trigonometria 4to (13 - 17) correccion

7/25/2019 Trigonometria 4to (13 - 17) Correccion

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133

Trigonometra

13 Razones Trigonomtricasde un ngulo de Cualquier Magnitud

OBJETIVOS:

a Reconocer los ngulos cannicos y calcular sus razones trigonomtricas; as como identificar los signos que asumen las

razones trigonomtricas en cada uno de los cuadrantes.aIdentificar los ngulos cuadrantales y sus razones trigonomtricas.

CONCEPTOS PREVIOS

Llamado tambin ngulo cannico o ngulo enposicin cannica o en posicin standar; es aquel ngulotrigonomtrico, cuyo vrtice coincide con el origendel sistema cartesiano, su lado inicial (o inicio de giro)

coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado final(o final de giro) se ubica en cualquier regin del plano;siendo ste el que indique a que cuadrante pertenecedicho ngulo. Por ejemplo en el grfico:

1. NGULO EN POSICIN NORMAL

y

x

a

q

b

aes cannico: aII C bno es cannico qes cannico: qIII C es cannico: IV C

Son aquellos ngulos en posicin cannica, cuyolado final coincide con alguno de los semiejes. La medida

de estos ngulos es siempre un mltiplo de 90op/2; yno pertenecen a cuadrante alguno, motivo por el cualtambin se les denomina ngulos frontera.

2. NGULO CUADRANTAL

y

x270

180

-90

90

Si q es cuadrantal q= 90. n; n Z

Llamado tambin cofinale, son aquellos ngulostrigonomtricos no necesariamente cannicos queposeen el mismo lado inicial y el mismo lado final. Ellos

verifican que la diferencia de sus medidas es siempremltiplo de 360.

3. NGULO COTERMINALE

x

y

b

a

ba

Si ay bson coterminales:a-b= 360. n; n Z


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134

4to Secundaria

DEFINICIN DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO DE CUALQUIER MEDIDA

Dado el ngulo cannico q, para poder determinar susrazones trigonomtricas necesitaremos conocer un punto

de su lado final; es decir, las coordenadas de dicho puntopara luego aplicar:

y

x

r

P(x, y)

q

sen=orden.radio

yr

=

cos=abscis.radio

xr

=

tg=orden.abscis.

yx

=

csc=radio

orden.ry

=

sec=radio

abscis.rx

=

ctg=abscis.orden.

xy

=

Aunque para no perder de vista las definiciones vistas enngulos agudos, se acostumbra hacer el siguiente cambio:

x = A (adyacente)y = O (opuesto)r = H (hipotenusa)

Donde: x : abscisa r : radio vector y : ordenada

Por ejemplo:

y

x

5

(-4;3)

b

x = -4; y = 3

r = (-4)2+32= 5

sen= = sen> 0

cos= = cos< 0

tg= = tg< 0

yr

35

xr

-45

yx

3-4

yx

13

(5;-12)

f

A O

H

A = 5, O = -12

H = 52+(-12)2= 13

sen= = sen< 0

cos= = cos> 0

tg= = tg< 0

OH

-1213

AH

513

OA

-125

Notars que cuando se conoce un punto del lado final, elclculo de sus razones trigonomtricas es simple; y tambinnotars que algunas de ellas son positivas y otras negativas,lo cual depender definitivamente del cuadrante al quepertenezca el ngulo. Estableceremos por ello una reglaprctica para los signos de la razones trigonomtricas.

Signos de las Razones Trigonomtricas

y

x

Positivas todasS en (+)csc

tg (+)ctg

C os (+)sec

Por ejemplo:

sen 140: (+) sec 220: ( )

cos 200: ( - ) tg 190: ( )

tg 320: ( - ) csc 350: ( )

IIC IIIC

IIIC IIIC

IVC IVC


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135

Trigonometra

R A Z O N E S T R I G O N O M T R I C A S D E N G U L O SCUADRANTALES

Vamos a calcular las razones trigonomtricas de 90ydespus enunciaremos las de los otros ngulos cuadrantales,ya que, su clculo es muy similar. Debemos antes enunciaruna propiedad para los ngulos conterminales, la cual dice:

Si y son coterminales R.T. () = R.T. ()

y

xb

a

Ahora bien, dibujamos el ngulo cannico que mide 90ytenemos un punto cualquiera de su lado final; as:(0, n)

x

y

(0; n)x y

r = n

90

Luego:

sen90= = = 1

csc90= = = 1

cos90= = = 0

sec90= = : n.D.

tg90= = : n.D.

ctg90= = = 0

yr

nn

(x, y) r = n

ry

nn

xr

0n

rx

n0

y

x

n

0xy

0n

Para los dems ngulos, lo resumimos en el cuadrosiguiente; notando que las R.T. de 0y de 360son lasmismas, ya que son coterminales.

sen

0; 360 90; 180; 270;

2 /2 3/2

cos

tg

ctg

sec

csc

0 1 0 -1

1 0 -1 0

0 N.D. 0 N.D.

N.D. 0 N.D. 0

1 N.D. -1 N.D.

N.D. 1 N.D. -1

Por ejemplo, calculemos: C = (sen90-2cos180)(3sen270 + cos90) Reemplazando:

C = [1-

2(-

1)][3(-

1) + 0] C = (3)(-3)

C = -9

Resolucin:

1. A partir del grfico adjunto, calcula:C = 3sen+ 1/6 cos

y

x

(-12; 5)

513( (

\ C = 1

Del grfico: sen= cos= Luego:

C = 3 +

C = -

513

-1213

16

-1213( (

15

13

2

13

y

x

(-12; 5)

A O

13H


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136

4to Secundaria

Resolucin:

