slides edf 1

8/8/2019 Slides Edf 1

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A r t h u r C H A R P E N T I E R - G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t f i n a n c i e r s .

G e s t i o n d e s r i s q u e s b a n c a i r e s e t n a n c i e r s

m e s u r e s d e r i s q u e s

e t c a d r e r è g l e m e n t a i r e

A r t h u r C h a r p e n t i e r

E d F , f o r m a t i o n c o n t i n u e

a r t h u r . c h a r p e n t i e r @ u n i v - r e n n e s 1 . f r

1




O v e r v i e w o f t h e t w o s e s s i o n s

1 . N o t i o n s d e b a s e e n p r o b a b i l i t é

2 . P r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e s e n t e m p s d i s c r e t

3 . M a r c h é s n a n c i e r s e n t e m p s d i s c r e t

4 . I n t é g r a t i o n s t o c h a s t i q u e e n t e m p s c o n t i n u

5 . F o r m u l e d ' I t ô e t f o r m u l e d e F e y n m a n - K a c

6 . C h a n g e m e n t d e p r o b a b i l i t é

7 . I n t r o d u c t i o n a u x p r o c e s s u s s t o c h a s t i q u e s d i s c o n t i n u s

8 . I n t r o d u c t i o n a u x m o d è l e s d e t a u x d ' i n t é r ê t

9 . M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s d e b a s e

1 0 . C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s

1 1 . M o d è l e s s t a t i q u e s

1 2 . M o d è l e s d y n a m i q u e s

2





C o n s i d e r a s e t o f r i s k s , d e n o t e d b y a r a n d o m v e c t o r X = (X 1, . . . , X d)

T h e i n t e r e s t i s a n a g r e g a t i o n f u n c t i o n o f t h o s e r i s k s g(X ) , w h e r e

g : Rd → R, a n d

w e w i s h t o m e a s u r e t h e r i s k o f t h i s q u a n t i t y R(g(X ))

, f o r s o m e r i s k m e a s u r e R

.

•S é a n c e 9 : M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s

d e b a s e

w h a t i s a r i s k m e a s u r e ?

w h a t a r e a c a d e m i c o r p r a g m a t i c r i s k s m e a s u r e s , a n d w h a t a b o u t

a c c o u n t i n g s t a n d a r d s ?

w h a t a r e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f

R?

h o w t o e s t i m a t e R(Z )

g i v e n a s a m p l e Z 1, . . . , Z n

?

•S é a n c e 1 0 : C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s

3





C o n s i d e r a s e t o f r i s k s , d e n o t e d b y a r a n d o m v e c t o r X = (X 1, . . . , X d)

T h e i n t e r e s t i s a n a g r e g a t i o n f u n c t i o n o f t h o s e r i s k s g(X ) , w h e r e

g : Rd → R, a n d

w e w i s h t o m e a s u r e t h e r i s k o f t h i s q u a n t i t y R(g(X ))

, f o r s o m e r i s k m e a s u r e R

.

•S é a n c e 9 : M e s u r e s d e r i s q u e s , a s p e c t r è g l e m e n t a i r e s e t p r i n c i p e s

d e b a s e

•S é a n c e 1 0 : C o r r é l a t i o n s , c o p u l e s

h o w t o m o d e l X

?

w h a t a b o u t d i v e r s i c a t i o n e e c t s ?

w h a t i s t h e c o r r e l a t i o n o f r i s k s i n X ?

c a n w e c o m p a r e R(g(X ))

a n d R(g(X ⊥))

( i . e . u n d e r i n d e p e n d e n c e ) ?

w h a t i s t h e c o n t r i b u t i o n o f X i i n t h e o v e r a l l r i s k ?

4




S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n n a n c e

C o n s i d e r a s e t o f s t o c k p r i c e s a t t i m e T

d e n o t e d X = (X 1, . . . , X d)

a n d

Y = (Y 1, . . . , Y d) t h e r a t i o o f t h e p r i c e a t t i m e T d i v i d e d b y t h e p r i c e a t t i m e 0 ,

a n d a n d l e t g(X ) d e n o t e t h e p a y o a t t i m e

T o f s o m e n a n c i a l d e r i v a t i v e ,

• e . g . s p r e a d d e r i v a t i v e s , g(x1, x2) = (x1 − x2 − K )+ b a s e d o n t h e s p r e a d

b e t w e e n t w o a s s e t s , o r m o r e g e n e r a l l y a n y e x t r e m e s p r e a d o p t i o n s , d u a l

s p r e a d o p t i o n s , c o r r e l a t i o n o p t i o n s o r r a t i o s p r e a d o p t i o n s ,

•e . g . b u t t e r y d e r i v a t i v e s ,

g(x) = (ax− K )+ , i . e . c a l l o p t i o n o n a p o r t f o l i o

o f d

a s s e t s ,

•e . g . m i n - m a x d e r i v a t i v e s o r r a i n b o w ,

g(x) = (minx − K )+ ,

g(x) = (maxx − K )+ , i . e . c a l l o p t i o n o n t h e m i n i m u m o r m a x i m u m o f d

a s s e t s ,

• e . g . A t l a s d e r i v a t i v e s , g(x) = (

i=i+i=i−

Y i − K )+ , w h e r e t h e s u m i s c o n s i d e r e d

s k i p p i n g t h e i− l o w e s t a n d t h e d − i+ l a r g e s t r e t u r n s , o r H i m a l a y a

d e r i v a t i v e s , g(x) = (

i=di=i+

Y i − K )+ ,

5




S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n e n v i r o n m e n t a l r i s k s

6




S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n c r e d i t r i s k

A p p l i c a t i o n s w i t h a h i g h n u m b e r o f r i s k s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d , i n c r e d i t r i s k f o r

i n s t a n c e . L e t X = (X 1,...,X d)

d e n o t e t h e v e c t o r o f i n d i c a t o r v a r i a b l e s ,

i n d i c a t i n g i f t h e i- t h c o n t r a c t d e f a u l t e d d u r i n g a g i v e n p e r i o d o f t i m e . I f a c r e d i t

d e r i v a t i v e i s b a s e d o n t h e o c c u r r e n c e o f

kd e f a u l t s a m o n g

dc o m p a n i e s , a n d t h u s ,

t h e p r i c i n g i s r e l a t e d t o t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , N

, d e n e d a s

N = X 1 + ... + X d . U n d e r t h e a s s u m p t i o n o f p o s s i b l e c o n t a g i o u s r i s k s , t h e

d i s t r i b u t i o n o f N s h o u l d i n t e g r a t e d e p e n d e n c i e s .

C r e d i t M e t r i c s i n 1 9 9 5 s u g g e s t e d a G a u s s i a n m o d e l f o r c r e d i t c h a n g e s , b a s e d o n a

p r o b i t a p p r o a c h , X i = 1(X ∗i < ui) , w h e r e X ∗i ∼ N (0, 1) .

7




!6 !4 !2 0 2 4 6

0 .

0

0 .

1

0 .

2

0 .

3

0 .

4

0 .

5

0 . 6

Value of the company

Probit model in dimension 1

DEFAULT

!4 !2 0 2 4

! 4

! 2

0

2

4

Value of company (1)

V a l u e

o f c o m p a n y ( 2 )

(1) DEFAULTS

( 2 ) DE F A UL T S

Probit model in dimension 2

F i g u r e 1 : M o d e l i n g d e f a u l t s b a s e d o n a p r o b i t a p p r o a c h .

8




S o m e p o s s i b l e m o t i v a t i o n s . . . i n r i s k m a n a g e m e n t

C o n s i d e r a s e t a r i s k s X = (X 1,...,X d)( r e t u r n s i n a p o r t f o l i o , l o s s e s p e r l i n e o f

b u s i n e s s , p o s i t i o n s o f n a n c i a l d e s k s )

A c l a s s i c a l r i s k m e a s u r e ( a s i n M a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) ) i s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n ,

σ(X i) = V ar(X i) = E((X i−E(X ))2)

. T h e r i s k o f t h e p o r t f o l i o

S = X 1 + . . . + X d i s

σ(S ) =

σ(X 1)2 + . . . + σ(X d)2 + 2

i<j

r(X i, X j )σ(X i)σ(X j).

R i s k s a r e n o w m e a s u r e d u s i n g V a l u e - a t - R i s k ( i . e . q u a n t i l e s ) , a n d t h e r e i s n o

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n q(X 1 + . . . + X d) a n d q(X 1) + . . . + q(X d) .

9




A g e n d a

• G e n e r a l i n t r o d u c t i o n

F i n a n c i a l r i s k s

• M a r k e t r i s k s

•C r e d i t r i s k

•O p e r a t i o n a l r i s k

R i s k m e a s u r e s a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n

• R i s k m e a s u r e s : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n

•R i s k m e a s u r e s : c o n v e x i t y a n d c o h e r e n c e

• C a p i t a l a l l o c a t i o n : a n a x i o m a t i c i n t r o d u c t i o n

R i s k m e a s u r e s a n d s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e

1 2




A g e n d a





• F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k






1 3




S o m e r e f e r e n c e s o n r i s k m a n a g e m e n t

F ö l l m e r , H . & S c h i e d , A . ( 2 0 0 4 ) . S t o c h a s t i c n a n c e . A n i n t r o d u c t i o n i n

d i s c r e t e t i m e . G r u y t e r S t u d i e s i n M a t h e m a t i c s ,

J o r i a n , P . ( 2 0 0 7 ) . V a l u e - a t - R i s k ,

M c N e i l , A . F r e y , R . , & E m b r e c h t s , P . ( 2 0 0 5 ) . Q u a n t i t a t i v e R i s k

M a n a g e m e n t : C o n c e p t s , T e c h n i q u e s , a n d T o o l s . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s ,

R o n c a l l i , T . ( 2 0 0 4 ) . L a g e s t i o n d e s r i s q u e s n a n c i e r s . E c o n o m i c a .

B a s e l C o m m i t t e e o n B a n k i n g S u p e r v i s i o n . I n t e r n a t i o n a l c o n v e r g e n c e o f c a p i t a l

m e a s u r e m e n t a n d c a p i t a l s t a n d a r d s . h t t p : / / w w w . b i s . o r g / p u b l / b c b s 1 2 8 . p d f

1 4




I n t r o d u c t i o n t o r i s k m a n a g e m e n t : c r i s i s

a s t a t i s t i c a l m o d e l i s a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n c o n s t r u c t e d t o e n a b l e i n f e r e n c e s t o

b e d r a w n o r d e c i s i o n s m a d e f r o m d a t a ( J o r i o n ( 2 0 0 7 ) ) .

1 9 7 4 H e r s t a t t B a n k , 6 2 0 m i l l i o n U S D ( ⇒

R e a l T i m e G r o s s S e t t l e m e n t S y s t e m s )

1 9 9 4 M e t a l l g e s e l l s c h a f t , 1 3 4 0 m i l l i o n U S D ( o i l f u t u r e s )

1 9 9 4 O r a n g e C o u n t y , 1 8 1 0 m i l l i o n U S D ( d e r i v a t i e s )

1 9 9 4 P r o c t e r & G a m b l e , 1 0 2 m i l l i o n U S D ( d e r i v a t i e s )

1 9 9 5 B a r i n g s , 1 3 3 0 m i l l i o n U S D ( f r a u d u l e n t m a n i p u l a t i o n s )

1 9 9 7 N a t w e s t , 1 2 7 m i l l i o n U S D ( f r a u d u l e n t m a n i p u l a t i o n s )

1 9 9 8 L T C M ( L o n g T e r m C a p i t a l M a n a g e m e n t ) , 2 0 0 0 m i l l i o n U S D ( l i q u i d i t y c r i s i s )

1 5




D i s t i n g u i s h i n g a m o n g r i s k s

•m a r k e t r i s k

•i n t e r e s t r a t e r i s k

•c u r r e n c y r i s k

•v o l a t i l i t y r i s k

•c r e d i t r i s k

•d e f a u l t r i s k

•d o w n g r a d i n g r i s k

•o p e r a t i o n a l r i s k

•d i s a s t e r r i s k

•f r a u d r i s k

•t e c h n o l o g i c r i s k

•l i t i g a t i o n r i s k

•l i q u i d i t y r i s k

•m o d e l r i s k

1 6




H i s t o r y o f r i s k m e a s u r e s

T h e e v o l u t i o n o f ( a n a l y t i c a l ) R i s k M a n a g e m e n t T o o l s ( f r o m J o r i o n ( 2 0 0 7 ) )

1 9 3 8 b o n d d u r a t i o n

1 9 5 2 M a r k o w i t z m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k

1 9 6 3 S h a r p e ' s s i n g l e b e t a m o d e l

1 9 7 3 B l a c k & S c h o l e s o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a

1 9 8 3 R A R O C , R i s k A d j u s t e d R e t u r n

1 9 9 2 S t r e s s t e s t i n g

1 9 9 3 V a l u e - a t - R i s k ( V a R )

1 9 9 4 R i s k M e t r i c s

1 9 9 7 C r e d i t M e t r i c s

1 9 9 8 i n t e g r a t i o n o f c r e d i t a n d m a r k e t r i s k

1 9 9 9 c o h e r e n t r i s k m e a s u r e s

1 7




A g e n d a











1 8




M a r k e t r i s k s

C l a s s i c a l m o d e l s f o r s t o c k p r i c e s ,

• d y n a m i c m o d e l s ( B a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) , B l a c k & S c h o l e s ( 1 9 7 3 ) ) , B r o w n i a n

g e o m e t r i c

dS t = µS tdt

d r i f t

+√

V S tdW t

r a n d o m p a r t

,

w h e r e (W t)t≥0 i s a s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n ,

• m o r e a d v a n c e d d y n a m i c m o d e l s ( H e s t o n ( 1 9 9 3 ) ) h a v e s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y

dS t = µS tdt +√

V tdW St

dV t

= κ(θ−

V t)dt + ξ

√V

tdW V

t,

w h e r e (W St )t≥0 a n d

(W V t )t≥0 a r e t w o s t a n d a r d b r o w n i a n m o t i o n s ( p o s s i b l y

c o r r e l a t e d ) .

