algebraic topology ; a computational approach - kaczynski , mischaikow , mrozek

8/3/2019 Algebraic Topology ; a Computational Approach - Kaczynski , Mischaikow , Mrozek

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A l g e b r a i c T o p o l o g y : A C o m p u t a t i o n a l

A p p r o a c h

c

T . K a c z y n s k i

U n i v e r s i t e d e S h e r b r o o k e

K . M i s c h a i k o w

G e o r g i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

M . M r o z e k

J a g e l l o n i a n U n i v e r s i t y

A p r i l 1 8 , 2 0 0 0


2/219

2


3/219

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 7

1 . 1 B a s i c N o t i o n s f r o m T o p o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 1 . 1 T o p o l o g i c a l S p a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 1 . 2 C o n t i n u o u s M a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

1 . 1 . 3 C o n n e c t e d n e s s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 . 2 L i n e a r A l g e b r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4

1 . 2 . 1 F i e l d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

1 . 2 . 2 V e c t o r S p a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7

1 . 2 . 3 L i n e a r M a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2

1 . 2 . 4 Q u o t i e n t S p a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3

2 M o t i v a t i n g E x a m p l e s 3 7

2 . 1 T o p o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2 . 1 . 1 H o m o t o p y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

2 . 1 . 2 G r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

2 . 1 . 3 A P r e v i e w o f H o m o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

2 . 1 . 4 Z

2

H o m o l o g y o f G r a p h s . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0

2 . 2 A p p r o x i m a t i o n o f M a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6

2 . 2 . 1 A p p r o x i m a t i n g M a p s o n a n I n t e r v a l . . . . . . . . . . . 5 6

2 . 2 . 2 C o n s t r u c t i n g C h a i n M a p s . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

2 . 2 . 3 M a p s o f t h e C i r c l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8

3 A b e l i a n G r o u p s 7 7

3 . 1 G r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7

3 . 2 P r o d u c t s a n d S u m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3

3 . 3 Q u o t i e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7

3 . 4 H o m o m o r p h i s m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9

3 . 5 M a t r i x A l g e b r a o v e r Z a n d N o r m a l F o r m . . . . . . . . . . . . 9 4

3


4/219

4 C O N T E N T S

3 . 6 D e c o m p o s i t i o n T h e o r e m f o r A b e l i a n G r o u p s . . . . . . . . . . 1 0 1

3 . 7 H o m o l o g y G r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

4 C u b i c a l H o m o l o g y 1 0 9

4 . 1 C u b i c a l S e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

4 . 1 . 1 E l e m e n t a r y C u b e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0

4 . 1 . 2 R e p r e s e n t a b l e S e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3

4 . 1 . 3 C u b i c a l S e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8

4 . 2 T h e A l g e b r a o f C u b i c a l S e t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

4 . 2 . 1 C u b i c a l C h a i n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2

4 . 2 . 2 T h e B o u n d a r y O p e r a t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 8

4 . 2 . 3 H o m o l o g y o f C u b i c a l S e t s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2

4 . 3 H

0

( X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7

4 . 4 E l e m e n t a r y C o l l a p s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 0

4 . 5 A c y c l i c C u b i c a l S p a c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7

4 . 6 R e d u c e d H o m o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5

4 . 7 C o m p a r i s o n w i t h S i m p l i c i a l H o m o l o g y . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

4 . 7 . 1 S i m p l e x e s a n d t r i a n g u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8

4 . 7 . 2 S i m p l i c i a l H o m o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1

4 . 7 . 3 C o m p a r i s o n o f C u b i c a l a n d S i m p l i c i a l H o m o l o g y . . . . 1 6 5

5 H o m o l o g y o f M a p s 1 7 1

5 . 1 C h a i n M a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

5 . 2 C u b i c a l M u l t i v a l u e d m a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6

5 . 3 C h a i n S e l e c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 0

5 . 4 H o m o l o g y o f c o n t i n u o u s m a p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 4

5 . 4 . 1 C u b i c a l A p p r o x i m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5

5 . 4 . 2 R e s c a l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9

5 . 4 . 3 H o m o t o p y I n v a r i a n c e o f M a p s . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6

5 . 5 L e f s c h e t z F i x e d P o i n t T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9

6 H o m o l o g i c a l A l g e b r a 2 0 5

6 . 1 R e l a t i v e H o m o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 6

6 . 2 E x a c t S e q u e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 1

6 . 3 T h e C o n n e c t i n g H o m o m o r p h i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 4

6 . 4 R e l a t i v e L e f s c h e t z T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5

6 . 5 M a y e r - V i e t o r i s S e q u e n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5


5/219

C O N T E N T S 5

A E q u i v a l e n c e R e l a t i o n s 2 1 7


6/219

6 C O N T E N T S


7/219

C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

T h e s u b j e c t o f T o p o l o g y g r e w o u t o f t h e f o u n d a t i o n s o f c a l c u l u s a n d m o r e

g e n e r a l l y a n a l y s i s . I f y o u t o o k a t y p i c a l c a l c u l u s s e q u e n c e , t h e n y o u b e g a n b y

l e a r n i n g a b o u t f u n c t i o n s o f t h e r e a l l i n e . T h e f o c u s w a s o n d i e r e n t i a b l e f u n c -

t i o n s a n d h o w t h e y c a n b e b e s t a p p r o x i m a t e d l o c a l l y b y l i n e a r f u n c t i o n s ( t h e

d e r i v a t i v e ) . A l o n g t h e w a y y o u l e a r n e d a b o u t c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . A g a i n ,

t h e e m p h a s i s w a s o n l o c a l p r o p e r t i e s s u c h a s l i m i t s a n o t a b l e e x c e p t i o n i s

t h e i n t e r m e d i a t e v a l u e t h e o r e m . L a t e r o n t h e s e c o n c e p t s w e r e g e n e r a l i z e d t o

f u n c t i o n s o f m o r e t h a n o n e v a r i a b l e , i . e . f u n c t i o n s f r o m R

n

t o R

m

. T o p o l o g y

i n c o r p o r a t e s f u r t h e r g e n e r a l i z a t i o n s . I n p a r t i c u l a r , i t a l l o w s o n e t o s t u d y t h e

l o c a l a n d g l o b a l p r o p e r t i e s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s b e t w e e n g e n e r a l s p a c e s .

T o r e a d t h i s b o o k y o u d o n o t n e e d t o h a v e s t u d i e d g e n e r a l t o p o l o g y .

T h i s i n t r o d u c t o r y c h a p t e r s u m m a r i z e s t h e e l e m e n t a r y t o p o l o g y w h i c h w e

w i l l n e e d .

A s w a s m e n t i o n e d a b o v e o n e o f t h e p o w e r s o f t h e c a l c u l u s i s t h a t t h r o u g h

d i e r e n t i a t i o n d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s a r e l o c a l l y a p p r o x i m a t e d b y l i n e a r

f u n c t i o n s . L i n e a r f u n c t i o n s a r e , o f c o u r s e , m u c h e a s i e r t o w o r k w i t h . F u r -

t h e r m o r e , l i n e a r f u n c t i o n s c a n b e s t u d i e d a l g e b r a i c a l l y a s y o u l e a r n e d i n

y o u r l i n e a r a l g e b r a c o u r s e . A s a n e x a m p l e o f t h e a d v a n t a g e g a i n e d b y t h i s

p r o c e s s o f a l g e b r a t i z a t i o n c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g q u e s t i o n . I s t h e f u n c t i o n

f : R

2

! R

2

g i v e n b y

f ( x y ) = ( x

2

;3 x y + y + 2 x y

;2 y

2

;4 x

;1 )

i n v e r t i b l e n e a r t h e p o i n t ( 1 2 ) ? T r y i n g t o n d a n e x p l i c i t i n v e r s e i s d i c u l t .

H o w e v e r , c a l c u l u s g i v e s u s a s i m p l e r w a y t o a n s w e r t h e q u e s t i o n . D i e r e n t i -

7


8/219

8 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N

a t i n g f g i v e s

D f ( x y ) =

"

2 x ; 3 y ; 3 x + 1

y ; 4 x ; 4 y

#

:

E v a l u a t i n g t h i s a t ( 1 2 ) w e g e t

D f ( 1 2 ) =

"

;4

;2

;2

;7

#

:

S i n c e t h e d e t e r m i n a n t o f t h i s m a t r i x d o e s n o t e q u a l z e r o , f i s i n v e r t i b l e i n a

n e i g h b o r h o o d o f ( 1 2 ) . O f c o u r s e t h i s i s j u s t a s p e c i a l c a s e o f t h e f o l l o w i n g

t h e o r e m .

T h e o r e m 1 . 1 I n v e r s e F u n c t i o n T h e o r e m ] L e t U b e a n o p e n s e t i n R

n

a n d

l e t f : U ! R

n

b e a d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n . L e t x 2 U . I f D f ( x ) , t h e

d e r i v a t i v e o f f a t x , i s a n i n v e r t i b l e m a t r i x , t h e n t h e r e i s a n o p e n n e i g h -

b o r h o o d V

U c o n t a i n i n g x s u c h t h a t f : V

!f ( V ) i s i n v e r t i b l e w i t h a

d i e r e n t i a b l e i n v e r s e .

T h e i m p o r t a n t p o i n t o f t h i s e x a m p l e i s t h a t t h r o u g h c a l c u l u s w e h a v e

r e d u c e d a n a n a l y t i c p r o b l e m t o a n a l g e b r a i c p r o b l e m . I n f a c t , t h i s m e t h o d

a l l o w s u s t o d e v e l o p a n a l g o r i t h m i c a p p r o a c h t o a n s w e r i n g t h i s q u e s t i o n . F o r

e x a m p l e u s i n g t h e c o m p u t e r p a c k a g e M A P L E w e c a n s o l v e t h i s p r o b l e m a s

f o l l o w s .

w i t h ( l i n a l g ) :

f 1 : = ( x , y ) - > x ^ 2 - 3 * x * y + y + 2 :

f 2 : = ( x , y ) - > x * y - 2 * y ^ 2 - 4 * x - 1 :

f : = ( x , y ) - > ( f 1 ( x , y ) , f 2 ( x , y ) ) :

D f : = ( x , y ) - > a r r a y ( 1 . . 2 , 1 . . 2 , D 1 ] ( f 1 ) ( x , y ) , D 2 ] ( f 1 ) ( x , y ) ] ,

D 1 ] ( f 2 ) ( x , y ) , D 2 ] ( f 2 ) ( x , y ) ] ] ) :

' f ( x , y ) ' = f ( x , y )

' D f ( x , y ) ' = D f ( x , y )

' D f ( 1 , 2 ) ' = D f ( 1 , 2 )

' D e t ( D f ( 1 , 2 ) ) ' = d e t ( D f ( 1 , 2 ) )

O n a s u p e r c i a l l e v e l w e m i g h t s a y t h a t c a l c u l u s , t h r o u g h t h e d e r i v a -

t i v e , p r o v i d e s u s w i t h a w a y t o t r a n s f o r m t h e s t u d y o f l o c a l p r o p e r t i e s o f


9/219

1 . 1 . B A S I C N O T I O N S F R O M T O P O L O G Y 9

d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s t o p r o b l e m s i n l i n e a r a l g e b r a . F u r t h e r m o r e , s i n c e f o r

e l e m e n t a r y f u n c t i o n s m a n y o f t h e o p e r a t i o n s u s e d i n c a l c u l u s c a n b e i m p l e -

m e n t e d a s a l g o r i t h m s a n d s i n c e l i n e a r a l g e b r a i s a l s o a m e n a b l e t o a l g o r i t h m i c

i m p l e m e n t a t i o n , m a n y p r o b l e m s c a n b e r e d u c e d t o s i m p l e s y m b o l i c c o m p u -

t a t i o n s a s d e s c r i b e d a b o v e . A s w i l l b e s h o w n i n t h i s b o o k a l g e b r a i c t o p o l o g y

p r o v i d e s a m e a n s b y w h i c h o n e c a n t r a n s f o r m t h e s t u d y o f t h e g l o b a l p r o p -

e r t i e s o f t o p o l o g i c a l s p a c e s a n d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s t o p r o b l e m s i n a l g e b r a ,

o r m o r e p r e c i s e l y g r o u p t h e o r y ( d o n ' t w o r r y a b o u t w h a t a g r o u p i s a t t h i s

m o m e n t - i t w i l l b e i n t r o d u c e d w h e n t h e t i m e c o m e s ) . T h e r e a r e s e v e r a l

d i e r e n t a l g e b r a i c s t r u c t u r e s t h a t c a n b e a s s i g n e d t o t o p o l o g i c a l s p a c e s , t h e

o n e w e w i l l s t u d y i s c a l l e d h o m o l o g y . O u r f o c u s w i l l b e o n d e v e l o p i n g a n a l -

g o r i t h m i c a p p r o a c h t o h o m o l o g y t h e o r y w h i c h a l l o w s u s t o u s e t h e c o m p u t e r

t o s o l v e t o p o l o g i c a l p r o b l e m s .

1 . 1 B a s i c N o t i o n s f r o m T o p o l o g y

I t w a s s t a t e d a b o v e t h a t k n o w l e d g e o f g e n e r a l t o p o l o g y i s n o t a p r e r e q u i -

s i t e f o r t h i s b o o k . W h i l e t h i s i s c o r r e c t , f a m i l i a r i t y w i t h t h e b a s i c i d e a s o f

t o p o l o g y i s w o r t h w h i l e f o r a t l e a s t t w o r e a s o n s . F i r s t , i t i s h o p e d t h a t a f t e r

n i s h i n g t h i s b o o k y o u w i l l b e m o t i v a t e d t o c o n t i n u e y o u r s t u d y o f t o p o l o g y ,

a n d t h e r e f o r e , y o u m a y a s w e l l b e g i n u s i n g t h e l a n g u a g e o f t o p o l o g y a t t h i s

p o i n t . S e c o n d , a s i n t h e c a s e o f a l l i m p o r t a n t m a t h e m a t i c s , t h e a b s t r a c t i o n

h e l p s c l a r i f y t h e e s s e n t i a l i d e a s .

1 . 1 . 1 T o p o l o g i c a l S p a c e s

T h e m o s t f u n d a m e n t a l d e n i t i o n i s t h a t o f a t o p o l o g i c a l s p a c e .

D e n i t i o n 1 . 2 A t o p o l o g y o n a s e t X i s a c o l l e c t i o n T o f s u b s e t s o f X w i t h

t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

1 . a n d X a r e i n T .

2 . A n y u n i o n o f e l e m e n t s o f T i s i n T .

3 . A n y n i t e i n t e r s e c t i o n o f e l e m e n t s o f T i s i n T .

T h e e l e m e n t s o f t h e t o p o l o g y T a r e c a l l e d o p e n s e t s . A s e t X f o r w h i c h a

t o p o l o g y T h a s b e e n s p e c i e d i s c a l l e d a t o p o l o g i c a l s p a c e .


10/219

1 0 C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N

T h i s i s a f a i r l y a b s t r a c t d e n i t i o n - f o r t u n a t e l y w e d o n ' t n e e d t o w o r k a t

t h i s l e v e l o f g e n e r a l i t y . I n f a c t i n e v e r y t h i n g w e d o w e w i l l a l w a y s a s s u m e

t h a t t h e s e t X i s a s u b s e t o f R

n

a n d t h a t X i n h e r i t s t h e s t a n d a r d t o p o l o g y

f r o m R

n

. T o e x p l a i n w h a t w e m e a n b y t h i s r e c a l l t h e f o l l o w i n g i d e a s f r o m

a n a l y t i c g e o m e t r y .

L e t x = ( x

1

: : : x

n

) 2 R

n

. T h e E u c l i d e a n n o r m o f x i s g i v e n b y

j j x j j

2

: =

q

x

2

1

+ x

2

2

+ + x

2

n

:

G i v e n a p o i n t x 2 R

n

, t h e b a l l o f r a d i u s r > 0 c e n t e r e d a t x i s g i v e n b y

B

2

( x r ) : =

fy

2R

n

j j jx

;y

j j

2

< r

g:

T h e t o p o l o g y o n R

n

i s t y p i c a l l y d e n e d i n t e r m s o f t h e E u c l i d e a n n o r m .

S i n c e a t o p o l o g y i s n o t h i n g b u t a c o l l e c t i o n o f s e t s t h a t s a t i s e s t h e c o n d i t i o n s

o f D e n i t i o n 1 . 2 , a n o t h e r w a y o f s a y i n g t h i s i s t h a t t h e o p e n s e t s i n R

n

c a n

b e d e n e d i n t e r m s o f t h e E u c l i d e a n n o r m .

D e n i t i o n 1 . 3 A s e t U R

n

i s o p e n i f a n d o n l y i f f o r e v e r y p o i n t x 2 U

t h e r e e x i s t s a n > 0 s u c h t h a t B

2

( x ) U .

T h e r e a d e r s h o u l d c h e c k t h a t t h i s d e n i t i o n o f a n o p e n s e t i s c o n s i s t e n t

w i t h t h e d e n i t i o n o f a t o p o l o g y ( s e e E x e r c i s e 1 . 1 ) . T h i s t o p o l o g y i s c a l l e d

t h e s t a n d a r d t o p o l o g y o n R

n

. U n l e s s i t i s e x p l i c i t l y s t a t e d o t h e r w i s e R

n

w i l l a l w a y s b e c h o s e n t o b e t h e t o p o l o g i c a l s p a c e s p e c i e d b y t h e s t a n d a r d

t o p o l o g y .

E x a m p l e 1 . 4 T h e i n t e r v a l ( ; 1 2 ) R i s a n o p e n s e t i n t h e s t a n d a r d t o p o l -

o g y o n R . T o p r o v e t h i s l e t x 2 ( ; 1 2 ) . T h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n s

; 1 < x a n d x 0 a n d r

1

> 0 . L e t = m i n

fr

0

r

1

g. T h u s , B

2

( x )

(

;1 2 ) . S i n c e t h i s

i s t r u e f o r a n y x

2(

;1 2 ) , w e h a v e s h o w n t h a t (

;1 2 ) i s a n o p e n s e t i n t h e

s t a n d a r d t o p o l o g y o n R .

G e n e r a l i z i n g t h i s a r g u m e n t l e a d s t o t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

P r o p o s i t i o n 1 . 5 A n y i n t e r v a l o f t h e f o r m ( a b ) , ( a 1 ) o r ( ; 1 b ) i s o p e n

i n R .


11/219

1 . 1 . B A S I C N O T I O N S F R O M T O P O L O G Y 1 1

P r o o f : S e e E x e r c i s e 1 . 3 .

F r o m D e n i t i o n 1 . 2 . 2 , i t f o l l o w s t h a t t h e a r b i t r a r y u n i o n o f i n t e r v a l s i s

o p e n , e . g . ( a b ) ( c d ) i s a n o p e n s e t .

E x a m p l e 1 . 6 T h e u n i t n - b a l l

D

n

: = f x 2 R

n

j j j x j j

2


12/219


& %

' $

t

t

( 1 0 )

( 0 1 )

f x 2 R

2

j j j x j j

2

= 1 g

t

t

( 1 0 )

( 0 1 )

f x 2 R

2

j j j x j j = 1 g

F i g u r e 1 . 1 : T h e u n i t d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n i n t h e E u c l i d e a n n o r m a n d t h e

u n i t d i s t a n c e f r o m t h e o r i g i n i n t h e S u p r e m u m n o r m .

D e n i t i o n 1 . 9 L e t V 2 T

s u p

i f a n d o n l y i f f o r e v e r y p o i n t x 2 V t h e r e e x i s t s

> 0 s u c h t h a t B ( x ) V .

A g a i n , t h e r e a d e r s h o u l d c h e c k t h a t T

s u p

d e n e s a t o p o l o g y o n R

n

( s e e

E x e r c i s e 1 . 2 ) .

P r o p o s i t i o n 1 . 1 0 T

s u p

i s t h e s a m e a s t h e s t a n d a r d t o p o l o g y o n R

n

.

P r o o f : T o p r o v e t h i s r e s u l t i t n e e d s t o b e s h o w n t h a t e v e r y s e t V 2 T

s u p

i s

i n t h e s t a n d a r d t o p o l o g y a n d e v e r y s e t i n t h e s t a n d a r d t o p o l o g y i s i n T

s u p

.

L e t V 2 T

s u p

. L e t x 2 V . T h e n t h e r e e x i s t s > 0 s u c h t h a t B ( x ) V .

O b s e r v e t h a t B

2

( x ) B ( x ) . T h e r e f o r e , V s a t i s e s D e n i t i o n 1 . 3 w h i c h

m e a n s t h a t V i s i n t h e s t a n d a r d t o p o l o g y .

L e t U b e a n o p e n s e t i n t h e s t a n d a r d t o p o l o g y . L e t x 2 U . T h e n t h e r e

e x i s t s > 0 s u c h t h a t B

2

( x ) U . O n e c a n c h e c k t h a t B ( x

p

n

) B

2

( x ) .

T h u s U 2 T

s u p

.

A s i m p o r t a n t a s a n o p e n s e t i s t h e n o t i o n o f a c l o s e d s e t .

D e n i t i o n 1 . 1 1 A s u b s e t K o f a t o p o l o g i c a l s p a c e X i s c l o s e d i f i t s c o m -

p l e m e n t

X n K : = f x 2 X j x 62 K g

i s o p e n .


13/219


E x a m p l e 1 . 1 2 T h e i n t e r v a l a b ] i s a c l o s e d s u b s e t o f R . T h i s i s s t r a i g h t -

f o r w a r d t o s e e s i n c e i t s c o m p l e m e n t R n a b ] = ( ; 1 a ) ( b 1 ) i s o p e n .

S i m i l a r l y , a 1 ) a n d ( ; 1 b ] R a r e c l o s e d .

