このまとめの中では各論文を以下の番号で参照する (資料に出ている順)。

REF1: "Efficient computation of minimum variance wavefront

reconstruction using sparse matrix techniques"

Ellerbroek, JOSA-A,19,1803 (2002)

REF2: "A multigid preconditioned conjugate gradient method

for large scale wavefront reconstruction"

Gilles et al., JOSA-A,19,1817 (2002)

REF3: "A wave optics propagation code for multi-conjugate adaptive optics"

Ellerbroek et al., Proc.SPIE,4494,104 (2001)

REF4: "A computationally efficient wavefront reconstructor for simulations of

multi-conjugate adaptive optics on giant telescope"

Gilles et al., Proc.SPIE,4839,989 (2002)

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●全体の概要これらの論文で扱っている望遠鏡の最大口径は、ExAO(Extreme AO)で 32m、MCAO(Multi-conjugate AO)で 16mまである。特に MCAOの場合は計算に必要なメモリ量が当時の PCでは足りなかったことによって制限されている。これらの論文で対象にしている WFSは SHである。MCAOではゆらぎ層は 6-7層程度を考慮していてGemini-Southがある Cerro Pachon (Chile)で、温度差を測れる気球または Generalized SCIDARという方法で計測されている。参考のために REF3(表 2)に出ている値を載せておく。

=========================================================

Layer Altitude[m]Fractional Strength Windspeed[m/s]

---------------------------------------------------------

1 0 0.6475 5.0

2 2077 0.1111 10.0

3 3414 0.0774 15.0

4 5562 0.0439 20.0

5 7212 0.0245 30.0

6 13091 0.0810 20.0

7 15840 0.0146 10.0

=========================================================

これらの論文は以下の 2つのカテゴリに分類できる(1) シミュレーション (REF3)

MCAOをシミュレートするにはどの程度詳細な部分まで表現するべきか?

少なくともよそはしているか?という観点に注目するとよいであろう。

(2) 波面再生演算 (REF1,2,4)

素子数が増えると行列計算の量が増える。どの様にしたらその計算量を減らせるか?

とういうのがこれらの論文が扱っている課題である。基本はあの手この手で疎行列＋低階数行列に分解していくことである。

1

また、直接行列計算で解を求めようとすると計算量が増えるので、前処理付き共役勾配法や多重格子法などの反復法で収束させる方法を用いる。これらの論文のなかでは、REF4が見通しが良くまとまっており、計算技術の詳細は REF1,REF2に出ている。REF1は、波面再生演算子を大気ゆらぎや AOシステムの特性に基づいて疎行列＋低階数行列に分解して行く技術の詳細が書いてある。REF2は、特に前処理付き共役勾配法という計算方法に書いてある。これは波面再生演算子を導出する際に行列計算するのではなく反復法によって解を求める手法である。

ということで以下では REF3、REF4、REF1、REF2の順にまとめてある。

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●キーワード全体として数値計算の用語がたくさん出てくるのでここで簡単にまとめておく。詳細は Numerical Recipes等を参照のこと。

・波面再生演算子 (wavefront reconstructor), see REF1,Sec.1

　 AOで WFSの計算値から DMコマンドを求める制御アルゴリズム。

・疎行列 (sparse matrix)

　ほとんどの要素の値がゼロの行列。　非ゼロ値の要素だけ記憶・計算することで効率化できる。

・共役勾配法 (conjugate gradient method)

　反復法のひとつ。単純な最急降下法と異なり　過去に探索してない方向にいけるように工夫されている。　　前処理付き共役勾配法 (preconditioned conjugate gradient method)

　 Ay=xとい連立方程式を共役勾配法で解く場合に、　 Aに近似的に等しい対称正定値行列 Bで、B^(-1)Aが Aよりも扱いやすい　固有値の構造を持っている場合これを前処理演算子 (preconditioner)と呼ぶ。　この場合 B^(-1)Ay=B^(-1)xという方程式を共役勾配法で　解くとより速く収束させることができる。

・多重格子法 (multi-grid method)

　低周波の誤差が解の収束を妨げているような問題に対して、　解の誤差を最も細かい格子から、最も粗い格子にビンニングしていき　各格子で改めて近似解を求めていく。　最も粗い格子に到達したら数値的に厳密にといて、今度は最も細かい格子まで　補間しながら戻っていく方法。　　 V-cycle

　上記のサイクル (細->粗->細)を一回繰り返す方法。

　平滑演算 (smoother)

　各格子において近似解を計算するアルゴリズム

2

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● REF3のまとめ4-10級望遠鏡の MCAOのシミュレーションを想定している。解析的結果と比較可能な幾何光学に加えて、より正確に大気中の光伝播、LGSの広がり、DMと WFSのミスアラインメントも考慮した波面光学によるシミュレーションが可能である。MCAOシステムをより忠実に再現するには- WFSの非線形性とダイナミックレンジ- 大気のシンチレーションと光学系の回折の効果- LGSの伸びや、歪み、ポインティングエラー- DMと WFSのミスアラインメント- 非共有光路による波面誤差 (WFSとサイエンスカメラ間で光路に異なる部分がある)

- WFSのゲインとバイアスの較正- AO制御ループのダイナミクスを考慮する必要がある。ここでは、Gemini-Southの MCAO用に、モンテカルロ法を用いた波面伝播でこれらを扱う。

ここでは MCAOをシミュレーションするために次のような詳細な効果を取り入れている (図 1)

(1) 大気複数の横向きに移動する位相スクリーンで近似的にコルモゴロフかフォンカルマン

　　のパワースペクトルを用いて計算できる。伝播は幾何光学あるいは波面光学 (標準的な near-field FFT 方)による扱いが可能。

(2) ガイド星複数の NGSと複数の LGS(点光源あるいは広がった光源として表現可能)を使用可能。

　　ただし、NGSと LGSそれぞれの中で等級と波面の性質 (point or extended)は　　同じでなくてはいけない。(3) 望遠鏡と AO光学系

これも位相スクリーンとして扱う。(4) 位相補正　　複数のゾーナル DMと TTMで行う。理想状態に対してミスアラインメント 5成分　　 (x,yの横ズレとスケール、回転)を表現可能。(5) WFS

現在正方配置の SHのみ扱える。瞳像の歪みを表現するのに配置は任意に歪めることができる。

サブアパーチャ内を平均した波面の傾き (幾何光学)あるいは nxn画素の中心位置 (波面光学)

　　として測る。光子雑音、読み出し j雑音を入れることも可能。　　非共有光路による位相誤差を考慮して生の中心位置データはゲインやバイアスを補正する。(6) LGS

　　 Na層の強度分布を考慮した後サブアパーチャの PSFでコンボルブ。(7) 補正コマンド　　最小偏差波面再生法で波面 (空間)を計算し、　　離散有限差分方程式で時間的フィルターを掛けて制御する。　　 DM、速い TTM、遅い TTM、LGS指向鏡で異なったフィルタパラメータを使う。　　動的特性は、減衰調和振動子として扱っている。(8) 未考慮の点

3

風による望遠鏡の振動などの光学系の動的特性、DMのヒステリシスとダイナミックレンジが有限であること、他の制御アルゴリズム、 空の背景雑音やレイリー散乱は考慮されていない。

各項目のより詳細な記述が Sec.4に出ているので興味がある場合は参照されたい。

これらを考慮したシミュレーションは次のようなシーケンスで計算が進む。まず、 ユーザ入力パラメタは次の 7種類に分類される。一般パラメタ (シミュレーションの長さ、位相スクリーンの大きさ・分解能)、大気モデル、性能を評価する方向・波長、望遠鏡の光学面、WFSパラメタ、DMパラメタ、TTMパラメタ、 制御パラメタである。これらの入力パラメタを指定するとまず次のような静的なデータが計算される。- 望遠鏡の開口- 望遠鏡の各光学面の複素特性とレーザービーム- DMアクチュエータの場所とインフルーエンス関数- 各方向ごとに静的な収差を除くための DMコマンド、波面誤差が最小になるようにする。- WFSsubapertureの場所と形 (幾何学的インフルーエンス関数)

