blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_a___x.y.pdf27 i...
TRANSCRIPT
� �������
� �
�� � � �� ������������������������
!"#$%"&'()*+,-./01 2 3,456768./01 9:-,;<=5>?1@A�BC
7
DE FGHEIE DJH KLMNOLPJH NQLRKJH C
1 SQNTULF FDE C
1.01 VW XYZ[\]\ ^\ «_W`a`b_c» daYec ]afg dbXWhb_aig 1 2z zj , 1 2z zk , 1
2
z
z, l]W`
1
1 i 3z
1 i 3
mn o , 2
iz
2i 3 2p q
1.02 VW rY\sai` ab t,u Rv l]W`: w) b^xi\b l]b 2 2(y z) (y z ) i 5 5i{ { | } { .
~) b^xi\b l]b 2 12 5i(t ui)
i
�� �
1.03 VW W�ah\��\]\ l]b 1 1
1 1
1 i 1 i 1 i 1 i4
1 i 1 i 1 i 1 i
� �� �� � � �� � � �� � � �
1.04 �^]� ab WYbsda� � ,� ,�,� �� ab a�a�ab W` hbWbY\sai` d\ ]a 4 Wec`af` ]a �hba f�l�ab�a. VW W�ah\��\]\ l]b: i) �� � �i i i i� � � ii) � � � �i 1� � � � .
1.05 VW h\��\]\ l]b XbW _Zs\ � � *� b^xi\b 2� 2� 1 2� 2 2� 3
2� 2� 1 2� 2 2� 3
i i i i
1 1 1 1
i i i i
� � �� � �
� � � �� � �
1.06 VW W�ah\��\]\ l]b 30 30(2� 3 i) (3 2�i) 0¡ ¡ ¢ £ , ¤ t,u Rv
1.07 A` � � *� , `W rY\�]\ ]W WsYa�^dW]W: ¥ ¦1002 3 1001 i i i ... 1 i§ ¨ § ¨ ¨ § _Wb
© ª © ª © ª © ª« ¬i 2 3i 4 5i ... 2 2 2 1 i® ® ® ® ® ® ¯ ® ¯
1.08 VW rY\�]\ ]bg ]bd°g ]af ± IN² XbW ]bg a-�a�\g b^xi\b _Zs\ dbW W�l ]bg b^l]³]\g: w) 3� 1i 1� � ~) ´ ´(1 i) (1 i)µ ¶ ·
1.09 �^]� z °`Wg dbXWhb_lg _Wb ¸ ¹ ºf » i z¼ ½ ,
z C¾ , *¿ ÀÁ , ]l]\ A) `W W�ah\��\]\:  à  à  à  Ãf 3 f 8 f 13 f 18 0¡ ¡ ¡ £
~) `W f�a�aX�^\]\ ]³` �WYZ^]W^³ Ä Å Ä Å Ä Å Ä Åf 8Æ f 8Æ 1 f 8Æ 1 f 8Æ 4Ç Ç Ç È Ç Ç , *É ÊË Ì
1.10 w` Í Î Í ÎÏf Ð i 1 iÑ Ò , *¿ NÁ `W W�ah\��\]\ l]b Ó Ô Ó Ô Ó Ô Ó Ôf 4Õ f 4Õ 1 f 4Õ 2 f 4Õ 3 0Ö Ö Ö Ö Ö Ö × _Wb Ø Ù Ø Ù Ø Ù Ø Ùf 1 f 2 f 3 ... f 101 1 iÚ Ú Ú Ú Û Ú .
1.11 VW W�ah\��\]\ l]b : Ü Ý Ü Ý4Þ 4Þ3 4 i 4 3i Rß ß ß à XbW _Zs\ ¿ ÀáÁ .
1.12 â dbXWhb_lg z 2 iã ä `W W`W�fs\� ^\ Z-sYab^dW hia dbXWhb_å` u,w �af ab \b_l`\g ]afg rY�^_a`]Wb ^]bg \fs\�\g y x 2æ ç _Wb y 2x 1� è
W`]�^]abxW.
1.13 VW �i^\]\ ^]a C ]bg \�b^å^\bg: w) é ê é ê2 2
3 2x 4 x 0ë ì ì í
~) 2z(1 i) z z 1 iî î ï ð î
ñ) ò ó2ô z 4 ô zi 4ôõ ö õ ÷ XbW _Zs\ ø Cù
1.14 w` z,w Cú , x, y Rú `W �i^\]\ ]W ^f^]c-dW]W: w) û ü
5iz 18w 7
2 i z 6iw 5 4i
î ïýþÿ ð ð ï îþ�
~) � �
� �
1 i z 3iw 5 6i
z 2 i w 6 i
� � � � ���
� � � ��
1.15 w` z C _Wb 2z z 1 0� � � , `W W�ah\��\]\ l]b: 2004
2004
1z 2
z �
4� ��� 2013 – 2014 4
�. ��������������
1.16 ñbW ]a dbXWhb_l z 0� b^xi\b l]b 1z 1
z� ! .
VW W�ah\��\]\ l]b 200 100z z 1 0" " #
1.17 &]a dbXWhb_l \���\ha `W ^³d\bå^\]\ ]a ^i`a�a ]�` ^³d\��` �af \�`Wb \b_l`\g ]�` dbXWhb-_å` z l]W`: w) z 2$ 1 5(1 $)i% ' ( ( , ) 0* ,
B) + ,2z 3 - 4- 1 i. / / / , t R0 .
ñ) z 3 i12345 6 , 7 [0,8)9 ,
:) 2z ;<= > i? @ XbW _Zs\ A RB , ø Rù
C) 2z 2DE F 2DEF GHIF iJ K , A RB
&]) z 2$ 1 5(1 L)i% ' ( ( , W` 2M 3ø 2N O
P) 2
z iQRSTUVS
W X , YZ Z
[2
ð\ , ] ^_
1.18 '�^]� 1 2M ,M ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` 1z 1 `ab icdeb% ( ( , 2z 1 fgh iijkhl m n ,
o op ,
2 2
q rs tu vw x
w) VW h\��\]\ l]b ]W 1 2M ,M W`c_af` ^]a` �hba _i_�a ~) `W rY\�]\ ]a` X\�d\]Yb_l ]l�a ]af d°^af M , ]af \fsiXYWddaf ]dcdW]ag 1 2M M ,
1.19 ñbW ]afg z , w Cy b^xi\b l]b 2z w 1 0z { | . VW rY\�]\ ]a` X\�d\]Yb_l ]l�a ]³g \b_l`Wg } ]af z l]W` ab \b_l`\g 0 , z , w \�`Wb ^³d\�W ^f`\fs\bW_Z
1.20 w` ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` z , 1 , iz~
rY�^_a`]Wb ^]³` �hbW \fs\�W, `W W�ah\��\]\ l]b a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` ^³d\��`M(z) \�`Wb _i_�ag
1.21 VW rY\�]\ ]³ XYWddcC ^]³` a�a�W W`c_\b ³ \b_l`W ]af dbXWhb_ai z ^\ _Zs\ dbW W�l ]bg �\-Yb�]å^\bg w)
1z ��� i
����� � ,
�� R �� , � �
2
� �� � � �� �� �
~) 1z ��� i
���� � , � �� , � ��
1.22 w` ³ \b_l`W ]af dbXWhb_ai z ¡ ¢ i£ ¤ ,
t,u R0 W`c_\b ^\ _i_�a d\ _°`]Ya ]a O(0,0) _Wb W_]�`W 1 , `W rY\s\� ³ \��^�^³ ]³g XYWddcg ^]³` a�a�W _b`ai`]Wb l]b ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` W-Ybsdå` w d\ 1 1
w z2 z
¥ ¦§ ¨© ª« ¬
1.23 w` ³ \b_l`W ]af w \�`Wb ^]³` \fs\�W x 0 , `W rY\s\� a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` \b_l`�` ]af w 1
zw i
®¯
°
1.24 VW rY\�]\ ]a X\�d\]Yb_l ]l�a ]�` ^³d\�-�` ± ²x, y W` b^xi\b ³ ´
3x µ y 1 i µ i
2
¶ ·¸ ¸ ¹ ¸º »¼ ½,
x, y,¾ R¿
1.25 �^]� a z x yiÀ Á x, y R _Wb ³ b^l]³]W 2 2(x 2x) (4x y )i  ( 7)iÃ Ä Ã Å Ä Ã , ³ a�a�W \�`Wb W�³scg XbW _Zs\ t R0 . VW h\��\]\ l]b XbW _Zs\ t R0 ]W ^³d\�W Æ(z)
W`c_af` ^\ _i_�a
1.26 VW �Ya^hbaY�^\]\ X\�d\]Yb_Z ]a ^i`a�a
]�` \b_l`�` ]�` dbXWhb_å` Ç È1
z ln É iÉ
Ê Ë Ì,
Í ÎÏ 0,Ð ÑÒ
1.27 ñbW ]afg �YWXdW]b_aig WYbsdaig t, u ,
b^xi\b l]b 2 2Ó Ô 16Õ Ö . w` 5 3z × Øi
4 4Ù Ú , `W W�a-
h\��\]\ l]b a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` \b_l`�` ]af z \�`Wb °��\b[³.
1.28 �^]� ab dbXWhb_a� z Û 1 (2Û 1)iÜ Ý Þ Þ ,
ß Rà _Wb w z (2 i)| z z
w) VW rY\�]\ ]afg X\�d\]Yb_aig ]l�afg ]�` z , w _Wsåg _Wb ]³ ^x°^³ ]afg ~) VW rY\�]\ ]a` dbXWhb_l z �af °x\b ]³` ��³^b°^]\Y³ \b_l`W ^]³` WYxc O(0,0)
ñ) VW rY\�]\ ]³` \�Zxb^]³ W�l^]W^³ ]�` \b-_l`�` ]�` z _Wb w XbW _Zs\ ß Rà
5 á âãäåæçã - èåéêäë ìåíîçïçðêäë ñòéåóôãîõö
÷øùøúûü÷ ýüúþÿü��ü
1.29 VW rY\sai` ab �,�,� R� å^]\ `W \�`Wb ^ffX\�g ab dbXWhb_a� z,w l]W`: � �2z � 2 4 � 2 i� � � _Wb w 3 � 2 i� � �
1.30 w` 1 2z ,z C R� z `W h\��\]\ l]b � �� � � � � �1 2 1 2 1 2z z z z R Re z Re z� � � � �
1.31 A` z,w C� `W W�ah\��\]\ l]b w. \�`Wb �YWXdW]b_a� ab WYbsda� ab:
z iz
z+iz
ð _Wb � �� �z+z z z z
2zz z
î î
B. \�`Wb eW`]W^]b_a� ab WYbsda� ab: � � �
� � �
22
33
z+i z i
z+i z i
! !
" ! _Wb z u z u
w u w u
# ## #
1.32 �^]� ab z,w d\ z C Rà $ , w C {0,1}% & .
VW W�ah\��\]\ l]b zw z 1R w
w 1 w
' ( ) *'
.
1.33 w` 1 2 1 2
1 2
z z z z z zw
z z
+ + ,-,
d\ 1 2z ,z C0 ,
1 1 2 2z z z z 1. . _Wb 1 2z z\ î . VW W�ah\��\]\ l]b w I/ .
1.34 VW �i^\]\ ]³` \��^�^³ zz i(z z) 2ð î ï
1.35 VW �i^\]\ ]a ^i^³dW 0 1
0 1 0 13z 1 i w 2 3i
2 i z 1 i w 1
2 3 3 4 356 3 3 3 457
1.36 w` z,w C8 , w 09 , `W h\��\]\ l]b: z wz wz
Rew 2ww
:; < => ?@ A _Wb z wz wz
Imw 2iww
BC D EF GH I
1.37 w` 1 2 3z ,z ,z C% `W h\��\]\ l]b: J K J K L M1 2 3 2 3 1 3 1 2z Im z z z Im z z z Im z z 0N N O
1.38 ñbW _Zs\ dbXWhb_l z `W W�ah\��\]\ l]b:
A) 2(z z) 0P Q B) 2(z z) 0R S .
1.39 �^]� a dbXWhb_lg z d\ z 0\ . w` z z
wz z
T U , `W W�ah\��\]\ l]b w) a w \�`Wb �YWXdW]b_lg ~) 2 w 2V W W
ñ) w` w 2X ]l]\ z R/
:) w` w 2Y Z ]l]\ z I[
1.40 VW W�ah\��\]\ l]b: w) \ ] \ ]4^ 4^
3 4 i 4 3i R_ _ _ ` , a bcd e
~) f f(1 i) (1 i) Rg g h i , j kl m
ñ) 4n n( 1 i) ( 4)o p q o _Wb `W f�a�aX�^\]\ ]³` �W-YZ^]W^³ r ) XbW _Zs\ s t *u
1.41 VW W�ah\��\]\ l]b 2004 2006
2 i i 20
1 2i 1 2i
v wx y x yv z{ | { |w v} ~ } ~
1.42 w` � � � ��f � i 1 i� � , *� N� , `W h\��\]\ l]b � � � � � � � �f 1 f 2 f 3 ... f 101 1 i� � � � � �
1.43 �^]� z x yi, x,y R� � � _�b 4z 1w z
4 z
���
,
z 4� . �� �Y\�]\ ]a X\�d\]Yb_� ]��a ]�` ^�d\��` M(z) ]af dbX�hb_ai \�b��haf, �]�` w R� .
1.44 �� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]�` \b_�-
`�` ]af z , �]�` b^�i\b (z �)(z �) (z �)(� z)� � � � � , * R¡¢ .
1.45 �� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]�` ^�-
d\��` �af \�`�b \b_�`\g ]�` Yb£` _Z¤\ db�g ���
]bg \¥b^£^\bg: ¦) 2 2z 4z z 4z§ ¨ § ©) 2 2z z zzª «
4¬ ®¯ 2013 – 2014 6
°. ±²³²´µ¶´·µ¸¹¶º
1.46 »^]� z x yi, x,y R� � � _�b ¼ ½M z \b_�`�
]af z ^]a dbX�hb_� \���\ha. ¦` \�`�b w 2z z¾ ¿ ,
`� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]af M , �]�` À Á2Re w 1Â
1.47 ¦` z C {0}Ã Ä , `� ��ah\�¥\]\ �]b ab \b_�`\g ]�` dbX�hb_£` z ,
1
z _�b z¿ ^]a dbX�hb_� \���\ha
\�`�b ^�d\�� ^f`\f¤\b�_Z.
1.48 ¦` ab Å Æ Ç Èz 2 É 2Ê Ë É iÌ Í Î Í _�b Ï Ðw Ñ Ò Ó iÔ Õ Ö Õ b_�`a�abai` ]� ^f`¤c_�
z 2w¾ , `� ��ah\�¥\]\ �]b ab ×,Ø,Ù RÚ ��a]\Ûai` hb�ha�b_aig �Yafg �Yb¤d�]b_cg �Ya�haf.
1.49 »^]� z,w CÜ , d\ 1z w
wÝ Þ . ¦` � \b_�`�
]af w �`c_\b ^\ _i_Ûa d\ _�`]Ya ]a ß àO 0,0 _�b �_]�`� á 2â ]�]\ `� ��ah\�¥\]\ �]b � \b_�`� ]af dbX�hb_ai z �`c_\b ^\ �ÛÛ\b[�, ]�g a�a��g `�
�Y\�]\ ]bg \^]�\g.
