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PRESIÓN, MECÁNICA DE FLUIDOS 1 Concepto de presión

Es muy corriente que las fuerzas se ejerzan sobre una superficie. Dependiendo de la intensidad de la fuerza (modulo) y de la extensión de la superficie donde actúe, el efecto de dicha fuerza podrá ser mayor o menor. Por esto, se define una nueva magnitud física, la presión (P), como la fuerza ejercida (perpendicularmente) sobre una superficie, por unidad de área (o superficie):

P = F S

(1)

La unidad de presión en el S.I es el N/m2 que recibe el nombre de pascal (en honor de Blas Pascal) y se abrevia como Pa.

La presión nos da una medida de la capacidad para deformar, que tiene una fuerza que está actuando sobre una superficie. A mayor presión, el efecto “deformador” será mayor.

Ejemplos:

• La fuerza ejercida sobre un cuchillo se concentra en una superficie muy pequeña (el filo del cuchillo) produciendo una elevada presión sobre los objetos y deformándolos (corte) con facilidad. • Un esquiador, ejerce una presión baja sobre la nieve debido a que su peso se distribuye sobre la superficie de los esquís. De esta manera el efecto deformador de su peso disminuye y no se hunde.

Nota: Una unidad muy usada para medir la presión (aunque no es unidad SI) es el “kilo”

(de presión), que es la presión ejercida por una masa de 1 kg sobre una superficie de 1 cm2

m = 1 kg F m.g 1kg.10 m.s2 P = = = = 10 N 104 cm2

= 105 N S S 1cm2

1 cm2 1m2 m2

S = 1 cm2 1 “kilo” = 10 5 N/m2

(Pa)

Ejemplo 1.

Calcular la presión ejercida sobre la mesa por un bloque de 5 kg si la superficie sobre la que se apoya tiene 50 cm2.

Solución:

F m.g 5 kg.10 m / s2 104 cm2

P = = = = 104 Pa

S S 50 cm2 1m2

P = 104

1" kilo" Pa·

105 Pa

= 0,1" kilos de presión"

2 PRESIÓN EN FLUIDOS 1

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2.1 ¿Que es un fluido? Se denomina fluido a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que

los contiene. Los fluidos se dividen en líquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas (moleculares) de

cohesión interna (ver anexo al final de los apuntes). La hidrostática es la parte de la Física (Mecánica) que tiene por objeto el estudio del

comportamiento y de las propiedades de los fluidos en equilibrio. La hidrodinámica estudia los fluidos en movimiento.

El concepto de presión es muy útil cuando se estudian los fluídos. Éstos ejercen una fuerza sobre las paredes de los recipientes que los contienen y sobre los cuerpos situados en su interior. Las fuerzas, por tanto, no se ejercen sobre un punto concreto, sino sobre superficies.

Los fluidos (líquidos y gases) en equilibrio ejercen sobre las paredes de los recipientes que los contienen y sobre los cuerpos contenidos en su interior fuerzas que actúan siempre perpendicularmente a las superficies (se puede comprobar experimentalmente).

Transmisión de presiones en los líquidos: Principio de Pascal En física, el principio de Pascal o ley de Pascal, es una ley enunciada por el físico y matemático

francés Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase:

“Cualquier presión P ejercido sobre un fluido incompresible (líquido) encerrado en un recipiente indeformable se transmite por igual (en todas las direcciones y con la misma intensidad) a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene”

Otra versión de esta ley es:

P La presión ejercida en este punto, se transmite en todas direcciones.

“Todo cambio de presión aplicado sobre la superficie de un líquido, contenido en un recipiente indeformable, se transmite por igual a todos los puntos de este íquido”.

El cambio de presión será igual en todas las direcciones y actúa mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen.

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante el émbolo, se observa que el agua sale por todos los agujeros con la misma presión

Una aplicación del Principio de Pascal es la prensa hidráulica (ver anexo de ampliación al final del tema).

Blas Pascal (1623-1662) Clermond Ferrand (Francia) • Inventó la primera calculadora en 1642 (llamada Pascalina) • Realizó importantes contribuciones a la hidrodinámica e hidrostática. Inventó la

jeringa y la prensa hidráulica. • Estudió las secciones cónicas y a él se deben importantes teoremas de la geometría

descriptiva. En colaboración con Fermat fundó las bases de la Teoría de Probabilidad. 2



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Principio fundamental de la Hidrostática: Todos los fluidos pesan, por ello, cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores

oprimen a las inferiores, generándose una presión debida a su peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de fluido que tenga por encima suyo.

Si nos fijamos en una superficie S (real o imaginaria) de un fluido en equilibrio, dicha superficie estará sometida al peso de toda la columna de fluido que tiene encima (Como el fluido esta en equilibrio el resto de fluido estará ejerciendo una fuerza igual pero de sentido contrario sobre dicha superficie). El peso1 de la columna de fluido es:

Peso = W = mg = ρVg = ρ(S·h)g

Por lo tanto la presión sobre cada punto de esa superficie vendrá dada por

pliquido

h P =

W S

ρ(S/ ·h)g =

S/ = ρ·h·g S

Este resultado constituye el Principio fundamental de la F hidrostática que afirma que:

“La presión ejercida por un fluido de densidad ρ en un punto situado a una profundidad h de la superficie es igual a la presión ejercida por una columna de fluido de altura h y vale:

P = d·g·h ” (2)

Otra versión del principio afirma que “la diferencia de presión entre dos puntos A y B de un fluido situados a distintas alturas o profundidades viene dado por:

PA − PB = d·g·h ” (3)

Donde, en este caso, h es la diferencia entre las alturas de A y B: h = (hA - hB ) Comentarios: • A la hora de sustituir los datos numéricos hay que tener cuidado que todos ellos estén

expresados en un unidades SI. • De aquí se deduce que la presión, para un fluido dado, depende únicamente de la profundidad. • Si consideramos fluidos distintos la presión, a una profundidad dada, dependerá de la

naturaleza del fluido (de su densidad)

Ejemplo 2. Calcular la presión que existe en un punto situado a 10 m bajo la superficie de la mar, sabiendo

que la densidad del agua de mar es 1,03 g/cm3.

Solución: Aplicando el Principio Fundamental de la Hidrostática: P = d . g . h (Para poder sustituir los datos los expresamos en el S.I): ρ =1,03

g 1kg 10 cm 3 kg ⇒ P = d g h = 1,03 103

kg 10 m 10 m = 1,03 105 Pa

cm3 103 g

= 1,03 10 1m3 m3

m3 s2

1 Para reservar la letra P a la presión, vamos a utilizar la letra W para notar el peso (del ingles Weight)

3



Presión atmosférica. Experiencia de Torricelli.

Si estamos sobre el nivel del mar podemos decir también que estamos en el fondo de un océano de aire. Todos vivimos inmersos en un fluido: la atmósfera que ejerce sobre nosotros una presión llamada presión atmosférica.

