*MECNICA DE FLUIDOS

Tercera edicin

IRVING H. SHAMESFacul ty Professor and

Distinguished Teaching ProfesorFaculty of Engineering and Applied Science

State University of New York at Buffalo

lhduccn

M. Sc. en ingeniera hidrulicaProfesor de la Universidad de los Andes

Revisin tcnicaGERMN R. SANTOS. G.

Ingeniero civil, E, C. 1.M. Sc., Ph. D. Virginia Tech

Prolesor asociadoEscuela Colombiana de Ingeniera

McGRAW-HILLl Santafe de Bogot l Buenos Aires l Caracas l Guatemala l Lisboa l Madrid l Mxico @ Nueva \/ork

l Panama l San Juan l Santiago de Chile l Sao Paulol Auckland l Hamburgo l Londres l MiUn l Montreal l Nueva Delhi l Pars l San Francisco l San LUIS

l Sidney l Singapur l Tokio l Toronto

Prohibida In reproduccidn tottzl o pnrcitrl rlr esta obra, por cualquier medio,sin autorizocidn escritfi del editor

DERECHOS RESERVADOS. Copyright 0 1995, por McGRAW-HILL TNTERAMERICANA, S. A

Transversal 428 No. 19-77, Santa% de Bogo& Colombia

Traducido de la tercera edicin de MECHANICS OF FLUIDS

Copyright 0 MCMXCII. por McGRAW-HILL, Inc.

ISBN: 0.07-056387-X

Editora: Martha Edna Surez R.

3124567890 9012336785

ISBN: 958-600-246-2

Impreso en Colombia Irintetl in Colombia

Q EmlcuMn

Se imprimieron 3.300 ejemplores 111 el mes de enero de 1995

fespindolaProhibida In reproduccidn tottzl o pnrcitrl rlr esta obra, por cualquier medio,sin autorizocidn escritfi del editor

ACERCA DEL AUTOR

Irving H. Shames posee el ttulo de profesor de facultad de ingeniera y ciencia aplicada de la Universidaddel estado de Nueva York en Buffalo y se le ha reconocido con el ttulo de profesor distinguido del sistema dela Universidad. El primero de estos ttulos permite al profesor Shames ensear en diferentes departamentos deingeniera; el segundo le proporciona recursos que son importantes en su labor como escritor.

Su empeo como tal se ha extendido a lo largo de un periodo de 35 aos, durante el cual ha publicado 10libros. La mayor parte de stos se han traducido a otros idiomas como espaol, portugus, japons, coreano,chino y rabe. Su primer libro, Engineering Mechanics Statics and Dynamics, publicado en 1958, fue el pri-mer libro de mecnica ampliamente utilizado basado en principios vectoriales. Esto marc el comienzo deluso universal del mtodo vectorial. La primera edicin de Mecnica defluidos fue el primer texto que utilizla ecuacin del transporte de Reynolds para la deduccin eficiente de las leyes bsicas y que utiliz el volu-men de control no inercial. De hecho, un examen de la edicin de 1962 revelar que la mayor parte de lostextos de fluidos de hoy en da se asemejan bastante a este texto innovador. Asimismo otras de sus obraspresentan enfoques o puntos de vista innovadores.

El profesor Shames ensea la secuencia de segundo ao -esttica, dinmica y mecnica de slidos- a casitodo el cuerpo de estudiantes de ingeniera en Buffalo en una sola sesin. Adems, ensea en un curso demecnica de fluidos dirigido a todos los estudiantes de tercer ao de ingeniera mecnica y aeroespacial. Enaos alternos dirige un curso de ltimo ao y de posgrado en mtodos variacionales y elementos finitos y otrode anlisis inelstico de esfuerzos. Estas asignaturas son electivas y tienen un registro muy por encima delpromedio de esta universidad e involucran un amplio nmero de estudiantes.

Para el profesor Shames la vigencia de sus libros se explica por el hecho de que cada uno se escribi con baseen cursos que tienen asistencia grande y diversa. Por esta razn, el texto debe escribirse para que juegue unpapel importante en tales clases y esto representa la prueba ms severa de claridad. Asimismo, durante 18aos el autor ha sido director de programas de ingeniera aeroespacial, en ciencias de ingeniera, bioingenieray en ingeniera nuclear, lo cual requiere involucrarse a fondo en el desarrollo del curriculurn de dichos progra-mas. Esto da a su actividad de escritor un conocimiento excepcionalmente amplio que permite la continuidaden sus libros desde los cursos brsicos, y al mismo tiempo deja caminos abiertos a cursos ms avanzados.

El profesor Shames estuvo dos aos como profesor visitante en el Technion Institute of Technology, en Haifa,Israel, en una ocasin en ingeniera mecnica y en otra en ingeniera de materiales. Durante su estan-cia en SUNY/Buffalo, trabaj con el famoso bilogo Dr. James Danielli en la teora de membrana con vcapa molecular doble y con l fue el coinvestigador principal en investigacin de membranas.

ACERCA DEL AUTOR

En los ltimos aos el profesor Shames ha expandido sus actividades de enseanza y ha establecido dos talle-res de verano patrocinados por el estado de Nueva York. En 199 1, stos se ampliaron a un programa nacionalde talleres patrocinados por la National Science Foundation (NSF). El programa involucra la integracin con-ceptual y pedaggica de la mecnica desde el segundo ao hasta la escuela de posgrado.

vi

CONTENIDO

Prefacio x v

Primera parte Principios bsicos de mecnica de fluidos

1 Nociones fundamentales 3

1.11.21.31.41.51.6

1.71.8

*1.91.10

Nota histricaFluidos y el continuoDimensiones y unidadesLey de la homogeneidad dimensionalUna nota sobre fuerza y masaLey de viscosidad de Newton: el coeficiente de viscosidadUna nota sobre materiales no newtonianosEl gas perfecto: ecuacin de estadoCompresibilidad de lquidos; tensin superficialColofn

335 *79

101 51 71927

2 Esfuerzo en un punto 37

2.12.22.32.4

Introduccin

*2.52.62.72.8

Cantidades escalares, vectoriales y tensores: camposFuerzas superficiales y de cuerpo; esfuerzoEsfuerzo en un punto para un fluido en reposo ypara flujos no viscososMovimiento de fluidos viscososPropiedades de esfuerzoEl gradienteColofn

373738

3941434547

3 Esttica de fluidos 53

3.13.23.3

IntroduccinVariacin de la presin en un fluido esttico incompresibleVariacin de la presin con la elevacin para un fluidoesttico compresible

5353

vii56

C O N T E N I D O

3.43.5

59

613.6

3.73.8

3.9

La atmsfera estndarEfecto de la fuerza superficial sobre un fluido confinado quepermanece estticoFuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida enun fluido esttico incompresibleFuerza hidrosttica sobre superficies curvas sumergidasUna nota sobre superficies curvas complejasEjemplos de fuerzas hidrostticas sobre superficies curvassumergidasLeyes de boyamientoConsideraciones de estabilidad para cuerpos en flotacinColofn

616871

3.10*3.11

3.12

73778388

4 Fundamentos del anlisis de flujo 107

4.14.24.34.44.54.64.74.8

El campo de velocidadDos puntos de vistaAceleracin de una partcula de flujoFlujo irrotacional

107109110113119120120

4.94.10

Relacin entre flujo irrotacional y viscosidadLeyes bsicas y secundarias para medios continuosSistemas y volmenes de controlUna relacin entre el enfoque de sistemas y el enfoque devolmenes de controlFlujos unidimensionalesColofn

1211271 3 1

5 Leyes bsicas para sistemas finitos y volmenes decontrol finitos, 1: continuidad y momentum 137

5.1 Introduccibn

5.2Parte A. Conservacin de la masaEcuacin de continuidad

5.35.45.5

*5.6

Parte B. Momentum linealAnlisis de sistemas

5.75.8

5.95.10

5.11

Volmenes de control fijos en un espacio inercia1Empleo de la ecuacin de momentum lineal en un volumen de controlVolmenes de control no inerciales*Parte C. Momento de momerztumMomento de momentum para un sistemaMtodo del volumen de control para la ecuacin demomento de momentum en volmenes de control inercialesEcuacin de momento de momentum aplicada a bombas y turbinasMomento de momentum para volmenes de control no inercialesColofn

137137137141141142144159163163

165172177182

viii 6 Leyes bsicas para sistemas finitos y volmenesde control finitos. II: termodinmica 203

6.16.26.36.46.56.6

IntroduccinNota preliminarAnclisis de sistemasAnlisis del volumen de controlProblemas que involucran la primera ley de la termodinmicaEcuacin de Bernoulli a partir de la primera ley de latermodinmica

203203204205210

6.7 Una nota sobre la segunda ley de la termodinmica"6.8 La segunda ley de la termodinmica6.9 Colofn

216222222224

7 Formas diferenciales de las leyes bsicas 237

7.1 Introduccin 237

7.27.3

"7.4

Parte A. Desarrollo elemental de las formasdiferenciales de las leyes bsicasConservacin de la masaLey de Newton; ecuacibn de EulerLquidos bajo aceleracin lineal uniforme o bajovelocidad angular constanteIntegracin de la ecuacin de Euler para flujopermanente; ecuacin de BernoulliEcuacin de Bernoulli aplicada aflujo irrotacionalLey de Newton para flujos generalesProblemas que involucran flujos laminares paralelos*Parte B. Forma diferencial de las leyes bsicas:una aproximacin ms generalNotacin ndice y frmula de CauchyTeorema de Gauss

238238240

241

7.5

7.6*7.77.8

249250251254

7.97.107.117.127.137.147.157.16

Conservacin de la masaEcuaciones de momentumPrimera ley de la termodinmicaSegunda ley de la termodinmicaLeyes b;sicas en coordenadas cilndricasColofn

262262264266266268271272273

8 Anlisis dimensional y similitud 281

8.1

8.28.38.48.5

Grupos adimensionalesParte A. Anlisis dimensionalNaturaleza del anlisis dimensionalTeorema de n de BuckingharnGrupos adimensionales importantes en mec5nica de fluidosCrlculo de los grupos adimensionalesParte B. SimilitudSimilitud dinmicaRelacin entre anlisis dimensional y similitud

281281281283285285

8.68.7

291291 ix293

CONTENIDO

8.8 Significado fsico de grupos adimensionales importantesen mecnica de fluidos

8.9 Uso prctico de los grupos adimensionales8.10 Similitud cuando se conoce la ecuacin diferencial8.11 Colofn

Segunda parte Anlisis de flujos internos importantes

297300302303

9

9.19.2

9.3

9.49.5

9.69.79.8

9.9

9.109.119.12

9.139.14

9.15

9.16

*9.179.18

9.19

10

10.1

* 10.210.3

Flujo viscoso incompresible a travs de tuberasParte A. Comparacin general entre flujos laminares y flujos turbulentosIntroduccinFlujos laminares y turbulentosParte B. Flujo laminarPrimera ley de la termodinmica para flujo en tuberas;prdida de alturaProblemas de flujo laminar en tuberasCondiciones de entrada a la tuberaParte C. Flujos turbulentos: consideracionesexperimentalesNota preliminarPrdida de altura en una tuberaPerfil de velocidad y esfuerzo cortante en la pared paraflujo turbulentoPrdidas menores en sistemas de tuberasParte D. Problemas de flujo en tuberasSolucin a problemas de tuberas en serieLneas de altura piezomtrica y de energa totalConductos no circularesParte E. Flujos turbulentos con nmeros de Reynolds elevadosEsfuerzo aparentePerfiles de velocidad para flujos turbulentos con nmerosde Reynolds elevadosDetalles de los perfiles de velocidad para tuberaslisas y rugosasProblemas para flujos con nmeros de Reynolds elevadosParte F. Flujo en tuberas en paraleloProblemas de tuberas en paraleloTuberas ramificadasColofn

