59744641 a course in differential geometry thierry aubin

7/25/2019 59744641 a Course in Differential Geometry Thierry Aubin

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A C o u r s e i n

D i f f e r e n t i a l

G e o m e t r y

T h i e r r y A u b i n

G r a d u a t e S t u d i e s

i n M a t h e m a t i c s

V o l u m e 2 7

A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y


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S e l e c t e d T i t l e s i n T h i s S e r i e s

2 7 T h i e r r y A u b i n , A c o u r s e i n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , 2 0 0 1

2 6 R o l f B e r n d t , A n i n t r o d u c t i o n t o s y m p l e c t i e g e o m e t r y , 2 0 0 1

2 5 T h o m a s } i e d r i c h , D i r a c o p e r a t o r s i n R i e m a n n i a n g e o m e t r y , 2 0 0 0

2 4 H e l m u t K o c h , N u m b e r t h e o r y : A l g e b r a i c n u m b e r s a n d f u n c t i o n s , 2 0 0 0

2 3 A l b e r t a C a n d e l a n d L a w r e n c e C o n l o n , F o l i a t i o n I . 2 0 0 0

2 2 G f i n t e r R . K r o u s e a n d T h o m a s H . L e n a g a n , G r o w t h o f a l g e b r a s a n d G e l f a n d - K l r i l l o v

d i m e n s i o n , 2 0 0 0

2 1 J o h n B . C o n w a y , A c o u r s e I n o p e r a t o r t h e o r y , 2 0 0 0

2 0 R o b e r t E . G o m p f a n d A n d r d a I . S t l p s i c s , 4 - m a n i f o l d s a n d K i r b y c a l c u l u s , 1 9 9 9

1 9 L a w r e n c e C . E v a n s , P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s , 1 9 9 8

1 8 W i n f r i e d J u s t a n d M a r t i n W e e s e , D i s c o v e r i n g m o d e r n s e t t h e o r y . I T : S e t - t h e o r e t i c

t o o l s f o r e v e r y m a t h e m a t i c i a n , 1 9 9 7

1 7 H e n r y k I w a n l e c , T b p i e s i n c l a s s i c a l a u t o m o r p h i c f o r m s , 1 9 9 7

1 6 R i c h a r d V . K a d i s o n a n d J o h n R . R i n g r o s e , F u n d a m e n t a l s o f t h e t h e o r y o f o p e r a t o r

a l g e b r a s . V o l u m e 1 1 : A d v a n c e d t h e o r y , 1 9 9 7

1 5 R i c h a r d V . K a d i s o n a n d J o h n R . R i n g r o s e , F u n d a m e n t a l s o f t h e t h e o r y o f o p e r a t o r

a l g e b r a s . V o l u m e I : I o e n t a r y t h e o r y , 1 9 9 7

1 4 E l l i o t t H . L i e b a n d M i c h a e l L o s s , A n a l y s i s , 1 9 9 7

1 3 P a u l C . S h i e l d s , T h e e r g o d i c t h e o r y o f d i s c r e t e s a m p l e p a t h s , 1 9 9 6

1 2 N . V . K r y l o v , L e c t u r e s o n e l l i p t i c a n d p a r a b o l i c e q u a t i o n s i n H o l d e r s p a c e s , 1 9 9 6

1 1 J a c q u e s D h u n i e r , E n v e l o p i n g a l g e b r a s , 1 9 9 6 P r i n t i n g

1 0 B a r r y S i m o n , R e p r e s e n t a t i o n s o f f i n i t e a n d c o m p a c t g r o u p s , 1 9 9 6

9 D i n o L o r e n a l n i , A n i n v i t a t i o n t o a r i t h m e t i c g e o m e t r y , 1 9 9 6

8 W i n l i r i e d J u s t a n d M a r t i n W e e s e , D i s c o v e r i n g m o d e r n s e t t h e o r y . 1 : T h e b a s i c s , 1 9 9 6

7 G e r a l d J . J a n u s z , A l g e b r a i c n u m b e r f i e l d s , s e c o n d e d i t i o n , 1 9 9 6

6 J e n s C a r s t e n J a n t z e n , L e c t u r e s o n q u a n t u m g r o u p s , 1 9 9 6

5 R i d e M i r a n d a , A l g e b r a i c c a r v e s a n d R l e r n a n n s u r f a c e s , 1 9 9 5

4 R u s s e l l A . G o r d o n , T h e I n t e g r a l s o f L e b e s g u e , D e n j o y , P e r r o n , a n d H e n s t o c k , 1 9 9 4

3 W I l l i a m W . A d a m s a n d P h i l i p p e L o u s t a u n a u , A n i n t r o d u c t i o n t o G r d b n e r b a s e s ,

1 9 9 4

2 J a c k G r a v e r , B r i g i t t e S e r v a t i u s , a n d H e r m a n S e r v a t i u s , C o m b i n a t o r i a l r i g i d i t y ,

1 9 9 3

1 E t h a n A k i n , T h e g e n e r a l t o p o l o g y o f d y n a m i c a l s y s t e m s , 1 9 9 3


3/198


4/198

A C o u r s e i n

D i f f e r e n t i a l

G e o m e t r y

T h i e r r y A u b i n

G r a d u a t e S t u d i e s

i n M a t h e m a t i c s

V o l u m e 2 7


5/198

E d i t o r i a l B o a r d

J a m e s H u m p h r e y s ( C h a i r )

D a v i d S a i t m a n

D a v i d S a t t i n g e r

R o n a l d S t e r n

2 0 0 0 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a m f i i c a t i o n . P r i m a r y 5 3 B 0 5 , 5 3 C 0 5 , 5 3 C 2 2 , 5 3 C 4 0 , 5 8 A 1 7 ,

5 8 0 . 0 5 , 5 8 C 2 5 , 5 8 C 3 5 , 5 8 3 0 5 .

A s s m c - r . T h i s b o o k p r o v i d e s a n i n t r o d u c t i o n t o d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , w i t h p r i n i c p a l e m p h a s i s

o n R i e m a n n i a n g e o m e t r y .

I t c o v e r s t h e e s s e n t i a l s , c o n c l u d i n g w i t h a c h a p t e r o n t h e Y a m a h a

p r o b l e m , w h i c h s h o w s w h a t r e s e a r c h i n t h e S a i d l o o k s l i k e . I t i s a t e x t b o o k , a t a l e v e l w h i c h i s

a c c e s s i b l e t o g r a d u a t e s t u d e n t s . I t s a i m i s t o f a c i l i t a t e t h e s t u d y a n d t h e t e a c h i n g o f d i f f e r e n t i a l

g e o m e t r y . I t i s t e a c h a b l e o n a c h a p t e r - b y - c h a p t e r b a s i s . M a r y p r o b l e m s a n d a n u m b e r o f s o l u t i o n s

a r e i n c l u d e d ; m o s t o f t h e m e x t e n d t h e c o u r s e i t s e l f , w h i c h i s c o n f i n e d t o t h e m a i n t o p i c s , s u c h

a s : d i f f e r e n t i a l m a n i f o l d s , s u b m a n i f o l d s , d i f f e r e n t i a l m a p p i n g s , t a n g e n t v e c t o r s , d i f f e r e n t i a l f o r m s ,

o r i e n t a t i o n , m a n i f o l d s w i t h b o u n d a r y , L i e d e r i v a t i v e , i n t e g r a t i o n o f p - d i r e c t i o n f i e l d , c o n n e c t i o n ,

t o r s i o n , c u r v a t u r e , g e o d e s i c s , c o v a r i a n t d e r i v a t i v e , R i e m a n n i a n m a n i f o l d s , e x p o n e n t i a l m a p p i n g ,

a n d s p e c t r u m .

L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g - I n - P u b l i c a t i o n D a t a

A u b i n , T h i e r r y .

A c o u r s e i n d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y / T h i e r r y A u b i n .

p . c m . - ( G r a d u a t e s t u d i e s i n m a t h e m a t i c s , I S S N 1 0 6 5 - 7 3 3 9 ; v . 2 7 )

I n c l u d e s b i b l i o g r a p h i c a l r e f e r e n c e s a n d i n d e x .

I S B N 0 - 8 2 1 8 - 2 7 0 9 - X ( a l k . p a p e r )

1 . G e o m e t r y , D i f f e r e n t i a l I . r e t i e .

I I . S e r i e s .

Q A 6 4 1 . A 7 9 5 2 0 0 0

5 1 6 . 3 ' 6 - - d c 2 1

0 0 . 0 6 8 2 7 5

C o p y i n g a n d r e p r i n t i n g .

I n d i v i d u a l r e a d e r s o f t h i s p u b l i c a t i o n , a n d n o n p r o f i t l i b r a r i e s

a c t l a g f o r t h e m , a r e p e r m i t t e d t o m a k e f a i r u s e o f t h e m a t e r i a l , s u c h a s t o c o p y a c h a p t e r f o r u s e

i n t e a c h i n g o r r e s e a r c h . P e r m i s s i o n i s g r a n t e d t o q u o t e b r i e f p a s s a g e s f r o m t h i s p u b l i c a t i o n i n

r e v i e w s , p r o v i d e d t h e c u s t o m a r y a c k n o w l e d g m e n t o f t h e s o u r c e i s g i v e n .

R e p u b l i c a t i o n , s y s t e m a t i c c o p y i n g , o r m u l t i p l e r e p r o d u c t i o n o f a n y m a t e r i a l i n t h i s p u b l i c a t i o n

i s p e r m i t t e d o n l y u n d e r l i c e n s e f r o m t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y .

R e q u e s t s f o r s u c h

p e r m i s s i o n s h o u l d b e a d d r e s s e d t o t h e A s s i s t a n t t o t h e P u b l i s h e r , A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ,

P . O . B o x 6 2 4 8 , P r o v i d e n c e , R h o d e I s l a n d 0 2 9 1 0 . 6 2 4 8 . R e q u e s t s c a n a l s o b e m a d e b y e - m a i l t o

r e p r i n t - p o r s i s s i o n S a a s . o r g .

2 0 0 1 b y t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y . A U r i g h t s r e s e r v e d .

T h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y r e t a i n s a l l r i g h t s

e x c e p t t h o s e g r a n t e d t o t h e U n i t e d S t a t e s G o v e r n m e n t .

P r i n t e d i n t h e U n i t e d S t a t e s o f A m e r i c a .

T h e p a p e r u s e d i n t h i s b o o k i s a d d - f r e e a n d f a l l s w i t h i n t h e g u i d e l i n e s

e s t a b l i s h e d t o e n s u r e p e r m a n e n c e a n d d u r a b i l i t y .

V i s i t t h e A M S h o m e p a g e a t U R L : h t t p ; / / v s v . a r a . o r g /

1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1


6/198

A m o n P r o f e s s e u r

A n d r e ' L i c h n e r o w i c z

( i n m e m o r i a m )


7/198


8/198

C o n t e n t s

P r e f a c e

i x

C h a p t e r 0 . B a c k g r o u n d M a t e r i a l

1

' I b p o l o g y

1

T e n s o r s

3

D i f f e r e n t i a l C a l c u l u s

E x e r c i s e s a n d P r o b l e m s

C h a p t e r 1 .

D i f f e r e n t i a b l e M a n i f o l d s

1 9

B a s i c D e f i n i t i o n s

1 9

P a r t i t i o n o f U n i t y

2 5

D i f f e r e n t i a b l e M a p p i n g s

2 7

S u b m a n i f n l d s

2 9

T h e W h i t n e y T h e o r e m

3 0

T h e S a r d T h e o r e m

- 3 4


a s

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s

4 0

C h a p t e r 2 . T a n g e n t S p a c e

4 3

T a n g e n t V e c t o r 4 4

L i n e a r T a g e n t M a p p i n g 4 6

V e c t o r B u n d l e s

4 8

T h e B r a c k e t [ X , Y ]

4 9

E x t e r i o r D i f f e r e n t i a l

5 2

O r i e n t a b l e M a n i f o l d s

5 5

M a n i f o l d s w i t h B o u n d a r y 5 8


f i 4

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e a n d P r o b l e m s

f i b

C h a p t e r 3 .