Esta presión, según el Principio Fundamental de la Hidrostática varía, siendo mayor a nivel del mar que en una montaña (tenemos mas fluido “encima de nosotros” a nivel del mar).

Torricelli en 1643 fue el primero que logró medir la presión atmosférica mediante un curioso experimento que consistía en llenar de mercurio un tubo de 1 m de largo, (cerrado por uno de los extremos) y darle la vuelta sobre un cubeta llena de mercurio. Sorprendentemente la columna de mercurio descendió unos centímetros pero permaneció estática a unos 76 cm (760 mm) de altura.

Evangelista Torricelli Faenza (Italia) 1608 - 1647

Torricelli razonó que la columna de mercurio no caía debido a que la presión atmosférica ejercida sobre la superficie del mercurio (y transmitida a todo el líquido y en todas direcciones) era capaz de equilibrar la presión ejercida por el peso de dicha columna.

P = P

WHg mHg g VHg dHg g = = = = S h dHg g atm Hg

h

S S S S

Patm = dHg g h

Patm

Patm

Patm

PHg Como se puede observar la presión era

directamente proporcional a la altura de la columna de mercurio (h).

Por ello, se adoptó como medida de la presión el mm de mercurio (mm). Así la presión considerada

Patm como normal, al nivel del mar, se corresponde con una columna de altura 760 mm.

La presión atmosférica se puede medir también en atmósferas (atm), que es la presión (normal) al nivel del mar, no es una unidad SI:

1 atm = 760 mm = 101.325 Pa = 1,0 “kilo” (kgf/cm2)

Otras unidades de presión comúnmente utilizadas, sobre todo en meteorología, son el bar (b) y su submúltiplo el milibar (mb), que es igual a 100 Pa o hectopascal (hPa):

760 mm = 1 atm = 101. 325 Pa = 1,013 bar 1 mb = 10 – 3 bar 1 mb = 100 Pa = 1 hPa

Teniendo en cuenta estas equivalencias la presión “normal” equivaldrá a:

101.325 Pa 1mb 100 Pa

= 1013 mb

Ejemplo 3 La consulta de la presión atmosférica en la prensa da como dato para el día considerado 1.023

mb. Expresar la presión en Pa , mm de mercurio, atmósferas y “kilos”:

4



2.2 Fuerzas en fluidos. Principio de Arquímedes

Solución:

Cálculo en Pa:

1.023 mb 100 Pa

= 1.023 102 Pa = 1,023 105 Pa 1 mb

Cálculo en mm. de mercurio: 1.023 mb 100 Pa 1 mb

760 mm 101.325 Pa

= 767 mm

Cálculo en atm: 1.023 mb 100 Pa

1 mb

1 atm 101.325 Pa

= 1,01 atm

Cálculo en “kilos”: como 1 atm = 1 “kilo” ; 1,01 atm = 1,01 “kilos”

Nota: a la hora de efectuar los cálculos se parte siempre (excepto en el paso de atm a “kilos”, debido a su simplicidad) del dato suministrado en el enunciado en vez de apoyarse sobre un resultado anterior con el fin de evitar posibles errores.

Ejemplo 4 Si a nivel del mar la presión es de 760 mm y en una montaña 635 mm. Calcular la altura de la

montaña sobre el nivel del mar. Suponer que la densidad del aire es constante e igual a 1,3 g/litro Solución: Partiendo de la expresión: P = d .g. h la aplicamos a nivel del mar y en lo alto de la

montaña:

h2

P2 = d. g-h2 h1

Lo que deseamos calcular es h, es decir la altura de la montaña desde el nivel del mar:

h = h1 – h2

Restando las dos expresiones anteriores se obtiene:

P1 – P2 = d. g-h1 - d. g-h2 = d. g (h1 – h2) = d . g. h P1 − P 2

h P1 = d. g-h1

Despejando la altura: h = d g

Ahora tenemos que tener en cuenta que al sustituir los datos deben estar expresados en unidades S.I: 101.325 Pa

P1 – P2 = (760 – 635) mm = 125 mm ; 125 mm 760 mm

= 16.665 Pa Los altímetros usados por los montañeros calculan la altura de las montañas g d = 1,3 1 kg 103

litros = 1,3 kg 16.665 Pa h = = 1282 m basándose en este mismo litro 103 g 1 m3 m3

1,3 kg m3

10 m s2

principio.

Nota: Si quieres comprobar que efectivamente salen metros como resultado final puedes verificarlo echando un vistazo al cálculo siguiente: kg m

N s2 kg m

Pa = m2 = m2 m2 s2 = = m

kg m kg m kg 1 kg m3 s2 m3 s2 m2 s2

m2 s2

Los fluidos ejercen fuerzas “ascensionales” (hacia “arriba”) sobre los objetos situados en su interior. La naturaleza y valor de estas fuerzas fueron descubiertas por un gran científico de la Antigua Grecia durante una de las grandes y curiosas anécdotas de la historia de la ciencia2. La ley que las “explica” lleva el nombre de su descubridor: el Principio de Arquímedes

2 Si estás interesado, consulta la historia de esta anécdota en el anexo al final de los apuntes.

Arquímedes. Siracusa (Sicilia)

289 – 212 aJC

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3 Principio de Arquímedes

“Todo cuerpo sumergido en un fluido (líquido o gas), experimenta una fuerza (empuje) vertical y hacia arriba de valor igual al peso del fluido desalojado”

E = Wliq = m liq g = Vliq dliq g (4)

Empuje (E)

Peso (W)

Podemos encontrarnos con dos situaciones:

(1) Si el cuerpo está totalmente sumergido ocurre que el volumen de líquido desalojado es el volumen del cuerpo Vliq = Vcuerpo.

E = Wliq = mliq g = Vliq dliq g = Vcuerpo dliq g

Empuje (E)

(2) En cambio, si el cuerpo está flotando quedando sumergido sólo una parte de él, el volumen de líquido desalojado se corresponderá con la parte del volumen del cuerpo que está sumergida.

Peso (W) Volumen de líquido desalojado (Vliq) es igual a volumen sumergido.

(1) En el primer caso, si suponemos un cuerpo totalmente sumergido en un fluido, sobre él actuarán el peso y el empuje, pudiendo darse tres casos:

• Que el peso y el empuje sean iguales: E = W. El cuerpo estará en equilibrio (fuerza resultante nula) y “flotará entre aguas”.

• Que el empuje sea mayor que el peso: E > W. El cuerpo ascenderá y quedará flotando.

• Que el empuje sea menor que el peso : E < W. El cuerpo se hundirá.

