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8/16/2019 Resolucion numerica de flujo en un canal con Escalon (Software OPENFOAM).pdf

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Resolución numérica del problema del flujo en un canal con escalón

utilizando OpenFOAM®.

Andrea Ceretani(1,3)

, Ma. Cristina Sanziel (3,4)

, Margarita Portapila(1,2)

(1) CIFASIS (Centro Internacional Franco Argentino de Ciencias de la Información y Sistemas). Bvd. 27 de Febrero 201

bis, Rosario, Argentina.

(2) CUHIRAM (Centro Rosario de Investigaciones Hidroambientales). Fac. Cs. Exactas, Ing. Y Agrimensura,

UNR.Riobamba 245 bis, Rosario, Argentina.

(3) Inst. de Matemática B. Levi, Fac. Cs. Exactas, Ing. y Agrimensura, UNR. Av. Pellegrini 250, Rosario, Argentina.

(4) CIUNR (Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Rosario).

E-mail: [email protected]

RESUMEN: En este trabajo se consideran dos problemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parcialescorrespondientes al flujo en un canal bidimensional con escalón para = 800 y se los resuelve numéricamentemediante el Método de Volúmenes Finitos a través de OpenFOAM®. Uno corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y el otro, a un modelo de turbulencia de tipo LES basado en la hipótesis deBoussinesq. Se analizan las ubicaciones de las condiciones de flujo entrante y saliente, se comparan losresultados correspondientes al campo de velocidad con resultados publicados para el caso estacionario y seanaliza la posibilidad de inferir un comportamiento asintóticamente estacionario del flujo a partir de losresultados numéricos obtenidos.


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INTRODUCCIÓN

La complejidad de las ecuaciones de Navier-Stokes hace que, en general, no se conozcan soluciones analíticas

para problemas con condiciones iniciales y de frontera asociados a ellas y a la ecuación de continuidad, o

condiciones bajo las cuales se pueda garantizar la existencia y unicidad global de solución, ni siquiera en un

sentido débil, tal como ocurre en el caso tridimensional (Berselli et. al., 2006). Cuando tales ecuaciones, tanto en

dos como en tres dimensiones, resultan de modelos físicos sobre la evolución del movimiento de fluidos

incompresibles, asumiendo el principio de determinismo de Newton (Lesieur, 1997), se supone la existencia y

unicidad de solución del problema matemático lo cual se vuelve un punto de partida para la resolución numérica

del mismo. Sin embargo, cuando el problema está asociado a un flujo turbulento, la inestabilidad que presenta

motiva el estudio de modelos de turbulencia factibles de ser resueltos numéricamente, puesto que, teniendo en

cuenta la teoría de Kolmogorov, ni siquiera es abordable el problema de resolver numéricamente una realización

de un flujo turbulento y obtener resultados precisos a un costo computacional aceptable (Pope, 2000).

Los modelos de turbulencia en base a la simulación de las grandes escalas de movimiento (large-eddy

simulation, LES ) pretenden modelar el comportamiento de flujos turbulentos de manera precisa y ser factibles de

ser resueltos numéricamente de un modo eficiente. Estos modelos se basan en la idea de resolver el

comportamiento de las “grandes” escalas de movimiento del flujo y de modelar la evolución de las “pequeñas”

(Berselli et. al., 2006; Sagaut, 2006).

Por otro lado, la no linealidad, tanto de las ecuaciones de Navier-Stokes como de las ecuaciones que surgen de

modelos de turbulencia de tipo LES, dificulta el desarrollo de un método numérico eficiente.

No obstante estas dificultades, existen códigos que permiten resolver una amplia variedad de problemas de

dinámica de fluidos, entre los que se encuentra OpenFOAM®, el cual es libre y abierto. Esto motiva el interés de

realizar validaciones de los solvers de OpenFOAM® a partir de comparaciones con datos experimentales o con

resultados de otros métodos numéricos; así como también de avanzar en la comprensión de los desarrollos

teóricos en base a los cuales los solvers se desarrollan.

Flujos con separación y posterior re-unión (“reattachment”) de la capa límite son a menudo encontrados en

hidráulica. Uno de los más sencillos, puesto que se desarrolla en una geometría simple, pero que permite apreciar

las características del flujo que se presentan a causa de la separación y re-unión de la capa límite y de las zonas

de recirculación, es el flujo en un canal con escalón (backward-facing step flow problem, BFS ). Este problema es

uno de los considerados para testear nuevos métodos numéricos, siendo los resultados experimentales publicados

en (Armaly et. al., 1983) frecuentemente considerados como caso de referencia (“benchmark”).

En este trabajo se considera un problema BFS bidimensional transitorio con = 800. Se lo describematemáticamente considerando, por un lado las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y por otro, las

ecuaciones que corresponden a un modelo de turbulencia de tipo LES basado en la hipótesis de Boussinesq, y se

lo resuelve numéricamente con el método de volúmenes finitos mediante OpenFOAM®. De esta manera, se

resuelve el BFS tanto con el espíritu de una simulación numérica directa, como a través de un modelo LES de


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turbulencia. El objetivo es estudiar el funcionamiento de los solvers icoFoam y pisoFoam de OpenFOAM® para

el problema planteado y analizar si es posible inferir un comportamiento asintóticamente estacionario para el

flujo en el BFS con = 800, a partir de la solución numérica obtenida con cada uno. La implementación delsolver pisoFoam, el cual resuelve el modelo de turbulencia, sobre un problema que no corresponde a un flujo

turbulento, responde a la intención de evaluar su comportamiento sobre flujos menos caóticos y, de esta manera,

analizar si el modelo de turbulencia considerado satisface un requerimiento básico, a saber, una representación

adecuada de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes cuando se supone que la misma es suave (Berselli et.

al., 2006).

DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL BFS

Las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad

La evolución del flujo de un fluido Newtoniano e incompresible, con velocidad = (, ) y presión , en uncanal bidimensional con escalón queda representada por las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad: + ∇ ∙ () + ∇ − ∆ = 0 Ω × (0, ) (1)∇ ∙ = 0 Ω × (0 , ) (2)

donde Ω = Ω ∪ Ω es un dominio bidimensional (Figura 1) definido por Ω = [−1 , 0) × [ − ℎ, ] yΩ = [0, 2] × [0, ] para 1, 2, y ℎ positivos con 0 < ℎ < , (0 , ) representa a un intervalo temporal,

=

/

es la presión cinemática del flujo, y

y

son parámetros positivos correspondientes a la densidad y a

la viscosidad cinemática del fluido, respectivamente; sujetas a

Figura 1: Dominio.

las condiciones de frontera:

Sobre Γ ≔ {(−1 , ) ∈ ℝ2 / − ℎ < < ℎ}:|Γ = − 4ℎ2 − 2 − ℎ2

2

+ ; |Γ = 0; |Γ = 0 (3)


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Sobre Γ ≔ {(2 , ) ∈ ℝ2 / 0 < < }:

|Γ = 0; |Γ = 0; |Γ = 0 (4)Sobre

Γ ≔ Ω −(

Γ ∪ Γ):

|Γ = |Γ = 0; |Γ = 0 (5)donde > 0, Γ representa a las paredes superior e inferior impermeables y Γ y Γ representan a la entrada y ala salida del canal, respectivamente; y a las condiciones inciales:

| =0 = 0 | =0 = 0 | =0 = 0 (6)siendo 0, 0 y 0 campos escalares.El perfil parabólico de velocidad correspondiente a un flujo plano de Poiseuille completamente desarrollado(Batchelor, 2000), junto con la condición de derivada normal exterior nula para la presión establecidos en la

entrada, implican que la presión asume un valor positivo sobre Γ . Esto último, junto con la condición de presiónnula sobre Γ , implica que el movimiento del fluido es consecuencia de una diferencia de presión entre la entraday la salida del canal. Las condiciones de frontera impuestas para la velocidad en la salida, corresponden a las de

un flujo completamente desarrollado.

Para definir el número de Reynolds se consideran como velocidad característica a las dos terceras partes de la

velocidad máxima en la dirección del flujo en la entrada del canal, , y como longitud característica al diámetrohidráulico del canal de entrada, el cual, en este caso, coincide con dos veces la altura del mismo. De esta manera,se obtiene = (2/3 )(2ℎ ) .2.2 Un modelo de turbulencia de tipo LES: el modelo de Smagorinsky con filtro top-hat y amortiguación hacia

la pared

En este trabajo, se considera al filtro top-hat para separar las escalas de movimiento y al modelo de Smagorinsky

con una amortiguación hacia la pared como modelo de clausura, según se explica a continuación.

La cantidad media asociada a una incógnita (, o ), �, en un punto (, ) ∈ Ω, se define por:

� (, ; ) = 141(, )2(, ) −

′21(, ) −

′22(, ) ( ′ , ′ ; ) ′ ′( , )

=1

41(, )2(, ) ( ′ , ′ ; ) ′ ′ +2( , )

−2( , ) +1( , )

−1( , ) (7)

siendo el filtro top-hat, dado por:


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() = 1 || ≤ 120 ,

1 y 2 funciones suaves positivas en Ω y no negativas en Ω que representan a la longitud de corte (cut-offlength) en cada una de las direcciones del dominio,

(

,

) = [

−1(

,

),

+

1(

,

)] × [

−2(

,

),

+

2(, )] ⊂ Ω (Berselli et. al., 2006; Sagaut, 2006). Detalles sobre la implementación de este operador se dan enla sección 4.

