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8/3/2019 Warping Constant
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S t e e l S t r u c t u r e s 7 ( 2 0 0 7 ) 2 9 7 - 3 0 9
w w w . k s s c . o r . k r
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s
o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s
D u n g M . L u e * , J u i - L i n g L i u a n d C h i n g - H a u L i n
D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g , N a t i o n a l C h u n g - H s i n g U n i v e r s i t y , 2 5 0 K u o - K u a n g R o a d , T a i c h u n g , 4 0 2 T a i w a n
A b s t r a c t
T h e c a l c u l a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t ( C
w
) f o r a n o p e n t h i n - w a l l e d o p e n s e c t i o n i s a t e d i o u s a n d d i f f i c u l t t a s k a n d t h u s
p r e s e n t i n g a n o b s t a c l e t o r o u t i n e d e s i g n . A l t h o u g h C
w
f o r m u l a s a n d v a l u e s f o r s e l e c t i v e c o l d - f o r m e d s t e e l s e c t i o n s a r e a v a i l a b l e
i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s , m o s t p r a c t i c i n g e n g i n e e r s h a v e l i m i t e d i d e a o f e v a l u a t i n g t h e w a r p i n g c o n s t a n t s f o r s e c t i o n s n o t
l i s t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h i s p a p e r p r o p o s e s a d e t a i l e d s t e p - b y - s t e p n u m e r i c a l p r o c e d u r e f o r e v a l u a t i n g t h e w a r p i n g
c o n s t a n t o f a g e n e r a l o p e n t h i n - w a l l e d s e c t i o n . C o m p a r i s o n s h o w s v i r t u a l l y n o d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d v a l u e s a n d
t h o s e l i s t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h e p r o p o s e d p r o c e d u r e i s a r e l i a b l e a n d u s e f u l t o o l f o r c o m p u t i n g t h e w a r p i n g
c o n s t a n t f o r a n a r b i t r a r y c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n , w h i c h d o e s n o t n e e d a s o p h i s t i c a t e d c o m p u t e r s o f t w a r e .
K e y w o r d s : w a r p i n g c o n s t a n t , t o r s i o n a l s t r e s s , t h i n - w a l l e d s e c t i o n , c o l d - f o r m e d s t e e l , t o r s i o n a l p r o p e r t y
1 . I n t r o d u c t i o n
O p e n t h i n - w a l l e d s e c t i o n s s u b j e c t e d t o t o r s i o n w i l l
r e s u l t i n p u r e t o r s i o n a l s h e a r s t r e s s , w a r p i n g s h e a r s t r e s s
a n d w a r p i n g n o r m a l s t r e s s . E v a l u a t i o n o f t h e s e t o r s i o n -
i n d u c e d s t r e s s e s i s n o t a r o u t i n e j o b f o r p r a c t i c i n g e n g i n e e r s
a s t h e m a j o r d i f f i c u l t y a r i s e s f r o m t h e d e t e r m i n a t i o n o f
s e c t i o n a l w a r p i n g c o n s t a n t ( C
w
) . C o m p l e x f o r m u l a s f o r C
w
u s u a l l y i n v o l v i n g m a t h e m a t i c a l i n t e g r a t i o n s a r e a v a i l a b l e
f r o m p r e v i o u s r e s e a r c h e r s ( B l e i c h , 1 9 5 2 ; G a l a m b o s ,
1 9 6 8 ; K o l l b r u n n e r a n d B a s l e r , 1 9 6 9 ; H e i n s , 1 9 7 5 ; Y u ,
1 9 9 1 ) . C o m p u t a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t s f o r o p e n t h i n -
w a l l e d s e c t i o n s c a n b e g r e a t l y s i m p l i f i e d b y r e c o g n i z i n g
t h e l i n e a r v a r i a t i o n o f u n i t w a r p i n g p r o p e r t i e s b e t w e e n t h e
t w o c o n s e c u t i v e i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f p l a t e e l e m e n t s . A s
a r e s u l t , t h e s o p h i s t i c a t e d i n t e g r a l f o r m s f o r C
w
c a n b e
r e p r e s e n t e d b y n u m e r i c a l e x p r e s s i o n s s u i t a b l e f o r c o m p u t e r
c o d i n g a s h a s b e e n d o n e i n t h e p a s t ( H a n c o c k 1 9 7 8 ; Y o o
a n d A c r a , 1 9 8 6 ; K u b o a n d F u k u m o t o , 1 9 8 8 ; T r a h a i r ,
1 9 9 3 ; L u e a n d E l l i f r i t t , 1 9 9 3 , 2 0 0 3 ; S a l m o n a n d J o h n s o n ,
1 9 9 4 ; P a p a n g e l i s a n d H a n c o c k , 1 9 9 5 ; E l l i f r i t t a n d L u e ,
1 9 9 8 ; L i n a n d H s i a o , 2 0 0 3 ) . A l t h o u g h t h e C
w
v a l u e s a n d
f o r m u l a s f o r n i n e s e l e c t i v e p r a c t i c a l s e c t i o n s a r e p r o v i d e d
i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l ( 2 0 0 2 ) , t h e f o r m u l a s p r e s e n t e d
a r e r a t h e r c o m p l i c a t e d t o m o s t u s e r s . W h e n t h e o p e n
s e c t i o n i s i r r e g u l a r o r n o t a v a i l a b l e i n t h e A I S I M a n u a l , a
g u i d e f o r c o m p u t i n g C
w
f o r s u c h s h a p e s i s w a r r a n t e d . A
s i m p l e a n d r e l i a b l e a p p r o a c h f o r e v a l u a t i n g C
w
v a l u e s
w o u l d b e v e r y u s e f u l f o r p r a c t i c i n g e n g i n e e r s w h e n d e a l i n g
w i t h t o r s i o n a l p r o b l e m s .
I n t h i s s t u d y , a s t e p - b y - s t e p n u m e r i c a l p r o c e d u r e f o r C
w
c a l c u l a t i o n i s p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . A s i m p l e c o m p u t e r
p r o g r a m w a s d e v e l o p e d t o f a c i l i t a t e t h e t e d i o u s c a l c u l a t i o n
o f C
w
a n d a r e p r e s e n t a t i v e s e c t i o n w a s s e l e c t e d t o i l l u s t r a t e
t h e d e t a i l s o f t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e . T h e a c c u r a c y o f t h e
p r o p o s e d p r o c e d u r e w a s v e r i f i e d b y c o m p a r i n g w i t h t h e
v a l u e s t a b u l a t e d i n t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s . T h e
c o m p a r a t i v e s t u d y s h o w s t h a t t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e
c o m p u t e d a n d t a b u l a t e d C
w
v a l u e s a r e n e g l i g i b l e . T h i s
i m p l i e s t h a t t h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l m e t h o d t o
c o m p u t e C
w
f o r a c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n i s
a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . T h e s t u d y w i l l s a t i s f y t h o s e w h o a r e
l o o k i n g f o r a b e t t e r e s t i m a t i o n o n t o r s i o n a l e v a l u a t i o n o f
c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n s .
2 . I n t e g r a t i o n F o r m s f o r W a r p i n g C o n s t a n t s
o f O p e n T h i n - w a l l e d S e c t i o n s
I n t e g r a t i o n f o r m s f o r w a r p i n g c o n s t a n t s ( C
w
) o f o p e n
t h i n - w a l l e d s e c t i o n s a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s , b a s e d o n
G a l a m b o s ( 1 9 6 8 ) a n d H e i n s ( 1 9 7 5 ) . T o c a l c u l a t e t h e C
w
v a l u e , t h e c e n t r o i d ( C ) a n d s h e a r c e n t e r ( S ) o f a s e c t i o n
m u s t b e l o c a t e d f i r s t . B y b a s i c m e c h a n i c s , t h e c e n t r o i d
( C ) c o o r d i n a t e s o f a s e c t i o n i s g i v e n b y E q . ( 1 ) .
