sequencing and scheduling lecture planning, scheduling and timetabling in transportation

Sequencing and Scheduling Lecture

PLANNING, SCHEDULING AND TIMETABLING IN TRANSPORTATION

Supervisor:

Dr. Salmasi

Presented By:

Mehdi Najafi

Sharif University of TechnologyDepartment of Industrial Engineering

December 2007

فهرست مطالب

مقدمهقسمت اول.

زمانبندي کشتي هاقسمت دوم.

مسيريابي و زمانبندي هواپيماهاقسمت سوم.

جدول زمانبندي قطارهاقسمت چهارم.

کارمن سيستمقسمت پنجم.

مقايسه مدلهاي بررسي شدهقسمت ششم.

Sharif University of Technology

Department of Industrial Engineering

قسمت اول: مقدمه

مس)ائل برنام)ه ري)زي و زمانبن)دي در ص)نعت حم)ل و نق)ل بس)يار متع)دد

مي باشد.

علت تنوع اين مسائل:

،دري)اي نق)ل و نظ)ير م)دهاي حم)ل نق)ل و ان)واع م)دهاي حم)ل وج)ود

هوايي و ريلي

تفاوت خصوصيات مدهاي مختلف نظير

کشتي و بنادر•

هواپيماها و فرودگاه ها•

قطارها و ايستگاه هاي راه آهن•

Sharif Universityاز نظر هزينه، تنوع و افق زماني مورد بررسي.of Technology


قسمت دوم: زمانبندي تانکرها بط)ور کلي ش)رکت ه)ايي کش)تيرانی ک)ه ب)ا حم)ل تانکره)ا س)روکار

د)ارند قادر )به )حمل ک)االه)ا از دو) طريق زير م)ي با)شند. از طري)ق کش)تي ه)ايي ک)ه متعل)ق ب)ه خ)ود ش)رکت مي باشند.الف.

از طري)ق ب)رخي از کش)تي ه)اي ک)ه بص)ورت اج)اره اي مي باشند.ب.

حال ه)دف نح)وه حم)ل کااله)ا از اين دو طري)ق بطوريک)ه مجم)وعک)ه اين )هزين)ه ه)ا ع)بارتن)د از: )هزي)ن)ه ه)اي )حم)ل) و نق)ل کمين)ه گ)ردد).

هزينه های عملياتي مربوط به کشتي هاي متعلق به شرکتهزينه مربوط به ارسال از طريق کشتي هاي اجاره ايهزينه هاي سوخت هزين)ه اج)اره بن)در؛ اين هزين)ه ب)راي بن)ادر مختل)ف متف)اوت ب)وده و در ي)ک بن)در ن)يز

به وزن کشتي حامل بستگي دارد.



مشخصات مساله

.هزينه هاي عملياتي و هزينه هاي اجاره اي متفاوت مي باشند

کشتي ها داراي حجم، سرعت، مصرف سوخت، مکان و زمان

آماده حرکت متفاوت مي باشند.

بنادر براي استقرار کشتي ها داراي محدوديت هايي نظير وزن

کشتي، طول کشتي و ساير مشخصات فيزيکي کشتي مي

باشند.

برخي از قوانين دولتي نيز براي حمل و نقل کشتي ها وجود

دارد. بطور مثال در کشور نيجريه کشتي براي حرکت بايد

Sharif University درصد از حجم ان پر شده باشد.90حداقل of Technology


کاالهايي که حمل مي شوند نيز داراي مشخصات خاص خودمي باشند که اين مشخصات عبارتند از:

تعداد• بنادر مبدا و مقصد• محدوديت هاي زماني در زمان بارگيري و تخليه •محدوديت هاي زماني در زمان تحويل گرفتن و تحويل دادن بار.•

يک برنامه زمانبندي براي کشتي دربرگيرنده اطالعاتي زير مي

باشد مسير کشتي•بنادري که کشتي در افق زماني مورد بررسي به آن مراجعه مي •

کند.زماني که کشتي وارد هر بندر مي شود.•زماني که بارها بارگيري و تخليه مي شوند.•



پارامترهاي مدل

n.تعداد کاالهايي که بايد حمل شوند :Tتعداد کشتي هايي که متعلق به شرکت مي باشند :pتعداد بنادر موجود :Si کليه برنامه زمانبندي موجود براي کشتي :i.ام

بصورت زير نمايش داده مي شود. Si ام از lبرنامه زمانبندي

lin

lij

li

a

a

a

1

ام تحت برنامه jاگر کاالي ام i ام توسط کشتي lزمانبندي

حمل شود در غير اينصورت

0

1lija



ام تحت برنامه i : مجموع هزينه هاي عملياتي کشتي ام.lزمانبندي

ام توسط کشتي i : هزينه اي که بايد جهت حمل کاالي اجاره اي پرداخته شود.

l ام اگر برنامه زمانبندي i : سود حاصل شده از کشتي ام را انتخاب نمايد که بصورت زير محاسبه مي شود.

متغير مدل

lic*ic

li

li

n

ji

lij

li cca

1

*.

0

1lix

ام را l ام برنامه iاگر کشتي انتخاب نمايد

در غير اينصورت



با توجه به پارامترها و متغيرهاي تعريف شده مدل مسالهبصورت زير مي باشد.

TiSlx

Tix

njxa

toSubject

xMax

ili

Sl

li

T

i Sl

li

lij

T

i Sl

li

li

i

i

i

,...,,,,

,...,

,...,

110

11

111

1



:تشريح مدل

نق)ل تابع ه2دف: و از حم)ل ک)ردن س)ود حاص)ل ش)ده م)اکزيمم کاالها

تض)مين مي کن)د ک)ه ه)ر ک)اال ح)داکثر ب)ه ي)ک کش)تي مح2دوديت اول: اختصاص داده شود.

تض)مين مي کن)د ه)ر کش)تي ح)داکثر ب)ه ي)ک برنام)ه مح2دوديت دوم: زمانبندي اختصاص داده شود.

