pravdepodobnos a ttistikaa - frcatel.fri.uniza.sk filerozumie´ dvojrozmerný náhodný vektor. doc....

PRAVDEPODOBNOS A TATISTIKA

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

doc. RNDr. tefan Pe²ko, CSc.

Katedra matematických metód a opera£nej analýzy, FRI U

11. apríla 2018

doc. RNDr. tefan Pe²ko, CSc. PRAVDEPODOBNOS A TATISTIKA

Náhodný vektor

Nech je daný pravdepodobnostný priestor (Ω,F ,P) a nechX1,X2, . . . ,Xn sú náhodné premenné denované na tomtopriestore. Potom n rozmerným náhodným vektorom rozumiemeusporiadanú n-ticu X = (X1,X2, . . . ,Xn).

Poznámka:Obmedzíme sa len na ²túdium vz´ahov medzi dvoma náhodnýmipremennými t.j. budeme sa zaobera´ dvojrozmerným náhodnýmvektorom s tým, ºe získané poznatky sa dajú ;-) jednoduchozov²eobecni´ na viacrozmerný náhodný vektor.

Dohoda:alej pod pojmom náhodný vektor budeme v tejto predná²kerozumie´ dvojrozmerný náhodný vektor.


Zdruºená distribu£ná funkcia

Zdruºenou distribu£nou funkciou náhodného vektora (X ,Y )nazývame reálnu funkciu F : <2 → < denovanú rovnos´ou

FX ,Y (x , y) = P([X < x ] ∩ [Y < y ]). (1)

Dohoda:Pre P([X < x ] ∩ [Y < y ]) budeme pouºíva´ skrátený zápisP(X < x ,Y < y).

Poznámka:Zápis (1) znamená, ºe hodnota distribu£nej funkcie v bode (x , y)sa rovná pp., ºe náhodná premenná X je men²ia neº x a sú£asnenáhodná premenná Y je men²ia neº y .


Vlastnosti distribu£nej funkcie

Tvrdenie 14Distribu£ná funkcia FX ,Y náhodného vektora (X ,Y ) je funkcia

a) kde ∀(x , y) ∈ <2 platí

0 ≤ FX ,Y (x , y) ≤ 1. (2)

b) neklesajúca v oboch premenných t.j. ∀x1, x2, y1, y2 ∈ <

FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) ak x1 < x2, y1 < y2. (3)

c) z©ava spojitá v oboch premenných t.j. ∀(a, b) ∈ <2 platí

limx→a−

y→b−

FX ,Y (x , y) = FX ,Y (a, b). (4)

d)lim

x→−∞y→−∞

FX ,Y (x , y) = 0, limx→∞y→∞

FX ,Y (x , y) = 1. (5)


Vlastnosti distribu£nej funkcie

Tvrdenie 15Nech (X ,Y ) je náhodný vektor ur£ený distribu£nou funkciu FX ,Y a(a, b), (c , d) intervaly. Potom

(i) P(a < X ≤ b,Y ≤ d) = FX ,Y (b, d)− FX ,Y (a, d),

(ii) P(X ≤ b, c < Y ≤ d) = FX ,Y (b, d)− FX ,Y (b, c),

(iii) P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) =

= FX ,Y (b, d)− FX ,Y (a, d) + FX ,Y (a, c)− FX ,Y (b, c).


Zdruºená pravdepodobnostná funkcia

Zdruºenou pravdepodobnostnou funkciou náhodného vektora(X ,Y ) diskrétnych náhodných premenných nazývame reálnufunkciu pX ,Y : <2 → < denovanú rovnos´ou

pX ,Y (xi , yj) = P(X = xi ,Y = yj), (6)

pre nanajvý² po£ítate¨ný po£et hodnôt xi resp. yj náhodnejpremennej X resp. Y pre ktorú platí∑

i

∑j

P(X = xi ,Y = yj) = 1. (7)

Poznámka: V prípade kone£ného po£tom hodnôt sa £asto funkciapX ,Y (x , y) reprezentuje tabu©kou

x ; y y1 y2 y3 . . . ynx1 p(x1, y1) p(x1, y2) p(x1, y3) . . . p(x1, yn)x2 p(x2, y1) p(x2, y2) p(x2, y3) . . . p(x2, yn): : : : . . . :

xm p(xm, y1) p(xm, y2) p(xm, y3) . . . p(xm, yn)


Príklad 5.1Budeme tri krát hádza´ spravodlivou mincou. Nech premenná Xudáva po£et pokusov pred prvým hodom znaku a premenná Ypo£et po sebe idúcich znakov. Zostavte tabu©ku pX ,Y .