( 1 )
w h e r e x a n d y a r e t h e c o o r d i n a t e s o f i n f i n i t e s i m a l a r e a
d A a l o n g t h e s e c t i o n a n d A i s t h e t o t a l a r e a o f o p e n t h i n -
w a l l e d s e c t i o n . T h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i s
X
c
1
A
- - -
x
A
d A
=
Y
c
1
A
- - -
y
A
d A
=
* C o r r e s p o n d i n g a u t h o r
T e l : + 8 8 6 - 4 - 2 2 8 5 - 0 9 9 0 , F a x : + 8 8 6 - 4 - 2 2 8 6 - 2 8 5 7
E - m a i l : d m l u e @ d r a g o n . n c h u . e d u . t w
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( 4 )
w h e r e A
i
i s t h e a r e a o f p l a t e e l e m e n t i , a n d x
i
a n d y
i
a r e
t h e x - a n d y - c o o r d i n a t e s o f p l a t e e l e m e n t i , r e s p e c t i v e l y
( F i g . 1 ) . C o o r d i n a t e s f o r t h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n ( F i g .
3 ) m e a s u r e d f r o m t h e c e n t r i o d a r e g i v e n b y :
( 5 )
w h e r e I
x y
i s t h e c r o s s p r o d u c t o f i n e r t i a o f a n a r e a .
I f t h e s e c t i o n i s s i n g l y s y m m e t r i c a l b e i n g t h e c a s e i n
t h e i l l u s t r a t i v e e x a m p l e , t h e n I
x y
= 0 a n d t h e a b o v e s h e a r
c e n t e r e q u a t i o n c a n b e s i m p l i f i e d a s :
( 6 )
w h e r e
( 6 a )
( 6 b )
( 6 c )
( 6 d )
( 6 e )
I n E q s . ( 6 a ) t o ( 6 e ) , w i s t h e u n i t w a r p i n g w i t h r e s p e c t
t o t h e c e n t r o i d , x
i
, x
j
, y
i
a n d y
j
t h e x a n d y c o o r d i n a t e s a t
t h e e n d s o f e l e m e n t , w
i
a n d w
j
t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s
o f w a t t h e e n d s o f e l e m e n t , t t h e t h i c k n e s s o f p l a t e
e l e m e n t ,
i j
t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e t a n g e n t o f e l e m e n t
i j a n d t h e c e n t r o i d , a n d L
i j
i s t h e l e n g t h o f t h e e l e m e n t i j .
T h e w a r p i n g c o n s t a n t C
w
c a n b e g i v e n b y :
( 7 )
w h e r e
( 7 a )
( 7 b )
( 7 c )
I n t h e a b o v e , w
o
i s t h e u n i t w a r p i n g w i t h r e s p e c t t o t h e
s h e a r c e n t e r , W
n
t h e n o r m a l i z e d u n i t w a r p i n g , w
o i
a n d w
o j
t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e s o f w
o
a t t h e e n d s o f e l e m e n t , t
i j
t h e t h i c k n e s s o f p l a t e e l e m e n t i j ,
o i j
t h e d i s t a n c e b e t w e e n
X
c
x Ad
A
Ad
A
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
i
A
i
i 1=
n
A
i
i 1=
n
- - - - - - - - - - - - - - -
= =
Y
c
y Ad
A
Ad
A
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
y
i
A
i
i 1=
n
A
i
i 1=
n
- - - - - - - - - - - - - - -
= =
X
o
I
x y
I
w x
I
y
I
w y
I
x y
2
I
x
I
y
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
=
Y
o
I
x
I
w x
I
x y
I
w y
I
x y
2
I
x
I
y
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
X
o
I
w y
I
x
- - - - - -
=
Y
o
I
w x
I
y
- - - - - -
=
I
w x
1
3
- --
w
i
x
i
w
j
x
j
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
=
1
6
- --
w
i
x
j
w
j
x
i
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
+
I
w y
1
3
- --
w
i
y
i
w
j
y
j
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
=
1
6
- --
w
i
y
j
w
j
y
i
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
+
I
x
y
2
Ad
A
y
2
t sd
o
E
1
3
- --
y
i
2
y
i
y
j
y
j
2
+ +
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
= = =
I
y
x
2
Ad
A
x
2
t sd
o
E
1
3
- --
x
i
2
x
i
x
j
x
j
2
+ +
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
= = =
w
j
w
i
w
i j
+=
w
j
w
i
i j
L
i j
+=
w
i j
i j
L
i j
=
C
w
1
3
- --
W
n i
2
W
n i
W
n j
W
n j
2
+ +
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
=
W
n i
1
2
A
- - - - - -
w
o i
w
o j
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
w
o i
=
W
n j
1
2
A
- - - - - -
w
o i
w
o j
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
w
o j
=
w
o j
w
o i
o i j
L
i j
+=
F i g u r e 3 . C o o r d i n a t e s a n d t a n g e n t i a l d i s t a n c e s i n a n o p e n
t h i n - w a l l e d s e c t i o n .
F i g u r e 4 . D i s t r i b u t i o n o f w o n a p l a t e e l e m e n t .
-
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3 0 0 D u n g M . L u e e t a l .
t h e t a n g e n t o f e l e m e n t i j a n d t h e s h e a r c e n t e r , a n d L
i j
i s
t h e l e n g t h o f e l e m e n t i j .
4 . N u m e r i c a l E x a m p l e
T h e c o l d - f o r m e d C - s e c t i o n w i t h l i p s , 8 C S 2 . 5 1 0 5 , i s
u s e d h e r e t o d e m o n s t r a t e t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d t h e
e v a l u a t i o n o f s e c t i o n a l w a r p i n g c o n s t a n t . T h e s e c t i o n i s
d i v i d e d i n t o 5 p l a t e e l e m e n t s a n d t h e i r r e l a t e d j o i n t
n u m b e r s a r e a s s h o w n i n F i g . 1 ( D = 8 . 0 0 0 i n . , B = 2 . 5 0 0
i n . , t = 0 . 1 0 5 i n . ,
d = 0 . 8 8 5
i n . , A = 1 . 4 6 i n .
2
, = 7 . 8 9 5
i n . , = 2 . 3 9 5 i n . , a n d = 0 . 8 3 2 5 i n . , b a s e d o n t h e 2 0 0 2
A I S I d e s i g n m a n u a l ) .
T h e P r o p o s e d S t e p - b y - S t e p P r o c e d u r e :
( 1 ) T h e c e n t r o i d o f s e c t i o n , ( X
c
, Y
c
)
C o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r o i d a r e r e f e r e n c e d t o t h e l o w e r
l e f t c o r n e r b e i n g t h e o r i g i n o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m , a s
s h o w n i n F i g . 1 . T h e c o o r d i n a t e s a n d a r e a s f o r e a c h p l a t e
e l e m e n t ( i ) o f t h e s e c t i o n a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 .
S u b s t i t u t i n g T a b l e 1 v a l u e s ( i . e . , x
i
, y
i
, a n d A
i
) i n t o t h e
f o r m u l a f o r c e n t r o i d E q . ( 4 ) y i e l d s X
c
= 0 . 7 3 0 1 1 i n . a n d Y
c
= 4 . 0 0 0 0 0 i n .
( 2 ) T h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n , ( X
o
, Y
o
)
( a ) C o o r d i n a t e s f o r t h e s h e a r c e n t e r a r e r e f e r e n c e d t o
t h e c e n t r o i d w h i c h c a n b e d e t e r m i n e d b y E q . ( 6 ) . T h e
c o o r d i n a t e s o f e l e m e n t j o i n t s a s m e a s u r e d f r o m t h e
c e n t r o i d c a n t h e r e f o r e b e c o m p u t e d a s s u m m a r i z e d i n
T a b l e 2 .