بيان کننده متغيرهاي مدل مي باشد.محدويت سوم:

:توجه

قب)ل از ح)ل م)دل باي)د مجموع)ه برنام)ه ه)اي امکانپ)ذير ب)راي کش)تي i ام اس)تخراج) گ)ردد. )ف)رض مي) ش)ود ک)ه) اين) برنام)ه ه)ا )از )طري)ق(

ي)ک الگ)وري)تم )هي)وري)ستيک مربو)طه )به آسا)ني )امک)ا)نپذ)ير است.Sharif University

of TechnologyDepartment of Industrial Engineering

حل مدل زمانبندي کشتي ها مدل م)ذکور در واق)ع ي)ک م)دل دس)ته بن)دي مجموع)ه ه)ا ب)وده و روش

حل بکارگرفت)ه ش)ده ب)راي ح)ل آن روش ش)اخه و ح)د تحت يکي از دو رويک)رد

زير مي باشد.شاخه زني روي متغيرهاي مدلرويکرد اول: شاخه زني روي کشتي هارويکرد دوم:

:حل مدل تحت رويکرد اول حل مس)اله آزاد ش)ده جهت بدس)ت آوردن ي)ک ح)د ب)اال )مس)اله دس)ته

بندي مجموعه ها در حالت پيوسته( :آخ)رين گ)ره اي ک)ه ايج)اد ش)ده و در آن ش)اخه سياس2ت انتخ2اب گ2ره

زني صورت نگرفته است. :متغ)يري ک)ه در مس)اله آزاد ش)ده مق)داري سياس2ت انتخ2اب متغ2ير

را دارد.0/5نزديکتر به عدد :متغ)ير انتخ)اب ش)ده مق)دار ص)فر ي)ا ي)ک را اتخ)اذ سياس2ت ش2اخه زني

Sharif Universityکند.of Technology


:حل مدل تحت رويکرد دوم حل مس)اله آزاد ش)ده جهت بدس)ت آوردن ي)ک ح)د ب)اال )مس)اله

دسته بندي مجموعه ها در حالت پيوسته( :آخ)رين گ)ره اي ک)ه ايج)اد ش)ده و در سياس2ت انتخ2اب گ2ره

آن شاخه زني صورت نگرفته است. :اس)تفاده از يکي از رويکرده)اي زي)ر سياس2ت انتخ2اب کش2تي

براي انتخاب از بين کشتي هاي انتخاب نشدهکشتي که بيشترين تعداد کاال را حمل کند•کشتي که سود بيشتري را حاصل سازد.•کش)تي ک)ه متغيره)اي مرب)وط ب)ه آن داراي بيش)تري مق)دار کس)ري •

در مساله آزاد شده باشند. :ب)ه تع)داد سياس)ت ه)اي موج)ود ب)راي آن سياس2ت ش2اخه زني

کش)تي )عم)ل ش)اخه) زني ص)ورت) مي گ)يرد) ک)ه ه)ر ي)ک ب)ي)انگر Sharif Universityانتخاب آن سياست مي باشد.


مثالفرض کني)د ش)رکتي داراي س)ه ع)دد کش)تي ب)وده و مي خواه)د تع)داد

اج)اره 12 از طري)ق ي)ا و ه)ا اين کش)تي از ب)ا اس)تفاده را ک)اال ه)ر کش)تي ب)راي زمانبن)دي موج)ود برنام)ه نماي)د. چنانچ)ه حم)ل

و مط)ابق زي)ر باش)د نح)وه تخص)يص کااله)ا ب)ه چ)ه ص)ورت 5براب)ر .Schپذيرد تا کل سود حاصل ماکزيمم گردد.

Carg 1

100110100000010

Carg 2

100001000001011

Carg 3

001010001100000

Carg 4

011101010000000

Carg 5

110000001000101

Carg 6

000110100110000

Carg 7

000000011000001

Carg 8

010001011100000

Carg 9

001000100111100

Carg 10

010001000011000

Carg 11

000000110001110

Carg 12

000100000010111

11ja 2

1ja 31ja 4

1ja 51ja 1

2ja 22ja 3

2ja 42ja 5

2ja13 ja 2

3 ja 33 ja 4

3 ja 53 ja



هزينه مورد نياز براي حمل کاالها از طريق کشتي هاياجاره اي

هزينه هاي عملياتي مربوط به کشتي ها تحت برنامهزمانبندي مختلف

با توجه به اطالعات داده شده ميزان سود حاصل از حملکاالها در برنامه هاي زمانبندي مختلف بصورت زير مي

باشد

123456789101112کاال

1429132312085122173221717751885246819281634741هزينه

12345برنامه زمانبندی

156585033272235053996هزينه کشتی

240196914469379106868هزينه کشتی

358295588828433384715هزينه کشتی

12345برنامه زمانبندی

146514661394858-1733سود کشتی

910-216298341113869سود کشتی

17891297Sharif University-3152517651268سود کشتی of Technology


بنابراين مدل برنامه ريزي عدد صحيح مساله بصورت زيرمي باشد.

1

1

1

1

12971789126817651525

91086911138341629

858139414661465733

33

12

41

31

21

52

42

51

31

53

43

23

12

11

43

22

51

41

11

53

43

33

23

13

52

42

32

22

12

51

41

31

21

11

xxxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

Maximie



101

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

53

43

33

23

13

52

42

32

22

12

51

41

31

21

11

53

43

33

13

41

43

33

23

32

22

23

13

12

21

33

23

13

52

22

31

52

42

32

12

21

53

42

32

13

52

22

51

41

53

33

42

21

11

,

lix

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

xxxxxx

xxxxx

xxx

xxxxx

xxxxx



نتايج بدست آمده از حل مدل

.حل مدل در حالت پيوسته نتايج زير را حاصل مي سازد

حال با استفاده از روش شاخه و حد جواب نهايي بصورت

زير بدست مي آيد.

333810

31

31

31

31

31

31

31

43

13

52

12

51

31

21

/

Objective

xx

xx

xxx

325511 43

31 Objectivexx



الگوريتم شاخه و حد



قسمت سوم. مسيريابي و زمانبندي هواپيما ها

يکي از مس)ائل مهمي ک)ه بس)ياري از ش)رکت ه)اي هواپيم)ايي ب)ا آن

مواج)ه )ه)س)تند) مس)اله) زم)انبن)دي )روز)ان)ه ا)ن)واع) )مختل)ف ه)و)اپيماه)ا مي

باشد.

پروازه)ا از ت)والي ي)ک تع)يين ش)امل هواپيماه)ا زمانبن)دي مس)اله

ا)س)ت )ک)ه) )ه)ر )ي)ک) )باي)د )د)ر ي)ک )زم)ان) د)ق)ي)ق )ص)و)رت پ)ذير)د بط)وريک)ه

ا)ين پر)وازه)ا )از ي)ک )فرودگ)ا)ه خ)اص )ا)غ)از )و )ب)ه )ه)م)ان ف)رودگ)اه) ختم

گردد.