Flujo viscoso incompresible general: las ecuaciones de Navier-Stokes 397

IntroduccinParte A. Flujo laminarLey de viscosidad de StokesEcuaciones de Navier-Stokes para un flujo laminar incompresible

315315315316318

318323326

327327328

333335340340349351353353

355

362367370370374378

397398398403

10.4 Flujo paralelo: consideraciones generales 406

x 10.5 Problemas de flujo paralelo laminar408

10.6 Una nota 414

CONTEN100

*10.7

10.8

10.910.1010.11

Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas para unaplaca de flujo muy delgadaLey de similitud dinAmica a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes*Parte B. Flujo turbulentoUn comentario

415418422422422

10.1210.13

Promedios temporales para flujo turbulento permanenteEcuaciones de Navier-Stokes para las magnitudes mediastemporales: esfuerzo aparenteManifestacin del esfuerzo aparente: viscosidad de remolinoColofn

423427427

l l Flujo compresible unidimensional 431

11.1 Introduccin

11.2ll .311.411.5

Parte A. Preliminares bsicosRelaciones termodinmicas para un gas perfectoPropagacin de una onda elsticaEl cono de Mach

l l . 6l l . 711.8

431432432434438440440440

11.911.10

11.1111.1211.1311.1411.15

Una nota sobre flujo compresible unidimensionalParte B. Flujo isentrpico con cambio simple de reaLeyes bsicas y secundarias para flujo isentrpicoPropiedades locales en el punto de estancamiento isentrpicoUna diferencia importante entre flujo subsnico y flujosupersnico unidimensionalFlujo isentrpico de un gas perfectoFlujo en una boquilla real en condiciones de disenoParte C. La onda de choque normalIntroduccin

11.1611.17

Lneas de Fanno y de RayleighRelaciones para una onda de choque normalRelaciones de onda de choque normal para un gas perfectoUna nota sobre ondas de choque oblicuasParte D. Operacin de boquillasUna nota sobre chorros libresOperacin de boquillas*Parte E. Flujo a travs de un dueto de seccinconstante con friccinIntroduccinEcuaciones de flujo adiabtico en seccin constante para un gas perfecto*Parte F. Flujo permanente a travs de un duetode seccin constante con transferencia de calorIntroduccin

446448451454454455458459464468468469

11.1811.19

473473474

11.2011.21ll.22

Relaciones para un gas perfectoColofn

482482483488

Tercera parte Anlisis de flujos externos importantes

12 Flujo potencial12.1 Introduccin

501 xj.501

CONTENIDO

12.212.312.412.5

Parte A. Consideraciones matemticasCirculacin: conectividad de regionesTeorema de Stokes

12.612.712.812.9

Circulacin en flujos irrotacionalesPotencial de velocidadParte B. Funcin de corriente y relaciones importantesFuncin de corriente

12.10

Relacin entre la funcin de corriente y el campo de velocidadRelacin entre la funcin de corriente y las lneas de corrienteRelacin entre la funcin de corriente y el potencial de velocidadpara flujos irrotacionales, bidimensionales e incompresiblesRelaciones entre las lneas de corriente y las lneasde potencial constante

502502503505505507507509510

511

512

12.1112.1212.13

12.1412.1512.1612.1712.1812.19

Parte C. Anlisis bsico de flujo bidimensional,incompresible e irrotacionalUn anlisis acerca de las cuatro leyes bsicasCondiciones de frontera para flujos no viscososCoordenadas polaresParte D. Flujos simplesNaturaleza de los flu,jos simples que se estudiarnMetodologas de solucin para flujo potencialFlujo uniformeFuentes y sumideros bidimensionalesEl vrtice simpleEl doblete

12.2012.2112.2212.2312.2412.25

Parte E. Superposicin de flujos simples bidimensionalesNota introductoria sobre el mtodo de superposicinSumidero con vrtice

12.2612.2712.28

Flujo alrededor de un cilindro sin circulacinSustentacin y arrastre para un cilindro sin circulacinCaso del cilindro giratorioSuslentacin y arrastre para un cilindro con circulacin*Parte F. Flujos axisimtricos tridimensionalesIntroduccinFuncin de corriente de StokesRelacin entre lneas de corriente, funcin de corrientey campo de velocidadAplhcin de las leyes bsicasFlu.jo uniformeFuentes y sumideros tridimensionalesDoblete tridimensionalFlujo permanente alrededor de una esferaFlu,j~s alrededor de cuerpos de revolucinColl)fn

513513516516520520521524524526528533533533535537538541545545546

12.2912.3012.3112.3212.3312.3412.35

547549550551552553555558

1 3 Teora de capa lmite 571

xii 13.1 Anotaciones introductorias 57113 1.i Espesor de la capa lmite 572

CONTENIDO .-

13.3 Ecuaciones simplificadas de la capa lmite para flujo laminar;ecuacin de Blasius

13.4

13.513.613.7

13.813.9

13.10

13.1113.12

13.13*13.1413.15

13.16

Ecuacin integral de momentum de Von Krmn y friccinsuperficialParte A. Capas lmites laminaresUso de la ecuacin integral de ~onwlfw?z de Von KrmnFriccin superficial para flujo en una capa lmite laminarTransicin para flujo en una placa planaParte B.1 Capas lmites turbulentas: placas lisasEspesor de la capa lmite sobre placas planas lisasArrastre por friccin superficial sobre placas lisasParte B.2 Capas lmites turbulentas: placas rugosasArrastre por friccin superficial en capa lmite turbulentasobre placas rugosasParte C. Flujo sobre cuerpos curvos sumergidosFlujo sobre fronteras curvas; separacin-Arrastre sobre cuerpos sumergidosEstela detrk de un cilindroPerfiles de alas; comentarios gcneralrsTemas adicionales sobre perfiles de alas, arrastre inducido y flujo transnicoColofn

14 Flujo a superficie libre

14.114.214.314.414.514.614.714.8

14.9*14.10

IntroduccinConsideracin del perfil de velocidadFlujo normal

14.1114.12

Flujo normal: mtodos modernosSeccin hidkiulicamente ptimaOndas gravitacionalesEnerga especfica; flujo crticoFlujo variado en canales rectangulares cortosFlujo gradualmente variado sobre canales largosClasificacin de los perfiles superficiales para flujosgradualmente variadosFlujo rpidamente variado; el resalto hidrhulicoColofhn

15

15.115.215.315.4

15.515.6

*Turbomaquinaria

Parte A. Consideraciones generalesIntroduccinRelaciones de similitud para turbomkluinasVelocidad especficaLas leyes bkicasParte B. TurbinasComentarios introductoriosTurbinas de i~npulso

575

5815835835865 9 1593593596602

6026066066096206 2 1625628

645

645645646651655658660668672

677682687

699

49969970 I704707

7107 1 0 xiji710

15.715.8

15.915.1015.11

Turbinas de reaccin de flujo radial y axial 715Turbinas (y compresores) de reaccin con cascadas de Slabes 720

Parte C. Ventiladores, bombas, sopladores y compresores 723Anotaciones introductorias 723Bombas y sopladores de flujo radial 724Colofn 731

16 *Mecnica computacional de fluidos 739

16.1 Introduccin

16.2

16.316.4

Parte A. Mtodos numricos 1Operaciones numricas para derivacin e integracinParte B. Problemas de flujo representados medianteecuaciones diferenciales ordinariasUn comentario

739739739

745745

16.516.6

Introduccin a la integracin numrica de ecuacionesdiferenciales ordinariasNotas sobre programacinProblemas

745747748

Parte C. Problemas de flujo permanente representadosmediante ecuaciones diferenciales parcialesIntroduccin a los problemas de flujo permanente convalores fronteraFlujo potencialFlujo viscoso laminar incompresible en un duetoProyectos

760

16.7

16.816.9

16.10

760764767770

Respuestas a problemas seleccionados 773Bibliografa 779

A.1 Mtodos de medicin 781

A.T. 1A.T.2A.T.3A.I.4A.I.5A.1.6A.I.7A.1.8

IntroduccinMedicin de presionesMedicin de velocidadesMedicin de caudal en flujo incompresible en tuberasMedicin de caudal en flujo compresible en tuberasMedidas de flujo a superficie libre; el vertederoMedicin de la viscosidadColofn

781781783784789793796800

A.11

B

Deduccin de la ecuacin diferencial para el flujo adiabtico enrea constante para un gas perfecto 801

Curvas y tablas 803

ndice 814XiV

PREFACIO

Con la publicacin de la tercera edicin, este texto empieza la cuarta dcada de su existencia. En retrospectiva,ha tenido tres etapas de desarrollo. La primera edicin represent un despegue radical de los textos sobrefluidos en su tiempo. Por ejemplo, fue el primer texto que utiliz la ecuacin de transporte de Reynolds paraestablecer las formas integrales de las leyes bsicas mediante volmenes de control. Asimismo, fue el primertexto que introdujo y utiliz el volumen de control no inercia]. Adems, present la deduccin de la ley de visco-sidad de Stokes y la formulacin y el uso de las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas innovaciones demostraronser acertadas, ya que la primera edicin se utiliz ampliamente; lleg a 22 impresiones durante 20 aos antes dedar paso a la segunda edicin.

La segunda edicin se centr en el nrbrimipjztu de los temas. Se agregaron captulos sobre turbomaquinaria,mecnica computacional de fluidos y un apndice sustancial sobre instrumentacin. Tambin se completaronotros capitulos, particularmente el captulo sobre capa lmite.

El desarrollo de la tercera edicin se facilit debido a una gran oportunidad. Corno profesor de facultad mienseanza no est restringida a un solo departamento. Por consiguiente, a pesar de que pertenezco al departa-mento de ingeniera civil, en 1979 fui invitado por nuestro departamento de ingeniera mecnica y aeroespacialpara dirigir el curso de segundo ao en mecnica de fluidos a los estudiantes y tuve completa libertad en laforma de presentacin y contenido del curso. Ha habido entre 160 y 180 estudiantes cada ao en esta clase.Particularmente valioso para m fue el hecho de que la mitad de la clase estaba compuesta por estudiantes detransferencia de una amplia gama de programas, que variaban desde programas de ingeniera de universidadesgrandes hasta programas de preingeniera de universidades pequeas. Mi experiencia de ensear a una clasegrande de estudiantes con diferentes tipos de preparacin ha sido la mejor forma para desarrollar un libro. Porconsiguiente, se me present una oportunidad nica para trabajar en la tercera edicin. Asimismo, para com-pensar la extraordinaria confianza dada por mis colegas en el departamento de ingeniera mecanica y aeroespacia),hubo una gran motivacin para mejorar el libro, en particular desde el punto de vista pedaggico. La terceraedicin es el resultado de un esfuerzo continuo, primordialmente en esta direccin, durante toda una dcada.Ahora presento algunos de los cambios hechos durante este periodo.

