UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGOPREPARATORIA AGRÍCOLA

ÁREA DE MATEMÁTICASACADEMÍA DE GEOMETRÍA

PROBLEMARIODE

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA— 2017 —

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Índice

Unidad II Ángulos................................................................................................................................3Unidad III Paralelismo y Perpendicularidad......................................................................................6Unidad IV Triángulos..........................................................................................................................9

PROBLEMAS.................................................................................................................................10Unidad V Congruencia.......................................................................................................................12Unidad VI. Semejanza y teorema de Pitágoras.................................................................................16Unidad VII. Funciones Trigonométricas...........................................................................................24Unidad VIII Funciones Trigonométricas de cualquier ángulo.........................................................27Unidad X Triángulos oblicuángulos..................................................................................................28

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Unidad II Ángulos

Definiciones simplificadas:Ángulos: ● agudo menor de 90°, ● recto igual a 90°, ● obtuso mayor que 90°, ● llano igual a 180°,● cóncavo mayor que 180° pero menor que 360°,● perigonal igual a 360°.

Ángulos Adyacentes: tienen de común un vértice y un lado.Ángulos Complementarios: dos ángulos cuya suma es 90°Ángulos Suplementarios: dos ángulos cuya suma es 180°Ángulos Conjugados: dos ángulos cuya suma es 360°Ángulos Opuestos por el Vértice: dos ángulos no adyacentesformados por dos rectas que se cruzan. En la figura ∠1 y ∠3, el otropar ∠2 y ∠4. Bisectriz: Una recta biseca un ángulo si lo divide en dos ángulosiguales.Mediatriz: Una recta que biseca a un segmento y, además, es perpendicular a él.Complementos de ángulos iguales son iguales.Suplementos de ángulos iguales son iguales.

1) Dada la siguiente figura escribir, utilizando la notación de tres puntos:a) Tres ángulos agudosb) Un ángulo rectoc) Dos ángulos obtusosd) Un ángulo llano

2) Escribir en notación de tres puntos la medida equivalente a las operaciones de los siguientes ángulos adyacentes:a) ∠BAC + ∠CADb) ∠DAE + ∠CADc) ∠DAE + ∠BADd) ∠CAE – ∠CAD

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3) Indique la relación entre los siguientes pares de ángulos, limitadas por semirectas:a) ∠a y ∠u.b) ∠u y ∠h.c) ∠a y ∠b.d) ∠u y ∠l.e) ∠a y ∠h.f) ∠AOD y ∠l.

4) En la figura, tres rectas se cortan en un mismo punto, si a=85° y l=30°.Calcular la medida de: b, h, u y m.Argumente su respuesta.

5) Calcular el complemento de los siguientes ángulos: a) 68° 26’b) 32° 85’c) 15° 138’ 195’’

6) Calcular los suplementos de los siguientesángulos:a) 41° 20’b) 99° 89’c) 20° 122’ 90”

7) Calcular la medida de cada ángulo en la siguiente figura:

8) En la siguiente figura, calcular la medida del ángulo l:

9) En la siguiente figura, calcular la medida del ángulo b:

10) En el punto P se cruzan tres rectas ¿Cuál es el valor de a b h+ +  ?

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11) Si a = a1, Argumente por qué h u+  =180°.

12) En la figura a a= 1 argumente por que b h= .

13) En la figura siguiente, a a= 1, y ∠DBF es ángulo recto, demuestre que b h= .

14) En la figura ∠a y ∠b son complementarios, y ∠b y ∠u son complementarios, demuestre que a u= . 

15) Si ∠EAF y ∠FAD son adyacentes,  es 

bisectriz de ∠EAF y   es bisectriz de ∠FAD, demuestre que ∠BAC es un ángulorecto.

16) Si la medida del ∠CDB = 50°,   biseca 

al ∠ADC,   biseca al ∠CDB. Calcular lamedida del ∠EDF.

17) Hallar una pareja de ángulos que sean (elabore una figura que ilustre cada caso): a) Complementarios y uno de ellos tiene 

10° menos que el triple del otro b) Suplementarios y uno es el cuádruple 

del otroc) Adyacentes formando un ángulo de 75°

y su diferencia es de 21°d) Adyacentes y suplementarios y uno de 

ellos es el doble del otro más 90° e) Opuestos por el vértice y 

complementariosf) Adyacentes y suplementarios y su 

diferencia es de 27°g) Adyacentes que forman un ángulo de 

140° y el menor tiene 28° menos que elmayor.

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Unidad III Paralelismo y PerpendicularidadRectas (p y n) cortadas por una transversal (q)Nombres de pares de ángulos que se forman:

Correspondientes: ∠1 y ∠5, ∠4 y ∠8, ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7Alternos Internos: ∠4 y ∠6, ∠3 y ∠5 Alternos Externos: ∠1 y ∠7, ∠2 y ∠8Conjugados (Colaterales) Internos: ∠4 y ∠5, ∠3 y ∠6 Conjugados (Colaterales) Externos: ∠1 y ∠8, ∠2 y ∠7

SI p y q son paralelas ENTONCES son iguales los ángulos correspondientes,además los alternos internos y los conjugados suman 180° 

SI p y q no son paralelas ENTONCES no son iguales los ángulos correspondientes, no son iguales los alternos internos y los conjugados no suman 180°

SI son iguales los ángulos correspondientes, o los alternos internos, o los conjugados suman 180°, ENTONCES p y q son paralelas.

