notas de aula significancia

7/25/2019 Notas de Aula Significancia

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Universidade de BrasliaDepartamento de Estatstica

Probabilidade e Estatstica 1/2011

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TESTES DE HIPTESES

Testes de hipteses uma maneira de tratar o problema de fazer uma afirmao sobre

um parmetro desconhecido, associado a uma distribuio de probabilidade, baseadanuma amostra aleatria. Em vez de procurarmos uma estimativa do parmetro,freqentemente nos parecer mais conveniente admitir um valor hipottico para ele e,depois, utilizar a informao da amostra para confirmar ou rejeitar esse valor hipottico.

Teste para a mdia populacional (populao Normal e varincia conhecida)

Exemplo: Suponha que a concentrao de certa substncia no sangue (em unidades/ml)se comporta segundo um modelo Normal com mdia desvio padro de 6 unidades/ml.As pessoas sadias tm a concentrao mdia da substncia de 14 unidades/ml, enquantoque as pessoas que sofrem de uma doena especfica tm a concentrao mdia da

substncia alterada para 18 unidades/ml.

Desejamos averiguar se um certo tratamento, proposto para combater a doena eficaz.Uma amostra de tamanho n=30 selecionada entre indivduos doentes que foramsubmetidos ao tratamento. Representando as concentraes dos indivduos da amostrapor X1, X2, ..., X30, sabemos que, para i = 1, 2,.., 30, Xi~ N(, 36), sendo = 14 ou = 18dependendo do tratamento ser eficiente ou no. Caso a amostra fornea um valor mdio(X ) alto e prximo de 18, teremos evidncias de que o tratamento no eficaz, aopasso que um valor baixo e prximo de 14 nos levaria a crer que o tratamento eficaz.Por ser uma varivel aleatria, X poder apresentar valores menores que 18 mesmo se o

tratamento no for eficaz ( = 18). De fato sabemos que se o tratamento no eficaz,temos que X ~ N(18, 36/30), ou seja,5,0)18|18X(P .

Um critrio que pode ser utilizado, para decidir sobre o valor de , determinar um valorcrtico, digamos xc, tal que, se X for menor que xcconclumos que o tratamento eficaz,ao passo que se X for maior que xcno teremos evidncias suficientes para dizer que otratamento eficaz.

As duas hipteses sobre a eficcia do tratamento so denotadas por H0e Ha, usualmentedenominadas como hiptese nula ehiptese alternativa, respectivamente. Assim temos:

H0: o tratamento no eficaz;Ha: o tratamento eficaz.Podemos rescrever as hipteses como:

H0: = 18 versusHa: = 14.

As hipteses definidas da forma acima, sem conter desigualdades, so denominadashipteses simples, mas mais comum o uso de hipteses compostas. Estas ltimaspodem ainda ser classificadas como unilateraise bilaterais, dependendo do interesse doestudo.


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Ex. (hip. Compostas):(i)No caso do tratamento ser eficaz, razovel assumirmos que ele foi capaz de fazercom que os indivduos da amostra mudassem para uma populao cuja mdia inferior a

18 unidades/ml, caso contrrio, a mdia no se alteraria. Assim as hipteses de interesseseriam escritas comoH0: = 18 hiptese uni lateralHa: < 18.

(ii)Para verificar se o tratamento produz algum efeito, seja ele benfico (18), devemos construir um teste de hipteses bilateral:

H0: = 18Ha: 18.

Nota:Por convenincia tcnica, sempre, deixamos a igualdade na hiptese nula.

Erros Associados a testes de hipteses

Os dois erros que podem ser cometidos ao se realizar um teste de hipteses so:(i) Rejeitar a hiptese H0, quando ela verdadeira; (erro tipo I)(ii) No rejeitar a hiptese H0, quando ela falsa. (erro tipo II)

H0verdadeira H0falsaRejeitar H0 Erro Tipo I Sem erro

No rejeitar H0 Sem erro Erro Tipo II

Como veremos adiante, uma parte importante do teste de hipteses controlar aprobabilidade de cometermos o erro do tipo I. Essa probabilidade denotada por , sendoa probabilidade de cometermos o erro do tipo II. Isto ,

= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 | H0verdadeira)= P(erro tipo II) = P(no rejeitar H0 | H0falsa)

Para o exemplo anterior, temos a seguinte interpretao para os erros:= P(concluir que o tratamento eficaz quando na verdade ele no );= P(concluir que o tratamento no eficaz quando na verdade ele ).

A situao ideal aquela em que ambas as probabilidades, e , so prximas de zero.Entretanto fcil ver que medida que diminumos , tende a aumentar. Assim,devemos cuidar para que, ao definir as hipteses, o erro mais importante a ser evitadoseja o erro do tipo I. sua probabilidade damos o nome de nvel de significncia doteste.


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Supondo conhecido, vamos descrever como determinar o valor crtico xc. Para oexemplo anterior, note que

)zZ(P)zZ(P18xXP

)18|xX(P)verdadeiraH|Hrejeitar(P)Itipoerro(P

)(c

306c

n

c00

onde z() o quantil da distribuio Normal Padro.

Portanto, dado obtemos z() na tabela da Normal e calculamos o valor crtico xc daseguinte forma:

.30

6z18x

18xz )(c

306

c)(

Por exemplo, para = 0,05 temos z()= z(0,05)= 1,64,Logo,

.20,1630

664,118x c

Uma vez colhida a amostra, se a estimativa X tal que X


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H0: = 0;Ha: > 0.

ou

nzX:XRC )1(0

H0: 0;Ha: > 0.

Hipteses bilaterais:

Na construo de testes de hipteses bilaterais feita de maneira similar ao casounilateral, exceto que, agora, devemos considerar uma Regio de Rejeio composta de

duas partes disjuntas. Para as hiptesesH0: = 0;Ha: 0.

temos a seguinte Regio Crtica: 2c1c xXouxX:XRC .

Assim, para um nvel de significncia , determinamos os nmeros xc1e xc2de modo que 2c1c xXouxXP

Dada a simetria da densidade Normal, distribumos a massa igualmente entre as duaspartes da Regio de Rejeio. Isto ,

.2xXPxXP 2c1c

Seguindo o mesmo procedimento para o caso unilateral temos ento, para a hiptesebilateral

H0: = 0;Ha: 0.

a seguinte Regio Crtica:

n

zXoun

zX:XRC22 100

,

que equivalente a

nzXou

nzX:XRC

22 1010

Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma certa substncia no tempo dereao de seres vivos a um certo estmulo. Um experimento desenvolvido com cobaias,que so inoculadas com a substncia e submetidas a um estmulo eltrico, com seustempos de reao (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram obtidos: 9,1; 9,3;7,2; 7,5; 13,3; 10,9; 7,2; 9,9; 8,0; 8,6. Admite-se que o tempo de reao segue, em geral,uma distribuio Normal com mdia = 8 e desvio-padro = 2 segundos. O


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pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo mdio sofre alterao por influncia dasubstncia. Neste caso, as hipteses de interesse so:

H0: as cobaias apresentam tempo de reao padro;

Ha: as cobaias tm o tempo de reao alterado.

Em termos estatsticos, tais hipteses podem ser escritas como

H0: = 8;Ha: 8.

Fixando um nvel de significncia = 0,06, teremos a seguinte Regio Crtica do teste:

.2,9Xou8,6X:X10288,18Xou

10288,18X:X

nzXou

nzX:XRC

22 1010

Calculando a mdia amostral obtemos 1,9X . Como este valor no pertence RegioCrtica, no rejeitamos a hiptese H0ao nvel de significncia a 6%. Em outras palavras,no temos evidncias suficientes para afirmar que o tempo de reao das cobaiassubmetidas substncia fica alterado.

