PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV

I.-TABLA DE INTEGRALES

INMEDIATAS

1

21

3

4

5

6

7

1

.

.

. ln

.ln

.

. sen cos

. cos sen

a du a u c

u duu

nc

du

uu c

a dua

ac

e du e c

u du u c

u du u c

nn

uu

u u

8

9

10

11

12

13

14

15

2

2

. ln (cos )

. cot ln sen

. sec ln(sec )

. csc ln(csc cot )

. sec

. csc cot

. sec sec

. csc cot csc

tan u du u c

u du u c

u du u tan u c

u du u u c

u du tan u c

u du u c

u tan u du u c

u u du u c

16

171

181

191

2

2 2

2 2

2 2

2 2

. sen

.

. sec

. ln

du

a uarc

u

ac

du

u a aarc tan

u

ac

du

u u a aarc

u

ac

du

u a a

u a

u ac

201

2

21

2 2

2 2

2 2

. ln

. ln

du

a u a

a u

a uc

du

u au u a c

221

2

1

2

231

2

1

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

. sen

. ln

a u du u a u a arcu

ac

u a du u u a a u u a c

II.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

INDEFINIDA

1. La integral indefinida de la suma o resta de dos o

más funciones es igual a la suma o resta de sus

integrales.

f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )

2. El factor constante se puede sacar del signo de la

integral.

c f x dx c f x dx( ) ( )

III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE

VARIABLE

En algunos casos, para obtener integrales

que no se pueden calcular en forma inmediata, se

arregla el integrando mediante un cambio de variable

de tal manera que tome la forma de una integral

inmediata. Esto es, si la integral existe en la forma

f x dx f g x g x dx

Inte l noinmediata

Funcionerna

Derivadade la funcion

erna

( ) ( ( )) ' ( )

gra intint

haciendo el cambio de variable: u = g (x) y por

tanto du = g’(x) dx , se facilita la integración

f x dx f u du( ) ( )

IV.- INTEGRACION POR PARTES

Cuando la integral no es inmediata, pero el

integrando es igual al producto o al cociente de dos

funciones; es decir, de la forma

f g dx o dx fg

dxf

g

1,

la integración se hace aplicando la fórmula de

integración por partes:

u dv uv v du ,

donde se debe:

1) Identificar a las funciones u y dv

2) Determinar du diferenciando, y v

integrando

3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula

de integración por partes y calcular la integral

v du

FORMULARIO DE MATEMÁTICA IV

PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV

V.- INTEGRACION POR SUSTITUCION

TRIGONOMETRICA

Si el integrando contiene una expresión de

la forma: a u u a o a u2 2 2 2 2 2 ,

elevada a cualquier exponente, la integración se

realiza mediante una sustitución trigonométrica, de

acuerdo con la siguiente tabla:

FORMA DEL TRIANGULO SUSTITUCION

RADICAL RECTANGULO TRIGONOMETRICA

a u2 2 sen = u / a

a sen = u

a cos d = du

a u2 2 tan = u / a

a tan = u

a sec2 d = du

u a2 2 sec = u / a

a sec = u

a sec tan d = du

VI.- INTEGRACION DE FRACCIONES

PARCIALES

La integración por el método de fracciones

parciales consiste en descomponer una fracción

propia de la forma P (x) Q (x) , en una suma

de dos o más fracciones parciales. Los

denominadores de las fracciones parciales se

obtienen mediante la factorización de Q (x) en

factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los

siguientes casos:

1.- Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno

se repite, es decir, el denominador se descompone en

raíces reales de primer grado y diferentes. La

descomposición se da en la forma:

P x

Q x

A

x a

B

x b

C

x c

D

x d

( )

( )

2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos

se repiten; es decir, las raíces del denominador son

números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada

factor de Q(x) de la forma (ax + b)n le corresponde

una suma de n fracciones parciales :

A

ax b

A

ax b

A

ax b

A

ax b

n

n

1 2

2

3

3

3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos

con raíces complejas que no se repiten. Para cada

factor cuadrático ax2 + bx + c existe la fracción

parcial

Ax B

ax bx c

2

4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos

con raíces complejas que se repiten. A cada factor

cuadrático (ax2 + bx + c)n le corresponde la suma

de n fracciones parciales

A x B

ax bx c

A x B

ax bx c

A x B

ax bx c

n n

n

1 1

2

2 2

22

2

VII.- FORMULAS DE REDUCCION

Las fórmulas de reducción se obtienen

integrando por partes, y entre las más comunes se

encuentran las siguientes:

1

2

3

4

5

6

1 1 1 2

1 1 1 2

1

1

1 2

1

1

1 2

1

1

2 2

1

2

1

1

2 2

1

2

.

.

.

.

.

.

sen sen cos sen

cos cos sen cos

cot cot cot

sec sec sec

csc cot csc csc

nx dx

n

nx x

n

n

nx

nx dx

n

nx x

n

n

nx

tann

x dxn

tann

x tann

x dx

nx dx

n

nx

nx dx

dx

dx

nx dx

ntanx

nx

n

n

nx dx

nx dx

nx

nx

n

n

nx dx

71 1

1 2

. cos sencos sen

cos sen

mx

nx dx

mx

nx

m n

m

m n

m x n x dx

8

9

10

11

1 1

1 2

1

1

1

.

.

sen cossen cos

sen cos

. sen cos cos

. cos sen sen

mx

nx dx

mx

nx

m n

m

m n

mx

nx dx

xn x dx xn x n xn x dx

xn x dx xn x n xn x dx

xn ex dx xn ex xn ex dx

VIII. SEGUNDO TEOREMA

FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Si f es una función continua en [a , b y F

(x) una función primitiva de f, entonces:

f x dx F x F b F aa

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )