penentuan peluang transisi hiv-aids progression model
TRANSCRIPT
Penentuan Peluang Transisi HIV-AIDS Progression Model Menggunakan
Metode Matriks Force Of Transition
Determination Of Transition Probability Of HIV-AIDS Progression Model
Using The Force Of Transition Matrix Method
Tira Octavia, Desy Komalasari, Mamika Ujianita Romdhini
Program Studi Matematika FMIPA Unram
INTISARI
HIV-AIDS progression model adalah beberapa tahapan perubahan dari
terinfeksi virus HIV hingga berkembang menjadi AIDS. Proses ini terdiri dari 4
tahapan (state) yaitu tahap awal infeksi HIV, tahap tanpa gejala, tahap ARC
(AIDS Related Complex), dan tahap AIDS. Model ini diasumsikan memiliki sifat
Markov yang dicirikan oleh adanya matriks peluang transisi. Penentuan peluang
menggunakan metode matriks force of transition. Force of transition adalah laju
peluang perubahan sesaat dari satu state ke state lainnya. Metode ini digunakan
untuk mencari peluang transisi (perpindahan) antar state menggunakan nilai eigen
dan vector eigen dari matriks persegi dengan entri berupa force of transition.
Peluang bertahan hidup dari suatu individu pada HIV-AIDS progression model
diperoleh dengan metode matriks force of transition. Nilai force of transition
dipengaruhi oleh usia dan jenis kelamin.
Kata Kunci : Rantai Markov, Peluang Transisi, Matriks Force of Transition,
HIV-AIDS Progression Model.
ABSTRACT
HIV-AIDS progression models are several stages of HIV infection until
progressed to AIDS. This stage consists of 4 stages (state) that the first stage of
HIV infection, without indication stage, ARC stage (AIDS Related Complex), and
the stage of AIDS. This model assume that it have Markov properties which are
characterized by transition probability matrix. Determination of probability using
force of transition matrix method. Force of transition is the instantaneous rate of
change probability from one state to another state. This method is use to find
transition probability between state by using eigenvalues and eigenvectors from a
square matrix with the force of transition as entry points. Probability chances of
survival of an individual in HIV-AIDS progression models is obtained with force
of the transition matrix method. The value of force of transition influenced by
age and gender.
Keywords : Markov Chain, Transition Probability, Force Of Transition
Matrix, HIV-AIDS Progression Model.
PENDAHULUAN
AIDS (Acquired
Immunodeficiency Syndrome) adalah
sekumpulan gejala dan infeksi atau
sindrom yang timbul karena
rusaknya sistem kekebalan tubuh
manusia akibat infeksi virus HIV
(Human Immunodeficiency Virus)
yaitu virus yang memperlemah
kekebalan pada tubuh manusia.
Orang yang terkena virus ini akan
menjadi rentan terhadap infeksi
oportunistik ataupun mudah terkena
tumor.
HIV-AIDS progression model
merupakan tahapan-tahapan dari
HIV menjadi AIDS yang terdiri dari
4 state (keadaan) yaitu tahap awal
infeksi HIV, tahap tanpa gejala,
tahap ARC (AIDS Related Complex)
dan yang terakhir adalah tahap
AIDS. Model ini diasumsikan
memiliki sifat Markov, dimana
peluang keadaan di waktu mendatang
dapat diketahui dengan syarat
peluang keadaan saat ini diketahui.
State space dari tugas akhir ini
adalah tahap awal infeksi HIV, tahap
tanpa gejala, tahap ARC (AIDS
Related Complex) dan tahap AIDS.
Sedangkan parameter spacenya
adalah (waktu).
Force of transition adalah
laju peluang perubahan sesaat dari
satu state ke state lainnya. Dari force
of transition ini bisa diketahui
peluang transisi perpindahan antar
state, misalnya peluang meninggal
ataupun peluang bertahan hidup
seseorang.
