Un capftlllode Fot~rametrfadeW.Jordán

E n diversas ocasiones el 1nsti tuto de 1ngenieros ha tratado la

cuestión del!evantamiento de nuestra carta catastral, aunque ha

. de confesarse que sin lIegar á un resultado positivo hasta ahora.

Lapresentecomunicaciónporciertoquetampocotienepreten-

siones de llegar áese resultado.

Elasuntoesd'ignodelamayoratenciónysehaceyamásymásnecesarioemprenderalgoparaencaminadoycontribuirá

formar la base de una operaciÓn de largo aliento que haya de

obedeceráunplanbienconcebidoyestudiadohastasÚsmás

ínfimos detalIes. Precisamente aquí es donde se presentan tal

vez las mayores dificultades, nacientes principalmente de la orga-nización del trabajo, de la educación y preparación del personaladecuado.

Intimamente ligado á esta cuestión está el levantamiento de

una carta general de Chile, trabajo primordial, sin el cual no seconcibe bien una carta catastral.

Aningunodeloscolegasseleescaparáquesetratadeuna

empresa de largo aliento que exige un nump.roso personal per-

fectamente organizado y sobre todo bien preparado para dar

cumplido fin á las labores que se le impongan. Todo' esto natu-

ralmente no 'se hace de balde y tal vez lo costoso de la obra haya

sido motivo para que nuestro Gobierno aun no la haya empren-dido. .

UNCAPÍTULODEFOTOGRAMETRÍA1117

Por otra parte. la mucha poJítica. con descuido de los verda-

deros intereses del país. es una herencia común á todas las re,

públicas sud americanas, de la cual tampoco ha quedado libre

nuestro Chile, y no es ella la que menos pueda haber influído

en la postergación de estos importantes trabajos.

Ante todo conviene dejar bien establecido que las cartas que

poseemos de ninguna manera pueden servimos de base para

futuros levantamientos, pues obtendríamos un conjunto más de-

fectuosoaúndespuésdegastarmuchodineroymástrabajo.En

fin, para expresarme en pocas palabras, es necesario rehacer en

primer lugar el mapa general de Chile.

Aparte de las mensuras aisladas que puedan servir para la

organización previa del trabajo, las que felizmente no escas~an,al menos en las provincias centrales, pues casi no hay hacienda

que no haya sido mensurada; aparte, digo, de estas mensuras,será ,necesario proceder á formar una especie de croquis ó algo

más que croquis. ligado á una serie de puntos fijos y bien mar-cados. Dichos croquis servirán más tarde para los levantamien-tos detallados.

Pues bien, el objeto propuesto relativo á la formació.n. de

croquis queda reducido á simples operaciones de fotografía, ql,le

ayudadas de ciertas mensuras de ángulos permiten obtener nosolo croquis. sino verdaderos planos. resultado de una copia fiel

delanaturalezadelterreno.Larapidezdelaoperaciónysu

menor costo probable. logrando un resultado que pueda bastar

álasnecesidadesdealgunosaños,mehaninducidoácomuni-

car al Instituto algunos datos sobre fotogrametría sacados del

HandbttchderVermessttngskunde,delDr.W.Jo.rdán,profesor

de la Escuela Técnica Superior de Hannover, 4,a edición de

1893, cuyo tomo II ha sido publicado hace poco.Efectivamente. creo que la fotogrametría está lIa:nada á de-

, sempeñar un papel de la mayor importancia en los futuros le-

vantafi1ientos que se hagan en nuestro país con relación al mapa

11 i"S

,

UN CAPÍTULODEFOTOGRAMETRÍAgeneral,deChile.Losejemplosquesecitanmásadelanteme

inducen á ,ello, pues tenemos aquí todas las condiciones favora-

bles que se han utilizado en 1talia, donde la fotogrametría se ha

aplicadoengrandeescala.Esascondicionf'.ssonlaescasaveje-

. tación y nuestro terreno montañoso. Hago abstracción de nues-tro valle central, en que por otro lado es más fácil la formación

de una red de triángulos geodésicos que, llevados al ordeli ne-cesario,aunenpartenoseopondránálafotogrametría.El

boscoso sur está aun lejos de permitir levantamientos más exac-

tos y más todavía de exigidos.

Hoy día en que la fotografía está puesta al alcance de todos,sehacemásfácilutilizadacomomediopCtralaconstrucciónde

planos, desde que no es precisamente necesario el empleo de

teodolitos fotogramétricos.

