PENGANTAR TEORI PELUANG

BUKU ACUAN

1. Hogg R.V., dan E. A. Tanis, Probability and Statistical Inference, 5th Edition, New Jersey: Prentice-Hall, Inc, 1997

2. Ross, Seldon, A First Course in Probability, 2nd Edition, NY, McMilan Publishing, 1976.

3. Bain L.J. dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2nd Edition, Boston: PWS-KENT Publishing Company, 1992

4. Mood A., A. Graybill, dan C. Boes, Theory of Mathematical Statistics, 3trd Edition, Mc graw Hill Inc., 1974

Pertemuan 1

TEORI HIMPUNAN

DEFINISI

Himpunan: kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Objek-objek tersebut disebut unsur/anggota/elemen dari himpunan

Biasanya dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C dstContoh : A = { a, b, c, d }

CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

1. Enumerasi : mendaftar semua anggota yang diletakkan dalam tanda kurung kurawalcontoh : B = {1,2,3,4}

2. Simbol baku : dengan cara menyebut sifat yang dimiliki setiap anggotanyacontoh: A = himpunan bilangan riil

3. Notasi pembentuk himpunancontoh : C = {x|x adalah bilangan bulat}

CARA MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

4. Diagram Venncontoh : S = {1,2,3....,7,8}

A = {1,2,3,5} dan B = {2,5,6,7}

SA B

1

3

2

5

6

7

4

8

Macam-macam Himpunan

1. Himpunan Kosong (Himpunan Hampa)adalah himpunan yang tidak punya anggotaNotasi { } atau øcontoh : P = orang indonesia yang pernah ke bulan

2. Himpunan semestaadalah himpunan yang semua anggotanya terdiri dari semua objek yang sedang dibicarakan. Dilambangkan dengan S atau U (universal)

Macam-macam Himpunan

3. Himpunan berhingga dan tidak berhinggacontoh himpunan berhingga:A = {ani, joko, tuti}contoh himpunan tdk berhingga:B = {x|x = himpunan bilangan bulat positif} = {1,2,3,4.......}

4. Himpunan bagian (Subset)Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.Dituliskan A B jika dan hanya jika (x) xA xB

Macam-macam Himpunan

Teorema 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagi berikut :

a. A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri ( A A )b. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari

A ( A )c. Jika A B dan B C maka A C

5. Himpunan yang samaDua himpunan A dan B dikatakan sama jika A B dan B A

Macam-macam Himpunan

Notasinya :A = B A B dan B A

S S

A

BA = B

Macam-macam Himpunan

6. Himpunan saling lepas/disjointHimpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.Notasi : A // BContoh :A = {x|x = himpunan bulat positif}B = {x|x = himpunan bulat negatif}

Macam-macam Himpunan7. Keluarga Himpunan / Famili Himpunan

adalah himpunan dimana objek-objeknya terdiri dari himpunan-himpunan.Contoh :A = {{1,2}, {1,a}, {3,4}}

8. Himpunan Kuasa / Power SetHimpunan kuasa dari suatu himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Notasi : P(A) atau 2ᴬContoh :Jika A = {1,2} maka P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}

Partisi Himpunan

Suatu partisi dari himpunan X adalah suatu cara membagi himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas dan gabungan dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X.Himpunan bagian suatu partisi disebut “sel”Notasi : X = {A₁,A₂, ...Aᵢ}Syarat partisi himpunan:1. X = A₁ A₂ ... Aᵢ2. Aᵢ Aᵤ = untuk setiap iu

Partisi Himpunan

Misalkan X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X (i) {{1,2,3}, {2,5}, {4,8,9}}(ii) {{1,3,5}, {2,6,8}, {5,7,9}}(iii) {{1,3,5}, {2,6,8}, {4,7,9}} Manakah yang merupakan partisi dari X ?

Operasi Himpunan

1. Gabungan / UnionGabungan 2 himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A atau anggota B atau keduanya.Notasi : AB = {x|xA atau xB}Contoh :A = {a,c,e} dan B = {b,d,f}A B = {a,b,c,d,e,f}

Operasi Himpunan

2. Irisan / IntersectionIrisan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A dan sekaligus anggota B. Notasi : AB = {x|xA dan xB}Contoh :A = {1,2,3,5,6,7} dan B = {3,4,5,9}A B = {3,5}

Operasi Himpunan

3. KomplemenKomplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan bagian dari semesta tapi bukan anggota himpunan ANotasi : Aᶜ atau A’ = {x|xS, xA}Contoh : S = {1,2,3,4,.....,9}A = {1,3,5,7,9} maka A’= {2,4,6,8}

Operasi Himpunan

4. Selisih dua himpunanSelisih dua himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota B.Notasi : A – B = {x|xA dan xB} = A B’Contoh :A = {1,2,3,....10} B = {2,4,6,8,10}A – B = {1,3,5,7,9}B – A =

