psic07 anova

Psicometria7-Analisi della varianza

vers. 1.5

Germano Rossi1

[email protected] Battista Flebus1

[email protected]

1Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

2008-2008

Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria 2008-2008 1 / 41

Analisi della varianza

Analysis of variance (Anova, AOV) è una tecnica statistica checonfronta due o più gruppi fra di loroE’ un’estensione del t-test che si usa quando si hanno più di 2gruppiLa variabile dipendente dev’essere quantitativaLe variabili indipendenti devono essere qualitative


Analisi della varianza

Disegni a 1 via: quando c’è una sola variabile indipendente(anova univariata)Disegni fattoriali: con 2 o più variabili indipendenti (anovamultivariata)Disegni tra i soggetti (between subjects): quando, rispetto aduna VI, i soggetti sono misurati una sola volta (ad es. ansiamisurate fra maschi e femmine)Disegni entro i soggetti (within subjects): quando, rispetto aduna VI, i soggetti sono misurati più di una volta (ad es. ansiaprima e dopo un esame)


Esempio empirico

In un campione di persone abbiamo misurato l’autoritarismousando la scala di Karen Stenner (5 item sulle cose importanti dainsegnare ad un bambino, maggiore il punteggio, maggiorel’autoritarismo) e l’orientamento politico (su una scala da 1 a 10,da sinistra a destra)Raccogliamo i 10 punteggi dell’orientamento politico in 3categorie: 1-3 SX, 4-7 Centro, 8-10 DXL’autoritarismo è uguale nei tre campioni? Oppure ognisottocampione (in base all’orientamento politico) ha parametridella popolazione diversi?Se usassimo il t-test (differenza delle medie, dovremmo fare 3confronti a coppie: SX vs. Centro, SX vs. DX, Centro vs. DX)Usiamo l’analisi della varianza


Esempio empirico

StennerN Media Dev. std. Err. std. Minimo Massimo

SX 154 13,16 4,159 0,335 5 25Centro 182 14,63 4,391 0,326 5 27

Dx 80 15,94 5,321 0,595 5 30Totale 416 14,34 4,607 0,226 5 30

ANOVA univariataSomma Mediaquadrati df quadrati F Sig.

Fra gruppi 433,245 2 216,622 10,68 0,000Entro gruppi 8373,964 413 20,276

Totale 8807,209 415

C’è almeno un gruppo che ha una media statisticamente diversa da quelledegli altri (cioè è stato estratto da una popolazione con parametri diversi)


Esempio empirico

Quale? Usiamo i confronti a posteriori

Test post hocSottoinsiemi omogenei

StennerStudent-Newman-Keuls

N Sottoinsieme per alfa = .051 2 3

SX 154 13,1623Centro 182 14,6319

Dx 80 15,9375Sig. 1,000 1,000 1,000

Le tre medie sono tutte diverse fra di loro, ovvero i campioni su cui sono statecalcolate sono stati estratti da popolazioni con parametric statistici diversi


Esempio empirico


La logica dell’anova

Possiamo pensare all’autoritarismo come ad una variabile casualeil cui valore atteso è la sua media E(X) o µTuttavia l’orientamento politico può influenzare l’autoritarismoaggiungendo un certo valore (αsx = µsx − µ)e infine si aggiunge un possibile errore casuale (ε) che dipende daogni singolo soggettoquindi il punteggio di ogni soggetto è

X = µ+ α+ ε

cioè dipende dalla media della variabile nella popolazione, da unfattore di correzione dovuto all’influenza della variabileindipendente (trattamento) e ad un errore (fattore di correzione?)dovuto al caso statistico



per l’Anova assumiamo (fra l’altro)1 normalità: la variabile dipendente (autoritarismo) sia quantitativa e

che si distribuisca normalmente2 omogeneità della varianza: i diversi campioni siano estratti dalla

stessa popolazione e abbiano quindi varianza uguale fra loro e conquella della popolazione (σ2

1 = σ22 = · · · = σ2

n e quindi σ21 = s21 · · · )

3 indipendenza dei soggetti: le osservazioni siano fra loroindipendenti e quindi le differenze individuali siano casuali

Ipotizziamo che tutti i gruppi abbiano la stessa media(H0 : µ1 = µ2 · · · ). L’ipotesi alternativa sarà che almeno un gruppoha media diversa dagli altri (H1 : µi 6= µj · · · )per semplicità usiamo campioni di uguale numerosità