E x a m p l e 1 . 1 3 T h e s e t C

n

: = f x 2 R

n

j j j x j j 1 g i s c l o s e d . T h i s i s

e q u i v a l e n t t o c l a i m i n g t h a t R

n

n C

n

i s o p e n , i . e . t h a t f x 2 R

n

j j j x j j > 1 g

i s o p e n . O b s e r v e t h a t j j x j j > 1 i s e q u i v a l e n t t o m a x

i = 1 : : : n

f j x

i

j g > 1 . T h u s ,

t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e c o o r d i n a t e , s a y t h e j - t h c o o r d i n a t e , s u c h t h a t j x

j

j >

1 . T h e n

B ( x

j x

j

j ; 1

2

) R

n

n C

n

:

R e m a r k 1 . 1 4 T h e r e a d e r s h o u l d t a k e c a r e n o t t o g e t l u l l e d i n t o t h e i d e a

t h a t a s e t i s e i t h e r o p e n o r c l o s e d . M a n y s e t s a r e n e i t h e r . F o r e x a m p l e ,

t h e i n t e r v a l ( 0 1 ]

R i s n e i t h e r o p e n n o r c l o s e d . A s w a s o b s e r v e d i n E x -

a m p l e 1 . 7 , i t i s n o t o p e n . S i m i l a r l y , i t i s n o t c l o s e d s i n c e i t s c o m p l e m e n t i s

( ; 1 0 ] ( 1 1 ) w h i c h i s n o t o p e n .

T h e o r e m 1 . 1 5 L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e . T h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s

a r e t r u e .

1 . a n d X a r e c l o s e d s e t s .

2 . A r b i t r a r y i n t e r s e c t i o n s o f c l o s e d s e t s a r e c l o s e d .

3 . F i n i t e u n i o n s o f c l o s e d s e t s a r e c l o s e d .

P r o o f : ( 1 ) = X n X a n d X = X n .

( 2 ) L e t f K

g

2 A

b e a n a r b i t r a r y c o l l e c t i o n o f c l o s e d s e t s . T h e n

X n

\

2 A

K

=

2 A

( X n K

) :

S i n c e , b y d e n i t i o n X n K

i s o p e n f o r e a c h 2 A a n d t h e a r b i t r a r y u n i o n

o f o p e n s e t s i s o p e n , X

n

T

2 A

K

i s o p e n . T h e r e f o r e ,

T

2 A

K

i s c l o s e d .

( 3 ) S e e E x e r c i s e 1 . 8 .

D e n i t i o n 1 . 1 6 L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e a n d l e t A X . T h e c l o s u r e

o f A i n X i s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l c l o s e d s e t s i n X c o n t a i n i n g A . T h e c l o s u r e

o f A i s d e n o t e d b y c l A ( m a n y a u t h o r s a l s o u s e t h e n o t a t i o n

A . )


14/219


B y T h e o r e m 1 . 1 5 t h e a r b i t r a r y i n t e r s e c t i o n o f c l o s e d s e t s i s c l o s e d , t h e r e -

f o r e t h e c l o s u r e o f a n a r b i t r a r y s e t i s a c l o s e d s e t . A l s o , o b s e r v e t h a t A c l A

a n d t h e r e f o r e c l A i s t h e s m a l l e s t c l o s e d s e t w h i c h c o n t a i n s A .

E x a m p l e 1 . 1 7 C o n s i d e r 0 1 ) R . T h e n c l 0 1 ) = 0 1 ] . T h i s i s n o t t o o

d i c u l t t o p r o v e . F i r s t o n e n e e d s t o c h e c k t h a t 0 1 ) i s n o t c l o s e d . T h i s

f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t 1 1 ) i s n o t o p e n . T h e n o n e s h o w s t h a t 0 1 ] i s

c l o s e d b y s h o w i n g t h a t ( ; 1 0 ) ( 1 1 ) i s a n o p e n s e t i n R . F i n a l l y o n e

o b s e r v e s t h a t a n y c l o s e d s e t t h a t c o n t a i n s 0 1 ) m u s t c o n t a i n 0 1 ] .

S i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t

c l ( 0 1 ) = c l 0 1 ) = c l ( 0 1 ] = c l 0 1 ] = 0 1 ] :

D e n i t i o n 1 . 1 8 L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e a n d l e t A X . T h e b o u n d a r y

o f A i s d e n e d t o b e

b d A : = c l A \ c l ( X n A ) :

E x a m p l e 1 . 1 9 C o n s i d e r 0 1 ] R . F r o m E x a m p l e 1 . 1 7 , c l 0 1 ] = 0 1 ] .

O b s e r v e t h a t c l ( ( ; 1 0 ) ( 1 1 ) ) = ( ; 1 0 ] 1 1 ) . T h e r e f o r e ,

b d 0 1 ] = f 0 g f 1 g

T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n g i v e s a n i c e c h a r a c t e r i z a t i o n o f p o i n t s t h a t l i e

i n t h e b o u n d a r y o f a s e t .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 0 L e t A X . A p o i n t x 2 b d A i f a n d o n l y i f f o r e v e r y

o p e n s e t U X c o n t a i n i n g x , U \ A 6= a n d u \ ( X n A ) 6= .

P r o o f :

U p t o t h i s p o i n t , t h e o n l y t o p o l o g i c a l s p a c e s t h a t h a v e b e e n c o n s i d e r e d

a r e t h o s e o f R

n

f o r d i e r e n t v a l u e s o f n . T h e a b s t r a c t d e n i t i o n o f a t o p o l o g y

o n l y r e q u i r e s t h a t o n e b e g i n w i t h a s e t X . S o c o n s i d e r X R

n

. I s t h e r e

a n a t u r a l w a y t o s p e c i f y a t o p o l o g y f o r X i n s u c h a w a y t h a t i t m a t c h e s a s

c l o s e l y a s p o s s i b l e t h e t o p o l o g y o n R

n

? T h e a n s w e r i s y e s , b u t w e b e g i n w i t h

a m o r e g e n e r a l d e n i t i o n .

D e n i t i o n 1 . 2 1 L e t Z b e a t o p o l o g i c a l s p a c e w i t h t o p o l o g y T . L e t X Z .

T h e s u b s p a c e t o p o l o g y o n X i s t h e c o l l e c t i o n o f s e t s

T

X

: = f X \ U j U 2 T g :


15/219


B e f o r e t h i s d e n i t i o n c a n b e a c c e p t e d , t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n n e e d s t o

b e p r o v e d .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 2 T

X

d e n e s a t o p o l o g y o n X .

P r o o f : T h e t h r e e c o n d i t i o n s o f D e n i t i o n 1 . 2 n e e d t o b e c h e c k e d .

F i r s t , o b s e r v e t h a t 2 T

X

s i n c e = X \ . S i m i l a r l y , X 2 T

X

s i n c e

X = X \ Z .

T h e i n t e r s e c t i o n a n d u n i o n p r o p e r t i e s f o l l o w f r o m t h e f o l l o w i n g e q u a l i t i e s :

n

\

i = 1

( X \ U

i

) = X \

n

\

i = 1

U

i

!

i 2 I

( X \ U

i

) = X \

i 2 I

U

i

!

f o r a n y i n d e x i n g s e t I .

U s i n g t h i s d e n i t i o n o f t h e s u b s p a c e t o p o l o g y , a n y s e t X R

n

c a n b e

t r e a t e d a s a t o p o l o g i c a l s p a c e .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t i c e t h a t w h i l e o p e n s e t s i n t h e s u b s p a c e t o p o l o g y

a r e d e n e d i n t e r m s o f o p e n s e t s i n t h e a m b i e n t s p a c e , t h e s e t s t h e m s e l v e s

m a y \ l o o k " d i e r e n t .

E x a m p l e 1 . 2 3 C o n s i d e r t h e i n t e r v a l ; 1 1 ] R w i t h t h e s u b s p a c e t o p o l -

o g y i n d u c e d b y t h e s t a n d a r d t o p o l o g y o n R . ( 0 2 ) i s a n o p e n s e t i n R ,

h e n c e

( 0 1 ] = ( 0 2 ) \ ; 1 1 ]

i s a n o p e n s e t i n ; 1 1 ] . W e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t a n y i n t e r v a l

o f t h e f o r m ; 1 a ) a n d ( a 1 ] w h e r e ; 1 < a


16/219


1 . 2 P r o v e t h a t T

s u p

d e n e s a t o p o l o g y f o r R

2

.

1 . 3 P r o v e P r o p o s i t i o n 1 . 5 .

1 . 4 P r o v e t h a t a n y s e t c o n s i s t i n g o f a s i n g l e p o i n t i s c l o s e d i n R

n

.

1 . 5 P r o v e t h a t B ( x

p

n

) B

2

( x ) .

1 . 6 L e t

Q

n

: = f x 2 R

n

j 0 x

i

1 g R

n

:

L e t

n ; 1

: = b d Q

n

:

P r o v e t h e f o l l o w i n g :

1 . Q

n

R

n

i s c l o s e d .

2 .

n ; 1

= f x 2 C

n

j x

i

2 f 0 1 g f o r s o m e i = 1 : : : n g .

1 . 7 L e t Z b e a t o p o l o g i c a l s p a c e w i t h t o p o l o g y

T. L e t Y

X

Z . L e t

T

X

b e t h e s u b s p a c e t o p o l o g y o b t a i n e d f r o m v i e w i n g X Z . L e t T

Y

b e t h e

s u b s p a c e t o p o l o g y o b t a i n e d f r o m v i e w i n g Y Z . L e t S

Y

b e t h e s u b s p a c e

t o p o l o g y o b t a i n e d f r o m v i e w i n g Y X w h e r e X h a s t h e t o p o l o g y T

X

. P r o v e

t h a t S

Y

= T

Y

.

1 . 8 P r o v e t h a t t h e n i t e i n t e r s e c t i o n o f c l o s e d s e t s i s c l o s e d .

1 . 9 L e t Q = k

1

k

1

+ 1 ] k

2

k

2

+ 1 ] k

3

k

3

+ 1 ] R

3

w h e r e k

i

2 Z f o r

i = 1 2 3 . P r o v e t h a t Q i s a c l o s e d s e t .

1 . 1 . 2 C o n t i n u o u s M a p s

W i t h t h e n o t i o n o f s u b s p a c e t o p o l o g y w e h a v e a t o u r d i s p o s a l a m u l t i t u d e o f

d i e r e n t t o p o l o g i c a l s p a c e s , i n p a r t i c u l a r w e c a n t o p o l o g i z e a n y s u b s e t o f R

n

.

A n a t u r a l q u e s t i o n i s w h i c h t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e \ e q u i v a l e n t " a n d w h i c h

a r e \ d i e r e n t . " T h e q u o t a t i o n m a r k s a r e i n c l u d e d b e c a u s e t h e s e t e r m s n e e d

t o b e d e n e d b e f o r e a n a n s w e r c a n b e g i v e n .


17/219


E x a m p l e 1 . 2 5 T h e s q u a r e X : = 0 1 ] 0 1 ] R

2

a n d a p o r t i o n o f t h e

c l o s e d u n i t d i s k Y : = f x 2 R

2

j j j x j j 1 x

1

0 x

2

0 g R

2

a r e c l e a r l y

d i e r e n t f r o m t h e g e o m e t r i c p o i n t o f v i e w : t h e r s t o n e i s a p o l y h e d r o n ,

t h e s e c o n d o n e i s n o t . H o w e v e r , w e w o u l d l i k e t o t h i n k o f t h e m a s b e i n g

\ e q u i v a l e n t " i n a t o p o l o g i c a l s e n s e , s i n c e t h e y c a n b e t r a n s f o r m e d f r o m o n e

t o t h e o t h e r a n d b a c k b y s i m p l y s t r e t c h i n g o r c o n t r a c t i n g t h e s p a c e s .

T o b e m o r e p r e c i s e , o b s e r v e t h a t a n y e l e m e n t o f Y h a s t h e f o r m y =

( r c o s r s i n ) w h e r e 0

r

1 a n d 0

= 2 . D e n e f : Y

!X b y

f ( r c o s r s i n ) : =

( r r t a n ) i f 0 = 4 ,

( r c o t r ) i f = 4 = 2 .

O b s e r v e t h a t t h i s m a p j u s t e x p a n d s Y b y m o v i n g p o i n t s o u t a l o n g t h e r a y s

e m a n a t i n g f r o m t h e o r i g i n .

O n e c a n a l s o w r i t e d o w n a m a p g : X ! Y w h i c h s h r i n k s X o n t o Y a l o n g

t h e s a m e r a y s ( s e e E x e r c i s e 1 . 1 0 ) .

Y o u h a v e a l r e a d y s e e n m a p s o f t h e f o r m o f f i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e

i n y o u r c a l c u l u s c l a s s u n d e r t h e l a b e l o f a c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . S i n c e w e

i n t r o d u c e d t h e n o t i o n o f t o p o l o g y o n a n a b s t r a c t l e v e l , w e n e e d t o d e n e

c o n t i n u o u s f u n c t i o n s i n a n e q u a l l y a b s t r a c t w a y .

R e c a l l t h a t a t o p o l o g i c a l s p a c e c o n s i s t s o f t w o o b j e c t s , t h e s e t X a n d

t h e t o p o l o g y T . T h e r e f o r e , t o c o m p a r e t w o d i e r e n t t o p o l o g i c a l s p a c e s o n e

n e e d s t o m a k e a c o m p a r i s o n o f b o t h t h e e l e m e n t s o f t h e s e t s - t h i s i s d o n e

u s i n g f u n c t i o n s - a n d o n e n e e d s t o c o m p a r e t h e o p e n s e t s t h a t m a k e u p t h e

t w o t o p o l o g i e s .

D e n i t i o n 1 . 2 6 L e t X a n d Y b e t o p o l o g i c a l s p a c e s w i t h t o p o l o g i e s T

X

a n d

T

Y

, r e s p e c t i v e l y . A f u n c t i o n f : X ! Y i s c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f f o r e v e r y

o p e n s e t V 2 T

Y

i t s p r e i m a g e u n d e r f i s o p e n i n X , i . e .

f

; 1

( V ) 2 T

X

:

E v e n i n t h i s v e r y g e n e r a l s e t t i n g w e c a n c h e c k t h a t s o m e m a p s a r e c o n -

t i n u o u s .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 7 L e t X a n d Y b e t o p o l o g i c a l s p a c e s .

( i ) T h e i d e n t i t y m a p 1

X

: X ! X i s c o n t i n u o u s .


18/219


( i i ) L e t y

0

2 Y . T h e c o n s t a n t m a p f : X ! Y g i v e n b y f ( x ) = y

0

i s

c o n t i n u o u s .

P r o o f : ( i ) S i n c e 1

X

i s t h e i d e n t i t y m a p , 1

; 1

X

( U ) = U f o r e v e r y s e t U X .

T h u s , i f U i s o p e n , i t s p r e i m a g e u n d e r 1

X

i s o p e n .

( i i ) L e t V Y b e a n o p e n s e t . I f y

0

2 V t h e n f

; 1

( V ) = X w h i c h i s

o p e n . I f y

0

62V , t h e n f

; 1

( V ) =

w h i c h i s a l s o o p e n .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 8 I f f : X ! Y a n d g : Y ! Z a r e c o n t i n u o u s m a p s , t h e n

g f : X ! Z i s c o n t i n u o u s .

P r o o f : L e t W b e a n o p e n s e t i n Z . T o s h o w t h a t g f i s c o n t i n u o u s w e n e e d t o

s h o w t h a t ( g f )

; 1

( W ) i s a n o p e n s e t . H o w e v e r , ( g f )

; 1

( W ) = g

; 1

( f

; 1

( W ) ) .

S i n c e f i s c o n t i n u o u s , f

; 1

( W ) i s o p e n a n d s i n c e g i s c o n t i n u o u s g

; 1

( f

; 1

( W ) )

i s o p e n .

T h i s d e n i t i o n t e l l s u s h o w w e w i l l c o m p a r e t o p o l o g i c a l s p a c e s . T h e r e f o r e ,

t o s a y t h a t t w o t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e e q u i v a l e n t i t s e e m s n a t u r a l t o r e q u i r e

t h a t b o t h o b j e c t s , t h e s e t s a n d t h e t o p o l o g i e s , b e e q u i v a l e n t . O n t h e l e v e l

o f s e t t h e o r y t h e e q u i v a l e n c e o f s e t s i s u s u a l l y t a k e n t o b e t h e e x i s t e n c e o f a

b i j e c t i o n . T o b e m o r e p r e c i s e , l e t X a n d Y b e s e t s . A f u n c t i o n f : X ! Y i s

a n i n j e c t i o n i f f o r a n y t w o p o i n t s x z 2 X , f ( x ) = f ( z ) i m p l i e s t h a t x = z .

f i s a s u r j e c t i o n i f f o r a n y y 2 Y t h e r e e x i s t s x 2 X s u c h t h a t f ( x ) = y . I f f

i s b o t h a n i n j e c t i o n a n d a s u r j e c t i o n t h e n i t i s a b i j e c t i o n . I f f i s a b i j e c t i o n

t h e n o n e c a n d e n e a n i n v e r s e m a p f

; 1

: Y ! X .

D e n i t i o n 1 . 2 9 L e t X a n d Y b e t o p o l o g i c a l s p a c e s w i t h t o p o l o g i e s T

X

a n d

T

Y

, r e s p e c t i v e l y . A b i j e c t i o n f : X ! Y i s a h o m e o m o r p h i s m i f a n d o n l y i f

b o t h f a n d f

; 1

a r e c o n t i n u o u s .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 0 H o m e o m o r p h i s m d e n e s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n t o p o -

l o g i c a l s p a c e s .

P r o o f : R e c a l l ( s e e A . 2 ) t h a t t o s h o w t h a t h o m e o m o r p h i s m d e n e s a n e q u i v -

a l e n c e r e l a t i o n w e n e e d t o s h o w t h a t i t i s r e e x i v e , s y m m e t r i c a n d t r a n s i t i v e .

T o s e e t h a t i t i s r e e x i v e , o b s e r v e t h a t g i v e n a n y t o p o l o g i c a l s p a c e X t h e

i d e n t i t y m a p 1

X

: X ! X i s a h o m e o m o r p h i s m f r o m X t o X .

A s s u m e t h a t X i s h o m e o m o r p h i c t o Y . B y d e n i t i o n t h i s i m p l i e s t h a t

t h e r e e x i s t s a h o m e o m o p h i s m f : X ! Y . O b s e r v e t h a t f

; 1

: Y ! X i s a l s o


19/219


a h o m e o m o r p h i s m a n d h e n c e Y i s h o m e o m o r p h i c t o X . T h u s , h o m e o m o r -

p h i s m i s a s y m m e t r i c r e l a t i o n .

F i n a l l y , P r o p o s i t i o n 1 . 2 8 s h o w s t h a t h o m e o m o r p h i s m i s a t r a n s i t i v e r e l a -

t i o n , t h a t i s i f X i s h o m e o m o r p h i c t o Y a n d Y i s h o m e o m o r p h i c t o Z , t h e n

X i s h o m e o m o r p h i c t o Z .

A s b e f o r e , w e h a v e i n t r o d u c e d t h e n o t i o n o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n a l e v e l

o f g e n e r a l i t y m u c h g r e a t e r t h a n w e n e e d . T h e f o l l o w i n g r e s u l t i n d i c a t e s t h a t

t h i s a b s t r a c t d e n i t i o n m a t c h e s t h a t l e a r n e d i n c a l c u l u s .

T h e o r e m 1 . 3 1 L e t f : R ! R . T h e n , f i s c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f f o r

e v e r y x 2 R a n d a n y > 0 , t h e r e e x i s t s a > 0 s u c h t h a t i f j x ; y j < t h e n

j f ( x ) ; f ( y ) j < .

P r o o f : ( ) ) L e t f : R ! R b e c o n t i n u o u s . C o n s i d e r x 2 R a n d > 0 .

O b s e r v e t h a t t h e i n t e r v a l B ( f ( x ) ) = ( f ( x ) ; f ( x ) + ) i s a n o p e n s e t i n

t h e r a n g e o f f . S i n c e f i s c o n t i n u o u s , f

; 1

( B ( f ( x ) ) ) i s a n o p e n s e t i n R .

O b v i o u s l y x 2 f

; 1

( B ( f ( x ) ) ) . H e n c e , b y t h e d e n i t i o n o f a n o p e n s e t i n

t h e s t a n d a r d t o p o l o g y o n R , t h e r e e x i s t s > 0 s u c h t h a t

B

(

x ) = ( x ; x + ) f

; 1

( B ( f ( x ) ) ) :

W e w i l l n o w c h e c k t h a t t h i s i s t h e d e s i r e d . I f y 2 R s u c h t h a t j x ; y j < ,

t h e n y 2 ( x ; x + ) a n d h e n c e f ( y ) 2 B ( f ( x ) ) . T h e r e f o r e , j f ( x ) ; f ( y ) j 0

s u c h t h a t B ( z

z

)

V . O b s e r v e t h a t

V =

z 2 V

B ( z

z

) :

A s s u m e f o r t h e m o m e n t t h a t w e c a n p r o v e t h a t f o r e v e r y z 2 V , f

; 1

( B ( z

z

) )

i s o p e n . T h e n w e a r e d o n e , s i n c e

f

; 1

( V ) =

z 2 V

f

; 1

( B ( z

z

) )

a n d t h e a r b i t r a r y u n i o n o f o p e n s e t s i s o p e n .


20/219


T h u s , a l l t h a t w e n e e d t o p r o v e i s t h a t g i v e n z 2 V a n d

z

> 0 , b u t

s u c i e n t l y s m a l l , t h e n f

; 1

( B ( z

z

) ) i s o p e n .

W i t h t h i s i n m i n d o b s e r v e t h a t i t i s p o s s i b l e t h a t f

; 1

( B ( z

z

) ) = . T h i s

i s o k a y s i n c e i s a n o p e n s e t . S o a s s u m e t h a t f

; 1

( B ( z

z

) ) 6= . T h e n t h e r e

e x i s t s w 2 f

; 1

( B ( z

z

) ) . T h i s i m p l i e s t h a t f ( w ) 2 B ( z

z

) = ( z ;

z

z +

z

) .

L e t =

1

2

m i n

ff ( w )

;z +

z

z +

z

;f ( w )

g. T h e n , B ( f ( w ) )

B ( z

z

)

W e a r e n a l l y r e a d y t o u s e t h e d e n i t i o n o f c o n t i n u i t y f r o m c a l c u l u s . L e t

= , t h e n t h e r e e x i s t s > 0 s u c h t h a t j w ; y j < i m p l i e s j f ( x ) ; f ( y ) j < .

A n o t h e r w a y o f s a y i n g t h i s i s t h a t

f ( B ( w ) ) B ( f ( w ) ) B ( z

z

) :

T h i s i m p l i e s t h a t B ( w ) f

; 1

( B ( z

z

) ) . S i n c e w w a s a n a r b i t r a r y e l e m e n t

o f f

; 1

( B ( z

z

) ) , f

; 1

( B ( z

z

) ) i s o p e n .

A s t r a i g h t f o r w a r d g e n e r a l i z a t i o n o f t h i s p r o o f g i v e s t h e f o l l o w i n g t h e o r e m

T h e o r e m 1 . 3 2 L e t f : R

n

! R

m

. T h e n , f i s c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f f o r

e v e r y x 2 R

n

a n d a n y > 0 , t h e r e e x i s t s a > 0 s u c h t h a t i f j j x ; y j j <

t h e n j j f ( x ) ; f ( y ) j j < .

T h u s , u s i n g T h e o r e m 1 . 3 1 w e c a n e a s i l y s h o w t h a t a v a r i e t y o f s i m p l e

t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e h o m e o m o r p h i c .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 3 T h e f o l l o w i n g t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e h o m e o m o r p h i c :

( i ) R ,

( i i ) ( a 1 ) f o r a n y a 2 R ,

( i i i ) ( ; 1 a ) f o r a n y a 2 R ,

( i v ) ( a b ) f o r a n y ; 1 < a < b < 1 .

P r o o f : W e b e g i n b y p r o v i n g t h a t R a n d ( a 1 ) a r e h o m e o m o r p h i c . L e t

f : R ! ( a 1 ) b e d e n e d b y

f ( x ) = a + e

x

:

T h i s i s c l e a r l y c o n t i n u o u s . F u r t h e r m o r e , f

; 1

( x ) = l n ( x ; a ) i s a l s o c o n t i n u -

o u s .


21/219


O b s e r v e t h a t f : ( a 1 ) ! ( ; 1 ; a ) g i v e n b y f ( x ) = ; x i s a h o m e o m o r -

p h i s m . T h u s , a n y i t e r v a l o f t h e f o r m ( ; 1 b ) i s h o m e o m o r p h i c t o ( ; b 1 )

a n d h e n c e t o R .

F i n a l l y , t o s e e t h a t ( a b ) i s h o m e o m o r p h i c t o R o b s e r v e t h a t f : ( a b ) !

R g i v e n b y

f ( x ) = l n

x ; a

b ; x

i s c o n t i n u o u s a n d h a s a c o n t i n u o u s i n v e r s e g i v e n b y f

; 1

( x ) = ( b e

y

+ a ) = ( 1 +

e

y

) .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 4 T h e f o l l o w i n g t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e h o m e o m o r p h i c :

1 . ; 1 1 ] ,

2 . a b ] f o r a n y ; 1 < a < b < 1 .

P r o o f : S e e E x e r c i s e 1 . 1 1 .

A n o t h e r u s e f u l w a y t o c h a r a c t e r i z e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s i s a s f o l l o w s .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 5 L e t f : X ! Y . f i s c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f f o r e v e r y

c l o s e d s e t K Y , f

; 1

( K ) i s a c l o s e d s u b s e t o f X .

P r o o f : ( ) ) L e t K Y b e a n a c l o s e d s e t . T h e n Y n K i s a n o p e n s e t . S i n c e

f i s c o n t i n u o u s , f

; 1

( Y n K ) i s a n o p e n s u b s e t o f X . H e n c e X n f

; 1

( Y n X ) i s

c l o s e d i n X . T h u s , i t o n l y n e e d s t o b e s h o w n t h a t X

nf

; 1

( Y

nK ) = f

; 1

( K ) .

L e t x

2X

nf

; 1

( Y

nK ) . T h e n f ( x )

2Y a n d f ( x )

62Y

nK . T h e r e f o r e ,

f ( x ) 2 K o r e q u i v a l e n t l y x 2 f

; 1

( K ) . T h u s , X n f

; 1

( Y n K ) f

; 1

( X ) . N o w

a s s u m e x 2 f

; 1

( K ) . T h e n , x 62 f

; 1

( Y n K ) a n d h e n c e x 2 X n f

; 1

( Y n K ) .

( ( ) L e t U Y b e a n o p e n s e t . T h e n Y n U i s a c l o s e d s u b s e t . B y

h y p o t h e s i s , f

; 1

( Y n U ) i s c l o s e d . T h u s X n f

; 1

( Y n U ) i s o p e n . B u t X n

f

; 1

( Y n U ) = f

; 1

( U ) .

E x e r c i s e s

1 . 1 0 R e f e r i n g t o E x a m p l e 1 . 2 5 :

( a ) W r i t e d o w n t h e i n v e r s e f u n c t i o n f o r f .

( b ) P r o v e t h a t f i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

1 . 1 1 P r o v e P r o p o s i t i o n 1 . 3 4 .


22/219


1 . 1 . 3 C o n n e c t e d n e s s

O n e o f t h e m o s t f u n d a m e n t a l g l o b a l p r o p e r t i e s o f a t o p o l o g i c a l s p a c e i s

w h e t h e r o r n o t i t c a n b e b r o k e n i n t o t w o d i s t i n c t o p e n s u b s e t s . T h e f o l -

l o w i n g d e n i t i o n m a k e s t h i s p r e c i s e .

D e n i t i o n 1 . 3 6 L e t X b e a t o p o l o g i c a l s p a c e . X i s c o n n e c t e d i f t h e o n l y

s u b s e t s o f X t h a t a r e b o t h o p e n a n d c l o s e d a r e a n d X . I f X i s n o t c o n n e c t e d

t h e n i t i s d i s c o n n e c t e d .

E x a m p l e 1 . 3 7 L e t X = ; 1 0 ) ( 0 1 ] R . T h e n X i s a d i s c o n n e c t e d

s p a c e s i n c e b y E x a m p l e 1 . 2 4

;1 0 ) a n d ( 0 1 ] a r e b o t h o p e n a n d c l o s e d i n

t h e s u b s p a c e t o p o l o g y .

W h i l e i t i s e a s y t o p r o d u c e e x a m p l e s o f d i s c o n n e c t e d s p a c e s p r o v i n g t h a t

a s p a c e i s c o n n e c t e d i s m o r e d i c u l t . E v e n t h e f o l l o w i n g i n t u i t i v e l y o b v i o u s

r e s u l t i s f a i r l y d i c u l t t o p r o v e .

T h e o r e m 1 . 3 8 A n y i n t e r v a l i n R i s c o n n e c t e d .

H i n t s a s t o h o w t o p r o v e t h i s t h e o r e m c a n b e f o u n d i n E x e r c i s e 1 . 1 2 o r

t h e r e a d e r c a n c o n s u l t 2 ] ) .

A v e r y u s e f u l t h e o r e m i s t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 1 . 3 9 L e t f : X ! Y b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . I f X i s c o n n e c t e d ,

t h e n s o i s f ( X ) Y .

P r o o f : L e t Z = f ( X ) . S u p p o s e t h a t Z i s d i s c o n n e c t e d . T h e n t h e r e e x i s t s

a n s e t A Z , w h e r e A 6= Z , t h a t i s b o t h o p e n a n d c l o s e d . S i n c e f

i s c o n t i n u o u s , f

; 1

( A ) i s b o t h o p e n a n d c l o s e d . B u t f

; 1

( A ) 6= X w h i c h

c o n t r a d i c t s t h e a s s u m p t i o n t h a t X i s c o n n e c t e d .

W e c a n n o w p r o v e o n e o f t h e m o r e f u n d a m e n t a l t h e o r e m s f r o m t o p o l o g y

t h a t y o u m a d e u s e o f i n y o u r c a l c u l u s c l a s s .

T h e o r e m 1 . 4 0 I n t e r m e d i a t e V a l u e T h e o r e m ] I f f : a b ] ! R i s a c o n t i n -

u o u s f u n c t i o n a n d i f f ( a ) > 0 a n d f ( b )


23/219


P r o o f : T h e p r o o f i s b y c o n t r a d i c t i o n . A s s u m e t h a t t h e r e i s n o c 2 a b ] s u c h

t h a t f ( c ) = 0 . T h e n

f ( a b ] ) ( ; 1 0 ) ( 0 1 ) :

L e t U = ( ; 1 0 ) \ f ( a b ] ) a n d V = ( 0 1 ) \ f ( a b ] ) . U s i n g t h e s u b s p a c e

t o p o l o g y , U a n d V a r e o p e n s e t s a n d f ( a b ] ) = U V . S i n c e f ( a ) > 0

a n d f ( b ) b . A s s u m e w i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y t h a t a < b .

( a ) S h o w t h a t t h e i n t e r v a l a b ]

I .

L e t A

0

: = A \ a b ] a n d B

0

: = B \ a b ] .

( b ) S h o w t h a t A

0

a n d B

0

a r e o p e n i n a b ] u n d e r t h e s u b s p a c e t o p o l o g y .

L e t c b e t h e l e a s t u p p e r b o u n d f o r A

0

, i . e .

c : = i n f f x 2 R j x > y f o r a l l y 2 A

0

g :

( c ) S h o w t h a t c 2 a b ] .

( d ) S h o w c 62 B

0

. U s e t h e f a c t t h a t c i s t h e l e a s t u p p e r b o u n d f o r A

0

a n d

t h a t B

0

i s o p e n .


24/219


( e ) S h o w t h a t c 62 A

0

. A g a i n u s e t h e f a c t t h a t c i s t h e l e a s t u p p e r b o u n d

f o r A

0

a n d t h a t A

0

i s o p e n .

F i n a l l y , o b s e r v e t h a t c 2 I , b u t c 62 A

0

B

0

a n d t h e r e f o r e , t h a t I 6= A

0

B

0

.

1 . 1 3 L e t A a n d B b e c o n n e c t e d s e t s . A s s u m e t h a t A \ B 6= . P r o v e t h a t

A B i s c o n n e c t e d .

1 . 1 4 S h o w t h a t S

1

i s c o n n e c t e d .

1 . 1 5 W e s a y t h a t a t o p o l o g i c a l s p a c e X h a s t h e x e d p o i n t p r o p e r t y i f e v e r y

c o n t i n u o u s m a p f : X ! X h a s a x e d p o i n t , i . e . a p o i n t x 2 X s u c h t h a t

f ( x ) = x .

a ) S h o w t h a t t h e x e d p o i n t p r o p e r t y i s a t o p o l o g i c a l p r o p e r t y , i . e . t h a t i t

i s i n v a r i a n t u n d e r a h o m e o m o r p h i s m .

b ) S h o w t h a t a n y c l o s e d b o u n d e d i n t e r v a l a b ] h a s t h e x e d p o i n t p r o p e r t y .

H i n t : A p p l y t h e I n t e r m e d i a t e V a l u e s T h e o r e m t o t h e f u n c t i o n f ( x ) ; x .

1 . 1 6 S h o w t h a t t h e u n i t c i r c l e S

1

= f x 2 R

2

j k x k = 1 g i s n o t h o m e o m o r -

p h i c t o a n i n t e r v a l ( w h e t h e r i t i s c l o s e d , o p e n o r n e i t h e r ) .

H i n t : U s e a n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h a t i n E x a m p l e 1 . 4 1 .