Pada penelitian ini
penghitungan peluang transisi
menggunakan metode matriks force
of transition. Pada metode matriks
force of transition, penentuan
peluang transisi diganti dengan
mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari sebuah matriks persegi dengan
entri berupa force of transition. Dari
peluang transisi, peluang bertahan
hidup dengan metode matriks force
of transiton dapat diketahui. Apabila
peluang bertahan hidup diketahui
maka peluang hidup seseorang
dengan umur tahun pada saat ( ) tahun, , -,
dengan interval satu tahun dapat
dicari.
TINJAUAN PUSTAKA
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.1
Jika A adalah matriks berukuran
, maka sebuah vektor taknol
pada disebut vektor eigen
(eigen vector) dari A jika adalah
sebuah kelipatan skalar dari
jelasnya
(1)
Untuk skalar sebarang . Skalar
disebut nilai eigen (eigen value)
dari A, dan disebut sebagai vektor
eigen dari A yang terkait dengan
(Anton dan Rorres, 2004).
Teorema 2.1
Jika adalah sebuah matriks
segitiga berukuran (segitiga
atas, segitiga bawah, atau diagonal)
maka nilai-nilai eigen dari adalah
entri-entri yang terletak pada
diagonal utama matriks (Imrona,
2009).
Diagonalisasi
Definisi 2.2
Suatu Matriks berukuran × dapat
didiagonalisasi jika terdapat matriks
Χ taksingular dan suatu matriks
diagonal 𝑫 sedemikian sehingga
𝑫 (2)
Dikatakan bahwa matriks A dapat
didiagonalisasi (Leon 1998).
Teorema berikut ini
menunjukkan bahwa masalah vektor
eigen dan masalah diagonalisasi
adalah sama.
Teorema 2.2
Jika A adalah sebuah matriks
berukuran , maka kedua
pernyataan berikut ini adalah
ekuivalen
a) A dapat didiagonalisasi
b) A memiliki vektor eigen yang
bebas linear (Anton dan Rorres,
2004).
Deret Taylor
Definisi 2.3
Deret Taylor untuk fungsi ( ) di
sekitar didefinisikan sebagai
( ) ∑ ( )( )
( ) (3)
(Stewart, 2003)
Definisi 2.4 (Ekponensial Matriks
Segi)
Eksponensial matriks segi ( )
didefinisikan sebagai
∑
(4)
Analog dengan deret Taylor
dari fungsi skalar (Leon 1998).
Proses Stokastik
Definisi 2.5 (Ruang State)
Himpunan disebut ruang state jika
memuat semua kemungkinan state
dalam suatu sistem (Billingsley,
1994).
Proses stokastik * ( ) + adalah himpunan variabel acak,
dimana ( ) adalah suatu
variabel acak dengan distribusi
tertentu. Pada umumnya indeks t
menunjukkan waktu dari proses
(parameter space). Variabel acak
( ) menunjukkan ruang keadaan
(state space) dari proses tersebut
pada waktu t. Secara singkat, proses
stokastik adalah himpunan variabel
acak yang menggambarkan dinamika
dari suatu proses (Haryono, 1995).
Rantai Markov
Proses stokastik dikatakan
mempunyai sifat Markovian jika
* | +
* | + (5)
Untuk dan setiap
urutan . Sifat
Markovian ini menyatakan bahwa
peluang bersyarat dari state
mendatang, dengan state masa
lampau dan state saat ini , adalah independent terhadap state di
masa lampau dan hanya tergantung
pada state saat ini (Hillier dan
Lieberman, 2008).
Rantai Markov Waktu Kontinu
Proses { ( ), ≥ 0} adalah
rantai Markov waktu kontinu jika
untuk semua , ≥ 0 dan merupakan
bilangan bulat non negatif , , (𝑢),
0 ≤𝑢 <
* ( ) | ( ) (𝑢) (𝑢) 𝑢 +
* ( ) | ( ) + (6) Rantai Markov waktu kontinu adalah
proses stokastik yang memiliki sifat
Markov yang menyatakan bahwa
distribusi bersyarat untuk ( + )
pada masa yang akan datang
diberikan oleh ( ) pada masa kini
dan (𝑢) yang diperoleh di masa
lalu, 0 ≤ 𝑢 < , dengan syarat hanya
bergantung pada masa kini dan
independen dari masa lalu (Sunusi,
2014).
Matriks Peluang Transisi
Jika sebuah rantai Markov
* + dengan ruang
state * +, maka peluang sistem
itu dalam state pada suatu state pada pengamatan sebelumnya
dilambangkan dengan dan disebut
peluang transisi dari state ke state Matriks , - disebut matriks
transisi rantai Markov (Anton and
Rorres, 2004). Jadi,
[
]
Peluang Transisi n-Langkah
Peluang transisi n-langkah ( )
adalah peluang bersyarat suatu
sistem yang berada pada state akan
berada pada state setelah proses
mengalami transisi (Hillier dan
Lieberman, 2008).. Jadi,
( )
* | + (7)
Matriks peluang transisi n-langkah
( )
[
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
]
Persamaan Chapman-Kolmogorov
Persamaan Chapman-
Kolmogorov merupakan sebuah
metode untuk menghitung peluang
transisi n-langkah
( )
∑ ( )
( )
(8)
Untuk semua dan
peluang transisi n-langkah
dapat dituliskan dalam bentuk
matriks sebagai berikut
( ) ( ) (9)
Oleh karena itu, matriks peluang
transisi n-langkah dapat
diperoleh dengan menghitung
pangkat ke-n dari matriks transisi
satu langkah (Hiller dan Liberman,
2008).
Klasifikasi State pada Rantai
Markov
Misalkan ( )
menyatakan
peluang bahwa mulai dari state ,
proses berpindah pertama kali ke
state terjadi pada waktu n.
Definisi 2.6
State dikatakan recurrent (berulang)
apabila ketika memasuki state
tertentu proses pasti akan kembali ke
state itu lagi. State i dikatakan
reccurent jika (Tijms, 2003).
Definisi 2.7
Suatu state i disebut state penyerap
(absorbing state) jika . Jika
suatu state merupakan state
penyerap (absorbing state) maka
tidak ada state yang bisa diakses
dari state tersebut (Tijms, 2003).
Force of Transition
Definisi 2.8
Misal * + rantai Markov dengan
state space {1,2,3,…,𝑁}. Force of
transition dari state ke state didefinisikan sebagai berikut
( ) ( ) ( )
(10)
* 𝑁+
(Jones, 1994)
Lemma 2.1 (Sifat Force of
transition)
∑ ( )
(11)
Untuk 𝑁
(Jones, 1994)
Teorema 2.3 (Persamaan
Kolmogorov Maju)
Pada persamaan Kolmogorov maju,
laju peluang transisi di waktu yang
akan datang memiliki hubungan
sebagai jumlah perkalian peluang
transisi dengan laju dari peluang
transisi sesaat (force of transition
saat waktu mendatang). Dalam hal
ini peluang transisi ( )
didiferensialkan terhadap waktu
mendatang ( ), dan hubungan
diferensial ini diberikan sebagai
berikut
( ) ∑ ( )
( ) (12)
(Jones, 1994)
Metode Matriks Force of
Transition
Misal ( ) adalah matriks
ukuran dengan elemen-elemen
( ) adalah peluang transisi dimana
sebagai berikut
( ) [
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]
Definisikan adalah matriks
berukuran dengan elemen-
elemen adalah peluang perubahan
sesaat dimana sebagai berikut
[
]
dan ( )( ) adalah matriks
berukuran dengan elemen-
elemen ( ) ( )adalah peluang
transisi 1-langkah dari ( ) dimana
sebagai berikut
( )( ) [
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
]
Berdasarkan persamaan
Chapman-Kolmogorov ( 𝑢) ( ) ( 𝑢)(13)
Karena rantai Markov yang
digunakan adalah rantai Markov
kontinu homogen, sehingga tidak
bergantung dari nilai s
sehingga fungsi ( ) bernilai
sama untuk semua , oleh
karena itu persamaan (13) berubah
menjadi
( 𝑢) ( ) (𝑢) (14)
Berdasarkan persamaan Kolmogorov
Maju
( ) ∑ ( )
( )
dalam bentuk matriks, maka dapat
ditulis
( )( ) ( ) (15)
Dengan nilai awal ( ) persamaan di atas mempunyai
solusi
( ) (16)
Dimana bentuk deret Taylor untuk
( ) di adalah
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
Pencarian matriks peluang
transisi membutuhkan nilai-nilai
eigen yang berbeda pada matriks .
Hal ini bertujuan agar matriks
dapat didiagonalkan. Jika
mempunyai nilai-nilai eigen
berbeda maka matriks
bisa dibentuk sebagai
𝑫 (17)
dimana 𝑫 ( ) dan
kolom ke dari adalah vektor
eigen yang berhubungan dengan nilai
eigen . Sehingga dari persamaan
bisa diperoleh
( ) ( )
( )
( ) 𝑫 ( 𝑫 )
( 𝑫 )
0 𝑫 𝑫
𝑫
1
Diketahui 𝑫 adalah matrik diagonal
dari nilai-nilai eigen ( )
𝑫 [
]
𝑫
[
]
Berdasarkan pada persamaan
( )
Maka ( ) dapat ditulis
( ) [
]
( ) 𝑫 (18)
Elemen-elemen matriks ( ) adalah
( ) ∑
dengan adalah banyak state,
adalah entri ( ) dari matriks dan
adalah entri ( ) dari matriks
. Dengan demikian,
permasalahan mencari fungsi
peluang transisi diganti dengan
mencari nilai eigen dan vektor eigen
dari matriks force of transition.
HIV-AIDS Progression Model
HIV-AIDS progression
model adalah tahapan-tahapan ketika
mulai terinfeksi virus HIV sampai
berkembang menjadi AIDS. Tahapan
tersebut yaitu :
1. Tahap pertama (Tahap awal
infeksi HIV)
a. HIV masuk ke dalam tubuh
hingga terbentuk antibodi
terhadap HIV dalam darah.
b. Tidak ada tanda-tanda,
penderita HIV tampak sehat
dan merasa sehat
c. Pada tahap ini, tes HIV belum
bisa mendeteksi keberadaan
virus.
d. Tahap ini umumnya
berlangsung selama 2 minggu
sampai 6 bulan.
2. Tahap kedua (Tahap tanpa gejala)
a. Pada tahap ini HIV mulai
berkembang di dalam tubuh.
b. Tidak ada tanda-tanda,
penderita HIV tampak sehat
dan merasa sehat.
c. Tes HIV sudah bisa
mendeteksi keberadaan virus
karena antibodi yang mulai
terbentuk.
d. Penderita tampak sehat selama
5-10 tahun, bergantung pada
daya tahan. Rata-rata penderita
bertahan selama 8 tahun.
Namun di negara berkembang,
durasi tersebut lebih pendek.
3. Tahap ketiga (Tahap ARC (AIDS
Related Complex))
a. Pada tahap ini penderita
dipastikan positif HIV dengan
sistem kekebalan tubuh yang
semakin menurun.
b. Mulai muncul gejala infeksi
oportunistik, misalnya :
pembengkakan kelenjar limfa
di seluruh tubuh, diare terus-
menerus, dan flu yang tak
kunjung sembuh.
c. Umumnya tahap ini
berlangsung selama 1 bulan,
bergantung pada daya tahan
tubuh penderita.
4. Tahap keempat (Tahap AIDS)
a. Pada tahap ini, penderita positif
menderita AIDS.
b. Sistem kekebalan tubuh
semakin turun.
c. Berbagai penyakit lain (infeksi
oportunistik) seperti TBC,
jamur, dan lain-lain yang
menyebabkan kondisi
penderita semakin parah.
Pada tahap ini,
penderita harus secepatnya
dibawa ke dokter dan
menjalani terapi anti-retroviral
virus (ARV). Terapi ARV akan
mengendalikan virus HIV
dalam tubuh sehingga dampak
virus bisa ditekan (Aisyah,
2012).
METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langkah dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan literatur-literatur
yang berkaitan dengan penelitian.
2. Menentukan definisi dan
pernyataan yang mendukung
penelitian.
3. Membuat matriks transisi dari
HIV-AIDS progression model.
Dari HIV-AIDS progression
model dibuat bentuk perpindahan
state yang mungkin sehingga
dapat diketahui berapa transisi
yang mungkin terjadi dalam
model tersebut dan matriks
transisi dari model tersebut.
4. Membuat Matriks Force of
Transition untuk penderita HIV
dari HIV-AIDS Progression
Model.
5. Mencari Nilai Eigen dan Vektor
Eigen dari matriks force of
transition yang berhubungan
dengan HIV – AIDS Progression
Model.
6. Dari nilai eigen dan vektor eigen
yang telah diketahui dapat dicari
peluang transisi dan juga peluang
bertahan bertahan hidup dari HIV
– AIDS Progression Model.
7. Menarik kesimpulan tentang
peluang bertahan hidup dari suatu
individu pada HIV-AIDS
progression model dengan
menggunakan metode matriks
force of transition.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perpindahan state yang
mungkin terjadi pada HIV-AIDS
Progression Model ada enam
transisi, yakni dari tate 1 ke state 2,
dari state 1 ke state 3, dari state 1 ke
state 4, dari state 2 ke state 3, dari
state 2 ke state 4, dan dari state 3 ke
state 4. Matriks transisi berukuran
dengan elemen-elemen
( ) yang dapat dibentuk adalah
seperi berikut :
[
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
]
Dimana dan .
Untuk , nilai ( ) pada
matriks di atas karena pada model
tersebut state tanpa gejala tidak
mungkin pindah ke state awal infeksi
HIV begitu juga dengan nilai
( ) ( ) yang berada
pada state ARC tidak mungkin
berada di state 1 atau state 2. Nilai
( ) ( ) ( ) ,
karena seseorang yang sudah berada
pada state AIDS tidak mungkin
kembali berada di state 1 atau state 2
maupun state 3. Nilai ( ) ,
pada kondisi ini seseorang yang
sudah berada pada state AIDS, akan
terus berada pada state tersebut di
masa mendatang. Dimana
∑ ( )
∑ ( )
∑ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Matriks force of transition
( )dengan elemen-elemen ( )
adalah peluang perubahan sesaat
untuk umur tertentu dari HIV –
AIDS Progression Model adalah
( )
[
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
]
Dimana nilai ( ) karena tidak
ada perpindahan dari state 2 ke state
1, ( )
( ) karena tidak
ada perpindahan dari state 3 ke state
1 maupun state 2. Sedangkan state 4
adalah state absorbsi. Disebut state
absorbsi karena bila sekali masuk ke
state 4 maka tidak akan
meninggalkan state 4 tersebut
sehingga menyebabkan nilai
( )
( ) ( )
( ) .