Ozna£me H-hlava a Z-znak. Môºe nastat 8 rôznych výsledkov hodu- náhodných udalostí: HHH,ZHH,HZH,ZZH,HHZ,ZHZ,HZZ,ZZZ.Ak je výsledok hodu HHH, potom X = 0,Y = 0; ak HHZ potomX = 2,Y = 1, at¤. Náhodné veli£iny môºu nadobúda´ hodnotyX ∈ 0, 1, 2 a Y ∈ 0, 1, 2, 3 ako vidie´ z tejto tabu©ky:

x ; y 0 1 2 30 HHH ZHH,ZHZ ZZH ZZZ1 - HZH HZZ -2 - HHZ - -

Tabu©ka 1: Výsledky hodov priaznivých hodnotám (X ,Y )


Jedná sa o hody spravodlivou mincou a tak P(H) = P(Z ) = 0.5Výsledky hodov sú nezávislé, P(HHH) = · · · = P(ZZZ ) = 0.53.Náhodné udalosti ZHH a ZHZ sú disjunktné, preto

P(ZHH ∪ ZHZ ) = P(ZHH) + P(ZHZ ) = 0.25.

x ; y 0 1 2 30 0.125 0.25 0.125 0.1251 0 0.125 0.125 02 0. 0.125 0 0

Tabu©ka 2: Tabu©ka zdruºených pravdepodobností vektora (X ,Y )

ahko overíme, ºe podobne ako pre náhodnú premennú aj prenáhodný vektor platí

0 ≤ pX ,Y (x , y) ≤ 1,2∑

x=0

3∑y=0

pX ,Y (x , y) = 1.


Zdruºená distribu£ná funkcia diskrétneho náhodného vektora

Zdruºenou distribu£nou funkciou náhodného vektora (X ,Y )diskrétnych náhodných premenných rozumieme reálnu funkciuFX ,Y : <2 → < denovanú rovnos´ou

FX ,Y (x , y) =∑xi<x

∑yj<y

pX ,Y (xi , yj), (8)

kde xi resp. yj sú prípustné hodnoty náhodnej premennej X resp. Y.


Príklad 5.1 pokra£ovanie

Zostavte tabu©ku FX ,Y z tabu©ky pX ,Y náhodného vektora (X ,Y ).

Z odvodenej tabu©ky pX ,Y

x ; y 0 1 2 30 0.125 0.25 0.125 0.1251 0 0.125 0.125 02 0 0.125 0 0

Tabu©ka 3: Tabu©ka zdruºených pravdepodobností pX ,Y

vypo£ítame pod©a vz´ahu (8) tabu©ku FX ,Y

x ; y (−∞, 0〉 (0, 1〉 (1, 2〉 (2, 3〉 (3,∞)

(−∞, 0〉 0 0 0 0 0(0, 1〉 0 0.125 0.375 0.5 0.625(1, 2〉 0 0.125 0.5 0.750 0.875

(2,∞) 0 0.125 0.625 0.875 1

Tabu©ka 4: Tabu©ka zdruºenej distribu£nej funkcie FX ,Y


Zdruºená hustota pravdepodobnosti a zdruºená distribu£ná

funkcia spojitého náhodného vektora

Zdruºenou hustotou pravdepodobnosti náhodného vektora (X ,Y )spojitých náhodných premenných nazývame nezápornú,integrovate©nú reálnu funkciu fX ,Y : <2 → < pre ktorú platí∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

fX ,Y (x , y)dxdy = 1. (9)

Zdruºenou distribu£nou funkciou náhodného vektora (X ,Y )spojitých náhodných premenných rozumieme reálnu funkciuFX ,Y : <2 → < denovanú rovnos´ou

FX ,Y (x , y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞fX ,Y (u, v)dudv , (10)

ak existuje hustota pravdepodobnosti fX ,Y (x , y).