.بطورکلي اين مساله از دو قسمت زير تشکيل شده است

تع)يين ت)والي ي)ا مس)ير پروازه)ا )ي)ک مس)اله مسيريابي(قس2مت اول:

تع)يين زم)ان دقي)ق پروازه)ا )ي)ک مس)اله زمانبندي(قس2مت دوم: Sharif University


داليل اهميت مساله زمانبندي در ناوگان هوايي

درآم)د کلي خط)وط هواپيم)ايي ب)ا داش)تن ت)ابع تقاض)ا ه)ر پ)رواز قاب)ل تخمين

مي باشد.

زمانبن)دي ناوگ)ان کلي)ه هزين)ه ه)اي متحم)ل ش)ده توس)ط خط)وط هواپيم)ايي

نظير ه)زينه ه)اي سوخت) يا) حقو)ق خدم)ه هو)اپيما )را تعيين) مي کند).

تعريف مساله

فرض کني)د ک)ه ش)رکت هواپيم)ايي داراي چن)د ن)وع هواپيم)ا مي باش)د ک)ه

دهن)د. پوش)ش) در )روز) را پر)و)ازه)ا از م)جم)وع)ه) ي)ک با)ي)د هو)اپ)يماه)ا) اين)

ب)طو)ر)يک)ه )ه)ر ي)ک از )اي)ن) پر)وازه)ا )دارا)ي زم)ا)ن) پ)رو)از خ)ا)ص خ)و)د ب)و)ده ولی

م)يزا)ن) ه)زي)ن)ه ي)ا درآ)م)د آ)ن ب)ه )ن)وع) )هواپي)م)ا)ي اخ)تص)ا)ص )داده) ش)د)ه ب)ه) آن

بس)ت)گ)ي داش)ته ب)اش)د.) ح)ال )ه)د)ف نح)وه )زمانبن)دي ا)ي)ن ن)ا)وگ)ان) )ب)ه گون)ه) اي)

است که) سودحاصل شد)ه از) اين )پروازها) ما)کزيمم گر)دد.)Sharif University


.مشخص)ات کلي مس)اله ک)ه باي)د در زمانبن)دي م)ورد توج)ه ق)رار گيرد

تعداد هواپيماي موجود از هر نوع

ي)ا و هواپيم)ا خ)اص ن)وع پ)رواز زم)ان ب)ه مرب)وط ه)اي مح)دوديت

فرودگاه مقصد آن

اتصال هاي مورد نياز بين پروازها

مح)دوديتهاي موج)ود در س)رويس ه)اي روزان)ه در ه)ر فرودگاه

مجموع)ه پروازه)ا باي)د متع)ادل باش)د )در ه)ر فرودگ)اه تع)داد پروازه)ا

يا فرو)دها) براي ه)ر ن)وع خا)ص ه)واپي)ما بايد ب)ا هم )برا)بر باشد(

براب)ر ب)ا هم باي)د انته)اي روز و ابت)دا ن)وع در از ه)ر تع)داد هواپيم)ا

باشد.



پارامترهاي مساله

L.مجموعه پروازها که بايد در هر روز انجام پذيرد :

Tتعداد انواع هواپيماها :

mi تعداد هواپيماي موجود از نوع :i) تعداد کل هواپيماها(

Li مجموعه پروازهايي که توسط هواپيماي نوع :i قابل انجام است.

Si مجموعه برنامه زمانبندي موجود براي هواپيماي نوع :i ام )برنامه زماني صفر )تهي( به معني عدم استفاده از هواپيما

مي باشد(.

.j به پرواز i : سود حاصل از تخصيص هواپيماي نوع

i به هواپيماي نوع l : سود حاصل از تخصيص برنامه زمانبندي ؛ به عبارتي

T

iim

1

ijli

iLj

lijiji a l

0

1lija

ام را j ام پرواز lاگر زمانبندي پوشش دهد

در غيراينصورتSharif University


س)ود حاص)ل از تخص)يص برنام)ه زمانبن)دي تهي ب)ه هواپيم)اي ن)وع : i.که مي تواند مقداري مثبت يا منفي داشته باشد

Pمجموعه فرودگاه هاي موجود :pi مجموع)ه اي از فرودگ)اه ه)ا ک)ه هواپيم)اي ن)وع :i امک)ان ف)رود در

آن را دارد.

متغيرهاي مدل

0i

lipo

0

باشدp فرودگاه i ام هواپيماي نوع lاگر مبدا برنامه 1

درغيراينصورت

lipd

0

باشدp فرودگاه i ام هواپيماي نوع lاگر مقصد برنامه 1

درغيراينصورت

0ix l

ix

0

i ام به هواپيماي نوع lاگر برنامه 1اختصاص يابددرغيراينصورت

: ن)وع هواپيم)اي iتع)داد ق)رار اس)تفاده م)ورد ک)ه

Sharif Universityنگرفته است.of Technology


:مدلسازي مساله

با توجه به پارامترها و متغيرهاي تعريف شده مدل مساله بصورت زير مي باشد.

i

li

iSl

li

lip

lip

Sli

li

T

i Sl

li

lij

T

i Sl

li

li

LlTix

PpTixod

Timx

Ljxa

toSubject

xMax

i

i

i

i

;,...,,

;,...,

,...,

:

110

10

1

11

1



:تشريح مدل

حداکثر کردن سود حاصل از پروازهاتابع هدف:

تض)مين مي کن)د ک)ه ه)ر پ)رواز دقيق)ا ي)ک ب)ار وديت اول: مح)د

پوشش داده شود.

دوم: هواپيماه)ا مح2دوديت کلي)ه ب)ه ک)ه کن)د مي تض)مين

برنامه اختصاص داده شود.

س2وم: هواپيماه)اي مح2دوديت تع)داد ک)ه کن)د مي تض)مين

براب)ر ب)ا هم انته)اي ه)ر روز و ابت)دا ن)وع در از ه)ر موج)ود

باشد.

بيان کننده متغيرهاي مدل مي باشد.محدوديت چهارم: Sharif University


مشخصات مربوط به مدل

مدل م)ذکور درواق)ع مس)اله اف)راز مجموع)ه ه)ا ب)ا تع)دادي مح)دوديت

اضافه مي باشد.

