4+ 4

∂4

∂x2∂y2+

∂4

∂y4

]f + O

(∆x6

). (2.45)

O ponto crucial aqui e que o erro e expresso em termos de −∆u e, consequentemente, por f . Ainda enecessario escolher uma discretizacao especial para f :

fd =fi,,j−1 + fi−1,j + 8fi,j + fi+1,j + fi,j+1

12(2.46)

ou

fd =112

11 8 1

1

. (2.47)

Usando a formula de Taylor para f , obtemos que esta discretizacao especial para f satisfaz

fd = f +∆x2

12∆f + O

(∆x4

). (2.48)

Somando esta estimativa com (2.45), e usando −∆dud = fd,−∆u = f , obtemos

−∆dud = −∆u + O(∆x4

)

Para este esquema, pode-se provar (veja [Hackbusch], pag. 64) que existe uma constante C > 0 tal que

‖ud − vd‖∞ 6 C∆x4 ‖u‖C6(Ω) ou ‖ud − vd‖∞ 6 C∆x4 ‖u‖C5,1(Ω) (2.49)

O esquema de Rosser tambem satisfaz o princıpio do maximo. Concluindo, vemos que uma maior regularidadeda solucao permite obter metodos de diferencas finitas com maior ordem de convergencia, embora esta naoseja uma tarefa simples.

2.4 Diferencas Finitas em Coordenadas Polares

Consideraremos nesta secao diferencas finitas em coordenadas polares para domınios com simetria radial.Consideraremos em detalhes os casos do disco e do anel. O primeiro caso inclui a origem no domınio dadefinicao, onde o laplaciano apresenta uma singularidade quando escrito em coordenadas polares, singulari-dade esta que nao existe no problema original, e esta particularidade deve ser tratada com cuidado para naoatrapalhar a ordem de convergencia do esquema obtido.

Considere a equacao de Poisson em coordenadas polares no disco Ω = [0, R)× [0, 2π) :

urr +1rur +

1r2

uθθ = f (r, θ) se 0 6 r < R e 0 < θ < 2π,

u (R, θ) = 0 se 0 6 θ 6 2π.

A solucao exata deste problema deve satisfazer a condicao de continuidade

u (r, 0) = u (r, 2π) para todo 0 6 r 6 R.

Embora esta condicao nao seja uma condicao de fronteira e aparece apenas por causa do sistema de coor-denadas utilizado, ela acaba funcionando como uma condicao de fronteira em muitos metodos numericos (e


mesmo analıticos), pois nao deixa de ser uma condicao na fronteira do retangulo (0, R)× (0, 2π).

∆r

∆θ

Discretizamos o disco atraves de uma malha polar

Ωd = (ri, θj) ∈ Ω : ri = i∆r, θj = j∆θ, 0 6 i 6 n− 1, 0 6 j 6 monde

∆r =R

n, ∆θ =

2π

m.

Sua fronteira discretizada e o conjunto

∂Ωd = (rn, θj) ∈ ∂Ω : rn = n∆r = R, θj = j∆θ, 0 6 j 6 m .

Discretizamos a equacao de Poisson da seguinte forma. Denotamos os valores das discretizacoes ud e fd

em pontos da malha por

ui,j = u (ri, θj) ,

fi,j = f (ri, θj) ,

entendendo que ui,j e fi,j devem satisfazer

u0,0 = u0,j e f0,0 = f0,j (2.50)

para todo 0 6 j 6 m, ja que existe apenas um ponto associado com i = 0 (a origem, correspondente a r = 0).Alem disso, pela condicao de continuidade, devemos ter tambem

ui,0 = ui,2π e fi,0 = fi,2π (2.51)

para todo 0 6 i 6 n. Usando uma diferenca centrada usual para derivadas segundas, o terceiro termo dolaplaciano em coordenadas polares pode ser aproximado para pontos interiores do disco por

(1r2

uθθ

)(ri, θj) ≈ 1

r2i

ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1

∆θ2. (2.52)

Para aproximar os primeiros dois termos, escrevemos

urr +1rur =

1r

(rur)r .

Se (ri, θj) e um ponto interior do disco diferente da origem (isto e, i 6= 0), podemos usar diferencas centradaspara a derivada primeira, tanto na primeira quanto na segunda aproximacoes a seguir, obtendo

1r

(rur)r (ri, θj) ≈ 1ri

(rur) (ri + ∆r/2, θj)− (rur) (ri −∆r/2, θj)2∆r/2

≈ 1ri

ri+1/2u (ri + ∆r, θj)− u (ri, θj)

∆r− ri−1/2

u (ri, θj)− u (ri −∆r, θj)∆r

∆r

=1ri

ri+1/2 (ui+1,j − ui,j)− ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)∆r2

. (2.53)


Portanto, a discretizacao da equacao de Poisson no disco para pontos interiores do disco diferentes da origeme

−[

1ri

ri+1/2 (ui+1,j − ui,j)− ri−1/2 (ui,j − ui−1,j)∆r2

+1r2i

ui,j−1 − 2ui,j − ui,j+1

∆θ2

]= fi,j (2.54)

para 1 6 i 6 n − 1 e 1 6 j 6 m − 1. Se j = 0, usando a condicao de continuidade que identifica o ponto(i, 0) com o ponto (i, n), substituımos ui,j−1 por ui,n−1e escrevemos

−[

1ri

ri+1/2 (ui+1,0 − ui,0)− ri−1/2 (ui,0 − ui−1,0)∆r2

+1r2i

ui,n−1 − 2ui,0 − ui,1

∆θ2

]= fi,0 (2.55)

para 1 6 i 6 n − 1. Como este esquema de diferencas finitas foi obtido atraves de diferencas centradas,ele deve ser de segunda ordem. No entanto, devemos ter cuidado ao discretizar a equacao de Poisson naorigem para preservar esta ordem de convergencia. Para isso, multiplicamos a equacao de Poisson por r eintegramos o resultado sobre um pequeno disco Dε centrado na origem de raio ε:

∫ 2π

0

∫ ε

0

fr drdθ =∫ 2π

0

∫ ε

0

r

[1r

(rur)r +1r2

uθθ

]drdθ

=∫ 2π

0

∫ ε

0

(rur)r drdθ +∫ ε

0

1r

∫ 2π

0

uθθ drdθ

=∫ 2π

0

[rur]ε0 dθ +

∫ ε

0

1r

[uθ]2π0 drdθ

= ε

∫ 2π

0

ur (ε, θ) dθ,

onde assumimos u ∈ C2 (Ω) de modo que

uθ (r, 0) = uθ (r, 2π)

para todo 0 6 r < R. Escolhendo ε = ∆r/2, discretizamos a equacao integral

∆r

2

∫ 2π

0

ur (∆r/2, θ) dθ =∫ 2π

0

∫ ∆r/2

0

fr drdθ

aproximando a derivada primeira ur (∆r/2, θ) = (ur)i+1/2,j por diferencas centradas e f por f (0) (pois ∆r

e suposto pequeno), de modo que

ur (∆r/2, θj) ≈ u1,j − u0,j

∆r,

∫ 2π

0

∫ ∆r/2

0

fr drdθ ≈ f (0)∫ 2π

0

∫ ∆r/2

0

r drdθ = 2πf (0)r2

2

∣∣∣∣∆r/2

0

=π

4f (0)∆r2,

e assim∆r

2

m−1∑

j=0

u1,j − u0,j

∆r∆θ =

π

4f (0)∆r2,

donde, como u0 := u0,j independe de j, segue que o valor de u na origem sera dado por

m∆θ

2u0 =

∆θ

2

m−1∑

j=0

u1,j − π

4f (0)∆r2,

ou, usando m∆θ = 2π,4u0

∆r2− 2∆θ

π∆r2

m−1∑

j=0

u1,j = f0. (2.56)


Para escrever essas diferencas finitas em forma matricial

Au = f ,

escolhemos ordenar os pontos da malha discretizada no retangulo polar (ri, θj) : 1 6 i 6 n− 1, 0 6 j 6 mpela ordem lexicografica em (θ, r) e colocando a origem antes de todos estes pontos:.

u = (u0, u1,0, u1,1, . . . , u1,m−1, u2,0, u2,1, . . . , u2,m−1, . . . . . . , un−1,0, un−1,1, . . . , un−1,m−1) . (2.57)

Observe que existem (n− 1)×m + 1 incognitas. Nesta ordenacao, segue que A tem a forma em blocos

A =

α0 ba B1 −β1I

−α2I B2 −β2I. . .

−α3I B3 −β3I. . . . . . . . .

−αn−2I Bn−2 −βn−2I−αn−1I Bn−1

, (2.58)

ondeα0 =

4∆r2

,

a =

−α1

...−α1

m×1

,

αi =1

∆r2

ri−1/2

ri, i = 1, . . . , n− 1,

βi =1

∆r2

ri+1/2

ri, i = 1, . . . , n− 2,

b =[ −β0 . . . −β0

]1×m

,

β0 =2π

∆θ

∆r2,

I = Im,

Bi =

γi −δi 0 −δi

−δi γi −δi

−δi γi −δi

. . . . . . . . .−δi γi −δi

−δi −δi γi

m×m

,

onde

γi =1ri

ri+1/2 + ri−1/2

∆r2+

2r2i

1∆θ2

,

δi =1r2i

1∆θ2

.


A matriz A em geral nao e simetrica. Por exemplo, no caso n = 4 e m = 5 ((n− 1)×m + 1 = 16) temos

α −β0 −β0 −β0 −β0 −β0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−α1 γ1 −δ1 0 0 −δ1 −β1 0 0 0 0 0 0 0 0 0−α1 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0 0 0−α1 0 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0 0−α1 0 0 −δ1 γ1 −δ1 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0 0−α1 −δ1 0 0 −δ1 γ1 0 0 0 0 −β1 0 0 0 0 0

0 −α2 0 0 0 0 γ2 −δ2 0 0 −δ2 −β2 0 0 0 00 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 0 0 00 0 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 0 00 0 0 0 −α2 0 0 0 −δ2 γ2 −δ2 0 0 0 −β2 00 0 0 0 0 −α2 −δ2 0 0 −δ2 γ2 0 0 0 0 −β2

0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 0 γ3 −δ3 0 0 −δ3

0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −α3 0 0 0 −δ3 γ3 −δ3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −α3 −δ3 0 0 −δ3 γ3

A primeira linha e a primeira coluna sao diferentes porque os pontos (0, j), j = 0, . . . ,m, sao realmente umunico ponto e este ponto e vizinho a todos os pontos (1, j), j = 0, . . . , m.

A matriz de discretizacao A no caso do anel sera um pouco mais simples, ja que ela sera igual a matrizde discretizacao no caso do disco menos a primeira linha e a primeira coluna.

2.5 Domınios Arbitrarios

Queremos agora discutir a resolucao numerica da equacao de Poisson atraves de diferencas finitas em umdomınio arbitrario.

Seja Ω ⊂ R2 um domınio arbitrario. Se sobrepusermos uma malha uniforme

M = (i∆x, j∆y) ∈ Ω : i ∈ Z e j ∈ Zsobre Ω, obtemos um domınio discretizado definido por

Ωd = (x, y) ∈ Ω : x/∆x ∈ Z e y/∆y ∈ Z . (2.59)

Esta e exatamente a maneira como discretizamos o retangulo. No entanto, o conjunto discretizado dospontos de fronteira ∂Ωd de um domınio arbitrario deve ser tratado de maneira diferente do retangulo, ja quea malha uniforme M em geral nao vai se sobrepor a fronteira de Ω, podendo nao possuir nenhum ponto emcomum com a fronteira ou um numero muito pequeno de pontos em poucas regioes da fronteira.

Uma maneira de tratar este problema e a seguinte. Para determinar se o ponto (xi, yj) ∈ Ωd e adjacentea “fronteira esquerda” de Ω, por exemplo, e ao mesmo tempo encontrar o seu vizinho a esquerda na fronteirase for o caso, basta verificar se o segmento

[xi −∆x, yj ] = (xi − t∆x, yj) : t ∈ [0, 1]esta inteiramente contido em Ω ou nao. Se nao estiver, entao (xi, yj) e um ponto interior adjacente a fronteirae existe um numero tW ∈ (0, 1) tal que

(xi − tW ∆x, yj) ∈ ∂Ω e (xi − t∆x, yj) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tW ). (2.60)

Este sera o vizinho a esquerda de (xi, yj) na fronteira discretizada ∂Ωd do domınio. Analogamente, ospontos vizinhos na fronteira discretizada a direita, abaixo e acima de pontos adjacentes a fronteira podemser encontrados; eles satisfazem, respectivamente,

(xi + tE∆x, yj) ∈ ∂Ω e (xi + t∆x, yj) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tE). (2.61)


(xi, yj − tS∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj − t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tS). (2.62)

(xi, yj + tN∆y) ∈ ∂Ω e (xi, yj + t∆y) ∈ Ω para todo t ∈ [0, tN ). (2.63)

(os subındices W,E, S, N correspondem aos quatro pontos cardeais oeste, leste, sul, norte em ingles). Defin-imos

∂Ωd = (x, y) ∈ ∂Ω : (x, y) satisfaz (2.60), (2.61), (2.62) ou (2.63) (2.64)

Dependendo da geometria de Ω e concebıvel que um ponto seja simultaneamente adjacente as “quatrofronteiras” de Ω, isto e, que ele tenha os seus quatro vizinhos em ∂Ωd. Alem disso, embora os pontosinteriores da malha estejam distribuıdos uniformemente, esta discretizacao da fronteira do domınio permiteque as vezes dois pontos da malha da fronteira estejam bem proximos um do outro em alguma regiao dafronteira e relativamente distantes em outras (isso ocorre mesmo em domınio regulares como um disco).

Para discretizar a equacao de Poisson nesta malha, observe que pela formula de Taylor temos, para pontosx− < x < x+,

u′′ (x) =2

x+ − x−

(u (x+)− u (x)

x+ − x− u (x)− u (x−)

x− x−

)+ r, (2.65)

onde

|r| 6 13

(x+ − x)2 + (x− x−)2

x+ − x−‖u‖C3([x−,x+]) 6 1

3max (x+ − x, x− x−) ‖u‖C3([x−,x+]) . (2.66)

De fato,

u(x−) = u(x)− u′(x) (x− x−) +12u′′(x) (x− x−)2 − 1

3!u′′′(ξ−) (x− x−)3 ,

u(x+) = u(x) + u′(x) (x+ − x) +12u′′(x) (x+ − x)2 +

13!

u′′′(ξ+) (x+ − x)3 ,

para alguns ξ− ∈ [x−, x] , ξ+ ∈ [x, x+], de modo que

−u (x)− u (x−)x− x−

= −u′(x) +12u′′(x) (x− x−)− 1

6u′′′(ξ−) (x− x−)2 ,

u (x+)− u (x)x+ − x

= u′(x) +12u′′(x) (x+ − x) +

16u′′′(ξ+) (x+ − x)2 ,

donde, somando as duas expressoes,

u (x+)− u (x)x+ − x

− u (x)− u (x−)x− x−

=12u′′(x) (x+ − x−) +

16

[u′′′(ξ+) (x+ − x)2 − u′′′(ξ−) (x− x−)2

].

Assim, podemos aproximar

u′′ (x) ≈ 2x+ − x−

(u (x+)− u (x)

x+ − x− u (x)− u (x−)

x− x−

)

Se x− = x−∆x e x+ = x + ∆x, obtemos a formula de diferencas centradas usual para a derivada segunda.Para aproximar o laplaciano atraves de uma formula de cinco pontos, usamos os quatro pontos vizinhos

(xi − tW ∆x, yj) , (xi + tE∆x, yj) , (xi, yj − tS∆y) , (xi, yj + tN∆y) , com t∗ ∈ (0, 1]


definindo o esquema de diferencas finitas de Shortley-Weller :

∆dud =2

(xi + tE∆x)− (xi − tW ∆x)

(u (xi + tE∆x, yj)− u (xi, yj)

(xi + tE∆x)− xi− u (xi, yj)− u (xi − tW ∆x, yj)

xi − (xi − tW ∆x)

)

+2

(yj + tN∆y)− (yj − tS∆y)

(u (xi, yj + tN∆y)− u (xi, yj)

(yj + tN∆y)− yj− u (xi, yj)− u (xi, yj − tS∆y)

yj − (yj − tS∆y)

)

=2

(tE + tW )∆x

(ui+tE∆x,j − ui,j

tE∆x− ui,j − ui−tW ∆x,j

tW ∆x

)

+2

(tN + tS)∆y

(ui,j+tN∆y − ui,j

tN∆y− ui,j − ui,j−tS∆y

tS∆y

)

ou

−∆dud =2

∆x2

[− 1

tE (tE + tW )ui+tE∆x,j +

1tEtW

ui,j − 1tW (tE + tW )

ui−tW ∆x,j

](2.67)

+2

∆y2

[− 1

tS (tN + tS)ui,j−tS∆y +

1tN tS

ui,j − 1tN (tN + tS)

ui,j+tN∆y

].

Se (xi, yj) e um ponto interior distante da fronteira (isto e, nao adjacente a fronteira), entao t∗ = 1 e paraeste ponto vale a formula dos cinco pontos usual.

Embora a ordem de aproximacao do laplaciano para pontos proximos a fronteira e apenas 1, o esquema deShortley-Weller e convergente de segunda ordem, conforme veremos no proximo capıtulo, onde provaremostambem que o correspondente problema discretizado possui solucao unica.

2.6 Exercıcios

1. Implemente os metodos discutidos neste capıtulo computacionalmente, verifique a precisao comparandocom a solucao exata e tambem a velocidade de convergencia.

2. Discretize o problema de Poisson com valor de fronteira de Dirichlet a seguir, usando a formula decinco pontos. −∆u = f (x, y) em (0, a)× (0, b) ,

u = g (x, y) sobre ∂ ((0, a)× (0, b)) ,

Implemente alguns exemplos deste problema computacionalmente e compare os resultados obtidos comas solucoes exatas.

3. Prove que a formula dos nove pontos compacta satisfaz o princıpio do maximo discreto.

4. Prove resultados equivalentes ao Lema 2.5 e ao Teorema 2.6 para a formula dos nove pontos compacta.

5. Investigue a ordem de convergencia do esquema de diferencas finitas misto: formula dos nove pontos nospontos interiores distantes da fronteira e formula dos cinco pontos para pontos adjacentes a fronteira.

6. Encontre um esquema de diferencas finitas de segunda ordem para a equacao de laplace tridimensionalem um paralelepıpedo reto. Escolha uma ordenacao apropriada dos pontos da malha e descreva amatriz de discretizacao obtida. Implemente o metodo no computador.

7. Mostre que o esquema de diferencas finitas em coordenadas polares introduzido neste capıtulo satisfazo princıpio do maximo discreto desde que o valor de u0 seja dado pela formula (2.56).


8. Mostre que se ∆d denota o esquema de diferencas finitas em coordenadas polares introduzido nestecapıtulo e Ω e o disco unitario, entao vale a estimativa a priori: se ud e uma solucao de

−∆dud = fd em Ωd,ud = 0 sobre ∂Ωd,

entao‖ud‖∞ 6 1

4‖∆dud‖∞ (2.68)

desde que o valor de u0 seja dado pela formula (2.56). Conclua que este esquema tem ordem deconvergencia 2.

9. Encontre os autovalores da matriz de discretizacao do esquema de diferencas finitas em coordenadaspolares e compare com os autovalores de Dirichlet do laplaciano no disco.

10. Discretize o problema de Poisson com valor de fronteira de Dirichlet para o anel:−∆u = f (r, θ) se R1 < r < R2 e 0 < θ < 2π,u (R1, θ) = g1 (θ)u (R2, θ) = g2 (θ) se 0 6 θ 6 2π.

Implemente alguns exemplos deste problema computacionalmente e compare os resultados obtidos comas solucoes exatas.

11. Mostre que tomando o “quadrado” da formula de tres pontos para o laplaciano unidimensional (es-quema de diferencas centradas para a derivada segunda) obtemos a seguinte formula de cinco pontospara o operador biharmonico unidimensional (esquema de diferencas centradas para a derivada quarta):

δ4ui =ui−2 − 4ui−1 + 6ui − 4ui+1 + ui+2

∆x4(2.69)

Usando a formula de Taylor, obtenha o expoente p tal que

δ4ui = u(4) (xi) + O (∆xp) .

12. O esquema de diferencas finitas mais simples para o operador biharmonico ∆2 em duas dimensoes e aseguinte formula de 13 pontos (para o caso ∆x = ∆y):

∆2u =1

∆x4

12 −8 2

1 −8 20 −8 12 −8 2

1

. (2.70)

Mostre que esta formula pode ser obtida a partir do “quadrado” da formula de cinco pontos parao laplaciano. Como a equacao biharmonica nao satisfaz o princıpio do maximo, a demonstracao daordem de convergencia deste esquema necessita de argumentos diferentes dos usados neste capıtulopara o laplaciano. Na realidade, dependendo de como as duas condicoes de fronteira sao discretizadas,a ordem de convergencia deste metodo pode ser O

(∆x3/2

)ou O

(∆x2

). Veja [Hackbusch], pag. 103 e

pags. 105-109, para detalhes e referencias.

Capıtulo 3

Existencia e Unicidade de SolucoesDiscretas

Determinar a existencia e unicidade de solucoes discretas para as matrizes de discretizacao obtidas viaesquemas de diferencas finitas atraves do calculo de seus autovalores como fizemos no capıtulo anterior paradiferencas centradas em uma dimensao e para a formula de cinco pontos e inviavel em geral (tente calcularos autovalores da matriz de discretizacao para a formula dos nove pontos, para o esquema em coordenadaspolares e para o esquema de Shortley-Weller). Neste capıtulo, desenvolveremos metodos mais gerais e maisfaceis de aplicar.

3.1 Normas Matriciais

Uma norma matricial no espaco vetorial Mn (C) das matrizes complexas n× n e uma norma vetorial quesatisfaz a propriedade submultiplicativa

‖AB‖ 6 ‖A‖ ‖B‖ (3.1)

para todas as matrizes A,B ∈ Mn (C). Algumas das normas mais importantes em Mn (C) sao as seguintes:

1. Norma l1

‖A‖1 =n∑

i,j=1

|aij | . (3.2)

De fato,

‖AB‖1 =n∑

i,j=1

∣∣∣∣∣n∑

k=1

aikbkj

∣∣∣∣∣ 6n∑

i,j,k=1

|aikbkj | 6n∑

i,j,k,l=1

|aikblj | =n∑

i,j=1

|aik|n∑

k,l=1

|blj | = ‖A‖1 ‖B‖1 .

2. Norma l2

‖A‖2 =

n∑

i,j=1

|aij |2

1/2

. (3.3)

Com efeito,

‖AB‖22 =n∑

i,j=1

∣∣∣∣∣n∑

k=1

aikbkj

∣∣∣∣∣

2

6n∑

i,j=1

(n∑

k=1

|aik|2)(

n∑

l=1

|blj |2)

=

n∑

i,k=1

|aik|2

n∑

j,l=1

|blj |2 = ‖A‖22 ‖B‖22 .

69


A norma l2 tambem e chamada norma euclidiana e, mais raramente e somente para matrizes, normade Schur, norma de Frobenius ou norma de Hilbert-Schmidt.

3. Norma l∞ modificada

A norma l∞‖A‖∞ = max

16i,j6n|aij | .

e uma norma vetorial no espaco das matrizes complexas, mas nao e uma norma matricial, pois se

A =[

1 11 1

],

entao

A2 =[

2 22 2

]

e portanto ∥∥A2∥∥∞ = 2 > 1 = ‖A‖∞ ‖A‖∞ .

Mas um multiplo escalar desta norma vetorial e uma norma matricial:

‖A‖n∞ = n max16i,j6n

|aij | . (3.4)

Com efeito,

‖AB‖n∞ = n max16i,j6n

∣∣∣∣∣n∑

k=1

aikbkj

∣∣∣∣∣ 6 n max16i,j6n

n∑

k=1

|aikbkj | 6 n max16i,j6n

n∑

k=1

‖A‖∞ ‖B‖∞

= n ‖A‖∞ n ‖B‖∞ = ‖AB‖n∞ .

4. Norma induzida

Dada uma norma vetorial |·| em Cn, ela induz uma norma matricial atraves da definicao

‖A‖ = max|x|=1

|Ax| = maxx6=0

|Ax||x| . (3.5)

De fato,

‖AB‖ = maxx 6=0

|ABx||x| = max

x6=0

( |ABx||Bx|

|Bx||x|

)6 max

x6=0

|ABx||Bx| max

x 6=0

|Bx||x| 6 max

y 6=0

|Ay||y| max

x 6=0

|Bx||x| = ‖A‖ ‖B‖ .

Esta norma tambem e chamada norma do operador. Ela satisfaz a propriedade muitas vezes util

|Ax| 6 ‖A‖ |x| (3.6)

para todo vetor x ∈ Cn.

5. Norma do maximo das somas das linhas

‖A‖L = max16i6n

n∑

j=1

|aij | . (3.7)

Esta norma e induzida pela norma vetorial l∞. De fato, se x = (x1, . . . , xn), temos

|Ax|∞ = max16i6n

∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

aijxj

∣∣∣∣∣∣6 max

16i6n

n∑

j=1

|aijxj | 6 max16i6n

n∑

j=1

|aij | |x|∞ = ‖A‖L |x|∞ ,


de modo quemax|x|=1

|Ax|∞ 6 ‖A‖L .

Supondo que a k-esima linha de A e nao-nula, definimos o vetor y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn por

yi =

akj

|akj | se aij 6= 0,

1 se aij = 0.,

o que implica |y|∞ = 1, akjyj = |akj | e

max|x|∞=1

|Ax|∞ > |Ay|∞ = max16i6n

∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

aijyj

∣∣∣∣∣∣>

∣∣∣∣∣∣

n∑

j=1

akjyj

∣∣∣∣∣∣=

n∑

j=1

|akj | .

Isso vale para todo k, logo

max|x|∞=1

|Ax|∞ > max16k6n

n∑

j=1

|aij | = ‖A‖L .

6. Norma do maximo das somas das colunas

‖A‖C = max16j6n

n∑

i=1

|aij | . (3.8)

Esta norma e induzida pela norma vetorial l1. De fato, escrevendo A em termos de suas colunas

A = [A1 . . . An]

segue que‖A‖C = max

16j6n|Aj |1 .

Se x = (x1, . . . , xn), segue que

|Ax|1 = |x1A1 + . . . + xnAn|1 6n∑

i=1

|xiAi|1 =n∑

i=1

|xi| |Ai|1 6n∑

i=1

|xi| max16j6n

|Aj |1

= ‖A‖C

n∑

i=1

|xi| = ‖A‖C |x|1 ,

dondemax|x|1=1

|Ax|1 6 ‖A‖C .

Agora, se escolhermos y = ej , temos que |y|1 = 1 e

|Ay|1 = |Aj |1para todo k, logo

max|x|1=1

|Ax|1 > |Ay|1 = max16j6n

|Aj |1 = ‖A‖C .

7. p-normas

Este e o nome geral para as normas induzidas pela norma vetorial lp. O caso especial da norma induzidapela norma vetorial l2 (a norma vetorial euclidiana) e tambem chamada a norma espectral e satisfaz

‖|A|‖2 =√

λmax = max√

λ : λ e um autovalor de A∗A

.


De fato, A∗A e uma matriz hermitiana e possui autovalores nao-negativos, pois se A∗Ay = λy, entao

λ |y|22 = 〈y, λy〉2 = 〈y,A∗Ay〉2 = 〈Ay,Ay〉2 = |Ay|22e, alem disso, pela caracterizacao variacional dos autovalores de uma matriz hermitiana temos

λmax = maxx 6=0

〈A∗Ax, x〉2|x|22

= maxx 6=0

|Ax|22|x|22

.

Observe que a 2-norma e diferente da norma matricial l2. Note tambem que se A e uma matrizhermitiana, entao A∗A = A2 e ‖|A|‖2 e portanto o modulo do maior autovalor de A, isto e, a normaespectral de A e o raio espectral de A, definido como sendo o maior valor absoluto dos autovaloresde A:

ρ (A) = maxi=1,...,n

|λi| ,

8. Norma induzida por uma matriz invertıvel

Se ‖·‖ e uma norma matricial qualquer e se S e uma matriz invertıvel, entao

‖A‖S =∥∥S−1AS

∥∥ (3.9)

define uma norma matricial. Com efeito,

‖AB‖S =∥∥S−1ABS

∥∥ =∥∥S−1ASS−1BS

∥∥ 6∥∥S−1AS

∥∥∥∥S−1BS∥∥ = ‖A‖S ‖B‖S .

Lembramos que todas as normas em um espaco vetorial sao equivalentes, e isso vale em particular paranormas matriciais.

3.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes

Definicao. Dizemos que uma matriz An×n e diagonalmente dominante se

|aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para todo i = 1, . . . , n

e estritamente diagonalmente dominante se

|aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para todo i = 1, . . . , n.

3.1 Proposicao. Se A e uma matriz estritamente diagonalmente dominante, entao A e invertıvel.

Prova. Uma matriz A e invertıvel se existe alguma norma matricial ‖·‖ tal que ‖I −A‖ < 1. De fato, seesta condicao e satisfeita, entao a inversa e dada explicitamente pela serie

A−1 =∞∑

k=0

(I −A)k. (3.10)

A condicao ‖I −A‖ < 1 garante a convergencia desta serie, pois a serie geometrica∑∞

k=0 rk tem raio deconvergencia 1; como para todo N temos

A

N∑

k=0

(I −A)k = [I − (I −A)]N∑

k=0

(I −A)k =N∑

k=0

(I −A)k −N+1∑

k=1

(I −A)k = I − (I −A)N+1,


tomando o limite quando N →∞, concluımos (3.10).Para provar a proposicao, denote por D a matriz diagonal cujas entradas diagonais sao as entradas

diagonais de A. Uma matriz estritamente diagonalmente dominante possui, por definicao, entradas diagonaisnao-nulas, logo D e uma matriz invertıvel. A matriz D−1A tem apenas 1’s na diagonal principal e semostramos que D−1A e invertıvel, isto implicara que A e invertıvel. Para provar isso, considere a matrizI −D−1A. Temos (

I −D−1A)ij

=

0 se i = j,−aij/aii se i 6= j.

Usemos a norma do maximo das somas das linhas. Para cada 1 6 i 6 n temosn∑

j=1

∣∣∣(I −D−1A

)ij

∣∣∣ =n∑

j=1j 6=i

∣∣∣∣aij

aii

∣∣∣∣ =1|aii|

n∑

j=1j 6=i

|aij | < 1,

logo∥∥I −D−1A

∥∥ < 1 e o resultado segue. ¥As vezes, exigir dominancia diagonal estrita em todas as linhas e pedir demais. Para certas matrizes,

dominancia diagonal junto com dominancia diagonal estrita em apenas uma linha e suficiente para garantira sua invertibilidade. As matrizes de discretizacao obtidas no capıtulo anterior satisfazem esta condicao(nas linhas correspondentes a pontos adjacentes a fronteira), e nenhuma delas e estritamente diagonalmentedominante. Por outro lado, esta condicao nao e suficiente para estabelecer a invertibilidade de uma matrizem geral, como o exemplo

4 2 10 1 10 1 1

demonstra. Precisamos de desenvolver varias ideias e ferramentas teoricas antes de provar a invertibilidadedas matrizes de discretizacao do capıtulo anterior.

3.3 Teorema dos Discos de Gershgorin

A primeira ferramenta teorica e o importante Teorema dos Discos de Gershgorin. Ele decorre da seguinteobservacao: se A e uma matriz complexa n × n, podemos sempre escrever A = D + B, onde D = diag(a11, . . . , ann) e a matriz diagonal formada pela diagonal principal de A e B consiste dos elementos restantesde A, possuindo uma diagonal principal nula. Se definirmos Aε = D + εB, entao A0 = D e A1 = A. Osautovalores de D sao a11, . . . , ann, enquanto que os autovalores de Aε devem estar localizados em vizinhancasdos pontos a11, . . . , ann, desde que ε seja suficientemente pequeno. O mesmo deve valer para os autovaloresda matriz A: eles devem estar contidos em discos centrados nos elementos a11, . . . , ann da diagonal principalse os discos sao suficientemente grandes. O Teorema de Gershgorin da uma estimativa precisa e simples decalcular para os raios destes discos em funcao das entradas restantes da matriz A. Denote o disco complexofechado de centro em a e raio R por

DR (a) = z ∈ C : |z − a| 6 R .

3.2 Teorema. (Teorema dos Discos de Gershgorin) Se A ∈ Mn (C) e

Ri (A) =n∑

j=1j 6=i

|aij | (3.11)

denota a soma dos valores absolutos dos elementos da linha i de A excetuando o elemento da diagonalprincipal, entao todos os autovalores de A estao contidos na uniao dos n discos de Gershgorin

G (A) =n⋃

i=1

DRi(A) (aii) . (3.12)


Alem disso, se uma uniao de k destes discos forma uma regiao que e disjunta dos n−k discos restantes,entao existem exatamente k autovalores de A nesta regiao.

Prova. Seja λ um autovalor de A e x = (x1, . . . , xn) 6= 0 um autovetor associado. Seja k um ındice tal que

|xk| > |xj | para j = 1, . . . , n,

isto e, xk e a coordenada de x de maior valor absoluto. Denotando por (Ax)k a k-esima coordenada do vetorAx = λx, temos

λxk = (Ax)k =n∑

j=1

akjxj

que e equivalente a

xk (λ− akk) =n∑

j=1j 6=k

akjxj .

Daı,

|xk| |λ− akk| 6n∑

j=1j 6=k

|akjxj | =n∑

j=1j 6=k

|akj | |xj | 6 |xk|n∑

j=1j 6=k

|akj | = |xk|Rk (A) ,

ou seja,|λ− akk| 6 Rk (A) .

Isso prova o resultado principal do Teorema de Gershgorin (como nao sabemos qual k e apropriado paracada autovalor λ, e um mesmo k pode servir para varios autovalores λ, tudo o que podemos afirmar e queos autovalores estao na uniao dos discos).

Para provar a segunda afirmacao, escreva A = D + B, onde D = diag (a11, . . . , ann) e defina

At = D + tB

para 0 6 t 6 1. Note queRi (At) = Ri (tB) = tRi (A) .

Para simplificar a notacao, assuma que a uniao dos primeiros k discos de Gershgorin

Gk (A) =k⋃

i=1

DRi(A) (aii)

satisfaz Gk (A) ∩ [G (A) \Gk (A)] = ∅. Temos

DRi(At) (aii) = z ∈ C : |z − aii| 6 Ri (At) = z ∈ C : |z − aii| 6 tRi (A) ⊂ DRi(A) (aii) ,

logoGk (At) ⊂ Gk (A)

eGk (A) ∩ [G (At) \Gk (At)] = ∅

para 0 6 t 6 1. Porque os autovalores sao funcoes contınuas das entradas de uma matriz, o caminho

λi (t) = λi (At)

e um caminho contınuo que liga λi (A0) = λi (D) = aii a λi (A1) = λi (A). Como λi (At) ∈ Gk (At) ⊂ Gk (A),concluımos que para cada 0 6 t 6 1 existem k autovalores de At em Gk (A); em particular, fazendo t = 1,


obtemos que Gk (A) possui pelo menos k autovalores de A. Da mesma forma, nao pode haver mais quek autovalores de A em Gk (A), pois os n − k autovalores restantes de A0 = D comecam fora do conjuntoGk (A) e seguem caminhos contınuos que permanecem fora de Gk (A). ¥A uniao G (A) dos discos de Gershgorin e conhecida como a regiao de Gershgorin. Observe que enquantonao podemos em geral afirmar com certeza que cada disco de Gershgorin possui um autovalor, a segundaafirmacao do teorema permite-nos fazer tal conclusao desde que os discos de Gershgorin sejam dois a doisdisjuntos.

O Teorema dos Discos de Gershgorin permite entender o resultado da Proposicao 3.1: se uma matriz A eestritamente diagonalmente dominante, entao os discos de Gershgorin DRi(A) (aii) nao interceptam a origem,logo 0 nao pode ser um autovalor para a matriz A, o que implica que A e invertıvel. Alem disso, se todosos elementos da diagonal principal de A sao reais e positivos, entao os autovalores de A estao localizados nosemiplano direito de C, de modo que se A e tambem simetrica, concluımos que todos os autovalores de Asao positivos.

A aplicacao mais obvia do Teorema dos Discos de Gershgorin e na estimativa dos autovalores de umamatriz, o que e importante se vamos usar os autovalores de matrizes de discretizacao para aproximar osautovalores do laplaciano:

Aplicacao 1. Pelo Teorema dos Discos de Gershgorin, os autovalores da matriz de discretizacao do lapla-ciano no intervalo (0, π) discretizado com n + 1 pontos (esquema de diferencas finitas centradas paraa derivada segunda unidimensional)

A =n2

π2

2 −1−1 2 −1

−1. . . . . .. . . . . . −1

−1 2 −1−1 2

estao todos localizados no intervalo (A e simetrica, logo seus autovalores sao todos reais) centrado emx = 2n2/π2 de raio 2n2/π2, ou seja, no intervalo

[0, 4n2/π2

]. Em particular o maior autovalor de A

nao pode exceder 4n2/π2. Como os autovalores do laplaciano neste intervalo sao da forma λj = j2,para termos esperanca em aproximar o autovalor λj por autovalores da matriz A precisamos quej2 6 4n2/π2, isto e, precisamos discretizar o intervalo (0, π) com

n > π

2j

pontos. Isso da uma estimativa bastante grosseira do quao refinada a nossa malha precisa ser paraaproximar os autovalores do laplaciano. Na pratica, vimos que apenas os primeiros autovalores deA aproximam bem os primeiros autovalores do laplaciano e portanto precisamos de uma malha comum numero muito maior de pontos. Observe que uma estimativa semelhante vale para a matriz dediscretizacao M fornecida pela formula de cinco pontos no quadrado (0, π)2 quando tomamos ∆x =∆y = π/n: como os autovalores de M estao localizados no intervalo de centro em x = 4n2/π2 de raio4n2/π2, isto e, em

[0, 8n2/π2

], precisamos de

n > π

2√

2

√i2 + j2

pontos no eixos horizontal e vertical para aproximar o autovalor i2 + j2. Por outro lado, no casobidimensional isso implica em uma matriz de discretizacao da ordem de i2 + j2. ¤

Usos mais refinados do Teorema de Gershgorin permitem obter conhecimento mais preciso sobre ondeos autovalores da matriz se encontram e correspondentemente melhores estimativas para o raio espectral


de uma matriz. Por exemplo, como A e At possuem os mesmos autovalores, existe um teorema dos discosde Gershgorin equivalente para as colunas de uma matriz. Em particular, todos os autovalores de A estaolocalizados na intersecao destas duas regioes: G (A)∩G (At). Isso implica a seguinte estimativa simples parao raio espectral de uma matriz complexa:

3.3 Corolario. Se A ∈ Mn (C), entao

ρ (A) 6 min

max

i=1,...,n

n∑

j=1

|aij | , maxj=1,...,n

n∑

i=1

|aij | = min (‖A‖L , ‖A‖C) .

Prova. O ponto no i-esimo disco de Gershgorin que e mais distante da origem tem modulo

|aii|+ Ri (A) =n∑

j=1

|aij |

e um resultado semelhante vale para as colunas de A. ¥O resultado do Corolario 3.3 nao e surpreendente em vista do raio espectral de uma matriz ser menor quequalquer norma matricial (veja o proximo capıtulo). Um resultado melhor pode ser obtido uma vez quese observa que A e S−1AS tambem possuem os mesmos autovalores, qualquer que seja a matriz invertıvelS. Em particular, quando S = D = diag (p1, . . . , pn) e uma matriz diagonal com todos os seus elementospositivos, isto e, pi > 0 para todo i, aplicando o Teorema de Gershgorin a matriz

D−1AD =(

pj

piaij

)

e a sua transposta, obtemos o seguinte resultado que permite obter uma estimativa arbitrariamente boa dosautovalores de A:

3.4 Corolario. Se A ∈ Mn (C) e p1, . . . , pn > 0, entao todos os autovalores de A estao contidos em

G(D−1AD

) ∩G(DAtD−1

)=

n⋃

i=1

z ∈ C : |z − aii| 6 1pi

n∑

j=1j 6=i

pj |aij |

(3.13)

∩n⋃

i=1

z ∈ C : |z − aii| 6 pj

n∑

i=1i 6=j

1pi|aij |

.

Em particular,

ρ (A) 6 minp1,...,pn>0

max

i=1,...,n

1pi

n∑

j=1

pj |aij | , maxj=1,...,n

pj

n∑

i=1

1pi|aij |

. (3.14)

3.4 Propriedade FC

Na nossa busca por propriedades para matrizes diagonalmente dominantes que garantirao a sua invertibil-idade, uma observacao fundamental e a de que se A e uma matriz diagonalmente dominante, entao 0 naopode ser um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. De fato, se λ e um autovalor de A interior aalgum disco de Gershgorin entao devemos ter desigualdade estrita

|λ− aii| < Ri (A) =n∑

j=1j 6=i

|aij |


para algum i. Se 0 e um autovalor de A interior a algum disco de Gershgorin, entao

|aii| <n∑

j=1j 6=i

|aij |

para algum i e A nao pode ser diagonalmente dominante na linha i.Uma condicao equivalente para que um autovalor λ de A nao seja um ponto interior de nenhum disco de

Gershgorin e que

|λ− aii| > Ri (A) =n∑

j=1j 6=i

|aij | para todo i = 1, . . . , n.

Tais pontos λ na regiao de Gershgorin G (A) (nao necessariamente autovalores de A) constituem precisa-mente a fronteira ∂G (A) da regiao de Gershgorin. Chamaremos a fronteira de um disco de Gershgorinz ∈ C : |z − aii| = Ri (A) um cırculo de Gershgorin.

3.5 Lema. Seja A ∈ Mn (C) e λ um autovalor de A que nao e um ponto interior de nenhum disco deGershgorin. Seja x = (x1, . . . , xn) 6= 0 um autovetor associado a λ e k um ındice tal que

|xk| > |xj | para j = 1, . . . , n.

Se i e qualquer ındice tal que|xi| = |xk|

entao o i-esimo cırculo de Gershgorin passa por λ. Se, alem disso,

aij 6= 0,

entao|xj | = |xk|

e o j-esimo cırculo de Gershgorin tambem passa por λ.

Prova. Como na demonstracao do Teorema de Gershgorin, temos

|xi| |λ− aii| 6n∑

j=1j 6=k

|aijxj | =n∑

j=1j 6=k

|aij | |xj | 6 |xk|n∑

j=1j 6=k

|aij | = |xk|Ri (A) (3.15)

para todo ındice i. Logo, se |xi| = |xk|, temos

|λ− aii| 6 Ri (A) .

Como por hipotese|λ− aii| > Ri (A)

para todo ındice i, segue que|λ− aii| = Ri (A) .

Em geral, |xi| = |xk| implica que as desigualdades em (3.15) sao identidades; em particular,

n∑

j=1j 6=k

|aij | |xj | = |xi|n∑

j=1j 6=k

|aij |


donden∑

j=1j 6=k

|aij | (|xi| − |xj |) = 0.

Esta e uma soma de termos nao-negativos, pois |xi| > |xj |, logo se aij 6= 0 necessariamente devemos ter|xj | = |xi| = |xk|. ¥

Este lema tecnico tem as seguintes consequencias uteis:

3.6 Teorema. Seja A ∈ Mn (C) uma matriz cujas entradas sao todas nao-nulas e seja λ um autovalor deA que nao e um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. Entao todo cırculo de Gershgorinde A passa por λ (isto e, λ esta na intersecao de todos os cırculos de Gershgorin de A) e se x =(x1, . . . , xn) 6= 0 e um autovetor associado a λ entao

|xi| = |xj | para todos i, j = 1, . . . , n.

Prova. Decorre diretamente do lema anterior. ¥

3.7 Corolario. Se A ∈ Mn (C) e uma matriz cujas entradas sao todas nao-nulas e diagonalmente dominante

tal que |aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para pelo menos alguma linha i, entao A e invertıvel.

Prova. Pois, como A e diagonalmente dominante, se 0 e um autovalor de A entao 0 nao pode ser um pontointerior de nenhum disco de Gershgorin. Por outro lado, pelo teorema anterior, segue que todo cırculo deGershgorin passa por 0. Entretanto, o i-esimo cırculo de Gershgorin centrado em aii e com raio Ri < |aii|nao pode passar por 0. Concluımos que 0 nao e um autovalor de A, logo A e invertıvel. ¥

Na verdade, usando com maior cuidado a informacao dada pelo Lema 3.5 podemos obter resultados aindamelhores:

Definicao. Dizemos que uma matriz A = (aij) ∈ Mn (C) satisfaz a propriedade FC se para todo par deinteiros distintos i, j existe uma sequencia de inteiros distintos i1 = i, i2, i3, . . . , im−1, im = j, com1 6 m 6 n, tais que todas as entradas matriciais

ai1i2 , ai2i3 , . . . , aim−1im

sao nao-nulas.

Por exemplo, a matriz diagonalmente dominante nao-invertıvel

4 2 10 1 10 1 1

,

ja vista anteriormente, nao satisfaz a propriedade FC porque o par 2, 1 nao admite tal sequencia (a unicasequencia possıvel e a23, a31). Ja qualquer par de inteiros distintos i, j tal que aij 6= 0 admite a sequenciatrivial nao-nula aij , de modo que uma matriz cujas entradas nao-diagonais sao todas nao-nulas satisfaz apropriedade FC. O significado da abreviatura “FC”, ou “fortemente conexo”, ficara claro mais adiante.

3.8 Teorema. Seja A ∈ Mn (C) uma matriz que satisfaz a propriedade FC e seja λ um autovalor de A quenao e um ponto interior de nenhum disco de Gershgorin. Entao todo cırculo de Gershgorin de A passapor λ (isto e, λ esta na intersecao de todos os cırculos de Gershgorin de A) e se x = (x1, . . . , xn) 6= 0e um autovetor associado a λ entao

|xi| = |xj | para todos i, j = 1, . . . , n.


Prova. Seja x = (x1, . . . , xn) 6= 0 um autovetor associado a λ e i um ındice tal que

|xi| > |xk| para k = 1, . . . , n.

Pelo Lema 3.5,|λ− aii| = Ri (A) .

Seja j 6= i qualquer outro ındice e i1 = i, i2, i3, . . . , im−1, im = j, com 1 6 m 6 n, ındices tais que todas asentradas matriciais

aii2 , ai2i3 , . . . , aim−1j 6= 0.

Como aii2 6= 0, segue da segunda afirmativa do Lema 3.5 que |xi2 | = |xi|. Mas entao ai2i3 6= 0 e portanto|xi3 | = |xi2 | = |xi|. Prosseguindo desta forma, concluımos que

|xi| = |xi2 | = . . .∣∣xim−1

∣∣ = |xj | .

Em particular, segue novamente do Lema 3.5 que o j-esimo cırculo de Gershgorin passa por λ. Como j earbitrario, isso prova o teorema. ¥

3.9 Corolario. Se A ∈ Mn (C) e uma matriz que satisfaz a propriedade FC e diagonalmente dominante tal

que |aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para pelo menos alguma linha i, entao A e invertıvel.

Prova. Segue do teorema anterior da mesma forma que o Corolario 3.7 segue do Teorema 3.6. ¥Vamos tentar entender melhor o significado da propriedade FC. Note que ela se refere apenas a localizacao

dos elementos nao-nulos de A fora da diagonal principal – os elementos da diagonal principal e os valoresespecıficos dos elementos fora da diagonal principal sao irrelevantes. Isso motiva as seguintes definicoes:

Definicao. Dada uma matriz A = (aij) ∈ Mn (C) definimos o modulo da matriz A como sendo a matriz

|A| = (|aij |)

cujos elementos sao os modulos dos elementos da matriz A e a matriz indicadora de A como sendoa matriz

M (A) = (µij) ,

onde

µij =

1 se aij 6= 0,0 se aij = 0.

O conceito de uma sequencia de entradas nao-nulas da matriz A que aparece na definicao da propriedadeFC pode ser visualizado em termos de caminhos em um grafo associado a A:

Definicao. Dada uma matriz A ∈ Mn (C), o grafo direcionado de A e o grafo direcionado Γ (A) com nnodos P1, . . . , Pn tais que existe um arco direcionado em Γ (A) de Pi a Pj se e somente se aij 6= 0.

Um caminho direcionado γ em um grafo Γ e uma sequencia de arcos Pi1Pi2 , Pi2Pi3 , . . . em Γ. Ocomprimento de um caminho direcionado e o numero de arcos sucessivos no caminho direcionado. Umciclo e um caminho direcionado que comeca e termina no mesmo no.

Dizemos que um grafo direcionado e fortemente conexo se entre qualquer par de nodos distintosPi, Pj ∈ Γ existir um caminho direcionado de comprimento finito que comeca em Pi e termina em Pj .

Observe que quando Γ e um grafo direcionado com n nodos, se existe um caminho direcionado entre doisnodos de Γ, entao sempre existe um caminho direcionado entre estes dois nodos de comprimento menor queou igual a n− 1.


3.10 Teorema. A ∈ Mn (C) satisfaz a propriedade FC se e somente se Γ (A) e fortemente conexo.

Verificar a propriedade FC a partir do grafo direcionado de A pode ser impraticavel se o tamanho damatriz for muito grande. Existe um metodo computacional mais explıcito para faze-lo:

3.11 Teorema. Sejam A ∈ Mn (C) e Pi, Pj nodos de Γ (A). Existe um caminho direcionado de compri-mento m em Γ (A) de Pi para Pj se e somente se

(|A|m)ij 6= 0

ou, equivalentemente, se e somente se[M (A)m]ij 6= 0.

Prova. Provaremos o teorema por inducao. Para m = 1 a afirmativa e trivial. Para m = 2, temos

(|A|2

)ij

=n∑

k=1

(|A|)ik (|A|)kj =n∑

k=1

|aik| |akj | ,

de modo que(|A|2

)ij6= 0 se e somente se aik, akj sao ambos nao-nulos para algum ındice k. Mas isso e

equivalente a dizer que existe um caminho direcionado de comprimento 2 em Γ (A) de Pi para Pj .Em geral, supondo a afirmativa provada para m, temos

(|A|m+1

)ij

=n∑

k=1

(|A|m)ik (|A|)kj =n∑

k=1

(|A|m)ik |akj | 6= 0

se e somente se (|A|m)ik , akj sao ambos nao-nulos para algum ındice k. Por hipotese de inducao, isso eequivalente a existir um caminho direcionado de comprimento m em Γ (A) de Pi para Pk e um caminhodirecionado de comprimento 1 em Γ (A) de Pk para Pj , isto e, um caminho direcionado de comprimentom + 1 em Γ (A) de Pi para Pj . O mesmo argumento vale para M (A). ¥

Definicao. Seja A = (aij) ∈ Mn (C). Dizemos que A > 0 se aij > 0 para todos 1 6 i, j 6 n e que A > 0 seaij > 0 para todos 1 6 i, j 6 n.

3.12 Corolario. Seja A ∈ Mn (C). Existe um caminho direcionado de comprimento m em Γ (A) de cadanodo Pi para cada nodo Pj se e somente se

|A|m > 0

ou, equivalentemente, se e somente seM (A)m

> 0.

3.13 Corolario. Seja A ∈ Mn (C). A satisfaz a propriedade FC se e somente se

(I + |A|)n−1> 0

ou, equivalentemente, se e somente se

[I + M (A)]n−1> 0.

Prova. Temos

(I + |A|)n−1 = I + (n− 1) |A|+(

n− 12

)|A|2 + . . . +

(n− 1n− 3

)|A|n−1 + |A|n−1

> 0


se e somente se para cada par de ındices i, j com i 6= j pelo menos um dos termos |A| , |A|2 , . . . , |A|n−1

tem uma entrada positiva em (i, j). Pelo Teorema 3.11, isso ocorre se e somente se existe algum caminhodirecionado em Γ (A) de Pi para Pj com comprimento 6 n−1. Isto e equivalente a A satisfazer a propriedadeFC. O mesmo argumento vale para M (A). ¥Em geral, a maneira como uma matriz foi obtida (como as nossas matrizes de discretizacao; veja a ultimasecao do capıtulo) torna clara se elas sao matrizes que satisfazem a propriedade FC ou nao. Se issonao e possıvel, e pretende-se verificar a propriedade FC atraves do Corolario 3.13, e preferıvel calcular[I + M (A)]n−1, ja que M (A) e uma matriz composta apenas de 0’s e 1’s.

3.5 Matrizes Irredutıveis

Lembre-se que uma matriz de permutacao P e uma matriz quadrada cujas entradas sao todas 0 ou 1 e,alem disso, em cada linha e em cada coluna de P existe exatamente um 1. Em particular, P e uma matrizortogonal, de modo que P−1 = P t, isto e, a inversa de P tambem e uma matriz de permutacao. Um casoespecial de uma matriz de permutacao e uma matriz de transposicao, que e uma matriz de permutacao Tigual a matriz identidade exceto em duas posicoes, isto e, para algum par de ındices fixado k, l temos

Tij =

δij se (i, j) 6= (k, l) , (l, k) , (k, k) ou (l, l) ,1 e (i, j) = (k, l) ou se (i, j) = (l, k) ,0 se (i, j) = (k, k) ou se (i, j) = (l, l) .

Matrizes de transposicao sao simetricas. O efeito de multiplicar uma matriz A por uma matriz de transposicaoa esquerda e trocar a posicao de duas linhas da matriz A (no caso acima, as linhas k e l), enquanto que amultiplicacao de A por uma matriz de transposicao a direita muda a posicao de duas colunas de A (no casoacima, as colunas k e l).

TA =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

=

a11 a12 a13 a14

a31 a32 a33 a34

a21 a22 a23 a24

a41 a42 a43 a44

,

AT =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

=

a11 a13 a12 a14

a21 a23 a22 a24

a31 a33 a32 a34

a41 a43 a42 a44

.

Pode-se provar que toda matriz de permutacao P e o produto de matrizes de transposicao P = T1 . . . Tm;em particular, P t = Tm . . . T1. A matriz

P tAP = Tm . . . T1AT1 . . . Tm

e portanto obtida atraves da permutacao de linhas e colunas de A, de modo que nenhum novo elemento ecriado ou algum elemento existente de A destruıdo.

Definicao. Dizemos que uma matriz A ∈ Mn (C) e redutıvel se existe alguma matriz de permutacao P ealgum inteiro 1 6 m 6 n− 1 tal que

P tAP =[

B C0 D

]

onde B e uma matriz m×m, D e uma matriz (n−m)× (n−m), C e uma matriz m× (n−m) e 0 ea matriz nula (n−m)×m. Caso contrario, dizemos que A e irredutıvel.


Da definicao vemos que se |A| > 0, entao A e irredutıvel, e para que A seja redutıvel, ela precisa ter pelomenos n− 1 zeros (caso m = 1). A motivacao para este nome e a seguinte. Suponha que queiramos resolvero sistema Ax = b e que A seja redutıvel. Entao, se escrevermos

A = P tAP =[

B C0 D

],

teremos Ax = PAP tx = b ou AP tx = P tb; denotando x = P tx e b = P tb, resolver o sistema Ax = b e entaoequivalente a resolver o sistema

Ax = b.

Escrevendo

x =[

yz

], b =

[b1

b2

]

onde y, b1 ∈ Cm e z, b2 ∈ Cn−m, este sistema e por sua vez equivalente ao sistema

By + Cz = b1

Dz = b2

Se resolvermos primeiro Dz = b2 e utilizarmos o valor de z encontrado na primeira equacao resolvendoBy = b1 − Cz, teremos reduzido o problema original a dois problemas menores, mais faceis de resolver.

3.14 Teorema. Uma matriz A ∈ Mn (C) e irredutıvel se e somente se

(I + |A|)n−1> 0

ou, equivalentemente, se e somente se

[I + M (A)]n−1> 0.

Prova. Para provar o resultado, mostraremos que A e redutıvel se e somente se (I + |A|)n−1 possui pelomenos uma entrada nula.

Assuma primeiramente que A e redutıvel, de modo que para alguma matriz de permutacao P tenhamos

A = P

[B C0 D

]P t =: PAP t.

Observe que|A| = ∣∣PAP t

∣∣ = P∣∣A∣∣ P t,

ja que o efeito de P e apenas trocar linhas e colunas. Alem disso, note que

Ak

=[

Bk Ck

0 Dk

]

para alguma matriz Ck. Logo, como

(I + |A|)n−1 =(I + P

∣∣A∣∣ P t

)n−1= P

(I +

∣∣A∣∣)n−1

P t

= P

[I + (n− 1) |A|+

(n− 1

2

)|A|2 + . . . +

(n− 1n− 3

)|A|n−1 + |A|n−1

]P t

e todos os termos dentro dos colchetes sao matrizes que tem um bloco (n−m)×m nulo no canto esquerdoinferior, segue que (I + |A|)n−1 e redutıvel, logo possui entradas nulas e nao pode ser positiva.


Reciprocamente, suponha que (I + |A|)n−1 possui pelo menos uma entrada nula. Como

(I + |A|)n−1 = I +n−1∑m=1

(n− 1

m

)|A|m ,

(I + |A|)n−1 nao possui entradas diagonais nulas, logo podemos assumir que para algum par i 6= j temos[(I + |A|)n−1

]ij

= 0, o que implica [|A|m]ij = 0 para todo 1 6 m 6 n− 1. Pelo Teorema 3.11 (e observacao

imediatamente posterior a definicao de grafo direcionado), nao existe um caminho direcionado em Γ (A) decomprimento finito entre Pi e Pj . Defina os conjuntos de nodos

S1 := Pk : Pk = Pj ou existe um caminho direcionado em Γ (A) entre Pk e Pj ,

S2 = [ nodos de Γ (A)] \S1.

Por definicao destes conjuntos, nao pode existir nenhum caminho de algum nodo de S2 para algum nodo deS1, logo [|A|m]lk = 0 se Pl ∈ S2 e Pk ∈ S1. E ambos os conjuntos sao nao-vazios, pois Pj ∈ S1 e Pi ∈ S2.Renomeando os nodos de modo que

S1 =

P1, . . . , Pm

,

S2 =

Pm+1, . . . , Pn

,

segue que existe uma matriz de permutacao P tal que

P tAP =[

B C0 D

].

De fato, P e justamente a matriz de permutacao que troca as colunas de tal forma que as variaveis anteriorescorrespondentes aos nodos P1, . . . , Pm no sistema Ax = b sao as novas m primeiras variaveis do sistema linearAx = b; como nao existe nenhum caminho direcionado entre nenhum dos nodos Pm+1, . . . , Pn e qualquer umdos nodos P1, . . . , Pm, temos aij = 0 para m + 1 6 i 6 n e 1 6 j 6 m pelo Teorema 3.11. ¥

3.15 Corolario. Uma matriz A ∈ Mn (C) e irredutıvel se e somente se ela satisfaz a propriedade FC.

3.16 Proposicao. Se A e uma matriz irredutıvel, diagonalmente dominante tal que |aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para

pelo menos alguma linha i, entao A e invertıvel.

Alem disso, se A e hermitiana e todos os elementos da diagonal principal de A sao positivos, entaotodos os autovalores de A sao positivos.

Prova. O resultado segue do Teorema 3.14, do Corolario 3.9 e do Teorema dos Discos de Gershgorin (vejacomentarios apos o Teorema 3.2). ¥

3.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretizacao

Os resultados obtidos nas secoes anteriores fornecem uma demonstracao alternativa de que as matrizesde discretizacao do capıtulo anterior (tanto no caso unidimensional, quanto no caso bidimensional) saoinvertıveis, sem a necessidade de se calcular os seus autovalores.


3.6.1 Esquemas de Diferencas Finitas para o Intervalo e para o Retangulo

E facil ver que todas as matrizes de discretizacao obtidas no capıtulo anterior para o intervalo e para oretangulo (isto e, os esquemas unidimensionais de tres pontos e cinco pontos, e os esquemas bidimensionaisde cinco e nove pontos, compacto ou nao-compacto) sao matrizes diagonalmente dominantes com dominanciadiagonal estrita nas linhas correspondentes a pontos adjacentes a fronteira. Alem disso, elas sao matrizesirredutıveis porque elas satisfazem a propriedade FC. De fato, cada ındice i da matriz corresponde a umponto interior Pi da malha e aij 6= 0 sempre que Pi e Pj sao pontos vizinhos naqueles esquemas. Entao,dados dois pontos distintos Pi, Pj e facil encontrar uma sequencia de ındices i1 = i, i2, i3, . . . , im−1, im = j,com 1 6 m 6 n, tais que todas as entradas matriciais

ai1i2 , ai2i3 , . . . , aim−1im

sao nao-nulas: no caso unidimensional, basta percorrer a malha diretamente de Pi ate Pj (andando a partirde Pi sempre para a direita ou sempre para a esquerda, conforme o caso, ate encontrar Pj), e no casobidimensional basta usar qualquer caminho interior de Pi ate Pj (pode-se usar a ordem lexicografica parapercorrer a malha, ou a ordem lexicografica inversa, dependendo das posicoes relativas de Pi e Pj ; no entanto,estes caminhos sao mais longos que o necessario). Em outras palavras, identificando as malhas de pontosinternos com os grafos direcionados da matriz de discretizacao, de modo que existe um arco direcionado entredois pontos da malha se e somente se eles sao vizinhos, os esquemas de discretizacao considerados garantemque estes grafos sao fortemente conexos.

As matrizes obtidas atraves de diferencas finitas em geral sao irredutıveis, pois elas satisfazem a pro-priedade FC. E difıcil imaginar um esquema de diferencas finitas para uma malha sobre um domınio conexoem que nao houvesse um caminho direcionado entre pontos vizinhos (isto e, em que tivessemos aij = 0para dois pontos vizinhos Pi e Pj). Outra maneira de pensar sobre isso e observar que se uma matriz dediscretizacao fosse (apos permutacao de linhas e colunas) da forma

[B C0 D

],

isso implicaria que um conjunto de pontos da malha (os correspondentes ao bloco D) teriam diferencasfinitas independentes do conjunto dos pontos restantes da malha (os correspondentes ao bloco D); piorainda, estes ultimos poderiam ter diferencas finitas dependentes dos primeiros (ja que o bloco C poderiaser nao-nulo). Em ultima analise, seria possıvel reduzir o problema de resolver o sistema linear associado adiscretizacao a dois problemas mais simples. E difıcil imaginar um esquema de diferencas finitas com estapropriedade, embora talvez possa ocorrer em algum domınio com geometria altamente irregular em que amalha de pontos interiores se dividisse em essencialmente duas malhas independentes. Tal situacao deve serevitada com cuidado na hora de discretizar tais regioes.

3.6.2 Esquema de Coordenadas Polares

As mesmas observacoes anteriores valem para a matriz de discretizacao obtida atraves do esquema de coorde-nadas polares do capıtulo anterior, isto e, ela satisfaz a propriedade FC. Para verificar que ela e diagonalmentedominante, note que para todas as linhas, exceto a primeira que deve ser tratada separadamente, temos

|aii| = γi =1ri

ri+1/2 + ri−1/2

∆r2+

2r2i

1∆θ2

.

Alem disso, para todas as linhas, excetuando a primeira e as linhas correspondentes a pontos adjacentes afronteira do disco temos

n∑

j=1j 6=i

|aij | = αi + βi + 2δi =1

∆r2

ri−1/2

ri+

1∆r2

ri+1/2

ri+

2r2i

1∆θ2

= |aii| .


Nestas linhas existe dominancia diagonal, enquanto que nas linhas correspondentes a pontos adjacentes afronteira do disco temos

(n−1)×m+1∑

j=1j 6=i

|aij | = αi + 2δi < |aii| ,

isto e, temos dominancia diagonal estrita. Finalmente, para a primeira linha tambem temos dominanciadiagonal, pois

|a00| = 4∆r2

,

(n−1)×m+1∑

j=1j 6=0

|a0j | = m2π

∆θ

∆r2= 4

m

2π

∆θ

∆r2=

4∆r2

= |a00| .

3.6.3 Esquema de Shortley-Weller

Se a geometria e razoavelmente regular, o esquema de Shortley-Weller para o problema de Dirichlet devesatisfazer a propriedade FC : aij 6= 0 sempre que Pi e Pj sao pontos internos vizinhos, e se a geometria nao ealtamente irregular (por exemplo, se o domınio e “razoavelmente” convexo) existe um caminho direcionado deum ponto interno arbitrario a qualquer outro ponto interno da malha passando apenas por pontos internos dodomınio. Caso contrario, a matriz de discretizacao obtida pode deixar de ser irredutıvel, mas isso deve ocorrerapenas devido a quebra da malha de pontos internos em varias submalhas desconexas, e cada submalha porsi so deve ser fortemente conexa. Portanto, a matriz de discretizacao total deve ser uma matriz em blocos,cada bloco satisfazendo a propriedade FC, logo a matriz e invertıvel.

Capıtulo 4

Metodos Iterativos para a Resolucaode Sistemas Lineares

Neste capıtulo investigaremos metodos iterativos para a resolucao de sistemas lineares

Ax = b.

Embora a matriz A que temos em mente e em geral uma matriz grande e esparsa, do tipo que apareceem esquemas de diferencas finitas, os metodos considerados aqui requerem apenas que A seja uma matrizinvertıvel com todas as entradas diagonais aii nao-nulas.

Metodos iterativos requerem um chute inicial x0, um vetor inicial que aproxima a solucao exata x (senao ha nenhuma informacao disponıvel sobre a solucao exata, de modo que nao temos como construir ochute inicial de forma inteligente, x0 pode ser uma aproximacao muito ruim de x). Uma vez que x0 e dado,o metodo iterativo gera a partir de x0 uma nova aproximacao x1, que esperamos deve aproximar melhor asolucao exata. Em seguida, x1 e usada para gerar uma nova melhor aproximacao x2 e assim por diante.Desta forma, gera-se uma sequencia de vetores

(xk

)que espera-se convergir para x. Como na pratica nao

podemos iterar para sempre, algum criterio de parada deve ser estabelecido a priori. Uma vez que xk estejasuficientemente proximo da solucao exata quanto se precise, de acordo com uma margem de tolerancia aceita,para-se o processo de iteracao e aceita-se xk como a solucao aproximada adequada para o problema. Porexemplo, o criterio de parada pode ser estabelecido atraves de uma cota de tolerancia τ : quando

∥∥b−Axk∥∥ < τ

ou quando ∥∥xk+1 − xk∥∥ < τ

as iteracoes sao interrompidas e o ultimo valor aproximado obtido e aceito como a melhor aproximacao dasolucao dentro das circunstancias.

Os metodos discutidos neste capıtulo nao necessitam de um bom chute inicial (embora, e claro, quantomelhor o chute inicial, menor o numero de iteracoes necessarias para se chegar a solucao aproximada com aprecisao especificada).

4.1 Metodos Iterativos Lineares

Nesta secao apresentamos alguns exemplos classicos de metodos iterativos lineares. Na proxima secao dare-mos condicoes necessarias e suficientes para estabelecer a sua convergencia.

86


4.1.1 Metodo de Jacobi

O primeiro metodo iterativo (que ja foi descrito como o mais lento para convergir, embora isso realmentedepende da matriz A do sistema) e o algoritmo de Jacobi. Escrevendo o sistema Ax = b na forma

n∑j=1

a1jxj = b1

...n∑

j=1

anjxj = bn

,

se aii 6= 0 para todo i, cada xi pode ser isolado na i-esima equacao e escrito na forma

xi =1aii

bi −

n∑

j=1j 6=i

aijxj

.

Isso sugere definir um metodo iterativo da seguinte forma: suposto xk =(xk

1 , . . . , xkn

)obtido no passo

anterior, obtemos xk+1 =(xk+1

1 , . . . , xk+1n

)por

xk+1i =

1aii

bi −

n∑

j=1j 6=i

aijxkj

. (4.1)

No caso da formula de cinco pontos para o problema de Poisson com ∆x = ∆y, como a equacao paracada ponto (i, j) e dada por

−ui,j−1 − ui,j+1 + 4ui,j − ui−1,j − ui+1,j = ∆x2fi,j

o metodo de Jacobi euk+1

i,j =14

(uk

i,j−1 + uki,j+1 + uk

i−1,j + uki+1,j + ∆x2fi,j

). (4.2)

No caso especial da equacao de Laplace (f = 0) com condicao de fronteira de Dirichlet nao-nula, o metodode Jacobi e simplesmente a propriedade do valor medio discreta

uk+1i,j =

14

(uk


i−1,j + uki+1,j

). (4.3)

Em outras palavras, calculados os valores de u em todos os pontos da malha na iteracao anterior, o novovalor de u em um ponto interior da malha nesta iteracao e calculado atraves da media dos seus quatropontos vizinhos. Os valores iniciais de u nos pontos interiores da malha para a primeira iteracao (isto e, ochute inicial) podem ser atribuidos arbitrariamente ou atraves de algum argumento razoavel; por exemplo,podemos utilizar uma media ponderada dos valores de fronteira para o valor inicial em cada ponto interiorda malha, de acordo com a posicao do ponto em relacao aos pontos das quatro fronteiras discretizadas.

Em forma matricial, o algoritmo de Jacobi pode ser descrito da seguinte forma. Denotando por D = diag(a11, . . . , ann) a matriz diagonal cujas entradas sao as entradas diagonais de A, temos que

xk+1 = D−1[(D −A) xk + b

](4.4)

ouxk+1 = D−1

(Cxk + b

)(4.5)

onde C = D −A e a matriz consistindo dos elementos restantes de A fora da diagonal principal.


4.1.2 Metodo de Gauss-Seidel

Um metodo iterativo que converge cerca de duas vezes mais rapido que o metodo de Jacobi (pelo menos emvarias aplicacoes) e o metodo de Gauss-Seidel, onde os valores de x sao atualizados dentro de cada iteracao,sem esperar pela proxima. Em outras palavras, obtido o valor de xk+1

l este e usado no lugar de xkl no calculo

seguinte. No sistema Ax = b em que aii 6= 0 para todo i, como antes isolamos cada xi na i-esima equacaomas desta vez escrevemos

xi =1aii

bi −

i−1∑

j=1

aijxj +n∑

j=i+1

aijxj

.

Entao definimos

xk+1i =

1aii

bi −

i−1∑

j=1

aijxk+1j +

n∑

j=i+1

aijxkj

(4.6)

pois os valores xk+11 , . . . , xk+1

i−1 ja foram computados nesta iteracao, enquanto que os valores xki+1, . . . , x

kn sao

fornecidos pela iteracao anterior.Por exemplo, no caso da equacao de Laplace, poderıamos utilizar a formula

uk+1i,j =

14

(uk+1

i,j−1 + uki,j+1 + uk+1

i−1,j + uki+1,j

)(4.7)

assumindo que os pontos da malha sao percorridos na ordem lexicografica, de modo que quando vamoscalcular o valor de u no ponto i, j na iteracao k + 1, nesta mesma iteracao ja calculamos os valores de u emi − 1, j e em i, j − 1, e usamos estes valores para calcular uk+1

i,j ao inves dos valores uki,j−1 e uk

i−1,j obtidosna iteracao anterior.

Em forma matricial, o algoritmo de Jacobi pode ser descrito da seguinte forma. Dada uma matriz A,existe uma unica decomposicao

A = D − L− U (4.8)

onde D e uma matriz diagonal, L e uma matriz estritamente triangular inferior e U e uma matriz estritamentetriangular superior; de fato, D = diag (a11, . . . , ann) e a parte diagonal de A, −L e a parte estritamentetriangular inferior de A e −U e a parte estritamente triangular superior de A. Entao o algoritmo de Jacobipode ser definido por

xk+1 = D−1(Lxk+1 + Uxk + b

)(4.9)

ou(D − L)xk+1 = Uxk + b,

dondexk+1 = (D − L)−1 (

Uxk + b). (4.10)

E importante ressaltar que existem matrizes para as quais o metodo de Jacobi converge e o metodo deGauss-Seidel diverge, e vice-versa. Veja a proxima secao sobre a convergencia dos metodos.

4.1.3 Metodo SOR

O processo de corrigir uma equacao atraves da modificacao de uma variavel e as vezes chamado de relax-amento. Antes da correcao, a equacao nao e verdadeira; como um conjunto de partes que nao se ajustam,ela esta em estado de tensao. A correcao de uma variavel relaxa a tensao. O metodo de Gauss-Seidel efetuarelaxamento sucessivo, ou seja, passa de equacao para equacao, relaxando uma depois da outra. [Watkins]

Por este motivo, os metodos de Jacobi e de Gauss-Seidel sao tambem chamados metodos de relaxamento.Em muitos casos, a convergencia pode ser substancialmente acelerada atraves de sobrerelaxamento. Issosignifica que ao inves de fazer uma correcao para a qual a equacao e satisfeita exatamente, nos fazemos umacorrecao maior. No caso mais simples, escolhe-se um fator de relaxamento ω > 1 que sobrecorrige por aquele


fator em cada passo (se mover um passo na direcao de xk para xk+1 e bom, mover naquela direcao ω > 1passos e melhor). Este e o chamado metodo de sobrerelaxamento sucessivo (SOR, successive overrelaxation):usando o metodo de Gauss-Seidel obtemos

xk+1i =

1aii

bi −

i−1∑

j=1

aijxk+1j +

n∑

j=i+1

aijxkj

;

daı tomamosxk+1

i = xki + ω

(xk+1

i − xki

).

Isso pode ser resumido em

xk+1i = xk

i + ω

1

aii

bi −

i−1∑

j=1

aijxk+1j −

n∑

j=i+1

aijxkj

− xk

i

. (4.11)

Quando ω = 1, o metodo SOR e exatamente o metodo de Gauss-Seidel. Um fator ω < 1 (subrelaxamento)normalmente diminui a velocidade de convergencia.

Para a maioria dos problemas, o melhor valor para o fator de relaxamento e desconhecido. Para a matrizde discretizacao obtida a partir da formula de cinco pontos, e sabido que o valor otimo de ω e, como veremosna proxima secao,

ω =2

1 + sen (π∆x). (4.12)

Em forma matricial, o metodo SOR pode ser descrito da seguinte forma. Como antes, dada uma matrizA escrevemos

A = D − L− U (4.13)

onde D e uma matriz diagonal, L e uma matriz estritamente triangular inferior e U e uma matriz estritamentetriangular superior. Entao, escrevendo o algoritmo SOR na forma

aiixk+1i = aiix

ki + ω

bi −

i−1∑

j=1

aijxk+1j −

n∑

j=i

aijxkj

,

temosDxk+1 = Dxk + ω

[Lxk+1 + (U −D) xk + b

](4.14)

ou (1ω

D − L

)xk+1 =

(1− ω

ωD + U

)xk + b,

donde

xk+1 =(

1ω

D − L

)−1 [(1− ω

ωD + U

)xk + b

]. (4.15)

4.1.4 Comparacao da Velocidade de Convergencia dos Tres Metodos

A tabela a seguir foi extraıda de [Watkins], pags. 533 e 542. Os metodos introduzidos acima foram usadospara resolver o sistema linear Ax = b onde A e a matriz de discretizacao obtida a partir da formula doscinco pontos do laplaciano no quadrado unitario Ω = (0, 1)2 e b e estabelecido pela condicao de fronteira deDirichlet dada por

g (x, y) =

0 se x = 0,y se x = 1,

(x− 1) sen x se y = 0,x (2− x) se y = 1,


ou seja, para resolver o problema discretizado −∆dud = 0 em Ωd,

ud = gd sobre ∂Ωd.

As iteracoes foram interrompidas quando∣∣uk+1 − uk

∣∣2

|uk+1|2< 10−8.

O numero de iteracoes necessarias para convergir de acordo com esta margem de tolerancia, para tres refina-mentos possıveis da malha (correspondentes a matrizes de dimensoes n = 81, 361 e 1521, respectivamente),de acordo com cada metodo e para diferentes valores de ω no caso do metodo SOR e apresentado na tabelaabaixo.

∆x = 0.1 ∆x = 0.05 ∆x = 0.025Jacobi 299 1090 3908SOR (ω = 0.8) 235 845 3018Gauss-Seidel 160 581 2082SOR (ω = 1.4) 67 262 955SOR (ω = 1.6) 42 151 577SOR (ω = 1.7) 57 96 412SOR (ω = 1.8) 86 89 252SOR (ω = 1.9) 176 180 179SOR (ω = 2.0) ∞ ∞ ∞

Vemos que o metodo de Gauss-Seidel e cerca de duas vezes mais rapido para convergir que o metodo deJacobi e que dependendo da escolha de ω, o metodo SOR pode ser ate dez vezes mais rapido que o metodode Gauss-Seidel para a malha mais refinada. Subrelaxamento nao ajuda e para ω = 2 o metodo SOR edivergente.

4.1.5 Metodo de Jacobi Amortecido

O metodo de Gauss-Seidel pode ser sobrerelaxado atraves de um parametro ω > 1 para obter um metodoque converge mais rapido.Ja o metodo de Jacobi nao pode em geral ser sobrerelaxado, porque o metodoobtido nao converge. Ele pode no entanto ser subrelaxado atraves de um parametro ω < 1 para obter ummetodo convergente, se bem que mais vagaroso. A vantagem de se utilizar um tal metodo e que para certosvalores de ω ele e um otimo suavizador de erro (em um sentido que sera explicado no proximo capıtulo),enquanto que o metodo de Jacobi usual nao possui esta propriedade. Assim, o metodo de Jacobi amortecidopode ser usado em metodos multigrid (veja o proximo capıtulo).

Pelo metodo de Jacobi usual obtemos

xk+1i =

1aii

bi −

n∑

j=1j 6=i

aijxkj

,

e tomamosxk+1

i = xki + ω

(xk+1

i − xki

),

ou seja,

xk+1i = xk

i + ω

1aii

bi −

n∑

j=1j 6=i

aijxkj

− xk

i

. (4.16)


Este metodo e conhecido como metodo de Jacobi amortecido, metodo de Jacobi ponderado ou aindametodo de relaxamento simultaneo (diferente do metodo de relaxamento sucessivo, baseado no metodo deGauss-Seidel, em que cada variavel e substituıda sucessivamente dentro da mesma iteracao a medida queela e atualizada; no metodo de Jacobi, as variaveis sao todas substituıdas simultameamente na proximaiteracao).

Em forma matricial, o metodo de Jacobi amortecido pode ser descrito da seguinte forma. Denotando porD a parte diagonal de A, temos

aiixk+1i = aiix

ki + ω

bi −

n∑

j=1

aijxkj

,

temosDxk+1 = Dxk + ω

[b−Axk

](4.17)

ou (1ω

D

)xk+1 =

(1ω

D −A

)xk + ωb,

donde

xk+1 =(

1ω

D

)−1 [(1ω

D −A

)xk + b

]. (4.18)

Em contraste com o metodo SOR, que converge em geral para 0 < ω < 2, o metodo de Jacobi amortecidoconverge para 0 < ω 6 1 (veja a proxima secao).

4.2 Analise de Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares

Os metodos descritos na secao anterior sao casos especiais de uma classe geral de metodos chamados metodositerativos lineares ou metodos de correcao residual. Um metodo iterativo linear para resolver o sistemalinear

Ax = b

envolve a decomposicao da matriz A na forma

A = B − C, (4.19)

onde B e necessariamente uma matriz invertıvel, e entao a resolucao iterativa do sistema de equacoes

Bxk+1 = Cxk + b (4.20)

ou, mais explicitamente,xk+1 = B−1

(Cxk + b

).

Se xk → x, entao Bx = Cx + b, donde Ax = b. Do ponto de vista pratico, e importante que a matriz Bseja “facil de resolver” (mesmo que a inversa de B nao seja efetivamente calculada), como nos exemplos dasecao anterior:

B C

Jacobi D D −A

Gauss-Seidel D − L U

SOR1ω

D − L1− ω

ωD + U

Para obter uma convergencia rapida, tambem gostarıamos que B ≈ A e C ≈ 0. Deste ponto de vista, o idealseria B = A e C = 0 (convergencia em uma iteracao), mas isso viola em geral o criterio que B seja “facilde resolver”. Um compromisso e necessario: B deve aproximar A o melhor possıvel sem se tornar muitocomplicada.


4.2.1 Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares

Para metodos iterativos em geral, definimos o erro algebrico por

ek = x− xk, (4.21)

enquanto que o erro residual e dado por

rk = Ax−Axk = f −Axk. (4.22)

O erro algebrico tem interesse puramente teorico (para provar que determinado metodo iterativo converge,precisamos mostrar que o erro algebrico tende a zero), ja que ele so pode ser calculado uma vez que seconhece a solucao exata, e se este for o caso obviamente nao ha necessidade de resolver o sistema. Ja o erroresidual pode ser usado como criterio de parada para o metodo iterativo. Como

Bek+1 = Bx−Bxk+1 = Ax + Cx− Cxk − b = C(x− xk

)= Cek,

segue queek+1 = B−1Cek.

Observe queB−1C = B−1 (B −A) = I −B−1A.

A matrizR = I −B−1A = B−1C (4.23)

e chamada a matriz de iteracao ou matriz de propagacao do erro do algoritmo considerado, porque

xk+1 = Rxk + B−1b. (4.24)

e o erro e dado porek+1 = Rek. (4.25)

Em particular,ek = Rke0 (4.26)

de modo que o erro converge para 0, independentemente do chute inicial x0, se e somente se Rk → 0. Issoocorre se e somente se existe alguma norma matricial ‖·‖ tal que ‖R‖ < 1. Obter uma norma matricialque satisfaz esta propriedade, no entanto, e difıcil. Vamos obter uma condicao necessaria e suficiente paraRk → 0 em termos do raio espectral da matriz de iteracao (Corolario 4.5 a seguir), que e em geral um poucomais facil de calcular. Antes, para motivar o resultado, suponha que A seja uma matriz diagonalizavel comλ1, . . . , λn os seus autovalores e v1, . . . , vn uma correspondente base de autovetores. Escrevendo o erroinicial como uma combinacao linear dos autovetores, temos

e0 =n∑

i=1

aivi.

Logo,

ek = Rke0 =n∑

i=1

aiλki vi,

de modo que∣∣ek

∣∣ 6n∑

i=1

|ai| |λi|k |vi| .

Como |λi|k → 0 se e somente se |λi| < 1, concluımos que ek → 0 qualquer que seja o erro inicial (isto e,qualquer que seja o chute inicial), se e somente se ρ (R) = max16i6n |λi| < 1 .


4.1 Lema. Se A ∈ Mn (C) e ‖·‖ e qualquer norma matricial, entao

ρ (A) 6 ‖A‖ .

Prova. Seja λ um autovalor qualquer de A e x um autovetor nao-nulo correspondente a λ, de modo que

Ax = λx.

Considere a matriz X ∈ Mn (C) cujas colunas sao todas iguais ao vetor x. Temos tambem

AX = λX

de modo que|λ| ‖X‖ = ‖AX‖ 6 ‖A‖ ‖X‖ ,

donde|λ| 6 ‖A‖

para todo autovalor λ de A. Como existe um autovalor λ de A tal que ρ (A) = λ, isso prova o resultado. ¥

4.2 Lema. Seja A ∈ Mn (C) e ε > 0 dado. Entao existe uma norma matricial ‖·‖ tal que

ρ (A) 6 ‖A‖ 6 ρ (A) + ε. (4.27)

Prova. Toda matriz complexa e triangularizavel atraves de uma matriz unitaria (isto e, uma matriz U quesatisfaz U∗U = UU∗ = I; sua inversa e a sua adjunta ou transposta conjugada). Sejam entao

T =

λ1 a12 a22 . . . a1n

λ2 a23 . . . a2n

λ3 . . . a3n

. . ....

λn

uma matriz triangular e U uma matriz unitaria tais que

A = U∗TU.

Considere a matriz diagonal

Dt =

tt2

. . .tn

.

Temos

DtTD−1t =

λ1 a12t−1 a22t

−2 . . . . . . a1nt−n+1

λ2 a23t−1 . . . . . . a2nt−n+2

λ3 . . . . . . a3nt−n+3

. . ....

λn−1 an−1,nt−1

λn

.

Logo, para t > 0 suficientemente grande, a matriz DtTD−1t tem a propriedade que a soma dos valores

absolutos de elementos fora da diagonal principal e menor que ε. Em particular, se ‖·‖L denota a norma domaximo das somas das linhas, podemos garantir que

∥∥DtTD−1t

∥∥L

6 ρ (A) + ε


para t suficientemente grande. Portanto, fixado um tal t, se definirmos uma norma por

‖A‖ :=∥∥DtUAU∗D−1

t

∥∥L

=∥∥∥(U∗D−1

t

)−1AU∗D−1

t

∥∥∥L

,

teremos‖A‖ =

∥∥DtUAU∗D−1t

∥∥L

=∥∥DtTD−1

t

∥∥L

6 ρ (A) + ε.