1 9




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

Stock price over 1 year, large volatility

Time

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

5 0

1 0 0

1 5 0

2 0 0

Stock price over 1 year, large volatility

Time

F i g u r e 4 : R a n d o m g e n e r a t i o n o f a s t o c k p r i c e , dS t = µS tdt + σS tdW t .

2 0





N o t e t h a t c o n t i n u o u s GARCH

p r o c e s s e s c a n a l s o b e c o n s i d e r e d dS t = µS tdt +√

V tdW St

dV t = κ(θ − V t)dt + ξV tdW V t ,

2 1





•t h e c a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l ( M a r k o w i t z ( 1 9 7 0 ) o r t h e S h a r p e i n d e x a r e

b a s e d o n t h e m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k ,

0 5 #0 #5

! # . 0

! 0 . 5

0 . 0

0 . 5

# . 0

# . 5

% . 0

% . 5

&ca)t!type

& s p / ) a n c e

0 " #0 #"

! # . 0

! 0 . "

0 . 0

0 . "

# . 0

# . "

% . 0

% . "

&ca)t!t+pe

& s p / ) a n c e

F i g u r e 5 : C a p i t a l a s s e t p r i c i n g m o d e l , t h e m e a n - v a r i a n c e f r a m e w o r k .

2 2




H o w t o q u a n t i f y m a r k e t r i s k s : v o l a t i l i t y

A l l t h e i n f o r m a t i o n a b o u t u n c e r t a i n t y i s s u m m a r i z e d b y t h e v o l a t i l i y - o r

v a r i a n c e - p a r a m e t e r .

N o t e t h a t t h i s i s o n e o f t h e d r a w b a c k o f t h e u s e o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .

2 3




A ( v e r y ) s h o r t w o r d o n d i v e r s i c a t i o n

N a t u r a l l y , i n h i g h e r d i m e n s i o n ( w h e n d e a l i n g w i t h m u l t i p l e s t o c k s ) , G a u s s i a n

v e c t o r s a r e c o n s i d e r e d

X = X 1

X 2.

.

.

X d

∼ N

µ1

µ2

.

.

.

µd

,σ21 ρ1,2σ1σ2 · · · ρ1,dσ1σd

ρ2,1σ2σ1 σ22 · · · ρ2,dσ2σd

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ρd,1σdσ1 ρd,2σdσ2 · · · σ2d

A l l t h e i n f o r m a t i o n a b o u t m a r g i n a l r i s k s i s i n t h e v a r i a n c e s ( σ2

i ) w h i l e a l l t h e

i n f o r m a t i o n o n t h e d e p e n d e n c e i s i n t h e c o r r e l a t i o n c o e c i e n t s ( ρi,j ) .

2 4




O n t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n

T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n i s v e r y i m p o r t a n t f o r m a n y r e a s o n s ,

•i t i s a s t a b l e d i s t r i b u t i o n , i . e . i t a p p e a r s a s a l i m i t i n g d i s t r i b u t i o n i n t h e

c e n t r a l l i m i t t h e o r e m : f o r i . i . d . X i ' s w i t h n i t e v a r i a n c e ,

√n

X − E(X )√V X

L→ N (0, 1).

•i t i s a n e l l i p t i c d i s t r i b u t i o n , i . e . X = µ +AX 0 w h e r e AA = Σ, a n d w h e r e

X 0 h a s a s p h e r i c d i s t r i b u t i o n , i . e . f (x0)

i s a f u n c t i o n o f x0x0 ( s p h e r i c a l l e v e l

c u r v e s ) ,

2 5




−3 −2 −1 0 1 2 3

− 3

− 2

− 1

0

1

2

3

Level curves of a spherical distribution

−3 −2 −1 0 1 2 3

− 3

− 2

− 1

0

1

2

3

Level curves of a elliptical distribution

F i g u r e 6 : T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .

2 6




O n t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n

A s a c o n s e q u e n c e , i f X ∼ N (µ,Σ), a n d i f

X = X 1

X 2 ∼ N µ1

µ2 ,Σ11 Σ12

Σ21 Σ22 • X i ∼ N (µi, Σi)

, f o r a l l i = 1, · · · , d

,

• αX = α1X 1 + · · · + αdX d ∼ N (αµ,αΣα),

•X 1

|X 2 = x2

∼ N (µ1 + Σ12Σ

−12,2(x2

−µ2),Σ1,1

−Σ12Σ

−12,2Σ21)

2 7




−3

−2

−1

0

1

23

−3

−2

−1

0

1

2

30.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Density of the Gaussian distribution

−3 −2 −1 0 1 2 3

− 3

− 2

− 1

0

1

2

3

Level curves of a elliptical distribution

F i g u r e 7 : T h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n .

2 8




A g e n d a

•G e n e r a l i n t r o d u c t i o n










2 9




C r e d i t r i s k

C r e d i t r i s k i s t h e r i s k t h a t a n o b l i g o r d o e s n o t f u l l h i s p a y m e n t o b l i g a t i o n s ,

e i t h e r w h o l l y o r i n p a r t .

F o r s i n g l e o b l i g o r s , o n e s h o u l d m o d e l

• r i s k a r r i v a l ( g i v e n a t i m e h o r i z o n , i t t h e r e a d e f a u l t ? )

• r i s k t i m i n g ( w h e n d o e s t h e d e f a u l t o c c u r ? )

• r i s k m a g n i t u d e ( h o w h i g h i s t h e l o s s ? )

a n d o n a p o r t f o l i o l e v e l

• r i s k c o r r e l a t i o n ( w i l l t h e r e b e a n y c o n t a g i o n ? )

H e r e , l o s s d i s t r i b u t i o n s h a v e l o w p r o b a b i l i t i e s b u t h i g h l o s s e s ( h i g h d o w n s i d e r i s k ,

s t r o n g l y s k e w e d ) .

H e n c e , f o r c r e d i t r i s k , v o l a t i l i y h a s n o m e a n i n g .

M a i n p r o b l e m : n o m u c h h i s t o r i c a l d a t a .

3 0




C l a s s i c a l c r e d i t r i s k m o d e l s

•c r e d i t s c o r i n g , l o g i t / p r o b i t m o d e l s t o m o d e l d e f a u l t o c c u r e n c e

• m o d e l s f o r r a t i n g t r a n s i t i o n b a s e d o n M a r k o v c h a i n s

•m o d e l s f o r b o n d p r i c e s , i n t e n s i t y b a s e d

3 1




T h e b i n o m i a l m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t

C o n s i d e r d e f a u l t s i n a p o r t f o l i o , u n t i l a x e d t i m e - h o r i z o n T , w i t h n o i n t e r e s t

r a t e .

T h e e x p o s u r e s a r e o f i d e n t i c a l s i z e L

, i d e n t i c a l r e c o v e r y r a t e c

. A s s u m e a l s o t h a t

t h e p o r t f o l i o i s h o m o g e n e o u s , i . e . e a c h o b l i g o r d e f a u l t s w i t h a p r o b a b i l i t y p

b e f o r e t i m e - h o r i z o n T

.

A s s u m e t h a t d e f a u t s h a p p e n i n d e p e n d e n t y o f e a c h o t h e r .

L e t X

d e n o t e t h e n u m b e r o f d e f a u l t i n t h e p o r t f o l i o , s o t h a t t h e l o s s i s X (1 − c)L

.

I f d e f a u l t s a r e i n d e p e n d e n t ,

P(X = k) =

d

k pk(1 − p)d−k =

d!

k!(d

−k)!

pk(1 − p)d−k = (k; d, p)

a n d

P(X ≤ k) =k

i=0

d

k

pk(1 − p)d−k = B(k; d, p)

3 2




0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 . 2

0

Distribution of number of defaults, n=30, p=20%

Number of defaults

P r o b a b i l i t y

0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 . 2

0

0 . 2

5

0 . 3

0

0 . 3

5

Distribution of number of defaults, n=30, p= 5%

Number of defaults


0 5 10 15 20 25 30

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Distribution of number of defaults, n=30, p=20%

Number of defaults

C u m u l a t i v e p r o b a b i l i t y

0 5 10 15 20 25 30

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0

Distribution of number of defaults, n=30, p= 5%

Number of defaults


F i g u r e 8 : D i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , i n d e p e n d e n t c a s e .

3 3




E x t e n d i n g t h e b i n o m i a l m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t

A s i m p l i e d r m ' s v a l u e m o d e l c a n b e c o n s i d e r e d , w h e r e t h e d e f a u l t o f e a c h

o b l i g o r k

i s t r i g g e r e d b y t h e c h a n g e o f t h e v a l u e V k(t)

o f t h e a s s e t s o f i t s r m .

A s s u m e t h a t V k(T ) i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d , a n d s t a n d a r d i z e d , i . e .

V k(T ) ∼ N (0, 1) . A s s u m e m o r e g e n e r a l l y t h a t

V (T ) = (V 1(T ), · · · , V d(T )) ∼ N (0,Σ), i . e . t h e a s s e t v a l u e s o f d i e r e n t o b l i g o r s

m i g h t b e c o r r e l e t e d w i t h e a c h o t h e r .

O b l i g o r k

d e f a u l t s i f i t s r m ' s v a l u e f a l l s b e l o w a b a r r i e r V k(T ) ≤ Bk .

T h i s c a n b e s e e n a s a m u l t i v a r i a t e p r o b i t m o d e l .

3 4




A o n e - f a c t o r m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t

A s s u m e t h a t t h e v a l u e s o f t h e a s s e t s o f t h e o b l i g o r s a r e d r i v e n b y o n e c o m m o n

f a c t o r

Y , a n d a n i d i o s y n c r a t i c s t a n d a r d n o r m a l n o i s e c o m p o n e n t

εk , s o t h a t

V k(T ) =√

ρY +

1 − ρεk, k = 1, · · · , d,

w h e r e Y

a n d t h e εk ' s a r e i n d e p e n d e n t a n d

N (0, 1)d i s t r i b u t e d .

T h i s i s a n e x c h a n g e a b l e m o d e l : c o n d i t i o n a l o n t h e r e a l i s a t i o n o f t h e s y s t e m a t i c

f a c t o r Y , t h e r m ' s v a l u e s a n d t h e d e f a u l t s r a e i n d e p e n d e n t .

A s s u m i n g t h a t Bk = B

a n d t h a t t h e e x p o s u r e i s Lk = 1

, t h e n

P(X = k) =

P(X = k|Y = y)φ(y)dy,

a n d c o n d i t i o n a l o n

Y = y, t h e p r o b a b i l i t y t o h a v e

kd e f a u l t s i s

P(X = k|Y = y) =

d

k

p(y)k(1 − p(y))d−k

3 5




A o n e - f a c t o r m o d e l f o r c r e d i t d e f a u l t

w h e r e p(y) i s t h e p r o b a b i l i t y t h a t V i(T ) f a l l s b e l o w B , i . e .

p(y) = P(V i(T )

≤B

|Y = y) = Pε

i ≤B

−

√Y

√1 − ρ ≤BY = y = ΦK − √

ρy

√1 − ρ .