Al aplicar el operador de filtrado definido por (7) miembro a miembro de las ecuaciones de movimiento (1)-(2),

lo cual es la base para la derivación del modelo de turbulencia, se obtienen las ecuaciones “filtradas” de Navier-

Stokes y de continuidad:

+ ∇ ∙ ( ) + ∇ ̅ − ∆ + ∇ ∙ (, ) + (, ) = 0 Ω × (0 , ) (8)

∇ ∙ +

(

,

) = 0

Ω× (

0 ,

) (9)

donde = (� , ̅) . Los términos (, ) y (, ) son los “errores de conmutatividad” que surgen comoconsecuencia de que los operadores de filtrado y de derivación no conmuten (puesto que las funciones 1 y 2 noson constantes), y (, ) = � −�� es el tensor “sub-filtro”.Para modelar al tensor , se asume la hipótesis de Boussinesq y se utiliza el modelo de Smagorinsky con unaamortiguación del estilo van Driest, según el cual se establece (Berselli et. al., 2006):

∇ ∙ (, ) = − ∇ ∙ (, ; 1, 2)2|∇ |∇ + é ̅ (10)donde ∇ = 12 (∇ + ∇ ) es la parte simétrica de ∇ y (, ; 1 , 2) → 0 conforme (, ) se acerca a las paredes horizontales del canal. Detalles de la elección de , se dan en la sección 4.Finalmente, despreciando los errores de conmutatividad y en (8)-(9) y teniendo en cuenta (10), lasecuaciones correspondientes al modelo de turbulencia son las siguientes:

+ ∇ ∙ () + ∇ − [2 + 2]|∇ |∇ = 0 Ω × (0 , ) (11)∇ ∙ = 0 Ω × (0, ) (12)siendo = ( , ). Sobre estas ecuaciones, se establecen las mismas condiciones de frontera e inicialesespecificadas en (3)-(6). Vale la pena señalar que, mientras las condiciones iniciales y de frontera en la entradadel canal son impuestas sobre el modelo de turbulencia, las demás condiciones surgen naturalmente para y ,a partir de las suposiciones sobre las que se basa el modelo. Notar que y ̅, no necesariamente satisfacen (11)-(12), por tal motivo, se adopta una notación diferenciada entre la solución de los problemas determinados por

(8)-(9) y (11)-(12).


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MÉTODO NUMÉRICO

Para aproximar numéricamente la solución de cada uno de los modelos expuestos en la sección anterior, se

utiliza el método de volúmenes finitos (Versteeg, et. al., 1995). Para ello se considera que el dominio Ω es particionado en un número finito de volúmenes de control. A continuación, se explica la implementación delmétodo sobre la primera ecuación de momento en (1), lo cual resulta representativo de la implementación

general.

Integrando miembro a miembro dicha ecuación sobre un volumen de control = {(, ) ∈ ℝ2 / ≤ ≤ , ≤ ≤ , }, se obtiene: + + +

− 2 2 +

2 2 = 0 (13)

Para discretizar el término transitorio se utiliza un esquema de Euler implícito y se aproxima el integrando por suvalor en el centro de , ( , ):

~ , , + Δ − ( , , )Δ ||

(14)

Aplicando el Teorema de Green y teniendo en cuenta la ecuación de continuidad (2), la integral del término

convectivo puede expresarse como:

+ ~ ( , ), + (( , ), )4

=1 (15)

considerando = ⋃ 4=1 , siendo, para cada = 1 , . . , 4, un lado de la frontera de , y constantesasociadas a su parametrización y ( , ) su punto medio.A fin de obtener una aproximación de los valores de las funciones en (15) que involucre a los centros de los

volúmenes de control, para cada = 1 , . . , 4 se hace una interpolación lineal entre los valores que las funcionesasumen en el centro de y en el centro del volumen de control que comparte con al lado . De este modo,se obtiene:

+ ~ ( , , ) + ( , , ) , , + ( , ,

4

=1

(16)

siendo , el centro de , y , , y constantes surgidas de la interpolación lineal.


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En forma análoga a lo hecho para la integral del término convectivo, se discretizan los restantes términos en la

ecuación (13).

