SOLUCIONARIO DE LA PRÀCTICA DOMICILIARIA DEL BOLETIN

Nª 8 CICLO: ANUAL VALLEJO

A

Q

T

C

F E

10

RESOLUCION 2 Piden

(

(

L

Area de la superficie generada A

Datos

AT 10

Eje de giro

Por el teorema de la tangente

2AE. AF)10

Por R.M. en el AQF

2AE. AF)(2x)

22(2x)10

x 5

por el teorema de Pappus - Guldin

A 2. .X.L A 2 .5

2

A 25

( 5)

0

.

2

L : EJE DE GIRO

C.G.

x

x

RESOLUCION 1 Piden

x

y

x OG (sen 30 )

Por teorema : para un sector circular

la distancia del centroide a uno de los

radios es

Sen θx R

θ

x OG

Sen 30yOG( )

π

x π

y 3

6

Datos

G y H centroides de los arcos AB y GC

AB 60

O N

C

H

M

A

G

B

300

300

Y

X

RESOLUCION 4 Piden

6

23

3 )

m n

m n

Volumen del solido generado V

Datos

AH 3

2(AB) 3(DH)

Eje de giro L

V 2 (volumen del cono) vol cillindro

23V 2

3

V 3

V

( 2

18

L

D

H A

C

B

3

m

n

A

O B

C

M

EJE DE GIRO

r

450

4

RESOLUCION 3 Piden

16. )

2

L

Area de la superficie generada A

Datos

CM CB

BM 4

Eje de giro

Por el teorema de la semejanza

en el MBC

2r. x 24

por el teorema de Pappus - Guldin

A 2. .

2 A

X.L

32 2

A 2 (

. 2

X

X

C

RESOLUCIÓN: 5 Piden: V sg

▲ABC

Dato: A sg BC

= 150 Por teorema:

V sg ▲ ABC

= 3

1*h*(A sg

BC )

V sg ▲ ABC

= 3

1*6*150

●●

● V sg ▲ ABC

= 300

RESOLUCIÓN: 6 Piden: GO = X

SE OBS: La circunferencia gira alrededor de la recta L ( 360°) Por el teorema de Pappus:

V sg = 2 π (GO) ARS

V sg

= 2 π (R+x) *( πR2 – π r

2) ....(1)

ADEMAS:

V sg = 2 π R (πR2) – 2π r ( π r2 ) ...(2)

Ecuacion (1) = Ecuacion (2)

2 π(R+x) *( πR2 – π r2) = 2 πR (πR2 )– 2π

r( π r2)

X = rR

r

2

●●

● X = 2r

R r

O

G

X

R

r

L

T

C

h = 6

A

B

H

RESOLUCIÓN: 7 Piden: V sg

▲ABC

SEA: G; centroide de la región ▲ ABC

Por el teorema de Pappus:

V sg ▲ ABC

= 2 π (A ▲ ABC) Para que el sólido sea de mayor volumen, debe girar en torno al lado de menor longitud. Teorema de Heron

A ▲ABC =

A ▲ABC = 66

Pero: A ▲ABC

= 132= 11(h)/2

→ h= 12 y = 3

0012 = 4

V sg

▲ ABC

= 2 π 4 *66

●

●● V

sg ▲ ABC

= 528

π

RESOLUCIÓN: 8 Piden: V sg

región sombreada

OPMQ: cuadrado

OM = 6 PM = MQ = 23

G: centroide de ▲ PMQ

223

02323

X

A ▲ PMQ 9

2

23*23

V sg RS

= 2 πX (A ▲ABC )

V sg RS

= 2 π 22 *9

●●

● V sg RS

= 236 π

A

M

O Q B

P

G

45

45

X

6

360°

A

B

C

G

11

20

13

h = 12

RESOLUCION 9:

RESOLUCION 10

Piden GM

GN

Haciendo que la región rote por OA

Por T. Pappus: 2VG yA

Por diferencia de volúmenes generados:

