فيلتر كالمن در سال 1960 توسط r.e.kalman در مقاله اي تحت عنوان...
DESCRIPTION
فيلتر كالمن در سال 1960 توسط R.E.Kalman در مقاله اي تحت عنوان زير معرفي شد. “A new approach to liner filtering & prediction problem” Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering, Vol 82, pp 35-45, March 1960. Kalman Filter. 1. Kalman Filter, Problem definition. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
11
در مقال�ه اي R.E.Kalman توس�ط 1960 فيل�تر ك�المن در س�ال عنوان زير معرفي شد. تحت
“A new approach to liner filtering & prediction problem”
Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering ,Vol 82, pp 35-45, March 1960Vol 82, pp 35-45, March 1960..
Kalman FilterKalman Filter
Kalman Filter, Problem definition
The Kalman filter is an efficient recursive filterthat estimates the state of a dynamic system froma series of incomplete and noisy measurements.
فیلتر کالمن یک فیلتر بازخوردی کار آمد است که وضعیت یک سیستم دینامیک را با استفاده از یک سری اندازه گیری های ناقص و نویز دار انجام میدهد.
Kalman Filter, Problem definition
فرض كنيد ميخواهيم يك شئي متحرك را در يك محيطنويزي ردگيري كنيم.
ولي بعلت نويزي بودن و يا داليل ديگر كه ناشي از سيستم تصوير برداري ، سرعت و جهت حركت شئي متحرك است ،
شئي متحرك مورد نظر بدرستي قابل تشخيص نيست.
Kalman Filter, Problem definition
از مشاهده اي كه توسط سيستم تصوير برداري بدست مي درست ميكنيم.Zآيد ، يك بردار ويژگي بنام
با استفاده از اين بردار ويژگيZ مشاهده( ميخواهيم شئي( مدل كنيم.Xمتحرك مورد نظر را بصورت يك بردار ويژگي
الزم به ياد آوري است كه بردار هاي ويژكيX, Z ممكن است از نظر ابعاد با هم مساوي نباشند.
correction و predictionفيلتر کالمن شامل دو مرحله است که به طور تناوبی تکرار می شوند
Kalman FilterKalman Filter
prediction
correction
77
در شرايطي كه مشاهده ما از طريق دنباله اي از تصاوير در شرايطي كه مشاهده ما از طريق دنباله اي از تصاوير((image sequencesimage sequences)) صورت ميگيرد ، مدل ها و مشاهدات صورت ميگيرد ، مدل ها و مشاهدات
خود را ميتوانيم به دو روش زير مورد استفاده قرار دهيم:خود را ميتوانيم به دو روش زير مورد استفاده قرار دهيم:
Kalman FilterKalman Filter
Kشماره فريم و يا مفهوم زمان است
Kalman FilterKalman Filter
در فيلتر كالمن يك مكانيزم باز خوردي(Feedback ) پيشنهاد ميشود كه توسط آن ميتوانيم :
Zk ،را مشاهده كنيمXk ، مدل( را تقريب بزنيم( Xk+1 ، را پيش بيني كنيم ، و بنا بر اينZk+1 را پيش بيني كنيم و سپسZk+1 .را مشاهده نمائيم
، با استفاده از مشاهدات و پيش بيني هاي فوقXk+1 وضعيت( ميكنيم. update ( را k+1مدل در زمان
Kalman Filter
:سيكل تكرار در فيلتر كالمن
Time Update .رويداد ها را درفريم بعدي پيش بيني ميكند : Measurement Update با استفاده از مشاهدات انجام شده در :
فریم حاضر پيش بيني هاي انجام شده در فریم قبلی )برای فریم حاضر( را اصالح ميكند.
Kalman Filter
فيلتر كالمن كه بطور گسترده اي در كاربرد هاي ردگيري بكارميرود فرض ميكند كه سيستم مورد بر رسي يك سيستم خطي
است.
يعني :
- مشاهدات با استفاده از توابع خطي از شرايط مورد بر رسي الف بدست مي آيند.
- فرض نويز در سيستم و در اندازه گيري ، از نوع نويز گوسينب میشود.
1111
Kalman FilterKalman Filter
1212
Kalman Filter
WWkk ~ N (0, Q ~ N (0, Qkk) ) Process noise with 0 mean and Process noise with 0 mean and covariance covariance
of Qof Qkk, ,
VVkk ~ N (0, R ~ N (0, Rkk) ) Observation noise with 0 mean and Observation noise with 0 mean and covariance of Rcovariance of Rkk
Covariance of observation noise at frame k
1313
Kalman FilterKalman Filter
1414
Kalman FilterKalman Filter
1515
Kalman FilterKalman Filter
1616
Kalman FilterKalman Filter
1717
Kalman FilterKalman Filter
تقريب اوليه قبل از مشاهده
1818
Kalman FilterKalman Filter
zkكواريانس نويز در مشاهده Kalman gain at frame k
Kalman Filter, An exampleKalman Filter, An example
2020
Kalman Filter, An exampleKalman Filter, An example
2121
Kalman FilterKalman Filter
2222
Kalman FilterKalman Filter
2323
r : واريانس نويز اسكالرxثابت
Kalman FilterKalman Filter
2424
Kalman FilterKalman Filter
2525
Kalman FilterKalman Filter
2626
WWkk يك بردار نويز با ميانگين صفر و كواريانس يك بردار نويز با ميانگين صفر و كواريانسQQkk براي پيش بيني در فريم براي پيش بيني در فريم kk
VVkk يك بردار نويز با ميانگين صفر و كواريانس يك بردار نويز با ميانگين صفر و كواريانسRRkk گيري شدهگيري شده بر روي متغيير اندازهبر روي متغيير اندازه
kkدر فريم در فريم
QQkk : : ماتريس كوواريانس نويز اعمال شده بر پيش بيني ماتريس كوواريانس نويز اعمال شده بر پيش بينيXXkk
Kalman FilterKalman Filter
یاد آوری :روابط
2727
Kalman FilterKalman Filter
2828
Kalman FilterKalman Filter
یک مثال ساده از مدلی که در فضای دوبعدی حرکت میکند.