- WFSのバイアスとゲイン- DM-WFSの幾何学的インフルーエンス関数- シミュレーションのイベントリスト- 大気の位相スクリーン- AOループの初期状態

これらの静的データの用意ができたら、イベントリスト (手順書のようなもの)に従ってこれらのデータを用いて計算していく。イベントリストでは、どの様なイベント (サブルーチンの計算)、どの時刻で行い、どの時刻までに終わるか、どの様なパラメータを渡すかが書かれている。イベントの種類としては、- 性能評価- WFSへの信号の蓄積、NGSと LGSで別々- WFSの読み出し、NGSと LGSで別々- DMコマンドの更新- 高速 TTMコマンドの更新- 低速 TTMコマンドの更新- LGS指向ミラーコマンドの更新- 停止がある。各繰り返し過程で得られた PSFを重ねて平均したものをシミュレーションの結果とする。

計算例としては、8m望遠鏡に対して普通の AOシステムと MCAOのシミュレーションを行う。まず普通の AOシステムに対して幾何学的伝播でシミュレーションを行い SR比を計算して解析的結果と比較してシミュレーションの妥当性を調べた (表 1)。望遠鏡の開口は 8[m]、DMのアクチュエータ数は 6x6、WFSのサブアパーチャ数は 5x5、位相スクリーンは開口面のところにある単一スクリーンで格子点数は 0.2[m]間隔で 256x256(i.e., 51.2mx51.2m)、r0は 0.5[um]で 0.166[m]、WFSのノイズは入っておらず、オンソースガイドの場合を計算してある。特に、シミュレーションの場合ゆらぎシートの大きさが有限なので

4

大気ゆらぎのアウタースケールが有限 (L=25.6[m])の場合と無限の場合を計算した。シミュレーションの場合は 100サイクルを平均して結果を計算した。得られた SRの結果 (表 1、シミュレーションの loop gain=0.5の場合を抜粋)は、=========================================================

Band L0=25.6[m] L0=Inf

---------------------------------------------------------

J 0.133 0.161

H 0.320 0.357

K 0.519 0.553

=========================================================

絶対的な違い (SR=1に対して?)は、アウタースケールが有限の場合も無限の場合も解析的方法の場合もシミュレーションの場合も、全体的に 1-3%でよく一致している。

次に Gemini-South用 MCAOのシミュレーションを行い高次項 (ここで取り入れた詳細な効果)の影響を調べた。位相スクリーンの大気ゆらぎプロファイルは Cerro Pachonでの計測に基づく表 2に出ている 7層のスクリーンで格子点数は 1/32[m]間隔で 1680x1680(i.e., 52.5mx52.5m)、r0は 0.5[um]で 0.166[m]、アイソプラナティック角は 2.75"である。システムの概要 (表 3)は、=========================================================

System LGS

---------------------------------------------------------

Evaluation field 60" square

Aperture [m] 8

---------------------------------------------------------

DM conjgate ranges [km] 0.0, 4.5, 9.0

DM interactuator spacing [m] 0.5, 0.5, 1.0

---------------------------------------------------------

Higher order LGS

number 5

subaperture spacing [m] 0.5 (i.e., 16x16)

direction [’] (0,0) and (+/-0.5,+/-0.5), i.e., center and corners

range [km] 99

---------------------------------------------------------

T/T NGS

number 4

direction [’] (+/-0.5,0) and (0,+/-0.5) ?

range [km] Inf

---------------------------------------------------------

WFS

sampling [Hz] 800

Control

read + process [ms] 1.25

-3dB bandwidth [Hz] 32

=========================================================

計算結果 (表 4、シミュレーション結果のみ抜粋)の SRは

5

=========================================================

Band Center Edge(0.0’,0.5’)? Corner(0.5’,0.5’)?

---------------------------------------------------------

J 0.615 0.509 0.505

H 0.756 0.679 0.674

K 0.854 0.804 0.800

=========================================================

で、解析的な結果と 1-3%で一致している。

この詳細な波面光学を用いたシミュレーションを ELTに適応するのは難しそうに見えるが、実際には解析的方法よりも実用的である。シミュレーションの場合、統計的に独立した変数が増えるので収束に要する回数は数十回で良いのに対し、解析的方法の場合非疎行列の要素が増加するので計算量が急増する。

シミュレーションは、(i)波面伝播、(ii)計測とコマンドの実行、(iii)計測値に基づいてのコマンド値を決定する方法という部分に分けられる。

(i)の計算量は、8m望遠鏡の MCAOと ELT(32m)の MCAOでほとんど差は無い。これは MCAOの性能は望遠鏡の口径にあまり依存しないのでELTの MCAOでも 5個の高次ガイド星と 3個の DMで十分であり、大気ゆらぎ自体に関する計算量もあまり増えないからである。(ii)の計算量は、WFSのサブアパーチャ数と DMのアクチュエータ数に比例するだけなので、それ程急増はしない。問題は (iii)の計算量である。ここでは、行列とベクトルの掛け算があるので計算量はWFSのサブアパーチャ数と DMのアクチュエータ数の二乗に比例している。さらにこのシミュレーションで用いている「最小偏差法」を用いると三乗に比例する。

「よって ELTの MCAOを効率よくシミュレートするにはこの波面再生部分を十分な精度を保ったまま効率よく計算する方法を発見することが重要である。」

標準的な最小二乗法では、DM-WFSのインフルーエンス関数が疎行列の場合効率よく計算できる。しかし (ピストンのように WFSで検出できない DMのモードがあるので?)

十分な性能を保つためには特異値分解をしておかなければならない。ところが疎行列を特異値分解すると必ずしも疎行列にならないという問題がある。これらの事実に気を付けながら各部分の計算の物理的背景を基にして、各計算テクニックを駆使しているのが REF1,2,4である。

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● REF4のまとめMCAOの場合、大気ゆらぎ、WFS、DM、GSが複数必要になる。そこで WFSの出力を大気ゆらぎの位相と雑音の和として表現し、この WFS出力に対してある波面再生演算子を掛けて DMコマンドを決定するというようにモデル化

6

している。このモデルに基づいて、開口面上の位相を各大気ゆらぎ層の位相と各位相補償器の位相の差として表現し、重みを掛けた上で開口面上で波面の偏差を最小にする波面再生演算子を求める。ここではこれを最小偏差波面再生演算と呼んでいる。

1WFS-1DMの一般的な AOでは、インフルーエンス関数が非常に疎な行列になるので、波面再生子を計算する際の計算量を減らすことが可能である。しかし、MCAOの場合クロスタームが増えるので、この方法をそのまま用いることができない。そこで、計測システムの実態に基づいて行列をブロック行列に変形し、各ブロックは疎行列と低階数の行列の和になるようにする。

ブロック化された行列の連立一次方程式を直接解くのではなく対称ブロックガウスザイデル法という反復法を用いて近似解を求める。この方法だけでも反復回数を多くすれば解が求まるが、低空間周波数成分の誤差はなかなか収束しないので多重格子法を用いる。また反復の際に前処理付き共役勾配法 PCGを使うとさらに速く収束する。

計算例としては、8mと 16m望遠鏡の MCAOが出ている。ここでは性能評価より収束速度に着目する(本文ではほとんど触れていないにもかかわらず、前処理付き共役勾配法 (PCG)の結果になっている)。また、Companion paper (服部君担当?)

" Layer-oriented Multigirid Wavefront Reconstruction Algorithms for Mulit-Conjugate Adaptive Optics"

L.Gilles et al. Porc. SPIE 4839, 1011

とは条件が微妙に違うので比較する際には要注意だそうです。

シミュレーションの諸条件に関して、まず大気のプロファイルは 6層 (表 1)でGemini-South(Cerro Pchon, Chile)での実際の計測に基づいている。DMの倍の格子点のデータを用いている。r0は 0.5[um]で 0.16[m]、アイソプラナティック角は 2.65"である。システムの概要は、=========================================================

System LGS/NGS

---------------------------------------------------------

Evaluation field 60" square

Aperture [m] 8,16

---------------------------------------------------------

DM conjgate ranges [km] 0.0, 5.15, 10.30

DM interactuator spacing [m] 0.5, 0.5, 1.0

---------------------------------------------------------

Higher order GS

number 5

subaperture spacing [m] 0.5

direction [’] (0,0) and (+/-0.5,+/-0.5), i.e., center and corners

range [km] Inf(NGS), 90(LGS)

7

---------------------------------------------------------

T/T GS

number 0(for NGS case) or 4(for LGS case)

direction [’] (+/-0.5,0) and (0,+/-0.5)

range [km] Inf

---------------------------------------------------------

WFS noise ["] 0.02, 0.08

=========================================================

結果は図 1、図 2に出ている。両図とも横軸は PCG繰り返し回数で、縦軸は位相の見積もりとフィッティングの誤差を開ループの場合の誤差で規格化したものになっている。各点は 10回の平均である。両図とも LGSか NGSか、WFSの雑音が大きいか小さいかで 4通りの組み合わせが出ている。

図 1は 8m望遠鏡の場合で、WFS1個あたりのサブアパーチャ数は 224、DM3個の総アクチュエータ数は 789、多重格子は 4層である。PCGを使わずに正確に計算した場合の値まで収束するのに必要な繰り返し回数は、WFSの雑音が小さい場合 1-2回、大きい場合で 4-5回である。(WFSノイズが小さいときは収束させなくてはいけない目標誤差レベルも小さくなるので)

LGSは NGSより一回程度多い。

図 2は 16m望遠鏡の場合でWFS1個あたりのサブアパーチャ数は 856、DM3個の総アクチュエータ数は 2417、多重格子は 5層である。結果は図 1とほとんど差がない。さらに口径を大きくしても収束に必要な繰り返し回数はあまり変わらない(各繰り返しにかかる時間は増えていく図 3を参照)。

図 3は PCG波面再生法の一回の繰り返しにかかる時間をゆらぎの格子点の数の関数としてプロットしてある。口径 8mと 16mの場合は実際に計算して 32mの場合はその外挿である。D=32で 70,000点の場合、一回の繰り返し当たり 1.5時間かかる。この図を見ると O(N1.5)程度になっている。

ブロック化と疎行列＋低階数行列に分解する方法の詳細は REF1に、多重格子前処理付き共役勾配法に関しては REF2に出ている。

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● REF1のまとめ波面再生演算をどのように行い最適化するかという研究はなされているが、計算の効率化は未だあまり行われていない。

基本的には、疎行列であることを利用して効率化する。1WFS-1DMの場合は、特定の WFSサブアパーチャは特定の DMサブアパーチャと結びついているので、応答・制御行列は部分の要素の値は 0になり非常に疎な行列になるが、

8

multiWFS-multiDMのシステムではクロストークがあり、LGSの場合は全体的な波面の傾きの不定性もあるので、そのままでは単純な疎行列として計算することができない。

また、一般の最小自乗法では WFSの出力は DMコマンドの関数であり、計測雑音の分散が一定であるとして計算されている。しかし MCAOの場合、大気ゆらぎ、WFS、DM、GSが複数必要になる。そこで WFSの出力を大気ゆらぎの位相と雑音の和として表現し、この WFS出力に対してある波面再生演算子を掛けて DMコマンドを決定するというようにモデル化している。その結果、複数の WFSやガイド星による雑音の違いなども考慮することが可能である。このモデルに基づいて開口面上の位相を各大気ゆらぎ層の位相と各位相補償器の位相の差として表現し、重みを掛けた上で開口面上で波面の偏差を最小にする波面再生演算子を求める。ここではこれを最小偏差波面再生演算と呼んでいる。

ただし、この方法を実行するには多くの計算が必要になる。そこで、ここでは大気ゆらぎや AOシステムの特性に基づいて最小偏差波面再生演算子を疎行列＋低階数行列に分解して行く技術の詳細が書いてある。例えば、大気ゆらぎのパワースペクトルを k^(11/3)ではなく k4 で近似したり(自己相関行列がラプラシアン演算子の離散近似で解けるようになる)、LGSと NGS(TT)を別の行列とする等が挙げられる。また、ピストン等 WFSで計測できない解をヌル空間として含めておくことも必要である。

計算例としては、4m望遠鏡の AO、8-32m望遠鏡の ExAO、8,16m望遠鏡の MCAOが出ている。以下この論文の方法を SRA(Sparse Reconstruction Algorithm)、直接行列計算をする方法を CMMR(Conventional Matrix Muliply Reconstructor)

として参照する。これらの計算は次のような観点から行われている。- 大気ゆらぎのパワースペクトルを k^(11/3)ではなく k4 とした近似が正しいか?

- 計算効率の変化はどの程度か?

- 計算に必要なメモリの量はどの程度か?

- SRAを用いなければ不可能だった ELT用 ExAOや MACOのシミュレーション結果はどうなっているか?

シミュレーションの諸条件に関して、まず大気のプロファイルは 6層 (表 1)でGemini-South(Cerro Pchon, Chile)での実際の計測に基づいている。r0は 0.5[um]で 0.16[m]、アイソプラナティック角は 2.65"である。DM格子間隔の倍の格子点のデータを波面再生演算子の計算に用いている。システムの概要 (表 2)は、=========================================================

System NGS LGS

---------------------------------------------------------

Evaluation field on-axis 60" square

Aperture [m] 4,8,16,24,32 8,16

---------------------------------------------------------

9

DM conjgate ranges [km] 0.0 0.0, 5.16, 10.31

DM interactuator spacing [m] 0.5 0.5, 0.5, 1.0

---------------------------------------------------------

Higher order GS

number 1 5

subaperture spacing [m] 0.5 0.5

direction [’] (0,0) (0,0) and (+/-0.5,+/-0.5), i.e., center and corners

range [km] Inf Inf(NGS), 90(LGS)

---------------------------------------------------------

T/T GS

number 0 0(for NGS case) or 4(for LGS case)

direction [’] - (+/-0.5,0) and (0,+/-0.5)

range [km] - Inf

=========================================================

注:

DM,WFSの格子点の間隔は 0.5[m]で一定なので開口 A[m]の望遠鏡のシステムは AxAの AOのシステム

まず、SRAと CMMRの結果で違いがあるか調べる (表 3)。8x8(4m)AOシステムで光軸上の NGSでフィッティング誤差を比較。WFS誤差を 0.02",0.04",0.08",0.16"と変えたが、WFS誤差が 0.16"の時でも両者は 1%で一致していた。このことは、SARで大気ゆらぎのパワースペクトルを k^(11/3)ではなく k4 とした近似が大きく影響しないことを示している。

次に、SRAで AOの次元 (望遠鏡の口径)を大きくしていった場合に誤差、計算量、必要なメモリ量がどのように変化するか調べる (表 4)。光軸上の NGSで SWFS誤差は 0.02"で一定とする。16x16(8m)AOシステムから 64x64(32m)AOシステムで誤差は 8%程しか増加していない。計算時間の増加は DM要素数の N1.5よりも遅く、1GHzPenIIIマシンで MATLAB6を使用した場合64x64(32m)AOシステムに対して波面再生演算子を 9秒で計算できる。またメモリ量に関しては、SRAの場合 DMアクチュエータを 13.5倍にしても 26倍(16x16システムで 0.72MB、64x64システムで 19.3MB)で済むが、CMMRなら 181倍になる。

最後に、MCAOの場合の計算である。16x16(8m)AOシステムの場合は CMMRと SRAでフィッティング誤差の差はほとんど無く、SRAは 16x16(8m)から 32x32(16m)と AOシステムを大きくしてもフィッティング誤差の差はほとんど無かった。64x64(32m)AOシステムはメモリが足りなくて計算できなかった (SRAで 6.4GB必要)。MCAOの場合、ゆらぎの 3次元構造を考慮しなくてはならず、DM-WFSのインフルーエンス関数もあまり疎行列ではなくなるので、必要なメモリ量が急増する。しかし、SRAの計算時間は CMMRに比べて 32x32(16m)AOシステムの場合で 1/8で済む。64x64(32m)AOシステムの場合に外挿すると 1/30から 1/40で済むだろう。

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● REF2のまとめ

10

特に前処理付き共役勾配法について記述してある。ここでは、このアルゴリズムの計算効率を示すことに主眼が置かれており、その他の部分は簡略化されている。たとえば、(1) 扱っているのは 1WFS-1DMのごく普通の AOシステムである (明記されていないが)。(2) WFSの出力から DM制御コマンドを計算する波面再生演算のアルゴリズムは一般の最小自乗法である

(論文中では最小偏差とかいてあるが REF1,4の方式とは異なる)。(3) インフルーエンス関数は WFSのサブアパーチャを囲む 4点の DMアクチュエータを用いて記述してあり、　　疎行列である。(4) 多重格子法の各グリッドでの平滑演算にはもっとも単純なリチャードソン反復法を用いている。

この論文のスキームは次のようになっている。最小自乗法による波面再生演算子は整理すると、開口面の自己相関と DMのインフルーエンス関数を含む行列の逆行列を解くことになる。この過程は直接行列計算すると O(N3)になる。

これを減らすため、ここでは反復法を用いる。各反復では、ある WFS出力値ベクトルに対して推測した DMコマンドの近似解に、開口面の自己相関と DMのインフルーエンス関数を掛けるという演算が必要になる。

開口面の自己相関は疎行列ではないが、大気ゆらぎのパワースペクトルの対角行列を2次元フーリエ変換したものとして O(NlogN)で計算できる。DMのインフルーエンス関数は疎行列なので O(N)で計算できる。全体の計算量はこれらに収束するまでに必要な計算回数を掛けたものになる。

よって反復法による解法の場合は繰り返しの回数をいかに減らすかが問題となる。ここでは、少ない回数で収束できる反復法として一般的に知られている共役勾配法を用いる。

一般に共役勾配法の繰り返し回数を減らすのに前処理行列を用いることが有効であることが知られている。ここでは、前処理行列を実際に求めるのではなく、前処理行列の演算が出てくるたびに多重格子法で近似計算をすることで前処理を実行している。

例として 256x256格子を用いた計算結果が示されている。大気ゆらぎの特性は、r0=0.2mで多重格子法の最小格子サイズが r0の 1/3倍になっている。共役勾配法の各繰り返しごとに多重格子法は V-cycleを一回実行して各格子サイズで平滑演算を 2回ほどこしてある。WFSの SNRが 1,5,10の場合を計算した。開口サイズは 8.5mと 17mを試した。前者の場合開口面内の格子点の数は 12036で後者の場合は 5x104 である。どちらの場合もどの WFSの SNRに対しても 50回の繰り返しで、相対誤差は 4桁以下になっている。

11

今後は境界条件の扱いと動特性である。

[REF2に対するコメント]

ここでは MCAOを扱っていないが簡略化されている各部を複雑化してMCAOに用いることは可能だと思う。実際に REF4では、具体的には明記されていないが、前処理付き共役勾配法を用いている。ただし、このときインフルーエンス関数の疎行列性に注意しなくてはいけない。この論文ではこの部分の演算が O(N)で開口面の自己相関関数の計算 O(NlogN)に比べて無視できるが、MCAOの場合特定の WFSサブアパーチャの出力が特定の DMアクチュエータへの制御信号と 1対 1対応ではなくなり、インフルーエンス関数の疎行列性が悪くなるのでこの部分の影響を考慮する必要があると考えられる。

12

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欧州南天文台は 、 現実性の 実証と 、 第二世代巨大望遠鏡や 57698 の 予備調査と して 、 :<;>=�5装置の 作成中で あ り 、 ?A@CBD@CE�@CF で 実験予定の :G=IH を 紹介す る 。JLKNMCOQP*RTSVU'WYXZP[M\S]O:_^`Fbadcfeg;>hiEijg^`kl@Ca1m�=�n�@Co`adcbp\mq5Io`adcsrutqvw:<;>=�5yx は 、 大気 揺ら ぎ 復元の 方法か ら ２ 通り が あ る 。 それ ら 大気 断層像方式 @CadBdzNh{tdo`|�m}Bdcsr~a1hizNhik{BD@Col�Tv��~Fshi��@CFL��muruhiE�tdadBd^�r}adcshiE�x と 8�@��\m}B�eg5IBdcsm}Ela1mun 方式で は 、 最良の 波面セン サー 異 なる が 、 :G=~H は そ れ ら 両方で :T;>=�5 を 実証す る 。�AK�P�S]�*�����'�q��RT�*�]W'M�RT���%��OQP]�G�<OYU�P[�*X3�YOQM{X3�<�����[�*X*MC�$M{X3�[P[M\S]O��（ ������� ��¡l¢�¡¤£s�D¥3¡l¦¨§�©«ª¬¡¤­'¡¤®�¯�° ） 第二世代 ±$8³² や 57698 を 目指しつ つ :<;>=�5 を 実証。 �~Fshi��@CF�ImuruhiE�tdadBd^�r}adcshiE と 8�@u�\m}By5IBdcsm}Ela1mun の 両方式。 :_^`Fbadc/´³|�@ir1µ³e·¶$@CBdadz[@CE`E と :_^`Fbadc¨?+�¤BD@Cz�csn8/@u�\m}B*5IBdcsm}Ela1mun 波面セン サー を 搭載。 現存技術を 利用し、 ±~8¤² の p¤cstdcba1hiBE�@it1z�cbad| で¸{¹{¹{º

年半ば に 初観 測。 自然ガイ ド星を 用い 、 可変形状鏡は 素子数と も 最小限に 単純化。

可能な部品は »�´`5 の 他の プ ロ ジェクトか ら 利用す る 。 最小限の 性能で :T;>=�5 の 有効性を 立証。 広視野赤外カメ ラ を 用い 像補正性能を 評価。 天文学的な成果も あ げ て :<;>=�5 の効果を ア ピ ー ル 。

¼ ��¡l½i¾/®�©«½\¿�£À�uÁ(��¡³½l©ÃÂ�½l¿Ä¯�©Ã��®�°{Å_±$8³² の ナスミ ス焦点で 、 視野 ¸ÄÆ 波長 ¹ÄÇ ÈlÉ e ¸ÄÇʸ µ。 ?A@CBD@¬ËÄcÀ@CF¨zNmÌenÄcÀ@CE�t1mum}cbE`k に 合わ せ 、 t1mum}cbE`k 0.67′′ Í θ0 = 2.5′′ Í τo = 4ms Í Lo = 25m v�Î É{¹{¹ E`z*x で 天頂から の 距離は ４５度以 内、 赤外カメ ラ に よ る 露光時間 は ３ 分以 内と す る 。（ 大気 に よ る 色分

散か ら の 制限） ´³aD@CB>5IBdcsm}E³a1mun[69Ï�´ に よ る �~Fshi��@CF��ImuruhiE�tdadBd^�r}adcshiE は Ð ¹ 等 eDÐ ¸ 等の 明る い自然ガイ ド星

ºつ 、 8�@��\m}B$5IBdcsm}E³a1mun で は Ñ つ で 動作。 光学機 械は 6ÒÏ�´ お よ び ��²�;$v 実

時間 計算機 x と 整合。 大気 の シミ ュ レ ー ター が 実験時に 必要。ÓAKZS]�3P�SV�%�*X3�Y�<OÔM\X3�<�ÕU'�[�AM{Ö'O X]SVO�X3���3P可変形状鏡は 地上層と 上空 Ð ¹i× z に 共役。 ;7@CFb�`BD@CadcshiE3^`E`cba は 白色照明さ れ た ７ 本の フ ァ イ バ ーで 構成さ れ 、 Ï�Ø¤Ð É 焦点、 お よ び 、 地表層の 可変形状鏡と ダイ クロ イ ックミ ラ ー の 間 に お か れ 、E�hiEÄe·ruhiz�zNhiEVo�@Cad| も 測定す る 。Ù�K�ÚÛ�Ü�'���$RTSVOQPÝ����O��ÞS]RQ�

Ð

�������������� ������������������� ����� �"!#�%$���&'�)(����+*,��-.(���/0���)��-1�� �(��324����(��) ���56/7&8(��9���:���� ��; (��=<�>���?���@2A�>�CB:�� �$��D�B:�� -%/通常の 波面制御の 手法は 、 行列の 大き さ が システム の 自由度の 数乗根で 増え る た め 、 大型望遠

鏡で は 現実性が 無く なっ て く る 。 スー パ ー ス（ 疎） 行列を 用い た 反復法に よ り 、 口径 E�FHG 素子数 104 以 上の 望遠鏡に 対す る 、 最小位 相分散波面回復の 手法に 関 して 報告す る 。 基 本的原理は 、IKJMLONOPQ�R.SUTVSWPQ

つ き 共役勾配法で 、IKJMLONOPQ�R.SUTVSWPQ

の XVG P1PTVY�LZJに ブ ロ ック対称型ガウ スザイ デル

反復法を 利用して い る 。 開ル ー プ に お い て 解の 収束性そ の 他を 調べ る 。

[�\^]O_a`cbedgf�hjik`c]�dl_立体的な揺ら ぎ 補正を 行なう m4nporq は 視野の 拡大と と も に 、 s�tcuwvxs�yX LZJ t{z SWR%L u T y J}| を 用い た 場合の 円 錐状な y Q%S X P~%� y Q y TVS XVG�v 非一 様劣化 |