Pelo lema anterior, ρ (A) 6 ‖A‖. ¥

4.3 Lema. Seja A ∈ Mn (C). Se existe alguma norma matricial ‖·‖ tal que ‖A‖ < 1, entao

Ak → 0.

Prova. Se ‖A‖ < 1, entao ∥∥Ak∥∥ 6 ‖A‖k → 0.

¥

4.4 Proposicao. Seja A ∈ Mn (C). EntaoAk → 0

se e somente seρ (A) < 1.

Prova. Se existe algum autovalor λ de A tal que |λ| > 1 e x e um autovetor nao-nulo correspondente, entao

Akx = λkx

nao converge para 0. Reciprocamente, se ρ (A) < 1, entao pelo Lema 4.2 existe uma norma matricial ‖·‖ talque ‖A‖ < 1, logo Ak → 0 pelo lema anterior. ¥

4.5 Corolario. Seja R a matriz de iteracao de um metodo iterativo linear. Entao

ek → 0

se e somente seρ (R) < 1.

Em outras palavras, um metodo iterativo linear e convergente independentemente da escolha do chuteinicial se e somente se todos os autovalores da matriz de iteracao tem valor absoluto menor que 1.

4.2.2 Velocidade de Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares

O raio espectral tambem da informacao sobre a velocidade de convergencia. Se nos tivermos dois metodositerativos lineares diferentes, isto e, duas maneiras diferentes de decompor a matriz A:

A = B1 − C1 = B2 − C2,

entao o segundo metodo convergira mais rapido se e somente se

ρ (R2) < ρ (R1) .

Vamos analisar a velocidade de convergencia dos metodos iterativos com maior precisao. Novamente atıtulo de motivacao, suponha que A e uma matriz diagonalizavel com seu maior autovalor sendo um autovalorsimples. Ordene os autovalores de A na forma

|λ1| > |λ2| > . . . > |λn|


e seja v1, . . . , vn uma correspondente base de autovetores. Escrevendo de novo

e0 =n∑

i=1

aivi,

donde

ek = Rke0 =n∑

i=1

aiλki vi,

segue que

ek = λk1

[a1x1 +

n∑

i=2

ai

(λi

λ1

)k

vi

].

Como (λi

λ1

)k

→ 0,

a taxa de convergencia e determinada por |λ1|k. Para k grande, temos

ek ≈ λk1a1v1.

Portanto, ∣∣ek+1∣∣

|ek| = |λ1| = ρ (R) . (4.28)

Em outras palavras, a convergencia e linear com taxa de convergencia igual ao raio espectral. Se a1 =0 a convergencia sera mais rapida, pois dependera do modulo do segundo autovalor, mas e obviamenteextremamente raro que o chute inicial satisfaca esta condicao. Para o caso geral, precisamos do seguinteresultado:

4.6 Proposicao. Seja A ∈ Mn (C) e ‖·‖ uma norma matricial. Entao

ρ (A) = lim∥∥Ak

∥∥1/k.

Prova. Como os autovalores da matriz Ak sao as k-esimas potencias dos autovalores de A, temos que

ρ (A)k = ρ(Ak

)6

∥∥Ak∥∥ ,

dondeρ (A) 6

∥∥Ak∥∥1/k

.

Dado ε > 0, a matriz

B =1

ρ (A) + εA

tem raio espectral menor que 1, logo Bk → 0. Portanto, existe algum N = N (ε,A) tal que∥∥Bk

∥∥ < 1

ou seja, ∥∥Ak∥∥1/k

< ρ (A) + ε

para todo k > N . ¥Definimos a taxa media de convergencia de um metodo iterativo linear com matriz de iteracao R por

Rk (R) = − log10

∥∥Rk∥∥1/k

= −1k

log10

∥∥Rk∥∥ (4.29)

e a taxa assintotica de convergencia por

R∞ (R) = limk→∞

Rk (R) . (4.30)


4.7 Corolario. Seja R a matriz de iteracao de um metodo iterativo linear. Entao a taxa assintotica deconvergencia do metodo e dada por

R∞ (R) = − log10 ρ (R) . (4.31)

Prova. PoisR∞ (R) = − lim

k→∞log10

∥∥Rk∥∥1/k

= − log10 limk→∞

∥∥Rk∥∥1/k

= − log10 ρ (R) .

¥A taxa assintotica de convergencia mede o aumento no numero de casas decimais corretas na solucao poriteracao. De fato, usando a norma matricial do Lema 4.2 e medindo as normas dos vetores de acordo, temos

∣∣ek+1∣∣

|ek| =

∣∣Rk+1e0∣∣

|Rke0| 6 ‖R‖ = ρ (R) + ε,

donde

− log10

∣∣ek+1∣∣

|ek| = − log10 ρ (R) + O (ε)

oulog10

∣∣ek∣∣− log10

∣∣ek+1∣∣ = R∞ (R) + O (ε) . (4.32)

Assim, se∣∣ek

∣∣ = O(10−p

),∣∣ek+1

∣∣ = O(10−q

),

teremosq − p ≈ R∞ (R) ,

isto e, reduzimos R∞ (R) ≈ q − p casas decimais no erro. Visto de outra forma, como∣∣ek+m

∣∣|ek| =

∣∣Rk+me0∣∣

|Rke0| 6 ‖Rm‖ = ρ (R)m + O (ε) ,

donde

− log10

∣∣ek+m∣∣

|ek| ≈ −m log10 ρ (R) ,

ou

m =log10

(∣∣ek+m∣∣ /

∣∣ek∣∣)

log10 ρ (R)(4.33)

e o numero de iteracoes necessarias para diminuir o erro de um numero prescrito de casas decimais.

4.2.3 Convergencia para Matrizes Simetricas Positivas Definidas

Para matrizes reais simetricas positivas definidas e mais facil provar a convergencia dos metodos iterativoslineares. Temos o seguinte resultado basico a seguir. Antes precisamos da seguinte definicao:

Definicao. Introduzimos uma ordenacao parcial em Mn (C) definindo

A 6 B

se〈Ax, x〉 6 〈Bx, x〉

para todo x ∈ Cn.


Em particular, se A e uma matriz positiva definida, segue que A > εI para algum ε (o menor autovalor deA) e denotamos este fato por

A > 0.

4.8 Teorema. Seja A uma matriz simetrica positiva definida e seja A = B − C com B invertıvel. Entaoo metodo iterativo linear com matriz de iteracao R = B−1C converge se e somente se Bt + C e umamatriz simetrica positiva definida.

Prova. Medimos a norma do erro atraves da norma induzida por A

|x|A := 〈Ax, x〉1/2

e consideraremos a norma matricial ‖·‖A induzida por esta norma. Se provarmos que

‖R‖A < 1,

o metodo convergira. Temos

‖R‖2A =∥∥B−1C

∥∥2

A= sup

x6=0

∣∣B−1Cx∣∣2A

|x|2A= sup

x 6=0

⟨AB−1Cx,B−1Cx

⟩

〈Ax, x〉 = supx 6=0

⟨CtB−tAB−1Cx, x

⟩

〈Ax, x〉 . (4.34)

Suponha que Bt + C e uma matriz simetrica, positiva definida. Temos

CtB−tAB−1C =(Bt −A

)B−tAB−1 (B −A) =

(I −AB−t

)A

(I −B−1A

)

= A− (AB−tA + AB−1A−AB−tAB−1A

)

= A−AB−t(B + Bt −A

)B−1A

= A− (B−1A

)t (B + Bt −A

)B−1A

ouCtB−tAB−1C = A− (

B−1A)t (

Bt + C)B−1A, (4.35)

de modo que CtB−tAB−1C e uma matriz simetrica, positiva definida. Logo, por (4.34), mostrar que‖R‖A < 1 e equivalente a provar que

CtB−tAB−1C < A,

e por (4.35) CtB−tAB−1C < A se e somente se(B−1A

)t (Bt + C) B−1A > 0, o que e verdade porque Bt+Ce positiva definida. ¥

4.3 Convergencia dos Metodos Iterativos Lineares para as Ma-trizes de Discretizacao

4.3.1 Convergencia do Metodo de Jacobi

4.9 Teorema. Se A e uma matriz irredutıvel, diagonalmente dominante tal que |aii| >n∑

j=1j 6=i

|aij | para pelo

menos alguma linha i, entao o metodo de Jacobi converge.

Prova. Seja D a parte diagonal da matriz A e R = D−1 (D −A) = I − D−1A a matriz de iteracao dometodo de Jacobi para A. Suponha por absurdo que exista um autovalor λ de R tal que |λ| > 1. Comoλ det

(λ−1R− I

)= det (R− λI) = 0, temos

det(I − λ−1R

)= 0.


Por outro lado, observe que I − λ−1R tambem e irredutıvel, pois

Rij =(I −D−1A

)ij

=

0 se i = j,

−aij

aiise i 6= j,

(I − λ−1R

)ij

=

1 se i = j,

λ−1 aij

aiise i 6= j,

de modo que, onde A se anula, I−λ−1R tambem se anula. Alem disso, I−λ−1R e diagonalmente dominantee estritamente dominante nas linhas onde A e, pois |λ|−1 6 1,

(I − λ−1R

)ii

= 1 e

n∑

j=1j 6=i

∣∣∣(I − λ−1R

)ij

∣∣∣ =|λ|−1

|aii|n∑

j=1j 6=i

|aij | 6 1|aii|

n∑

j=1j 6=i

|aij | .

Mas, pela Proposicao 3.16, isso implica que I − λ−1R e invertıvel, uma contradicao. ¥O Teorema 4.8 mostra que o metodo de Jacobi converge para as matrizes de discretizacao obtidas atravesdos esquemas de diferencas finitas do Capıtulo 2.

Atraves do Teorema 4.9, fomos capazes de provar a convergencia do metodo de Jacobi para as matrizes dediscretizacao sem calcular explicitamente os seus raios espectrais. Para analizar a velocidade de convergenciado metodo de Jacobi, no entanto, e necessario obter os raios espectrais destas matrizes. Vamos fazer issopara as matrizes de discretizacao obtidas a partir da formula de tres pontos unidimensional e a partir daformula de cinco pontos bidimensional.

4.10 Teorema. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensionalou a partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Seja R = D−1 (D −A) a matrizde iteracao do metodo de Jacobi. Entao

ρ (R) = cosπ

n. (4.36)

Prova. Para o metodo de Jacobi, a matriz de discretizacao xk+1 = Rxk +D−1b e obtida atraves da formula:

uk+1i,j =

14

(uk


i−1,j + uki+1,j

).

Ja vimos no Lema 2.2 que

−ukli−1,j − ukl

i+1,j + 4ukli,j − ukl

i,j−1 − ukli,j+1 =

(λkl∆x2

)ukl

i,j

com

λkl =2

∆x2

(2− cos

kπ

n− cos

lπ

n

).

Daı segue queukl

i,j−1 + ukli,j+1 + ukl

i−1,j + ukli+1,j =

(4− λkl∆x2

)ukl

i,j

Logo14

(ukl

i,j−1 + ukli,j+1 + ukl

i−1,j + ukli+1,j

)= µlkukl

i,j

para

µlk = 1− 14λkl∆x2 = 1− 1

2

(2− cos

kπ

n− cos

lπ

n

)=

12

(cos

kπ

n+ cos

lπ

n

).


Estes sao os autovalores da matriz de iteracao de Jacobi para a matriz de discretizacao obtida a partir daformula de cinco pontos (observe que elas possuem os mesmos autovetores; no entanto R possui autovaloresnulos). Segue que o maximo autovalor ocorre quando k = l = 1, logo

ρ (R) = cosπ

n.

O argumento para a formula de tres pontos e analogo. ¥Para o quadrado unitario temos

ρ (R) = cos (π∆x) . (4.37)

Vemos em particular que ρ (R) → 1 quando ∆x → 0, de modo que a velocidade de convergencia do metodode Jacobi vai ficando cada vez menor para malhas mais refinadas. Podemos dizer mais usando a expansaoda funcao cosseno em torno da origem

cosx = 1− 12x2 + O

(x4

);

se ∆x e pequeno podemos aproximar

cos (π∆x) ≈ 1− π2

2∆x2,

de modo que ρ (R) → 1 quadraticamente quando ∆x → 0. Em outras palavras, para uma malha duas vezesmais refinada (isto e, ∆x reduzido pela metade), o metodo de Jacobi e cerca de quatro vezes mais vagarosoem media (consulte novamente a tabela no final da secao anterior). A tabela abaixo mostra os valores doraio espectral para alguns valores de ∆x:

∆x 0.1 0.05 0.025

ρ (R) 0.9511 0.9877 0.9969

Para ∆x = 0.025 (correspondente a uma matriz de tamanho n = 39× 39 = 1521), temos

R∞ (R) = − log10 (0.9969) = 0.0013484,

de modo que para reduzir o erro pelo fator de uma casa decimal precisamos de

m =log10 0.1

log10 ρ (R)= − 1

log10 ρ (R)=

10.00135

≈ 742

iteracoes.

4.3.2 Convergencia do Metodo de Gauss-Seidel


j=1j 6=i

|aij | para pelo

menos alguma linha i, entao o metodo de Gauss-Seidel converge.

Prova. Sejam D a parte diagonal, −L a parte triangular inferior estrita e −U a parte triangular superiorestrita da matriz A, e seja R = (D − L)−1

U a matriz de iteracao do metodo de Gauss-Seidel para A.Escrevemos

R = (D − L)−1U =

[D

(I −D−1L

)]−1U

ouR =

(I −D−1L

)−1D−1U. (4.38)


Suponha por absurdo que exista um autovalor λ de R tal que |λ| > 1; como na demonstracao do Teorema4.9, temos

det(I − λ−1R

)= det

(I − λ−1

[(I −D−1L

)−1D−1U

])= 0.

Agora, observando quedet

(I −D−1L

)= 1

porque I −D−1L e uma matriz triangular inferior com apenas 1’s na diagonal principal, escrevemos

0 = det(I − λ−1

[(I −D−1L

)−1D−1U

])

= det(I −D−1L

)det

(I − λ−1

[(I −D−1L

)−1D−1U

])

= det(

I −D−1L) (

I − λ−1[(

I −D−1L)−1

D−1U])

= det(I −D−1L− λ−1D−1U

).

Por outro lado,D−1A = I −D−1L−D−1U

e irredutıvel, diagonalmente dominante e estritamente dominante nas linhas onde A e porque

(D−1A

)ij

=

1 se i = j,aij

aiise i 6= j.

Logo, a matriz I − D−1L − λ−1D−1U tambem satisfaz estas propriedades, pois I, −D−1L e −D−1U saorespectivamente a parte diagonal, a parte triangular inferior estrita e a parte triangular superior estrita damatriz D−1A, e multiplicar a parte triangular inferior estrita pelo numero λ−1 cujo modulo e menor que ouigual a 1 nao alterara a dominancia diagonal (na verdade so tende a melhora-la) nem acrescentara zeros amatriz. A Proposicao 3.16 implica entao que I −D−1L− λ−1D−1U e invertıvel, um absurdo. ¥Usando o Teorema 4.11, concluımos que o metodo de Gauss-Seidel converge para as matrizes de discretizacaoobtidas atraves dos esquemas de diferencas finitas do Capıtulo 2. Para analizar a velocidade de convergenciado metodo de Gauss-Seidel, vamos obter os raios espectrais para as matrizes de discretizacao obtidas a partirda formula de tres pontos unidimensional e a partir da formula de cinco pontos bidimensional.

4.12 Teorema. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensionalou a partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Seja R = (D − L)−1

U a matrizde iteracao do metodo de Gauss-Seidel. Entao

ρ (R) = cos2π

n. (4.39)

Prova. Para obter o raio espectral da matriz de iteracao R, queremos encontrar os autovalores µ de R:

Ru = (D − L)−1Uu = µu,

ou seja,Uu = µ (D − L)u

(um problema de autovalor generalizado). No caso da matriz de discretizacao da formula de cinco pontos,isso significa encontrar µ tal que

ui,j+1 + ui+1,j = µ (4ui,j − ui,j−1 − ui−1,j) . (4.40)

Para os autovalores nao-nulos, podemos fazer a substituicao

ui,j = µi+j2 vi,j (4.41)


para transformar a equacao de autovalor naquela que aparece no metodo de Jacobi. Temos

µi+j+1

2 vi,j + µi+j+1

2 vi+1,j = µ(4µ

i+j2 vi,j − µ

i+j−12 vi,j−1 − µ

i+j−12 vi−1,j

)

= 4µi+j+2

2 vi,j − µi+j+1

2 vi,j−1 − µi+j+1

2 vi−1,j ,

de modo que, dividindo por µi+j+1

2 , obtemos

vi−1,j + vi+1,j + vi,j−1 + vi,j+1 = µ1/24vi,j .

Portanto os autovalores da matriz de iteracao de Gauss-Seidel para esta matriz sao exatamente os quadradosdos autovalores da matriz de iteracao de Jacobi (e os autovetores sao os mesmos):

µlk =14

(cos

kπ

n+ cos

lπ

n

)2

.

Portanto, o maximo autovalor ocorre quando k = l = 1 e

ρ (R) = cos2π

n.

O argumento para a formula de tres pontos e analogo. ¥Para o quadrado unitario temos

ρ (R) = cos2 (π∆x) ,

e usando

cos2 x =[1− 1

2x2 + O

(x4

)]2

= 1− x2 + O(x4

),


cos2 (π∆x) ≈ 1− π2∆x2.

No metodo de Gauss-Seidel ainda temos ρ (R) → 1 quadraticamente quando ∆x → 0, mas a sua velocidadede convergencia para a matriz de discretizacao de cinco pontos do quadrado unitario e duas vezes maior quea do metodo de Jacobi. Para ver isso, faca a expansao do logaritmo em torno do ponto x = 1:

log (1 + x) = x + O(∆x2

).

Segue que

R∞ (RJacobi) =π2

2∆x2 + O

(∆x4

), (4.42)

R∞ (RGauss-Seidel) = π2∆x2 + O(∆x4

). (4.43)

4.3.3 Convergencia do Metodo SOR

4.13 Teorema. Se o metodo SOR converge, entao

0 < ω < 2.

Prova. A matriz de iteracao do metodo SOR e

R =(

1ω

D − L

)−1 (1− ω

ωD + U

)=

[1ω

D(I − ωD−1L

)]−1 (1− ω

ωD + U

)

=(I − ωD−1L

)−1ωD−1

(1− ω

ωD + U

)


ouR =

(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

]. (4.44)

Se λ1, . . . , λn sao os autovalores de R, entao

detR = λ1 . . . λn.

Mas,

detR = det(

I − ωD−1L)−1 [

(1− ω) I + ωD−1U]

= det(I − ωD−1L

)−1det

[(1− ω) I + ωD−1U

]

= (1− ω)n,

ja que I −ωD−1L e uma matriz triangular inferior com apenas 1 na diagonal principal e (1− ω) I +ωD−1Ue uma matriz triangular superior com apenas 1− ω na diagonal principal. Logo

λ1 . . . λn = (1− ω)n.

Em particular, pelo menos um dos autovalores λj de R deve satisfazer

|λj | > |1− ω| .

Mas, se o metodo SOR converge, devemos ter tambem |λ| < 1 para todo autovalor λ de R. Logo

|1− ω| < 1,

donde0 < ω < 2.

¥

4.14 Corolario. Se R e a matriz de iteracao n× n para o metodo SOR, entao

detR = (1− ω)n.

Em particular, diferente das matrizes de iteracao dos metodos de Jacobi e de Gauss-Seidel (para a matriz dediscretizacao de cinco pontos), zero nao e um autovalor para a matriz de iteracao do metodo SOR se ω 6= 1(para nenhuma matriz).


j=1j 6=i

|aij | para pelo

menos alguma linha i, entao o metodo SOR converge se 0 < ω 6 1.

Prova. A demonstracao e analoga a do Teorema 4.11. A matriz de iteracao do metodo SOR e

R =(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

].

Suponha por absurdo que exista um autovalor λ de R tal que |λ| > 1; temos

det(I − λ−1R

)= det

(I − λ−1

(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

])= 0.

Agora, observando quedet

(I − ωD−1L

)= 1


porque I − ωD−1L e uma matriz triangular inferior com apenas 1’s na diagonal principal, escrevemos

0 = det(I − λ−1

(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

])

= det(I − ωD−1L

)det

(I − λ−1

(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

])

= det[(

I − ωD−1L) (

I − λ−1(

I − ωD−1L)−1 [

(1− ω) I + ωD−1U])]

= det(I − ωD−1L− λ−1

[(1− ω) I + ωD−1U

])

= det[

1− λ−1 (1− ω)]I − ωD−1L− λ−1ωD−1U

.

Por outro lado, como vimos na demonstracao do Teorema 4.11, a matriz

D−1A = I −D−1L−D−1U

e irredutıvel, diagonalmente dominante e estritamente dominante nas linhas onde A e, logo a matriz

S =[1− λ−1 (1− ω)

]I − ωD−1L− λ−1ωD−1U

tambem satisfaz estas propriedades. De fato, S tem zeros nas mesmas posicoes que I −D−1L−D−1U , logoa sua irredutibilidade nao e afetada. Alem disso, pela dominancia diagonal de D−1A, sabemos que se

bij =(D−1L

)ij

,

cij =(D−1U

)ij

.

entao

1 >i−1∑

j=1

|bij |+n∑

j=i+1

|cij | .

Para provar a dominancia diagonal de S, observamos que os valores que S possui na diagonal principal sao

1− λ−1 (1− ω) = 1− 1− ω

λ=

λ + ω − 1λ

,

de modo que precisamos provar que

∣∣∣∣λ + ω − 1

λ

∣∣∣∣ > ω

i−1∑

j=1

|bij |+ ω

|λ|n∑

j=i+1

|cij |

se 0 < ω 6 1 e |λ| > 1. Provaremos que∣∣∣∣λ + ω − 1

λ

∣∣∣∣ > ω,

∣∣∣∣λ + ω − 1

λ

∣∣∣∣ > ω

|λ| .

Para isso, observe que como |λ| > 1 basta provar a primeira desigualdade, a qual por sua vez e equivalente a

|λ + ω − 1| > |λ|ω.

E facil ver que esta desigualdade e valida quando λ ∈ R, pois

|λ + ω − 1| = λ + ω − 1 > λω porque λ− 1 > λω − ω = ω (λ− 1) .


Para o caso geral em que λ ∈ C, fazemos cair no caso real escrevendo

|λ + ω − 1|2 = |λ− (1− ω)|2 = |λ|2 − 2 (Re λ) (1− ω) + (1− ω)2

> |λ|2 − 2 |λ| (1− ω) + (1− ω)2 = [|λ| − (1− ω)]2

= [|λ|+ ω − 1]2 > |λ|2 ω2.

O resultado acima continua valendo com desigualdade estrita nas linhas onde a desigualdade e estrita. AProposicao 3.16 implica entao que S e invertıvel, contradizendo det S = 0. ¥

4.16 Teorema. Seja A uma matriz simetrica positiva definida. Entao o metodo SOR converge se 0 < ω < 2.

Prova. Usaremos o Teorema 4.8. Escrevendo A = D − L − U , temos Lt = U porque A e simetrica e asentradas diagonais de D positivas porque A e positiva definida. Para o metodo SOR temos

B =1ω

D − L e C =1− ω

ωD + U,

logo

Bt + C =1ω

D − Lt +1− ω

ωD + U =

2− ω

ωD

e uma matriz simetrica positiva definida se 0 < ω < 2. ¥Na verdade, se as entradas diagonais de uma matriz simetrica sao positivas, a condicao de ser definidapositiva e equivalente a convergencia do metodo SOR para 0 < ω < 2, como o proximo resultado mostra.

4.17 Teorema. Seja A uma matriz simetrica com entradas diagonais positivas. Entao o metodo SORconverge se e somente se A e positiva definida e 0 < ω < 2.

Prova. Assuma que A e positiva definida e que 0 < ω < 2. Seja

R =(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

]

a matriz de iteracao do metodo SOR. Se λ e um autovalor de R e x um autovetor associado, temos Rx = λx,donde [

(1− ω) I + ωD−1U]x = λ

(I − ωD−1L

)x.

Fazendo o produto interno canonico (hermitiano) de Cn de ambos os lados com o vetor x, segue que

(1− ω) 〈x, x〉+ ω⟨x,D−1Ux

⟩= λ

(〈x, x〉 − ω⟨x,D−1Lx

⟩)

Isolando λ,

λ =(1− ω) 〈x, x〉+ ω

⟨x,D−1Ux

⟩

〈x, x〉 − ω 〈x,D−1Lx〉 . (4.45)

Como A e simetrica, o produto de matrizes simetricas D−1A = I − D−1U − D−1L tambem e; comoD−1U,D−1L sao respectivamente a parte estritamente triangular superior e estritamente triangular infe-rior de uma matriz simetrica, temos (

D−1U)t

= D−1L.

Logo ⟨x, D−1Ux

⟩=

⟨(D−1U

)tx, x

⟩=

⟨(D−1L

)x, x

⟩= 〈x, (D−1L) x〉,

e definindo

z =

⟨x,

(D−1L

)x⟩

〈x, x〉 ,


podemos escrever

λ =(1− ω) + ωz

1− ωz. (4.46)

Os argumentos acima assumem que o denominador e nao-nulo. E, de fato, temos

Re z =12

(z + z) =12

(⟨x,

(D−1L

)x⟩

〈x, x〉 +

⟨x,

(D−1U

)x⟩

〈x, x〉

)=

12

⟨x,

(D−1L + D−1U

)x⟩

〈x, x〉

=12

⟨x,

(I −D−1A

)x⟩

〈x, x〉 =12

(1−

⟨x,

(D−1A

)x⟩

〈x, x〉

).

e como A e positiva definida, D−1A tambem e, o que implica⟨x,

(D−1A

)x⟩

〈x, x〉 > 0

dondeRe z <

12.

de modo que a parte real do denominador 1− ωz de λ e nao-nula para 0 < ω < 2. Segue que

|λ|2 = λλ =[(1− ω) + ωz] [(1− ω) + ωz]

(1− ωz) (1− ωz)=

(1− ω)2 + 2ω (1− ω)Re z + ω2 |z|21− 2ω Re z + ω2 |z|2

=ω2 − 2ω2 Re z − 2ω + 4ω Re z + 1− 2ω Re z + ω2 |z|2

1− 2ω Re z + ω2 |z|2

= 1− ω (2− ω) (1− 2 Re z)1− 2ω Re z + ω2 |z|2 .

Como 0 < ω < 2 e Re z <12, temos

ω (2− ω) (1− 2Re z) > 0,

e concluımos que|λ| < 1

para todo autovalor λ de R, logo o metodo SOR converge. A demonstracao da recıproca (assim como umademonstracao alternativa, variacional, deste teorema) pode ser vista em [Young]. ¥Usando o Teorema 4.15, concluımos que o metodo SOR converge para as matrizes de discretizacao obtidasatraves dos esquemas de diferencas finitas do Capıtulo 2 se 0 < ω 6 1. Isso permite apenas subrelaxamentodo metodo de Gauss-Seidel, o que em geral reduz a velocidade de convergencia. Por outro lado, usando oTeorema 4.16 ou o Teorema 4.17, concluımos que o metodo SOR converge para as matrizes de discretizacaoobtidas a partir da formula de tres pontos unidimensional e a partir da formula de cinco pontos bidimensionalse 0 < ω < 2, ja que estas sao matrizes simetricas, positivas definidas (ja as matrizes de discretizacao obtidasatraves de coordenadas polares ou pelo esquema de Shortley-Weller nao sao simetricas, em geral, comovimos).

Em seguida fazemos uma analise da velocidade de convergencia do metodo SOR para a matriz de dis-cretizacao da formula de cinco pontos, bem como obtemos o melhor valor do fator de relaxamento ω paraeste caso.

4.18 Lema. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensional oua partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Se λ 6= 0 e um autovalor de RSOR,entao existe um autovalor λJ de RJ tal que

λJ =1− ω − λ

λ1/2ω2. (4.47)


Reciprocamente, se λJ e um autovalor de RJ e λ ∈ C satisfaz a equacao acima, entao λ e um autovalorde RSOR.

Prova. Argumentamos como na demonstracao do Teorema 4.12. Para obter o raio espectral da matriz deiteracao RSOR, queremos encontrar os autovalores λ de RSOR:

RSORu =(I − ωD−1L

)−1 [(1− ω) I + ωD−1U

]u = λu,

ou seja, [(1− ω) I + ωD−1U

]u = λ

(I − ωD−1L

)u

No caso da matriz de discretizacao da formula de cinco pontos, isso significa encontrar λ tal que

(1− ω) ui,j +ω

4ui,j+1 +

ω

4ui+1,j = λ

(ui,j − ω

4ui,j−1 − ω

4ui−1,j

)

ou1− ω − λ

ωui,j =

14

(ui,j+1 + ui+1,j + λui,j−1 + λui−1,j) . (4.48)

Fazendo a substituicaoui,j = λ

i+j2 vi,j

e dividindo por µi+j+1

2 , segue que

vi−1,j + vi+1,j + vi,j−1 + vi,j+1 =1− ω − λ

λ1/2ω4vi,j

e daı o resultado. ¥Resolvendo a equacao (4.47) como uma equacao quadratica em

√λ, vemos que as duas raızes λ± =

(√λ±

)2

podem ser escritas na forma

λ± =14

[−ωλJ ±

√ω2λ2

J − 4 (ω − 1)]2

. (4.49)

DenotaremosΛω,λJ = max (|λ+| , |λ−|) (4.50)

e por λJ = ρ (RJ ) o maior autovalor do metodo de Jacobi.

4.19 Proposicao. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensionalou a partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Entao

ρ (RSOR,ω) = Λω,λJ(4.51)

Prova. Por definicao,ρ (RSOR,ω) = max

λJ

Λω,λJ.

De (4.49) segue que

Λω,λJ =14

∣∣∣∣ωλJ +√

ω2λ2

J − 4 (ω − 1)∣∣∣∣2

.

Se 0 < ω 6 1, ω2λ2

J − 4 (ω − 1) > 0 e Λω,λJe uma funcao crescente de λJ , logo o maximo e atingido em λJ .

Se ω > 1, defina

λc =

√4 (ω − 1)

ω2.


Se λJ > λc, ω2λ2

J − 4 (ω − 1) > 0 e segue a conclusao como no caso anterior. Se λJ 6 λc, entao ω2λ2

J −4 (ω − 1) 6 0 e √

ω2λ2

J − 4 (ω − 1) =√

4 (ω − 1)− ω2λ2

J i,

onde i =√−1, logo

Λω,λJ=

∣∣∣∣ωλJ +√

ω2λ2

J − 4 (ω − 1)∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣

√ω2λ2

J +[4 (ω − 1)− ω2λ

2

J

]∣∣∣∣∣

2

= ω − 1,

e novamente Λω,λJe uma funcao crescente de λJ . ¥

Definaωotimo =

2

1 +√

1− λ2

J

. (4.52)

Note que 1 < ωotimo < 2. Mostraremos que ωotimo e de fato o melhor valor para o fator de relaxamento nometodo SOR. Antes precisamos do seguinte resultado:

4.20 Proposicao. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensionalou a partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Entao

ρ (RSOR,ω) =

14

(ωλJ +

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1))2

se 0 < ω 6 ωotimo,

ω − 1 se ωotimo 6 ω < 2.

(4.53)

Prova. Temos ω2λ2

J − 4 (ω − 1) > 0 para 0 < ω < 2 se e somente se ω 6 ωotimo. De fato, as raızes def (ω) = ω2λ

2

J − 4ω + 4 sao

ω± =4± 4

√1− λ

2

J

2λ2

J

=2

λ2

J

(1±

√1− λ

2

J

)

de modo que a raiz positiva de f e maior que 2, logo para que f (ω) > 0 se 0 < ω < 2, devemos ter

ω 6 2

λ2

J

(1−

√1− λ

2

J

)=

2

λ2

J

1−(1− λ

2

J

)

1 +√

1− λ2

J

=2

1 +√

1− λ2

J

.

O resultado segue entao como na demonstracao da proposicao anterior. ¥

4.21 Teorema. Seja A a matriz de discretizacao obtida a partir da formula de tres pontos unidimensionalou a partir da formula de cinco pontos bidimensional com ∆x = ∆y. Entao o fator de relaxamentootimo para o metodo SOR e dado por

ωotimo =2

1 + senπ

n

(4.54)

e o fator de relaxamento otimo para o metodo SOR.

Prova. Se 0 < ω 6 ωotimo, entao ω2λ2

J − 4 (ω − 1) > 0 e

d

dω

(ωλJ +

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1))

=λJ

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1) + ωλ2

J − 2√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1).


Temos ωλ2

J − 2 < 0, porque 0 < ω < 2 e λJ < 1, e∣∣∣ωλ

2

J − 2∣∣∣ > λJ

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1),

pois∣∣∣ωλ

2

J − 2∣∣∣2

= ω2λ4

J − 4λ2

Jω + 4 > ω2λ4

J − 4λ2

Jω + 4λ2

J > ω2λ4

J − 4λ2

J (ω − 1)

=[λJ

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1)]2

.

Isso implicad

dω

(ωλJ +

√ω2λ

2

J − 4 (ω − 1))

< 0,

logo ρ (RSOR,ω) e decrescente de 0 ate ωotimo. Para ωotimo 6 ω < 2, ρ (RSOR,ω) = ω − 1 e claramentecrescente. Portanto, ρ (RSOR,ω) atinge o seu mınimo em ωotimo.

Pelo Teorema 4.10, temosλJ = cos

π

n,

logo

ωotimo =2

1 +√

1− λ2

J

=2

1 +√

1− cos2π

n

=2

1 + senπ

n

.

¥Para o quadrado unitario temos

ωotimo =2

1 + sen (π∆x)e consequentemente

ρ (RSOR,ω) =2

1 + sen (π∆x)− 1 =

1− sen (π∆x)1 + sen (π∆x)

.

e usando1− x

1 + x= 1− 2x + O

(x2

),

sen x = x + O(x3

),


1− sen (π∆x)1 + sen (π∆x)

≈ 1− 2π∆x + O(∆x2

).

Portanto, usando o valor otimo de ω no metodo SOR, temos ρ (R) → 1 linearmente quando ∆x → 0, umresultado muito melhor que o obtido nos metodos de Jacobi e de Gauss-Seidel. Para uma comparacao maisprecisa, usando

log (1 + x) = x + O(∆x2

)

temos queR∞ (RSOR) = 2π∆x + O

(∆x2

). (4.55)

Segue queR∞ (RSOR)

R∞ (RGauss-Seidel)≈ 2π∆x

π2∆x2=

2π∆x

.

Em particular, se ∆x = 0.025, temos ωotimo = 1. 8545 e R∞ (RSOR) /R∞ (RGauss-Seidel) = 25.5, isto e, ometodo SOR e 25 vezes mais rapido que o metodo de Gauss-Seidel. Quanto mais refinada a malha, maior ea diferenca na velocidade de convergencia entre os dois metodos.


4.3.4 Convergencia do Metodo de Jacobi Amortecido

4.22 Teorema. Se o metodo de Jacobi converge, entao o metodo de Jacobi amortecido converge para

0 < ω 6 1.

Prova. Vamos escrever a matriz de iteracao RJ,ω do metodo de Jacobi amortecido em funcao da matriz deiteracao do metodo de Jacobi RJ . Temos

RJ = D−1 (D −A)

de modo que

RJ,ω =(

1ω

D

)−1 (1ω

D −A

)= ωD−1

(1ω

D −D + D −A

)= ωD−1

(1ω

D −D

)+ ωD−1 (D −A)

dondeRJ,ω = (1− ω) I + ωRJ . (4.56)

Em particular,RJv = λv

se e somente se[RJ,ω − (1− ω) I] v = ωλv.

Portanto, λJ e um autovalor de RJ se e somente se

λJ,ω = ωλJ + 1− ω (4.57)

e um autovalor de RJ,ω. Logo, se todo autovalor de RJ satisfaz |λJ | < 1 (isto e, ρ (RJ) < 1 equivalente aometodo de Jacobi convergir) e ω < 1, entao

|λJ,ω|2 = (ωλJ + 1− ω)(ωλJ + 1− ω

)

= ω2 |λJ |2 + 2 Re λJω (1− ω) + (1− ω)2

6 ω2 |λJ |2 + 2 |λJ |ω (1− ω) + (1− ω)2

= (ω |λJ |+ 1− ω)2

< 1.

¥Segue do Teorema 4.8 que o metodo de Jacobi amortecido converge para as matrizes de discretizacao doCapıtulo 2 se 0 < ω 6 1.

4.23 Corolario.ρ (RJ,ω) = ω [ρ (RJ)− 1] + 1. (4.58)

Para o quadrado unitario temosρ (RJ,ω) = ω [cos (π∆x)− 1] + 1. (4.59)

Usando

cos x = 1− 12x2 + O

(x4

),

log (1 + x) = x + O(∆x2

),



ρ (RJ,ω) ≈ 1− ωπ2

2∆x2 + O

(∆x4

),

R∞ (RJ,ω) ≈ ωπ2

2∆x2.

Vemos que a velocidade de convergencia do metodo de Jacobi amortecido e da mesma ordem que a do metodode Jacobi, um pouco pior para valores de ω proximos de 1 e muito pior para valores de ω proximos de 0.

4.3.5 Resumo

Metodo ρ (R) R∞ (R)

Jacobi cos (π∆x)π2

2∆x2 + O

(∆x4

)

Gauss-Seidel cos2 (π∆x) π2∆x2 + O(∆x4

)

SOR otimo 1− 2π∆x + O(∆x2

)2π∆x + O

(∆x2

)

Jacobi amortecido 1− ωπ2

2∆x2 + O

(∆x4

)ω

π2

2∆x2 + O

(∆x4

)

4.4 Metodo do Gradiente Conjugado

Nesta secao, A sera sempre uma matriz real simetrica, positiva definida. Neste caso, a resolucao do sistemaAx = b e equivalente a resolucao de um problema de minimizacao de um funcional quadratico:

4.24 Teorema. (Metodo Variacional para a Resolucao de Sistemas Lineares) Seja A ∈ Mn (R) uma matrizsimetrica positiva definida e b ∈ Rn. Entao a solucao do sistema

Ax = b

e o unico ponto x que minimiza o funcional quadratico

f (y) =12ytAy − ytb. (4.60)

Prova: Uma matriz simetrica positiva definida e invertıvel, logo existe uma unica solucao x para o sistemaAx = b. Para provar o teorema, comecamos observando que, como ytAx ∈ R e um escalar, temos

ytAx =(ytAx

)t = xtAty = xtAy.

Daı,

f (y)− f (x) =12ytAy − ytb− 1

2xtAx + xtb

=12ytAy − ytAx− 1

2xtAx + xtAx

=12ytAy − ytAx +

12xtAx

=12ytAy − 1

2ytAx− 1

2xtAy +

12xtAx

=12ytA (y − x)− 1

2xtA (y − x)


ouf (y)− f (x) =

12

(y − x)tA (y − x) . (4.61)

Como A e positiva definida, segue que

(y − x)tA (y − x) = 〈A (y − x) , (y − x)〉 > 0

e(y − x)t

A (y − x) = 0

se e somente se y = x. Portanto,f (y) > f (x)

para todo y 6= x e o mınimo de f ocorre em x. ¥Em muitos problemas, o funcional f tem significado fısico, correspondente a um funcional de energia quequando e minimizado corresponde a um estado de equilıbrio do sistema. Observe que definindo um produtointerno a partir da matriz simetrica positiva definida A da maneira usual por 〈v, w〉A = vtAw e considerandoa norma induzida ‖v‖A = 〈v, v〉1/2

A , o funcional f pode ser escrito na forma

f (y) =12〈y,Ay〉 − 〈y,Ax〉 (4.62)

ouf (y) =

12‖y‖2A − 〈y, x〉A . (4.63)

Outra maneira de enxergar o resultado do teorema anterior e observar que o gradiente do funcional f e

∇f (y) = Ay − b. (4.64)

Se x e um ponto de mınimo temos ∇f (x) = 0, ou seja,

Ax = b.

Este metodo variacional e a base dos metodos iterativos de descida em geral, e do metodo do gradienteconjugado em particular. A ideia e usar as ideias do calculo diferencial para encontrar o mınimo do funcionalquadratico f .

4.4.1 Metodos de Descida

A filosofia dos metodos de descida e comecar com um chute inicial x0 e gerar uma sequencia de iteradosx1, x2, . . . , xk, . . . que satisfazem

f(xk+1

)6 f

(xk

)

ou, melhor ainda,f

(xk+1

)< f

(xk

)

de tal modo que xk convirja para o minimizador de f . Em outras palavras, em um metodo de descidabuscamos encontrar uma sequencia minimizante

(xk

)que convirja para a solucao do sistema.

O passo de xk para xk+1 envolve dois ingredientes: (1) uma direcao de busca e (2) um avanco decomprimento especificado na direcao de busca. Uma direcao de busca significa a escolha de um vetor pk queindicara a direcao que avancaremos de xk para xk+1. O comprimento do avanco e equivalente a escolha deum escalar αk multiplicando o vetor pk. Assim,

xk+1 = xk + αkpk.


A escolha de αk e tambem chamada uma busca na reta, ja que queremos escolher um ponto na retaxk + αpk : α ∈ R

tal quef

(xk + αpk

)6 f

(xk

).

Idealmente, gostarıamos de escolher αk de tal modo que

f(xk+1

)= f

(xk + αkpk

)= min

α∈Rf

(xk + αpk

)

Esta e chamada uma busca na reta exata. Para funcionais quadraticos, a busca na reta exata e trivial eobtemos uma formula para o valor de αk, como veremos a seguir. Denotaremos o resıduo em cada iteracaopor

rk = b−Axk. (4.65)

4.25 Proposicao. Seja αk ∈ R tal que

f(xk + αkpk

)= min

α∈Rf

(xk + αpk

).

Entao

αk =

(pk

)trk

(pk)tApk

=

⟨pk, rk

⟩

〈pk, Apk〉 . (4.66)

Prova: Considere o funcionalg (α) = f

(xk + αpk

).

g e um polinomio quadratico em α, pois

g (α) =12

(xk + αpk

)tA

(xk + αpk

)− (xk + αpk

)tb

=12

(xk

)tAxk − (

xk)t

b +α

2(xk

)tApk +

α

2(pk

)tAxk +

α2

2(pk

)tApk − α

(pk

)tb

= f(xk

)+ α

[12

(pk

)tAxk +

12

(pk

)tAxk − (

pk)t

b

]+

α2

2(pk

)tApk

= f(xk

)− α(pk

)tArk +

α2

2(pk

)tApk,

portanto o mınimo de g e atingido no vertice −B/2A da parabola Y = AX2 + BX + C. ¥Observe que αk = 0 se e somente se

(pk

)trk = 0, isto e, a direcao de busca e ortogonal ao resıduo. Como

gostarıamos sempre que possıvel de ter xk+1 6= xk, devemos sempre escolher a direcao de busca de forma anao ser ortogonal a rk. Se esta escolha e feita, entao teremos sempre f

(xk+1

)< f

(xk

).

Exemplo 1. (Metodo de Gauss-Seidel) Considere o metodo de descida em que as primeiras n direcoes debusca p1, . . . , pn sao os vetores e1, . . . , en da base canonica de Rn, e isso e repetido a cada n iteracoes,de modo que pk+n = ek para todo k = 1, . . . , n, com uma busca na reta exata executada em cadaiteracao. Entao cada grupo de n iteracoes corresponde a uma iteracao do metodo de Gauss-Seidel.

Exemplo 2. (Metodo SOR) Usando as mesmas direcoes de busca do exemplo anterior, mas com xk+1 =xk + ωαkpk, ω 6= 1, obtemos um metodo de descida em que as buscas nas retas sao inexatas. Cadagrupo de n iteracoes corresponde a uma iteracao do metodo SOR.


4.4.2 Metodo da Descida Mais Acentuada

Do Calculo Diferencial, sabemos que a direcao em que a funcao cresce a uma taxa mais rapida a partir deum ponto e a direcao do gradiente neste ponto. Esta observacao e a base da escolha da direcao de busca nometodo da descida mais acentuada. Em outras palavras, escolhemos

pk = −∇f(xk

)= b−Axk

oupk = rk. (4.67)

Buscar na direcao da descida mais acentuada e uma ideia natural, mas que na pratica nao funciona semmodificacoes. De fato, em alguns casos o metodo e de velocidade comparavel a do metodo de Jacobi, comona matriz de discretizacao da formula de cinco pontos aplicada ao problema descrito na primeira secao destecapıtulo [Watkins]:

∆x = 0.1 ∆x = 0.05 ∆x = 0.025Jacobi 299 1090 3908Descida Mais Acentuada 304 1114 4010

De fato, como as iteracoes do metodo de descida mais acentuada sao bem mais custosas que as do metodode Jacobi, o primeiro e muito pior que este ultimo.

Para entender melhor o metodo da descida mais acentuada, porque ele pode ser lento e as modificacoes quevamos fazer para torna-lo mais rapido levando ao metodo do gradiente conjugado, vamos entender o processodo ponto de vista geometrico. Como vimos na demonstracao do Teorema 4.24, o funcional quadratico f eda forma

f (y) =12

(y − x)tA (y − x) + c (4.68)

onde c = f (x) = 12xtAx − xtb e uma constante. Ja que A e uma matriz simetrica, existe uma matriz

ortogonal P tal que P tAP e uma matriz diagonal D , cujos valores na diagonal principal sao exatamente osautovalores positivos de A. Nas coordenadas

z = P t (y − x) ,

o funcional f tem a forma

f (z) =12ztDz + c =

12

n∑

i=1

λiz2i + c. (4.69)

As curvas de nıvel do funcional f neste sistema de coordenadas sao elipses (em R2, elipsoides em R3 ehiperelipsoides em Rn) centradas na origem com eixos paralelos aos eixos coordenados e f (0) = c e nıvelmınimo de f ; elipses correspondentes a menores valores de f estao dentro de elipses correspondentes amaiores valores de f . Como P e uma aplicacao ortogonal, as curvas de nıvel de f no sistema de coordenadasoriginal tambem sao elipses, centradas em x, e uma reta de um ponto y ate o ponto x corta elipses de nıveiscada vez menores ate chegar ao mınimo da funcao f em x, centro de todas as elipses. O vetor gradiente eperpendicular as curvas de nıvel, logo e perpendicular as elipses. Seguir a direcao de descida mais acentuadaequivale a cortar a elipse que contem xk ortogonalmente na direcao do interior da elipse ate encontrar umponto xk+1 situado em uma elipse que a reta tangencie, pois a partir daı a reta ira na direcao de elipses comnıveis maiores, portanto este e o ponto da reta onde f atinge o seu mınimo. Em particular, vemos que aproxima direcao pk+1 e ortogonal a direcao anterior pk, tangente a esta elipse. Em geral, a direcao de descidamais acentuada nao e a direcao de x (quando bastaria uma iteracao para atingir a solucao exata) a nao serque A seja um multiplo escalar da identidade, de modo que todos os autovalores de A sao iguais e as elipsessao cırculos. Por outro lado, se os autovalores de A tem valores muito diferentes uns dos outros, com algunsmuito pequenos e alguns muito grandes, as elipses serao bastante excentricas e, dependendo do chute inicial,


a convergencia pode ser muito lenta (matrizes com estas propriedades sao chamadas mal-condicionadas; paraque o metodo de descida acentuada seja lento, a matriz A nao precisa ser muito mal-condicionada).

Como vimos na secao anterior, os algoritmos de Gauss-Seidel e SOR podem ser encarados como algoritmosde descida. A discussao no paragrafo anterior tambem pode ser usada para entender a relativa lentidao destesalgoritmos.

4.4.3 Metodo do Gradiente Conjugado

Todos os metodos iterativos que vimos neste capıtulo sao limitados pela sua falta de memoria, no sentido deque apenas informacao sobre xk e usada para obter xk+1. Toda a informacao sobre as iteracoes anteriores edeletada. O metodo do gradiente conjugado e uma variacao simples do metodo da descida mais acentuadaque funciona melhor porque a informacao obtida atraves das iteracoes anteriores e utilizada.

Para entender brevemente como isso funciona, observe que depois de j iteracoes xk+1 = xk + αkpk deum metodo de descida temos

xj = x0 + α0p0 + α1p

1 + . . . + αj−1pj−1,

de modo que xj esta no subespaco afim gerado pelo chute inicial x0 e pelos vetoresp0, p1, . . . , pj−1

.

Enquanto o metodo da descida mais acentuada minimiza o funcional de energia f apenas ao longo das jretas xk + αkpk, cuja uniao constitui apenas um pequeno subconjunto de x0 +

⟨p0, p1, . . . , pj−1

⟩, o metodo

do gradiente conjugado minimiza f sobre todo o subespaco afim x0 +⟨p0, p1, . . . , pj−1

⟩.

Para definir as direcoes de busca do metodo do gradiente conjugado (que e, antes de mais nada, ummetodo de descida), lembramos que o funcional f foi escrito na forma

f (y) =12‖y‖2A − 〈y, x〉A .

Defina o erroe = x− y. (4.70)

Pela regra do paralelogramo, temos

‖x + y‖2A + ‖x− y‖2A = 2 ‖x‖2A + 2 ‖y‖2A ,

donde

2 ‖y‖2A = ‖x− y‖2A + ‖x‖2A + 2 〈y, x〉A + ‖y‖2A − 2 ‖x‖2A= ‖x− y‖2A + 2 〈y, x〉A − ‖x‖2A + ‖y‖2A ,

ou‖y‖2A − 2 〈y, x〉A = ‖x− y‖2A − ‖x‖2A .

Logo, podemos escrever

f (y) =12‖e‖2A −

12‖x‖2A . (4.71)

Consequentemente, minimizar o funcional f e equivalente a minimizar a A-norma do erro.Agora, em um metodo de descida, depois de j iteracoes temos:

ej = x− xj = x− x0 − (α0p

0 + α1p1 + . . . + αj−1p

j−1)

= e0 − (α0p

0 + α1p1 + . . . + αj−1p

j−1).

Logo, minimizar∥∥ej

∥∥2

Ae equivalente a minimizar

∥∥e0 − (α0p

0 + α1p1 + . . . + αj−1p

j−1)∥∥

A,

o que por sua vez e equivalente a encontrar a melhor aproximacao do vetor e0 no subespaco Wj =⟨p0, p1, . . . , pj−1

⟩.

Esta e dada pelo lema da melhor aproximacao:


4.26 Proposicao. Sejam A ∈ Mn (R) uma matriz simetrica positiva definida, v ∈ Rn e W um subsespacode Rn. Entao existe um unico w ∈ W tal que

‖v − w‖A = minz∈W

‖v − z‖A .

O vetor w e caracterizado pela condicao v − w ⊥A W .

Segue deste resultado que∥∥ej

∥∥A

e minimizado quando escolhemos p = α0p0 + α1p

1 + . . . + αj−1pj−1 ∈ Wj

tal que ej = e0 − p satisfazej ⊥A pi para i = 1, . . . , j − 1. (4.72)

Definicao. Dois vetores y, z que sao ortogonais com respeito ao produto interno 〈·, ·〉A, isto e, tais que

〈y, z〉A = 0

sao chamados conjugados.

Nosso objetivo entao e desenvolver um metodo em que o erro a cada passo e conjugado com todas as direcoesde busca anteriores. O proximo resultado, que e basicamente uma reafirmacao da Proposicao 4.25, mostraque em qualquer metodo de descida em que a busca na reta e exata satisfaz automaticamente ej ⊥A pj−1,isto e, (4.72) e valido para a ultima iteracao (o erro da iteracao presente e A-ortogonal a direcao de buscada iteracao anterior).

4.27 Proposicao. Seja xk+1 = xk + αkpk obtido atraves de uma busca na reta exata. Entao

rk+1 ⊥ pk

eek+1 ⊥A pk.

Prova: Temosb−Axk+1 = b−Axk − αkApk,

de modo que a sequencia dos resıduos e dada pela formula

rk+1 = rk − αkApk. (4.73)

Logo,⟨rk+1, pk

⟩=

⟨rk+1, pk

⟩− αk

⟨Apk, pk

⟩=

⟨rk, pk

⟩−⟨pk, rk

⟩

〈pk, Apk〉⟨Apk, pk

⟩= 0.

Alem disso, comoAek+1 = rk+1,

segue que ⟨ek+1, pk

⟩A

=⟨Aek+1, pk

⟩=

⟨rk+1, pk

⟩= 0.

¥O significado geometrico deste resultado e que o mınimo do funcional f na reta xk + αkpk ocorre quando aderivada direcional de f na direcao de busca e zero, ou seja,

0 =∂f

∂pk

(xk+1

)=

⟨∇f(xk+1

), pk

⟩=

⟨rk+1, pk

⟩.

De acordo com a Proposicao 4.27, depois do primeiro passo temos e1 ⊥A p0. Para manter os errossubsequentes conjugados a p0, como

ek+1 = x− xk+1 = x− xk − αkpk


ouek+1 = ek − αkpk, (4.74)

basta escolher as direcoes de busca subsequentes conjugadas a p0. Se escolhemos p1 conjugado a p0, obtemosx2 para o qual o erro satisfaz e2 ⊥A p1; como p1 ⊥A p0, segue de (4.74) que e2 ⊥A p0 tambem. Para manteros erros subsequentes conjugados a p0 e p1, basta escolher as direcoes de busca subsequentes conjugadas ap0 e p1. Assim, vemos que para obter a condicao (4.72) basta escolher as direcoes de busca de tal forma que

pi ⊥A pj para todos i 6= j.

Um metodo com estas caracterısticas e chamado um metodo de direcoes conjugadas. Estes resultadossao resumidos na proposicao a seguir:

4.28 Teorema. Se um metodo emprega direcoes de busca conjugadas e performa buscas na reta exatas,entao

ej ⊥A pi para i = 1, . . . , j − 1,

para todo j. Consequentemente ∥∥ej∥∥

A= min

p∈Wj

∥∥e0 − p∥∥

A,

onde Wj =⟨p0, p1, . . . , pj−1

⟩.

Prova: A demonstracao e por inducao. Para j = 1, temos e1 ⊥A p0 pela Proposicao 4.27 porque a buscana reta e exata. Em seguida, assuma ej ⊥A pi para i = 1, . . . , j − 1; queremos mostrar que ej+1 ⊥A pi

para i = 1, . . . , j. Comoej+1 = ej − αjp

j ,

para i = 1, . . . , j − 1 temos⟨ej+1, pi

⟩A

=⟨ej − αjp

j , pi⟩

A=

⟨ej , pi

⟩A− αj

⟨pj , pi

⟩A

= 0− 0 = 0

porque as direcoes de busca sao conjugadas. ej+1 ⊥A pj segue novamente da Proposicao 4.27. ¥Quando a direcao inicial e dada pelo vetor gradiente de f , como na primeira iteracao do metodo da descidamais acentuada, obtemos o metodo do gradiente conjugado. As direcoes subsequentes sao escolhidasatraves de A-ortogonalizar o resıduo (ou vetor gradiente de f , que e a direcao de busca em cada iteracaodo metodo da descida mais acentuada) com todas as direcoes de busca anteriores, para isso utilizando oalgoritmo de Gram-Schmidt. Assim, dado um chute inicial p0, a primeira direcao e

p0 = −∇f(x0

)= b−Ax0 = r0

ou seja, a direcao inicial e o primeiro resıduo:

p0 = r0. (4.75)

Depois de k passos com direcoes de busca conjugadas p0, . . . , pk, escolhemos

pk+1 = rk+1 −k∑

i=0

ckipi (4.76)

onde os cki sao dados pelo algoritmo de Gram-Schmidt:

cki =

⟨rk+1, pi

⟩A

〈pi, pi〉A. (4.77)

de forma que pk+1 ⊥A pi para todos i = 1, . . . , k. Felizmente, como veremos a seguir depois de algum trabalhopreliminar (Corolario 4.32), cki = 0 para todo i exceto i = k, o que torna necessario que apenas a direcao


de busca mais recente pk seja armazenada na memoria do computador, o que garante que a implementacaodo gradiente conjugado e eficiente:

pk+1 = rk+1 −⟨rk+1, pk

⟩A

〈pk, pk〉Apk = rk+1 −

⟨rk+1, Apk

⟩

〈pk, Apk〉 pk. (4.78)

Esta e a modificacao do metodo do gradiente conjugado em relacao ao metodo da descida mais acentuada,em que pk+1 = rk+1.

Definicao. Dada uma matriz A ∈ Mn (C) e um vetor v ∈ Cn, o espaco de Krylov Kj (A, v) e o subespaco⟨v,Av, . . . , Aj−1v

⟩.

