Torsietrillingen in de as van in lijn gestelde gascompressoren

Citation for published version (APA):van Ginneken, C. J. J. M., & Kuijpers, W. J. J. (1990). Torsietrillingen in de as van in lijn gesteldegascompressoren. (IWDE report; Vol. 9001). Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1990

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 05. May. 2020

Technische Universiteit Eindhoven

\\\\11(0 Den Dolech 2 Postbus 513 5600 MB Eindhoven

lnstituut Wiskundige Dienstverlening Eindhoven

RAPPORT IWDE 90.01

TORSIETRILLINGEN IN DE AS VAN IN

LI,IN GESTELDE GASCOMPRESSOREN

C.J.J.M. van Ginneken

W.J.J. Kuijpers

januari 1990

Torsietrillingen in de as van in lijn gestelde gascompressoren

C.J.J.M. van Ginneken W.J.J. Kuijpers

Technische Universiteit Eindhoven

januari 1990

1 Inleiding

In dit rapport worden de torsietrillingen in een mechanisch systeem (compressor ge­naamd), bestaande uit een samenstel van verschillende elementen bestudeerd. De ele­menten hebben een onderling sterk verschillend gedrag. Elektromotoren, vliegwielen en koppelingselementen kunnen worden opgevat als starre lichamen roterend om een vaste as. Assen of delen daarvan roteren eveneens om een vaste as maar hebben bovendien een elastisch gedrag. Zuiger-gasmotoren en zuiger-gascompressoren zijn mechanische elementen vergelijkbaar met een kruk-drijfstang mechanisme. Van genoemde gasmo­toren en gascompressoren zijn het impulsmoment om de systeemas en de kinetische energie niet aileen afhankelijk van de hoeksnelheid maar tevens van de hoekverdraaiing van de systeemas. Bij de overige elementen speelt aileen het massatraagheidsmoment om de systeemas een rol. Teneinde voldoende elasticiteit in het systeem te kunnen bren­gen Iaten we nog elastische torsiekoppelingen toe. De bewegingsvergelijkingen van het stelsel zullen, nadat de gegeneraliseerde coordinaten van het systeem zijn vastgelegd, worden opgesteld met behulp van de vergelijkingen van Lagrange. Hiervoor is nodig dat van aile elementen de kinetische energie, uitgedrukt in de gegeneraliseerde coordinaten en snelheden, wordt opgesteld, terwijl daarnaast de gegeneraliseerde krachten dienen te worden aangegeven. De resulterende vergelijkingen bestaan uit een stelsel gewone differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden. Het is in het algemeen niet goed mogelijk dit stelsel analytisch te behandelen. Een numerieke oplosmethode is echter zeer goed mogelijk. In figuur 1 is schematisch een compressor weergegeven.

elastische koppeling

elektromotor

systeemas

vliegwiel

zuiger-gascounpressor

Figuur 1. Scheunatische voorstelling van een compressor

1

2 Bewegingsvergelijkingen

We veronderstellen dat de compressor bestaat uit een rij elementen genummerd van 1 tot n. Een element kan zijn een kruk-drijfstang mechanisme, een vliegwiel, een elastische koppeling of een elektromotor. In figuur 2 is een kruk-drijfstang mechanisme weergegeven. De elementen worden onderling verbonden door de draaiingsas van de compressor. De uiteinden van de draaiingsas zijn gelagerd.

zuigerstang zuiger

Figuur 2. Kruk-drijfstang mechanisme

Voordat we overgaan tot het opstellen van de bewegingsvergelijkingen, volgt eerst een overzicht van de symbolen en grootheden die daarbij een rol zullen spelen. We voeren de volgende indexverzamelingen in

N1 := {k I element k is een kruk-drijfstang mechanisme}, N2 := {k I element k is een vliegwiel of elastische koppeling}, Na := {k I element k is een elektromotor}, N := N1UN2UNa (= {1,2, ... ,n}).