Sea con aparatos especiales 6 n6, habría conveniencia en

ensayar entre nosotros el procedimiento, dando así un pequeño

paso en el camino que nos ha de conducir al levantamiento delInapa general de Chile.

Precedido este trabajo de una operación geodésica y ligado

á una red de triángulos llevados hasta el orden necesario, ten-dríamos iniciada una obra buena y exacta que se podría conti-

nuar poco á poco según los medios y el personal disponibles.Mientras tanto toda mensura que se haga antes de empren-

.der operaciot1es geodésicas, será un simple trabajo aislado, dedifícilcomprobaciónymásdifíciluniónconotroslevantamien-toscercanos.Nadararoseríaentoncesencontrarfajasenblanco

ó superposiciones del terreno al tratar de hacer una carta basadaasí en trabajos aislados.

Si se toma en cuenta que una car~a catastral implica necesa-

riamente la fijación definitiva de los deslindes de los terrenos

que el1a abarca, y si se considera el sinnúmero de pleitos que

con esto pueden evitarse para el futuro, por cierto que valdría'

la pena emprender una operación que aunque llegue á costar

UN CAPiTULODEFOTOGRAMETRiAIIl9

millones con el tiempo, dej~rá tal vez iguales sumas "en manos

de los propietarios, habilitándolos para emplearlas en mejorar'

susfundasyexplotarlosmásracionalmente,enlugard~gastar-'

las en honorarios de q"bogados y pago de tinterillos.

Noconsideronecesariohacerhincapiéenlaregularización

de los impuestos y demás ventajas de carácter puramente ad-

ministrativo que trae consigo una carta catastral. Siendo estos

sus objetos principales al hacerla, ellos llegan á ser secundarios'cuando el catastro se liga al mapa general y bien detallado del

país.Lassumasquepuedenllegarseáeconomizauenestudiosde

anteproyectos de ferrocarriles, canales, etc., por sí solas pagarán

un trabajo de algunos años, pues dichos estudios pueden muy

bien quedar reducidos en gran parte á simples operaciones de

oficina y de dibujo.

Aparte de los ferrocarriles, el estudio de canales de regadío.

está íntimamente ligado á la vitalidad de nuestra producción

agrícola, y sabe Dios cuántos kilómetros de terreno hoy árido é

improductivo podrían habi]itarse dentro de nuestro territorio

haciendo los estudios- del caso, cuya base se¡\ía siempre un buen

mapa.ConvienecitaralrespectoloquediceMr.J.W.Powell

en la 2.a parte del Tenth annual report o/ the United States

Geolog-ical S¡wvey, I888-I889:

«Eláreadelaregiónárida(delosEstadosUnidos)esde

« más ó menos I.300,OOOmillas cll:-ldradas, la ,tercera parte de

«la superficie total del país. Considero qu'e de esta superficie«pueden habilitarse ec0nómical1lente por regadío y durantc'la

« presente generación á lo menos [5°,000 millas cuadradas--un

« imperio igual á la mitad del área actualmente cultivada en los

«EstadosUnidos.Regadoestetcrrcl)Onovaldríamenosde«3°¡WSOSporacrc,agregandoasí2,880.000,000peso:;álari-

« queza nacionaL»

Creo que este cálculo no necesita comentarios y sí imitación,

bien entendido que no abarca sino un punto de los tantos cuyo

1120 " UN CAPITULODEFOTOGRAMETRIAestudio quedarí~ casi ya hecho en un buen mapa detallado de

Chile. Atendida la superficie de Chile, ya la milésima parte de

la suma: citada representaría un progreso para nosotros, y el

costodelosestudiosporciertoquenoalcanzaríaátanto.La

obra misma tocaría en seguida á los interesados.

Temoextendermedemasiadoenconsideracionesydivaga-

Ciones sobre la absoluta necesidad de iniciar trabajos serios

relacionados con la carta general de Chile y paso al capítulo que

. es propiamente el objeto de la presente comunicación.IDEASFUNDAMENTALESy a poco después del descubrimiento de la fotografía nació la

idea de valerse de dos fotografías para la construcción geomé-

trica de los puntos fijados en eUas.

Inmediatamente se concibe que ha de ser posible fijar en el

espacio un objeto cualquier2- dado por dos vistas en perspectiva.

