1

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

﴾التحويلات الهندسية ﴿

) الانعكاس، الإزاحة، الدوران والتماثل(

هي دال��ة(�� Transformation )التحويلفي علم الرياض��يات، على الغ���الب، يك���ون. إلى نفس���هاXرياض���ية من مجموع���ة

هيكلية جبرية أو هندسية أخرى عندها، يصبح تعريفXللمجموعة . إلى نفسها مع الاحتفاظ بهيكليتهاXالتحويل بالدالة التي تحول

التحويل الخطي، التحويل الأفيني مثل ال��دوران،: من الأمثلة نورد. والإزاحة الانعكاس

******************** إن الانعكاس، الإزاحة والدوران هي أمثلة لتحويلات ايزومترية-

) متساوية القياس ( في المستوي.

التحويل الايزومتري : هو تحويل متساوي القياس – وهو تحويل أو نسخ لنقاط

المستوي يحفظ الأبعاد بين النقاط. حركةبشكل حدسي يمكن النظر إلى هذه التحويلات على أنها "

" لنقاط المستوي. ) انظر الأمثلة: أ، ب، ج (

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

2

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

في هذه التحويلات تحف��ظ الأبع��اد، ول�ذلك ك�ل قطع��ة تنس�خ إلى قطع��ة تس��اويها في الط��ول. المع��نى الحدس��ي له��ذه الص��فة أن

الأشكال المحولة لا تتغير ) لا بشكلها ولا بكبرها(.

5 سم ينسخ إلى مربع آخر طول ضلعه 5مثلا: مربع طول ضلعه سم.

تحويلات ايزومترية أساسية: الانعكاس، الإزاحة3نميز بين والدوران.

أمثلة لتحويلات ايزومترية:

بواسطة ه��ذه التح�ويلات الثلاث�ة فق�ط يمكن ت�ركيب ك��ل تحوي�ل " لنق���اطحركةايزوم���تري لنق���اط المس���توى أي أن، ك���ل "

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

3

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

المستوي، تحفظ الأبعاد، تنتج عن تنفيذه أحد ه��ذه التح��ويلات، أوبضعة تحويلات الواحد تلو الآخر.

: لنتمعن في العلم المؤكد، يمكن الوصول منه إلى كل علممثالا من الإعلام الأخرى ) المطابقة له( بأحد هذه التحويلات أو بتركيبة

منها: بالانعكاس.----<يمكن الوصول إلى العلم )أ( - بالدوران.----<يمكن الوصول إلى العلم )ب( - بالإزاحة.----<يمكن الوصول إلى العلم )ج( - بالانعكاس والإزاحة.----<يمكن الوصول إلى العلم )د( -

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

4

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ الانعكاس ﴿

الدال��ة ال�تي تح��ول ش��كل م�ا إلى في الرياض�يات هوالانعكاس.صورة مرآته المعكوسة

بالمفهوم الهندسي، لإيجاد الانعك��اس لنقط��ة م��ا، يتم إس��قاط خ��ط المس��تعمل كمح��ور الانعك��اس( أو المس��توى)عم��ودي على الخ��ط

ومن ثم متابعة الخ��ط يش��كل مس��تقيم في الجه��ة الأخ��رى وبنفس

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

5

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

ولتحديد الانعكاس لرس��م م��ا، يتم تحدي��د انعكاس��ات ك��ل. المسافة.النقاط المؤلفة له

هو تحويل أو نس��خ، يح��ول ك��ل نقط��ة فيmالانعكاس بالمستقيم -.m " بالنسبة للمستقيم صورتها في المرآةالمستوي إلى "

يسمى خط الانعكاس.mالمستقيم "، لأنها مركبةصورتها في المرآةالأشكال تحول )تنسخ( إلى "

من نقاط.مثال لانعكاس نقاط وأشكال:

من المهم أن نشير إلى أن الانعكاس يعمل على جهتي خط-الانعكاس في آن واحد.

بشكل حدسي يمكن النظر إلى الانعكاس على انه عملية". مرآة ثنائية الجانبانعكاس في "

كل جهة من المرآة تنعكس في الجهة الأخرى، والخط الذي تقفعليه المرآة هو خط الانعكاس، وهو يبقى في مكانه، مثال:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

6

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

الانعكاس وعناصره: عندما تقف أمام المرآة فانك ترى صورتك فيه��ا، أو عن��دما تنظ��ر إلى سطح بح�يرة أو برك�ة فان�ك ت�رى ص�ورتك وص�ورة الأش�جار التي حولك في م��اء البح��يرة، وك��ذلك عن��د النظ��ر في أي س��طح

مصقول فانه يعكس صورتك. إن م��ا نش��اهده في الم��رآة أو في البح��يرة إنم��ا ه��و الانعك��اس ويسمى سطح الم��رآة بمح��ور الانعك��اس، أم��ا عناص��ر الانعك��اس

فهي: الجسم الأصلي، صورة الجسم، محور الانعكاس.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

انعكاس الأشجاروالجبال في البحيرة.

