practica 2 cinematica 1-2016 fisica 100
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UNIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ÉS 1, 1–27, 2016
F ACU LTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATU RAL ES —C ARR ERA DE M ATE M ´ ATI CA
CINEM ´ ATICA DEL PUNTOPR ´ ACTICA 2
LIC. E VARI STO M AMA NI C ARL O†
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F ı́sica
L A P AZ, 10 DE F EBRERO DEL 2016
RESUMEN
Se presenta una serie de ejercicios de la cinemática del punto a velocidad constante y a veloci-dad variable a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientosteóricos aprendidos en clases de Fı́sica Básica I de nivel avanzado.
Keywords: Movimiento Uniforme—Movimiento Uniforme Acelerado—Movimiento Circular—Movimiento
Parabólico—Movimiento Relativo—Movimiento Curvilı́neo
1. Si el bloque A está moviendo extendiendose ha-cia abajo a 6 ft/s mientras el bloque C estábajando a 18 ft/s, determine la velocidad delbloque B.
FIG. 1.— Para la pregunta 1
Resp. vB = 12 ft/s ↑
2. Una lancha a motor que va rı́o arriba se en-contró con unas balsas que flotaban aguas abajo.Pasada una hora después de este encuentro elmotor de la lancha paró. La reparación de ésteduró 30 minutos y durante todo este tiempo lalancha seguı́a libremente la corriente del rı́o. Ar-reglado el motor , la lancha comenzó a ir rı́o abajo
†Email: [email protected]
con la misma velocidad con relación a la corrientedel agua y alcanzó las balsas a una distancia deS = 7.5 km del punto de su primer encuentro.Determinar la velocidad de la corriente del r ı́o,considerándola constante.
Resp. v = 3 km/h
3. El automóvil está viajando a una velocidad con-stante de 100 km/h. Si la lluvia está cayendo a6 m/s en la dirección mostrada, determine la ve-locidad de la lluvia visto por el chfer.
FIG. 2.— Para la pregunta 2
Resp. vr/c = 31.2 m/s, θ = 9.580
4. Dos ciclistas A y B viajan a la misma velocidad
constante v . Determine la velocidad de A con re-specto a B si A viaja a lo largo de la huella re-donda, mientras B viaja a lo largo del diámetrodel crculo.
Resp. vA/B = v
2(1 − sen θ)
5. Los contadores A y B (que registran el momentode la llegada del rayo gamma) distan 2 m. Entre
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FIG. 3.— Para la pregunta 4
ellos tuvo la desintegración de lapartı́cula mesónπ0 en dos rayos gamma. En que lugar sucedió ladesintegración si el contador A registró el rayogamma
10
−9 s más tarde que el contador B?. Lavelocidad de la luz adóptese igual a 3 × 108 m/s.
FIG. 4.— Para el problema 5
Resp. x = 1.15 m
6. Tres micrófonos, situados en una recta en lospuntos A, B y C, registraron en los momentos detiempo tA > tB > tC el sonido de cierta explosiónque ocurrió en el punto O, yacente en el segmento
AC. Hállese la distancia AO, si AB = BC = L. Elmomento de la puesta en marcha del reloj no cor-responde al momento de la explosión.
FIG. 5.— Para el problema 6
Resp. AO = L3tA − 2tB − tC
2(tA − tB)
7. Unos deportistas corren formando una columnade longitud l con la misma velovidad v. Al en-cuentro de la columna corre el entrenador a lavelocidad u (u < v). Cada uno de los deportistas,
al encontrarse con el entrenador , da la vuelta ycorrehacia atrás con la misma velocidad v. Quelongitud tendrá la columna cuando todos los de-portistas den la vuelta?.
Resp. l = lv − u
v + u
8. Dos barras se cruzan bajo el ángulo 2α y semueven con igual velocidad v y perpendicular-mente a sı́ mismas. Cual será la velocidad delpunto de cruce de las barras?
FIG. 6.— Para el problema 8
Resp. u = v
sen α
9. Un automovil se aleja a la velocidad v de unapared larga bajo cierto ángulo α respecto a ella.Cuando la distancia hasta la pared era l el au-tomovil dio una seal sonora corta. Que distanciarecorrerá el automovil hasta el momento en queel chofer oiga el eco?. La velocidad en el aire delsonido es c.
FIG. 7.— Para el problema 9
Resp. x = 2lvv sen α +
√ c2 − v2 cos2 α
c2 − v2
10. Al chocar elásticamente una bola contra ciertapared inmovil lisa, el ángulo de incidencia de labola es igual al de reflexión. En que ángulo cam-biará la dirección de la velocidad de la bola de-spués de chocar dos veces contra dos paredes, elángulo entre las cuales es igual a α?. En uqe di-rección volará la bola si el ángulo α = π/2?. Elmovimiento tiene lugar en el plano perpendicu-lar a las paredes.
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 3
Resp. β = 2α. En dirección contraria a la inicial
11. En un billar con las barandas a y b se lanza unabola desde el centro del lado b. Para que ángulosϕ ella vuelve al mismo punto de la baranda delque empezó el movimiento?
FIG. 8.— Para el problema 11
Resp. tan ϕ = 2ma
nb , donde m, n cualesquiera números
enteros
12. Una partı́cula se mueve por un plano. Aplicandolas gráficas que uestran la dependencia de lasproyecciones de la velocidad vx y vy con re-specto al tiempo, construyase la trayectoria de lapartı́cula si x(0) = 2m, y(0) = 1m.
FIG. 9.— Para el problema 12
Resp. El gráfico que se obtiene es el siguiente
13. Suponga que las posiciones iniciales de dosmóviles A y B que se mueven en el mismo sentido
FIG. 10.— Respuesta para el problema 12
a lo largo de la misma l ı́nea recta son y0A = 0 my y0B = 0 m, respectivamente. En el gráfico ad-
junto se muestra la dependencia con el tiempo dela rapidez de cada móvil
(a) Determine el tiempo que tarda en encon-trarse y la posición respectiva de cada unoen ese instante.
(b) Ilustre en un gráfico apropiado la dependen-cia con el tiempo de la posición para ambosmóviles.
FIG. 11.— Para el problema 13
14. Una partı́cula se mueve a lo largo de una linearecta con la velocidad mostrada en la figura 40,sabiendo que x = −540 m en t = 0:
(a) Construir las gráficas de a − t y x − t para0 ≤ t ≤ 50 s.
(b) La distancia total recorrida por la partı́culapara t = 50 s.
(c) Los instantes en que x = 0.
Resp. (b) d = 1383 m, (c) t = 9 s y t = 49.5 s
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FIG. 12.— Para la pregunta 14
FIG. 13.— Respuesta para la pregunta 14a
FIG. 14.— Respuesta para la pregunta 14a
15. Una partı́cula que parte del reposo en x = 1 mes acelerada de modo que su velocidad se duplicaentre x = 2 m y x = 8 m. Sabiendo que su acel-eración está definida por a = k(x − A/x), hallarlos valores de las constantes A y k si la velocidadde lapartı́cula es de 29 m/s cuando x = 16 m.
Resp. A = −36.8 m2, k = 1.832 s−2
16. En la figura 15 se muestra la dependencia con eltiempo de la aceleración de una partı́cula que semueve a lo largo del eje x. Suponga que parte delreposo y que su posición inicial es x = 15 m.
(a) Determinar su rapidez en t = 5 s y en t = 18s.
(b) Construye las gráficas de v(t) y x(t).
FIG. 15.— Para el problema 16
17. La aceleración de una part́ıcula está definida pora = 0.4(1
−kv), siendo k una constante. Sabiendo
que cuando t = 0 la partı́cula parte del reposodesde x = 4 m y que cuando t = 15 s, v = 4m/s, hallar (a) la constante k, (b) la posición dela partı́cula cuando v = 6 m/S, (c) su velocidadmáxima.
Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s
18. Un cuerpo se mueve durante un tiempo τ a unavelocidad cosntante v0. Luego, su velocidad crececon el tiempo linealmente de manera que en elmomento de tiempo 2τ es igual a 2v0. Determi-nese el camino que recorrió el cuerpo durante eltiempo t > τ .
FIG. 16.— Para el problema 18
Resp. L = v0t + v02τ
(t − τ )2
19. Una part́ıcula se mueve sobre una lı́nea recta conla aceleración que varı́a en función del tiempocomo se muestra en la figura 17. Sabiendo queparte del origen con v0 = −2 m/s, hallar:
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 5
(a) Construir la gráfica de v − t y x − t para 0 <t < 18 s.
(b) La posición, la velocidad y la distancia totalque recorre cuando t = 18 s.
FIG. 17.— Para el problema 19
Resp. x = 52 m, v = 36 m/s, 164 m
20. El cuerpo comienza su movimiento desde elpunto A. Primero el cuerpo se mueve duranteel tiempo τ de manera uniformemente aceler-ado, después con la misma aceleración seg ́unel módulo, de manera uniformemente desaceler-ado. Dentro de cuanto tiempo desde el comienzodel movimiento el cuerpo regresará al punto A?.
Resp. t = (2 + √ 2)τ 21. Un avión aterriza en una pista recta, viajando
originalmente a 110 pies/s cuando x = 0. Si estásujeto a las desaceleraciones que se muestran enla figura 18, determine:
(a) El tiempo t necesario para detener el avión.
(b) Las gráficas de v − t y x − t para dichomovimiento.
Resp. (a) t = 33.3 s
22. La aceleración de una partı́cula es directamenteproporcional al tiempo t. Cuando t = 0, su veloci-dad es v = 16cm/s. Sabiendo que v = 15 cm/s yque x = 20 cm cuando t = 1 s, hallar la volocidad,la posición y la distancia total recorrida cuandot = 7 s.
Resp. v = −33 cm/s, x = 2 cm, 87.7 cm
FIG. 18.— Para la pregunta 21
23. Sobre una placa elástica caen libremente dos bo-las de acero. La primera cae desde una alturah1 = 44 cm y la segunda, transcurrido un lapso τ después de la primera, siendo la altura h2 = 11cm. Al pasar cierto tiempo , las velocidades de las
bolas coinciden tanto por su valor como por la di-rección. Determinar el lapso τ y el intervalo detiempo, durante el cual las velocidades de ambasbolas serán iguales. Las bolas no chocan.
Resp. τ = 0.3 s, t = 0.3 s
24. ¿Durante que tiempo un cuerpo que cae libre-mente sin velocidad inicial, pasa el enésimocentı́metro de su trayecto?
Resp. τ =
2
g(√
n − √ n − 1)
25. De una torre alta se lanzan dos cuerpos unotras otro, con velocidades v0 de igual valor. Elprimer cuerpo se lanza verticalmente hacia ar-riba; pasado cierto tiempo τ , se tira el segundoverticalmente hacia abajo. Determine la veloci-dad de los cuerpos uno respecto del otro y la dis-tancia entre ellos en el momento t > τ .
Resp. u = 2v0 − gτ velocidad del primer cuerpo con respectoal segundo. S = (2v0 − gτ )t − v0τ + gτ 2/2
26. Dos automoviles salen de las ciudaddes A y B, eluno al encuentro del otro, con velocidades y acel-eraciones a de iguales valores. La aceleración del
automovil que salió de la ciudad A todo el tiempotenı́a dirección hacia A, y la del automovil quesalió de la ciudad B hacia b. ¿Cuanto tiempo mastarde salió uno de estos automoviles si el tercerautomovil que iba todo el tiempo con la velocidadconstante v1 presenció ambos encuentros de losdos primeros automóviles?.
Resp. t = 2v1
a
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27. El bloque deslizante A se mueve hacia laizquierda con una velocidad de 6 m/s. Hallar:
(a) La velocidad del bloque B
(b) La velocidad de la parte D del bloque
(c) La velocidad relativa de la parte C del cable
respecto a la parte D
FIG. 19.— Para el problema 27
Resp. (a) 2 m/s ↑, (b) 2 m/s ↓, (c) 8 m/s ↑
28. Una cuña forma con el soporte horizontal unángulo de 300, una barra vertical que baja a lavelocidad v la empuja. ¿Que velocidad desarrol-lará la cuña?.
FIG. 20.— Para el problema 28
Resp. v√
3
29. En una cuña con un ángulo α yace cierta mon-eda. ¿Con que aceleración mı́nima debe moversela cuña por un plano horizontal para que la mon-eda caiga libremente hacia abajo?
Resp. g cot α
30. Una bobina rueda por un plano horizontal sindeslizamiento. Del hilo se tira bajo un ánguloα hacia el horizonte con una velocidad v. Hal-lar la velocidad del eje y la velocidad angular de
rotación de la bobina. ¿Para que angulos α el ejese mueve hacia la derecha y para cuales hacia laizquierda?. El hilo es tan largo que α no cambiadurante el movimiento.
FIG. 21.— Para el problema 30
Resp. u = vR
R cos α − r ; ω = v
R cos α − r , a la derecha cuandocos α > r/R, a la izquierda cuando cos α < r/R
31. La figura 22 muestra cierta transmisión de en-granajes de movimiento planetario. ¿Que canti-dad de revoluciones alrededor de su eje efectuaráel engranaje A si la rueda dentada realiza n1revoluciones y el engranaje central n2 revoluci-iones?. El radio interior de la rueda dentada es Ry del engranaje central r.
FIG. 22.— Para el problema 31
Resp. nA = n1R − n2r
R − r
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 7
32. Un abalorio puede moverse por cierta circunfer-encia de radio R, empujado por una aguja quegira de forma uniforme a la velocidad angular ω.El eje de rotación de la aguja pasa por el puntoO de la circunferencia. ¿Cual será la aceleracióndel abalorio?.
FIG. 23.— Para el problema 32
Resp. a = 4ω2R
33. La varilla gira a la velocidad angular ω . No haydeslizamiento entre el cilindro y el plano horizon-tal . Hallese la velocidad angular del cilindro endependencia del ángulo α.
FIG. 24.— Para el problema 33
Resp. ω = ω/2sen2(α/2)
34. Desde el punto A un niño arroja una pelota conuna velocidad inicial de 20 m/s formando unángulo de 250 con la horizontal. Hallar la veloci-dad de la pelota en los puntos de la trayectoriaen que el radio de curvatura es igual a los trescuartos de su valor en A.
FIG. 25.— Para el problema 34
Resp. 18.17 m/s
35. En el punto A una tuberia horizontal descargaagua en un depósito. Expresar el radio de cur-vatura del chorro en el punto B en función de losmódulos de las velocidades vA y vB .
FIG. 26.— Para el problema 35
Resp. v3BgvA
36. Cuando el camión de la figura 27 empieza aretroceder a la aceleración constante de 1.2m/s2,la porción exterior B de su pluma empieza a re-traerse con una aceleración constante de 0.5m/s2
relativa al vehı́culo. Hallar:
(a) La aceleración de la porción B
(b) La aceleración de esta cuando t = 2s
FIG. 27.— Para el problema 36
Resp. (a) 0.958m/s2, (b) 1.917m/s2
37. El movimiento de una partı́cula está definido por
las ecuaciones x = (t− 2)3
12 +t2 e y =
t3
12− (t− 1)
2
2
donde x, y se expresan en metros y t en segundos.Hallar:
(a) El módulo de la menor velocidad que al-canza la partı́cula
(b) el instante, la posición y dirección y sentidode la velocidad correspondiente
Resp. (a) 1.41m/s, (b) t = 0, x = −0.67m, y = −0.50m, 450
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38. Sobre el punto A de un escalón cae una bola querebota con una velocidad inicial v0 formando unángulo de 150 con la vetical. Hallar v0 sabiendoque inmediatamente antes de que la bola reboteen el punto B su velocidad vB forma un ángulode 120 con la vertical.
FIG. 28.— Para el problema 38
Resp. 8.84 pies/s
39. Un cazador intenta dispararle a un mono que seencuentra a una altura h y una distancia hori-zontal d de él. Justo cuando el cazador disparasu rifle, el mono se suelta de la rama y cae bajolos efectos de la gravedad. Usando las ecuacionesde movimiento de la bala del rifle y del mono, de-muestre que de todas formas la bala impactaráal mono en alg ́un punto de la caı́da. (Desprecielos efectos del roce con el aire tanto para la balacomo para el mono)
FIG. 29.— Para el problema 39
40. Del orificio de un manguera, obturado con eldedo, brotan dos chorros de agua bajo los ángulos
α y β respecto al horizonte con una misma veloci-dad inicial v0. ¿A que altura con respecto de lahorizontal se intersecan?.
FIG. 30.— Para el problema 40
41. Un cuerpo se lanza hacia debajo de un planoinclinado, y choca con este a una distancia deS = 76m. Si el cuerpo sube a una altura mximah = 19m, por encima del punto de salida, calcular
la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
FIG. 31.— Para el problema 41
Resp. v0 = 24.2m/s, θ = 52.80
42. Un cazador de patos, dispara su arma desdeuna altura de 1.5 m, cuando un pato pasa justoencima del cazador a una altura de 15 m. La ve-locidad de salida de la bala es igual a 25m/s, siel pato vuela horizontalmente a una velocidad de5m/s. Hallar el ángulo necesario para que la balade en el blanco y la distancia que recorre el patoantes de ser alcanzado por la bala.
Resp. θ = 78.50, d = 3.15m
43. Una partı́cula se proyecta en un ángulo α menorque 450, y otra en un ángulo α mayor que 450, am-bas tocan tierra al nivel en que fueron lanzadas.Demuestre que la diferencia en sus tiempor quede vuelo es:
t2 − t1 = 2√
2v0 sen α
g
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 9
44. Un tren puede minimizar el tiempo t estre dosestaciones acelerando a razón de a1 = 0.1 m/s
2
por un tiempo t1 y después experimenta unaaceleración negativa a2 = −0.5 m/s2 cuandoel maquinista usa los frenos durante un tiempot2. Puesto que las estaciones están separadas
solo 1 km, el tren nunca alcanza su velocidadmáxima. Encuentre el tiempo mı́nimo de viaje ty el tiempo t1.