Si suponemos dos cuadros planos, en perspectiva y orientados,es decir, colocados de modo que todas las visuales dirigidas

desde los puntos dt! vista (observación) á 16s objetos en el espa-

cio, corten á los planos de los cuadros en las verdaderas imáje-

nes de los mismos objetos; en tal caso la construcción no solo

será posible, sino que en la fijación de cada punto se tendrá

también una prueba, en el sentido de que las rectas cuya inter-

sección conduce á tal fin deben cortarse en el espacio.Consideremos primeramente una sola vista en perspectiva

sobreunplanovertical.Enlafig.1sea H'HV'V elplano,OelpuntodevistaenelespacioyAsuproyecciónsobreelplano.ElpuntoAsituadoenelhorizontedelcuadroselJamapunto

principal ó también punto de vista sobre el plano.AdemásOA=resladistanciadelavistaóladistanciaprin-

cipal medida sobre la perpendicular al plano del cuadro.Si P es un punto del cuadro con la visual OP, y PIla pro-

yección,dePsobreelhorizonte,AP1=XYP1P==Ysonlas

";

UN CAPÍTULODEFOTOGRAMETRÍA'1121

coordenadas rectangulares de P sobre el plano del cuadro. Adel'

,mássehaobservadoelángulodedireccionAOP1=entreOP1ylanormalOAjuntoconelánguloverticalP1OP=1\.

Con esto se obtienen para x é y las dos ecuaciones:

x = r tango ror

y = -tango rocós ro (1)

Estas dos ecuaciones comprenden la ley general de la vista

en perspectiva sobre un plano y permiten también la determi'-

nación de la escala del cuadro en cualquier punto y cualquierdirección. Llamamos escala la razón v entre una pequeña varia-

ción lineal ds en la situación del punto sobre el cuadro y la

correspondientevariaciónelro del ángulo para el radio = lo Así

en general se tiene v = ds: dro y particularmente en el horizonte:

dx rVI=dw=cos2(,}(2~Por lo tanto si el cuadro abraza 450 del horizonte, en los bor-

dessetendráw=22030'Yparar=1s('tiene:

en el medio

en los bordes

w=oO

w=22°30'

vo= 1,000

Vl=I,172

es decir, que en el horizonte y en los bordes. la escala es 17-8-

mayor que en el medio.

Del mismo puede formarse la escala para las alturas:

dy rv =-=-2d"t¡COSWCOS2'1\(3)

Comunmente lo~ ángulos de inclinaci6n r¡ son pequeños, cuando lJIás

de 5°, y en tal caso puede hacerse el factor cos2r¡= 1, puescos2 5°= 1-0,0076.Ladespr~ciaci6ndeladiferenciacon1,cuando.r~200.rom.,

1122 UN CAPÍTULODEFOTOGHAMETRÍA)

puedeocásionarun.errormáximode0,13mm.quepuededespreciarseel,l.la mayor parte de los casos. Si se supone U'1a escala constante de al-

turas para,r¡=~2Ji°,sepodrádespreciarentre-5°yX5°lavariacióndela escala de alturas en cada ordenada, de modo que no sea necesario

construírlas. exactamente según la tangente. Por el contrario no puede

despreciarse tan fácilmente la variación de la escala de alturas dcpen-

,dit:nte de una variación de la ab~cisa ó del ángulo de dirección, pues,

por ejemplo, coso 22°= 1-0,07 así que en este caso la escala de alturasenelbord~yaes7%mayorqueenelmedio.Laexpresióngeneralparalaproporcióndelaumento(querarasve-

ces se usa) es

dsv = d<u

en que.ds2 =dx2 +dy2

l'dx = -d<u

COS2(1)

y d<u2 = (d<u COSr¡)2+dr¡2

d=~~YCOS<U.cos2r¡siendo

y por lo tanto . 1'2 (dw2cos4r¡+dr¡2cos2w)V2= -

cos4<u cos4r¡ (d<u2cos2r¡+dr¡2)(4)DETERMINACIÓNDELPUNTOPRINCIPALYDELADISTANCIA

PRINCIPAL

Supuesto un plano vertical para el cuadro, primeramente se

tratará de determinar el horizonte, en seguida sobre éste la [>0-

sici6ndelpuntoprincipalAydespuésladistanciaprincipalAO=l'perpendicularalplanodelcuadro-(fig.1.)ElhorizonteHH'seenr.ontraráfácilmentesidedospuntos

á lo menos se conocen los ángulos verticales r¡y los ángulos de

direcci6n<u,losúltimosalmenosaproximadamente,asícomola

distancia principal r también aproximada.