Como escritor siempre he incluido material en el libro que va ms all de lo que puede cubrirse formalmente enclase; esto incluye lo que puede considerarse como material avanzado. En mis clases siempre he dado unpequeo resumen de la mayor parte de este material con propsitos de orientacin. Adems, siempredeseo motivar a los estudiantes para que estudien por su cuenta este material durante los cursos y, XVparticularmente, en tiempos posteriores, en conexin con otros cursos ms avanzados. Mis estudiantes

me dicen que esto es una prctica muy beneficioha, de manera que la he incorporado en la tercera edicin.Luego;. antes de cualquier seccin avanzada (seal,Ida con asterisco o con letra ms pequea) habr una expli-caci I: resumida sobre lo que se har en forma ms cuidadosa y rigurosa inmediatamente despus.

En los itimos aos he encontrado que los estudia Ites tienen problemas al proyectar superficies curvas que soncomplejas pero que tienen aberturas simples, conXo la superficie exterior de un sistema de tuberas ramificado.En el captulo sobre hidrosttica se presentan an: lisis y problemas sobre este tipo de superficies. Esto es parti-culermente benfico en el captulo 5 cuando se e.:tudia el flujo de momentum a travs de un volumen de controlque se extiende sobre el flujo interno de algn Lparato. Pueden incluirse fuerzas que constan de fuerzas inrer-~7s y calcular, por ejemplo, el empuje de un tu borreactor sobre un marco de prueba. En ciertas condiciones,utilizando simplementepre.riones manomtricx: ; en este clculo, se demuestra que la fuerza sobre la superficieexterior (que no hace parte de la superficie cr control) ocasionada por la presin atmosfrica estar auto-rn$-icamente incluida. Deseo que los estudiantes consideren los voltimenes de control y las ecuaciones asocia-das a stos con el mismo cuidado y la misma precisin que se espera que ellos utilicen en los diagramas decuc rpo libre en mecnica de segundo ao. De manera especfica deseo, al menos en principio, que ellos consi-der:n el volumen de control y la ecuacin de r:lomentzrrn acompaante como un clculo separado del clculo dela fuerza sobre una superficie curva (exterirr, usualmente una superficie compleja que no hace parte de lasuperficie de control con aperturas simples y expuesta a la presin atmosfrica uniforme). Cuando se ha hechoestct con toda claridad, permito el uso de presiones manomtricas para simplificar los clculos. (Sin embargo,se han incluido problemas de trabajo donde esto MI puede hacerse). Despus de este inicio cuidadoso, gene-ralmente el texto utiliza la opcin de un clculo mis corto utilizando presin manomtrica, cuando este enfoquese rjermite.

Alicunos captulos, como los de flujo en tuberas y capa lmite, tienen numerosas definiciones y ecuaciones conrangos de aplicacin limitados. He organizado estos captulos para que sean ms fciles de leer y de utilizar.Asimismo, al final de estos captulos presento hojas de resumen cuidadosamente distribuidas con los resultadosesenciales del captulo. Entre parntesis, yo permito que los estudiantes utilicen copias de estas hojas de resu-men durante los exmenes (con el libro cerrado).

Algunos profesores han pedido que omita algunas de mis notaciones personales a favor de otras usadas msampliamente. As, por ejemplo, con pesar he remplazado smbolos como ReY x por Re,, al igual que otros. Tam-bin por pedido de algunos profesores se ha hecho un uso ms amplio de la libra-masa y de las medidas deal!ura de energa. Otro cambio de notacin est relacionado con las componentes de velocidad. Es un casode: afortunado que u, v y w representan las componentes de desplazamiento en mecnica de slidos y tambinlas componente,s de velocidad en mecnica de fluidos. Donde no puede existir confusin, se han utilizado U, v yw como las componentes de velocidad en este texto, por ejemplo, en las ecuaciones de Navier-Stokes. Cuando elmaterial tiene un uso ms universal, se ha utilizado V,, V, y V, para las componentes de velocidad. En coor-denadas cilndricas, generalmente utilizo v,, v B y v:. Adems, se ha omitido el mtodo complejo de altura equi-valente en hidrosttica a favor de un mtodo directo mSs simple.

Debido a la experiencia adquirida durante muchos aos de enseanza y escritura de la secuencia de mecanicade segundo ao, de esttica, dinmica y mec6nica de slidos, he sido bastante sensible en este texto con respectoa la continuidad entre la mecnica de tluidos y las bases de los cursos de mecnica anteriores. El esfuerzo paratener un uso ptimo de Ia notacin de componentes de velocidad descrita antes es slo un ejemplo de esta sen-sibilidad.

xvj Dos de mis revisores recomendaron con insistencia que se reagruparan ciertos captulos de la terceraedicin en dos grupos mayores que contenan los flujos internos y los flujos externos, respectivamente.

fespindola

FPEFACIO- - _ _ _ -

Despus de una cuidadosa consideracin llegu a la conclusin de que esto sera un mejoramiento y, porconsiguiente, dicho cambio se ha establecido en est:( edicin.

Mis estudiantes muestran mucho inters y curiosidnd acerca de ciertos aparatos tanto modernos como histricos,como los autogiros, los dirigibles, las alas hacia aelante y otros. En consecuencia, al inicio de cada captulo sehan colocado fotografas de algunos de estos aparatos junto con resenas interesantes. En algunos casos, se hanpresentado ejemplos y problemas basados en dichos aparatos. He mantenido el rigor y la generalidad de lasediciones anteriores y he evitado algunas tendenc.as recientes de deducir la ecuacicin de transporte de Reynoldsutilizando un volumen de control simple especial o de deducir la primera ley de la termodinmica para volmenesde control utilizando el caso especial de flujos unidimensionales simples hacia adentro y hacia afuera. Misestudiantes no parecen tener ninguna dificultad c,)n mis deducciones generales y creo que al final tienen un mejorentendimiento de estas formulaciones.

En la tercera edicin no hay captulos nuevos, pero s muchos nuevos ejemplos y nuevas secciones. Se hanagregado, por ejemplo, secciones sealadas con asterisco en el captulo 7, en las que se deducen las formas dife-renciales de las cuatro leyes bsicas mediante procedimientos idnticos, utilizados en otros campos, a partir delas formas integrales de estas leyes. Esto se hace con ayuda de la frmula de Cauchy y el teorema de Gauss,cuyas deducciones son parte del anlisis. Se introducir al estudiante a la notacin ndice si decide leer o estu-diar este material. He encontrado que los estudiantes ms avanzados de tercer ao son capaces de manejar estematerial por s solos nicamente con ayuda mnima. Adems de las secciones y explicaciones nuevas, hay cua-renta proyectos en computador que por falta de espacio, se han presentado en el manual del instructor. Se reco-mienda al instructor reproducir cualquiera de estos proyectos para el uso de los estudiantes. Yo asigno dos otrles en un semestre. Esto es adicional a la carga regular de lectura y de solT,cin de problemas. Finalmente, seincorporaron ms de 300 problemas, la mayor parte en unidades S. 1.

Otra caracterstica que he incluido en el texto es la fl~.~_wibilidud en el sentido de que en varios puntos im-portantes hay rutas mltiples, sealadas en las notas de pie de pgina, b.lue el lector puede seguir. Como ejem-plo, el flujo de Poiseuille en tuberas se deduce utilizando los primeros principios en el captulo 7. En esa partese informa al lector que puede remitirse a ciertas secciones del captulo 9 donde se establecen las ecua-ciones de Navier-Stokes y donde este flujo se deduce utilizando directamente estas ecuaciones. L,uego, el lectorpuede volver al captulo 7 y continuar. Como otro ejemplo, en el captulo sobre el tlujo en tuberas el lector tie-ne la oportunidad de utilizar la teora de longitud de mezcla de Prandtl. con las precauciones apropiadas se-aladas para sus limitaciones, o un mtodo ms corto de anllisis dimensional. (El lector tambin puede perderla cabeza y hacerlos ambos).

En resumen, considero que esta tercera edicin, aunque mantiene el rigor y el nivel de las ediciones anteriores,es ms fcil para el instructor. y ms fcil y efectiva para el estudiante. Adems, con la aprobacin entusiastade muchos de mis estudiantes, he trabajado para hacer que este libro se utilice durante mucho tiempo despusde que se termine el curso. En realidad, mi deseo es convertirlo en un elemento en el que se confe y que sea fa-miliar en la biblioteca tcnica del estudiante para que los utilice durante su carrera.

Deseo agradecer al profesor Amitabha Gosh, del Rochester Institute of Technology, al profesor Duen-RenJeng, de la Universidad de Toledo, y al profesor James Leith, de la Universidad de Nuevo Mxico; fueronexcelentes revisores y ofrecieron muchas sugerencias y crticas valiosas; en particular, los profesores Leith yGosh me convencieron acerca del agrupamiento de los tlujos internos y externos. El profesor Goodarz Ahmadi,de la Universidad de Clarkson, ha sido una fuente constante de consejos y sabidura en el transcurso delos aos desde la primera edicin. l ha revisado en forma cuidadosa y detallada el manuscrito completode la tercera edicin y ha hecho muchas observaciones valiosas y brillantes, las cuales condujeron a los

XVii

P R E F A C I O

cambios incluidos en el texto. iNunca podr agradecerle lo suficiente! Agradezco tambin a mi colega y amigode Buffalo, el profesor Joseph Atkinson, por su revisin cuidadosa y til del captulo sobre flujo a superficielibre y el uso de algunas fotos de sus laboratorios. El Dr. Steve Ma, cuando era estudiante de doctorado enBuffalo, trabaj en los proyectos de computador y revis el manuscrito final. Le agradezco sus expertas con-tribuciones. Expreso mi gratitud al Dr. Anoop Dhingra, quien, cuando era estudiante en Buffalo, tambin tra-baj en los proyectos de computador. La seorita Marca Lam y el seor Jon Luntz, estudiantes en Buffalo,verificaron mis soluciones a los nuevos problemas que se incluyeron en la tercera edicin. Agradezco a estosexcelentes estudiantes. Finalmente, agradezco a mi secretaria, la seora Debra Kinda, por sus excelentes eincansables esfuerzos en la mecanografa.

Irving H. Shames

xviii

PRIMERA PARTE

PRINCIPIOS BSICOS

DE MECNICA DE FLUIDOS

PRINCIPIOS BASICOS DE MECbICA DE FLUIDOS

Prototipo de tecnologa avanzada X-29. (Corfesa de Grurnman Corporafion, Befhpnge, N. Y.)

Ingenieros alemanes empezaron a experimentar con alas extendidas hacia adelantedurante la Segunda Guerra Mundial. Grumman Aviation inici experimentos coneste tipo de alas en 198 1. El programa de investigacin ha mostrado que un ala extendidahacia adelante se comporta aproximadamente un 20% mejor en el rgimen transnicoque un ala equivalente, extendida hacia atrs. La ventaja de tener un arrastre menor ensu envoltura operacional completa, en particular para velocidades alrededor de Mach1, permite el uso de un motor ms pequeo.

En comparacin con un ala extendida hacia atrs, el ala extendida hacia adelante ofreceuna mayor maniobrabilidad, un mejor manejo para velocidades bajas y unas velocidadesde prdida de sustentacin menores con buenas caractersticas posprdida. Debido aque las alas extendidas hacia adelante se colocan ms atrs en el fuselaje, es posible unamayor flexibilidad en el diseo de ste.