S u b s t i t u t i n g y i e l d s

P(X = k) =

d

k

Φ

K − √

ρy√1 − ρ

k 1 − Φ

K − √

ρy√1 − ρ

d−k

φ(y)dy

3 6




q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq q q q q q q q q q q q q q q q q q

0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5

Distribution of number of defaults, n=30, p=20%, r=0.1

Number of defaults


q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q


0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5


Number of defaults


q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q


0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 1

5


Number of defaults


0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0


Number of defaults


0 5 10 15 20 25 30

0 . 0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0


Number of defaults


0 5 10 15 20 25 30

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1 . 0


Number of defaults


F i g u r e 9 : D i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f d e f a u l t s , n o n i n d e p e n d e n t c a s e .

3 7




U s i n g v a r i a n c e f o r c r e d i t r i s k ?

I s v a r i a n c e r e l e v a n t t o m e a s u r e r i s k ?

N o s i n c e i t i s n o t a d o w n s i d e r i s k .

3 8




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Evolution of the variance of X as a function of rho, p=20%

Evolution of parameter rho

V a r i a n c e

F i g u r e 1 0 : E v o l u t i o n o f t h e v a r i a n c e o f X

a s a f u n c t i o n o f ρ

.

3 9




U s i n g v a r i a n c e f o r c r e d i t r i s k ?

O n e h a s t o n d a c o e c i e n t w h i c h m e a s u r e s p r o p e r l y d o w n s i d e r i s k . A n i d e a i s

t o u s e a q u a n t i l e

D e n i t i o n 1 . T h e α - q u a n t i l e o f a d i s t r i b u t i o n F X i s qX (α) , s u c h t h a t

qX (α) = F −1X (α)w h e r e

F −1X (u) = inf x, F X (x) ≥ u, w h e r e u ∈ (0, 1).

T h e n F −1X (·) i s i n c r e a s i n g o n

(0, 1), c o n t i n u o u s f r o m t h e l e f t , w i t h l i m i t s f r o m t h e

r i g h t , a n d f u r t h e r

F −1X F X (x) ≤ xf o r a n y

xa n d

F X F −1X (u) ≥ uf o r a n y

p.

R e m a r k A l m o s t e q u i v a l e n t l y , i t i s p o s s i b l e t o d e n e

F −1X (u) = supx, F X (x) ≤ u,w h e r e

u ∈ (0, 1).

4 0




0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Evolution of the variance of X as a function of rho, p= 5%


Q u a n t i l e

90% quantile

95% quantile

99% quantile

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

4 0

6 0

8 0

1 0 0

Evolution of the variance of X as a function of rho, p=20%


Q u a n t i l e

90% quantile

95% quantile

99% quantile

F i g u r e 1 1 : E v o l u t i o n o f t h e q u a n t i l e o f X

a s a f u n c t i o n o f ρ

.

4 1




A g e n d a











4 2




V a l u e - a t - R i s k

T h e e x p r e s s i o n i s q u i t e r e c e n t a n d i t s o r i g i n i s u n c e r t a i n : i n t h e 8 0 ' s , s o m e

p a p e r s i n t r o d u c e d d o l l a r s - a t - r i s k , c a p i t a l - a t - r i s k , i n c o m e - a t - r i s k , e a r n i n g - a t - r i s k

a n d n a l l y v a l u e - a t - r i s k

D e n o m i n a t i o n h a s b e e n s t a b i l i z e d a f t e r t h e p u b l i c a t i o n o f R i s k M e t r i c s T e c h n i c a l

D o c u m e n t i n 1 9 9 4 , b y J P M o r g a n . N o t e t h a t t h e w o r k a c c o m p l i s h e d b y

J P M o r g a n w a s m o r e a p u l i c r e l a t i o n c a m p a i g n t h a n a n a d v a n c e d t e c h n i c a l s t u d y :

V a R i s m o r e a p r a c t i c e t h a n a t h e o r y .

V a R s u m m a r i z e s t h e w o r s t l o s s e v e r o n a t a r g e t h o r i z o n t h a t w i l l n o t b e e x c e e d e d

w i t h a g i v e n l e v e l o f c o n d e n c e , i . e . f o r m a l y i t i s a q u a n t i l e o f t h e p r o j e c t e d

d i s t i b u t i o n o f g a i n s a n d l o s s e s o v e r t h e t a r g e t h o r i z o n

T i l l G u l d i m a n n ( 1 9 9 2 ) c r e a t e d t h e t e r m v a l u e - a t - r i s k w h i l e h e a d o f g l o b a l

r e s e a r c h a t J P M o r g a n i n t h e l a t e 8 0 ' s . I t a p p e a r e d i n t h e G 3 0 r e p o r t ( g r o u p o f

t h i r t y ) i n J u l y 1 9 9 3 .

4 3



A t e c h n i c a l d e n i t i o n f o r t h e V a l u e - a t - R i s k

D e n i t i o n 2 . L e t X

d e n o t e t h e l o s s d i s t r i b u t i o n , t h e n

V aR(X, α) = qX (α), f o r a l l

α ∈ (0, 1).

4 4




T h e B a s e l I I a c c o r d ( 2 0 0 4 )

J u n e 2 0 0 4 , t h e B a s e l C o m m i t t e e n a l i z e d t h e B a s e l A c c o r d s , b a s e d o n t h r e e

p i l l a r s

• m i n i m u m r e g u l a t o r y r e q u i e r e m e n t s , i . e . s o m e r i s k - b a s e d c a p i t a l r e q u i r e m e n t s :

s e t c a p i t a l c h a r g e s a g a i n s t c r e d i t r i s k ( i n t e r n a l r a t i n g b a s e d ) , m a r k e t r i s k

( i n t e r n a l m o d e l a p p r o a c h ) a n d o p e r a t i o n a l r i s k . t h e g o a l i s t o k e e p c o n s t a n t

t h e l e v e l o f c a p i t a l i n t h e g l o b a l b a n k i n g s y s t e : 8%

o f r i s k w e i g h t e d a s s e t s ,

• s u p e r v i s o r v r e v i e w , i . e . e x p a n d e d r o l e f o r b a n k r e g u l a r t o r s , t o e n s u r e t h a t

b a n k s o p e r a t e a b o v e t h e m i n i m u m r e g u l a t o r y c a p i t a l r a t i o s , t h a t b a n k s h a v e

a p p r o p r i a t e p r o c e s s e s f o r a s s e s s i n g t h e i r r i s k s , a n d a p p r o p r i a t e c o r r e c t i v e

a c t i o n s

•m a r k e t d i s c i p l i n e , i . e . s e t o f d i s c l o s u r e r e c o m m e n d a t i o n s , e n c o u r a g i n g t o

p u b l i s h i n f o r m a t i o n s a b o u t e x p o s u r e s , r i s k p r o l e s , c a p i t a l c u s h i o n . . .

F r o m t h e r s t p i l l a r , t h e r e s h o u l d b e a c r e d i t r i s k c h a r g e ( C R C ) , a m a r k e t r i s k

c h a r g e ( M R C ) a n d a n o p e r a t i o n n a l r i s k c h a r g e ( O R C ) , a n d t h e b a n k ' s t o t a l

4 5




c a p i t a l m u s t e x c e e d t h e t o t a l - r i s k c h a r g e ( T R C )

C a p i t a l >

T R C =

C R C +

M R C +

O R C .

W h y u s i n g V a R a s a r i s k m e a s u r e ?

M a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) c l a i m e d t h a t s t a n d a r d d e v i a t i o n s h o u l d b e a n i n t u i t i v e a n d

a p p r o p r i a t e r i s k m e a s u r e ( l e a d i n g t o t h e m e a n - v a r i a n c e t r a d e - o ) .

T h e s a m e y e a r , R o y ( 1 9 5 2 ) c l a i m e d t h a t t h e o p t i m a l b u n d l e o f a s s e t s

( i n v e s t m e n t ) f o r i n v e s t o r s w h o e m p l o y t h e s a f e t y r s t p r i n c i p l e i s t h e p o r t f o l i o

t h a t m i n i m i z e s t h e p r o b a b i l i t y o f d i s a s t e r .

R o y A . D . ( 1 9 5 2 ) , S a f e t y r s t a n d t h e h o l d i n g o f a s s e t s , E c o n o m e t r i c a , 2 0 ,

4 3 1 - 4 4 9 .

M a r k o w i t z H . M . ( 1 9 5 2 ) , P o r t f o l i o s e l e c t i o n , J o u r n a l o f F i n a n c e , 7 , 7 7 - 9 1 .

4 6




A g e n d a











4 7




I n t r o d u c t i o n t h e r i s k m e a s u r e s , a n d r i s k p e r c e p t i o n

S . C l a m [ . . . ] o n c e s a i d :

I d e n e a c o w a r d a s s o m e o n e w h o w i l l n o t b e t w h e n

y o u o e r h i m t w o - t o - o n e o d d s a n d l e t h i m c h o o s e h i s s i d e .

W i t h t h e c e n t u r i e s o l d S t . P e t e r s b u r g p a r a d o x i n m y m i n d , I p e d a n t i c a l l y

c o r r e c t e d h i m : Y o u m e a n w i l l n o t m a k e a s u c i e n t l y s m a l l b e t ( s o t h a t t h e

c h a n g e i n t h e m a r g i n a l u t i l i t y o f m o n e y w i l l n o t c o n t a m i n a t e h i s c h o i c e ) . .

R e c a l l i n g t h i s c o n v e r s a t i o n , a f e w y e a r s a g o I o e r e d s o m e l u n c h c o l l e a g u e s t o

b e t e a c h $ 2 0 0 t o $ 1 0 0 t h a t t h e s i d e o f a c o i n t h e y s p e c i e d w o u l d n o t a p p e a r a t

t h e r s t t o m . O n e d i s t i n g u i s h e d s c h o l a r - w h o l a y s n o c l a i m t o a d v a n c e d

m a t h e m a t i c a l s k i l l s - g a v e t h e f o l l o w i n g a n s w e r :

4 8




I n t r o d u c t i o n t h e r i s k m e a s u r e s , a n d r i s k p e r c e p t i o n

I w o n ' t b e t b e c a u s e I w o u l d f e l l t h e $ 1 0 0 l o s s m o r e t h a n t h e $ 2 0 0 g a i n . B u t

I ' l l t a k e y o u o n i f y o u p r o m i s e t o l e t m e m a k e 1 0 0 s u c h b e t s

.

W h a t w a s b e h i n d t h i s i n t e r e s t i n g a n s w e r ? H e , a n d m a n y o t h e r s , h a v e g i v e n

s o m e t h i n g l i k o t h o f o l l o w i n g e x p l a n a t i o n .

O n e t o s s i s n o t e n o u g h t o m a k e i t

r e a s o n a b l y s u r e t h a t t h e l a w o f a v e r a g e s w i l l t u r n o u t i n m y f a v o r . B u t i n a

h u n d r e d t o s s e s o f a c o i n , t h e l a w o f l a r g e n u m b e r s w i l l m a k e a d a m g o o d b e t . I

a m , s o t o s p e a k , v i r t u a l l y s u r e t o c o m e o u t a h e a d i n s u c h a s e q u e n c e , a n d t h a t i s

w h y I a c c e p t t h e s e q u e n c e w h i l e r e j e c t i n g t h e s i n g l e t o s s .

.

O n e c a n c h e c k t h a t P(

g a i n > 0) = P(

a t l e a s t 34

o d d s ) ∼ 99.91%

.

H o w e v e r , w i t h o n e t o s s , t h e m a x i m a l l o s s i s $ 1 0 0 b u t i t b e c o m e s $ 1 0 , 0 0 0 w i t h

1 0 0 t o s s e s .

4 9




N o t a t i o n s

L e t X

b e a r e a l v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e , i n t e r p r e t e d a s a ( n e t ) l o s s .

D e n i t i o n 3 . A r i s k m e a s u r e i s a f u n c t i o n

R : X →R

, i n t e r p r e t e d a s t h e c a p i t a l

n e c e s s a r y .

E x a m p l e 4 . R(X ) = supX (ω), ω ∈ Ω

, R(X ) = supEQ(X ),Q ∈ Q

w h e r e Q

i s a s e t o f p r o b a b i l i t i e s ( c a l l e d s c e n a r i o s ) , R(X ) = F −1X (α) w h e r e α ∈ (0, 1) . . . e t c .

5 0




R i s k m e a s u r e s a n d p r i c e o f a r i s k

P a s c a l , F e r m a t , C o n d o r c e t , H u y g e n s , d A l e m b e r t i n t h e X V I I I t h c e n t u r y

p r o p o s e d t o e v a l u a t e t h e p r o d u i t s c a l a i r e d e s p r o b a b i l i t é s e t d e s g a i n s ,

< p,x >=

ni=1

pixi = EP(X ),

b a s e d o n t h e r è g l e d e s p a r t i e s .

F o r Q u é t e l e t , t h e e x p e c t e d v a l u e w a s , i n t h e c o n t e x t o f i n s u r a n c e , t h e p r i c e t h a t

g u a r a n t e e s a n a n c i a l e q u i l i b r i u m .

F r o m t h i s i d e a , w e c o n s i d e r i n i n s u r a n c e t h e p u r e p r e m i u m a s EP(X )

. A s i n

C o u r n o t ( 1 8 4 3 ) , l ' e s p é r a n c e m a t h é m a t i q u e e s t d o n c l e j u s t e p r i x d e s c h a n c e s

( o r t h e f a i r p r i c e m e n t i o n e d i n F e l l e r ( 1 9 5 3 ) ) .

5 1




W h a t i s p r o b a b i l i t y P ?

m y d w e l l i n g i s i n s u r e d f o r $ 2 5 0 , 0 0 0 . M y a d d i t i o n a l p r e m i u m f o r e a r t h q u a k e

i n s u r a n c e i s $ 7 6 8 ( p e r y e a r ) . M y e a r t h q u a k e d e d u c t i b l e i s $ 4 3 , 7 5 0 . . . T h e m o r e I

l o o k t o t h i s , t h e m o r e i t s e e m s t h a t m y c h a n c e s o f h a v i n g a c o v e r e d l o s s a r e a b o u t

z e r o . I ' m p a y i n g $ 7 6 8 f o r t h i s ? ( B u s i n e s s I n s u r a n c e , 2 0 0 1 ) .

•E s t i m a t e d a n n u a l i z e d p r o a b i l i t y i n S e a t l e

1/250 = 0.4%,

• A c t u a r i a l p r o b a b i l i t y 768/(250, 000 − 43, 750) ∼ 0.37%

T h e p r o b a b i l i t y f o r a n a c t u a r y i s 0.37%

( c l o s e d t o t h e a c t u a l e s t i m a t e d

p r o b a b i l i t y ) , b u t i t i s m u c h s m a l l e r f o r a n y o n e e l s e .

5 2




S a i n t P é t e r s b o u r g ' s p a r a d o x

P r o b l e m p r o p o s e d b y B e r n o u l l i ( 1 7 1 3 ) ,

U n e p i è c e d e m o n n a i e e s t l a n c é e j u s q u ' à c e q u e p i l e a p p a r a i s s e . L e j o u e u r A

r e ç o i t a l o r s d e l a b a n q u e B l a s o m m e d e 2n f r a n c s , o u n e s t l e n o m b r e t o t a l d e

l a n c e r s . Q u e l l e m i s e d o i t d i s p o s e r A

a v a n t l e p r e m i e r j e t p o u r q u e l a p a r t i e s o i t

é q u i t a b l e ?

I t i s a p a r a d o x s i n c e t h e e x p e c t e d v a l u e i s i n n i t e

∞

i=1

P(s t o p a f t e r

nd r a w

) · 2n =

∞

i=1

1

2n· 2n =

∞

i=1

1 = ∞.

5 3




S a i n t P é t e r s b o u r g ' s p a r a d o x

M a n y a n s w e r s h a v e b e e n i n v e s t i g a t e d

• t h e b a n k d o e s n o t h a v e i n n i t e l i a b i l i t i e s , a n d t h u s , t h e p l a y e r c a n p l a y o n l y

a n i t e t i m e ( B u f f o n ( 1 7 7 7 ) , P o i s s o n ( 1 8 3 7 ) , B o r e l ( 1 9 4 9 ) ) ,

• t h e p l a y e r h a s a m o r a l u t i l i t y o f m o n e y ( C r a m e r ( 1 7 2 8 ) , B e r n o u l l i

( 1 7 3 8 ) , v o n N e u m a n n & M o r g e n s t e r n ( 1 9 5 6 ) ) w h e r e a c o n c a v e u t i l i t y

f u n c t i o n i s c o n s i d e r e d ,

•t h e p l a y e r b e t s u s i n g s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s , w e r e r a r e e v e n t s a r e a s s u m e d

t o b e i m p o s s i b l e ( D ' A l e m b e r t ( 1 7 5 4 ) , M e n g e r ( 1 9 3 4 ) , Y a a r i ( 1 9 8 7 ) )

5 4




R i s k m e a s u r e s : t h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h

Ru(X ) =

u(x)dP =

P(u(X ) > x))dx

w h e r e u : [0, ∞) → [0, ∞) i s a u t i l i t y f u n c t i o n .

E x a m p l e w i t h a n e x p o n e n t i a l u t i l i t y , u(x) = [1 − e−αx]/α

,

Ru(X ) =1

αlogEP(eαX )

.

5 5




R i s k m e a s u r e s : Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h

Rg(X ) =

xdg P =

g(P(X > x))dx

w h e r e g : [0, 1] → [0, 1] i s a d i s t o r t e d f u n c t i o n .

E x a m p l e i f g(x) = I(X ≥ α) Rg(X ) = V aR(X, α)

, a n d i f g(x) = minx/α, 1

Rg(X ) = T V a R(X, α) ( a l s o c a l l e d e x p e c t e d s h o r t f a l l ) ,

Rg(X ) = EP(X |X > V aR(X, α)).

5 6




Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h : c a p a c i t i e s a n d C h o q u e t ' s i n t e g r a l

H e r e Rg(X ) = g(P(X > x))dx = g(F X (x))dx w i t h g : [0, 1] → [0, 1]

i n c r e a s i n g . T h u s , g F X i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n t a k i n g v a l u e s i n

[0, 1]o n

[0, ∞):

g F X i s a s u r v i v a l f u n c t i o n .

C a n Rg(X )

b e s e e n a s a n e x p e c t e d v a l u e o f X

w i t h a c h a n g e o f m e a s u r e ?

Y e s i f t h e r e e x i s t s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q s u c h t h a t g F X (x) = Q(X > x) . I f i t

i s p o s s i b l e t o d e n e s u c h a m e a s u r e Q

, g e n e r a l l y Q

i s n o t a p r o b a b i l i t y m e a s u r e .

I n f a c t , Q

s a t i s e s

• Q(∅) = 0( s i n c e

F X (∞) = 0a n d

g(0) = 0) ,

• Q(Ω) = 1( s i n c e

F X (0) = 1a n d

g(1) = 1) ,

• Q(A) ≤ Q(B)i f

A ⊂ B( s i n c e

F X (·)i s d e c r e a s i n g a n d

g(·)i s i n c r e a s i n g ) .

5 7




Y a r r i ' s d u a l a p p r o a c h : c a p a c i t i e s a n d C h o q u e t ' s i n t e g r a l

S u c h a m e a s u r e Q

s a t i s e s o n l y Q(A) ≤ Q(B)

i f A ⊂ B

: Q

i s a c a p a c i t y .

W i t h t h i s n o t a t i o n ,

Rg(X ) =

xdg P =

g(P(X > x))dx = Q(X > x)dx,

b u t s i n c e Q

i s n o t a p r o b a b i l i t y m e a s u r e , Rg(·)

i s n o t a n e x p e c t e d v a l u e : i t i s t h e

s o - c a l l e d C h o q u e t ' s i n t e g r a l .

5 8




D i s t o r t i o n o f v a l u e s v e r s u s d i s t o r t i o n o f p r o b a b i l i t i e s

0 1 2 3 4 5 6

0 .

0

0 .

2

0 . 4

0 .

6

0 .

8

1 .

0

Calcul de l’esperance mathématique

F i g u r e 1 2 : E x p e c t e d v a l u e

xdF X (x) =

P(X > x)dx.

5 9



D i s t o r t i o n o f v a l u e s v e r s u s d i s t o r t i o n o f p r o b a b i l i t i e s

0 1 2 3 4 5 6

0 .

0

0 .

2

0 . 4

0 .

6

0 .

8

1 .

0

Calcul de l’intégrale de Choquet

F i g u r e 1 4 : D i s t o r t e d p r o b a b i l i t i e s

g(P(X > x))dx.

6 1



O r d e r i n g a n d c o m p a r i n g r i s k s

A s s u m e t h a t r i s k s a r e p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s .

T h e h i g h e r R(X )

, t h e r i s k e r X

i s . Y

w i l l b e s a i d t o b e m o r e r i s k y t h a n X

w i l l b e

d e n o t e d

X Y .

I n P a s c a l ' s a p p r o a c h F X (x) = P(X ≤ x)

X Y ⇐⇒ R(X ) ≤ R(Y ) w h e r e R(X ) = EP(X ) =

xdF X (x).

6 3




M o r e d i c u l t t o q u a n t i f y t h a n t o c o m p a r e

D e n i t i o n 5 .

i s a n o r d e r i n g r e l a t i o n s h i p i f i t i s r e e x i v e ( F X F X ) ,

t r a n s i t i v e ( i f F X F Y a n d F Y F Z t h e n F X F Z ) a n d a n t i s y m m e t r i c ( i f

F X F Y a n d F Y F X t h e n

F X = F Y ) .

N o t e t h a t t h e o r d e r i n g o n t h e s e t o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s w i l l b e e x t e n d e d t o t h e

s e t o f p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e s ( w i t h X ∼ Y

i f F X = F Y , i . e .

X L= Y ) .

D e n i t i o n 6 . s a t i s e s t h e a d d i t i v i t y a x i o m i f f o r a n y r i s k s X

, Y

a n d Z

s u c h

t h a t X Y

, t h e n X + Z Y + Z

.

I t d e n o t e s t h e i n v a r i a n c e o f p e r c e p t i o n i n c a s e o f a c o m m o n v a r i a t i o n . I t m i g h t

a l s o b e c a l l e d t h e l i n e a r i t y a x i o m .

6 4




M o r e d i c u l t t o q u a n t i f y t h a n t o c o m p a r e

D e n i t i o n 7 . s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a x i o m ( o r A r c h i m e d e a n a x i o m ) i f f o r

a n y F X , F Y a n d F Z s u c h t h a t F X F Y F Z , t h e n f o r a l l α, β ∈ (0, 1)

αF X + [1 − α]F Z F Y βF X + [1 − β ]F Z .

P r o p o s i t i o n 8 . I f s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a n d a s s o c i a t i v i t y a x i o m s ,

X Y ⇐⇒ R(X ) ≤ R(Y )

w h e r e

R(X ) = EP(X ) = xdF X (x) =

∞

0

P(X > x)dx.

6 5




T h e e x p e c t e d u t i l i t y a p p r o a c h

I n o r d e r t o a n s w e r S a i n t P e t e r s b o u r g ' p a r a d o x , o n e s o l u t i o n , p r o p o s e d b y

B e r n o u l l i w a s t o i n t r o d u c e a m o r a l v a l u e o f m o n e y , i . e . a n o n l i n e a r p e r c e p t i o n

o f g a i n s : h e s u g g e s t s t o c o n s i d e r log(1 + X )

i n s t e a d o f X

. T h e p r i c e o f t h e g a m e

w a s t h e n EP(log(1 + X ))

. A n a l o g o u s l y , C r a m è r s u g g e s t e d t o c o n s i d e r

√X

, s o

t h a t t h e p r i c e w a s EP(√

X ) .

H e n c e , t h e i d e a w a s t o c o n s i d e r a u t i l i t y f u n c t i o n o f g a i n s , u(·) , w h i c h c a n

c h a n g e f o r a l l p l a y e r s .

S e v e r a l m a t h e m a t i c i a n s , f o r e x a m p l e L a p l a c e , d i s c u s s e d t h e B e r n o u l l i p r i n c i p l e

i n t h e f o l l o w i n g c e n t u r y , a n d i t s r e l e v a n c e t o i n s u r a n c e s y s t e m s s e e m s t o h a v e

b e e n g e n e r a l l y r e c o g n i z e d . I n 1832 , B a r r o i s p r e s e n t e d a f a i r l y c o m p l e t e t h e o r y o f

r e i n s u r a n c e b a s e d o n L a p l a c e ' s w o r k o n t h e B e r n o u l l i p r i n c i p l e . ( B o r c h

( 1 9 7 4 ) ) .

6 6





D e n i t i o n 9 .

s a t i s e s t h e i n d e p e n d e n c e a x i o m i f f o r a n y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

F X , F Y a n d F Z s u c h t h a t F X F Y , t h e n f o r a l l λ ∈ [0, 1]

λF X + [1 − λ]F Z λF X + [1 − λ]F Z .

o r e q u i v a l e n t l y

(λX ) ⊕ ([1 − λ]Z ) (λY ) ⊕ ([1 − λ]Z ),

w h e r e ⊕ d e n o t e s a m i x t u r e .

H e n c e , o r d e r i n g a r e n o t m o d i e d w h e n m i x i n g r i s k s w i t h a t h i r d o n e . R e c a l l t h a t

(λX ) ⊕ ([1 − λ]Z ) = (λX ) + ([1 − λ]Z ).

6 7




E x a m p l e 1 0 . I f X, Y

a r e t w o B e r n o u l l i v a r i a b l e s B(2/3)a n d B(1/3)

r e s p e c t i v e l y

, i n d e p e n d e n t ,

X = 0 p = 1/31 p = 2/3

a n d Y = 0 p = 2/3

1 p = 1/3

X ⊕ Y = X p = 1/2

Y p = 1/2 =

0 p = 1/3 × 1/2

1 p = 2/3

×1/2 0 p = 2/3 × 1/2

1 p = 1/3 × 1/2

= 0 p = 1/2

1 p = 1/2

X + Y =

0 + 0 p = 1/3 × 2/3

0 + 1 p = 1/3×

1/3

1 + 0 p = 2/3 × 2/3

1 + 1 p = 2/3 × 1/3

= 0 p = 2/9

1 p = 5/9

2 p = 2/9

6 8




P r o p o s i t i o n 1 1 . I f s a t i s e s t h e c o n t i n u i t y a n d i n d e p e n d e n c e a x i o m s , t h e r e

e x i s t s a f u n c t i o n u

w i t h v a l u e s i n R

, c o n t i n u o u s , s t r i c t l y i n c r e a s i n g , u n i q u e u p t o

a n a n e t r a n s f o r m a t i o n , s u c h t h a t

X Y ⇐⇒ Ru(X ) ≤ Ru(Y )

w h e r e

Ru(X ) = EP(u(X )) =

u(x)dF X (x).

P r o o f . v o n N e u m a n n & M o r g e n s t e r n ( 1 9 4 4 ) o r F i s h b u r n ( 1 9 7 0 ) .

T h e c o n t i n u i t y o f u

c o m e s f r o m t h e c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n o f t h e o r d e r i n g .

I f

ui s c o n c a v e , t h e r i s k t a k e r i s s a i d t o b e r i s k a d v e r s e s i n c e ( J e n s e n ' s i n e q u a l i t y )

EP(u(X )) ≤ u(EP(X )).

6 9





T h e i n s u r a n c e p r e m i u m i s t h e n o b t a i n e d b y t h e n u l l u t i l i t y p r i n c i p l e : π(X )

s a t i s e s

EP(u(π(X ) − X )) = 0.

E x a m p l e 1 2 . W i t h a n e x p o n e n t i a l u t i l i t y , u(x) = [1 − e−αx]/α , a l o r s

π(X ) = 1α

log EP(eαX ) .

N o t e t h a t t h e e x p o n e n t i a l u t i l i t y d o e s n o t e x i s t f o r h e a v y t a i l e d r i s k s .

E x a m p l e 1 3 . W i t h a q u a d r a t i c u t i l i t y , u(x) = x − x2/2s

w h e r e x < s

, t h e n

π(X ) ∼ EP(X ) +

κ

2 V arP(X ).

7 0




R i s k a v e r s i o n a n d n a n c e

O n e c a n i n t r o d u c e , A r r o w - P r a t t c o e c i e n t o f a b s o l u t e r i s k a v e r s i o n ,

RA(x) = −u(x)

u(x), a n d t h e c o e c i e n t o f r e l a t i v e r i s k a v e r s i o n ,

RR(x) = −xu(x)

u(x)

C A R A ( C o n s t a n t A b s o l u t e R i s k A v e r s i o n ) m e a n s t h a t RA(·)

i s c o n s t a n t , i . e .

u(x) = − 1

αexp(−αx)

.

C R R A ( C o n s t a n t R e l a t i v e R i s k A v e r s i o n ) m e a n s t h a t RA(·)

i s c o n s t a n t , i . e .

u(x) = − x

1−α

1 − α, f o r α > 0 , i n c l u d i n g t h e l i m i t i n g c a s e u(x) = log(x) ( w h e n α → 1 .

• m o d e l i n g p o r t f o l i o s w i t h G a u s s i a n r e t u r n s a n d C A R A u t i l i t y

A s s u m e t h a t X ∼ N (µ, σ2)

a n d u(x) = − 1

αexp(−αx)

, f o r s o m e α > 0

.

B y s o l v i n g u(EP(X )

−π) = EP(u(X ))

, u s i n g t h e e x p r e s s i o n o f t h e L a p l a c e

t r a n s f o r m o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n ,

EP(u(X )) = − 1

αEP(exp(−αX )) = − 1

αexp

−αµ +

α2

2σ2

,

7 1




a n d

u(EP(X ) − π) = − 1

αexp(−α(µ − π)),

t h u s , o n e g e t s t h a t π = α

2σ2

.

•m o d e l i n g p o r t f o l i o s w i t h l o g n o r m a l r i s k s a n d C R R A u t i l i t y

A s s u m e t h a t log X ∼ N (µ, σ2)

a n d u(x) = − x1−α

1 − α, f o r s o m e

α > 0.

B y s o l v i n g u(EP(X ) − π) = EP(u(X ))

, o n e g e t s t h a t π = ασ2

2× EP(X )

.

•q u a d r a t i c u t i l i t y p r i n c i p l e

I f u i s q u a d r a t i c u(x) = x − x2/2s , t h e n

EP(u(X )) = EP(X )1 − 12sEP(X )− 1

2sV arP(X ),

h e n c e o n l y t h e m e a n a n d t h e v a r i a n c e m a t t e r .

7 2




C h a n g i n g p r o b a b i l i t i e s ?

Q u e s t i o n : w h a t i s p r o b a b i l i t y P

?

I l y a d o n c u n e a v e r s i o n p a r t i c u l i è r e p o u r l ' i n c e r t i t u d e l i é e à l ' i g n o r a n c e . O n

p r é f è r e a v o i r u n m o d è l e p r o b a b i l i s t e q u e p a s d e m o d è l e d u t o u t , o n p r é f è r e é v a l u e r

r a i s o n n a b l e m e n t s e s c h a n c e s d e s u c c è s , f u s s e n t - e l l e s m i n c e s , q u e d e n ' e n a v o i r

a u c u n e i d é e . ( E k e l a n d ( 1 9 9 1 ) ) .

I d é e d e R a m s e y ( 1 9 3 1 ) , f o r m a l i s é e p a r S a v a g e ( 1 9 7 2 ) : l e s i n d i v i d u s n e r a i s o n n e

p a s s o u s P, l a p r o b a b i l i t é r é e l l e ( i n c o n n u e ) , m a i s s o u s u n e p r o b a b i l i t é s u b j e c t i v e

Q.

P r o b l è m e : d i c i l e d ' e s t i m e r u n e p r o b a b i l i t é d ' é v è n e m e n t r a r e .

T r a v a u x d e S e l v i g e ( 1 9 7 5 ) : i m p o r t a n c e d e s é v è n e m e n t s r a r e s a u x c o n s é q u e n c e s

i m p o r t a n t e s . A p p r o c h e p s y c h o l o g i q u e d u r i s q u e : b e s o i n d e c o m p a r e r à d e s

é v è n e m e n t s r a r e s q u a n t i a b l e s ( t a u x d e m o r t a l i t é i n f a n t i l e , q u i n t e u s h a u

p o c k e r . . . ) .

7 3





D e n i t i o n 1 4 . e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d e m o n o t o n i e s i

P(X + ε ≤ Y ) = 1i m p l i q u e

X Y , p o u r t o u t

ε > 0.

P r o p o s i t i o n 1 5 . S i e s t u n e r e l a t i o n d ' o r d r e v é r i a n t l e s a x i o m e s d e

c o n t i n u i t é , d ' a d d i t i v i t é e t d e m o n o t o n i e , a l o r s i l e x i s t e u n e p r o b a b i l i t é Q

t e l l e q u e

X Y ⇐⇒ RQ(X ) ≤ RQ(Y )

o ù

RQ(X ) = EQ(X ) =

∞0

Q(X > x)dx.

7 4




U s i n g s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t i e s

C o n s i d é r o n s u n c a l l e u r o p é e n , d o n t l e p a y o a c t u a l i s é e s t e−rT (S T − K )+ . L e

p r i x n ' e s t p a s EP

e−rT (S T − K )+

.

L e p r i x d ' u n c a l l e u r o p é e n p r o p o s a n t d e t o u c h e r

(S T − K )+à m a t u r i t é . L a

v a l o r i s a t i o n d e l ' o p t i o n , à l a d a t e d ' a u j o u r d ' h u i e s t b a s é e s u r l a n o t i o n d e

p o r t e f e u i l l e d e r é p l i c a t i o n : d e u x p o r t e f e u i l l e s o r a n t l e m ê m e p a y o à u n e d a t e T

o n t n é c e s s a i r e m e n t l e m ê m e p r i x a u j o u r d ' h u i ( s i n o n i l s e r a i t p o s s i b l e d e

c o n s t i t u e r u n e o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e ) .

7 5





C o n s i d é r o n s l e m o d è l e d e C o x , R o s s & R u b i n s t e i n ( 1 9 7 9 ) , a v e c u n a c t i f s a n s

r i s q u e v a l a n t 1

a u j o u r d ' h u i , e t 1 + r

d a n s u n a n , e t u n a c t i f r i s q u é v a l a n t S 0

a u j o u r d ' h u i , e t , d a n s u n a n S 1 , v a l a n t s o i t

Su, s o i t

Sd, a v e c

d < 1 + r < u,

s u i v a n t l ' é t a t d e l a n a t u r e . C o n s i d é r o n s u n c a l l e u r o p é e n d o n n a n t l e d r o i t

d ' a c h e t e r l e s o u s - j a c e n t à m a t u r i t é ( d a n s u n a n ) à l a v a l e u r K.

L e p a y o d a n s u n

a n e s t a l o r s (S 1 − K )+ . C o n s t r u i s o n s u n p o r t e f e u i l l e α + βS 0 p e r m e t t a n t d e

r é p l i q u e r l a v a l e u r d e l ' o p t i o n d a n s u n a n :

• s i l e m a r c h é m o n t e , l e p o r t e f e u i l l e v a u d r a α (1 + r) + βS u

, e t l ' o p t i o n

C u = (Su − K )+

• s i l e m a r c h é b a i s s e , l e p o r t e f e u i l l e v a u d r a

α (1 + r) + βSd, e t l ' o p t i o n

C d = (Sd − K )+

7 6





D a n s u n m a r c h é a v e c a b s e n c e d ' o p p o r t u n i t é d ' a r b i t r a g e , s i c e s d e u x p r o d u i t s o n t

l a m ê m e v a l e u r d a n s u n a n , c ' e s t d o n c q u ' i l s o n t l e m ê m e p r i x a u j o u r d ' h u i . L e

p o r t e f e u i l l e q u i p e r m e t d e r é p l i q u e r l e p a y o d e l ' o p t i o n e s t o b t e n u e n r é s o l v a n t

α (1 + r) + βS u = C u

α (1 + r) + βS d = C d

c ' e s t à d i r e q u e

α =C u − C d

S 0u − S 0de t β =

1

1 + r

C u − S 0u

C u − C dS 0u − S 0d

.

N o t o n s a u p a s s a g e q u ' i l e s t a i n s i t o u j o u r s p o s s i b l e d e c o n s t i t u e r u n u n i q u e

p o r t e f e u i l l e d e r é p l i c a t i o n .

7 7





L e p r i x d e l ' o p t i o n a u j o u r d ' h u i s ' é c r i t

α + βS 0 =1

1 + r

1 + r − d

u − dC u +

u − (1 + r)

u − dC d

,

q u i p e u t s ' é c r i r e

π = 11 + r

(qC u + (1 − q)C d) , o ù q = 1 + r − du − d

.

N o t o n s q u e q ∈ [0, 1]

, c ' e s t à d i r e q u e l e p r i x d e l ' o p t i o n e s t l ' e s p é r a n c e

m a t h é m a t i q u e , s o u s u n e p r o b a b i l i t é Q

a p p e l é e p r o b a b i l i t é r i s q u e n e u t r e d u p a y o

à é c h é a n c e : π = EQ (p a y o

). N o t o n s q u e Q n ' a r i e n n ' a v o i r a v e c l a p r o b a b i l i t é

d i t e h i s t o r i q u e P q u ' a l e s o u s - j a c e n t d e m o n t e r o u d e d e s c e n d r e : l e p r i x d ' u n

p a y o a l é a t o i r e X

n e s ' é c r i t p a s EP (X )

.