Así para la determinaci6n del horizonte suponemos ya cono-

cidasaproximadamentelasinc6gnitas<Uyr,quevamosádeter-

minar'en seguida, lo que es admisible contando las abscisas x

. ,

UN CAPíTULO DE FOTOGRAMETRíAI

1123

desde el medio de la hoja y trabajando por lo demás indirecta-

mentecomoentantosotroscasos.Estosupuestoyquesehaya

l11eqido exactamente con teodolito el ángulo vertical r¡ de un

punto,tendremossegún(1)Y=rsecti)tangor¡.

Esto, calculado á lo menos para dos puntos y aplicado con el

compás nos fija el horizonte.Por sí solas resultan también las proyecciones de lo.s puntos

sobre el horizonte, y si hemos medido en el espacio los ángulos

horizontalesentrelospuntos,eUossonalmismotiempolosán-

gulos entre esos mismos puntos proyectados en el.horizonte.delcuadro.

Consideremos sobre el horizonte del cuadro (fig. 3) tres pun-

tosPjP2PafijosporsusdistanciasP1P2=aYP2P3:::2.by

supongamos que se hayan medido los dos ángulos horizontales

P 1 a P 2 = a.YP2aP3=(3;conestodeterminemoslaposicióndelpuntoprincipal~yladistanciaprincipalAa=r..

Tenemos aquí el conocido problema de la fijación de un pun-

to por observación de otros tres (intersección hacia otras), conla simplificación de que los tres puntos dados P 1 P 2 P 3 estánsobre una recta.

Enlafig.2tenemosdosdistanciasaybconlosángulos

opuestos a.y(3ycomoessabido:

a bs.. = -sen

Y

" = -(3

senY a.. sena. .. sen(5)

sen y 3 a. b

scnY1=sena.:sen~tangoAa

(6)senY1-senY31-tanCT,AsenY1+senY3=1+tan;.A=cotg.(450+A)tangoY1-Y3=tang?1+-/3cotg.(45°+A)22(7)

1124 UN CAPíTULO DEFOTOGRAMETRíAConoCido1\ + 13= I 80° - (~+ 13)se puedendeterminary1Y

Y3' Sin1 embargo, todo puede expresarse inmediatamente en fun-

dónde~y13: tangoy1-Y3=cotg.~+~cotg.(450+ A)2 2 (8)

De todosmodos,puedendeterminarselostresángulosYly2YY3Yconellolastresdistancias:

a bS2 =senY1=-~sen1 3

sen~senf'J

a

SI = sen~sen12b

s 3 = sen 13sen i 2

También obtenemos los ángulos de dirección (,)1 (,)2 (,)3 de

las tres visuales con respecto áOA:

001=90°-11 (,)2= 90° - 12 (,)3 = 90°'_;3

. Para la distancia principal tenemos los tres valores:

r=SIsen11=S2senY2=s3senY3=SICOS(,)1=S2COS(,)2=S3sen(,)36 bien r espresada directamente en función de a, b y 00:acos(,)1COS(,)2bCOS(,)2COS(,):¡r- -

- sen ((,)2 - (,)1) - sen ((,)3 - (,):J(9)

También se tienen las abscisas de los tres puntos P 1 P 2 P 3

ápartirdelpuntoprincipalA:.

AP1 =x1 =slsen(,)1

=r tango (,)1

AP2=x2=s25en(,)2=r tango (,)2

AP3=X3=53sen(,)3}

CIO)

= r tango (,)3

UN CAPíTULODEFOTOGRAMETRfA1125

Estos son los valores absolutos, los que naturalmente pueden

proveerse de signos (- x á ]a izquierda y + x á ]a derecha

de A.) ,Para un ejemplo numérico tenemos: '

P 1 esquina cerro J.P 2 Minaret 11 a =79,4mm~=23°5')P3(20)b=71,2mm{3=19°33'~.

{( 1 1)

a+b= 150,6 ~+,8=42038' Jluego '( 1 + y30= 137°22'

E]cálculosegúnlasfórmulasanteriores,quenoesnecesariO

poner aquí en todos sus detalles, da:

A=43°35'6"A+45°=88°35'6"Yl=72°18'20"Y2=84°36'40'i

001=-17°41'40" 002= - 5°23'20"

S1=201,6~mm.s~=>192,93mm.

x1=-61,28 111m. X2=+ 18,I2mm.

y 3 = 65°3'4°"

003= 24°56'20"

53=211,83mm.X3=+89,32mm.r=192,08mm.PruebaXz-Xl=79.4°mm.=aX3-xz=71,20mm.=bPor]0tantoelpuntoprincipalAdelcuadroseencuentraá61,28111m.á]aderechadeP1óbiená18,12mm.á]aizquierda

de P2.