7

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

خصائص الانعكاس: القطعة المستقيمة الواصلة بين الجسم ) النقطة ( وصورتهأ-

تكون عمودية على محور الانعكاس. بعد النقطة عن محور الانعكاس يساوي بعد الصورة عن محورب-

الانعكاس.

الانعكاس يقلب الوضع.ج- د- الشكل الأصلي وصورته في الانعكاس شكلان متطابقان.

هناك حالات خاصة للانعكاس وهي: الأشكال المتماثلة حول مستقيم يسمى هذا المستقيم-

محور تماثل، مثال على ذلك:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

8

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

وقد يكون للشكل أكثر من محور تماثل واحد، مثال:-

وهناك أشكال لا يوجد لها محور تماثل، مثل:-

﴾ الإزاحة ﴿

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

9

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

بالتعريفو الإزاحة هي قيمة اتجاهية تمثل المسافة بين نقط���تين، المسار المستقيم الذي يقطع��ه الجس��م من نقط��ة إلى: الرياضي

أخرى باتجاه ثابت، وهي كمية اتجاهي��ة، وتق��اس بالس��نتمتر والم��تر ويس��تخدم مفه��وم الإزاح��ة في تطبيق��ات علم الفيزي��اء. والكيلومتر

.والرياضيات لإيجاد السرعة والمسافة والتعجيل لجسم معين

" ك��ل نق��اط المس��توي في اتج��اه معين،ينقلتحوي��ل الإزاح��ة " - وبمقدار طولي معين، اتجاه الإزاحة وبعد الإزاح��ة يح��ددان بحس��ب

" ننف��ذ أمرسهم الإزاح��ة. يمكن وص��ف س��هم الإزاح��ة على ان��ه " الإزاحة حسبه، أي أن الإزاحة تنسخ كل نقاط المستوي على النح��و

الآتي:.بنفس الاتجاهكل نقاط المستوي تنسخ أ-.بنفس المقدار كل النقاط تتحرك ب-

) أي أن كل الأبعاد بين النقاط الأصلية والنقاط الناتجة بعدالإزاحة هي أبعاد متساوية (.

أمثلة في إزاحة الشكل:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

10

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ الدوران﴿

أنواع من التحويلات ال��تي تحاف��ظ على الأبع��اد، في3هو واحد من المس��توى أو الف��راغ. بالإض��افة إلى الإزاح��ة والانعك��اس. ونع��ني بالدوران بكلمات بسيطة، دوران ش��كل باتج��اه معين ) م��ع أو ض��د عقارب الساعة(، حول نقطة معينة ) هي مركز ال��دوران (، بزاوي��ة معينة ) هي مقدار هذا الدوران(. فعندما تدور الأرض حول الشمس مثلا، يكون اتجاه الدوران من الغرب إلى الشرق، ومرك��ز ال��دوران هو الشمس. وقد يكون الدوران بزاوية معينة، وعندما يكون بزاوي��ة

درجة نسميه360 درجة نسميه ربع دورة. وعندما يكون بزاوية 90 دورة كاملة. وقد يكون أكثر من ذل��ك، كم��ا في دوران الأرض ح��ول

الشمس، مثلا.

يحاف��ظ ال��دوران على ش��كل الجس��م ال��ذي نق��وم بت��دويره وعلى حجم��ه. والش��كل الن��اتج من ال��دوران مط��ابق تمام��ا للش��كل قب��ل

الدوران. إذا دورنا مثلثا مثلا، فان الناتج سيكون مثلثا مطابقا.

إن الدوران هو تحويل هندسي ، كثيرا ما نشاهده ونلمسه في حياتنا-اليومية، مثل حركة المروحة الهوائية التي ثبتت في سقف الغرفة.

تحويل الدوران يدير كل المستوي حول نقطة معينة وبزاوية معين��ة، كل نقاط المستوي تدور حول نفس النقطة وبنفس الزاوية، لذا عند

وصف الدوران لا بد من ذكر زاويته ومركزه.يمكن تمييز التحويل الدوراني بأمرين:-

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

11

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

نقطة دوران..1زاوية دوران..2

مثال:

:مركز الدوران لا يدور

مركز الدوران هو النقطة التي ي��دور حوله��ا الش�كل، وق��د تك��ون هذه النقطة داخل الشكل أو خارج��ه، ولكن أهم م��ا يميزه��ا أنه��ا

هي نفسها لا تدور.

ملاحظة:

يلعب مركز الدوران دورا مشابها للدور الذي يلعبه خط التماثل في الانعكاس، فكما أن لكل انعك��اس يق��وم خ��ط انعك��اس ك��ذلك ف��ان

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

12

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

لكل دوران هناك مركز دوران، ويمكن القول أن الدوران يتح��دد ب أشياء هي: زاوية الدوران، اتجاه الدوران، ومركز الدوران.3

لو أدرنا مسطرة ح��ول نقط��ة في وس��طها، لاختل��ف الش��كل ال��ذي نحصل عليه للمسطرة مما لو أدرناها حول نقطة في طرفها، ح��تىلو كانت زاوية الدوران واحدة في الحالتين، واتجاه الدوران واحدا.

ويشترك مركز الدوران مع خط الانعكاس في صفة أخ��رى: فمرك��ز الدوران الذي ه��و نقط��ة لا ي��دور، تمام��ا كم��ا أن النق��اط على خ��ط

الانعكاس لا تتحرك من مكانها بفعل الانعكاس.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

13

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ التماثل ﴿

خاصية يمكن وصف العديد من الأشياء بها مثل الأجسامالتماثل ص��فة يتص��فالتماثل الهندسية والمعادلات الرياضية وغيره��ا، و

وأذنين، أي أن به��ا الإنس��ان، فالإنس��ان ل��ه ي��دان ورجلان وعين��ان.نصفه اليميني يماثل نصفه اليساري شكلا

)الخط المستقيم في الشكل، هو خط التماثل أو محور الانعكاسللشكل(.

بالنسبة لعملي��ة م��ا،متماثلوبشكل عام نقول عن جسم ما أنه يمكن إطلاق. إذا كان تطبيق هذه العملية عليه لا تحدث فيه تغيرا

متماثل��ة» على أي جس��م أو بني��ة فنق��ول أنه��ا التماثلوص��ف «.بالنسبة للعملية كذا

العملية يمكن أن تكون بسيطة بديهية مث��ل دوران ش��كلا هندس��يا.أو يمكن أن تكون تحويلا لمعادلات أو دائرة حول قطرها

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

14

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

التماثلبعض عمليات . مألوفة جدا لدرجة أننا لا نلاحظه��ا أحيان��ا مثال شهير لأحد أدوات خلق التماثل، تق��وم بقلب ج��انبيفالمرآة

عملي��ة. للأشياء بحيث يصبح الطرف الأيمن أيس��را والأيس��ر أيمنا التمي�يز تص��بح أس��هل عن��دما يك�ون الج�انبين الأيمن والأيس�ر من

عن��د الأحي��اء وخاص��ةالتماثل لكن . مخلوق م��ا مختلفين ج��ذريا عن��د الإنس��ان متط��ور ج��دا بحيث يص��عب ملاحظ��ة مث��ل ه��ذه

.الفوارق

يسمي البعض الانعك��اس تم��اثلا، والص��حيح أن الانعك��اس ه��و حال��ة-واحدة فقط من التماثل.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

15

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

فالتماثل مؤلف من حركات ثلاث هي الدوران، الانعكاس والإزاحة.

الشكلان المتماثلان هما الشكلان اللذان نستطيع أن نحص��ل على- واحد منهما من الآخ��ر، عن طري��ق واح��دة من الحرك��ات الثلاث: الانعكاس، الدوران، والإزاحة. ونقول عن شكل واحد أنه متماث��ل

إذا كان مؤلفا من قسمين هما شكلان متماثلان.

:محور التماثل

يلعب مح��ور التماث��ل أهمي��ة كب��يرة في الأش��كال المتماثل��ة، وعلى الرغم من أنه لا يكون مرئيا في الأشكال المتماثلة ) مثلا في شكل القلب،أو وجه الإنسان، لا نرى حقيق�ة خ�ط التماث�ل(، إلا ان�ه يمث�ل

الخط الذي ينقسم عنده الشكل إلى نصفين متطابقين.

ملاحظات:

إذا كان مؤلفا من نصفين، كلبالانعكاسيكون الشكل متماثلا -واحد هو صورة بالمرآة عن الآخر.

هي أبسط أنواع التماثل، إن إزاحة الشكل هو تغيير مكانهالإزاحة- فقط عن طريق جره على طول خط مس��تقيم، يص�بح الش��كل في موضعه الجديد متماثلا مع الشكل في موض��عه الس��ابق، واض��ح أن الإزاحة ليست دورانا أو انعكاسا، وهي لذلك حركة مستقلة تختل��ف

.عن هاتين الحركتين

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

16

مشروع تخرج - التحويلات الهندسية تغريد أبو عياش

لا ف��رق بين أن نق��ول مح��ور انعك��اس أو مح��ور تماث��ل، فالش��كل- وانعكاسه يصبحان شكلا متماثلا )انعكاسيا(، وخط الانعكاس يسمى

أيضا خط التماثل لهذا السبب.

المصادر:

الجواريش، خالد. أوراق عمل في الرياضيات. وزارة التربية.1م.2004والتعليم العالي – فلسطين، الجزء الرابع، سنة

فكر وتمتع – المركز القطري لمعلمي الرياضيات في.2المرحلة الابتدائية، جامعة حيفا، الجزء الثالث.

مجد، زهير ) وآخرون (. الرياضيات. وزارة التربية والتعليم.3، الجزء الثاني.2العالي – فلسطين، ط -

مسارات رياضيات للمدرسة الابتدائية – مركز التكنولوجيا –.4 م.2005فلسطين، الجزء الثامن، سنة

5.Cms.education.gov.il6.Mathcenter-k6.haifa.ac.il7.www.aghandoura.com

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي