universidade federal do pará instituto de tecnologia

21/04/23 20:28 ESTATÍSTICA APLICADA I - Estatística Descritiva

Estatística AplicadaEstatística Aplicada II

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes


Capítulo ICapítulo I

Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia

Estatística DescritivaEstatística Descritiva

Campus de Tucuruí – CTUCCurso de Engenharia Mecânica


Introdução

Conceitos e definições

Classificação dos dados

Caracterização e apresentação dos dados

Estatísticas amostrais

Outras apresentações gráficas de dados

Regressão linear

I - Estatística Descritiva



Introdução






Regressão linear


1.1 Introdução

ESTATÍSTICA: É a disciplina que objetiva estudar os métodos científicos para a coleta, organização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como obter conclusões válidas e tomar decisões razoáveis baseadas em tais análises.

Técnicas Estatísticas: São as várias técnicas por meio das quais é possível estudar conjuntos de dados e, a partir de uma amostra (se necessária), tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população).


1.1 Introdução

De uma maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho de pesquisa:

1. A coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa;

2. A apresentação dos dados coletados; e

3. A análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações.


1.1 Introdução

- Essa primeira etapa corresponde ao estabelecimento do método de coleta de dados (questionário ou teste ou ensaio de material) e elaboração dos questionamentos; determinação das variáveis que serão estudadas, de acordo com o interesse do pesquisador; e o cálculo do tamanho da amostra, de acordo com a natureza da pesquisa, do tempo e do orçamento disponíveis.

Coleta de dados


1.1 Introdução

- A segunda etapa requer técnicas específicas para a transformação dos dados numéricos em tabelas ou gráficos (é a partir da organização dos dados coletados que se poderá elaborar a interpretação).

Apresentação dos dados coletados

Análise dos dados coletados

- Essa etapa é simultânea à anterior, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir percebendo a tendência geral da pesquisa.


1.1 Introdução

• No sentido de melhor esclarecer o significado da análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer uma distinção entre

Estatística Descritiva e Inferência Estatística.


1.1 Introdução

• Como o próprio nome sugere, constitui-se num conjunto de técnicas que objetivam descrever, analisar e interpretar os dados numéricos de uma população ou amostra.

Estatística Descritiva: Objetiva sintetizar e representar de uma forma compreensível a informação contida num conjunto de dados.

• Materializa-se na construção de tabelas e/ou gráficos ou no cálculo de medidas que representem convenientemente a informação contida nos dados.

• Adquire importância quando o volume de dados for significativo.


1.1 Introdução

• Objetivo mais ambicioso que o da estatística descritiva.

Inferência Estatística: Baseada na análise de um conjunto limitado de dados (uma amostra), objetiva caracterizar o todo a partir do qual tais dados foram obtidos (a população).

• Os métodos e técnicas utilizados são mais sofisticados.


1.1 Introdução

Figura 1.1- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006).


1.1 Introdução

Figura 1.2- Diferença entre Estatística Descritiva e Inferência Estatística (Silva e Carvalho, 2006).



Introdução






Regressão linear


1.2 Conceitos e Definições

População: É o conjunto de todos os elementos que contêm uma certa característica que se deseja estudar.

• Como é comum a todos os elementos, esta característica varia em quantidade ou qualidade.

• Uma população pode ter dimensão finita ou infinita.

Amostra: É um subconjunto de dados que pertencem à população. As amostras aleatórias são escolhidas por meio de processos (técnicas de amostragem) que garantem que o subconjunto obtido é representativo da população.



Principais motivos para o estudo da amostra:

1. População infinita;

2. Custo em termos de tempo ou de dinheiro que um estudo em toda a população implicaria;

3. Obtenção de informação por meio de testes destrutivos, no âmbito industrial;

4. Impossibilidade de acesso a todos os elementos da população.



Fases do método de análise estatística:

• No âmbito da Estatística, o método de abordagem dos problemas pode ser dividido em cinco fases:

1. Estabelecimento do objetivo da análise a efetuar (questões a serem resolvidas) e definição das populações correspondentes;

2. Concepção de um procedimento adequado para a seleção de uma ou mais amostras (escolha das técnicas de amostragem a utilizar).

3. Coleta de dados.

4. Análise dos dados (Estatística Descritiva).

5. Estabelecimento de inferências a respeito da população (Inferência Estatística)



Fases do método de análise estatística:

Identificação do problema → Objetivo da análise

Planejamento da experiência → Técnicas de Amostragem

Coleta de dados

Análise exploratória dos dados → Estatística Descritiva

Análise e interpretação dos resultados → Inferência Estatística



Introdução






Regressão linear


1.3 Classificação dos Dados

Iniciando o estudo:

• Isso é necessário, pois podem ocorrer registros que não se encaixam no padrão geral observado e, dessa forma, a sua veracidade deve ser averiguada, pois podem tratar-se de erros de observação, bem como do próprio registro ou provenientes de alterações do fenômeno em estudo.

• Não existe uma estratégia única para iniciar o estudo descritivo, embora uma primeira recomendação seja começar por uma exploração visual dos dados levantados.



Iniciando o estudo:

• Embora estas análises já se encontrem disponíveis em vários softwares e calculadoras programáveis, para uma melhor interpretação das mesmas é conveniente conhecer as técnicas utilizadas.

• Para se ter uma idéia mais concreta sobre os dados levantados, deve-se recorrer às tabelas e/ou gráficos que podem representar, de maneira sintética, as informações sobre o comportamento de variáveis numéricas levantadas.



Iniciando o estudo:

• Portanto, para se proceder um estudo descritivo, é importante:

- Ordenação dos dados – fase onde se começa a ter uma idéia a respeito de algumas medidas de posição (média, mediana, quartis etc.);

- Estatísticas amostrais – a partir de algumas medidas promove-se um resumo dos dados levantados, relativamente à posição, dispersão e forma;

- Agrupamento dos dados e representação gráfica – revela a forma possível para a população em estudo e permite escolher a classe de modelos que deve ser explorada nas análises mais sofisticadas.



Dados brutos: Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-se dados brutos, ou seja, um conjunto de números ainda sem organização alguma.

Rol: Os dados brutos são então ordenados de forma crescente ou decrescente, com a indicação da freqüência de cada um, dando origem ao chamado rol.

Tabulação dos dados: Depois de elaborar o rol é preciso determinar quantas faixas terá a tabela de freqüência. A fórmula de Sturges é utilizada para estabelecer o número aproximado de classes

onde: n = número de elementos da amostra (tamanho da amostra) k = número de classes que a tabela de classes deverá contar.

nlog22,31k



• Observações: - k deverá ser no mínimo 3 e no máximo 20;

- Como a variável k é um número inteiro, ela deverá ser aproximada para o maior inteiro (por exemplo, se k ≈ 6,4, usa-se k = 7).

Freqüência de classes: O passo seguinte é subdividir os dados pelas classes ou categorias e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma, resultando nas freqüências de classes.

Apresentação final dos dados (tabela completa): Com base em todos os cálculos feitos anteriormente, pode-se fazer uma nova tabela com todas as freqüências, as quais serão estudadas a posteriori.

Gráficos: A partir da tabela de freqüências, faz-se o desenho gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela.



Os dados que constituem uma amostra podem ser de quatro tipos, assim distribuídos:

• Qualitativos- Nominal- Ordinal

• Quantitativos- Intervalar- Absoluto



a) Dados nominais: Quando cada um deles for identificado pela atribuição de um nome que designa uma classe.

a) Exaustivas - qualquer dado pertence a uma das classes;b) Mutuamente exclusivas - cada dado pertence somente

a uma classe;c) Não ordenáveis - não existe nenhum critério relevante

que permita estabelecer preferência por qualquer classe em relação às restantes.

Neste caso, as classes devem ser:

- Exemplo: Classificação das pessoas pela cor do cabelo (preto, castanho, louro etc.).



- Exemplo: Classificação de conceitos de avaliação na disciplina em insuficiente, regular, bom e excelente.

b) Dados ordinais: São semelhantes aos dados nominais; contudo, nessa escala existe a possibilidade de se estabelecer uma ordenação dos dados nas classes, segundo algum critério relevante.



- Observação: Neste caso, pode-se atribuir um significado à diferença entre esses números, mas não à razão entre eles.

Por exemplo, o registro de temperaturas em ºC, em determinadas horas de dias sucessivos. Se em três dias consecutivos a temperatura atingir 5ºC, 10°C e 20ºC, não faz sentido dizer que o terceiro dia esteve duas vezes mais quente que o segundo, pois se a temperatura fosse expressa em outra escala, a razão entre os valores registrados naqueles dias seria diferente.

c) Dados intervalares: No caso da escala intervalar, os dados são diferenciados e ordenados por números expressos em uma ordem cuja origem é arbitrária.



d) Dados absolutos: Contrariamente ao que sucede com a escala intervalar, a escala absoluta tem origem fixa (nesta escala, o valor zero tem significado).

• Escala intervalar: temperatura de 0ºC não significa que não haja temperatura.

• Escala absoluta: peso de 0 kg significa que não existe peso.

• Em conseqüência ao fato da origem ser fixa, a razão entre os dados expressos numa escala absoluta passa a ter significado; uma pessoa com 60 kg tem o dobro do peso de uma com 30 kg.

- Exemplo: Pesos de pessoas expressos em kg.

- Observações:



- Observação: Quando se trabalha com dados quantitativos, é necessário que se faça a distinção entre os dados discretos e os contínuos.

Os dados denominam-se discretos quando são valores de uma variável aleatória discreta, que é a aquela que assume valores em pontos da reta real (por exemplo, número de páginas em um livro: 1, 2, 3, 4, 5...).