Operasi Himpunan

5. Jumlah dua himpunan/ Beda Setangkup / Selisih Simetris / Simetris DifferenceSelisih simetris dua himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota himpunan A yang bukan anggota B dan anggota B yang bukan anggota A.Notasi : A B = (AB)-(AB) = (A-B) (B-A)Contoh :A = {2,4,6} dan B = {2,3,5}A B = {3,4,5,6}

Operasi Himpunan

Teorema :Beda setangkup memiliki sifat sbb:a. A B = B A (hukum komutatif )b. (A B) C = A (B C ) (hukum asosiatif)

6. Perkalian kartesian / cartesian productNotasi : A B = {(a,b)|aA dan bB}Misal : C = {1,2,3} dan D = {a,b}maka C D = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a),(3,b)}Catatan : a. (a,b) (b,a)

b. A B B Ac. Jika A= atau B= maka AB = BA =

Hukum Aljabar Himpunan

1. Hukum Idempoten- A A = A- A A = A

2. Hukum Asosiatif- A (B C) = (A B) C- A (B C) = (A B) C

3. Hukum Komutatif- A B = B A- A B = B A

4. Hukum Identitas- A = A- A S = A

Hukum Aljabar Himpunan5. Hukum Distributif

- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) - A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

6. Hukum null/dominasi- A S = S- A =

7. Hukum Komplemen- A A’ = S - (A’)’ = A- A A’ = - S’ = dan ’ = S

8. Hukum De Morgan- (A B)’ = A’ B’- ( A B )’ = A’ B’

23

Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan

Pada himpunan A dan B

Pada himpunan A, B, dan C

Pada himpunan A, B, C, dan D

)()()()( BAnBnAnBAn

)()()()()()()()(

CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

)()()()()()()()()()()()()()()()(

DCBAnDCBnDCAnDBAnCBAnDCnDBnCBnDAnCAnBAnDnCnBnAnDCBAn

Latihan Soal

1. Diketahui himpunan P = {a,b,c,d} , Q ={c,d,e,f} dan R = {b,c,d,e}Tentukan:a. PQ ; PQ ; PR ; PR ; QR ; QRb. Gambarkan diagram venn untuk soal 1ac. Buktikan bahwa sifat asosiatif dan distributif terpenuhi.

2. Untuk P, Q, R pada soal nomor 1, tunjukkan apakah sifat berikut terpenuhi.a. P (Q R) = (P Q) (P R)b. P (Q R) = (P Q) (P R)

Latihan Soal

3. Tentukan CD dan CD a. C = {x|0<x<2} D = {x|1x<3}b. C = {(x,y)|0<x<2 , 1<y<2} D = {(x,y)|1<x<3 , 1<y<3}

4. Buktikan A B maka B’ A’5. Buktikan A- (BC) = (A-B) (A-C) bernilai benar6. Misal A = {1,2,3} ; B = {2,4} dan C ={3,4,5}

Tentukan A B C

Latihan Soal

7. Tentukan semua partisi dari X = {a,b,c,d,}8. Tentukan komplemen dari C={x|5/8<x<1}

dimana S = {x|0<x<1}9. Dari 100 orang mahasiswa diadakan

pendaftaran untuk mengikuti pelajaran bahasa Jerman, Perancis atau keduanya. Jika yang mendaftar bahasa Jerman 75% dan bahasa Perancis 48%, berapa mahasiswa yang mendaftar untuk kedua bahasa tersebut?

Latihan Soal

10. 100 orang buruh perusahaan industri diklasifikasikan ke dalam golongan A, B dan C.A : golongan buruh yang rajin = 50 orangB : golongan buruh yang sehat = 52 orangC : golongan buruh yang berpendidikan = 40 orangA dan B = 20 orang; A dan C = 13 orang; B dan C = 15 orang. Buruh yang tidak rajin, tidak sehat dan tidak berpendidikan = 1 oranga. Berapa orang yang masuk klasifikasi ABC?b. Berapa orang yang masuk klasifikasi A saja?c. Berapa orang yang masuk klasifikasi B saja?

1. Sebuah eksperimen dilakukan dengan mengambil sebuah kartu secara acak dari setumpuk kartu, dengan kejadian:A = Kartu yang diambil berwarna merahB = Kartu yang diambil jack, king, queenC = Kartu yang diambil adalah angkabuat diagram ven

2. Dari seluruh mahasiswa tingkat 1 L, diketahui himpunan sbb.:P = Jk perempuanK = berminat pada jurusan komputasiJ = Asal SMA luar JawaHitung:a. c. b. d.

JKP )(JKP )(cP

JK

3. Diketahui nilai sekelompok mahasiswa sebagaimana digambarkan dalam diagram ven, dan diketahui :I = Jumlah mahasiswa dengan IPK diatas 3A = Nilai Aljabar linear minimal BC = Nilai Ekonomi Mikro minimal B

Hitung:a. b. (jelaskan)c. Nilai Aljabar C tapi

IPK diatas 3d. (jelaskan)

CCAI )(

CACI )(CI

I A

C

10 8

6

22

11

12