Sobre el sistema de ecuaciones acoplado resultante se utiliza el algoritmo predictor-corrector PISO ( pressure-

implicit with s plitting of o perators) (Issa, 1984) con dos pasos correctores. Finalmente, en cada paso temporal,

los sistemas de ecuaciones correspondientes al campo de velocidad se resuelven mediante el método del

gradiente conjugado precondicionado, utilizando un precondicionador diagonal simplificado basado en la

factorización incompleta de Cholesky; mientras que los asociados a la presión son resueltos mediante el método

del gradiente biconjugado precondicionado empleando un precondicionador diagonal simplificado basado en la

factorización incompleta LU (Chen, 2005).

IMPLEMENTACIÓN NUMÉRICA

La implementación numérica del método descripto en la sección anterior, se realiza mediante OpenFOAM ®. Se

emplean los solvers icoFoam, para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad, y pisoFoam pararesolver el modelo de turbulencia. De esta manera, mediante icoFoam, se simula directamente el BFS y a través

de pisoFoam, se lo resuelve mediante un modelo LES de turbulencia.

Las unidades de medida de las incógnitas y constantes involucradas en los modelos continuos, se resumen en la

Tabla 1.

[1], [2], [] y [ℎ] [0], [] [], [0], [0], [], [] [0], [] [] / 2/2 2/ Tabla 1: Unidades de medida.

Para la implementación numérica del modelo correspondiente a las ecuaciones de Navier-Stokes y continuidad,(1)-(6), se consideran los valores de las constantes dados en la Tabla 2. Estas especificaciones se corresponden

con = 800, con un aspect ratio −ℎ igual a 2 y con las longitudes en (Erturk, 2009), trabajo con el cual secomparan los resultados.

1 2 ℎ 0 20 300 2 1 0 800 0.6 10−3

Tabla 2: Especificaciones relativas al dominio, a la condición de frontera en la entrada del canal y al número de Reynolds.

El canal de entrada y la región rectangular determinada por el inicio del escalón y por = 100ℎ, se mallan demanera uniforme con 500 × 50 y 2500 × 100 celdas respectivamente; mientras que para la región rectangulardeterminada por = 100ℎ y = 300ℎ se utiliza una malla con 1250 × 100 celdas, uniforme en la dirección de y no uniforme en la dirección de , siendo la no uniformidad establecida a partir de una progresión geométricadonde la razón entre las longitudes en la dirección de de las celdas asociadas a la salida del canal y aquéllas endonde comienza la progresión, sea igual a 10. De esta manera, se obtiene una malla con 400000 celdas,

caracterizada por un “estiramiento” de las longitudes de las celdas en la dirección de , conforme éstas se


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aproximan a la salida del canal y por ser una malla “fina” en la zona del escalón. Justificaciones sobre la

elección de mallas con estas características pueden encontrarse en (Yee, 1999; Erturk, 2005; Erturk, 2009).

Para la implementación numérica del modelo de turbulencia, (11)-(12), se consideran los valores de las

constantes dados en la Tabla 2 con 1 = 5 y 2 = 100. Sobre el nuevo dominio Ω′ se define una malla quecoincide con la malla establecida para

Ω restringida a

Ω′, con lo cual se obtiene una malla uniforme con 256.250

celdas. La elección de las nuevas dimensiones del dominio y las características de su mallado, encuentran su

fundamentación en el análisis de los resultados numéricos obtenidos para las ecuaciones de Navier-Stokes y de

continuidad que se presentan en la siguiente sección.

El intervalo temporal (0, ) es particionado regularmente mediante un paso Δ = 0.1.Los sistemas de ecuaciones son resueltos fijando las tolerancias que se establecen en un tutorial de pisoFoam

para un problema similar al BFS aquí considerado (caso “PitzDaily”, Programmer’s Guide. OpenFOAM, 2011):

10−6 para el campo de velocidad y 10−5 para la presión.Los campos escalares discretos

0,

0 y

̂0 que determinan el estado inicial del flujo en

Ω, se definen a partir de

sucesivas perturbaciones sobre el fluido en reposo (Apéndice A, con = = = 10−2). Luego,tales valores son mapeados desde la malla en Ω hacia la malla en Ω′ para obtener las condiciones iniciales de laimplementación numérica del modelo de turbulencia, utilizando la herramienta mapFields de OpenFOAM®.