I n t e g r a t i o n o f V e c t o r F i e l d s a n d D i f f e r e n t i a l F o r m s 7 7

v i i


9/198

v i i i

- 1 . C o n t e n t s

I n t e g r a t i o n o f V e c t o r F i e l d s

7 7

L i e D e r i v a t i v e

7 9

T h e F r o b e n i u s T h e o r e m

8 1

I n t e g r a b i l i t y C r i t e r i a .

8 5


8 7

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s a n d P r o b l e m s

9 3

C h a p t e r 4 .

L i n e a r C o n n e c t i o n s

9 9

F i r s t D e f i n i t i o n s

9 9

C h r i s t o f f e l S y m b o l s

1 0 0

T o r s i o n a n d C u r v a t u r e 1 0 1

P a r a l l e l T r a n s p o r t . G e c x l e s i c s

1 0 3

C o v a r i a n t D e r i v a t i v e 1 0 5


1 0 7

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s

1 0 8

C h a p t e r 5 .

R i e m a n n i a n M a n i f o l d s

1 1 1

S o m e D e f i n i t i o n s

1 1 . 1

R i e m a n m i a n C o n n e c t i o n

1 1 4

E x p o n e n t i a l M a p p i n g

1 1 7

S o m e O p e r a t o r s o n D i f f e r e n t i a l F b r m s

1 2 1

S p e c t r u m o f a M a n i f o l d

1 2 5

F x e r e i s p - q a n d P r o b l e m s 1 2 9

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s a n d P r o b l e m s

1 4 5

C h a p t e r 6 .

T h e Y a m a b e P r o b l e m : A n I n t r o d u c t i o n t o R e s e a r c h 1 6 9

B i b l i o g r a p h y

1 7 7

S u b j e c t I n d e x

1 7 9

N o t a t i o n

1 8 3


10/198

P r e f a c e

T h i s b o o k p r o v i d e s a n i n t r o d u c t i o n t o d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , w i t h p r i n c i p a l

e m p h a s i s o n R i e m a n n i a n g e o m e t r y . I t c a n b e u s e d a s a c o u r s e f o r s e c o n d -

y e a r g r a d u a t e s t u d e n t s . T h e m a i n t h e o r e m s a r e p r e s e n t e d i n c o m p l e t e d e t a i l ,

b u t t h e s t u d e n t i s e x p e c t e d t o p r o v i d e t h e d e t a i l s o f c e r t a i n a r g u m e n t s . W e

a s s u m e t h a t t h e r e a d e r h a s a g o o d w o r k i n g k n o w l e d g e o f m u l t i d i m e n s i o n a l

c a l c u l u s a n d p o i n t - s e t t o p o l o g y

M a n y r e a d e r s h a v e b e e n e x p o s e d t o t h e e l e m e n t a r y t h e o r y o f c u r v e s a n d

s u r f a c e s i n t h r e e - s p a c e , i n c l u d i n g t a n g e n t l i n e s a n d t a n g e n t p l a n e s . B u t

t h e s e t e c h n i q u e s a r e n o t n e c e s s a r y p r e r e q u i s i t e s f o r t h i s b o o k .

I n t h i s b o o k w e w o r k a b s t r a c t l y , s o t h a t t h e n o t i o n o f t a n g e n t s p a c e d o e s

n o t n e c e s s a r i l y h a v e a c o n c r e t e r e a l i z a t i o n . N e v e r t h e l e s s w e w i l l e v e n t u a l l y

p r o v e W h i t n e y ' s t h e o r e m a s s e r t i n g t h a t a n y a b s t r a c t n - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d

m a y b e i m b e d d e d i n t h e E u c l i d e a n s p a c e R P i f p i s s u f f i c i e n t l y l a r g e .

I n o r d e r t o d e v e l o p t h e a b s t r a c t t h e o r y , o n e m u s t w o r k h a r d a t t h e b e -

g i n n i n g , t o d e v e l o p t h e n o t i o n o f l o c a l c h a r t s , c h a n g e o f c h a r t s , a n d a t l a s e s .

O n c e t h e s e n o t i o n s a r e u n d e r s t o o d , t h e s u b s e q u e n t p r o o f s a r e m u c h e a s i e r ,

a l l o w i n g o n e t o o b t a i n g r e a t g e n e r a l i t y w i t h m a x i m u m e f f i c i e n c y . F o r e x a m -

p l e , t h e p r o o f o f S t o k e s ' t h e o r e m - w h i c h i s d i f f i c u l t i n a c o n c r e t e c o n t e x t -

b e c o m e s t r a n s p a r e n t i n t h e a b s t r a c t c o n t e x t , r e d u c i n g t o t h e c o m p u t a t i o n

o f t h e i n t e g r a l o f a d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n o n a c l o s e d i n t e r v a l o f t h e r e a l

l i n e .

I n C h a p t e r I w e f i n d t h e f i r s t d e f i n i t i o n s a n d t w o i m p o r t a n t t h e o r e m s ,

t h o s e o f W h i t n e y a n d S a r d .

C h a p t e r I I d e a l s w i t h v e c t o r f i e l d s a n d d i f f e r e n t i a l f o r m s .

i x


11/198

x

P r e f a c e

C h a p t e r I I I c o n c e r n s i n t e g r a t i o n o f v e c t o r f i e l d s , t h e n e x t e n d s t o p - p l a n e

f i e l d s . W e c i t e i n p a r t i c u l a r t h e i n t e r e s t i n g p r o o f o f t h e F r o b e n i u s t h e o r e m ,

w h i c h p r o c e e d s b y m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n o n t h e d i m e n s i o n .

C h a p t e r I V d e a l s w i t h c o n n e c t i o n s , t h e m o s t d i f f i c u l t n o t i o n i n d i f f e r e n -

t i a l g e o m e t r y . I n E u c l i d e a n s p a c e t h e n o t i o n o f p a r a l l e l t r a n s p o r t i s i n t u i t i v e ,

b u t o n a m a n i f o l d i t n e e d s t o b e d e v e l o p e d , s i n c e t a n g e n t v e c t o r s a t d i s t i n c t

p o i n t s a r e n o t o b v i o u s l y r e l a t e d . L o o s e l y s p e a k i n g , a c o n n e c t i o n d e f i n e s a n

i n f i n i t e s i m a l d i r e c t i o n o f m o t i o n i n t h e t a n g e n t b u n d l e , o r , e q u i v a l e n t l y , a

c o n n e c t i o n d e f i n e s a s o r t o f d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e o f a v e c t o r f i e l d w i t h r e -

s p e c t t o a n o t h e r v e c t o r . T h i s c o n c r e t e n o t i o n o f c o n n e c t i o n i s r a r e l y t a u g h t

i n b o o k s o n c o n n e c t i o n s . I n o u r w o r k w e d e v o t e t e n p a g e s t o d e v e l o p i n g t h e s e

i d e a s , t o g e t h e r w i t h t h e r e l a t e d n o t i o n s o f t o r s i o n , c u r v a t u r e a n d a w o r k i n g

k n o w l e d g e o f t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e . A l l o f t h e s e n o t i o n s a r e e s s e n t i a l t o

t h e s t u d y o f r e a l o r c o m p l e x m a n i f o l d s .

I n C h a p t e r V w e s p e c i a l i z e t o R i e m a n n i a n m a n i f o l d s . T h e v i e w p o i n t

h e r e i s t o d e d u c e g l o b a l p r o p e r t i e s o f t h e m a n i f o l d f r o m l o c a l p r o p e r t i e s o f

c u r v a t u r e , t h e f i n a l g o a l b e i n g t o d e t e r m i n e t h e m a n i f o l d c o m p l e t e l y .

I n C h a p t e r V I w e e x p l o r e s o m e p r o b l e m s i n p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s

w h i c h a r e s u g g e s t e d b y t h e g e o m e t r y o f m a n i f o l d s .

T h e l a s t t h r e e c h a p t e r s a r e d e v o t e d t o g l o b a l n o t a t i o n , s p e c i f i c a l l y t o u s -

i n g t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e i n s t e a d o f c o m p u t i n g i n l o c a l c o o r d i n a t e s w i t h

p a r t i a l d e r i v a t i v e s . I n s o m e c a s e s w e a r e a b l e t o r e d u c e a p a g e o f c o m p u t a -

t i o n i n l o c a l c o o r d i n a t e s t o j u s t a f e w l i n e s o f g l o b a l c o m p u t a t i o n . W e h o p e

t o f u r t h e r e n c o u r a g e t h e u s e o f g l o b a l n o t a t i o n a m o n g d i f f e r e n t i a l g e o m e t e r s .

T h e a i m o f t h i s b o o k i s t o f a c i l i t a t e t h e t e a c h i n g o f d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y .

T h i s m a t e r i a l i s u s e f u l i n o t h e r f i e l d s o f m a t h e m a t i c s , s u c h a s p a r t i a l d i f f e r -

e n t i a l e q u a t i o n s , t o n a m e o n e . W e f e e l t h a t w o r k e r s i n P D E w o u l d b e m o r e

c o m f o r t a b l e w i t h t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e i f t h e y h a d s t u d i e d i t i n a c o u r s e

s u c h a s t h e p r e s e n t o n e . G i v e n t h a t t h i s m a t e r i a l i s r a r e l y t a u g h t , o n e m a y

a s k w h y ? W e f e e l t h a t i t r e q u i r e s a s u b s t a n t i a l a m o u n t o f e f f o r t , a n d t h e r e

i s a s h o r t a g e o f g o o d r e f e r e n c e s . O f c o u r s e t h e r e a r e r e f e r e n c e b o o k s s u c h a s

K o b a y a s h i a n d N o m i z u ( 5 J , w h i c h c a n b e c o n s u l t e d f o r s p e c i f i c i n f o r m a t i o n ,

b u t t h a t b o o k i s n o t w r i t t e n a s a t e x t f o r s t u d e n t s o f t h e s u b j e c t .

T h e p r e s e n t b o o k i s m a d e t o b e t e a c h a b l e o n a c h a p t e r - b y - c h a p t e r b a s i s ,

i n c l u d i n g t h e s o l u t i o n o f t h e e x e r c i s e s . T h e e x e r c i s e s a r e o f v a r y i n g d i f f i c u l t y ,

s o m e b e i n g s t r a i g h t f o r w a r d o r s o l v e d i n e x i s t i n g l i t e r a t u r e ; o t h e r s a r e m o r e

c h a l l e n g i n g a n d m o r e d i r e c t l y r e l a t e d t o o u r a p p r o a c h .

T h i s b o o k i s a n o u t g r o w t h o f a c o u r s e w h i c h I p r e s e n t e d a t t h e U n i v e r s i t k

P a r i s V I . I h a v e i n c l u d e d m a n y p r o b l e m s a n d a n u m b e r o f s o l u t i o n s . S o m e

o f t h e s e o r i g i n a t e d f r o m e x a m i n a t i o n s i n t h e c o u r s e . I a m v e r y g r a t e f u l t o

m y f r i e n d M a r k P i n s k y , w h o a g r e e d t o r e a d t h e m a n u s c r i p t f r o m b e g i n n i n g


12/198

t o e n d . H i s c o m m e n t s a l l o w e d m e t o m a k e m a n y i m p r o v e m e n t s , e s p e c i a l l y i n

t h e E n g l i s h . I w o u l d l i k e t o t h a n k a l s o o n e o f m y s t u d e n t s , S o p h i e B i s m u t h ,

w h o h e l p e d m e t o p r e p a r e t h e f i n a l d r a f t o f t h i s b o o k .