の 克服を 目指して い る 。 実時間 で の 波面復元

に は 、 線形演 算に よ る 手法と 反復に よ る 手法が あ る 。 制御行列を 直接に 計算す る 手法で は 、 行

列の 算出の 場合で 望遠鏡の 開口の � 乗、 波面復元に は 同じ く � 乗で 計算量が 増大す る た め 、 103

の 素子数に ワ ー クステー ショ ン で 一 日か か る 現状か ら 、 �>s1� に 必要な 104 − 106 は 絶望的で 、

計算手法か ら の 再検討が 必要で あ る 。

疎行列を 用い た 方法と 揺ら ぎ の 統計の 利用か ら 、 m4nporq の 素子数 Qに 対して O(n3/2) で

増大す る 計算量を 大幅に 減ら す 研究 が なさ れ て い る 。 波面回復で 最小分散を 与え る 手法の う ち 、

フ ー リ エ空間 で 逆 計算を 行なう 手法は 、 ノ イ ズに 弱い 問題が あ る 。

こ の 論文で は 、 m�z �UTVSU��JVSWRお よ び 疎行列の 利用で 効率の よ い 反復ア ル ゴリ ズム を 構成し、 計

算量を O(n log n) あ る い は O(n) に ま で 押え なが ら 、 ブ ロ ック対称型ガウ スザイ デル 反復法の 形式で s�y�� LZJ8� q JVSWLZQ)TMLOR

を 導入す る 。

�C\^�cbedg�l�>�{� ��`p��`^�{����_a`m4nporq の 数理モ デル は 、 ノ イ ズの 影 響下で セン サー か ら の 信号を モ ー ド分解す る 波面推定 vx�>X �TVS G�y TVSWPQ=|

行列と 、 推定さ れ た 波面か ら ミ ラ ー へ の 信号を 算出す る 適合 vx� SUTVTVSUQ%��|行列を 、 そ れ

ぞ れ ベ クトル と 行列の 積で 表した も の か ら 出発し、 全体の 制御行列は そ れ ら の 積と 考え る 。 最

小分散分散復元は 、 開口面に お い て ピ ストン を 除い た 位 相エラ ー の F 乗を 最小に す る も の と し、周辺部等を 考慮した 重み関 数を 、 最小分散復元を 実現す る た め の 要素の 一 つ に 導入して い る 。

��\^��]O_�]Z��h�� ����be]Z�e_jic���^��`^]Z����`^]�dl_�����`cb�]Z�波面に 対す る 最小分散推定行列 � を 、 逆 行列解法の 適用して 形式的に 求 め て い る 。 そ の 途中で 、大気 揺ら ぎ に 対しフ ー リ エスペ クトル 分解に よ る 近似を 導入して い る 。

 �\^��]O_�]Z��h�� ����be]Z�e_jic�¢¡£]O`c`^]O_j¤¥����`cb�]Z�復元した 位 相分布か ら ミ ラ ー の 制御量を 計算す る た め の 適合行列 � に つ い て も 、 同様の 最小分散の 形式を 求 め て い る 。

¦C\^�§¤¥����¨e�{bª©Odlbe]«��_a`c��f¬�gil¤前章ま で の 議 論で 、 制御行列全体の 形が わ か っ た の で （ そ れ の 逆 の 形を ） 共役勾配法で 解く 。 共

役勾配法は 、 最大で も 係数行列の 明瞭な固有値の 個数だ け の 反復が あ れ ば 収束す る こ と が 知ら

れ て い る が 、 orq の よ う な不良設定問題で ­{s1� の よ う に 素子数が 膨大に なる と 収束性は 悪 化する 。 こ れ に 対して 、 係数行列を （ 固有空間 成分を 取り 出す ） 近似で 整形して 収束性の 改善を は

か るIKJMLONOPQ�R.SUTVSWPQ

と 言う 手法を 適用す る 。 マ ル チグリ ッド法は 、 強い 楕円 型の 偏微分方程式を

®

解く の に 強力な手法で 、 高分解能グリ ッドに 対して 、 低分解能の グリ ッドをIKJMLONOPQ�R.SUTVSWPQ�LZJ

に

用い る 。 ま た 、 s�yO� LZJ8� q JVSWLZQ�TMLOR法を 数式に 対応づ け る の に 、 マ ル チグリ ッド法の XVG P�PTVY�LZJ

に

ブ ロ ック対称ガウ スザイ デル 反復を 利用す る 。（ 注： E �°¯ 章の 数理に つ い て は 詳細を 調査中）±�\c_ah����{b�]�ik�e�²be�^�³dª�>ha`^]�dª_¬be�^��ha�=`l�想定した 大気 揺ら ぎ は ６ 層で 、 チリ の n LZJVJMPlI y N´Y�PQ

で の u%npµ'¶�o{· で の デー タ基 づ い た も の として 。 行列 ��¸C� そ れ ぞ れ 、 望遠鏡の 口径は E�FHGa¸ ® �HGa¸º¹HG を 考え 、 可変形状鏡の 枚数 ® � E の 場合そ れ ぞ れ 様々 な視点か ら 収束状態を 検証して い る 。

» \gildª_jik�:hj�C]�dª_j�（ 上記 を 再度ま と め て あ る 。）

F

����������� ������������������������������� ��!"���#�$%�����&('�)*�+&����,.-/���0)1'2�435���"6��7)1'2�8�:9 �

計算容量の 問題か ら 性能の 推定が なか っ た 巨大望遠鏡で の ;=<?>�@BADC#E�AGFH@BI(J�@1KMLONQP�E に つ い て 、計算モ デル の 単純化と 解析手法の 混用で 精度を 保ち つ つ 、 ESR ; で の 性能を 概算した 。T4UWVYX[Z]\O^`_baMc�ZdV�^eXLfNQP�EhgjiS@1k�l�@BA�m*n は 、 複数の 可変形状鏡を 用い た ３ 次元的な波面補償で 視野の 拡大を は か る 。大気 揺ら ぎ を 垂直分布を 含 め て 推定す る 方法は 複数提案 さ れ て い る が 、 oqpHrts<Yp=u�@1k1rtIvmGJGAGwvkBJGFHrtIは x�<YpypHrtI{z�|vr}> に よ り 提案 さ れ 、 uq<Y~(<Y�1�?rtI�F�z�LO<YA�k��v@BJGJGF�z0u�Fy~(<Yw�J に よ り モ ー ド分解で 高効率化さ れ 、 実験的も 行なわ れ て い る 。 一 方、 ;=<1>�@BADC�rtAGFH@BI�J�@1K は 、 複数の ガイ ド星を 複数の 検出器 で 受け て 複数の 可変形状鏡を 駆 動し、 検出器 ご と の 調整で 対ノ イ ズ性が 良い こ と で あ る 。 L�w�pyJGFy��pH@�C|�FH@BpHK�C�rY��C��qFH@B� は ;�<1>�@BADC�rtAGFH@BI(J�@1K の 拡張で 、 地表層用の セン サー の 配置で 非常に 広い 視野を 実現す る 。

��U���V���a8���WZ]V�^`X����O\O�f���%Z]�%\[�• 大気 は 、 ４枚の 位 相スクリ ー ン で cn プ ロ フ ァ イ ル に 対して 最良に 配置した 。 位 相スクリ ー

ン の サイ ズは 計算しや す さ か ら ���Y�(�������Y�(� （ �?�tL i¡��� ）。 風向は 縦横左右 に 単純化。 位 相スクリ ー ン は スケー ル フ ァ クタ ;=r を 等方に 含 む と した 。 位 相スクリ ー ン の 間 の フ レ ネル（ 回折） 伝搬は 考慮しない 。

• ¢�£ セン サー で の 値か ら 、 フ ォトン ノ イ ズ、 読み出しノ イ ズ、 暗 電流、 空（ 背景） の ４種の ノ イ ズを 考慮。

• ガイ ド星は 、 �¥¤¦|vrt� の 内側で は ��¤ の 円 周上と 中心へ 等間 隔 に 配置し §����0@BA�¨�L を カバ ー 。�¥¤ か ら �¥¤¦|vrt� ま で の 同心円 上で は ©¥¤ の 円 周上に 配置。 サン プ ル 星は ストレ ー ル 比の 計算の みで 、 �¥¤¦|vrt� に 収め た 。 サン プ ル 星の 光が セン サー や マ スクか ら は み出た 場合分は マスクした 。（ 影 響は 無視で き た 。） 周辺部の ガイ ド星は 上層用可変形状鏡に 入ら ない と 単

純化。 ª¡¢�| の 計算は 中心の 星の みで 、 ストレ ー ル 比も パ ー セバ ル の 式と エネル ギー 保存と 位 相傾斜か ら 計算し、 ¨�|�x を 省略した 。