1.50 ¦` � \b_�`� ]af dbX�hb_ai �Yb¤dai z
_b`\�]�b ^]a` _i_Ûa 2 2x y 4ã ä , `� ��ah\�¥\]\ �]b � \b_�`� ]af dbX�hb_ai �Yb¤dai 4i
w zz
å æ _b`\�-]çb ^\ _i_Ûa.
1.51 �ç Ûi^\]\ ]�` \¥�^�^�
(3 2i)z (3 2i)z 2è è é ê _çb `ç ç�ah\�¥\]\ �]b a X\-�d\]Yb_�g ]��ag ]�` \b_�`�` ]�` Yb£` ]�g \�`çb dbç \f¤\�ç _Z¤\]� ^]� hbç`f^dç]b_c ç_]�`ç ]af w 3 2i� � .
1.52 ë \¥�^�^� 2z ìz í 0î î ï , ð,ñ Rò ��\b Y�ç ]a` dbXçhb_� 2 i¿ . �ç �Y\�]\ ]�` ZÛÛ� Y�ç
_çb ]ç ó , ô .
1.53 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b �]b ab \b_�`\g ]�` Yb£` ]�g \¥�^�^�g 2 2 2õö ÷ z 2õö÷ z 5 4õö ÷ 0ø ù ø ú ù û
¼ ½÷ 0,üý ç`c_af` ^\ f�\Y�aÛc Xbç _Z¤\ ¼ ½÷ 0,üý
1.54 þ]�` b^�]�]ç: 2z 2iz ÿ 0� � � , a z \�`çb eç`]ç^]b_�g \`£ a ó �YçXdç]b_�g. �ç �Y\¤\� ]a hbZ^]�dç ^]a a�a�a �ç�Y`\b ]bd�g a ó , _çb `ç
�Y\¤\� a z (^f`çY]c^\b ]af ó )
1.55 �ç �Y\�]\ ]bg ]\]YçX�`b_�g Y�\g ]�` ç-
Yb¤d£` ¦) z 4¾ ¿ ©) z 2i� %) z 3 4i� �
1.56 »^]� �]b ��
(1 z)f(z)
1 z
���
*� �
¦) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b 1f f(z)
z
� � �� �.
©) ¦` \�`çb zz 1¾ , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b f(z) R� .
%) �ç �Y\�]\ Xbç �abZ � aY�\]çb ]a f(i) .
') �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ]a f(i) \�`çb �YçXdç]b-_�g Xbç _Z¤\ \�b]Y\�]� `.
1.57 ¦` 1 3z i
2 2� � � , w 1 z¾ � , `ç ç�ah\�¥\]\
�]b A) 21 z z 0� � � , B) 3z 1� ,
%) 2 3 4 5 61 z z z z z z 1� � � � � � �
') 2� �w z¨ Xbç _Z¤\ ef^b_� � ,
() 300w 1� _çb 333w 1¨ �
þ]) 2004 2001
2004 2001
1 1z z 2
z z� � � �
7 � !"#$&! - )#*+", -#./&0&1+", 23*#45!/67
http://users.sch.gr/mipapagr
2 89:;< 8=>?@=A<B
2.01 �ç �Y\�]\ ]a d�]Ya ]af z , �]ç`: ¦)
2 4(1 i) (1 i)z
2 7 6i
C DEC
©)
92 i 5
z3
F GHI J KJ KL M
%) N O2 28 z 3z 6 iP Q R
2.02 ¦` x,y CS `ç ç�ah\�¥\]\ �]b a çYb¤d�g x y y x
xy+ xy
T \�`çb eç`]ç^]b_�g
2.03 ¦` x,y CS `ç ç�ah\�¥\]\ ]�` ^f`\�çX�-
Xc x+yx y 1 R
1+xy� � U �
2.04 ¦` z,w CÜ d\ z wV , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b W XW X
2004
2004
z wR
z w
YZ
[ \`£ a \ ]
\ ]
2003
2003
z w
z w
^_
\�`çb eç`]ç^]b-_�g
2.05 '\�¥]\ �]b zzR
z z` a , b cz C 0d e
2.06 %bç _Z¤\ z Cf , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 2 2z i i z� � � ©)
2 2z+ z z zg h
2.07 %bç _Z¤\ z,w CÜ , `ç h\�¥\]\ �]b ¦) i j
2 2 2 2z w z w 2 z wk k l m k
©) 2 2 2
2 z z+u w z u+w u=wn o p o q
%) z z z z 2 z z Rr r s t u v
2.08 ¦` 1 2z ,z C� _çb b^�i\b w x w x w x w x1 2 2 1Re z Im z Re z Im zy z y , `ç ç�ah\�¥\]\
�]b { |1 2 1 2z z Re z z}
2.09 Nç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 2z e ln z e 1 ln z 1� ~ � � � �
©) log z+100 1 log z 1 z 10� � � � �
2.10 ¦` 1 2z ,z C� _çb b^�i\b 2 2 21 2z z z� � , `ç
h\�¥\]\ �]b 1 1 1 2 1 2z z z z z z z z� � � � � � �
2.11 ¦` z Cf d\ `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) z z z z 2 z z Rr r s t u v
©) � �z z z z 2 z z C R� � � � � � �
2.12 ¦` z,w C� d\ w 1� ç�ah\�¥]\ �]b ç` z zw
R1 w
� ��
]�]\ z R� c w 1�
2.13 ¦` z,w CÜ _çb z w z w ,� � � �ç ç-
�ah\�¥\]\ �]b z w 3 z� � .