( b ) T h e m o m e n t i n e r t i a s o f a c h a n n e l s e c t i o n w i t h
s t i f f e n e d l i p s , t a k e n w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d a l a x e s ,
c a l c u l a t e d u s i n g E q s . ( 6 c ) a n d ( 6 d ) a r e :
,
( c ) T h e w a r p i n g p r o d u c t s o f i n e r t i a ( I
w x
a n d I
w y
) a r e
d e t e r m i n e d b y E q s . ( 6 a ) t o ( 6 e ) , i n w h i c h t h e r e q u i r e d
p a r a m e t e r s x
i
, x
j
, w
i
, w
j
, t
i j
a n d L
i j
a r e l i s t e d i n T a b l e s 2 ,
3 , a n d 4 . S u b s t i t u t i n g t h e s e p a r a m e t e r s i n t o E q s . ( 6 a ) t o
( 6 e ) , r e s u l t s i n :
D e t a i l e d c a l c u l a t i o n s f o r I
w x
a n d I
w y
a r e s h o w n i n T a b l e s
5 a n d 6 .
T h e s h e a r c e n t e r o f s e c t i o n i s t h e n c a l c u l a t e d u s i n g E q .
( 6 ) w i t h t h e k n o w n v a l u e s o f I
x
, I
y
, I
w x
a n d I
w y
. T h e s h e a r
c e n t e r i s t h e r e f o r e f o u n d t o b e a t X
o
= 1 . 7 8 0 7 9 i n . a n d Y
o
= 0 . 0 0 0 0 0 i n . w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d , o r a t X
s
=
1 . 0 5 0 6 8 i n . a n d Y
s
= 4 . 0 0 0 0 0 i n . w i t h r e s p e c t t o t h e l e f t
l o w e r c o r n e r o f t h e s e c t i o n ( S e e F i g . 1 ) .
( 3 ) T h e w a r p i n g c o n s t a n t o f s e c t i o n
T h e r e q u i r e d p a r a m e t e r s i n c l u d i n g w
o i
, w
o j
, W
n i
a n d W
n j
c a n b e e v a l u a t e d b y u s i n g E q s . ( 7 a ) , ( 7 b ) , a n d ( 7 c ) , a s
s u m m a r i z e d i n T a b l e s 7 ~ 9 . O n c e W
n
, W
n j
, t
i j
a n d L
i j
v a l u e s a r e c a l c u l a t e d , t h e v a l u e o f C
w
c a n b e c o m p u t e d b y
E q . ( 7 ) w h i c h g i v e s :
D e t a i l s o f C
w
c o m p u t a t i o n a r e d e m o n s t r a t e d i n T a b l e 9 .
F o r c o n v e n i e n c e a n d c o m p a r i s o n p u r p o s e s , t h e C
w
v a l u e s
f o r s e l e c t i v e s e c t i o n s p r o v i d e d i n t h e 2 0 0 2 A I S I d e s i g n
m a n u a l a r e p r o v i d e d i n T a b l e s 1 0 ~ 1 8 .
a
b c
I
x
y
2
Ad
1 4 . 3 3 3 8 3 =
i n .
4
=
I
y
x
2
Ad
1 . 2 7 3 5 4 =
i n .
4
=
I
w x
0 . 0 0 0 0 0
i n .
5
=
I
w y
2 5 . 5 2 5 5 0
i n .
5
=
C
w
1
3
- --
W
n i
2
W
n i
W
n j
W
n j
2
+ +
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
1 6 . 6 9 3
i n .
6
= =
T a b l e 2 . J o i n t c o o r d i n a t e s , t h i c k n e s s e s , a n d l e n g t h s o f p l a t e e l e m e n t s
E l e m e n t n o . J o i n t x - c o o r d . ( i n . ) y - c o o r d . ( i n . ) t
i j
( i n . ) L
i j
( i n . )
1
1 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 1 1 5 0 0
0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0
2 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 9 4 7 5 0
2
2 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 3 . 9 4 7 5 0
0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0
3 ( j ) - 0 . 6 7 7 6 1 3 . 9 4 7 5 0
3
3 ( i ) - 0 . 6 7 7 6 1 3 . 9 4 7 5 0
0 . 1 0 5 0 0 7 . 8 9 5 0 0
4 ( j ) - 0 . 6 7 7 6 1 - 3 . 9 4 7 5 0
4
4 ( i ) - 0 . 6 7 7 6 1 - 3 . 9 4 7 5 0
0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0
5 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 9 4 7 5 0
5
5 ( i ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 9 4 7 5 0
0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0
6 ( j ) 1 . 7 1 7 3 9 - 3 . 1 1 5 0 0
x
i
a n d y
i
c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o t h e c e n t r o i d o f s e c t i o n . 1 i n . = 2 . 5 4 c m
T a b l e 1 . C o o r d i n a t e s a n d a r e a s o f p l a t e e l e m e n t s
E l e m e n t n o . ( i ) x
i
( i n . ) y
i
( i n . ) A
i
( i n .
2
)
1 2 . 4 4 7 5 0 7 . 5 3 1 2 5 0 . 0 8 7 4 1
2 1 . 2 5 0 0 0 7 . 9 4 7 5 0 0 . 2 5 1 4 8
3 0 . 0 5 2 5 0 4 . 0 0 0 0 0 0 . 8 2 8 9 8
4 1 . 2 5 0 0 0 0 . 0 5 2 5 0 0 . 2 5 1 4 8
5 2 . 4 4 7 5 0 0 . 4 6 8 7 5 0 . 0 8 7 4 1
x
i
a n d y
i
a r e c o o r d i n a t e s w i t h r e s p e c t t o l o w e r l e f t c o r n e r . 1 i n .
= 2 . 5 4 c m
-
8/3/2019 Warping Constant
5/13
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 3 0 1
5 . R e s u l t s o f C o m p a r i s o n b e t w e e n t h e
C a l c u l a t e d a n d t h e L i s t e d V a l u e s
T h e w a r p i n g c o n s t a n t , C
w
= 1 6 . 6 9 3 i n .
6
, f o r t h e c h a n n e l
s e c t i o n w i t h l i p s , 8 C S 2 . 5 1 0 5 , w a s o b t a i n e d u s i n g t h e
p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e w i t h = 1 ( = 1
s e c t i o n w i t h s t i f f e n e r l i p s , = 0 s e c t i o n w i t h o u t s t i f f e n e r
l i p s ) . T h i s c o m p u t e d C
w
v a l u e m a t c h e s w i t h t h a t
c o n t a i n e d i n t h e 2 0 0 2 A I S I d e s i g n m a n u a l . T h e r e l a t i v e l y
n e w C
w
f o r m u l a , E q . ( 1 0 ) , f o r C - s e c t i o n s w i t h l i p s w a s
T a b l e 3 . U n i t w a r p i n g s w
i
a n d w
j
w i t h r e s p e c t t o c e n t r o i d o f s e c t i o n
E l e m e n t n o .
i j
( i n . ) L
i j
( i n . )
i j
L
i j
J o i n t
U n i t w a r p i n g s ( i n .
2
)
w
i
w
j
1 1 . 7 1 7 3 9 0 . 8 3 2 5 0 1 . 4 2 9 7 3
1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -
2 ( j ) - 1 . 4 2 9 7 3
a
2 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 0 9 . 4 5 4 2 6
2 ( i ) 1 . 4 2 9 7 3 -
3 ( j ) - 1 0 . 8 8 3 9 9
3 0 . 6 7 7 6 1 7 . 8 9 5 0 0 5 . 3 4 9 7 3
3 ( i ) 1 0 . 8 8 3 9 9 -
4 ( j ) - 1 6 . 2 3 3 7 2
4 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 0 9 . 4 5 4 2 6
4 ( i ) 1 6 . 2 3 3 7 2 -
5 ( j ) - 2 5 . 6 8 7 9 8
5 1 . 7 1 7 3 9 0 . 8 3 2 5 0 1 . 4 2 9 7 3
5 ( i ) 2 5 . 6 8 7 9 8 -
6 ( j ) - 2 7 . 1 1 7 7 1
a .
w
j
= w
i
+
i j
L
i j
= 0 + 1 . 4 2 9 7 3 = 1 . 4 2 9 7 3 i n .