2

De grootheden wa.armee we de compressor beschrijven zijn: t de tijd

4>~e als k = 0 de hoekverdra.aiing van de dra.aiingsas aan het begin van de as

ftc

O:tc

Ttc

mtc

ltc

Pic

!'tang 1c

M~c

Ftc( 1/J1" ,fie)

K~t(J>~e)

als k E N de hoekverdra.aiing van de draaiingsas op de pla.ats van het k-de element

als k = n + 1 de hoekverdra.aiing van de draaiingsas a.an het einde van de as als k = 1 het tra.agheidsmoment van de draaiingsas tot element 1 als 2 :::;; k :::;; n het tra.agheidsmoment van de dra.aiingsas tussen element k - 1 en element k als k = n + 1 het tra.agheidsmoment van de dra.aiingsas na element n als k = 1 de torsiestijfheid van de verbinding tussen bet begin van de as en het eerste element als 2 :::;; k :::;; n de torsiestijfheid van de verbinding tussen element k - 1 en element k als k = n + 1 de torsiestijfheid van de verbinding tussen het laatste element en het einde van de as als k E N1 het traagheidsmoment van de kruk

als k E N2 het traagheidsmoment van het vliegwiel of de koppeling

als k E Na het traagheidsmoment van het anker van de elektromotor de traagheidsmomenten zijn betrokken op de dra.aiingsas

als k E Nt, dan is ¢1e + o:1e de stand van de kruk

als k E N 1 de lengte van de kruk

als k E N1 de massa van de drijfstang

als k E N1 de lengte van de drijfstang

als k E N1 dan is Pie := z~efltc, waarin Zle de afstand is tussen het zwa.artepunt van de drijfstang en het punt waar de drijfstang met de kruk is verbonden en ltc de lengte is van de drijfstang

als k E N1 het traagheidsmoment van de drijfstang ten opzichte van de as door het zwaartepunt

als k E N1 de totale massa van zuiger, zuigerstang, kruis-hoofd etc. als k E N1 de kracht die door het gas op de zuiger wordt uitge~efend ~ij krukstand ¢It ( = 4>~e + o:~e) en hoeksnel-heid ¢1c ( = (he)

als k E Na het moment (koppel) dat door de elektromo-tor o~ de dra.aiingsas wordt uitgeoefend bij een hoeksnel-heid ¢1e

3

[sec]

[radialen]

[Nm]

[Nm/rad]

[kg m2]

[radialen]

[m]

[m]

[m]

[kg m2]

[kg]

[N]

[N m]

De vergelijkingen van Lagrange voor de hoekverdraaiingen <P1c zijn:

ft88T - 2I.. = -~ + Q~c, k = o, 1, .. . n + 1,

<Pic O<j)/c Vo//c

waarin

• ¢, = 4ft, • T( <Po, ••• , <Pn+h J>o, • •• , ¢n+t) de kinetische energie is van het systeem,

n+l • U = i 2)•(¢i- <Ps-t)2 de torsie-energie is van het systeem,

i=l

• Q~c de arbeidscoefficient is bij een virtuele verandering 6¢1c, anders gezegd:

(1}

Q~e6¢1c is als k E N1 de arbeid die door de gaskrachten op het systeem wordt verricht bij een virtuele verandering 8¢1e en als k E Na de arbeid die door de elektromotor wordt verricht. Het rechterlid - 8!/, + Q1e is de gegeneraliseerde kracht.

In het volgende bepalen we uitdrukkingen voor Ten Q& in de vergelijkingen van La­grange, met behulp waarvan de bewegingsvergelijkingen dan kunnen worden afgeleid.

De kinetische energie T

We beginnen met de kinetische energie T. Deze kan opgebouwd gedacht worden uit

n+l • de kinetische energie van de draaiingsas: 2:Tt', waarin

i=l

- rr de kinetische energie is van het gedeelte van de as tussen het begin en het eerste element van de compressor,

- Tt' voor 2 s i s n de kinetiscbe energie is van het gedeelte van de as tussen element i en element i- 1,

- r:.+1 de kinetische energie is van het gedeelte van de as tussen bet laatste element en bet uiteinde van de as,

• de kinetiscbe energie van de elementen bestaande uit een krukas-drijfstang con~ structie, welke op zich weer opgebouwd gedacbt kan worden uit de volgende com­ponenten

- de kinetische energie van de krukassen: 2: Tl''"u.lc, seNt

de kinetiscbe energie van de drijfstangen: 2: rra.ng' iENt

de kinetische energie van de been en weer gaande del en ( zuiger, zuigerstang, etc) : 2: Tt'"'f1t!" ,

iENt

4

• de kinetische energie van de om de dra.a.iingsa.s roterende elementen (vliegwiel, ela.stische koppeling, anker electromotor ): L Tivea.

seN2,ieNa

Voor de tota.le kinetische energie van het systeem geldt nu

n+l

T = ,L:Tr + I: (Tln"ulc + Ttta.ng + Tt""ige") + L Tra. (2) i=l ieN1 seN2, ieNa

We ga.a.h nu achtereenvolgens TP-' ·Tfn'ulc T~tang T!'""ige.,. en T'!'«a uitdrukken in termen ,,, ,, ,, ' va.n de grootheden waarmee de compressor wordt beschreven.

De kinetische energie van de as Er geldt

Tt' = ! f pv2 dr , 2 Jc,,

waarin p de dichtheid is en v de snelheid. We ma.ken de volgende veronderstellingen:

• er treedt zogena.a.mde de Saint-Venant torsie op, dat wil zeggen een doorsnede geka.rakteriseerd doors (zie figuur 3) verdra.a.it star. Het gevolg is dat de dichtheid van het materiaa.l constant is in de tijd,

• de a.s is homogeen, ofwel pis constant,

• de hoekverdraa.iing van de as verloopt linea.ir van </Ji-1 tot ¢i, dus als 0( s, t) de hoekverdraa.iing is op de plaats s (zie figuur 3), dan geldt

¢i- </Ji-1 O(s, t) = <Pi-l + s

1 , 0 ~ s ~ l.

Figuur 3

5

Uit het bovenstaande volgt

1 ,~ r'lf' rR 2 • • 2 • • • 2 Tr' = 2p Jo Jo Jo r fP(s,t)rdrd¢ds = iit•(t<Ps-l + i<Pi-l<Pi + i<P• ).

De kinetische energie van de kruk-drijfstang constructies

• De krukken Er geldt

• De drijfstangen Er geldt (zie figuur 4)

T/cr"tde _ li.l.2 1 - 2 '"~'' •

T •tang _ lm·(a· .2 +b . . 2) + .lJitang(J· .2 i -2 '' • 2i ••

waarin ( ai, bi) de coordinaten zijn van het zwaartepunt van de drijfstang.

0

Figuur 4

(3)

(4)

2 . 2 . 2 . We kunnen a;. + b;. en (}i uitdrukken in termen van <Pi en <Pi met behulp van de relaties ( zie figuur 4)

ai = ricos 1/Ji + PilicosfJi, b;. = risin 1/Ji - Pilisin 8;., lisin 9;. = r iSin 1/Ji, ¢• = <Pi + O:j.

N a enige herleiding vinden we

6

(6)

• De been en weer bewegende delen Er geldt ( zie figuur 4)

T zuigu _ !M.·x· 2 i - 2 • ,,

waarin

Hieruit vinden we

T{'uige" = iM,r1 {sin2 (4>i + O:i)(l + fi(tPi + O'i))2}cbi2

, (7)

waarin /i(4>t. + O:i) als in (6).

De kinetische energie van vliegwielen, koppelingen etc. Er geldt

(8)

De arbeidscoC:HHcient Q~e We onderscheiden de gevallen kENt, k E N2 , kENs en k = 0 of k = n + 1.

• k E N1, de arbeid die door de zuiger op het systeem wordt verricht bij een virtuele ver­andering 6¢~e van de as is gelijk aan

. . ax,. - F~e( 1/J~e, 'I/J~e)6x~e = -F,.( tPk + a~e,4>~c) B4>~e 6x,.,

waarin ( vergelijk de afl.eiding van Tkuige")

zodat

waarin f~t( 4>~t + o:,.) als in ( 6) met daarin i vervangen door k. Hieruit volgt

• k E N2, in dit geval geldt

(10)

• kENs, in dit geval geldt

(11)

7

• k = 0 of k = n + 1, in dit geval geldt

(12)