Sin embargo, prevalecen efectos aeroelsticos desfavorables para alas metlicas exten-didas hacia adelante, requirindose alas ms fuertes y por consiguiente ms pesadas, 10que contrarresta las ventajas potenciales antes mencionadas. La llegada de ma-teriales compuestos avanzados proporciona una solucin. Tejidos aeroelsticosde compuestos epxicos de grafito permiten que el ala extendida hacia adelante tengasu borde de ataque inclinado hacia abajo con el fin de contrarrestar el pandeo queexperimenta hacia arriba debido a las cargas de vuelo.

Finalmente, debe agregarse que existen problemas de control para condicionesde vuelo subsnico en esta clase de aeronaves. La inestabilidad se controla medianteun sistema avanzado de control de vuelo digital. el cual ajusta la superficie decontrol hasta 40 veces por segundo. Este sistema es manejado por tres computadores.

2

11.1 NOTA HISTRICA

H asta principios del presente siglo el estudio de los fluidosfue desarrollado esencialmente por dos grupos: los ingenie-ros hidrulicos y los matemticos. Los ingenieros hidruli-cos trabajaron desde un punto de vista emprico, mientras que losmatemticos se centraron en enfoques analticos. La gran canti-dad y usualmente ingeniosa experimentacin del primer grupoprodujo mucha informacin con valor incalculable para losingenieros practicantes de entonces; sin embargo, debido a lacarencia de los beneficios de la generalizacin propios deuna teora practicable, estos resultados eran restringidos y de va-lor limitado en situaciones nuevas. Mientras tanto, los matemti-cos, por el hecho de no aprovechar la informacin experimental,se vieron forzados a establecer hiptesis tan simplificadas que pro-dujeron resultados aveces completamente opuestos a la realidad.

Fue evidente para investigadores eminentes, como Reynolds,Froude, Prandtl y Von Krmn, que el estudio de los fluidos de-be ser una mezcla de teora y experimentacin. Con ellos nace lacienciademecnicade fluidos, tal como se conoce actualmente. Losmodernos centros de investigacin y ensayos emplean matemticos,fsicos, ingenieros y tcnicos calificados quienes, trabajando enequipo, mezclan estos dos puntos de vista con grados diferentessegn su trabajo.

1.2 FLUIDOS Y EL CONTINUO

Un fluido se define como una sustancia que cambia su forma conti-nuamente siempre que est sometida a un esfuerzo cortante, sinimportar qu tan pequeo sea. En contraste un slido experimenta undesplazamiento definido (o se rompe completamente) cuando sesomete a un esfuerzo cortante. Por ejemplo, el bloque slido que

Esfuerzocortante

Esfuerzocortante

Figura 1.1Esfuerzo cortante en un slido y en un fluido.

PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS

se muestra a la izquierda en la figura 1.1 cambia su forma de una manera caracterizada convenientemente por elngulo Aa cuando se somete a un esfuerzo cortante r. Si ste fuera un elemento de fluido (como se muestraa la derecha en la figura 1.1) no existira un Aa fijo ni aun para un esfuerzo cortante infinitesimal. En lugar deesto, persiste una deformacin continua siempre que se aplique el esfuerzo cortante T. En materiales que se cono-cen algunas veces como plsticos, como la parafina, cualquiera de estos tipos de deformacin al corte puedepresentarse dependiendo de la magnitud del esfuerzo cortante. Esfuerzos cortantes por debajo de cierto valorinducen desplazamientos definidos similares a los de un cuerpo slido, mientras que esfuerzos cortantes porenci-ma de este valor causan deformaciones continuas similares alas de un fluido. La magnitud del esfuerzo cortantedivisorio depende del tipo y del estado del material. Algunos de estos materiales se conocen como materiales deBingham, como se discutir en la seccin 1.7.

Al considerar varios tipos de fluidos en condiciones estticas, algunos presentan cambios muy pequeos en sudensidad a pesar de estar sometidos a grandes presiones. Invariablemente, estos fluidos se encuentran en estadolquido cuando presentan este comportamiento. En tales circunstancias, el fluido se denomina incompresible yse supone que su densidad es constante para los clculos. El estudio de fluidos incompresibles en condicionesestticas se conoce como hidrosttica. Cuando la densidad no puede considerarse constante bajo condicionesestticas como en un gas, el fluido se denomina compresible y, algunas veces, se utiliza el trmino aerosttica paraidentificar esta clase de problemas.

La clasificacin de compresibilidad dada anteriormente est reservada para esttica. En dinmica de fluidos,los casos en los cuales la densidad puede tratarse como una constante involucran algo ms que la naturaleza delfluido. En realidad, esto depende principalmente de un determinado parmetro de flujo (el nmero de Mach).Por consiguiente, se habla de flujos incompresibles y compresibles, en lugar de flfuidos incompresibleso compresibles. Cuando en un problema las variaciones en la densidad son insignificantes, los gases y los lqui-dos se analizan de la misma manera. Por ejemplo, para el flujo alrededor de cuerpos sumergidos por completo,las ecuaciones bsicas para aerodinmica de bajas velocidades (por debajo de 300 millas/hora aproximadamen-tej son las mismas que para hidrodinmica. De hecho, es posible examinar algunas caractersticas de comporta-miento de perfiles aerodinmicos de bajas velocidades en un tnel de agua.

Los fluidos estn compuestos por molculas con movimientos y colisiones constantes. Para ser exacto enun anlisis, debeta tenerse en cuenta la accin de cada molcula o grupo de molculas en un flujo. Talesprocedimientos se adoptan en la teora cintica de los gases y en la mecnica estadstica pero son, en general,

Fuerza h A AF i g u r a 1 . 2Tiempo Efecto de no continuo sobre un elemento de rea.

demasiado complejos para utilizarlos en aplicaciones de ingeniera. En la mayor parte de los clculos de ingeniera,el inters se centra en manifestaciones promedio medibles de muchas molculas, como, por ejemplo, densi-dad, presin y temperatura. Estas manifestaciones pueden suponerse convenientemente como el resultado de unadistribucin continua hipottica de materia, conocida como el continuo, en lugar del conglomerado real complejo

de las molculas discretas. El concepto de continuo permite una gran simplificacin en el anlisis y se han

4 utilizado ya en cursos anteriores de mecnica los conceptos de un cuerpo rgido o cuerpo perfectamenteelstico.

NOCIONES FUNDAMENTALES

El enfoque de continuo debe utilizarse solo donde arroje resultados razonablemente correctos. Por ejemplo,el concepto de continuo no es vlido cuando la trayectoria libre media de las molculas es del mismo ordende magnitud que la longitud significativa ms pequea del problema. En tales circunstancias no pueden detectar-se con facilidad las manifestaciones globales de las molculas: por consiguiente la accin de cada molcula ogrupo de molculas es significativa y debe tratarse consecuentemente.

Para ilustrar esto, se examin la accin de un gas sobre un elemento de rea circular dentro de un tanque cerrado.Aun con la presencia de una cantidad relativamente pequea de fluido dentro de este volumen, las innume-rables colisiones de molculas sobre la superficie producirn una manifestacin de fuerza global independientedel tiempo. Una sustancia realmente continua simular esta accin bastante bien. Si existe slo una peque-a cantidad de gas dentro del tanque, de manera que la trayectoria libre media es del mismo orden de mag-nitud que el dimetro del elemento considerado, se observa una actividad errtica a medida que las mol-culas individuales o los grupos de molculas bombardean la superficie. No puede seguir hablndose de una fuer-za constante sino de una variacin errtica de la fuerza, como se indica grficamente en la figura 1.2. Estaaccin no es lo que se espera en una distribucin continua de masa. Luego, se ve que el enfoque del continuopuede aplicarse a la primera situacin pero que en el segundo caso, al ignorar los efectos de molculas individuales,sera cuestionable.

Puede alcanzarse la misma situacin para cualquier cantidad de gas dentro del tanque disminuyendo el tama-o del elemento de rea hasta que los efectos moleculares irregulares se vuelvan significativos. Debido a queel enfoque del continuo no toma en consideracin la accin en lo pequeo, no puede conducir a resultados acer-tados en lo pequeo.

1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES

En el estudio de mecnica deben establecerse abstracciones para describir aquellas manifestaciones del cuer-po que sean de inters. Estas abstracciones se conocen como dimensiones, son independientes de otras dimen-siones y se denominan dimensiones primarias o bsicas; aquellas que se definen en funcin de las dimensio-nes bsicas se conocen como dimensiones secundarias. De todos los conjuntos posibles de dimensiones bsi-cas que pueden utilizarse, este texto se limitar al conjunto que incluye las dimensiones de longitud, tiempo, ma-sa y temperatura. Tambin puede utilizarse fuerza en lugar de masa en la lista de dimensiones bsicas. Parapropsitos cuantitativos, diferentes grupos y pases han adoptado unidades de medida para estas dimensionesbsicas. El U. S Customary System (USCS) emplea la libra-fuerza, el pie, el segundo y el grado Rankine,como las unidades para las dimensiones bsicas. El sistema internacional de unidades (SI) usa el new-ton, el metro, el segundo y el grado Kelvin. La tabla 1.1 muestra algunos de los sistemas de unidades msutilizados.

Es conveniente identificar estas dimensiones en la siguiente forma:

Longitud LTiempo TFuerza FTemperatura 8

Estas expresiones formales de identificacin de las dimensiones bsicas y las agrupaciones ms compli-cadas necesarias para representar las dimensiones secundarias se conocen como representaciones dimensionales.

La trayectoria libre media es la distancia promedio cubierta por las molculas entre colisiones.

PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS

Tabla 1.1Sistemas de unidades ms utilizados

Mtrico

Centmetro-gramo-segundo (cgs) S I

MasaLongitudTiempoFuerzaTemperatura

gramo k>centmetro (cm)segundo (s)dina (din)grado Kelvin (K)

MasaLongitudTiempoFuerzaTemperatura

kilogramo (kg)metro (m)segundo (s)newton (N)grado Kelvin (K)

U. S. Customary System

Tipo 1 Tipo II

Masa libra-masa (lbm) Masa slug (slug)Longitud pie Longitud pieTiempo segundo (s) Tiempo segundo (s)Fuerza libra-fuerza (lbf) Fuerza libra fuerza (lbf)Temperatura grado Rankine (R) Temperatura grado Rankine (R)

Las dimensiones secundarias estn relacionadas con las dimensiones bsicas mediante leyes o mediantedefiniciones. Por tanto, la representacin dimensional de tales cantidades estar en funcin de las dimensionesbsicas. Por ejemplo, la representacin dimensional de velocidad Ves:

Siguiendo este esquema, la presin tiene dimensiones FIL2 y la aceleracin se expresa dimensionalmentecomo Ll?.

Un cambio a un nuevo sistema de unidades por lo general implica un cambio en la escala de medida de lasdimensiones secundarias. El uso de la representacin dimensional dada anteriormente permite cambiar de escalacon facilidad. Por ejemplo, en los manuales se encuentralaunidad de medida de presin en el USCS, 1 Ib de fuerzapor 1 pie2 es equivalente a 47.9 unidades en la escala de presin del sistema SI, o 47.9 N/m2 (= 47.9Pa). La unidad N/m2 se conoce como un Pascal (Pa) en el sistema SI. Puede llegarse a este resultado escri-biendo la presin dimensionalmente, sustituyendo las unidades bsicas de USCS y cambindolas luego a lasunidades SI equivalentes, como sigue:

4.45 N0.0929 m

= 47.9 N/m

Porconsiguiente,

6 1 Ibf/pie 2 = 47.9 N/m = 47.9 Pa

fespindola

NOCIONES FUNDAMENTALES

En la parte interna de la portada y contraportada de este libro se presentan las equivalencias fsicas de algu-nas unidades de uso comn en mecnica de fluidos.