2
1 i n . = 2 . 5 4 c m
T a b l e 4 . R e q u i r e d d a t a f o r e v a l u a t i o n o f I
w x
a n d I
w y
E l e m e n t n o . J o i n t
U n i t w a r p i n g s ( i n .
2
)
x
i
( i n . ) x
j
( i n . ) y
i
( i n . ) y
j
( i n . ) t
i j
( i n . ) L
i j
( i n . )
w
i
w
j
1
1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 - 1 . 7 1 7 - 3 . 1 1 5 -
0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0
2 ( j ) - 1 . 4 2 9 7 3 - 1 . 7 1 7 - 3 . 9 4 8
2
2 ( i ) 1 . 4 2 9 7 3 - 1 . 7 1 7 - 3 . 9 4 8 -
0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0
3 ( j ) - 1 0 . 8 8 3 9 9 - - 0 . 6 7 8 - 3 . 9 4 8
3
3 ( i ) 1 0 . 8 8 3 9 9 - - 0 . 6 7 8 - 3 . 9 4 8 -
0 . 1 0 5 0 0 7 . 8 9 5 0 0
4 ( j ) - 1 6 . 2 3 3 7 2 - - 0 . 6 7 8 - - 3 . 9 4 8
4
4 ( i ) 1 6 . 2 3 3 7 2 - - 0 . 6 7 8 - - 3 . 9 4 8 -
0 . 1 0 5 0 0 2 . 3 9 5 0 0
5 ( j ) - 2 5 . 6 8 7 9 8 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 9 4 8
5
5 ( i ) 2 5 . 6 8 7 9 8 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 9 4 8 -
0 . 1 0 5 0 0 0 . 8 3 2 5 0
6 ( j ) - 2 7 . 1 1 7 7 1 - 1 . 7 1 7 - - 3 . 1 1 5
T a b l e 5 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g p r o d u c t o f i n e r t i a I
w x
E l e m e n t n o . w
i
x
i
w
j
x
j
t
i j
L
i j
( + ) w
i
x
j
w
j
x
i
( + )
1 0 . 0 0 0 2 . 4 5 5 0 . 0 8 7 4 0 . 0 7 1 5 0 . 0 0 0 2 . 4 5 5 0 . 0 3 5 8
2 2 . 4 5 5 - 7 . 3 7 5 0 . 2 5 1 5 - 0 . 4 1 2 4 - 0 . 9 6 9 1 8 . 6 9 2 0 . 7 4 2 8
3 - 7 . 3 7 5 - 1 1 . 0 0 0 0 . 8 2 9 0 - 5 . 0 7 7 5 - 7 . 3 7 5 - 1 1 . 0 0 0 - 2 . 5 3 8 8
4 - 1 1 . 0 0 0 4 4 . 1 1 6 0 . 2 5 1 5 2 . 7 7 6 0 2 7 . 8 8 0 - 1 7 . 4 0 6 0 . 4 3 9 0
5 4 4 . 1 1 6 4 6 . 5 7 2 0 . 0 8 7 4 2 . 6 4 2 4 4 4 . 1 1 6 4 6 . 5 7 2 1 . 3 2 1 2
0 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0
I
w x
= 0 . 0 0 0 0 i n .
5 a
a .
1
3
- --
1
6
- --
I
w x
1
3
- --
w
i
x
i
w
j
x
j
+
( )
t
i j
L
i j
i 1=
n
=
1
6
- --
w
i
x
j
w
j
x
i
+
( )
t
i j
L
i j
i 1=
n
+
-
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6/13
3 0 2 D u n g M . L u e e t a l .
d e v e l o p e d b a s e d o n t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d i n v o l v e s
s e c t i o n a l d i m e n s i o n s o n l y . W h i l e t h e A I S I M a n u a l ( 1 9 9 1 )
r e q u i r e s m o r e i n f o r m a t i o n i n c l u d i n g c r o s s - s e c t i o n a l a r e a
( A ) , t h e d i s t a n c e b e t w e e n s h e a r c e n t e r a n d w e b c e n t e r l i n e
( m ) , a n d m o m e n t o f i n e r t i a ( I
x
) .
B a s e d o n t h e c o m p a r a t i v e s t u d y , t h e r e a r e v i r t u a l l y n o
d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d a n d A I S I l i s t e d C
w
v a l u e s . T h i s p r o v e s t h a t t h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l
p r o c e d u r e f o r C
w
i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . F u r t h e r m o r e ,
t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e a n d f o r m u l a s a r e m o r e s u i t a b l e
f o r p r a c t i c a l u s e .
T a b l e 6 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g p r o d u c t o f i n e r t i a I
w y
E l e m e n t
n o .
w
i
y
i
w
j
y
j
t
i j
L
i j
( + ) w
i
y
j
w
j
y
i
( + )
1 0 . 0 0 0 5 . 6 4 4 0 . 0 8 7 4 0 . 1 6 4 4 0 . 0 0 0 4 . 4 5 4 0 . 0 6 4 9
2 5 . 6 4 4 4 2 . 9 6 5 0 . 2 5 1 5 4 . 0 7 4 6 5 . 6 4 4 4 2 . 9 6 5 2 . 0 3 7 3
3 4 2 . 9 6 5 - 6 4 . 0 8 3 0 . 8 2 9 0 - 5 . 8 3 5 4 - 4 2 . 9 6 5 6 4 . 0 8 3 2 . 9 1 7 7
4 - 6 4 . 0 8 3 - 1 0 1 . 4 0 3 0 . 2 5 1 5 - 1 3 . 8 7 1 9 - 6 4 . 0 8 3 - 1 0 1 . 4 0 3 - 6 . 9 3 5 9
5 - 1 0 1 . 4 0 3 - 8 4 . 4 7 2 0 . 0 8 7 4 - 5 . 4 1 5 9 - 8 0 . 0 1 8 - 1 0 7 . 0 4 7 - 2 . 7 2 5 3
- 2 0 . 8 8 4 2 - 4 . 6 4 1 3
I
w y
= 2 5 . 5 2 5 5 i n .
5 a
a .
T a b l e 7 . U n i t w a r p i n g s w
o i
a n d w
o j
w i t h r e s p e c t t o s h e a r c e n t e r
E l e m e n t n o . ( i n . ) L
i j
( i n . ) L
i j
( i n .
2
) J o i n t
U n i t w a r p i n g s ( i n .
2
)
w
o i
w
o j
1 3 . 4 9 8 1 8 0 . 8 3 2 5 2 . 9 1 2 2 3
1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -
2 ( j ) - 2 . 9 1 2 2 3
a
2 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 9 . 4 5 4 2 6
2 ( i ) 2 . 9 1 2 2 3 -
3 ( j ) - 1 2 . 3 6 6 5 0
3 - 1 . 1 0 3 1 8 7 . 8 9 5 0 - 8 . 7 0 9 5 9
3 ( i ) 1 2 . 3 6 6 5 0 -
4 ( j ) - 3 . 6 5 6 9 0
4 3 . 9 4 7 5 0 2 . 3 9 5 0 9 . 4 5 4 2 6
4 ( i ) 3 . 6 5 6 9 0 -
5 ( j ) - 1 3 . 1 1 1 7
5 3 . 4 9 8 1 8 0 . 8 3 2 5 2 . 9 1 2 2 3
5 ( i ) 1 3 . 1 1 1 1 7 -
6 ( j ) - 1 6 . 0 2 3 4 0
a .
i n .
2
T a b l e 8 . N o r m a l i z e d u n i t w a r p i n g s W
n i
a n d W
n j
E l e m e n t n o . J o i n t w
o i
( i n .
2
) w
o j
( i n .
2
) t
i j
L
i j
( i n .
2
) W
n i
( i n .
2
) W
n j
( i n .
2
)
1
1 ( i ) 0 . 0 0 0 0 0 -
0 . 0 8 7 4
8 . 0 1 1 7 0 -
2 ( j ) - 2 . 9 1 2 2 3 - 5 . 0 9 9 4 7
2
2 ( i ) 2 . 9 1 2 2 3 -
0 . 2 5 1 5
5 . 0 9 9 4 7 -
3 ( j ) - 1 2 . 3 6 6 5 0 - - 4 . 3 5 4 8 0
3
3 ( i ) 1 2 . 3 6 6 5 0 -
0 . 8 2 9 0
- 4 . 3 5 4 8 0 -
4 ( j ) - 3 . 6 5 6 9 0 - 4 . 3 5 4 8 0
4
4 ( i ) 3 . 6 5 6 9 0 -
0 . 2 5 1 5
4 . 3 5 4 8 0 -
5 ( j ) - 1 3 . 1 1 1 7 - - 5 . 0 9 9 4 7
5
5 ( i ) 1 3 . 1 1 1 1 7 -
0 . 0 8 7 4
- 5 . 0 9 9 4 7 -
6 ( j ) - 1 6 . 0 2 3 4 0 - - 8 . 0 1 1 7 0
1
3
- --
1
6
- --
I
w y
1
3
- --
w
i
y
i
w
j
y
j
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
=
1
6
- --
w
i
y
j
w
j
y
i
+
( ) t
i j
L
i j
i 1=
n
+
o i j
o i j
w
o j
w
o i
o i j
L
i j
+ 0 2 . 9 1 2 2 3 + 2 . 9 1 2 2 3 = = =
-
8/3/2019 Warping Constant
7/13
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 3 0 3
6 . S u m m a r y o f t h e D e r i v e d a n d t h e L i s t e d
C
w
F o r m u l a s
T h e r e a r e n i n e s e l e c t i v e p r a c t i c a l s e c t i o n s c o n t a i n e d i n
t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s ( 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 ) , a s s h o w n i n
F i g . 5 . T h e d e r i v e d f o r m u l a s e x p r e s s e d i n t e r m s o f s e c t i o n a l
d i m e n s i o n s a r e o b t a i n e d a c c o r d i n g t o t h e p r o p o s e d
p r o c e d u r e . F o r c o m p a r i s o n p u r p o s e , t h e d e r i v e d a n d t h e
A I S I l i s t e d f o r m u l a s a r e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s .
W a r p i n g c o n s t a n t f o r C - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :
( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 8 )
C
w
b
3
t a
2
1 2
- - - - - - - - - - - -
3 b 2 a+
a 6 b+
- - - - - - - - - - - - - - - -
=
T a b l e 9 . C a l c u l a t i o n f o r w a r p i n g c o n s t a n t o f C - s e c t i o n s w i t h l i p s
E l e m e n t n o . J o i n t ( i n .
4
) ( i n .
4
) ( i n .
4
) ( i n .
2
) ( i n .
6
)
1
1 ( i ) 6 4 . 1 8 7 3
4 0 . 8 5 5 4
-
0 . 0 8 7 4 3 . 8 1 8 4
a
2 ( j ) - 2 6 . 0 0 4 6
2
2 ( i ) 2 6 . 0 0 4 6
- 2 2 . 2 0 7 1
-
0 . 2 5 1 5 1 . 9 0 8 0
3 ( j ) - 1 8 . 9 6 4 3
3
3 ( i ) 1 8 . 9 6 4 3
- 1 8 . 9 6 4 3
-
0 . 8 2 9 0 5 . 2 4 0 3
4 ( j ) - 1 8 . 9 6 4 3
4
4 ( i ) 1 8 . 9 6 4 3
- 2 2 . 2 0 7 1
-
0 . 2 5 1 5 1 . 9 0 8 0
5 ( j ) - 2 6 . 0 0 4 6
5
5 ( i ) 2 6 . 0 0 4 6
4 0 . 8 5 5 4
-
0 . 0 8 7 4 3 . 8 1 8 4
6 ( j ) - 6 4 . 1 8 7 3
1 6 . 6 9 3
b
a .
b .
T a b l e 1 0 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e C - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
1 2 0 0 T 2 0 0 - 6 8 1 2 . 2 5 0 2 . 0 0 0 . 0 7 1 3 1 . 1 4 0 8 . 4 3 1 0 0 8 . 4 3 0 0
1 0 0 0 T 1 2 5 - 9 7 1 0 . 3 5 6 1 . 2 5 0 . 1 0 1 7 1 . 2 7 0 2 . 1 2 2 0 0 2 . 1 2 0 0
8 0 0 T 1 5 0 - 4 3 8 . 1 6 1 1 . 5 0 0 . 0 4 5 1 0 . 4 9 6 0 . 9 7 1 5 0 0 . 9 7 2 0
5 5 0 T 1 2 5 - 5 4 5 . 6 9 8 1 . 2 5 0 . 0 5 6 6 0 . 4 5 2 0 . 3 1 5 4 2 0 . 3 1 5 0
4 0 0 T 1 2 5 - 3 0 4 . 1 4 1 1 . 2 5 0 . 0 3 1 2 0 . 2 0 3 0 . 0 8 5 5 2 0 . 0 8 5 5
3 5 0 T 1 2 5 - 1 8 3 . 6 2 2 1 . 2 5 0 . 0 1 8 8 0 . 1 1 3 0 . 0 3 8 4 2 0 . 0 3 8 4
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 1 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e C - s e c t i o n s w i t h l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
1 2 C S 4 0 7 0 1 2 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 0 7 0 1 . 4 7 8 0 . 7 6 3 8 0 . 8
1 0 C S 4 1 0 5 1 0 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 9 9 8 1 . 7 3 6 8 1 . 7
1 0 C S 2 0 8 5 1 0 . 0 0 0 2 . 0 0 0 . 0 8 5 1 . 2 7 1 2 . 9 9 6 1 3 . 0
9 C S 2 . 5 0 5 9 9 . 0 0 0 2 . 5 0 0 . 0 5 9 0 . 8 8 1 1 1 . 9 0 5 1 1 . 9
8 C S 3 . 5 0 7 0 8 . 0 0 0 3 . 5 0 0 . 0 7 0 1 . 1 2 2 4 . 0 9 8 2 4 . 1
7 C S 4 1 0 5 7 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 6 7 3 8 . 0 9 2 3 8 . 1
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
W
n i
2
W
n i
W
n j
W
n j
2
t
i j
L
i j
C
w
( )
i
C
w
( )
i
W
n i
2
W
n i
W
n j
W
n j
2
+ +
( )t
i j
L
i j
= 3 6 4 . 1 8 7 4 0 . 8 5 5 2 6 . 0 0 5 + +
( )0 . 0 8 7 4 3
3 . 8 1 8 i n .
6
= =
C
w
C
w
( )
i
i 1=
n
1 6 . 6 9 3 i n .
6
= =
-
8/3/2019 Warping Constant
8/13
3 0 4 D u n g M . L u e e t a l .