4.29 Teorema. Depois de j iteracoes do algoritmo do gradiente conjugado (com rk 6= 0 em cada iteracao),temos ⟨

p0, p1, . . . , pj−1⟩

=⟨r0, r1, . . . , rj−1

⟩= Kj

(A, r0

).

Prova: A demonstracao e por inducao. O resultado e trivial para j = 0, pois p0 = r0. Assuma o resultadovalido para j − 1. Em primeiro lugar, mostraremos que

⟨r0, r1, . . . , rj

⟩ ⊂ Kj+1

(A, r0

). (4.79)

Em vista da hipotese de inducao, basta mostrar que rj ∈ Kj+1

(A, r0

). Como rj = rj−1 − αj−1Apj−1 e

rj−1 ∈ Kj

(A, r0

) ⊂ Kj+1

(A, r0

)por hipotese de inducao, basta provar que Apj−1 ∈ Kj+1

(A, r0

). Mas,

tambem por hipotese de inducao, pj−1 ∈ Kj+1

(A, r0

), logo

Apj−1 ∈ Kj

(A,Ar0

)=

⟨Ar0, A2r0, . . . , Ajr0

⟩ ⊂ ⟨r0, Ar0, A2r0, . . . , Ajr0

⟩= Kj+1

(A, r0

).

Em seguida, mostraremos que⟨p0, p1, . . . , pj

⟩ ⊂ ⟨r0, r1, . . . , rj

⟩. (4.80)

Por hipotese de inducao, basta provar que pj ∈ ⟨r0, r1, . . . , rj

⟩. Isso segue de (4.76) e da hipotese de inducao.

Ate aqui provamos que⟨p0, p1, . . . , pj

⟩ ⊂ ⟨r0, r1, . . . , rj

⟩ ⊂ Kj+1

(A, r0

). (4.81)

Para provar que eles sao iguais, basta mostrar que eles tem a mesma dimensao. Isso decorre de

dim⟨r0, r1, . . . , rj

⟩6 j + 1,

dimKj+1

(A, r0

)6 j + 1

edim

⟨p0, p1, . . . , pj

⟩= j + 1,

o ultimo porque os vetores p0, p1, . . . , pj sao vetores nao-nulos A-ortogonais. ¥

4.30 Corolario. Depois de j iteracoes do algoritmo do gradiente conjugado, temos

ej ⊥A Kj

(A, r0

)

para todo j.

Prova: Segue imediatamente do teorema anterior e do Teorema 4.28. ¥


4.31 Corolario. Depois de j iteracoes do algoritmo do gradiente conjugado, temos

rj ⊥ Kj

(A, r0

)

para todo j.

Prova: Em vista do Teorema 4.29, basta provar que rj ⊥ p0, p1, . . . , pj−1 para todo j. Como Aej+1 = rj+1,⟨rj+1, pi

⟩=

⟨Aej+1, pi

⟩=

⟨ej+1, pi

⟩A

= 0

para todo i = 1, . . . , j − 1, como vimos na demonstracao do Teorema 4.28. ¥

4.32 Corolario. cki = 0 para todo i = 1, . . . , k − 1.

Prova: Temos que provar que ⟨rk+1, pi

⟩A

=⟨rk+1, Api

⟩= 0

para todos i = 1, . . . , k − 1. Pelo Teorema 4.29, pi ∈ ⟨p0, p1, . . . , pi

⟩=

⟨r0, Ar0, . . . , Air

⟩= Ki+1

(A, r0

),

logoApi ∈ ⟨

Ar0, A2r0, . . . , Ai+1r⟩ ⊂ Ki+2

(A, r0

) ⊂ Kk+1

(A, r0

)

e o resultado segue do corolario anterior. ¥

4.33 Teorema. Seja A uma matriz simetrica positiva definida n×n. Entao o metodo do gradiente conjugadoconverge em n iteracoes.

Prova: Se fizemos n − 1 iteracoes em obter x, pelo Corolario 4.32 os vetores r0, r1, . . . , rn−1 formam umabase ortogonal para Rn. Depois de mais uma iteracao, de acordo com este mesmo corolario o resıduo rn

satisfaz rn ⊥ ⟨r0, r1, . . . , rn−1

⟩= Rn, logo rn = 0. ¥

De fato, na maioria das aplicacoes o metodo do gradiente conjugado converge ainda mais rapido, se apenasuma boa aproximacao e requerida. Defina o numero de condicao de uma matriz simetrica positiva definidapor

κ (A) =max λ : λ e um autovalor de Amin λ : λ e um autovalor de A ; (4.82)

assim, quanto maior o numero de condicao de uma matriz, ela e mais mal-condicionada e a convergenciade metodos de descida e mais vagarosa. Pode-se provar a seguinte estimativa de erro para o metodo dogradiente conjugado (veja [Strikwerda]):

∥∥ek∥∥

A6 2

∥∥e0∥∥

A

(√κ (A)− 1√κ (A) + 1

)k

. (4.83)

Esta estimativa e uma estimativa grosseira, mas mostra que o metodo do gradiente conjugado convergemais rapidamente para matrizes bem-condicionadas (κ (A) ∼ 1). Uma comparacao entre a velocidade deconvergencia dos dois metodos para a matriz de discretizacao da formula de cinco pontos aplicada ao problemadescrito na primeira secao deste capıtulo, desta vez com o tamanho das matrizes indicado na linha superiorda tabela, e dada a seguir [Watkins].

n = 81 n = 361 n = 1521Descida Mais Acentuada 304 1114 4010Gradiente Conjugado 29 60 118

No caso desta matriz de discretizacao no quadrado unitario temos

κ (A) =sen2 (n− 1) π

2n

sen2π

2n

= cot2π

2n= cot2

π∆x

2≈ 4

π2∆x2


de modo que √κ (A)− 1√κ (A) + 1

≈ 1− π∆x/21 + π∆x/2

≈ 1− π∆x,

o que da uma velocidade de convergencia para o metodo do gradiente conjugado duas vezes maior que ado metodo SOR com o fator de relaxamento otimo. No entanto, deve-se ter em mente que enquanto que ataxa de covergencia que obtivemos para o metodo SOR e precisa, a estimativa de erro (4.83) para o metododo gradiente conjugado e apenas um limitante superior grosseiro (veja [Watkins] para algumas estimativasmelhoradas).

Capıtulo 5

Metodos Multigrid

5.1 Suavizacao de Erros

5.2 Operador Restricao e Operador Extensao

5.3 Ciclos V

5.4 Multigrid Completo

5.5 Convergencia

5.6 Multigrid Adaptativo

5.7 Multigrid Algebrico

120

Capıtulo 6

Metodo de Elementos Finitos

O metodo de elementos finitos e um outro metodo de discretizacao de equacoes diferenciais parciais baseadona reformulacao variacional da equacao. Por exemplo, como ja vimos exemplos, encontrar a solucao u deuma equacao diferencial parcial dada e equivalente a resolver um problema de minimizacao

F (u) = minv∈V

F (v)

onde V e um conjunto de funcoes admissıveis e F : V −→ R e um funcional. Em geral, a dimensao de V einfinita e portanto as funcoes em V nao podem ser descritas por um numero finito de parametros. Discretizareste problema atraves de elementos finitos e substituir o espaco de dimensao infinita V por um subespaco dedimensao finita Vh consistindo de funcoes simples (por exemplo, funcoes polinomiais). O problema discretopassa a ser encontrar o minimizador do funcional F sobre o subespaco Vh. Espera-se que este seja umaaproximacao do minimizador de F sobre o espaco completo V , isto e, uma aproximacao para a solucao daequacao diferencial parcial.

6.1 O Caso Unidimensional

Nesta secao, desenvolveremos metodos de elementos finitos para resolver o problema de Dirichlet para aequacao de Poisson em uma dimensao

−u′′ = f (x) em [0, 1] ,u (0) = u (1) = 0,

(6.1)

onde f e uma funcao contınua.

6.1.1 Formulacao Variacional

Para obter uma formulacao variacional deste problema, defina

V =v ∈ C0 ([0, 1]) : v′ e contınua por partes em [0, 1] e v (0) = v (1) = 0

(6.2)

e

F (v) =12

∫ 1

0

|v′ (x)|2 dx−∫ 1

0

f (x) v (x) dx =12‖v′‖L2 − 〈f, v〉L2 . (6.3)

Veremos agora que uma solucao para o problema de Dirichlet (6.1), que sabemos existir por integracaosimples, e solucao tanto de um problema de minimizacao como de um problema variacional.

121


6.1 Proposicao. (Problema Variacional) Se u ∈ V e uma solucao do problema (6.1), entao u e a solucaounica do problema variacional

〈u′, v′〉L2 = 〈f, v〉L2 para todo v ∈ V. (6.4)

Prova. Multiplicando a equacao−u′′ (x) = f (x)

por uma funcao teste v ∈ V e integrando sobre o intervalo (0, 1), obtemos

−∫ 1

0

u′′ (x) v (x) dx =∫ 1

0

f (x) v (x) dx.

Integrando por partes, temos∫ 1

0

u′′ (x) v (x) dx = u (x) v (x)|10 −∫ 1

0

u′ (x) v′ (x) dx = −∫ 1

0

u′ (x) v′ (x) dx.

Portanto, ∫ 1

0

u′ (x) v′ (x) dx =∫ 1

0

f (x) v (x) dx.

A unicidade de solucao para o problema variacional (6.4) e facilmente determinada. Se u1, u2 satisfazem

〈u′1, v′〉L2 = 〈f, v〉L2 ,

〈u′2, v′〉L2 = 〈f, v〉L2 ,

para todo v ∈ V , entao〈u′1 − u′2, v

′〉L2 = 0

para todo v ∈ V , em particular para v = u1 − u2, donde

‖u′1 − u′2‖L2 = 0.

Isso implica u1 − u2 = c para alguma constante c, e as condicoes de fronteira implicam que c = 0. ¥

6.2 Proposicao. (Problema de Minimizacao) u ∈ V e uma solucao do problema variacional (6.4), se esomente se u satisfaz

F (u) = minv∈V

F (v) . (6.5)

Prova. Suponha que u satisfaz (6.4). Dado v ∈ V , escreva w = u− v. Temos

F (v) = F (u + w) =12‖u′ + w′‖L2 − 〈f, u + w〉L2 =

12‖u′‖L2 + 〈u′, w′〉+

12‖w′‖L2 − 〈f, u〉L2 − 〈f, w〉L2

=12‖u′‖L2 − 〈f, u〉L2 + 〈u′, w′〉 − 〈f, w〉L2 +

12‖w′‖L2

= F (u) +12‖w′‖L2 > F (u) .

Reciprocamente, suponha que u e um minimizador para o funcional F em V . Considere a funcao quadraticag : R −→ R definida por

g (t) = F (u + tv) .

Temos

g (t) =12‖u′‖L2 + t 〈u′, v′〉+

t2

2‖v′‖L2 − 〈f, u〉L2 − t 〈f, v〉L2

=t2

2‖v′‖L2 + t [ 〈u′, v′〉 − 〈f, v〉L2 ] + F (u) .


Como u e um ponto de mınimo para F , 0 e um ponto de mınimo para g, logo g′ (0) = 〈u′, v′〉− 〈f, v〉L2 = 0.¥

O problema variacional e chamado metodo de Galerkin, enquanto que o problema de minimizacao echamado metodo de Ritz. Coletivamente, eles sao chamados simplesmente de metodo de Ritz-Galerkin.

6.1.2 Elementos Finitos Lineares por Partes

Vamos agora construir um subespaco Vh de dimensao finita de V consistindo das funcoes lineares por partesem [0, 1]. Seja

0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 = 1

uma particao do intervalo [0, 1] em n+1 subintervalos Ij = [xj−1, xj ] de comprimento hj = xj−xj−1. Defina

Vh = v ∈ V : v e linear em Ij para j = 0, . . . , n . (6.6)

Observe que para descrever uma funcao v ∈ Vh e suficiente conhecer os n valores v (x1) , . . . , v (xn). Intro-duzimos uma base B = ϕ1, . . . , ϕn ⊂ Vh para Vh declarando

ϕj (xi) =

1 se i = j,0 se i 6= j,

(6.7)

(note que como estas funcoes sao nao-negativas, esta base e evidentemente nao-ortogonal). Assim as funcoesv de V tem a representacao

v = v (x1)ϕ1 + . . . + v (xn)ϕn. (6.8)

As funcoes ϕ1, . . . , ϕn sao chamadas funcoes base. Note que dim Vh = n. Observe que estas funcoes temsuporte compacto, e que o suporte esta contido em dois subintervalos adjacentes.

Se uh ∈ Vh satisfaz o problema variacional

〈u′h, v′〉L2 = 〈f, v〉L2 para todo v ∈ Vh, (6.9)

entao em particular ⟨u′h, ϕ′j

⟩L2 = 〈f, ϕj〉L2 para todo j = 1, . . . , n. (6.10)

Escrevendouh = uh (x1) ϕ1 + . . . + uh (xn)ϕn

ouuh = u1ϕ1 + . . . + unϕn, (6.11)

onde denotamos ui = uh (xi), obtemos um sistema linear nas incognitas u1, . . . , un:

n∑

i=1

⟨ϕ′i, ϕ

′j

⟩L2 ui = 〈f, ϕj〉L2 para j = 1, . . . , n. (6.12)

A matriz do sistema

A =

〈ϕ′1, ϕ′1〉L2 . . . 〈ϕ′1, ϕ′n〉L2

......

〈ϕ′n, ϕ′1〉L2 . . . 〈ϕ′n, ϕ′n〉L2

(6.13)

e uma matriz simetrica porque⟨ϕ′i, ϕ

′j

⟩L2 =

⟨ϕ′j , ϕ

′i

⟩L2 . Ela e chamada a matriz de rigidez e o vetor

b =

〈f, ϕ1〉L2

...〈f, ϕn〉L2


e chamado o vetor de carga, terminologia emprestada das primeiras aplicacoes do metodo de elementosfinitos em mecanica de estruturas; o metodo foi inventado por engenheiros para tratar de tais problemas nadecada de 1950. As entradas da matriz de rigidez podem ser facilmente calculados. Primeiro observe que

⟨ϕ′i, ϕ

′j

⟩L2 = 0 se |i− j| > 1,

porque, neste caso, onde ϕ′i nao se anula, ϕ′j se anula, e vice-versa. Em particular, segue que a matriz Ae uma matriz esparsa tridiagonal. A escolha especial de Vh e das funcoes base garantiu a esparsidade damatriz de rigidez. Os elementos da diagonal principal da matriz de rigidez sao dados por

〈ϕ′i, ϕ′i〉L2 =∫ xi+1

xi−1

ϕ′i (x)2 dx =∫ xi

xi−1

1h2

i

dx +∫ xi+1

xi

1h2

i+1

dx =1hi

+1

hi+1,

enquanto que os elementos das diagonais secundarias sao dados por

⟨ϕ′i, ϕ

′i+1

⟩L2 =

∫ xi+1

xi

ϕ′i (x) ϕ′i+1 (x) dx =∫ xi+1

xi

(− 1

hi+1

)1

hi+1dx = − 1

hi+1.

Resumindo,

⟨ϕ′i, ϕ

′j

⟩L2 =

1hi

+1

hi+1se i = j,

− 1hi+1

se |i− j| = 1,

0 se |i− j| > 1.

(6.14)

A matriz de rigidez tambem e positiva definida, Se ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn e um vetor nao-nulo e v =n∑

i=1

ξiϕi,

temos

〈Aξ, ξ〉 =n∑

i,j=1

aijξiξj =n∑

i,j=1

⟨ϕ′i, ϕ

′j

⟩L2 ξiξj =

⟨n∑

i=1

ξiϕ′i,

n∑

j=1

ξjϕ′j

⟩

L2

= 〈v′, v′〉L2 > 0.

No caso especial em que

hi = xi − xi−1 =1

n + 1=: h,

a matriz de rigidez e exatamente a matriz de discretizacao de diferencas finitas centradas:

1h2

2 −1−1 2 −1

−1. . . . . .. . . . . . −1

−1 2 −1−1 2

.

6.2 O Caso Bidimensional

Nesta secao, desenvolveremos metodos de elementos finitos para resolver o problema de Dirichlet para aequacao de Poisson em um domınio Ω ⊂ R2 :

−∆u = f em Ω,u = 0 sobre ∂Ω,

(6.15)

onde f e uma funcao contınua.


6.2.1 Formulacao Variacional

Para obter uma formulacao variacional deste problema, defina

V = W 1,20 (Ω) (6.16)

eF (v) =

12

∫

Ω

|∇v (x)|2 dx−∫

Ω

f (x) v (x) dx =12‖∇v‖L2(Ω) − 〈f, v〉L2(Ω) . (6.17)

Como vimos no Capıtulo 1, os problemas variacional e de minimizacao sao equivalentes e a solucao de ambose a solucao do problema (6.15):

6.3 Proposicao. u ∈ V e uma solucao do problema (6.15), se e somente se u e a solucao unica do problemavariacional

〈∇u,∇v〉L2(Ω) = 〈f, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V, (6.18)

ou, equivalentemente, se e somente se u satisfaz

F (u) = minv∈V

F (v) . (6.19)

6.2.2 Triangulacoes e Elementos Finitos Lineares por Partes

Vamos agora construir um subespaco Vh de dimensao finita de V consistindo das funcoes lineares por partesem Ω. Por simplicidade, assumiremos que Ω e um domınio poligonal, significando que ∂Ω e uma curva polig-onal (no caso geral, e necessario antes aproximar ∂Ω por uma curva poligonal). Fazemos uma triangulacaode Ω subdividindo Ω em um conjunto de triangulos que nao se sobrepoem, podendo se interceptar apenasao longo de uma aresta em comum ou em um vertice em comum:

Ω =N⋃

i=1

Ti. (6.20)

Esta triangulacao de Ω e tambem chamada uma malha triangular e os vertices da triangulacao sao frequen-temente chamados nodos. Definimos o parametro da malha

h = maxi=1,...,N

(diam Ti) . (6.21)

Observe que o diametro de um triangulo e o comprimento de seu maior lado. Definimos o subespaco Vh dedimensao finita de V por

Vh = v ∈ V : v e contınua em Ω e linear em Ti para i = 1, . . . , N . (6.22)

Para descrever uma funcao v ∈ Vh, e suficiente conhecer os n valores de v nos n nodos internos da triangulacaode Ω: x1, . . . , xn (nos nodos da fronteira, v e nula). Introduzimos uma base B = ϕ1, . . . , ϕn ⊂ Vh para Vh

declarando

ϕj (xi) =

1 se i = j,0 se i 6= j.

(6.23)

As funcoes v de V tem a seguinte representacao em termos das funcoes base ϕ1, . . . , ϕn:

v = v (x1) ϕ1 + . . . + v (xn)ϕn (6.24)

e dim Vh = n. Note que o suporte de ϕj consiste dos triangulos que tem xn como um nodo comum. Taisfuncoes bases podem ser definidas da seguinte forma. Se Tk e um triangulo da triangulacao de Ω que tem xi


como vertice, sejam xi =(x0, y0

), a1

k =(x1, y1

)e a2

k =(x2, y2

)os tres vertices de Tk; definimos ϕi em Tk

por

ϕi (x, y) =

(x− x1

) (y2 − y1

)− (y − y1

) (x2 − x1

)

(x0 − x1) (y2 − y1)− (y0 − y1) (x2 − x1).

Observe que ϕi

(x0, y0

)= 1 e ϕi

(x1, y1

)= ϕi

(x2, y2

)= 0. Se Tk e um triangulo da triangulacao de Ω que

nao tem xi como vertice, entao definimos ϕj ≡ 0 em Tk.Se uh ∈ Vh satisfaz o problema variacional

〈∇uh,∇v〉L2(Ω) = 〈f, v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vh, (6.25)

entao em particular〈∇uh,∇ϕj〉L2(Ω) = 〈f, ϕj〉L2(Ω) para todo j = 1, . . . , n. (6.26)

Escrevendouh = uh (x1) ϕ1 + . . . + uh (xn)ϕn

ouuh = u1ϕ1 + . . . + unϕn, (6.27)

onde denotamos ui = uh (xi), obtemos um sistema linear nas incognitas u1, . . . , un:

n∑

i=1

〈∇ϕi,∇ϕj〉L2(Ω) ui = 〈f, ϕj〉L2(Ω) para j = 1, . . . , n. (6.28)

A matriz de rigidez (isto e, a matriz do sistema)

A =

〈∇ϕ1,∇ϕ1〉L2(Ω) . . . 〈∇ϕ1,∇ϕn〉L2(Ω)

......

〈∇ϕn,∇ϕ1〉L2(Ω) . . . 〈∇ϕn,∇ϕn〉L2(Ω)

(6.29)

e uma matriz simetrica, positiva definida, pelos mesmos motivos que a matriz de rigidez no caso unidimen-sional e. Ela e esparsa porque o suporte da funcao base ϕj e constituıdo pelos triangulos que tem o vertice xj

em comum. De fato, 〈∇ϕi,∇ϕj〉L2(Ω) = 0 se xi e xj nao sao diretamente ligados pelo lado de um triangulo.Para calcular o valor das entradas nao-nulas, e util usar a seguinte formula de mudanca de coordenadas: seT e o triangulo de vertices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) e T e um triangulo qualquer com vertices

(x0, y0

),(x1, y1

)e(

x2, y2), entao a aplicacao φ : T −→ T definida por

φ (ξ, η) =(x0, y0

)+ ξ

(x1 − x0, y1 − y0

)+ η

(x2 − x0, y2 − y0

)

e um difeomorfismo com

det dφ (ξ, η) =∣∣(x1 − x0

) (y1 − y0

)− (x2 − x0

) (y2 − y0

)∣∣ ,

de modo que se F : T −→ R e uma funcao contınua, entao∫eT F (x, y) dxdy =

∣∣(x1 − x0) (

y1 − y0)− (

x2 − x0) (

y2 − y0)∣∣

∫

T

F (φ (ξ, η)) dxdy.


6.2.3 Interpretacao Geometrica do Metodo de Elementos Finitos

6.4 Lema. (Melhor Aproximacao) Se u ∈ V e a solucao exata do problema de Dirichlet (6.15) e uh e asolucao aproximada dada pelo metodo de elementos finitos, entao

‖u− uh‖W 1,20 (Ω) 6 ‖u− v‖W 1,2

0 (Ω) (6.30)

para todo v ∈ Vh, ou seja, uh e a melhor aproximacao para u em Vh na norma W 1,20 (Ω) .

Prova. Como〈∇u,∇v〉L2(Ω) = 〈f, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V

e〈∇uh,∇v〉L2(Ω) = 〈f, v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vh,

segue que〈∇u−∇uh,∇v〉L2(Ω) = 0 para todo v ∈ Vh. (6.31)

Pela desigualdade de Cauchy, para todo v ∈ Vh vale entao

‖∇u−∇uh‖2L2(Ω) = 〈∇u−∇uh,∇u−∇uh〉L2(Ω) + 〈∇u−∇uh,∇uh −∇v〉L2(Ω)

= 〈∇u−∇uh,∇u−∇v〉L2(Ω)

6 ‖∇u−∇uh‖L2(Ω) ‖∇u−∇v‖L2(Ω) ,

donde‖∇u−∇uh‖L2(Ω) 6 ‖∇u−∇v‖L2(Ω)

para todo v ∈ Vh. Lembrando que a norma L2 do gradiente e uma norma em W 1,20 (Ω), pela desigualdade

de Poincare, segue o resultado. ¥

6.3 Formulacao Abstrata do Metodo dos Elementos Finitos

Denotaremos por V um espaco de Hilbert com produto escalar 〈·, ·〉V e correspondente norma induzida ‖·‖V .

Definicao. Uma forma bilinear a : V × V −→ R e limitada (ou contınua) se existe uma constante Λ > 0tal que

|a (u, v)| 6 Λ ‖u‖V ‖v‖V para todos u, v ∈ V. (6.32)

a e coerciva se existe um numero α > 0 tal que

|a (v, v)| > α ‖v‖2V para todo v ∈ V. (6.33)

6.5 Lema. (Teorema de Lax-Milgram) Sejam V um espaco de Hilbert e a : V × V −→ R uma formabilinear limitada e coerciva em V . Entao para todo funcional linear limitado f : V −→ R existe umunico u ∈ V tal que

a (u, v) = f (v) para todo v ∈ V.

Se a forma bilinear a que satisfaz as hipoteses do Teorema de Lax-Milgram for simetrica, isto e,

a (u, v) = a (v, u) para todos u, v ∈ V, (6.34)

entao ela define um produto interno em V , e a conclusao segue diretamente do Teorema de Representacaode Riesz. Seja a uma forma bilinear limitada coerciva e f um funcional linear limitado em V . Consideremoso funcional F : V −→ R definido por

F (v) =12a (v, v)− f (v) . (6.35)


No caso da equacao de Poisson com condicao de Dirichlet homogenea, temos V = W 1,20 (Ω) e

a (u, v) =∫

Ω

∇u · ∇v,

f (v) =∫

Ω

fv,

de modo que a e simetrica.

6.6 Lema. Sejam V um espaco de Hilbert, a : V × V −→ R uma forma bilinear simetrica, limitada ecoerciva em V com

|a (v, v)| > α ‖v‖2V para todo v ∈ V

e f : V −→ R um funcional linear limitado em V com

|f (v)| 6 C ‖v‖V para todo v ∈ V.

Entao existe uma unica solucao u ∈ V para o problema variacional

a (u, v) = f (v) para todo v ∈ V. (6.36)

se e somente se existe uma unica solucao u ∈ V para o problema de minimizacao

F (u) = minv∈V

F (v) .

Alem disso, existe de fato uma unica solucao u ∈ V para estes problemas e ela satisfaz a seguintecondicao de estabilidade:

‖u‖V 6 C

α.

Prova. A existencia de solucao para o problema variacional segue do teorema de Lax-Milgram. Suponhaque u satisfaz o problema variacional. Dado v ∈ V , escreva w = u− v. Temos

F (v) = F (u + w) =12a (u + w, u + w)− f (u + w)

=12a (u, u) + a (u,w) +

12a (w, w)− f (u) − f (w)

=12a (u, u) + f (w) +

12a (w, w)− f (u) − f (w)

= F (u) +12a (w, w) > F (u) +

α

2‖w‖2V

> F (u) .

Reciprocamente, suponha que u e um minimizador para o funcional F em V . Considere a funcao quadraticag : R −→ R definida por

g (t) = F (u + tv) =12a (u + tv, u + tv)− f (u + tv)

=12a (u, u) + ta (u, v) +

t2

2a (v, v)− f (u)− tf (v)

=t2

2a (v, v) + t [ a (u, v)− f (v)] + F (u) .

Como u e um ponto de mınimo para F , 0 e um ponto de mınimo para g, logo g′ (0) = a (u, v) − f (v) = 0para todo v ∈ V .


Para provar a estimativa de estabilidade, escreva

α ‖u‖2V 6 a (u, u) = f (u) 6 C ‖u‖V .

¥Observe que pelo Teorema de Lax-Milgram a solucao para o problema variacional existe mesmo se a formabilinear nao e simetrica. No entanto, neste caso nao existe um problema de minimizacao associado.

Seja Vh um subespaco de V de dimensao finita. Seja B = ϕ1, . . . , ϕn uma base para Vh e

v = v1ϕ1 + . . . + vnϕn

a representacao de v nesta base. Se uh ∈ Vh satisfaz o problema variacional

a (uh, v) = f (v) para todo v ∈ Vh, (6.37)

entao em particulara (uh, ϕj) = f (ϕj) para todo j = 1, . . . , n. (6.38)

Escrevendouh = u1ϕ1 + . . . + unϕn, (6.39)

obtemos um sistema linear nas incognitas u1, . . . , un:

n∑

i=1

a (ϕi, ϕj) ui = f (ϕj) para j = 1, . . . , n. (6.40)

A matriz do sistema

A =

a (ϕ1, ϕ1) . . . a (ϕ1, ϕn)...

...a (ϕn, ϕ1) . . . a (ϕn, ϕn)

e chamada matriz de rigidez.

6.7 Proposicao. Se a : V × V −→ R e uma forma bilinear simetrica, limitada e coerciva em V , entao amatriz de rigidez e simetrica e positiva definida.

Em particular, existe uma unica solucao para o problema discretizado (6.37). Alem disso, vale a mesmaestimativa de estabilidade do lema anterior.