2. Si los puntos P(-1;2) y Q(3; -2) pertenecen a los ladosfinales de los ngulos cannicosy,respectivamente,calcula:

L = sensen

Resolucin:

x

y(-1; 2)

(3;-

2)

Para :A = -1

O = 2

Graficando:

H = 5 sen=2

5

Para :A = 3

O = -2 H = 13 sen=-2

13

Luego: L = sensen

L = .2

5

-2

13( (

\ L =-4

65

3. Seala el signo de:

C = sen200cos138tg214sen317

Resolucin:

En la expresin:

C = sen200cos138tg214sen317

C = ( - )( - )(+)( - )

IIIC IIC IIIC IVC

( - ) (+)( - ) ( - )

\ C = ( - )

4. Seala el signo de:L = (sen120+ tg140cos220)(sen248-cos324)

Resolucin:

En la expresin:

L = (sen120+ tg140cos220)

(sen248-cos324)

L = {(+)+( - )( - )}{( - ) - (+)}

L = (+)( - )

IIC

( - )

IIC

(+)

IIIC

( - )

IIIC

( - )

IVC

(+)

(+) ( - )

(+)

\ L = ( - )

5. Sabiendo que: tg= -2/3; IIC, calcula:

C = sen+ cos

Mtodo formal:

y

x

(-3; 2)

13

Luego: C = sen+ cos

C = +2

13

-3

13

\ C =-113

tg= =-23

yx

y = 2x = -3

r = 13

IIC


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137

Trigonometra

Mtodo prctico:

tg=-2

3

13

32

IIC

Luego:

sen= y cos =

reemplazamos en: C = sen+ cos

C = +

2

13

-3

13

2

13

-3

13

\ C =-1

13

6. Sabiendo que: sen=-1/3; IIIC, calcula:

L = 2 cos- tg

Resolucin:

1

2

Aplicamos el mtodo prctico:

sen=-13

L = 2cos- tg

L = 2 -

L = - -

1

2

-2 23( (

1

2

22 2( (

43

14

\ C = - 1912

7. Sabiendo que , y son ngulos cuadrantales, talesque:

0 < < < < 2, calcula C = 3sen-2cos+ sen

Resolucin:

Como , y son cuadrantales entre 0 y 2, tenemoscomo nicas posibilidades: /2, , 3/2 y tambin< < entonces:

= /2; = ; = 3/2

Luego:

C = 3sen -2cos+ sen 3

C = 3 + 2 -1

2

2

1 -1 -1

\ C = 4

1

IIIC

2 2

L o s egi pc i o s y l o sbabilonios inventaronmtodos para medirngulos determinadospor varias estrellas. Enel siglo XVI antes de laera cristiana, la escribaAhmes escribi su famosopapiro donde se ve que

los egipcios conocan, entre otras cosas, que la

circunferencia de un crculo era un nmero fijode veces su propio dimetro, que era nmeroinconmensurable que desde el siglo XVII se designacon la letra griega .


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138

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

S a b i e n d o q u e : c o s = - 2 / 3 ; I I IC

determina:

L = 5tg+ sec

Resolucin:

De acuerdo al grfico, calcula: L = 13tg-tg.

Resolucin:

A(-7; 1)

x

yB(1; 7)

De acuerdo al grfico, calcula:L = 19tg-11tg.

Resolucin:

De acuerdo al grfico, calcula:L = 12ctg-24ctg.

Resolucin:

x

y

16

x

y

A(1; -7)

B(9; -3)


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139

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6

8. Seala los signo de:

C = tg127-cos300

L = cos290-cos190

10. Siendo: ctg= 3; IIIC, determina:

L = 10 sen-(1/ 10) cos

7. Sabiendo que:sen< 0 y cos > 0; entonces pertenece al:

9. Si los puntos P(-2, 3) y Q(a -1; a) pertenecen allado final de un ngulo cannico , calcula:

L = a(tg-1)

De acuerdo al grfico, calcula: tgsi AM = MB.

Resolucin:

y

x

A(-5; 1)

M

B(1; 7)

De acuerdo al grfico, calcula: L = 5tg-7tg.

Resolucin:

x

y

37

11. Sabiendo que: sen tg < 0; adems:

|cos| = 1/3, calcula:L = 2sen+ (1/ 2)tg

12. Sabiendo que: cos sen < 0; adems:|tg| = 0,75, calcula: L = 2sen-cos


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140

4to Secundaria

1. De acuerdo al grfico, calcula:L = sen+ cos

a) 1/ 13

b) -1/ 13

c) 2/ 13

d) -2/ 13

e) -5/ 13

6. Seala el signo de: C = sen217cos132tg260sen318

a) (+)b) (-)c) (+) o (-)d) 0e) No se puede precisar

7. De acuerdo al grfico, calcule: C = 3sec+ 4ctg

a) 6

b) -6

c) 4

d) -4

e) -8

3. Seala el signo de:C = tg117cos248cos316sen136

a) (+) b) (-)c) (+) o (-)d) 0 e) No se puede precisar

4. Seala los signo de: C = sen140-cos130 L = tg117+ cos246

a) (+), (+) b) (+), (-)c) (-), (-)d) (-), (+) e) No se puede precisar

9. Si el punto P(-2; -3) pertenece el lado final delngulo cannico , calcula: C = 5cos+ sen

a) 13 b) c)1313

d) -1313 e) -

2 1313

10. Siendo: tg= -2; IVC, calcula: C = 5sen-(1/ 5) cos

a) -2, 1 b) -2, 2 c) -2, 3d) 2, 1 e) 2, 2

11. Sabiendo que:tg< 0 y sen > 0; entonces pertenece al:

a) IC b) IICc) IIICd) IVC e) Es cuadrantal

12. Sabiendo que:sen= -0,6; |tg|= tg; determina el valor de:

C = 5sec-2csc

a) 1 b) -1 c) 0

d) 2 e) -2

5. Sabiendo que: cos =-

0,28; |sen|=-

sen,calcula: L = csc + ctg

a) 0,75 b) -0,75 c) 0,5d) -0,5 e) -0,25

2. De acuerdo al grfico, calcula:

L = sen-

cos

a) 1/ 10

b) -1/ 10

c) 2/ 10

d) -2/ 10

e) -4/ 10

y

x

(-1; -3)

y

x

(-3; 2)

y

x

(-3; 4)

8. De acuerdo al grfico, calcula:

C = 5csc-ctg

a) -7

b) 7

c) 3

d) -3

e) 1

y

x

(2; -1)

- 13


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141

Trigonometra

14Reduccin al Primer Cuadrante I

OBJETIVOS:

aCalcula las razones trigonomtricas de un ngulo de cualquier medida, identificando el caso al que pertenece: ya seanpositivos menores que 360, mayores que 360 o ngulos de medida negativa.

REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

Es el procedimiento mediante el cual se determinan las razonestrigonomtricas de un ngulo que no es agudo, en funcin deotro que si lo sea. Vamos a distinguir los siguientes casos:

I. NGULOS DE MEDIDA ENTRE 90 Y 360

Sies el ngulo no cuadrantal de medida comprendidaentre 90 y 360, entonces se cumple:

Si II C R.T.()= R.T.(180-)

Si III C R.T.()= R.T.(-180)

Si IV C R.T.()= R.T.(360-)

El signo () depender de la R.T. pedida y del cuadranteal que pertenece el ngulo original.

Por ejemplo:

sen 150 = + sen(180-150)= + sen 30 = 12

II C

sen 225 = -sen(225-180)= -sen 45 = -

III C

cos 300 = + cos(360-300)= +cos 60 = 12

ctg 315 = -ctg(360-315)= -ctg 45 = -1

IV C

IV C

tg 240 = + tg(240-180)= -tg 60 = - 3

III C

22

cos 135 = -cos(180-135)= -cos 45 = - 22

II C

Demostraremos para II C:

Si P(x,y) pertenece al lado final de , tomamos Q(-x;y)

simtrico de P respecto al eje Y, luego Q pertenece al

lado final de , con el detalle de que: QT=PS= y

+=180. Tenemos entonces:

sen = ; sen =yr

yr

cos = ; cos =-xr

xr

tg = ; tg =-

=-yx yx yx

Apreciamos entonces:

sen=sen=sen(180-)

csc=csc=csc(180-)

cos=-cos=-cos(180-)

sec=-sec=-sec(180-)

tg=-tg=-tg(180-)

ctg=-ctg=-ctg(180-)

R.T.() = R.T.(180-)

S

P(x;y)

y

O T x

r

Q(-x;y)


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142

4to Secundaria

Ahora, si III C :

Si P(x,y) pertenece al lado final de , tomamos Q(-x;-y)

simtrico de P respecto al origen del sistema cartesiano;

luego Q pertenece al lado final de , con el detalle de que:

-=180 -180=

Tenemos entonces:

Apreciamos entonces:

sen=-sen=-sen(-180)

csc=-csc=-csc(-180)

cos=-cos=-cos(-180)

sec=-sec=-sec(-180)

tg=tg=tg(-180)

ctg=ctg=ctg(-180)

R.T.() = R.T.(-180)

sen = ; sen =-yr

yr

cos = ; cos =-xr

xr

tg = ; tg =-

=yx

yx

yx

-

II. NGULOS DE MEDIDA MAYOR QUE 360

Si es el ngulo de medida mayor que 360; entonces

el ngulo se divide entre 360, se elimina el cociente y

tomamos el residuo en lugar del ngulo original. Esto es:

P(x;y)

y

x

Q(-x;-y)

r

r

R.T.()=... 360 ... = R.T(r) q r

La demostracin es muy simple, ya que, al dividir:

360q

r

Se cumple:=360.q+r ; por el algoritmo de la divisin.

Luego: - r =360.q; q Z

Esto significa que y r son coterminales

R.T.() = R.T.(r)Ahora veamos algunos ejemplos:

sen 1140=... 1140 360 ... =sen 60

3108060

sen 1140= 32

cos 2565=... 2565 360 ... =cos 45

7252045

cos 2565= 22

tg 1200=... 1200 360

31080120

... =tg 120=-tg 60 tg 1200=- 3

III C

III. NGULOS DE MEDIDA NEGATIVA

En este caso se deber tener en cuenta el siguientecriterio de clculo:

Por ejemplo:

sen(-45)=-sen45= -

cos(-60)=cos60=

tg(-30)=-tg30= -

1

2

22

32

sen(-)=-sen csc(-)=-csc

cos(-)=cos sec(-)=sec

tg(-)=-tg ctg(-)=-ctg


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143

Trigonometra

1. Determina el valor de:C=sen120 cos240

Resolucin:En la expresin:

C=sen120 cos240 ... (1)

La demostracin es simple; tomemos el ngulo cannico de medida positiva y el punto P(x;y) de su lado final.Tomamos Q(x; -y)simtrico de P respecto del eje x; luegoQ pertenece al lado final del ngulo -.

Tenemos:

sen = ; sen(-)=-yr

yr

cos = ; cos(-) =xr

xr

tg = ; tg(-)=-yx

yx

P(x;y)

y

x

Q(x;-y)

r

O

-

r

s

Apreciamos que:

sen(-)=-sen csc(-)=-csc

cos(-)=cos sec(-)=sec

tg(-)=-tg ctg(-)=-ctg

sen120=+(sen180-120)=sen60= 32

II C

cos240= -cos(240-180)=-cos60=- 12

III C

Luego, en (1): C= -

C=-

3

2

1

2 34 ( )

2. Determina el valor de:L=sen135 cos210 tg300

Resolucin:

Analizamos cada trmino de la expresin:

sen135=+sen45= 22

II C

cos210=-cos30=-

III C

32

tg300= -tg60=- 3

IV C

L= - (- 3)

L=

22 ( )

32

3 24

3. Calcula:

Resolucin:

En la expesin:

C=cos40+cos80+cos100+cos120+cos140

C=cos40+cos80+cos100+cos120 + cos140

-cos80 -cos60 -cos40

C=cos40+cos80-cos80-cos60-cos40

C= -cos60 C=- 1

2


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144

4to Secundaria

4. Calcula:C=tg2400 tg1200

Resolucin:

Analizamos cada trmino de la expresin:

tg2400= tg240=+tg60= 3

2400 360240 6

tg1200= tg120=-tg60=- 3

1200 360120 3

Luego: C=( 3)(- 3) C= -3

6. Calcula:C=sen(-240) cos(-120)

Resolucin:

Analizamos cada trmino:

sen(-240)= -sen240=(-sen60)=

5. Seala el valor de:L=sen 2580 cos3360 tg4200

Resolucin:


2580 36060 7

sen2580= sen60= 32

3360 360120 9

cos3360= cos120=-cos60=- 1

2

4200 360240 11

tg4200= tg240=+tg60= 3

L= - 3

L=-

32 ( )

12

34

II C

32

cos(-120)= cos120= -cos60=-

II C

12

Luego:C= - C= -12

32 ( )

34

7. Si es el ngulo interior de un polgono regular de20 lados; determina el valor de:

Resolucin:

C=sen( -27) cos( +78)tg(42- )

Sabemos que: i=

interior de un polgono regular de n lados.

180(n -2)n

180(20-2)20

= =162

Piden calcular:C=sen135 cos240 tg(-120)C=-sen135 cos240 tg120

Transformando:C=-(sen45) (-cos60) (-tg60)C=-sen45cos60tg60

Reemplazando:

C=- . . 3

C=-

22

12

64

La medida de los ngulosque hoy no es comn, seremonta al tiempo de laescuela de Alejandra enlos principios de la eracristiana. Los matemticosgriegos dividieron la

circunferencia en 360partesiguales, posiblementecopiando a los babilonios, llamando a cada una dedichas partes una moira. Esta palabra griega se tradujoen latn medieval como de-gradus, "un grado o pasopartir de". As pues nuestra palabra "grado" significael primer paso para determinar la medida de un giro orevolucin completa, es decir, 1/360 de tal revolucin.Luego divieron cada grado en sesenta partes iguales,a cada una de las partes se le dio el nombre de "pars"nimuta prima, "primera parte menor". De aqu sededuce la palabra "minuto" (abreviada;') con unsiginificado doble de "primera parte menor de ungrado" o "primer parte menor de una hora".


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145

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Calcula:

C = + 1

Resolucin:

cos110

cos70

L = cos50+cos70+cos110+cos130

Calcula:

Resolucin:

sen200 sen240

sen160

Calcula:

C =

Resolucin:

sen320 tg160 sen225

sen140 tg340

Calcula:

L =

Resolucin:


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146

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula:

C=sen1310+sen130

Resolucin:

Calcula:

L=tg1720+tg260

Resolucin:

7. Calcula:C=sen1910+sen2770

8. Calcula:L=cos3000+cos4260

9. Siendo un ngulo agudo, tal que:

tg=tg(-20)+5tg200

-2tg160

Calcula: C=sencos

10. Halla , tal que: 3 <


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147

Trigonometra

1. Seala el valor de:C=sen120 cos135

a)62

b) - 62

c) 64

d) - 64

e) - 34

2. Seala el valor de:

L = sen143 cos120

a) 0,3 b) -0,3 c) 0,6

d) -0,6 e) -0,8

3. Calcula:C=tg120 cos240 tg225

a)32

b) - 32

c) 34

d) - 3

4

e) 6

2

4. Calcula:L=sec135 tg210 sen240

a) 2 b) - 2 c)22

d) - 22

e) - 62

5. Seala el valor de:

C=sen150cos210tg300sec330

a) 3 b) - 3 c)32

d) -32

e) 62

6. Seala el valor de:L=cos120tg225sec300sen307

a) 0,2 b) -0,2 c) 0,4

d) -0,4 e) 0,8

7. Calcula:C=cos1200 sen765

a) 22

b)24 c) -

22

d) - 24

e) - 28

8. Calcula:L=tg2400 cos1110

a) -1,5 b) 1,5 c) 1

d) -1 e) -3

9. Calcula:C=cos1920 cos2670

a) 3 b) - 3 c) - 12

d) - 34

e) 34

10. Calcula:

C=sen(-120)ctg(-210)

a) 1,5 b) -1,5 c) 3

d) -3 e) 2

11. Calcula:

C=cos(-240)sen(-225)

a) 24

b) - 24

c) 36

d) - 34

e) - 64

12. Calcula:

sen(-2400)

a) 12

b) -12

c)32

d) - 32 e)- 22


16/36

148

4to Secundaria

15Reduccin al Primer Cuadrante II

OBJETIVOS:

aReducir expresiones que contengan trminos del tipo: R.T.(90.n ), n Z.aReconocer las propiedades para ngulos suplementarios y utilizarlas correctamente en la simplificacin de expresiones.a

Adaptar los casos anteriores a la resolucin de situaciones geomtricas.