T a b l e 1 2 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e Z - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
8 Z U 1 . 2 5 1 0 5 8 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 0 6 1 . 5 4 6 0 0 1 . 5 5 0 0
6 Z U 1 . 2 5 0 7 5 6 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 0 7 5 0 . 6 1 2 0 . 6 1 1 8 0 0 . 6 1 2 0
4 Z U 1 . 2 5 0 4 8 4 . 0 0 0 1 . 2 5 0 . 0 4 8 0 . 2 9 9 0 . 1 6 4 1 0 0 . 1 6 4 0
3 . 6 2 5 Z U 1 . 2 5 0 6 0 3 . 6 2 5 1 . 2 5 0 . 0 6 0 0 . 3 4 9 0 . 1 6 0 4 5 0 . 1 6 1 0
2 . 5 Z U 1 . 2 5 0 9 0 2 . 5 0 0 1 . 2 5 0 . 0 9 0 0 . 4 1 6 0 . 0 9 5 2 7 0 . 0 9 5 3
1 . 5 Z U 1 . 2 5 0 3 6 1 . 5 0 0 1 . 2 5 0 . 0 3 6 0 . 1 3 5 0 . 0 1 2 7 3 0 . 0 1 2 7
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 3 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e Z - s e c t i o n s w i t h l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
1 2 Z S 3 . 2 5 0 8 5 1 2 3 . 2 5 0 . 0 8 5 1 . 7 0 9 8 . 8 7 4 9 8 . 6 0
1 0 Z S 2 . 7 5 0 7 0 1 0 2 . 7 5 0 . 0 7 0 1 . 1 9 3 7 . 5 3 6 3 7 . 5 0
9 Z S 2 . 2 5 1 0 5 9 2 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 5 7 2 9 . 6 6 8 2 9 . 7 0
8 Z S 3 . 2 5 0 6 5 8 3 . 2 5 0 . 0 6 5 1 . 0 4 3 0 . 4 7 0 3 0 . 5 0
7 Z S 2 . 2 5 0 5 9 7 2 . 2 5 0 . 0 5 9 0 . 7 6 3 9 . 4 5 6 9 . 4 6
4 Z S 2 . 2 5 0 7 0 4 2 . 2 5 0 . 0 7 0 0 . 6 9 6 3 . 3 8 3 3 . 3 8
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 4 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r h a t s e c t i o n s w i t h o u t l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
1 0 H U 5 0 7 5 1 0 . 0 0 0 5 . 0 0 0 . 0 7 5 1 . 9 8 9 8 . 4 1 0 9 8 . 4 0
8 H U 8 1 0 5 8 . 0 0 0 8 . 0 0 0 . 1 0 5 2 . 7 1 2 2 2 . 0 6 0 2 2 2 . 0 0
6 H U 3 0 6 0 6 . 0 0 0 3 . 0 0 0 . 0 6 0 0 . 9 5 4 6 . 0 3 9 6 . 0 4
4 H U 4 1 0 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 4 5 6 . 8 9 3 6 . 8 9
3 H U 4 . 5 1 3 5 3 . 0 0 0 4 . 5 0 0 . 1 3 5 1 . 7 4 5 . 6 5 5 5 . 6 6
3 H U 3 0 7 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 . 0 7 5 0 . 7 6 1 1 . 1 4 3 1 . 1 4
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 5 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
4 L S 4 1 3 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 1 3 5 1 . 1 2 0 0 . 0 9 0 7 2 0 . 0 9 0 7
4 L S 4 0 7 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 0 7 5 0 . 6 3 6 0 . 0 6 3 1 4 0 . 0 6 3 1
3 L S 1 0 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 1 0 5 0 . 6 6 9 0 . 0 4 2 0 3 0 . 0 4 2 0
3 L S 0 6 0 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 0 6 0 0 . 3 9 2 0 . 0 2 8 5 7 0 . 0 2 8 6
2 . 5 L S 2 . 5 0 9 0 2 . 5 0 0 2 . 5 0 0 0 . 0 9 0 0 . 4 8 9 0 . 0 2 5 5 6 0 . 0 2 5 6
2 L S 2 1 3 5 2 . 0 0 0 2 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 5 7 6 0 . 0 1 9 2 2 0 . 0 1 9 2
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
-
8/3/2019 Warping Constant
9/13
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 3 0 5
w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l ) ( 9 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r C - s e c t i o n s w i t h l i p s :
C
w
a
2
b
2
t
1 2
- - - - - - - - - - - -
2 a
3
b 3 a
2
b
2
4 8 c
4
1 1 2 b c
3
8 a c
3
4 8 a b c
2
+ + +
1 2 a
2
c
2
1 2 a
2
b c 6 a
3
c+ + +
+ +
6 a
2
b a
2 c+
( )
3
2 4 a c
2
+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
=
C
w
a
2
b
2
t
1 2
- - - - - - - - - - - -
2 a
3
b 3 a
2
b
2
4 8 c
4
1 1 2 b c
3
8 a c
3
4 8 a b c
2
+ + +
1 2 a
2
c
2
1 2 a
2
b c 6 a
3
c+ + +
+ +
6 a
2
b a
2 c+
( )
3
2 4 a c
2
+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
=
T a b l e 1 6 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h o u t l i p s
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
4 L U 4 1 3 5 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 1 3 5 1 . 0 4 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
4 L U 4 0 9 0 4 . 0 0 0 4 . 0 0 0 0 . 0 9 0 0 . 7 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 L U 3 1 3 5 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 7 7 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
3 L U 3 0 9 0 3 . 0 0 0 3 . 0 0 0 0 . 0 9 0 0 . 5 2 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 . 5 L U 2 . 5 1 0 5 2 . 5 0 0 2 . 5 0 0 0 . 1 0 5 0 . 5 0 3 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
2 L U 2 1 3 5 2 . 0 0 0 2 . 0 0 0 0 . 1 3 5 0 . 5 0 7 0 . 0 0 0 0 . 0 0 0
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 7 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e d o u b l e c h a n n e l s w i t h u n s t i f f e n e d f l a n g e s b a c k - t o - b a c k s e c t i o n s i n 1 9 9 1
A I S I M a n u a l
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
2 - 7 C 3 1 3 5 7 . 0 3 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 5 6 8 6 . 2 3 0 0 6 . 2 3 0 0
2 - 7 C 3 1 0 5 7 . 0 3 . 0 0 0 . 1 0 5 2 . 0 1 3 5 . 0 5 0 0 5 . 0 5 0 0
2 - 6 C 3 1 3 5 6 . 0 3 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 2 9 8 4 . 5 5 0 0 4 . 5 5 0 0
2 - 6 C 3 1 0 5 6 . 0 3 . 0 0 0 . 1 0 5 1 . 8 0 3 3 . 6 9 0 0 3 . 6 9 0 0
2 - 3 C 2 . 2 5 1 0 5 3 . 0 2 . 2 5 0 . 1 0 5 1 . 0 1 5 0 . 3 6 2 0 0 . 3 6 2 0
2 - 2 C 2 . 2 5 1 0 5 2 . 0 2 . 2 5 0 . 1 0 5 0 . 8 0 5 0 . 1 5 5 0 0 . 1 5 5 0
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
T a b l e 1 8 . C o m p a r i s o n s o f C
w
v a l u e s f o r s e l e c t i v e d o u b l e c h a n n e l s w i t h s t i f f e n e d f l a n g e s b a c k - t o - b a c k s e c t i o n s i n 1 9 9 1
A I S I M a n u a l
S e c t i o n
D
( i n . )
B
( i n . )
t
( i n . )
A
( i n .
2
)
C
w
( i n .
6
)
c a l c u l a t e d b y
a u t h o r s
C
w
( i n .
6
)
p r o v i d e d b y
A I S I m a n u a l
2 - 1 2 C S 7 1 3 5 1 2 . 0 7 . 0 0 0 . 1 3 5 5 . 4 1 1 4 7 8 . 0 0 4 7 8 . 0 0
2 - 8 C S 6 1 3 5 8 . 0 6 . 0 0 0 . 1 3 5 4 . 0 1 8 1 3 8 . 0 0 1 3 8 . 0 0
2 - 7 C S 5 . 5 1 3 5 7 . 0 5 . 5 0 0 . 1 3 5 3 . 5 8 6 8 2 . 3 0 8 2 . 3 0
2 - 5 C S 4 1 3 5 5 . 0 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 5 4 4 1 5 . 9 0 1 5 . 9 0
2 - 4 C S 4 1 3 5 4 . 0 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 2 7 4 1 0 . 4 0 1 0 . 4 0
2 - 3 . 5 C S 4 1 3 5 3 . 5 4 . 0 0 0 . 1 3 5 2 . 1 3 9 8 . 0 9 8 . 0 9
S e e F i g u r e 1 f o r t h e n o t a t i o n s .