13/198


14/198

C h a p t e r 0

B a c k g r o u n d M a t e r i a l

I n t h i s c h a p t e r w e r e c a l l s o m e f u n d a m e n t a l k n o w l e d g e w h i c h w i l l b e u s e d i n

t h e b o o k : t o p o l o g y , a l g e b r a , i n t e g r a t i o n , a n d d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s .

Z b p o l o g y

0 . 1 . D e f i n i t i o n . A t o p o l o g y o n a s e t E i s d e f i n e d b y a f a m i l y O o f s u b s e t s

o f E , c a l l e d o p e n s e t s , s u c h t h a t

a ) T h e s e t E a n d t h e n u l l s e t 0 a r e o p e n s e t s .

b ) A n y u n i o n o f o p e n s e t s i s a n o p e n s e t .

c ) A n y f i n i t e i n t e r s e c t i o n o f o p e n s e t s i s a n o p e n s e t .

( E , 0 ) i s a t o p o l o g i c a l s p a c e .

0 . 2 . E x a m p l e s . I f 0 = { E , 0 } , t h e c o r r e s p o n d i n g t o p o l o g y i s c a l l e d t r i v i a l .

I f 0 c o n s i s t s o f a l l s u b s e t s o f E , t h e t o p o l o g y i s c a l l e d t h e d i s c r e t e t o p o l o g y .

O n R n t h e u s u a l t o p o l o g y m a y b e d e f i n e d a s f o l l o w s : L e t x b e a p o i n t

o f R " a n d p > 0 a r e a l n u m b e r . W e c o n s i d e r t h e o p e n b a l l o f c e n t e r x a n d

r a d i u s p , B S ( p ) = { y E R " I

H i x - y u l < p } . A n o p e n s e t i n R " w i l l b e a

u n i o n o f o p e n b a l l s o r t h e e m p t y s e t 0 .

0 . 3 . I n d u c e d t o p o l o g y . L e t F b e a s u b s e t o f E e n d o w e d w i t h a t o p o l o g y

0 . T h e i n d u c e d t o p o l o g y o n F i s d e f i n e d b y t h e f o l l o w i n g s e t 0 o f s u b s e t s

o f F : A E O i f a n d o n l y i f A = A f l F w i t h A E O .

0 . 4 . E x a m p l e . L e t F b e a f i n i t e s e t o f p o i n t s i n R . T h e t o p o l o g y o n F

i n d u c e d b y t h e u s u a l t o p o l o g y o n R " i s t h e d i s c r e t e t o p o l o g y . W e w i l l f i n d

o t h e r e x a m p l e s i n 1 . 1 6 .

1


15/198

2

0 . B a c k g r o u n d M a t e r i a l

0 . 5 . D e f i n i t i o n s . A n e i g h b o u r h o o d o f a p o i n t x i n a t o p o l o g i c a l s p a c e E i s

a s u b s e t o f E c o n t a i n i n g a n o p e n s e t w h i c h c o n t a i n s t h e p o i n t x .

W e c a n v e r i f y t h a t a s u b s e t A C E i s o p e n i f a n d o n l y i f i t i s a n e i g h -

b o u r h o o d o f e a c h o f i t s p o i n t s .

B C E i s c l o s e d i f A = E \ B i s o p e n .

A t o p o l o g i c a l s p a c e E i s s a i d t o b e c o n n e c t e d i f t h e o n l y s u b s e t s w h i c h

a r e b o t h o p e n a n d c l o s e d a r e t h e e m p t y s e t 0 a n d t h e s p a c e E i t s e l f .

T h e c l o s u r e

o f a s u b s e t B C E i s t h e s m a l l e s t c l o s e d s e t c o n t a i n i n g

B . T h e c l o s u r e B a l w a y s e x i s t s - i n d e e d , t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l c l o s e d s e t s

w h i c h c o n t a i n B ( E i s o n e o f t h e m ) i s a c l o s e d s e t a c c o r d i n g t o b ) i n 0 . 1 .

0 . 6 . P r o p o s i t i o n . A n y n e i g h b o u r h o o d A o f X E B h a s a n o n e m p t y i n t e r -

s e c t i o n w i t h B .

P r o o f . L e t Q C A b e a n o p e n n e i g h b o u r h o o d o f x . I f o n B = 0 , t h e n E \ 1 2

i s a c l o s e d s e t c o n t a i n i n g B ; h e n c e B C E \ S Z a n d x f B , a c o n t r a d i c t i o n .

0

0 . 7 . D e f i n i t i o n s . T h e i n t e r i o r B o f B C E i s t h e l a r g e s t o p e n s e t c o n t a i n e d

i n B ( B i s t h e u n i o n o f a l l o p e n s e t s i n c l u d e d i n B . )

A t o p o l o g i c a l s p a c e i s s e p a r a b l e i f i t h a s a c o u n t a b l e b a s i s o f o p e n s e t s

{ A i } i E N . T h a t m e a n s a n y n e i g h b o u r h o o d o f x c o n t a i n s a t l e a s t o n e A i w i t h

x E A i .

A t o p o l o g i c a l s p a c e i s H a u s d o r f f i f a n y t w o d i s t i n c t p o i n t s h a v e d i s j o i n t

n e i g h b o u r h o o d s .

A f a m i l y { S l ; } i e I o f s u b s e t s o f E i s a c o v e r i n g o f B C E i f B C ( R t .

A s u b c o v e r i n g o f t h i s c o v e r i n g i s a s u b s e t o f t h e f a m i l y , { S ? L } 1 e j ( w i t h J c I ) ,

w h i c h i t s e l f i s a c o v e r i n g . I f J i s f i n i t e t h e s u b c o v e r i n g i s s a i d t o b e f i n i t e .

0 . 8 . D e f i n i t i o n . A s u b s e t A C E i s a c o m p a c t s e t i f i t i s H a u s d o r f f a n d i f

a n y c o v e r i n g o f A b y o p e n s e t s h a s a f i n i t e s u b c o v e r i n g .

T h i s d e f i n i t i o n i m p l i e s t h e f o l l o w i n g n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n :

A c E , a H a u s d o r f f t o p o l o g i c a l s p a c e , i s c o m p a c t i f a n d o n l y i f a n y f a m i l y

o f c l o s e d s e t s w h o s e i n t e r s e c t i o n i s e m p t y h a s a f i n i t e s u b f a m i l y o f e m p t y

i n t e r s e c t i o n .

0 . 9 . T h e o r e m . L e t E b e a H a u s d o r f t o p o l o g i c a l s p a c e .

I f K C E i s a

c o m p a c t s e t , K i s c l o s e d . T h i s c o n d i t i o n i s s u f f i c i e n t w h e n E i s c o m p a c t .

P r o o f . W e a r g u e b y c o n t r a d i c t i o n .

I f K i s n o t c l o s e d ( K 9 6 7 ) , t h e r e

e x i s t s x E K s u c h t h a t x 0 K . N o w i n a H a u s d o r f f t o p o l o g i c a l s p a c e , t h e

i n t e r s e c t i o n o f t h e c l o s e d n e i g h b o u r h o o d s o f a p o i n t x i s j u s t t h e s u b s e t { x } ,

w h i c h i s c l o s e d . I n d e e d , f o r a n y y E E t h e r e e x i s t d i s j o i n t o p e n s e t s 9 a n d


16/198

3

1 2 , n e i g h b o u r h o o d s r e s p e c t i v e l y o f x a n d y . E \ i 2 i s a c l o s e d s e t , w h i c h i s a

n e i g h b o u r h o o d o f x s i n c e A C E \ f l , a n d y

E \ i 2 . T h u s t h e t r a c e s o n K o f

t h e c l o s e d n e i g h b o u r h o o d s { V ; } , E I o f x w o u l d h a v e a n e m p t y i n t e r s e c t i o n .

S o { E \ V f } j e I w o u l d b e a c o v e r i n g b y o p e n s e t s o f K .

S i n c e K i s c o m p a c t , t h e r e w o u l d e x i s t a f i n i t e s e t J C I s u c h t h a t

{ E \ V i } ; E J i s a c o v e r i n g o f K . T h u s n , E J V i = V w o u l d b e a n e i g h b o u r h o o d

o f x a n d V f l K

0 . S i n c e x E I ? , P r o p o s i t i o n 0 . 6 g i v e s a c o n t r a d i c t i o n .

S u p p o s e E c o m p a c t a n d A C E c l o s e d . T h e n t h e c l o s e d s e t a f o r A a r e

c l o s e d s e t s f o r E , a n d c o m p a c t n e s s f o r A f o l l o w s f r o m t h e n e c e s s a r y a n d

s u f f i c i e n t c o o & t i o n f o r A t o b e c o m p a c t ( s e e a b o v e ) .

0 . 1 0 . D e f i n i t i o n . L e t E a n d F b e t w o t o p o l o g i c a l s p a c e s . A m a p f o f E

i n t o F i s c o n t i n u o u s i f t h e p r e i m a g e f - ' ( f ) o f a n y o p e n s e t 1 C F i s a n

o p e n s u b s e t o f E .

0 . 1 1 . T h e o r e m . h e i m a g e b y a c o n t i n u o u s m a p o f a c o m p a c t s e t i s c o m -

p a c t .

P r o o f . L e t K C E b e a c o m p a c t s e t . C o n s i d e r a n y c o v e r i n g o f f ( K ) b y

o p e n s e t s 5

( i E I ) . ( f - 1 ( S 2 i ) } i E j i s a c o v e r i n g o f K b y o p e n s e t s ; t h u s

t h e e x i s t s a f i n i t e s e t J C I s u c h t h a t K C U i S J f - ' ( W - S o { f t i f i E J i s a

c o v e r i n g o f f ( K ) .

0 . 1 2 . D e f i n i t i o n s . A c o n t i n u o u s m a p i s s a i d t o b e p r o p e r i f t h e p r e i m a g e

o f e v e r y c o m p a c t s e t i s a c o m p a c t s e t .

I f E a n d F a r e H a u s d o r f f t o p o l o g i c a l s p a c e s , a c o n t i n u o u s m a p f o f E

i n t o F i s p r o p e r i f E i s c o m p a c t . I n d e e d , l e t K C F b e a c o m p a c t s e t . S i n c e

K i s a c l o s e d s e t . f - 1 ( K ) i s a c l o s e d s e t . S o f - 1 ( K ) i s c o m p a c t , s i n c e a

c l o s e d s e t i n a c o m p a c t s e t i s a c o m p a c t s e t ( T h e o r e m 0 . 9 ) .

L e t E a n d F b e t w o t o p o l o g i c a l s p a c e s . A m a p f o f E o n t o F i s a

h o m e o m o r p h i s m i f i t i s o n e t o o n e a n d i f f a n d f - 1 a r e c o n t i n u o u s m a p s .

T e n s o r s

0 . 1 3 . D e f i n i t i o n . L e t E a n d F b e t w o v e c t o r s p a c e s o f d i m e n s i o n r e s p e c -

t i v e l y n a n d p . T h e t e n s o r p r o d u c t o f E a n d F i s a v e c t o r a p a c e o f d i m e n s i o n

n p , a n d i s d e n o t e d b y E F . A v e c t o r o f E O F i s c a l l e d a t e n s o r . T b X E E

a n d y E F w e a s s o c i a t e x y E E F . T h i s p r o d u c t h a s t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i m -

a ) ( x I + x a ) y = x 1 y + x 2 y a n d x ( y i + y a ) = x y l + x @ y 2 ,

w h e r e x , x 1 , x 9 b e l o n g t o E a n d y , y l , y 2 b e l o n g t o F .

b ) I f a E R ( i n t h i s c o u r s e t h e v e c t o r s p a c e s a r e o n R ) , t h e n

( a x ) y = x s ( a y ) = a ( x ( 9 y ) .


17/198

4


c ) I f { e i } 1 < i < n i s a b a s i s o f E a n d { f j } i 5 ,

, a

b a s i s o f F , t h e n e i f 1

i s a b a s i s o f E ( 9 F .

d ) I f G i s a t h i r d v e c t o r s p a c e , w i t h E ( F ( 9 G ) _ ( E F ) G , t h e n

( x y ) z = x ( y ( 9 z ) ,

f o r z b e l o n g i n g t o G .

T h e t e n s o r p r o d u c t i s a s s o c i a t i v e ; i t i s n o t c o m m u t a t i v e . L e t x E E a n d

y E F , x = x i e i a n d y = y i f j . H e r e w e u s e

T h e E i n s t e i n C o n v e n t i o n : W h e n t h e s a m e i n d e x ( s u c h a s i o r j ) i s

a b o v e a n d b e l o w , s u m m a t i o n o v e r t h i s i n d e x i s a s s u m e d ( h e r e f r o m 1 t o n

f o r i , a n d f r o m 1 t o p f o r j ) . i ( o r j ) i s c a l l e d a d u m m y i n d e x .

A c c o r d i n g t o a ) , x y = x i y ' e i f j . # = x ' y j a r e t h e c o m p o n e n t s o f

x y i n t h e b a s i s l e i f j } o f E F .

W h a t h a p p e n s w h e n w e c h a n g e b a s i s ?

L e t { e } i < a < n a n d f j , 3 j . j S # , S p b e o t h e r b a s e s r e s p e c t i v e l y o f E a n d F .

T h e n e = a % e i a n d f S = c J

j .

O r , i f w e w a n t , e i = b f f , , a n d f j = d f i f

h e r e ( ( b ; ) ) i s t h e i n v e r s e m a t r i x o f

a n d ( ( d 3 ) ) i s t h e i n v e r s e m a t r i x

o f

A t e n s o r T = t 1 3 e f p = t d j e i f 2 . T h u s

t ' j = t p a , d

a n d

t ' s = 0 4 i ' d o .

0 . 1 4 . D e f i n i t i o n . A ( p , q ) - t e n s o r , a t t a c h e d t o a v e c t o r s p a c e E o f d i m e n -

s i o n n , i s a t e n s o r o f E l E 2

w h e r e E , = E f o r q v a l u e s o f i

a n d E j = E * , t h e d u a l s p a c e o f E , f o r p v a l u e s o f j . W e s a y t h a t t h e t e n s o r

i s p t i m e s c o v a r i a n t a n d q t i m e s c o n t r a v a r c a n t . W e d e n o t e b y E *

E

t h e s e t o f t h e ( p , q ) - t e n s o r s .

L e t ( O } ' < < b e t h e d u a l b a s i s o f { e i } i < i < n A ( p , q ) - t e n s o r i s a l i n e a r

c o m b i n a t i o n o f f l f 2 f q , w h e r e f j = 0 ) f o r p v a l u e s o f j , a n d

f i = e ; f o r q v a l u e s o f i . I f w e c o n s i d e r a n o t h e r b a s i s o f E , s a y { e } 1 < < n

e = a a e j , t h e n e w d u a l b a s i s

i s g i v e n b y B = b J 8 j , w h e r e ( ( b y ) )

i s t h e i n v e r s e m a t r i x o f ( ( a ' ) ) : b j a s = o , t h e K r o n e c k e r t e n s o r ( b , = 0 i f

i 0 j a n d b = 1 i f i = j ) .

0 . 1 5 . E x a m p l e s . A ( 1 , 0 ) - t e n s o r w i s a 1 - f o r m : w = w j 9 j = w ; 9 9 ; t h u s

w j = b 9 C D O . T h e c o m p o n e n t s o f w a r e w j i n t h e b a s i s { 0 ' } a n d w y i n t h e

b a s i s { B p } . T h e i n d i c e s j a n d 0 a r e c a l l e d c o v a r i a n t i n d i c e s .

A ( 0 , 1 ) - t e n s o r X i s a v e c t o r : X = X ' e i = X e " . T h u s X ' = a Q X a .

T h e c o m p o n e n t s o f X a r e X ' i n t h e b a s i s { e i } a n d X i n t h e b a s i s { e a } .

T h e i n d i c e s i a n d a a r e c a l l e d c o n t r u v a r i a n t i n d i c e s .


18/198

T h e c o n t r a v a r i a n t i n d i c e s a r e u p , a n d t h e c o v a r i a n t i n d i c e s a r e d o w n .

W h e n w e c h a n g e t h e b a s i s o f E , { e i } - r { e a } , w e e x p r e s s t h e c o m p o n e n t s

o f a ( p , q ) - t e n s o r T ( i n t h e b a s i s l e i } ) i n t e r m s o f i t s n e w c o m p o n e n t s ( i n

t h e b a s i s { e } ) b y m e a n s o f t h e m a t r i x ( ( & ) ) f o r t h e c o v a r i a n t i n d i c e s a n d

t h e m a t r i x ( ( a ) ) f o r t h e c o n t r a v a r i a n t i n d i c e s .

0 . 1 6 . E x a m p l e s . I n t h i s b o o k w e w i l l c o n s i d e r a R i e m a n n i a n m e t r i c g . A t

a p o i n t , g i s a ( 2 , 0 ) - t e n s o r o n t h e t a n g e n t s p a c e w h i c h i s i s o m o r p h i c t o R ' .

g i j a r e t h e c o m p o n e n t s o f g i n t h e b a s i s { e i } . I f g a , q a r e t h e c o m p o n e n t s i n

a n e w b a s i s { e a } , w e g e t g , 1 = b b g a , 6 , s i n c e g = 9 i f e l 8 i = 9 a y a e a B b

W e w i l l c o n s i d e r a l s o t h e c u r v a t u r e t e n s o r R , w h i c h i s a ( 3 , 1 ) - t e n s o r .

W e g e t

R '

= b a

, 3

b k b i

R

i n t h e f i r s t b a s i s a n d s

r a

t h e c o m p o n e n t s

i n t h e n e w b a s i s .

0 . 1 7 . T h e o r e m . A s y s t e m o f n P + 9 r e a l n u m b e r s

a t t a c h e d

t o a b a s i s 8 ` 1 O ' 2 . 8 ' p e i y + 1 .

a r e t h e c o m p o n e n t s o f a ( p , q ) -

t e n s o r o n E i f a n d o n l y i f i n a n e w b a s i s g a l 9 p e a l

t h e s y s t e m o f r e a l n u m b e r s t a , a 2 . . . a p p } 1 " ' Q p + s a t i s f i e s

i P + I . . . i p + 9

= b a 1 b b . . . b p

r o + 1

a y + 9

a P , . . . a p + 9

t i l i 2 . . . i p

i t

i 2

L p a a p + 1 . . .

a p + 9 O I O t 2 . . . a p

S o w e h a v e

4 1 i 7

6 i 1 g ` 2

. . . g a O " P e i p + 1 , . . .

t a l a e . . . 0 p P + l . . . a p + 9 0 1

9 0 1 2 . . . g a p

e a p . } 1

. . . e a p +

O f t e n i t w o u l d r e q u i r e l o n g c o m p u t a t i o n s t o v e r i f y t h e a b o v e e q u a l i t i e s .

F o r t u n a t e l y t h e r e a r e t e n s o r i a l i t y c r i t e r i a .

0 . 1 8 . 1 1 m s o r i a l i t y C r i t e r i a L e t { w i } 1 < , < n b e a s y s t e m w o f n r e a l n u m -

b e r s a t t a c h e d t o t h e b a s i s l e i ) o f E , a n d { w a } 1 < a < n t h e s y s t e m w i n t h e

b a s i s

S u p p o s e t h a t f o r a n y v e c t o r X E E , w i X ' = X . T h e n

w i s a 1 - f o r m .

S i n c e X ' = a a . t c ( E x a m p l e 0 . 1 5 ) , w e f i n d t h a t ( w i a ,

0 f o r

a n y X . T h u s W a = w i a ' a .

M u l t i p l y i n g t h e e q u a l i t y b y b 7 , w e g e t , a f t e r

s u m m a t i o n , w i = b , * ( ; ) . . S o w i s a ( 1 , 0 ) - t e n s o r , t h a t i s a 1 - f o r m , a c c o r d i n g

t o T h e o r e m 0 . 1 7 . T h i s r e s u l t c a n b e g e n e r a l i z e d .

0 . 1 9 . T h e o r e m . S u p p o s e

t h a t

a s y s t e m T o f n v + 9

r e a l n u m b e r s

i n t h e b a s i s { e i } ,

i n t h e b a s i s { e e p } s a t -

i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : f o r a n y v e c t o r s X 1 ,

, X p a n d a n y 1 - f o r m s


19/198

6


1

v

i p + , . . . ; p + a X + t X ' 2

. . . X ` p w l

w 4

i i 2 . . . b

1 s

P w . . .

p + 4

= t a ,

l . . . X p p - 1 9p + l . . w o

+ v

T h e n T i s a ( p , q ) - t e n o r .

P r o o f . F o r 1 < j < p w e h a v e X X = a Q X 7

, a n d

f o r 1 < k < q w e h a v e

b w a . P u t t i n g t h e s e e x p r e s s i o n s i n t h e c o n d i t i o n o f T h e o r e m 0 . 1 9 , w e

g e t

4 I i 2

.

i p y , l . . . a a l

. . . a a ; b

v +

t 2 . . . b t r + v

-

T h u s T i s a ( p , q ) - t e n s o r .

T h e r e a r e o t h e r s t e n s o r i a l i t y c r i t e r i a .

0 . 2 0 . E x a m p l e . S u p p o s e t h a t a s y s t e m T o f n 3 r e a l n u m b e r s t i p i n t h e

b a s i s { e i } , 1 1 . 0 i n t h e b a s i s { e a } s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : f o r a n y

v e c t o r s X a n d Y , t k X ' X ' = Z k a r e t h e c o m p o n e n t s o f a v e c t o r Z ; t h a t i s ,

w e a l s o h a v e Z " r

T h e n T i s a ( 2 , 1 ) - t e n s o r .

P r o o f . W e h a v e X ' = a , X , Y ' = a ' , Y ' 3 a n d Z k = t 4 2 - f . T h u s t k ? a , a ' , _

a r y P . . . M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s b y b k , w e g e t , a f t e r s u m m a t i o n , t i j a ' a ' b _

s i n c e b l e a r y = 6 7 . S o T i s a ( 2 , 1 ) - t e n s o r .

0 . 2 1 . D e f i n i t i o n . T h e e x t e r i o r p r o d u c t o f t w o v e c t o r s x a n d y o f E i s t h e

s k e w - s y m m e t r i c t e n s o r

x A y = x y - y O x .

I f { x ' } a n d { y ' } a r e t h e c o m p o n e n t s o f x a n d y i n t h e b a s i s { e ; } , t h e n x ' y f - -

x x y ' = z ' j a r e t h e c o m p o n e n t s o f x A y i n t h e b a s i s { e i A e J } , 1 : 5 i < j < n ,

w h i c h h a s C n e l e m e n t s .

I n t h i s b o o k w e w i l l c o n s i d e r e s p e c i a l l y t h e s k e w - s y m m e t r i c p - f o r m s o n

R " ( o r o n a v e c t o r s p a c e E o f d i m e n s i o n n ) , t h a t a r e t h e s k e w - s y m m e t r i c

( p , 0 ) - t e n s o r s . I f { x ' } 1 < i < n a r e t h e c o o r d i n a t e s o n R " ( o r E ) c o r r e s p o n d i n g

t o a b a s i s { e i } 1 < i < n , w e d e n o t e b y d x ' t h e 1 - f o r m s u c h t h a t d x ' ( e i ) = 6 j i ,

t h e K r o n e c k e r t e n s o r . A 1 - f o r m i s d e f i n e d w h e n w e k n o w w h a t i t g i v e s

o n t h e v e c t o r s o f a b a s i s , s o d x ' i s w e l l d e f i n e d . W e d e n o t e b y A P E t h e

s p a c e o f t h e s k e w - s y m m e t r i c p - f o r m s o n E . M o r e g e n e r a l l y , t h e e l e m e n t s

( d x ' ' ' A d x a 2 A . . . A d x J ' p ) 1 < _ A , < A 2 < . . . < A , < " f o r m a b a s i s o f A R E .

T h e s e f o r m s a r e w e l l d e f i n e d w h e n w e k n o w w h a t t h e y g i v e o n a s y s t e m

o f p v e c t o r s o f a b a s i s . B y d e f i n i t i o n ,

d x a l A d x \ 2 A . . - A d x a p ( e a > , e , , . . . , e , , , ) = a v i d

. . .

;


20/198

h e r e 1 < A l < A z 0 t h e r e e x i s t b a l l s B a ( a E N ) s u c h t h a t A C U a E N B a a n d

E , . . N F A ( B , ) < e .

T h u s a c o u n t a b l e u n i o n o f s e t s o f m e a s u r e z e r o h a s m e a s u r e z e r o .

P r o o f o f P r o p o s i t i o n 0 . 2 8 . L e t K r = { x E R " I

I X ' I < r f o r I < i < n }

( { x ' } a r e t h e c o o r d i n a t e s o f x ) . W e s l i c e e a c h s i d e o f t h e c u b e K r i n t o

k s e g m e n t s o f t h e s a m e l e n g t h . W e o b t a i n k " l i t t l e c u b e s , w i t h s i d e s o f

l e n g t h 2 r / k . I f w e c o n s i d e r K r C R " C R R , K r h a s m e a s u r e z e r o i n R " .

I n d e e d , K , c

1

R p 1 ( p ) w i t h p = r / / k , w h e r e B p , ( p ) i s t h e b a l l i n

P ' o f r a d i u s p = r y ' / k a n d c e n t e r P j , t h e c e n t e r o f a l i t t l e c u b e .

S o

( K , . ) < k " ( B o ( p ) ) = k " - n ( B o ( r / i ) ) , w h e r e u d e n o t e s t h e m e a s u r e i n

P ' . W h e n k

o o , t h e r i g h t h a n d s i d e g o e s t o z e r o ; t h e n ( K r ) = 0 .

L e t f b e a C 1 - m a p p i n g o f R " i n t o R P . O n K r w e h a v e I l f ' I 1 S M r ,

a n d b y t h e m e a n v a l u e t h e o r e m , f o r x , y i n K r , 1 1 f ( x ) - f ( y ) I I < _ M r I I x - y 1 l

T h u s t h e l i t t l e c u b e K j o f c e n t e r P j i s s u c h t h a t f ( K j ) C B f ( p , ) ( p M , ) . T h i s

i m p l i e s

j z [ f ( K r ) ] < - k " [ B o ( p M r ) ] =

k " - , A [ B 0 ( r M r v 1 n - ) ] ,

w h i c h g o e s t o z e r o w h e n k - + o o . S o p [ f ( K r ) ] = 0 . A s R " = U r '

1

K r ,

w e s e e t h a t f ( R " ) = V r = 1 f ( K r ) . A c c o r d i n g t o t h e t h e o r e m c i t e d a b o v e ,

[ f ( R " ) ] = 0 , s i n c e [ f ( K r ) ] = 0 f o r a l l r E N . F o r g e n e r a l f l , t h e r e e x i s t s

a s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s { K } s u c h t h a t K ; C K i + 1 a n d S 2 = U . 6 N K $

W e p r o v e t h a t t C [ f ( K 1 ) ] = 0 , u s i n g t h e r e s u l t a b o v e . F o r t h i s w e o n l y h a v e

t o c o n s i d e r a C 1 - m a p p i n g f o f R " i n t o R " s u c h t h a t f / K i = f / K i . T h e n

[ f ( K i ) ] = 0 f o r a l l i i m p l i e s [ f ( 0 ) ] = 0 .

0 . 2 9 . I n v e r s e F u n c t i o n T h e o r e m . L e t f b e a C ' - m a p p i n g o f a n o p e n s e t

0 C R " i n t o R " . I f f ' ( x o ) i s i n v e r t i b l e ( r a n k f = n a t x o E S 2 ) , t h e r e e x i s t s

a n o p e n n e i g h b o u r h o o d 0 o f x o s u c h t h a t $ = f I B i s a d i f f e o m o r p h i s m o f 9

o n t o f ( 0 ) .

I f f E C ' ` , t h e n 4 ' a n d 4 - 1 a r e C ' ` o n 0 .


23/198

1 0


P r o o f . L e t u s c o n s i d e r t h e m a p p i n g 9 ( x ) = f ' - 1 ( x j ) o f ( x ) . W e h a v e

g ' ( x o ) = I d e n t i t y . S e t h ( x ) = g ( x ) - x . h i s C 1 o n f 2 , a n d s i n c e h ' ( x o ) = 0 ,

t h e r e e x i s t s r > 0 s u c h t h a t l l x

- x o l l < r

i m p l i e s l l h ' ( x ) 1 1 < 1 . W e c h o o s e r

s m a l l e n o u g h s o t h a t r a n k f = n o n t h e b a l l b C f l o f r a d i u s r a n d c e n t e r

x o . A c c o r d i n g t o t h e m e a n v a l u e t h e o r e m , f o r x a n d x ' i n B

1 1 h ( x )

- h ( x ' ) I I < ' I l x -

x ' I I .

L e t B b e a b a l l o f c e n t e r y o = g ( x e ) a n d r a d i u s s m a l l e r t h a n r / 2 . C o n s i d e r

t h e e q u a t i o n x + h ( x ) = y f o r y E B g i v e n . W e d e f i n e b y i n d u c t i o n t h e

s e q u e n c e x k + l = y - h ( x k ) ( k > 0 ) . W e h a v e

l l x k + 1 - x k l l = l l h ( x k ) - h ( x k - 1 ) l l < ' I l x k - x k - 1 1 1 < ' I l x l - x o l l = ' l l y - y o l l

s i n c e

y E

B i m p l i e s x k E

B . I n d e e d , x 1 = y

- [ g ( x o ) - x o j

a n d

k k

I l x k - x o l l < 5 I l x l - x 1 _ 1 1 1 < I l y - y o l l E

< 2 1 1 y - y o l l

7 = 1

= 1

T h e s e q u e n c e { x k } i s a C a u c h y s e q u e n c e . S o x k - . x E B . S i n c e h i s

c o n t i n u o u s , x = y - h ( x ) . S o y

g ( x ) . M o r e o v e r , t h e s o l u t i o n i s u n i q u e i n

B , s i n c e l l h ' ( z ) I 1 0 , t h e r e i s q > 0 s u c h t h a t 1 1 X - x o l 1 < r )

i m p l i e s

I I g ( x ) - 9 ( x o ) - x + x o l l < E l l x - x o l l ,

s i n c e h ' ( x o ) = 0 . T h u s

l I f ' - 1 ( x o )

o ( y - y o ) - $ - 1 ( y ) + - 1 ( y o ) I I < 2 e l l y - y o I l .

T h i s i n e q u a l i t y p r o v e s t h a t

- ' i s d i f f e r e n t i a b l e

a t x o .

I t s d i f f e r e n t i a l i s

f i - 1 ( x o ) , a n d r a n k t - 1 = n a t y o .

A s w e c a n g i v e t h e s a m e p r o o f a t

a n y p o i n t z o E 0 , i t f o l l o w s t h a t

$ - 1 i s d i f f e r e n t i a b l e

o n f ( 0 ) . S i n c e

( V 1 ) ' ( y ) = f ' - ' [ V ' ( y ) l , i t f o l l o w s t h a t V 1 i s C '

o n f ( 0 ) . 4 - 1 i s C k

i f f i s C k

0 . 3 0 . R e m a r k . T h e i n v e r s e f u n c t i o n t h e o r e m h o l d s i n B a n a c h s p a c e s . T h e

p r o o f i s t h e s a m e .

A n d n o w a g l o b a l r e s u l t .

0 . 3 1 . T h e o r e m . L e t f b e a C ' - m a p p i n g o f f t C B i n t o b , B a n d B b e i n g

t w o B a n a c h s p a c e s . S u p p o s e t h a t

a ) f i s i n j e c t i v e , a n d

b ) f ' ( x ) i s a n i s o m o r p h i s m f r o m B o n t o b f o r e v e r y x E c i .


24/198

T h e n f i s a d i f e o m o r p h i s m f r o m I l o n t o f ( S 2 ) C B .

S i n c e f i s i n j e c t i v e , 4 = f I t ,

: 0 - i f ( C l ) i s i n v e r t i b l e ; i . e . , 4 - 1 e x i s t s .

A c c o r d i n g t o 0 . 2 9 , $ ' 1 i s c o n t i n u o u s a n d C 1 - d i f f e r e n t i a b l e ( t h e s e a r e l o c a l

p r o p e r t i e s ) .

0 . 3 2 . L e t B b e a B a n a c h s p a c e , a n d l e t ( t , x ) - - f ( t , x ) E B b e a c o n -

t i n u o u s f u n c t i o n d e f i n e d i n a n e i g h b o u r h o o d o f ( t o , x o ) i n R x B . S i n c e f

i s c o n t i n u o u s , t h e r e e x i s t s a n e i g h b o u r h o o d V o f ( t o , x o ) w h e r e f ( t , x ) i s

b o u n d e d .

I l f ( t , z ) I I < M f o r a l l

( t , x ) E V .

W e c o n s i d e r a c l o s e d b a l l f Z o f r a d i u s r a n d c e n t e r x o i n B , a n d I =

[ t o - a , t o + a ] C R ( a > 0 ) s u c h t h a t I x f 2 C V , a a n d r s a t i s f y i n g

M a < r .

R e c a l l t h a t a m a p h o f a n o p e n s e t 0 o f a B a n a c h s p a c e B 1

i n t o a B a n a c h s p a c e B 2 i s L i p s c h i t z i n 0 i f t h e r e e x i s t s k E R s u c h t h a t

i I h ( a ) - h ( b ) l < k l l a - b i t f o r ( a , b ) E 0 x 0 .

0 . 3 3 . T h e C a u d h T h e o r e m . T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

( * )

a = f ( t , x ) ,

z ( t o ) = z o ,

h a s a u n i q u e c o n t i n u o u s s o l u t i o n x ( t ) i f f ( t , x ) i s L i p s c h i t z i n x o n I x A .

T h e s o l u t i o n i s d e f i n e d o n a n e i g h b o u r h o o d J C I o f t o , a n d i t s v a l u e s a r e

i n n .

P r o o f . F i r s t o f a l l , a c o n t i n u o u s f u n c t i o n x ( t ) s a t i s f y i n g ( * ) s a t i s f i e s t h e

i n t e g r a l e q u a t i o n

x ( t ) = x o + J f ( u , x ( u ) ) d u ,

a n d c o n v e r s e l y . L e t C ( I , B ) b e t h e B a n a c h s p a c e o f a l l c o n t i n u o u s f u n c t i o n s

g o n I i n t o B e n d o w e d w i t h t h e n o r m s u p s 1 1 g 1 1 . C o n s i d e r t h e m a p p i n g 0

o f C ( I , 0 ) i n t o i t s e l f d e f i n e d b y

t : C ( l , f l ) i ) x ( t )

y ( t ) = x o +

J

f ( u , x ( u ) ) d u .