SI no son iguales los ángulos correspondientes, o no son iguales los alternos internos, o los Conjugados no suman 180°, ENTONCES p y q no son paralelas.

Teoremas:

Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados deotro, los ángulos son iguales. 

Si l1   ∥ l3 y l2   ∥ l4 , entonces a=b.

La distancia de un punto P a una recta  , es la medida del segmento

PERPENDICULAR PQ, trazada desde P hasta  .

La distancia entre dos paralelas, tales como   y  , es la medida delsegmento PQ,  perpendicular a las dos paralelas y comprendido entre estas.

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Si un punto P pertenece a una mediatriz de un segmento, entonces, equidista de

los extremos del segmento. Es decir, si P pertenece a  , que es la mediatriz de AB, entonces PA = PB.

Si un punto P equidista de los extremos de un segmento AB, entonces pertenece

a la bisectriz del segmento. Es decir, si PA = PB, entonces, P pertenece a  ,que es la mediatriz de AB.

Si un punto P pertenece a la bisectriz de un ángulo entonces equidista de los

lados. Es decir, si P pertenece a  , bisectriz de ∠A, entonces PQ = PR,siendo PQ y PR distancias de P a los lados del ángulo.

Si un punto P equidista de los lados de un ángulo, entonces pertenece a la

bisectriz del ángulo. Es decir, si PQ = PR, Entonces   es la bisectriz de ∠A.

1) En las siguientes figuras calcular la medida de los ángulos x, y, z. De acuerdo ala hipótesis planteada:a) AB   ∥ CD.

b) l   ∥ m.

c) l1 ∥ l2   ∥ l3.

d) AB   ∥ BF y AC   ∥ BE.

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2) Si la medida de ∠BDC = 40°, BE es 

bisectriz del ∠DBA y DC   ∥ . Determinar la medida de los ángulos ∠DBA, ∠DCB y ∠DBC.

3) Considere las rectas l1   ∥ l2. Determinar la medida de los ángulos a, b, u, l, m, h.

4) Si las rectas l1   ∥ l2   ∥ l3. determinar la medida de los ángulos a, b.

5) Suponga que     ∥ . Determinar la medida de los ángulos indicados en cada una de las figuras.

6) Se tiene que las rectas l1   ∥ l2   ∥ l3. Determinar la medida de los ángulos a, b, c y d.

7) Considere las rectas l1   ∥ l2 y m1   ∥ m2 Demostrar que: a) a a= ’ b) a b+ =180°

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Unidad IV TriángulosDefiniciones simplificadas.Clasificación de los triángulos de acuerdo con sus lados.

✔ Escaleno: no tiene lados iguales. ✔ Isósceles: tiene al menos dos ángulos iguales. ✔ Equilátero: tiene sus tres lados iguales.

Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus ángulos.✔ Rectángulo: tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y 

los otros lados catetos.✔ Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. ✔ Acutángulo: tiene sus tres ángulos agudos.✔ Equiángulo: tiene sus tres ángulos iguales.

Puntos y rectas notables.✔ Bisectriz de un ángulo en un triángulo, es la semirecta que lo biseca. ✔ Incentro es el punto donde se intersecan las 3 bisectrices del triángulo.✔ Medianas, son los segmentos de recta que van desde un vértice hasta el punto medio del 

lado opuesto. ✔ Baricentro es el punto donde se intersecan las 3 medianas del triángulo.✔ Mediatriz de un lado de un triángulo, es la recta que lo biseca. ✔ Circuncentro es el punto donde se cruzan las las 3 mediatrices de sus lados.✔ Alturas de un triángulo, son los segmentos  perpendiculares que van de un lado o su 

prolongación al vértice opuesto. ✔ Ortocentro es el punto donde convergen las tres alturas de un triángulo.

Ángulo externo de un triángulo: es el que se genera cuando unode sus lados se prolonga más allá del vértice. Ejemplo:  ∠a es unángulo externo del ∆ABC, en la figura anexa.

Teoremas✔ La suma de ángulos internos es 180°. ✔ Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a los homólogos de otro triángulo, entonces

sus terceros ángulos son congruentes.✔ En todo triángulo, un ángulo externo es igual a la suma de los internos no adyacentes.

Ejemplo: En la figura anterior ∡a = ∡A+∡B.

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A

B

C

a

PROBLEMAS

1) Escribir, con la notación de 3 puntos, tres triángulos rectángulos, además indicar la hipotenusa y los catetos de cada uno.

A D

C

B

2) En la figura, indicar:a) Dos triángulos obtusángulosb) Dos triángulos isósceles, indicando los 

lados y ángulos iguales

3) En el triángulo, se tienen los siguientes datos: AC=CD, AD ⊥ BG, GD ⊥ AF, GE=ED. Escribir los nombres de los elementos que a continuación se proponen(explicar): AE, GB, punto Q, punto P.

A B C D

E

F

G

P

Q

4) Con los datos de la figura en la que AP es la bisectriz del ángulo exterior a del ∆ABC, calcular la medida de los ángulos a, ∠C y ∠BAC.

A

B

C

Pa

x

x-10

40°

5) Teniendo en cuenta la figura, determinar las medidas de los ángulos ∠BAC, ∠ABC y∠C, sabiendo que a=90° y b=5∠ABC.

A

B

Ca

b

6) En el triángulo ∆ABC, de la figura, se tiene que AB=AC y la medida de ∠B=64°.Las bisectrices de ∠A y ∠C se cortan en el punto M. Determinar la medida del ∠AMC.

A

B

C

M

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7) Obtenga las medidas de los ángulos ∠x, ∠y; sabiendo que AB=BC y que y+z=90°. 

8) Si la bisectriz   de un ángulo exterior del triángulo ∆ABC es paralela al lado AC,demostrar que tal triángulo es isósceles. Mencione que lados son congruentes.

A B

D

C

9) En un triángulo ∆ABC, ∡B=41° y ∡C=70°. ¿Cuánto mide el ángulo u formado por la bisectriz del ∠BAC y la altura correspondiente al vértice A?

A

B CH

10) En la siguiente figura AB=AC y r ⊥ BC. Demostrar que ∆MAN es isósceles.

A

B C

N

M

r

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B

A Cx y

z

Unidad V Congruencia

Dos triángulos son congruentes, sí y sólo si, sus elementoshomólogos lo son. Es decir: Si ∆PQR ≅ ∆P'Q'R' entonces: r = r',p = p',q = q'; ∡P = ∡P', ∡Q = ∡Q', ∡R = ∡R'.

Principios de Congruencia.

Principio (LLL) Si los tres lados de un triángulo soncongruentes a los lados homólogos de otro, entonces los dostriángulos son congruentes.

Principio (LAL) Si un triángulo tiene dos lados y el ánguloformado por ellos congruentes a los elementos homólogos deotro, los triángulos son congruentes.

∆ABC ≅ ∆A'B'C'

Principio (ALA) Si un triángulo tiene un lado y sus dosángulos contiguos iguales a los elementos homólogos de otro,entonces los dos triángulos son congruentes. 

1) En la figura MK=MQ, ML=MP y KL=QP. Determinar el ángulo congruentea ∠KML. Use los principios de congruencia.

M

K

Q

L

P

2) En la figura se tiene que MK=MQ; ∡K=∡Q; PM ⊥ MK y LM ⊥ MQ.  Demostrar que ∠L ≅ ∠P.

M

K

Q

L

P

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Q

P

R

D

E

Q'

R'

P'

p

q

r

r'

p '

q'

b

B

A

C

D

E

B'

C'c'

b'

c

A'

a

a'

b

B

A

C

D

E

B'

C'

A'

c

c'

b'

b

B

A

C

D

E

B'

C'c'

b'

c

A'

3) En la figura se tiene que CA=CB; M es el punto medio de AB y CM ⊥ DE, Demostrar que DE ∥ AB.

A M B

ED

C

4) Sea ∆ABC un triángulo isósceles. D y F lospuntos medios de los lados congruentes AC y BC respectivamente. Demostrar que AF ≅ BD  y ∠1 ≅ ∠2

5) En la figura se tiene que ∡A=∡B; AD=BE y ∡ADG = ∡BEF. Demostrar que ∠CFE ≅ ∠CGD.

A D E B

G

C

F

6) De acuerdo a la siguiente figura, donde KM biseca a los ángulos ∠HKG y ∠HSG. Demostrar que KM ⊥ HG.

H MG

S

K

7) En la figura se tiene AD ⊥ AB, BC ⊥ AB yAD ≅ BC. Demostrar que ∆AOB es isósceles. 

A B

D C

8) En la figura AB y CD se bisecan en E. Demostrar que AD ∥ CB.

9) A partir los siguientes datos: AE=BC; AD=BD y DE=DC. Demostrar que ∡E=∡C.

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10) En la figura PS=QS; PU=QU. Demostrar que SU ⊥ PQ y ∠x ≅ ∠y.

P Q

S

U x y

11) En la figura AB=CB; ∡MAE = ∡NCD y AE=CD. Demostrar que ∆ABE ≅ ∆CBD.

BM

E

A C

D

N

12) En la figura ∠QPT y ∠RST son rectos; PT=ST. Demostrar que ∡PQT = ∡TRS.

Q

P

T

R

S

13) En el triángulo isósceles ABC, en el cual AB es igual a BC se tiene que AD y CE son bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C respectivamente. Demostrar que AD es congruente a CE.

14) En el triángulo equilátero ABC, AP=BQ=CR. Muestre que ∆PQR es un triángulo equilátero.

C

B

A

P

R

Q

15) Demuestre que ∆DTS ≅ ∆UTA si ∡D=∡U y DT=TU.

A

D

N

U

S

T

16) Demuestre que DF=EF si AC=BC y DC=EC.