2.14 ¦` 1 2z ,z C� d\ 1 2z z 1� � _çb b^�i\b 1 2
1 2
z z1
1 z z
� ��
`ç ç�ah\�¥\]\ �]b 1z 1� c 2z 1�
2.15 ¦` 1 2z ,z C {0}� � _çb b^�i\b 2 2 2
1 2 1 2z z |z z |� � � , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 1 2 1 2z z z z� � �
©) 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z� � � �
2.16 ¦` 2 2 2 21 2 1 2 1 2z z z z 2 z z� � � � Xbç
_Z¤\ 1 2z ,z C {0}� � `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) 1 2 1 2z z z z� � �
©) 1 2z z I¡ _çb 1
2
zI
z¢
4£ ¤¥¦ 2013 – 2014 8
§. ¨©ª©«¬«®¬¯°±
2.17 »^]� *1 2 3z,z ,z ,z C² £^]\ `ç b^�i\b
1 2
2
z z z
z
³ ´µ¶ ·¸ ¹
º »1 2 11 2
2 2
z z z zz z
z z
¼ ½¾ ¿ ¾À Á Ã
`ç h\�¥\]\ �]b z RÄ
2.18 ¦` 1 2z , z C� d\ 1 2z z 1Å Å , ]�]\: ¦) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b
1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 1 0 z z z z 1 0� � � � ~ � � � �
©) `ç �Y\�]\ ]a d�]Ya ]af 1 2 1 2
1 2 1 2
z z z z 1
z z z z 1
Æ Æ ÇÆ Ç Æ
2.19 »^]� z,w CÜ , È RÉ d\ z w 1Ê Ê , `ç
h\�¥\]\ �]b: A) z w 1 zwË Ì Ë ©)
z wR
1 zw
Í ÎÍ
%) z w Ïzw-1 z w zw ÏÐ Ð Ñ Ð Ò Ð
2.20 '�`\]çb a z CÓ d\ z 1� . �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦)
2 21 z 1 z 4Ô Ô Õ Ö ©)
2z 1R
z
× Ø
2.21 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ç` z+u+w=0 _çb zu+uw+wz=0 ]�]\ z u wÙ Ù
2.22 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b 2z z 1 z z 1 1� � � ~ � � � , z CÓ
2.23 A` 1 2 3z z z 1Ú Ú Ú , 1 2 3z z z 1Û Û Ü _çb 1 2 3z z z 1Ý Ý Þ , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b
1 2 3
1 1 11
z z z� � �
_çb `ç �Y\�]\ ]afg 1 2 3z , z , z .
2.24 ¦` 1 2 3z , z , z C� , 1 2 3z z z� � _çb ab \b_�`\g ]�` 1 2 3z , z , z ^]a \���\ha \�`çb _aYfe�g b^a�Û\iYaf ]YbX£`af, `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ab \b_�`\g ]�` 1 2 2 3 1 3z z , z z , z z \�`çb _aYfe�g b^a�Û\iYaf ]YbX£`af.
2.25 **¦` 1 2 3z ,z ,z Cß hbçeaY\]b_a� ç`Z hia _çb b^�i\b �]b 1 2 2 3 3 1z z z z z zà á à á à , `ç h\�-¥\]\ �]b 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z� � � � �
2.26 ** ¦) A` 1 2 3z z z 0Û Û Ü _çb 2 2 21 2 3z z z 0â â ã , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b 3 3 3
1 2 3z z z� �
_çb �]b 1 2 3z z zä ä
©) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b å æ å æ å æ2 2 2z u u w w z 0
z u u w w z
ç è ç è ç é êç é ç é ç
2.27 ¦` 1 2 3z z zä ä _çb 1 2 3z z z 0Û Û Ü , d\ 1 2 3z ,z ,z Cß , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b 2 2 2
1 2 3z z z 0â â ã
2.28 ¦` ab \b_�`\g ]�` 1 2 3z , z , z C� ^]a \��-�\ha ^��dç]�ëaf` b^��Û\fYa ]Y�X�`a, `ç ç�ah\�-¥\]\ �]b ì í ì í ì í2 2 2
2 1 3 2 1 3z z z z z z 0î ï î ï î ð
2.29 »^]� a ¤\]b_�g çYb¤d�g ñ _çb ab dbXçhb_a� 1 2 3z , z , z ]�]abab £^]\ `ç b^�iaf` ab ^��^\bg: 1 2 3z z z ò� � � , 2
1 2 3z z z ñ� � � _çb 2 2 21 2 3z z z 0â â ã . �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: 1 2 2 3 3 1z z z z z z 8� � �
2.30 »^]� ab 1 2 3z ,z ,z Cß Xbç ]afg a�a�afg b^�i\b 1 2 2 3 3 1z z z z z z 1ó ó ô ,
õ ö ÷ ø ÷ ø1 2 2 3 3 1z z z z z z 10ù ù ù ú `ç �Y\¤\� ]a û üû üû ü2 2 2
1 2 31 z 1 z 1 zý ý ý
2.31 ¦` z w z w 1þ ÿ ÿ ÿ , `ç h\�¥\]\ �]b
¦) 2
z z1 0
w w
� � � � �� �� � ©)
z1 3
w�
2.32 ¦` 1 2z ,z C� `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) 1 2 1 2z z z z� ©) 1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z �
%) � 1 2 1 2 1 2z z z z i 2 z z� �
9 � ������� - ������ ����������� !��"#��$%
http://users.sch.gr/mipapagr
2.33 %bç _Z¤\ z,w C& `ç h\�¥\]\ �]b ¦) ' (2zw wz 0) *
©) ' (2zw wz 0+ ,
%) 2 zw zw wz 2 zw- . / .