الگ)وريتم بکارگرفت)ه ش)ده ب)راي ح)ل اين م)دل ح)ال خاص)ي از روش

شاخه )و حد اس)ت که) به) آن) شاخه )و ارزش گفته مي) شود.

تولي)د رويک)رد از مس)اله ب)راي ب)اال ح)د ي)ک آوردن بدس)ت جهت

ستون استفاده مي شود.

علت اس)تفاده از رويک)رد تولي)د س)تون ع)دم ض)رورت اس)تفاده از

کلي)ه ب)رنام)ه ز)مانبن)دي )موج)ود )در مس)اله) آزاد ش)ده )مي باش)د. در

اين) رويک)رد مس)اله )اص)لي )ب)ه ي)ک )مس)ال)ه ا)ص)لي )مح)دود )و ي)ک زي)ر

مساله تبديل مي کند.Sharif University


رويکرد حل مساله با استفاده از توليد ستون

تش)کيل مس)اله اص)لي مح)دود ش)ده ب)ا اس)تفاده از تع)دادي از برنام)ه گام اول:

هاي زمانبندي موجود و حل آن در حالت آزاد شده.

ي)ا گام دوم: واق)ع هزين)ه در ک)ه ب)ه مس)اله دوگ)ان مرب)وط متغ)ير محاس)به

ارزش) مر)ب)وط ب)ه من)ا)بع ن)ظ)ير )پروازه)ا، هواپيم)اه)ا و فرودگ)اه ه)ا مي باشند.

اس)تفاده از متغيره)اي دوگ)ان بدس)ت آم)ده جهت محاس)به س)ود گام س2وم:

آوردن بدس)ت مانن)د فرا)ين)د س)اير )برنام)ه )زمانبن)دي )کاندي)د. ))اين ب)الق)وه

بزرگ)ترين )مس)ير در گ)راف) مربوط)ه) اس)ت ک)ه) توس)ط برن)ام)ه )ري)ز)ي پوي)ا قاب)ل

بدست آوردن است(.

چنانچ)ه ج)واب بدس)ت آم)ده فعلي بهين)ه نباش)د تع)دادي از برنام)هگام چه2ارم:

ه)اي ز)مان)بن)د)ي )س)تو)ن ه)ا() ب)ا) ت)وج)ه) )ب)ه )س)و)د ب)الق)وه )ب)ه م)س)اله) اص)ل)ي مح)دو)د

شده اضافه مي گردند.Sharif University


مدلسازي زير مساله

بطورکلي زيرمساله مربوط به هر نوع از هواپيماها با

استفاده از يک گراف قابل نمايش مي باشد.

اين گراف داراي پنج نوع گره و پنج نوع يال مي باشد که

عبارتند از:

انواع گره ها

يک گره مبدا.•يک گره مقصد.•تعدادي گره جهت نمايش فرودگاه مبدا.•تعدادي گره جهت نمايش فرودگاه مقصد.• Sharif Universityتعدادي گره جهت نمايش پروازها. •


انواع يالها

يال مب)دا: از گ)ره مب)دا ب)ه گ)ره ه)اي نماي)انگر فرودگ)اه مب)دا متص)ل مي •باشد.

يال مقص)د: از گ)ره مقص)د ب)ه گ)ره ه)اي نماي)انگر فرودگ)اه مقص)د متص)ل •مي باشد.

يال مرب)وط ب)ه مب)دا برنام)ه زمانبن)دي: ياله)ايي ک)ه از گ)ره ه)اي نماي)انگر •ف)رودگاه )مبدا به گر)ه هاي) نما)يان)گر پ)رواز هس)تند مت)صل مي باشند.

يال مرب)وط ب)ه مقص)د برنام)ه زمانبن)دي: ياله)ايي ک)ه از گ)ره ه)اي نماي)انگر •پ)روا)ز به) گ)ره ه)اي) نم)ا)يان)گر ف)رود)گاه )مقصد م)تصل )مي) باش)ن)د.

يال مرب)وط ب)ه ن)وبت پ)رواز: ياله)ايي ک)ه برق)رار کنن)ده اتص)ال بين پروازه)ا •مي باشد.

توجه

يال مرب)وط ب)ه پ)رواز بين دو گ)ره پ)روازي وج)ود دارد ک)ه آن دو پ)رواز ب)ا ت)وج)ه ب)ه) زم)ان) پر)وازه)ا و زم)ان )بين آن)ه)ا توس)ط ي)ک) هواپ)يم)ا) امکانپ)ذير

Sharif Universityباشد.of Technology


گراف مربوط به زير مساله



ب)ا موج)ه ج)واب ي)افتن مس)اله زي)ر ه)دف انجاييک)ه از بيش)ترين س)ود حاش)يه اي مي باش)د، بن)ابراين جهت ش)دني ش)دن ج)واب ه)ا باي)د مح)دوديت ه)اي زم)اني مس)اله برق)رار

باشد. به عبارت ديگر براي هر يال مربوط به پرواز بايد

بطوريکه:eij زودترين زمان پرواز :j ام توسط هواپيماي نوع i

lij ديرترين زمان پرواز :j ام توسط هواپيماي نوع i

[ lij، eij بايد در بازه ]i توسط هواپيماي نوع jبه عبارتي پرواز صورت پذيرد.

i ام توسط هواپيماي نوع j : زمان الزم براي پرواز

.k و j بين پرواز i : حداقل زمان توقف هواپيماي نوع

ikijkijij le

ij

ijk



با توجه به گراف تعريف شده براي زير مساله، هر مسير

از مبدا به مقصد يک برنامه زمانبندي موجه مي باشد که

سود حاشيه اي آن برابر است با

بطوريکه:

.i ام توسط هواپيماي نوع j : ميزان سود حاصل از پرواز

ام. j : هزينه مربوط به پرواز

.i : هزينه مربوط به اضافه کردن يک عدد هواپيماي نوع

در i : هزينه اضافي ناشي از عدم تعادل هواپيماي نوع

.jفرودگاه

i iLj Pp

lip

lipipi

lijjij

li oda

ij

j

i

ip



با توجه به تعاريف صورت گرفته، ميزان هزينه هر يالبصورت جدول زير مي باشد.

بنابراين با درنظر گرفتن سود به عنوان فاصله، الگوريتمبزرگترين مسير قادر به يافتن بيشترين سود بالقوه در

شبکه مربوطه مي باشد.