Una logica alternativa

Between

Totale

Within

trattamento

punteggio

errore

Seguendo un altro ragionamento,possiamo considerare il punteggio Xdi un soggetto come formato da unpunteggio vero (dovuto altrattamento) e da una componented’errore (dovuta ai singoli soggetti)Noi conosciamo solo il valoremisurato (X) e la sua varianza totaleL’anova ipotizza che il punteggio verosia uguale alla media dei singolicampioni (X̄) e che l’errore sia X − X̄L’F è calcolato con la varianza delpunteggio vero divisa la varianzadell’errore



Se sono veri i primi due assunti, i gruppi formati dall’indipendentesono uguali, hanno la stessa forma e la stessa varianzaSe hanno la stessa varianza, possiamo calcolare la stima dellavarianza della popolazione come media delle varianze dei singolicampioni

σ̂21 = s2

1 · · · σ̂2e =

∑s2i

k=

∑ni=1

∑kj=1(Xij − X̄.j)2

k(n− 1)

con Xij =il punteggio di un individuo in un certo gruppo, X̄.j =lamedia di quel gruppo, n=l’ampiezza del singolo gruppo ek=numero dei gruppi



Se H0 è vera, allora la varianza della popolazione è stimabiletramite la distribuzione campionaria delle medie

σ2X̄ =

σ2

n

Le medie dei singoli gruppi sono utilizzate per stimare la varianza,quindi con

σ̂2t = nσ̂2

X̄ =n

∑kj=1(X̄.j − X̄..)2

k − 1

dove n è l’ampiezza, X̄.j è la media calcolata su ogni gruppo e X̄..

è la media delle medie



Abbiamo in questo modo due diverse stime della varianza dellapopolazioneLa prima è calcolata “entro i gruppi” (chiamata anche varianzad’errore= MSe) perché si basa sulle differenze individuali rispettoalla media dei singoli gruppiLa seconda “fra i gruppi” (chiamata anche varianza ditrattamento= MSt) perché considera uguali gli individui di ungruppo e imputa le differenze al trattamento (la variabilecategoriale usata per suddividere il campione in gruppi)



il loro rapporto si distribuisce secondo la curva di probabilità di F

F =MSt

MSe

con k − 1 e k(n− 1) gradi di libertàSe il rapporto è piccolo (e non significativo) le due stime sonouguali e quindi non vi è differenza fra i gruppiSe il rapporto è grande (e significativo), le due stime sono diversee vi è differenza fra i gruppi


Esempio di calcolo

Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 39 4 3

12 2 68 5 3

Per i calcoli ricordiamo che

var =∑

(Xi − X̄)2

N − 1=

∑x2 − (

∑x)2

N

N − 1=

∑x2 − (

∑x)2/N

N − 1

e che il numeratore si chiama anche somma dei quadrati, ildenominatore può essere pensato come un gdl


Esempio di calcolo: fase 1-var. totale

Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati9 4 3 81 16 9

12 2 6 144 4 368 5 3 64 25 9

29 11 12 289 45 549,667 3,667 4,000

(∑

Xij)2 = (29 + 11 + 12)2 = 2704∑X2

ij = 289 + 45 + 54 = 388

SStot =∑

X2ij − (

∑Xij)2/N = 388− 2704/9 = 87.556

gdl = N − 1 = 8MStot = var(X) = SStot/gdl = 10.944


Esempio di calcolo: fase 2-var. fra i gruppi

Sostituisco i valori con le medie dei gruppi

Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati9,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,0009,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,0009,667 3,667 4,000 93,451 13,447 16,000

29,000 11,000 12,000 280,353 40,341 48,000

(∑

x)2 = (29 + 11 + 12)2 = 2704∑x2 = 280, 353 + 40, 341 + 48 = 368.694

SSt =∑

x2 − (∑

x)2/N = 368.694− 2704/9 = 68.25

gdl = k − 1 = 2MSt = SSt/gdl = 34.125


Esempio di calcolo: fase 3-var. entro i gruppi

Sostituisco i valori con Xi − X̄Gruppo 1 Gruppo 2 Gruppo 3 Quadrati

-0,667 0,333 -1,000 0,444 0,111 1,0002,333 -1,667 2,000 5,444 2,778 4,000

-1,667 1,333 -1,000 2,778 1,778 1,0000,000 0,000 0,000 8,667 4,667 6,000

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = 0∑x2 = 8, 667 + 4, 667 + 6 = 19.334

SSe =∑

x2 − (∑

x)2/N = 19.334− 0/9 = 19.334

gdl = k(n− 1) = 6MSe = SSe/gdl = 3.222


Esempio di calcolo: fase finale

Risultati da calcoli a mano

SS df MS F SigTrattamento 68,222 2 34,111 10,586Errore 19,334 6 3,222Totale 87,556 8 10,944

Risultati da SPSS

Somma dei Media deiquadrati df quadrati F Sig.