Príklad 5.2Majme náhodný vektor (X ,Y ) so zdruºenou funkciou hustoty

fX ,Y (x , y) =

α(x + y) ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,0 iná£.

Ur£te kon²tantu α a zostrojte distribu£nú funkciu FX ,Y .

Z podmienky (9) a z nezáporných hodnôt hustoty dostaneme

1 =

∫ 1

0

∫ 1

0α(x + y)dxdy = α

∫ 1

0

[ ∫ 1

0(x + y)dy

]dx

= α

∫ 1

0

[xy +

y2

2

]y=1

y=0dx = α

∫ 1

0

(x +

12

)dx =

= α[x22

+x

2

]10

= α.

Aby bola funkcia fX ,Y (x , y) zdruºenou hustotou pp., musí α = 1.


Z denície distribu£nej funkcie (10) dostaneme pre premenné0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

FX ,Y (x , y) =

∫ x

0

∫ y

0(u + v)dudv =

∫ x

0

[ ∫ y

0(u + v)dv

]du

=

∫ x

0

[uv +

v2

2

]v=y

v=0du ==

∫ x

0

(uy +

y2

2

)du

=[u2y

2+

y2u

2

]x0

=xy

2(x + y).

a tak

FX ,Y (x , y) =

0 ak x ≤ 0 alebo y ≤ 0,xy2 (x + y) ak 0 < x ≤ 1 a 0 < y ≤ 1,x2 (x + 1) ak 0 < x ≤ 1 a y ≥ 1,y2 (1 + y) ak 0 < y ≤ 1 a x ≥ 1,1 ak x > 1 a y > 1,


Marginálne distribu£né funkcie

Ak je FX ,Y zdruºená distribu£ná funkcia náhodného vektora (X ,Y ),potom marginálnou distribu£nou funkciou náhodnej premennej Xresp. Y rozumieme distribu£né funkcie FX resp. FY ur£ené vz´ahmi

FX (x) = P(X < x) = limy→∞

FXY (x , y), x ∈ <, (11)

FY (y) = P(Y < y) = limx→∞

FXY (x , y), y ∈ <. (12)


Marginálne rozdelenie diskrétneho náhodného vektora

Ak je pX ,Y (x , y), x ∈ HX , y ∈ HY zdruºená pravdepodobnostnáfunkcia náhodného vektora (X ,Y ), potom marginálnoupravdepodobnostná funkciou náhodnej premennej X resp. Yrozumieme pravdepodobnostné funkcie pX resp. pY ur£ené vz´ahmi

pX (x) = P(X = x) =∑y∈HY

pX ,Y (x , y), x ∈ HX , (13)

pY (y) = P(Y = y) =∑x∈HX

pX ,Y (x , y), y ∈ HY . (14)

Poznámka:Ke¤ zadáme zdruºenú pravdepodobnostnú funkciu pX ,Y tabu¨kou,potom riadkovým sú£tom zodpovedajú pp. pX a st¨pcovým sú£tomzodpovedajú pp. pY .



Doplníme tabu©ku pX ,Y o riadkové a st¨pcové sú£ty pp. adostaneme

x ; y 0 1 2 3 pX0 0.125 0.25 0.125 0.125 0.6251 0 0.125 0.125 0 0.252 0 0.125 0 0 0.125

pY 0.125 0.5 0.25 0.125 1

Tabu©ka 5: Marginálne pravdepodobnosti pX , pY v tabu¨ke pX ,Y

Marginálne distribu£né funkcie FX ,FY

FX (x) =

0 ak x ≤ 0,0.625 ak 0 < x ≤ 1,0.875 ak 1 < x ≤ 2,1 ak x > 2.

FY (y) =

0 ak y ≤ 0,0.125 ak 0 < y ≤ 1,0.625 ak 1 < y ≤ 2,0.875 ak 2 < y ≤ 3,1 ak x > 3.