Os dados são contínuos quando são valores de uma variável aleatória contínua, que é aquela que pode assumir qualquer valor em certo intervalo da reta real (por exemplo, o peso de funcionários de uma fábrica: 60,5 kg; 60,52 kg; ...)



Arredondamento de dados: O arredondamento de um dado estatístico deve obedecer as seguintes regras.

1. Arredondamento por falta: Quando o primeiro dígito, aquele situado mais à esquerda entre os que irão ser eliminados, for igual ou menor que quatro, não deverá ser alterado o dígito remanescente (ou seja, frações de 0,000... a 0,4999... são simplesmente eliminadas, arredondadas para baixo).

Exemplos: 3, 49 ≈ 3; 2,43 ≈ 2,4; 1,734999 ≈ 1,73

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado

12,489 Inteiros 12

12,733 Décimos 12,7

12,992 Centésimos 12,99



2. Arredondamento por excesso: Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco seguido por dígitos maiores que zero, o digito remanescente será acrescido de uma unidade (ou seja, frações maiores de 0,500... até 0,999... são eliminadas, mas o algarismo a ser arredondado aumenta 1 unidade, arredondadas para cima).

Exemplos: 3,688 ≈ 3,69; 5,6501 ≈ 5,7

Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado

15,504 Inteiros 16

15,561 Décimos 15,6




3. Arredondamento de dígitos seguidos do cinco: Quando o dígito situado mais à esquerda dos que serão eliminados for um cinco ou um cinco seguido somente de zeros, o último dígito remanescente, se for par, não se alterará, e se for impar será aumentado de uma unidade (ou seja, se a fração a ser eliminada é exatamente 0,50000..., então o algarismo a ser arredondado, só aumentará de 1 unidade caso torne-se um algarismo par).

Exemplos: 3,5 ≈ 4; 6,5 ≈ 6; 5,6500 ≈ 5,6; 5,700 ≈ 5,8; 9,475 ≈ 9,48; 3,325 ≈ 3,32

Número a arredondar Arredondamento para

Número arredondado

215,500 Inteiro 216

216,500 Inteiro 216

216,750 Décimos 216,8




1. Nunca se deve fazer arredondamentos sucessivos. Exemplo: 17,3452 → 17,3 (correto) 17,3452 → 17,35 → 17,4 (incorreto)

2. Se for necessário um novo arredondamento, recomenda-se o retorno

aos dados originais.

- Observações:



Algarismos significativos

Números Notação científicaAlgarismos

significativos

3200

1,55

8,3400

32050

0,032

0,03200

3,2 x 103

1,55 x 100

8,3400 x 100

3,205 x 104

3,2 x 10-2

3,200 x 10-2

2

3

5 4

2

4

Os algarismos significativos de um número são os dígitos diferentes de zero, contados a partir da esquerda até o último dígito diferente de zero à direita, caso não haja vírgula decimal, ou até o último dígito (zero ou não) caso haja uma vírgula decimal.Exemplos:



Algarismos significativos:

• Todos os dígitos diferentes de zero são significativos. Exemplos: 7,3; 32 e 210 possuem 2 algarismos significativos. • Os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos

Exemplos: 303 e 1,03 possuem 3 algarismos significativos. • Se existir uma vírgula decimal, todos os zeros à direita da vírgula

decimal são significativosExemplos: 1,000 e 33,30 possuem 4 algarismos significativos.




• Valores medidos ou calculados: o número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou um valor calculado é uma indicação da incerteza, ou seja, quanto mais algarismos significativos, menor a incerteza no valor.

Exemplo:

O valor de uma grandeza medida com 3 algarismos significativos, indica que o valor do 3º algarismo tem uma incerteza menor ± 0,5ºC. Caso seja apresentada uma temperatura como 32ºC (2 significativos), está indicado que a temperatura está entre 31,5 e 32,5ºC. Caso ela seja apresentada como 32,5ºC (3 significativos), está indicado que a temperatura está entre 32,45 e 32,55ºC.




• Números inteiros que são resultados experimentais, seguem as regras anteriores.

Exemplo: a pressão em uma caldeira é 6 atm, possui 1 algarismo significativo.

• Números inteiros que descrevem o número de objetos discretos possuem precisão mínima. Exemplo: 5 dias = 5,0000000... dias.

• Números inteiros que são parte de uma expressão física possuem precisão infinita.

Exemplo: o 2 na equação do perímetro do círculo 2πR, possui uma precisão infinita uma vez que por definição o diâmetro é 2 vezes o raio.



• Na adição e na subtração faz-se a operação normalmente e no final reduz-se o resultado, usando os critérios de arredondamento, para o número de casas decimais da grandeza menos precisa. Exemplos: 12441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 + 119,20 = 12620,1001 = 12620 12441,2 7856,32 = 4584,88 = 4584,9

• Na multiplicação e na divisão o resultado deverá ter igual número de algarismos (ou um algarismo a mais) que a grandeza com menor quantidade de algarismos significativos que participa da operação. Exemplos: 12,46 x 39,83 = 496,2818 = 496,28 803,407 / 13,1 = 61,328 = 61,33

- Observações:



• Nas operações de potenciação e radiciação o resultado deverá ter o mesmo número de algarismos significativos da base (potenciação) ou do radicando (radiciação). Exemplos: (1,52 x 103)2 = 2,31 x 106

(0,75 x 104)1/2 = 0,87 x 102

- Observações:



Introdução






Regressão linear


1.4 Caracterização e Apresentação dos Dados

Tabela de freqüências:

• Devido à necessidade das categorias estarem ordenadas, somente se pode falar de freqüências acumuladas quando os dados estão em escalas ordinais, intervalar ou absoluta.

• A representação tabular com todos os tipos de freqüências é mostrada a seguir:




a) Freqüência absoluta (ni): O número de dados contidos numa classe ou categoria qualquer i (i = 1,..., k) de um conjunto de dados designa-se por freqüência absoluta da classe ou categoria i.

k

11inn

• Denotando-se por ni tal freqüência e admitindo que as categorias especificadas contêm todos os dados, o número total de dados (n) é calculado por :




b) Freqüência relativa (fi): O número total de dados que pertencem a uma classe ou categoria qualquer i, quando expressos como uma proporção do número total de dados, designa-se por freqüência relativa da classe ou categoria i e é dada por

n

nf i

i

• As freqüências relativas são muitas vezes definidas em termos percentuais.




c) Freqüência absoluta acumulada (Ni): Representa para cada classe ou categoria i, a freqüência absoluta de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores.

d) Freqüência relativa acumulada (Fi): Representa para cada classe categoria i, a freqüência relativa de dados que pertencem à classe ou às classes anteriores.



Gráficos estatísticos

• Uma vez elaborada a tabela de freqüências, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização dos dados constantes na tabela.

• Os tipos de gráficos mais comuns são: histograma; polígono de freqüência, setograma e ogiva de Galton.




- Histograma: Este tipo de gráfico é utilizado para representar as freqüências absolutas (ni) em relação à sua classe, e é assim construído:

1. No eixo das abscissas marcam-se, em escala, as classes dos dados;

2. No eixo das ordenadas, marcam-se as freqüências das classes;

3. Faz-se a correspondência entre cada intervalo no eixo das classes com um valor no eixo das freqüências, formando um desenho de colunas paralelas.




1. No eixo das abscissas, coloca-se o ponto médio de cada intervalo de classe;

2. No eixo das ordenadas, permanecem as freqüências absolutas das classes (ni) ;

3. Ligam-se os pontos médios por segmentos de reta;

4. Para completar o polígono, acrescenta-se um ponto médio com freqüência zero em cada uma das extremidades da escala horizontal.

- Polígono de freqüência: Utilizado para indicar o ponto médio ou representante de classe em suas respectivas freqüências absolutas; normalmente, é construído sobre o histograma, da seguinte forma:




- Histograma e Polígono de freqüência:




- Histograma

- Polígono de freqüência:




- Gráfico em setores (Setograma): Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar valores relativos (%); é construído da seguinte forma:

1. Faz-se um círculo;

2. Cada setor é regido pela fórmula:

3. No círculo, distribui-se os valores das freqüências percentuais

n

nº360Setorº i

i




- Ogiva de Galton: Este tipo de gráfico é utilizada para representar as freqüências acumuladas de uma distribuição; é construído da seguinte forma:

1. No eixo das abscissas coloca-se as classes dos dados, tal como no histograma;

2. No eixo das ordenadas, escreve-se uma das freqüências acumuladas, marcando o ponto com os limites superiores (Li) de cada classe; inicia-se com a freqüência zero e com limite inferior da 1ª classe.




- Ogiva de Galton:




- Gráfico linear: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de uma linha poligonal. Os pontos da polígono são obtidos pelas informações contidas em cada linha da tabela, e marcados no plano utilizando o sistema cartesiano. São utilizados para representar séries cronológicas.




- Gráfico de colunas: É o tipo de gráfico que apresenta os dados estatísticos por meio de retângulos (colunas) dispostas em posições vertical. Todos os retângulos possuem a mesma base e a altura proporcional aos dados. Podem ser utilizados para representar qualquer série estatística.




- Gráfico de colunas: Este tipo de gráfico é semelhante ao de colunas, onde os retângulos (barras) estão dispostos horizontalmente. É utilizado para legendas longas, em todas as séries.



Dados Qualitativos:

• Exemplo: Em uma amostra constituída de 120 peças, constatou-se que 100 não tinham qualquer defeito, 15 tinham defeitos recuperáveis e 5 apresentavam defeitos irrecuperáveis. Representar em uma tabela, e também graficamente, as freqüências (absolutas e relativas) dos dados que constituem essa amostra:

Categoria de peças Freqüência absoluta

(ni)

Freqüência relativa

(fi)

Sem defeitos

Recuperáveis

irrecuperáveis

100

15

5

83,3%

12,5%

4,2%

TOTAL 120 100%



Dados Qualitativos:

Gráfico em Setores

83,3%

12,5%4,2%

Sem defeitos

Recuperáveisirrecuperáveis



Dados Quantitativos:

• Exemplo: Em um estudo realizado com o objetivo de caracterizar o comportamento dos clientes de um supermercado, analisou-se o número de ocupantes por veículo para 1000 veículos que entraram no estacionamento do referido supermercado, em um sábado. Os resultados encontram-se resumidos na tabela seguinte:




Nº de ocupantes

por veículo

(xi)

Freqüência

absoluta

(ni)

Freqüência

relativa

(fi)

Freqüência

absoluta acumulada

(Ni)

Freqüência

relativa acumulada

(Fi)

1

2

3

4

5

6

7

103

147

248

197

152

100

53

10,3%

14,7%

24,8%

19,7%

15,2%

10,0%

5,3%

103

250

498

695

847

947

1000

10,3%

25,0%

49,8%

69,5%

84,7%

94,7%

100,0%

TOTAL 1000 100%




0

50

100

150

200

250

300

n i

1 2 3 4 5 6 7

Nº ocupantes / veículo

Gráfico em colunas



• Distribuições agrupadas: Essas distribuições são úteis quando existe um grande número de dados relativos a uma variável contínua, cujos valores observados são muito próximos uns dos outros.

- A freqüência de cada classe é o número de observações que ela contém.

- No exemplo anterior, os dados observados correspondem a uma variável discreta; para o caso de dados relativos uma variável contínua existem algumas diferenças.




• Exemplo: O conjunto de dados baixo representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático:

302,25; 299,20; 300,24; 297,22; 298,35; 303,76; 298,65; 299,38; 300,36; 299,16; 300,86; 299,83; 302,52; 300,12; 301,81; 297,99; 299,23; 298,73; 303,07; 299,07; 297,83; ... ; 300,80




• No conjunto de dados mostrado não existe praticamente repetição de valores; logo, não é vantagem se utilizar os dados agrupados numa tabela de freqüências, pois a mesma teria tantas linhas quanto o número de dados.

• No entanto, a tabela de freqüências pode ser construída se os dados forem agrupados por classes:




Classes

Freqüência

absoluta

(ni)

Freqüência

relativa (%)

(fi)

Freqüência

absoluta

acumulada (Ni)

Freqüência

relativa

acumulada (%)

(Fi)

[297,00 ; 298,00[

[298,00 ; 299,00[

[299,00 ; 300,00[

[300,00 ; 301,00[

[301,00 ; 302,00[

[302,00 ; 303,00[

[303,00 ; 304,00[

[304,00 ; 305,00[

[305,00 ; 306,00[

8

21

28

15

11

10

5

1

1

8

21

28

15

11

10

5

1

1

8

29

57

72

83

93

98

99

100

8

29

57

72

83

93

98

99

100

TOTAL 100 100%



Histograma

0

5

10

15

20

25

30

[297,00 ;298,00[

[298,00 ;299,00[

[299,00 ;300,00[

[300.00 ;301,00[

[301,00 ;302,00[

[302,00 ;303,00[

[303,00 ;304,00[

[304,00 ;305,00[

[305,00 ;306,00[

Peso (kg)

f i




Introdução






Regressão linear


1.5 Estatísticas Amostrais

Nas seções anteriores foi visto a sintetização de dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e distribuição de freqüências.

O cálculo de estatísticas amostrais é uma forma mais sintética de descrever um conjunto de dados, ou seja, possibilita representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma reduzida.

As estatísticas amostrais são calculadas com base nos dados, a partir das quais é possível descrever globalmente o conjunto de valores que os referidos dados tomam.



a) Medidas de posição ou de tendência central:• Média aritmética, média geométrica, média harmônica,

mediana, quartis, decis, percentis e moda.

• Amplitude total, desvio médio, variância, desvio padrão, amplitude interquartílica e coeficiente de variação.

b) Medidas de dispersão:

• Medidas de assimetria e medidas de curtose.

c) Medidas de forma:

As estatísticas amostrais ou medidas estatísticas são divididas em três grupos:



a) Medidas de posição:

• Essas medidas nos orientam quanto à posição da distribuição no eixo x (eixo dos números reais);

• Possibilitam comparações de séries de dados entre si pelo confronto desses números.

• São chamadas de medidas de tendência central, pelo fato de representarem os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.



a.1) Média aritmética:

n

xx

n

1ii

(dados não agrupados)


• Para um conjunto de n dados de xi (i = 1,2,..., n) a média aritmética simples ou média amostral, representada por é definida pela expressão:x




87,2x15

4 1 1 31 25 5 7 3 2 3 31 2x

n

xx

n

1ii

2, 1, 3, 3, 2, 3, 7, 5, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 4

• Exemplo: Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) dos dados mostrados abaixo:






• Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores xi ponderadas pelas respectivas freqüências absolutas ni, assim:

n

xnx

n

1iii

(dados agrupados)





• Exemplo (dados agrupados): Determinar a média aritmética simples (média aritmética amostral) da distribuição dada abaixo:

xi 1 2 3 4 5 7

ni 4 3 4 1 2 1




87,2x15

43

15

)17(...)41(

n

nxx

n

1iii


• Exemplo (dados agrupados): xi ni xini

1

2

3

4

5

7

4

3

4

1

2

1

4

6

12

4

10

7

Σ 15 43




a) Medidas de posição

• No caso da variável ser contínua, visto que se perdeu os valores concretos do conjunto (ficaram afetos a uma determinada classe) não se pode calcular a média amostral diretamente dos valores dos dados.





• Deste modo, à cada classe vai ser atribuído um representante (xi), e a média amostral será calculada por meio desses representantes:

n

xnx

k

1iii

(dados agrupados em classes)

onde k é o número de classes do agrupamento, ni é a freqüência absoluta da classe i e xi é o ponto médio da classe i, o qual é considerado como elemento representativo da classe.





• Exemplo (dados agrupados em classes): Determinar a média da distribuição a seguir, a qual representa o peso, em gramas, do conteúdo de uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha de enchimento automático (exemplo anterior):





• Exemplo (dados agrupados em classes):

Classes ni xi xini

[297,00 ; 298,00[

[298,00 ; 299,00[

[299,00 ; 300,00[

[300,00 ; 301,00[

[301,00 ; 302,00[

[302,00 ; 303,00[

[303,00 ; 304,00[

[304,00 ; 305,00[

[305,00 ; 306,00[

8

21

28

15

11

10

5

1

1

297,5

298,5

299,5

300.5

301,5

302,5

303,5

304,5

305,5

2380,0

6268,5

8386,0

4507,5

3316,5

3025,0

1517,5

304,5

305,5

Σ 100 30011,0

11,300x100

0,30011x

n

xnx

9

1iii



a.1) Média aritmética (Ponderada)


• Às vezes, associam-se os números x1, x2, ..., xk a certos fatores de ponderação ou pesos w1, w2, ... , wk que dependem do significado ou importância atribuída aos mesmos. Nesse caso

k21

kk2211

i

k

1iii

w...ww

xw...xwxw

w

xwx

é denominada de média aritmética ponderada.



a.1) Média aritmética (Ponderada)


• Exemplo: Em um curso, a avaliação final tem peso 3 e as parciais peso 1; a nota média de um estudante que obtenha nota 8,5 na avaliação final e 7,0 e 9,0 nas provas parciais, será:

3,85

5,41

311

)5,83()0,91()0,71(

w

xwx 3

1ii

3

1iii



a.2) Média geométrica: A média geométrica G (ou ) de um conjunto de n números x1, x2, ..., xn é a raiz de ordem n do produto desses números:


nn21 x...xxG

464842G 33

- Exemplo: A média geométrica dos números 2, 4 e 8:

Gx



a.2) Média geométrica (dados agrupados): Se os elementos x1, x2, ..., xn ocorrem com as freqüências n1, n2,..., nk, sendo n1+n2+...+nk = n a freqüência total, a média geométrica G desses elementos será deduzida como:


n nk

n2

n1n

vezesnkkk

vezesn222

vezesn111

k21

k21

x...xxxxxx...xxx...xxG



a.3) Média harmônica: A média harmônica H (ou ) de um conjunto de n elementos x1, x2, ..., xn é a recíproca da média aritmética da recíproca dos elementos:


n

1j j

n

1j j x

1

n

x

1

n

1

1H

43,3

8

73

8

1

4

1

2

13

x

1

nH

n

1j j

- Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8:

Hx



a.4) Mediana: Para os dados colocados em ordem crescente, mediana (md, Me ou ) é o valor que divide a amostra,

ou população, em duas partes iguais. Assim:


x~50% 100%0%

x~



a.4) Mediana (série de elementos não agrupados):


• Considerando que os dados que integram a amostra são colocados em ordem crescente, formando um vetor (x1, x2, ..., xn) - amostra ordenada -, a mediana amostral é definida como segue:

2

xx

x~

xx~

2

2n

2

n

2

1n n ímpar

n par



a.4) Mediana (série de elementos não agrupados):


• Exemplo: Para as distribuições abaixo, determinar as respectivas medianas:

8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9

Ordenando:

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15

Como n é ímpar, então:

7xxx~ 5

2

1n

8, 5, 15,11, 4, 1, 7, 2, 9, 3

Ordenando:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11,15

Como n é par, então:

62

75

2

xx

2

xx

x~ 652

2n

2

n



a.4) Mediana (variáveis discretas, dados agrupados em tabela de distribuição de freqüência):


• Exemplo: Para a distribuição abaixo, determinar a mediana:

xi ni Ni

1

2

3

4

1

3

5

2

1

4

9

11

Σ 11

contém o 6º elemento

n = 11 (ímpar), logo será o elemento de ordem (n+1)/2, ou seja, (11+1)/2 = 6º elemento.

Da coluna da freqüência acumulada crescente, encontra-se o valor xi correspondente à classe que contém a ordem calculada, assim: = 3.x~

x~





xi ni Ni

82

85

87

89

90

9

12

11

6

4

9

21

32

38

42

Σ 42 862

8785x~

22º

n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos.

Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 85 e 87, assim:

21º

x~






xi ni Ni

82

85

87

89

90

5

10

15

8

4

5

15

30

38

42

Σ 42

21º e 22º

n = 42, é par, logo será a média entre os elemento de ordem n/2 e (n/2)+1, ou seja, 21º e 22º elementos.

Como no exemplo anterior, identificam-se os elementos de ordem 21 e 22 pela Ni, ou seja, 87 e 87, assim:

872

8787x~

x~





• Para variáveis contínuas, identifica-se a classe que contém a mediana (n/2), denominada classe Md (como a variável é contínua, não interessa se n é par ou ímpar); o valor aproximado para a mediana será calculado pela equação:

MdMd

1MdMd

Md

Md1Md

Md af

F5,0l

n

aN2

n

lx~

onde: NMd-1 é a freqüência absoluta acumulada da classe antes da classe mediana, n a dimensão da amostra e lMd , aMd e nMd são, respectivamente, o limite inferior, a amplitude e a freqüência absoluta da classe mediana.

a.4) Mediana (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):




• Exemplo: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana:

Classes ni Ni

35 45

45 55

55 65

65 75

75 85

85 95

5

12

18

14

6

3

5

17

35

49

55

58

Σ 58

classe Md





• Exemplo:

1º Passo: Calcula-se n/2; como n=58, então 58/2=29º.

2º Passo: Identifica-se a classe Md pela Ni (classe Md=3ª).

3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso li = 55, n = 58, Ni-1 = 17, ai = 10, ni = 18; logo:

67,6118

10172

58

55n

aN2n

lx~

i

i1i

i




a.5) Quartis:


• Como já visto anteriormente, a mediana é a medida de posição que divide um conjunto de dados em duas partes iguais;

• Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, assim:

50% 75%25%

Q1 Q2 Q3



a.5) Quartis:


Q1 = 1º quartil, deixa 25% dos elementos;

Q2 = 2º quartil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos;

Q3 = 3º quartil, deixa 75% dos elementos.

50% 75%25%

Q1 Q2 Q3



a.5) Quartis (série de elementos não agrupados):


• A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue a fórmula:

4

1nkQk



a.5) Quartis (série de elementos não agrupados):


• Exemplo: Determine o 1º e o 3º quartis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612. E da série 185, 196, 207, 305, 574, 597 ?

196elementoº24

171Q1

3,193)185196(75,0185elementoº75,14

161Q1

597elementoº64

173Q3

8,579)574597(25,0574elementoº25,54

163Q3




• A determinação de Qk (k = 1, 2 e 3), segue os passos:

k

k

k

k QQ

1Q

Qk an

N4

kn

lQ

- 1º Passo: Calcula-se a ordem kn/4;

- 2º Passo: Identifica-se a classe Qk pela freqüência acumulada N;

- 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

a.5) Quartis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):



a) Medidas de posição

• Exemplo: Dada a distribuição amostral, determinar Q1 e Q3:

Classes ni Ni

35 45

45 55

55 65

65 75

75 85

85 95

5

12

18

14

6

3

5

17

35

49

55

58

Σ 58

classe Q1

classe Q3





• Exemplo: Para Q1.

1º Passo: Calcula-se n/4; como n=58, então 58/4=14,5º.

2º Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Ni (classe Q1 =2ª).

3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ1 = 45, n = 58, NQ1-1 = 5, aQ1 = 10, nQ1 = 12; logo:

92,5210

12

55,1445a

n

N4

n1

lQ1

1

1

1 QQ

1Q

Q1





• Exemplo: Para Q3.

1º Passo: Calcula-se 3n/4; como n = 58, então 58/4 = 43,5º.

2º Passo: Identifica-se a classe Q3 pela NQ3 (classe Q3 = 4ª).

3º Passo: Aplica-se a fórmula: Neste caso lQ3 = 65, n = 58, NQ3 -1 = 35, aQ3 = 10, nQ3 = 14; logo:

07,7110

14

355,4365a

n

N4

n3

lQ3

3

3

3 QQ

1Q

Q3





• Exemplo: Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nesta distribuição, tem-se:

25% 25%25%25%

52,92 61,67 71,0735 95

ou seja: O valor de 52,92 deixa 25% dos elementos; O valor de 61,67 deixa 50% dos elementos; O valor de 71,07 deixa 75% dos elementos.




a.6) Decis:


• Os decis dividem um conjunto de dados em dez partes iguais, assim:

D1

90%80%70%60%50%40%30%20%10%

D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9



a.6) Decis:


D1 = 1º decil, deixa 10% dos elementos da série;D2 = 2º decil, deixa 12% dos elementos da série;D5 = 5º decil, coincide com a mediana, deixa 50% dos

elementos da série;D6 = 6º decil, deixa 60% dos elementos da série;D7 = 7º decil, deixa 70% dos elementos da série;D8 = 8º decil, deixa 80% dos elementos da série;D9 = 9º decil, deixa 90% dos elementos da série.



a.6) Decis (série de elementos não agrupados:


• A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), segue a fórmula:

10

1nkDk

• Exemplo: Determine o 5º e o 6º decis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612.

305elementoº410

175D1

2,520elementoº8,410

176D6




• A determinação de Dk (k = 1, 2, ..., 9), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos:

k

k

k

k DD

1D

Dk an

N10

kn

lD


- 2º Passo: Identifica-se a classe Dk pela freqüência acumulada N;


a.6) Decis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):



a.7) Percentis:


• Os percentis dividem um conjunto de dados em cem partes iguais, assim:

P1

99%98%97%3% . . .2%1%

P2 P3 P50 P97 P98 P99

50% . . .



a.7) Percentis:


P1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos;P2 = 2º percentil, deixa 2% dos elementos.

P50 = 50º percentil, coincide com a mediana, deixa 50% dos elementos;

P99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos.



a.7) Percentis (série de elementos não agrupados):


• A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99) para uma série de elementos não agrupados, segue a fórmula:

100

1nkPk

• Exemplo: Determine o 50º e o 60º percentis da série 185, 196, 207, 305, 574, 597, 612.

305elementoº4100

1750P50

2,520elementoº8,4100

1760P60




• A determinação de Pk (k = 1, 2, ..., 99), para o caso de variáveis contínuas com os dados divididos em classes, segue os passos:

k

k

k

k PP

1P

Pk an

N100

kn

lP


- 2º Passo: Identifica-se a classe Pk pela freqüência acumulada N;


a.7) Percentis (variáveis contínuas com os dados divididos em classes, tabela de distribuição de freqüência):



a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição:


Classes ni Ni

35 45

45 55

55 65

65 75

75 85

85 95

5

12

18

14

6

3

5

17

35

49

55

58

Σ 58

classe D4

classe P72

Cálculo de D4

34,551018

1710

584

55D

18n;10a

;58n;17N;55l

2,2310

584

10

kn

4

DD

1DD

o

44

44

1º Passo:

2º Passo:

3º Passo:



a.7) Exemplo (decil e percentil): Determinar o 4º decil e o 72º percentil da seguinte distribuição:


Classes ni Ni

35 45

45 55

55 65

65 75

75 85

85 95

5

12

18

14

6

3

5

17

35

49

55

58

Σ 58

classe D4

classe P72

Cálculo de P72

82,691014

35100

5872

65P

14n;10a

;58n;35N;65l

8,41100

5872

100

kn

72

PP

1PP

o

7272

7272

1º Passo:

2º Passo:

3º Passo:



a.7) Exemplo (decil e percentil).


• Portanto, na distribuição analisada, tem-se que:

- O valor 55,34 indica que 40% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 60% acima.

- O valor 69,82 indica que 72% dos elementos da distribuição estão abaixo dele e os outros 28% acima.



a.8) Moda


• Moda (Mo) é a medida que indica o valor ou a gama de valores nos quais a concentração dos dados amostrais é máxima.

- Para variáveis discretas, a moda é o valor dos dados que ocorre com maior freqüência;

- Para variáveis contínuas, a classe modal é o intervalo de classe com maior freqüência.



a.8) Moda


• Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.



a.8) Moda


• Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).



a.8) Moda (distribuições simples)


• Para distribuições simples (sem agrupamento em classes), a identificação da moda é facilitada pela simples observação do elemento que apresenta maior freqüência.

- Exemplo: Para a distribuição abaixo Mo = 248.

xi 243 245 248 251 307

ni 7 17 23 20 8



a.8) Moda (dados agrupados)


• Para dados agrupados em classe, existem diversas fórmulas para o cálculo da moda:

- Fórmula de Czuber: Após a identificação da classe modal, aplica-se a fórmula abaixo, onde

i21

1io alM

l = limite inferior da classe modal;Δ1= diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente anterior;Δ2 = diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a imediatamente posterior; ai = amplitude da classe modal.





- Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:

Classes ni

35 45

45 55

55 65

65 75

75 85

85 95

5

12

18

14

6

3

- A classe com maior frequência absoluta é [55, 65[; logo, ela é a classe modal.

- Aplicando a fórmula de Czuber, tem-se:

61M

10)1418()1218(

121855M

alM

o

o

i21

1io





- Densidades de classes: Quando as amplitudes das classes são diferentes, deve-se calcular as densidades de classes para identificar a classe modal, as quais são obtidas por meio da relação ni/ai.





- Exemplo: Determinar a moda para a distribuição:

Salários (US$) ni ai ni/ai

80 180

180 250

250 300

300 500

70

140

140

60

100

70

50

200

0,7

2,0

2,8

0,3

12,26250)3,08,2()0,28,2(

0,28,2250alM i

21

1io

classe modal





- Fórmula de Pearson: Fornece uma boa aproximação quando a distribuição apresenta razoável simetria em relação à média. É dada pela relação:

x2x~3M o

ou seja, a moda é aproximadamente igual a diferença entre o triplo da mediana e o dobro da média



Observações:


1. Média versus Mediana:

Diferença entre estas duas medidas fica mais clara quando se considera o exemplo das notas obtidas por um aluno como sendo: 10, 13, 11, 15, 18, 16, 14, 15, 14; nesse caso, como pode ser comprovado, a média aritmética e a mediana são iguais a 14.

Se esse aluno elevar a nota mais baixa, passando de 10 para 14, a mediana ainda será o mesmo valor, mas o valor da média sofrerá um aumento, passando para 14,4.



Observações:


A média, ao contrário da mediana, é uma medida de posição muito pouco resistente, isto é, ela é muito influenciada por valores muito grandes ou muito pequenos, mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra.

Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.




Observações:


Entretanto, a preferência de uma ou de outra dependerá do contexto em que forem utilizadas: se a distribuição é simétrica essas medidas coincidem; caso contrário, observar que a mediana não é tão sensível quanto a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes; além disso, a média reflete o valor de todas as observações.




Observações:


Representação das distribuições dos dados na forma de uma curva de freqüência:




Observações:


A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica:

xGH

O sinal de igualdade somente é válido quanto todos os números do conjunto de dados são idênticos.

2. Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica:



• São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média.

• Servem para medir a representatividade da média

b) Medidas de dispersão

- Exemplo: Sejam as séries 20, 20, 20 e 15, 10, 20, 25, 30, como pode ser calculado, ambas possuem média aritmética igual a 20; entretanto, na primeira não existe dispersão, enquanto a segunda apresenta dispersão em torno da média 20; portanto, a média é muito mais representativa para a segunda série.




- Exemplo: Para a série 10, 12, 15, 24, 25, 30, 36

R = 36 – 10 = 26

b.1) Amplitude total (ou amplitude amostral): É definida como sendo a diferença entre o maior e o menor dos valores da série, ou seja:

minmáx xxR

- Observação: É uma medida de dispersão muito limitada, pois depende apenas dos valores externos, o que a torna instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.




b.2) Desvio médio: O desvio médio de um conjunto de n números x1, x2 , ... , xn é definido por:

n

xx

n

xx

n

dD

n

1ii

n

1ii

M

onde

xx i

média aritmética dos números;

valor absoluto do desvio de cada número em relação à média aritmética.

x




b.2) Desvio médio (dados agrupados): Se x1, x2 , ... , xn ocorrerem com as freqüências n1, n2, ... , nn, respectivamente, o desvio médio poderá ser indicado da seguinte forma:

n

xxn

n

xxn

n

dnD i

n

1iii

n

1iii

M




b.3) Variância: A variância de um conjunto de dados é definida como o quadrado do desvio padrão, evitando-se com isso que Σdi=0.

- Quando é necessário distinguir entre o desvio padrão de uma população e o de uma amostra dela extraída, adota-se frequentemente o símbolo σ para o primeiro e s para o último.




b.3) Variância:

- Para o caso da variância populacional são adotadas as seguintes fórmulas:

N

)Xx(

N

)Xx( 2

n

1i

2i

2


N

)Xx(n

N

)Xx(n 2i

k

1i

2ii

2

(dados agrupados)

média populacional; X tamanho da população. N




b.3) Variância:

- Para o caso da variância amostral são adotadas as seguintes fórmulas:

1n

)xx(

1n

)xx(s

2

n

1i

2i

2


1n

)xx(n

1n

)xx(ns

2i

k

1i

2ii

2

(dados agrupados)

média populacional; x tamanho da população. n




b.3) Variância:

• Fórmulas práticas para os cálculos das variâncias:

N

xnxn

N

12

ii2ii

2

n

xnxn

1n

1s

2

ii2ii

2




b.4) Desvio padrão: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para se conseguir uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, toma-se a raiz quadrada da variância e obtém-se o desvio padrão.

2

2

ss

(desvio padrão populacional)

(desvio padrão amostral)




b.4) Desvio padrão:

• O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.

• Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:- o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior,

quanta mais variabilidade houver entre os dados;- se s= 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são

todos iguais.





• Exemplo: Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão da seguinte distribuição amostral:

xi 5 7 8 9 11

ni 2 3 5 4 2

xi ni nixi

5

7

8

9

11

2

3

5

4

2

10

21

40

36

22

Σ 16 12906,8

16

129

16

xn

n

xnx

5

1iii

k

1iii

- Média aritmética:






2,116

24,19

n

xxnD i

M

xi ni nixi |xi-x| = |di| ni|di|

5

7

8

9

11

2

3

5

4

2

10

21

40

36

22

|5 – 8,06| = 3,06

|7 – 8,06| = 1,06

|8 – 8,06| = 0,06

|9 – 8,06| = 0,94

|11 – 8,06| = 2,94

6,12

3,18

0,30

3,76

5,88

Σ 16 129 19,24

- Desvio médio:






xi ni nixi ni2xi

5

7

8

9

11

2

3

5

4

2

10

21

40

36

22

50

147

320

324

242

Σ 16 129 1.083

- Variância:

86,216

)129(083.1

116

1s

n

xnxn

1n

1s

22

2

ii2ii

2

- Desvio padrão:69,186,2ss 2




b.5) Amplitude interquartílica:

• A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensível à existência, na amostra, de uma observação muito grande ou muito pequena.

• Por esse motivo, define-se uma outra medida, a amplitude interquartílica.





• Esta medida é, de certa forma, uma solução de compromisso, pois não é afetada, de um modo geral, pela existência de um pequeno número de valores demasiadamente grandes ou pequenos. É definida como sendo a diferença entre o 3º e 1º quartis; assim:

13Q QQD





• Da definição de amplitude interquartílica, pode-se concluir que 50% dos elementos do meio da amostra estão contidos num intervalo com aquela amplitude. Esta medida é não negativa e será tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados.

• Ao contrário do que acontece com o desvio padrão, uma amplitude interquartílica nula não significa necessariamente,

que os dados não apresentem variabilidade.





• Alguns autores preferem calcular uma medida próxima da referida: a amplitude semi-interquartílica (ASI).

2

QQASI 13




b.6) Coeficiente de variação:

• A variação ou dispersão real, determinada a partir do desvio padrão, ou qualquer outra medida de dispersão, é denominada dispersão absoluta; entretanto, uma variação ou dispersão, na medida de uma determinada distância, é inteiramente diferente quanto ao efeito, da mesma variação em uma distância menor.





• A medida desse efeito é proporcionada pela dispersão relativa, definida por:

Média

absolutaDispersãorelativaDispersão





• Se a dispersão absoluta é o desvio padrão e a média é a aritmética, a dispersão relativa é denominada coeficiente de variação ou de dispersão, dado por:

• coeficiente de variação é uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas.

100x

sCVou100

XCV





• Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de $4.000,00, com desvio padrão de $1.500,00, e o das mulheres é em média de $3.000,00, com desvio padrão de $1.200,00. Então:

• Desses valores conclui-se, portanto, que o salário das mulheres apresentam maior dispersão que os dos homens

%0,401003000

1200100

XCV

%5,371004000

1500100

XCV

Para os homens:

Para as mulheres:





• Diz-se que a distribuição possui baixa, média ou alta variabilidade (dispersão) conforme os seguintes valores:

Baixa dispersão: CV ≤ 10%Média dispersão: 10% < CV < 20%Alta dispersão: CV ≥ 20%

• Alguns analistas consideram valores diferentes:

Baixa dispersão: CV ≤ 15%Média dispersão: 15% < CV < 30%Alta dispersão: CV ≥ 30%



c) Medidas de forma

• Uma distribuição de freqüência pode simétrica, assimétrica positiva ou assimétrica negativa.

c.1) Medidas de assimetria:

• Denomina-se assimetria o grau de desvio ou afastamento da simetria de uma distribuição.



c) Medidas de forma

• Uma distribuição simétrica apresenta a igualdade entre as três medidas de posição, média aritmética, mediana e modo, ou:

xx~M o

xx~M o

• Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimétrica à direita, tem-se que:

• Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimétrica à esquerda, tem-se que:

oMx~x




c) Medidas de forma

• Existem várias fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria, dentre elas duas são bastante utilizadas:

- 1º Coeficiente de Pearson:s

MxASou

MxAS oo

- 2º Coeficiente de Pearson:13

31

QQ

x~2QQAS

• Se AS = 0, a distribuição é simétrica AS > 0, a distribuição é assimétrica positiva AS < 0. a distribuição é assimétrica negativa.




c) Medidas de forma

• Exemplo: Identificar o grau de assimetria da distribuição:


Salários ($1.000,00) 30 50 50 100 100 150

Empregados 80 50 30



c) Medidas de forma

• Exemplo:


Classes xi ni nixi nixi2 ni/ai Ni

30 50

50 100

100 150

40

75

125

80

50

30

3200

3750

3750

128.000281.250468.

750

80/20 = 4

50/50 = 1

30/50 = 0,6

80

130

160

Σ160

10.700

878.000



c) Medidas de forma

• Exemplo:


6,04090

29040

QQ

x~2QQAS96,31s

796,096,31

429,4185,66

s

MxAS62,1021

160

)700.10(000.878

159

1s

502080

)080(30x~429,4120

34

430M

905050

)80120(50Q62,1021

160

)700.10(000.878

159

1s

402080

)040(30Q875,66

160

700.10x

13

31

o2

2

o

3

22

1

- Como AS > 0, então a distribuição é assimétrica positiva.



c) Medidas de forma

• Denomina-se curtose o grau de achatamento de uma distribuição.

• Uma distribuição de freqüência pode ser:

- Mesocúrtica: quando sua forma nem é achatada e nem delgada;

- Leptocúrtica: quando apresenta a forma delgada;

- Platicúrdica: quando apresenta a forma achatada.

c.2) Medidas de curtose:



c) Medidas de forma




c) Medidas de forma

• Para medir o o grau de curtose utiliza-se o coeficiente:

)PP(2

QQK

1090

13

onde Q3 = 3º quartil; P90 = 90º percentil; Q1 = 1º quartil; P10 = 10º percentil.

• Se K = 0,263 – a curva correspondente à distribuição é mesocúrtica; K > 0,263 – a curva é platicúrdica; K < 0,263 – a curva é leptocúrdica.




c) Medidas de forma

• Exemplo: Para a mesma distribuição do exemplo da assimetria, calcula-se ainda P10 e P90; logo:


355,0)34375,104(2

4090

)PP(2

QQK

375,10450160

)130144(100P

342080

)016(30P

1090

13

90

10

- Como K > 0,273, então a distribuição é do tipo platicúrtica.


Introdução






Regressão linear



1.6 Outras Apresentações Gráficas de Dados

• Além dos diagramas já estudados, existem outras formas bastante utilizadas internacionalmente para apresentar os dados amostrais. Um bom modo de obter uma apresentação visual eficiente de um conjunto de dados pode ser conseguido por meio de três tipos de gráficos: diagramas de pontos, diagramas de ramo e folhas e diagramas de caixa.

• O diagrama de pontos é uma apresentação útil de dados, no caso de amostras pequenas (até cerca de 20 observações). Entretanto, quando o número de observações for moderadamente alto, o diagrama de ramo e folhas e o diagrama de caixa podem ser mais úteis.

• Questões como quantidades de dados abaixo de certo valor, tendência central (média ou mediana), dispersão (desvio-padrão), possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria, não são fáceis de responder, pois existem muitas observações, e a construção de um diagrama de pontos, usando esses dados, seria relativamente ineficiente .


Diagrama de pontos

• Um diagrama de pontos é um gráfico estatístico que consiste em grupos de pontos de dados traçados em uma escala simples.

• São utilizados para dados contínuos, quantitativos e univariados, e

são muito úteis para exibir um pequeno conjunto de dados.

• Esse tipo de gráfico permite uma fácil visualização de duas características dos dados: a posição (meio) e a dispersão (espalhamento ou variabilidade)



Diagrama de pontos

• Exemplo 01 (Montgomery, 2004, p.2-3): Um engenheiro está projetando um conector de náilon para ser usado em aplicação automotiva. Ele considera estabelecer como especificação do projeto uma espessura de 3/32 pol., mas está inseguro. Oito unidades do protótipo são produzidas e suas forças de remoção são medidas, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,6; 12,9; 13,4; 12,3; 13,6; 13,5; 12,6 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados.


12 13 14 15 Força de remoção


Diagrama de pontos

• Exemplo 02: O engenheiro do exemplo anterior decide considerar um projeto alternativo com uma espessura maior da parede do conector, 1/8 pol. Oito protótipos desse projeto são construídos, sendo as medidas observadas da força de remoção, resultando nos seguintes dados (em libras): 12,9; 13,7; 12,8; 13,9; 14,2; 13,2; 13,5 e 13,1. Construa um diagrama de pontos para esses dados, sobrepondo-o ao anterior para uma melhor análise da influência da espessura da parede na força de remoção.


12 14 15 13,0 13,4 Força de remoção

3/32 pol.1/8 pol.


Diagrama de ramo e folhas

• Esta forma de apresentação de dados tem sido freqüentemente utilizada em trabalhos técnicos do mundo inteiro.

• Para construir o diagrama de ramo e folhas, dividimos o elemento amostral em duas partes: um ramo (stem), consistindo em um ou mais dígitos iniciais, e uma folha (leaf), consistindo nos dígitos restantes. Exemplo: O dado 458 é dividido em duas partes, a primeira parte 45, e a segunda parte 8.

• Geralmente, escolhe-se relativamente poucos ramos em comparação

ao número de observações (5 a 20 itens).




• Exemplo (Montgomery, 2004, p.16): Considere o conjunto de dados abaixo, relativos à resistência a compressão de uma liga de alumínio.

105 221 183 186 121 181 180 143 97 154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199 181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178 76 167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163 145 171 148 158 160 175 149 87 160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149

O diagrama de ramo e folhas resultante é apresentado a seguir:



Diagrama de ramo e folhas (dados brutos)

Ramo Folha Frequência

7 8 9101112131415161718192021222324

6775 15 8 01 0 34 1 3 5 3 52 9 5 8 3 1 6 94 7 1 3 4 0 8 8 6 8 0 83 0 7 3 0 5 0 8 7 9 8 5 4 4 1 6 2 1 0 60 3 6 1 4 1 0 9 6 0 9 3 4 7 1 0 8 81 8 9 75

1 1 1 2 3 3 6 8121010 7 6 4 1 3 1 1



Diagrama de ramo e folhas (dados ordenados)

Ramo Folha Frequência

7 8 9101112131415161718192021222324

6771 50 5 80 1 31 3 3 4 5 51 2 3 5 6 8 9 90 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 80 0 0 3 3 5 7 7 8 90 1 1 2 4 4 5 6 6 8 0 0 1 1 3 4 60 3 4 6 9 9 0 1 7 8 81 8 9 75

1 1 1 2 3 3 6 8121010 7 6 4 1 3 1 1




• Em alguns casos pode ser desejável construir mais intervalos ou ramos. Uma maneira de fazer isto seria dividir o ramo escolhido em dois ou mais novos ramos, conforme mostrado abaixo:

Ramo Folha

14L14U15L15U

1 2 3 5 6 8 9 90 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 8

Ramo Folha

14z14t14f14s14e15z15t15f15s15e

1 235

0 01 3 4 4 6 7 88 8 8




Freqüência acumulada Ramo Folha

1235811172537

(10)332316106521

7 8 9101112131415161718192021222324

6771 50 5 80 1 31 3 3 4 5 51 2 3 5 6 8 9 90 0 1 3 4 4 6 7 8 8 8 80 0 0 3 3 5 7 7 8 90 1 1 2 4 4 5 6 6 8 0 0 1 1 3 4 60 3 4 6 9 9 0 1 7 8 81 8 9 75


N = 80Min = 76Max = 245Média = 162,7Mediana = 161,5Q1 = 143,50Q3 = 181,00S2 = 33,77




• Exercício (Montgomery, 2004, p.17): Os seguintes dados são os números de ciclos até a falha, de corpos de prova de alumínio, sujeitos a uma tensão alternada repetida, de 21.000 psi e 18 ciclos por segundo:

1115131015401502125813151085 79810208652130142111091481

15671883120312701015 8451674101611021605 7062215 785 885

1223 375226519101018145218902100159420231315126912601888

1782152217921000182019401120 910173011021578 75814161560

105517641330160815351781175015011238 9901468151217501642




• (a) Construa um diagrama de ramo e folhas para esses dados. (b) Você acha que o corpo de prova “sobreviverá” além de 2.000 ciclos? Justifique a sua resposta. (c) Encontre a mediana e os quartis.

Profundidade Ramo Folha

158

1017222933(5)322218117542

3 7 8 910111213141516171819202122

7506 58 85 9845 65 8510 9000 15 16 18 20 55 85 02 02 09 15 2003 23 38 58 60 69 7010 15 15 3016 21 52 68 8101 02 12 22 35 40 60 67 78 94 05 08 42 7430 50 50 64 81 82 9220 83 88 9010 402300 3015 65

b) Não. A probabilidade é muito pequena.c) M = 1436,5 Q1 = 1097,8 Q3 = 1735

a)


Diagrama de caixa (box plot)


• Uma outra forma gráfica de apresentar os dados é o chamado diagrama de caixa (box plot) ou diagrama de caixa e linhas (box and whiskers), que permite descrever simultaneamente vários fatores importantes de uma série de dados, tais como a tendência central (média ou mediana), a dispersão (desvio-padrão), a possibilidade de detectar outliers (pontos bastante diferentes do conjunto de dados) e o desvio da simetria.

• Um diagrama de caixa apresenta três quartis, em uma caixa retangular, alinhados tanto horizontal como verticalmente; opcionalmente, pode apresentar a média.




• A caixa inclui a amplitude interquartil, com o canto esquerdo (ou inferior) no primeiro quartil, Q1, e o canto direito (ou superior) no terceiro quartil, Q3. Portanto, o comprimento da caixa é igual a amplitude interquartil , DQ = Q3 - Q1.

• Uma linha é desenhada através da caixa, no segundo quartil (que é o percentil 50 ou a mediana), Q2. A média, como já dito, é opcional.

• Uma linha (whisker) estende-se de cada extremidade da caixa. • A linha inferior (ou esquerda) começa no primeiro quartil indo até o

menor valor do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do primeiro quartil.




• A linha superior (ou direita) começa no terceiro quartil indo até o maior do conjunto de pontos dentro das amplitudes interquartis de 1,5, a partir do terceiro quartil.

• Dados mais afastados dos que as linhas são plotados como pontos individuais. Um ponto além da linha, porém a menos de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa, é chamado de dispersos (outliers).

• Um ponto a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa é chamado de um outlier extremo. Ocasionalmente, símbolos diferentes (círculos abertos e fechados, por exemplo) são usados para identificar os dois tipos de outlier.




• Exercício: Represente o diagrama de caixa para os dados da resistência à compressão do alumínio mostrados no exercício anterior.

N = 80Min = 76Max = 245Média = 162,7Mediana = 161,5Q1 = 143,50Q3 = 181,00


Introdução






Regressão linear



1.7 Regressão Linear

Relação entre duas variáveis

• Em inúmeras ocasiões o estudo descritivo não se resume ao estudo de apenas uma variável; para se ter uma visão global do problema em estudo, muitas vezes é necessário a observação de duas ou mais variáveis.

• Nesse caso, em vez de uma amostra (x1, x2, ..., xn), passa-se a ter dados bivariados (xi, yi), i = 1, 2, ..., n.

• Um dos objetivos desse estudo é a relação existente entre as variáveis do par.



Correlação linear

• Para se ter uma idéia de como as duas variáveis se relacionam é comum representar graficamente esta relação por meio de um diagrama de dispersão. Esta representação consiste na marcação das observações em um sistema de eixos cartesianos.

• Se as variáveis fornecem um diagrama de dispersão em que os pontos se colocam ao redor de uma reta crescente ou decrescente, diz-se que essas variáveis estão linearmente correlacionadas.



Correlação linear

• Quanto menor a dispersão dos pontos em torno da reta, mais forte será a correlação.

• A correlação linear será positiva ou negativa caso a tendência da reta seja crescente ou decrescente.

• Se nenhuma tendência positiva ou negativa pode ser detectada, a explicação possível para os valores da segunda variável é sua média. Nesse caso, o eixo da dispersão será horizontal, contendo a média da segunda variável, e diz-se que as variáveis não são linearmente correlacionadas.



Correlação linear

y

x

Correlação linear forte

(positiva)

y

x

Correlação linear forte

(negativa)

y

x

Correlação linear fraca

(positiva)



Correlação linear

y

x

Variáveis não correlacionadas

y

x


linearmente

y

x


linearmente

y



Correlação linear

• Exemplo: A tabela abaixo mostra os dados da temperatura do gás combustível (ºF) e da respectiva taxa de calor (Btu/kwh) para uma turbina de combustão, para ser usada em refrigeração, construa o diagrama de dispersão para esses dados.

x 100 125 150 175 200 225 250 275

y 99,1 98,8 98,5 98,5 98,5 98,2 98,0 97,8

x 300 325 350 375 400 425 450 500

y 97,8 97,8 97,6 97,5 97,3 97,0 96,8 96,7

• Desse diagrama pode-se extrair que talvez exista uma correlação linear entre as variáveis; esta relação pode ser traduzida por meio de uma reta.



Coeficiente de correlação linear

• A determinação da correlação entre duas variáveis por meio de uma inspeção nos pares anotados ou no diagrama de dispersão correspondente é pouco precisa e subjetiva.

• Essa dificuldade pode ser contornada pelo uso de uma medida que caracterize a correlação linear e seja independente do observador que esteja examinando os dados.




• Karl Pearson propôs o chamado coeficiente de correlação linear, o qual é dado pela relação:

2y

2x ss

)y,x(Covr

onde: Cov (x,y) é a covariância das variáveis x e y, e seu cálculo é dado por

1n

)yy()xx()y,x(Cov

e sx2 e sy

2 são as variâncias da variáveis x e y.




• Fazendo-se as devidas substituições e simplificações, obtém-se o coeficiente de correlação de forma mais simples:

yyxx

xy

ss

sr

n

xxs

2

2xx

n

yys

2

2yy

onde:

n

yxxysxy

1r1




• r = -1, indica correlação linear negativa perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular negativo.

• r = 0, indica que os pontos não estão correlacionados, nem apresentam tendência crescente ou decrescente.

• r = 1, indica correlação linear positiva perfeita; os pontos (x,y) estão sobre uma reta com coeficiente angular positivo.




• Nos casos em que os pontos do diagrama de dispersão estão em uma reta vertical ou horizontal, o quociente que calcula o coeficiente de correlação não está definido, pois apresenta numerador e denominador nulos. Nesse caso, o coeficiente de correlação será considerado nulo.

r = 0, Cov (x,y) = 0, sy2 = 0

y

x

r = 0, pois Cov (x,y) = 0, sx2 = 0

y

x




• A correlação entre duas variáveis pretende captar o fato dessas variáveis apresentarem a mesma tendência ao crescimento, ou tendências contrárias.

• O fato de duas variáveis evoluírem no mesmo sentido ou em sentidos opostos fornece uma idéia do que se pode esperar sobre um valor desconhecido da variável y para um particular valor de x.




xy

• Se as variáveis x e y são positivamente correlacionadas, e se procura estimar o valor de y1 para certo valor x1 menor que a média , deve-se esperar o valor correspondente y1 menor que a média ; para um valor x2 maior que a média , deve-se esperar um valor y2 maior que a média , acompanhando a tendência do eixo crescente dos pontos.

x

y

y

x

y2

y1

x2x1 x

y




• Os problemas que envolvem estimativas de valores desconhecidos a partir de valores históricos são chamados problemas de previsão ou predição.

• O conhecimento da correlação entre duas variáveis, embora possa fornecer uma pista para a previsão de um valor desconhecido de uma delas, nada informa a respeito da qualidade dessa previsão, ou seja, não se pode, em geral, com base apenas no conhecimento da correlação, transformar a incerteza da previsão em risco (isto só pe possível quando a correlação é perfeita).

• Entretanto, o fato de duas variáveis serem correlacionadas levanta a possibilidade de uma relação causal entre elas, o que é importante em problemas de previsão.



Regressão linear simples

• Como visto anteriormente, uma previsão construída baseada nas informações obtidas da correlação nada diz a respeito da confiabilidade do valor previsto.

• Um método de previsão que permite a avaliação em termos de confiabilidade é a regressão linear, pois, satisfeitas determinadas condições, ela proporciona a transformação da incerteza em risco



Regressão linear simples – Modelo teórico

• Quando se verifica, quer por meio do gráfico de dispersão, quer pelo coeficiente de correlação linear, uma correlação forte entre duas variáveis, a relação entre essas variáveis pode ser descrita por meio de uma reta de regressão (a reta que melhor se ajusta aos dados).

• Essa reta serve de modelo matemático para expressar a relação linear entre duas variáveis.




• Considere o relacionamento de duas variáveis x e y com as seguintes características:

x: é a variável cujos valores são controlados e, portanto, determinados; ela é conhecida por variável independente ou variável de decisão;

y: variável aleatória; é a variável que se quer prever; seu valor depende do valor atribuído a x, embora para cada valor de x se possa ter vários valores de y, devido a sua característica aleatória (variável dependente de x).




• O modelo teórico define a verdadeira reta de regressão, cuja equação pode ser escrita como:

xy

y

O valor de y é dado por:

onde:

UxyouUyy

é a parte funcional de y (a parte do valor de y explicada pelo valor de x);

U é a parte aleatória de y, a qual é introduzida no valor de y por fatores imponderáveis.




• Nessas condições, dado um valor para x, a previsão ou expectativa para o correspondente valor de y é:

• Entretanto, dificilmente se conhece a população dos valores de y para cada valor da variável controlada x. O que se conhece, geralmente, são alguns valores dos pares (x,y), ou seja, apenas uma amostra dessas variáveis.

• Portanto, com base nos dados amostrais, deve-se pensar como estimar os valores de α e β, o que pode ser ser feito de forma eficiente por meio do método dos mínimos quadrados.

xy



Método dos mínimos quadrados

• Um dos métodos mais utilizados para ajustar uma reta a um conjunto de dados é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), o qual consiste em determinar a reta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios (os chamados erros ou resíduos) entre os verdadeiros valores de y e os valores estimados a partir da reta de regressão que se pretende ajustar, ŷ.

ŷ = a + bx




• Adota-se o quadrado das diferenças, pois como os pontos se situam acima e abaixo da reta estimada, as diferenças podem ser positivas ou negativas, e na soma podem anular-se, não refletindo o ajustamento.

• Sendo números positivos, esses quadrados refletem a qualidade do ajuste através de sua soma.




• O modelo de regressão linear é a reta de regressão ŷi = a + bxi + εi

onde ŷ é o estimador de y; a e b os estimadores de α e β.

2ii

2ii

2i )]bxa(y[min)yy(minmin

• A reta estimada é obtida de tal modo que a soma dos quadrados dos desvios ou resíduos (εi = yi – ŷ) seja mínima, ou seja,




• Como tal, para estimar os parâmetros do modelo, é necessário que as primeiras derivadas em relação a a e a b sejam nulas, e as segundas sejam maiores ou iguais a zero, assim:

0)bxay(b

0)bxay(a

2ii

2ii

xx

xy

2

2s

s

n

xx

n

yxxy

b,xbyn

xb

n

ya

As estimativas dos mínimos quadrados para os parâmetros α e β são:



Coeficiente de explicação

• Calculada a estimativa de mínimos quadrados para uma amostra dada, deve-se verificar a qualidade do ajuste dessa reta aos dados históricos.

• Uma forma de medir a qualidade do ajuste é verificar qual a porcentagem da variação dos valores de y em relação à sua média pode ser explicada pela regressão de y sobre x, o que dará origem ao coeficiente de explicação R2.




• Do gráfico abaixo, onde ŷ = a + bx é a regressão de y sobre x, observa-se que o valor de yi correspondente a um valor xi pode ser composto de duas partes: a parte explicada pela média e a parte não explicada pela média.

y

y parte do valor de y explicada pela média

parte do valor de y explicada pela regressão yy

parte do valor de y não explicada pela média yy ixxi

yi

ŷy

ŷ = a + bx


• Interessa avaliar que porcentagem da parte não explicada pela média, , pode ser explicada pela regressão de y sobre x, isto é, por .



yy yy i

2i yyVT

VE = variação explicada, a soma dos quadrados das variações em

relação à média. 2yyVE

• Designando:

VT = variação total, soma dos quadrados das variações de y em relação à sua média.

• No método dos mínimos quadrados, ao invés de somar essas diferenças, soma-se o quadrado delas para evitar que valores positivos e negativos se anulem.




22

yy

xy22

2

2 rRs

sbRou

n

yy

n

yxxy

bR

• O coeficiente de explicação R2 pode ser definido agora como sendo a porcentagem da variação total representada pela variação explicada.

2i

2

2

yy

yy

VT

VER




• Exemplo: No exemplo anterior, observou-se no diagrama de dispersão uma possível relação linear entre as variáveis.

a) Confirme essa relação por meio do coeficiente de correlação;

b) Encontre a reta de regressão pelo método dos mínimos quadrados.




• Cálculos:i x y x2 y2 xy

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

100

125

150

175

200

225

250

275

300

325

350

375

400

425

450

500

99,1

98,8

98,5

98,5

98,5

98,2

98,0

97,8

97,8

97,8

97,6

97,5

97,3

97,0

96,8

96,7

10000

15625

22500

30625

40000

50625

62500

75625

90000

105625

122500

140625

160000

180625

202500

250000

9820,8

9761,4

9702,2

9702,2

9702,2

9643,2

9604,0

9564,8

9564,8

9564,8

9525,8

9506,2

9467,3

9409,0

9370,2

9350,9

9910,0

12350,0

14775,0

17237,5

19700,0

22095,0

24500,0

26895,0

29340,0

31785,0

34160,0

36562,5

38920,0

41225,0

43560,0

48350,0

Σ 4625 1565,9 1559375 153259,8 451365,0

977,0)99,0(R

99,0r16

)9,1565(8,153259

16)4625(

1559375

169,15654625

451365r

n

yy

n

xx

n

yxxy

r

ss

sr

22

22

2

2

2

2

yyxx

xy




• Cálculos:

- O valor da correlação e do coeficiente de explicação indicam uma forte correlação linear entre a temperatura do gás combustível e a taxa de calor. Pode-se, portanto, estimar, através do MMQ os parâmetros a e b e traçar a reta de regressão:

516,9916

4625)0057,0(

16

9,1565

n

xb

n

ya

0057,0

16

46251559375

16

9,15654625451365

n

xx

n

yxxy

b22

2

- Sendo assim a reta de regressão é: x0057,0516,99bxay



Funções linearizáveis

• Para que se evite erros de previsão, a condição inicial para um estudo de regressão linear entre duas variáveis é que essas variáveis apresentem uma razoável correlação linear.

• Caso os valores de y para crescentes valores de x variem de modo aleatório, sem apresentar qualquer tendência, o valor que melhor explica y é, geralmente, a sua média; entretanto, em alguns casos, o diagrama de dispersão apresenta uma tendência não linear, isto é, uma curva bem definida, em torno da qual os pontos parecem agrupar-se.




• Existe um grupo de funções que apresentam diagramas ajustáveis a muitas dessas tendências, e que possuem a qualidade de poder transformar-se em funções lineares com a aplicação de logaritmos ou por mudança de variável.

• A forma linear dessas funções transformadas pode então ser usada para estimar os parâmetros da curva ajustada àquela tendência, conforme será estudado a seguir.




1. Função potência: y = a.xb, com x ≥ 0 e b ≥ 0

• Para este caso, a primeira e a segunda derivadas da função fornecem a forma da curva.

b > 1

CrescenteConcavidade para cimaContém a origem

x

y

0 < b < 1

CrescenteConcavidade para baixoContém a origem

x

y




1. Função potência: y = a.xb, com x ≥ 0 e b ≥ 0

• Se x = 0, então y = 0.

• Para x > 0, aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + b.ln x

• Fazendo Y = ln y, A = ln a e X = ln x, tem-se a forma linear:

Y = A + b.X

O diagrama de dispersão de (X = ln x, Y = ln y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.




2. Função exponencial: y = abx, a > 0, b > 0, x ≥ 0

• Como no caso anterior, as derivadas fornecem a forma das curvas.

a b > 1

CrescenteConcavidade para cimax = 0 → y = a

x

y

0 < b < 1

DecrescenteConcavidade para cimax = 0 → y = a

x

y

a




2. Função exponencial: y = abx, a > 0, b > 0, x ≥ 0

• Aplicando o logaritmo, tem-se: ln y = ln a + x.ln b

• Fazendo Y = ln y, A = ln a e B = ln b, tem-se a forma linear:

Y = A + B.x

O diagrama de dispersão de (x, Y=lny) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.




2. Função hiperbólica, tipo I: • A primeira e a segunda derivadas fornecem a forma das curvas.

0y,0a,0x,x

bay

b > 0

DecrescenteConcavidade para cimaAssíntota em x = 0 e y = a

x

y

ax

CrescenteConcavidade para baixoAssíntota em y = a

y

a b < 0

- b/a




3. Função hiperbólica, tipo I: • Fazendo X = 1/x, obtém-se a forma linear:

y = a + b.X

O diagrama de dispersão de (X=1/x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.

0y,0a,0x,x

bay




4. Função hiperbólica, tipo II: • As derivadas da função indicam que a curva é decrescente e tem

concavidade voltada para cima, com assíntotas em y = 0. Para x =0, y = 1/a.

0x,0b,0a,bxa

1y

x

y

1/a




4. Função hiperbólica, tipo II: • Fazendo Y = 1/y, obtém-se:

0x,0b,0a,bxa

1y

bxaYoubxa

1

Y

1

O diagrama de dispersão de (x, Y=1/y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.




5. Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0

• As derivadas indicam a forma da curva:

b < 0

DecrescenteConcavidade para cima

x

y

e-a/bx

CrescenteConcavidade para baixo

yb > 0

e- a/b




5. Função logaritmo: y = a + b.ln x, x > 0

• Fazendo X = ln x, obtém-se a forma linear:

bXay

O diagrama de dispersão de (X=ln x, y) e o coeficiente de correlação correspondente podem indicar a oportunidade e qualidade do ajuste.




• Exemplo: Um estudo sobre a oferta de mercado de um produto revelou as quantidades que os produtores estariam dispostos a oferecer a vários níveis de preços

x = preço 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 13,00 13,50

y = oferta

(em 1000 un.)427 440 447 453 460 465 470 472




• Exemplo:

a. Construa um diagrama de dispersão para os dados da tabela;b. Calcule o coeficiente de correlação linear das variáveis;c. O diagrama de dispersão sugere o uso de alguma forma linearizável

para ajustar os pontos?d. Construa o gráfico de dispersão da forma linear correspondente à

função escolhida em (c);e. Calcule o coeficiente de correlação dos pares em (d);f. Comente os resultados obtidos;g. Calcule a regressão de y sobre x para a função de maior correlação;h. Calcule o coeficiente de explicação para a função escolhida em (g);i. Calcule a oferta para um preço de 15,00.




• Solução:

a. Diagrama de dispersão

420

425430

435

440

445450

455

460

465470

475

9 9,5 10 10,5

11 11,5

12 12,5

13 13,5

14

x

y




• Solução:

b. Coeficiente de correlação.n x y x2 y2 xy

1

2

3

4

5

6

7

8

10,0

10,5

11,0

11,5

12,0

12,5

13,0

13,5

424

440

447

453

460

465

470

472

100,00

110,25

121,00

132,25

144,00

156,25

160,00

182,25

182329

193600

198809

205209

211600

216225

220900

222284

4270,0

4620,0

4917,0

5209,5

5520,0

5812,5

6110,0

6372,0

Σ 94,0 3.634 1.115,00 1.652.456 42.831,0




• Solução:

b. Coeficiente de correlação.

98,05,711.15,10

5,131r5,711.1

8

)634.3(456.652.1s

5,108

)94(115.1s5,131

8

634.394831.42s

2

yy

2

xxxy

c. A forma do diagrama de dispersão sugere a curva logaritmica por suas características.

y = a + b.ln x




• Solução:

d. Diagrama de dispersão: a forma linear é y = a + b.X, com X = ln x.

X = ln x 2,30 2,35 2,40 2,44 2,48 2,53 2,56 2,60

y = oferta

(em 1000 un.427 440 447 453 460 465 470 472

420

425

430

435

440

445

450

455

460

465

470

475

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

ln x

y




• Solução:

e. Coeficiente de correlação.

n X=ln x y X2 y2 Xy

1

2

3

4

5

6

7

8

2,30

2,35

2,40

2,44

2,48

2,53

2,56

2,60

424

440

447

453

460

465

470

472

5,29

2,52

5,76

5,95

6,15

6,40

6,55

6,77

182.329

193.600

198.809

205.209

211.600

216.225

220.900

222.284

982,1

1.034,0

1.072,8

1.105,5

1.140,8

1.176,45

1.203,2

1.227,2

Σ 19,67 3.634 48,45 1.652.456 8.947,57




• Solução:

e. Coeficiente de correlação.

9879,05,711.10771,0

3453,11r5,711.1

8

)634.3(456.652.1s

0771,08

)67,19(45,48s3453,11

8

634.367,1957,947.8s

2

yy

2

xxxy

f. A correlação obtida com a curva logarítmica é maior; portanto, essa função será escolhida para o processo de regressão.




• Solução:

g. Cálculo da regressão linear:

xln.1505,1471907,92y

9219078

67,191505,147

8

634.3

n

xb

n

ya

1505,1470771,0

3453,11

s

sb

xx

xy

h. Cálculo do R2.976,0

5,711.1

3453,111505,147

s

sbR

yy

xy2

A regressão de y sobre x explica 97,6% das variações de y a partir de sua média; os outros 2,4% são atribuídos a fatores imponderáveis.




• Solução:

i. Projeção da oferta para um preço de 15,00:

68,49015ln1505,1471907,92xln1505,1471907,92y

A oferta esperada quando o preço for 15,00 é de 490,68 mil unidades.


FIM


universidade federal do pará instituto de tecnologia

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