Empuje (E)

Peso (W)

Como: E = Vcuerpodliq g y W = mcuerpo g = Vcuerpodcuerpo g

Si E = W, podemos poner: Vcuerpo dliq g = Vcuerpo dcuerpo g Repitiendo el cálculo establecemos las condiciones para que un cuerpo flote entre aguas, flote o se hunda:

• Flotará si:

• Se hundirá si:

dliq > dcuerpo

dliq < dcuerpo

• Flotará entre aguas si: dliq = dcuerpo

(2) La segunda situación, que el objeto flote y solo una parte quede sumergida, es un poquito más complicada pero si la estudiamos con detalle podemos obtener alguna conclusión interesante:

Empuje (E) En este caso el cuerpo está flotando en equilibrio por lo que el empuje y el peso del cuerpo deben estar equilibrados:

Volumen E = W ⇒ mliq g/ = mobjeto g/ ⇒ ρliqVvol

sum = ρobj ·Vcuerpo P

Peso (W) sumergido (Vvol )

sum or lo tanto la relación entre la parte del cuerpo que queda

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sumergida (Volumen sumergido Vvol ) y el volumen total de dicho cuerpo, depende de la relación sum

entre las densidades del liquido y dicho y sería:

Vvol ρ sum = obj Vcuerpo ρliq

Ejemplo 5. Calcular el empuje que sufre una bola esférica de 1 cm de radio cuando se sumerge en:

a) Alcohol de densidad d = 0,7 g/cm3.

b) Agua, d = 1,0 g/cm3.

c) Tetracloruro de carbono, d = 1,7 g/cm3.

Solución: Según el Principio de Arquímedes el empuje es igual al peso del líquido desalojado. O sea:

E = Wliq = mliq g = Vliq dliq g = Vcuerpo dliq g

El volumen de una esfera es: V = 4/3 π r 3, luego para este caso:

V = 4

π r3 = 4

π 13 cm3 = 4,19 cm3 = 4,19.10−6 m3

3 3 a) EAlcohol= 4,19. 10 - 6 m3 0,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,03 N

b) EAgua= 4,19. 10 - 6 m3 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,04 N

c) ETetrClo= 4,19. 10 - 6 m3 1,7 10 3 kg/m 3 10 m/s2 = 0,07 N

Como se observa el empuje aumenta con la densidad del líquido.

Ejemplo 6.

Mediante un dinamómetro (instrumento para medir fuerzas) se determina el peso de un objeto

de 10 cm3 de volumen obteniéndose 0,72 N. A continuación se introduce en un líquido de densidad desconocida y se vuelve a leer el dinamómetro (peso aparente) que marca ahora 0,60 N. ¿Cuál es la densidad del líquido en el que se ha sumergido el objeto?

Solución: El dinamómetro marca menos cuando se introduce el objeto en el líquido debido a que éste ejerce una fuerza (empuje) hacia arriba. El empuje lo podemos calcular estableciendo la diferencia entre el peso en el aire y lo que marca el dinamómetro cuando el objeto se encuentra sumergido en el líquido (peso aparente)

E = Paire – Paparente = (0,72 – 0,60) N = 0,12 N

Utilizando ahora la ecuación: E = Vcuerpo dliq g , despejamos la densidad del líquido:

d liq = E

Vcuerpo g

0,12 N =

10.10−6 m3 10 m s2

= 1,2.103

kg = 1,2

m3

g cm3

Este es uno de los métodos utilizados en los laboratorios para determinar la densidad de líquidos y está basada en el Principio de Arquímedes.

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Boletín de Problemas, presión y fluidos.

Problemas relacionados con la definición de presión:

Problema 1. Calcula la presión de una fuerza de 15N ejercida sobre el queso por: a) El borde de la mano (dimensiones: largo=10cm, ancho=1cm) b) El borde de un cuchillo (dimensiones: largo=10cm, ancho=0,1mm)

Solución: a) 15KPa, b)1,5MPa Problema 2. Calcula la presión ejercida sobre la nieve por un esquiador de 80Kg de masa si:

a) Camina sobre sus pies (dimensiones: largo=30cm, ancho=5cm) b) Se desliza sobre sus esquíes (dimensiones: largo=1,8m, ancho=15cm)

Solución: a) b)

Problema 3. Una persona de 78 kg está sentada sobre una silla de 4 kg, de modo que las patas de la silla que apoyan en el suelo tienen una superficie de 38 cm2 cada una. Determinar la presión que ejerce cada pata sobre el suelo.

Problema 4. La presión atmosférica tiene un valor aproximado de 1 x 105 Pa. ¿Qué fuerza ejerce el aire encerrado en un cuarto sobre una ventana de 40 x 80 cm2? (Sol: 3,2 x 104 N)

Principio de Pascal, prensa hidráulica:

Problema 5. La Superficie del pistón o émbolo grande de una prensa hidráulica es cien veces mayor que la del pistón pequeño. Halla la fuerza que actúa sobre el mayor cuando se ejerce sobre el pequeño una fuerza de 50 N.

Problema 6. Necesitamos un elevador hidráulico para levantar una camioneta que pesa 20000 N. La sección del émbolo menor es de 10 cm2, y la del émbolo mayor, 140 cm2. ¿Qué fuerza deberemos aplicar sobre el émbolo pequeño?

Problema 7. Al ejercer una fuerza de 100 N sobre el émbolo pequeño de una prensa hidráulica, se observa que puede elevarse un peso de 10000 N en el émbolo grande. Suponiendo que ambos émbolos son circulares, ¿cuál es la relación existente entre sus radios?

Problema 8. Enuncia el teorema de Pascal y explica el funcionamiento de la prensa hidráulica. Se dispone de un elevador hidráulico, la sección del émbolo menor es de 10 cm2, y la del émbolo mayor, 160cm2. Si la máxima presión que se puede realizar en el embolo pequeño son 5atm ¿Cual es la máxima masa que podemos levantar con el émbolo grande?

Problemas sobre el principio fundamental de la hidrostática

Problema 9. Calcular la presión originada por un fluido en reposo a una profundidad de 76 cm en:

a. agua (r = 1,00 g/cm3) y b. mercurio (r = 13,6 g/cm3).

(Sol a) 7,45 kPa b) 1 atm)

Problema 10. Qué presión soporta un buzo sumergido en el mar a 10 metros de profundidad. (Densidad agua del mar=1030 kg/m3) ¿Compara esta presión con el valor de presión normal a nivel del mar?

(Solución: Presión total = 1,013·105 Pa + 1,03·105 Pa ≈ 2,043·105 Pa ≈ 2,02atm )

Problema 11. ¿Cuál es la presión a 100 m de profundidad en el océano? ¿Cuántas atmósferas representa esto? (La densidad del agua de mar es de 1,03 x 103 kg/m3).

(Solución: a) 1 x 106 Pa b) 10 atm).