Para implementar el operador de filtrado definido en (7), se consideran 1 = 2 = 2, siendo la raíz cuadradadel área de cualquier volumen de control en la malla uniforme sobre Ω′. Puesto que sólo interesa filtrarcantidades en los centros de los volúmenes de control, la implementación numérica de un “filtro con radio

constante ” es compatible con la definición dada en (7). De esta manera, se obtiene:� , ; = 1

|| ( ′ , ′ ; ) ′ ′ + /2

− /2 + /2

− /2

para , centro del volumen de control . La amortiguación hacia la pared establecida por en (10), se define, en , , como:

, ; = 1 − − + ,

donde = 0,41 es la constante de von Karman, = 0,158 y = 26 son valores establecidos por defecto enOpenFOAM®, es la distancia de ( , ) a la pared horizontal más cercana y = 2 2 , para los valores = 0,094 y = 1,048 calculados por OpenFOAM®.La evolución de la solución numérica, , correspondiente a una incógnita, = , , , es analizada a partir de laevolución de los valores de y . La primera de estas cantidades, denominada “residuo inicial” en (User


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Guide. OpenFOAM, 2011), corresponde a una cantidad calculada por OpenFOAM® en cada uno de los pasos

temporales y es a partir de la cual se determina si el algoritmo debe iterar sobre el sistema de ecuaciones lineales

para alcanzar una solución numérica que satisfaga la tolerancia establecida. Más precisamente, si el valor del está por debajo de la tolerancia establecida para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales en un

instante de tiempo

, la solución

en el instante

será la misma que la obtenida en el instante (

−1), de este

modo, los valores de los residuos iniciales están relacionados con la convergencia del algoritmo a un estado

estacionario. La segunda de estas cantidades hace referencia a la variación de entre iteraciones temporales“sucesivas”, y se define a continuación. Llamando al centro de la j-ésima celda de la malla, = 1,. . ,400000;y = 0.1 un punto en la partición del dominio temporal, = 1, . . , 10, se definen:

, = | , , 2( +1) − ( , , 2 ) | (17) , = max{ , : = 1, . . ,400000} (18)

para = 1,. . ,400000, = 0, . . , /2 donde = 10. Nótese que , hace referencia a la variación global entre las iteraciones correspondientes a 2 y 2(+1) para .

RESULTADOS NUMÉRICOS

En esta sección se presentan resultados numéricos obtenidos con OpenFOAM® para el BFS con un = 800. Para las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad. Resultados con icoFoam

Los resultados presentados en las Figuras 2 y 3,

permiten concluir que la solución numérica

obtenida es cuasi-estacionaria con tolerancia

10−4 (Apéndice A) y que los perfiles develocidad final asociados a ella, concuerdan con

los reportados para el caso estacionario en

(Erturk, 2009), para ubicaciones sobre el canal

que distan aguas abajo del escalón en 6, 14 y 30

veces la longitud del mismo.

Figura 2: Evolución de durante 800 segundosde simulación. 1 = 20, 2 = 300. Resultados de

icoFoam.


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/ = / = / = Figura 3: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal de entrada a partir del escalón. = 800. 1 = 20.

2 = 300.

En lo que respecta al método numérico, se

percibe una dificultad del algoritmo iterativo que

resuelve los sistemas de ecuaciones lineales,

para alcanzar la tolerancia establecida. En la

Figura 4, se observa que el residuo para alcanza la tolerancia pedida (10−6), pero que noocurre lo mismo para los residuos

correspondientes a

y a

.

Especial énfasis se puso en este trabajo en la definición de las dimensiones del dominio numérico de modo de

obtener resultados aceptables al menor costo computacional. Al comienzo de este estudio, y siguiendo los

resultados de (Erturk, 2008), se planteó un dominio computacional correspondiente a 1 = 20 y 2 = 300. Losresultados reportados en los párrafos anteriores de esta sección corresponden a este primer dominio. Sin

embargo, la definición del dominio establecida en (Erturk, 2008) se basa en el análisis de flujos con números de

Reynolds que abarcan un rango mayor (desde 100 hasta 3000) del que interesa en este trabajo. Para analizar las

dimensiones del dominio hasta ahora considerado, se graficaron perfiles de velocidad final en diferentes

ubicaciones del canal. En la Figura 5 se presentan perfiles de velocidad para secciones del canal aguas abajo del

escalón para valores de /ℎ de 50, 100, 150, 200, 250 y 300. En la Figura 6 los perfiles de velocidadgraficados corresponden a posiciones aguas arriba del escalón cubriendo valores de /ℎ −20, −15, −10, −5 y0.

Figura 4: Evolución de durante 800 segundosde simulación. 1 = 20, 2 = 300. Resultados

de icoFoam.