• ミ ラ ー は 全て 共役な波面セン サー と 同じ 幾 何形状と して 、 ノ イ ズを 含 む 位 相に 対す る 線形

補間 フ ィ ル ター と して 表現。 ミ ラ ー の 像の 高度も ミ ラ ー か ら セン サー の 距離の 整数倍と し

て 単純化。 上層用ミ ラ ー と セン サー の 像は 高度 �?�t«�¬ で あ る 。­�U���V���a8���WZ]V�^`X.�O\Oc/®[V�Z]�]c/Z/af\O�我々 は シミ ュ レ ー ショ ン 用の コン ピ ュ ー ター と して 、 デュ ア ル プ ロ セッサ ª¡N 一 台中心の 計６台構成の クラ スタを 用い た 。

¯�U±°b�%\OV�²�V�c/�WZ]V�^`X³�u�@B~(<Yw�J ら と の 比較 で は 、 控え 目の 結果で あ る 。 ´¡¢�E の L P�¨ と は 良く 一 致。 我々 の 方が ª¡¢�|が 一 様なの は 乱流層の 簡 略化の た め か ？ ESR ; で の 古典 P�E で は 良好な結果。

�

µ�Ud�¶�f_ ·}^d¸¹�hce^`�º�q�O\OV���V�^`XL P�¨»g¼�Y¬]n と ESR ;½gD�?���Y¬]n の 比較 で は 同様の 傾向。 ゆ え に 、 計算の 速い L Pq¨ で 最良パ ラ メ ーター を 推定し、 E2R¾; の 計算に 適用。最適な積分時間 を 調べ た 。 ビ ー ム スプ リ ッター や ゲイ ン の 分配率の 変化か ら は 大き な影 響な

し。 明る い 場合に は 、 高密度の 波面サン プ リ ン グが 良好だ が 、 １４等付近か ら 逆 転した 。 L <YA�k��v@BJGJGFの 論文に 従い 、 L�w�pyJGFy��pH@�C�|vrt� の 場合に つ い て 銀緯 ご と に 視野の 広さ を 計算した 。¿À\ �]��ab��Ze�¢�FyI�~�pH@%|�FH@BpHK�C�rY��C��qFH@B� お よ び 、 L`w�pyJGFy��pH@%|�FH@BpHK�C�rY�ÁC���FH@B� に お け る シミ ュ レ ー ショ ン を 行なっ た 結果は 以 下の と お り 。（ 抜粋）

¢�FyI�~�pH@Â|�FH@BpHKerY���qFH@B�;=<YJGFyJGwvK�@ ��� ◦ à � ◦ Ä � ◦¢�JGA�@B��p ©�Å ± ©�Æ �}Å ± ��Æ �?� ± ©�Æ

LO<��e¢�JGA�@B��p�Ç"ª�@?<YlÈ�½<YpypH@B> �(©�Æ�Ç/�B��Æ �¥�}Æ�Ç%��Æ �¥�}ƺÇÈ�?��ÆL�w�pyJGFy��pH@Â|�FH@BpHKerY����FH@B�

;=<YJGFyJGwvK�@ ��� ◦ à � ◦ Ä � ◦¢�JGA�@B��p=rtI��¥¤�|vrt� ©�� ± ��Æ � à ± ©�Æ � à ± ��Æ

LO<��e¢�JGA�@B��p�Ç"ª�@?<YlÈ�½<YpypH@B> �(��Æ�Ç/�?��Æ �¥�}Æ�Ç/���}Æ �¥�}ƶÇ/�?©�Æ¢�l�>ÈNQr}É�@BA�<Y~�@ � Ä Æ � Ä Æ �?��Æ

u�@?<Yp{k?<tm�@dg�¢�rtw�JG� o&<YpÊ<tkBJGFHk˪�rtpH@%n¢�JGA�@B��p=rtI �¥¤�|vrt� LO<�� ª�@?<Yl��½<YpypH@B>�B� ± ©�Æ �?��Æ ���}Æ

ま た 、 ¢�FyI�~�pH@&|�FH@BpHK�C�rY�ÁC��qFH@B� よ り も ¨�w<Yp0Ì@BpHK�C�rY�ÁC���FH@B� で の 方が 、 暗 い 領域 で の ストレ ー ル比が 高か っ た 。

Í ce^`X:c/��aM��V�^`X:�計算の 単純化に よ ら ず 、 従来の システム へ の 良い 近似が 確 認で き た 。 L�w�pyJGFy��pH@�|�FH@BpHK�C�rY��C��qFH@B� では 、 良好なストレ ー ル 比が 確 認で き た 。 ;=<?>�@BADC#E�AGFH@BI(J�@1K 法を E2R¾; に 適用した 場合、 上空の 層で の 瞳の 重複が 大き く なる 結果も 良好で 、 ¢�rtw�JG��o&<YpÊ<tkBJGFHk�ª�rtpH@ など 難しい 条件下で の 有効性が示さ れ た 。 ま た 、 クラ スター 構成の 計算機 は 良好で 、 今後 LfNQP�E シミ ュ レ ショ ン の ツー ル の完 成を 目指す 。

�

:_^`Fbadc/´³|�@ir1µ³e·¶~@CBdadz[@CE`E は 、 図 Çʺ 左 で 、 視野カメ ラ 前方の ３ 台が 参照星を 取り 出す 。 :_^`Fbadc?+�¤BD@Cz�csn�8�@u�\m}BI5IBdcsm}E³a1munZ6ÒÏ�´ は 、 図 Çʺ 右 の 通り で 、 上空層と 地上層を 捉え る カメ ラ 部を 共通に して 、 独立な８ つ の ピ ラ ミ ッドで 検出。 ど ち ら の 6ÒÏ�´ も 部分開口は ѬË�Ñ で あ る 。 ま た ;�;>Hは す べ て ß~=�5y´ 用の ;�;>H É{¹ で 、 素子サイ ズ ¸CÈ ミ クロ ン 、 É{¹{¹ ¶�à で á È Ë`á È の Ð�Ø È 象限を 読み出す 。 グリ コー ル 溶液 冷媒の ペ ル チェで 冷却 さ れ 、 コン トロ ー ラ ー は »�´`5 の ÏAâã»��I= 標準を 用い る 。

äAKZXVS�RTRT�*X3P*M��'�.S]�*P*M{X]�可変形状鏡 Ë ¸ と ティ ップ ティ ル トマ ウ ン ト ËLÐ は 、 »�´`5 の 別プ ロ ジェクトで の 既 存品。 バ イ モル フ で 電極は 放射型の á ¹ 素子。 有効径は 、 地表層 á ¹ z�z 、 上空層 Ð ¹{¹ z�z 。 ど ち ら も シー イ ング ÐÌå に 対応し、 最低共振周波数 Ñ ¹{¹ ¶Ià 、 ヒ ステリ シス Ð ¹\æ 以 下。çAKNRT���<�7èuP[MC�%�éX]SV�%�3W'P[�qR�A²�; は ;�;>H コン トロ ー ラ お よ び 高圧 ア ン プ が 接続さ れ 、 É{¹{¹ ¶Ià 動作が 可能。 ソフ トは 、 実時間 制御 、 機 器 制御 、 Ï�âg»��I= 制御、 赤外カメ ラ 制御か ら なる 。ê KN�*�qRT�yS]RT�#�<O�X*�������<��W'�NP*M{SVOë�/�<X*M¬��M¬P*M��*�評価装置の 製作に は 外部機 関 の 協力を 得た 。 赤外カメ ラ は 、 分解能

¹ÄÇʹ{¸ ѬågØ 画素、 視野は 約 É Ñ¬å。 ;�;>H コン トロ ー ラ ー は »�´`5 標準 âã�I=�;>» 。 揺ら ぎ シミ ュ レ ー ター :G=~?�´ で は 、 サポ ートへ イ オン を 注入しガラ ス基 盤に 転位 さ せ る 手法で カル マ ン 型に 屈折率分布を 形成。 白色光源

v ¹ÄÇÊÉ e ¹ÄÇʸ{¸ ミ クロ ン x を 用い 、 ガイ ド星の 配置に 合わ せ フ ァ イ バ ー 端可動。 ４層独立に 回転。ìAK[OY�NP3W<R<�<�%Ö'W<MCU<�é�AP$�TRíP$�TRTÖ<��P��:T@CB1r1|�m}adadcÞv ¸{¹{¹ Ð�x ら に よ っ て 、 ²Þ�¤rD|�hCe ¸ 記 載の 星で 自然参照星が 事前検討さ れ て い る 。 基 準は 、:_p`î�Ð{Ð ÇÊÉ 以 上の ３ つ 以 上の 星が ¸ÄÆ 以 内に 並ん で い る こ と で 、 銀緯 に よ る 形態や 密度も 考慮した 。ïAKN�qð<�*�[XZP[��Uñ�*��R<�yS�R<�Û�<O�X*�性能の シミ ュ レ ー ショ ン は 、 ?�@CBD@CE�@CF で の 標準的な大気 揺ら ぎ ò 層、 É{¹ の ツェル ニケモ ー ド、 ¸ÄÆ円 周上の Ð{Ð 等の 自然ガイ ド星など を 考え た 。 表が 結果で あ る 。