نوع يالهزينه مربوطه

يال مبدايال مقصد0

يال مربوط به مبدا برنامه زمانبندي

يال مربوط به مقصد برنامه زمانبندي

يال مربوط به نوبت پرواز

i

ip

ipjij

jij



اين باش)د مثبت مق)داري داراي ب)القوه س)ود بزرگ)ترين چنانچ)ه برنام)ه) زم)انب)ن)دي) ب)اي)د ب)ه) م)س)اله )اص)لي م)ح)دود )اض)افه )گ)ر)دد در غ)ير ا)ينص)ورت )ج)واب) بدس)ت آم)د)ه قب)لي )د)ر ز)ي)ر )مس)اله) اص)لي) مح)دود )ش)د)ه بهين)ه) ب)ود)ه) و ن)ي)ازي )ب)ه) اي)ج)ا)د س)تون) ج)دي)د) )برن)ام)ه زم)انبن)دي

ج)ديد( در) مساله ا)صلي محدو)د شده )نمي باشد).

مثالفرض کني)د ي)ک ش)رکت هواپيم)ايي داراي دو ن)وع هواپيم)اي س)نگين و

با)ش)د ) ب)ه )تع)د)اد )دو ع)دد مي ي)ک از )ه)ر (. T، 2=mi= 2س)بک و فرو)دگ)اه) ب)ا اس)تف)اده )از ا)ين هو)اپيما)ه)ا با)ي)د 4 پ)رو)از بين 12تع)دا)د

انجام گيرد. )که اي)ن فرو)دگاه) ها عب)ارتند از:( SFO ) San Francisco: 1= p

( LAX ) Los Angeles: 2= p( NYC )New York : 3= p

( SEA )Seattle : 4= p Sharif University


شهرهاي مب)دا و مقص)د ه)ر ي)ک از پروازه)ا مط)ابق ج)دولزير مي باشد.

از ي)ک ه)ر توس)ط پروازه)ا اين از ي)ک ه)ر ب)راين عالوه هواپيماه)ا امکانپ)ذير مي باش)د. پروازه)اي ص)بح باي)د بع)د از

بع)د از ظه)ر ف)رود بياين)د و 1 ص)بح بلن)د و قب)ل از 5س)اعت بع)د از ظه)ر بلن)د 1پروازه)اي بع)د از ظه)ر باي)د بع)د از س)اعت

صبح فردا فرود بيايند.5و قبل از .ميزان سود هر يک از پروازها بصورت زير مي باشد

Leg j123456789101112Cities1

21

22

12

11

41

44

14

13

13

11

31

31.51.51.51.533336666

Timea.m.p.m.a.m.p.m.a.m.p.m.a.m.p.m.a.m.p.m.a.m.p.m.ij

Leg j123456789101112

4503005004009009009009001500150015001500

45045050050010001000100010001350135013501350

j1j2



مجموعه برنامه زمانبندي موجود براي دو نوع هواپيمابصورت زير مي باشد.

Flight 1

0011000000010100000

Flight 2

0000000101000000101

Flight 3

0001000000000100010

Flight 4

0010000100010000100

Flight 5

0111000000010000000

Flight 6

0000100101001100101

Flight 7

0110101000011001000

Flight 8

0001000001000100001

Flight 9

0000010101000010101

Flight 10

0100111010001011010

Flight 11

0000111010001011010

Flight 12

0100011010000011010

11ja 2

1ja 31ja 4

1ja 51ja 6

1ja 71ja 8

1ja 91ja 10

1ja 12ja 2

2ja 32ja 4

2ja 52ja 6

2ja 72ja 8

2ja 92ja



ميزان سود حاصله از هر برنامه زمانبندي براي هر نوعهواپيما

حل حالت آزاد شده مساله اصلي محدود شده نتايج زير راحاصل مي سازد:

حال استفاده از روش شاخه و حد براي بدست آوردنجواب هاي عدد صحيح نتايج زير حاصل خواهد کرد.

Sch.

12345678910

-3754800

2650

2750

4800

6000

5400

3100

4500

3600

02950

4700

2950

5400

5050

3300

4550

3800

-

l1l2

1126731

132 9

282

22

12

81

71

41 Objectivexxxxxxx

1072511 72

62

41

11 Objectivexxxx



الگوريتم شاخه و حد براي بدست آوردن نتايج عدد

صحيح



متغيرهاي دوگان مربوط به مساله اصلي محدود شدهبصورت زير مي باشد.

بن)ابراين س)ودهاي ب)القوه مرب)وط ب)ه برنام)ه ه)اي زمانبن)ديزي)ر مي بص)ورت دو و ي)ک ن)وع هواپيماه)اي ب)راي موج)ود

باشد.

Leg j1234567891011

12

0-616.7216.

7265

02550

2733.3

-2250

0150

04333.

30

183.3

j

Air Port p

1234

0003150

00183.332966.67

p1

p267161 / 02

Sch.101112131415

-283.33-

183.330

2066.67

550

716.67

-800-

116.672250433.33-350

l1l2



برنامه هاي زمانبندي موجود براي هواپيماهاي نوع يک و دو

مرب)وط ب)ه هواپيم)اي 15 و 14، 11بن)ابراين زمانبن)دي ش)ماره مرب)وط ب)ه هوا)پيم)اي 14 و 13، )10 )و زم)انبن)دي ش)ماره )1ن)وع به )مسال)ه اصلي) محد)ود شده) اضاف)ه خوا)هد شد).2ن)وع

Sch.Flight 101011010111Flight 200000110001Flight 31111010111Flight 400000110001Flight 500000110000Flight 601111001110Flight 70011111110Flight 801000010000Flight 900000000000Flight

1010101001010Flight

1110100001000Flight

1210001000010

111ja 12

1ja 131ja 14

1ja 151ja 10

2ja 112ja 12

2ja 132ja 14

2ja 152ja



حل ح)الت آزاد ش)ده مس)اله اص)لي مح)دود ش)ده در ح)التجديد نتايج زير را حاصل خواهد نمود.

آوردن بدس)ت ب)راي ح)د و ش)اخه روش از اس)تفاده حال جواب هاي عدد صحيح نتايج زير حاصل خواهد کرد.