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Figura 5: Perfiles de velocidad en diferentes ubicaciones del canal. = 800.1 = 20. 2 = 300. Resultados de icoFoam. Figura 6: Perfiles de velocidad endiferentes ubicaciones del canal deentrada. = 800. 1 = 20. 2 =

300. Resultados con icoFoam.

Del análisis de la Figura 5, donde se observa que los perfiles de velocidad se estabilizan a partir de /ℎ = 100,se decidió un nuevo valor de 2 = 100. De los perfiles graficados en la Figura 6 se decidió un nuevo valor de1 = 5. De este modo, se planteó un nuevo dominio computacional donde simular el problema del BFS para = 800. Además, la imposibilidad del algoritmo de alcanzar la tolerancia fijada para la resolución iterativa delos sistemas de ecuaciones lineales (Figura 4), sugiere fijar tolerancias menos exigentes.

A partir de las observaciones anteriores, se consideró el problema definido por (1)-(6) con los valores de las

constantes dados en la Tabla 2 considerando 1 = 5 y 2 = 100. Para resolverlo numéricamente, se empleó elmismo método explicado en la sección 3, con tolerancias 10−4 y 10−3 para resolver los sistemas de ecuacioneslineales asociados al campo de velocidad y a la presión del fluido respectivamente. La malla en el nuevo

dominio Ω′ coincide con la malla definida para Ω restringida a Ω′, resultando ser una malla uniforme con256.250 celdas. Los valores de los campos escalares discretos 0, 0 y ̂0 fueron mapeados desde sus valores enla malla sobre Ω hacia la malla en Ω′ utilizando la herramienta mapFields de OpenFOAM®. Nuevamente, fue posible obtener una solución

numérica cuasi-estacionaria con tolerancia 10−4 para el campo de velocidad (Figura 7), cuyos

perfiles para y en = 800 concuerdan conlos publicados en (Erturk, 2009) para el caso

estacionario (Figura 8), a un costo

computacional sustancialmente menor.

Figura 7: Evolución de y durante 800 segundosde simulación. 1 = 5, 2 = 100.

Resultados con icoFoam.


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2 = 100.

La pertinencia de ubicar la condición de flujo saliente a una distancia de 100 veces − ℎ a partir del escalón, puede observarse en la Figura 9, donde se advierte que los perfiles de velocidad para /ℎ = 100 son similares alos obtenidos para el dominio Ω. Análogamente, los perfiles presentados en la Figura 10, validan la ubicación dela condición de flujo entrante a 5 veces − ℎ aguas arribas de escalón.

Figura 9: Perfiles de velocidad en /ℎ = 100. = 800. 1 = 5. 2 = 100.Resultados de icoFoam

Figura 10: Perfiles de velocidad endiferentes ubicaciones del canal de

entrada. = 800. 1 = 5. 2 = 100.Resultados de icoFoam.

En la Figura 11 se muestran resultados para .A partir de la misma se puede concluir que, si

bien para el campo de velocidad se obtiene una

condición de cuasi-estacionariedad con igual

tolerancia sobre Ω′ y Ω (10−4), para la presiónsólo es posible alcanzar 10−1. Además, en lamisma se pone de manifiesto necesidad de

estudiar a la solución numérica de manera

global, es decir, teniendo en cuenta el

Figura 11: Evolución de durante 800 segundosde simulación. 1 = 5, 2 = 100.

Resultados con icoFoam.


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comportamiento de la misma en cada uno de los puntos de la malla, en el momento de analizar sus variaciones

conforme transcurre el tiempo.

Para el modelo de Smagorinsky. Resultados con pisoFoam

Cuando se implementa el modelo deSmagorinsky sobre el dominio surgido de los

resultados numéricos presentados en 5.1, se

obtiene una solución cuasi-estacionaria con

tolerancia 10−4 para , y (Figura 12), adiferencia de lo que ocurre con la

implementación del modelo de anterior, para el

cual esta tolerancia sólo es alcanzada para el

campo de velocidad (Figuras 9 y 14). Para la solución numérica obtenida, los perfiles de velocidad finalconcuerdan con los reportados en (Erturk, 2009) para el caso estacionario, en ubicaciones sobre el canal que

distan aguas abajo del escalón en 6, 14 y 30 veces la longitud del mismo (Figura 13).


2 = 100.

Figura 12: Evolución de durante 800 segundosde simulación. 1 = 5, 2 = 100.

Resultados con pisoFoam.

Figura 14: Evolución de durante 800 segundos


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En la Figura 14 puede apreciarse que, también

en este caso, los residuos se mantienen por

encima de la tolerancia fijada (10−6 para y 10−5 para ). De la Figura 14, también puede apreciarse que losvalores de decaen conforme transcurre el tiempo, a diferencia de lo que ocurre cuando no se utiliza unmodelo de turbulencia sobre

Ω′ (Figura 13).