Otra tcnica es formar la relacin entre una unidad de una dimension bsica o secundaria y el valor apropiado deotra unidad de la misma dimensin bsica o secundaria, de manera que exista equivalencia fsica entre las canti-dades. Desde este punto de vista, la fraccin se considera como la unidad debido a la relacin uno a uno entreel numerador y el denominador. Entonces

1 picf 1- -1,12 pulgPara otra unidad, puede decirse:

l2 pgi I___ E 1j 305 mmstas deben tomarse como ecuaciones de equivalencia y no como relaciones algebraicas en sentido corrien-te. Multiplicando una expresin por tal relacin no cambia la medida de la cantidad fsica representada porla expresin; por tanto, para cambiar una unidad en una expresin, se multiplica esta unidad por la rela-cin equivalente a la unidad de manera que la unidad anterior se cancele dejando la unidad deseada.Por consiguiente, puede llevarse a cabo un cambio de unidades en el caso previo en una forma msconveniente, utilizando el formalismo dado anteriormente en las expresiones del numerador y del denomi-nador. Luego,

Es preferible emplear estas ltimas tcnicas, debido a que puede incurrirse en error con el uso de mtodos intuiti-vos menos formales.

En mecnica de fluidos, como se anot antes, se manejan dimensiones secundarias para representar manifes-taciones moleculares globales y medibles, como la presin y la densidad. Las manifestaciones que son principal-mente caractersticas de un fluido particular y no de un flujo, se conocen como propiedades del fluido. La vis-cosidad y la tensin superficial son ejemplos de propiedades del fluido, mientras que la presin y la densidad degases dependen en primer lugar del flujo y, por consiguiente, no se consideran propiedades del fluido.

1.4 LEY DE LA HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

Con el fin de determinar las dimensiones de propiedades establecidas mediante leyes, primero debe discutirsela ley de la homogeneidad dimensional. sta afirma que una ecuacin deducida analticamenteque representa un fenmeno fsico debe ser vlida para todos los sistemas de unidades.As, la ecuacin para la frecuencia de un pndulo, f = (1/2z)Jg/Lest planteada apropiadamente

,

PRINCIPIOS BASICOS DE MECANICA DE FLUIDOS

en cualquier sistema de unidades. Una explicacin plausible para la ley de la homogeneidad dimensional esque el fenmeno natural ocurre sin tener conciencia de las unidades creadas por el hombre y, por consiguiente,las ecuaciones fundamentales que representan tales fenmenos deben ser vlidas para cualquier sistema deunidades. Por esta razn, las ecuaciones fundamentales de la fsica son dimensionalmente homogneas, demanera que todas las relaciones deducidas a partir de estas ecuaciones tambin deben ser dimensionalmentehomogneas.

Qu restriccin impone esta independencia de unidades en la ecuacin? Para contestar esta pregunta, exa-mnese la siguiente ecuacin arbitraria:

Para que esta ecuacin sea dimension: rlente homognea, la igualdad numrica a ambos lados de la ecuacindebe mantenerse en todos los sistemas de unidades. Para que esto se cumpla, el cambio de escala en cada expresindebe ser el mismo durante el cambio de unidades. Es decir, si una expresin tal como yqG3 se duplica envalor numrico en el nuevo sistema de unidades, tambin deben duplicarse las expresiones x y a3. Puraque esto ocurra en todos los sistemas de unidades, es necesario que cada grupo en la ecuacin tenga la mismarepresentacin dimensional.

Como ilustracin adicional, considrese la siguiente representacin dimensional de una ecuacin que no esdimensionalmente homognea:

L = T2 f T

Al cambiar las unidades de pies a metros cambiar el valor del lado izquierdo sin afectar el lado derecho einvalidando la ecuacin en el nuevo sistema de unidades. En este texto, casi todas las ecuaciones consideradasson dimensionalmente homogneas.

Teniendo esto en mente, examnese una forma comn de la ley de Newton, que establece que la fuerza aplicadaa un cuerpo es proporcional a la aceleracin resultante. Luego,

Faa

El factor de proporcionalidad se conoce como masa (M). Utilizando la ley de homogeneidad dimensional, lasdimensiones de masa deben ser

La masa puede considerarse como la propiedad de la materia que resiste la aceleracin. Por consiguiente, es po-sible escoger la masa como una dimensin bsica y, en consecuencia, la fuerza sera una entidad dependientedada dimensionalmente a partir de la ley de Newton como

8y el sistema bsico de dimensiones sera masa (M), longitud (L), tiempo (T), y temperatura (61).

NOCIONES FUNDAMENTALES

1.5 UNA NOTA SOBRE FUERZA Y MASA

En unidades USCS, la cantidad de masa que se acelera a una tasa de 1 pie/s2 bajo la accin de 1 lbf deacuerdo con la ley de Newton se define como slug. La libra-fuerza puede definirse en funcin de la deforma-cin de un cuerpo elstico, como un resorte en condiciones de temperatura preestablecidas. Desafortunadamente,tambin es de uso comn una unidad de masa estipulada de manera independiente de la ley de Newton yque proviene de la ley de atraccin gravitacional, en la cual se establece que la fuerza de atraccin entre doscuerpos es proporcional a su masa, la misma propiedad de la materia de la ley de Newton. Por consiguiente, lalibra-masa (lbm) se define como la cantidad de materia que es halada hacia abajo en la superficie de la Tierrapor la gravedad terrestre con 1 lbf.

Por tanto, se han formulado dos unidades de masa debido a dos acciones diferentes y, para relacionarlas, estasunidades deben someterse a la misma accin. Luego, puede tomarse la libra-masa y ver qu fraccin o mltiplode sta se acelerar a 1 pie/? bajo la accin de 1 Ib de fuerza. Esta fraccin o mltiplo representar el nmerode unidades de libras-masa que son fsicamente equivalentes a 1 slug. Se encuentra que este coeficiente es g,,donde g, tiene el valor correspondiente a la aceleracin de la gravedad en una posicin sobre la superficie de laTierra donde se estandariz la libra-masa*. El valor de g, es 32.2, con 3 cifras significativas. Luego, se llega ala siguiente relacin de equivalencia:

1 slug 5 32.2 Ibni (1.0

iCmo entra el peso en este esquema? El peso se define como la fuerza de gravedad sobre un cuerpo. Suvalor depender de la posicin del cuerpo con relacin a la superficie de la Tierra. En un lugar sobre la super-ficie de la Tierra donde se estandariz la libra-masa, una masa de 1 Ibm tiene un peso de 1 Ibf; pero al incre-mentar la altitud, el peso ser menor que 1 lbf. Sin embargo, la masa permanece siempre igual a una libra-masa. Si la altitud no es muy grande, la medida de peso, en libras-fuerza, ser prcticamente igual a la medidade la masa, en libras-masa. Por consiguiente, es una desafortunada prctica de ingeniera pensar errneamenteque el peso en posiciones diferentes a la superficie de la Tierra es igual a la medida de la masa y, del mismomodo, utilizar el smbolo W para representar libras-masa y libras-fuerza. En esta poca de cohetes y misiles, esnecesario ser cuidadoso con el uso correcto de las unidades de masa y de peso en todo el texto.

Si se conoce el peso de un cuerpo en algn lugar, puede determinarse su masa fcilmente, siempre y cuando seconozca la aceleracin de la gravedad g en ese punto. Luego, de acuerdo con la Ley de Newton,

Por consiguiente,

W(Ibf) = M(slugs)g(pie/s2)

W( Ibf)M(sl11gs) = - -

g(pie/s) (1.2)

En el sistema USCS hay dos unidades de masa, que son el slug y la Ibm. En contraste, las unidades SIutilizadas por mucha gente involucran dos unidades defuerza, como se ver a continuacin. La unidad bsicapara la masa en SI es el kilogramo que es la cantidad de masa que se acelerar 1 m/s2 bajo la accin de una

2 La notacin gC tambin se usa extensivamente para esta constante.

PRINCIPIOS B.kSICOS DE MEChICA DE FLUIDOS-__

fuerza de 1 N. Desafortunadamente, el kilogramo tambin se usa como una medida de fuerza, ya que es comnencontrarse con frases como el cuerpo C pesa 5 kg. Un kilogramo de fuerza es el peso medido en lasuperficie de la Tierra de un cuerpo A con una masa de 1 kg. En posiciones apreciablemente por encima de lasuperficie terrestre, el peso del cuerpo A disminuir pero su masa permanecer constante todo el tiempo eigual a 1 kg. Por consiguiente, el peso en kilogramos es numricamente igual a la masa en kilogramos slo enla superficie de la Tierra donde la aceleracin de la gravedad es 9.806 m/s. Debe tenerse cuidado, porconsiguiente, al usar el kilogramo como una medida de peso. En este texto se emplear nicamente el newton,el kilonewton, etc., como la unidad para fuerza.

iCul es la relacin entre el kilogramo fuerza y el newton fuerza? Esto se establece fcilmente cuando se hacela siguiente observacin:

1 N acelera 1 kg de masa 1 m/s21 kg fuerza acelera 1 kg masa 9.806 m/s2

Es claro que 1 kg fuerza equivale a 9.806 N. Adems, un newton equivale aproximadamente a un quinto delibra.

tEje de

velocidad

Figura 1.3Flujo paralelo bien ordenado.

iCul es la masa M de un cuerpo que pesa W newtons en un lugar donde la aceleracin de la gravedad esg metros por segundo cuadrado? Para esto solamente se necesita utilizar la ley de Newton, Luego,

En este libro se utilizan ambos sistemas de unidades, pero con mayor nfasis en las unidades SI.

1.6 LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON: EL COEFICIENTE DE VISCOSIDAD

(1.3)

Una propiedad muy importante se introducir como consecuencia de la ley de viscosidad de Newton. Para unflujo bien ordenado 3 en el que las partculas de fluido se mueven en lneas rectus y parulelas (flujo paralelo),la ley estabiece que para ciertos fluidos conocidos comoflfluidos newtonianos, el esfuerzo cortante sobre una

interfaz tangente a la direccin de flujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con

1 0 3 Tal flujo, conocido como laminar, se encuentra libre de fluctuaciones macroscpicas de velocidades. Esto se estudiar endetalle en el captulo 9.

fespindola

NOCIONES FUNDAMENTALES

respecto a la distancia, donde la diferenciacin se toma en una direccin normal a la interfaz. Matemticamentese establece como

La figura 1.3 puede explicar con ms detalle esta relacin. Se escoge un rea infinitesimal en el flujo que seaparalela al eje de velocidad horizontal, como se muestra. Se dibuja la normal ~t a esta rea y se grafican lasvelocidades del fluido en puntos a lo largo de la normal, formando de esta manera un perfil de velocidad. Lapendiente del perfil hacia el eje II en la posicin correspondiente al elemento de rea es el valor dV/&z, el cualse relaciona, tal como se plante anteriormente, con el esfuerzo cortante 7 presente en la interfaz.