S i n c e f i s L i p s c h i t z i n x , t h e r e e x i s t s k s u c h t h a t , f o r t E I a n d a , b i n 1 1 ,

I l f ( t , a ) - f ( t , b ) I I 5 k l l a - b 1 1 -

T h u s 0 i s l o c a l l y a c o n t r a c t i n g m a p p i n g . I n d e e d ,

I I $ ( x ) - - O ( y ) o < _ I t - t o l l l f ( t , x ) - f ( t , y ) I I < - k i t - t o l l l x ( t ) - y ( t ) I I

P i c k 0 ( 0 < 6 < a ) s u c h t h a t i k < 1 , a n d s e t J = [ t o - p , t o + S ] C 1 .

T h e n 4 ' i s a c o n t r a c t i n g m a p p i n g o f t h e B a n a c h s p a c e C ( J , B ) i n t o i t s e l f .

T h e f i x e d p o i n t t h e o r e m t h e n i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e z E C ( J , B )

s u c h t h a t $ ( z ) = Z .


25/198

1 2


0 . 3 4 . R e m a r k . I f f ( t , x ) i s n o t L i p s c h i t z , w e c a n n o t s a y a n y t h i n g i n g e n -

e r a l . B u t i f t h e B a n a c h s p a c e i s R " , t h e n t h e r e i s a s o l u t i o n o f ( * ) , b u t

i t m a y n o t b e u n i q u e . I n t h a t c a s e t h e r e e x i s t a s o l u t i o n g r e a t e r t h a n t h e

o t h e r s , a n d a s o l u t i o n s m a l l e r t h a n t h e o t h e r s .

0 . 3 5 . E x a m p l e . n = 1 , x ' = 2

j x J , x ( 0 ) = 0 .

0

G e n e r a l s o l u t i o n

. . . . . . . . G r e a t e s t s o l u t i o n - - - - S m a l l e s t s o l u t i o n

0 . 3 6 . D e p e n d e n c e o n I n i t i a l C o n d i t i o n s . T h e s o l u t i o n o f ( * ) ( T h e o r e m

0 . 3 3 ) d e p e n d s o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( t o , x o ) . T h u s w e c a n w r i t e i t i n t h e

f o a m x ( t , t o , x o ) .

I f w e c h o o s e ( i , i ) i n a n e i g h b o u r h o o d 0 o f ( t o , x 0 ) , w e c a n c h o o s e r a n d

a s m a l l e n o u g h s o t h a t t h e c l o s e d b a l l f 2 j o f r a d i u s r a n d c e n t e r i , a n d

I = [ t - a , t + o ) , s a t i s f y I x f i t C V f o r a n y ( t , i ) E 0 .

0 . 3 7 . T h e o r e m . L e t f b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n , L i p s c h i t z i n x , a s i n T h e -

o r e m 0 . 3 3 . T h e n t h e r e e x i s t s a n e i g h b o u r h o o d 0 o f ( t o , x o ) i n R x B s u c h t h a t

t h e s o l u t i o n x ( t , t , i ) o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

x ' = f ( t , x ) , x ( t ) = z ,

e x i s t s o n [ t ' - , 3 , t + 0 1 , 3 > 0 b e i n g i n d e p e n d e n t o f ( t , i ) . M o r e o v e r , ( t , t , s )

- x ( t , t , x ) i s c o n t i n u o u s . I f f i s C - , t h i s m a p i s C .


26/198

E x e r c i s m a n d P r o b l e m s

1 3


0 . 3 8 . P r o b l e m . L e t t

x ( t ) E R b e a f u n c t i o n d e f i n e d o n a n i n t e r v a l o f

R . C o n s i d e r t h e f a m i l y o f f i r s t o r d e r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s E , \ ( A E R ) :

X , = x 2 ( 1 + t 2 A 2 ) - 1 ,

x ( 0 ) = 2 .

a ) S h o w t h a t E , \ h a s a u n i q u e m a x i m a l C O s o l u t i o n x a d e f i n e d o n a n

i n t e r v a l l a = ( a a , b . , ) .

b ) I n t e g r a t e t h e e q u a t i o n E o e x p l i c i t l y .

c ) L e t f ( t , x ) a n d g ( t , x ) b e t w o c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n R 2 w i t h v a l u e i n

R , a n d s u p p o s e t h a t f a n d g a r e u n i f o r m l y L i p s c h i t z i n x . L e t ( t o , x o )

b e i n i t i a l c o n d i t i o n s , y ( t ) t h e m a x i m a l s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n

x ' = f ( t , x ) , x ( t o ) = x o

( i t e x i s t s o n I ) , a n d z ( t ) t h e m a x i m a l s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n

x = g ( t , x )

, x ( t o ) = x o

( i t e x i s t s o n J ) . I f f ( t , x ) < g ( t , x ) o n R 2 , p r o v e t h a t z ( t ) > y ( t ) f o r

t o < t E I n J a n d t h a t z ( t ) < y ( t ) f o r t o > t E I n J .

d ) I f f ( t , x ) < g ( t , x ) o n R 2 , p r o v e t h a t z ( t ) > y ( t ) f o r t o < t E I f 1 J

a n d t h a t z ( t ) < y ( t ) f o r t o > t E I f l J . H i n t . C o n s i d e r t h e f a m i l y o f

f u n c t i o n s 9 , , ( t , x ) = g ( t , x ) + . 1 w i t h n E N .

e ) S h o w t h a t b A i s f i n i t e . W h a t i s t h e u p p e r b o u n d o f b a ?

f ) P r o w t h a t x a > 0 o n I . H i n t . A r g u e b y c o n t r a d i c t i o n , c o n s i d e r i n g

t h e e q u a t i o n x ' = x 2 ( 1 + t 2 A 2 ) .

g ) E s t a b l i s h t h a t x a ( t ) < 2 f o r t < 0 . D e d u c e f r o m t h e p r e v i o u s q u e s t i o n

t h a t a s = - o o .

0 . 3 9 . P r o b l e m . L e t f ( t , x ) b e a c o n t i n u o u s m a p o f I x 1 C R x R " i n t o R " ,

w h e r e I = [ t o , t o + a ] a n d S 1 = B , , , ( r ) C R " ( a > 0 , r > 0 , x o E R " , B , , , , ( r )

t h e b a l l w i t h c e n t e r x o a n d r a d i u s r ) . S e t M = s u p I I f ( t , x ) I I f o r ( t , x ) E I x n ,

a n d c h o o s e a

.

a ) C o n s i d e r f o r t E [ t o - a , t o ] t h e f u n c t i o n

y o ( t ) = x o + f ( t o , x o ) ( t - t o )

a n d t h e f u n c t i o n s y k (

< k E N ) d e f i n e d b y y k ( t ) = y o ( t ) f o r t E

[ t o - a , t o ] a n d y k ( t ) = x o + f t f ( s , y k ( s - ) ) d s f o r t > t o . S h o w

t h a t y k ( t ) i s d e f i n e d a n d c o n t i n u o u s o n [ t o - a , t o + k ] , a n d t h e n o n

[ t o - a , t o + a ] .

b ) P r o v e t h a t t h e f a m i l y y k ( t ) i s e q u i c o n t i n u o u s o n I - t h a t i s t o s a y , f o r

a n y e > 0 , t h e r e e x i s t s q > 0 s u c h t h a t I t - $ I < q

I l y k ( f ) - y k ( s ) I I < E

f o r a l l k >

t a n d s b e l o n g i n g t o I . T h e n a p p l y A s c o l i ' s t h e o r e m :


27/198

1 4 0 . B a c k g r o u n d M a t e r i a l

t h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e { y k i } C { y k } w h i c h c o n v e r g e s u n i f o r m l y

o n I t o a f u n c t i o n z . S h o w t h a t z s a t i s f i e s o n I t h e e q u a t i o n E :

z ' = f ( t , z ) ,

z ( t o ) = x o .

c ) F r o m n o w o n n = 1 ( y E R a n d f ( t , y ) E R ) . C o n s i d e r t h e e q u a t i o n

E p ( p E N ) :

Y , = f ( t , y ) + p

y ( t o ) = x o -

P r o v e t h a t E p h a s a t l e a s t o n e C l - s o l u t i o n d e f i n e d o n I . L e t p < q b e

t w o i n t e g e r s , z p a s o l u t i o n o f E p a n d z q a s o l u t i o n o f E q . P r o v e t h a t

z p ( t ) > z q ( t ) f o r t E I . D e d u c e t h a t z ( t ) = l i m p , , , z p ( t ) i s a s o l u t i o n

o f E l a r g e r t h a n a n y o t h e r s o l u t i o n o f E . z i s c a l l e d t h e m a x i m a l

s o l u t i o n o f E .

0 . 4 0 . P r o b l e m . L e t t - x ( t ) E R b e a f u n c t i o n d e f i n e d o n a n o p e n s e t o f

R . C o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

( E ) X , = A - f ( t ) e x ,

w h e r e f i s a n o n v a n i s h i n g c o n t i n u o u s p e r i o d i c f u n c t i o n o n R w i t h p e r i o d 1 ,

a n d A i s a r e a l p a r a m e t e r .

a ) F o r t o E R , s h o w t h a t t h e r e e x i s t s , i n a n e i g h b o u r h o o d o f t o , a u n i q u e

d i f f e r e n t i a b l e s o l u t i o n o f ( E ) s u c h t h a t x ( t o ) = x p , x o b e i n g a g i v e n

r e a l n u m b e r .

b ) V e r i f y t h a t i f x i s a s o l u t i o n o f ( E ) , t h e n y = e - z i s a s o l u t i o n o f

= f

* )

y ' + A Y

c ) W h e n A

0 , p r o v e t h a t

Y A M =

e a

1

1

( e a " f ( t + u ) d u

0

i s t h e u n i q u e d i f f e r e n t i a b l e s o l u t i o n o f ( * ) w h i c h i s p e r i o d i c o f p e r i o d

1 .

d ) W h a t c a n w e s a y a b o u t t h e e x i s t e n c e o f a p e r i o d i c s o l u t i o n o f ( * ) i n

t h e c a s e A = 0 ?

e ) W h e n f > 0 , d e d u c e f r o m c ) t h a t ( E ) h a s a p e r i o d i c s o l u t i o n ( o f

p e r i o d 1 ) i f a n d o n l y i f A > 0 .

f ) S h o w t h a t

A y a ( t ) = f ( t ) . D e d u c e t h a t ( E ) h a s a p e r i o d i c

s o l u t i o n ( o f p e r i o d 1 ) f o r a l l A < 0 i f a n d o n l y i f f ( t ) < 0 f o r a l l t .

g ) I f f o ' f ( t ) d t < 0 , e s t a b l i s h t h e e x i s t e n c e o f e > 0 s u c h t h a t ( E ) h a s a

p e r i o d i c s o l u t i o n ( o f p e r i o d 1 ) f o r a n y A E ( - e , 0 ) .


28/198

0 . 4 1 . P r o b l e m . L e t

E = { f E C l ( [ O , 1 1 ) 1 f ( 0 ) = 0 a n d f ( 1 ) = 1 } .

W h a t i s t h e g r e a t e s t r e a l n u m b e r m s u c h t h a t

M < I

f ' ( x ) - f ( x ) I d x

k w a n y f E E ? H i n t . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n f e - = .

0 . 4 2 . P r o b l e m . L e t t - ' x ( t ) E R b e a f u n c t i o n d e f i n e d o n a n o p e n s e t o f

R . C o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

( E a )

x ' = A + l + t 2 ,

x ( 0 ) = 0 , A E R .

a ) P r o v e t h a t t h e r e e x i s t s A o s u c h t h a t ( E x ) h a s a s o l u t i o n o n [ 0 , o o ) i f

a n d o n l y i f A < A o . W h a t i s t h e v a l u e o f A O ?

b ) W h e n A > A o , t h e m a x i m a l s o l u t i o n e x i s t s o n [ 0 , a a ) . S h o w t h a t

s i n h

-

< a s < s i n h

a r

F A - I .

0 . 4 8 . E x e r c i s e . L e t f b e a r e a l v a l u e d d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a t e a c h p o i n t

o f [ a , b ] C R , a n d s u p p o s e t h a t f ( a ) < f ' ( b ) . L e t I t E ( f ' ( a ) , f ' ( b ) ) . P r o v e

t h a t t h e r e e x i s t s z o E ( a , b ) s u c h t h a t f ' ( x o ) = y o .

0 . 4 4 . P r o b l e m . L e t A ( n E N ) b e t h e p o s i t i v e s o l u t i o n s o f t a n x = x .

a ) S h o w t h a t

O 1 1

? = 1 0 '

n = 1

b ) C o n s i d e r t h e e q u a t i o n

( E )

- y " + b 2 y = f ( x ) ,

y ( O ) = 0 ,

0 1 ) = y ( 1 ) ,

w i t h b > 0 a n d f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . I s t h e r e a s o l u t i o n ? I s i t

u n i q u e ?

c ) F i n d a f u n c t i o n G ( x , t ) o n [ 0 , 1 ] x [ 0 , 1 ] s u c h t h a t t h e s o l u t i o n o f ( E )

i s

1 =

G ( x , t . ) f ( t ) d t .

f o

y ( x

d ) I s G ( x , t ) c o n t i n u o u s ? D o e s i t s a t i s f y G ( x , t ) = G ( t , x ) ?

e ) I f t h e e q u a t i o n

- 1 " + b y = 1 i y ,

y ( 0 ) = 0 ,

y ' ( l ) = y ( 1 ) ,

h a s a n o n - t r i v i a l s o l u t i o n , w h a t c a n w e s a y a b o u t ?


29/198

1 6 0 . B a c k g r o u n d M a t e r i a l

0 . 4 5 . E x e r c i s e . C o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

x ' = X 2 + t ,

x ( 0 ) = 0 ,

w h e r e t - s x ( t ) E R i s a f u n c t i o n o n a n e i g h b o u r h o o d o f 0 E i t

a ) S h o w t h a t a s o l u t i o n e x i s t s o n ( - b , a ) w i t h a < 3 .

b ) W h a t c a n w e s a y a b o u t b ?

0 . 4 6 . E x e r c i s e . C o n s i d e r t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n y ' = x -

T h e n x - '

Y ( x ) E R i s a f u n c t i o n d e f i n e d o n a n i n t e r v a l o f R . P r o v e t h a t i t h a s a u n i q u e

s o l u t i o n o n ( 0 , o o ) w h i c h i s p o s i t i v e a n d w h i c h t e n d s t o z e r o w h e n x - + o o .

0 . 4 7 . P r o b l e m . I n t h i s p r o b l e m t h e g i v e n f u n c t i o n s a n d t h e s o l u t i o n s a r e

d e f i n e d o n R , w i t h v a l u e s i n i t T h e y a r e e v e n a n d p e r i o d i c o f p e r i o d 2 i r . E o

w i l l b e t h e s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n R w h i c h a r e e v e n a n d p e r i o d i c

o f p e r i o d 2 s r . F o r k E N , w e h a v e E k = { f E E o I f E & I . L e t

C , 0 6 b e

t h e s p a c e o f t h e b o u n d e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n R e n d o w e d w i t h t h e n o r m

I I f I I c o = s u p i f I , a n d P , . ( x ) t h e s e t o f t h e f u n c t i o n s i n E l w h o s e F o u r i e r s e r i e s

h a v e v a n i s h i n g c o e f f i c i e n t s a k w h e n k > n ( P R ( x ) i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f

t h e f u n c t i o n s c o s k x w i t h 0 < k < n ) .

P a r t I

a ) L e t h E E o . S h o w t h a t f o r t h e e q u a t i o n y " + y ' c o t a n x = h ( x ) t o

h a v e a s o l u t i o n i n E 2 o n t h e o p e n s e t C l C R , w h e r e t a n x

0 , i t i s

n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t t h a t

h ( x ) s i n x d x . W h a t c a n w e s a y a b o u t

u n i q u e n e s s ?

b ) F o r p a r e a l n u m b e r , v e r i f y t h a t

F : y - y " + i ' c o t a n x - p y

i s a m a p i n P P ( x ) .

L e t f , E P R ( x ) , a n d p r o v e t h a t i f p > 0 ( w h i c h i s a s s u m e d h e n c e -

f o r t h ) , t h e n t h e e q u a t i o n

( 1 ) y " + y ' c o t a n x - p y = f R ( x )

h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n E 2 ( t h a t m e a n s t h a t t h e f u n c t i o n i n E 2

s a t i s f i e s ( 1 ) o n f l ) .

c ) L e t f E E l , a n d d e n o t e b y f a t h e p a r t i a l s u m u p t o o r d e r n o f t h e

F o u r i e r s e r i e s o f f . F o r e a c h n E N , w e c o n s i d e r t h e s o l u t i o n y n i n

E 2 o f e q u a t i o n ( 1 ) . G i v e n k p o i n t s x 1 , . Z ,

.

, x k

o f 1 0 , i r ] , s h o w t h a t

t h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e { y p } C { y . } w h i c h c o n v e r g e s a t t h e s e k

p o i n t s .

d ) P r o v e t h a t t h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e o f { y , } w h i c h i s a C a u c h y

s e q u e n c e i n C O D . D e d u c e t h a t t h e e q u a t i o n

( 2 )

y " + y ' c o t a n x - p y = f ( x )


30/198


1 7

h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n E 2 .

e ) S i n c e f E E l , w h a t i s t h e r e g u l a r i t y o f t h e s o l u t i o n ?

P a r t H

W e n e x t s t u d y t h e e q u a t i o n

( 3 )

z " + z ' c o t a n x + h ( x ) = f ( x ) e " = ,

w h e r e h , f b e l o n g t o E p a n d v E R , f 0 0 a n d v 9 6 0 .

a ) R e d u c e t h e s t u d y o f ( 3 ) t o t h e s t u d y o f t h e e q u a t i o n

( 4 )

y " + y ' c o t a n x + a = f ( x ) e y ,

w h e r e a i s c o n s t a n t a n d f E E u . W h e n f h a s a c o n s t a n t s i g n , e s t a b l i s h

t h a t f o r ( 4 ) t o h a v e a s o l u t i o n i n R 2 , i t i s n e c e s s a r y t h a t a h a v e t h e

s i g n o f f .

W h e n a = 0 , v e r i f y t h a t f o r ( 4 ) t o h a v e a s o l u t i o n i n E 2 , i t i s

n e c e s s a r y t h a t f c h a n g e s s i g n a n d t h a t f o f ( x ) s i n x d x > 0 .

b ) F o r t h e r e s t o f P a r t I I w e s u p p o s e a > 0 a n d f ( x ) > 0 f o r a l l x E R .

E x h i b i t t w o r e a l n u m b e r s m a n d M s u c h t h a t f ( x ) e m < a < f ( x ) e M

f o r a l l x E R . T h e n c o n s i d e r t h e s e q u e n c e o f f u n c t i o n s d e f i n e d b y

i n d u c t i o n a s f o l l o w s : c p o = m a n d , f o r k > 0 , p k i s t h e s o l u t i o n i n E 2

o f t h e e q u a t i o n

( 5 )

W k + V k c o t a n x -

f

( x ) e l k - '

- - a - W k - 1 ,

w h e r e p > 0 i s a r e a l n u m b e r . P r o v e t h a t W r > 0 0 .

c ) I f p i s c h o s e n l a r g e e n o u g h , e s t a b l i s h t h a t t h e s e q u e n c e { W p k } i s i n -

c r e a s i n g a n d b o u n d e d b y M .

d ) P r o v e t h a t { c p k } i s a C a u c h y s e q u e n c e i n C .

D e d u c e t h a t e q u a t i o n ( 4 ) h a s a u n i q u e s o l u t i o n i n E 2 . W h a t i s

i t s r e g u l a r i t y ?

P a r t I I I

I n t h i s p a r t w e s u p p o s e a < 0 .

a ) V e r i f y t h a t f o r ( 4 ) t o h a v e a s o l u t i o n i n E 2 , i t i s n e c e s s a r y t h a t f

b e n e g a t i v e a t l e a s t s o m e w h e r e . W h e n f ( x ) - - 2 a n d a = - 2 , t h e

e q u a t i o n

( 6 )

y " + y ' c o t a n x + 2 e y = 2

h a s a n o b v i o u s s o l u t i o n y o . B u t i n f a c t t h e r e e x i s t s a o n e - p a r a m e t e r

f a m i l y o f s o l u t i o n s y t o f ( 6 ) i n E 2 , y t b e i n g C r i n a n e i g h b o u r h o o d o f

t . F i n d t h e e q u a t i o n ( 7 ) s a t i s f i e d b y w = ( d y t / d t ) t - - o .

b ) F i n d t h e s o l u t i o n s o f ( 7 ) i n E 2 . L e t t J i b e o n e o f t h e m , i 1 '

0 .


31/198

1 8


c ) F i n d s o l u t i o n s o f ( 6 ) i n E 2 o f t h e f o r m

y = k l o g [ p ( 1 + E V , ) ] ,

w h e r e k , l a a n d a a r e r e a l n u m b e r s t o b e c h o s e n . F i n d a l l t h e s o l u t i o n s

o f ( 6 ) i n F - 1 -

d ) I f e q u a t i o n ( 4 ) h a s o n e o r m o r e s o l u t i o n s i n E 2 , l e t y b e o n e o f t h e m .

P r o v e t h e f o l l o w i n g i d e n t i t y :

f f I s i r 2 x e v i x = _ ( 1 + a / 2 ) j f e v

s i n 2 x d x .

W h e n a = - 2 , s h o w t h a t e q u a t i o n ( 4 ) d o e s n o t a l w a y s h a v e a s o l u t i o n ,

e v e n i f t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o u n d i n I I I a ) i s s a t i s f i e d .

S p e c i a l i s t s w i l l r e c o g n i z e t h e K a z d a n - W a r n e r c o n d i t i o n f o r t h e

s o - c a l l e d N i r e n b e r g p r o b l e m ( s e e A u b i n [ 2 ] ) .


32/198

C h a p t e r 1

D i f f e r e n t i a b l e

M a n i f o l d s

O n e b e g i n s a n e w f i e l d i n m a t h e m a t i c s w i t h s o m e d e f i n i t i o n s , a n d t h i s c o u r s e

i s n o e x c e p t i o n . T h e r e a r e m a n y d e f i n i t i o n s , e s p e c i a l l y a t t h e b e g i n n i n g . T h e

s u b j e c t o f o u r s t u d y i s d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d s . I t i s n e c e s s a r y t o u n d e r s t a n d

w e l l w h a t a d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d i s .

W e g i v e t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m o n p a r t i t i o n o f u n i t y , v e r y u s e f u l i n

d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y . T h i s p r o o f n e e d s p o i n t - s e t t o p o l o g y . T h e r e a d e r i s

a s s u m e d t o k n o w t h e d e f i n i t i o n o f a t o p o l o g y a n d t h a t o f a c o m p a c t s e t ( s e e

C h a p t e r 0 ) . B u t w h a t i s u s e f u l t h r o u g h o u t t h e b o o k i s d i f f e r e n t i a l c a l c u l u s .

O n e m u s t k n o w w h a t a d i f f e r e n t i a b l e m a p p i n g i s , a n d t h e C a u c h y T h e o r e m

o n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s .

T h i s c h a p t e r c o n t i n u e s w i t h t h e d e f i n i t i o n o f a s u b m a n i f o l d . T o p r o v e

t h a t a s u b s e t o f a m a n i f o l d i s a s u b m a n i f o l d . u s i n g t h e d e f i n i t i o n , s e e m s t o

b e d i f f i c u l t ; f o r t u n a t e l y w e h a v e a t o u r d i s p o s a l T h e o r e m 1 . 1 9 , w h i c h w i l l

b e v e r y u s e f u l f o r a p p l i c a t i o n s .