-
8/3/2019 Warping Constant
10/13
3 0 6 D u n g M . L u e e t a l .
w h e r e = 1 ( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 0 )
( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 1 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r Z - s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :
( F r o m t h i s s t u d y ) ( 1 2 )
w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 3 )
w h e r e = 0 ( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 4 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r Z - s e c t i o n s w i t h l i p s :
w h e r e = 5 0
o
( F r o m t h i s s t u d y ) ( 1 5 )
w h e r e = 1 , = 9 0
o
( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 6 )
C
w
t
2
A
- - -
x A a
2
t
- - - - - - - - - - -
b
2
3
- - - - -
m
2
m b+
A
3 t
- - - -
m
2
a
3
b
2
c
2
2 c 3 a+ +
[ ]
I
x
m
2
t
- - - - - - - - - -
2 a 4 c+
( )+ +
m c
2
3
- - - - - - - - -
8 b
2
c 2 m 2 c c a
( )b 2 c 3 a
( )+
( )+
[ ]
b
2
a
2
6
- - - - - - - - - -
3 c b
2
+
( )4 c a+
( )6 c
2
[ ]
m
2
a
4
4
- - - - - - - - - - -
+
=
C
w
b t a
2
1 2
- - - - - - - - - -
b 2 a+
a 2 b+
- - - - - - - - - - - - -
=
C
w
t b
2
a
2
b
2
2 a b 4
b c 6 a c+ + +
( )4
c
2
3 a
2
3 a b 4 b c 2 a c c
2
+ + + +
( )+ 1 2 a 2 b 2 c+ +
( ) =
C
w
t
1 2
- - - - - -
a
2
b
3
2 a b+
( )
b
2
4 c
4
1 6 b c
3
6 a
3
c 4 a
2
b c 8 a c
3
+ + + +
( )
6 a b c
2
a b+
( )2 b s i n
a c o s
+
( )+
4 a b c
3
2 a 4 b c+ +
( )s i n
c o s
+
c
3
2 a
3
4 a
2
b 8 a b
2
a
2
c 1 6 b
3
4 b
2
c+ +
( )c o s
2
+
+
a 2 b
c+
( )+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
t
1 2
- - - - - -
a
2
b
3
2 a b+
( )
b
2
4 c
4
1 6 b c
3
6 a
3
c 4 a
2
b c 8 a c
3
+ + + +
( )
6 a b c
2
a b+
( )2 b s i n
a c o s
+
( )+
4 a b c
3
2 a 4 b c+ +
( )s i n
c o s
+
c
3
2 a
3
4 a
2
b 8 a b
2
a
2
c 1 6 b
3
4 b
2
c+ +
( )c o s
2
+
+
a 2 b c+
( )+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
t b
2
a
2
b
2
2 a b 4
b c 6 a c+ + +
( )4
c
2
3 a
2
3 a b 4 b c 2 a c c
2
+ + + +
( )+
[ ]1 2 a 2 b 2 c+ +
( ) =
-
8/3/2019 Warping Constant
11/13
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 3 0 7
w h e r e = 1 , = 5 0
o
( F r o m 1 9 9 6 a n d 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 7 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r H a t s e c t i o n s w i t h o u t l i p s :
w h e r e = 1 ( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 1 8 )
( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 1 9 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h o u t l i p s :
C
w
= 0
W a r p i n g c o n s t a n t f o r e q u a l l e g a n g l e s w i t h l i p s :
( F r o m t h i s s t u d y a n d 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 2 0 )
( F r o m 1 9 9 1 A I S I M a n u a l ) ( 2 1 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r t w o c h a n n e l s w i t h u n s t i f f e n e d
f l a n g e s b a c k - t o - b a c k w e l d e d :
( T h i s s t u d y a n d 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 A I S I M a n u a l s ) ( 2 2 )
W a r p i n g c o n s t a n t f o r t w o c h a n n e l s w i t h s t i f f e n e d
f l a n g e s b a c k - t o - b a c k w e l d e d :
( T h i s s t u d y , 1 9 9 1 , 1 9 9 6 , 2 0 0 2 M a n u a l s ) ( 2 3 )
w h e r e i s t h e l e n g t h o f w e b , t h e l e n g t h o f f l a n g e s ,
t h e l e n g t h o f u n s t i f f e n e d f l a n g e , t t h e t h i c k n e s s o f p l a t e
e l e m e n t , a n d m i s t h e d i s t a n c e b e t w e e n s h e a r c e n t e r a n d
c e n t e r l i n e o f w e b a s s h o w n i n F i g . 1 .
W a r p i n g c o n s t a n t s f o r a l l s e l e c t i v e s e c t i o n s l i s t e d i n t h e
A I S I M a n u a l s w e r e c h e c k e d b y b o t h t h e d e r i v e d a n d t h e
A I S I f o r m u l a s . T h e d i f f e r e n c e s w e r e f o u n d t o b e
n e g l i g i b l e ( S e e T a b l e s 1 0 ~ 1 8 ) .
7 . C o n c l u s i o n s
T h e c a l c u l a t i o n o f w a r p i n g c o n s t a n t f o r a c o l d - f o r m e d
s t e e l o p e n s e c t i o n i s a t e d i o u s t a s k f o r p r a c t i c i n g
e n g i n e e r s . T h i s p a p e r s u m m a r i z e s a n d d i s c u s s e s v a r i o u s
i n t e g r a t i o n f o r m u l a s f o r e v a l u a t i n g C
w
v a l u e s o f a r b i t r a r y
c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n s . B a s e d o n t h i s s t u d y , t h e
f o l l o w i n g f i n d i n g s c a n b e d r a w n .
1 . T h i s s t u d y p r e s e n t s t h e i n t e g r a t i o n f o r m u l a s f o r C
w
i n t e r m s o f m o r e e x p l i c i t n u m e r i c a l e x p r e s s i o n s f o r g e n e r a l
o p e n s e c t i o n s .
2 . T h i s s t u d y p r o v i d e s a d e t a i l e d p r o c e d u r e f o r c o m p u t i n g
t h e C
w
v a l u e o f a g e n e r a l c o l d - f o r m e d s t e e l o p e n s e c t i o n .
A n i l l u s t r a t i v e e x a m p l e i s p r o v i d e d t o h e l p p r a c t i c i n g
e n g i n e e r s c a l c u l a t e C
w
v a l u e s f o r s e c t i o n s n o t a v a i l a b l e i n
t h e A I S I d e s i g n m a n u a l s .
C
w
t
1 2
- - - - - -
a
2
b
3
2 a b+
( )
b
2
4 c
4
1 6 b c
3
6 a
3
c 4 a
2
b c 8 a c
3
+ + + +
( )
6 a b c
2
a b+
( )2 b s i n
a c o s
+
( )+
4 a b c
3
2 a 4 b c+ +
( )s i n
c o s
+
c
3
2 a
3
4 a
2
b 8 a b
2
a
2
c 1 6 b
3
4 b
2
c+ +
( )c o s
2
+
+
a 2 b
c+
( )+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
a
2
b
2
t
1 2
- - - - - - - - - - - -
2 a
3
b 3 a
2
b
2
4 8 c
4
1 1 2 b c
3
8 a c
3
4 8 a b c
2
+ +
1 2 a
2
c
2
1 2 a
2
b c 6 a
3
c+ +
+ +
6 a
2
b a
2 c+
( )
3
+
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
a
2
4
- - - - -
I
x
Y
( )
2
A 1
a
2
A
4 I
y
- - - - - - - -
+
2 b
2
t c
3
3
- - - - - - - - - - - - - -
a b
2
c
2
t
a
2
b t c
3
Y A
3 I
y
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4 b
2
t
2
c
6
9 I
y
- - - - - - - - - - - - - - - - -
++=
C
w
a
4
c
3
t 4 a 3 c+
( )
6 2 a
3
a c
( )
3
[ ]
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
t
2
a
4
c
3
1 8 I
x
- - - - - - - - - - - - -
4 a 3 c+
( )=
C
w
t a
2
1 2
- - - - - -
8 b
3
c
3
b
3
c
3
+
- - - - - - - - - - - - - -
=
C
w
t b
2
3
- - - - - -
a
2
b 3 a
2
c 6 a c
2
4 c
3
+ + +
( )=
a b
c
-
8/3/2019 Warping Constant
12/13
3 0 8 D u n g M . L u e e t a l .
