teorema de muestreo de nyquist
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7/16/2019 Teorema de Muestreo de Nyquist
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Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
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Función de interpolación g(t) para F s=44100 muestras por segundo (estándar CD-Audio).Excepto para t=0, el intervalo entre pasos por cero (líneas verticales verdes) representa el
intervalo entre muestras (~22,68 µs para este ejemplo).
El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de
muestreo de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criterio de Nyquist o teorema
de Nyquist, es un teorema fundamental de la teoría de la información, de especial interésen las telecomunicaciones.
Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en
1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise).
El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación,
proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del
muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de
cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocidacomo error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación
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señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras
discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento
alguno sobre una precisión determinada, es decir, aún no han sido cuantificadas.
El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en
banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.
Dicho de otro modo, la información completa de la señal analógica original que cumple elcriterio anterior está descrita por la serie total de muestras que resultaron del proceso de
muestreo. No hay nada, por tanto, de la evolución de la señal entre muestras que no esté
perfectamente definido por la serie total de muestras.
Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica es y la señal
se muestrea a una tasa , entonces se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación:
Ejemplo de reconstrucción de una señal de 14,7 kHz (línea gris discontinua) con sólo cincomuestras. Cada ciclo se compone de sólo 3 muestras a 44100 muestras por segundo. Lareconstrucción teórica resulta de la suma ponderada de la función de interpolación g(t) y
sus versiones correspondientes desplazadas en el tiempo g(t-nT) con ,
donde los coeficientes de ponderación son las muestras x(n). En esta imagen cada funciónde interpolación está representada con un color (en total, cinco) y están ponderadas al valor
de su correspondiente muestra (el máximo de cada función pasa por un punto azul que
representa la muestra).
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Así, se puede expresar como:
donde son las muestras de .
Hay que notar que el concepto de ancho de banda no necesariamente es sinónimo del valor
de la frecuencia más alta en la señal de interés. A las señales para las cuales esto sí es cierto
se les llama señales de banda base, y no todas las señales comparten tal característica (por
ejemplo, las ondas de radio en frecuencia modulada).
Si el criterio no es satisfecho, existirán frecuencias cuyo muestreo coincide con otras (el
llamado aliasing).
Ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
TEOREMA DEL MUESTREO
Representación de una señal de tiempo continuo mediante sus muestras
En general, no es de esperarse que en la ausencia de cualquier condición, unaseñal se pueda especificar unívocamente por una secuencia de muestrasigualmente espaciadas. Por ejemplo, en la figura siguiente se ilustra tres diferentesseñales de tiempo continuo, que tienen valores idénticos en múltiplos enteros de T(período de muestreo).
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Tres señales de tiempo continuo con valores idénticos en múltiplos enterosde T
En general, hay una cantidad infinita de señales que pueden generar un conjuntodado de muestras. Sin embargo, si una señal es de banda limitada y si lasmuestra son tomadas lo suficientemente cercanas unas de otras, en relación conla frecuencia más alta presente en la señal, entonces, las muestras especificanunívocamente a la señal y puede ser reconstruida perfectamente. La manera deobtener la muestras de una señal es modulándola en amplitud con un tren deimpulsos periódico.
Específicamente, el teorema del muestreo se enuncia de la siguiente forma:
"Dada una señal de banda limitada, cuya amplitud en el dominio de la frecuenciaes cero en los límites de la banda, entonces, la señal está determinada
unívocamente por sus muestras si, y solo si, la frecuencia de muestreo es mayor oigual al doble de la frecuencia límite máxima de la banda de la señal"
La frecuencia de muestreo se conoce también como la frecuencia de Nyquist.
Aplicación del Simulink para la comprobación del teorema del muestreo
A continuación se ilustra, paso a paso, como se puede comprobar el teorema delmuestreo utilizando la versión 1.2c del Simulink de MATLAB.
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En la figura se muestra el diagrama de un sistema de modulación con pulsos. Laentrada es una señal de pulsos cuadrados que tiene las siguientes características:
Período: 1s.
Ancho del pulso: 0.3s.
Amplitud: 1.
Tiempo de inicio: 0s.
En la figura siguiente se muestra la forma de esta onda en el tiempo y en el
espacio dado por el display de tiempo y frecuencia (Power spectral density):
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Como puede observarse, el espectro en frecuencia de la señal de salida delgenerador de pulsos es infinito, teniendo armónicos a frecuencias superiores de
los 15rad/s. El teorema de muestreo impone la condición de que la señal debetener su banda de frecuencias limitada, para lograr esto se pasa la señal a travésde un filtro pasa bajas de manera que pueda aprovecharse la mayor parte de laenergía de la señal. Viendo en la figura puede apreciarse que, hasta los 15rad/s,existen los armónicos que contienen gran parte de la energía de la señal,entonces, se puede fijar la frecuencia de corte del filtro pasa bajas a 15rad/s yaque, a esta frecuencia, la amplitud del espectro en frecuencias es cero, de estamanera se cubre otra parte del teorema de muestro. En la siguiente figura semuestra la señal de salida del filtro pasa bajas, que es en esencia la señal que seva a muestrear.
