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市場ポートフォリオと資本市場線 CAPM と証券市場線 CAPM による証券評価

ポートフォリオ理論入門３基礎ファイナンス

山嵜　輝

法政大学大学院経営学研究科

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内容

1 市場ポートフォリオと資本市場線

2 CAPMと証券市場線

3 CAPMによる証券評価

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市場ポートフォリオと資本市場線




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CAPMの仮定と投資行動

CAPMの仮定

CAPM（Capital Asset Pricing Model、資本資産価格モデル）の仮定は以下

1 市場には、1つの安全資産と複数のリスク資産、複数の投資家が存在する

2 すべての投資家は各証券のリターンとリスクに対して同じ予想を持つ

3 各投資家は異なる効用関数を持つが、すべての投資家はリスク回避的

4 各投資家は自己の期待効用を最大化するような投資行動をとる

投資家の合理的投資行動

各投資家は Tobinの分離定理にしたがって次の投資行動をとる

1. すべての投資家はリスク資産への投資として接点ポートフォリオを保有⇒投資家全員が同じ投資比率でリスク資産を保有

2. 各投資家は自己の効用関数に応じて接点ポートフォリオと安全資産の投資比率を決定

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市場ポートフォリオと資本市場線

市場ポートフォリオ

すべての投資家はリスク資産への投資として接点ポートフォリオを保有するので、投資家が保有する接点ポートフォリオの合計は市場に供給されたすべてのリスク資産の時価総額と等しくなる

すべてのリスク資産の時価総額のことを市場ポートフォリオ（Market Portfolio）といい、市場ポートフォリオの各リスク資産の時価総額比は接点ポートフォリオのそれに等しい⇒ TOPIXなどのインデックス運用の理論的根拠

資本市場線

安全利子率と接点ポートフォリオを結ぶ直線を資本市場線（Capital MarketLine、CML）という

合理的な投資家は自身の効用関数に応じて、資本市場線上のポートフォリオを選択する⇒リスク許容度の高い投資家ほど、資本市場線上の右上のポートフォリオを選択

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投資家の合理的投資行動

Figure:投資家の合理的投資行動

7.50%

9.50%

11.50%

13.50%

15.50%

0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% 25.00%

期待

収益

率（リターン）

標準偏差（リスク）

市場ポートフォリオ

安全資産

投資家１投資家２

投資家３資本市場線（CML）

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リスクの市場価格

リスクの市場価格

資本市場線の傾きをリスクの市場価格（Market Price of Risk）という

リスクの市場価格：E[RM ]− rf

σM

リスクの市場価格は、市場ポートフォリオの安全資産に対する超過リターンをそのリスクで割ったもの（リスク 1単位あたりの超過リターン）

資本市場線上の任意のポートフォリオＰに対して次式が成り立つ

E[RP ]− rfσP

=E[RM ]− rf

σM(1)

したがって、(1)式よりポートフォリオ Pのリターンは次式となる

E[RP ] = rf +σP

σM(E[RM ]− rf )

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リスクの市場価格の概念図

Figure:リスクの市場価格の概念図

期待

収益



市場ポートフォリオM

安全利子率 r_f

資本市場線（CML）

0

ポートフォリオP

σ_P σ_M

E[R_M]

E[R_P]

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例題

資本市場線上のポートフォリオ

市場ポートフォリオのリターン（期待収益率）が 8%、リスク（標準偏差）が10%、安全利子率が 5%のとき、次の問いに答えよ

1 市場ポートフォリオを 50%、安全資産を 50%組み入れたポートフォリオ Pのリターンとリスクを求めよ

2 ポートフォリオ Pに対して、リスクの市場価格 (1)式が成り立つことを示せ

（解答）

1

2

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CAPMと証券市場線




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CAPMによる個別証券のリターン

CAPM

市場の均衡状態において証券 Aのリターンは次式で与えられる

E[RA ] = rf +βA (E[RM ]− rf ) (2)

ただし、

βA :=σAM

σ2M

=Cov[RA ,RM ]

Var[RM ]

個別証券のリターン公式 (2)を CAPM（資本資産価格モデル、CapitalAsset Pricing Model）という

CAPMによると個別証券の超過リターン E[RA ]− rf は...

▶ 市場ポートフォリオの超過リターン E[RM ]− rf の βA 倍▶ リスクの市場価格 E[RM ]−rf

σMの σAM

σM倍

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証券の均衡リターン

Figure:個別証券の均衡リターン

期待

収益




安全利子率 r_f

資本市場線（CML）

0 σ_M

E[R_M]

証券A

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CAPMの導出

個別証券 A の均衡リターンが CAPM(2) 式で与えられることを示す

市場ポートフォリオ M と証券 A で構成されるポートフォリオ P を考える証券 Aの投資比率を w、市場ポートフォリオの投資比率を 1−w とすると、ポートフォリオ P のリターンとリスクは次式となる

E[RP ] = wE[RA ]+(1−w)E[RM ] （性質 6）

σ2P = w2σ2

A +(1−w)2σ2M +2w(1−w)σAM （性質 7’）

= (σ2A +σ2

M −2σAM)w2 +2(σAM −σ2M)w +σ2

M

このとき、ポートフォリオ P の接線の傾きは次式となる

dE[RP ]

dσP=

dE[RP ]dw

dσ2P

dw

×dσ2

PdσP

=E[RA ]−E[RM ]

2(σ2A +σ2

M −2σAM)w +2(σAM −σ2M)

×2σP (3)

w = 0 とすると、ポートフォリオ P は市場ポートフォリオ M に一致するので、(3) 式は

dE[RP ]

dσP=E[RA ]−E[RM ]

σAM −σ2M

×σM （σP = σM より） (4)

一方、w = 0のポートフォリオ P、すなわち市場ポートフォリオの傾きはリスクの市場価格

dE[RP ]

dσP=E[RM ]− rf

σM(5)

したがって、「(4) の右辺 = (5) の右辺」より、CAPM(2) 式を得る13 / 21


個別証券のリターンと証券市場線

証券市場線

CAPMによると市場の均衡状態での証券リターンは次式で与えられる（再掲）

E[R(·)] = rf +β(·)(E[RM ]− rf ) (6)

すべての証券の均衡リターンはベータ β(·) を与えれば決まる

(6)式は入力値を β(·)、出力値を E[R(·)]とした、傾き E[RM ]− rf、切片 rfの一次関数（直線の方程式）とみることができる

この直線を証券市場線（Security Market Line、SML）という

市場の均衡状態では、すべての証券のリターンは証券市場線上にある

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証券市場線

Figure:証券市場線

0 0.5 1 1.5

期待

収益


ベータ β


証券A

証券B

E[R_B]

β_Bβ_A

E[R_A]

E[R_M]

安全利子率 r_f

証券市場線（SML）

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例題

CAPMによる証券リターンの計算

市場ポートフォリオのリターン（期待収益率）が 8%、リスク（標準偏差）が10%、安全利子率が 5%のとき、次の問いに答えよ

1 証券 Aのリスクが 8%、市場ポートフォリオとの相関係数が 0.7のとき、証券 Aのベータを求めよ

2 市場の均衡状態での証券 Aのリターンを求めよ

（解答）

1

2

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CAPMによる証券評価




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証券の割高・割安

ジェンセンのアルファと証券の割高・割安

もし証券のリターンが証券市場線上にない場合には、その証券は均衡価格に比べて過大評価もしくは過小評価されている

過小 or過大に評価された期待収益率と均衡リターンの差をジェンセンのアルファといい、証券 Aのジェンセンのアルファを αJ

A で表す

αJA =証券 Aの期待収益率−証券 Aの均衡リターン

市場が効率的であれば、過大 or過小評価されていた証券は時間経過とともに均衡リターンに収斂していく（αJ

A → 0）と考えられる

αJA > 0：証券 Aは過小評価（割安）⇒　「買い」の対象

αJA < 0：証券 Aは過大評価（割高）⇒　「売り」の対象

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個別証券の評価

Figure:証券市場線と個別証券の評価

0 0.5 1 1.5

期待

収益


ベータ β

証券A

証券B

安全利子率 r_f

証券市場線（SML）

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マーケット・モデルとCAPM

マーケット・モデルは次の回帰直線の方程式で与えられた

RA = βA RM +αA +eA (7)

ただし、αA、βA は回帰係数、eA は誤差

マーケット・モデル (7)式を

RA − rf = βA (RM − rf )+ α̂A +eA

と式変形して、上式の両辺に期待値をとると次式を得る

E[RA ]− rf = βA (E[RM ]− rf )+ α̂A （性質 1と誤差の定義） (8)

(8)式の赤字部分は CAPM1 なので、α̂A はジェンセンのアルファに等しい

マーケット・モデルとジェンセンのアルファの関係

αJA = α̂A := αA +βA rf − rf

1マーケット・モデルも CAPM もベータはともに βA = σAM/σ2M であることに気付け

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マーケット・モデルとジェンセンのアルファ

Figure:マーケット・モデルとジェンセンのアルファ

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

-20% -10% 0% 10% 20%

個別

証券

の超過

リターン

E[R_

A] -

r_f

市場ポートフォリオの超過リターン E[R_M] - r_f

CAPM

ジェンセンのαが正

ジェンセンのαが負

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