1

2-1 質因數分解 A 版本

2-2 最大公因數最小公倍數

天才小語:

1.餘數等於 0(整除)的情況下才有因倍數喔!

2.

○1 1個數字找因數和倍數，也可以質因數分解。

(任何不為 0的整數中，1為最小的正因數；

自己是自己最大的因數也是最小的倍數。)

○2 2個數字以上找最大公因數(小括號表示)或最小公倍數(中括號表示)，

最大公因數找出來其他公因數可以從最大公因數找。

○3

法一:

質因數分解後的數字

找最大公因數→找次方小的(全部都有的)

找最小公倍數→找次方大的

法二:

乘開用短除法慢慢算

3.最小公倍數(使用短除法要算到全部都互質才能停)

4.質數的因數只有 1和自己、

質因數有兩個身份：既是某數的因數也是質數

倍數的判別法：

法一:直接除

法二:數字大不好算用判別法最快

○1 2 的倍數:個位數為 0、2、4、6、8

4 的倍數:末 2 位

8 的倍數:末 3 位

○2 5 的倍數: 個位數為 0、5

2

○3 3、9 的倍數:數字和(是 9 的倍數必為 3 的倍數，反之不成立)

說明:

設三位數為 abc

abc=a×100+b×10+c=a(99+1)+b(9+1)+c

=99a+a+9b+b+c=99a+9b+a+b+c

其中 99a+9b 必為 9 的倍數所以只要檢查 a+b+c(數字和)

○4 11 的倍數:奇數位和偶數位和的差 (由個位數算起第一位)

○5 7、13 的倍數:奇數區間和和偶數區間和的差(三個數是一個區間)

標準分解式:

如果 a 是 b 的因數，且 a 是質數，就稱 a 為 b 的質因數。例如：

15＝1 × 15＝3 × 5，15 的因數有 1、3、5、15，其中 3、5 是質數，所以 3、5

為 15 的質因數。質因數由小排到大

一．選擇題

（ A ）1. 若 x＝35×36×37×38×……×45，則下列哪個不是 x 的質因數？

(A) 17 (B) 19 (C) 37 (D) 41

（ C ）2. 下列何者全部都是質數？

(A) 1、29、37 (B) 23、47、91

(C) 37、59、97 (D) 67、73、87

（ D ）3. 小聰：「兩個整數 a和 b中，若有一個是質數，則 a和 b必互質。」

小明：「兩相異奇數必互質，兩相異偶數必不互質。」

則哪一個人的說法是正確的？

(A) 小聰對、小明錯 (B) 小聰錯、小明對

(C) 兩人都對 (D) 兩人都錯

（ A ）4. 已知 26 □ 732 是一個六位數，且 26 □ 732 的標準分解式為

22×3×……，則□可能是哪些數？

(A) 1、4、7 (B) 1、4 (C) 1、7 (D) 4、7

（ A ）5. 下列哪一個數同時是 5 的倍數也是 9 的倍數？

(A) 333360 (B) 396275 (C) 8890 (D)

111065

3

（ D ）6. 若 a＝8.19×106，則 a 為下列哪一個數的倍數？

(A) 49 (B) 32 (C) 54 (D) 65

二．填充題

1. 如果六位數 394□56 是 7 的倍數，則□＝ 8 。

2. 如果四位數 4□7□是 9 的倍數，□代表相同的數，則□＝ 8 。

3. 若 a 為質數，則 a 有 1 個質因數。

4. 設 a＝15×16×17×18×19×20，則 a 所有相異質因數的和為 46 。

5. 將 1260 作質因數分解，可得標準分解式為 22×3

2×5×7 。

6. 231192 的標準分解式為 2a×3

2×b2×19，則 a＋b＝ 16 。

7. 介於 60〜110 的質數中，最大者為 a，最小者為 b，則 a－b＝ 48 。

8. 介於 20〜140 間的整數中，6 的倍數有 a 個，9 的倍數有 b 個，11 的倍數有 c

個，

則 a＋b＋c＝ 44 。

三．計算題

1. 若 a＝12×36×625，求：

(1) a 的標準分解式。

(2) a 的所有相異質因數和。

(

2. 已知 6795□為一個五位數，回答下列問題：

(1) 此數是 2 和 3 的倍數，則□＝？

(2) 此數是 11 的倍數，則□＝？

(1) 0 或 6

(2) 8

4

3. 小威、小敏、小金三人相約星期日早上 10 時練習游泳，小威每游 3 分鐘，休

息 1 分鐘；小敏每游 4 分鐘，休息 2 分鐘；小金每游 7 分鐘，休息 3 分鐘。

則當天早上 11 時 36 分，三人各是在游泳或是休息？

小威休息，小敏休息、小金游泳

一．選擇題

（ D ）1. 下列敘述何者正確？

(A) 若（a , b）＝1，則 a 與 b 均為質數

(B) 若（a , b）＝1，（c , d）＝1，則（a , c）＝1

(C) 若 6 與 a 的最大公因數為 2，則 a 可能為 18

(D) 若 a、b 為相異兩質數，則（a , b）＝1

（ A ）2. 下列各選項中的兩個數，何者「互質」？

(A) 22×3

3×7、52×11×13

(B) 3×11

2×13、5×7×132

(C) 5×72×11、5

2×7×11 (D)22×3×7

2、22×3×7

2

（ C ）3. 若 25×3

2×11 和某數的最大公因數是 44，則某數可能為何？

(A) 66 (B) 132 (C) 220 (D) 242

（ D ）4. 若 A＝210、B＝5

10，則〔A , B〕＝？

(A) 1 (B) 5 (C) 10 (D) 1010

（ D ）5. 若 A＝22×3

a×5b×7

3×112，B＝2

3×33×c

2×11d×13，且（A , B）＝

22×3

2×5×11，則 a＋b＋c＋d＝？

(A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9

（ B ）6. 小辰將兩條長度為 150 公分和 105 公分的繩子，剪成等長的線段，

且每一線段長均為整數。則最少可以剪成多少段？

(A) 15 段 (B) 17 段 (C) 51 段 (D) 70 段

5

二．填充題

1. 求下列各組數的最大公因數：

(1)（625 , 125）＝ 25 。

(2)（140 , 154 , 168）＝ 14 。

(3)（24×3

5×55×7

2 , 2

2×37×5

3×112 , 3

2×57×7

3×11）＝ 32×5

3 。

（以標準分解式表示）

2. 求下列各組數的最小公倍數：（以標準分解式表示）

(1)〔156 , 260〕＝ 22×3×5×13 。

(2)〔23×3

3×5×7×13 , 11×18×21×30〕＝ 23×3

4×5×7×11×13 。

(3)〔2×32×5 , 2

2×33 , 3

5×72×13〕＝ 2

2×35×5×7

2×13 。

3. 已知 a＝23×3

3×72，b＝2

2×3×75，若 ,

,

a b

a b

〔 〕

（ ）＝2

x×3y×7

z，則 x＋y＋z＝

6 。

4. 已知公車發車的時間間隔皆相同，且在上午 8：20、10：00 與 12：00 時皆會

有一班公車出發，則公車發車的時間間隔最久是 20 分鐘。

三．計算題

1. 求〔（36 , 48）, 96 , 72〕的值。

2. 右圖為一個半圓形公園，小文騎自行車沿自行車專用道

往返 A、B 兩地，且每 16 分鐘可往返一次；大茂沿步

行專用道往返 A、B 兩地，且每 20 分鐘可往返一次。

若兩人同時從 A 地出發，再次於 A 地相遇是幾分鐘之

後？

80 分鐘

6

3. 有一張長方形色紙，長為 90 公分，寬為 36 公分：

(1) 若將此長方形色紙全部剪成大小相同的正方形色紙，則此正方形色紙面積

最大為多少平方公分？

(2) 若將此長方形色紙全部剪成大小不一定相同的正方形色紙，則最少可以剪

成多少張？

(1) 16 平方公分

(2) 8 張

7

資優試題

1. 設 N= 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 42 41 ，若 a 為大於 10 的質數且 a 可

整除 N，則 a =___________。.(Ans:47 )

2. 在 1,2,3,…200 中與 12 不互質的數的總和是 _________。

(Ans：13367 或 13368)

參考解：A2=2(1+2+…+100)=10100

A3=3(1+2+…+66)=6633

A6=6(1+2+…+33)=3366

在 1,2,3,…200 中與 12 不互質的數的總和是 A2+A3-A6=13367

3.已知 , ,a b c為 0,1,2,3,…,9 中的數字，使得七位數13 45ab c為 792 的倍數，試求滿

足這樣條件的所有 , ,a b c之值。

【參考解答】

7 9 2 8 9 1 1 , 1 3 4 5a b c 必能被8,9,及11整除。

因為13 45ab c被8整除， 8 必整除45 450 448 ( 2)c c c

2c 為8的倍數， 6.c 又13 456ab 為9的倍數，

1 3 4 5 6 19 ( 1) 18a b a b a b 為9的倍數， 8a b 或17.

又13 456ab 為11的倍數， 6 5 4 3 1 3b a a b 為11的倍數，

3a b 或8 ,

因此由上述知，故 8, 0.a b

8

基測試題

1. ( )某生將一正整數 a 分解成質因數相乘，計算過程如圖。則下列哪一個選

項是正確的？〔90.基測Ⅱ〕

(Ａ) b＝22×32×52×7 (Ｂ) c＝32×52×7 (Ｃ) e＝32×52×7 (Ｄ) f＝5×

7。

2. ( )若 45 可分解為 a×b，其中 a、b 均為正整數，則下列哪一個不可能是 a＋

b 的值？〔92.基測Ⅱ〕

(Ａ) 46 (Ｂ) 42 (Ｃ) 18 (Ｄ) 14。

3. ( )設「a ○－ b」代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數。例如：大於 10 且小於

15 的質數有 11、13 兩個質數，所以 10 ○－ 15＝2。若 30 ○－ c＝2，則 c 可

能為下列哪一個數？〔94.基測Ⅰ〕

(Ａ) 38 (Ｂ) 42 (Ｃ) 46 (Ｄ) 50。

4. ( )有 30 張分別標示 1～30 號的紙牌。先將號碼數為 3 的倍數的紙牌拿

掉，然後從剩下的紙牌中，拿掉號碼數為 2 的倍數的紙牌。若將最後剩

下的紙牌，依號碼數由小到大排列，則第 5 張紙牌的號碼為何？〔96.基

測Ⅰ〕

(Ａ) 7 (Ｂ) 11 (Ｃ) 13 (Ｄ) 17。

5. ( )下列四個數，哪一個不是質數？〔96.基測Ⅰ〕

(Ａ) 41 (Ｂ) 61 (Ｃ) 71 (Ｄ) 91。

6. ( )妙妙買進了 126 個茶杯，平均分裝於若干個盒子內。若每個盒子內的茶

杯數均為 x，則 x 不可能為下列哪一數？〔96.基測Ⅱ〕

(Ａ) 3 (Ｂ) 7 (Ｃ) 9 (Ｄ) 11。

7. ( )小王有一包糖果，若平均分成 21 堆，剩 17 顆；若平均分成 7 堆，則剩

幾顆？〔97.基測Ⅱ〕

(Ａ) 0 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 6。

8. ( )若 a＝1.071×106，則 a 是下列哪一數的倍數？〔98.基測Ⅰ〕

(Ａ) 48 (Ｂ) 64 (Ｃ) 72 (Ｄ) 81。

9. ( )下列選項中表示的數，哪一個是質數？〔99.基測Ⅱ〕

(Ａ) 2×13 (Ｂ) 1×12 (Ｃ) 1×79 (Ｄ) 7×13。

10. ( )如圖，在某條公路上，從里程數 8 公尺開始到 4000 公尺為止，每隔 8

9

公尺將樹與燈按圖中所示之規則設立：在里程數 8 公尺處種一棵樹，在

16 公尺處立一盞燈，在 24 公尺處種一棵樹…，且每兩盞燈之間的距離

均相等。依此規則，下列哪一個選項是里程數 800 公尺～824 公尺之

間，樹與燈的正確排列順序？〔90.基測Ⅱ〕

(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)

11. ( )欲將 n 個邊長為 1 的小正方形，拼成一個長、寬皆大於 1 的矩形，且不

會剩下任何小正方形，則 n 不可能為下列哪一個數？〔90.基測Ⅰ〕

(Ａ) 81 (Ｂ) 85 (Ｃ) 87 (Ｄ) 89。

12. ( )大小相同的正方形紙牌若干張，可以緊密地排出不同形狀的長方形。若

拿 6 張，可排出兩種形狀，如圖(一)所示；若拿 12 張，可排出三種形

狀，如圖(二)。如果拿 36 張紙牌，最多可以排出幾種不同形狀的長方

形？〔91.基測Ⅰ〕

圖(一)