Berdasarkan Lemma 2.1 (
Sifat Force of Transition), maka
matriks force of transition ( ) di
atas dapat diubah menjadi
( )
[ (
( ) ( )
( )) ( )
( ) ( )
( ( )
( )) ( )
( )
( )
( )
]
Sebelum mencari peluang
transisi, diperlukan nilai eigen dan
vektor eigen dari matriks force of
transition ( ) di atas. Untuk
mencari nilai eigen dan vektor eigen
yang berhubungan dengan HIV –
AIDS Progression Model terlebih
dahulu dicari persamaan
karakteristiknya
| ( ) |
Sehingga diperoleh nilai-nilai eigen
sebagai berikut :
( )
( ( )
( ))
( ( )
( ) ( ))
Definisikan 𝑫 adalah matriks
diagonal dari nilai-nilai eigen di atas
atau matriks spektral dari nilai-nilai
eigen diatas
𝑫
[
( )
( ( )
( ))
( ( )
( ) ( ))]
Maka eksponensial matriks diagonal
diatas pada saat adalah
𝑫
[ ( )
( )( )
( ( )
( ))( )
( ( )
( ) ( ))( )]
Selanjutnya dicari vektor-vektor
eigen dari masing-masing nilai eigen
yang diperoleh dimana
( ( ) )
( ( ) )
Dari perhitungan vektor eigen dapat
dituliskan matriks ( ) yang
merupakan matriks modal yang
berkaitan dengan vektor-vektor eigen
diatas
( ) [
]
Dimana
( )(
( )
( ))
( )(
( )
( ))
( ( )
( )
( )
)( ( )
( )
( )
( )
)
( )
( ( )
( )
( )
)
( )
( ( )
( )
( )
( )
( )
)
Dengan invers dari matriks ( )
adalah
[ ( )]
[
𝑁
]
Selanjutnya matriks peluang transisi
dapat dicari dimana ( )( ) adalah
peluang transisi untuk umur
tertentu pada saat
( )( ) ( ) 𝑫 [ ( )]
[
. ( )
( )
( )
/( )
. ( )
( )
/( )
( )( )
]
Dari matriks di atas maka
didapat peluang transisi sebagai
berikut
( ) . ( )
( )
( )
/( )
( ) ( . ( )
( )
/( ) . ( )
( )
( )
/( ))
(
( )
. ( )
( )
( )
( )
( )
/)
( ) (
( ).
( )
( )/
( ).
( )
( )/
( ).
( )
( )/
. ( )
( )
( )
/ . ( )
( )
( )
( )
/)
. ( )
( )
( )
/( )
( ).
( ) ( )
/ ( )
. ( )
( )/
. ( )
( ) ( )
/. ( )
( ) ( )
( )/
( )( ) .
( )
( )/( )
(
( )
. ( )
( )
( )
/)
( )
( ( )
( )
( )
( )
( )
)
( ) ( )
( ) (
( ).
( )
( )/
( ).
( )
( )/
. ( )
( )
( )
/ . ( )
( )
( )
( )
/)
( )
( ( )
( )
( )
( )
( )
) .
( )
( )/( )
(
( )
( ( )
( )
( )
)) .
( )
( )
( )/( )
( ) . ( )
( )
/( )
( ) . ( )( ) .
( )
( )/( )/(
( )
( ( )
( )
( )
))
( )
( )
( ( )
( )
( )
)
( )( ) . ( )
( )
/( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Sehingga dari peluang
transisi di atas diperoleh peluang
bertahan hidup dari suatu individu
dengan metode matriks force of
transition dimana nilai force of
transition dipengaruhi oleh usia dan
jenis kelamin, yaitu
( ) ( ) . ( )
( )
( )
/( ) (19)
( . ( )
( )
/( ) . ( )
( )
( )
/( ))(
( )
. ( )
( )
( )
( )
( )
/)
( ) ( ) . ( )
( )
/( )
. ( )( ) .
( )
( )/( )/(
( )
. ( )
( )
( )
/) (20)
Dari hasil di atas dapat
disimpukan bahwa peluang transisi
dan peluang bertahan hidup dapat
dicari dengan menggunakan metode
matriks force of transition dimana
penentuan peluang transisi
menggunakan nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks persegi dengan
entri berupa force of transition.
Misalkan contoh yang
pertama akan dicari peluang suatu
individu pria penderita HIV-AIDS
berumur 40 tahun bertahan hidup
pada umur ( ) tahun , - dengan interval satu tahun jika
diketahui nilai-nilai force of
transition konstan per tahun maka
( ) ( ) ( ) ( )
Perhitungan dihitung dengan metode
matriks force of transition. Andaikan
pria tersebut baru berada pada state 1
(tahap awal infeksi), peluang
bertahan hidup pria tersebut dari
state 1 (tahap awal infeksi) ke state 2
(tahap awal infeksi HIV) dapat dicari
menggunakan
( ) ( ) . ( )
( )
( )
/( )
. . ( )
( )
/( ) . ( )
( )
( )
/( )/(
( )
(
( )
( )
( )
( )
( )))
Pertama akan dicari peluang bertahan
hidup pria tersebut pada umur
( ). Pada perhitungan tersebut
nilai force of transition yang dipakai
adalah nilai force of transition
individu pria berumur 40 dan 41.