Fra gruppi 68,222 2 34,111 10,586 0,011Entro gruppi 19,333 6 3,222Totale 87,556 8


Formule di calcolo

SQ (SS) df MQ (MS)Fonte Somme quadrati gdl Media FTrattamento

∑(X̄.j − X̄..)2 k − 1 SQt/gdl MQt/MQe

Errore∑

(Xij − X̄.j)2 k(n− 1) SQe/gdl

Totale∑

ij(Xij − X̄..)2 N − 1

µ = X̄.., (la media dell’intero campionee)α = (X̄.j − X̄..), (lo scostamento dalla media dei singoli gruppi)ε = (Xij − X̄..), (lo scostamento delle medie dei singoli gruppidalla media dell’intero campione)


In SPSS

Analizza | Confronta medie | ANOVA univariata...

trascinate almeno una variabile quantitativa (Intervallo o arapporto) nel riquadro Variabili dipendenti

se indicate più dipendenti, verrà calcolata una anova per ognivariabile indicatatrascinate una variabile qualitativa (Nominale o Ordinale) nelriquadro Fattore:

Date l’OK


Confronti post-hoc

Sono confronti che si fanno a posteriori, se l’Anova è significativae se ci sono più di 2 gruppi in una variabile indipendenteLa logica è quella di tenere sotto controllo i problemi disignificatività legati ai confronti multipli.Vi sono diverse procedure di confronti

alcuni presumono che le varianze siano uguali: LSD (LeastSignificant Difference), Bonferroni,Sidak, Scheffé, SNK(Student-Neumann-Kouls), Tukey HSD (Honesty SignificantDifference), Duncan, Hochberg, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnettaltre no: Tamhane, Dunnett, Games-Howell, C di Dunnett

In Spss, premete il bottone Post Hoc... e selezionate tutti i testche voletegli output sono di due tipi: confronti multipli completi oppure gruppiomogenei


Confronti post-hoc: multipli

Confronti multipliVariabile dipendente: ABA

HSD di TukeyDifferenza Intervallo difra medie Err. std. Sig. confidenza 95%

Lim. sup. Lim. inf.SX Cent. 2,796 2,2137 0,4168 -2,409 8,002

Dx 7,859(*) 2,7597 0,0128 1,369 14,349Centro SX -2,796 2,2137 0,4168 -8,002 2,409

Dx 5,063 2,6940 0,1459 -1,273 11,398Dx SX -7,859(*) 2,7597 0,0128 -14,349 -1,369

Cent. -5,063 2,6940 0,1459 -11,398 1,273*. La differenza media è significativa al livello .05


Confronti post-hoc: gruppi omogenei

Sottoinsiemi omogeneiABA

HSD di Tukeytrepol N Sottoinsieme per alfa = .05

2 1Dx 87 33,580

Centro 191 38,643 38,643SX 165 41,439

Sig. 0,120 0,521Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei.a. Utilizza dimensione campionaria media armonica = 131,634.


Confronti a priori

Oltre ai post hoc si possono effettuare dei confronti a priori ovverodecisi prima ancora di effettuare l’anova, sulla base di una teoriaQuesti confronti si chiamano anche contrasti perché contrastanola media di uno o più gruppi con quella di altriAnche in questo caso ci sono due possibilità:

contrasti predefiniti: lineare, quadratico, Helmert...contrasti decisi da noi

In Spss, premete il bottone Contrasti...se selezionare Polinomiale, poi potete scegliere fra Lineare,Quadratico, Cubico... (ipotizzo che le medie aumentano odiminuiscono nella varie categorie in modo lineare, quadratico...)altrimenti dovrete inserire dei coefficienti (uno alla volta e poipremere Aggiungi).dopo aver inserito un contrasto è possibile inserirne un secondotramite il pulsante Successivo


Confronti a priori: contrasti a scelta

Dovete inserire tanti coefficienti quanti sono i gruppi previsti dallavariabile indipendente

la somma dei coefficienti dev’essere 0.