1 . 1 7

A s i m p l e c l o s e d c u r v e i n R

n

i s a n i m a g e o f a n i n t e r v a l a b ] u n d e r a

c o n t i n u o u s m a p : a b ] ! R

n

( c a l l e d a p a t h ) s u c h t h a t ( s ) = ( t ) f o r a n y

s < t s t

2 a b ] i f a n d o n l y i f s = a a n d t = b . P r o v e t h a t a n y s i m p l e c l o s e d

c u r v e i s h o m e o m o r p h i c t o a u n i t c i r c l e .

1 . 2 L i n e a r A l g e b r a

H o m o l o g y t h e o r y ( w h a t w e w i l l l e a r n i n t h i s b o o k ) p r o v i d e s a n e x c e l l e n t

g e o m e t r i c w a y t o p r o c e e d f r o m l i n e a r a l g e b r a t o m o r e a b s t r a c t a l g e b r a i c

s t r u c t u r e s . A s w a s i n d i c a t e d e a r l i e r , w e d o a s s u m e t h a t y o u a r e f a m i l i a r w i t h

t h e m o s t b a s i c i d e a s f r o m l i n e a r a l g e b r a . W e s h a l l r e v i e w t h e m , b u t a s i n t h e

p r e v i o u s s e c t i o n w e s h a l l p r e s e n t t h e s e i d e a s i n a f a i r l y g e n e r a l f r a m e w o r k .

I f t h e w o r d s f e e l u n f a m i l i a r d o n ' t w o r r y t h e y w i l l b e r e p e a t e d m a n y t i m e s

t h r o u g h o u t t h i s t e x t .


25/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 2 5

1 . 2 . 1 F i e l d s

L e t u s b e g i n w i t h t h e r e a l n u m b e r s R . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w e w e r e

c o n c e r n e d w i t h R a s a t o p o l o g i c a l s p a c e . I n t h i s s e c t i o n w e w i l l c o n s i d e r i t

t o b e a p u r e l y a l g e b r a i c o b j e c t . L e t ' s r e v i e w i t s p r o p e r t i e s i n t h i s c o n t e x t .

R e c a l l t h a t t h e r e a r e t w o o p e r a t i o n s a d d i t i o n + : R R ! R a n d

m u l t i p l i c a t i o n : R R ! R d e n e d o n R . W e u s u a l l y w r i t e t h e o p e r a t i o n s

a s x + y a n d x y o r s i m p l y x y . T h e o p e r a t i o n s s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s .

1 . A d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e ,

x + y = y + x

f o r a l l x y

2R .

2 . A d d i t i o n i s a s s o c i a t i v e ,

x + ( y + z ) = ( x + y ) + z

f o r a l l x y z 2 R .

3 . T h e r e i s a u n i q u e e l e m e n t 0 ( z e r o ) i n R s u c h t h a t x + 0 = x f o r a l l

x 2 R . 0 i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t f o r a d d i t i o n .

4 . F o r e a c h x 2 R t h e r e e x i s t s a u n i q u e e l e m e n t ; x 2 R s u c h t h a t

x + ( ; x ) = 0 . ; x i s t h e a d d i t i v e i n v e r s e o f t h e e l e m e n t x .

5 . M u l t i p l i c a t i o n i s c o m m u t a t i v e ,

x

y = y

x

f o r a l l x y 2 R .

6 . M u l t i p l i c a t i o n i s a s s o c i a t i v e ,

x ( y z ) = ( x y ) z


7 . T h e r e i s a u n i q u e e l e m e n t 1 ( o n e ) i n R s u c h t h a t x 1 = x f o r a l l x 2 R .

1 i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t f o r m u l t i p l i c a t i o n .


26/219


8 . F o r e a c h x 2 R n f 0 g t h e r e e x i s t s a u n i q u e e l e m e n t x

; 1

2 R s u c h t h a t

x x

; 1

= 1 . x

; 1

i s t h e m u l t i p l i c a t i v e i n v e r s e o f t h e e l e m e n t x .

9 . M u l t i p l i c a t i o n d i s t r i b u t e s o v e r a d d i t i o n t h a t i s

x ( y + z ) = x y + x z


T h e s e p r o p e r t i e s c a n b e a b s t r a c t e d w h i c h l e a d s t o t h e n o t i o n o f a e l d .

D e n i t i o n 1 . 4 2 A e l d i s a s e t F a l o n g w i t h t w o o p e r a t i o n s , a d d i t i o n + :

F F ! F a n d m u l t i p l i c a t i o n : F F ! F , t h a t s a t i s f y p r o p e r t i e s ( 1 ) -

( 9 ) .

T y p i c a l l y w e s i m p l i f y t h e e x p r e s s i o n o f m u l t i p l i c a t i o n a n d w r i t e x y i n -

s t e a d o f x y .

E x a m p l e 1 . 4 3 T h e s e t o f c o m p l e x n u m b e r s C a n d t h e s e t o f r a t i o n a l n u m -

b e r s Q a r e e l d s .

E x a m p l e 1 . 4 4 T h e i n t e g e r s Z d o n o t f o r m a e l d . I n p a r t i c u l a r , 2 2 Z , b u t

2

; 1

=

1

2

62 Z .

E x a m p l e 1 . 4 5 A v e r y u s e f u l e l d i s Z

2

, t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l e 2 . T h e

r u l e s f o r a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e a s f o l l o w s :

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

W e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t p r o p e r t i e s ( 1 ) - ( 9 ) o f a e l d a r e s a t i s e d .

E x a m p l e 1 . 4 6 A n o t h e r e l d i s Z

3

, t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l e 3 . T h e r u l e s

f o r a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e a s f o l l o w s :

+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1


27/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 2 7

A g a i n w e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t p r o p e r t i e s ( 1 ) - ( 9 ) o f a e l d a r e

s a t i s e d . H o w e v e r , w e n o t e t h a t ; 1 = 2 a n d 2

; 1

= 2 .

E x a m p l e 1 . 4 7 Z

4

, t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l e 4 i s n o t a e l d . T h e r u l e s f o r

a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n a r e a s f o l l o w s :

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

O b s e r v e t h a t t h e e l e m e n t 2

; 1

62 Z

4

.

E x e r c i s e s

1 . 1 8 P r o v e t h a t t h e s e t o f r a t i o n a l n u m b e r s Q i s a e l d .

1 . 1 9 L e t Z

n

d e n o t e t h e s e t o f i n t e g e r s m o d u l o n . F o r w h i c h n i s Z

n

a e l d ?

1 . 2 . 2 V e c t o r S p a c e s

I n y o u r l i n e a r a l g e b r a c o u r s e y o u l e a r n e d a b o u t v e c t o r s p a c e s , m o s t p r o b a b l y

t h e r e a l v e c t o r s p a c e s R

n

. A s b e f o r e l e t u s t h i n k a b o u t t h i s i n a n a b s t r a c t

m a n n e r . T h e r s t t i m e t h r o u g h y o u s h o u l d r e a d t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n

s u b s t i t u t i n g R f o r t h e e l d F a n d R

n

f o r t h e v e c t o r s p a c e V .

D e n i t i o n 1 . 4 8 A v e c t o r s p a c e o v e r a e l d F i s a s e t V w i t h t w o o p e r a t i o n s ,

v e c t o r a d d i t i o n + : V V ! V a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n F V ! V .

F u r t h e r m o r e , i f u v 2 V t h e n u + v 2 V a n d g i v e n 2 F a n d v 2 V ,

v 2 V . V e c t o r a d d i t i o n s a t i s e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s .

1 . V e c t o r a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e ,

v + u = u + v

f o r a l l v e c t o r s u v 2 V .


28/219


2 . V e c t o r a d d i t i o n i s a s s o c i a t i v e ,

u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

f o r a l l v e c t o r s u v w 2 V .

3 . T h e r e e x i s t s a u n i q u e z e r o v e c t o r 0 2 V s u c h t h a t v + 0 = v f o r a l l

v 2 V .

4 . F o r e a c h v e c t o r v

2V t h e r e e x i s t s a u n i q u e v e c t o r

;v

2V s u c h t h a t

v + ( ; v ) = 0 .

T h e s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n s a t i s e s t h e f o l l o w i n g r u l e s :

1 . F o r e v e r y v 2 V , 1 t i m e s v e q u a l s v w h e r e 1 2 F i s t h e u n i q u e e l e m e n t

o n e i n t h e e l d .

2 . F o r e v e r y v 2 V a n d 2 F

( v ) = ( ) v

3 . F o r e v e r y 2 F a n d a l l u v 2 V ,

( u + v ) = u + v :

4 . F o r a l l 2 F a n d e v e r y v 2 V

( + ) v = v + v :

D e n i t i o n 1 . 4 9 L e t V a n d W b e v e c t o r s p a c e s o v e r a e l d F . W i s a

s u b s p a c e o f V , i f W V .

T h i s d e n i t i o n o f a v e c t o r s p a c e m a y l o o k f o r m i d a b l e , h o w e v e r , i g n o r i n g

t h e f o r m a l i t y f o r a m o m e n t , t h i s i s t h e w a y m o s t c a l c u l u s t e x t b o o k s i n t r o d u c e

v e c t o r s . T y p i c a l l y t o d e s c r i b e t h e v e c t o r s p a c e R

3

o n e i s t o l d t h a t t h e s y m b o l s

i , j , a n d k r e p r e s e n t b a s i s v e c t o r s p o i n t i n g i n t h e x , y a n d z d i r e c t i o n s . T h e y

c a n b e s c a l e d b y m u l t i p l y i n g b y a r e a l n u m b e r , e . g . 2 i o r

p

3 j . O f c o u r s e ,

1 i = i a n d 0 i = 0 i s t h e z e r o v e c t o r . F i n a l l y , a n a r b i t r a r y v e c t o r i s j u s t a

s u m o f t h e s e v e c t o r s , e . g .

v = i + j + k ( 1 . 1 )


29/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 2 9

w h e r e 2 R .

A n e q u i v a l e n t b u t d i e r e n t f o r m a l i s m i s t h e u s e o f c o l u m n v e c t o r s . I n

R

3

o n e l e t s

i =

2

6

4

1

0

0

3

7

5

j =

2

6

4

0

1

0

3

7

5

k =

2

6

4

0

0

1

3

7

5

a n d t h e n ( 1 . 1 ) b e c o m e s

v =

2

6

4

1

0

0

3

7

5

+

2

6

4

0

1

0

3

7

5

+

2

6

4

0

0

1

3

7

5

=

2

6

4

3

7

5

: ( 1 . 2 )

D e p e n d i n g o n t h e c o n t e x t w e w i l l u s e b o t h f o r m a l i s m s i n t h i s b o o k .

T h e a d v a n t a g e o f t h e a b s t r a c t d e n i t i o n o f a v e c t o r s p a c e i s t h a t i t a l l o w s

u s t o t a l k a b o u t m a n y d i e r e n t t y p e s o f v e c t o r s p a c e s .

E x a m p l e 1 . 5 0 L e t i , j , a n d k r e p r e s e n t b a s i s v e c t o r s f o r a v e c t o r s p a c e o v e r

t h e e l d Z

2

. T h i s v e c t o r s p a c e i s d e n o t e d b y Z

3

2

a n d t h e t y p i c a l v e c t o r h a s

t h e f o r m

v = i + j + k

w h e r e 2 Z

2

. I f w e c h o o s e t o w r i t e v a s a c o l u m n v e c t o r , t h e n w e

w o u l d h a v e

v =

2

6

4

1

0

0

3

7

5

+

2

6

4

0

1

0

3

7

5

+

2

6

4

0

0

1

3

7

5

=

2

6

4

3

7

5

:

S i n c e Z

2

h a s o n l y t w o e l e m e n t s w e c a n a c t u a l l y w r i t e o u t a l l t h e v e c t o r s i n

t h e v e c t o r s p a c e Z

3

2

. U s i n g b o t h s e t s o f n o t a t i o n t h e y a r e :

0 =

2

6

4

0

0

0

3

7

5

i =

2

6

4

1

0

0

3

7

5

j =

2

6

4

0

1

0

3

7

5

k =

2

6

4

0

0

1

3

7

5

i + j =

2

6

4

1

1

0

3

7

5

i + k =

2

6

4

1

0

1

3

7

5

j + k =

2

6

4

0

1

1

3

7

5

i + j + k =

2

6

4

1

1

1

3

7

5

O b s e r v e t h a t i n t h i s v e c t o r s p a c e e a c h v e c t o r i s i t s o w n a d d i t i v e i n v e r s e .


30/219


E x a m p l e 1 . 5 1 O n e c a n t r y t o d o t h e s a m e c o n s t r u c t i o n o v e r t h e i n t e g e r s .

S i n c e Z i s n o t a e l d w e w i l l n o t , b y d e n i t i o n , g e t a v e c t o r s p a c e . O n t h e

o t h e r h a n d w e c a n m i m i c w h a t h a s b e e n d o n e b e f o r e a n d d e n e a n a l g e b r a i c

o b j e c t w h i c h w e w i l l d e n o t e b y Z

3

. L e t i , j , a n d k b e b a s i s e l e m e n t s , t h e n

i t m a k e s p e r f e c t l y g o o d s e n s e t o t a l k a b o u t l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e s e

e l e m e n t s ,

v = i + j + k

w h e r e 2 Z . T h i s a d d i t i o n i s c l e a r l y a s s o c i a t i v e a n d c o m m u t a t i v e . T h e

z e r o v e c t o r i s g i v e n b y

0 i + 0 j + 0 k :

a n d ; v i s g i v e n b y ; i + ( ; ) j + ( ; ) k . S i m i l a r l y , p r o p e r t i e s 1 - 4 o f s c a l a r

m u l t i p l i c a t i o n a l s o h o l d . N e v e r t h e l e s s , s i n c e Z i s n o t a e l d , Z

3

i s n o t a v e c t o r

s p a c e . T h e i m p o r t a n c e o f t h i s l a s t s t a t e m e n t w i l l b e c o m e c l e a r i n C h a p t e r

3 .

T o m a k e i t c l e a r w h y i n t h e d e n i t i o n o f a v e c t o r s p a c e w e i n s i s t t h a t t h e

s c a l a r s f o r m a e l d w e n e e d t o r e c a l l s o m e o f t h e m o s t f u n d a m e n t a l i d e a s

f r o m l i n e a r a l g e b r a .

D e n i t i o n 1 . 5 2 L e t V b e a v e c t o r s p a c e . A s e t o f v e c t o r s S V i s l i n e a r l y

i n d e p e n d e n t i f f o r a n y n i t e s e t o f v e c t o r s f v

1

: : : v

n

g S t h e o n l y s o l u t i o n

t o t h e e q u a t i o n

1

v

1

+

2

v

2

+ +

n

v

n

= 0

i s

1

=

2

= =

n

= 0 . T h e s e t S s p a n s V i f e v e r y e l e m e n t v 2 V c a n b e

w r i t t e n a s a n i t e s u m o f m u l t i p l e s o f e l e m e n t s i n S , i . e .

v =

1

v

1

+

2

v

2

+ +

n

v

n

f o r s o m e c o l l e c t i o n f v

1

: : : v

n

g S a n d f

1

: : :

n

g F . A b a s i s f o r V

i s a l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s e t o f v e c t o r s i n V w h i c h s p a n s V . V i s a n i t e -

d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e i f i t h a s a n i t e b a s i s .

O n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t r e s u l t s c o n c e r n i n g n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r

s p a c e s i s t h a t i t h a s a d i m e n s i o n .

T h e o r e m 1 . 5 3 I f V i s a n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e , t h e n a n y t w o b a s e s

o f V h a v e t h e s a m e n u m b e r o f e l e m e n t s .


31/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 3 1

T h i s t h e o r e m a l l o w s u s t o m a k e t h e f o l l o w i n g d e n t i o n .

D e n i t i o n 1 . 5 4 T h e d i m e n s i o n o f a v e c t o r s p a c e i s t h e n u m b e r o f e l e m e n t s

i n a b a s i s .

A v e r y c l o s e l y r e l a t e d r e s u l t i s t h e f o l l o w i n g .

P r o p o s i t i o n 1 . 5 5 L e t S b e a l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s u b s e t o f a v e c t o r s p a c e

V . S u p p o s e w i s a v e c t o r i n V w h i c h i s n o t i n t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y S .

T h e n t h e s e t o b t a i n e d b y a d j o i n i n g w t o S i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t .

P r o o f : T h e p r o o f i s b y c o n t r a d i c t i o n . A s s u m e t h a t b y a d j o i n i n g w t o S , l i n e a r

i n d e p e n d e n c e i s l o s t . T h i s m e a n s t h a t t h e r e a r e d i s t i n c t v e c t o r s v

1

: : : v

n

S

a n d n o n z e r o s c a l a r s

1

: : :

n

i n t h e e l d F s u c h t h a t

1

v

1

+

2

v

2

+ : : : +

n

v

n

+ w = 0 : ( 1 . 3 )

S i n c e F i s a e l d ,

; 1

2 F . T h u s w e c a n r e w r i t e ( 1 . 3 ) a s

w =

; 1

(

1

v

1

+

2

v

2

+ : : : +

n

v

n

)

w h i c h c o n t r a d i c t s t h e a s s u m p t i o n t h a t w i s n o t i n t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y

S .

R e m a r k 1 . 5 6 I n t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 5 5 w e m a d e c r u c i a l u s e o f t h e

f a c t t h a t F w a s a e l d . I f w e r e t u r n t o E x a m p l e 1 . 5 1 t h e n w e c a n s e e t h a t

P r o p o s i t i o n 1 . 5 5 n e e d n o t h o l d i n Z

3

. L e t

S =

8

>

:

2

6

4

1

0

0

3

7

5

2

6

4

0

1

0

3

7

5

2

6

4

0

0

2

3

7

5

9

>

=

>

a n d w =

2

6

4

0

0

1

3

7

5

:

O b s e r v e t h a t w i s n o t i n t h e s p a n o f S s i n c e 2

; 1

62 Z , b u t S f w g i s n o t a

l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s e t .

T h e p r e v i o u s r e m a r k m a y s e e m s o m e w h a t t r i v i a l a n d e s o t e r i c , b u t a s w e

s h a l l s o o n s e e i t h a s a p r o f o u n d e e c t o n t h e h o m o l o g y g r o u p s o f t o p o l o g i c a l

s p a c e s .

E x e r c i s e s

1 . 2 0 L e t Z

3

3

d e n o t e t h e t h r e e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e o v e r t h e e l d Z

3

.

W r i t e d o w n a l l t h e e l e m e n t s o f Z

3

3

.


32/219


1 . 2 . 3 L i n e a r M a p s

W e n o w t u r n t o a b r i e f d i s c u s s i o n o f m a p s b e t w e e n v e c t o r s p a c e s .

D e n i t i o n 1 . 5 7 L e t V a n d W b e v e c t o r s p a c e s o v e r a e l d F . A l i n e a r

m a p o r l i n e a r o p e r a t o r f r o m V t o W i s a f u n c t i o n L : V ! W s u c h t h a t

L ( v + u ) = ( L v ) + L u

f o r a l l u v 2 V a n d a l l s c a l a r s 2 F . L i s a n i s o m o r p h i s m i f L i s i n v e r t i b l e .

T h e v e c t o r s p a c e s V a n d W a r e s a i d t o b e i s o m o r p h i c i f t h e r e e x i s t s a n

i s o m o r p h i s m L : V ! W .

A f u n d a m e n t a l r e s u l t f r o m l i n e a r a l g e b r a i s t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 1 . 5 8 L e t V a n d W b e n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s o v e r a e l d

F . T h e n , V a n d W a r e i s o m o r p h i c i f a n d o n l y i f d i m V = d i m W .

D e n i t i o n 1 . 5 9 L e t L : V ! W b e a l i n e a r m a p . T h e k e r n e l o f L i s

k e r L : = f v 2 V j L v = 0 g

a n d t h e i m a g e o f L i s

i m a g e L : = f w 2 W j L v = w f o r s o m e v 2 V g :

P r o p o s i t i o n 1 . 6 0 I f L : V ! W b e a l i n e a r m a p , t h e n k e r L i s a s u b s p a c e

o f V a n d i m a g e L i s a s u b s p a c e o f W .

P r o o f : S e e E x e r c i s e 1 . 2 1 .

E x e r c i s e s

1 . 2 1 P r o v e P r o p o s i t i o n 1 . 6 0 .

1 . 2 2 L e t L : R

2

! R

2

b e g i v e n b y

L =

"

1 1

1 1

#

C o m p u t e k e r L a n d i m a g e L . D r a w t h e m a s s u b s p a c e s o f R

2

.


33/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 3 3

1 . 2 . 4 Q u o t i e n t S p a c e s

A s w i l l b e c o m e c l e a r i n t h e n e x t c h a p t e r , t h e n o t i o n o f a q u o t i e n t s p a c e i s

a b s o l u t e l y f u n d a m e n t a l i n a l g e b r a i c t o p o l o g y . W e w i l l r e t u r n t o t h i s t y p e o f

c o n s t r u c t i o n o v e r a n d o v e r a g a i n .

C o n s i d e r V a n d W , v e c t o r s p a c e s o v e r a e l d F , w i t h W a s u b s p a c e o f

V . L e t u s s e t

v u i f a n d o n l y i f v ; u 2 W :

P r o p o s i t i o n 1 . 6 1 d e n e s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n e l e m e n t s o f V .

P r o o f : T o p r o v e t h a t i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n w e n e e d t o v e r i f y t h e

f o l l o w i n g t h r e e p r o p e r t i e s :

1 . v v f o r a l l v 2 V s i n c e v ; v = 0 2 W .

2 . v

u i f a n d o n l y i f u

v s i n c e v

;u

2W i f a n d o n l y i f u

;v

2W .

3 . v u a n d u x i m p l i e s v x s i n c e v ; u 2 W a n d u ; x 2 W i m p l i e s

t h a t v

;u + u

;x = v

;x

2W .

B e c a u s e t h e s e e q u i v a l e n c e c l a s s e s a r e s o i m p o r t a n t w e w i l l g i v e t h e m a

s p e c i a l n o t a t i o n . G i v e n v 2 V l e t v ] d e n o t e t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f v u n d e r

t h i s e q u i v a l e n c e r e l a t i o n , i . e .

v ] : = f u 2 V j u ; v 2 W g :

O b s e r v e t h a t i f w 2 W , t h e n w 0 a n d h e n c e w ] = 0 ] .