1157550150 102

42

12

81

71

61

41 Objectivexxxxxxx //

1155011 22

12

111

101 Objectivexxxx



الگوريتم شاخه و حد براي بدست آوردن نتايج عدد

صحيح



1بعنوان نمونه نتايج بدست آمده براي هواپيماي نوع



قسمت چهارم: جدول زماني قطارها فرض کني)د ک)ه در ي)ک ش)بکه ريلي، ي)ک ري)ل اص)لي متص)ل کنن)ده دو

ايس)تگاه اص)لي) و چن)د )ايس)تگاه) ف)رعي) مي با)ش)د بطوريک)ه) ه)ر ي)ک از قطارها) لز)وما) در اين اي)ستگاه )هاي فرعي توق)ف ندار)ند.

قطاره)ا ق)ادر ي)ه س)بقت گ)رفتن از يک)ديگر ج)ز در ايس)تگاه ه)ا نميباشند.

هر ي)ک از قطاره)ا داراي ي)ک ج)دول زم)اني اي)ده آل مي باش)ند ک)هب)ر )اس)اس) تج)زي)ه )و تحلي)ل) رفت)ار و) ترجي)ح)ات مس)افرا)ن بدس)ت آم)ده

است. ي)ا ح)تي زم)ان س)فر زم)ان توق)ف در ه)ر ايس)تگاه، زم)ان خ)روج و

م)رب)وط ب)ه ه)ر) قط)ار ق)اب)ل تغ)ي)ير م)ي باش)د ول)ي انح)راف ه)ر ي)ک از آنه)ا از )برن)امه ايده) ال داراي )هزين)ه مي باشد.

ت)ابع مح)دب برنام)ه اص)لي بص)ورت از انح)راف ب)ه هزين)ه مرب)وط شکسته خطي مي باشد.

ه)اي هزين)ه بطوريک)ه قطاره)ا ب)راي زم)اني برنام)ه ي)افتن هدف مربوطه حداقل گردد.



پارامترها و متغيرهاي مدل

qطول دوره زماني براي برنامه ريزي :L مجموعه اتصالها )ريل هاي( بين ايستگاه ها )اتصال :j ام در واقع

مي باشد(.j و j-1متصل کننده ايستگاه T مجموعه قطارهايي که براي حرکت در بين ايستگاه ها کانديد :

مي باشند.Tj مجموعه قطارهايي که از اتصال :j.عبور مي کنند

yij زماني که قطار :i )ام وارد ريل )اتصال j مي شود )قطار از خارج مي شود(.j-1ايستگاه

zij زماني که قطار :i )ام از ريل )اتصال j خارج مي شود )قطار مي شود(.jوارد ايستگاه

: هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان ورود ايده آلj روي ريل )اتصال( i : زمان سفر قطار نوع

ijaij zC

ijijijij yz Sharif University


ام.j روي اتصال )ريل( i : ميزان توقف قطار i : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان خروج ايده آل قطار

.jروي ريل i : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان سفر ايده آل قطار

.jروي ريل i : هزينه تحميل شده به دليل انحراف از زمان توقف ايده آل قطار

jدر ايستگاه ام.j ام از ريل i : حداقل زمان الزم براي عبور قطار

ام.j ام در ايستگاه i : حداقل زمان الزم براي توقف قطار ام از i ام و قطار h : حداقل فاصله زماني بين زمان خروج قطار

خارج گردد.i دقيقا قبل از قطار h اگر قطار jايستگاه ام به i ام و قطار h : حداقل فاصله زماني بين زمان ورود قطار

وارد گردد.i دقيقا قبل از قطار h اگر قطار jايستگاه : قطار مجازي که اولين قطار وارد شونده به هر ايستگاه مي باشد.

: قطار مجازي که آخرين قطار وارد شونده به هر ايستگاه مي باشد.

ijijjiij zy 1,

dijCijCijC

minijminijdhijH

ahijH

ii



مدلسازي مساله

با توجه به پارامتر و متغيرهاي تعريف شده مدل مربوطه بصورت زير مي باشد.

10

11

11

101

11

1

1

1

1

1

11

1

1

11

11

,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

:

,,

min,

min

max

min

max

min

,

hij

iThhij

ahijhijhjij

dhijhijjhji

ijijji

ijijij

ijij

ijij

ijij

ijij

Ti

L

jijjiij

Ti

L

jijijijij

dijij

aij

x

LjTix

LjTiHMxzz

LjTiHMxyy

LjTizy

LjTiyz

LjTizz

LjTizz

LjTiyy

LjTiyy

toSubject

zycyzcyczcMin



تشريح مدلکمين)ه ک)ردن هزين)ه ه)اي مرب)وط ب)ه انح)راف از برنام)ه تابع ه2دف:

ايده آل پس j ب)ه ريلiتض)مين مي کن)د زم)ان ورود قط)ار مح2دوديت اول:

از زودترين زمان ممکن باشد. قب)ل j ب)ه ري)ل iتض)مين مي کن)د زم)ان ورود قط)ار يت دوم: مح)دود

از ديرترين زمان ممکن باشد.کن)د زم)ان خ)روج قط)ار مح2دوديت س2وم: از ريلiتض)مين مي j

پس از زودترين زمان ممکن باشد j از ري)ل iتض)مين مي کن)د زم)ان خ)روج قط)ار مح2دوديت چه2ارم:

قبل از ديرترين زمان ممکن باشد.پنجم: ريلمح2دويت در س)فر م)يزان ک)ه کن)د مي از jتض)مين

حداقل زمان مورد نياز بيشتر باشد. jتض)مين مي کن)د ک)ه م)يزان توق)ف در ايس)تگاه مح2دوديت شش2م:

Sharif Universityاز حداقل زمان مورد نياز بيشتر باشد.of Technology


تض)مين مي کن)د ک)ه فاص)له زم)اني بين زم)ان خ)روج مح2دوديت هفتم: ا)ز ح)داقل )ممکن )بيش)تر j ام از )ايس)تگاه )i ام و hد)و) قط)ار ) م)ت)والي )

باشد.تض)مين مي کن)د ک)ه فاص)له زم)اني بين زم)ان ورود دو مح2دوديت هش2تم: ا)ز ح)داق)ل ممک)ن بيش)تر j ام ب)ه ا)يس)تگا)ه i )ام و hقط)ار ) مت)وا)ل)ي

باشد.نهم: ي)ک قط)ار مح2دوديت تنه)ا ب)راي ه)ر قط)ار ک)ه کن)د تض)مين مي

پيشين وجود دارد.