圖(二)

(Ａ) 4 (Ｂ) 5 (Ｃ) 6 (Ｄ) 9。

10

13. ( )某公司每天晚上必須派保全人員留守，如表是甲、乙、丙、丁、戊五位

保全人員的留守值班表。該公司排班的規則如下：

星期

週次 一 二 三 四 五 六 日

第 1 週 甲 乙 丙 丁 戊 甲 乙

第 2 週 丙 丁 戊 甲 乙 丙 丁

… … … … … … … …

(１)按甲、乙、丙、丁、戊的順序，各排一天班。

(２)五人排完之後再以原順序排班。

請問「丙」先生在下列週次中的哪一週必須留守兩次？〔91.基測Ⅰ〕

(Ａ)第 38 週 (Ｂ)第 39 週 (Ｃ)第 40 週 (Ｄ)第 41 週。

14. ( )小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼，方法是：分別將月份與日

期寫成兩個質數的和，再將此四個質數相乘，所得數字即為密碼（例

如，生日若為 8 月 24 日，將 8 寫成 3 與 5 的和，24 寫成 11 與 13 的

和，再將 3、5、11、13 相乘得密碼為 2145）。已知小華的密碼為

2030，求小華出生在幾月份？〔94.基測Ⅱ〕

(Ａ) 5 (Ｂ) 7 (Ｃ) 9 (Ｄ) 12。

15. ( )小娟想用 60 塊邊長為 1 的正方形紙板，緊密地拼成面積為 60 的長方

形，則此長方形的周長最小可為多少？〔95.基測Ⅱ〕

(Ａ) 30 (Ｂ) 32 (Ｃ) 45 (Ｄ) 60。

16. ( )將正整數 N 的所有正因數由小至大排列如下：1，a，3，b，c，d，e，

f，g，42，h，N，判斷下列敘述何者正確？〔96.基測Ⅱ〕

(Ａ) d 是 a 的 3 倍 (Ｂ) e 是 3 的 3 倍 (Ｃ) f 是 b 的 3 倍 (Ｄ) 42

是 d 的 3 倍。

17. ( )已知 456456＝23×a×7×11×13×b，其中 a、b 均為質數。若 b＞a，則 b－a

之值為何？〔99.基測Ⅰ〕

(Ａ) 12 (Ｂ) 14 (Ｃ) 16 (Ｄ) 18。

18. ( )如圖，一正方形木板上剛好可畫分成 36 個邊長均為 2 公分的正方形。

若重新將此木板畫分成數個大小相同的長方形，則此長方形的長與寬不

可能為下列哪一組？〔99.基測Ⅱ〕

(Ａ)長為 3 公分，寬為 2 公分 (Ｂ)長為 6 公分，寬為 4 公分 (Ｃ)

長為 9 公分，寬為 6 公分 (Ｄ)長為 12 公分，寬為 4 公分。

19. ( )在 1～45 的 45 個正整數中，先將 45 的因數全部刪除，再將剩下的整數

由小到大排列，求第 10 個數為何？〔100.聯測〕

(Ａ) 13 (Ｂ) 14 (Ｃ) 16 (Ｄ) 17。

11

20. ( )已知世運會、亞運會、奧運會分別於西元 2009 年、2010 年、2012 年舉

辦。若這三項運動會均每四年舉辦一次，則這三項運動會均不在下列哪

一年舉辦？〔100.聯測〕

(Ａ)西元 2070 年 (Ｂ)西元 2071 年 (Ｃ)西元 2072 年 (Ｄ)西元

2073 年。

21. ( )a 是一個正整數，其所有正因數有：1、2、4、7、14、28。則 a 與 210

的最大公因數為何？〔90.基測Ⅰ〕

(Ａ) 4 (Ｂ) 7 (Ｃ) 14 (Ｄ) 28。

22. ( )下列四個數中，哪一個與 55 互質？〔93.基測Ⅰ〕

(Ａ) 21 (Ｂ) 30 (Ｃ) 35 (Ｄ) 77。

23. ( )請閱讀下列的敘述後，回答下列問題：〔94.基測Ⅱ〕

甲、乙、丙三家新聞臺每天中午 12：00 同時開始播報新聞，其中：

甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘，

乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘；

丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。

在 12：47 時，三家新聞臺進行的內容為何？

(Ａ)甲：廣告；乙：新聞；丙：新聞 (Ｂ)甲：新聞；乙：廣告；丙：

新聞 (Ｃ)甲：新聞；乙：新聞；丙：廣告 (Ｄ)三家新聞臺皆正在播

報新聞。

24. ( )附圖是利用短除法求出三數 8、12、18 的最大公因數的過程。利用短除

法，求出這三數的最小公倍數為何？〔101.基測〕

(Ａ) 12 (Ｂ) 72 (Ｃ) 216 (Ｄ) 432。

25. ( )下列哪一選項中的兩數互質？〔95.基測Ⅱ〕

(Ａ) 14、35 (Ｂ) 20、21 (Ｃ) 22、33 (Ｄ) 42、51。

26. ( )小琪將 a、b 兩個正整數作質因數分解，完整的作法如圖。已知 a＞b，e

是質數，且 a、b 的最大公因數是 14，最小公倍數是 98，則下列哪一個

關係是正確的？〔91.基測Ⅱ〕

(Ａ) d＞e (Ｂ) e＞f (Ｃ) e＞g (Ｄ) f＞d。

27. ( )某客運公司每天早上 5：30 發第一班車，已知早上 7：00～9：00 時段

每 5 分鐘發一班車，其他時段每 15 分鐘發一班車。請問早上 7：34～

9：34 該公司共發了幾班車？〔94.基測Ⅰ〕

(Ａ) 16 (Ｂ) 18 (Ｃ) 20 (Ｄ) 24。

28. ( )將 182 個面積為 1 的正方形，分別緊密地拼成面積為 84 與 98 的兩長方

形 ABCD 與 EFGH。若AB＝EF且EF＞10，則AB＝？〔94.基測Ⅰ〕

(Ａ) 12 (Ｂ) 14 (Ｃ) 17 (Ｄ) 21。

12

29. ( )請閱讀下列的敘述後，回答下列問題：〔94.基測Ⅱ〕

甲、乙、丙三家新聞臺每天中午 12：00 同時開始播報新聞，其中：

甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘，

乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘；

丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘。

三家新聞臺在下列哪一個時間廣告同時結束？

(Ａ) 12：33 (Ｂ) 12：39 (Ｃ) 13：12 (Ｄ) 14：00。

30. ( )已知有一個正整數介於 210 和 240 之間，若此正整數為 2、3 的公倍

數，且除以 5 的餘數為 3，則此正整數除以 7 的餘數為何？〔100.基測

Ⅱ〕

(Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。

31. ( )若有一正整數 N 為 65、104、260 三個數的公倍數，則 N 可能為下列何

者？〔102.基測〕

(Ａ) 1300 (Ｂ) 1560 (Ｃ) 1690 (Ｄ) 1800。

32. ( )有一個三位數，其百位、十位、個位數字分別為 1、a、b。若此數與 72

的最大公因數為 12，則 a＋b 可能為下列哪一數？〔97.基測Ⅱ〕

(Ａ) 2 (Ｂ) 5 (Ｃ) 8 (Ｄ) 14。

答案:

1.(Ａ) 2.(Ｂ) 3.(Ａ) 4.(Ｃ) 5.(Ｄ)

6.(Ｄ) 7.(Ｂ) 8.(Ｃ) 9.(Ｃ) 10.(Ｄ)

11.(Ｄ) 12.(Ｂ) 13.(Ｂ) 14.(Ｄ) 15.(Ｂ)

16.(Ｃ) 17.(Ｃ) 18.(Ｃ) 19.(Ｂ) 20.(Ｂ)

21.(Ｃ) 22.(Ａ) 23.(Ａ) 24.(Ｂ) 25.(Ｂ)

26.(Ｃ) 27.(Ｃ) 28.(Ｂ) 29.(Ｃ) 30.(Ｄ)

31.(Ｂ) 32.(Ｂ)