Tabla 1.2Propiedades de lquidos comunes a 1 atm y 20C

Lquido

Viscosidad /.L

kg ! (m * s) slug / (pie * s)

Mbdulo dc elasticidadViscosidad cinemtica u volumtrica K Tensin superficial o

~__ __-mls pie / s GPa Ib / pulg2 N Im ll3 / pie

Alcohol(etlico)

Gasolina

Mercurio

Aceite(Lubricante)

ApI

Al insertar el coeficiente de proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega al resultado

(1.4)

donde /i se conoce como el coejiciente de viscosidad, el cual tiene dimensiones (F/L)T o MILT. En el sistemade unidades cgs, la unidad de viscosidad es el poise, que corresponde a 1 g/cms. El centipoise es l/lOO de unpoise. La unidad SI para la viscosidad es 1 kg/ms. sta no tiene un nombre en particular y es 10 veces mayorque el poise, como se deduce utilizando las unidades bsicas. En el sistema USCS, la unidad del coeficiente deviscosidad es 1 slug/pies y en el sistema SI no tiene nombre. En la tabla 1.2 se presentan los coeficientes deviscosidad para lquidos comunes a 1 atm y 20C de temperatura.

Las caracters[rcas de viscosidad tambin se presentaron en la figura B. 1 del apndice para cierto nmero defluidos importantes. Como se estableci previamente, la viscosidad no depende en gran medida de la presin.Sin embargo, en la figura B.l se observa que la viscosidad de un lquido disminuye con un aumenfo en latemperatura, mientras que en un gas curiosamente ocurre lo contrario. La explicacin de estas tendencias es lasiguiente: en un lquido las molculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentesentre las molculas. Esto se manifiesta en la propiedad del fluido que se ha llamado viscosidad. Un aumento enla temperatura disminuye la cohesin entre las molculas (en promedio, se apartan ms) y existe undecrecimiento en la pegajosidad del fluido, es decir, un descenso en la viscosidad. En un gas las $1molcculas tienen una gran movilidad y generalmente estn apartadas pues, en contraste con un

PRINCIPIOS ~Asrcos DE MECANICA DE FLUIDOS

lquido, existe poca cohesin entre ellas. Sin embargo, las molculas interactan chocando unas con otrasdurante sus movimientos rpidos. La propiedad de viscosidad resulta de estos choques. Para ilustrarlo,considrense dos paquetes adyacentes pequeos pero finitos de fluidos A y B en el tiempo t en un flujo simpley paralelo de un gas de la clase que se estudi al comienzo de esta seccin. Esto se muestra en la figura 1.4.Como puede verse en el diagrama, el paquete A se mueve ms rpido que el paquete B. Esto significa que, enpromedio, las molculas dentro del paquete A se mueven ms rpido hacia la derecha que las molculas dentro

n, Perftl de velocidades

Figura 1.4Flujo paralelo de un gas en el tiempo t.

del paquete B. Adems del movimiento promedio de las molculas, existe tambin una migracin aleatoria demolculas desde el paquete A hacia el paquete B a travs de su interfaz y viceversa. Considrese primero lamigracin desde A hasta B. Cuando las molculas A se mueven hasta B, habr algunos choques entre lasmolculas A y las molculas B. Debido a que las molculas A, en promedio, se mueven mas rpidamente en ladireccin x que las molculas B, existir una tendencia a acelerar las molculas B en la direccin X. Estosignifica que existir una tendencia macroscpica a que el paquete B se acelere. Desde el punto de vista delcontinuo, parecer como si existiera un esfuerzo cortante r en la cara superior de B que acelera a B. Esto semuestra en la figura 1.5. Mediante una accin similar, las molculas lentas que viajan desde B hasta Atienden a desacelerar el paquete A. Macroscpicamente esto puede considerarse como el resultado de un

II

1

! x Figura 1.5Esfuerzo cortante en los paquetes A y B.esfuerzo cortante 7 sobre la interfaz inferior A. Tales esfuerzos sobre los otros paquetes de fluido

12 donde existe una variacin macroscpica de velocidad con respecto a la posicin producen la pegajo-Sihd del OR9 2 V,, tlll-l,n ,-Ctn ,,l-i&,,2 19 lW,W&dd ~Wt-WW~~iP~ Cl= X~iCPnQ~~O~ A rn~~4;rl.x ~I,P 1~

fespindola

NOCIONES FUNDAMENTALES

temperatura es mayor, la tendencia de las molculas a la migracin ser mayor, y por consiguiente 5 sermayor para este caso simple, debido a que se esperarn ms colisiones de molculas de A viajando hacia B, yviceversa. Esto producir una mayor pegajosidad y, por consiguiente, una mayor viscosidad.

En resumen, la viscosidad de un lquido ocurre por la cohesin de molculas. Esta cohesin y, por tanto, laviscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta. Por otra parte, la viscosidad de un gas es el resultadodel movimiento aleatorio de las molculas. Este movimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de maneraque la viscosidad aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que la presin tiene solo un efecto pequeosobre la viscosidad y, por lo general, ste no se toma en cuenta.

La variacin de la viscosidad de los gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de las siguientesdos leyes conocidas, respectivamente, como la ley de Sutherlund y la ley de potencia, como sigue:

Ley de potencia (1.6)

(1.5)

donde p0 es una viscosidad conocida a una temperatura absoluta T0 y donde S y TZ son constantes determina-das mediante el ajuste de una curva. Ntese que T es la temperatura absoluta a la cual est evalcndose 1.

Para determinar la viscosidad de los lquidos, se utiliza la siguiente f6rmula simple:

p =/LI~-~ (1.7)

donde A y B son constantes encontradas nuevamente al ajustar datos a una curva para un lquido particular.

Al retornar el anlisis general de viscosidad, puede indicarse que la mayor parte de los gases y de los lquidossimples son fluidos newtonianos y por consiguiente se comportan de acuerdo con la ley de viscosidad deNewton en las condiciones esbozadas. Pastas, lodos, grasas y polmeros de alta densidad son ejemplos defluidos que no pueden considerarse como newtonianos.

Existe una ley de viscosidad ms general, conocida como ley de viscosidad de Stokes, que se aplica a flujosde fluidos newtonianos considerablemente ms generales que los tratados en esta seccin. Esto se exami-nar en el captulo 10. Sin embargo, en aplicaciones como problemas de lubricacin de rodamientos se permiteno tener en cuenta la curvatura de flujo y utilizar la ley relativamente simple de viscosidad de Newton; esto sedebe a que el espesor de la pelcula de lubricacin es muy pequeo comparado con el radio del rodamiento. Porconsiguiente, los dominios de los flujos que tienen dimensiones comparables al espesor de la pelcula involu-cran cambios muy pequeos en la direccin de flujo y puede considerarse como si en estos dominios elflujofuera puruZeZo4, permitindose el uso de la ley de viscosidad de Newton (para fluidos newtonianos). Adems,en flujo de fluidos reales (los cuales siempre tienen alguna viscosidad), en contraste con flujos hipotticu-

4 Una explicacin intuitiva para esto puede obtenerse al notar que al observar una regin pequea alrededor de uno mismo,donde la dimensin de esta regin es mucho menor que el radio de la Tierra, no se siente la curvatura total de la Tierra enel lugar donde se encuentra parado.

\ .: . ...j_

PRINCIPIOS BASICOS DE MEChICA DE FLUIDOS

mente sin friccin, o flujos no viscosos, el fluido en contacto con una frontera slida debe pegarse atales fronteras y, por consiguiente, debe tener la misma velocidad de la frontera 5.

Colmete

Figura 1.6Eje que rota en un cojinete lubricado.

Por ejemplo, considrese el eje A de la figura 1.6 como una seccin transversal que rota con una velocidad orad/s dentro de un cojinete de un rodamiento, con una pelcula delgada de aceite de espesor e separando loscuerpos. En este caso, puede aproximarse el perfil de velocidad, debido a que e es muy pequeo comparadocon el radio, como un per@ Zineal, como se muestra en el diagrama. El esfuerzo cortante sobre todas lasinterfaces de aceite perpendiculares a las lneas radiales puede darse como:

D=, Pellcula de aceite

0.1 mm

Figura 1.7 Figura 1.8Cilindro A que se desliza dentro de un tubo lubricado. Perfil lineal de velocidad en una pelcula.

.xst 5 En flujos con velocidades muy altas iguales a 5 o ms veces la velocidad del sonido puede existir un deslizamiento delos fluidos reales con respecto a las fronteras slidas, los cuales se conocen comopujos deslizantes.

NOCIONES FUNDAMENTALES

Estos problemas se examinarn en tareas. Ahora, considrese un problema de una pelcula de aceite con flujoparalelo real.

Ejemplo 1.1. Un cilindro slido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en lafigura 1.7. El cilindro es perfectamente concntrico con la lnea central del tubo con una pelcula de aceite entre elcilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es 7 x 1O-3 N * s/m2. Cuti es lavelocidad terminal V, del cilindro, es decir, la velocidad constante final del cilindro? Ignore los efectos de presindel aire.

Se supone un perfil de velocidad lineal en la pelcula de aceite, como se muestra en la figura 1.8. El valor deIV/dn necesario en la ley de viscosidad de Newton ser:

dV V - O-=an- = 10,000v s 0 .ooo 1

(4

El esfuerzo cortante T sobre la pared del cilindro es

8V7 = p- = (7 x 10~ )(lo,ooov) = 7ov Pa

nt1(b)

Ahora, puede igualarse el peso del cilindro con la fuerza viscosa en la condicin de equilibrio que se obtiene cuandoel cilindro alcanza su velocidad terminal V,. As,

w = (T)(?TD)(L)Cc)

:_ (2.5)(9.81) = (70v,)(~)(0.073x)(0.150)

Se obtiene para V,:

V, = 10.07 m/s (4

Si se divide ,LI por.p , la densidad de masa, se obtiene lo que se conoce como viscosidad cinemdtica6. Estapropiedad se denota como v y tiene dimensiones Llt, como puede verificarse. En el sistema cgs, la unidad seconoce como stoke (1 cm2/s) y en el sistema SI, la unidad es 1 m*/s, que obviamente es lo4 veces el stoke. Enel sistema USCS, la unidad bsica es 1 pie2/s. La viscosidad cinemtica es independiente de la presin paralquidos; sin embargo, para gases v depender de la presin. La dependencia de v con respecto a la tempera-tura para presin atmosfrica se muestra en la figura B.2 del apndice.

1.7 UNA NOTA SOBRE MATERIALES NO NEWTONIANOS

El estudio de la respuesta de los materiales a esfuerzos se conoce como reologu. En este contexto, el fluidonewtoniano es un material viscoso. Los fluidos no newtonianos tambin son materiales viscosos en los cuales elesfuerzo cortante est relacionado con la tasa de corte, dV/dy, en una forma ms complicada. La ley de potenciaes una forma de describir el comportamiento de materiales viscosos, Para flujos paralelos est dada como:

(1.8)

Usualmente la viscosidad en s se conoce como viscosidad absoluta o dinmica, para diferenciarla mejor de la vis- 15 :cosidad cinemtica.

PRINCIPIOS BkSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS

Para un fluido newtoniano k = p y FZ = 1. Para otros valores de n se tendra un fluido no newtoniano.