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Problema 12. El interior de un submarino que está en el océano a 50 m de profundidad, se mantiene a una presión igual a la presión atmosférica al nivel del mar. Determine la fuerza que actúa sobre una ventana cuadrada de 20 cm de lado. La densidad del agua de mar es 1,03x103 kg/m3. (Solución: 2,02 x 104 N)

Problema 13. Calcula la diferencia de presión que existe entro puntos A y B en el interior de un líquido de densidad 1200 kg/m3 si se encuentran, respectivamente a 10 cm y a 20 cm por debajo de la superficie.

Problema 14. Suponiendo que la densidad de la atmósfera es constante e igual a 1,2 kg/m3, determina la altura que debería tener para ejercer la presión que ejerce.

NOTA: está es una aproximación bastante “grosera” (mala) porque la densidad del aire varía mucho con la presión y la temperatura y por lo tanto no se mantiene constante según nos alejamos de la superficie de la tierra pudiendo llegar a ser una densidad extremadamente baja a alturas superiores a varios miles de metros.

Problema 15. ¿Qué fuerza soporta la ventana de un submarino situado a 300 m bajo el mar, si puede admitirse que la densidad del agua del mar a esa profundidad es de 1,12 g/mL y que la ventana tiene 28 cm de diámetro?

Problemas sobre presión atmosférica:

Teoría 1. ¿Cuál es el origen de la presión atmosférica? ¿Qué fuerza total ejerce la presión atmosférica sobre un niño si su superficie es de aproximadamente 1,25 m2?

Teoría 2. ¿Por qué se dice que la presión atmosférica normal es de 760mm de mercurio? ¿Qué tiene que ver la longitud del mercurio con la presión?

Problema 16. Un vaso cilíndrico tiene 3cm de radio y una altura de 8cm. Se llena de agua, se cubre con una hoja de papel y se le da la vuelta (poniendo el vaso “bocabajo”). ¿Por qué la hoja no se cae? Calcula el peso del agua y la fuerza que mantiene la papel unido al vaso si la presión atmosférica es de 1atm.

Problema 17. La presión atmosférica a nivel del mar es de 1atm. Calcula esta presión en un lugar situado a 1350m sobre el nivel del mar (NOTA: Supón constante la densidad del aire con un valor d(aire)=1,293Kg/m3)

Problema 18. ¿Por qué crees que Torricelli uso mercurio (Hg) y no otro líquido para su barómetro? Para ayudarte a contestar está pregunta contesta a la siguiente pregunta. ¿Qué altura debe tener una columna de agua para que ejerza sobre su base una presión de una atmósfera, es decir, para poder equilibrar la presión atmosférica normal? Datos ρ(agua)=1000 kg/m3

(Solución: h=10,33m)

Problema 19. Si un barómetro indica una altura de 705mm de mercurio. Si se supone que la densidad del aire se mantiene constante e igual a 2,293 kg/m3 ¿a que altura se encuentra aproximadamente sobre el nivel del mar?

(Solución: h = 325,6m )

Problema 20. Un barómetro marca una altura de 750mm en su columna de mercurio y después de subir cierta altura indica 745mm. Si se supone que la densidad del aire se mantiene constante e igual a 2,293 kg/m3 ¿Cuál es la diferencia de alturas entre esos dos puntos?

(Solución: ∆h = 29,6m )

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Problemas sobre el principio de Arquímedes:

Teoría 1. Expresa con tus propias palabras el principio de Arquímedes. ¿Qué fuerzas son las responsables de que algunos materiales floten en el agua y otros, se hundan?

Teoría 2. ¿Pesan menos los cuerpos sumergidos en el interior de líquidos? ¿Por qué cuesta menos levantarlos una vez inmersos? Explicación.

Teoría 3. Explica por qué se flota mejor en el mar que en las piscinas. ¿Dónde se flotaría mejor en aceite o en agua?

Teoría 4. Explica porque vuela un globo aerostático. ¿Y porque flota un barco o un submarino si están hechos de acero y el acero tiene una densidad mucho mayor que el agua?

Teoría 5. Explica cómo crees que funciona la vejiga natatoria de los peces. ¿Y el mecanismo de inmersión de un submarino?

Teoría 6. El densímetro es un flotador que al hundirse más o menos, según la densidad del líquido, nos indica este valor sobre una escala graduada. ¿Por qué crees que se utiliza para detectar la existencia de adulteraciones en el vino, zumos, leche, etc.?

Problema 21. Con un dinamómetro, medimos el peso de un objeto, y resultó ser de 2,5 N. Al introducirlo por completo en agua y volver a medir, el dinamómetro nos marca 2,1 N. Determinar el empuje ejercido por el líquido.

Problema 22. Una piedra pesa 300 N en el aire y 280 N sumergida en el agua. ¿Cuál es el volumen de la piedra?

Problema 23. Calcula la densidad de un trozo de mineral que pesa 28 N en el aire y 24 N en el agua.

Problema 24. Un objeto de 10000 N de peso ocupa un volumen de 10 m3. ¿Flotará en un tanque lleno de aceite cuya densidad es de 935 kg/m3?

Problema 25. Un trozo de cobre se pesa y tiene un peso de 4,4N. Sumergido en agua tiene un peso de 3,9N y sumergido en un líquido desconocido pesa 3,65N. Calcula: a. la densidad del cobre b. la densidad del líquido desconocido.

Datos: Tome g=10m/s2. Densidad del agua= 1g/cm3=103Kg/m3.

Problema 26. Una sonda atmosférica (globo) se llena de Helio. Si el material científico que lleva pesa 5Kg ¿qué volumen mínimo tiene que tener para empezar a “volar”? ¿Qué aceleración tendrá si su volumen son 6m3?

Problema 27. Un globo aerostático tiene una masa de 100 kg. Lleva dos tripulantes de 60 y 70 kg respectivamente. c. ¿Cuál debe ser el volumen del globo para que el empuje del aire sea de 350 N? (densidad

del aire = 1,3 kg/m3) d. Cual debe ser el volumen mínimo del globo para que empiece a “volar” (=flotar en el aire)

(densidad del aire caliente=0,8 kg/m3)

Problema 28. Se coloca un tablón de madera, de 2 m de largo, 50 cm de alto y 1 m de ancho, en un lago de aguas tranquilas. La densidad de la madera es 550 kg/ m3 y la del agua 1000 kg/ m3. a) ¿Cual es el volumen sumergido del tablón? b) ¿Cuántas personas de peso medio 800 N pueden subirse al tablón sin hundirlo totalmente?

(Solución: a)Volumen sumergido= 55% del volumen total del tablón. b) Podrían montarse 5,51 personas, es decir 5 personas con seis ya se hundiría)

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Problema 29. Si la densidad del hielo es 900 kg/m3, ¿está justificada la expresión "la punta del iceberg" para expresar que lo que se desconoce de un tema es mucho mayor que lo que se conoce? Compruébalo haciendo el siguiente ejercicio a) Sabiendo que la densidad del agua del mar es 1050 kg/m3, ¿qué porcentaje de su volumen

está sumergido?

b) Si se encontrase agua en Marte, ¿podrían seguir manteniendo los "marcianos" el anterior enunciado para "sus" icebergs?

Problema 30. Una bola hueca de acero tiene un radio de 4cm y una masa de 150g. Se sumerge completamente en agua destilada. ¿Qué fuerza habría que aplicar a la esfera para mantenerla sujeta en el interior del líquido? Si soltamos la esfera, determinar la aceleración con la que ascendería.

Problema 31. Un globo lleno de hidrógeno tiene un volumen de 800 m3 y el material del globo y la barquilla pesan 5600 N. a) Calcula la fuerza ascensional inicial. b) ¿Podrá llegar a los 17 km de altura? Datos: • la densidad del aire es 1,3 g/litro (1 litro de aire pesa aproximadamente 1000 veces

menos que 1 litro de agua, exactamente 1000/1,300 = 760 veces menos). • La densidad del hidrógeno es 14,4 veces menor que la del aire. • La densidad del aire disminuye con la altura. Supón que a 17 km de altura la densidad es

20 veces menor que al nivel del mar. (Solución: a) Empuje=E=10202,4 N, Peso=W=6308,5 N, Fuerza ascensional neta= 3895,9 N b) La densidad es 20 veces menor y por tanto el empuje también E=5101,2 N, luego al ser menor que el peso el globo no podría subir hasta esta altura)

Problema 32. ¿Qué cantidad de agua (masa y volumen) tiene que desalojar un yate de 500 toneladas (si es que flota claro)? Dato: densidad del agua del mar 1020 kg/m3

(Solución: m=500000Kg=500 Toneladas, V=490,19 m3)

Problema 33. Un náufrago de 70 kg está perdido en una isla desierta de la que desea escapar. Para ello cuenta con un gran panel de corcho de 0,1 m de espesor con la que desea hacerse una balsa. Calcular la superficie mínima de este corcho que deberá cortar para conseguir flotar. (densidad corcho = 0,24 g/mL)

Problema 34. Tenemos 1 kg de oro, 1 kg de plata y 1 kg de aleación al 50% de oro y plata. Se sumergen sucesivamente en agua. a) ¿Qué cantidad de agua desaloja cada uno? b) ¿Podrías averiguar la densidad de un anillo de oro aplicando el Principio de Arquímedes? ¿Podrías conocer la cantidad de oro y plata que contiene, suponiendo que sólo tiene esos dos componentes?

Datos. Densidad oro: 19300 kg/ m3. Densidad de la plata: 10500 kg/m3

Más Problemas sobre el principio de Arquímedes:

2. Fabricamos un cubo macizo de 2 cm de lado de cierto material (d = 1,48 g/mL) y lo echamos en un recipiente que contiene cierta cantidad de líquido de modo que el cubo queda parcialmente sumergido (solo moja 0,75 cm). Determinar la densidad del líquido.

3. De cierto muelle colgamos una masa de 370 g y observamos que se alarga 1,5 cm quedando en equilibrio. Dibuja las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo y determina la constante del muelle. En otro experimento distinto, colgamos del mismo muelle otro objeto de 790 g y lo introducimos en agua destilada (el muelle queda fuera y sujeto al techo). Si el volumen del cuerpo es 30 cm3, calcular cuánto se comprime el muelle en esta situación.

4. Un buque tiene una masa total de 2000 toneladas cuando lleva su carga máxima en el mar (d = 1,18 g/mL). ¿Qué masa debe quitarse para navegar por un río (d = 1 g/mL) si se admite que en los dos casos el volumen sumergido ha de ser el mismo?

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5. Una bola hueca de acero tiene un radio de 4 cm y una masa de 150 g se sumerge completamente en agua destilada y se sujeta al fondo del recipiente con una cuerda (no toca el fondo). Se pide:

a) Dibuja las fuerzas que actúan sobre la bola sumergida. b) Valor del peso de la bola y de la fuerza de empuje sufrida por la bola. c) Si la bola está en equilibrio, calcula la tensión del hilo.

6. Cierto muelle de constante K = 370 N/m se dispone en posición vertical sobre el fondo de un recipiente que contiene cierto líquido de densidad d = 2,75 g/mL. Sobre él se sitúa un objeto de 15 kg de masa (d = 8 g/mL) de modo que queda completamente sumergido y en equilibrio. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sumergido y calcula cuánto se comprime el muelle en estas condiciones.

7. Cierto cuerpo macizo de forma cilíndrica de 14 cm de altura y 6 cm de diámetro se sumerge en posición vertical en el seno de un líquido de densidad d = 10 g/mL. Se observa que el cilindro se moja hasta una altura de 5 cm. Calcula la densidad del material con que se fabricó ese cilindro.

8. Cierto objeto fabricado con un material cuya densidad es d = 2,2 g/mL se deposita en un recipiente que contiene un líquido de densidad d’ = 5,4 g/mL de modo que NO se sumerge por completo. Si el volumen total del cuerpo es 170 mL, calcula qué volumen de ese objeto está emergido y cuál será la masa total del objeto.

9. Un objeto de 8 kg de masa (d = 2,55 g/mL) está comprimiendo 9 cm un muelle. Todo el conjunto está en equilibrio y sumergido completamente en el fondo de recipiente que contiene un líquido cuya densidad es d = 1,12 g/mL, tal y como ve en la figura. Dibujar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y determinar el valor de la constante K del muelle (Despreciar el volumen desalojado por el muelle)

10. Un alumno corta un trozo de corcho de forma cúbica cuyo lado mide 10 cm. La masa de ese objeto es 40 g. Posteriormente deja flotar ese cubo en un líquido cuya densidad desconoce y observa que el líquido ha mojado una porción de corcho de 6 cm de altura.

a) Explica y dibuja las fuerzas que actúan sobre el corcho en el líquido;

b) Determina la densidad del líquido desconocido.

11. Una botella de 1 litro, pesa vacía 1 N. ¿Qué cantidad mínima de agua habrá que poner dentro para que se hunda en alcohol? (densidad = 0,8 g/cc)

Problemas de profundización

12. Una burbuja de 1 cm3 se encuentra a diez metros de profundidad en un embalse de agua dulce. Si la densidad del gas de la burbuja es 1000 veces menor que la del agua, ¿qué empuje experimentará a esa profundidad y cuál en la superficie justo antes de estallar? ¿Cuánto varió su volumen durante la ascensión?

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4 AMPLIACIÓN:

Prensa hidráulica

La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial.

La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido.