Marginálne rozdelenie spojitého náhodného vektora

Ak je fX ,Y (x , y) zdruºená hustota pravdepodobnosti náhodnéhovektora (X ,Y ), potom marginálnou distribu£ná funkciou náhodnejpremennej X resp. Y rozumieme pravdepodobnostné funkcie FXresp. FY ur£ené vz´ahmi

FX (x) = P(X < x) =

∫ x

−∞

∫ ∞−∞

fX ,Y (u, v)dudv , (15)

FY (y) = P(Y < y) =

∫ ∞−∞

∫ y

−∞fX ,Y (u, v)dudv . (16)

Marginálna hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej X resp.Y je denovaná takto

fX (x) =

∫ ∞−∞

fX ,Y (x , y)dy , x ∈ <, (17)

fY (y) =

∫ ∞−∞

fX ,Y (x , y)dx , y ∈ <. (18)



Máme náhodný vektor (X ,Y ) so zdruºenou funkciou hustoty

fX ,Y (x , y) =

x + y ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,0 iná£.

Ur£te marginálne distribu£né funkcie a hustoty pravdepodobnosti.

V intervale 〈0, 1〉 máme pod©a vz´ahov (17) a (18)

fX (x) =

∫ ∞−∞

fX ,Y (x , y)dy =

∫ 1

0(x + y)dy =

[xy +

y2

2

]y=1

y=0= x +

12,

fY (y) =

∫ ∞−∞

fX ,Y (x , y)dx = y +12.

a tak

fX (x) =

x + 1

2 ak 0 < x ≤ 1,0 iná£.

fY (y) =

y + 1

2 ak 0 < y ≤ 1,0 iná£.


Pod©a vz´ahov (15) a (16)

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t)dt =

∫ x

0

(t +

12

)dt =

[ t22

+t

2

]t=x

t=0=

x

2(x + 1),

FY (y) =

∫ y

−∞fX ,Y (x , y)dx =

y

2(y + 1).

a tak

FX (x) =

0 ak x ≤ 0,x2

(x + 1) ak 0 < x ≤ 1,1 ak x > 1.

FY (y) =

0 ak y ≤ 0,y2

(y + 1) ak 0 < y ≤ 1,1 ak x > 1.

Pre 0 ≤ x ≤ 1 platí (11) a (12)

FX (x) = limy→∞

FX ,Y (x , y) = limy→1

xy

2(x + y) =

x

2(x + 1)

a analogicky pre FY (y).


Podmienené rozdelenia

Nech je (X ,Y ) diskrétny náhodný vektor so zdruºenoupravdepodobnostnou funkciou pX ,Y . Podmienenépravdepodobnostné rozdelenie náhodnej premennej X pripodmienke Y = y je ur£ené podmienenou pravdepodobnostnoufunkciou

pX ,Y (x |y) = P(X = x |Y = y) =pXY (x , y)

pY (y), ak pY (y) > 0. (19)

Nech je (X ,Y ) je náhodný vektor so zdruºenou hustotoupravdepodobnosti fX ,Y . Podmienené pravdepodobnostné rozdelenienáhodnej premennej X pri podmienke Y = y je ur£enépodmienenou hustotou pravdepodobnosti

fX ,Y (x |y) =fXY (x , y)

fY (y), ak fY (y) > 0. (20)



Odvodili sme tabu©ku

x ; y 0 1 2 30 0.125 0.25 0.125 0.1251 0 0.125 0.125 02 0 0.125 0 0

pY 0.125 0.5 0.25 0.125

Tabu©ka 6: Marginálna pY v tabu©ke zdruºenej pX ,Y

Potom pomocou vz´ahu (19) dostaneme

pX ,Y (x |y) 0 1 2 30 1 1

212 1

1 0 14

12 0

2 0 14 0 0

Tabu©ka 7: Tabu©ka podmienenej pravdepodobnostnej funkcie pX ,Y



Pre náhodný vektor (X ,Y ) se vypo£ítali

fX ,Y (x , y) =

x + y ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,0 iná£.

fX (x) =

x + 1

2 ak 0 < x ≤ 1,0 iná£.

fY (y) =

y + 1

2 ak 0 < y ≤ 1,0 iná£.