Uit de relaties (1) tot en met (12) kunnen nude bewegingsvergelijkingen worden afge­leid. Het resultaat is het volgende stelsel van n + 2 tweede-orde differentiaalvergelijkin-gen

lic•J,~e-t + (iJC' + tiC.tt + I~e + A~e)J,~e + tiC.f.tJ,Ie+t + B~e¢-/ = t~e</>lt-1- (tie+ t~t+l)<l>k + t~e+t<l>k+l + Qlt, k = 1, 2, ... , n, (14)

waarin, we onderscheiden de gevallen k E N11 k E N2 en k E Ns,

• als k E N1

met

Sit = sin( </>it + a~e ), Cit = cos( </>1c + a~e), /1e = ,.\ cos( </>1e + ak)

1c .j1 - ..\1e 2sin2 ( </>it+ a~t)'

B~t = ! ~;: = m~trl{s~cc~t(1 + P~tf~t) 2 + sl(l + P~t/lc)p~e/L- SitC~t(1- P~t)2} +

+/~tAng f~t!L + M~trl{s~ec~e(1 + f~tY + sl(l + f~c)JL},

met s~e, c, en /It als bij A~c en

( 1 - A It 2 )..\~esin( c/>1c + ak) Alt _ r~t (1- ..\~c 2sin2 (</>~c + a~c))f' - l,'

Q~c =Fie( <Pie+ <l!Jn¢1e)r~cs~c(l +/~c), met weer s~e en A als bij A~t,

• als k E N2

• als k E Na

De laatste vergelijking luidt

1 JOI J. + 1 JOI J. - t (A. A. ) 6 n+l 'f'n 3 n+l 'f'n+l - - n+l 'f'n+l - 'f'n ·

8

(15)

S N umerieke methode en resultaten

Er is een programma geschreven om het stelsel differentiaalvergelijkingen (13), (14), ( 15) numeriek op te lassen voor een compressor die aan de volgende ( vereenvoudigende) veronderstellingen voldoet.

• De draaiingsas wordt massaloos verondersteld. Dit heeft tot gevolg dat de verge­lijkingen (13) resp. (15) overgaan in de algebrarsche vergelijkingen

¢i = 4>o resp. tPn+l = tPn

en dat de vergelijkingen (14) overgaan in een explidet stelsel differentiaalverge­lijkingen voor J>1, k = 1, 2, ... , n.

• De compressor wordt aangedreven door een electromotor die draait met een con­stante hoeksnelheid w. Dit betekent dat het koppel K~e(J>~c) niet wordt voor­geschreven, maar verondersteld wordt zodanig te zijn dat voor de bijbehorende k E Na geldt (Na bevat precies een element)

J>~c = 0.

• In de begintoestand geldt

¢~c(O) = 0, J>~e = w, k = 1, 2, ... n.

Het resulterende beginwaardeprobleem wordt opgelost met de routine LSODA uit het 'public-domain pakket' ODEPACK. Dit pakket betaat uit een collectie routines ge­schreven in Fortran-IV voor het oplossen van beginwaardeproblemen voor gewone dif­ferentiaalvergelijkingen en is ontwikkeld door A.C. Hindmarsh, Lawrence Livermore Laboratory (1987). Een beschrijving van ODEPACK wordt gegeven in [1].

Ter illustratie geven we de numerieke resultaten zoals die met het programma werden verkregen voor een compressor bestaande uit twee elementen en een bestaande uit zeven elementen.

Compressor 1

We beschouwen een compressor bestaande uit een elektrornotor (element 1) met daaraan gekoppeld een zuiger-gascompressor (element 2). De gegevens van de compressor zijn als volgt

w = 40 rad/sec a2 = 0 radialen l2 =1m M2 = 900 kg.

t2 = 5106 Nm/rad r2 = 0.15 m

P2 = 0.2857

/2 = 10 kg m2

m2 = 350 kg I;tang = 71.43 kg m2

De kracht die door het gas op de zuiger wordt uitgeoefend hangt aileen af van de stand van de kruk en is grafisch weergegeven in figuur 5.

In figuur 6 is de torsie in de as tussen de elektromotor en de zuiger-gascompressor, zoals die met het programma werd berekend, grafisch weergegeven.