7 8




L e s p a r a d o x e s d e A l l a i s e t E l l s b e r g

A l l a i s ( 1 9 5 3 ) , l ' e e t d e c e r t i t u d e o u l ' e e t d e s é c u r i t é

C h o i s i r e n t r e l e s d e u x l o t t e r i e s s u i v a n t e s

L o t e r i e A 100%

d e c h a n c e d e r e c e v o i r 1

m i l l i o n ,

L o t e r i e B

10%d e c h a n c e d e r e c e v o i r

5m i l l i o n s

89% d e c h a n c e d e r e c e v o i r 1 m i l l i o n

1% d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,

p u i s e n t r e

L o t e r i e C


1m i l l i o n

89%d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,

L o t e r i e D


5m i l l i o n s

90%d e c h a n c e d e n e r i e n r e c e v o i r ,

7 9




P r é f é r e r A à B , e t D à C ( o b s e r v é e m p i r i q u e m e n t ) v i o l e l ' h y p o t h è s e

d ' i n d é p e n d a n c e ( e t m ê m e l e p r i n c i p e d e l a c h o s e s û r e ) .

E l l s b e r g ( 1 9 6 1 ) , l ' e e t d ' a m b i g u i t é

C h o i s i r e n t r e l e s d e u x l o t t e r i e s s u i v a n t e s

L o t e r i e A w i n 1000

s i l a b o u l e t i r é e e s t r o u g e

L o t e r i e B w i n 1000

s i l a b o u l e t i r é e e s t b l e u e ,

p u i s e n t r e

L o t e r i e C w i n 1000

s i l a b o u l e t i r é e n ' e s t p a s r o u g e

L o t e r i e D w i n 1000

s i l a b o u l e t i r é e n ' e s t p a s b l e u e ,

P r é f é r e r A à B , e t C à D ( o b s e r v é e m p i r i q u e m e n t ) v i o l e l ' h y p o t h è s e

d ' i n d é p e n d a n c e ( e t m ê m e l e p r i n c i p e d e l a c h o s e s û r e ) .

8 0




L a d i s t o r t i o n d e p r o b a b i l i t é s , Y a a r i

( 1 9 8 7 )

E x a m p l e 1 6 . U n e x e m p l e d e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t l a d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à

l ' o r d r e 1 . X

1 Y

s i e t s e u l e m e n t s i u n e d e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s ( é q u i v a l e n t e s )

s o n t s a t i s f a i t e s ,

• E(g(X )) ≤ E(g(Y ))p o u r

gc r o i s s a n t e ,

• p o u r t o u t x ∈ R, P(X ≤ x) ≥ P(Y ≤ x)

,

•p o u r t o u t x

∈R, P(X > x)

≤P(Y > x) ,

• p o u r t o u t x ∈]0, 1[ , V aR(X, α) ≤ V aR(Y, α) .

C e t t e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t n o t é e V aR d a n s D e n u i t & C h a r p e n t i e r ( 2 0 0 4 ) .

E x a m p l e 1 7 . U n e x e m p l e d e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t l a d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à

l ' o r d r e 2 . X 2 Y s i e t s e u l e m e n t s i u n e d e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s ( é q u i v a l e n t e s )

s o n t s a t i s f a i t e s ,

• E(g(X )) ≤ E(g(Y ))p o u r

gc r o i s s a n t e e t c o n v e x e ,

• E((X − t)+) ≤ E((Y − t)+)p o u r

t ∈ R,

8 1




•p o u r t o u t

x ∈]0, 1[,

α

0

V aR(X, p)dp ≥ α

0

V aR(Y, p)dp,

• p o u r t o u t

x ∈]0, 1[, ∞

αV aR(X, p)dp ≤ ∞

αV aR(Y, p)dp

,

•p o u r t o u t

x ∈ [0, 1[,

T V a R(X, α) ≤ T V a R(Y, α).

C e t t e r e l a t i o n d ' o r d r e e s t n o t é e T V a R d a n s D e n u i t & C h a r p e n t i e r ( 2 0 0 4 ) .

D e n i t i o n 1 8 .

e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d ' i n d é p e n d a n c e c o m o n o t o n e

s i X Y i m p l i q u e X + Z Y + Z p o u r t o u t Z t e l q u e l e s c o u p l e s (X, Z ) e t

(Y, Z )s o i e n t c o m o n o t o n e s .

R e m a r k 1 9 . X

e t Z

s o n t c o m o n o t o n e s s ' i l n ' e x i s t e p a s ω, ω

t e l s q u e

X (ω) > X (ω)e t

Y (ω) < Y (ω).

D e n i t i o n 2 0 . e s t u n e r e l a t i o n v é r i a n t l ' a x i o m e d e c o h é r e n c e s i p o u r d e s

v a r i a b l e s X

e t Y

c o n s t a n t e s ( P(X = x) = P(Y = y) = 1

) , F X F Y i m p l i q u e

x ≤ y.

8 2




P r o p o s i t i o n 2 1 . S i e s t u n e r e l a t i o n d ' o r d r e v é r i a n t l e s a x i o m e s d e

c o n t i n u i t é , d ' i n d é p e n d a n c e c o m o n o t o n e , m o n o t o n i e , e t e s t c o m p a t i b l e a v e c l a

d o m i n a n c e s t o c h a s t i q u e à l ' o r d r e 1 , a l o r s i l e x i s t e u n e u n i q u e f o n c t i o n d e

d i s t o r t i o n c r o i s s a n t e g : [0, 1] → [0, 1] t e l l e q u e

X Y ⇐⇒ Rg(X ) ≤ Rg(Y )

o ù

Rg(X ) =

xdg P =

g(P(X > x))dx =

10

F −1X (1 − p)dg( p).

8 3




A g e n d a











8 4




C o h e r e n t r i s k m e a s u r e s a n d t h e a x i o m a t i c a p p r o a c h

A r i s k m e a s u r e i s s a i d t o b e c o h e r e n t ( f r o m A r t z n e r , D e l b a e n , E b e r &

H e a t h ( 1 9 9 9 ) ) i f

• R(·) i s m o n o t o n i c , i . e . X ≤ Y i m p l i e s R(X ) ≤ R(Y ) ,

• R(·)i s p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s , i . e . f o r a n y

λ ≤ 0,

R(λX ) = λR(X ),

• R(·)i s i n v a r i a n t b y t r a n s l a t i o n , i . e . f o r a n y

κ, R(X + κ) = R(X ) + κ

,

• R(·) i s s u b a d d i t i v e , i . e . R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ) .

s u b a d d i t i v i t y c a n b e i n t e r p r e t e d a s d i v e r s i c a t i o n d o e s n o t i n c r e a s e r i s k .

E x a m p l e : t h e E x p e c t e d - S h o r t f a l l i s c o h e r e n t , t h e V a l u e - a t - R i s k i s n o t .

8 5




C o n v e x r i s k m e a s u r e s

A r i s k m e a s u r e i s s a i d t o b e c o n v e x ( f r o m A r t z n e r , D e l b a e n , E b e r & H e a t h

( 1 9 9 9 ) ) i f

• R(·) i s m o n o t o n i c , i . e . X ≤ Y i m p l i e s R(X ) ≤ R(Y ) ,

• R(·)i s i n v a r i a n t b y t r a n s l a t i o n , i . e . f o r a n y

κ, R(X + κ) = R(X ) + κ

,

• R(·)i s c o n v e x , i . e .

R(λX + (1 − λ)Y ) ≤ λR(X ) + (1 − λ)R(Y ), f o r a n y

λ ∈ [0, 1] .

H e n c e , i f a c o n v e x m e a s u r e s a t i s e s t h e h o m o g e n e i t y c o n d i t i o n , i t i s c o h e r e n t .

R e m a r k A n a t u r a l w a y t o d e n e a c o n v e x m e a s u r e s a t i s f y i n g t h e s m a l l s i z e

c o h e r e n t c o n d i t i o n i s a d d i n g a c o h e r e n t m e a s u r e a l i q u i d i t y c h a r g e ,

Rc o n v e x

(X ) = Rc o h e r e n t

(X ) + Cl i q u i d i t y

(X ).

8 6




S e t s o f a c c e p t a b l e r i s k s

D e n i t i o n 2 2 . G i v e n a r i s k m e a s u r e R , a r i s k X i s a c c e p t a b l e i f X ∈ AR w h e r e

AR =

Y

∈ X s u c h t h a t

R(Y )

≤0

.

C o n v e r s e l y ,

T h e o r e m 2 3 . G i v e n a s e t o f a c c e p t a b l e r i s k s A

, t h e a s s o c i a t e d r i s k m e a s u r e i s

t h e s m a l l e s t c a p i t a l a m o n t m

s u c h t h a t X − m

i s a c c e p t a b l e , i . e .

RA(X ) = inf m ∈ R s u c h t h a t X − m ∈ A.

T h e n RAR(·) = R(·) a n d ARA = A.

P r o p o s i t i o n 2 4 . I f R

i s a c o n v e x r i s k m e a s u r e , t h e n AR i s c o n v e x . C o n v e r s e l y ,

i f A i s c o n v e x , t h e n RA i s a c o n v e x r i s k m e a s u r e .


i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s r i s k m e a s u r e , t h e n AR i s a

p o s i t i v e c o n e . C o n v e r s e l y , i f

Ai s a p o s i t i v e c o n e , t h e n

RA i s a p o s i t i v e l y

h o m o g e n e o u s r i s k m e a s u r e .

E x a m p l e 2 6 . I f R(X ) = supX (ω), ω ∈ Ω

, t h e n AR = Y, Y ≤ 0

. I f

R(X ) = F −1X (α)w h e r e

α ∈ (0, 1), t h e n AR = Y,P(Y ≤ 0) ≥ α.

8 7




C h a r a c t e r i z a t i o n s o f c o h e r e n t r i s k m e a s u r e s


i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e , t h e n t h e r e e x i s t s a s e t o f

p r o b a b i l i t y m e a s u r e s

Qs u c h t h a t

R(X ) = supQ∈Q

EQ(X ).

8 8




V a l u e - a t - R i s k : g o i n g f u r t h e r

P r o p o s i t i o n 2 8 . T h e V a l u e - a t - R i s k i s ( g e n e r a l l y ) n o t a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e .

I f X, Y

∼ B(92.5%)

, i n d e p e n d e n t , t h e n

V ar(X, 90%) + V ar(Y, 90%) = 0 + 0 ≤ V ar(X + Y, 90%) = 1.

q

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0 .

0

0 . 5

1 .

0

1 .

5

2 .

0

P r o p o s i t i o n 2 9 . T h e V a l u e - a t - R i s k i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e f o r e l l i p t i c a l

r i s k s .

P r o p o s i t i o n 3 0 . F o r a l l X , n o t e t h a t

V aR(X, α) = inf R(X )s u c h t h a t

Ri s c o h e r e n t a n d

V aR(X, α) ≤ R(X ).

8 9




T a i l V a l u e - a t - R i s k ( o r E x p e c t e d S h o r t f a l l )

D e n e

T V a R(X, α) = E(X

|X > V aR(X, α)) =

1

1 − α 1

α

F X

−1(u)du.

I n s o m e s e n s e , t h e T a i l V a R i s t h e a v e r a g e o f w o r s t c a s e s , w h i l e V aR

w a s t h e b e s t

w o r s t c a s e .

P r o p o s i t i o n 3 1 . T a i l V a l u e - a t - R i s k i s a c o h e r e n t r i s k m e a s u r e .

9 0




A g e n d a











9 1



C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n m a r g i n a l c a p i t a l c o s t

I d e a f r o m c o o p e r a t i v e g a m e t h e o r y .

L e t S d e n o t e a s u b s e t o f 1, 2,...,n ( a s u b p o r t f o l i o ) . D e n e t h e a s s o c i a t e d c o s t

f u n c t i o n ,

Γ(S ) = R

j∈SX j

,

s a t i s f y i n g Γ(1,...,n) = R(X ) = k

.

T h e m a r g i n a l c o s t o f r i s k i

i s

M i = Γ(1,...,n) − Γ(1,...,n \ i) = Rj

X j

− Rj=i

X j

,

P r o b l e m i s t h a t M 1 + ... + M n = k

.

9 3




C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n S h a p l e y v a l u e

O n e i d e a i s t o u s e t h e S h a p l e y v a l u e .

L e t S i d e n o t e a l l t h e s u b s e t s o f

1, 2,...,nt h a t c o n t a i n

i.

T h e S h a p l e y - v a l u e o f r i s k i i s

ki

= S∈Si(

|s

| −1)!)(n

− |s

|)!

n! ·[Γ(

S )−

Γ(S \

i

)],

w h e r e | · |

d e n o t e t h e s i z e o f t h e s u b s e t ( c a r d i n a l i t y ) .

I t i s s i m p l y a w e i g h t e d a v e r a g e o f a l l p o s s i b l e c o n g u r a t i o n s .

N o t e t h a t h e r e k1 + ... + kn = k

.

T h i s c a p i t a l a l l o c a t i o n h a s b e e n u s e d b y S w i s s R e .

9 4




C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n S h a p l e y v a l u e

N o t e t h a t i f n = 2

,

R(X 1 + X 2) =1

2(R(X 1 + X 2) − R(X 2) + R(X 1))

a l l o c a t i o n f o r

X1

+1

2(R(X 1 + X 2) − R(X 1) + R(X 2))

a l l o c a t i o n f o r

X2

.

9 5



A u m a n n - S h a p l e y v a l u e a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n

E x a m p l e 3 2 . C o n s i d e r t h e v a r i a n c e r i s k m e a s u r e , R(X ) = E(X ) + θ

v a r (X )

,

a n d a s s u m e t h a t X ∼ N (µ,Σ) , t h e n

ki = E(X i) + θc o v

(X i, X ) .

E x a m p l e 3 3 . C o n s i d e r t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n r i s k m e a s u r e ,

R(X ) = E(X ) + θ

v a r (X ) , a n d a s s u m e t h a t X ∼ N (µ,Σ) , t h e n

ki = E(X i) + θc o v (X i, X )

v a r

(X ).

9 7




A u m a n n - S h a p l e y v a l u e a n d c a p i t a l a l l o c a t i o n

A s s u m e t h a t R

i s ( p o s i t i v e l y ) h o m o g e n e o u s , t h e n s o i s C

, i . e . C(λω) = λC(ω)

,

a n d t h u s Ci(λω)Ci(ω)

, i . e . t h e A u m a n n - S h a p l e y v a l u e r e d u c e s t o m a r g i n a l c o s t s ,

ki =

1

0

Ci(u1)du =

1

0

Ci(1) = Ci(1).

N o t e t h a t t h i s a l l o c a t i o n c a n a l s o b e d e r i v e d d i r e c t l y u s i n g E u l e r ' s t h e o r e m f o r

h o m o g e n e o u s f u n c t i o n s ,

C(ω) = ω1∂ C(ω)

∂ω1+ ... + ωn

∂ C(ω)

∂ωn.

9 8




C a p i t a l a l l o c a t i o n u s i n g d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e s

I f R

i s a d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e , R(X ) =

∞

0

g(1 − F x)dx.

W r i t i n g R a s R(X ) = EQX (X ) , w h e r e dQX /dP = g(1 − F X (X )) t h e n

k = R(X ) = EQX (X )a n d

ki = EQX (X i).

9 9




C a p i t a l a l l o c a t i o n a n d d e p e n d e n c e

S i n c e E(XY ) = E(X )E(Y ) + c o v (X, Y ) , w e c a n w r i t e f o r d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e s

ki = EQX (X i) = ki = E(X i · g(1 − F X (x))) = E(X i) + cov(X i, g(1 − F X (X ))),

s i n c e E(g(1 − F X (X ))) = 1

.

H e n c e , t h e c a p i t a l i s m a x i m u m i f

X ia n d

X a r e c o m o n o t o n i c , i . e .

ki = E(X i · g(F X (X ))) ≤ E(X +i · g(F X (X +))) = R(X +i ) = R(X i).

T h e a l l o c a t e d c a p i t a l i s a l w a y s l o w e r t h a n t h e s t a n d - a l o n e r i s k , i . e . t h e

a l l o c a t i o n b e l o n g s t o t h e c o r e ( i n g a m e t h e o r y t e r m s ) .

F u r t h e r , o n e c a n o b t a i n ki < 0

e v e n i f R(X i) > 0

.

1 0 0




A u m a n n - S h a p l e y v a l u e f o r T V a R

T V a R i s a d i s t o r t i o n r i s k m e a s u r e , R(X ) = E(X |X > F −1X (α))

a n d t h u s ,

ki = E(X i|X > F −1X (α)).

A u m a n n - S h a p l e y v a l u e f o r V a R

V a R i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n o u s , a n d m a r g i n a l c o s t s w o r k s , R(X ) = F −1X (α) a n d

t h u s ,

ki = E(X i|X = F

−1

X (α)).

1 0 1




C a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n e x p e c t e d u t i l i t y

C o n s i d e r f o r i n s t a n c e e x p o n e n t i a l r i s k m e a s u r e s , R(X ) =

1

θlogE(eθX )

.

T h e A u m a n n - S h a p l e y a l l o c a t i o n i s t h e n

ki = 10

E(X ieθuX )E(eθuX )

du = EX i · 1

0

eθuX

E(eθuX ) du

h e r e a g a i n , c h a n g e o f m e a s u r e r e p r e s e n t a t i o n .

R e m a r k 3 4 . I f t h e X i ' s a r e i n d e p e n d e n t , t h e n ki = R(X i) .

1 0 2



E x a m p l e 3 7 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s t o p l o s s d i s t a n c e ,

d(ki, X i) = E([X i − ki]+).

T h e n ki = F −1Xi

(F X+(k)).

E x a m p l e 3 8 . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d i s t a n c e o n r i s k m e a s u r e s ,

d(ki, X i) =

R(X i) − ki

k(R(X 1) + ... + R(X n))

2.

T h e n ki =

R(X i)

R(X 1) + ... + R(X n)· k

.

1 0 4




A x i o m a t i c a p p r o a c h f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n

B a s e d o n p r e v i o u s r e s u l t s , a s t a n d a r d a s s u m p t i o n i s t o a s s u m e t h a t c a p i t a l

a l l o c a t e d

• d e p e n d s o n X i a n d X ,

•b u t n o t o n t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e r e s t

X −

X i = j=i

X j .

D e n i t i o n 3 9 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n i s a f u n c t i o n Λ : R×R → R o f t w o

a r g u m e n t s (x, y)

w h e r e x

i s r i s k X i a n d

yi s t h e p o r t f o l i o

X .

D e n i t i o n 4 0 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n Λ

i s c a l l e d c a p i t a l a l l o c a t i o n w i t h r e s p e c t t o

r i s k m e a s u r e R

i f Λ(X, X ) = R(X )

.

T h e c a p i t a l a l l o c a t e d t o X i s t h e n t h e r i s k c a p i t a l R(X ) o f X .

1 0 5




T h e t h r e e a x i o m s f o r c a p i t a l a l l o c a t i o n

T h e r s t a x i o m i s l i n e a r a g g r e g a t i o n : t h e r i s k c a p i t a l o f t h e p o r t f o l i o e q u a l s t h e

s u m o f t h e r i s k c a p i t a l o f r i s k s . H e n c e ,

Λ(X 1, X ) + Λ(X 2, X ) + . . . + Λ(X n, X ) = Λ(X, X ) =

R(X ).


s a t i s e s t h e l i n e a r a g g r e g a t i o n a x i o m i f

Λ(x, x + y) + Λ(y, x + y) = Λ(x + y, x + y).

1 0 6





T h e s e c o n d a x i o m i s d i v e r s i c a t i o n : t h e r i s k c a p i t a l f o r a c o m p o n e n t s h o u l d n o t

e x c e e d t h e o v e r a l l r i s k c a p i t a l o f t h e r i s k c o n s i d e r e d a s a s t a n d - a l o n e p o r t f o l i o .

H e n c e ,

Λ(X i, X ) ≤ Λ(X i, X i)f o r a l l

i = 1,...,n.D e n i t i o n 4 2 . A c a p i t a l a l l o c a t i o n

Λs a t i e s t h e d i v e r s i c a t i o n a x i o m i f

Λ(x, y) ≤ Λ(x, x).

1 0 7





T h e t h i r d a x i o m i s c o n t i n u i t y : s m a l l c h a n g e s t o t h e p o r t f o l i o h a v e a l i m i t e d

e e c t o n t h e r i s k c a p i t a l . H e n c e ,

Λ(X i, X + εX i)

∼Λ(X i, X )

i f εissmall.


s a t i e s t h e c o n t i n u i t y a x i o m i f

limε→0

Λ(x, y + εy) = Λ(x, y).

1 0 8




Q u e s t i o n s a b o u t c a p i t a l a l l o c a t i o n a x i o m s

T h e e x i s t e n c e i s s u e : g i v e n a r i s k m e a s u r e R

, i s i t p o s s i b l e t o d e r i v e c a p i t a l

a l l o c a t i o n s s a t i s f y i n g t h o s e a x i o m s ?

T h e c o m p l e t e n e s s i s s u e : i f t h e a l l o c a t i o n e x i s t s , i s i t u n i q u e ? I f n o t , i s i t p o s s i b l e

t o a d d m o r e a x i o m s ?

T h e e x p l i c i t f o r m u l a t i o n i s s u e : g i v e n a r i s k m e a s u r e R

, i s i t p o s s i b l e t o s p e c i f y

c a p i t a l a l l o c a t i o n ?

1 0 9




E x i s t e n c e o f c a p i t a l a l l o c a t i o n

R e c a l l t h a t a r i s k m e a s u r e i s

•( p o s i t i v e l y ) h o m o g e n e o u s i f

R(λX ) = λR(X ),

λ ≥ 0,

• s u b a d d i t i v e i f R(X + Y ) ≤ R(X ) + R(Y ) .

I f R i s a p o s i t i v e l y h o m o g e n e o u s a n d s u b a d d i t i v e r i s k m e a s u r e s u c h t h a t t h e

f o l l o w i n g f u n c t i o n a l d e r i v a t i v e

limε→0

R(X + εZ ) − R(X )

ε

e x i s t s f o r e v e r y Z

, t h e n

Λ(x, y = limε→0 R(y + εx)

− R(y)

ε .

1 1 0




U n i c i t y o f c a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n R

B a s e d o n t h e t h r e e a x i o m s , t h e r i s k c a p i t a l a l l o c a t i o n

Λi s u n i q u e l y d e t e r m i n e d

a s t h e d e r i v a t i v e o f t h e r i s k m e a s u r e R a t X

i n d i r e c t i o n o f r i s k X i .

1 1 1




E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : s t a n d a r d d e v i a t i o n

F o r a r i s k m e a s u r e b a s e d o n s t a n d a r d d e v i a t i o n ,

R(X ) = E(X ) + λ ·

v a r (X ),

t h e d e r i v a t i v e c a n b e d e r i v e d s i m p l y a s

Λ(X, Y ) = E(X ) + λ · c o v (X, Y ) v a r

(X ).

1 1 2




E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : e x p e c t e d s h o r t f a l l

H e r e a l s o a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n c a n b e d e r i v e d . I f

R(X ) =1

1 − α

1α

V a R (X, u)du =

E(X · I(X >V a R

(X, α)))

1 − α

( c o n t i n u o u s r a n d o m v a r i a b l e ) , t h e n

Λ(X i, X ) = 11 − α xi · I(X > V a R (X, α))dF Xi(xi).

I f P(X = V aR(X, α)) > 0

, s e t β =

P(X ≤ V aR(X, α)) − α

P(X = V aR(X, α)), t h e n

Λ(X i, X ) =1

1 − α xi · I(X >V a R

(X, α))dF Xi(xi) + β xi · I(X =V a R

(X, α))dF X

1 1 3




E x a m p l e s o f c a p i t a l a l l o c a t i o n : V a l u e - a t - R i s k

T h e V a R i s n o t s u b a d d i t i v e , a n d t h u s t h e r e d o e s n o t e x i s t a l i n e a r , d i v e r s i f y i n g

c a p i t a l a l l o c a t i o n w i t h r e s p e c t t o V a R . N e v e r t h e l e s s , t h e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e

limε→0

V aR(X + εX i, α) − V aR(X, α)

ε

m i g h t e x i s t f o r c e r t a i n p o r t f o l i o s X . T h i s w a s s u g g e s t e d b y H a l l e r b a c h ( 1 9 9 9 ) ,

a n d w o r k s w e l l - u n d e r c o n t i n u i t y a s s u m p t i o n s ( T a s c h e ( 1 9 9 9 ) o r G o u r i é r o u x ,

L a u r e n t & S c a i l l e t ( 2 0 0 0 ) ) .