Non è necessario che vengano usati tutti i gruppi. Se ho 4 gruppi, icoefficienti -1 0 .5 .5 confrontano il primo con la somma del terzo equarto, ignorando il secondo

Coefficienti di contrasto Test di contrastoContrasto trepol

SX Centro Dx1 1 0 -1

Contrasto Valore di Sig.Err. std. t df (2-code)

Assumi var. = 1 2,775 0,621 4,472 413 0,000Assumi var. 6= 1 2,775 0,683 4,064 130,333 0,000


Confronti a priori: Lineare

ANOVA univariataStenner

Somma dei Media deiquadrati df quadrati F Sig.

Fra gruppiCombinato 433,245 2 216,622 10,684 0,000Termine Non pesato 405,482 1 405,482 19,998 0,000lineare Pesato 432,589 1 432,589 21,335 0,000

Deviazione 0,656 1 0,656 0,032 0,857Entro gruppi 8.373,964 413 20,276Totale 8.807,209 415


Analisi della varianza 2-way between

L’analisi della varianza si può usare anche con più variabiliindipendenti categorialiIpotizzando due variabili indipendenti (ad es. genere e fasced’età), il modello generale dell’anova diventerà

X = µ+ α+ β + φ+ ε

ovvero il punteggio X è scomponibile come:in una parte dovuta alla variabile dipendente (µ = X̄...)una parte dovuta alla prima indipendente (α = (X̄i.. − X̄...))una alla seconda indipendente (β = (X̄.j. − X̄...))una alla loro interazione (φ = µij − µ− (α+ β))e alle differenze individuali (o errori ε = (X̄ijk − X̄ij.))


Esempio concreto

Dipendente: Errori ad un test

Deprivazione sonno4h 12h 24h

Alcool 16 18 2212 16 2417 25 32

No Alc. 11 13 129 8 14

12 11 12

Questi dati possono essere considerati come un solo campione (mediatotale)

Ignorando la variabile alcool (quindi usando i 3 gruppi della deprivazionedi sonno)

Ignorando la variabile deprivazione di sonno (quindi usando i 2 gruppi dialcool)

Considerando i 6 sottogruppi


Scomposizione della varianza

Totale

Within Between

A B AxB

La varianza totale è quindi scomponibile in una parte dovuta alledifferenze individuali (within=errore) e una parte dovuta aitrattamenti (che in questo caso sono 2 diversi)La varianza dovuta ai trattamenti (Between) è scomponibile in unaparte dovuta solo al primo trattamento (A), una dovuta solo alsecondo trattamento (B) e una parte dovuta alla loro interazione(AxB)


Medie dei dati

Deprivazione sonno Somme4h 12h 24h

Alcohol 16 18 22 5612 16 24 5217 25 32 74

No Alc. 11 13 12 369 8 14 31

12 11 12 35Somma 77 91 116 284

Medie4h 12h 24h

Alcohol 15,000 19,667 26,000 20,222No Alc. 10,667 10,667 12,667 11,333

12,833 15,167 19,333 15,778


Varianza totale

Depriv. sonno Quadrati4h 12h 24h

Alcohol 16 18 22 256 324 48412 16 24 144 256 57617 25 32 289 625 1024

No Alc. 11 13 12 121 169 1449 8 14 81 64 196

12 11 12 144 121 144Somma 77 91 116 1035 1559 2568

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X2 = 1035 + 1559 + 2568 = 5162

SQtot = 5162− 80656/18 = 681.111gdl = N − 1 = 18− 1 = 17


Varianza dell’errore


Alcohol 1,000 -1,667 -4,000 1 2,778 16-3,000 -3,667 -2,000 9 13,444 42,000 5,333 6,000 4 28,444 36

No Alc. 0,333 2,333 -0,667 0,111 5,444 0,444-1,667 -2,667 1,333 2,778 7,111 1,7781,333 0,333 -0,667 1,778 0,111 0,444

Somma 0,000 0,000 0,000 18,667 57,333 58,667

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = (0)2 = 0∑X2 = 18, 667 + 57, 333 + 58, 667 = 134, 667

SQtot = 134, 667− 0/18 = 134, 667gdl = N − kA ∗ kB = 18− 3 ∗ 2 = 12


Varianza sonno (fattore A)