J�óôX]SVO�XZ��WY�AM{SVO��光学部の 設計は 進展して い る 。 可変形状鏡など を 調達済み。 性能評価用の 赤外カメ ラ や 揺ら ぎ

シミ ュ レ ー ター も 製作中。 自然ガイ ド星の リ ストも 予備作成さ れ 、 �~Fshi��@CFL��muruhiE�tdadBd^�r}adcshiE で の性能も 概算さ れ て い る 。

¸

１．OWL補償光学系(New challenges for adaptive optics: the OWL 100m telescope, Hubin, N. and Le Louarn,M., 2000

Proceedings Baeckaskog Workshop on Extremely Large Telescopes, p202、など)

OWL100m望遠鏡用の可視で回折限界の性能を出す AOを検討した。

１－１、基本仕様

表１、OWLの AOシステムの目標仕様

Requirements GoalScience FOV (correctred FOV)　 2 arcmin for IR

30 arcsec for visible3arcmin1 arcmin

Strehl ratio 20% in visible 40%Angular resolution in AO mode 　　　　　　　 Diffraction limited　 　　　　 　　　　

Sky coverage TBD Miximize

表２、検討に用いたパラメーター

補正素子数（可変形鏡、波面センサー） 25-50万波面センサー CCDの読み出し雑音 1e-

制御速度 500Hz

シーイング 0.5秒アイソプラナティック角 3.5秒角補正性能（ストレール比） 0.6＠ V

レーザーガイド星 　　　　　　　 4台　　　　　　補正視野 30-60秒角（可視）

3-6分角（赤外）

図１、OWL 自然ガイド星 AOの光軸上の理論性能。上から K、I、Vバンドでの性能。マルチコンジュゲートではないので、光軸から離れると性能は劣化する。

1

１－２、マルチコンジュゲートAO（MCAO:観測できる視野を広げる）

複数のガイド星を同時に観測することによって、複数の層の大気揺らぎそれぞれを測ることができる（３ Dトモグラフィー）。断層撮影と同じ原理。現在、Gemini天文台では、MCAOシステムの開発を進めている。また、ESOでもMCAOの効果を実証するための試験用AOシステム（Multiconjugate AO Demonstrator）を開発中。ここでは、OWLに MCAOを適応する場合に、自然のガイド星だけで空をカバーできる可能性について検討する。

１） 自然ガイド星を使った３ Dトモグラフィー3Dトモグラフィでは望遠鏡の口径に比例してガイド星の数が増える。最大の FOVは大気揺らぎの最も高い層と望遠鏡の口径で決まる。波面の重ならない部分の割合は、

h*s/D<<1　（h：揺らぎの高さ、s：視野、D望遠鏡の口径）

50-100mクラスになると、自然のガイド星だけで十分な数のガイド星が得られる可能性がある。

図２、３ Dトモグラフィーの概念図。レーザーガイド星（左）と自然ガイド星（右）。自然ガイド星のほうが、光源が無限遠にあるので、上層での重なりが大きい。（下）副鏡の影があると、測れない波面がでてくる。

2

図３、自然星３ Dトモグラフィー AOでのスカイカバレージの見積もり。上から、銀河中心、平均、銀極方向。12分の視野で、DM3台、ガイド星が 4つの場合。

１－３、ハードウェア可視 AOを実現するためのハードウェア1)50万素子の DM

2)50cm径の DM場合、素子間隔は 0.7mmとなる3)DMの技術としては、MOEM（ micro-opto-electro-mechanical device）が必要。今の技術で0.3mm

4)計算機の能力は現在の 10000倍必要であるが、今後の計算機の進歩からいって大丈夫であろう。

２．OWL100m望遠鏡用AOの光学系特徴（Optical design and adaptive optics properties of the OWL 100-m telescope, Dierickx, P., 2001,

Proceedings Venice Workshop “ Beyond Conventional Adaptive Optics)

２－１．光学系１）望遠鏡光学系は 6枚構成で、10分角（ケラレなしでは 6.14分角）視野を持つ。２）レーザーガイド星の場合は、ガイド星が 90km と有限位置にあるので、OWL のような長焦点（600m）では、焦点位置が大きくずれてしまい、そのままでは、収差が大きい（40ミクロン rms）。３）この問題を LGS用自然ガイド星を使って、波面のティルトだけでなく、フォーカスと 3次の収差まで測定する。残存収差は 3nm程度。

3

図４、OWL6枚光学系。10分角の視野を持つ

図５、OWLの光学性能。視野は 10分。波長 1ミクロンでは直径 4分で SR>0.8

4

Results of AO simulations for ELTs (Conan et al. 2001)

• AOのシミュレーションモデルとして、解析的モデルとモンテカルロ (End-to-end)モデルとを考察。

• シミュレーションのスケールは、（口径/Fried長）の２乗に比例して増大。　→　 ELTクラスの場合、計算機１台では無理。PC20台と１ Gpsネットワークによる並列処理でなら可能。

• 解析的モデル

– End-to-endモデルより短い時間で開発が可能。

– 波面の乱れを表す際に Zernike多項式基底ではなく Karhunen-Loeve基底を使用。　→　高次（≦ 4× 104）の補正をするのに最適。解析的な式がないという欠点も。

– AOなしでのシミュレーション結果（横軸：望遠鏡の口径、L 0：Outer scale）

– 　口径が L 0より非常に大きい場合、AOなしでも回折限界に近い像が得られるという結果（ただし、シーイングが良い場合）。

• モンテカルロ（end-to-end）モデル

– 解析的モデルより細かく詳しい解析が可能。

Phasing ELTs for Adaptive Optics: Preliminary results of a Comparison of tech-niques (Schumacher et al. 2001)

• セグメント鏡のアライメント法（position, tip-tilt, piston）の概略。

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• Tip-tiltの絶対測定には AOの Shack-Hartmannセンサを利用可能。セグメント間の相対値は Edgeセンサ。

• セグメント間の相対的な Piston位置の光学的な測定法は以下の 5つ。

– Wave-Optics Shack Hartmann Sensing (Keck の Chanan narrow-band phaing tech-niqueは，その 1つの例）

– Curvature Sensing

– Interferometry

– Pyramid Wavefront Sensing

– Phase Diversity

• Chanan narrow-band phaing techniqueについては詳細に考察

– いろいろな Piston位置でシミュレーションした回折パターンと測定とを比較して相対的な Piston位置を決定。

– 回折パターンの比較法には，次の 2通り。

∗ 相関係数を計算する方法（Chanan法）

∗ 回折パターン中の 2つのピークの比を計算する方法（Peak ratio法）

– Peak ratio法の方が精度が高く，シーイングが悪いときやフォトンノイズの高いときにも有効。

– 光源（星）は，精度 5nmを要求する場合，12等程度が必要（約 10000個のフォトンに対応）。

– Piston位置の絶対値は，特異値分解法（SVD）により計算。これはセグメントの枚数が増えてもうまく働く。

Performance of NGS based MCAO demonstrator: the NGC3366 and NGC2346simulations (Bello et al. 2001)

• マルチコンジュゲートAO（MCAO)の性能を、目的天体周りの現実の星の配置でシミュレーション。

• 自然ガイド星 3個のMCAOとガイド星 1個の通常の AOとを比較。

• 望遠鏡の口径は 8m、可変形鏡は 2枚、波面センサは 9x9の Shack-Hartmann。

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• ガイド星の配置は下図（数字は等級）。

• シミュレーション結果（横軸：上図の Secondary Axisに沿った視野上の位置、上図の左側が下図の右側に対応）

Multi-conjugate adaptive optics: a PSF study (Louarn 2001)