2.34 %bç ]afg 0,1,2, w Cß `ç h\�¥\]\ �]b ¦) 3 4 3 4 3 4� 5 � � e
©) 6 7 7 8 8 62 w 6 2 w 7 2 w 89 : 9 : 9 ;9 : 9 : 9
2.35 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b : ¦` z w 1< < ]�]\ zw zw 2= >
2.36 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) ? @? @
2 2 2z w 1 z 1 wA B C C
©) 1 1
z i i zz z
� D � E D , *z CF
2.37 ¦` \�`çb z i z iw
z i z i
G HI GH G
, `ç ç�ah\�¥\]\ �]b w RJ _çb �]b w 2K .
2.38 %bç _Z¤\ z,u,w C& `ç h\�¥\]\ �]b: ¦) z 1 z 2 z 1 z 2L L M M M M N
©) z+2 z 3 z z+5� � 5 �
%) z z z z
2 z2 2
O PO Q
2.39 %bç _Z¤\ z CR `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) ¦` 1 - z zS ]�]\ T U2 Re z 1V
©)*** ¦` 1z 1
zW X ]�]\ 1
z 5z
Y Z , *z CF
2.40 »^]� z C[ �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) ¦` z 2 i 5e e 5 ]�]\ 8 z 14 6i 185 e e 5
©) ¦` z 3 1\ ] ]�]\ 22z^_` z 2� a , b R[
%) ¦` z 1 1c d _çb z 2 1e � ]�]\ 1 z 3e e
2.41 %bç ]afg z, w Cf b^�iaf` �]b w 3 2i 3e � 5 _çb (1 i)w 2 2 2g g h . �ç ç�ah\�-
¥\]\ �]b z w 10i j
2.42 ¦` Xbç ]afg 1 2z ,z C� b^�i\b �]b: 1z 1k
_çb 2z 1k `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: 1 2 1 2z z 1 z zl m l
2.43 %bç ]afg dbXçhb_aig z _çb w b^�i\b �]b 1 z
w1 z
nop
. '\�¥]\ �]b q r q rIm z 0 Im w 0s t u .
2.44 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦)
z z1
z+ z z zv w
x
©) 3z+w z1
2z 1 2w+1 2 z+wy z
{ z
%) z w
z+w|}x ~��x
� � , �
0 x2
� �
2.45 ¦` z w 1< < `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) z 1 w 1 zw 1 2� � � � � �
©) 2 3z 1 z 1 z 1 2� � � � � �
2.46 %bç _Z¤\ 1 2z ,z C� , d\ 1 2z z 1� `ç ç�a-h\�¥\]\ �]b 1 2 1 2
1 2
z z z zi i z z
2 2
� �� � � � �
2.47 *'�`a`]çb ab dbXçhb_a� çYb¤da� z,w d\ |z||w| 1� � .�ç ç�ah\b�¤\� �]b 2(z w)
0zw
� �
2.48 **¦` � �z, w,z w C i� d e e , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b b z i w i
1z i w i
� �� �
� �
z w i1
z w i
� �� �
� �
2.49 %bç _Z¤\ z C[ , `ç Ûi^\]\ ]bg ç`b^£^\bg ¦) 2z 4z 0] � ©) 2z 4z 3 0� � �
4� ��� 2013 – 2014 10
�. �� �¡¢£¡¤¢¥¦£§
2.50 %bç _Z¤\ z C[ `ç ç�ah\�¥\]\ �]b z 10 3 z 2 z 1 3¨ © ¨ ª ¨ ©
2.51 A` « ¬ « ¬15 15z+2+4i 2z+1+2i ]�]\ `ç
�Ya^hbaY�^\]\ X\�d\]Yb_Z ]bg \b_�`\g ]af z
2.52 �ç �Y\�]\ ]a ^i`aÛa ]�` ^�d\��` ]af \�b-��haf �af \�`çb \b_�`\g ]af z C[ ç` log z 5 log z 1e 5 e
2.53 '�`a`]çb ab dbXçhb_a� z _çb w �af ^f`-h�a`]çb d\ ]� ^��^�
2
®w
z¯ , � R *� . ¦` b^�i\b
�]b z 1 1° ± , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b � \b_�`ç ]af w
_b`\�]çb ^\ �çYç�aÛc.