توجه از آنجاييک)ه م)دل ارائ)ه ش)ده جهت برنام)ه ري)زي روي خط)وط اص)لي

م)و)رد ا)س)تفاد)ه) ق)رار) م)ي گ)ير)د و) برنا)م)ه زما)نبن)دي) دي)گ)ر خط)و)ط ش)بکه ب)ر) اس)ا)س اي)ن) )برن)ا)م)ه ز)ما)نبن)دي) م)ي) باش)د) ازا)ي)ن)رو )ح)ل اين) م)دل باي)د ب)ه س)رع)ت) )ص)و)ر)ت )پ)ذ)ير)د) ب)ه) ه)مي)ن) جه)ت) ي)ک) )ال)گ)ور)يت)م) هي)و)ري)س)تي)ک

Sharif Universityب)راي ا)ن ارائ)ه شده است.of Technology


گام هاي الگوريتم هيوريستيک

مقداردهي اوليهگام اول: دو قط)ار مج)ازي و ک)ه ب)ه ت)رتيب اولين و آخ)رين قط)ار در خط)وط

( اض)افه مي T0اص)لي هس)تند ر)ا ب)ه مجم)وع)ه قطا)ره)اي بر)نام)ه ري)ز)ي ش)د)ه )کنيم.

انتخاب يکي از قطارهاي برنامه ريزي نشدهگام دوم: ب)ر حس)ب ق)انون ان)د يکي را برنام)ه ري)زي نش)ده بين قطاره)ايي ک)ه از

ارجحيت انتخاب مي کنيم.:قوانين ارجحيت

انتخاب قطارها بر اساس زمان حرکت آنها از مبداقانون اول: دوم: ي)ا قانون ن)وع )س)رعت، آنه)ا اهميت اس)اس ب)ر قطاره)ا انتخ)اب

متوسط درآمد(انتخ)اب قطاره)ا ب)ر اس)اس ح)داقل انعط)اف پ)ذيري در زم)ان قانون س2وم:

ورود و خروج آنهاتلفيق سه قانون قبليقانون چهارم:

ii



بک)ارگيري برنام)ه ري)زي ع)دد ص)حيح مخل)وط ب)راي گام س2وم: .kتعيين محل قطار

قطارk( ام را به T0اضافه کنيد ) مدلMIP(k) را جهت تعيين محل قطار k.ام تشکيل دهيد پيش پ)ردازش ه)اي الزم ب)ر روي م)دل س)اخته ش)ده جهت

کاهش تعداد متغيرهاي صفر و يک و محدوديت ها.

مدلMIP(k)



LjTizz

LjTizz

LjTiyy

LjTiyy

toSubject

zycyzcyczcMin

ijij

ijij

ijij

ijij

Ti

L

jijjiij

Ti

L

jijijijij

dijij

aij

,...,,

,...,,

,...,,

,...,,

:

max

min

max

min

,

1

1

1

1

1

11

11

10

11

11

11

1

101

101

10

11

1

11

11

11

1

,

,...,

,...,,,

,...,,,

,...,,,

,...,,,

,...,,,

,...,,,

,...,,

,...,,

0

**

**

**

**

,,

,,

,,

0min

,

0min

hij

ikTiij

ja

jkiijkjji

jaikjijijkj

ja

jiiijji

jd

jkiijjkji

jdikjijjijk

jd

jiijiji

ijijji

ijijij

x

Ljx

LjiiIiHMxzz

LjiiIiHMxzz

LjiiIiHzz

LjiiIiHMxyy

LjiiIiHMxyy

LjiiIiHyy

LjTizy

LjTiyz



MIP(k)ح)ل م)دل برنام)ه ري)زي ع)دد ص)حيح مخل)وط گام چه2ارم: اين گ)ام م)دل را ح)ل کني)د. چنانچ)ه م)دل م)ذکور داراي MIP(k)در

جواب شدني نباشد متوقف شويد. اينص)ورت قط)ار ري)زي kدرغ)ير برنام)ه ليس)ت قطاره)اي ب)ه را ام

ش)د)ه اض)افه) ک)ني)د و ب)رنام)ه زم)ا)نبن)دي) و )ت)والي )ق)طاره)ا )در )ه)ر ري)ل ر)ا ذخيره کنيد.

برنام)ه زمانبن)دي مج)دد کلي)ه قطاره)اي برنام)ه ري)زي ش)ده گام پنجم: قبلي.

برنام)ه زمانبن)دي فعلي ک)هk.ن)يز ج)ز آن مي باش)د را در نظ)ر بگيريد براي ه)ر قط)ارi ام را ح)ذف کني)د و مج)ددا زمانبن)دي

نماييد.

شرط توقفگام ششم: اگ)رT0 ش)امل کلي)ه قطاره)ا ش)د متوق)ف ش)ويد در غ)ير اينص)ورت ب)ه

گام دوم برگرديد.

kTi 0



مثال

فرض کني)د ک)ه چه)ار قط)ار جهت ح)رکت روي ي)ک ري)ل اص)لي

( از ن)وع قط)ار س)ريع A، Dباي)د زمانبن)دي گردن)د. دو قط)ار )ب)ا زم)ان س)فر ب)وده و قط)ار ه)اي )t1الس)ير C، B داراي )

زم)ان س)فر و کم)تر قط)ار t2س)رعت باش)ند. مي A باي)د

ص)بح از ايس)تگاه خ)ارج گ)ردد در حاليک)ه 9دقيق)ا در زم)ان

ص)بح 9قطاره)اي ديگ)ر ت)ا ح)د امک)ان در زم)ان ه)اي نزدي)ک ب)ه

وارد ايستگاه شده و يا از آن خارج گردند.

هدف نح)وه زمانبن)دي قطاره)ا ب)ه گون)ه اي ک)ه ش)رايط م)ذکور

برقرار بوده و ميزان کل هزينه کمينه گردد.Sharif University


ترکيبه)اي مختل)ف جهت زمانب)دي قطاره)ا بص)ورت زي)ر مي داراي زمانبن)دي C، D، A، Bباش)د ک)ه ت)رکيب چه)ارم يع)ني

بهينه مي باشد.



قسمت پنجم: کارمن سيستم

بط)ورکلي ش)رکتهاي زي)ادي س)عي در ط)راحي سيس)تم ب)راي ص)نعت

حم)ل و نق)ل نم)وده ان)د ک)ه يکي از موفق)ترين اين ش)رکتها، ش)رکت

ب)راي را از محص)والت باش)د ک)ه مجموع)ه اي ک)ارمن سيس)تم مي

شرکت هواپيمايي ارائه داده است.