• マルチコンジュゲート AO（MCAO）の性能を赤外域と可視域の両方でシミュレーション。

• 自然ガイド星 1個または 3個のMCAOと通常の AOとを比較。ガイド星 3個は正三角形配置（間隔は 28あるいは 42秒角）。

• 望遠鏡の口径は 8m（Gemini）、可変形鏡は 3枚、波面センサは 3x3の Shack-Hartmannあるいは quad-cell。

• 補正視野サイズは半径 30秒角。

• ストーレール比はこの視野内でほぼ一定（～0.77）という結果。ただし，ピーク値は通常のAOより低い。

• 可変形鏡のカバーする視野（>30秒角）外ではストレール比は低下するが，波面はある程度補償される。

• 可視域での性能は，赤外域に最適化して AOをかけたときに，可視でどれくらい補正されるかをシミュレーション。結果は下図。

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• ストレール比は低いが，FWHMは回折限界（0.014秒角＠ 0.55μm）に比べてそれほど悪くないという結果。

• Vバンドでのシミュレーション結果（実線：ガイド星 1個のMCAO，破線 2本：ガイド星 3個のMCAO（上側がガイド星間隔の大きい方），1点鎖線：通常の AO）

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<CELT>

Chapter 9. Adaptive Optics

概要

LOAO,MCAOを基軸に、EAO,GLAOなど特化した機能をもつ AOの導入も検討している。

• Low-Order Adaptive Optics (LOAO): 中間赤外線領域 (3-30 um)

• Multi-Conjugate Adaptive Optics (MCAO): 近赤外線領域 (1-2.5 um)

• Extremely high-contrast AO (EAO): 可視光領域、高コントラスト

• Ground-Layer AO (GLAO): 広視野

※ 可視光広視野観測での AO使用は非現実的。

サイエンス

サイト

• マウナケアでは、Turbulance層 5-10 kmに広がっている。しかし Turbulanceのトータルは世界で最も小さい。

• チリ Cerro Pachonでは、Turbulance層 13 kmに集中している (広視野に渡る補正が簡単)。しかし Turbulanceのトータルはマウナケアより大きい。

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◎ Turbulance層の分布調査には、複数年をかけて統計をとることが必要である。特にMCAOに与えるインパクトが大きい。

性能・デザイン・課題個々の AOシステムの性能、特色および現時点での課題をまとめる。

● LOAO

中間赤外線領域 (3-30 um)であれば、比較的容易に広視野 (30”)で回折限界像を得られる。

■ 性能

• K=16magの Natural Guide Star(NGS)を用いて 30”視野で 500nm以下の波面誤差。

• スカイカバレージ (30”視野内に K=14magの NGSが入る領域)

– galactic pole (b=90deg)付近で 3 %

– galactic equator付近 (b=-10 to 10deg, l=-90 to 90 deg)で 32 %

– galactic equatorでは ほぼ 200 %

■ デザイン

• 選択肢 （主にエミッシビティに基づく）

– (1) 主焦点冷却 AO (2 warm surfaces)

波面誤差は 30”視野で 200nm以下、60”視野で 600nm

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– (2) 補償副鏡 (4 warm surfaces) 質量・サイズの増大が問題 (f/15 D=4.2m; LBT はD=1m)。

– (3) ナスミス冷却 AO (4 warm surfaces) 第三鏡（常温）からの背景放射の揺らぎが問題。主焦点 AO、補償副鏡より安価。

– (4) 常温AO (14 warm surfaces) 最も安価（近赤外線MCAOをそのまま使う）。感度は激減（SIRTFにすら劣る）。しかし、空間分解能は高い。

• 感度

（※）可変鏡は 30Kまで冷却可能

● MCAO

3 umより短い波長の AO観測では、充分に明るい NGSを見つけることが困難。複数の LaserGuide Star (LGS)を用いて、1–3 um帯で、1–2 ’視野の AOを目標とする。

■ 性能

左より“ floor”,“ requirement”,“ goal”レベルを表している。（floor: 最低限、requirement:‘ first lock ’時に要求されるレベル、goal:‘ first lock ’後 10年で目指すレベル）（※）“ goal”レベルでは、2 ’視野で波面エラー 292nmを達成。■ デザイン

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• 2’視野補正、けられのない 4’視野を確保。

• 3.3m focal length, D=750mm, 570mm off-axisの 4つのパラボラ鏡を配置。

• 0,4,8,12km高度位置に DMを配置。（最適は、0,3.0,5.8,12kmだが、このレイアウトでは簡単化してある。）

• Petzval curevatureは、（この relayでは）補正しない。装置内部の冷却光学面での補正が好ましい。（※）一般に光学面数が増えると散乱光やエミッシビティがあがる、が星像はよくなる。

• 4’視野の確保の為、DMの最短配置距離は 430mm。これは 8km高度差に相当する。よって同一パスに 0km,4km等は配置できない。けられのない視野を 2’に設定すると、同一パスに全ておさまり、二つの光学面を減らすことが可能。これにより off-axis光学系の収差も小さくなる。

• サブアパーチャーの瞳を絞ることにより、瞳の回転の影響を押さえる (光量は 3%ロス)。

波面センサー

• 32cmサブアパーチャー Shack-Hartmann波面センサー

• 79Hz -3db bandwidth, 1.6kHz frame rate

• 読み出しノイズは 13e-以下が必要。

可変鏡

• 0,3.0,5.8,12.0km層に配置。

• 素子数はそれぞれ、7700,7000,4200,1780。

可変鏡（Deformable Mirror; DM）の数とエラーとの関係。（※）“Gen. Anisoplanatism Error”とは、補正している層以外に Turbulanceが存在していることに起因するエラー。

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LGS

• 測定エラーは『ガイド星全体からくる光子総量』と『ガイド星のスポットサイズ』に強く依存し、ガイド星の個数にはあまり依存しない。

• ガイド星の発光層は有限の広がりがあるので、ガイド星は延びる (典型的に 4”近く)。

・ レーザーの複数のパルスが発光層に存在しないようにパルスを制御する。・ 特別なクロッキングの CCDを利用する。

等の対処が必要。

GSの数とエラーの関係。

（※）“ Tomography Error”とは、ガイド星が有限であること（とその配置）に起因するエラー。

WFS素子上のカウント数と波面測定エラーの関係

NGS

• Tip-Tilt補正の NGS(一つ; H=15.3mag r<2 ’)以外に、歪曲補正の為にさらに複数の NGSが必要になる。

• LGSから 2 ’以内に H 23magの NGSが LGSと同数個存在すれば O.K.

計算量

要求される計算量は、Keck AOの 4000倍。(“ sparse matrix method”等の新計算法で高速化を図ることができるか。)

□ Focal Anisoplanatism (FA)モード

• 一つの可変鏡を用いて光軸中心のみで高いストレール比を得る為のモード。

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• 波面センサー、LGSは複数使用する。

■ 課題

• 可変鏡のアクチュエータ総数が 21,000。このコストをどう押さえるか (現状アクチュエータ単価 $500)。

– “micromechanical DM”: $10-$20、“ integrated electrostrictive actuator”: $50 の開発頼みか。

• 大フォーマット CCD (400x400 pixels, 1200 frames / s, 読み出しノイズ 5e-以下)の開発

– レーザートラッキングの為の特殊なクロッキングを有するもの。

• 高速 波面再構築のアルゴリズムの開発。

• 特別なパルスフォーマットを持つハイパワーレーザーの開発

○ EAO

波面補償により、peakを高めるのではなく haloを落すことを主目的とする。

■ 性能

セグメント主鏡による波面誤差を 25-50nm に抑える必要あり（Keckの現状は 76nm）。これを超える場合は特別なコロナグラフが要求される（焦点面、瞳面）。性能は r0に大きく依存する。Cn^2依存性は低い。■ デザイン

”conventional” 波面センサーと可変鏡によって回折限界（に近い）像を得る（大きいストローク＋低次の補正）。この後、 ”interferometric” 波面センサーと ”MEMS” 可変鏡によって高次の補正を行う（小さいストローク）。要求される計算量は 5x10(+7) /ms で、Keckの 1500倍、USAF可視 AOの 20倍である。

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○ GLAO

広い視野に共通に影響を与える表層に対する補正のみを行う。

■ 性能1umより長い波長において、半値幅 0”.5を 0”.35に改善。■ デザイン

• 20’視野に NGSを多く見込むことができる。(ex. 7 stars of K<8mag at b=30deg l=90deg)

• または、Rayleigh laserを使うことにより、低い高度の層にガイドスターを作り出し表層のみの補正を簡単にすることも可能。

Last Updated 2003/4/20Hiroshi TERADA (terada@naoj.org)

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