Resp. t = 120
53
s, t1 = 100
53
s
45. Durante el último segundo de caida libre sin ve-locidad inicial, un cuerpo recorre las 3/4 pratesde todo su camino. ¿Cuánto tiempo tarda en caerel cuerpo?.
46. Un proyectil se dispara, desde una superficie in-clinada a una velocidad inicial v0 a un ángulo θrespecto a la horizontal como se muestra en la
figura 32.
(a) Si el ángulo del declive es α respecto a lahorizontal, demuestre que el alcance a lolargo de la superficie inclinada es:
R = 2v20 sen(θ − α)cos θ
g cos2 α
(b) Para qué valor de θ, es R máximo?. De-muestre que el valor máximo de R es:
R = v2
0
g(1 + sen α)
FIG. 32.— Para el problema 46
47. Un automovil viaja por un camino recto con larapidéz que indica la gráfica v − t (figura 33).Determine la distancia total que recorre hastaque se detiene cuando t=48 s. Asimismo, tracelas gráficas x − t y a − t.
FIG. 33.— Para el problema 47
48. Un pato volaba por una recta horizontal a la ve-locidad constante u. Un “cazador ” inexperto lelanzó una piedra, con la peculiaridad de que ellanzamiento fue hecho sin corrección del avance,es decir, en el momento del lanzamiento la di-rección de la velocidad de la piedra (el ángulo αrespecto al horizonte) estaba orientada precisa-mente hacia el pato. El módulo de la velocidadinicial de la piedra es igual a v. ¿A qué alturavolaba el pato, si la piedra a pesar de todo diócon él?.
FIG. 34.— Para el problema 48
49. El movimiento de una partı́cula está definido porx = t3 − 9t2 + 24t− 8, donde x y t se expresan encentı́metros y segundos respectivamente. Hallar:
(a) Cuando es cero la velocidad
(b) La posición y la distancia total recorridacuando es cero la aceleración.
50. Un proyectil se lanza al aire con una rapidez de8 m/s y a un ángulo de θ = 300 con respecto delplano horizontal. Determine la distancia (s) quedebe recorrer para alcanzar el punto mas elevado
B.
51. Un punto se desplaza por una lı́nea helicoidalde acuerdo con las ecuaciones x = 2cos4t, y =2sen4t, z = 2t; por unidad de longitud se toma elmetro. Determinar el radio de curvatura ρ de latrayectoria.
Resp. ρ = 178
m
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FIG. 35.— Para el problema 50
52. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubovertical con el intervalo de 0.1 s y caen con unaaceleración de 981 cm/s2. Determinar la distan-cia entre la primera y la segunda gota pasado 1 sdespués de salir la primera gota.
Resp. 93.2 cm
53. De acuerdo con las ecuaciones dadas delmovimiento de un punto hallar las ecuaciones desu trayectoria en forma de coordenadas e indicaren el dibujo la dirección del movimiento.
(a) x = 3t− 5, y = 4− 2t(b) x = 2t, y = 8t2
(c) x = 5sen10t, y = 3 cos 10t
(d) x = 2− 3cos5t, y = 4cos 5t− 1(e) x =
1
2(et + e−t), y =
1
2(et − e−t)
Resp. (a)La semirecta 2x + 3y − 2 = 0 con origen en el punto(−5, 4), (b) La rama derecha de la parábola y = 2x2 con el
punto inicial (0, 0), (c) La elipse x2
25 + y
2
9 = 1 con el punto de
origen (0, 3), (d) La elipse (x−2)2
9 + (y+1)2
16 = 1 con el puntode origen (−1, −1), (e) La parte superior de la rama derechade la hipérbola x2 − y2 = 1 con el punto de origen (1, 0)
54. Una motocicleta que viaja a lo largo de una pistaelı́ptica con una rapidez constante v . Determinela mı́nima aceleración si a > b.
Resp. am ı́n = an = v2b
a2
55. Los aviones A y B vuelan a la misma altutud.Si sus velocidad y el angulo entre sus trayecto-ria son la indicadas en la figura 37, determine la
velocidad del avión A con respecto del B.
Resp. 525 mi/h
56. La aceleración de una partı́cula está definida pora = 0.4(1−kv), siendo k una constante. Sabiendoque cuando t = 0 la partı́cula parte del reposodesde x = 4m y que cuando t = 15s, v = 4 m/s,hallar:
FIG. 36.— Para el problema 54
FIG. 37.— Para el problema 55
(a) La cosntante k
(b) La posición de la part́ıcula cuando v = 6 m/s
(c) Su velocidad máxima.
Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s
57. El vector de posición de un cuerpo viene dado por
r = (t2 + t + 1)̂i + (1− 3t)ˆ j(a) Obtener la ecuacióon de la trayectoria.
(b) La velocidad media entre los instantes t1 =2 s y t2 = 4 s
(c) Velocidad y aceleración instantáneas en t =
3 s.
Resp. (a) x = 1
9(y2 − 5y + 13), (b) v̄x = 7 m/s; v̄y = −3 m/s,
(c) vx = 7 m/s; vy = −3 m/s; ax = 2 m/s2; ay = 0 m/s2
58. Considere el problema de tiro parabólico con ve-locidad inicial v0 y ángulo de disparo con respectoa la horizontal θ0. Para ángulos muy pequeños la
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distancia entre el punto de disparo y el proyec-til siempre aumenta, mientras que, por ejemplo,para el tiro vertical esta distancia primero au-menta y luego disminuye, pues el proyectil re-gresa al punto de disparo. Para ángulos inter-medios la distancia entre el punto de disparo y
el proyectil primero aumenta, luego disminuyey finalmente se aleja otra vez. Demuestre que elángulo crı́tico de disparo θc para el cual este com-portamiento de acercarse y alejarse comienzacumple que cos θc = 1/3.
59. Una moneda es soltada a partir del reposo dentrodel pozo de los deseos (Ver figura 38). Determinela profundidad del pozo si se conoce el tiempo T entre el instante en que se suelta la moneda yel instante en que se escucha que la moneda gol-pea el fondo del pozo. Considere constante a lavelocidad del sonido vs .
FIG. 38.— Para el problema 59
60. Desde la terraza de un edificio alto de 50 mse deja caer una piedra y 0.5 s después otrapiedra es dejada caer desde una ventana d met-
ros más debajo de la terraza. Se observa que lasdos piedras llegan al suelo al mismo tiempo. Hal-lar el valor de d, si la segunda piedra fuera lan-zada desde la misma terraza 0.5 s después que laprimera, qué velocidad inicial deberı́a tener parallegar al suelo al mismo tiempo que la primera.
61. Un hombre que corre a 14 km/h en direcciónOeste observa el viento como si llegara deNoroeste. Cuando reduce su velocidad a 6 km/hobserva el viento como si llegara del Norte. Hal-lar la intensidad y direcci’on del viento.
62. La Paz se halla a 16.50 S y el radio de la Tierra alecuador es de 6400 km, con estos datos hallar:
(a) La velocidad angular del monoblock centralde la UMSA alrededor del eje de la Tierra.
(b) Su velocidad lineal.
(c) Su aceleración centrı́peta.
63. Un piloto deja el avión avanzar automáticamentedurante una hora y media hacia el Este con ve-locidad 400 km/h. Al cabo de este tiempo retoma
los comandos y se da cuenta que el avión haavanzado 560 km hacia el este y 80 km hacia elNorte debido a un viento constante. Se pide hal-lar:
(a) ¿Cuál fue la velocidad del viento durante ese
tiempo?.(b) ¿ A que ángulo respecto a la direcci’on Este
debió el piloto colocar la brújula del timónpara mantener el rumbo hacia el Este?.
64. De una ducha caen gotas al piso que se encuen-tra 2.30 m debajo. Las gotas caen a intervalos detiempo regulares, de tal menera que cuando laprimera gota llega al piso la quinta comienza acaer.
(a) ¿A qué intervalo de tiempo caen las gotas?.
(b) ¿Cuál es la posición de cada gota en el mo-mento en que la primera llega al piso?.
65. Determine la velocidad de B si A estámoviéndose hacia abajo con una velocidadde vA = 4 m/s en el instante mostrado (verfigura 39).
FIG. 39.— Para la pregunta 65
Resp. vB = 1 m/s ↑
66. La aceleración de una partı́cula que viaja a lolargo de una lı́nea recta es a = k/v, donde k esuna constante. Si s = 0, v = v0 cuando t = 0,determine la velocidad de la partı́cula como unafunción del tiempo.
Resp. v =
2kt + v20
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67. Dos partı́culas A y B están en reposo en el origens = 0 y siguen una lı́nea recta tal que aA = (6t−3) ft/s2 y aB = (12t
2 − 8) ft/s2, donde t estáen segundos. Determine la distancia entre elloscuando t = 4 s y la distancia total que cada unoha viajado en t = 4 s.
Resp. dA = 41.0 f t, dB = 200.0 f t, ∆sAB = 152.0 f t
68. Un bote sale de un punto P sobre la orilla de unrio y viaja con velocidad constante V dirigido ha-cia un punto Q sobre la orilla del rio, situado endirección directamente opuesta a P. La distanciaentre los dos punto es D. Si r es la distancia in-stantánea desde Q al bote, θ es el ángulo entre ry PQ, y las aguas del rio se mueven con rapidez v,demostrar que la trayectoria del bote se da por:
r = D sec θ
(sec θ + tan θ)v/V
FIG. 40.— Para el problema 68
69. Demostrar que la magnitud de la aceleración deuna partı́cula en movimiento curvilı́neo en el es-pacio es
dv
dt
2+
v4
R2
donde v es la rapidez tangencial y R es el radiode curvatura.
70. Si el punto A de la soga se mueve hacia abajo conuna velocidad de 5 m/s, determine la velocidaddel cilindro B (ver figura 43).
Resp. vB = 20 m/s ↑
71. Un conductor de un automovil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B de-spués de viajar una diatancia D en un tiempo T .Durante el viaje alcanza una velocidad máximaV . Suponiendo que el valor de la aceleración es
FIG. 41.— Para la pregunta 70
constante tanto al comienzo como al final del vi-aje, demostrar que el tiempo durante el cual semantuvo la velocidad máxima se da por
2D
V − T
72. Si una partı́cula tienen velocidad v y aceleracióna a lo largo de una curva en el espacio, demostrarque el radio de curvatura de su trayectoria se danuméricamente por
R = v3
|v × a|
73. Hallar:
(a) La aceleración tangencial
(b) La aceleración normal
de una partı́cula que se mueve sobre la elipse r =a cos ωt î + b sen ωt ̂j.
Resp. (a) ω2(a2 − b2)sen ωt cos ωt√
a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt,
(b) ω2ab√
a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt
74. Una partı́cula se mueve de manera que su vector
de posición en cualquier tiempo t sea r = t î +1
2t2 ̂j + t k̂. Hallar:
(a) La velocidad
(b) La rapidez
(c) La aceleración
(d) La magnitud de la aceleración
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 13
(e) La magnitud de la aceleración tangencial
(f) La magnitud de la aceleración normal
Resp. (a) î + t ̂j + k̂, (b)√
t2 + 2, (c) ̂j, (d) 1, (e) t√ t2 + 2
, (f)
2t2 + 2
75. Hallar:
(a) La tangente unitaria T
(b) La normal principal N
(c) El radio de curvatura R
(d) La curvatura κ
de la cruva en el espacio x = t, y = t2/2, z = t
Resp. (a) 1√
t2 + 2(̂i + t ̂j + k̂), (b)
1√ 2t2 + 4
(−t î + 2 ̂j − t k̂),
(c)
(t2 + 2)3
2 , (d)
2
(t2 + 2)3
76. El conductor de un automóvil que viaja haciael noreste a 26 mi/h, nota que el viento parecevenir desde el noroeste. Cuando se dirige haciael sureste a 30 mi/h el viento parece venir desdelos 600 al sur del oeste. Hallar la velocidad delviento relativa a la Tierra.
Resp. 52 mi/h en dirección 300 al sur del oeste
77. El cable en B (ver figura 42) se tira hacia abajo
a 4 ft/s, y la velocidad está disminuyendo a2 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración delbloque A en ese instante.
FIG. 42.— Para la pregunta 77
Resp. vA = 1 ft/s ↑, AA = 0.5 ft/s2 ↓
78. Un helicóptero aterriza con viento cruzado en unbarco en movimiento desde el cual se observaque desciende verticalmente a 10 nudos. Si elbarco tiene una velocidad de avance de 20 nudos
y el viento cruzado está soplando perpendicular-mente al curso del barco a 20 nudos, encontrar lavelocidad del helicóptero a través del aire.
Resp. v = 20 î − 20 ̂j − 10 k̂, velocidad=30 nudos
79. Un semicilindro se balancea sinusoidalmente sindeslizamiento, como ae muestra en la figura 43,de tal forma que θ = sen2t:
(a) Cuando pasa por la posición neutra θ = 00,¿cuál es la aceleración del punto de contactocon la superficie fija?
(b) Cuando el semicilindro está al ángulomáximo de 1 radián ¿cuál es la aceleracióndel punto de contacto con la superficie fija?
FIG. 43.— Para el problema 79
Resp. (a) 4 m/s2 verticalmente hacia arriba, (b) cero
80. De un cilindro de radio R se está desenrollandouna cuerda arollada a su alrededor. La cuerdapasa sobre una polea y está unida a un cuerpoB (como se muestra en la figura 44). Relacionarla velocidad y la aceleración observadas del cen-tro geométrico del cilindro a su velocidad y acel-eración angulares y a la velocidad y aceleracióndel cuerpo B.
Resp. v = Rω − vB, a = Rα − aB
81. Desde el punto A se dispara un proyectil con unavelocidad inicial v0.
(a) Demostrar que el radio de curvaturamáximo se halla en el punto más alto de latrayectoria.
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FIG. 44.— Para el problema 80
(b) Siendo θ el ángulo formado por la trayecto-ria y la horizontal en un punto dado C, de-mostrar que el radio de curvatura en C es:
ρ = ρmincos3 θ
FIG. 45.— Para el problema 81
82. Desde el punto A se dispara un proyectil con unavelocidad inicial v0 que forma un ángulo α con lahorizontal. Expresar el radio de curvatura de latrayectoria en C en función de x, v0, α y g.
Resp. ρ = v20g cos α
1 − 2gx tan α
v20+
g2x2
v40 cos2 α
83. La aceleración de una partı́cula está definida porla relación:
a = 12x− 28donde a y x son expresados en m/s2 y m respecti-vamente. Sabiendo que v = 8 m/s cuando x = 0,determine:
(a) El valor máximo de x.
(b) La velocidad cuando la partı́cula recorreuna distancia total de 3 m.
Resp. (a) xmax = 2 m, (b) v = −4.47 m/s
84. Una partı́cula se mueve sobre una linea rectacon una aceleración constante de −4 pies/s2 du-rante los primeros 6 s, con aceleración cero enlos proximos 4 s y una aceleración constante de
4 pies/s2
en los próximos 4 s. Sabiendo que lapartı́cula parte del origen y que su velocidad esde −8 pies/s durante el intervalo de aceleraciónnula.
(a) Cosntruir las graficas de v − t y x − t para0 ≤ t ≤ 14 s.
(b) Determine la posición, la velocidad de lapartı́cula y la distancia total recorridacuando ha transcurrido 14 s.
FIG. 46.— Para la pregunta 84
FIG. 47.— Respuesta para el problema 84a
FIG. 48.— Respuesta para el problema 84a
Resp. (b) v14 = 8 ft/s, x14 = −8 f t, d = 88 f t
85. El movimiento de una partı́cula está definido porla relación: x(t) = 2t3 − 18t2 + 48t − 16, donde
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 15
x y t se expresan en milı́metros y en segundosrespectivamente. Determine:
(a) Cuando es cero la velocidad.
(b) La velocidad, la posición y la distancia totalrecorrida cuando la aceleración es nula.
Resp. (a) t = 2 s y t = 4 s, (b) x3 = 20 mm, d = 44 mm
86. El movimiento de una partı́cula está definido porla relación: x(t) = 2t3 − 12t2 − 72t − 80, dondex y t se expresan en m y en s respectivamente.Determine:
(a) Cuando es cero la velocidad.
(b) La velocidad, la aceleración y la distanciatotal recorrida cuando x = 0.
Resp. (a) t = 6 s, (b) v = 288 m/s, a = 96 m/s2, d = 944 m
87. La aceleración de una partı́cula está definida pora = A−6t2 siendo A una constante. Cuando t = 0la partı́cula se pone en movimiento en x = 8 mcon v = 0. Sabiendo que cuando t = 1 s, v =30 m/s, hallar:
(a) El instante en que la velocidad es cero.
(b) La distancia total recorrida por la partı́culacuando t = 5 s.