Cuando sobre el émbolo de menor sección S1 se ejerce una fuerza F1 la presión p1 que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma (casi) instantánea a todo el resto del líquido. Por el principio de Pascal esta presión será igual a la presión p2 que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección S2, es decir:

con lo que, las fuerzas serán, siendo S1 > S2 :

y por tanto, la relación entre las fuerza resultante en el émbolo grande cuando se aplica una fuerza menor en el émbolo pequeño será tanto mayor cuanto mayor sea la relación entre las secciones:

El principio de los vasos comunicantes P0 P0

Vasos comunicantes son recipientes que están unidos entre sí por su parte inferior, de manera que el líquido que se eche en cualquiera de ellos pase fácilmente a los otros. Si se echa un líquido en vasos comunicantes, la hA hB

altura o nivel alcanzada por el líquido es la misma en todos los vasos, independientemente de la forma o volumen que los vasos tengan. A B

Este es el llamado principio de los vasos comunicantes y es una consecuencia directa de la ecuación fundamental de la hidrostática, veamos:

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Si se toman dos puntos del líquido situados en el mismo nivel, por ejemplo los puntos A y B de la figura, las presiones en dichos puntos según el principio fundamental de la hidrostática serán:

PA = p0 +ρ·g·hA y PB = p0 + ρ·g·hB

Si el líquido está en equilibrio, las presiones hidrostáticas de estos puntos han de ser las mismas, es decir: PA = PB

Por lo tanto, necesariamente las alturas hA y hB de las respectivas superficies libres han de ser idénticas: hA = hB.

Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las

alturas que alcanzan serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si PA = PB , se tendrá:

ρ A.g.hA = ρ B.g.hB

hA/hB = ρ A/ ρ B

Por ejemplo si vertemos aceite y agua, el aceite alcanzará una altura mayor al tener menor densidad. Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida.

5 Apéndice: Conceptos relacionados

Estados de agregación de la materia

Habitualmente decimos que la materia (una sustancia) puede estar en tres distintos estados de agregación: sólido, liquido y gaseoso.

En el estado sólido las moléculas se encuentran muy cerca unas de otras y por lo tanto las fuerzas de cohesión entre ellas son sumamente intensas. Esto determina que los sólidos posean

una forma definida y ocupen un volumen propio. En el estado líquido las moléculas se

encuentran dispuestas a mayor distancia que en los sólidos, por lo que las fuerzas de cohesión entre ellas son pequeñas. Esto determina que ocupen un volumen propio, pero que no tengan una forma definida, sino que adopten la del recipiente que los contiene.

En el estado gaseoso las distancias entre las moléculas son muy grandes, por lo que las fuerzas de cohesión entre ellas son prácticamente nulas. Esto determina que presenten una tendencia a ocupar el mayor volumen posible al poder expandirse con facilidad.

En los líquidos y gases, las fuerzas de cohesión entre las moléculas son muy débiles, por lo que éstas pueden resbalar unas sobre otras fácilmente y se dice comúnmente que fluyen. El nombre fluido se aplica tanto a los líquidos como a los gases.

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Tanto sólidos como líquidos son poco compresibles, en cambio los gases al estar formados por moléculas muy separas entre sí, son fácilmente compresibles. Al reducir las distancias entre las moléculas disminuiría el volumen del gas.

Fluidos

Se denomina fluidos a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que los contiene.

Los fluidos se dividen en líquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas de cohesión interna. La hidrostática (aerostática) es la parte de la Física (Mecánica) que tiene por objeto el estudio del comportamiento y de las propiedades de los líquidos (gases) en equilibrio (la hidrodinámica (aerodinámica) estudia los líquidos (gases) en movimiento).

Mientras que los líquidos fluyen manteniendo constante su volumen, los gases tienen tendencia a ocupar todo el volumen disponible. Otra diferencia importante es que los líquidos son casi incompresibles, en cambio los gases al estar formados por moléculas muy separas entre sí, son fácilmente compresibles. Su volumen, por tanto, no es constante y consiguientemente tampoco lo es su densidad.

Teniendo en cuenta el papel fundamental de esta magnitud física en la estática de fluidos, se comprende que el equilibrio de los gases haya de considerarse separadamente del de los líquidos.

Así, la ecuación fundamental de la hidrostática no puede ser aplicada a los gases (aerostática). El principio de Pascal, en el caso de los gases, no permite la construcción de prensas hidráulicas (el gas se comprime).

En cambio, el principio de Arquímedes conserva su validez para los gases y es el responsable del empuje aerostático, fundamento de la elevación de los globos y aeróstatos. Eso sí, debido a la menor densidad de los gases, en iguales condiciones de volumen del cuerpo sumergido, el empuje aerostático es considerablemente menor que el hidrostático.

Este distinto comportamiento de gases y líquidos es debido a que en el estado líquido las fuerzas de cohesión intermoleculares son menores que en los sólidos y, por tanto, las partículas componentes abandonan las posiciones fijas que ocupan en estado sólido aunque mantienen una cierta cohesión que les hace mantener un volumen constante. En el caso de los gases, las fuerzas de cohesión intermoleculares son mucho menores y las partículas pueden moverse libremente en todo el volumen del recipiente que las contiene.

6.2 Densidad

Una importante propiedad de una sustancia es la densidad, que la definiremos como el cociente de la masa y el volumen,:

ρ = m V Kg

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m en el SI

Como puede observarse en la definición esta magnitud física mide lo “densa” o

“compacta” que es una sustancia, es decir, el volumen que ocupa una determina cantidad de masa de dicha sustancia. O dicho de otra forma, cuanta masa de esa sustancia cabe en un volumen determinado.

Ya sabemos que cada material o sustancia ocupa más o menos volumen dependiendo de su estructura externa (no ocupa lo mismo un kilo de aire, que un kilo de papel o que

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un kilo de plomo), es la densidad la magnitud física que sirve para distinguir esta característica de los materiales

Tanto el volumen como la masa dependen de la cantidad de sustancia o de material que tenga el objeto, en cambio, la densidad es una propiedad que solo dependen del tipo de sustancia y no de la cantidad que tengamos.

En la mayoría de los materiales, incluida el agua, las densidades varían con la temperatura.

Densidad de Algunas Substancias Comunes Substancia Densidad(g/cm3)

Aire 0.0013 Plumas 0.0025 Madera (Roble) 0.6 - 0.9 Hielo 0.92 Agua 1.00 Ladrillos 1.84 Aluminium 2.70 Acero 7.80 Plata 10.50 Oro 19.30

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Biografías y curiosidades: Arquímedes (Siracusa, actual Italia (Sicilia),287? a.C-212? a.C.)

Arquímedes, fue un portentoso genio (matemático, científico e ingeniero griego) del siglo II antes de Cristo a quien le debemos además de la archifamosa muletilla “Eureka” (que a propósito, significa "lo conseguí!") una serie de inventos tales como la palanca o un mecanismo para elevar agua (tornillo de Arquímedes), buena parte de nuestra geometría, las primeras teorías y leyes sobre la estática y lo que es mas importante para nosotros en el contexto de este trabajo, el principio que lleva su nombre: el “principio de Arquímedes”.