W e e n d t h e c h a p t e r w i t h t w o b a s i c t h e o r e m s , W h i t n e y ' s a n d S a r d ' s .

W e g i v e t h e d i f f i c u l t p r o o f o f W h i t n e y ' s t h e o r e m , b e c a u s e i t i s a b e a u t i f u l

a p p l i c a t i o n o f t h e k n o w l e d g e a l r e a d y a c q u i r e d . T h e r e a d e r m a y s k i p t h e

p r o o f s o f W h i t n e y ' s t h e o r e m a n d t h e t h e o r e m o n p a r t i t i o n o f u n i t y .


1 . 1 . D e f i n i t i o n . A m a n i f o l d M n o f d i m e n s i o n n i s a H a u s d o r f f t o p o l o g i c a l

s p a c e s u c h t h a t e a c h p o i n t P o f M n h a s a n e i g h b o u r h o o d C l h o m e o m o r p h i c

t o R n ( o r e q u i v a l e n t l y t o a n o p e n s e t o f R n ) .

1 9


33/198

2 0

1 . D i f f e r e n t i a b l e M a n i f o l d s

M o r e g e n e r a l l y , w e d e f i n e a B a n a c h m a n i f o l d : e a c h p o i n t h a s a n e i g h -

b o u r h o o d h o m e o m o r p h i c t o a n o p e n s e t o f a B a n a c h s p a c e . H e r e w e w i l l

s t u d y o n l y m a n i f o l d s o f f i n i t e d i m e n s i o n .

T h e n o t i o n o f d i m e n s i o n m a k e s s e n s e b e c a u s e t h e r e i s n o h o m e o m o r -

p h i s m o f R n i n t o R P i f n 9 6 p . W e d o n o t p r o v e t h i s m a i n r e s u l t , b e c a u s e

w e w i l l s t u d y d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d s , f o r w h i c h t h e p r o o f o f t h e n o t i o n

o f d i m e n s i o n i s o b v i o u s . W e w i l l o n l y c o n s i d e r c o n n e c t e d m a n i f o l d s . I f a

m a n i f o l d h a s m o r e t h a n o n e c o m p o n e n t , w e s t u d y o n e c o m p o n e n t a t a t i m e .

1 . 2 . P r o p o s i t i o n . A m a n i f o l d i s l o c a l l y c o m p a c t a n d l o c a l l y p a t h c o n n e c -

t e d .

B y d e f i n i t i o n , l o c a l l y c o m p a c t ( r e s p . l o c a l l y p a t h c o n n e c t e d ) m e a n s t h a t

e v e r y p o i n t h a s a b a s i s o f c o m p a c t ( r e a p . p a t h c o n n e c t e d ) n e i g h b o u r h o o d s

( a f a m i l y o f n e i g h b o u r h o o d s i s a b a s i s o f n e i g h b o u r h o o d s a t P , i f a n y n e i g h -

b o u r h o o d o f P c o n t a i n s a n e i g h b o u r h o o d o f t h e f a m i l y ) . A s e t E i s p a t h

c o n n e c t e d i f , g i v e n a n y p a i r o f p o i n t s P , Q i n E , t h e r e i s a n a r e i n E f r o m P

t o Q .

A n a r c o f M i s t h e i m a g e , b y a c o n t i n u o u s m a p , o f [ 0 , 1 ] C R i n t o M n .

I f I ' i s a n a r c i n R " a n d c p t h e h o m e o m o r p h i s m o f D e f i n i t i o n 1 . 1 , W - 1 ( I ' ) i s

a n a r c i n M n . I f t h e r e e x i s t a n a r e f r o m P t o Q a n d a n o t h e r f r o m Q t o T ,

t h e i r u n i o n i s a n a r e f r o m P t o T .

L e t P E M n a n d l e t i t b e a n e i g h b o u r h o o d o f P h o m e o m o r p h i c t o a n

o p e n s e t o f R n , f l i - R " . I n t h i s c h a p t e r , B , . w i l l b e t h e b a l l o f R " w i t h

c e n t e r 0 a n d r a d i u s r .

A s o f t e n , w e s u p p o s e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y

t h a t c p ( P ) = 0 .

r = 1 , 2 , . . . , p . . . . ( p E N ) . f o r m a b a s i s o f


34/198


2 1

n e i g h b o u r h o o d s o f P w h i c h a r e c o m p a c t a n d p a t h c o n n e c t e d .

' p -

I

1 . 3 . P r o p o s i t i o n . A c o n n e c t e d m a n i f o l d i s p a t h c o n n e c t e d .

P r o o f . L e t P E M , , , a n d l e t W b e t h e s e t o f p o i n t s Q o f M n f o r w h i c h

t h e r e i s a n a r e f r o m P t o Q . W i s c l o s e d . I n d e e d , l e t T E W , a n d U a

n e i g h b o u r h o o d o f T h o m e o m o r p h i c t o R " . W e h a v e U f 1 W 0 0 ; t h u s t h e r e

e x i s t Q E U f l W a n d a n a r e f r o m P t o Q ; t h e r e i s a l s o a n a r c f r o m Q t o T .

H e n c e T E W .

W i s o p e n . I n d e e d , l e t Q E W ; Q h a s a n e i g h b o u r h o o d f 2 h o m e o m o r p h i c t o

R " a n d 0 C W . S i n c e M " i s c o n n e c t e d a n d W 0 0 ( P E W ) , W = M " .

1 . 4 . D e f i n i t i o n . A l o c a l c h a r t o n M " i s a p a i r ( f t , c p ) , w h e r e f l i s a n o p e n

s e t o f M " a n d 9 a h o m e o m o r p h i s m o f i 2 o n t o a n o p e n s e t o f R " . A c o l l e c t i o n

( ( T . j , W i ) i e 1 o f l o c a l c h a r t s s u c h t h a t U f E 1 " 4 = M " i s c a l l e d a n a t l a s . T h e

c o o r d i n a t e s o f P E f l r e l a t e d t o t h e l o c a l c h a r t ( 1 2 , c o ) a r e t h e c o o r d i n a t e s o f

t h e p o i n t r p ( P ) i n R " .

1 . 5 . D e f i n i t i o n . A n a t l a s o f c l a s s C k ( r e s p e c t i v e l y C O ' , C ) ? o n M , i s a n

a t l a s f o r w h i c h a l l c h a n g e s o f c h a r t s a r e C k ( r e s p e c t i v e l y C , C ) . T h a t i s

t o s a y , i f ( f L , , s p a ) , a n d ( f 2 q , p , 3 ) a r e t w o l o c a l c h a r t s w i t h Q C n Q q 0 0 , t h e n


35/198

2 2

I . D i f f e r e n t i a b l e M a n i f o l d s

t h e m a p F A Q o c p , 1 , c a l l e d c h a n g e o f c h a r t s , o f V S ( f H a l o ) o n t o c p , ( i 2 Q n i t s )

i s a d i f f e o m o r p h i s m o f c l a s s C A ( r e s p e c t i v e l y C , C w ) .

R n D V o ( 0 Q n i t s ) % 1 2 n f t s f ? . W . ( n . n i t s ) c R n

W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n o f e q u i v a l e n c e b e t w e e n a t l a s e s o f c l a s s

C k o n M n : t w o a t l a s e s ( U ; , P + ) i E I a n d ( W e , * Q ) Q E A o f C l a s s C k a r e s a i d t o b e

e q u i v a l e n t i f t h e i r u n i o n i s a n a t l a s o f c l a s s C k . T h a t i s t o s a y t h a t g y p , o * 1

i s C k o n * , , ( U t n W Q ) w h e n U , n W Q # 0 .

1 . 6 . D e f i n i t i o n . A d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d o f c l a s s C k ( r e s p e c t i v e l y . C o r

C I ) i s a m a n i f o l d t o g e t h e r w i t h a n e q u i v a l e n c e c l a s s o f C k a t l a s e s ( r e s p e c -

t i v e l y , C o r C O ) .

O n a m a n i f o l d t h e r e n e e d n o t a l w a y s e x i s t a d i f f e r e n t i a b l e a t l a s ( o f c l a s s

C k ) , b u t i f t h e r e e x i s t s a n a t l a s o f c l a s s C ' , t h e n t i m e a r e a t l a s e s o f c l a s s C

( w h i c h a r e C l - e q u i v a l e n t t o i t ) i f t h e m a n i f o l d i s p a r a c o m p a c t . I t i s p o s s i b l e

n o w t o t a l k a b o u t d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s C k o n a C r - d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d

w h e n k < p . A f u n c t i o n f o n M n ( u n l e s s w e s a y o t h e r w i s e , a f u n c t i o n t a k e s

i t s v a l u e s i n R ) i s C k - d i f f e r e n t i a b l e a t P E M . i f f o r a l o c a l c h a r t ( U , i p )

w i t h P E U t h e f u n c t i o n f o V - 1 i s C k - d i f f e r e n t i a b l e a t W ( P ) . W e e a s i l y

v e r i f y t h a t t h i s d e f i n i t i o n m a k e s s e n s e - - t h e n o t i o n o f d i f f e r e n t i a b i l i t y d o e s

n o t d e p e n d o n t h e l o c a l c h a r t . I n d e e d , l e t ( i 2 , 0 ) b e a n o t h e r l o c a l c h a r t a t

P ; t h e n f o t j i - 1 = f o r p - 1 o c p o Y , - 1 i s C k - d i f f e r e n t i a b l e a t 1 0 ( P ) s i n c e V o , 1 , - 1


36/198

i s C k - d i f f e r e n t i a b l e b e c a u s e k < p .

1 . 7 . R e m a r k . W e c a n d e f i n e c o m p l e x m a n i f o l d s M . C o n s i d e r a n a t l a s o f

l o c a l c h a r t s ( f ) j , c p j ) i E 1 , w h e r e B p i i s a h o m e o m o r p h i s m o f l i o n t o a n o p e n

s e t i n C . I f a n y c h a n g e o f c h a r t s V j o c p i 1 i s h o l o m o r p h i c o n p i ( S 2 j f l S 2 j ) ,

M i s a c o m p l e x m a n i f o l d o f c o m p l e x d i m e n s i o n m ( n = 2 m ) .

1 . 8 . E x a m p l e . A n o p e n s e t I l o f a d i f f e r e n t i a b l e m a n i f o l d M , , i s a d i f f e r -

e n t i a b l e m a n i f o l d .

I t i s e n d o w e d w i t h t h e a t l a s ( U t , ' ) { E , o b t a i n e d f r o m

t h e a t l a s ( U U ,

j ) j E , o f m . b y s e t t i n g U 1 = U ; f l 1 2 a n d l e t t i n g c p j b e t h e

r e s t r i c t i o n o f c p , t o U 1 .

T h e s p h e r e S , i s a c o m p a c t a n a l y t i c m a n i f o l d .

P r o o f . L e t u s c o n s i d e r t h e u n i t s p h e r e S , C R n + 1 c e n t e r e d a t 0 E R " + 1 ,

w i t h P a n d T t h e n o r t h a n d s o u t h p o l e s o f c o o r d i n a t e s z i + 1 = 1 ,

z j = 0 f o r 1 < i < n i n R n + 1 W e d e f i n e t h e c h a r t s ( i t , c ) a n d ( 8 , v p ) a s

f o l l o w s : n = S , \ { P } , 8 = & \ { T } ; f o r Q E 0 , c p ( Q ) = Q 1 , t h e i n t e r s e c t i o n

o f t h e s t r a i g h t l i n e P Q w i t h t h e h y p e r p l a n e I I o f e q u a t i o n z n + 1 = 0 ( { p i s

t h e s t e r e o g r a p h i c p r o j e c t i o n o f p o l e P ) ; a n d f o r Q

59744641 a course in differential geometry thierry aubin

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