A l t e r n a t i v e i s t o w r i t e V aR(X, α) = E(X ) + λ(X ) ·

v a r (X )

, a n d t o u s e a

c o v a r i a n c e a l l o c a t i o n :

i f R(X )) = E(X ) + λ ·

v a r

(X ),t h e n

Λ(X, Y ) = E(X ) + λ · c o v (X, Y )

v a r (X )

.

T h i s t e c h n i q u e i s v e r y p o p u l a r i n c r e d i t r i s k a p p l i c a t i o n s ( s e e K a l k b r e n e r e t a l .

( 2 0 0 4 ) ) .

1 1 4




A n d n a l l y a s i m i l a r i d e a i s t o w r i t e V aR(X, α) = T V a R(X, a(X ))

f o r s o m e a(

·)

w i t h v a l u e s i n [0, 1]

, a n d t o c o n s i d e r c a p i t a l a l l o c a t i o n b a s e d o n T V a R ( s e e

O v e r b e c k ( 2 0 0 0 ) ) .

N u m e r i c a l e x a m p l e b a s e d o n a s i m u l a t e d p o r t f o l i o

C o n s i d e r t h r e e l i n e s o f b u s i n e s s , w i t h r a t h e r d i e r e n t b e h a v i o r s ,

• a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n X 1 ∼ E (0.03) , E(X 1) ∼ 33,

• a l o g - n o r m a l d i s t r i b u t i o n X 2 ∼ LN (3, 1)

, E(X 2) ∼ 33

,

•a P a r e t o d i s t r i b u t i o n

X 3 ∼ P (2, 30), E(X 3) ∼ 33

,

A s s u m e f u r t h e r t h a t t h e t h r e e r i s k s a r e i n d e p e n d e n t .

1 1 5




0 50 100 150 200

0 .

0 0 0

0 .

0 1

0

0 .

0 2 0

0 .

0 3 0

Densities of the three risks

0 50 100 150 200

0 .

0

0 .

2

0 .

4

0 .

6

0 .

8

1 .

0

Cumulative distribution function of the three risks

F i g u r e 1 5 : T h e t h r e e l i n e s o f b u s i n e s s .

1 1 6




risk 1

risk 2

risk 3

Allocation of the pure premium

risk 1risk 2

risk 3

Allocation based on 90%!TVaR

risk 1

risk 2

risk 3

Allocation based on 95%!TVaR

risk 1

risk 2

risk 3

Allocation based on stop!loss distance

risk 1

risk 2

risk 3

Relative (proportional) capital allocation !VaR 90%

risk 1

risk 2

risk 3

Relative (proportional) capital allocation !VaR 99%

risk 1

risk 2

risk 3

Relative (proportional) capital allocation !Tail VaR 90%

risk 1

risk 2

risk 3

Relative (proportional) capital allocation !Tail VaR 99%

F i g u r e 1 6 : C o m p a r i n g c a p i t a l a l l o c a t i o n s f o r t h e t h r e e i n d e p e n d e n t l i n e s o f b u s i n e s s

1 1 7




A g e n d a





•F r o m v a r i a n c e t o V a l u e - a t - R i s k






1 1 8




U s i n g a p a r a m e t r i c m o d e l s

A n a t u r a l i d e a ( t h a t c a n b e f o u n d i n c l a s s i c a l n a n c i a l m o d e l s ) i s t o a s s u m e

G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n s : i f X ∼ N (µ, σ) , t h e n t h e α - q u a n t i l e i s s i m p l y

q(α) = µ + Φ−1(α)σ,

w h e r e Φ−1(α)

i s o b t a i n e d i n s t a t i s t i c a l t a b l e s ( o r a n y s t a t i s t i c a l s o f t w a r e ) , e . g .

u = −1.64i f

α = 90%, o r

u = −1.96i f

α = 95%.

D e n i t i o n 4 4 . G i v e n a n s a m p l e X 1, · · · , X n, t h e ( G a u s s i a n ) p a r a m e t r i c

e s t i m a t i o n o f t h e α

- q u a n t i l e i s

qn(α) = µ + Φ−1(α) σ,w h e r e µ =

1

n

n

i=1

X i a n d σ =

1

n−

1

n

i=1

(X i

− µ)2

1 1 9





A c t u a l l y , i s t h e G a u s s i a n m o d e l d o e s n o t t v e r y w e l l , i t i s s t i l l p o s s i b l e t o u s e

G a u s s i a n a p p r o x i m a t i o n

I f t h e v a r i a n c e i s n i t e , (X − E(X ))/σ

m i g h t b e c l o s e r t o t h e G a u s s i a n

d i s t r i b u t i o n , a n d t h u s , c o n s i d e r t h e s o - c a l l e d C o r n i s h - F i s h e r a p p r o x i m a t i o n ( s e e

[ ? ] o r [ ? ] ) , i . e .

Q(X, α) ∼ E(X ) + zα

V (X ), ( 1 )

w h e r e

zα = Φ−1(α)+ ζ 1

6[Φ−1(α)2−1]+

ζ 224

[Φ−1(α)3−3Φ−1(α)]− ζ 21

36[2Φ−1(α)3−5Φ−1(α)],

( 2 )

w h e r e ζ 1istheskewnessof

X ,andζ 2 i s t h e e x c e s s k u r t o s i s , i . e . i . e .

ζ 1 =E([X − E(X )]3)

E([X − E(X )]2)3/2a n d

ζ 1 =E([X − E(X )]4)

E([X − E(X )]2)2− 3.

( 3 )

1 2 0





D e n i t i o n 4 5 . G i v e n a n s a m p l e X 1, · · · , X n, t h e C o r n i s h - F i s h e r e s t i m a t i o n

o f t h e

α- q u a n t i l e i s

qn(α) = µ + zα σ,w h e r e

µ =1

n

ni=1

X i a n d σ =

1

n − 1

ni=1

(X i − µ)2,

a n d

zα = Φ−1(α)+ζ 16

[Φ−1(α)2−1]+ζ 224

[Φ−1(α)3−3Φ−1(α)]− ζ 2136

[2Φ−1(α)3−5Φ−1(α)],

w h e r e

ζ 1 i s t h e n a t u r a l e s t i m a t o r f o r t h e s k e w n e s s o f X

, a n d

ζ 2 i s t h e n a t u r a l

e s t i m a t o r o f t h e e x c e s s k u r t o s i s , i . e . ζ 1 = n(n − 1)

n − 2

√n

ni=1(X i −

µ)3

(n

i=1(X i − µ)2

)3/2

a n d

ζ 2 = n−1(n−2)(n−3)

(n + 1) ζ 2 + 6

where ζ 2 =

nn

i=1(Xi− µ)4(n

i=1(Xi− µ)2)2− 3.

1 2 1





M o r e g e n e r a l l y , i f F X ∈ F = F θ, θ ∈ Θ

( a s s u m e d t o b e c o n t i n u o u s ) ,

qX (α) = F −1θ (α) , a n d t h u s , a n a t u r a l e s t i m a t o r i s

qX (α) = F −1 θ (α), ( 4 )

w h e r e

θi s a n e s t i m a t o r o f

θ( m a x i m u m l i k e l i h o o d , m o m e n t s e s t i m a t o r . . . ) .

1 2 2




U s i n g a n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t o r

F o r c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n

q(α) = F

−1

X (α), t h u s , a n a t u r a l i d e a w o u l d b e t o

c o n s i d e r q(α) = F −1X (α) , f o r s o m e n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n o f F X .

D e n i t i o n 4 6 . T h e e m p i r i c a l c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n

F X , b a s e d o n

s a m p l e X 1, . . . , X n i s F n(x) =1

n

ni=1

1(X i ≤ x) .

D e n i t i o n 4 7 . T h e k e r n e l b a s e d c u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n , b a s e d o n

s a m p l e X 1, . . . , X n i s

F n(x) =

+∞−∞

t − x

h

dF n(t) =

1

nh

ni=1

x

−∞

k

X i − t

h

dt =

1

n

ni=1

K

X i − x

h

w h e r e K (x) = x

−∞k(t)dt, k b e i n g a k e r n e l a n d h t h e b a n d w i d t h .

1 2 3



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

4

6

8

The quantile function in R

probability level

q u a n t i l e l e

v e l

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

type=1type=3

type=5type=7

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

3

4

5

6

7

The quantile function in R

probability level

q u a n t i l e l e

v e l

qq

q

q

qqq

qq

qqq

qqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqq

qqqq

q

qqqq

q

q

q

qq

q

q

qqq

qq

qqq

qqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqq

qqqq

q

qqqq

q

q

q

type=1type=3

type=5type=7

F i g u r e 1 7 : S e v e r a l q u a n t i l e e s t i m a t o r s i n R .

1 2 5



E . g . t h e s o - c a l l e d H a r r e l l - D a v i s e s t i m a t o r i s d e n e d a s

Qn( p) =

ni=1

in

(i−1)n

Γ(n + 1)

Γ((n + 1) p)Γ((n + 1)q)y(n+1) p−1(1 − y)(n+1)q−1

X i:n,

• n d a s m o o t h e s t i m a t o r f o r

F X, a n d t h e n n d ( n u m e r i c a l l y ) t h e i n v e r s e ,

T h e α

- q u a n t i l e i s d e n e d a s t h e s o l u t i o n o f F X qX (α) = α

.

I f

F n d e n o t e s a c o n t i n u o u s e s t i m a t e o f F

, t h e n a n a t u r a l e s t i m a t e f o r qX (α)

i s

qn(α) s u c h t h a t

F n

qn(α) = α , o b t a i n e d u s i n g e . g . G a u s s - N e w t o n a l g o r i t h m .

1 2 7




P a r a m e t r i c s o r n o n p a r a m e t r i c s ?

0 1 2 3 4 5

0 .

0

0 .

2

0 .

4

0 .

6

0 . 8

Density, theoritical versus empirical

Theoritical lognorFitted lognormalFitted gamma

−4 −2 0 2 4

0 .

0

0 .

1

0 .

2

0 .

3

Density, theoritical versus empirical

Theoritical Student

Fitted lStudent

Fitted Gaussian

F i g u r e 1 8 : E s t i m a t i o n o f V a l u e - a t - R i s k , m o d e l e r r o r .

1 2 8




U s i n g e x t r e m e v a l u e r e s u l t s , a s e m i - p a r a m e t r i c a p p r o a c h

Q u a n t i l e e s t i m a t i o n b a s e d o n e x t r e m e v a l u e r e s u l t s c a n b e s e e n a s s e m i

p a r a m e t r i c . G i v e n a n

- s a m p l e Y 1, . . . , Y n

, l e t Y 1:n ≤ Y 2:n ≤ . . .≤ Y n:n d e n o t e s

t h e a s s o c i a t e d o r d e r s t a t i s t i c s . O n e p o s s i b l e m e t h o d i s t o u s e

P i c k a n d s - B a l k e m a - d e H a a n t h e o r e m . T h e i d e a i s t o a s s u m e t h a t f o r u

l a r g e

e n o u g h , Y − u

g i v e n Y > u

h a s a G e n e r a l i z e d P a r e t o d i s t r i b u t i o n w i t h

p a r a m e t e r s ξ

a n d β

, w h i c h c a n b e e s t i m a t e d u s i n g s t a n d a r d m a x i m u m l i k e l i h o o d

t e c h n i q u e s . A n d t h e r e f o r e , i f u = Y n−k:n f o r k l a r g e e n o u g h , a n d i f ξ>0, d e n o t e

b y

β k a n d

ξk m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t o r s o f t h e G e n r a l i z e d P a r e t o

d i s t r i b u t i o n o f s a m p l e Y n−k+1:n − Y n−k:n,...,Y n:n − Y n−k:n

,

Q(Y, α) = Y n−

k:n+ β k ξk n

k(1

−α)

−

ξk

−1 ( 8 )

1 2 9



U s i n g e x t r e m e v a l u e r e s u l t s , a s e m i - p a r a m e t r i c a p p r o a c h

10 20 30 40 50 70 0 . 0

0 2

0 . 0

0 5

0 . 0 2 0

0 . 0

5 0

0 . 2

0 0

0 . 5

0 0

x (on log scale)

1 ! F

( x ) ( o n

l o g

s c a l e )

9 9

9 5

9 9

9 5

10 20 30 40 50 60 70

0 . 0

1

0 . 0

2

0 . 0

5

0 . 1

0

0 . 2

0

x (on log scale)

1 ! F

( x ) ( o n

l o g

s c a l e )

9 9

9 5

9 9

9 5

V aR T V a R

slides edf 1

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