a cous tiquejbhsubgusy

7/21/2019 A Cous Tiquejbhsubgusy

1/151

UNITE DENSEIGNEMENT : S8UP1Introduction a lAcoustique

Introduction a lAcoustique

Auteur : Yann MARCHESSEDepartement : Mecanique et EnergetiqueEdition : Annee universitaire 2010-2011

ECOLE CATHOLIQUE DARTS ET METIERS40 Montee Saint-Barthelemy - 69321 Lyon Cedex 05

Tel. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11

www.ecam.fr


2/151


3/151

1

Introduction a lAcoustique

Yann MARCHESSEDepartement de Mecanique et Energetique

Ecole Catholique dArts et Metiers-Lyon

Date de compilation du document : 31 mars 2011

ECOLE CATHOLIQUE DARTS ET METIERS40 Montee Saint-Barthelemy - 69321 Lyon Cedex 05

Tel. : 04 72 77 06 00 - Fax : 04 72 77 06 11www.ecam.fr


4/151

2


5/151

Sommaire

Nomenclature 5

Avant-propos 7

1 Ondes acoustiques 13

1.1 Grandeurs acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Equations de la mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Equations de base de lacoustique lineaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Bilan denergie : densite energetique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Intensite et puissance acoustique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Ondes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Mesures acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9 Onde spherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Niveaux acoustiques 33

2.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Niveaux de pression, dintensite, et de puissance . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Sensation auditive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Ponderation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 Influence du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Conditions de travail en entreprise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Sources acoustiques elementaires et etendues 45

3.1 Sources elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Sources acoustiques lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Sources acoustiques etendues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 Directivite des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Cavites et guides dondes 69

4.1 Cavites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Guides dondes de section constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


6/151

4 SOMMAIRE

5 Reflexion et transmissionImpedance de paroi 835.1 Definition des coefficients de reflexion et de transmission . . . . . . . . . . 835.2 Transmission dun milieu a un autre en incidence normale . . . . . . . . . 845.3 Transmission dun milieu a un autre en incidence oblique . . . . . . . . . . 915.4 Impedance acoustique de paroi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Tubes, resonateurs, et filtres 1036.1 Resonance dans les tubes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 Reflexion et transmission dondes dans les tubes . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 76.3 Le resonateur dHelmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 Tube a ondes stationnaires ou tube de Kundt . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Methode des deux microphones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Metrologie acoustique 1237.1 Spectres acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Les microphones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3 Les mesures en laboratoire : chambres anechoique et reverberante . . . . . 1327.4 Mesures dintensite acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.5 Mesures dune puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Bibliographie sommaire 141

A Annexes 145A.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

A.2 Operateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.3 Les fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


7/151

Nomenclature

La meme notation peut dans certains cas representer des quantites physiques distinctes,mais replacee dans le contexte du chapitre traite, toute ambiguite devrait etre levee.

Caracteres usuels

c Celerite

Eac, Ec,Ep Energie acoustique totale, cinetique, et potentielleeac,ec,ep Densites volumiques denergie acoustique totale, cinetique, et potentielleg Acceleration de pesanteurI Vecteur intensite acoustique

j Nombre complexe (j2 = 1)k Vecteur donde (||k || = 2/)

Leq.,T Niveau sonore continu equivalentLEx,d Niveau dexposition sonore quotidienneLp, LI, LW Niveaux de pression, dintensite, et de puissanceLp,c Niveau de pression acoustique de crete pondere Cp Pression acoustiquer Constante specifique des gaz (rapport de la constante des gaz et du

poids moleculaire)R Constante des gaz parfaitsR distance radiale a une source acoustique rayonnant des ondes spheriquesR, RI, RW Coefficient de reflexion en pression, en intensite, et en puissanceRe( ) Partie reelle dun nombre complexes Condensation

SEL Niveau dexposition sonoret Variable temporelleT TemperatureT, TI,TW Coefficient de transmission en pression, en intensite, et en puissanceU Vitesse du fluideV Vitesse acoustiqueW Puissance acoustiquex Position spatiale du point considere

Z, Zc Impedances acoustique et caracteristique dun tube


8/151

6 Nomenclature

Caracteres usuels (suite)

Caracteres grecs

Rapport des chaleurs specifiques (=cp/cv) Operateur Laplacien,c Angle, angle critiquei,o Angle de Brewster Longueur donde Masse volumique Facteur de rayonnement

Potentiel de vitesse,

V =grad

Indices

eff Valeur efficaceo Relatif au milieu au reposre Partie reel dun imaginaireRef. Valeur de reference

Les parametres surmontes du symbole tilde (

) representent des nombres complexes.


9/151

Avant-propos

Ce polycopie est destine aux etudiants des deuxiemes cycles universitaires. Plus par-ticulierement, il presente le cours intitule Introduction a lacoustique enseigne en deu-xieme annee du cycle ingenieur de lEcole Catholique dArts et Metiers de Lyon. Lap-proche pedagogique permettant la transmission des connaissances abordees ici est large-

ment inspiree des livres cites dans la bibliographie page 141.

Ce cours ne represente quune introduction a lacoustique et a pour principal interetde presenter les notions de bases impliquees dans la plupart des problemes industriels. Ilsarticule autour de sept chapitres.

Le chapitre 1 rappelle succinctement les lois de bilan des milieux continus. Celles-cisont ensuite appliquees dans le cadre des hypotheses de lacoustique lineaire. La com-binaison de ces deux equations permet enfin lecriture de lequation de propagation desondes. On sinteresse tout particulierement a deux types de solutions : londe plane et

londe spherique.

Le chapitre 2 presente la notion de niveau acoustique tres utile a tout ingenieur-acousticien. Les relations entre les differents types de niveaux sont presentes. Enfin, lesponderations sont introduites afin dexpliquer la difference entre des niveaux mesures etpercus par loreille.

Le chapitre 3 propose dans une premiere partie des modelisations de sources acous-tiques : le monopole et le dipole. La suite du chapitre etudie le principe de generation durayonnement acoustique de sources etendues, suivie de deux applications concretes.

Le chapitre4 sinteresse a la repartition de lenergie acoustique dans un milieu borne.On traite naturellement des cavites mais aussi des guides dondes. Il sagit la respective-ment dune premiere approche de lacoustique des salles et de propagation guidee dansles conduits (veines de ventilation par exemple).

Le chapitre 5 etudie linfluence de la presence dune interface entre deux milieuxdimpedances differentes. Les caracteristiques des ondes incidente, reflechie, et transmisey sont detaillees pour des incidences normales ou obliques. Ce chapitre termine par lanotion dimpedance de paroi.

Le chapitre6propose letude simplifiee de la propagation dondes acoustiques dans lesconduites presentant des discontinuites. Les applications vont des resonances acoustiques


10/151

8 Avant-propos

aux filtres.

Le chapitre 7 presente rapidement les notions de base utiles lors de mesures acous-tiques. Les notions de niveaux acoustiques sont abordees, le microphone rapidementpresente, et les salles de mesures succinctement caracterisees.


11/151

Introduction generale

Acoustique : partie de la physique (en relation avec la physiologie, la psychologie, etla musique) qui traite des sons et des ondes sonores (nature, production, propagation etreception du son) (Petit Robert illustre).

Cette science fait appel aux phenomenes ondulatoires et a la mecanique vibratoire. Entant que telle, les champs dinvestigation quelle propose regroupent plusieurs domaines :la propagation des ondes sonores, lacoustique des salles, la physiologie de laudition,lacoustique environnementale, le traitement du signal audio, les sciences de la communi-cation parlee, etc.

Le principe de propagation des ondes sonores est le suivant : lorsquune particulefluide est deplacee de sa position dequilibre, par laction par exemple dune membranedeformee (Fig.1), on note une augmentation locale et momentanee de la pression. Cetteaugmentation est ensuite transmise a la particule voisine pendant que la premiere retrouvesa position dorigine et se detend (decroissance de la pression). Le cycle de variation dela pression se propage ainsi a travers le milieu, il sagit dune onde. Une fine tranche dairsur le chemin de londe effectue alors a son passage des mouvements daller et retour dansla direction de propagation de londe sonore. On parlera donde longitudinale1. Unpoint atteint par une onde reproduit donc letat de la source de bruit avec une amplitudemoindre et un retard temporel. Notons bien quil ny a pas de mouvement de matiere (ousi peu) mais transport dune energie, comme cela est le cas pour les vagues en mer sepropageant sur la surface libre de leau (mais ne faisant pas avancer les bateaux).

Il faut neanmoins quelques conditions afin que la propagation dune onde sonore soitpossible. En effet, il est necessaire que le milieu environnant la source permette la propa-

gation de londe et que la source soit dans un etat vibratoire. Ainsi la propagation sonoreest impossible dans le vide, et la corde dune guitare immobile nemet aucun son.

Dautre part, les sons, qui nous entourent et que nous recevons a travers notre organede reception, loreille, sont situes a des hauteurs differentes. Ceci est caracterise par lafrequence, noteef, correspondant au nombre de vibrations par seconde de la source (oude la zone de reception car en general un point atteint par londe vibrera avec la memefrequence que la source). La frequence se mesure en hertz, avec 1Hz = 1 vibration parseconde. Cependant, toutes les frequences ne sont percues par notre oreille. En effet, lesfrequences situees en-dessous de 20 Hz (infra-sons) et celles situees au-dessus de 20 000 Hz(ultra-sons) ne seront pas audibles. De plus, pour certaines frequences, le niveau sonore du

1Une onde est dte transversale si les particules oscillent dans une direction perpendiculaire a ladirection de propagation de londe. Cependant, lair nest pas assez rigide pour permettre ce type donde.


12/151

10 Introduction generale

detente de lair

compression de lair compression de lair

variation de la pression

Distance a la source

Fig. 1 Generation dune variation de pression se propageant dans lair.

bruit intervient. La figure2resume le domaine audible par loreille humaine. On note icique les seuils daudition, cest a dire le niveau sonore minimum perceptibles, ne sont pasidentiques pour les basses et les hautes frequences. En effet, pour des frequences prochesde 20 Hz, le niveau acoustique doit etre de lordre de 80 dB pour que loreille humainecommence a entendre cette frequence, alors quun niveau acoustique proche de 20 dB estsuffisant pourn entendre une frequence placee a lopposee du spectre daudition. Le corpspeut dautre part etre sensibles a certaines frequences hors de ce domaine. Cest le casdes basses frequences qui peuvent procurer dans ce cas des genes.