9

...... z ........ -.c C) C'd .... ~ (I)

C'd 0

x10S Gaskracht kruk 4

j ~

-1

-4~----~------~----~------~----~------~----~----~ 0 50 100

X1Q-3

150 200

Hoek in graden

Figuur 5

250

Torsie tussen motor en kruk

300 350 400

6~--~----~----~--~----~--~~---.----~--~~--~

4

2

•14oL_ ___ 2~---4~---6~---8~---l~0--~1~2--~1~4--~1~6--~1~8--~20'

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 6

10

Compressor 2

We beschouwen een compressor bestaande uit de volgende delen: element 1 zuiger-gascompressor element 2 zuiger-gascompressor element 3 vliegwiel element 4 torsiekoppeling ( deel 1) element 5 torsiekoppeling ( deel 2) element 6 torsiekoppeling ( deel 3) element 7 elektromotor . .

De gegevens van de compressor zijn

/ 1 = 5.94 kg m2

h = 0.725 m t2 = 5.577107 Nm/rad / 2 = 5.85 kg m2

l2 = 0.725 m ta = 3.05107 Nm/rad ts = 3.2105 Nm/rad t1 = 1.13107 Nm/rad

a 1 = 0 radialen P1 = 0.3333

a2 = 0 radialen P2 = 0.3333 / 3 = 1026 kg m2

/ 5 = 3 kg m2

w = 41.26 rad/sec

r1 = 0.145 m 1;tcng = 15.05 kg m2

r2 = 0.145 m I2tang = 15.05 kg m2

t4 = 2.685106 Nm/rad t6 = 3.2105 Nm/rad

m1 = 129 kg Mr = 440 kg

m 2 = 129 kg M2 = 407 kg / 4 = 6.7 kg m2

Is= 8.8 kg m2

De krachten die door het gas op de zuigers van de zuiger-gascompressoren worden uitge­oefend hangen alleen af van de stand van kruk 1 en kruk 2 en zijn grafisch weergegeven in figuur 7 en figuur 8. In de figuren 9 tot en met 14 zijn de torsies in de verbindingen tussen de opeenvolgende elementen, zoals die met het programma werden berekend, grafisch weergegeven.

11

........ z ---..s:: u e ~

<I}

r-l c.:l

........ z ........... -.c u E ~ :ll r-l

c.?

Xl()S Gaskracht kruk 1 2.5 ,.----,----.-----.----..----.....------.------.----,

1.5

1

0.5

-0.5

-1

-2.50 50 100 150 200 250 300 350 400

Hoek in graden

Figuur 7

X1QS Gaskracht kruk 2 2.5

0.5

-0.5

-2.5 o:----------5:'-:-o---1...J..00-:-------'15'-o---200.~----25...L.0-::----3-:--:oo:-:-----:-35-=-o---:-:400

Hoek in graden

Figuur 8

12

= ~ .~ "0 e = ·-..!14 QJ 0 .c: QJ ·-e ~

X1()-4 Torsie tussen element 1 en 2 5~--~----~--~----~----r---~--------~----~---.

4

3

-toL----2~--~4~--~6----~8----~10----1~2----1~4----1~6~--1~8--~W

X1()-4

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 9

Torsie tussen element 2 en 3 16~--~----~----~----~--~----~----~----~--~----~

-2~--~----~-----L----~----~----~--~-----L-----L--~ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 10

13

i 0.01 .55! "0

f! 0.008 = ·-

2 4

Torsie tussen element 3 en 4

6 8 10 12 14

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 11

Torsie tussen element 4 en 5

16 18 20

Q12r---~----.---~----~--~----~----~--~----~--~

= ~ .55! "0 e = ·-

0.02

2 4 6 8 10 12 14

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 12

14

20

2 4

X1fr3

Torsie tussen element 5 en 6

6 8 10 12 14

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 13

Torsie tussen element 6 en 7

16 18 20

3.5.----.----.----.----.----.-----.----r----.----~---.

= 25 ..!! «<

~ = ·-

1.5

1

0.5

2 4 6 8 10 12 14

Rotatiehoek van de elektromotor in radialen

Figuur 14 15

16 18 20

•

Referentie

[l] ODEPACK, A systemized collection of ODE solvers. RC-Informatie AG-101 {1988), Eindhoven University of Technology.

16