Prova. Seja A = (aij). Se ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn e um vetor nao-nulo e v =n∑

i=1

ξiϕi, temos

〈Aξ, ξ〉 =n∑

i,j=1

aijξiξj =n∑

i,j=1

a (ϕi, ϕj) ξiξj = a

n∑

i=1

ξiϕi,

n∑

j=1

ξjϕj

= a (v, v) > α ‖v‖2V > 0.

¥Vamos agora provar a seguinte estimativa de erro:

6.8 Proposicao. (Estimativa de Erro) Se u ∈ V e a solucao exata para o problema variacional (6.36) e uh

e a solucao do problema discretizado (6.37), entao

‖u− uh‖V 6 Λα‖u− v‖V (6.41)

para todo v ∈ Vh.


Prova. Comoa (u, v) = f (v) para todo v ∈ V

ea (uh, v) = f (v) para todo v ∈ Vh,

segue quea (u− uh, v) = 0 para todo v ∈ Vh. (6.42)

Para todo v ∈ Vh vale entao

α ‖u− uh‖2V 6 a (u− uh, u− uh) + a (u− uh, uh − v)= a (u− uh, u− v)6 Λ ‖u− uh‖V ‖u− v‖V ,

donde‖u− uh‖2V 6 Λ

α‖∇u−∇v‖L2(Ω)

para todo v ∈ Vh. ¥Introduzimos uma norma equivalente em V , induzida pela forma bilinear simetrica a, definindo

‖v‖a = a (v, v)1/2. (6.43)

De fato, √α ‖v‖V 6 ‖v‖a 6

√Λ ‖v‖V .

Esta norma e chamada norma da energia.

6.9 Proposicao. (Melhor Aproximacao) Se u ∈ V e a solucao exata para o problema variacional (6.36) euh e a solucao do problema discretizado (6.37), entao

‖u− uh‖a 6 ‖u− v‖a (6.44)

para todo v ∈ Vh, ou seja, uh e a melhor aproximacao para u em Vh na norma da energia.

Prova. A demonstracao e analoga a da proposicao anterior. ¥

Capıtulo 7

Aproximacao de Autovalores doLaplaciano

Neste capıtulo desejamos mostrar que tanto os autovalores da matriz de discretizacao, quanto os autovaloresda matriz de rigidez, sao aproximacoes para os autovalores do laplaciano, o que produz metodos numericospara encontrar os autovalores do laplaciano em domınios arbitrarios.

7.1 Elementos Finitos

Como vimos, o problema de autovalor para o laplaciano com condicao de Dirichlet −∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω,(7.1)

pode ser formulado variacionalmente como

a (u, v) = λ 〈u, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V = W 1,20 (Ω) , (7.2)

ondea (u, v) = 〈∇u,∇v〉L2(Ω) =

∫

Ω

∇u · ∇v.

A discretizacao correspondente de Ritz-Galerkin (isto e, elementos finitos) do problema de autovalor e

a (uh, v) = λh 〈uh, v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vh. (7.3)

Escolhendo uma base B = ϕ1, . . . , ϕn para Vh, de modo que

uh =n∑

i=1

uiϕi, v =n∑

i=1

viϕi

e

a (uh, v) =n∑

i,j=1

uia (ϕi, ϕj) vj =n∑

i,j=1

ui 〈∇ϕi,∇ϕj〉L2(Ω) vj = uthAv,

〈uh, v〉L2(Ω) =n∑

i,j=1

ui 〈ϕi, ϕj〉L2(Ω) vj = uthMv,

131


ondeA =

(〈∇ϕi,∇ϕj〉L2(Ω)

)16i,j6n

e a matriz de rigidez eM =

(〈ϕi, ϕj〉L2(Ω)

)16i,j6n

e a chamada matriz de massa, este problema toma a seguinte forma matricial:

Auh = λhMuh. (7.4)

Ou seja, e um problema de autovalor generalizado. Para transforma-lo em um problema de autovalor“normal”, observe que a matriz de massa e simetrica e positiva definida, pois se ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn e um

vetor nao-nulo e v =n∑

i=1

ξiϕi, temos

〈Mξ, ξ〉 =n∑

i,j=1

〈ϕi, ϕj〉L2(Ω) ξiξj =

⟨n∑

i=1

ξiϕi,

n∑

j=1

ξjϕj

⟩

L2(Ω)

= 〈v, v〉L2(Ω) > 0.

Logo, podemos decomporM = BtB

onde B tambem e simetrica positiva definida (por exemplo, a menos de similaridade ortogonal, B = M1/2).Definindo

A = B−tAB−1,

uh = Buh,

o problema de autovalor generalizado (7.4) e transformado no problema de autovalor:

Auh = λhuh. (7.5)

Os autovalores em ambos os problemas sao iguais, mas nao as autofuncoes.

7.1.1 Resultados Preliminares

De agora em diante, alem da continuidade e coercividade da forma bilinear a (no caso da equacao de Poisson,observe que podemos tomar a constante de coercividade igual a 1 usando a norma equivalente em W 1,2

0 (Ω))e do fato que W 1,2

0 (Ω) esta compactamente imerso em L2 (Ω), assumiremos que Vhi, hi → 0, sera sempreuma sequencia de subespacos de dimensao finita de V que aproximam V no sentido que

limhi→0

dist (u, Vhi) = 0 para todo u ∈ V (7.6)

ou, dito de outro modo,

limhi→0

inf ‖u− uh‖V : uh ∈ Vhi para todo uh ∈ V. (7.7)

Nestas condicoes, pode-se provar que a solucao uh dada pelo metodo de elementos finitos converge na normade V para a solucao exata u (veja [Hackbusch]). Uma condicao suficiente para assegurar (7.6) e que

Vh1 ⊂ Vh2 ⊂ . . . ⊂ Vhi ⊂ Vhi+1 ⊂ . . . ⊂ V e∞⋃

i=1

Vhi e denso em V. (7.8)


Defina a forma bilinearaλ (u, v) = a (u, v)− λ 〈u, v〉L2(Ω) . (7.9)

Se a e coerciva com constante de coercividade α, entao aλ tambem e coerciva para todo |λ| < α (veja Lema7.2 a seguir). Em seguida, considere os numeros

ω (λ) = infu∈V

‖u‖V =1

supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| , (7.10)

ωh (λ) = infu∈Vh

‖u‖V =1

supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| . (7.11)

A relacao entre os numeros ω (λ) e ωh (λ) e os respectivos problemas de autovalores e dada pelos Lemas 7.1e 7.2 a seguir.

A uma forma bilinear contınua a : V × V −→ R podemos associar de forma unica um operador linearcontınuo L : V −→ V ′ que satisfaz

a (u, v) = (Lu) (v) . (7.12)

Alem disso, se|a (u, v)| 6 C ‖u‖V ‖v‖V

para todos u, v ∈ V , entao‖L‖ 6 C.

7.1 Lema. Sejam L e Lh os operadores lineares associados as formas bilineares a : V × V −→ R e a :Vh × Vh −→ R, respectivamente.

Se λ nao e um autovalor, temos

ω (λ) =1∥∥∥(L− λI)−1

∥∥∥,

ωh (λ) =1∥∥∥(Lh − λI)−1

∥∥∥.

Prova. Se λ nao e um autovalor, entao o operador linear L− λI e invertıvel pela alternativa de Fredholm.Observe que L−λI e precisamente o operador linear associado a forma bilinear aλ. Denotando A = L−λI,temos

ω (λ) = infu∈Vu 6=0

supv∈Vv 6=0

|aλ (u, v)|‖u‖V ‖v‖V

= infu∈Vu 6=0

supv∈Vv 6=0

|(Au) (v)|‖u‖V ‖v‖V

= infu′∈V ′u′ 6=0

supv∈Vv 6=0

∣∣(AA−1u′)(v)

∣∣‖A−1u′‖V ‖v‖V

= infu′∈V ′u′ 6=0

1‖A−1u′‖V

supv∈Vv 6=0

|u′ (v)|‖v‖V

= infu′∈V ′u′ 6=0

1‖A−1u′‖V

‖u′‖V

=1

‖A−1‖ .

A demonstracao para ωh (λ) e analoga. ¥

7.2 Lema. λ e um autovalor de (7.2) se e somente se ω (λ) = 0.

λh e um autovalor de (7.3) se e somente se ωh (λh) = 0.

Prova. Se λ e um autovalor de (7.2), entao por definicao existe u ∈ V tal que aλ (u, v) = 0 para todo v ∈ V ,donde ω (λ) = 0. Reciprocamente, se λ nao e um autovalor, pelo lema anterior ω (λ) 6= 0. A demonstracaopara ωh (λ) e analoga. ¥


7.3 Corolario. ω (λ) e ωh (λ) sao contınuas em λ ∈ C.

7.4 Lema. Se a : V × V −→ R e uma forma bilinear coerciva com

|a (v, v)| > α ‖v‖2V para todo v ∈ V,

entao existe µ ∈ R tal que aµ tambem e coerciva. Alem disso,

ω (µ) > α− |µ| ,ωh (µ) > α− |µ| .

Prova. Temos|aλ (u, u)| > |a (u, u)| − |λ| ‖u‖2L2(Ω) > (α− |λ|) ‖u‖2V ,

de modo que aλ e coerciva sempre que |λ| < α. Para provar as desigualdades, note que se u ∈ V e ‖u‖V = 1entao

supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| > |aλ (u, u)| > α− |µ| .

¥

7.5 Lema. Seja K ⊂ C compacto. Entao existem numeros C > 0 e ηh > 0 independentes de λ ∈ K comlimh→0

ηh = 0 tais que

ωh (λ) > Cω (λ)− ηh, (7.13)ω (λ) > Cωh (λ)− ηh, (7.14)

para todo λ ∈ K.

Prova. Escolha µ ∈ R como no lema anterior. Defina operadores Zλ : V −→ V e Zhλ : V −→ Vh por

z = Zλ (u) e a solucao de aµ (z, v) = (λ− µ) 〈u, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V,

zh = Zhλ (u) e a solucao de aµ (zh, v) = (λ− µ) 〈u, v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vh.

A existencia e unicidade de z e zh e garantida pelo Teorema de Lax-Milgram. Observe que

aλ (u, v) = aµ (u− z, v) , (7.15)

pois

aλ (u, v) = a (u, v)− λ 〈u, v〉L2(Ω)

= a (u, v)− µ 〈u, v〉L2(Ω) − (λ− µ) 〈u, v〉L2(Ω)

= aµ (u, v)− aµ (z, v) .

Usando a continuidade dos operadores Zλ, Zhλ com relacao a λ e a compacidade de K, seja CZ > 0 uma

constante positiva tal que‖Zλ‖ ,

∥∥Zhλ

∥∥ 6 CZ para todo λ ∈ K. (7.16)

Denote por Cµ uma constante de continuidade para a forma bilinear aµ, isto e,

|aµ (v, w)| 6 Cµ ‖v‖V ‖w‖V (7.17)

para todos u, v ∈ V , por C0 uma constante uniforme de continuidade para as formas bilineares aλ, λ ∈ K,isto e,

|aλ (v, w)| 6 C0 ‖v‖V ‖w‖V , (7.18)


para todos u, v ∈ V , para todo λ ∈ K, eβ = α− |µ| . (7.19)

Consideremos a primeira desigualdade, (7.13). Da definicao de ω (λ), segue que para todo u ∈ V vale

ω (λ) ‖u‖V 6 supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = supv∈V

‖v‖V =1

|aµ (u− z, v)| 6 Cµ ‖u− z‖V . (7.20)

Usando o Lema 7.4 e esta ultima desigualdade escrevemos entao

supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = supv∈Vh

‖v‖V =1

|aµ (u− zh, v)|

> ωh (µ) ‖u− zh‖V

> β ‖u− zh‖V

> β (‖u− z‖V − ‖z − zh‖V )

> β

(ω (λ)Cµ

− ∥∥Zλ − Zhλ

∥∥)‖u‖V

para todo u ∈ V . Escolhendo u ∈ Vh tal que ‖u‖V = 1 e

ωh (λ) = infu∈Vh

‖u‖V =1

supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = minu∈Vh

‖u‖V =1

supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| ,

obtemosωh (λ) > β

Cµω (λ)− β

∥∥Zλ − Zhλ

∥∥ . (7.21)

Portanto, (7.13) segue se provarmos que

limh→0

supλ∈K

∥∥Zλ − Zhλ

∥∥ = 0. (7.22)

Da mesma forma, a demonstracao de (7.14) depende de (7.22). De fato, pela definicao de ωh (λ) segueque para todo uh ∈ Vh temos

ωh (λ) ‖uh‖V 6 supv∈Vh

‖v‖V =1

|aλ (uh, v)| = supv∈Vh

‖v‖V =1

|aµ (uh − zh, v)| 6 Cµ ‖uh − zh‖V . (7.23)

Usando o Lema 7.4 e esta ultima desigualdade escrevemos

supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (uh, v)| = supv∈V

‖v‖V =1

|aµ (uh − z, v)|

> ω (µ) ‖uh − z‖V

> β ‖uh − z‖V

> β (‖uh − zh‖V − ‖z − zh‖V )

> β

(ωh (λ)

Cµ− ∥∥Zλ − Zh

λ

∥∥)‖uh‖V

para todo uh ∈ Vh. Escolha u ∈ V tal que ‖u‖V = 1 e

ω (λ) = infu∈V

‖u‖V =1

supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = minu∈V

‖u‖V =1

supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| = supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)| .


Comosupv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u− uh, v)| 6 C0 ‖u− uh‖V ,

segue que

ω (λ) + C0 ‖u− uh‖V > supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u, v)|+ supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (u− uh, v)|

> supv∈V

‖v‖V =1

|aλ (uh, v)|

> β

(ωh (λ)

Cµ−

∥∥Zλ − Zhλ

∥∥)‖uh‖V ,

donde

ω (λ) >(

β

Cµωh (λ)− β

∥∥Zλ − Zhλ

∥∥)‖uh‖V − C0 ‖u− uh‖V .

Como para cada h podemos escolher uh tal que ‖u− uh‖V → 0 quando h → 0, por (7.7), (7.14) sera provadose (7.22) for verdadeiro.

Para terminar a demonstracao do lema, provaremos agora (7.22). Suponha por absurdo que existe ε > 0,λi ⊂ K e hi → 0 tal que ∥∥∥Zλi − Zhi

λi

∥∥∥ > ε.

Entao existe uma sequencia ui ⊂ V com ‖ui‖V = 1 tal que∥∥∥Zλi (ui)− Zhi

λi(ui)

∥∥∥V

> ε

2.

Pela compacidade de K e da imersao V −→ L2 (Ω), podemos assumir a menos de uma subsequencia que

λi → λ0,

ui → u0 em V ′.

Segue do fato que a solucao dada por elementos finitos aproxima a solucao exata que∥∥∥Zλ0 (u0)− Zhi

λ0(u0)

∥∥∥V→ 0.

Logo,∥∥∥Zλi (ui)− Zhi

λi(ui)

∥∥∥V

6 ‖Zλi (ui)− Zλ0 (ui)‖V +∥∥∥Zhi

λ0(ui)− Zhi

λi(ui)

∥∥∥V

+ ‖Zλ0 (ui − u0)‖V +∥∥∥Zhi

λ0(u0 − ui)

∥∥∥V

+∥∥∥Zλ0 (u0)− Zhi

λ0(u0)

∥∥∥V

6 2C |λi − λ0|+ 2Cz ‖u0 − ui‖V ′ +∥∥∥Zλ0 (u0)− Zhi

λ0(u0)

∥∥∥V

→ 0

uma contradicao. ¥


7.1.2 Convergencia dos Autovalores Discretos para os Autovalores Contınuos

A convergencia dos autovalores discretos para os autovalores exatos pode ser agora demonstrada:

7.6 Teorema. Sejam λhiautovalores discretos de (7.3) tais que

lim λhi = λ0. (7.24)

Entao λ0 e um autovalor de (7.2).

Prova. Suponha por absurdo que λ0 nao e um autovalor de (7.2). Entao, pelo Lema 7.2,

ω (λ0) = η0 > 0.

Como ω (λ) e uma funcao contınua, existe ε0 > 0 tal que

ω (λ) > η0

2> 0

para todo λ ∈ Dε0 (λ0) = z ∈ C : |z − λ0| 6 ε0. Escolha K = Dε0 (λ0) no Lema 7.5 e sejam ηh e C osnumeros dados naquele lema. Como lim ηhi

= 0, seja h0 > 0 tal que

ηh 6 Cη0

4

para todo h 6 h0. Segue dos Lemas 7.2 e 7.5 que para todo λhi ∈ Dε0 (λ0) com hi 6 h0 nos temos

0 = ωhi (λhi) > Cω (λhi)− ηhi > Cη0

2− C

η0

4= C

η0

4> 0,

uma contradicao. ¥

7.7 Lema. As funcoes ω (λ) e ωh (λ) nao possuem um mınimo positivo proprio no interior de um compactoK ⊂ C.

Prova. Seja L o operador associado a forma bilinear a. Sejam µ um ponto interior de K com ω (µ) > 0e ε > 0 suficientemente pequeno para que Dε (µ) ⊂ K e ω (λ) > 0 para todo λ ∈ Dε (µ). Pelo Lema 7.2,(L− λI)−1 esta definida em Dε (µ), logo e holomorfica aı. Pela formula integral de Cauchy,

(L− λI)−1 =1

2πi

∮

∂Dε(µ)

(L− zI)−1

z − λdz

para todo λ ∈ Dε (µ). Daı,

1ω (λ)

=∥∥∥(L− λI)−1

∥∥∥ 6 maxz∈∂Dε(µ)

∥∥∥(L− zI)−1∥∥∥ = max

z∈∂Dε(µ)

1ω (z)

,

de modo queω (λ) > min

z∈∂Dε(µ)ω (z)

para todo λ ∈ Dε (µ). Portanto, ω (λ) nao pode assumir um mınimo proprio em Dε (µ).A demonstracao para ωh (λ) e analoga. ¥A recıproca do Teorema 7.6, isto e, que todos os autovalores reais podem ser aproximados por uma

sequencia de autovalores discretos, e dada no proximo resultado:

7.8 Teorema. Seja λ0 um autovalor de (7.2). Entao existem autovalores discretos λh de (7.3) tais que

limh→0

λh = λ0. (7.25)


Prova. Os autovalores do laplaciano sao isolados, logo pelo Lema 7.2

ω (λ) > 0 para todo 0 < |λ− λ0| < ε

se ε > 0 e suficientemente pequeno. Como ω (λ) e contınua e ∂Dε (λ0) e compacto, temos

ωε = min∂Dε(λ0)

ω (λ) > 0.

Segue do Lema 7.5 que para todo λ ∈ ∂Dε (λ0) e para todo h suficientemente pequeno temos

ηh <C

1 +1C

ωε,

donde

ωh (λ) > Cω (λ)− ηh > Cωε − ηh >ηh

C> ωh (λ0)− ω (λ0)

C= ωh (λ0) .

Em particular, ωh (λ) tem um mınimo proprio em Dε (λ0). Pelo lema anterior, isso implica que existeλh ∈ Dε (λ0) tal que ωh (λh) = 0, isto e, λh e um autovalor discreto. ¥

7.1.3 Convergencia das Autofuncoes

A convergencia das autofuncoes segue do proximo teorema:

7.9 Teorema. Sejam uh autofuncoes de (7.3) associadas respectivamentes aos autovalores discretos λh esatisfazendo ‖uh‖V = 1 e lim

h→0λh = λ0. Entao existe uma subsequencia uhi que converge em V para

uma autofuncao u0 associada ao autovalor λ0 de (7.2) com ‖u0‖V = 1.

Prova. Usando o fato que V = W 1,20 (Ω) esta compactamente imerso em L2 (Ω), obtemos uma subsequencia

uhi convergente para u0 ∈ L2 (Ω). Como no Lema 7.4, definimos

z0 = Zλ0 (u0) e a solucao de aµ (z0, v) = (λ0 − µ) 〈u0, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V,

zhi = Zhi

λ0(u0) e a solucao de aµ (zhi , v) = (λ0 − µ) 〈u0, v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vhi .

Dado ε > 0, existe h1ε > 0 tal que

‖z0 − zhi‖V <ε

2(7.26)

se hi < h1ε. A funcao uhi e uma solucao de

aµ (uhi , v) = (λhi − µ) 〈uhi , v〉L2(Ω) para todo v ∈ Vhi ,

ou seja, uhi = Zhi

λi(uhi). Segue que

fi (v) := aµ (zhi − uhi , v)= (λ0 − µ) 〈u0, v〉L2(Ω) − (λhi − µ) 〈uhi , v〉L2(Ω)

= (λ0 − µ) 〈u0 − uhi , v〉L2(Ω) − (λhi − λ0) 〈uhi , v〉L2(Ω)

para todo v ∈ Vhi . Mas fi → 0 em V ′ porque λhi → λ0 e uhi → u0 em L2 (Ω), logo existe h2ε > 0 tal que

‖fi‖V ′ 6 ε

2α


e‖zhi

− uhi‖V <

ε

2(7.27)

para hi < h2ε. Portanto,

‖z0 − uhi‖V < ε

se hi < min(h1

ε, h2ε

), o que implica

uhi → z0 em V,

Em particular,z0 = u0,

ou seja,aµ (u0, v) = (λ0 − µ) 〈u0, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V,

e, portanto,a (u0, v) = λ0 〈u0, v〉L2(Ω) para todo v ∈ V.

¥

Capıtulo 8

Metodos Numericos para a Obtencaode Autovalores de Matrizes

Os autovalores de uma matriz A sao as raızes do polinomio caracterıstico de A

p (λ) = det (λI −A) = λn + an−1λn−1 + . . . + a1λ + a0.

Encontrar as raızes de um polinomio nao e uma tarefa simples e nenhum dos algoritmos usados para encontraros autovalores de uma matriz e baseado nesta estrategia (alem disso, obter o polinomio caracterıstico deuma matriz grande tambem pode ser uma tarefa que consome muito tempo e recursos computacionais). Naverdade, muitos algoritmos para encontrar raızes de polinomios sao baseados em algoritmos para encontrarautovalores de matrizes. Eles sao baseados no fato que, dado um polinomio monico p qualquer, ele e opolinomio caracterıstico da matriz companheira de p:

A =

−an−1 −an−2 . . . −a1 −a0

1 0 . . . 0 0

0 1. . . 0 0

......

. . . 0 00 0 . . . 1 0

.

Assim, encontrar as raızes do polinomio p e equivalente a encontrar os autovalores da matriz companheirade p. Por exemplo, o comando roots em MATLAB encontra as raızes de um polinomio transformando-oprimeiro em um polinomio monico e em seguida utilizando o eficiente algoritmo QR, discutido neste capıtulo,para encontrar os autovalores da matriz companheira.

Diferente do caso da resolucao de sistemas lineares, em que existem metodos diretos eficientes paramatrizes grandes, esparsas ou nao, nao existem correspondentes metodos diretos para obter autovalores deuma matriz (um metodo e chamado direto se a solucao e obtida apos um numero finito de passos). Isso edevido ao teorema de Abel que diz que nao existe uma formula geral para obter as raızes de um polinomiode grau maior que 4; se existisse um procedimento finito para obter os autovalores de uma matriz, usando aequivalencia entre as raızes de um polinomio e os autovalores de sua matriz companheira, obterıamos umaformula geral para obter as raızes de um polinomio, por mais complicada que fosse. Portanto, todos osalgoritmos para obter autovalores sao iterativos.

8.1 Metodo das Potencias

O metodo das potencias e o algoritmo mais simples, mas ele pode apenas encontrar o maior autovalor de umamatriz A. Para simplificar a exposicao, suponha que A e uma matriz diagonalizavel cujo maior autovalor e

140


um autovalor simples. Ordene os autovalores de A na forma

|λ1| > |λ2| > . . . > |λn|

e seja v1, . . . , vn uma base correspondente de autovetores. λ1 e chamado o autovalor dominante de A ev1 um autovetor dominante. Quando A tem um autovalor dominante, este e um correspondente autovetordominante podem ser encontrados atraves do metodo das potencias, que consiste essencialmente em tomarum vetor q arbitrario e considerar as potencias

q,Aq, A2q, . . . , Akq, . . .

ou seja,Akq = A

(Ak−1q

).

Para quase todas as escolhas de q esta sequencia converge em um certo sentido para um autovetor dominantede A. De fato, para a maioria das escolhas de q devemos ter

q =n∑

i=1

aivi

com a1 6= 0; raramente uma escolha aleatoria de q produzira um vetor no subespaco 〈v2, . . . , vn〉. Temos

Akq =n∑

i=1

aiλki vi,

donde

Akq = λk1

[a1v1 +

n∑

i=2

ai

(λi

λ1

)k

vi

].

Embora∥∥Akq

∥∥ →∞ se λ1 > 1 e∥∥Akq

∥∥ → 0 se λ1 < 1, como

(λi

λ1

)k

→ 0,

para todo i = 2, . . . , n, segue que a sequencia reescalada

qk =Akq

λk1

→ a1v1

converge para um autovetor dominante. No entanto, como o autovalor λ1 nao e conhecido a priori, eimpossıvel trabalhar com esta sequencia. Em geral, escolhemos um fator de escala σk e definimos

qk+1 =1

σk+1Aqk. (8.1)

O fator de escala σk e comumente escolhido como sendo o valor da coordenada de Aqk que tem o maiorvalor absoluto. Deste modo, o maior componente de qk e igual a 1 e a sequencia converge para um autovetordominante cujo maior componente e 1.

8.1.1 Iteracao Inversa e Iteracao com Deslocamento

O metodo das potencia permite apenas encontrar o autovalor dominante. Para obter o menor autovalor deA, podemos aplicar o metodo das potencias a matriz A−1, pois se λ e o menor autovalor de A, 1/λ sera


o maior autovalor de A−1. Este metodo e chamado metodo das potencias inverso ou iteracao inversa (emcontraste, o metodo das potencias e as vezes chamado iteracao direta).

Para encontrar os demais autovalores da matriz A, observe que se A tem autovalores λ1, . . . , λn, entaoA−σI tem autovalores λ1−σ, . . . , λn−σ. O escalar σ e chamado um deslocamento. Podemos entao aplicaro metodo das potencias a matriz (A− σI)−1, pois o maior autovalor desta matriz e 1/ (λ− σ), onde λ e oautovalor de A mais proximo de σ. De fato, se

(A− σI)−1v = µv,

entao v = µ (A− σI) v, donde

Av =(

σ +1µ

)v.

Assim, podemos escolher quais autovalores de A encontrar atraves da escolha do deslocamento σ. Estemetodo e chamado iteracao com deslocamento. Ele e particularmente eficiente quando possuımos boasestimativas para os autovalores de A.

E muito importante notar que tanto na iteracao inversa, quanto na iteracao com deslocamento, emnenhum momento e necessario calcular a inversa A−1 explicitamente, o que consumiria muito tempo erecursos. Embora as iteradas satisfazem

qk+1 =1

σk+1(A− σI)−1

qk,

basta resolver o sistema(A− σI) qk+1 = qk

e entao tomarqk+1 =

1σk+1

qk+1.

8.2 Iteracao de Subespacos

O metodo de potencias pode ser visto como uma iteracao de subespacos

S0 = 〈q〉 ,S1 = AS,

S2 = A2S,

...

Sk = AkS,

...

que convergem para o subespaco T = 〈v1〉 associado ao autovalor dominante de A. Esta ideia pode sertornada mais precisa quando se define a distancia entre dois subespacos vetoriais.

Definicao. Dados dois subespacos vetoriais E, F de um espaco vetorial V de dimensao finita com produtointerno, cujas dimensoes m = dim E, p = dim F satisfazem

m > p > 1,

os angulos principais θ1, . . . , θp ∈ [0, π/2] entre E e F sao definidos recursivamente por

cos θj = maxu∈E‖u‖=1〈u,ui〉=0

para i=1,...,j−1

maxv∈F‖v‖=1〈v,vi〉=0

para i=1,...,j−1

〈u, v〉 = 〈uj , vj〉 .

Os vetores u1, . . . , up e v1, . . . , vp sao chamados os vetores principais entre os subespacos E e F .


Em outras palavras, escolha vetores u1, v1 tais que o maximo

maxu∈E‖u‖=1

maxv∈F‖v‖=1

〈u, v〉

e realizado nestes vetores, e definacos θ1 = 〈u1, v1〉 .