Resp. (a) t = 0.4 s, (b) d = 168.5 m
88. Un hombre se halla en un bote en la orilla de un
rı́o y desea llegar al punto directamente opuestosobre la otra orilla. Considerando que la anchuradel rio es D y que la rapidez del bote y de la cor-riente del rio son respectivamente V y v
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FIG. 49.— Para el problema 95
96. Una piedra se arroja a un pozo y el sonido pro-ducido al chocar con el agua es oido un tiempo τ posterior al instante en que se soltó. Suponiendoque la rapidez del sonido es c, probar que elnivel del agua del pozo está a una profundidad
(
c2 + 2gcτ − c)22g
97. Un cañón se coloca sobre un cerro que tiene laforma de un plano inclinado que forma un ángulo
α con la horizontal. Un proyectil se dispara ha-cia arriba formando un ángulo β con el plano.Probar que si se desea que el proyectil golpee elcerro horizontalmente, debe cumplirse que β =
arctan 2sen2α
3− cos2α
98. Suponer que dos poryectiles se lanzan formandoángulos α y β con la horizontal desde el mismopunto en el mismo instante, en el mismo planoverticla y con la misma rapidez inicial. Probarque durante el movimiento, la lı́nea que une losproyectiles forma un ángulo constante con la ver-
tical dado por 1
2
(α + β )
99. Cuando un proyectil se lanza formando unángulo θ1 con la horizontal, cae a una distan-cia D1 antes de su blanco, mientras que para unángulo θ2 cae a una distancia D2 más allá delblanco. Determinar el ángulo para que al lanzarel proyectil dé en el blanco.
100. Un objerto fue arrojado verticlamente haciaabajo. Durante el décimo segundo de su viajedescendió dos veces lo que descendió durante elquinto segundo. ¿Con qué rapidez fue arrojado?
Resp. 16 pies/seg
101. El máximo alcance de un proyectil cuando se dis-para hacia abajo en un plano inclinado es dos ve-ces el máximo alcance cuando es disparado haciaarriba en el mismo plano inclinado. Determinarel ángulo que forma el plano con la horizontal.
Resp. arcsen 1
3
102. La rapidez de salida de una bala es v0, se sitúael cañón a una altura h sobre un plano horizon-tal. Probar que el ángulo con el cual debe hacerseel disparo para lograr el mayor alcance sobre el
plano se da por θ = 1
2 arccos
gh
v20
+ gh103. Una partı́cula se mueve con rapidez v0 constante,
sobre un riel circular de radio R colocado enposición horizontal sobre una superficie tambinhorizontal. La partı́cula se encuentra atada me-diante una cuerda inextensible a un bloque quecuelga debajo de un agujero localizado a una dis-tancia R/2 del centro del riel. Suponga que v0 essuficientemente pequeño para que la cuerda nose destense:
(a) Determine la rapidez del bloque en funcióndel ángulo θ.
(b) Obtenga la rapidez máxima del bloque.
(c) Determine la aceleración a del bloquecuando la partı́cula que se mueve sobre elriel pasa por la posicin θ=0.
FIG. 50.— Para el problema 103
Resp. (a) v(θ) = sen θ√ 5 + 4 cosθ
v0, (b) vmax = ±v02
k̂, (c)
a(θ = 0) = − v20
3Rk̂
104. Una partı́cula se mueve por el interior de un tubode largo 2R que gira con una velocidad angularconstante ω0. La particula inicia su movimientodesde el punto medio del tubo, desplazndose por
su interior con una rapidez constante v0 respectoal mismo. Determine:
(a) El radio de curvatura de la trayectoria de-scrita, en función del tiempo.
(b) La distancia recorrida por la partı́cula desdeque inicia su movimiento hasta que llega alextremo del tubo.
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 17
FIG. 51.— Para el problema 104
Resp. (a) ρC = v0ω0
1 + ( R
v0+ t)2ω20
3/22 + ( R
v0+ t)2ω20
, (b)
D = LT = t2= Rv00 v0
1 + ( R
v0+ t)2ω20dt
105. Se observa una partı́cula en movimiento con re-specto a un sistema de referencia inercial. Latrayectoria está dada por las siguientes fun-ciones:
ρ = Aekθ , z = hρ
donde r, θ y z son las respectivas coordenadascilı́ndricas (con A, k, h positivos). Suponiendo quesu rapidez es constante (v0) y conocida:
(a) Calcule la velocidad v de la part́ıcula enfunción de θ, A, k, h y v0.
(b) Encuentre su aceleración a en función de losmismos parámetros.
(c) Pruebe que a⊥a.(d) Encuentre una expresión para θ(t).
Resp. (a) ̇r = v0√
k2 + 1 + h2k2(kρ̂ + θ̂ + hkk̂), (b)
a = v20
A exp kθ(k2 + 1 + h2k2)(kθ̂ − ρ̂), (d)
θ(t) = 1
k ln kv0
A√
k2 + 1 + h2k2t + kc
106. Considere una curva espiral descrita en coorde-nadas esf ́ericas por las ecuaciones:
r = R , φ = N θ
donde R y N son constantes conocidas (N en-
tero par). Una partı́cula se mueve sobre la espi-ral partiendo desde el extremo superior (θ=0) ymanteniendo una velocidad angular cenital con-
stante y conocida, θ̇ = ω0. Se pide:
(a) Utilizando coordenadas esf ́ericas, escribalos vectores velocidad y aceleración parauna posición arbitraria de la partı́cula sobresu trayectoria.
(b) Determine el valor del radio de curvatura dela trayectoria en el ecuador (θ= 900).
(c) Encuentre una expresión para la longitudtotal de la espiral y para el tiempo que lapartı́cula tarda en recorrerla. (Indicación:De ser dificil de calcular, puede dejar expre-
sada la integral).
FIG. 52.— Para el problema 106
Resp. (a) v = Rω0(θ̂ + N sen θφ̂); a =
−Rω20(1 + N 2 sen2 θ)r̂ − Rω20N 2 sen θ cos θθ̂ + 2Rω20N cos θφ̂,(b) ρC (θ = π/2) = R, (c) LT = R
π0
√ 1 + N 2 sen2 θdθ;
tf = π
ω0
107. La trayectoria de un punto P, en coordenadascilı́ndricas, se define con:
ρ(t) = ρ0, θ(t) =?, z(t) = h −Bθ(t)Se sabe que θ(t) es una función monótona, θ(0) =
0 y que θ̇(0) = ω0 y donde h, B y ω0 son cantidadespositivas conocidas.
(a) Obtenga las expresiones para los vectoresvelocidad y aceleración en este ejemplo.
(b) Obtenga una expresión para el vector tan-gente t̂ y para la rapidez de P. Comente so-bre los signos de estas cantidades.
(c) Obtenga expresiones para las aceleracionescentrı́peta y tangencial:
a = acent(t) + atg(t)
(d) ¿Cuál esla función θ(t) si se sabe que la acel-eración apunta todo el tiempo perpendicularal eje Z ?
Resp. (a) v = ρ0 θ̇θ̂ − B θ̇k̂; a = −ρ0 θ̇2ρ̂ + ρ0θ̈θ̂ − Bθ̈k̂, (b) t =
ρ0 ρ20 + B
2θ̂ − B
ρ20 + B2
k̂; v(t) = ·θ
ρ20 + B2, (c)
a = θ̈
ρ20 + B2t̂ − ρ0 · θ2ρ̂, (d) θ(t) = ω0t
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108. Una barra rı́gida de largo L se mueve apoyada endos paredes rı́gidas que forman un ángulo rectoentre ellas. Suponga que el ángulo θ = θ(t) esuna función arbitraria del tiempo.
(a) Determine el vector posición r(t), velocidadv(t) y aceleración a(t) del punto medio de labarra.
(b) El radio de curvatura de una trayectoria se
define como ρ = v3
|v ×a| . Calcule el radio decurvatura de esta trayectoria. Interprete elresultado y dibuje la trayectoria.
(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de labarra se mueve con rapidez constante v0 apartir del momento en que la barra estáen la posición vertical. Encuentre la funciónθ(t) que da lugar a ese movimiento.
FIG. 53.— Para el problema 108
Resp. (b) ρC = L
2 , (c) θ(t) = arcsen
v0L
t
109. Considere una curva espiral cónica descrita encoordenadas esf ́ericas por las ecuaciones:
θ = 450,
φ = 2π r
R
donde R es una constante conocida. Una parı́culase mueve sobre la espiral partiendo desde el ori-gen manteniendo una velocidad radial constante
y conocida, ṙ = c. Se pide:
(a) Determine la distancia radial del punto P enel cual la rapidez de la partcula es 3c.
(b) Encuentre una expresión para la longitudtotal de la espiral y para el tiempo que lapartı́cula tarda en recorrerla. Nota: Estábien si deja su solución en términos de unaintegral muy complicada.
(c) Determine el valor del radio de curvatura dela trayectoria en el punto P.
FIG. 54.— Para el problema 109
Resp. (a) r∗ = 2R
π , (b) LT =
t2= 2Rcπ0
c
1 + t2
2π2c2
R2 dt, (c)
ρc = 27R
2√
86π
110. El punto de unión P entre un pistón y una bielade largo D se mueve a lo largo del eje x debidoa que el cigeñal(disco), de radio R y centro en unpunto fijo O, rota a velocidad angular constanteω. En el instante t = 0 la biela está horizontal(φ = 0, x = R + D).
(a) Encuentre una expresión para la distanciax(t) entre P y O como función del tiempo t.
(b) Encuentre la velocidad v(t) de P.
(c) En la expresión para v(t) considere el casoR
D y luego encuentre una expresión
aproximada para la aceleración de P. ¿Cómose compara la magnitud de la aceleraciónmáxima del pistón con la aceleración delpunto A?
FIG. 55.— Para el problema 110
Resp. (a) x(t) = R cos ωt +√
D2 − R2 sen2 ωt, (b)v(t) = −Rω sen ωt
1 +
R cos ωt√ D2 − R2 sen2 ωt
, (c)
v(t) ≈ −Rω sen ωt; a(t) ≈ −Rω2 cos ωt
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111. Suponga que es posible excavar un túnel entredos puntos A y B de la Tierra. La aceleraciónde gravedad (que apunta hacia el centro de laTierra) al interior del túnel tiene una magnitudque es proporcional a la distancia r desde el cen-tro de la Tierra:
| a |= gR
r
donde g es la aceleración de gravedad en la su-perficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra.
Asumiendo que un vehı́culo parte del reposo enel punto A y se mueve sin roce en el interior deltúnel, bajo el efecto de la gravedad, calcule:
(a) El tiempo que requiere para llegar al puntoB, que está a una distancia R del punto A,en lı́nea recta.
(b) La rapidez máxima del movimiento resul-tante.
Nota: Considere que la aceleración real delvehı́culo es la que resulta de tomar la aceleraciónque tendrı́a el cuerpo si no estuviera restringidoa moverse en el túnel y proyectaŕıa en la di-rección del túnel.
FIG. 56.— Para el problema 111
Resp. (a) T = π
R
g , (b) ẋmax =
√ Rg
2
112. Suponga que la posición r de una partı́cula enfunción del tiempo t viene dada por:
r = r(t) = r0cos(t/t0)x̂ + sen(t/t0)ŷcon t0 = 1 min y r0 = 3 cm. ¿Que trayectoriarecorre la part́ıcula?, ¿Cuánto tiempo tarda lapartı́cula en volver al punto de partida?.
113. Un barco a vapor se dirige hacia el sur con unavelocidad vb = 25 km/h en un área donde soplaun viento desde el suroeste con velocidad v0 = 18km/h. Encuentre el ángulo θ0 que forma el humo
emitido por el vapor con la dirección norte—sur(ver figura 57).
FIG. 57.— Para el problema 113
Resp. θ0 = 18.640
114. Considere un disco de radio R = 50 cm que ruedasobre una recta (el eje x̂) con una velocidad angu-lar ω = 2 s−1. Considere un punto P ubicado en elperı́metro del disco, y designe por r al vector queva desde el origen hacia el punto P. Encuentreuna expresión para r = r(t); suponga que en elinstante t = 0 el punto P está en el origen. Haga
FIG. 58.— Para el problema 114
un gráfico de r(t) para el intervalo t ∈ [0 s, 10 s].¿Cuánto tarda la rueda en dar una vuelta com-pleta?
115. Un cañón se encuentra a una distancia D de un
edificio. Encuentre el ángulo de elevación θ0 y lavelocidad v0 de la bala de manera que el proyec-til entre horizontalmente por la ventana que seencuentra a una altura h (ver figura 59).
116. Considere un rı́o de ancho L en el cual el aguafluye con velocidad v0. Un nadador recorre eltrayecto A → B → A, mientras que un segundonada el trayecto C → D → C (ver figura 60). Los
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FIG. 59.— Para el problema 115
puntos C y D están anclados fijamente al fondodel rı́o y la separación entre C y D es la mismaque entre A y B. Si ambos nadan con la mismavelocidad v respecto al agua, ¿quién ganará lacarrera?
FIG. 60.— Para el problema 116
117. Se lanza un proyectil con cierto ángulo de ele-vación θ0. El alcance del proyectil es R (ver figura61). Si se desprecia el roce con el aire, demuestreque la trayectoria viene dada por la ecuación:
y(x) = −tan θ0
R x2
+ x tan θ0
FIG. 61.— Para el problema 117
Note que esta ecuación corresponde a unaparábola. Demuestre también que el ángulo dela tangente en el punto x viene implı́citamentedado por:
tan θ =
1− 2xR
tan θ0
118. Consideremos una turbina hidráulica. Supong-amos que el agua ingresa a la turbina con unavelocidadv, con v = |v| = 15 m/s, formando unángulo con la tangente al rotor en el punto de en-trada α = 300. (ver figura 62). Suponga ademásque el radio externo del rotor es R = 2 m y que,
en su estado estacionario, el rotor gira a 30 RPM(o sea, con frecuencia ν = 0.5 s−1).
La forma de las paletas de un rotor de unaturbina hidráulica es tal que la velocidad rela-tiva entre el agua que ingresa a la turbina y lapaleta en el punto de entrada, sea tangente ala paleta (de esta manera el agua ingresa a laturbina sin choques).
Determine el ángulo β entre la paleta del rotory la tangente al rotor en el punto de entrada deagua. Encuentre también la velocidad relativa vrdel agua (respecto a la paleta) en ese punto.
FIG. 62.— Para el problema 118
Resp. tan β = v sen α
v cos α − 2πRν ; vr = 10.06 m/s
119. Una rueda gira en torno a un eje horizontal a30 rpm (1 rpm = una revolución por minuto=1vuelta por minuto), de manera que su parte infe-rior queda a nivel del suelo, pero sin rozarlo. (Osea, la rueda gira sin rodar).
Sobre el borde de la rueda se han adosado dospiedrecitas, en posiciones diametralmente opues-tas.
(a) Suponga que cuando el diámetro que une alas piedras pasa por la posición horizontal,éstas se desprenden del borde, en forma si-multánea (figura 62a), y una de ellas llegaal suelo antes que la otra. Se observa quedurante el intervalo de tiempo entre la lle-gada al suelo de una y otra piedra, la ruedada una vuelta completa. Determine el radiode la rueda.
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 21
(b) ¿Qué ángulo α debe formar la lı́nea que unea ambas piedras con la vertical para que, silas piedras se desprenden en esa posición,lleguen al suelo al mismo tiempo?
FIG. 63.— Para el problema 119
120. Un globo sonda es soltado desde la tierra y sealeja con velocidad constante en trayectoria recta
la cual forma un ángulo de 300
con la vertical. Lavelocidad del viento con respecto al suelo es de10 km/h, estable, hacia el norte.
(a) Calcule la velocidad del globo respecto alaire.
(b) Calcule el tiempo que tarda el globo en al-canzar una altura de 1 km con respecto alsuelo.
FIG. 64.— Para el problema 120
Resp. (a) 20
√ 3
2 km/h, (b) t∗ 3.46 min
121. Se lanzan dos proyectiles A y B de modo quetienen igual alcance horizontal L. A se lanza hor-izontalmente desde una altura h, que es igual ala altura máxima que alcanza B durante su vuelo(ver figura 63).
(a) Calcule la razón entre los tiempos de vuelode A y B.
(b) Calcule la razón entre las componentes hor-izontales de la velocidad de los proyectiles.
(c) ¿Cuál es la rapidez (magnitud de la veloci-dad) de cada uno de ellos al llegar al suelo?
FIG. 65.— Para el problema 121
Resp. (a) tAtB
= 1
2, (b)
vAxvBx
= 2, (c) |vA(t∗)| =
2gh + L2g
2h y
|vB(t∗)| =
2gh + L2g
8h con t∗ =
2h
g
122. Un juego de niños está compuesto por:
(a) Un pequeño avión A, que puede desplazarsesobre una pista rectilı́nea horizontal x0x,emitiendo radiaciones infrarrojas.
(b) Un pequeño misil M, detector de infrarrojos,que se dirige constantemente hacia el avión,a una velocidad que se puede regular a dosvalores v o 2v.
Al principio situamos el misil M sobre laperpendicular y 0y a la pista x0x, a la dis-tancia d de 0. En el momento en que A pasa
por 0, con la velocidad 1
2v, un dispositivo lib-
era a M.
i. Hallar la ecuación de la trayectoria deM:
• Si su velocidad está regulada alvalor v• Si su velocidad está regulada alvalor 2v
ii. ¿A que distancia de 0 y en qué instante,el misil colisionará con el avión?
Resp. (ia) d(3x − 2d)2 = y(y − 3d)2, (ib)x − 4
15d =
2
5y 4
y
d − 2
3
√ y 4√
yd, (ii) En el caso en que su
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FIG. 66.— Para el problema 122
velocidad sea v, se tedrá pues: x1 = 2
3d, t1 =
4d
3v y en el caso
en que su velocidad sea 2v, se tedrá pues: x2 =
4
15 d,
t2 = 8d
15v
123. Un Paracaidas P, que representaremos por unpunto material P, cae verticalmente con veloci-dad lı́mite v. Un tren pasa por 0, en la verticalde caida de P, en el momento en que P está a unaaltura h.
Determinar la trayectoria de P, respecto a un via- jero que está sentado en el tren, en los tres casossiguientes:
(a) El tren efectúa un movimiento uniforme develocidad V , horizontal
(b) El tren aborda una rampa que forma unángulo constante α con la horizontal, a la
velocidad V = | V |(c) El tren efectúa un movimiento rectilineo
horizontal con aceleración constante a.
Resp. (a) z = h + v
V x ; el viajero, ligado al sistema de
referencia R’, observará, pues, una trayectoria rectilı́nea de
pendiente v/V , (b) z = (vx + V h)cos α
v sen α + V ; Para el viajero, el
movimiento de P sigue siendo rectilineo, (c)
x = − a2v2
z 2 + haz
v2 − ah
2
2v2 ; Para el viajero del tren, el
movimiento de P parecerá parablico.
124. Una partı́cula se mueve de forma tal que lamagnitud del vector posición r es constante. De-mostrar que la velocidad de la partı́cula es per-pendicular a r. Interprete geométricamente esteresultado.
125. Al destapar una botella de champaña el corchosale disparado verticalmente hacia arriba tar-dando t0 segundos en caer hasta la altura inicial.Determine la velocidad con que el corcho salió dela botella. (desprecie el roce con el aire).
126. Se deja caer una pelota de goma desde una alturah sobre el suelo. La rapidez con que la pelota reb-ota es una fracción f (f ≤ 1) de la rapidez con quela pelota impacta el suelo. Calcule la distancia to-tal recorrida por la pelota hasta su detención y eltiempo que tarda en hacerlo.
127. Desde un ascensor de carga cae accidentalmenteun paquete cuando el ascensor se encuentra auna altura h del suelo, moviéndose hacia arriba.Si el ascensor mantiene una rapidez constante v0determine a que altura se encuentra el ascensorcuando el paquete llega al suelo.
128. La aceleración de un bloque que se mueve a lo
largo del eje x se expresa como
a = k√
x
Donde k es una constante positiva. Tanto la rapi-dez v como el desplazamiento x son nulos parat = 0. Determine la aceleración, velocidad yposición del bloque en un instante t cualquiera.
129. Una partı́cula que se desplaza en un medio vis-coso a alta velocidad, experimenta una fuerza defreno que es proporcional al cuadrado de la rapi-dez. Como resultado de lo anterior, la aceleraciónque experimenta la partı́cula cuando se mueveen lı́nea recta en ese medio, a lo largo del eje x se
expresa como
a = −kv2r̂Donde k es una constante. Suponiendo que parat = 0 se tiene que x = 0 y v = v0 determine:
(a) rapidez de la part́ıcula en función de laposición x.
(b) rapidez de la part́ıcula en función deltiempo.
130. Una caja se desplaza hacia arriba sobre un planoinclinado que tiene una pendiente α(ver figura67), como resultado de tirar del extremo D de la
cuerda con una rapidez constante v0 a lo largode la linea CD, a partir del punto C. Determinela rapidez de la caja en cualquier instante t, enfunción de h, v0 y t.
131. El gráfico de la figura 68 muestra la rapidez deuna partı́cula que se desplaza en lı́nea recta, enfunción de su posición en el eje x. Demuestre quela partı́cula nunca llega a la posición x = 30 m.
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 23
FIG. 67.— Para el problema 130
FIG. 68.— Para el problema 131
¿Cuál es la aceleración de la partı́cula en x =18 m?
132. Una partı́cula se mueve a lo largo de un circulode radio b. Si la velocidad de la partı́cula varı́a enel tiempo seg ́un
v(t) = At2
¿Para qué valor, o valores del tiempo el vectoraceleración forma un ángulo de π/4 con el vectorvelocidad ?
133. Encontrar el radio de curvatura (en función deltiempo) de la trayectoria que se asocia a la sigu-iente función itinerario:
r = a + bt + ct2
, si los vectores constantes b y c son ortogonales.
134. El mecanismo que se muestra en la figura 69adjunta transforma un movimiento de rotaciónen uno lineal de traslación. El vástago A, fijo enla barra OA se encuentra a una distancia d deO y desliza en la ranura a medida que el brazoOA gira a una tasa constante de ω0 radianespor segundo, en el sentido indicado por la flecha.
Como consecuencia de este movimiento la barrase mueve verticalmente. Describa el movimientode la barra vertical y en particular determine suaceleración cuando la barra forma un θ = 300 conla vertical.
135. Un disco circular de radio R rueda sin resbalar alo largo del eje x con rapidez constante v0 comose indica en la figura 70. Para t = 0 el punto
FIG. 69.— Para el problema 134
A, en el borde externo del disco, coincide con elorigen. Determine expresiones para los vectoresposición, velocidad y aceleración del punto A.
FIG. 70.— Para el problema 135
136. Una partı́cula se mueve con rapidez constante v0a lo largo de una trayectoria parabólica definidapor la ecuación y = cx2, donde c es una constantepositiva. Encuentre expresiones para la veloci-
dad v y la aceleración a cuando la partı́cula seencuentra en la posición (x0, y0 = cx2
0).
137. Una partı́cula se mueve con rapidez constante v0.a lo largo de la espiral ρ = Aekθ Determine:
(a) vector velocidad en función de ρ y θ.
(b) vector aceleración en funcion de ρ y θ.
(c) demuestre que en todo instante el vectoraceleración es perpendicular al vector ve-locidad.
(d) encuentre el ángulo θ y la velocidad angularen función del tiempo.
138. Se lanza una pelota en dirección perpendicular auna superficie inclinada (que forma un ángulo αcon la horizontal) de modo que cuando rebota lohace con una rapidez v0. Determine la distanciaR donde la pelota golpea nuevamente la superfi-cie inclinada.
139. Usando el mismo cañon, se lanzan en forma suce-siva dos proyectiles, el primero con un ángulo de
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FIG. 71.— Para el problema 138
alza θ1 y luego el otro con un angulo θ2 (θ1 >θ2). Si la rapidez de los proyectiles a la salidadel cañon es v0 y los dos proyectiles llegan si-multáneamente al blanco localizado a una dis-tancia R, determine los ángulos de lanzamiento yel intervalo de tiempo transcurrido entre los dosdisparos.
140. Una partı́cula describe una trayectoria circular
de radio R. El arco que recorre en funci´on deltiempo (t) está descrito por la ecuación
s = R ln(1 + αt)
donde α es una constante positiva. Calcule lascomponentes tangencial y normal de la acel-eración en función del tiempo.
141. Una particula se mueve con rapidez constantev0 sobre la superficie de un cono recto desemiángulo α de modo que la trayectoria que de-scribe forma un ángulo β constante con la gen-eratriz del cono. La partı́cula inicia su movimi-mento a una distancia l0 del véertice del cono.Determine la ecuación de la trayectoria de lapartı́cula, utilizando un sistema de coordenadasesf ́ericas con origen en el vértice de cono.
FIG. 72.— Para el problema 141
142. Una escalera de largo L apoyada en una pared,como se indica en la figura, desliza sobre la su-perficie horizontal. En su caı́da y cuando formaun ángulo θ0 con la superficie horizontal, el ex-tremo inferior de la escalera se mueve con unarapidez v y una aceleración a. Determine, paraese instante, la velocidad y aceleración del ex-tremo superior de la escalera.
FIG. 73.— Para el problema 142
143. Una partı́cula se mueve por el interior de un tubode largo 2R que gira con una velocidad angularconstante ω0. La partı́cula inicia su movimientodesde el punto medio del tubo desplazándose porsu interior con una rapidez constante v0 respectoal mismo. Determine:
(a) el radio de curvatura de la trayectoria de-scrita, en función del tiempo
(b) la distancia recorrida por la partı́cula desdeque inicia su movimiento hasta que llega alextremo del tubo.
FIG. 74.— Para el problema 143
144. Un niño está elevando un volantı́n. En un ciertoinstante éste se encuentra a una altura h sobrela posición del carrete y sube verticalmente conuna rapidez v0. Si en ese instante se han desen-rrollado L metros de hilo, determine con que ve-locidad angular gira el carrete cuyo diámetro r0.
145. Una partı́cula recorre una trayectoria dada porla ecuación
ρ = 10(cos θ + 1), en forma tal que θ = πt
50. Haga un gráfico de la
trayectoria y encuentre expresiones para la ve-locidad y la aceleración de la partı́cula en funcióndel tiempo.
146. Un ventilador de techo, con aspas de largo L, giracon una velocidad angular constante ω0. Las vi-braciones en las aspas provocan que el extremo
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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 25
FIG. 75.— Para el problema 144
de las mismas describan un movimiento verti-cal de modo que el desplazamiento depende delángulo de giro en la forma siguiente
z = d0 sen 2θ
Determine la máxima aceleración que experi-
menta el extremo de cada aspa.
147. Las componentes del vector de posición de unapartı́cula en movimiento, expresadas en compo-nentes cartesianas, son las siguientes:
x = A cos ωt
y = A sen ωt
z = B sen λt
donde A, B, ω y λ son constantes. Encontrar larelación que debe haber entre ω y λ para que elmovimiento ocurra en un plano.
148. Un faro proyecta un haz de luz que rota conuna velocidad angular ω0 en el sentido indicadoen la figura. Determine la rapidez y aceleracióncon que se desplaza la luz proyectada sobre unapared a una distancia h del faro, cuando el hazde luz incide con un ángulo de 450 respecto de lapared.
FIG. 76.— Para el problema 148
149. Considere un sistema formado por dos barras ar-ticuladas de largo L cada una. La barra OA giraalrededor de O y un extremo de la otra barrase mueve horizontalmente fijo al anillo B quedesliza a lo largo de una barra. Determine la ve-locidad angular ω y la aceleración angular α de
la barra OA en función de la velocidad v y la acel-eración a de la pieza B.
FIG. 77.— Para el problema 149
150. Una particula se mueve a lo largo de una trayec-toria espiral cilı́ndrica (ver figura) con una rapi-dez v(t). La distancia desde cualquier punto dela trayectoria al eje de la espiral es R y el ánguloque forma el vector velocidad con el plano per-pendicular al eje de la espiral (α) es constante.Determine en términos de R, v(t) y α:
(a) las componentes de velocidad y aceleraciónen coordenadas cilı́ndricas.
(b) las componentes tangencial y normal de laaceleraci’on.
(c) el radio de curvatura de la trayectoria.
FIG. 78.— Para el problema 150
151. Como una aplicación particular del problema an-terior considere el caso de un automóvil que de-sciende por una rampa (de la forma indicada enla figura del problema 150) en un edificio de esta-cionamiento, con una rapidez constante v0. Si larampa desciende una altura h cada vuelta com-pleta determine la magnitud de la aceleraciónque experimenta el autom’ovil a medida que sedesplaza por la rampa.
152. Una partı́cula se mueve a lo largo de la espiralρ = aθ desde θ = 0, con rapidez constante v0.Determine:
(a) el vector velocidad en función de θ.
(b) el vector unitario t̂ tangente a la trayecto-ria, en función del angulo θ. Obtenga unaexpresión para el camino recorrido s enfunción del tiempo.
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(c) calcule la aceleracion a en función de θ.
(d) determine el vector n̂ normal a la trayecto-ria, en función de θ y obtenga una expresiónpara el radio de curvatura ρc en función deθ.
(e) verifique que la aceleración es siempre per-pendicular a la velocidad.
153. Una partı́cula de masa m y carga eléctrica q quese mueve a lo largo del eje x, con rapidez v0 îentra en una región del espacio de ancho L. Enesta región existe un campo magnético constante
del tipo B0 = B0 ˆ j el cual ejerce una fuerza F =qv× B0 sobre la partı́cula. Suponga en el análisisque la fuerza gravitacional es muy pequeña com-parada con la fuerza magnética.
(a) demuestre que la magnitud de la velocidades constante durante el movimiento.
(b) determine la trayectoria que sigue lapartı́cula mientras que se mueve en laregión donde actúa el campo magnético yanalice los casos posibles dependiendo de lamagnitud de L.
FIG. 79.— Para el problema 153
154. Un disco de radio R rueda sin deslizar sobreuna superficie horizontal, de modo que su cen-tro avanza en dirección x con rapidez constantev0. En la posición inicial el centro del disco se en-cuentra en x = 0. Considere una partı́cula fijaal disco en el punto A, situado a una distanciaa < R de su centro y calcule:
(a) los vectores de posición, velocidad y acel-eración del punto A, en función del tiempo,en el sistema de coordenadas cartesianas in-dicado en la figura.
(b) el radio de curvatura de la trayectoria delpunto A cuando pasa por los puntos másbajo y más alto (mı́nimo y máximo de y).
FIG. 80.— Para el problema 154
155. El vector posición de una partı́cula, en funciondel tiempo (función itinerario) esta dado por:
r(t) = R cos ω0t î + R sen ω0t ̂j + ct k̂
donde R, ω0 y c son constantes, y t es el tiempo.Determine:
(a) rapidez de la part́ıcula en función deltiempo, y las componentes tangencial y nor-mal de su aceleración.
(b) radio de curvatura de la trayectoria, enfunción del tiempo.
(c) ¿qué relacion debe existir entre ω0 y c, paraque el movimiento ocurra sobre un plano?
156. En un rodamiento el radio del eje es R y el radiode cada esfera es a. El eje gira con una veloci-dad angular constante ω0 ,mientras que la paredexterior P se encuentra en reposo. Si las esferasruedan sin resbalar en el eje y en la pared exte-rior, determine:
(a) rapidez del centro de cada esfera.(b) velocidad angular de rotación de cada esfera
con respecto a su centro.
FIG. 81.— Para el problema 156
157. Un globo asciende desde el suelo a una veloci-dad vertical v0 Debido al viento el globo adquiere
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una componente horizontal de velocidad vx = kz, donde k es una constante y z es la altura sobreel terreno. Si se coloca el origen del sistema decoordenadas en el punto de lanzamiento, deter-mine:
(a) trayectoria del globo y su vector de posiciónen función del tiempo.
(b) las componentes tangencial y normal de laaceleración en función de la altura “z”.
FIG. 82.— Para el problema 157
158. Una barra de largo L se encuentra apoyada so-bre un semi-cilindro de radio R, como se indicaen la figura. El extremo inferior de la barra esforzado a moverse con rapidez constante v0 haciala derecha. Determine la velocidad y aceleracióndel extremo superior de la barra en el instantecuando su extremo inferior se encuentra a unadistancia 2R del eje del semi-cilindro y el ánguloque forma la barra con la horizontal es α.
FIG. 83.— Para el problema 158
159. Desde un avión que vuela con una velocidad v0en dirección horizontal y a una altura H sobreel suelo, se suelta un objeto. Si se asume que elroce viscoso con el aire es despreciable frente a lafuerza gravitacional, determine:
(a) ecuación de la trayectoria con respecto alsistema de referencia fijo indicado en lafigura.
(b) aceleracin tangencial y normal en funcióndel tiempo
(c) radio de curvatura en función del tiempo
FIG. 84.— Para el problema 159
160. Una partı́cula describe una trayectoria plana conuna rapidez proporcional a la distancia al origen
(ρ), siendo k la constante de proporcionalidad, ycon una velocidad angular constante ω0 en tornoal origen. En el instante inicial, la distancia alorigen es ρ0, θ = 0 y la componente radial de lavelocidad es positiva. Determine:
(a) ecuación de la trayectoria en un sistema decoordenadas polares.
(b) demuestre que la aceleración es propor-cional a la distancia de la partı́cula al ori-gen.
(c) determine las componentes tangencial ynormal de la aceleración en función deltiempo.
161. Una partı́cula describe la trayectoria parabólicadescrita por la ecuacion xy = a, manteniendouna rapidez constante v0. Calcule los siguientesparámetros cuando la partı́cula pasa por el puntomas cercano al origen de las coordenadas:
(a) componentes cartesianas de la velocidad
(b) componente de aceleración segun el eje x
(c) componente de aceleración a lo largo de latrayectoria y perpendicular a ella.
(d) radio de curvatura de la trayectoria en esepunto
162. Considere una partı́cula que se mueve en unplano de modo tal que la componente de su acel-eración perpendicular al radio vector es nula(aθ = 0).
(a) demuestre que bajo estas condiciones secumple que el producto entre el cuadrado dela magnitud del radio vector y la velocidadangular es constante.
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(b) si la trayectoria de la part́ıcula quedadescrita por la ecuación: ρ(θ) = (2 −cos θ)−1(elipse) demuestre que la compo-nente radial de la aceleración es propor-cional a ρ−2.
163. Una partı́cula parte desde el reposo en el origeny recibe una aceleración
a = k
(x + 4)2,
donde a y x se expresan en m/s2 y m, respecti-vamente, y k es una constante. Si se sabe quela velocidad de la partı́cula es de 4 m/s cuandox = 8 m, determine:
(a) El valor de k
(b) La posición de la partı́cula cuando v =4.5 m/s
(c) La velocidad máxima de la partı́cula.
164. Durante las pruebas realizadas a una nueva lan-cha salvavidas, un acelerómetro adherido a lalancha proporciona el registro que se muestra enla figura 85. Si la lancha tiene una velocidad de
7.5 ft/s en t = 0 y llega al reposo en el tiempo t1,determine:
(a) El tiempo t1
(b) La distancia que recorre la lancha antes dequedar en reposo.
FIG. 85.— Para el problema 164
E s m e j o r n
o p e n s a r e
n e l fi n a l, s
i n o ¿ c o m o
l l e g a m o s
a l fi n a l ?
A u t o r : E v
a r i s t o( E =
mc 2 )