CONCLUSIONES

En este trabajo se simuló la evolución del flujo de un fluido Newtoniano e icompresible en un canal

bidimensional con escalón para = 800. Se resolvieron numéricamente dos modelos matemáticos: lasecuaciones de Navier-Stokes y continuidad, y un modelo de turbulencia de tipo LES con filtro top-hat y clausura

de Smagorinsky con amortiguación hacia la pared, utilizando el método de volúmenes finitos mediante los

solvers icoFoam y pisoFoam de OpenFOAM®

, respectivamente. En otras palabras, mediante icoFoam, se realizóuna simulación directa, mientras que con pisoFoam, se resolvió el problema a través de un modelo LES de

turbulencia.

Para cada uno de los modelos, se obtuvo una solución numérica cuyas variaciones entre iteraciones sucesivas no

superan el valor 10−4 a partir del tiempo medio de simulación, para un tiempo total de 800 segundos, y cuyocampo de velocidad concuerda con los resultados publicados en (Erturk, 2009) para el problema estacionario. En

el caso de icoFoam, esto fue posible para condiciones de entrada y salida del flujo ubicadas de acuerdo a lo

establecido en (Erturk, 2009): a 20 veces la longitud del escalón aguas arriba del mismo, y 300 veces aguas

abajo, respectivamente; mientras que en el caso de pisoFoam, fue posible obtener resultados análogos en uncanal considerablemente más corto, más precisamente, para ubicaciones de las mencionadas condiciones a 5

veces la longitud del escalón aguas arriba del mismo, y 100 veces aguas abajo. Sobre este último dominio, los

resultados obtenidos con icoFoam sólo permiten alcanzar la mencionada tolerancia para el campo de velocidad,

no así para la presión.

A partir de los resultados numéricos obtenidos mediante la implementación de pisoFoam, es posible concluir que

el modelo de clausura considerado satisface un requerimiento básico establecido en (Berselli et. al., 2006) para el

mismo, referente a la adecuada predicción del campo de velocidad para flujos con comportamientos menos

caóticos que los turbulentos. Esto motiva la implementación de este modelo de turbulencia mediante pisoFoam,sobre flujos bidimensionales con > 800 o flujos tridimensionales, en un canal con escalón.Cabe señalar que el operador de filtrado definido en este trabajo, corresponde al que OpenFOAM® usa cuando se

trabaja con pisoFoam y se selecciona un modelo LES de tipo Smagorinsky. Para el problema considerado en este

trabajo, se obtuvieron resultados precisos con esta forma de filtrar, no obstante, la misma tiene algunas

desventajas (por ejemplo, el modelo resultante no tiene invarianza por rotaciones, puede resultar sensible a las

condiciones iniciales y de frontera, y la solución puede depender de la orientación de la malla (Berselli et. al.,

de simulación. 1 = 5, 2 = 100.Resultados con pisoFoam.


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2006)) que pueden manifestarse en la simulación de problemas en geometrías más complejas o para flujos

turbulentos, casos en los que es preferible el uso de filtros suaves con propiedades específicas. Además, en

problemas como estos últimos, el hecho de despreciar los errores de conmutatividad en la derivación del modelo

de turbulencia, puede dificultar el alcance de resultados precisos, lo cual puede mitigarse utilizando adecuados

modelos de pared.

Finalmente, en lo que respecta al método numérico (el cual se corresponde con los empleados en algunos

tutoriales de OpenFOAM® para los solvers aquí utilizados), se percibe una dificultad del algoritmo iterativo que

resuelve los sistemas de ecuaciones lineales, para alcanzar la tolerancia establecida. Este hecho repercute en la

necesidad de que el mismo realice gran cantidad de iteraciones para resolver la presión del flujo, volviéndolo

costoso.

REFERENCIAS

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Berselli, L. C.; Iliescu, T y Layton, J. W. 2006. Mathematics of large eddy simulation of turbulent flows.Springer, Germany.

Chen, K. 2005. Matrix preconditioning techniques and applications. Cambridge University Press, United

Kingdom.Erturk, E. 2008. Numerical solutions of 2-d steady incompressible flow over a backward-facing step, part i:

Hight reynolds number solutions. Computers & Fluids. 37:633-655.

Erturk, E.; Corke, T.C. y Gokcol. C. 2005. Numerical solutions of 2-d steady incompressible driven cavity flowat high reynolds numbers. International Journal of numerical methods in fluids. 48:747-774.

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OpenFOAM Team. 2011. User guide. OpenFOAM Fundation.