Por exemplo, se dim E = 2 e dim F = 1, entao θ1 e o maior angulo que a reta F faz com retas de E; sedim E = dim F = 2, entao θ1 e o maior angulo entre uma reta de E e uma reta de F . Em seguida, escolhavetores u2, v2 tais que o maximo

maxu∈E‖u‖=1〈u,u1〉=0

maxv∈F‖v‖=1〈v,v1〉=0

〈u, v〉

e realizado nestes vetores, e definacos θ2 = 〈u2, v2〉 .

Por exemplo, se dim E = dim F = 2, entao θ2 = 0 porque u2 = v2. E assim por diante definimos os angulosprincipais restantes θ3, . . . , θp. Angulos principais e vetores principais aparecem em aplicacoes de estatısticae permitem a definicao de uma nocao de distancia entre subespacos vetoriais de mesma dimensao.

Definicao. Dados dois subespacos vetoriais de mesma dimensao S1, S2 ⊂ V a distancia dist (S1, S2) entreS1 e S2 e o seno do maior angulo principal entre eles.

Dada uma sequencia de subespacos Sk ⊂ V e um subespaco T ⊂ V , todos de mesma dimensao,dizemos que Sk converge para T , denotado por

Sk → T

sedist (Sk, T ) → 0.

8.1 Teorema. Seja A ∈ Mn (F) uma matriz diagonalizavel com autovalores λ1, . . . , λn ∈ F satisfazendo

|λ1| > |λ2| > . . . > |λn|

Seja B = v1, . . . , vn ⊂ Fn uma base de autovetores correspondente. Suponha que |λm| > |λm+1| paraalgum m. Sejam

Tm = 〈v1, . . . , vm〉 ,Um = 〈vm+1, . . . , vn〉 .

Seja S um subespaco m-dimensional qualquer de Fn tal que S∩Um = 0. Entao existe uma constanteC > 0 tal que

dist(AkS, Tm

)6 C

∣∣∣∣λm+1

λm

∣∣∣∣k

para todo k.

Em particular, AkS → Tm.

Prova. Embora nao demonstraremos o Teorema 8.1 rigorosamente, daremos uma ideia da demonstracao.Seja q ∈ S um vetor arbitrario. Entao q se escreve de maneira unica na forma

q =m∑

i=1

aivi +n∑

i=m+1

aivi =: q1 + q2


com q1 ∈ Tm e q2 ∈ Um. Como q /∈ Um, necessariamente q1 6= 0, isto e, ai 6= 0 para algum ındice i = 1, . . . ,m.Em primeiro lugar, note que os subespacos AkS sao todos m-dimensionais. De fato, |λm| > |λm+1| implica

que nenhum dos autovalores λ1, . . . , λm e o autovalor nulo, logo kerA ⊂ Um. Como S ∩ Um = 0, segueque A e injetiva sobre S logo dim S = dim (AS). Mais geralmente, como AkTm = Tm, temos ker

(Ak

) ⊂ Um

para todo k. Alem disso, AkS ∩ Um = 0, pois se q = q1 + q2 ∈ S e um vetor arbitrario com q1 ∈ Tm eq2 ∈ Um, segue que a componente Akq1 de Akq em Tm e nao-nula para todo k, pois Akq1 =

∑mi=1 aiλ

kvi eai 6= 0 para algum ındice i = 1, . . . , m. Portanto, dim (AS) = dim (AS) = . . . = dim

(AkS

).

TemosAkq

λkm

=m−1∑

i=1

ai

(λi

λm

)k

vi + amvm +n∑

i=m+1

ai

(λi

λm

)k

vi.

Os coeficientes da componente em Tm crescem, ou pelo menos nao decrescem, enquanto que os coeficientesda componente em Um tendem a zero com taxa igual a ou melhor que λm+1/λm. Portanto, toda sequencia(Akq

)converge para um vetor em Tm com a taxa de convergencia dada no enunciado. O limite AkS nao

pode ser um subespaco proprio de Tm porque ele tem dimensao m. ¥Tm e chamado o subespaco invariante dominante de A de dimensao m.

Para fazer uma iteracao de subespacos na pratica, e necessario escolher uma base para o subespaco aser iterado, iterando todos os vetores desta base simultaneamente. Assim, se B0 =

q01 , . . . , q0

m

e uma base

para S, Bk =Akq0

1 , . . . , Akq0m

e uma base para AkS. Por outro lado, ja vimos que trabalhar com os

vetores Akq0j pode ser problematico, pois pode ocorrer

∥∥Akq0j

∥∥ → ∞ ou∥∥Akq0

j

∥∥ → 0; seria necessario fazerum reescalamento a cada iteracao. Pior que isso, as sequencias de vetores

Akq0

1

, . . . ,

Akq0

m

convergem

cada uma para o autovetor dominante v1, como vimos na secao anterior, logo os vetores Akq01 , . . . , Akq0

m

apontam aproximadamente para a mesma direcao v1 para m grande, logo Bk =Akq0

1 , . . . , Akq0m

nao e

uma boa base para AkS (dizemos que Bk e uma base mal-condicionada): pequenas perturbacoes em um dosvetores-base podem fazer uma grande diferenca no espaco.

Deve-se portanto substituir a base obtida em cada iteracao por uma base bem-condicionada. A maneiramais confiavel de fazer isso e ortonormalizar a base. Assim, comeca-se com uma base ortonormal B0 =q01 , . . . , q0

m

para S e obtem-se a base B1 =

Aq0

1 , . . . , Aq0m

para AS. Atraves de um processo de

ortonormalizacao, como o algoritmo de Gram-Schmidt, a partir de B1 obtem-se uma base ortonormalB1 =

q11 , . . . , q1

m

para AS. Em geral, dada uma base ortonormal Bk =

qk1 , . . . , qk

m

para AkS, obte-

mos uma base ortonormal Bk+1 =qk+11 , . . . , qk+1

m

para Ak+1S a partir da base Bk+1 =

Aqk

1 , . . . , Aqkm

.

Este procedimento e chamado iteracao simultanea com ortonormalizacao ou simplesmente iteracaosimultanea.

8.3 Metodo QR

O algoritmo mais usado para calcular o conjunto completo de autovalores de uma matriz e o algoritmoQR, desenvolvido simultanea e independentemente por Francis e Kublanovskaya em 1961. Ele pode sercompreendido a partir do processo de iteracao simultanea.

Consideremos o que acontece quando o processo de iteracao simultanea e aplicado a uma base B0 =q01 , . . . , q0

n

de vetores ortonormais para Fn. Como antes, assumimos que A e diagonalizavel com autovalores

λ1, . . . , λn e B = v1, . . . , vn e uma base correspondente de autovetores. Assuma

|λm| > |λm+1|

para m = 1, . . . , n− 1, e defina

Sm =⟨q01 , . . . , q0

m

⟩,

Tm = 〈v1, . . . , vm〉 ,Um = 〈vm+1, . . . , vn〉 .


Assuma tambem que Sm ∩ Um = 0 para m = 1, . . . , n− 1. Pelo Teorema 8.1,

AkSm =⟨qk1 , . . . , qk

m

⟩ → Tm

com velocidade de convergencia igual a |λm+1| / |λm|.Seja Qk a matriz unitaria cujas colunas sao os vetores ortonormais qk

1 , . . . , qkn e denote

Ak = Q∗kAQk. (8.2)

Como Ak e similar a A, Ak possui os mesmos autovalores de A. Para k grande, as primeiras m colunas deQk sao proximas ao subespaco invariante Tm. Se estas colunas gerassem exatamente o subespaco Tm, entaoAk teria a forma em blocos

Ak =

[ (Ak

11

)k×k

(Ak

12

)k×(n−k)

0(n−k)×k

(Ak

22

)(n−k)×(n−k)

](8.3)

e os autovalores λ1, . . . , λk seriam os autovalores do bloco Ak11. Como estas colunas apenas aproximam Tm,

ao inves de um bloco nulo devemos obter um bloco Ak21 cujas entradas sao proximas de zero. Pode-se provar

que de fato Ak21 → 0. Isso acontece para todo k, de modo que Ak converge para uma matriz triangular, cujos

elementos na diagonal principal sao os autovalores λ1, . . . , λn de A. Se A for uma matriz hermitiana, entaoAk tambem sera hermitiana e Ak convergira para uma matriz diagonal.

O algoritmo QR e uma variante da iteracao de subespacos que produz a sequencia (Ak) diretamente.

8.3.1 O Algoritmo QR

Para obter o algoritmo QR, vamos colocar a iteracao simultanea em forma matricial. Assumiremos que Ae invertıvel. Depois de k iteracoes, temos os vetores ortonormais qk

1 , . . . , qkn, que sao as colunas da matriz

unitaria Qk, isto e,Qk =

[qk1 . . . qk

n

]. (8.4)

DenoteBk+1 = AQk =

[Aqk

1 . . . Aqkn

]. (8.5)

Em seguida, o processo de Gram-Schmidt classico e aplicado aos vetores linearmente independentes bk+11 =

Aqk1 , . . . , bk+1

n = Aqkn (daı a hipotese de que A e invertıvel) para obter vetores ortonormais qk+1

1 , . . . , qk+1n

que serao as colunas da matriz unitaria Qk+1.Para expressar o algoritmo de Gram-Schmidt em forma matricial, lembre-se que para obter vetores

ortonormais q1, . . . , qn a partir de vetores linearmente independentes b1, . . . , bn neste processo primeiro or-togonalizamos, obtendo os vetores ortogonais

q1 = b1,

q2 = b2 − 〈b2, q1〉〈q1, q1〉 q1,

...

qm = bm −m−1∑

j=1

〈bm, qj〉〈qj , qj〉 qj ,

...

qn = bn −n∑

j=1

〈bn, qj〉〈qj , qj〉 q

k+1j .


e depois normalizamos obtendo os vetores ortonormais

q1 =q1

‖q1‖ ,

...

qn =qn

‖qn‖ .

Podemos escrever o processo de ortogonalizacao na forma

qm = bm −m−1∑

j=1

〈bm, qj〉 qj ,

qm =qm

‖qm‖ ,

ou

qm = bm −m−1∑

j=1

rjmqj , (8.6)

qm =1

rmmqm, (8.7)

onde

rjm = 〈bm, qj〉 , se j = 1, . . . ,m− 1, (8.8)rmm = ‖qm‖ . (8.9)

Os vetores b1, . . . , bn podem entao ser escritos diretamente em funcao dos vetores q1, . . . , qn:

bm =m−1∑

j=1

rjmqj + rmmqm, (8.10)

ou seja,

b1 = r11q1,

b2 = r12q1 + r22q2,

b3 = r13q1 + r23q2 + r33q3

...bn = r1nq1 + r2nq2 + . . . + rnnqn

Em forma matricial, se definirmos rjm = 0 sempre que j > m e considerarmos a matriz triangular superiorR = (rij), temos

[b1 b2 b3 . . . bn

]=

[q1 q2 q3 . . . qn

]

r11 r12 r13 . . . r1n

0 r22 r23 . . . r2n

0 0 r33 . . . r3n

......

. . . . . ....

0 0 0 . . . rnn


ouB = QR (8.11)

Esta e a chamada decomposicao QR de uma matriz invertıvel B em um produto de uma matriz unitaria Q(ortogonal, se B for uma matriz real) e uma matriz triangular superior com entradas diagonais reais positivasR.

Portanto, usando a decomposicao QR, um passo de iteracao simultanea pode ser expresso em formamatricial como

Bk+1 = AQk = Qk+1Rk+1, (8.12)

onde Rk+1 e a matriz triangular superior definida por

(Rk+1)jm =

0 se j > m,⟨Aqk

j , qk+1j

⟩se j = 1, . . . ,m− 1,⟨

Aqkj , Aqk

j

⟩se j = m.

(8.13)

Agora suponha que comecemos a iteracao simultanea a partir dos vetores da base canonica, isto e,q01 , . . . , q0

n

= e1, . . . , en, de modo que Q0 = I. Entao

B1 = AQ0 = A,

dondeA = Q1R1.

Daı,A1 = Q∗

1AQ1 = R1Q1.

Denotando Q1 = Q1, escrevemosA = Q1R1

eA1 = R1Q1. (8.14)

No proximo passo,B2 = AQ1 = Q2R2.

Observando queA1 = Q∗1AQ1 = Q∗1Q2R2,

definindoQ2 = Q∗1Q2

obtemos a decomposicao QR da matriz A1:

A1 = Q2R2. (8.15)

Daı,A2 = Q∗2AQ2 = Q∗2Q1R1Q2 = Q∗2R1Q1Q2 = Q∗

2A1Q2.

Como Q∗2A1 = R2, segue que

A2 = R2Q2. (8.16)

Em geral,

Ak−1 = QkRk, (8.17)Ak = RkQk, (8.18)

isto e, obtemos primeiro a decomposicao QR da matriz Ak−1 e a partir dela obtemos a proxima iterada, amatriz Ak.


8.3.2 Implementacao Eficiente do Algoritmo QR

O algoritmo QR da forma como introduzido na secao anterior e altamente ineficiente. Cada decomposicaoQR custa O

(n3

)operacoes de ponto flutuante e a multiplicacao de matrizes que lhe segue tambem custa

O(n3

)operacoes de ponto flutuante. Alem disso, a velocidade de convergencia tambem e muito lenta.

O primeiro problema e resolvido quando se reduz a matriz A a sua forma de Hessenberg. Uma decom-posicao QR de uma matriz na forma de Hessenberg e apenas O

(n2

)operacoes de ponto flutuante para uma

matriz geral e O (n) operacoes de ponto flutuante para uma matriz hermitiana.

Definicao. Dizemos que uma matriz A = (aij) e uma matriz de Hessenberg superior se aij = 0 sempreque i > j + 1.

Em outras palavras, uma matriz de Hessenberg superior tem a forma

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 ∗ ∗ ∗0 0 0 ∗ ∗

.

Observe que uma matriz hermitiana de Hessenberg e uma matriz tridiagonal. Toda matriz complexa esemelhante a uma matriz na forma de Hessenberg superior atraves de uma matriz unitaria, isto e, dadaA ∈ Mn (C), existe uma matriz unitaria Q tal que

B = Q∗AQ

e de Hessenberg superior. O custo para isso e de 103 n3 operacoes de ponto flutuante. Detalhes podem ser

vistos em [Watkins]. Se Ak−1 e uma matriz de Hessenberg superior, entao a matriz Ak obtida atraves dometodo QR tambem e de Hessenberg superior. De fato, da decomposicao QR de Ak−1, Ak−1 = QkRk,obtemos Qk = Ak−1R

−1k . Como a inversa de uma matriz triangular superior e uma matriz triangular

superior, segue que R−1k e triangular superior. O produto de uma matriz triangular superior e de uma

matriz de Hessenberg superior, em qualquer ordem, sempre e uma matriz de Hessenberg superior. Segueque Qk e de Hessenberg superior e daı que Ak = RkQk e de Hessenberg superior. Assim, se comecarmoscom uma matriz de Hessenberg superior, em cada passo QR estaremos trabalhando com uma matriz deHessenberg superior e o custo computacional cai de O

(n3

)para O

(n2

)(ou ate mesmo O (n) se a matriz for

hermitiana), uma reducao significativa.A velocidade de convergencia do algoritmo QR pode ser acelerada pela estrategia de deslocamento. Com

efeito, como a taxa de convergencia do metodo depende da razao |λm+1| / |λm|, ela pode ser melhoradaquando esta razao e decrescida. Isso pode ser feito atraves de deslocamento; |λm+1 − σ| / |λm − σ| podeser tornado arbitrariamente proximo a zero escolhendo um deslocamento arbitrariamente proximo a λm+1.A escolha do deslocamento pode ser feita atraves do proprio metodo QR: depois de algumas iteracoes, oselementos na diagonal principal de Ak sao aproximacoes dos autovalores de A.

O metodo pode ter sua velocidade de convergencia ainda mais acelerada atraves do uso de uma tecnicachamada deflacao. Suponha que obtivemos uma boa aproximacao σ para o autovalor de menor modulo λn

(como este autovalor tem o menor modulo, ele deve ser o melhor aproximado pelas iteracoes QR iniciais usadaspara encontrar boas aproximacoes para os autovalores). Aplicando o algoritmo QR a matriz C = A − σI,obteremos uma convergencia muito rapida, de modo que apos poucas iteracoes a matriz Ck+σI (adicionandoo deslocamento de volta) tera aproximadamente a forma

Ck + σI =

Ak

∗. . .∗

0 0 0 λn

.


Os autovalores restantes de A serao os autovalores de Ak, que e uma matriz (n− 1)× (n− 1), de modo quepodemos efetuar iteracoes subsequentes nesta matriz. Operando desta forma, a cada autovalor encontradodiminuımos o tamanho da matriz, diminuindo o custo computacional (e claro que a cada autovalor encontradodevemos tambem considerar um novo deslocamento, aproximando o proximo autovalor a ser encontrado).

8.4 Metodos para Matrizes Esparsas

O algoritmo QR nao e conveniente para obter os autovalores de matrizes esparsas, ja que depois de umaiteracao QR a matriz A1 ja deixa de ser esparsa (pode-se construir exemplos em que todas as posicoessuperiores da matriz de Hessenberg sao preenchidas; veja [Watkins], Exercıcio 6.3.24). Precisaremos demetodos que nao preenchem os zeros da matriz esparsa A. Uma possibilidade e voltar ao metodo de iteracaode subespacos basico, sem as mudancas de coordenadas a cada iteracao que caracterizam o metodo QR ealteram a forma esparsa da matriz. Por outro lado, isso implica que apenas alguns poucos autovalores demaior modulo podem ser calculados. Para contornar este problema, deve-se usar as estrategias de iteracaoinversa e iteracao com deslocamento.

Entretanto, metodos mais sofisticados e eficientes existem para encontrar os autovalores de uma matrizesparsa.

8.4.1 Processo de Arnoldi

O processo de Arnoldi foi introduzido em 1950, mas so entrou em moda para calcular autovalores apenas nadecada de 1970. Atualmente, ele e suas variantes, sao o metodo preferido para o calculo de autovalores emvarias aplicacoes.

O metodo das potencias (ou mesmo o metodo da iteracao de subespacos) utiliza apenas a informacao doultimo iterado para calcular o proximo iterado. A ideia do processo de Arnoldi (semelhante a do algoritmodo gradiente conjugado) e usar toda a informacao dos passos anteriores. Depois de k passos no metododas potencias, guardamos todos os k + 1 vetores q, Aq, A2q, . . . , Akq e procuramos boas aproximacoes deautovetores no subespaco (k + 1)-dimensional gerado por estes vetores.

Na pratica, como ja vimos antes, os vetores q, Aq,A2q, . . . , Akq formam uma base mal-condicionada parao subespaco, porque tendem a apontar na mesma direcao do autovetor dominante, logo em cada iteracaosubstituımos esta base por uma base ortonormal q1, . . . , qk+1. Isso e realizado pelo algoritmos de Gram-Schmidt com uma pequena modificacao. Se trabalhassemos com a sequencia original q, Aq, A2q, . . . , Ak−1q,para obter Akq bastaria multiplicar Ak−1q por A. Como em cada passo usamos o algoritmo de Gram-Schmidtpara ortonormalizar o conjunto de vetores obtidos anteriormente, o vetor Ak−1q nao esta disponıvel. Aoinves, multiplicamos o vetor qk por A e e necessario apenas ortonormalizar o vetor Aqk com relacao aosvetores q1, . . . , qk para obter o vetor qk+1. Este e o processo de Arnoldi.

Mais detalhadamente, no primeiro passo temos

q1 =q

‖q‖ . (8.19)

Em passos subsequentes, tomamos

qk+1 = Aqk −k∑

j=1

hjkqj , (8.20)

qk+1 =qk+1

‖qk+1‖ , (8.21)

onde

hjk = 〈Aqk, qj〉 , se j = 1, . . . , k, (8.22)hk+1,k = ‖qk+1‖ . (8.23)


Pode-se mostrar que este processo produz exatamente a mesma sequencia de vetores que o processo deGram-Schmidt produz aplicado aos vetores q, Aq, A2q, . . . , Akq.

Para ver como o processo de Arnoldi pode ser utilizado para encontrar autovalores, primeiro estabelecemosalguns resultados teoricos. Lembre-se que dada uma matriz A ∈ Mn (C) e um vetor q ∈ Cn, o j-esimo espacode Krylov associado com A e q e o subespaco

Kj (A, q) =⟨q, Aq, . . . , Aj−1q

⟩.

8.2 Proposicao. Sejam A ∈ Mn (C) e q ∈ Cn. Suponha que q, Aq, . . . , Am−1q sao linearmente indepen-dentes. Entao Km (A, q) e invariante sob A se e somente se q, Aq, . . . , Am−1q, Amq sao linearmentedependentes.

Prova. Como Km (A, q) e gerado por q, Aq, . . . , Am−1q, Km (A, q) e invariante sob A se e somente se Amqe combinacao linear de q, Aq, . . . , Am−1q. ¥

8.3 Teorema. Sejam A ∈ Mn (C) e q ∈ Cn. Suponha que q,Aq, . . . , Am−1q sao linearmente independentes.Sejam q1, . . . , qm os vetores gerados pelo processo de Arnoldi. Entao

(a) Kk (A, q) = 〈q1, . . . , qk〉 para k = 1, . . . ,m.

(b) hk+1,k > 0 para k = 1, . . . , m− 1.

(c) hm+1,m = 0 se e somente se q, Aq, . . . , Amq sao linearmente dependentes ou, equivalentemente, see somente se Km (A, q) e invariante sob A.

Prova. (a) e (b) seguem por inducao. Para k = 1 e obvio. Assumindo (a) e (b) validos para todo j 6 k < m,vamos provar a validade de (a) e (b) para k + 1. Isso significa que temos que mostrar que hk+1,k > 0 e

⟨q, Aq, . . . , Ak−1q,Akq

⟩= 〈q1, . . . , qk+1〉

assumindo valido

〈q〉 = 〈q1〉〈q,Aq〉 = 〈q1, q2〉⟨

q, Aq,A2q⟩

= 〈q1, q2, q3〉...⟨

q,Aq, . . . , Ak−1q⟩

= 〈q1, . . . , qk〉

Em particular, vemos que cada vetor qj , para j = 1, . . . , k, possui uma componente nao-nula na direcao deAj−1q, digamos

qj = aj−1Aj−1q +

j−2∑

i=0

aiAiq com aj−1 6= 0.

Por definicao

qk+1 = Aqk −k∑

j=1

hjkqj ,

de modo que se qk+1 = 0 terıamos

Aqk = A

(ak−1A

k−1q +k−2∑

i=0

aiAiq

)=

k∑

j=1

hjkqj ,


donde

Akq =1

ak−1

k∑

j=1

hjkqj −k−2∑

i=0

aiAiq

=

1aj−1

k∑

j=1

hjk

(j−1∑

i=0

bijAiq

)−

k−1∑

i=1

aiAiq

, (8.24)

produzindo Akq como combinacao linear de q,Aq, . . . , Ak−1q para k < m, violando a hipotese de queq, Aq, . . . , Am−1q sao linearmente independentes. Isso prova que hk+1,k = ‖qk+1‖ > 0. Alem disso, como

qk+1 = A

(ak−1A

k−1q +k−2∑

i=0

aiAiq

)−

k∑

j=1

hjkqj = ak−1Akq +

k−1∑

i=1

aiAiq −

k∑

j=1

hjkqj ,

segue que qk+1 = qk+1/ ‖qk+1‖ possui uma componente nao-nula na direcao de Akq; isso mais a hipotese deinducao ⟨

q,Aq, . . . , Ak−1q⟩

= 〈q1, . . . , qk〉implica que ⟨

q, Aq, . . . , Ak−1q,Akq⟩

= 〈q1, . . . , qk+1〉Para provar (c), observe que hm+1,m = 0 implica q,Aq, . . . , Amq linearmente dependentes por (8.24).

Reciprocamente, se Amq e combinacao linear de q,Aq, . . . , Am−1q, entao

Amq ∈ ⟨q, Aq, . . . , Am−1q

⟩= 〈q1, . . . , qm〉 ,

e portanto

Amq =m∑

j=1

〈Aqm, qj〉 qj

pois esta e a expressao de Amq na base ortonormal q1, . . . , qm; daı segue da definicao que qm+1 = 0. ¥

8.4.2 Representacao Matricial do Processo de Arnoldi

Segue de (8.20) e (8.21) que

Aqk =k+1∑

j=1

hjkqj . (8.25)

Pelo Teorema 8.3, esta relacao vale para k = 1, . . . , m se q, Aq, . . . , Amq forem linearmente independentes.Estas equacoes vetoriais podem ser combinadas em uma equacao matricial da seguinte maneira. Definimos

Qm =[

q1 . . . qm

]n×m

(8.26)

e

Hm+1,m =

h11 h12 . . . h1,m−1 h1m

h21 h22 . . . h2,m−1 h2m

0 h32 . . . h3,m−1 h3,m

0 0. . .

......

......

. . . hm,m−1 hm,m

0 0 . . . 0 hm+1,m

(m+1)×m

. (8.27)

TemosAQm = Qm+1Hm+1,m. (8.28)


Observe que Qm e uma isometria (embora nao necessariamente um isomorfismo isometrico, a nao ser quem = n) e que Hm+1,m e uma matriz de Hessenberg superior, nao quadrada, com entradas diagonais posi-tivas. Denotaremos por Hm a matriz de Hessenberg superior quadrada obtida atraves de Hm+1,m quandosuprimimos a ultima linha desta. Segue que

AQm = QmHm + qm+1

[0 . . . 0 hm+1,m

]

ouAQm = QmHm + qm+1hm+1,met

m. (8.29)

8.4 Proposicao. Suponha que q1, . . . , qm+1 sao vetores ortonormais,

Qm =[

q1 . . . qm

],

e que Hm e uma matriz de Hessenberg superior com hj+1,j > 0 para j = 1, . . . ,m. Embora estespossam ter sido obtidos por qualquer processo, suponha que eles satisfazem (8.29).Entao q1, . . . , qm+1 sao exatamente os vetores produzidos pelo processo de Arnoldi com vetor inicialq1. Em outras palavras, dada uma matriz A, os objetos em (8.29) sao unicamente determinados pelaprimeira coluna de Qm.

Se q, Aq, . . . , Amq sao linearmente independentes, entao hm+1,m 6= 0. Se eles sao linearmente dependentes,entao hm+1,m = 0 e

AQm = QmHm. (8.30)

Em particular, isso implica que 〈q1, . . . , qm〉 sao invariantes sob A e que os autovalores de Hm sao autovaloresde A, como o proximo resultado mostra:

8.5 Proposicao. Suponha que x1, . . . , xm ∈ Fn sao linearmente independentes e sejam S = 〈x1, . . . , xm〉 e

X =[

x1 . . . xm

]n×m

Entao S e invariante sob A ∈ Mn (F) se e somente se existe algum B ∈ Mm (F) tal que

AX = XB.

Alem disso, todo autovalor de B e um autovalor de A com autovetor correspondente em S.

Prova. Se existe tal B, entao

Axj =m∑

i=1

xibij ∈ S.

Reciprocamente, se X e invariante sob A, entao para cada ındice j = 1, . . . , m existem escalares bij tais que

Axj =m∑

i=1

bijxi.

Defina B = (bij).Se w e um autovetor de B com autovalor λ, entao v = Xw ∈ S e um autovetor de A com autovalor λ. ¥

Se m nao e muito grande, podemos entao usar o algoritmo QR para encontrar os autovalores de Hm. Napratica, dificilmente obteremos hm+1,m = 0 exatamente, mas se hm+1,m e proximo de zero podemos esperarque estamos proximos de um subespaco invariante e, portanto, que os autovalores de Hm sao proximos aosautovalores de A. O proximo resultado mostra que mesmo na eventualidade em que hm+1,m nao e pequeno,alguns dos autovalores de Hm podem ser boas aproximacoes dos autovalores de A.

8.6 Teorema. Sejam Qm, Hm e hm+1,m gerados pelo processo de Arnoldi. Seja λ um autovalor de Hm

com autovetor unitario x. Seja v = Qmx. Entao

‖Av − λv‖ = |hm+1,m| |xm| ,onde xm denota a ultima componente de x.


8.4.3 Metodo de Lanczos

Para matrizes simetricas reais, o processo de Arnoldi assume uma forma bem mais simples, porque a matrizde Hessenberg Hm e simetrica e portanto e uma matriz tridiagonal. Neste caso, o processo de Arnoldi echamado o metodo de Lanczos.

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