Elejemploanteriorperteneceallevantamientofiguradoenlaláminaanexa;setratadelahojaA,7respectode°1'en

que ;los puntos esquina cerro J y Minaret 11 están representa-dos por 1\ y P 2 de ]a fig. 2, mientras que e] tercer' punto P 3 ya

noexiste,pueslasfotografíaseranprimitivamentemásgrandes

y quedaban superpuestas, mientras que en ]a figura están recor-tadas en los bordes.

1126 UNCAPÍTULODEFOTOGRAMETRíAAdemás cl~be observarse que las dimensiones arriba indica-qas(111)a==79.4:111111.yb==7r,2mm.sereferíanálasfotografías

mismas, mientras que en el dibujo las fotografías están repre-

sentadas con una reducción próxima á la razón 2: 3.

. Tomando en cuenta esto, podemos hacer sobre la misma ho-

ja A,7 respecto de 01 una segunda determinación como la an-

terior, si bien algo desfavorable, á saber:

Con PI = esquina cerro JP2= Minaret III a=25,7mm.

P¡,=Minaret II b=53,7mm.

a.= 7°1l'~=15°54'

a +b=79.4mm.a.+~=23°5' YI+Ya';'156°55'/"+45°=91°21'25"Ya=85°4'3°"OOa=4°55'30"

Sa = 192,43mm.

X2= + 16,52mm.

r= I91,72mm.Xa-X2=53,70mm.Estada: /"=46°21'25"

YI=7105o'30" Y2=.IOO058'30" .

.001=18°9'3°"w,=10°58'3°"

SI = 20r ,77mm. S2 = 195,29mm.

XI= -62,88mm. X2= -37,18mm.X2-XI=25,70mmComoél+by(J.+8correspondenáélYa.delejemploanterior,setienendiversascomparaciones;porejemploXa=+16,52conX2=r3,12mm.,porlotantovariacióndelpuntoprincipalen1,6mm.yenseguidar=191,72mm.contrar=192,08,porlotantovariaciónde0.36mm.

Por estos cálculos y construcciones e] _punto principal se en-

contrópróximamenteenelmediode]ahoja,comopodíasupo-

nerse.

Si se sabe que el punto principal está cerca de] medio de ]a

hoja, bastarán dos puntos para ]a orientación, es decir, para. ]a

determinación de la distancia principal ó para]a corrección de

UNCAPÍTULODEFOTOGRAMETRÍAJ (27

la primera suposiciÓn sobre la situación del punto principal.Sean dos puntos PI y P2 (lig. 3) entre los cuales esté situado el

punto principal; que la distancia horizontal entre estos dos pun-tosestérepresentadaporladiferenciaX2-XIdedosabscisasmedidasdesdeelpuntoprincipalAsupuesto,yqueademásSt;

haya medido el ángulo horizontal cx~se tendrá para una deter~minación indirecta:

XI

tango 001 = rX2--

tang, 002- r

002 -001 =Il x2-xl=a

(12)

( (3)

Si esto no resulta conforme puede hacerse una corrección en

laposicióndeA;ademássetiene: acos001COS002r=----

sen.cxó -(X2-XXI)co!>001COS002

sen (002 -001) ( (4)

y con esto nuevamente 001 y 002 seglÍn (12); este cálculo deberárepetirse hasta obtener resultados conformes.

Conestosellegaáobtenerlaconviccióndequeunpequefíoerror

en la posición supuesta del punto principal tiene relativamente poca in-

fluencia sobre el ángulo de orientación de los diversos puntos, y es in-

teresante determinar la relación entre un error en la posición supuesta

del punto principal y el error correspondiente en la determinación del

ángulo de dirección de un punto del cuadro.

Para fijar las ideas, supondremos según la fig. 2, que para las visua-lesOP1yOP2sehayanmedidolosdosángulosgeodésicosdedirecciónhorizontal 1>1 y 1>2con la diferencia 1>2-1>1 =cx. Conocida la posicióndelpuntoprincipalA,tambiénquedadeterminadarytodolodemás;porejemplocualquierpuntoBcuyaabscisaXsehayamedidodesdeAtieneeutoncesunánguloazimutalperfectamentedeterminadoconrela-ciónáOAytambiénunángulogeodésico1>bienfijoreferidoálasdi.recciones1'1yCP2delasvisualesOP1yOP2'

1128 UN {;APfTULO, DE FOTOGRAMETRfA

AhorasupondremosquelaposicióndeAseainciertaenlacantidadds,ydeaquíresultaráotraabscisaxparaelpuntoBobservadoenel

cuadro (mientras que quedan las diferencias de las x); sobre todo, final-mente,deberesultarparaBotroángulodedireccióngeodésica(conre-laciónálosdosfijosrply72)'Láinvestigaciónmatemáticasobreeste

caso la hemos tratado en «Zeitschr f. Verm. I876, p. 7-9» y citamos

de ahí el resultado final.

drp (Xl-x)(X2-x)dxr2 r

,Si aquí x=XlÓX=X2resultadrp=O,loqueesnatural,pueslospun-tosPconx=XlYP2conx=x2tienenángulosfijosrplyrp2deorien.tación geodésica. Por lo demás df es un máximo cuando x cae en elmedioentreXlyX2Yentoncessetieneensegundos:

drpmáx= (x2 - Xl) 2 d x. 4 r2 r r

Si por ejemplo se tiene una aja que comprenda 45°, en que rol =. L , ,

-22°3° y6>2=+22°30, entonces

(X2-Xl):2r=tang.22°3°'=0,414ysiademásr=2oomm.ydx=1mm.resulta

d2 206265 "f' .

rpmá~=O,414 . 200 -177 =3 proxl1namente.

Unerrorde1mm.enlaposicióndelpuntoprincipalAsobrela

plancha ocasiona un error de dirección de 3' cuando más, ó no es 1/eces.a-

riofijarelpuntoconlamismaexactitudcoóquesepuedenmedirlas

distancias sobre la fotografía. .

DISTANCIA PRINCIPAL CONSTANTE

Cuando la distancia del objeto es medianamente grande, sólo

de algunos cientos de metros, es sabido que ]a distancia deJa

imagen a] objetivo permanece casi constante, como para los ob-

UN CAPÍTULODEFOTOGRAMETRíA1129

jetossituadosádistanciainfInita;sóloparavisualescortascomo

de menos 'de 100 metros varía notablemente la distancia de la

Imagen.

Sisedesignaporfladistanciafoca!,porRladistanciadel

objeto álalenteyporrcomoantesladistanciadelaimagen(masbiendichosudistanciaalplintoprincipalposteriordela

lente) se forma la conocida ecuación:

1 1 1

-r + r- = --r- de donde r =Rf

R-f

ó con aproximación suficiente para el objeto presente:

[2

r=f+~

Ennuestroapflratoeramásómenosf=200mm.conloque

se ha calculado lo siguiente:

R=::ü

R=400 mt.

R=100mt.R=Somt.R=20mt.R-

S mt.

r = 200 ml11.

r=200mm.+o,1mm.r=200mm.+0,4mm.r=200mm.+0,8mm.r=200mm.+2,0mm.r=200mm.+8,3mmoParaloslevantamientosgeodé'1icosRserásiempremayor

que 100 mt. y en consideración á las demás inseguridades en la

colocación podrá suponerse r constante. Mientras tanto para losplanos de obras de arquitectura ú otros en que se trate de vi-suales cortas, fácilmente puede tomarse en cuenta la variación

de la distancia de la imagen, bastando para ello la colocación

de una pequeña escala milimétrica en la parte móvil de la cá-

mara, la que indicará la r correspondiente en cada caso ó ser-

virápara la colocación respectiva.

113° UN CAPíTULODEFOTOGRAMETRíACONSTROCCIÓN',DELAPROYECCIÓNl!°RIZONTALYDELASALTOR,AS.(

Si se han orientado dos fotografías sobre planos verticales

con su, horizonte, punto principal y distancia principal, la cons-

trucción del plano horizontal correspondiente es un simple pro-, ,

blema geométrir.o, en cuanto sólo se consiga marcar puntos co-

rrespondientes sobre dos hojas.

Señalaremos el principio de esta construcción en la simple

figura esquemática 4. que representa un cuerpo de cerro de for-

madeprismatóide.01yO2sonlosdospuntosdevistadesdeloscualessepro-

yecta en perspectiva el cuerpo a b c d e f g h sobre los pl(lnos

HIAIHIyH2A.H2.demodoqueabatidosresultanlosdosdi-bujosabcd...ycda...enquelasrectasHIHIyH2Hre-'\

presentan al mismo tiempo los horizontes. .