Teste para a mdia populacional (populao desconhecida e varincia conhecida)

A construo de testes de hipteses para a mdia quando a populao no segue umadistribuio Normal feita de maneira similar apresentada para o caso de se estartrabalhando com a populao Normal. A nica diferena neste caso que para que osresultados sejam vlidos, preciso trabalhar com amostras relativamente grandes (n 30).Segue abaixo as hipteses e suas respectivas Regies Crticas:

Hipteses unilaterais:

H0: = 0;Ha: < 0.

ou

n

zX:XRC )(0

H0: 0;Ha: < 0.


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H0: = 0;Ha: > 0.

ou

n

zX:XRC )1(0

H0: 0;Ha: > 0.

Hipteses bilaterais:

H0: = 0;Ha: 0.

n

zXoun

zX:XRC22 100

ou

n

zXoun

zX:XRC22 1010

Obs: Todos os resultados de testes de hipteses para a mdia para o caso de umapopulao Normal so vlidos para o caso de uma populao desconhecida (que no temdistribuio Normal) com varincia conhecida, isto se o tamanho da amostra razoavelmente grande (n 30).

Teste para a mdia populacional (populao Normal e varincia desconhecida)

A construo de testes de hipteses para a mdia de uma populao Normal comvarincia desconhecida feita de maneira anloga apresentada para o caso onde avarincia conhecida. A nica diferena neste caso que estaremos trabalhando com adistribuio t-Student ao invs da distribuio Normal.Segue abaixo as hipteses e suas respectivas Regies Crticas:

Hipteses unilaterais:

H0: = 0;Ha: < 0.

ou

n

s

tX:XRC );1n(0

H0: 0;Ha: < 0.

H0: = 0;Ha: > 0.


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ou

n

stX:XRC )1;1n(0

H0: 0;

Ha: > 0.Hipteses bilaterais:

H0: = 0;Ha: 0.

n

stXou

n

stX:XRC

22 1;1n01;1n0

Obs 1: Todos os resultados de testes de hipteses para a mdia para o caso de umapopulao Normal com varincia conhecida so anlogos para o caso da varincia serdesconhecida.

Obs 2. Os testes de hipteses definidos acima so vlidos para qualquer tamanho deamostra n 2.

Exemplo: Deseja-se investigar se uma certa molstia que ataca o rim altera o consumode oxignio desse rgo. Para indivduos sadios, admite-se que esse consumo temdistribuio Normal com mdia 12 cm3/min. Os valores medidos em cinco pacientes coma molstia foram: 14,4; 12,9; 15,0; 13,7 e 13,5. Qual seria a concluso, ao nvel de 1% designificncia?

As hipteses de interesse so

H0: a molstia no altera a mdia de consumo renal de oxignio;Ha: indivduos portadores da molstia tm mdia alterada.

Em termos estatsticos, tais hipteses podem ser escritas como

H0: = 12;Ha: 12.

Com um nvel de significncia = 0,01, temos que t(n-1;1-/2) = t(4;0,995)= 4,6041Estimando a mdia e a varincia obtemos:

X = 13,9 e S2= 0,665

Regio Crtica do teste dada por:


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.68,13Xou32,10X:X5

665,06041,412Xou

5

665,06041,412X:X

n

stXou

n

stX:XRC

22 1;1n01;1n0

Como observamos X = 13,9 e esse valor est na Regio Crtica, rejeitamos a hiptese H0ao nvel de significncia de 1%. Em outras palavras, a molstia tem influncia noconsumo renal mdio de oxignio.

Testes para propores

A realizao de um teste para propores segue um processo anlogo ao caso de testes

de mdias, porm neste caso apenas utilizada a distribuio normal como aproximaoda distribuio binomial.

O parmetro de teste nos testes de propores definido por:

alpopulacionproporoPeamostralproporopsendo

n

PP

Ppzt ::

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Exerccios

1. Uma fbrica de automveis anuncia que seus carros consomem, em mdia, 10litros de gasolina por 100 quilmetros, com desvio-padro de 0,8 litros. Uma revistadesconfia que o consumo maior e resolve testar essa afirmao. Para tal, analisa35 automveis dessa marca, obtendo como consumo mdio 10,2 litros por 100quilmetros. Considerando que o consumo siga o modelo Normal, o que a revistapode concluir sobre o anncio da fbrica ao nvel de 1%.

Resp. Aceita a Hipotese Nula

2. Uma empresa fabrica cilindros com 50mm de dimetro. O desvio-padro do

dimetro dos cilindros produzidos de 3 mm. A fim de saber se a produoencontra-se dentro dos padres esperados, a cada hora, 4 cilindros soamostrados e tm seus dimetros medidos. A mdia dos dimetros usada paradecidir se o processo de fabricao est operando satisfatoriamente. Assim, se odimetro mdio estiver entre 47 e 53 mm, o processo deve continuar, casocontrrio, a produo interrompida e ajustes so feitos. Suponha que o processo bem modelado pela distribuio Normal.a) defina as hipteses para este problema;b) qual a probabilidade de cometermos o erro tipo I?


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Respostasa) H0: =50 vs Ha: 50;b) 0,0456

3. Um laboratrio que fabrica comprimidos analgsicos anuncia que seu remdiocontra dor de cabea leva em mdia 14 mim para aliviar a dor, com desvio-padrode 5 mim. Um mdico suspeita que o tempo maior e seleciona aleatoriamente 40pacientes. Pede a eles que tomem tais plulas quando tiverem dor de cabea,anotando o tempo (em minutos) at o alvio da dor. Aps coletar todas asrespostas, ele verifica que o tempo mdio de alvio para esses pacientes foi de 19min. Estes resultados confirmam a afirmao feita pelo laboratrio? Faa assuposies necessrias e use um nvel de significncia de 5%.

Resp. Rejeitamos a hiptese nula. 3,15: XXRC

4. Admitindo que a presso sangnea arterial em homens siga o modelo Normal, 7pacientes foram sorteados e tiveram sua presso medida com os seguintesresultados: 84, 81, 77, 85, 69, 80, e 79. Teste a hiptese da mdia ser igual a 82contra a hiptese dela ser menor que 82. Use =0,01.

Resp. 69,75: XXRC . No rejeitamos H0.

5. O nmero de pontos em um exame de ingls tem sido historicamente ao redor de80. Sorteamos 10 estudantes que fizeram recentemente esse exame eobservamos as notas: 65, 74,78, 86, 59, 84, 75, 72, 81 e 81. Especialistasdesconfiam que a mdia diminuiu e desejam testar essa afirmao atravs de umteste de hipteses, com nvel de significncia de 5%. Fazendo as suposiesnecessrias (quais so?), qual seria a concluso do teste?

Resp. 09,75: XXRC . No rejeitamos H0.

6. Uma pesquisa revelou que das 500 donas de casas consultadas, 300 preferiam odetergente A. Testar a hiptese ao nvel de significncia de 4% para umaproporo populacional de 50%.

Resp. Rejeita H0

7. A experincia tem demonstrado que 40% dos estudantes so reprovados nadisciplina de Probabilidade e Estatstica. Se 40 de 90 estudantes fossemreprovados qual seria a concluso do teste para um nvel de confiana de 5%?

Resp. No Rejeita H0


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Referencias bibl iogrficas

[1]. BUSSAB, W. e MORETTIN, P., Estatstica Bsica, 6a edio, Ed. Saraiva, 2010.[2]. MEYER, P. L., Probabilidade - Aplicaes Estatstica. Ed. ao Livro Tcnico, 1969.[3]. MAGALHES, M. N., Probabilidade e Variveis Aleatrias, Ed. EDUSP, 2006.[4]. FONSECA, JAIRO S. e MARTINS, GILBERTO DE A., Curso de Estatstica, 6a.

Ed., Atlas, SP. 1996[5]. SPIEGEL, MURRAY R, Estatstica, 2a. ED MC GRAW-HILL DO BRASIL, SP.[6]. Notas de Aula do Professor Nakano, Dep. De Estatstica UNB:

http://lattes.cnpq.br/4408437084347961

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