trigonometria super resumida
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICASNO TRIÂNGULO
RETÂNGULOProfessora Telma Castro SilvaISERJ – 2011
Versão resumida
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O triângulo é uma das figuras mais simples emais importantes da Geometria, objeto deestudos desde os povos antigos.
O triângulo possui propriedades e definiçõesde acordo com o tamanho de seus lados emedida dos ângulos internos.Quanto aos lados, o triângulo pode serclassificado da seguinte forma:
Equilátero:
Isósceles:Escaleno:
possui todos os lados com medidasiguais.
possui dois lados com medidasiguais.possui todos os lados com medidasdiferentes.
=
=
==
= =
―
≡
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Equilátero:
Isósceles:Escaleno:
possui todos os lados com medidas iguais. possui dois lados com medidas iguais.
possui todos os lados com medidas diferentes.
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Equilátero:Isósceles:
Escaleno:
possui todos os lados com medidas iguais. possui dois lados com medidas iguais. possui todos os lados com medidas diferentes.
Equilátero ouEquiângulo:Isósceles:
Escaleno:
possui três ângulos iguais.possui dois ângulos iguais.possui todos os ângulos diferentes.
Lembre-se que a soma dos três ângulosinternos de qualquer triângulo é sempreigual a 180°
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Quanto aos ângulos, os triângulos podem serdenominados:
Acutângulo:
Obtusâng
ulo:
Retângulo:
possui os ângulos internos commedidas menores que 90°(ângulos agudos).possui um dos ângulos com
medida maior que 90° (ânguloobtuso).possui um ângulo com medida de90°, chamado ângulo reto.
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No triângulo retângulo existem algumasimportantes relações e uma delas é o
Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte:“A soma dos quadrados dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa”.
Essa relação é muito importante na geometriae atende inúmeras situações envolvendo
medidas. h i p o t e n u s a
c a
t e
to
cateto
(hipot)2 = (cat)2 +(cat)2
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As relações trigonométricas existentes notriângulo retângulo admitem três casos: seno,
cosseno e tangente.
α
h i p o t e n u s a catetooposto
cateto adjacente
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Vamos determinar as relações deacordo com o triângulo ABC com lados
medindo a, b e c.
•A
a
B •
b
•C
c
a2 = b2+ c2
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•A
a
B •
b
•C
c
a2 = b2+ c2
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•
A
a
B •
b
•C
c
a2 = b2+ c2
No triângulo retângulo os doisângulos agudos sãoCOMPLEMENTARES⇓
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Razões Trigonométricas Especiais
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Relação Fundamental daTrigonometria
•
A
a
B •
b
•C
c α
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Outra relação entre as razõestrigonométricas
•
A
a
B •
b
•C
c α
Vamos calcular oquociente:
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1) Determine as medidas x e y dos lados dostriângulos abaixo:
a)
5km
xy
45o
b)
10m30o
x
y 4cm
xy
60o
c)
Exercícios
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2) Para determinar a altura de uma torre, umtopógrafo coloca um teodolito a 100m desua base e obtém um ângulo de 30º,
conforme ilustra a figura. Sabendo que aluneta do teodolito está a 1,70m do chão,qual é a altura aproximada da torre?
x
1,7
h = x +1,7
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20° 60 m
3) Um navio se encontra a 60 m. de umfarol. Calcule a altura desse farol, que é
visto de um ponto de observação de navio,sob um ângulo de 20°?Dados: sen 20° = 0,34 e cos 20° =0,94
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20°
h
60Ângulo = 20°
Cateto oposto = hCateto adjacente =60
tg 20°???!!!
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4) Sabendo que sen x = 0,3 , com 0° < x <90°, obtenha os valores de cos x e tg x :
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Questões complementares
1) Queremos encostar uma escada de 8 m decomprimento em uma parede, de modo que elaforme um ângulo de 60º com o solo. A quedistância da parede devemos apoiar a escada
no solo?
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60
°
8 m
x
Hipotenusa = 8
Ângulo = 60°Cateto adjacente= x
Resposta: 4m
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20°
c 3 m
2) Veja a ilustração abaixo:
Qual é o comprimento dessa rampa?(Use as razões para o ângulo de 20° dadas anteriormente)
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20°
3 m
c
Hipotenusa = cÂngulo = 20°Cateto oposto =3
Resposta: c =
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Ø a) AC = 10 km
Ø b) AD = 2,5 kmØ c) BC = 5√3 km
Ø
d) O ângulo BÂD mede 60°Ø e) A velocidade média do
barco é de 15 km/h
3) Na figura abaixo, em que o ponto Blocaliza-se a leste de A, a distância AB = 5 km.Neste momento, um barco passa pelo ponto C,a norte de B, e leva meia hora para atingir oponto D. A partir destes dados, assinale o quefor correto.
__
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30
°
60°
60
° 5
x
Hipotenusa = AB
= 5Ângulo = 30°Cateto oposto =AD = x
⊿ ABD:
Hipotenusa = AB = 5Ângulo = 30°Cateto adjacente =
BD = y
y
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30
°
60°
60
° 5
x
Hipotenusa = BC
= zÂngulo = 30°Cateto oposto =BD = y
⊿BCD:
y
z
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30
°
60°
60
° 5
x
⊿BCD:
y
z
w
Hipotenusa = BC
= zÂngulo = 60°Cateto oposto =CD = w
7,5 km em meia hora ⇒15 km em uma
hora∴ Velocidade = 15 km h
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30
°
60°
60
° 5
x
⊿
BCD:
y
z
w
7,5 km em meia hora ⇒15 km em uma
hora∴ Velocidade = 15 km h
Outra solução...
ou
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30
°
60°
60
° 5
x y
z
w
Resposta: Todas as alternativas estãocorretas
) i d i l
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4) Um agrimensor quer determinar a largurade um rio. Como não pode efetuardiretamente essa medida, ele procede da
seguinte forma:
Com esses dados, que medida, em metros, eleachou para a largura do rio?
• Do ponto A, situado numadas margens do rio, eleavista o topo D, de um
morro na margem oposta,sob um ângulo de 60° coma horizontal;
• Afastando-se 12 m, emlinha reta, até o ponto B,ele observa novamente otopo do morro segundo umângulo de 45° com ahorizontal.
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Dicas para a resolução da4ª questão
Considere:
x = largura do rio;
y = altura do morro.
Para resolver esteproblema, utilize doistriângulos, ∆ ACD e ∆BCD.
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45°
O triângulo BCD éisósceles e, portanto, y =
x + 12
Ângulo = 60°Cateto oposto = CD
= yCateto adjacente =AC = x
⊿ACD:
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Resposta: 16,4 m
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5) Na figura abaixo, determine as medidas dosângulos internos do ∆ ABC:
ATENÇÃO! O triângulo ABC NÃO é retângulo...
ACH
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Hipotenusa = AC =4
Ângulo =Cateto adjacente =HC = 2
⊿ ACH:
x
⊿ ACH:
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60°
Hipotenusa = AB
=Ângulo =Cateto oposto =AH =
⊿ ABH:
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60°45°
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Fontes de referência:
• Agrupamento de Escolas de Avanca Prof. Dr. Egas Moniz
http://aeavanca.hopto.org/aeavanca/
• Trabalho do Professor Alexandre Mello
http://materessurib.wordpress.com/
• Trabalho dos Professores Maria Cristina Kessler e ClaudioGilberto de Paula
http://unisinos.br/blog/ensinopropulsor/
• Colégio Militar de Fortaleza
h // f i b b /