Noentraremosáexplicardequémanerasehanorientado

en.. el plano horizontal los, dos planos de perspectiva con sus

puntos principales,AI,A. y sus puntos de vista 01.0.. Por ejem-

plopuedenhabersemedidolosdosángulosen01yO2entrelabasefotogramétricaylasnormalesOlA!,respectivamenteO.A.

etc. Aquí sólo se trata de demostrar que después de la figura-

ción de los planos (vistas fotográficas) y de los puntos de vista2

en el pl(}.no horizontal, lo demás es muy sencillo.

Para fijar por ejemplo, la esquina d en el plano, basta con bus. '

car d en cada una de las vistas, trazar las perpendiculares dd¡ y

dd2sobreloshorizontesyunir01condIyO2cond2.Lainter-

sección de estas dos rectas da el punto d del plano.

Del mismo modo la esquina h se encuentra trazando las rec-

tas O¡hl y 02h2 y buscando su intersección.

Así obtendremos las aristas inclinadas cg, dh y ae que se ven

completamente desde 01 y desde O2, mientras que la cuarta

arista bf no se' ve sino desde 01; por. lo tanto el plano de la

UNCAPÍTULODEFOTOGIÚMETRÍAn 3'1

cuarta ari'sta bf no puede co12Stru{¡'se fotogramét'ricamente con el

l'í1aterial de la fig. 4, sino que deberá buscarse de alguna 'Otramanera.

EnlaaltiplaniciehernossupuestootropuntoKquepuede

representar una torre alta ó séñal ú otro objeto semejante. Este

puntoKesvisibledesde01ydesdeO2ysefijaenelplanoporKK¡perpendicularáHtl-I¡YporKK2perpendicularáH2H2'teniéndosequetrazarenseguidasólo:O¡K¡y°2K2paraobtenerKenelplano.EnelejemplodeestepuntoKpuedemostrarseladetermi-

nación de las alturas, con la suposición más senci11a que aquí

puedehacerse,cualesquelospuntosdevistaO,y02esténálamismaaltura,esdecir,enelhorizontecomúnd,~ambasfoto-

grafías.

Enlafig.4semideenmilímetros:

0¡K¡=80, 1mm,K¡K=7,0mm.y°2K2=80,3mm.K2K=7,70101.ademásdelasdistanciasO¡KyO2Kenmedida,

,. geodésica; así si el plano de la figura tiene la escala 1: 10000, ob-tendremos:

0¡K=S3.0 mm=S30 mt. y °2K=48,3 0101.=483 mt., las

alturas resultan por simple proporción:

h 7,0 6 h 7,7 8 61=~ 8 .

.S30 mt.=4 ,3 mt. :;\=- 8 .4 3=4 ,3 mt.0,1 0,3 (IS)

SilosángulosdeelevacióndeKsehanobservadodirecta-

mente desde 01 y O2' siendo ellos "f}¡y 7)2' las alturas se obtie"

nen inmediatamente.

hl=°1Ktango'f}lyh2=02Ktango"f}2

( 16)

Si se presentan gr~1t1des distancias, deberán tomarse natural-

mente en cuenta las correcciones debidas á la curvatura de la

tierrayálarefracción,delamaneraordinaria.

1132 UNCAPÍTULODEF'OTOGRAMETRfASe,a que se calcule por proporciones (1 5) ó trigonométrica-

mente (16), puede emplearse la regla logarítmica ú otros medips

mecánicos ó gráficos, éomo se describen por ejemplo al tratar'de

los levantamientos fotogramétricos de montañas hechos por el

estado ITIayor italiano, Zeitschr f Verm. I892. pág. 76.LEVANTAMIENTOFOTOGRAMÉTRICODELoAsISDEDACHEL~NELDESIERTODELIBIAComoejemplodeunplanofotogramétricodealgunaexten-

sión hemos representado en la fig. 2 los levantamientos hechos

en 1874 junto con el fotógrafo señor Remel~ en la expediciónRohlf al desierto de Libia.

Las fotografías se ligaron en forma panorál11ica y con super-

posiciones valiéndose de un aparato común con plancha verti-

cal,ydesded0spuntosdeestaciónO1YO:desdeO1con9planchasydesdeO,¡con8planchas(demodoquecadaplan-

cha comprende como 45°).