40200

20406080

100120140160180

Domaine Audible

1 Pa = 94 dB

1 atm = 194 dB

Freq. (Hz)

N

iveausonore

0,2 2 20 200 2k 20k 200k

Fig. 2 Domaine audible pour loreille humaine (Reference du niveau sonore : 20Pa).

A cette notion de frequence, il faut associer celle de longueur dondeet de celerite,car reliees toutes trois entre elles. La longueur donde correspond a la distance parcouruepar un front donde durant une periode de tempsT, avec T = 1/f. Deux point separes

par un nombre entier de longueur donde sont dans le meme etat de vibration, on ditquils vibrenten phase(cest le cas pour les pointsM1 etM2 sur la figure3). La celeritede londe, notee c, quant a elle est la vitesse avec laquelle londe se propage. Les trois


13/151

11

grandeurs sont reliees de la facon suivante :

= cT = c

f

Ainsi londe sinusodale est la source de vibrations la plus simple (et donc tres rare dans

Une longueur donde

cM1 M2

Fig. 3 Definition de la longueur donde (M1 etM2 en phase).

la nature) pour les particules faisant alors des allers et retours autour dune positiondequilibre (Fig. 4.a). Il existe evidemment des sons plus complexes. Un instrument acorde emet la plupart du temps des sons periodiques mais non sinusodaux (Fig. 4.b).Des lors que le son ne fait plus apparatre des sequences repetees, le signal devient pluscomplexe a formuler (Fig.4.c).

Linteret de ce cours est de presenter les notions de base de lacoustique. Dans unepremiere partie, les equations de propagation des ondes sont obtenues a partir des relations

fondamentales de la mecanique des milieux continus. Leurs solutions nous permettrontde presenter deux types donde dun grand interet, londe plane et londe spherique. Onsinteressera egalement dans cette partie au caractere energetique associe a ces ondes,a travers lintensite et la puissance acoustique. Une fois ces bases posees, deux sourcesacoustiques elementaires seront introduites (le monopole et le dipole) permettant ainsi lamodelisation de sources reelles.

La deuxieme partie abordera la propagation des ondes dans des milieux confines telsque les guides dondes, les resonateurs et les filtres laissant ainsi la possibilite au lecteurde mieux apprehender des problemes industriels reels.

Enfin, letude de lacoustique netant pas possible sans la mesure de la pression acous-tique, une troisieme partie propose alors une breve description des techniques de me-sures (microphones, chambres anechoque et reverberante) necessaires a lidentificationdes sources de bruit.


14/151

12 Introduction generale

Fig.4 Exemples dondes. a, onde si-

nusodale ; b, signal periodique non si-

nusodal ; c, signal non periodique.

(a)

(b)

(c)


15/151

CHAPITRE 1

Ondes acoustiquesCe chapitre a pour but principal la presentation de deux types donde, londe plane et

londe spherique. Avant cela, les grandeurs acoustiques seront presentees, et reliees entreelles ensuite par des equations de bilan (conservation de la masse et bilan de quantite demouvement). Nous nous placerons dans lhypothese de lacoustique lineaire permettantune grande simplification de ces equations pour aboutir aux equations de lacoustiquelinearisees. Cette hypothese est averee dans une grande majorite des cas, meme dans lecas des bruits de jets de boosters de lanceurs spatiaux caracterises par des niveaux so-nores tres importants. Les equations de propagations des ondes sonores seront finalement

atteintes par combinaison des deux equations de bilan. Les deux types donde, solutionsdes equations de propagations, seront abordees ainsi que les aspects energetiques associes(energies cinetique et potentielle, intensite et puissance acoustique).

1.1 Grandeurs acoustiques

Les deux grandeurs principales de lacoustique sont la pression acoustique et la vi-tesse particulaire qui impliquent respectivement lenergie potentielle et lenergie cinetique.La pression acoustique, notee p(x , t) fonction du point considere localise parx et dutempst, est definie comme etant lecart de la pression1 P(x , t) avec la pression ambiantePo :

p(x , t) =P(x , t) PoGeneralement, la pression ambiante est la pression atmospherique (statique). Celle-ci estla consequence de la colonne dair situee au-dessus du point etudie. Elle vaut en moyenne :

Po= 101 000 Pa 1 BarDautre part, nous considererons la vitesse

V(x , t) au point x a linstanttcorrespondant

a la vitesse dagitationdun volume elementaire et definissant la vitesse des particulesfluides consecutivement au passage dune onde acoustique. Ainsi la vitesse du fluide, noteeU(x , t), secrit de facon generalisee

U(x , t) = Vo(x , t) + V(x , t)

representant la superposition de la vitesse du fluide en absence donde (i.e.Vo(

x , t)) et dela vitesse acoustique. La vitesse du fluide en absence donde sera consideree dans ce courscomme etant nulle, cette partie etant reservee a laeroacoustique. On supposera dautre

part que

V= 0 au repos.Lautre grandeur intervenant dans tout probleme dacoustique est la masse volumique

(x , t) qui elle aussi depend de la position et du temps :(x , t) =o+ (x , t)

1Dans ce chapitre, exceptionnellement la notation majuscule sera utilisee pour les pressions dereference, en reservant la notation minuscule pour la pression acoustique, p(x , t).


16/151

14 Ondes acoustiques

orepresente la masse volumique du fluide au repos en absence donde, alors que la massevolumique (acoustique), (x , t), quant a elle fluctue avec le passage des ondes acous-tiques. Concernant le propos de ce cours, nous nous placerons dans le cadre dondes defaible amplitude, ainsi les variations de masse volumique seront tres faibles par rapport aleur valeur dequilibre (o


17/151

Equations de la mecanique des milieux continus 15

1.2.2 Bilan de quantite de mouvement

Le bilan de quantite de mouvement est la representation mathematique de lapplicationdu Principe Fondamental de Dynamique, enonce par Newton, applique a une particule

fluide. Notons que dans le cas de fluide reel, lexistence de viscosite dune part, et le pro-cessus acoustique non parfaitement adiabatique dautre part (une discussion sur ce sujetest menee plus loin) entrane une dissipation energetique. Nous nous placerons neanmoinsdans lhypothese dune dissipation negligeable. Ainsi les seuls efforts agissant sur notreelement sont de deux types, les premiers agissent sur le volume tandis que les autresagissent normalement aux surfaces. Le bilan de quantite de mouvement secrit alors :

U

t + (

U .

grad)

U

= gradP+ g (1.2)

Cette equation est connue sous le nom dequation dEuler2

.

1.2.3 Equation detat

Lequation detat est une relation entre les variables detat du fluide. Par exemple,dans le cas dun gaz parfait, lequation :

P =rT (1.3)

relie la pression totale, la masse volumique, et la temperature absolue. La quantiter est laconstante specifique des gaz, rapport de la constante des gaz parfaits (R= 8314 J/kg.K)

et du poids moleculaire (M = 29 pour lair). Deux types de transformations impliqueesdans le processus acoustique (compression et dilatation du volume elementaire au passagede londe) sont envisageables, isotherme ou adiabatique. Les deux cas sont caracterisespar les relations suivantes :

P

= Cste (Transformation isotherme)

P

= Cste (Transformation adiabatique)

ou est le rapport des chaleurs specifiques ( = 1,4 pour lair). Un developpement de

Taylor autour de la condition dequilibre (Po, o) secrit :

P() =P(o) + ( o) P

o

+ ( o)2

2

2P

2

o

+ ...

Les amplitudes etant supposees faibles (hypothese de depart), seul le terme ( o) seraretenu. De plus,P() =P et P(o) =Po, dou

p= P Po= ( o) P

o

(1.4)

2Leonhard Euler (1707-1783), mathematicien suisse. Son travail reste consequent, non seulement dans

le domaine des mathematiques, mais aussi dans les domaines de loptique, de la mecanique, de lelectricite,et de lelectromagnetisme. Il apporta une contribution importante dans letude des equations differentielle.Son livre Introducio in analysin infinitorum, ecrit en 1748 est la base de lAnalyse.


18/151


Regardons la dimension du terme P

o

:

P = [Pression][Masse volumique] = M.L1.T2M.L3 =L2.T2 = [Vitesse]2Dou notre premiere definition dune vitesse appelee celerite et note c,

c2 = P

o

(1.5)

correspondant a la vitesse de propagation dune perturbation. Rappelons quil ny a pasde transport de matiere. On peut donc considerer nos deux transformations precedentes,et proposer des expressions de cette celerite. Pour des conditions dequilibres donnees (1

atmosphere et 0C, soit Po = 101 325 Pa, o = 1,293 kg.m3), il vient :

- Transformation isotherme : P

o

=Poo

= 78 364 m2/s2, dou c = 279,94 m/s ;

- Transformation adiabatique : P

o

=Po

o= 109 710 m2/s2, dou c = 331,22 m/s.

Le modele de celerite base sur des transformations adiabatiques donne un resultat equiva-lent a celui observe. On conviendra donc quen acoustique, les transformation sont adia-batiques. En toute rigueur, celles-ci ne sont ni parfaitement isothermes, ni parfaitementadiabatiques.

Une autre expression de la celerite est possible a partir des definitions de la celerite(eq.1.5), dune transformation adiabatique, et de la relation detat (eq.1.3) :

c2 = 1o Cste= 1o

Poo

= Po

o= rTo (1.6)

Nous notons a partir de cette expression que la celerite dans un gaz parfait donne nedepend que de la temperature. Pour lair a une temperature To = 273, 15 K, il vientc= 331, 45 m/s, et pour une temperature ambiante,c= 343 m/s.

Cette dependence vis a vis de la temperature est responsable de grandesdifferences de propagation du son dans latmosphere. Par exemple, la variationverticale de temperature dans latmosphere qui a lieu en hiver (en presence deneige) reflechit le son vers le sol, de ce fait le traffic urbain est plus notable que

lors dune journee dete.

Remarque 2influence de la temperature sur la celerite


19/151

Equations de base de lacoustique lineaire 17

Nous ferons lhypothese, ici et dans la suite, que le milieu, dans lequel se propage londeacoustique, est homogene isotrope ayant une celerite constante.

1.2.4 Quelques remarques

Le paragraphe precedent a presente la celerite dun fluide et nous a donne deux formu-lations (relations1.5et1.6). Une onde pouvant se propager dans tout materiau (pourvudune compressibilite, ), la celerite depend neanmoins de la masse volumique le ca-racterisant (tableau 1.1).

Tableau 1.1 Proprietes physiques de trois milieux differents.

(m2/N) (kg/m3) c (m/s)

Air 7,14.106 1,21 343Eau 0,5.109 998 1481

Acier 5.1012 7700 5000

Lair est dautre part un milieu non dispersif, les sons se propagent donc a la memevitesse quelle que soit la frequence. Dans le cas contraire, une source emettant de faconsimultanee une gamme de frequences, un observateur place plus loin entendrait alorscertaines frequences avant dautres. La musique au chur aurait ainsi moins de charme.Neanmoins, labsorption du son depend de sa frequence. En effet, les hautes frequencessont plus facilement attenuees comparativement aux basses frequences. Ceci explique la

presence de petites enceintes de rappel dans les concerts en plein air. Elles servent atransmettre les hautes frequences plus ou moins attenuees en amont et ne pouvant doncpas etre percues par lobservateur situe a cette distance.

1.3 Equations de base de lacoustique lineaire

Les perturbations acoustiques peuvent generalement etre considerees comme etantcaracterisees par de faibles amplitudes comparativement a letat ambiant. Pour un fluide,letat ambiant est caracterise par les parametreso,Po, et Vo, respectivement les valeurs de

la masse volumique, de la pression statique, et de la vitesse en absence dune perturbation.Ces parametres satisfont les equations de bilan, mais en presence de londe ils peuventsecrire :

= o+ P =Po+ p

U =

V o+

V

ou et prepresentent les contributions acoustiques du champ de masse volumique et depression satisfaisant les proprietesp (

V .

grad)

V).


20/151


1.3.1 Linearisation des equations

La linearisation des equations de bilan generalisees est obtenue en introduisant lesdecompositions des variables du probleme dans ces equations, puis en retirant les termes

negligeables. Lintroduction des decompositions dans les equations de bilan entraine :

t(o+

) + div

[o+ ]V

= 0

et

(o+ )

V

t + (

V .

grad)

V

= grad(Po+p) + g

Les variables indiquees par un indice o sont constantes dans le temps et homogene surtout le domaine, les derivees associees sont donc nulles. Dautre part, comme indique plushaut, la variation des parametres dans le temps est importante comparativement a leur

gradient. Ainsi les equations precedentes sont simplifiees aux expressions suivantes, en neconsiderant plus les effets gravitaires qui ont une contribution tres faible en acoustiquedes lors que la temperature est homogene dans le milieu de propagation :

t + odiv

V = 0 (1.7)

et

oV

t = gradp (1.8)

respectivement lequation de continuite linearisee, et lequation dEuler linearisee. Celles-

ci vont nous etre tres utiles pour mettre en place lequation de propagation de londe dansle milieu considere. Reprenons dautre part la relation (1.4) qui introduisait la celeritedans ce cours pour relier la pression acoustique a la variation de masse volumique. Onpeut donc ecrire :

p= c2 (1.9)

Prenons le rotationnel de lequation (1.8), il vient des lors queRot(

grad) = 0 :

Rot

V = 0

ayant pour consequence le fait que la vitesse acoustique decoule du gradient dun potentiel,:

V = grad (1.10)Linterpretation physique de cette relation est quune excitation acoustique ne genere pasde vitesse acoustique rotationnelle. Ceci nest pas vrai partout dans le cas dun fluide reel.En effet, proche des parois, les effets rotationnels sont faibles mais existent.

1.3.2 Equations de propagation dune onde

Nous allons maintenant mettre en place lequation de propagation des ondes a partirdes relations precedentes modifiees. Prenons dune part la divergence de la relation (1.8) :

div

oVt

+gradp

= o div

Vt

+ div

gradp

= o div

Vt

+ p= 0


21/151

Bilan denergie : densite energetique 19

avec loperateur Laplacien exprime dans les trois systemes de coordonnees en annexeA.2,et dautre part la derivee temporelle de la relation (1.7) :

2

t2 +

t odivV= 2t2 + o divV

t = 0La difference des deux expressions precedentes amene a la relation suivante :

p 2

t2 = 0

Afin davoir un unique parametre dans cette equation, utilisons la relation (1.9), cela nouspermet decrire respectivement les equations de propagation de la pression acoustique etde la variation de masse volumique :

p 1c2

2p

t2 = 0 (1.11)

1c2

2

t2 = 0 (1.12)

Ces deux equations sont les equations fondamentales de la propagation des ondes, so-lutions de ces equations, dans lhypothese des petites perturbations, lorsque les pertesviscothermiques et la viscosite du milieu sont negligees.

Maintenant que ces equations sont posees, nous allons nous interesser a lenergie acous-

tique associee a londe sonore. Deux solutions particuleres de ces equations de propogationseront quant a elles developpees par la suite.

1.4 Bilan denergie : densite energetique

Lenergie transportee par les ondes acoustiques a travers un milieu est de deux types :(1) lenergie cinetiquede lelement mobile et (2) lenergie potentiel ledu fluide comprime.Pour mettre en place ces deux grandeurs, nous partons de lequation de bilan de quantitede mouvement simplifiee dans le cas de lacoustique lineaire sans perte, lequation dEulerlinearisee (1.8). Effectuons un produit scalaire avec la vitesse acoustique, afin dimpliquer

dans notre nouvelle equation un terme de vitesse au carre (caracteristique dune energie) :

V .

gradp= oV .

V

t = o

2

V2

t (1.13)

or

V .

gradp = div

p

V

p divV= div

p

V

+ 1

op

t (dapres le theoreme de continuite linearise) ;

= divpV+

1

oc2p

p

t (dapres la relation (1.9)) ;

= divp

V

+ 1

2oc2p2

t


22/151


En faisant intervenir lexpression (1.13), on peut ecrire la relation suivante :

divpV

=

o2

V2

t +

1

2oc2p2

t

En integrant cette expression sur un domaine de volumeVet de surfaceS, on a :V

divp

V

dV=V

o2

V2

t +

1

2oc2p2

t

dV

or le premier membre peut etre ramene a une integrale de surface a laide de la formuledOstrogradski (appele aussi theoreme de la divergence) :

V

divp

V

dV=S

pV .n dS

Dautre part le deuxieme membre peut etre transforme par le theoreme de transport. Ilvient donc :

S

pV .n dS= ddt

V

o2

V2 + p2

2oc2

dV (1.14)

Le terme dans lintegrale du membre de gauche est la puissance par unite de surface desefforts de pression (exprimee en W/m2), et le terme dans lintegrale du membre de droiteest lenergie acoustique stockee, notee eac dans le volumeV par les molecules. Ce terme

comprend les densites volumiques denergie cinetique (notee ec) et potentielle (notee ep),respectivement :

ec=1

2oV

2 et ep= p2

2oc2 (1.15)

De facon pratique, la densite energetique est peu utilisee. On lui prefere lintensite acous-tique qui permet elle de remonter aisement a la puissance acoustique dune source sonore.Ces deux notions sont le propos du paragraphe suivant.

1.5 Intensite et puissance acoustiqueRevenons sur le terme dans lintegrale du membre de gauche de la relation (1.14),

pV .n est homogene a une intensite (acoustique) definie par lexpressionI =p

V

avecI la quantite denergie acoustique traversant une surface unite placee de facon

perpendiculaire a la direction de

V pendant un temps dt. La puissance des forces depression sur une surface quelconque, W, secrit alors :

W =S

pV .n dS= S

I .n dS (1.16)


23/151

Ondes harmoniques 21

et correspond donc a lenergie rayonnee par unite de temps par une source de bruit. Cettepuissance ne doit pas dependre de la distance a laquelle on se situe de la source, car elleest intrinseque a la source sonore. Finalement, lequation de bilan energetique acoustiquesecrit :

d

dt

V

eac dV= S

I .n dS (1.17)

Nous pouvons reecrire cette equation localement :

eact

+ divI = 0

1.6 Ondes harmoniquesLe paragraphe1.3.2a pose lequation de propagation des ondes dans un milieu isotrope

au repos. Sa solution est de type sinusodal. Lutilisation de la notation complexe, repereedans ce document par le symbole , facilite grandement les differents calculs.

La forme complexe dune solution harmonique pour les ondes de pression secrit

p(OM; t) =Aej(tk .OM) +Bej(t+k .OM)avec

k le vecteur donde et

OM le vecteur construit par la localisation de lauditeur

et lorigine du repere des axes. La derivee seconde de la pression par rapport au temps

intervenant dans lequation donde vaut 2p/t2 = (j)2p. Lequation de propagationsecrit finalement :

2px2

+ k2p= 0 (1.18)Cette equation est connue des acousticiens sous le nom d Equation de Helmholtz3. Elle estvalide pour un regime harmonique et ne depend que des variables despace.

La vitesse acoustique au meme point est elle aussi de forme harmonique

V(

OM; t) =

C ej(t

k .OM) +

Dej(t+

k .OM)

Sa derivee par rapport au temps, intervenant dans lequation dEuler linearisee, vaut donc

V

t =j

V

Lequation dEuler linearisee peut donc secrire dans le cadre des ondes harmoniques :

V = 1jo

gradp (1.19)

Nous utiliserons par la suite cette relation pour estimer la vitesse acoustique a partir

de la pression acoustique.3Hermann von Helmholtz (1821-1894), physicien allemand.


24/151


1.7 Mesures acoustiques

Avant dentamer la partie concernant les ondes plane et spherique, il nous faut toutdabord aborder une partie traitant de la mesure en acoustique. La definition de pressionefficace, donnee mesuree par les microphones, nous permettra de donner une expressionsimple de lintensite acoustique moyenne dans le cas des ondes harmoniques.

1.7.1 Donnees statistiques

Valeurs moyenne et efficace de signaux quelconques

Considerons un signal, note s et qui varie dans le temps avec une periode T. On peutalors definir trois grandeurs, la valeur moyenne, la valeur quadratique, et la valeur efficace :

1. Valeur moyenne,s telle que

s= 1

T

t+Tt

s(u)du

2. Valeur quadratique, s2 telle que

s2 = 1

T

t+Tt

s2(u)du

3. Valeur efficace, s2 notee seff, soitseff=

1

T

t+Tt

s2(u)du

les ouvrages anglais utilisent le terme Root Mean Square, rms. Cette notion est tresimportante en acoustique car elle represente lenergie contenue dans le signal sonore.

Notons quune valeur nulle de la valeur moyenne nentraine pas forcement une valeur nullede la valeur efficace. Ces expressions semblent a prioridependre a la fois du temps et du

temps dintegration, or une mesure de parametres acoustiques effectuee sur un tempssuperieur a Tmontre que ce nest pas le cas.

Valeurs moyenne et efficace de signaux sinusoidaux

Considerons un signal sinusodal, s(t) = A cos(t + ), la valeur moyenne est alorsnulle, et la valeur efficace vaut s2eff=A

2/2.

Valeurs moyenne et efficace de signaux harmoniques

Considerons a present un signal periodique harmonique, ecrit sous forme complexes(t) tout en conservant en memoire que seule la partie reelle nous interesse (indicee re).


25/151

Mesures acoustiques 23

La valeur moyenne demeure nulle, regardons plus precisement ce que devient la valeurefficace.

s2eff

=s2re = 1T t+T

t s2re(u)du=

1

4T

t+Tt

[s + s]2du=

1

4T

t+Tt

[s2 + s2 + 2ss]du (1.20)Le premier terme dans le crochet est proportionnel a e2jt et le deuxieme a e2jt,lintegrale de ces deux termes sera nulle. Le dernier terme est quant a lui independant dela variable temps, et lui seul contribuera a la valeur efficace du signal. Ainsi,

s2eff =ss21.7.2 Pression acoustique efficace

Nous lavons vu dans le paragraphe dintroduction, la pression acoustique representela pression enlevee de sa partie constante, la pression ambiante moyenne. De ce fait,par definition la valeur moyenne de la pression acoustique est nulle. Quant a la pressionacoustique efficace, elle est obtenue par la relation introduite plus haut :

p2eff= 1

T t+T

t

p2re(u)du=p

p

2

(1.21)

1.7.3 Intensite acoustique

Lintensite peut elle aussi etre estimee par la mesure dans le temps :

I= 1

T

t+Tt

I(u)du= 1

T

t+Tt

pre(u)Vre(u)du

Dapres la definition de lintensite nous avons :

I = preVre

= p +p

2 V +V

2

= 1

4

pV +pV +pV +pV=

1

4

(pV +pV) + (pV +pV)

= 1

2

Re(pV) + Re(pV)

A lexamen de ces deux termes, on peut remarquer que dans le cadre des ondes harmo-niques, le premier (Re(

p

V)) sera independant du temps car il implique le produit des

termes ejt

et ejt

, alors que le deuxieme (Re(pV)) introduira lui le phaseur ej2t quidonnera une contribution nulle au passage de la moyenne. On retiendra alors la definitionsuivante de lintensite acoustique moyenne :


26/151


I=1

2Re

p

V

(1.22)

Maintenant quune expression simple de lintensite nous est proposee, nous continuonssur la presentation de deux types dondes : londe plane et londe spherique. Remarquons

aussi que deux ecritures pourront etre apercues concernant lintensite :Ipour le produit

des pressions et vitesses particulaires instantanees, et I lintensite moyenne (ne dependantplus du temps dapres sa definition).

1.8 Onde plane

Une onde planeest caracterisee par des variables acoustiques damplitude constanteet en phase dans un plan perpendiculaire a la direction de propagation de londe. Si lescoordonnees du systeme sont choisies de telle sorte que londe se propage dans la directionx, lequation de propagation (1.11) pour p= p(x, t) devient :

2p

x2 1

c22p

t2 = 0 (1.23)

1.8.1 Pression acoustique dune onde plane

La solution harmonique de cette equation de propagation est la contribution de deuxondes, lune se propageant selon le sens des x (onde progressive) et lautre dans le sens

inverse (onde regressive) :p(x, t) =Aej(wtkx) +Bej(wt+kx) =p++pavec k= /c= 2/ ou est la longueur donde, et k le nombre donde (i.e., nombre delongueur donde dans 2 metres).

1.8.2 Vitesse acoustique dune onde plane

La vitesse acoustique, valeur vectorielle, aura un unique terme non nul selon x, lesgradients de pression etant nuls selon les autres directions. Ce terme est obtenu a partir

de lequation dEuler linearisee (Eq. 1.19) :Vx = 1oc

Aej(wtkx) Bej(wt+kx) (1.24)On peut donc decomposer la vitesse acoustique en deux contributions, lune induite parle passage dune onde progressive et lautre generee par le passage dune onde regressive,respectivementVx+ =p+/oc etVx =p/oc. On peut reecrire ces relations de faconvectorielle :

V x+=

p+oc

x

V x=

poc

x

avecx le sens de propagation de londe progressive etx le sens de propagation delonde regressive. Finalement, si on considere ces deux ondes, caracterisee chacune par


27/151

Onde plane 25

leur vecteur dondek+ et

k, on peut construire les vecteurs unitaires

e+ =k+/||

k+||

oriente selon x et e=k/||

k|| oriente selon x . Les relations precedentes deviennent

alors

Vx+=p+oce+ et Vx=poceFinalement, lorsque lon considere une onde plane se propageant dans une direction ca-racterisee par le vecteure, la relation entre la vitesse et la pression est :

V =poc

e (1.25)

1.8.3 Impedance acoustique specifique

On note le rapport de la pression acoustique sur la vitesse acoustique associee limpe-

dance acoustique specifique, noteeZ. Cette notion decrit alors les transferts entre lesenergies cinetique et potentielle. Dapres les expressions precedentes, on a

Z=p+Vx+ =oc et Z=pVx = ocFinalementZ =oc selon le sens de propagation de londe consideree et lorientationdes axes de letude.

Si on considere une onde plane se propageant dans lair, limpedance acoustiquespecifique vaut au signe pres Z= 415 kg/m2.s a 20 C (nous verrons plus loin la formegeneralisee de limpedance).

Finalement le produitoc a une signification acoustique plus importante que lesparametreso etc pris separement. Pour ces raisons, oc est appele impedancecaracteristique du milieu.

1.8.4 Intensite acoustique dune onde plane

Lintensite moyenneIde londe progressive,

p+=

P ej(tkx), vaut dapres sa definition :

I = 1

2Rep+Vx+=

1

2Rep+ p+

oc

=

p2effoc

1.8.5 Remarque sur le concept dondes planes

Londe plane est un concept plus quune realite. En effet, sur un plan caracterise par

k .r = Cste, la densite energetique y est finie, et donc lenergie totale est infinie ( ! !).Neanmoins, si on considere un milieu fini, ce concept reste une bonne approximation delonde reelle.


28/151


Ainsi loin de la source, une onde spherique sera representee par une onde plane. Dememe, dans une conduite et pour des frequences plus basses que la frequence de coupure(section4.2page77), les ondes acoustiques sont bien representees par ce type dondes.

1.9 Onde spherique

Lorsque la source est de faible dimension par rapport a la longueur donde quellegenere, les ondes ont des symetries spheriques. Le champ de pression acoustique dependalors uniquement de la distance radiale par rapport a la source de bruit et du temps(et non pas de la variation angulaire). Par consequent, loperateur Laplacien exprime encoordonnees spheriques (AnnexeA.2.3) est simplifie a lexpression :

= 1

r2

r r2

f

r =

2

r 2+

2

r

r

Lequation de propagation donde dun champ de pression a symetrie spherique secritainsi

2p

r2+

2

r

p

r 1

c22p

t2 = 0 (1.26)

or2(rp)

r2 =

r

p + r

p

r

= 2

p

r+ r

2p

r2

donc2p

r2+

2

r

p

r =

1

r

2(rp)

r2

La relation (1.26) devient alors :

2(rp)

r 2 1

c22(rp)

t2 = 0 (1.27)

Ce resultat est coherent car lenergie acoustique evolue avec p2. Ainsi, lorsque la surfacede londe spherique augmente (avec r2), lamplitude de la pression decroit en 1/r pourgarder une energie constante avec la propagation de londe.

1.9.1 Pression acoustique dune onde spherique

Si on considere le produit rp comme une unique variable de lequation (1.27), avecpla solution harmonique, cette equation est identique a celle de londe plane (Eq.1.23), lasolution est donc similaire :

r p=Aej(wtkr) +Bej(wt+kr)La solution de lequation de propagation secrit finalement :

p(r, t) =

A

rej(wtkr) +

B

rej(wt+kr)

pour toutr >0, la solution sannulant a lorigine (r= 0). Le premier terme represente uneonde spherique qui diverge de lorigine a une vitessec et le second une onde qui converge


29/151

Onde spherique 27

vers lorigine. Generalement le deuxieme est inadmissible physiquement, on ne garderadans la solution que londe divergente, et la pression acoustique dune onde spheriquesecrit simplement :

p(r, t) = Arej(wtkr) (1.28)1.9.2 Vitesse acoustique dune onde spherique

Dans le cas de londe spherique caracterisee par essence par une symetrie spheriqueloperateur gradient se resume au premier terme, les derivees angulaires devenant nulles(Cf. AnnexeA.2.3). Il ny a donc pas de composante selon et de la vitesse acoustiqueet la composante radiale de la vitesse acoustique secrit :

Vr = 1jo pr = Aoc 1r jkr2 ej(wtkr) = 1 jkrpoc (1.29)On note dapres cette expression que la vitesse possede deux termes evoluant differemment,en 1/ret 1/r2. De ce fait on observe ici une relation entre la pression et la vitesse acous-tique totalement differente de celle observee pour londe plane car fonction du rapportde la distance radiale sur la longueur donde (k = 2/), en plus du fait quils ne sontplus en phase. La composante impliquant la decroissance 1/r est appelee composante duchamp lointain, et celle en 1/r2 composante duchamp proche. Un point sera donc localisedans le champ lointain si la contribution de la composante du champ lointain dominetres nettement celle du champ proche, i.e. 1/r >>1/kr2, entrainant r >> c/2f.4 Ainsila region de champ lointain caracterisee par kr >> 1 permet une simplification de lex-

pression (1.29), Vr =p/oc, londe sonore spherique se comporte donc comme une ondeplane.

1.9.3 Impedance acoustique specifique

Les composantes selon et de la vitesse acoustique etant nulles, limpedance integrantla vitesse acoustique radiale sera consideree ici :

Z= oc

1 j

kr

=oc1 +

j

kr

1 + 1kr2 =oc

(kr)2 +j(kr)

1 + (kr)

2

soit Z=oc (kr)21 + (kr)2

+joc (kr)

1 + (kr)2

avec comme vu precedemment, le premier terme la resistance et le deuxieme la reactance.On note de meme ici que pour des valeurs tres grandes de kr la resistance tend vers oc,et la reactance est nulle.

Une application de toutes les formulations vues ici sera donnee dans le chapitre concer-nant les sources acoustiques elementaires, et tout particulierement dans le cas du monopole

( 3.1.1).4Dans la pratique, il suffira que r >10 c/2f, oukr >10


30/151


1.9.4 Intensite acoustique dune onde spherique

Pour les raisons enoncees plus haut, seule la composante radiale de lintensite sera nonnulle, aucune energie nest donc rayonnee dans les autres directions. La relation vue au

paragraphe1.7.3est appliquee au cas des ondes spheriques :

Ir = 1

2Rep Vr

= 1

2Rep 1 + j

kr

poc

= pp

2ocRe

1 + j

kr

=

p2eff.oc

(1.30)

Cette expression tres simple pourra etre utilisee dans le chapitre concernant les sourceselementaires du type monopolaire.

Ce chapitre nous a permis dobtenir, a laide des equations de la mecanique des milieuxcontinus, apres quelles aient ete linearisees, des equations de propagation des ondes. Deuxtypes de solution ont ete presentes, les ondes plane et spherique. Dautre part, laspect

energetique a ete abordee mettant en evidence un parametre important, lintensite acous-tique. Le prochain chapitre se propose de presenter des sources elementaires permettantla modelisation de sources reelles.


31/151

Exercices 29

1.10 Exercices

[E1] Caracteristiques dune onde spheriqueUne source acoustique simple rayonne en champ libre une onde acoustique spherique

progressive dont la puissance acoustique est egale a 10 watts a la frequence de 500 Hz.

[1.] Calculer pour cette onde la limite champ proche-champ lointain. on considerera unpoint en champ proche sikr 10.

[2.] Donner les caracteristiques de londe a un metre de la source, a savoir : lintensite acoustique ; la pression acoustique ; lamplitude de vitesse des particules (vitesse acoustique) ;

lamplitude de deplacement dune particule ; la densite denergie acoustique.

[E2] Mesure de lintensite acoustique dune onde plane

La mesure dintensite acoustique est tres im-portante car elle permet la localisation desources sonores, alors que la mesure de pres-sion est incapable de le faire. Cette mesurea la particularite de pouvoir etre effectuee

a la fois en laboratoire ou in-situ. Lintensiteacoustique est estimee a partir de la methodedte des deux microphones. Ces dernierssont alignes selon laxe des x, et distantsdune longueur x. Cet espace est completela plupart du temps par un materiau solide.

Le but de ce problemeest detudier cette methode experimentale. Apres la mise en placedune formulation proposee par la theorie, la deuxieme partie se propose dapprehenderlerreur de mesure consecutive a lapproximation de lintensite par lapproche des differencesfinies. Une derniere partie revient sur des considerations pratiques de la mesure.

On considere, dans le plan xOy, une onde plane harmonique, dont le vecteur dondesk fait un angle avec laxe Ox (Fig.1.1). SoitM(x, y) un point quelconque de ce plan,

la pression acoustique ecrite sous forme complexep(M, t) en ce point est de la forme :p(M, t) =P ej(tk .OM)

avec la pulsation et P lamplitude reelle.

Expression theorique de lIntensite Acoustique

Le but de cette partie est de proposer une formulation de lintensite acoustique en unpoint M(x, y) de lespace en fonction des parametres du probleme.


32/151


x

y

M1 M2

O

M(x, y)k

x

Fig. 1.1 Configuration de lexercice

[E2].

[1.] Ecrire la pression acoustiquep(M, t) en fonction de P, ,k, x,y, et t.[2.] Calculer la composante

ux(M, t) de la vitesse acoustique. On notera o et c respecti-

vement la masse volumique et la vitesse du son dans le fluide au repos.

[3.] Calculer la valeur moyenne de lIntensite Acoustique par rapport au temps que lonnotera Ix. On verifiera que cette grandeur est independante du point M considere.

Etude dun estimateur de lIntensite Acoustique (Methode desdifferences finies)

La partie precedente a permis de donner une expression de lintensite acoustiquemoyenne theorique, Ix. Celle-ci ne peut pas etre atteinte de facon exacte par la mesurecar la methode des deux microphones est basee sur une approche par differences finies etgenere ainsi des erreurs. Le but de cette partie est detudier la contribution des erreursde mesure par rapport a lestimation theorique.

On suppose que lorigine des coordonneesO est placee au milieu de M1M2 (M1 etM2designant les positions des deux microphones). Ces microphones vont etre utilises pourlestimation deIx en O, notee Ixa.

[4.] Donner les expressions dep1 etp2 de la pression acoustique aux points M1 et M2.Calculer ainsi de maniere approchee la pression acoustiquep(O) au point O en utilisantla formule classique :

p(O) =

p1+

p2

2

[5.]Calculer de maniere approchee la composanteux de la vitesse acoustique au point O,sachant quen ce point on peut ecrire :

px

O

=p2 p1

x

[6.] En deduire une valeur approchee de lintensite acoustique moyenne, Ixa.

[7.] Etudier le rapport des intensites acoustiques moyennes mesuree et theorique, Ixa

Ix. La

mesure est consideree comme acceptable si ce rapport est superieur a 0,5. Sachant quesin X/X > 0.5 si X < 1.9, determiner la frequence limite pour les mesures au-dela delaquelle celles-ci ne sont plus acceptables. A.N. : x = 12 mm, c = 340 m.s-1


33/151

Exercices 31

Considerations pratiques

[8.] On posep1 =P1ej1 ,p2 =P2ej2 les pressions aux deux points M1 et M2. MontrerqueIxa peut secrire de maniere simple et generale en fonction de la partie imaginaire duproduitp1.p2 sous la forme :

Ixa=Im(p1.p2)

K

ou Kest un parametre fonction de o,c,k, et x.

[E3] Mesure de lintensite acoustique dune onde spheriqueConsiderons un champ dondes spheriques genere par une source Qo (Fig.1.2). Le but

de lexercice est detudier lerreur dans lestimation de lintensite acoustique par lutilisa-tion de la methode des deux microphones (Cf. exercice2). La sonde intensimetrique estcomposee de deux microphonesA et B separes entre eux dune distance r et situes res-pectivement a des distances radialesrA etrB du centre de la source. Le centre de la sondeintensimetrique, point auquel on souhaite estimer lintensite, est note Met est placee aucentre du segment AB. Le centre de la source est sur la droite (AB).

On rappelle que la pression (complexe) dune onde spherique en tout point M estdonnee par lexpression :

p(r, t) = Arej(tkr)

Qo A BM

rA

r

rB

Fig. 1.2 Configuration de lexercice

[E3].

Considerations theoriques

[1.]Determiner la composante radiale de lintensite moyenne theorique au pointM, noteeIr, en fonction des parametres du probleme.

Etude dun estimateur de lIntensite Acoustique (Methode des

differences finies)[2.] Determiner la composante radiale de lintensite moyenne approchee, notee Ira, a


34/151


partir des deux microphones, sachant que le gradient de pression en M peut etre estimea partir dun schema aux differences finies :

pr M =p(rB) p(rA)r[3.] Etudier le rapport des intensites acoustiques moyennes mesuree et theorique, et mon-trer que lon peut lecrire sous la forme suivante :

Ira

Ir=

sin(kr)

kr r

2

rArB=

sin(kr)

kr

1 1

4

r

r

21


35/151

CHAPITRE 2

Niveaux acoustiquesCe chapitre presente un concept tres utilise par lacousticien, le niveau acoustique.

Celui-ci permet de compresser sur une echelle adaptee une gamme de pressions acous-tiques associee a des sensations auditives tres differentes. Differentes methodes permettantdajouter de facon coherente ces niveaux seront presentees. Enfin puisque lacoustique serapporte generalement a lhumain, le document presentera les ponderations necessaires alinterpretation des niveaux mesures de facon objective par les microphones.

2.1 Generalites

Lacoustique est un domaine qui nous est prochea prioricar le bruit fait parti de notreenvironnement (le bruit domestique, le bruit de circulation, le bruit industriel, etc.). Lesbruits se distinguent entre eux par leur forme, mais en premier lieu par la sensation quilsentrainent sur notre appareil auditif. En effet, les sensations produites par le crissementgenere lors du ralentissement dun train et celles produites par le ventilateur de notreordinateur sont tres differentes. Ainsi, loreille humaine est capable dentendre des bruitssitues dans une gamme de pression acoustique allant de 2 105 Pa jusqua 200 Pa.La limite basse correspond au seuil daudition et la limite haute le seuil de douleur.Il y a donc sept ordres de grandeurs entre ces deux extremes representant un intervaltres grand de bruit (Tab. 2.1). Cela revient a effectuer un trajet dans une gamme dedistances comprises entre 1 mm et 10 km. Dans le but de quantifier la pression acoustique,on preferera manipuler des donnees logarithmiques a la place de la pression acoustiquetelle quelle. Ceci est dautant plus avantageux que dans la gamme enoncee plus haut, lasensation auditive evolue de facon logarithmique telle quelle est enoncee par la loi deWeber-Fechner etablissant le lien entre lamplitude dun stimulus physique et celle de lasensation associee. Ainsi, la variation de sensation est independante de lintensite, et nedepend que de la variation relative de lintensite. Si un niveau de pression evolue de 0,01Pa a 0,02 Pa, de 0,1 Pa a 0,2 Pa, ou de 1 Pa a 2 Pa, le bruit semblera etre pareillement

renforce. Dans tous les cas, la pression a ete doublee. Au contraire, si une pression de0,1 Pa est ajoutee a une ambiance de 0,01 Pa, la sensation sera tres vive ; alors quuneaugmentation sonore identique sur un fond sonore de 1 Pa sera a peine perceptible.

On remarque que la valeur rms de la pression acoustique associee au seuil dedouleur auditive et valant 200 Pa est extrement faible comparativement a lapression atmospherique (i.e. 105 Pa) et represente une quantite egale a 1/500 decette valeur. Ceci valide encore lutilisation des equations de lacoustique lineaire

pour ces bruits dintensite tres importante.

Remarque 3sons intenses


36/151

34 Niveaux acoustiques

Tableau 2.1 Relation entre des pressions acoustiques et leurs niveaux acoustiques.

Pression acoustique Niveau sonore Type de bruit

(Pa, rms) (dB)2 105 0 seuil auditif 2 104 20 foret2 103 40 bibliotheque2 102 60 bureau de travail2 101 80 rue tres frequentee2 100 100 sirene2 101 120 decollement davions2 102 140 douleur auditive et limite daudition

Certaines etudes se sont aussi interessees a la resolution frequentielle [14], cest a direla plus petite difference frequentielle notable. Les experiences montrent que le niveaudifferentiel de perception en frequence relative vaut dans les mediums 0,3% soit 3 Hz a 1kHz et 6 Hz a 2 kHz. Cette perception est donc plus precise quun demi-ton musical (parexemple la frequence de la note LA#3 est 15,96 Hz au-dessus de celle de la note LA 3).

La sensibilite auditive peut etre formulee a partir de lexpression generalisee dessens humains proposee par Stevens [15], = k( o)t ouo represente le seuilminimum de perception du sens associe. Les valeurs de t pour les sens humainssont rassemblees dans le tableau suivant. On note que loreille humaine constituedonc notre sens le moins excitable physiquement.

oue vue froid chaleur saveur courant electrique(sur le bras) (sur le bras) (sucre) a travers un doigt

0,3 0,33 1,0 1,5 1,3 1,5

Remarque 4les sens humains

2.2 Niveaux de pression, dintensite, et de puissance

Comme nous venons de le voir, les acousticiens caracterisent la pression acoustiquepar un niveau sonore, le niveau de pression efficace(SPL en anglais pour Sound PressureLevel) et sexprimant en deciBel (dB). Ce niveau de pression est la valeur en dB de lapression efficace par rapport a une pression de reference[1]pRefqui est prise generalementegale a 2 105 Pa pour lair et 106 Pa pour leau :

Lp= 10 log

p2eff.p2Ref

= 20 log

peff.pRef

(2.1)

oupeff.est la pression efficace de la pression acoustique,p2

eff.=p2

=pp/2. Ainsi, 2105Pa correspondant au seuil daudition a 1 kHz, ceci correspond au niveau de pression egala 0 db (Ref. 20 Pa) et le seuil haut daudition associe a une pression egale a 200 Pa vaut


37/151

Niveaux de pression, dintensite, et de puissance 35

200 log(20/2 105) = 140 dB. Le rapport de deux pressions efficaces correspond daprescette definition a la difference des niveaux associes :

10logp2eff.,2

p2eff.,1= Lp,2 Lp,1La difference Lp,2 Lp,1ne depend pas de la reference choisie. Et sip2eff.,2vautN foisp2eff.,1,alors Lp,2 est plus eleve de 10 log N de Lp,1.

On definit de meme un niveau dintensite, exprime en dB :

LI= 10. log

IIRef

(2.2)

avec IRef lintensite de reference egal a 1012 W/m2. Cette intensite correspond au seuil

daudition dune source monochromatique de 1000 Hz.Le niveau de puissance acoustique est donnee par lexpression :

LW= 10 log W

WRef(2.3)

avec W la puissance moyenne obtenue par integration de lintensite acoustique sur unesurface Sde reference.WRef= 10

12 W. Le niveau de puissance est evidemment differentdu niveau dintensite, et de pression.

Dans certaines situations, on souhaite limiter le rayonnement a un certain niveau, etpour cela la pression doit etre estimee. Rappelons que si les parametres a et b sont reliespar la relation log a = b, alors le parametre a vaut a = 10b. Ainsi, la pression peut etreestimee par la relation peff.= 2 105 10Lp/20. Il en est de meme pour les intensites etles puissances.

2.2.1 Relations entre les niveaux sonores

On sinteresse dans cette partie aux relations entre les types de niveaux acoustiquesdefinis plus haut. Partons tout dabord du niveau dintensite et essayons de mettre enevidence le niveau de pression.

LI

= 10 log IIRef.= 10 log

p2eff.

oc IRef.

= 10 log

p2eff.p2Ref.

p2Ref.

ocIRef.

= Lp+ 10log

p2Ref.ocIRef.

= Lp 0, 16 Lp (2.4)

Les niveaux de pression et dintensite sont equivalents. Il sera donc pertinent dutiliserlun ou lautre en fonction du type de probleme a resoudre, ou en fonction des donnees a


38/151


disposition. Effectuons un travail equivalent avec le niveau de puissance.

LW = 10 log

W

WRef.= 10 log

IIRef.

IRef.WRef.

4R2= 10 log

I

IRef.

+ 10 log R2 + 10 log

IRef.WRef.

4

= LI+ 10log R2 + 11

dou la relation pratique

LI=LW 10log R2 11 (2.5)Cette relation traduit tres bien le lien entre le niveau de puissance dune source, et leniveau dintensite percu a une distance eloignee de la source. Elle met dautre part enevidence la decroissance du niveau sonore au fur et a mesure que lauditeur seloigne de lasource, celle-ci netant pas principalement liee a une dissipation de lenergie, mais plutota sa conservation.

2.2.2 Additions de niveaux acoustiques

On ne doit pas additionner de facon triviale des niveaux acoustiques entre eux (deuxsources sonores de 70 dB ne creent pas un bruit total de 140 dB ! ! !). Ce sont les intensites

acoustiques ou les puissances acoustiques qui sadditionnent. Les pressions efficaces nesadditionnent pas non plus car elles sont obtenues par operations quadratiques. On pourraneanmoins additionner les pressions efficaces au carre.

Considerons n sources decorrelees, cest a dire independantes et sans relation entreelles, ayant des niveaux dintensite LI,1, LI,2,..., LI,n . Chaque niveau est donne par larelation (2.2), dou lintensite pour la source i :

Ii=IRef.10LI,i/10

soit lintensite totale, ITotale=

ni=1 Ii. Le niveau dintensite total vaut donc

LI= 10log ni=1

10LI,i/10Dans le cas de n sources identiques emettant chacune une intensite L, le niveau totaldintensite sera donne par la relation :

LI=L + 10log n

Dans le cas particulier ou n = 2, le niveau est dapres la relation precedente augmentedune valeur egale a

LI= 10log2 = 3 dB.

Le fait de mettre de mettre deux sources identiques decorrelees lune a cote de lautregenere ainsi une augmentation du niveau de lordre de 3 dB.


39/151

Sensation auditive 37

De meme le niveau de puissance total peut secrire :

LW= 10log n

i=1 10LW,i/10

Il existe une methode graphique simple permettant dadditionner rapidement deux

niveaux sonoresL1 etL2, tels queL1 L2. Laugmentation du niveau sonore par rapportaL1, soit L L1, peut etre estime par le graphe de la figure2.1en fonction de lecart deniveauxL1 L2. Considerons par exemple deux sources sonores, L1 = 86 dB et L2 = 80dB. La difference de niveau est de L1 L2 = 6 dB, douL L1 = 1 dB. Le niveau sonoretotale sera de 87 dB. De meme, deux sources sonores ayant le meme niveau acoustiqueentrainera une augmentation sonore de 3 dB.

0 2 4 6 80

0.51.01.52.02.53.0

L

L1

(dB)

L1 L2 (dB)

Fig. 2.1 Graphe dad-

dition de deux niveaux so-

nores. L1 represente leniveau de la source la

plus bruyante, L L1represente laugmentation

de niveau en dB par rapport

a cette source.

Ainsi, ajouter une seconde source de niveau sonore inferieur de plus de 10 dB parrapport a une premiere source, nentrainera pas une forte augmentation du niveau total.De meme, si une source sonore rayonne un bruit de niveau L2 superieur de 10 dB au-dessus du bruit de fond de niveau L1. Le niveau total sera quasiment egal a la source,LTotal=L2+ 0, 4 L2.

2.3 Sensation auditive

Deux sources emettant la meme energie acoustique, mais repartie differemment dansles frequences, ne genereront pas la meme sensation auditive. Ainsi, et contrairement

aux microphones qui doivent avoir la reponse la plus plate possible afin denregistrer leson tel quil a ete propage, la courbe de sensibilite de loreille humaine nest pas plate.Loreille humaine ne percoit pas toutes les frequences de facon equitable. Les courbes iso-soniques caracterisent cette inhomogeneite (Fig.2.2). Ces courbes sont obtenues par voieexperimentale : on fait ecouter initialement a un auditeur un son monochromatique defrequence egale a 1 kHz dont le niveau sonore est situe 10 dB au-dessus du seuil daudi-bilite. Un second son de meme niveau sonore mais de frequence differente lui est propose,et lauditeur doit regler le niveau sonore de ce son afin de retrouver les memes sensationsauditives generees par le premier son. La correction apportee est relevee. Lexperienceest reiteree pour des niveaux initiaux de plus en plus fort (jusquau niveau de perception

maximum). Chacune des courbes correspond a une meme sensation subjective, appeleeparfois phone a partir dun bruit emis a des frequences differentes. La courbes la plusbasse correspond au seuil daudition.


40/151


Fig. 2.2 Courbes disoso-

nie.

La sensation auditive ne suit pas la courbe du niveau sonore en decibel mesure defacon objective par un sonometre. Par exemple, la sensation auditive obtenue a partir

dune source monochromatique de frequence egale a 1 kHz et de niveau egal a 60 dB seraitdifferente si cette source emettait maintenant a une frequence plus faible (par exemple125 Hz) avec un niveau sonore emis identique. En effet, dapres le graphe, lauditeur doitaugmenter le niveau sonore de la source de 5 dB a cette frequence plus faible pour ressentirla meme sensation auditive. La sensation auditive est moins variable pour des frequencesplus elevees, et la courbe de sensibilite devient plus plate.

Nous venons ici de mettre le doigt sur un point important en acoustique, la differenceexistant entre la sensation auditive et le niveau reel de pression en un point. Lingenieuracousticien doit donc tenir compte de cette difference par lutilisation dun filtre, a appli-quer sur les mesures, diminuant les niveaux des basses frequences, pour lesquelles loreille

est moins sensibles, laissant inchanges les niveaux dans les mediums, et diminuant aussiles tres hautes frequences. Ce filtre est appele ponderation.

Les courbes isosoniques netant pas plates pour les faibles niveaux sonores, letimbre dun son -cest a dire sa composition spectrale- ne sera pas equilibredans cette gamme de frequences. Les constructeurs damplificateurs de puissancehaute-fidelite ont alors mis en place une correction physiologique appeleeloudness

relevant le niveau des graves et des aigues pour des ecoutes a niveau sonore faible.

Remarque 5 loudness


41/151

Ponderation 39

2.4 Ponderation

Nous venons de voir que linhomogeneite de la reponse de loreille humaine obligelacousticien a mettre en place un systeme de ponderations. Celles-ci seront differentes si

les niveaux mesures sont faibles, moyens, ou forts. Pour cela, trois ponderations norma-lisees sont utilisees, respectivement aux phones 40, 70, et 100 de la figure 2.2 et corres-pondant aux ponderations A, B et C (Fig.2.3et Tab.2.2pour la ponderation A). Dansle dernier cas, la ponderation est moins accentuee. Dans la pratique, la ponderation A estgeneralement utilisee meme pour des niveaux sonores eleves. Dautre part, elle attenuebeaucoup les basses frequences, ce qui peut etre un argument de vente pour les machinesbruyantes dans cette gamme de frequence. Lorsquun niveau sonore a ete obtenu apresponderation, celle-ci est generalement stipulee entre parentheses dans lunite decibel :db(A) pour une ponderation A.

Fig. 2.3 Courbes de

ponderation A et C.

Tableau 2.2 Ponderation Af (Hz) 125 250 500 1000 2000 4000

Ponderation A (dB) 15,5 8,5 3 0 1 1

Regardons les spectres de deux sources sonores 1 et 2 de la figure2.4,et remarquons quele spectre de la source 1 est repartie de facon plus importante dans les hautes frequences,contrairement a la source 2. Un sonometre mesurera pourtant les memes niveaux sonoresde 86,4 dB (Cf. tableau2.3). Mais lapplication de la ponderation A (Tab.2.2) appliqueemettra en evidence une source 1 plus intense percue par loreille : 87 dB pour la source1, et 78 dB pour la source 2.

2.5 Influence du temps

Lorsque le temps dexposition a un bruit devient important (de lordre de la journee,

de la semaine, ou plus), plusieurs questions sont soulevees. La quantite dinformation astocker devient tres importante, et il est alors preferable de manipuler dautres notionsque le niveau acoustique instantane. Dautre part, si le bruit est caracterise par un niveau


42/151


125 250 500 1000 2000 4000

60

65

70

75

80

85

Frequences centrales (Hz)

Niveauacoustique

Fig. 2.4 Repartitiondifferente des niveaux de

deux sources (1, ; 2,

) sur les frequences detiers doctave entranant

des energies acoustiques

identiques mais des niveaux

subjectifs differents.

Tableau 2.3 Influence de la ponderation sur les niveaux de bruit et sur le niveau global.

f (Hz) 125 250 500 1000 2000 4000 LTot.Source 1, non ponderee (dB) 65 60 65 80 70 85 86,4Source 1, ponderee (dB) 49,5 51,5 62 80 71 86 87,0Source 2, non ponderee (dB) 85 70 80 65 65 60 86,4Source 2, ponderee (dB) 69,5 61,5 77 65 66 61 78,4

important, il devient necessaire que le temps dexposition ne soit pas trop long. En effet,le risque encouru a cause dun bruit augmente avec le niveau sonore dune part, mais aussiavec la duree dexposition. Il est generalement admis de ne pas sexposer a un bruit de 80dB pendant une duree superieure a 8 h. Pour reglementer ces doses recues, la legislationutilisera des notions de niveau sonore equivalent, et niveau dexposition sonore que nouspresentons dans la suite du document.

2.5.1 Niveau dexposition sonore (SEL)

Le niveau dexposition sonore represente la quantite (on parlera de dose) denergierecue par un auditeur pendant une duree T. Elle sexprime sous forme logarithmique :

SE L= 1

To

T0

10Lp,A(t)/10 dt (2.6)

avec Lp,A le niveau sonore pondere A au temps t, et To = 1 s une duree de reference(present pour des raisons dhomogeneite). La duree dobservation Tdevra etre exprimee enseconde. Ce critere est parfaitement adapte aux bruits transitoires tels que des machines,le passage frequent de voitures, les decollages davions, etc.

2.5.2 Niveau dexposition sonore quotidienne, LEx,d

Le niveau dexposition sonore peut etre estime sur une duree de reference differentede celle utilisee precedemment et correspondre alors a la duree exprimee en seconde dune


43/151

Influence du temps 41

journee de travail comprenant huit heures. La formulation (2.6) devient des lors :

LEx,d= 1

To T

0

10Lp,A(t)/10 dt (2.7)

avec To = 8 h = 28 800 s la duree de reference, T la duree totale effective de la journeede travail.

2.5.3 Niveau sonore continu equivalent, Leq.,T

Lorsque le niveau sonore fluctue dans le temps, on utilisera le niveau sonore continuequivalent, note Leq ou LA,eq pour rappeler la ponderation utilisee, et representant leniveau acoustique moyen sur une duree dobservationT =t2 t1 :

Leq.,T= 10 log 1t2 t1 t2

t110Lp,A(t)/10 dt (2.8)

ou t1 et t2 sont les bornes temporelles dobservation. Il sagit ici dun critere statistiquequi, si lon veut quil soit significatif, doit faire intervenir un grand nombre devenements,ou que le bruit soit relativement homogene durant la duree de la mesure. Si un acousticienmesure levolution temporelle du niveau sonore en un emplacement situe pres de la sortiedune ecole, le niveau equivalent ne refletera pas le niveau sonore recueilli pendant letemps (court) de sortie des eleves si la moyenne est effectuee sur la journee entiere.

Il est parfois necessaire de relier la mesure du niveau dexposition sonore dun bruittransitoire observe durant dans un intervalle de temps et le niveau acoustique equivalent.

Ceci est donne par la relation suivante :

SE L= Leq.,T+ 10 log

T

To

(2.9)

avec T le temps dintegration pour lestimation du niveau equivalent, et To le temps dereference egal a 1 s. Dautre part, si lintervalle de temps vaut huit heures, Leq.,8h = LEx,d.

2.5.4 Niveau de pression acoustique de crete pondere C (Lp,c)

Nous lavons vu plus haut, une duree importante dexposition fragilise loreille hu-maine. Un bruit bref peut tout de meme generer les memes consequences des lors queson niveau est important. Les deux criteres doivent alors etre pris en compteur par lalegislation (Cf. paragraphe2.6). Pour cela on definit le niveau de pression acoustique decrete pondere C tel que :

Lp,c= 10 log

p2c

p2Ref.

(2.10)

avec pc la valeur maximale de la pression acoustique instantanee.

2.5.5 Niveaux de depassement

Lorsque le bruit fluctue sur une gamme damplitudes importante, lutilisation desniveaux de depassement, note Ln, savere interessante. Ils designent le niveau sonore qui


44/151


est depasse pendant N% du temps de mesure. Parmi les valeurs admissibles de N (de0,1% a 99,9%) les valeurs N = 1, 10, 50, et 99 sont generalement utilisees. Ainsi L99represente assez bien le niveau du bruit de fond alors que L1 represente les bruits de fortniveau et rare. Finalement, la difference de niveaux entre L

1et L

99est plus realiste de la

gene cause par un bruit que le critere Leq.

2.6 Conditions de travail en entreprise

Le bruit en entreprise peut etre un facteur derangeant pour un travail intellectuel (sison niveau sonore est superieur a 50 dB(A)), fatigant si lactivite si le niveau equivalent surhuit heures approche 75 dB(A), voire dangereux pour un travail necessitant la presence deloperateur aupres de machines tres bruyantes (85 dB(A)). Dans ce dernier cas, le decret

n 88-405 du 21 avril 1988 mis en place par les pouvoirs publics protege le travailleur contrele bruit. Il sappuie sur le fait que lemployeur doit rendre le niveau acoustique le plus baspossible en tenant compte des materiels de travail, et que la duree dexposition doit etrecompatible avec letat de sante du personnel. Il est dautre part precise quune protectionauditive doit etre mise en place des lors quun employe est soumis a un niveau sonoreequivalent a 85 dB(A) quotidiennement et un niveau de pression de crete egal a 135 dB.

Les valeurs limites reglementaires sont les suivantes :

Leq.,8 h 85 db(A) : la protection individuelle doit etre mise a disposition du per-sonnel et la surveillance audiometrique instauree ;

Leq.,8 h

85 db(A) etLp,crete

135 db : identification du personnel concerne par cescriteres, examen medicale avant laffectation, et surveillance medicale dans lanneede laffectation puis tous les trois ans, information et formation du personnel ;

Leq.,8 h 90 db(A) etLp,crete 140 db : mise en place dun programme de reductionde bruit, augmentation de la frequence du suivi medical (tous les deux ans), utili-sation obligatoire des protections individuelles.

2.6.1 Actions a la conception

La qualite du niveau sonore doit etre integree dans le cahier des charges lors de lim-plantation dune usine ou dun atelier. Celle-ci peut etre amelioree en respectant quelquespoints de base. Les sources sonores bruyantes doivent tout dabord etre recensees afindadapter les locaux qui les accueillent. Les parois de ces locaux devront limiter parexemple la reverberation susceptible daugmenter le niveau sonore. Lisolement de ces lo-caux devra aussi favorise afin deviter toute propagation du bruit, par voies aerienne ousolidienne. La disposition des bureaux et des locaux bruyants devra etre optimisee afin dene pas les mettre les unes a cote des autres. Des pieces intermediaires peuvent alors jouerle role dabsorbant (piece de stockage par exemple). Les materiaux des parois doivent etrecaracterises par des coefficients dabsorption les plus eleves possibles et tout specialement

dans le domaine spectral du rayonnement acoustique. La structure du batiment est dungrand interet car sil est mal dimensionne une grande partie des vibrations des machinespeut etre propage et etre alors transmis aux pieces adjacentes.


45/151

Exercices 43

2.6.2 Actions de correction

Les actions de correction du niveau de bruit sont moins systematiques car elles depen-dent grandement du type de bruit. Neanmoins, la premiere etape consiste a identifier lasource sonore. Un encoffrement de celle-ci peut alors etre possible. Dans le cas echeant,un ecran acoustique ou la mise en place dune cabine de manipulation peuvent limiterla propagation de bruit. Dans ce dernier cas, la ventilation ainsi que la visibilite verslexterieur sont necessaires. Enfin, la duree dexposition peut etre reduite afin de diminuerle niveau sonore equivalent.

2.7 Exercices

[E4] Rendement dun haut-parleur

[1.] En assimilant un haut-parleur a une source ponctuelle emettant une onde spherique,calculer le niveau sonore quon devrait obtenir a une distance dun metre. On supposerala puissance consommee egale a 1 Watt et le rendement egal a 1.

[2.]En realite, le niveau sonore emis par un haut-parleur est de lordre de 90 dB a 1 metre,pour 1 Watt consomme. Calculer dans ces conditions, le rendement du haut-parleur.

[E5] Premier et dernier rangsLors dun concert en plein air, le public est dispose sur un parterre dont le premier

rang est situe a 5 m et le dernier rang a 45 m de la scene. Quelle est la difference de niveausonore entre le premier et le dernier rang ?

[E6] ChoraleUne chorale composee de 6 chanteurs ayant la meme puissance acoustique se produit

en plein air. A la distance r du podium, le niveau percu est trop faible. Pour doubler lasensation sonore, on a le choix entre se rapprocher, ou augmenter le nombre de chanteur.De quelle distance doit-on se rapprocher dans le premier cas, ou quel doit etre le nouveaunombre de chanteurs dans le deuxieme cas de figure ?On considerera la sensation sonorecomme etant doublee pour une augmentation du niveau sonore de 10 dB.

[E7] DiscoursUn orateur prononce un discours. Vous voulez lenregistrer, mais gene par la foule,

vous ne pouvez pas vous approcher a moins de 5 m. Aussi pour avoir plus de proximitevous tendez le bras, ce qui avance le micro dun metre.

[1.]Combien de dB gagnez-vous en tendant le bras, par rapport a la situation ou le microreste a 5 m ?

[2.] Combien de dB auriez-vous gagne en tendant le bras de la meme maniere, mais en

etant situe a 12 m ?

[3.]Determinez la distance limite au-dela de laquelle laugmentation de niveau obtenu en


46/151


tendant le bras reste inferieure a 1 dB et nest donc plus perceptible.

[E8] Une apres-midi bruyanteDans une apres-midi dune duree de 4 h, une personne passe une heure dans un atelier

bruyant dont le niveau sonore est egal a 80 dB, puis deux heures dans son bureau calmede niveau sonore 50 dB, et enfin une heure dans une reunion dont le niveau sonore est de60 dB. Quel est la dose recue et quel est le niveau sonore continu equivalent ?

[E9] Relation entre SEL et LeqDemontrez la formulation 2.9

[E10] ScierieUne entreprise de construction de meubles utilise une scie pour couper le bois en

planches. Lorsque celle-ci est inoccupee, le niveau de bruit genere vaut 90 dB(A), alors

que ce niveau augmente a un niveau egal a 96 dB(A) quand elle coupe.

[1.] Dans lhypothese ou la scie est en marche de facon continue et passe 10% de sontemps a couper, quel est le niveau equivalent sur 8 heures ?

[2.] Quelle est la reduction de lexposition sonore en heures pour atteindre le niveau 90dB(A) ?


47/151

CHAPITRE 3

Sources acoustiques elementaires etetendues

On a vu plus haut la propagation des ondes acoustiques (planes et spheriques). Nousallons examiner maintenant differents types de sources de bruit a lorigine de ces ondes.On cherchera essentiellement a caracteriser chacune de ces sources elementaires par lapression, la vitesse, lintensite, et la puissance (toutes acoustiques) afin detudier les contri-butions relatives entre elles. On essaiera dans la plupart des cas pratiques dassocier unesource de bruit reelle a ces modeles. Notons des a present que lon sinteresse au champ

rayonne, cest a dire la propagation dune onde dans une region depourvue de source(lequation de propagation serait a modifier par la presence dun terme dans le membrede droite).

3.1 Sources elementaires

Cette partie se propose de decrire des modeles de sources reelles. La plupart des sourcesde bruit qui interessent lacousticien (i.e. les vehicules, les machines industrielles, les bruitsdans les conduites, etc.) peuvent en effet etre modelisees en terme de sources elementaires.

Il est tres important des lors de bien comprendre les rayonnements acoustiques de cessources ideales.

3.1.1 Champ acoustique cree par un monopole

La source appelee monopole correspond a un point-source elementaire rayonnant unchamp acoustique omnidirectionnel en raison de la symetrie spherique du probleme (Fig.3.1). Cette propriete entraine une intensite evoluant en 1/r2 consecutivement a la definitionde la puissance acoustique (relation 1.16). Plusieurs cas pratiques sont rassembles dansle cadre des monopoles (plaque en basses frequences, tables dinstruments a corde, bulle

dair dans leau).Afin de proposer les expressions de lensemble des parametres acoustiques dun mo-

nopole, considerons une sphere de rayon a animee dune vitesse surfacique purementradiale et pulsant a une frequence donnee et constanteV(t) = Vaejt. Le concept demonopole sera ensuite atteint en faisant tendre le rayon de cette sphere vers zero.

Bien quun point source de ce type nexiste pas, il represente un modele theoriquepermettant de decrire le rayonnement de sources plus complexes.

Pression acoustique

La symetrie de la source entrane un rayonnement acoustique ayant une symetriespherique. De ce fait, comme nous lavons vu dans la section1.9(p.26) la pression dune


48/151

46 Sources acoustiques elementaires et etendues

x

y

z

2a

Q

r

M(r)

Fig. 3.1 Monopole acoustique (Rappel :

langle varie de 0 a , et langle de 0 a2).

telle onde en un point Msitue a une distance r de la source vaut

p= Arej(tkr)La determination de la constanteApeut seffectuer a partir de la relation entre la pressionet la composante radiale de la vitesse acoustique (relation 1.29), qui en r = a devient :

Vr(r= a, t) = 1 jka

p(r= a, t)oc

= [ka j] 1o

Aa2

ej(tka)

avec

Vr(r = a, t) = Vae

jt, en faisant lhypothese que la vitesse vibratoire du fluide estegale a la vitesse vibratoire de la source, au point r = a. Il vient alors par identification

des deux termes : A= oa2Vaka j e

jka = joa

2Va1 +jka

ejka

En acoustique, on introduit generalement a ce stade le concept de debit volumiquede lasource temoignant du flux denergie acoustique sortant de la surface de la source par unitede temps :

Q(t) =Qoejt =

S

V(t).n dS (3.1)

qui dans le cas de la sphere pulsante pour laquelle tous les points de sa surface vibrent en

phase se simplifie a lexpressionQ(t) = 4a

2

V(t), ouQo= 4a

2

Va. De plus, comme nouslavons dit dans lintroduction de cette section, il faut faire tendre le rayon de la sphere verszero afin dobtenir les caracteristiques du monopole. Lexpression de la pression acoustiqueen un point Msitue a une distance radiale r de la source devient alors :

p(r, t) = joQo4

ej(tkr)

r (3.2)

Levolution de la pression lors de la propagation de londe est donc en 1/r. Dautre part son

amplitude est proportionelle a la frequence (p= 0 pour une frequence nulle). Dautre partle rayonnement est omnidirectionnel, puisquil napparat aucun angle dans la formulationde la pression acoustique. Ceci caracterise le monopole.


49/151

Sources elementaires 47

Vitesse acoustique

La (seule) composante radiale de la vitesse acoustique est estimee a laide de la relation(1.29) : Vr = 1 j

kr

poc

= [kr j] 1or

joQo4

ej(tkr)

r

soit

Vr = [1 +jkr]Qo4

ej(tkr)

r2 (3.3)

Lorsque lon se place dans lhypothese du champ lointain (i.e., kr >> 1), lexpression(3.3) se simplifie comme suit :

Vr = jkQo4

ej(tkr)

r =p

oc

On retrouve ainsi le comportement des ondes planes, qui reste donc valable lorsque lob-servateur est localise loin du monopole.

Intensite et puissance acoustique

Nous reprenons la relation (1.30), utile a lestimation de lintensite moyenne, a partirde la pression acoustique et des proprietes des ondes spheriques :

Ir = 12ocjoQo

a cous tiquejbhsubgusy

Documents