D e n i t i o n 1 . 6 2 T h e q u o t i e n t s p a c e V = W i s t h e v e c t o r s p a c e o v e r F c o n s i s t -

i n g o f t h e s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s d e n e d a b o v e . V e c t o r a d d i t i o n i s d e n e d

b y

v ] + u ] : = v + u ] f o r a l l u v 2 V

a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n i s g i v e n b y

v ] : = v ] f o r a l l 2 F v 2 V :


34/219


W e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t t h i s d o e s i n d e e d d e n e a v e c t o r

s p a c e ( s e e P r o b l e m 1 . 2 3 ) . A l i t t l e i n t u i t i o n a s t o w h a t t h i s r e p r e s e n t s m a y

b e i n o r d e r . C o n s i d e r t h e v e c t o r s p a c e V = R

2

. T h e n a t y p i c a l e l e m e n t o f

V h a s t h e f o r m

v =

"

v

1

v

2

#

:

L e t u s n o w a s s u m e t h a t w e d o n ' t c a r e a b o u t t h e v a l u e o f t h e s e c o n d c o o r d i -

n a t e . T h i s m e a n s t h a t a s f a r a s w e a r e c o n c e r n e d

"

1

2

#

=

"

1

5

#

s i n c e t h e y a g r e e i n t h e r s t c o o r d i n a t e a n d w e d o n ' t c a r e a b o u t t h e v a l u e o f

t h e s e c o n d c o o r d i n a t e . W e c a n s t i l l a d d v e c t o r s , m u l t i p l y b y s c a l a r s a n d a l l

t h e r e s t b u t i t s e e m s a b i t i n e c i e n t t o c a r r y a r o u n d t h e s e c o n d c o o r d i n a t e

s i n c e w e a r e i g n o r i n g i t . H o w c a n w e u s e q u o t i e n t s p a c e s t o r e s o l v e t h i s ? L e t

W : = f w 2 V j w =

"

0

w

2

#

g :

O b s e r v e t h a t W i s a s u b s p a c e o f V a n d i n t h e i n d u c e d e q u i v a l e n c e c l a s s

"

a

b

#

"

a

c

#

W e c a n n o w c o n s i d e r t h e v e c t o r s p a c e V = W w h o s e e l e m e n t s a r e t h e e q u i v -

a l e n c e c l a s s e s . T h i s v e c t o r s p a c e i s a 1 - d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e , i . e . w e

c a n r e p r e s e n t a n e l e m e n t o f V = W b y a s i n g l e n u m b e r x , s i n c e w e c a n e a s i l y

r e c o v e r t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i v a l e n c e c l a s s b y c o n s i d e r i n g t h e s e t o f v e c t o r s

"

x

v

2

#

V .

O f c o u r s e t h e b e s t w a y t o c o m p a r e t w o d i e r e n t v e c t o r s p a c e s i s t h r o u g h

l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s f r o m o n e t o t h e o t h e r . C o n s i d e r t h e l i n e a r m a p :

V ! V = W g i v e n b y t h e m a t r i x = 1 0 ] . T h e n

"

v

1

v

2

#

= 1 0 ]

"

v

1

v

2

#

= v

1

]

i . e . t h e s e c o n d c o o r d i n a t e i s i g n o r e d . O b s e r v e t h a t i s s u r j e c t i v e , i . e . e v e r y

e l e m e n t o f V = W i s i n t h e i m a g e o f . F i n a l l y , n o t i c e t h a t k e r = W . T h u s ,


35/219

1 . 2 . L I N E A R A L G E B R A 3 5

f o r t h i s e x a m p l e t h e p r o c e s s o f c r e a t i n g a q u o t i e n t s p a c e i s e q u i v a l e n t t o t h e

e x i s t e n c e o f a p a r t i c u l a r l i n e a r m a p . A s w i l l b e m a d e c l e a r i n C h a p t e r 3 , t h i s

i s n o t a c o i n c i d e n c e .

E x e r c i s e s

1 . 2 3 P r o v e t h a t V = W a s d e n e d i n D e n i t i o n 1 . 6 2 i s a v e c t o r s p a c e o v e r F .

I n p a r t i c u l a r , p r o v e t h a t v e c t o r a d d i t i o n a n d s c a l a r m u l t i p l i c a t i o n a r e w e l l

d e n e d o p e r a t i o n s .

1 . 2 4 L e t W b e t h e s u b s p a c e o f R

2

s p a n n e d b y t h e v e c t o r

"

1

2

#

:

D r a w a p i c t u r e i n d i c a t i n g t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s i n R

2

= W . W h a t i s t h e

d i m e n s i o n o f R

2

= W ?


36/219



37/219

C h a p t e r 2

M o t i v a t i n g E x a m p l e s

W h y s t u d y a l g e b r a i c t o p o l o g y ? T h i s c h a p t e r c o n t a i n s a d e s c r i p t i o n o f p r o b -

l e m s w h e r e a l g e b r a i c t o p o l o g i c a l m e t h o d s h a v e p r o v e n u s e f u l . T h e s e p r o b -

l e m s h a v e t h e i r o r i g i n s i n t o p o l o g y ( n o t s u r p r i s i n g ) , c o m p u t e r g r a p h i c s , d y -

n a m i c a l s y s t e m s , p a r a l l e l c o m p u t i n g , a n d n u m e r i c s . O b v i o u s l y f o r s u c h a

b r o a d s e t o f i s s u e s a s i n g l e c h a p t e r c a n n o t d o a n y o f t h e t o p i c s j u s t i c e . T h e y

a r e i n c l u d e d s o l e l y f o r t h e p u r p o s e o f m o t i v a t i n g t h e f o r m i d a b l e a l g e b r a i c

m a c h i n e r y w e a r e a b o u t t o s t a r t d e v e l o p i n g . T h i s c h a p t e r i s m e a n t t o b e

e n j o y e d i n t h e s e n s e o f a n e n t e r t a i n i n g s t o r y . D o n ' t s w e a t t h e d e t a i l s - t r y t o

g e t a f e e l i n g f o r t h e b i g p i c t u r e . W e w i l l r e t u r n t o t h e s e t o p i c s t h r o u g h o u t

t h e r e s t o f t h i s b o o k .

2 . 1 T o p o l o g y

T h e i m p o r t a n c e i n l i n e a r a l g e b r a o f t h e d i m e n s i o n o f a v e c t o r s p a c e i s t h a t

a n y t w o n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e s ( o v e r t h e s a m e e l d ) o f t h e s a m e

d i m e n s i o n a r e i s o m o r p h i c . I n o t h e r w o r d s f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f l i n e a r

a l g e b r a t h e y a r e i n d i s t i n g u i s h a b l e . S a i d y e t a n o t h e r w a y , t h e s e t o f n i t e

d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e c a n b e c l a s s i e d a c c o r d i n g t o a s i n g l e n a t u r a l n u m -

b e r .

A l g e b r a i c t o p o l o g y i s a n a t t e m p t t o d o a s i m i l a r t h i n g , b u t i n t h e c o n t e x t

o f t o p o l o g i c a l s p a c e s . S i n c e t o p o l o g i c a l s p a c e s a r e m o r e v a r i e d t h a n v e c t o r

s p a c e s , t h e c l a s s i c a t i o n i s d o n e i n t e r m s o f a l g e b r a i c o b j e c t s r a t h e r t h a n t h e

n a t u r a l n u m b e r s . A s p e r t a i n s t o t h i s b o o k t h e g o a l i s a s f o l l o w s . G i v e n a

t o p o l o g i c a l s p a c e X w e w a n t t o d e n e a n a l g e b r a i c o b j e c t H

( X ) , c a l l e d t h e

3 7


38/219

3 8 C H A P T E R 2 . M O T I V A T I N G E X A M P L E S

h o m o l o g y o f X , w h i c h i s a t o p o l o g i c a l l y i n v a r i a n t t h a t i s , i f X a n d Y a r e

h o m e o m o r p h i c t h e n H

( X ) a n d H

( Y ) a r e i s o m o r p h i c .

2 . 1 . 1 H o m o t o p y

N o t i c e t h a t w e d i d n o t c l a i m t h a t h o m o l o g y c l a s s i e s s p a c e s u p t o h o m e o m o r -

p h i s m . I t i s n o t t r u e t h a t i f t w o s p a c e s h a v e t h e s a m e h o m o l o g y , t h e n t h e y

a r e h o m e o m o r p h i c . U n f o r t u n a t e l y , t h e c l a s s i c a t i o n p r o b l e m i n t o p o l o g y i s

t o o d i c u l t f o r a n y p u r e l y a l g e b r a i c c l a s s i c a t i o n . I n f a c t , t h i s p r o b l e m i s

s o d i c u l t , t h a t m a t h e m a t i c i a n s h a v e p r e t t y m u c h g i v e n u p t r y i n g t o c l a s -

s i f y a r b i t r a r y t o p o l o g i c a l s p a c e s u p t o h o m e o m o r p h i s m . I n s t e a d t h e y s t u d y

t h e w e a k e r e q u i v a l e n c e r e l a t i o n k n o w n a s h o m o t o p y t y p e . B e f o r e g i v i n g t h e

d e n i t i o n l e t u s c o n s i d e r a m o t i v a t i n g e x a m p l e .

W e b e g i n b y r e c a l l i n g t h e i n t e r m e d i a t e v a l u e t h e o r e m w h i c h w e p r o v e d

e a r l i e r ( T h e o r e m 1 . 4 0 ) .

T h e o r e m 2 . 1 I f f : a b ]

!R i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d i f f ( a ) > 0 a n d

f ( b ) 0 a n d g ( a ) > 0 , a n d f ( b )


39/219

2 . 1 . T O P O L O G Y 3 9

O b s e r v e t h a t F ( 0 ) = f ( ) a n d F ( 1 ) = g ( ) . F o r a n y x e d v a l u e o f s 2 0 1 ]

w e h a v e y e t a n o t h e r f u n c t i o n F ( s ) : a b ] ! R . O b s e r v e t h a t

F ( a s ) = ( 1 ; s ) f ( a ) + s g ( a ) > 0

a n d

F ( b s ) = ( 1 ; s ) f ( b ) + s g ( b )


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2 . 1 . T O P O L O G Y 4 1

X = Y = 0 1 ]

X = ;

1

a n d Y = 0 1 ]

X i s a n y t o p o l o g i c a l s p a c e a n d y 2 Y i s a d e f o r m a t i o n r e t r a c t o f Y .

O b v i o u s l y , i f y o u p r o v e t h e l a s t c a s e , t h e n y o u h a v e p r o v e n t h e r s t t w o .

2 . 3 P r o v e t h a t R

n

n f 0 g i s h o m o t o p i c t o S

n ; 1

.

2 . 1 . 2 G r a p h s

U p t o n o w w e h a v e g i v e n n o i n d i c a t i o n h o w o n e m o v e s f r o m t h e t o p o l o g y t o

t h e a l g e b r a . T o m o t i v a t e t h e i d e a s a n d b u i l d s o m e i n t u i t i o n b e f o r e b e g i n n i n g

w i t h t h e f o r m a l d e n i t i o n s i t i s u s e f u l t o h a v e a s i m p l e b u t l a r g e c l a s s o f

algebraic topology ; a computational approach - kaczynski , mischaikow , mrozek

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