2.54 ¦` ² ³ ² ³ 1´ µ µ µ d\ ¶,· C¸ , `ç h\�-¥\]\ �]b: 2010 2010¹ º»
2.55 ¦` � \b_�`ç ]af dbXçhb_ai z ç`c_\b ^\ _i_Ûa d\ _�`]Ya ¼ ½O 0,0 ¾ç¿ ç¾À�Á à 1Ä , Á Â-
�ÅÆÇ�¥ÇÀÇ �À¿ ÀÅ �Æ¿Å ¿È�ÉÇ¿ ¾Â¿ Ê¿Â À�Á Ç¿¾�Á ÀÅË
Ìz-iw ,
iz ÌÍ
Î Ï RÐ .
2.56 Ñ) ÑÁ z 1 2 z 2� � e , Á �ÒÇ�ÀÇ À�
ÊÒÂÓÓÔ �ÅË Æ¿ÂÊÒÕÖÇ¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË z
×) ÑÁ 1 2
1 2
z 1 z 12
z 2 z 2
Ø ØÙ Ù
Ú Ú, Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿
21 2z z 16Ü Ý
2.57 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿: Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿-
¾ßÁ à 2i
z1 ài
áâá
, Ï RÐ ÂÁÔ¾ÅËÁ ÈÇ �Á ÅÒ¿ÈÓ�ÁÅ
¾É¾ãÅ.
2.58 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w ÓÇ z w 1å æ . ÑÁ
� Ç¿¾�Á ÀÅË z ¾¿ÁÇ�À¿ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ z 3 4i 5ç è é
Á Â�ÅÆÇ� ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË w ¾¿ÁÇ�À¿ ÈÇ �ÁÂ
¾É¾ãÅ.
2.59 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ *z, w Cê ßÈÀÇ 2 2z w 0ë ì .
� Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á z, w ¾Â¿ � ÂÒíÔ
À�Á ÂÛ�Á�Á Èí�ÓÂÀ�ëÅËÁ ÅÒîÅÊßÁ¿Å ¾Â¿ ¿ÈÅȾÇã�Þ ÀÒ�Ê�ÁÅ.
2.60 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅÁ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-
Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z ÂÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á
21, z, 1+z ÈÀÅ Ç���ÇÆÅ Ç�Á¿ ÈËÁÇËîÇ¿Â¾Õ È�ÓÇ�Â.
2.61 ïÈÀ� 1 2z ,z Cð ÓÇ
ñ ò1 2 1 2z z Re z z 1ó ó ó . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿
Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á 1 2z ,z ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ ¾Â¿ � ÂÒ-
íÔ À�Á ÂÛ�Á�Á Ç�Á¿ È�ÓÇ� ÈËÁÇËîǿ¾Õ.
2.62 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿ÈíÉÇ¿
ô õ22 213 z z 24 z 50 0ö ö ÷ ø . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å
ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Þ Ç¿¾�ÁÂÞ M ÀÅË z Ç�Á¿ Ë�ÇÒ�ÅãÔ
2.63 Ñ) � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å C À�Á
Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z C[ ÈÀÅ Ç���ÇÆÅ, ÂÁ
2
1 1 10
z 3i z 3i z 9ù ú
û ù ù
×) ÑÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ 1 2z , z ÂÁÔ-
¾ÅËÁ ÈÀ� C ¾Â¿ Ç�Á¿ ÈËÓÓÇÀÒ¿¾�Þ �Þ �ÒÅÞ À�Á
ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á, Á �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ Ó�Ê¿ÈÀÅ ¾Â¿ ÀÅ Ç-ãÕí¿ÈÀÅ ÀÅË 1 2z ze
2.64 ÑÁ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ� 1 2z ,z �íÅËÁ Ç¿-¾�ÁÇÞ ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ À È�ÓÇ� A,B ÂÁÀ�-ÈÀÅ¿íÂ, �ÅË ÆÇÁ ÂÁÔ¾ÅËÁ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ
ü ýC : 2 2x y 1þ ÿ , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ¿ÈíÉÇ¿
1 2 1 2z z 1 z z� � � ÂÁ ¾Â¿ Ó�ÁÅ ÂÁ �Á Ó�ÁÅ Â��
À È�ÓÇ� A, B Ç�Á¿ ÇÈ�ÀÇÒ¿¾� È�ÓÇ�Å ÀÅË ü ýC
2.65 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� z ¿ÈíÉÇ¿ z 3� , ¾Â¿ z 3i � , Á �ÒÇ�ÀÇ À�Á À¿ÓÔ À�Þ �ÂÒÕ-
ÈÀÂÈ�Þ Ñ=2 2
z 3i z 3i .� � � � ÆÅîÇ� ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾Ô
ÇÒÓ�ÁÇ� À�Þ
11 � ���� � - ����� ���� � ��� ����������
http://users.sch.gr/mipapagr
2.66 � �ÒÅÈÆ¿ÅÒ�ÈÇÀÇ ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ ÀÅ
À ÈÉÁÅã À�Á Ç¿¾�Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z �ÅË Â-
�ÅÀÇãÅÉÁ À¿Þ ÊÒÂÖ¿¾�Þ ãÉÈÇ¿Þ À�Á ÈËÈÀ�ÓÕÀ�Á:
Ñ) z 3 z 1
z 5 z 2
� � � � ! � " � #
×) z 1
z 1 2 z 1
$ %&' ( % )&*
+) 3 z 4i 5V e 5 ä) 1 z-1 i 2V � V
2.67 N �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-
Á�Á ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ z ÈÇ ¾ÕîÇ Ó¿Â Â�� À¿Þ Ç��ÓÇÁÇÞ �ÇÒ¿�ÀßÈÇ¿Þ Ñ) z 3 z 3 10e � � �
×) z 2i z 2i 6, - - .