REDUCCIN AL PRIMER CUADRANTE

Continuamos ahora con lo dos ltimos casos de reduccinal primer cuadrante:

I. NGULOS DE LA FORMA:

90.N , N Z

Vamos a tener que analizar los siguientes casos:

R.T.(90.n )

Por ejemplo:

90+ IIC90- IC270+ IVC270- IIIC180+ IIIC

180- IIC360+ IC360- IVC

{n=1 : R.T. (90 )n=3 : R.T. (270 )

{n=2 : R.T. (180 )n=4 : R.T. (360 )

Para los cuales se cumplir:

R.T.(270

) = CO-R.T.()90

Depender de la R.Ty del ngulo original.

sen(90+)= + cos

II C

tg(270-)= + ctg

cos(270-)= -sen

sec(90+)= -csc

II C

III C

III C

R.T.(360

) = R.T.()180

Depender de la R.Ty del ngulo original.

Por ejemplo:

sen(180+)= -sen

III C

tg(360-)= -tg

IV C

cos(360-)= + cos

sec(180-)= -sec

II C

IV C

En todos los casos se asume que es un ngulo; por loque podemos afirmar que:


17/36

149

Trigonometra

Una demostracin simple para: 90+

T

(-y;x)Q

y

O S

x r

P(x;y)r y

xxy

90+

Notamos ahora que:

sen(90+)= ; sen =xr

yr

cos (90+)=- ; cos =yr

xr

ctg (90+)=- ; ctg =yx

xy

tg (90+)=-

=- ; tg =xy

yx

xy

Tomamos el punto P(x,y) del lado final del ngulo cannico y trazo OQ de modo que QP=90 OQ=OP=r luegolos tringulos OSP y OTQ sean congruentes: OT=PS yTQ=OS entonces Q sera: (-y,x)

Tomamos el punto P(x;y) del lado final del ngulo cannico y trazamos OQ de modo que PQ=180 y OQ=OP=r,Q sera el simtrico de P respecto a O, as que suscoordenadas seran Q(-x; -y).

Notamos ahora que:

De donde:

sen(90+)= cos csc(90+)= seccos(90+)= -sen sec(90+)= -csc

tg(90+)= -ctg ctg(90+)= -tg

R.T.(90)= CO-R.T.()

Ahora, demostraremos para: 180+

P(x;y)

y

x

Q(-

x;-

y)

r

r180+

O

sen(180+)=- ; sen =yr

yr

cos (180+)=- ; cos =xr

xr

tg (180+)=-

= ; tg =y

x

y

x

y

x-

De donde:

sen(180+)= -sen csc(180+)= -csc

cos(180+)= -cos sec(180+)= -sec

tg(180+)= tg ctg(180+)= ctg

R.T.(180)= CO-R.T.()

Vamos a analizar el caso: R.T. (a )b

Se procede as:

a 2b qr

R.T.(a )=R.T.(r )b

b

Por ejemplo:

sen 1233 = ... ... = sen 1 =11233 4 308

1

2

2

co 1343 = ... ... = cos 1 =-11343 2 671

1

tg 3271 = ... ... = tg 1 =3271 6 545

1

3

6

33

Propiedad:

si: x+y=180 {senx = senycosx = -cosytgx = -tgy

Para demostrar:

x=180-y senx=sen(180-y)=+seny

cosx=cos(180-y)= - cosy

tgx=tg(180-y)= -tgy

II C

II C

II CPor ejemplo:

sen120 = sen60cos140 = -cos40tg130 = -tg50

II. NGULOS DEL TIPO:

a ; a>2b>0b


18/36

150

4to Secundaria

1. Reduce:C=sen(90+) csc (270-)

Resolucin:


II C }sen(90+)=+cos

csc(270-)=-sec

III C

C=(cos)(-sec)=-cossec

1

C=-1

2. Reduce:

L=tg(90+) tg(180-) tg (270-)

Resolucin:


}II C

tg(180-)=-tg

II C

tg(270-)=+ctgIII C

tg(90+)=-ctg

L=(-ctg)(-tg)(+ctg) =ctgtg ctg

1

L=ctg

3. Seala el equivalente de:C=cos(-270)

Resolucin:

En la expresin: C= cos(-270) C= cos[-(270-)]= cos(270-)

III C

Resolucin:

Luego : L= 1(1) L=1

4. Calcula:L=sen 173 cos220

2


sen 173 = sen =12

2

173 4 43

1

cos 220 = cos 0=1

220 2 110

0

C=-sen

Resolucin:

Queda : C= cos0 + sen0

5. Siendo que: x -y=; reduce:C=cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy)

Como: x - y = x = +y

Luego : C= cos(senx+seny)+sen(cosx+cosy) C= cos [sen(+y)+seny]+sen[cos(+y)+cosy]

-seny -cosy

C=11 0

Resolucin:

6. Sabiendo que: x+y=3 ; reduce:

L=senx secy+tgxtgy

2

Como: x+y=3 x=3 -y2

2

Luego : L= senx secy + tgxtgy L= sen(3 -y)secy + tg(3 -y)tgy

L= -cosy secy + ctgy tgy

L= -1+1 L=0

-cosy

2

2

ctgy

1 1

Resolucin:

7. Sabiendo que: x+y= ; calcula:

C=tg(5x+2y)tg(2x - y)

2

En la expresin:

C= tg(5x+2y) tg(2x -y)

C= tg tg C= tg(3 +) tg

L= -ctgtg

C= -1

2

-ctg

; =5x+2y =2x -y

-=3x+3y=3 2

1

=3 + 2


19/36

151

Trigonometra

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3 A qu es igual: sen( -)

Resolucin:

Reduce:C=sen(223+x) sec 217 +x

Resolucin:

2( (

Simplifica:

L=sen 3 + sen(-)

cos(2-)

2( (

Resolucin:

Reducir:

L=

2

sec - ctg(-)

csc(-2)

( (

Resolucin:


20/36

152

4to Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6De acuerdo al grfico, calcula: tg.