Un fluido no newtoniano cuyo comportamiento se describe mediante la ecuacin (1.8) con n c 1 se conocecomo pseudoplstico; este nombre se origina porque con el incremento de la tasa de corte, dV/dy, existe unacuriosa disminucin en la viscosidad efectiva. Es decir, con un incremento en la tasa de corte el lquido seadelgaza7. En la figura 1.9 se muestra la curva esfuerzo-tasa de corte. Muchos lodos no newtonianos sonpseudoplsticos. Por otra parte, si n > 1, el fluido se conoce como dilatante; aqu el fluido se engruesa conun aumento en la tasa de corte.

Adems, existen los llamados materiales lineales de Bingham, donde, como se describi en la seccin 1.2, sepresenta nicamente un desplazamiento finito para un esfuerzo cortante menor que un valor zI y para el cualexiste un comportamiento viscoso newtoniano cuando el esfuerzo cortante es mayor que t 1. Este comporta-miento se muestra en la figura 1.9. La ecuacin correspondiente es

dV

Esfuerzo

cortante

71

Material

lineal de

Bingham

Tasa de esfuerzo cortantei i@dy

Figura 1.9Comportamiento reolgico de algunos materiales viscosos.

Finalmente, cabe indicar que muchos materiales poseen una combinacin de caractersticas viscosas y elsti-cas, por lo que se conocen como materiales viscoelsticos*. Por ejemplo, los plsticos a temperatura ambiente ybajo carga son viscoelsticos.

Aun con esta lista abreviada de comportamiento de materiales, debe quedar claro que existe un amplio rango deposibles caractersticas de los materiales que va ms alla de los casos familiares simples usualmente estudiadosen cursos introductorios de fluidos y de slidos.

En este texto, como se indic, se restringe el estudio a fluidos newtonianos y se emplea la definicin deun fluido (en contraposicin a la de un slido) dada en la seccin 1.2.

Es decir, la curva pseudoplstica cae continuamente mucho ms abajo que las de un fluido newtoniano, como puedeobservarse en la figura 1.9.

&$f * Vase 1. H. Shames y F. Cozzarelli, Elastic and Inelastic Stress Analysis, captulo 7. Prentice-Hall. Englewood Cliffs.: N.J., 1992.

NOCIONES FUNDAMENTALES

1.8 EL GAS PERFECTO: ECUACIN DE ESTADO

Si se presume que las molculas de un lquido tienen un efecto mutuo causado solo por choques perfectamenteelsticos, entonces la teora cintica de gases indica que para tal fluido, conocido como gas perfecto, existeuna frmula simple que relaciona la presin, el volumen especfico y la temperatura absoluta. Esta relacin,conocida como ecuacin de estado, tiene la siguiente forma para un gas perfecto en equilibrio:

pl = RT (1.10)

donde R, la constante de gas, depende nicamente del peso molecular del fluido, v es el volumen especfico(volumen por unidad de masa) y T es la temperatura absoluta. Los valores de R para diferentes gases a bajapresin se dan en la Tabla B.3 del apndice.

En la realidad, el comportamiento de muchos gases, como aire, oxgeno y helio, se aproxima bastante al de ungas perfecto en la mayor parte de las condiciones y, por consiguiente, puede representarse con bastanteprecisin mediante la anterior ecuacin de estadog. Debido a que la esencia del gas perfecto es la ausenciacompleta de atraccin intermolecular, los gases cerca de condiciones de condensacin se desvan mucho delcomportamiento de un gas perfecto. Por esta razn, el vapor, el amonaco y el fren a presin atmosfrica y atemperatura ambiente y, adems, el oxgeno y el helio a presiones muy elevadas, no pueden considerarse comogases perfectos en muchos clculos.

Existen otras ecuaciones de estado diferentes de la de los gases perfectos, pero no tienen la sencillez y el rangode la ecuacin anterior. Debe hacerse nfasis en que todas estas relaciones se desarrollaron para fluidos enequilibrio mecnico y trmico macroscpico. En esencia esto significa que el fluido como un todo no tienemovimiento acelerado relativo a un marco de referencia inercia1 y se encuentra libre de transferencias decalor. El trmino p en la anterior ecuacin de estado y en otras ecuaciones similares se conoce como presin.Sin embargo, debido a la naturaleza de equilibrio de esta propiedad, como se utiliza en las ecuaciones deestado, se emplea el trmino presin termodinmica para diferenciarla de cantidades que involucran situacio-nes dinmicas. Las relaciones entre presin termodinmica y los conceptos de no equilibrio se estudiaran en loscaptulos 2 y 9. En la seccin ll .2 se analiza con ms detalle el gas perfecto.

9 Probablemente usted ya ha utilizado la ley del gas perfecto para casos especiales en su curso de qumica. Luego, la ley de Charlespara presin constante, utilizando la ecuacin (l.lO), se convierte en

Luego ,

. .P 1~ = const = ~R 1

I = (const)T

:. I cx T

Esto significa que el volumen especfico v es directamente proporcional a T. Tambin la ley de Boyles se aplica para temperaturaconstante. Luego, de la ecuacin (l.lO),

JI! = RT = const

El volumen especfico de un gas vara inversamente con la presin. Para una masa de gas dada puede remplazarse elvolumen especfico, en las ecuaciones anteriores, por el volumen V del gas.

PRINCIPIOS B,hICOS DE MEChICA DE FLUIDOS

Ejemplo 1.2. Se mantiene aire a una presin de 200 kPa y a una temperatura de 30C en un tanque de 500 L. Cules la masa del aire?

Puede utilizarse la ecuacin de estado con la constante del gas, R, igual a 287 N.m/(kg.K) y resolver para elvolumen especfico v. Luego,

[(200)( IOOO)]~ = (287)(273 + 30)

.. 1 = 0.435 m,kg

Y

2pies L--50 p i e s - ~~

A 7,I41 ple B X E

1 x Figura 1.10Can de aire.

La masa del aire puede calcularse en la siguiente forma:

/&L[SOO/ 1 OOO]

= 1.149 kg1 0.435

El siguiente ejemplo, marcado con asterisco, es un problema interesante, aunque con cierto grado de dificul-tad, que involucra un aparato utilizado durante muchos aos por la Armada de los EE.UU.

*Ejemplo 1.3. Un cuon de aire se utiliza para probar la habilidad de aparatos pequeos que soportan acele-raciones altas. Un pistn flotante A, sobre el cual se monta el aparato a probar, se mantiene en la posicin C y laregin D se llena con aire altamente comprimido (figura 1.10). En principio, la regin E se encuentra a presinatmosfrica pero aislada por completo del exterior. Cuando se dispara, un mecanismo de soltado rapido dejalibre el pistn y ste acelera con rapidez hacia el otro extremo del can, donde el aire atrapado en E acolchonael movimiento de manera que el pistn eventualmente empezar a devolverse. Sin embargo, cuando empieza elmovimiento hacia atrs, la alta presin desarrollada en E se libera a travs de la vlvula F y el pistn se devuelveslo una pequea distancia.

Supngase que el pistn y el especimen de prueba tienen una masa de 2 lbm y la presin manomtrica inicial en lacmara D es de 1,000 lb/pulgz. Calcule la velocidad del pistn en la mitad del recorrido del can de aire si sehace la suposici6n simple de que el aire en D se expande de acuerdo con pv = const (es decir, expansin isotermapara la cua! puede utilizarse la ley de Boyle) y que el aire en E se comprime de acuerdo con pv = conW.Inicialmente, para este fluido tome v en D como 0.207 piesVbm y u en E igual a 13.10 pies3/lbm. Ignore la inerciadel aire y la friccin.

La fuerza sobre el pistn resulta de las presiones en cada una de las caras y puede demostrarse que esta fuerzaes una funcin de x. Luego, examinando la presin pD primero, de las condiciones iniciales se tiene:

( pr+,,),, = [( 1000 + 14.7)( 144)](0.207) = 30,300 pies Ibf/lbm (4

18Io En el problema 1.30 se supone que no existe transferencia de calor durante la expansin y la compresin (un modeloms real). Como se aprender posteriormente, para este caso la ecuacin de estado se convierte en pvt= const, donde kes una constante.

NOCIONES IWNLMh4ENTALES

Adicionalmente, la masa de fluido D dada como M, se determina de los datos iniciales como

0 1'M,,= iv;- =1'1) 0 0.207 (b)

donde (V,), indica el volumen inicial del gas en D. Retornando a la ecuacin (a), para pD en cualquier posicin ndel pistn se tiene que

30,300 30,300 30,300P1>=-= -=

1'11 "l,/MLl r( A+/M,,

293,000.'. P = x ibf/ pie:

De modo similar, puede obtenerse pE como una funcin de x. Luego,

( P~,~~J,, = (14.7)(144)( 13.10) = 27,700 pies Ibf/lbm

Y( l. >,, (4fqd)___ =

ME = (l.,..),)= 2.88 Ibm

13.10

Luego,

27,700 27,700 27,700P/{ =

L'I, "k /M, - (7&)(50 -x)/2.XK

101,600.. Pr: = s(, _ y Ihf/piez Cc)

Ahora, puede escribirse la ley de Newton para este caso. Utilizando V sin subndice como la velocidad, se obtiene:

d2V d" 293,000 101 ,hOOMdl=Mdu= ___-___ (4

X so - x

donde M es la masa del pistn y su carga, Se deja al lector el trabajo de separar las variables e integrar la ecuacindiferencial. La constante de integracin se evala notando que cuando n = 2 pies, V = 0. En x = 25 pies, seencuentra que

V= 4120 pies/s

1.9 COMPRESIBILIDAD DE LQUIDOS; TENSIN SUPERFICIAL

En la seccin precedente se estudi la compresibilidad de un gas perfecto por medio de la ley del gas perfec-to. Anteriormente se indic que los lquidos presentan slo una ligera compresin bajo presin. A pesar deque esta compresibilidad de los lquidos es pequea, algunas veces es importante. Por ejemplo, puedeserlo para presiones muy altas. Tambin, en acstica bajo el agua (sonar) la compresibilidad del agua .

PRINCIPIOS BkSICOS DE MECANICA DE FLUIDOS-

Para medir la compresibilidad de un lquido se presentan dos cantidades. El coeficiente de compresibilidadp se define, utilizando V para el volumen, como

p=-;;! 1 1 (1.11)donde el subndice T indica que la compresin del lquido ocurre a temperatura constante (compresinisoterma). El inverso de p se conoce como mdulo de elasticidad volumtrica, denotado como K. Luego,

K = (1.12)

Barras de refuerzo

l- --L=5m~ ~~~Figura 1.11Tanque cilndrico.

Para agua a temperatura ambiente y presin atmosfrica, el valor de K es 2068 MPa (300,000 lb/pulg2).(M significa mega = 106, tal como se indica en las hojas internas de la cubierta). Ntese que K se incrementa conla presin. A una presin de 3,000 atm, el agua ha duplicado su mdulo de elasticidad volumtrica. Para entenderla compresibilidad del agua, considrese una compresin isoterma debida a una presin de 10 atm que actasobre 1 m3 de agua. Utilizando la ecuacin (1.12) puede decirse, expresando la ecuacin en una forma dediferenciasfinitas, que

AL= -!ApK

Suponiendo que K y V son constantes en la parte derecha de la ecuacin, se encuentra que:

1AV= -

2068 x 10 [UWW25)1

zz -4.90 X 10m4 rn3

Entonces, el porcentaje de disminucin en el volumen es

4.90 x 1op4x 100 = 0.0490%

1

NOCIONES FUNDAMENTALES

Ejemplo 1.4. Un tanque de acero reforzado (vase la figura 1. ll) debe contener aire a una presin manomtricaup de 7.00 MPa. Para probar el tanque, se llena con agua y se aumenta la presin forzando ms agua adentro hastaque se alcanza una presin de prueba pr mayor que la presin de operacin p. El valor de pr se tija mediante elfactor de seguridad n que va a utilizarse. La razn para utilizar agua en lugar de aire es garantizar la seguridaddurante la prueba. Ms adelante se ver que la energa agregada a una masa de fluido durante la compresin es

-5 mm

Figura 1.12Cuerpo libre en el que se aprecia r.

jp dV, donde V es volumen. Con el aire existe un gran cambio en el volumen con la presin, de manera que hayuna mayor cantidad de energa almacenada en el aire comprimido que en el agua comprimida a la misma presin yvolumen. Una ruptura del tanque con aire comprimido ser, por consiguiente, mucho ms peligrosa (algo quepodra caracterizarse como una explosin) que una ruptura del tanque con agua comprimida. En el ltimo caso, sedisparar una pequea cantidad de agua hacia afuera del tanque que est fallando, durante un tiempo corto y conbajo riesgo.