Kedua akan dicari peluang bertahan
hidup pria tersebut pada umur
( ) dimana nilai force of
transition yang dipakai adalah nilai
force of transition individu pria
berumur 41 dan 42.
Dan seterusnya sampai ( ).
Maka hasil peritungan tersebut dapat
ditulis dalam sebuah tabel
Metode Matriks Force of
Transition
1
2
3
4
5
6
20
Begitupun dengan wanita,
perhitungan yang dilakukan sama,
hanya saja nilai force of transition
yang digunakan adalah nilai force of
transition untuk wanita pada umur
tahun.
KESIMPULAN
Berdasarkan tujuan yang
ingin diperoleh serta hasil analisis,
maka dapat disimpulkan hal-hal
berikut:
a. Peluang transisi dapat ditentukan
dengan menggunakan metode
matriks force of transition yang
entrinya adalah nilai peluang
perubahan sesaat (force of
transition) dari satu state ke state
lainnya.
b. Peluang bertahan hidup dari suatu
individu dapat ditentukan dengan
menggunakan metode matriks
force of transition. Nilai force of
transition dipengaruhi oleh usia
dan jenis kelamin. Persamaan (19)
digunakan untuk menentukan
peluang bertahan hidup dari suatu
individu pria/wanita penderita
HIV-AIDS pada umur tahun
jika individu tersebut baru berada
pada state 1 (tahap awal infeksi
HIV) pindah ke state 2 (tahap
tanpa gejala). Sedangkan
persamaan (20) digunakan jika
individu pria/wanita tersebut
berada pada state 2 (tahap tanpa
gejala) pindah ke state 3 (tahap
ARC (AIDS Related Complex)).
SARAN
a. Penelitian ini dapat dikembangkan
lagi dengan menggunakan data
nilai-nilai force of transition
untuk individu yang mengidap
HIV sehingga dapat diketahui
perbedaan antara nilai peluang
bertahan hidup yang didapatkan
dari metode matriks force of
transition dengan nilai peluang
bertahan hidup dari tabel.
b. Penelitian ini dapat dikembangkan
dengan mencari peluang transisi
dan peluang bertahan hidup dari
model Markov yang melibatkan
lebih dari empat state.
DAFTAR PUSTAKA
Aisyah, U. 2012. Artikel : Definisi,
Sejarah, Gejala, Cara
Penularan dan Pencegahan
Penyakit HIV- AIDS.
Anton, H. and Rorres C. 2004.
Aljabar Linear Elementer
Versi Aplikasi Edisi
kedelapan Jilid 1. Erlangga.
Jakarta.
Billingsley, P. 1994. Probability and
Measure. John Wiley and
Sons. New York.
Haryono. 1995. Proses Stokastik
Terapan. Institut Teknologi
Sepuluh November.
Hillier, F. S. and Lieberman, G. J.
2008. Introduction to
Operation Research 8th
Edition Jilid 2. Penerbit Andi.
Yogyakarta.
Imrona, M. 2009. Aljabar Linear
Dasar. Erlangga. Jakarta.
Jones, B. 1994. Journal : Actuarial
Calculation Using a Markov
Model: Transactions of
Society of Actuaries. Volume
46: hal 227-250.
Leon, S.J. 1998. Aljabar Linear dan
Aplikasinya (diterjemahkan
oleh: Alit Bondan). Erlangga.
Jakarta.
Stewart, J. 2003. Kalkulus Edisi
Keempat Jilid 2
(diterjemahkan oleh: Susila
dan Gunawan). Erlangga.
Jakarta.
Sunusi, N. 2014. Buku Ajar Proses
Stokastik. Prodi Statistika
FMIPA Universitas
Hasanudin.
Tijms, H. 2003. A First Course in
Stochastic Models. John
Wiley and Sons. England.