Resolucin:

B

37A

C

M

De acuerdo al grfico, calcula:

L=tg tg si: AP=2PE.

Resolucn:

7. Reduce:

2sen(+x)cos +x sec 3 +x

sec(2-x)C=

2( ( ( (

8. Reduce:

2sen 175 +x cos(157-x)

sec(244-x)L=

( (

9. Siendo un ngulo agudo; tal que: cos=1/3;calcula:

L=

32

sen - cos(-)

csc-

2

( (

( (

A

37

D

P

B C

E

10. Siendo: tg= 6; IC calcula:

C=

32

sen - tg(-)

sec -2

( (

( (

11. Si: x - y=3/2

Reduce:

C= senx+cosy+1tgx+ctgy+1

12. Siendo: 3x+2y=32

Reduce:

L=tg(2x+y)tg(x+y)tg(3x+4y)

tg3x


21/36

153

Trigonometra

1. Reduce:

C=tg(90+)tg(270+)

a) tg2 b) -tg2 c) ctg2

d) -ctg2 e) 1

2. Reduce:

C=sen(270-)sec(90-)

a) 1 b) -1 c) tg

d) -tg e) -ctg

3. Seala el equivalente de:

sen(180+).

a) sen b) -sen c) cos

d) -cos e) -csc


tg(360-)

a) -tg b) tg c) ctg

d) -ctg e) -1

5. Reduce:

C= sen(270+)cos(180-)sec(360-)

a) cos2 b) -cos2 c) cos3

d) -cos3 e) cos

6. Reduce:

L=tg(180-)tg(270-)

tg(360-)

a) tg b) -tg c) ctg

d) -ctg e) -ctg3

7. Calcula:

C=sen1572

sen3212

a) 0 b) 1 c) 2

d) -2 e) -1

8. Calcula:

L=cos217sen2332

a) 0 b) 1 c) -1

d) 1/2 e) -1/2


2( (sen 117 +x

a) senx b) -senx c) cosx

d) -cosx e) -cscx


2( (tg 237 +x

a) ctgx b) -ctgx c) tgx

d) -ctgx e) -1

11. Reduce:

2( (

C=tg(120-x) tg 137 -x

a) tgx b) tg2x c) -tg2x

d) -ctg2x e) -1

12. Reduce:

C=

2sen(132-x)cos 137 +x

sec 223 +x2

( (

( (

a) sen3

x b)-

sen3

x c) cos3

xd) -cos3x e) -csc3x


22/36

154

4to Secundaria

16CircunferenciaTrigonomtrica I

OBJETIVOS:

aRepresentar los valores numricos del seno o coseno de un rea cualquiera, sobre la circunferencia trigonomtricamediante lneas trigonomtricas, para comparar dichos valores y establecer relaciones de orden entre ellos.

a

Determina correctamente longitudes de segmentos o reas de determinadas regiones usando las lneas trigonomtricas.

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMTRICA

antihorario : AM (+)

Sobre esta circunferencia, todo arco deber ser dibujadoa partir de "A", ya sea en sentido horario o antihorario:

horario : AN (-)

Los puntos "M" y "N" se denomian exteriores de arcoy son de vital importancia para representar las razonestrigonomtricas.

Notamos tambin la correspondencia existente entreun arco y su ngulo central correspondiente:

= AM =rad

Debido a esta correspondencia, se cumple:

R.T. (rad) =R.T.()

LNEAS TRIGONOMTRICAS.

Son segmentos dirigidos que representan los valoresnmericos de las razones trigonomtricas de un ngulo, arcoo nmero cualquiera; siempre que se encuentre definido.

1. L.T. SENO. El seno de un ngulo, arco o nmero queda representado

sobre la C.T. mediante la ordenada de su extremo de

arco asociado en ella. Es decir, la vertical trazada delextremo del arco asociado al eje de abscisas.

Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con elorigen del sistema cartesiano y cuyo radio es igual a la unidaddel sistema. En el grfico adjunto anotaremos que:A(1;0): origen de arcos.B(0;1): origen de complementos de arcos.A'(-1;0): origen de suplemento de arcos.B'(0:-1): annimo.

A' A

M

yB

R=1 1

10

B'N

radx

En el grafico se ubicaron los arcos 1,

2,

3y

4; y se

trazaron sus respectivos L.T. seno, tal como se muestran en

el dibujo. Notamos adems que:

sen1

y sen2:(+)

sen3

y sen4:(-)

Adems:

(sen)mx

=1 y (sen)mn

=-1

A' A

M4-

1

1

B'

1

sen4

x

4

M1

M3

M2

2

By

3

sen1sen

2

sen3


23/36

155

Trigonometra

Vamos a demostrarlo, tomando un arco del II C; enel cual anotaremos que:M (x;y) es su extremo y OM =1, quien es el radio vector de "M".Adems que AM = rad, quien es un ngulo cannico,luego:

senrad = =

sen = y = PM

yOM

y1

sen= PM

A' A

C.T.

1

B'

x

By

P 0

(x;y)Mrad.