3 . T h e C
w
v a l u e s c a l c u l a t e d b y t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e
c o m p a r e w e l l w i t h t h o s e t a b u l a t e d i n t h e c u r r e n t A I S I
d e s i g n m a n u a l s . T h i s m e a n s t h a t t h e p r o p o s e d p r o c e d u r e
i s a c c u r a t e a n d r e l i a b l e . T h e p r o p o s e d c o m p u t a t i o n a l
p r o c e d u r e a n d f o r m u l a s w o u l d b e v e r y u s e f u l f o r e n g i n e e r s
w h e n d e a l i n g w i t h t h e C
w
c a l c u l a t i o n f o r t h e s e c t i o n s n o t
a v a i l a b l e i n t h e d e s i g n m a n u a l s .
4 . A l t h o u g h s o p h i s t i c a t e d c o m p u t e r p r o g r a m s d o e x i s t ,
t h e y m a y n o t b e r e a d i l y a v a i l a b l e f o r e v e r y o n e . A s i m p l e
n u m e r i c a l p r o c e d u r e u t i l i z i n g M i c r o s o f t E x c e l w a s p r o p o s e d
t o f a c i l i t a t e t h e c o m p u t a t i o n o f c o m p l e x C
w
.
5 . U n l i k e t h e 1 9 9 1 A I S I f o r m u l a s , t h e d e r i v e d C
w
f o r m u l a s a r e a f u n c t i o n o f s e c t i o n a l d i m e n s i o n s o n l y ( i e
, , a n d ) . D u r i n g t h i s s t u d y , d i s c r e p a n c i e s o f C
w
v a l u e s t a b u l a t e d i n t h e 1 9 9 1 A I S I d e s i g n m a n u a l w e r e
d e t e c t e d . F o r i n s t a n c e s , C
w
s h o u l d b e 0 . 1 0 8 i n .
6
( i n s t e a d
o f 0 . 1 3 2 i n .
6
) f o r S e c t i o n 4 . 0 1 . 1 2 5 0 . 0 6 0 , a n d i t s h o u l d
b e 1 . 1 5 6 i n .
6
( i n s t e a d o f 1 . 5 6 i n .
6
) f o r S e c t i o n 6 . 0 1 . 6 2 5
0 . 0 4 8 .
R e f e r e n c e s
A I S I ( 1 9 9 1 ) . C o l d - F o r m e d S t e e l D e s i g n M a n u a l , W a s h i n g t o n ,
D C , A m e r i c a n I r o n a n d S t e e l I n s t i t u t e .
A I S I ( 1 9 9 6 ) . C o l d - F o r m e d S t e e l D e s i g n M a n u a l , W a s h i n g t o n ,
D C , A m e r i c a n I r o n a n d S t e e l I n s t i t u t e .
A I S I ( 2 0 0 2 ) . C o l d - F o r m e d S t e e l D e s i g n M a n u a l , W a s h i n g t o n ,
D C , A m e r i c a n I r o n a n d S t e e l I n s t i t u t e .
B l e i c h , F . ( 1 9 5 2 ) . B u c k l i n g S t r e n g t h o f M e t a l S t r u c t u r e s .
M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , p p . 1 0 4 - 1 2 3 .
E l l i f r i t t , D . S . a n d L u e D . M . ( 1 9 9 8 ) . D e s i g n o f c r a n e
r u n w a y b e a m w i t h c h a n n e l c a p . E n g i n e e r i n g J o u r n a l ,
A I S C , 3 5 ( 2 ) , p p . 4 1 - 4 9 .
G a l a m b o s , T . V . ( 1 9 6 8 ) . S t r u c t u r a l m e m b e r s a n d f r a m e s .
P r e n t i c e - H a l l , N e w J e r s e y , p p . 8 0 - 1 5 8 .
H a n c o c k , G . J . ( 1 9 7 8 ) . L o c a l d i s t o r t i o n a n d l a t e r a l b u c k l i n g
o f I - b e a m s . J o u r n a l o f t h e S t r u c t u r a l D i v i s i o n , A S C E ,
1 0 4 ( 1 1 ) , p p . 1 7 8 7 - 1 8 0 0 .
H e i n s , C . P . ( 1 9 7 5 ) . B e n d i n g a n d t o r s i o n a l d e s i g n i n
s t r u c t u r a l m e m b e r s . L e x i n g t o n B o o k C o . , L e x i n g t o n ,
M A .
K o l l b r u n n e r , C . F . a n d B a s l e r , K . ( 1 9 6 9 ) . T o r s i o n i n
s t r u c t u r e s . S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , p p . 9 6 - 1 3 0 .
K u b o , M . a n d F u k u m o t o , Y . ( 1 9 8 8 ) . L a t e r a l t o r s i o n a l
b u c k l i n g o f t h i n - w a l l e d I - b e a m s . J o u r n a l o f t h e
S t r u c t u r a l D i v i s i o n , A S C E , 1 1 4 ( 4 ) , p p . 8 4 1 - 8 5 5 .
L i n , W . Y . a n d H s i a o , K . M . ( 2 0 0 3 ) . M o r e g e n e r a l
e x p r e s s i o n f o r t h e t o r s i o n a l w a r p i n g o f a t h i n - w a l l e d
o p e n - s e c t i o n b e a m . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M e c h a n i c a l
S c i e n c e s , 4 5 ( 5 ) , p p . 8 3 1 - 8 4 9 .
L u e , T . a n d E l l i f r i t t , D . S . ( 1 9 9 3 ) . T h e w a r p i n g c o n s t a n t f o r
t h e w - s e c t i o n w i t h a c h a n n e l c a p . E n g i n e e r i n g J o u r n a l ,
A I S C , 3 0 ( 1 ) , p p . 3 1 - 3 3 .
L u e , D . M . a n d E l l i f r i t t , D . S . ( 2 0 0 3 ) . N u m e r i c a l e v a l u a t i o n
f o r w a r p i n g c o n s t a n t o f b u i l t - u p c r a n e r u n w a y b e a m .
S S R C A n n a u a l S t a b i l i t y C o n f e r e n c e , B a l t i m o r e , M D , p p .
2 1 3 - 2 3 2 .
P a p a n g e l i s , J . P . a n d H a n c o c k , G . J . ( 1 9 9 5 ) . C o m p u t e r
a n a l y s i s o f t h i n - w a l l e d s t r u c t u r a l m e m b e r s . C o m p u t e r &
S t r u c t u r e s , 5 6 ( 1 ) , p p . 1 5 7 - 1 7 6 .
a b c
F i g u r e 5 . N i n e p r a c t i c a l s e c t i o n s p r o v i d e d i n t h e A I S I M a n u a l s .
-
8/3/2019 Warping Constant
13/13
N u m e r i c a l E v a l u a t i o n o n W a r p i n g C o n s t a n t s o f G e n e r a l C o l d - F o r m e d S t e e l O p e n S e c t i o n s 3 0 9
S a l m o n , G . C . a n d J o h n s o n , E . J . ( 1 9 9 4 ) . S t e e l s t r u c t u r e s
d e s i g n a n d b e h a v i o r . p p . 4 8 4 - 5 4 2 .
T r a h a i r , N . S . ( 1 9 9 3 ) . F l e x u r a l - t o r s i o n a l a n d b u c k l i n g o f
s t r u c t u r e s . C R C P r e s s , p p . 3 0 4 - 3 5 6 .
Y o o , C . H . a n d A c r a , S . V . ( 1 9 8 6 ) . C r o s s - s e c t i o n p r o p e r t i e s
o f t h i n - w a l l e d m u l t i - c e l l u l a r s e c t i o n . C o m p u t e r s &
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