Principio de Arquímedes Ley de la palanca

Tornillo de arquimedes Hijo de un astrónomo, quien probablemente le introdujo en las matemáticas,

Arquímedes estudió en la escuela de Alejandría, donde tuvo como maestro a Conón de Samos y entró en contacto con Eratóstenes3; a este último dedicó Arquímedes su Método, en el que expuso su genial aplicación de la mecánica a la geometría, en la que «pesaba» imaginariamente áreas y volúmenes desconocidos para determinar su valor. Regresó luego a Siracusa, donde se dedicó de lleno al trabajo científico y a trabajar como ingeniero al servicio de su ciudad natal.

De la biografía de Arquímedes, , a quien Plutarco atribuyó una «inteligencia sobrehumana», sólo se conocen una serie de anécdotas. La más divulgada la relata Vitruvio y se refiere al método que utilizó para comprobar si existió fraude en la confección (fabricación) de una corona de oro encargada por Hierón II, tirano de Siracusa y protector de Arquímedes, (se cree que incluso era tío suyo). Según esta anécdota, hallándose en un establecimiento de baños, advirtió que el agua desbordaba de la bañera a medida que se iba introduciendo en ella. Esta observación le inspiró la idea que le permitió resolver la cuestión que le planteó el rey. Se cuenta que, impulsado por la alegría, corrió desnudo por las calles de Siracusa

3 El que midio el radio de la tierra con un “palito” y la sombra que proyectaba. 17



hacia su casa gritando «Eureka! Eureka!», es decir, «¡Lo encontré! ¡Lo encontré!». La idea de Arquímedes está reflejada en una de las proposiciones iniciales de

su obra Sobre los cuerpos flotantes, pionera de la hidrostática; corresponde al famoso principio que lleva su nombre y, como allí se explica, haciendo uso de él es posible calcular la ley de una aleación, lo cual le permitió descubrir que el orfebre había cometido fraude.

Según otra anécdota famosa, recogida por Plutarco, entre otros, Arquímedes aseguró al tirano que, si le daban un punto de apoyo, conseguiría mover la Tierra; se cree que, exhortado por el rey a que pusiera en práctica su aseveración, logró sin esfuerzo aparente, mediante un complicado sistema de poleas, poner en movimiento un navío de tres mástiles con su carga.

Son célebres los ingenios (=inventos) bélicos cuya paternidad le atribuye la

tradición y que, según se dice, permitieron a Siracusa resistir tres años el asedio romano, antes de caer en manos de las tropas de Marcelo. Inventó innumerables “maquinas” como catapultas, grúas etc. e incluso utilizó, al parecer, la energía solar como arma: Según varios escritores antiguos, entre ellos Plutarco y Antemio de Tralles, reflejó los rayos del sol sobre la flota romana, cuando ésta se dirigía contra su ciudad natal de Siracusa, y la incendió. Esto sucedía entre los años 215 y 212 antes de J. C.

También se cuenta que, al final, tras varios años de resistencia, el ejército romano tomó Siracusa. Y que contraviniendo órdenes expresas del general romano, un soldado mató a Arquímedes por resistirse éste a abandonar la resolución de un problema matemático en el que estaba inmerso, escena perpetuada en un mosaico hallado en Herculano.

Esta pasión de Arquímedes por la erudición, que le causó la muerte, fue también la que, en vida, se dice que hizo que hasta se olvidara de comer y que soliera entretenerse trazando dibujos geométricos en las cenizas del hogar o incluso, al ungirse, en los aceites que cubrían su piel. Esta imagen contrasta con la del inventor de máquinas de guerra del que hablan Polibio y Tito Livio; pero, como señala Plutarco, su interés por esa maquinaria estribó únicamente en el hecho de que planteó su diseño como mero entretenimiento intelectual.

El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría; esfuerzo que se refleja de modo especial en dos de sus libros: en los Equilibrios planos fundamentó la ley de la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido de postulados, y determinó el centro de gravedad

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de paralelogramos, triángulos, trapecios, y el de un segmento de parábola. En la obra Sobre la esfera y el cilindro utilizó el método denominado de exhaustión, precedente del cálculo integral, para determinar la superficie de una esfera y para establecer la relación entre una esfera y el cilindro circunscrito en ella. Este último resultado pasó por ser su teorema favorito, que por expreso deseo suyo se grabó sobre su tumba, hecho gracias al cual Cicerón pudo recuperar la figura de Arquímedes cuando ésta había sido ya olvidada.

Existen varias versiones del problema de la corona de oro del rey Hieron, todas coinciden en el principio de la historia pero no en como Arquímedes lo solucionó. Aquí las tenéis ¿con cual os quedáis?

Vitruvio, arquitecto de la antigua Grecia (siglo I a.C.), refiere la anécdota de la manera siguiente:

«Cuando Hierón II llegó al poder, decidió donar una corona de oro a un templo en agradecimiento por los hechos venturosos; ordenó fabricarla a un artesano del oro (orfebre) y le entregó el material necesario. El maestro cumplió el encargo para el día fijado. El rey estuvo muy satisfecho: la obra pesaba justamente lo mismo que el material que había sido entregado al orfebre. Pero poco tiempo después el soberano se enteró de que este último había robado cierta parte del oro sustituyéndolo con plata. Hierón montó en cólera y pidió a Arquímedes que inventara algún método para descubrir el engaño.

Como ya se ha comentado, pensando en este problema, el sabio fue a las termas y, una vez en la bañera, observó que se desbordaba cierta cantidad de agua, correspondiente al volumen de su cuerpo que se había hundido. Al descubrir de esa manera como solucionar el problema, no siguió en las termas, sino que se lanzó a la calle, rebosante de alegría y en cueros (desnudo), y corrió hasta su casa exclamando en alta voz: `¡Eureka!, ¡eureka!' (=hallé=lo encontré).

Y es aquí donde empiezan los desacuerdos sobre como Arquìmedes resolvió el problema:

Una primera versión afirma que: Cuando llegó a su casa, Arquímedes tomo dos pedazos del mismo peso que la

corona, uno de oro y otro de plata, llenó con agua un recipiente hasta los bordes y colocó en él, el lingote de plata. Acto seguido, lo sacó y echó en el recipiente la misma cantidad de agua que se desbordó, midiéndola previamente, hasta llenarlo. De esta manera determinó el volumen de agua que corresponde a aquella cantidad de plata. A continuación, realizó la misma operación con el trozo de oro y, volviendo a añadir la cantidad de agua desbordada, concluyó que esta vez se derramó menos líquido (en una cantidad equivalente a la diferencia de los volúmenes de los trozos de oro y plata de pesos (mejor dicho masas) iguales).

Después volvió a llenar el recipiente, colocó en él la corona y se dio cuenta de que se derramó una mayor cantidad de agua que al colocar el lingote de oro;

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partiendo de este exceso de líquido Arquímedes calculó el contenido de impurezas de plata, descubriendo de esa manera el engaño4.»

Arquímedes había usado el concepto de densidad para exponer este fraude. La densidad es una propiedad física de la materia que describe el grado de “compacidad” de una substancia. La densidad describe cuán unidos están los átomos de un elemento o las moléculas de un compuesto. Mientras más unidas están las partículas individuales de una substancia, más densa es la substancia. Puesto que las diferentes substancias tienen densidades diferentes, la medidas de la densidad son una vía útil para identificar las substancias.

Sin embargo en esta versión de la historia, no se usa para nada la famosa ley que lleva su nombre: “el Principio de Arquímedes”. Otra versión de los hechos dice que, además del concepto de densidad, Arquímedes puso en práctica el principio por el descubierto: “Todo cuerpo sumergido en un fluido sufre una fuerza vertical y hacia arriba cuyo valor es igual al peso del agua desalojada por el cuerpo”

Como el volumen de oro es menor que el de plata, el empuje sobre él también será menor que sobre la pieza de plata. Por lo tanto, el peso aparente del oro será mayor que el de la plata (mas fuerza hacia arriba en la plata) cuando estén sumergidos. Lo que hizo Arquímedes fue introducir una balanza equilibrada con la corona y una pieza de oro de la misma masa.

Al sumergirla en agua la balanza se desequilibró, demostrando que no tenían la misma densidad y por tanto no eran exactamente la misma cantidad de oro (habría alguna cantidad de plata en la corona).

Blaise Pascal Blaise Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermond-

Ferrand en Francia; fue el único hijo varón de Etienne Pascal y su madre murió cuando él tenía sólo tres años.

El padre de Pascal decidió no mandar a su hijo a la escuela sino educarlo él mismo; decidió también que Blaise no estudiaría matemáticas sino hasta que cumpliera los quince años por lo que sacó todos los libros relacionados con esa ciencia de su casa.

4 ¿Se podría determinar la cantidad de oro sustituida por plata en la corona, utilizando el método de Arquímedes?

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Sin embargo, Pascal por sí mismo logró conseguir libros de geometría y empezó a estudiarla el solo a los doce años. Aunque parezca inverosímil, a esa edad descubrió que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados.

Cuando su padre descubrió que su hijo estudiaba geometría a escondidas y además que la disfrutaba tanto, le permitió leer los libros de Euclides y así Pascal comenzó su formación matemática de una manera rigurosa. A los catorce años asistía con mucha frecuencia a las reuniones que organizaba un monje llamado Mersenne, quien invitaba a científicos y filósofos a entablar discusiones y reflexiones en su celda. Fue ahí donde Pascal conoció a matemáticos de la talla de Fermat y Desargues de los que fue un excelente alumno. A los dieciséis años Pascal era ya uno de los miembros más destacados de ese círculo de estudio.

A la edad de 16 años Pascal presentó sólo un trozo de papel con escritos a las reuniones con Mersenne. Contenía un número de teoremas de geometría proyectiva, incluyendo incluso el hexágono místico de Pascal.

Fue justamente en esas reuniones en las que presentó sus primeros descubrimientos sobre geometría descriptiva. A partir de entonces, Pascal empezó a publicar varios tratados sobre matemáticas entre ellos, uno de los más importantes fue "Un ensayo sobre secciones cónicas" publicado en febrero de 1640. Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la Teoría de la Probabilidad.

En 1642 Pascal terminó de construir una máquina sumadora que había diseñado para ayudar a su padre quien entonces trabajaba como cobrador de impuestos. Este trabajo requería de mucho trabajo aritmético y la máquina era de gran ayuda. La llamo "Pascalina" y hoy en día es considerada la primera máquina sumadora de la historia.

Sus investigaciones en matemáticas abarcaron muchas ramas de esta ciencia; estableció las leyes de la teoría de la probabilidad, campo en el que apareció por primera vez el famoso "Triángulo de Pascal", y obtuvo resultados muy importantes en geometría, en cálculo, y en álgebra. Pascal no se conformó con ser un extraordinario matemático, su sed de conocimiento lo llevó, también, a estudiar física, ciencia en la que también destacó. Sus estudios sobre hidrodinámica e hidrostática lo llevaron a inventar la jeringa y la prensa hidráulica y a descubrir lo que hoy se conoce como "la Ley de la Presión de Pascal".

Pascal fue un científico universal, su manera de estudiar, entender y describir la naturaleza sirvió de ejemplo a muchos otros científicos que durante los siglos posteriores siguieron sus pasos.

Su más famoso trabajo en filosofía es Pensées, una colección de pensamientos personales del sufrimiento humano y la fe en Dios. “Si Dios no existe, uno no pierde nada al creer en él, mientras que si existe uno pierde todo por no creer”.

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Su último trabajo fue el cicloide, la curva trazada por un punto en la circunferencia de un rollo circular.

Según Pascal, tanto la razón como el corazón son dos formas igualmente válidas de conocer, y tal vez el segundo es superior a la abstracción racional, como lo expuesto al decir: Conocemos la verdad no sólo con la razón, sino también con el corazón y el corazón tiene sus razones que la razón no conoce.

Ambos conducen igualmente a la verdad, aunque con lógica y mecanismos diferentes, y la certeza, evidencia y firmeza de los resultados es la misma. Por medio del corazón se alcanza la realidad en su singularidad y se llega al mimo Dios, el cual se manifiesta al hombre en su totalidad a través del corazón. A esta manifestación y captación de Dios por medio del corazón Pascal la denomina fe, principio necesario para poder vivir como hombres y llegar a la divinidad. Mediante esta fe y este conocimiento por sentimiento no se opera sólo con una parte del hombre, como ocurre con el conocimiento abstracto y racional, sino que es toda la persona la que se pone en juego para alcanzar la verdad. Ahora bien, la fe en Dios, la captación de ese Dios que es lo más importante para la vida del hombre, no se concede gratuitamente y sin esfuerzo, ya que es preciso buscarlo con ahínco. Esta búsqueda se lleva a cabo partiendo del reconocimiento de la grandeza y miseria del hombre, el cual se halla entre el infinito y la nada. El punto de partida, por lo tanto, consiste en reconocer los límites en que se encuentra sumido el hombre. Tal reconocimiento es siempre doloroso y constituye una prueba de ello la "diversión" por la cual el hombre se entrega a una extroversión o diversión, para huir de sí mismo, de la felicidad y de Dios. Tiene que volver por sí mismo, reconocer sus propias limitaciones, buscar sinceramente a Dios y aceptar las razones del corazón que le ponen en contacto con él.

Blaise Pascal murió el 19 de agosto de 1662 en París. Tenía tan sólo 39 años y murió con intensos dolores producidos por un tumor maligno en el estómago que se le propagó hasta el cerebro.

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