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Fijando el límite superior de la banda de la señal en 15rad/s, se tiene a la señallimitada en frecuencia. La condición de Nyquist, implícita en el teorema del
muestreo, impone que la frecuencia de la función de muestreo debe ser mayor oigual al doble de la frecuencia límite superior de la banda de la señal, con esto sededuce la siguiente expresión:
wS 2wM
donde wS es la frecuencia de la función de muestreo y wM es la frecuencia máximade la señal. Además:
w = 2 / T T = 2 / w
Ts Tm / 2
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donde Ts y Tm corresponden a los períodos de la función de muestreo y de laseñal, respectivamente.
Como se dijo anteriormente, la manera de obtener las muestras de una señal esmodulándola en amplitud con un tren de impulsos periódico. La señal de muestreoes el mismo tren de impulsos y, para obtener un buen muestreo, según elteorema, es necesario que estos impulsos estén muy cercanos. Una manera deobtener la función de muestreo es a partir de un generador de pulsos cuadradoscon un ancho de pulso varias veces menor al su período.
En este caso, al muestreador se le asigna una frecuencia inicial de muestreo de31.41592654rads/s, es aproximadamente el doble de la frecuencia límite superior de la señal de entrada del muestreador.
Con la ayuda de los osciloscopios de Simulink se puede apreciar la forma de lasmuestras (en color azul) superpuesta a la forma de la señal (en color amarillo):
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Frecuencia de muestro 31.41592654rads/s
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Frecuencia de muestreo 41.88790205rads/s
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Frecuencia de muestreo 62.83185307rads/s
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Frecuencia de muestro 125.6637061rads/s
En las últimas cuatro figuras tómese en cuenta sólo el primer período de la señal yobsérvese que en la medida en que se aumenta la frecuencia de muestreo (esdecir, que el período de muestreo va disminuyendo), las muestras se aproximancada vez más a la forma de la señal.
De esta manera queda comprobada, por medio de simulaciones, la veracidad delteorema de muestreo.
Es necesario mencionar que la calidad del despliegue de las gráficas en lassimulaciones depende de el método de aproximación que se aplique y lastolerancias que se le especifiquen al programa.
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Filtro digital De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsqueda
Un filtro digital es un tipo de filtro que opera sobre señales discretas y cuantizadas,
implementado con tecnología digital, bien como un circuito digital o como un programainformático.
Definición [editar]
Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de
entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal;generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier ; obteniéndose en la
salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de salida.
Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su salida tienenotra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase
dependiendo de las características del filtro digital.
El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de
digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar,
así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales
digitales como a otro que lo haga de señales analógicas.
Comunmente se usa para atenuar o amplificar algunas frecuencias. Por ejemplo, se puede
implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos de cualquier sistema deaudio.
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El procesamiento interno y la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser
necesario una conversión analógica-digital o digital-analógica para uso de filtros digitales
con señales analógicas.
Un tema muy importante es considerar las limitaciones del filtro de entrada debido a que la
señal debe poder ser reconstruida, ver Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.
Tipos de filtros [editar]
Hay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros:
De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay:
o Filtros pasa alto.
o Filtros pasa bajo.
o Filtros pasa banda.
Banda eliminada.
Multibanda. Pasa todo.
Resonador.
Oscilador.
Filtro peine (Comb filter).
Filtro ranura o filtro rechaza banda (Notch filter).
De acuerdo con su orden:
o primer orden
o segundo orden
De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:
o FIR (Finite Impulse Response)
o IIR (Infinite Impulse Response)
o TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)
De acuerdo con la estructura con que se implementa:
o Laticce
o Varios en cascada
o Varios en paralelo
Expresión general de un filtro [editar]
Hay muchas formas de representar un filtro. Por ejemplo, en función de w (frecuenciadigital), en función de z y en función de n (número de muestra). Todas son equivalentes,
pero a la hora de trabajar a veces conviene más una u otra. Como regla general se suele
dejar el término a0=1.
Si se expresa en función de z y en forma de fracción:
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Y en dominio de n:
Los coeficientes son los a y b y son los que definen el filtro, por lo tanto el diseño consisteen calcularlos.
Ejemplo del diseño de un filtro [editar]
En primer lugar se parte de las especificaciones y, basándose en éstas, se elige el tipo de
filtro. En este ejemplo se parte de un filtro digital que anule las frecuencias menores a 5Hz
y la de 50Hz y que no altere al resto, la frecuencia de muestreo será 1000Hz, además sequiere fase lineal.
Con estas especificaciones se elige un filtro FIR. El diseño se puede hacer manualmente ocon la ayuda de un ordenador. En este ejemplo el método de diseño será el de Remez. En
Matlab se obtienen los coeficientes que definen el filtro, que en la ecuación anterior se
llaman a y b (el numerador es la variable b y el denominador solo tiene un término que es1, como corresponde a un filtro FIR):
[n,fo,mo,w]=remezord([0 5 45 50 50 55],[0 1 0 1],[0.01 0.1 0.01
0.1],1000); b = remez(n,fo,mo,w)
Nota: remezord en matlab está obsoleto, en su lugar se puede utilizar firpmord.
En la siguiente figura se muestra el aspecto del filtro en el centro. En la parte superior se
muestra la señal que se quiere filtrar y en la parte inferior la señal filtrada (se trata de unelectrocardiograma).
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El siguiente paso es seleccionar la forma de implementarlo, es decir su estructura. Luego seelige el hardware sobre el que funcionará. Normalmente un Procesador digital de señal o
una FPGA, aunque también puede ser un programa de ordenador. Finalmente se usan los
coeficientes obtenidos y la estructura elegida para crear el programa.