2. L.T. SENO. El coseno de un ngulo, arco o nmero cualquiera,

queda representado sobre la C.T. mediante la abscisade su extremo de arco asociado en ella. Es decir, es lahorizontal trazada desde el extremo del arco asociadoal eje de ordenadas.

En el grafico se ubicaron los arcos 1,

2,

3y

4; y se

trazaron sus respectivas L.T. coseno, tal como se muestraen el dibujo.

Notamos adems que:cos

1y cos

4:(+)

cos2

y cos3:(-)

Adems:

(cos)mx

=1 y (cos)mn

=-1

A' A

M4

-1

B'

x

By

cos1

1

cos2

cos3

cos4

M3

M2 M

1

3

2

1

4

Para demostrarlo, tomamos un arco del IIIC;en el cual anotaremos que M(x; y) es su extremo yOM=1, quien es el radio vector de "M"

A' A

C.T.

1

B'

x

By

P 0

rad.

Q(x;y)M

Notamos adems que AM = rad, quien es un ngulocannico, luego:

cosrad. = =

cos = x = QM

xOM

x1

cos= QM

En este captulo vamos a resolver problemas tipocomparacin de lneas, determinacin de longitudes desegmentos y reas de regiones triangulares.

1. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corresponda en: I) sen 70 > sen 140

II) sen 200 > sen 230

Resolucin: Graficamos en la C.T.:

C.T.

(+)

x

y

(+)

70140

sen 70 > sen 140

C.T.

(-) X

y

200

(-)

230sen 200 > sen 230 Rpta.: VV


24/36

156

4to Secundaria

Resolucin:

4. En la C.T. mostrada determina la longitud de AP, enfuncin de .

Resolucin:

En el clculo de longitudes de segmentos se debe teneren cuenta el signo de la L.T. a utilizar, si esta es positivase utilizar, tal como es; pero si es negativa se le cambiael signo.Por ejemplo, en el problema:

C.T.

x

A'

B'

A

yB

P

5. En la C.T. mostrada determina la longitud de PQ enfuncin de y .

Ax

y

1

-cos

M

-cosP 0

Q

C.T.

Ax

y

MP

Q

C.T.B

A'

B'N

En la C.T. mostrada, tenemos:

MS = sen (+) MS = sen

NT = sen (-) NT = -sen

Luego: OP = MS = sen OQ = NT = senEntonces: PQ = OP + OQ

2. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corresponda en: I) cos 70 > cos 340 II) cos 130 > cos 190

Resolucin:

Graficamos en la C.T.:

x

y

(+)

C.T.(+)

70

340

cos 70 < cos 340

X

y

C.T.

(-)130

cos 130 > cos 190

(-)190

Rpta.: FV

3. Sabiendo que: /2< < < , seala verdadero (V)o falso (F), segn corresponda en:

I. sen > sen .cos > cos

Resolucin:

Ubicandonos en la C.T. tenemos:

C.T.

x

y

/2 sen >sencos >cos

Notamos que:

Rpta.: VV


25/36

157

Trigonometra

6. En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin sombreadaen funcin de .

Rpta.: AP = 1- cos

MQ = COS(-) MQ = - COS

OP = MQ OP = - COS

AP = OA+OP = 1+ (- COS)

Rpta.: PQ = sen sen

AX

y

MP

QC.T.

B

A'

B'N

sen

-senS

0sen

-sen

T

Resolucin:

En la C.T. mostrada notamos que:

C.T.

x

A'

B'

A

yB

N

M

MQ = sen(+) MQ = sen

MQ = QN sen

= 2sen

MS= cos (-) MS =- cos

OQ=MS = - cos

SAbc=MN.AQ

22sen(1- cos)

2=

Rpta.: SABC = Sen (1- Cos)

C.T.

x

A'

S

A

yB

N

M

sen

senQ

-cos

10

-cos

B'

7. En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin sombreada

en funcin de .

C.T.

x

N

Q

M

y

P

C.T.

X

N

Q

M

y

P

-2cos

A

SB

-cos -cos

sen sen

MQ = sen(+) MQ = sen

MS = cos (-) MS =- cos

MS =SN =-cosMN=-2 cos

SMNPQ= PQ.MQ=(-2cos)sen

Rpta.: SMNPQ = -2sen cos

Resolucin:

En la C.T. mostrada:


26/36

158

4to Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:

I . sen70 > cos290

II. sen160=cos290

III. sen50=|sen230|

Resolucin:

Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-

ponda en:

I . sen20 = cos290

II. sen40 =|cos130|

III. |sen190|=cos280

Resolucin:

C.T.

x

A

By

A'

B'

M

En la C.I. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.

Resolucin:

En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.

Resolucin:

C.T.

xA

By

A'

B'

M


27/36

159

Trigonometra

Rpta:

5

Rpta:

6En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin

sombreada.

Resolucin:

C.T.

x

A

B

y

A'

B'

M

7. En la C.T. mostrada, halla el rea de la reginsombreada.

En la C.T. mostrada, halla el rea de la regin

sombreada.

Resolucin:

x

A

B

y

A'

B'

M P


x

A

By

A'

B'

M N

C.T.


x

A

By

A'

B'

M

NC.T.

C.T.

x

A

By

A'

B'

M

8. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:

I . sen1 > sen2 II. sen2 > sen3 III. sen4 > sen5


28/36

160

4to Secundaria


x

A

By

A'

M

B0

1. Sabiendo que:

90 cos

III. |sen|> |sen|

a) VVF b) VFV c) VFF

d) FFF e) FFV


x

A

By

A'

B'M

C.T.

3. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:

I .- o


29/36

161

Trigonometra

12. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-

ponda en:

I . sen1 > sen3

II. sen4 > sen6

III. |sen5|> |sen6|

a) VFV b) VFF c) VVV

d) FFF e) FVF

6. Seale verdadero (V ) o falso (F), segncorresponda en:

I . cos2 > cos3

II. |cos2| >|cos3|

III. cos1 > cos6

a) VVV b) VFV c) VFF

d) FVV e) FFF

7. Seale verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:

I . cos1 > |cos2|

II. cos2 > cos4

III. cos5 < cos6

a) FVF b) VVV c) VVF

d) FVV e) VFV

8. Seala el signo de desigualdad que debe ir en

el crculo:

I . sen(sen1) sen(sen2)

II. cos(sen1) cos(sen2)

a) >;> b) >;< c) ;=

9. Seala verdadero (V) o falso (F), segn corres-

ponda en:

I . sen(cos2) > sen(cos3)II. cos(cos2) > cos(cos3)

a) VV

b) VF

c) FF

d) FV

e) V; no se puede precisar

10. Seale verdadero (V) o falso (F), segn corres-ponda en:

I . sen(sen4) > sen(sen5)II. cos(cos4) > cos(cos5)

a) VVb) VFc) FFd) FVe) V; no se puede precisar

C.T.

X

A

By

A'

B'M

11. En la C.T. mostrada, demuestra que:BM= 2(1-sen)

5. En la C.T. mostrada, demuestra que:

AM= 2(1-cos)

C.T.

x

A

By

A'

B'

M


30/36

162

4to Secundaria

17CircunferenciaTrigonomtrica II

OBJETIVOS:

aDeterminar la variacin del seno y el coseno en cada cuadrante, para luego establecer las variaciones de expresionesms complicadas que dependan del seno o coseno de un cierto arco.

VAR IACIONES D E L AS R AZONES T R IGONOMTRICAS

Analizamos por cuadrantes:

1. VARIACIN DEL SENO

2. VARIACIN DEL COSENO

-1 sen 1; R

3. ALGUNAS PROPIEDADES DE DESIGUALDADES

0

sen

2

2

32 3 2

2

0 1 1 0 0 -1 -1

Es decir:

y 0 sen2 1; R

Analizamos por cuadrantes:

0

cos

2

2

32 3 2

2

1 0 0 -1 -1 0 0 1

0

-1

1

x

/2y

2

32

0-11 x

/2y

2

32

Es decir:

-1 cos 1; R y 0 cos2 1; R

a< x < b a c


31/36

163

Trigonometra

ax2 >b2; a, b R-

0 x2< mx{a2, b2};

a R-y b R+

Ejemplo:

2 < x 4 4 < x216

-3< x < -1 9 > x2 > 1

-2 x 3 0 x2 9

4. CONSIDERACIN FINAL

Sabemos que para un arco :

MP = senMQ = cos} M(cos; sen)

Es decir, el extremo de un arco cualquiera tendrsiempre como componentes al coseno y al seno del arcocorrespondiente. Por ejemplo "N" es el extremo del arco f,luego las coordenadas de N seran:N(cosf; senf)

Con esta indicacin podemos calcular superficies detringulos, usando el criterio visto en sistema cartesiano.Por ejemplo, vamos a determinar la superficie de la reginsombreada en la C.T. mostrada.

AA'x

yB

M

C.T.B'

S

Notamos primero que las coordenadas de: M son (cos, sen) A son ((1; 0) B' son (0; -1)

A(1; 0)S

B'(0; -1)

M(cos; sen)

Empezando en M:

cos sen 0 -1 1 0

cos sen

-cos0

sen

(+)

sen-cos

0-1

0

(+)

-1

S =(sen-cos)-(-1)

2

S =1 +sencos

2

1) Sabiendo que R, seala la variacin de:C = 5sen+ 1.

Resolucin:

Sabemos que:R -1 sen 1

x5: -5 5sen 5 +1: -4 5sen+1 6

C-4 C 6 \ C [-4; 6]

2) Sabiendo que R, seala la extensin de:L = 7 -3cos.

Resolucin:

Sabemos que:R -1 cos 1

x(-3): 3 -3cos -3 +7: 10 7-3cos 4

L

10 L 4\ L [4; 10]

AA'x

yB

P

sen

cosM

C.T.B'

Nf

Q


32/36

164

4to Secundaria

3) Sabiendo que IIC, seala la variacin de: C = 5 +2cos.

Resolucin:

Sabemos que:IIC -1 < cos< 0

x2: -2 < 2cos< 0 +5: 3 < 5 + 2cos< 5

C

3 < C < 5

\ C < 3; 5>

4) Sabiendo que IIIC, seala la variacin de:

L = 3 -

Resolucin:

Sabemos que:IIIC -1 < sen< 0

x2: 1 < sen +2 < 2

2: < < 1

invirtamos: 2 > > 1

x -1: -2 < -

2sen+2

sen+ 22

12

2sen+2

2sen+2

2sen+2

L

5) Sabiendo que R, seala el valor mnimo de:C = sen(sen+ 3)

Resolucin:

En la expresin: C = sen2

+ 3sen completando cuadrados, tenemos:

C=sen2+ 2( )sen+( )2-( )2

C=(sen+ )2 -

Sabemos ahora:

R -1 sen 1

+ : sen +

elevamos al cuadrado: (sen+ )2

- : -2 (sen+ )2- 4

32

32

32

32

94

32

12

32

52

14

32

254

94

32

94

-2 C 4

\ Cmn

= -2

C

6) Sabiendo que < ; >; seala la extensin de:

L = 4sen(2- ) -1

Resolucin:

7123

En la expresin: L = 4sen(2- ) -1

L = 4sen- 1

tenemos que:

trigonometria 4to (13 - 17) correccion

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