Pod©a vz´ahu (20) dostávame

fX ,Y (x |y) =

2 x+y2y+1 ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

0 iná£.

fX ,Y (y |x) =

2 x+y2x+1 ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,

0 iná£.


Podmienená stredná hodnota a regresná funkcia

Podmienenou strednou hodnotou diskrétneho resp. spojitéhonáhodného vektora rozumieme funkciu

E(Y |X = xi ) =∑j

yjpX ,Y (yj |xi )

resp.

E(Y |X = x) =

∫ ∞−∞

yfX ,Y (y |x)dy .

Podmienená stredná hodnota náhodnej premennej Y závisí nahodnotách náhodnej premennej X , nazýva sa regresná funkcia.


Príklad 5.3Nech má náhodný vektor (X ,Y ) zdruºenú hustotu

fX ,Y (x , y) =

23 ak 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x ,0 iná£.

Nájdite regresnú funkciu.

Regresná funkcia je podmienená stredná hodnota náhodnej premennej Yza podmienky, ºe náhodná premenná X nadobudla niektorú z mnoºinysvojich moºných hodnôt.

y(x) = E(Y |X = x) =

∫ ∞−∞

yfX ,Y (y |x)dy ,

fX (x) =

∫ ∞−∞

fX ,Y (y |x)dy =

∫ x

0

23dy =

23x ,

fX ,Y (y |x) =fX ,Y (x , y)

fX (x)=

2

3

2

3x

=1x, 1 ≤ x ≤ 2,

a tak y(x) =∫ x

0y 1

x dy = x2, 1 ≤ x ≤ 2.


Nezávislos´ náhodných premenných

O dvoch náhodných premenných X a a Y hovoríme, ºe súnezávislé, ak pre kaºdé dva intervaly A a B platí

P(X ∈ A,Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B). (21)

Premenné náhodného vektora (X ,Y ) nazývame nezávislé, ak

FX ,Y (x , y) = FX (x)FY (y), (22)

pre kaºdý bod (x , y) t.j. pre diskrétny vektor platí

pX ,Y (x , y) = pX (x)pY (y) (23)

a pre spojitý vektor platí

fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y). (24)



Pre 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 je

fX ,Y (x , y) = x + y 6=(x +

12

)(y +

12

)= fX (x)fY (y).

A tak premenné X a Y náhodného vektora (X ,Y ) nie sú nezávislé.


Príklad 5.4Moºno :-) odvodi´, ºe v náhodnom vektore (X ,Y ), ktorý mánenulové hodnoty pre x > 0, y > 0 hustoty pp.

fX ,Y (x , y) = 4xye−x2−y2 ,

fX (x) = 2xe−x2,

fY (y) = 2ye−y2.

sú premenné X a Y nezávislé, lebo platí (24)

fX ,Y (x , y) = fX (x)fY (y).


Stredná hodnota funkcie náhodného vektora

Nech je (X ,Y ) diskrétny náhodný vektor so zdruºenoupravdepodobnostnou funkciou pX ,Y ,X ∈ HX ,Y ∈ HY . Nechg : HX × HY → < je reálna funkcia. Strednou hodnotou funkcieg(X ,Y ) rozumieme sú£et

E(g(X ,Y )) =∑x∈HX

∑y∈HY

g(x , y)pX ,Y (x , y). (25)

Nech je (X ,Y ) je náhodný vektor so zdruºenou hustotoupravdepodobnosti fX ,Y . Nech g : <2 → < je reálna funkcia.Strednou hodnotou funkcie g(X ,Y ) rozumieme integrál

E(g(X ,Y )) =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x , y)fX ,Y (x , y)dxdy , (26)

pokia© daný integrál existuje.


Príklad 5.5Majme náhodný vektor (X ,Y ) ur£ený zdruºenou hustotou pp.

fX ,Y (x , y) =

1− (x + y)/3 ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2,0 iná£.

Chceme nájs´ E(XY ).

E(XY ) =

∫1

0

∫2

0

xy(1− x + y

3

)dxdy =

13

∫1

0

[ ∫ 2

0

(3xy − x2y − xy2)dy]dx

=13

∫1

0

[3xy22− x2y2

2− xy3

3)]y=2

y=0

dx =13

∫1

0

(6x − 2x2 − 8x

3

)dx

=13

[3x2 − 2x3

3− 4x2

3

]10

=13

(3− 2

3− 4

3

)=

13.


Zmie²ané momenty náhodného vektora

Po£iato£ným momentom νr ,s (r , s)-tého rádu náhodného vektora(X ,Y ) rozumieme hodnotu

νrs = E(X rY s). (27)

Centrálnym momentom µr ,s (r , s)-tého rádu náhodného vektora(X ,Y ) rozumieme hodnotu

µrs = E((X − E(X ))r (Y − E(Y ))s). (28)


Významné momenty

Po£iato£né momenty náhodného vektora (X ,Y ), v ktorých je jedenindex rovný 1 a druhý 0, zodpovedá stredným hodnotámjednotlivých premenných

ν1,0 = E(X ), ν0,1 = E(Y ). (29)

Centrálne momenty náhodného vektora (X ,Y ), v ktorých je jedenindex rovný 2 a druhý 0, zodpovedá rozptylom jednotlivýchpremenných

µ2,0 = D(X ), µ0,2 = D(Y ). (30)

Marginálnymi momentami náhodného vektora (X ,Y ) rozumiemestrednú hodnotu náhodného vektora (E(X ),E(Y )) a disperziunáhodného vektora (D(X ),D(Y )).


Kovariancia

Pod kovarianciou premených náhodného vektora (X ,Y ) rozumiemecentrálny moment v ktorom sú oba indexy 1. Ozna£ujeme ju

cov(X ,Y ) = µ1,1 = E((X − E(X ))(Y − E(Y ))). (31)

Vlastnosti:

1) cov(X ,Y ) = cov(Y ,X ),

2) cov(X ,X ) = D(X ), cov(Y ,Y ) = D(Y ),

3) cov(aX , bY ) = abcov(X ,Y ) pre ©ubovo©né a, b ∈ <,4) cov(X + a,Y + b) = cov(X ,Y ) pre ©ubovo©né

a, b ∈ <.Kovarian£nou maticou C rozumieme maticu

C =

(D(X ) cov(X ,Y )

cov(Y ,X ) D(Y )

).


Koecient korelácie

Koecientom korelácie rozumieme podiel

ρ(X ,Y ) =cov(X ,Y )√D(X )D(Y )

, (32)

je bezrozmernou charakteristikou, ktorá vyjadruje mieru lineárnejzávislosti premenných X a Y . Ak ρ(X ,Y ) = 0, potom hovoríme, ºepremenné X a Y sú nekorelované.Vlastnosti:

1) −1 ≤ ρ(X ,Y ) ≤ 1,2) ρ(X ,X ) = ρ(Y ,Y ) = 1,3) ρ(X , a) = ρ(Y , b) = 0 pre ©ubovo©né a, b ∈ <,4) ak |ρ(X ,Y )| = 1 potom pre ©ubovo©né

a, b ∈ <, a 6= 1 je Y = aX + b.Korela£nou maticou R rozumieme maticu

C =

(1 ρ(X ,Y )

ρ(Y ,X ) 1

).


Alternatívne vyjadrenie kovariancie

Tvrdenie 15Nech sú X a Y náhodné premenné také, ºe existujú E(X ),E(Y ) aE(XY ). Potom platí

cov(X ,Y ) = E(XY )− E(X )E(Y ). (33)

Dôkaz:

cov(X ,Y ) = E((X − E(X ))(Y − E(Y ))

= E(XY − E(X )Y − XE(Y ) + E(X )E(Y ))

= E(XY )− E(X )E(Y )− E(X )E(Y ) + E(X )E(Y )

= E(XY )− E(X )E(Y ).


Príklad 5.6Majme náhodný vektor (X ,Y ) ur£ený zdruºenou hustotou pp.

fX ,Y (x , y) =

x + y ak 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,0 iná£.

Chceme nájs´ korela£nú a kovaria£nú maticu.