El tanque debe probarse utilizando un factor de seguridad n de 1.5. La pared del tanque tiene un espesor de 5 mm yse encuentra reforzada de manera que no se permite un cambio apreciable en el dimetro. Adems, las placas en losextremos se encuentran altamente reforzadas para prevenir una deformacin apreciable. Sin embargo, la longi-tud del tanque cambiar como resultado de la presin interna. Si el mdulo de elasticidad E del tanque es 2.07 x10 Pa, jcual sera el volumen adicional de agua agregado a un tanque inicialmente lleno de agua a presinatmosfrica para alcanzar la presin de prueba pr? Calcular este volumen para la presin de prueba.

Para mayor facilidad, primero se calcula el volumen deformado V dentro del tanque bajo los supuestos hechos.Con este propsito, primero se calcula el esfuerzo longitudinal r en la pared del cilindro (vase la figura 1.12). Notandoque Di es el dimetro interno, para el equilibrio del cuerpo libre mostrado se tiene el siguiente resultado:

-T:( Do ~ D2) + ny

~- +21 - 1.9902) + (3.5)(7.00) T(1.990)I 2]=0

T = 1042 MPa

De acuerdo con la ley de Hooke, la deformacin longitudinal E es

7 1042 x 10hEE-= = 5.034 x lo-

E 2.07 x 10

Luego, la nuev-a longitud interna L es

1: = L + CL = 5 + S(5.034 x 10-7)

:. C = 5.0252 m

* Como 0.1 MPa = 1 atm, en este caso la presin es de 70 atm aproximadamente.

PRINCIPIOS BkICOS DE MEChICA DE FLUIDOS

El volumen interno deformado es

V = t(1.9902)(5.0252) = 15.6296 m3

La expansin del interior del tanque es, por consiguiente,

V - V = 15.6296 - :(1.990)(5) = 0.07832 m3

Debe aadirse en parte este volumen de agua a la presin de prueba. Tambin debe tenerse en cuenta que, ademsde la deformacin del tanque, el agua se deforma debido a su compresin.

Segn esto, debe estudiarse qu pasa con el agua. Para mayor claridad, considrese primero que un volumen deagua de V = 15.6296 m3 entra al tanque deformado a presin atmosfrica. Luego, el agua se comprime hasta lapresin de prueba final de 1.5 x 7.00 = 10.5 MPa manomhrica y se calcula el cambio en el volumen (AVJw de aguacomo resultado de esta accin. Esto dar otro volumen de agua que debe agregarse. Utilizando el valor de2068 MPa para K, notando que el cambio en la presin es 10.5 MPa en la ecuacin (1.13) se tiene que para (AVjw es:

(AV),= -;Ap= -15.6296

--(lOS x 10)2068 x loh

= ~ 0.0794 m3

Con este descenso (AVJw en el volumen de agua que originalmente llenaba el tanque deformado con volumen V,puede agregarse un volumen igual de agua (AV)_ a la presidn de prueba para llenar el tanque a esta presin.Luego, el volumen total de agua (AV), aadido a la presin de prueba a un tanque lleno de agua, inicialmentea presin atmosfrica, es

E x p a n s i n Comprensindeltanque del agua

( A l ) , = (V- V) + I(AV)x,I

= 0.07832 + 0.0794

= 0.1577 m3

En el problema 1.32 se pide calcular este exceso de volumen de agua aadido a una presin correspondiente a lapresin atmosfrica en lugar de la presin de prueba. Ms adelante se ver que solamente una pequea porcin deagua saldr disparada cuando se presente una ruptura en el tanque a la presin de prueba.

Una segunda propiedad que se estudiar es la tensin superjicial en la interfaz de un lquido y un gas. Estefenmeno, que es una fuerza de tensin distribuida a lo largo de la superficie, se debe primordialmente a laatraccin molecular entre molculas parecidas (cohesin) y a la atraccin molecular entre molculas diferentes(adhesin). En el interior de un lquido (vase la figura 1.13) las fuerzas cohesivas se cancelan, pero en lasuperficie libre del lquido las fuerzas cohesivas desde abajo exceden las fuerzas adhesivas desde el gas

localizado por encima, dando como resultado una tensin superficial. sta es la razn por la cual una22 gota de agua adquiere una forma esfrica, y los pequeos insectos pueden posarse en la superficie de

un lago sin hundirse. La tensin superficial se mide como una intensidad de carga lineal CT tangencial

NOCIONES WNDAMENTALES

a la superficie y se da por unidad de longitud de una lnea dibujada sobre la superficie libre12. Adems, la cargaes perpendicular a la lnea, como se muestra en la f?.gura 1.14, donde AB se localiza sobre la superficie libre. CJse conoce como coeficiente de tensin super$ciuE y es la fuerza por unidad de longitud transmitida desde la

-

*

Las fuerzas cohesivasexceden las fuerzas

adhesivas

\Las fuerzascohesivasse cancelan

Figura 1.13Fuerzas cohesivas y fuerzas adhesivas.

Figura 1.14Tensin superficial (T.

superficie de fluido localizada a la izquierda de AB hasta la superficie de fluido localizada a la derecha deAB con una direccin perpendicular a la lnea AB. De ese modo, la distribucin de fuerza vertical en la fronterade un cuerpo libre formado por la mitad de una gota de agua (vase la figura 1.15) es la tensin superficial CYsobre la superficie de la gota. En la seccin transversal interior se muestra la distribucin de fuerzas debido a lapresin pi dentro de la gota. Para una gota de lquido en equilibrio, puede decirse, por consiguiente, que

-(P;)m,(~~22 + (@)(27rR) = 0

A donde (p,j,, es la presin interna en la gota por encima de la presin atmosfrca. (Aqu se supone que el pesocausado por la gravedad ha sido anulado por algn agente externo). Resolviendo @i)- se obtiene:

(P,),, = ; (1.14)

A temperatura ambiente, cr para agua en contacto con aire es 0.0730 N/m l3 En consecuencia, para una gota.

l2 Esta carga es similar a la carga uniformemente distribuida w(x) sobre vigas utilizadas en resistencia de materiales. .,+:;. : :.l3 El coeficiente de tensin superficial para una interfaz agua-aire es CT = 0.0730 N/m 3 0.0050 lb/pie. Para una interfazmercurio-aire, el coeficiente de tensin superficial es CJ = 0.514 Nlm = 0.0352 lb/pie.

PRINCIPIOS BkXOS DE MECANICA DE FLUIDOS

de 0.5 mm de radio (p;),, es

( p, ),m=(2)(.()73(9 = 292 Pa

() ()()(js

Como 1 atm es 1.013 x lOs Pa, la presin interna es 0.00288 atm.

Figura 1.15 Figura 1.16Tensin superficial sobre la mitad de Cuerpo libre de la mitad de una burbuja queuna gota de agua. muestra dos superficies con tensiones superficiales.

Considrese ahora el caso de una burbuja. Si la burbuja se corta por la mitad para formar un cuerpo libre(vase la figura 1.16), se ve que la tensin superficial existe sobre dos superficies: la interna y la externa.Suponiendo que el radio es aproximadamente igual para las superficies interna y externa, puede decirse quepara que haya equilibrio con la presin manomtrica interna (pi)- debe cumplirse que

- ( P,),,,~TR* + 2[a(27rR)] = 0

:. ( p,),, $(1.15)

Considrese ahora la situacin en que un lquido se encuentra en contacto con un slido, como en el caso de unlquido dentro de un tubo de vidrio. Si la adhesin del lquido con el slido es mayor que la cohesin en ellquido, entonces el lquido subir dentro del tubo y formar con el slido un menisco curvado hacia arriba,como se ilustra en la figura 1.17a para agua y vidrio. La curvatura con el solido se mide mediante el ngulo 8.

Mercurio

y vidrio

Figura 1.17 U)

Efectos capilares de cohesin y adhesin.

b)

24 La altura capilar h para un fluido y un slido dados depende de 8, el cual, a su vez, depende deldimetro interno del tubo. La altura capilar se incrementar con la disminucin del dimetro interno del

N O C I O N E S F U N D A M E N T A L E S

tubo. Si la adhesin con el vidrio es menor que la cohesin en el lquido, entonces se obtiene un meniscocurvado hacia abajo medido mediante 8 en el slido, como se muestra para el mercurio y el vidrio en la figura1.17b. Ntese en este caso que la columna de mercurio se deprime una distancia h. Nuevamente, h seincrementar con una disminucin en el dimetro interno del tubo. Estos efectos se conocen como efectos decapilaridad.

Ahora se expondrn algunos hechos simples que tal vez se estudiaron en cursos previos de fsica y mecnicarelacionados con hidrosttica. Si ste no es el caso, se vern en detalle en el captulo 3. Primero, ntese que lapresin manomtrica en un lquido se calcula mediante el producto yd, donde des la profundidad por debajo dela superficie libre y Y es el peso especfico del lquido. Sin embargo, ntese en la figura 1.17a que la super-ficie libre corresponde a la superficie del lquido lejos de los efectos de capilaridad. Por tanto, la superficie libreno se encuentra en el menisco del tubo capilar. De acuerdo con esto, la presin en a es JI,,,,, debido a que tiene lamisma elevacin que la superficie libre donde la presin es p,,,. Ntese tambin que si se mueve hacia arribauna distancia 1 un lquido, la presin disminuir una cantidad yl. En segundo lugar, ntese que si una presinuniforme p acta sobre una superficie curva, la fuerza resultante en una direccin dada causada por esta pre-sin se encuentra simplemente multiplicando p por el rea proyectada en la direccin de la fuerza deseada.Luego, en la figura 1.17 la fuerza vertical resultante causada por la presin atmosfrica en el menisco es P,~,J nD2/4), donde 7c D2/4 es el rea circular, es decir, la proyeccin del menisco vista desde arriba hacia abajo.

Ejemplo 1.5. Considrese en la figura 1.17a que el dimetro interno del tubo capilar es de 2 mm. Si 0 es 20 y upara el agua en contacto con aire es 0.0730 N/m, calcule la altura h de la elevacin del agua dentro del tubocapilar14.

En la figura 1.18 se muestra un diagrama aumentado del cuerpo libre del agua localizada por encima delnivel de la superficie libre exterior. Ntese que la presin en la parte inferior de la columna es la atmosfrica.

Sumando las fuerzas en la direccin vertical, ignorando el peso del agua