A B

C

D E

F

17) Demostrar que DC=AE si AB=BC, D es punto medio de AB y E es punto medio de BC.

A

B

C

D

E

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18) Demuestre que ∆ABE ≅ ∆CBD. Si B es punto medio de AC; BE=BD; ∠ABD ≅ ∠CBE.

A B C

ED

19) Considérese que AB=AC y D es punto medio de BC. Demostrar que AD ⊥ BC.

20) Tomando en cuenta que MO=MN y ∠AOM ≅ ∠PNM, Demostrar que ∡P=∡A.

A

B

C

O

P

Q

R

LM

N

21) En la siguiente figura calcular la medida del ángulo a, si AB=AE, AC=AD y BC=ED.

A

B

C

D

E

65°

30°

a

22) En el cuadrado ABCD, el punto P es el punto medio de DC. PQ y PR se han trazado de modo que ∡QPC=30°, ∡RPQ=120°. Demostrar que PQ ≅ PR.

A

B

C

D

P

Q

R

23) Suponiendo que AC=BC y AD=BD, Demostrar que ∡CBD = ∡DAC.

24) En la figura siguiente AB ⊥ MK y MB=BK. Demostrar que ∡x = ∡y.

B

D

KM

A

x y

25) Demostrar que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

26) Demostrar las diagonales de un rectángulo son congruentes.

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27) Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. ¿Son congruentes?

Unidad VI. Semejanza y teorema de Pitágoras

Se denominan polígonos semejantes los que tienen la misma forma, sus ángulos homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. La expresión ∆ABC ∼ ∆A'B'C' se lee: el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C'. Los ángulos homólogos están en el orden en que se escriben, ∆MNO ∼ ∆XYZ significa que ángulos homólogos son congruentes ∠M ≅ ∠X, ∠N ≅ ∠Y, ∠O ≅ ∠Z, y lados homólogos proporcionales  .

PRINCIPIOS DE SEMEJANZA1) Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno de

ellos, son congruentes a sus homólogos en el otro. Si ∠A ≅ ∠A' y ∠B ≅ ∠B', entonces ∆ABC ∼ ∆A'B'C'.

2) Dos triángulos son semejantes si sus lados homólogos son

proporcionales. Si   entonces ∆ABC ∼ ∆A'B'C'. 

3) Dos triángulos son semejantes, si un ángulo de uno de elloses congruente a un ángulo del otro y si los lados quecomprenden al primero son proporcionales a los lados homólogos del segundo. Si ∠C ≅ ∠C' y

 entonces, ∆ABC ∼ ∆A'B'C'.

EQUIVALENCIAS DE SEMEJANZAS

4) Si dos triángulos son semejantes ∆ABC ∼ ∆A B C′ ′  entonces ′  y ∠A ≅ ∠A’, ∠B ≅ 

∠B’, ∠C ≅ ∠C’.5) Si son semejantes también son proporcionales sus alturas, medianas, perímetros, etc.

TEOREMAS1) Teorema de Tales: Dos transversales cualquiera, cortadas por

tres o más paralelas quedan divididas en segmentosproporcionales. De esta manera si, AB   ∥ EF   ∥ CD, entonces

.

2) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo,entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentosproporcionales.Por ejemplo, en el ∆ABC, si DE ∥ BC, entonces  .

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B

C

A'

B'

C '

a

b

c

a'

b'

c'A

3) Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. (Los principios 1 y 2 son recíprocos).Por ejemplo, en el ∆ABC si   entonces, DE   ∥ BC.

4) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el ladoopuesto en dos segmentos proporcionales a los ladoscontiguos. De esta manera, en el ∆ABC, si CD biseca ∠C, entonces   .

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo con hipotenusa h y catetos c.a. y c.o., se cumple que:

 

En un triángulo con vértices A, B y C y lados a, b y c, con c ellado de mayor longitud.

¿Cómo saber si un triángulo es rectángulo?Si   el triángulo es rectángulo.además:Si   el triángulo es acutángulo.Si   es el triángulo es obtusángulo.

1) ¿Pueden ser semejantes dos triángulos tales que uno de ellos tenga un ángulo interior que mida 70° y el otro un ángulo interior de 115°? Explique.

2) ¿Pueden ser semejantes dos triángulos tales que el primero tenga un ángulo interior de 60° y el otro un ángulo exteriorque mida 75°? Justifique su respuesta.

3) Si un ángulo de un triángulo isósceles tiene la misma medida que un ángulo de un segundo triángulo isósceles, ¿son los dos triángulos necesariamente semejantes? Explique.

4) Calcule la medida de los segmentos determinados por la bisectriz sobre el lado

mayor de los triángulos cuyos lados a, b y c  miden:a) a = 15; b = 10; c = 20b) a = 7; b = 3; c = 5

­ 17 ­

B

C

a

b

c

A

A

B

C

hipotenusacatetoopuesto

cateto adyacente

En las figuras siguientes demuestre que los triángulos indicados son semejantes:

5) Datos AB=12 ; AC=18 ∆AED ∼ ∆ABC.A

B C

D

E6

9

6) ∆ABC ~ ∆CAD.

A

B

C

D

25

20

16

7) ∆ABD ∼ ∆CEB.

BC

E

AD 30

16

21

87

10

8) ∆ABD ∼ ∆BCD.A

B

C

D

9 15

12

2016

9) ∆AEB ∼ ∆CED.A B

CD

E

4 3

9 12

10) ∆ABC ∼ ∆FED.A

12 16

24

12

8 6

B C

D E

F

­ 18 ­

Determine el valor de x sujeto a las hipótesis indicadas en cada uno de los casos que se dan a continuación, considerando los datos dados en cada figura.

11) Hipótesis: AD ∥ BC.

A12 B

C

D

xE

10

18

12) Hipótesis ∠SQO ≅ ∠OQP.

S 15O P

Q

2xx+9

12

13) Hipótesis: DE ∥ BC.

A

15

B

C

D

E

x

14) Hipótesis: AB ∥ EF ∥ CD, AC=10.A B

C D

E F

6 7

x

15) Hipótesis: FG ∥ EH y EG ∥ DH.

D

30

H

E G

F

x

60

15

60+x

16) Hipótesis: AB ∥ EF ∥ CD.

A 4

2x + 1

C

E

B D F

7

5x – 5

17) Hipótesis ∠BAD ≅ ∠DAC.

A5

B

C

D

721

x

18) Hipótesis: AB ∥ CD ∥ EF ∥ GH; GI = IJ = JB; EA=x.

A

5

6B

C D

E F

G H

I

J

­ 19 ­

19) Hipótesis: AB ⊥ BE, CD ⊥ BE, FE ⊥ BE.

A

6

B

C

D

E

F

9

8x

20) Hallar x, y si AD ∥ FG ∥ BC; BF=FA; CD=15

21) Hipótesis: AB ∥ CD ∥ EF; AC = 15.A

6 x

12

B

C D

E F

22) Hipótesis: AB ∥ CD ∥ EF; EA=x.

A

18

B

C D

E F

15

35

23) En la figura que se muestra enseguida, se tiene que PQ ∥ AB y QR ∥ AC. Demuestre que ∆PCQ ∼ ∆RQB y establezca la proporcionalidad entre los lados homólogos.

24) En el ∆PQR de la figura que se muestra, QT es bisectriz del ∠Q y ST ∥ QR. Demuestre que: a) ∆QPR ∼ ∆SPT.b) Si QP=4 y QR=6, encuentre el valor 

de QS y SP.

25) Se tiene que ∠BAC ≅ ∠DCB.a) Demuestre que ∆ABC ∼ ∆CBDb) Si AB=16 y AD=4, determine BC.

­ 20 ­

26) Si CD ⊥ AB, AE ⊥ BC. Demuestre que ∆ABE ∼ ∆CBD.

27) Si MN ∥ RP, demuestre que ∆MNO ∼ ∆PQO.

28) Si ∆ABC ∼ ∆DEF y los ángulos A y D, B yE, C y F son homólogos, Determine el valor de DF y EF.

29) Javier mide 1.6 m de estatura y en un momento dado proyecta una sombra de 0.5 m de largo. En ese mismo instante el asta bandera, en el patio de su colegio, proyecta una sombra de 1.4 m. Calcule la altura del asta bandera.

30) Para medir el ancho de un río, una persona tomó las medidas que se muestran en el croquis siguiente, en el que se considera que AC ⊥ AD y AD ⊥ DE. Determine el ancho del río.

Con los datos que dan en cada uno de los siguientes casos, calcule el valor de las incógnitas x o y según se pida.

31) En la figura siguiente AB ∥ EC

A

B C

D

E

32) Datos: AE=20; BD=x.

­ 21 ­

33)

34)

35)

36) Calcule los valores de r, w, x, y, z.

37) Calcule la medida de la altura trazada desde el vértice C, con los datos dados en la figura siguiente.

38) En el triángulo ∆ABC, ∠C es recto, CD es una altura, AC=20 y BC=15. Determina la medida de AB y CD.

39) Datos: CF=5, FB=3, AB=10 AB ∥ DF, AC ⊥ CB. Obtener: DF, AC, DC.

40) Si en la figura siguiente se tiene que MA=3, EA=5, ME ⊥ ET y EA ⊥ MT, determine la medida de MT y ET.

­ 22 ­

41) Con los datos en la figura AB=15, BD=10 y AC=20, calcule el valor de DE.

42) Dos postes de alturas 5 y 20 m están separados 25 m. Determine la altura de laintersección de los segmentos que unen la parte superior de cada poste con la base del poste opuesto.

43) Un rayo partió un poste en dos partes. Si la distancia desde la base del poste hasta donde llegó la parte superior es 4 m y la altura del poste era 10 m, calcule la distancia medida desde el piso hasta donde el poste se partió.

­ 23 ­

Unidad VII. Funciones Trigonométricas

Uso de la calculadora.

1) Obtener, mediante algún medio electrónico (calculadora) lo siguiente:a) sen 40°b) cos 70°c) cos 89° 50’

d) tan 13° 25’e) tan 30° 30’f) sen 80° 47’

g) sen 75° 20’h) cos 6° 8’i) cot 45°

j) sec 30° 45’

2) determinar, el valor del ángulo en grados, para cada valor dado de la función trigonométrica:a) sen C = 0. 1478b) tan B = 0. 4522

c) cos X = 0. 7880d) cos A = 0. 1478

e) sen B = 0. 9775f) sen Y = 0. 7788

g) tan u = 1. 349h) cos a = 0. 3247

Ángulos Especiales

3) Calcula, sin utilizar tablas o calculadora, las funciones trigonométricas de los ángulos especiales dados:

a) sen 60°b) sec 30°c) cos 90°

d) cot 120°e) csc 135°f) sen 180°

g) tan 270°h) cos 225°i) tan 240°

j) cot 45°k) sec 210°l) csc 360°

4) Sin utilizar tablas ni calculadora, calcula y simplifica:a)b)

c)

Solución de triángulos rectángulos.5) Considera el ∆PQR, un triángulos rectángulo. Resuelve el triángulo ∆PQR con los datos 

dados en cada inciso:a) q=5u, ∡R=62° b) p=7u, q=2u c) p=4u, q=3u, r=5u 

6) Encuentra los valores  que se piden en cada ejercicio de acuerdo con los datos dados en la figura correspondiente:

a) Calcular el valor de x, y, z, w.

A

C

D

E35°

25°

9

w

x

z

y

b) Si ST = 45 u, determinar los valores de US y RV

R T

S

V

20°40°

U

45

­ 24 ­

7) Resuelve cada uno de los siguientes problemas sobre triángulos rectángulos:

a) La longitud de un hilo que sostiene un papalote es de 250 m y su ángulo de elevación es de 40°. Hallar la altura a que se encuentra el papalote suponiendo que el hilo que la sostiene se mantiene recto.

b) Desde la parte superior de una torre de 120 m de altura, se observa que el ángulo de depresión de un objeto que está a nivel con la base de la torre es de 27° 43’. ¿Cuáles son las distancias del objeto a la punta y a la base de la torre?

c) ¿Cuál es el ángulo de elevación de un plano inclinado si se eleva  1 m  en unadistancia de 40 cm?

d) Un poste de  10 m  de longitud proyecta una sombra de  8.39 m. Hallar el ángulo de elevación del sol.

e) Un árbol se ha partido al caerle un rayo, en un punto situado a  4 m  del suelo, pero no se encuentra completamente roto; el extremo descansa sobre el suelo formando con él un ángulo de 20°. ¿Qué altura tenía el árbol?

f) De un faro que está a  200 m  sobre el nivel del mar, un observador ve dos botes, P y Q, en línea recta. Si los ángulos de depresión medidos por el observador son de 16° y 11° respectivamente, hallar la distancia entre los dos botes.

g) Con los datos que se dan en la figura, calcular la altura h del edificio.

36°

10

1.6

h

h) Calcular la altura del edificio  con los datos de la figura:

48°

20 m

50°

a

i) Cuando cierto rascacielos se ve desde arriba de un edificio de  50 m de altura, el ángulo de elevación es de 59°. Cuando se ve desde la acera, al pie del edificio pequeño, el ángulo de elevación es de 62°. Calcule la altura del rascacielos y la distancia entre los edificios.

j) Una cabaña con forma de triángulo isósceles, tiene 7 m de altura en el centro y  12 m de ancho en la base. Calcule el ángulo que forma el techo con el piso.

­ 25 ­

k) Desde la cumbre de una montaña se observa que los ángulos de depresión de la parte superior e inferior de una torre de 97 m de altura son  23° y 25°, respectivamente. ¿Qué altura sobrepasa la montaña a la torre?

­ 26 ­

Unidad VIII Funciones Trigonométricas de cualquier ángulo.

Definir grados y radianes, conversiones de un sistema a otro1) Convierte el ángulo dado, de grados sexagesimales a radianes o de radianes a grados 

sexagesimales, según se indique:a) 45°b) 112.5°c) 425.3°d) 55° 48’

e) 270°f) 308° 24’g) 2.435 radh) 1.73 rad

i) p rad

j)  rad

k)  rad

l) p rad

Ángulos en posición normal2) Traza en posición normal los ángulos cuyos lados terminales pasan por el punto dado. Designe

por u el ángulo positivo y por f el ángulo negativo. Indica el cuadrante de cada ángulo:a) ( 3 , 4 )b) ( 0 , –2 )

c) ( 7 , –2 )d) ( –2 , –5 )

e) ( 3 , –5 )f) ( –4 , 1 )

g) ( –7 , –9 )h) ( –12 , 0 )

3) Dibuja los siguientes ángulos en posición normal, indicando mediante una flecha la amplitud y el sentido de rotación:a) 390°b) –215°

c) 630°d) – 480°

e) –1817°f) 180°

g) –60°h) 1000°

4) Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, halla las demás funciones:

a)

b)

c)

d)e)

f)

g)

h)

5) Calcula lo que se pide en cada inciso:

a) si  , Determinar el valor de 

b) si  , Determinar el valor de 

6) Hallar las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas:

a) ; a en el II cuadrante.

b) ; w en el III cuadrante.

c) ; u en el IV cuadrante.

d) ; b en el IV cuadrante.

e) ; f en el I cuadrante.

f) ; u en el II cuadrante.

