Universidade Federal de VicosaCentro de Ciencias Exatas e Tecnologicas - CCE

Departamento de Matematica OLIMPÍADA VIÇOSENSE DE MATEMÁTICATELIMLIMIMPÍADA VIÇOSENSEIMPÍADA VIÇ SE DE MATMATMAMATMAMAT

3a Olimpıada Vicosense de MatematicaBanco de Questoes - Nıvel 3 - 1a Fase

1. Sabendo que o resto da divisao de 20132010 por 2011 e 1, qual e o resto da divisao de 20132012

por 2011?

2. (Banco OBMEP) O numero abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cadaum deles representado por uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este numero por 4obtem-se um numero de cinco algarismos edcba. Qual o valor dea + b + c + d + e?

3. (OBMEP 2011) Na divisao indicada na figura, os asteriscos representam algarismos, iguaisou nao. Qual e a soma dos digitos apontados pelas flechas?

4. (Banco OBMEP) Para percorrer um caminho reto de 10 m de comprimento, uma pulga usaa seguinte estrategia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia anterior.Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (otamanho da pulga e desprezıvel). Quantos metros ela tera percorrido ao final do setimo dia?E do decimo?

5. (Banco OBMEP) O numero 248 − 1 e divisıvel por dois numeros compreendidos entre 60 e70. Quais sao esses numeros?

6. (Banco OBMEP) Quantos numeros inteiros positivos n existem tais que2n2 + 4n + 18

3n + 3e um

inteiro?

7. (Banco OBMEP) Os times A,B,C,D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol comas seguintes regras:

• o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor nao ganha nada;

• em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto;

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• cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros times.

O campeao do torneio foi o time A, seguido na classificacao por B, C, D e E, nessa ordem.Alem disso:

• o time A nao empatou nenhuma partida;

• o time B nao perdeu nenhuma partida;

• todos os times terminaram o torneio com numeros diferentes de pontos.

(a) O Time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por que?

(a) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por que?

8. Encontre as raızes do polinomio complexo

p(z) = z3 − (1− 2i)z2 + 9z − 9(1− 2i).

9. Um fabricante de caixas de papelao deseja fazer caixas abertas de pedacos quadrados de papelaocom 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima.Qual o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com volume128 cm3?.

10. Tres homens Lucas, Thiago e Mateus, trabalhando juntos, realizam uma tarefa em x horas.Se trabalhassem sozinhos, Lucas executaria a tarefa em x + 1 horas, Thiago em x + 6 horas eMateus em 2x horas. Calcule x.

11. (OBM-2011) Na expressaoM × A× T × E ×M

A× T × I × C × A, letras diferentes representam dıgitos dife-

rentes e letras iguais representam dıgitos iguais. Qual e o maior valor possıvel desta expressao?

12. Um triangulo ABC tem area igual a 94 cm2. Os pontos D,E, F, G e H dividem o lado ACem 6 partes congruentes, ou seja, AD = DE = EF = FG = GH = HC. Calcule a area dotriangulo DBG.

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13. (Banco OBMEP) Um matemagico faz magicas com cartoes verdes, amarelos, azuis e vermel-hos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartoes e diz para uma crianca. “Semque eu veja, escolha um cartao, calcule o dobro do numero do cartao, some 3 e multiplique por5. Depoissome 1, se o cartao for verde;some 2, se o cartao for amarelo;some 3, se o cartao for azul;some 4, se o cartao for vermelho.Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o numero do cartao que voce escolheu.”

(a) Joaozinho escolheu o cartao vermelho com o numero 3. Qual e o numero que ele deve dizerao matemagico?

(b) Fernandinha disse “setenta e seis” para o matemagico. Qual e o numero e a cor do cartaoque ela escolheu?

(c) Apos escolher um cartao, Lucas disse “sessenta e um” e o matemagico respondeu “Voceerrou alguma conta”. Como o matemagico pode saber isso?.

14. Numa certa tribo amazonica vivem 800 mulheres, 3% das quais usam apenas um brinco. Dasdemais, a metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual e o numero total de brincosusados por todas as mulheres desta tribo?

15. (Banco OBMEP) Os vertices de um cubo sao numerados de 1 a 8, de tal forma que umadas faces tem os vertices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco tem os vertices {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8},{2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual e o numero do vertice que esta mais distante dovertice de numero 6?

16. (Banco OBMEP) Para fabricar nove discos de papelao circulares para o carnaval usam-sefolhas quadradas de 10 cm de lado, como indicado na figura. Usando o fato que π = 3, 14, quale a area (em cm2) do papelao nao aproveitado?

17. (OBM 2011) Por conta de uma erupcao de um vulcao, 10% dos voos de um aeroporto foramcancelados. Dos voos restantes, 20% foram cancelados pela chuva. Que porcentagem do totalde voos deste aeroporto foram cancelados?

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18. (OBM 2011) Em um triangulo ABC com m(ABC) −m(BAC) = 50◦, a bissetriz do angulo

ACB intersecta o lado AB em D. Seja E o ponto do lado AC tal que m(CDE) = 90◦ (ver

figura abaixo). Qual a medida do angulo ADE?

19. (OBM 2009) Um numero natural A de tres algarismos detona um numero natural B de tresalgarismos se cada algarismo de A e maior do que o algarismo correspondente de B. Porexemplo, 876 detona 345; porem, 651 nao detona 542 pois 1 < 2. Quantos numeros de tresalgarismos detonam 314?

20. (OBM 2006) Na figura temos dois semicırculos de diametros PS, de medida 4, e QR, paraleloa PS. Alem disso, o semicırculo menor e tangente a PS em O. Qual e a area destacada?

21. (OBM 2004) Seja AB um segmento de comprimento 26, e sejam C e D pontos sobre osegmento AB tais que AC = 1 e AD = 8. Sejam E e F pontos sobre uma semicircunferenciade diametro AB, sendo EC e FD perpendiculares a AB. Quanto mede o segmento EF?

22. Quatro amigos vao ao cinema e um deles resolveu entrar de graca. Apareceu um guarda quequer saber qual deles entrou sem pagar.

• Eu nao fui, diz Simone

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• Foi o Anderson, diz Fernanda

• Foi o Thiago, diz Anderson

• A Fernanda nao tem razao, diz o Thiago.

Se um deles mentiu, quem nao pagou o bilhete? Justifique sua resposta!

23. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um e umtamandua ou uma preguica. Tamanduas sempre dizem a verdade e preguicas sempre mentem.

• Adriano diz: “Bruno e uma preguica”.

• Bruno diz: “Carlos e um tamandua”.

• Carlos diz: “Daniel e Adriano sao diferentes tipos de animais”.

• Daniel diz: “Adriano e uma preguica”.

Quantos dos quatro amigos sao tamanduas?

24. Tenho 3 camisas: A, B e C. Uma e verde, outra e branca e a outra, azul, nao necessariamentenesta ordem. Somente uma das afirmacoes abaixo e verdadeira:

I - A e verde

II - B nao e verde

III - C nao e azul

Quais as cores das camisas A, B e C, nessa ordem?

25. Numa classe na escola, todos os alunos tem a mesma idade, exceto sete que tem 1 ano a menose dois que tem 2 anos a mais. A soma das idades de todos os alunos dessa classe e 330. Quantosalunos tem essa classe?

26. (Cıculos Matematicos) O alfabeto hermitiano consiste em apenas tres letras: A, B e C. Umapalavra nesta linguagem e uma sequencia arbitraria tendo, no maximo, quatro letras. Quantaspalavras existem na linguagem hermitiana?

27. Seu Matheus, um sujeito organizado e atento a promocoes, decidiu pesquisar os precos depassagens aereas. Ele descobriu que certa empresa aerea estava operando o trajeto Juiz deFora - Sao Paulo com um desconto de 40% durante o mes de julho, e que esta empresa ofereciaainda um desconto adicional de 10%, as segundas-feiras. Ele entao decidiu viajar em umasegunda-feira de julho para economizar R$ 92,00, aproveitando esta promocao. Qual o valordesta passagem, em reais, antes da promocao?

28. (Banco OBMEP) Determine a soma das raızes distintas da equacao

x2 + 3x + 2 = |x + 1|

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