3 3

3

4 2 4

6 3

4

R RVG

VG R

De las expresiones: 32R

yA

Haciendo que la región rota por OB

Por T. Pappus: 2VG xA

Por diferencia de volúmenes generados:

3 2

3

4 22 ( )( )

6 2

16 3

3

R RVG R

RVG

De las expresiones: 3 16 3

6

Rx

A

En lo que nos piden:

3

3

16 3

6

2

R

x A

Ry

A

16 3

12

x

y

Piden: OD x

Trazamos BH OA , entonces el BHA es

notable de 37°: 3 ; 4AM TC l DM BT l

Del grafico:

22 2

2 2

2 2

1 4 0 4 3 51

25 32 17 51

25 32 34

l l

l l

l l

También:

2 22

2 2

4 4 0 3 0

25 32 16

x l l

x l l

Del las expresiones:

2 34 16

50

5 2

x

x

x

RESOLUCION 11

RESOLUCION 12

Sea PM=PQ Piden: M(x; y) Sabemos:

2

2 2

2

8 2 ( ) ( 2 )

64.2 2

b a a b b

b

8b

Del dato: 2 36a entonces: 6a Calculando x e y:

14 6

2x

10x

8 16

2y

12y

( ; ) (10;12)M x y

Piden: ( ; )d O G m

Del grafico, calculando x e y:

3 5 2 4

3

a a ax

4x

1 2 9 2

3

b b by

2y

Calculando m: 2 2 24 2

20

m

m

2 5m

RESOLUCIÓN 13

RESOLUCIÓN 14

Piden “Distancia del incentro del triangulo AOB al eje de las abscisas: IH = X” Por distancia entre dos puntos:

AO = 4 AB = 3

BO= 5 El AOB NOT (37º y 53º) (Por Poncelet)

IS = Por ISO NOT (37º/2):

IO = 5 Por IHO NOT (45º):

IH = 5

Piden “Coordenadas del incentro del OHB: I (a , b)” Por AOB NOT (37º y 53º)

m<OBA = 53º

OHB NOT (37º y 53º) OH = 12 HB = 9

Por Poncelet en el OHB:

IP = 3

OPI (37º/2): OP = 9

Por lo tanto las Coordenadas de I (a , b): I (a , b) = (9 , 3)

RESOLUCIÓN 15

OBS:

RESOLUCION 16

Piden “La abscisa de la Coordenada del Incentro del

APB” Por la Obs: . α = 30º Como “I” incentro del APB:

m<APB = 60º Además: . AP + PB = 6 . a + 2a = 6 . a = 2 En el AOP NOT (30º y 60º):

OP = Por lo tanto la abscisa .del incentro I (a,b):

.b =

Piden “Coordenadas de P (a,b)” Para el EGC “P (a,b)” es baricentro. Por lo tanto necesitamos los pares ordenados de los vértices del triangulo. Para el ABE “G (0,3)” es baricentro:

G =

(0,3) =

E (m,n) = (6,2) En el GCE P (a,a) es Baricentro:

P (a,b) =

P (a,b) = (3,5)

RESOLUCIÓN 17

RESOLUCIÓN 18

PQ

Piden : b -a 3

APO :PQ = 2 m = 60º

m AOP =15º

PH =1

OHP : (15º y 75º )

HO = 2+ 3

Del gráfico :

P = (1+2 3)

a =1 y b = 2+ 3

b -a 3 = 2

AC AB

AB AC

AB

AC

AC

AC

BC AB

0 0

0

0

Piden : x + y

aDato : = 2 tanθ = 2

b

m -mSe sabe : tanθ = ....(1)

1+m .m

3 -1 2Del gráfico : m = =

5 - 2 3

En (1)

2m -

32 = m = -82

1+m ( )3

Además :

y -3 2m .m = -1 ( )( ) = -1

x -5 3

3x

→→

→

→

AC

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

+2y = 21.......(2)

y -1 y -1m = -8 =

x - 2 x - 2

8x + y =17...........(3)

De (2) y (3) : x =1 y y = 9

x + y 10=

→

→

∴

RESOLUCIÓN 19

RESOLUCIÓN 20

: 1

2

1

2

1

2

1

2

L

L

L

L

L

L

L

L

m

Pidenm

4Del grafico : m = y

2n

-8 m =

2n

4m

42n= =-8m -8

2n

m

=m

1-2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 21 2

1 2

1 2 1 2

1 21 2

1 2

1 2 2 1

verdadeI) La proposición es ra

L : a x +b y +c = 0

L : a x +b y +c = 0

-a -aSi L es ^L ( )( ) = -1

b b

a a +b b = 0

II) La proposición es

-a -aSi : L //L =

b b

a b -a b = 0

III) La proposición es

falsa

f alsa

V

1 1

2 2

1 2

eamos un contraejemplo

Sea : L : x - y +1= 0 c =1

L : 2x + y -16 = 0 c = -16

c = c +17

RESOLUCIÓN 21

RESOLUCIÓN 22

T

N

M

B (0; 0) 3

4 5

(3; 4)

(5; 5) D

R

L

Dato: M(3;4) Piden: Ecuación de la recta L

En el EHM (530 Y 370) R=5 Coordenadas de D (5; 5) Calculamos la pendiente

m L =

Hallando la ecuación

L : x – 2y + 5 = 0

E H

Q (9; 3)

M

P (2; 4) R

B L A (5; 0)

H O

4

2 X

Y L

530 370

Piden: Ecuación de la recta En la semicircunferencia (relaciones métricas) 42 = 2(HL)

HL= 8, R=5, m∡PAH = 530

m L = = -4/3

En el AQB ( 530 Y 370 ) AB= 4, QB= 3, Q= (9; 3)

m L = -4/3 =

L : 4x + 3y – 45 = 0

RESOLUCION 25 Piden: Q = ( ).

Dada la recta

Donde: ,

Además: m = ,

Del grafico Q = Proy+

(P),

Como = ,

Por definición se sabe:

: ,………….. (2)

Por intersección de rectas calculamos Q = ( ).

De (1) y (2):

RESOLUCION 26 Piden:

Del grafico:

´´ , como AB= AC=

Donde: m´´= m, porque // ´´//

Como = , por

definición se sabe:

X

Y

:

P= (-6; 4)

Q= (-2;

1)

Y

X

A=(2;

3)

B=(3,6)

C(5,4

)

m= -

1

L

´´

L

RESOLUCION 27

Piden: Por dato se tiene

.

Por definición:

RESOLUCION 28 Piden: Del grafico:

Se tiene que:

+ ,

B

45

45

RESOLUCIÓN 29

RESOLUCIÓN 30

A

B

D

C

Piden:

Da

tos: M y N son puntos medios de los lados BC y CD; Además: Po el método del triangulo en ABM y ADN:

; . Luego: =

Piden: La suma de componentes de .

Trazamos ⊥ Luego por teorema de Thales:

; .

Por Relaciones métricas en PL=8

º

RESOLUCIÓN 31

RESOLUCIÓN 32

Piden: La suma de componentes de .

Trazamos ⊥ .Luego como: m PQM=

Se observa que: (4; 2).

Datos: =6; =8 y

Son vectores

unitarios de y de .

Piden:

Del dato .

Dado que: + =1

Por teorema de la bisectriz interior:

Luego por cálculo de la bisectriz interior

7

3

RESOLUCIÓN 33

Piden:

Ecuación Vectorial

Dato:

ABC: Equilátero

RESOLUCIÓN 34

Piden:

Ecuación Vectorial

Dato:

RESOLUCIÓN 35

Piden:

Ecuación Vectorial

Dato:

L

x

C

A

o

y

B

60º

60º

15º 45º

L

x o

y

L1

P(1,2)

L

x

y

L1

P(2,4)