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Yee, H. C.; Torczynski, J. R.; Morton, S. A.; Visbal, M. R. y Sweby, P. K. 1999. On spurious behavior of cfdsimulations. International Journal of numerical methods in fluids. 30:675-711.


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APÉNDICE A: DEFINICIÓN DE LAS CONDICIONES INICIALES

Caso continuo

Los campos escalares 0, 0, y 0, que determinan el estado inicial del flujo se definen a partir de sucesivas perturbaciones sobre el fluido en reposo. En este trabajo, se han definido como los correspondientes a la

solución estacionaria del último de un conjunto de problemas { } =19 definidos como (3)-(8) donde losvalores de las constantes involucradas en cada uno se resumen en la siguiente tabla:1 2 ℎ 0 20 300 2 1 0 10−3

Tabla A1: Especificaciones relativas al dominio, a la condición de frontera en la entrada del canal y al númerode Reynolds para , = , . . , .

siendo, en cada caso, la velocidad máxima del flujo en la entrada del canal, , elegida de manera tal que elnúmero de Reynolds correspondiente a sea el especificado en la Tabla A2; donde la condición inicial

para 1 es el reposo, i.e., 0 ≡ 0 ≡ 0 ≡ 0 y la condición inicial para cada corresponde a la soluciónestacionaria de

−1,

= 2, . . ,9.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 200 300 400 500 600 700

Tabla A2: Número de Reynolds, , para , = , . . , .Caso discreto

La definición de los campos escalares discretos 0, 0 y ̂0 es idéntica a la del caso continuo si se reemplazala condición de estacionariedad para una función incógnita

por la siguiente condición de cuasi-

estacionariedad para su solución numérica asociada :∃ 0 ∈ 0, 2 : , < ∀ : 0 ≤ ≤ /2 Siendo igual a , o , T el instante final de simulación del problema considerado, la cantidad definida en (21) y una tolerancia fijada.La pertinencia de generar las condiciones iniciales de cada problema mediante el solver icoFoam deOpenFOAM® se justifica en el Apéndice B.

APÉNDICE B: VALIDACIÓN PRELIMINAR DEL SOLVER ICOFOAM Dado que el solver icoFoam de OpenFOAM® es empleado para establecer las condiciones iniciales del

problema discreto asociado a (3)-(8) (Cf. Apéndice A), se realizó una validación preliminar del mismo. Al tal

efecto, se simularon problemas del canal con escalón para la relación−ℎ = 1.94, considerando = 2 yℎ = 1.03, con el objetivo de comparar los resultados numéricos con los resultados numéricos y

experimentales publicados en (Armaly et. al., 1983).La malla sobre este nuevo dominio se definió en forma análoga a la malla descripta en la sección 4, con loque se obtuvo una malla con 400000 celdas. El intervalo temporal fue particionado empleando un pasoΔt = 0.1.Se consideraron los problemas correspondientes a los números de Reynolds de los flujos estudiados en(Armaly et. al., 1983) que pertenecen al rango de interés en este trabajo,

= 100 y

= 389. Las

condiciones iniciales para estos problemas se definieron según lo establecido en el Apéndice A,considerando como primer y último problemas a los correspondientes a = 100 y = 389 respectivamente.


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En cada caso se obtuvo una solución cuasi-estacionaria (Apéndice A) con tolerancia 10−3, tal como puedeapreciarse en la Figura B1, considerando = 160 y = 400 para los casos asociados a = 100 y a = 389 respectivamente.

Figura B1: Evolución de , y .Adimensionalizando a las longitudes en la dirección de y por el alto del canal, a las longitudes en ladirección de por la altura del escalón y a la componente de la velocidad en la dirección de , , por lavelocidad máxima en la entrada del canal en cada caso; es posible comparar los resultados obtenidos conOpenFOAM® con los resultados experimentales y con los resultados numéricos correspondientes al casoestacionario publicados en (Armaly et. al., 1983). En las Figuras B2 y B3 se muestra la buena concordanciaentre estos resultados.

Figura B2: Perfiles de velocidad para ubicaciones que distan del escalón en , y veces − . = . Arriba: Armaly el al.(círculos: resultados experimentales - línea: resultados numéricos). Abajo: Resultados obtenidos con icoFoam de OpenFOAM®.

Figura B3: Perfiles de velocidad para ubicaciones que distan del escalón en , y veces − . = . Arriba: Armaly el al.(círculos: resultados experimentales - línea: resultados numéricos). Abajo: Resultados obtenidos con icoFoam de OpenFOAM®.

resolucion numerica de flujo en un canal con escalon (software openfoam).pdf

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