Deestas17planchasennuestrodibujoserepresentansólo

5. á saber:

A,óA.7A8correspondientesá°1

A,S A.9 correspondientes á O,¡

Ladistanciaprincipalmediaquedódeterminadapor

r=191,Ól11m. para todas las planchas, según el procedimiento

trigonométrico indicado antes. (Por más detalles véase Zeitschr,

fVerm.I876,págIIY12.)Estadistanciaprincipalsemarcóen~uverdaderalongitud

-191.6 111111,en la construcción original como radio de los cír-

culos trazados en torno de °1 y °2' mientras que nuestra lá-

mina da sólo una reducción en la razón 2:3. de modo que1 128mm.

UNCAPíTULODE"FOTOGRAMETRíAI'I33

Comobasetrigonométricahemostomad<?unapéqueñatrian.

gulación (con determinación astronómica . de azimutes) cuyos

primeros triángulos y puntos principales pueden verse en nues-tra lámina.

Lasdosprincipalesestacionestrigonométricas,almismotiem-

. po estaciones fotográficas, son °1 y °2 que están unidas por el

triángulo°IBCcon°IB=294,8yBC=117,5,áqueseuneBICOietc.

Ad~más se han elegido como puntos de triangulación las tres

torresdeminaret1,11Y111.lahabitaciónWdelaexpedición,ungransepulcrodeschechs(10)Yunapalmaaislada.ComonosehablamásdelospuntosByC.damosparalosotrosocholosdatosdelasmensurasen01y02Ylascoordenadasrectan-

gulares, referidas á la habitación de la expedición como origen

y con +x hacia el norte y +y al este.

ESTACIONENO2;ALTURA=132mSOBRE.ELMARESTACIÓNEN01,ALTURA=133mSOBREELMAR

Punto observado Azimut Angulo vertical Distancia

Punto O2 de la base 62°50' 792,6 mt.

Sepulcro de schechs ( 1O)85.32 - 4° 40' 467,4

Palma P 120.48 - l. 48 620,9Minaret 111 131.43 - 2. 11 454.6Minaret 11 147.-37 -2. 24 385.8

HabitaciónW

- 168.42 189,3Minaret 1 17°.3° - 3. 12 357.4

Punto observado Azimut Angulo vert.ical Distancia----

Palma P 194° 12' - l° 17' 7°1,4 mt.Minaret 111 208.49 -1. 12' 758.9

1134 UN CAPÍTULO DE FOTOGRAMETRÍA

Si con estas coordenadas se calculan hacia atras las direccio-

nes trigonométricas (al mismo tiempo azimutes en el caso pre-

sente), se encontrarán diferencias hasta de algunos minutos con

respectoá los azimutes dados en las estaciones de arriba 01 y,

'°2" Esto proviene de que realmente la triangulación ha utiliza-

do varias otras mensuras además de las de aquí indicadas, to-mándoseeltérminomediodelascoordenadas.EncuantolasmensurélShanservidoenelcasopresente,todo

está en conformidad suficiente.

Entodocaso,losochopuntospuedenfijarseporsuscoorde-nadassobreunplanohorizontalcomoenlafig.4;]aconstruc-

ción fotogramét~ica se comienza por trazar círculos en torno de

01 y 02 con la distancia principal r de las fotografías como radio

(en nuestro caso r=191,6 111m.en el origina] pero reducido á

't-=128mm.enfig.2.)

. (Concluirá.)

Punto observado Azimut Angula vertical Distancia:1

Minaret II 215.25 - 1. 3 853,4Sepulcro de schechs 2 16°19' - 5° 19' 4°3,9

Minaret1 222.12 - 1. 6 963,7HabitaciónW 23°.32 - 1. 44 875,5

PuntoOIdelabase 242.5° +0. 56 792.6COORDENADASRECTANGULARESCON+xALNORTE,+yALESTEPunto Y X Alturasobreelmar

-' --HabitaciónWo,om. o,om. 108m. superficie

Punto 01 de la base - 37,2 + 186,1 133 sueloPuntoO2delabase+ 668,0 -r 548,0 132 »Minaret I + 21,3 - ¡66,S 115 cúspideMinaret II + I7 3,8 - 147,6 II8 »Minaret In + 3°1,9 - 116,7 II8 »

Sepulcro de schechs (1O) + 428,8 +222,5 106 » suelo = 97 mí.Palma P + 496,0 - 132,0 II6 »