7) Determinar el valor de sen u, si   y tan u es positiva.

­ 27 ­

Ángulos reducidos8) Previa reducción al primer cuadrante, calcula el valor del ángulo u, en cada caso:

a) sen u= – 0.4325b) cot u= – 1.35

c) tan u= 0.9998d) sen u= 0.3425

e) sec u= 1.38f) cos u= – 0.32  

Unidad X Triángulos oblicuángulos

1) En cada uno de los ejercicios siguientes, resuelve el triángulo oblicuángulo que corresponde a los datos dados y calcula su área:a) a = 7 , b = 9 , c = 12b) a = 16 , c = 10 , ∡B = 126°c) ∡B = 129° , b = 25. 4 , ∡C = 22°d) a = 17 , ∡B = 58° , ∡C = 110°e) a = 21 , ∡B 53° , ∡A = 86°f) b = 3 , c = 2 , ∡A = 67°g) c = 15 , ∡B = 53° 8’ , ∡C = 78° 28’

h) c = 3.24 , ∡C = 36° 26’ , a = 5.37i) a = 5 , b = 7 , c = 9j) ∡A = 35° , ∡B = 65° , a = 22k) b = 25. 4 , ∡C = 22° , ∡B = 129°l) ∡B = 58° 35’ , ∡C = 38° 42’ , a = 5.374m) a = 150 , c = 30 , ∡B = 150°n) ∡A = 27° 40’ , ∡B = 52° 10’ , a = 32.4

2) Resuelve cada uno de los siguientes problemas sobre triángulos:

a) Desde los puntos A y B, distanciados 300 m uno del otro, sobre una playa, seobserva un barco C, en donde se tiene que ∡CAB = 70° y ∡CBA = 35°. ¿Cuál es la distancia del barco al punto A?. ¿A qué distancia está el barco de la playa representada por AB?

b) Calcular la distancia entre dos puntos A y B, separados por un obstáculo. Se ha elegido un punto de referencia C y se han obtenido las medidas CA = 426 m, CB = 322.4 m y ∡C = 68° 42’. ¿Cuál es la distancia AB?

c) Se va a construir un túnel atravesandouna montaña, como se muestra en la figura . Si se tienen las medidas ∡ACB = 79.3°, AC = 385 m y BC = 458 m, calcular la longitud del túnel AB y la altura h de la montaña.

C

BA

385 m 458 m

79.3°

h

d) La ruta más rápida entre dos ciudadesA y B , separadas por un valle es viajando por dos caminos rectos de 13. 6 km y de 14. 9 km que se cruzan formando un ángulo de 32° 20’. Si se construyera un puente sobre el valle y se hiciera el camino recto, ¿cuántos kilómetros se ahorrarían?

e) Dos observadores militares que están auna distancia de 5 km uno del otro sobre una llanura horizontal, determinan que los ángulos de elevación de un avión que está sobre larecta que los une miden, respectivamente, 40° y 60°. Hallar la 

­ 28 ­

distancia del avión a cada uno de los observadores y la altura a que se encuentra el avión sobre el nivel de la llanura.

f) Un faro está situado a 10 km al noroeste de un muelle. Un barco parte del muelle a las 9:00 a.m., y navega hacia el oeste a una velocidad 

constante de 12  . ¿A qué hora se 

encontrará a 8 km del faro?

g) Determinar el valor de CD, a partir de los datos de la figura siguiente:

D

C

AB

24° 10°

500 m

­ 29 ­

6

UNIDAD 11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades trigonométricas recíprocas, pitagóricas, cociente Haciendo uso de las identidades de la tabla que se da enseguida, demuestra cada una de las

identidades que se piden:

FUNCIONES

RECIPROCAS

IDENTIDADES

PITAGORICAS

IDENTIDADES

POR COCIENTE

tan

1cot

cos

1sec

1csc

sen

22

22

22

csccot1

sectan1

1cos

sen

cotcos

tancos

sen

sen

1. 1cos2cos 222 sen 2. )1()1(cos 2 sensen

3. 424 secsec2tan1

4. 1

sec

cos

cos

sen

5.

2sec21

1

1

1

sensen 6.

cos

cottan

cscsec

sen

7.

tansectansec

1

8.

222 tan1

tan

cos

cos

sen

sen

9. xxsenx

xsen

x

xcos

cot1tan1

cos

10. yy

yseny csc

cos1cot

11. x

xx

x

xx

tan

cottan

tan1

cscsec2

12.

cot

tan1

)cot1(tan2

2

13. AAA

2csc2cos1

1

cos1

1

14. AA

A

A

Asen

A 2cscsectan

csctan

15. 4422 coscos sensen 16. xxsen

xx

xxsentan

cotcsc

tan

17.

cos1cos1

cos1

sen 18. AA

Asen

AsenAsenA 23

coscotcos

19.

tan

1sec

1sec

1sec

20. AA

AA

Asen

AA

Acossec

cotcsccotcsc

tan

7

21.

tansec

tansec

tansec

22. xsenxsenxxx )21(csccoscot 2

23. xxxsen

xsentansec

1

1

24.