Alcohol 12,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,778

No Alc. 12,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,77812,833 15,167 19,333 164,694 230,028 373,778

Somma 77 91 116 988,167 1380,167 2242,667

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X2 = 988, 167 + 1380, 167 + 2242, 667 = 4611

SQA = 4611− 80656/18 = 130.045gdl = kA − 1 = 3− 1 = 2


Varianza alcool (fattore B)


Alcohol 20,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,93820,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,93820,222 20,222 20,222 408,938 408,938 408,938

No Alc. 11,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,44411,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,44411,333 11,333 11,333 128,444 128,444 128,444

Somma 94,667 94,667 94,667 1612,148 1612,148 1612,148

(∑

x)2 = (77 + 91 + 116)2 = (284)2 = 80656∑X2 = 1612, 148 + 1612, 148 + 1612, 148 = 4836, 444

SQB = 4836, 444− 80656/18 = 355.405gdl = kB − 1 = 2− 1 = 1


Varianza interazione (fattore AxB)

Il calcolo dei punteggi necessari per calcolare la varianzadell’interazione sono un poco complessiSi parte dalle medie dei singoli gruppi

Deprivazione sonno4h 12h 24h

Alcohol 15,000 19,667 26,000 20,222No Alc. 10,667 10,667 12,667 11,333

a cui si sottrae la media di una delle variabili categoriali (A o B):15− 20.222 = −5.222 e 10.667− 11.333 = −0.666si calcola la media di colonna:(3 ∗ (−5.222) + 3 ∗ (−0.666))/6 = −2.944che si sottrae ai singoli valori di quella colonna:−5.222− (−2.944) = −2.278 e −0.666− (−2.944) = 2.278


Varianza interazione (fattore AxB)


Alcohol -2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938-2,278 0,056 2,222 5,188 0,003 4,938

No Alc. 2,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,9382,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,9382,278 -0,056 -2,222 5,188 0,003 4,938

Somma 0 0 0 31,130 0,019 29,630

(∑

x)2 = (0 + 0 + 0)2 = (0)2 = 0∑X2 = 31, 130 + 0, 019 + 29, 630 = 60.778

SQAxB = 60.778− 0/18 = 60.778gdl = (kA − 1)(kB − 1) = 2x1 = 2


Riepilogo: calcolato e SPSS

Sorgente SQ gdl MQ FEffetti principali Sonno 130,111 2 65,056 5,80

Alcohol 355,556 1 355,556 31,68Interazioni SxA 60,778 2 30,389 2,71

Errore 134,667 12 11,222Totale 681,111 17 40,065

Test degli effetti fra soggettiVariabile dipendente: errori

Sorgente SQ df MQ F Sig.Modello corretto 546,444(a) 5 109,289 9,739 0,001

Intercetta 4.480,889 1 4.480,889 399,287 0,000alcool 355,556 1 355,556 31,683 0,000sonno 130,111 2 65,056 5,797 0,017

alcool * sonno 60,778 2 30,389 2,708 0,107Errore 134,667 12 11,222Totale 5.162,000 18

Totale corretto 681,111 17a. R quadrato = ,802 (R quadrato corretto = ,720)


Per capire i risultati

Per capire e interpretare i risultati dobbiamo guardare le medie(marginali stimate) degli effetti significativi (con soli fattoribetween, coincidono con quelle calcolate, salvo missing)

Variabile dipendente: errorialcool Media Errore std. Intervallo di confidenza 95%

Limite inferiore Limite superioreAlcool 20,222 1,117 17,789 22,655

No alcool 11,333 1,117 8,900 13,766

sonno Media Errore std. Intervallo di confidenza 95%Limite inferiore Limite superiore

4h 12,833 1,368 9,854 15,81312h 15,167 1,368 12,187 18,14624h 19,333 1,368 16,354 22,313


In Spss

Analizza | Modello lineare generalizzato |Univariata...

Inserite la variabile da studiare in Variabile dipendente

Inserite le variabili categoriali in Fattori fissi

Scegliete i contrasti o post-hoc se li voleteNel pulsante Opzioni, selezionare le Medie marginalistimate (se volete)Date l’OK


Possibili esempi di interazione


psic07 anova

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psicologia psicometria

flebus dip

una popolazione

omogeneit della varianza

analisi della varianza

stessa forma e

n e quindi

rispetto ad una