مشخصات محصوالت اين شرکت

مي باشد.Raveزبان مدلسازي در محصوالت اين شرکت •

اين زب)ان تعري)ف تواب)ع هزين)ه، ش)رايط موج)ه ب)ودن و مح)دوديت ه)اي کيفي •

را براي کاربران اسان مي نمايد.

اين زب)ان ب)ه گون)ه اي اس)ت ک)ه ق)ابليت اتص)ال ب)ه ماژوله)اي پيش)رفته بهين)ه •

سازي را فراهم مي سازد.

س)اير • در اس)ت ش)ده گرفت)ه ک)ار ب)ه محص)ول ي)ک در ک)ه ه)ايي ماژول

محصوالت بعدي نيز صادق مي باشد.Sharif University


نمونه محصوالت شرکت کارمن سيستم



مهم)ترين محص)والت ش)رکتFleet Assignment Module و Tail Assignment Module مي باش)د. ک)ه) اول)ي جهت تخص)يص ناوگ)ان

ي)ا )هوا)پيم)ا)ي ن)و)ع خ)ا)ص ب)ه) پرو)ازه)ا) م)ور)د) اس)تفاد)ه ق)رار م)ي گ)يرد ول)ي دومي )جهت )تايي)د )اين)ک)ه ي)ک ب)رنام)ه زم)ا)نبن)دي) )موج)ه ا)س)ت )ي)ا

خير م)ورد استف)اده قر)ار م)ي گ)يرد). در محص)ول اول تنه)ا ن)وع هواپيماه)ا م)ورد بررس)ي ق)رار مي گ)يرد

و) بين هواپيم)اه)اي) ي)ک) ن)وع) )تف)اوتي )در)نظ)ر نمي) گ)يرد د)ر حال)يک)ه انف)رادي بص)ورت) آنه)ا) ن)و)ع نظ)ر )از را ص)ر)ف دومي )هواپيماه)ا

مورد بررسي قرار مي دهد. بين زم)اني ه)اي مح)دوديت نظ)ير عملي)اتي ه)اي مح)دوديت

در ) مح)دود)يت ي)ا پ)رو)ازو ب)راي) هو)اپيما)ه)ا مح)دوديت) پر)وازه)ا، تجه)يزات م)ورد ني)از ب)راي ف)رود هواپيم)اي ن)وع خ)اص و غ)يره را در

نظر مي گيرد. اين ن)رم افزاره)ا داراي گرافي)ک ب)اال جهت تس)هيل ک)ار ک)اربر ب)وده

Sharif Universityو همچنين قابليت ارائه انواع گزارشات را دارند.of Technology


نمونه اي از گزارشات گرافيکي



قسمت ششم: مقايسه مدل هاي ارائه شدهالف. شباهت ها

مي ع)دد ص)حيح ري)زي برنام)ه بص)ورت ارائ)ه ش)ده م)دلهاي کلي)ه باشند.

هر دو م)دل ارائ)ه ش)ده ب)راي هواپيم)ا و قط)ار بص)ورت دوره اي ب)ودهو دو)ره هاي مورد )بررس)ي عموما )روزانه) مي باش)د.

در ه)ر دو م)دل ارائ)ه ش)ده ب)راي هواپيم)ا و قط)ار، داده ه)اي وروديب)ه م)دل )باي)د پيش)ا)پيش ت)وس)ط دپار)تم)ان باز)اري)ابي تع)يين ش)ده باشد.

ب. تفاوت ها اگرچ)ه پروازه)اي بين دو فرودگ)اه باي)د توس)ط ي)ک هواپيم)ا پوش)ش

در ولي ايس)تگاه( دو بين) ري)ل) ي)ا) اتص)ال مان)ن)د )د)قيق)ا داد)ه ش)ود مس)ا)له هواپيم)ا پروا)زه)ا باي)د ب)ا يک)ديگر) ت)رکي)ب ش)وند )و دور را ايج)اد مس)تق)يم بص)و)رت و خ)ط )اص)لي روي قطاره)ا) حاليک)ه ن)ماين)د )در

حرکت مي نمايند.Sharif University


از ديگ)ر تف)اوت م)دل هواپيم)ا و م)دل قط)ار ت)ابع ه)دف آن ه)امي باش)د بطوريک)ه در اولي ه)دف م)اکزيمم ک)ردن س)ود و

در ديگري مينيمم کردن هزينه مي باشد.

زمانبن)دي قطاره)ا و هواپيماه)ا بص)ورت دوره اي مي باش)ددر حاليک)ه زمانبن)دي کش)تي ه)ا بص)ورت دوره اي نمي باش)د

به همين دليل نسبت به دو مدل قبلي اسانتر مي باشد.

اين در هواپيم)ا م)دل و م)دل کش)تي تف)اوت از ديگ)ر يکي داراي ه)ا کش)تي از ي)ک ه)ر کش)تي م)دل در ک)ه اس)ت مشخص)ات مرب)وط ب)ه خ)ود ب)وده اس)ت در حاليک)ه در م)دل

هواپيما بين هواپيماهاي يک نوع تفاوتي وجود ندارد.



شباهت مدل هاي ارائه شده با مدل هاي زمانبندي :اين م)دل ه)ا مانن)د ي)ک سيس)تم ب)ا مدل کش2تي و هواپيم2ا

ي)ا ه)ا کش)تي آنه)ا در ک)ه باش)ند مي م)وازي ماش)ين چن)د هواپيماه)ا بعن)وان ماش)ين و کااله)ا و پروازه)ا بعن)وان فع)اليت بعن)وان پ)رواز انج)ام ي)ا و ک)اال حم)ل همچ)نين باش)ند. مي

پردازش فعاليت مي باشد.

:اين م)دل ت)ا ح)دود زي)ادي ش)بيه مدل ج2دول زم2اني قط2ارFlow Shop ب)وده ک)ه در آن Permutation .رع)ايت نمي ش)ود

واض)ح اس)ت ک)ه در اين م)دل ن)يز ريله)ا )اتص)االت( در نقش ماشين بوده و قطارها در نقش فعاليت مي باشند.



sequencing and scheduling lecture planning, scheduling and timetabling in transportation

Documents

industrial engineering

industrial engineeringdecember

industrial engineering5

j i j i lij eij

j ilij

p sea seattle

p lax los angeles

p nyc new york