مرحله اول : تعريف سيستمتعريف بردار حالت
ف�رض کني�د می خ�واهيم ي�ک نقط�ه را ک�ه در فض�ای دوبع�دی ب�ا ب�ه را م�دل ک�نيم. ردگ�يری کن�د، می ح�رکت ث�ابت س�رعت ص�ورت ب�ردار وی�ژگی زي�ر تعري�ف می ک�نيم و مراح�ل زي�ر را
دنبال می کنيم:
y
x
y
x
Xمختصات شئی
مولفه های سرعت شئی در راستای
عمودی و افقی
مرحله اول : تعريف سيستم :تعريف ماتريس انتقال حالت فرض کنيم فاصله زمانی بین دو فریم متوالی مساوی باشد. آنگاه
ماتريس انتقال حالت سيستم بصورت ذيل در خواهد آمد:
است كه با ضرب شدن Translation يك ماتريس انتقال يا A توجه كنيد كه ماتريس ، تقريب بردار ويژگي )مدل( را در فريم بعدي kدر مقدار بردار ويژگي )مدل( در فريم
مکان شئی و X مفهوم زمان و بردار A بدست ميدهد. ماتریس k+1يعني فريم سرعت آنرا میدهد.
)زمان ضربدر سرعت میزان جابجائی را تعیین مینماید(.A X بنابراین حاصل ضرب
1000
0100
010
001
A
مرحله اول : تعريف سيستم
تعریف ماتریسH ارتباط مشاهده به مدل را نشان ، میدهد.
بردار ویژکی مشاهده ، در حقيقت از متغيرهای بدست آمده از اندازه گيری مکان هدف در فضای دوبعدی ،
در فريم های متوالی بدست می آيد.
y
xZ
0010
0001H
بصورت ذيل خواهد بود.Hبا اين تعريف ماتريس
مرحله اول : تعريف سيستم
با توجه به رابطه فوق ابعاد ماتریسH بصورت زیر تعیین شده است.
مرحله اول : تعريف سيستم
:با توجه به رابطه فوق پیش بینی مدل در فریم بعدی
مرحله دوم : مقداردهی اوليه
ماتریس حالت ، مقداردهی اوليهA ماتريس کواريانس خطای مقداردهی اوليه
Pkمشاهده
پیش کواريانس نويز فرايندمقداردهی ماتريس Qkبینی مدل
کواريانس نويز اندازه گيریمقداردهی ماتريس Rk)مشاهده(
: سوم predictionمرحله
در هر مرحله ازprediction طبق روابط زير ، حالت بعدی سيستم ، و مشاهده بعدی آن تخمين زده می شود.
تقريب كواريانس خطاي مشاهده در فريمkQQkk ماتريس كوواريانس نويز اعمال شده بر پيش بيني ماتريس كوواريانس نويز اعمال شده بر پيش بينيXXkk
kk
kT
kk
kk
XHZ
QAPAP
XAX
ˆˆ
ˆ
ˆ
1
مرحله سوم: تصحيح براساس مشاهده
با رويت مشاهده واقعی حالت تخمينی و عدم قطعيت آنبصورت زير تصحيح می شود:
Pk ( كواريانس خطای تقریب مدل Xk در فريم )k
kkk
kkkkk
Tk
Tkk
PHKIP
ZZKXX
RHPHHPK
ˆ)(
)ˆ(ˆ
)ˆ(ˆ 1
( متناوبا تا اتمام همه correct و predictو روند فوق ) مشاهدات تکرار می شود
Kalman Gain
Estimate ofError covarianceماتريس كو واريانس نويز بر روي مشاهده
مرحله سوم: تصحيح براساس مشاهده
kkk
kkkkk
Tk
Tkk
PHKIP
ZZKXX
RHPHHPK
ˆ)(
)ˆ(ˆ
)ˆ(ˆ 1
Kalman Gain
kk
kT
kk
kk
XHZ
QAPAP
XAX
ˆˆ
ˆ
ˆ
1
( متناوبا تا اتمام همه مشاهدات تکرار می شودcorrect و predictو روند فوق )
Feedback Iteration of Kalman Filter
Matrix A
Zi
Wk: noise of estimation is assumed to be zero.
Feedback Iteration of Kalman Filter
. . . .
Update estimate at frame i Estimate at frame i+1
Extended Kalman Filter
(EKF ) فیلتر کالمن توسعه یافته45
فیلتر کالمن توسعه یافته46
فیلتر کالمن توسعه یافته
]2[ – شمای کلی فیلتر کالمن توسعه یافته 3 شکل
47