1tan

sec

12

cos2

33

y

yseny

ysen

yysen

25. AAAA 4222 csccsccotcsc 26. AsenAA 442 coscos21

27. xxsenxxx tan)21(cscseccot 2

Identidades trigonométricas, ángulos dobles y mitad Haciendo uso de la siguiente tabla de identidades para ángulos dobles y mitad, demostrar las

identidades que se dan en cada caso:

FORMULAS DE DESARROLLO ANGULOS DOBLES ANGULOS MITAD

tantan1

tantan)(tan

tantan1

tantan)(tan

coscos)(cos

coscos)(cos

coscos)(

coscos)(

sensen

sensen

sensensen

sensensen

2

2

2

22

tan1

tan22tan

1cos2

21

cos2cos

cos22

sen

sen

sensen

cos1

cos1

cos1

cos1

2tan

2

cos1

2cos

2

cos1

2

sen

sen

sen

1. sensen )( 2.

cos

2

sen

3. cos)(cos 4.

2cos1

2tan

sen

5. 3433 sensensen 6. 21cos2

sensen

7.

21

2cos

tan1

tan1

sen

8.

AA

AsenAsenA

2coscos1

2tan

8

9. xxxxsen

xsencscseccot

2

22

10. x

xsen

xsenxtan

2

2tan2

2

11. x

xsen

x

xsenxsen

sec2sec

2

12. x

x

xsen

xsen

xcsc

cos

22cos

13.

A

AA

2

2

sec

sec22cos

14. )(csctantan

secsecyx

yx

yx

15. AA

A

Asen

Asensec

cos

2cos2 16. yx

yx

yxsentantan

coscos

)(

17.

tan

tan)(tan1

tan)(tan

18. 2sectantan2tan

19. x

xx

2cos1

2cos1tan

2

20. ysenxyxyx 22cos)(cos)(cos

21.

tan

cos

2coscot

sen

22. 2cos2cos221 22 sensensen

23. 1tan

1tan)º45tan(

24. xyyxsenyxsen 22 coscos)()(

25.

csc22

cot2

tan 26. 12cos2cos 24224 sensensen

27. cos3cos43cos 3 28.

2tan1

2tan2

tan3tan1

tan3tan2

29.

2csc

csc2sec

2

2

x

xx

30. ysenxsenyxsenyxsen 22)()(

31. 2

1)º75()º75(cos)º75(cos)º75( xsenxxxsen

32. xxsen

xsen2cos2

2

4

9

UNIDAD 12 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo 2,0

1. 012 xsen

Sol. 6

5,

6

x

2. 0cos xxsen

Sol. 2

3,,

2,0

x

3. 032 xsen

Sol.3

2,

3

x

4. 01cos4 2 x

Sol. 3

5,

3

4,

3

2,

3

x

5. 02sec 2 x

Sol. 4

7,

4

5,

4

3,

4

x

6. 04csc 2

Sol. 6

11,

6

7,

6

5,

6

7. 0cos2 sensen

Sol.3

5,,

3,0

8. coscos2 2

Sol.3

5,

2

3,

2,

3

9. 0sec2cossec2

Sol. 4

7,

4

10. 0coscos2 sen

Sol. 6

11,

2

3,

6

7,

2

11. 2sectan2 22

Sol. 6

11,

6

7,

6

5,

6

12. 1tansec 2

Sol. 4

5,,

4,0

13. sen 1cos

Sol.

,2

14. sen 1cos 2

Sol. 2

3,

2

15. 1cos sen

Sol.2

,0

16. 03tan32tan 2

Sol. 3

4,

3

17. 1csc2 sen

Sol. 6

11,

6

7,

2

18. 13cos sen

Sol. 3

4,0

19. sec2cottan

Sol. 6

5,

6

20. 31cottan3

Sol. 4

5,

6

7,

4,

6

21. 0122 sensen

Sol. 2

3

22. 012 2 sensen

Sol. 6

11,

6

7,

2

23. 01cos4cos4 2

Sol. 3

5,

3

24. 3tan)31(tan 2

Sol.3

4,

4

5,

3,

4

10

25. 0cos32 sen

Sol. 2

3,

2

26. 092tan 4

Sol. 6

11,

3

5,

3

4,

6

7,

6

5,

3

2,

3,

6

27. 03cos3cos22 sen

Sol. 12

23,

6

11,

12

19,

2

3,

6

7,

12

11,

6

5,

12

7,

2,

6

28. 3cos2sec3cos

Sol.6

11,

3

5,

6

7,

6

5,

3,

6

29. 0cos2 sen

Sol. 2

3,

6

5,

2,

6

30. 0132 sen

Sol. 18

29,

18

25,

18

17,

18

13,

18

5,

18

31. 012

cos

Sol. 0

32. 2cos23 sen

Sol. 12

19,

12

13,

12

7,

12

33. 022cos 22 sen

Sol. 8

15,

8

13,

8

11,

8

9,

8

7,

8

5,

8

3,

8