Pre výpo£et cov(X ,Y ) pod©a (33) najskôr vypo£ítame marginálnuhustotu fX (x) =

∫1

0(x + y)dy = x + 1

2pre x ∈ 0, 1. Odtia©

E(X ) =∫1

0x(x + 1

2)dx = 7

12. E(X 2) =

∫1

0x2(x + 1

2)dx = 5

12a

D(X ) = E(X 2)− E(X )2 = 11

144, E(XY ) =

∫1

0

∫1

0xy(x + y)dxdy = 1

3. Zo

symetrie zdruºenej hustotu dostaneme tie isté charakteristiky aj pre n.p.Y a tak máme

C =

(11

144− 1

144

− 1

144

11

144

), R =

(1 − 1

11

− 1

111

).


Príklad 5.7

Náhodná premenná X má hustotu pp. fX (x) = 1√2πe−

x2

2 , x ∈ <.Nech náhodná premenná Y = X 2. Vypo£ítajte cov(X ,Y ).

Náhodná premenná X ∼ N(0, 1) a tak E(X ) = 0.

cov(X ,Y ) = E(XY )− E(X )E(Y ) = E(X 3)− E(X )E(X 2) =

= E(X 3)− 0 · E(X 2) = E(X 3) =1√2π

∫ ∞−∞

x3e−x2

2 dx .

Ale funkcia x3e−x2

2 je nepárna a tak cov(X ,Y ) = 0.

Poznámka:Máme príklad kedy cov(X ,Y ) = 0 hoci X a Y sú závislé premenné.


Tvrdenie 16Nech sú náhodné premenné X a Y nezávislé. Potom ρ(X ,Y ) = 0.

Dôkaz:Ak sú náhodné premenné X a Y nezávislé, potomE(XY ) = E(X )E(Y ). Pod©a tvrdenia 15 je ale

cov(X ,Y ) = E(XY )− E(X )E(Y ) = 0

a tak pod©a denície je ρ(X ,Y ) = 0.

Poznámka:Ak ρ(X ,Y ) 6= 0 potom medzi premennými X a Y musí existova´nejaká závislos´.


Aditivita disperzie

Príklad 5.5Majme náhodný vektor (X ,Y ), pre ktorý existuje (E(X ),E(Y )).H©adáme D(X + Y ).

D(X + Y ) = E((X + Y )2)− E2(X + Y )

= E(X 2 + Y 2 + 2XY )− (E(X ) + E(Y ))2

= E(X 2) + E(Y 2) + 2E(XY )

− E(X )2 − E(Y )2 − 2E(X )E(Y )

= D(X ) + D(Y ) + 2(E(XY )− E(X )E(Y ))

= D(X ) + D(Y ) + 2cov(X ,Y ).


Cvi£enie

5.1 (3b) Majme náhodný vektor (X ,Y ) so zdruºenou funkciouhustoty fX ,Y (x , y) = (1− e−λx)(1− e−µx) pre x ≥ 0, y ≥ 0.Vypo£ítajte a) FX ,Y (x , y), b) P(1 ≤ X ≤ 2, 3 ≤ Y ≤ 4),c) FX (x),FY (y), d) Platí FX ,Y (x , y) = FX (x) · FY (y)?

5.2 (4b) Nech D je zjednotenie pravej hornej a ©avej dolnej ²tvrtinyjednotkového ²tvorca. a) denujte hustotu fX ,Y (x , y) adistribu£nú funkciu FX ,Y (x , y) rovnomerného rozdelenia namnoºine D, b) vypo£ítajte P((X ,Y ) ∈ 〈a, b〉 × 〈c , d〉).

5.3 (5b) Nech má zdruºená hustota pp. (X ,Y ) tvar

fX ,Y (x , y) =

c(x2 + y2) ak 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b,0 iná£.

Ur£te a) c ako funkciu a, b; b) marginálne hustoty pre X a Y ,c) podmienené hustoty fX (x |y) a fY (y |x) d) FX ,Y (x , y).

5.4 (5b) Overte, ºe E(aX + bY ) = aE(X ) + bE(Y ).


pravdepodobnos a ttistikaa - frcatel.fri.uniza.sk filerozumie´ dvojrozmerný náhodný vektor. doc....

Documents