+) z 2i z 2i 6, , - .
2.68 +¿Â ÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� z 0 ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ 1
z 1z
/ 0 1 . äÇ�ÛÀÇ �À¿ 200 100z z 1 02 2 3
2.69 � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�-
Á�Á ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ z Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿ÈíÉÇ¿ ¾ÕîÇ Ó¿Â Â�� À¿Þ Èí�ÈÇ¿Þ:
Ñ) 2 2
1-z 1 z4 5 ×) log z 2 log z6 7
2.70 � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á
8 92:1 1 2w z z; < , = >2?
2 1 2w z - z@ , *A NB ÓÇ *
1 2z ,z Cd , 1 2z zC , 1 2z z , ÅÒ�ëÅËÁ ÇËîÇ� �ÅË
Æ¿�ÒíÇÀ¿ Â�� ÀÅ D E0,0
2.71 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È�
F G221 2 1 2x 2 z x z 2 Re z zH I J �íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾�Þ
Ò�ëÇÞ Ê¿Â ¾ÕîÇ 1 2z ,z Cð
2.72 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ò�ëÇÞ À�Þ ÇÛ�È�È�Þ 2z Kz 4 0/ / 0 ÓÇ 4 L 4M N N �Ò�ȾÅÁÀ¿ ÈÇ ¾É¾ãÅ.
2.73 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� z ¿ÈíÉÇ¿
O PQ R1 z 1 zR
z z
2 ST
S Á ÆÇ¿íîÇ� �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á
1, 1, z, zU Ç�Á¿ ÅÓÅ¾Ë¾ã¿¾Õ È�ÓÇ�Â.
2.74 ïÈÀ� Å¿ Æ¿ÂÖÅÒÇÀ¿¾Å� Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� 1z ¾Â¿ 2z
ßÈÀÇ Å 1 2
1 2
z zw
z z
VWX
Á Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ, Á ÆÇ�-
ÛÇÀÇ �À¿: Ñ) 2004w 0Y ×) 1 2z zC
2.75 ä�ÁÇÀ¿ � ÇÛ�È�È� 2z Zz Z 0[ [ \ ��ÅË
] 0^ � ƿ¾Ò�ÁÅËÈÕ À�Þ. � �ÒÇ�ÀÇ À¿Þ Ò�ëÇÞ À�Þ ¾ÂîßÞ ¾Â¿ ÀÅ Ç�ÆÅÞ ÀÅË ÀÒ¿ÊßÁÅË �ÅË Èí�ÓÂÀ�ëÅËÁ
Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ò¿ëßÁ À�Þ ¾Â¿ � ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á
2.76 ïÈÀ� 1 2z ,z Cð ¾Â¿ ÀÅ �ÅãËßÁËÓÅ
_ `_ `2 22
1 2 1 2P(x) x 2 z z x 1 z 1 za b c b b b , x Rd .
� Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ P(x) 0e Ê¿Â ¾ÕîÇ x Rd
2.77 � ãÉÈÇÀÇ ÈÀÅ C À ÈËÈÀÔÓÂÀÂ
Ñ) z i iz i z izf g f g f
×) z 4
1z 8
h ih
¾Â¿ 3z 11
z 3
j kj
+) z w 1l l ¾Â¿ z w 1 zwm m n .
2.78 � ãÉÈÇÀÇ ÈÀÅ C À¿Þ ÇÛ¿ÈßÈÇ¿Þ:
Ñ) 2
z 6 zz 9 0o p q ×) 2z z 0r s
+) z z 1 i 0t t t u ä) 2
z z 3 z 0v w x
2.79 � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ò�ëÇÞ À�Á ÇÛ¿ÈßÈÇ�Á
2z z+1=0y , ¾Â¿ 2z 3z+1=0z ÅÒ�ëÅËÁ ¾ÅÒËÖ�Þ ¿ÈÅȾÇãÅÉÞ ÀÒÂ�Çë�ÅË
2.80 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ z,w Cð ÓÇ z 9iw
iz 1
rs{
¾Â¿
z 3|
Ñ) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ w 3}
×) � �ÒÇ�ÀÇ À� Ó�Ê¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~
2.81 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ÂÁ � ÇÛ�È�È�
� � � �� �iz 2 w z 2i� � � ÓÇ ÕÊÁ�ÈÀÅ ÀÅ z C� *� �� ,
�íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾Ô Ò�ë À�ÀÇ w 1} .
4� ��� 2013 – 2014 12
�. ��������������
2.82 � ÇÛÇÀÕÈÇÀÇ ÂÁ � ÇÛ�È�È�
� �� 2 3i1 iz
2 3 i
�� kj
, �íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾Ô Ò�ëÂ.
2.83 +¿Â ÀÅÁ z C� ¿ÈíÉÇ¿ �À¿: z 1 2i 4� � � . NÂ
�ÒÇ�ÀÇ À¿Þ À¿Ó�Þ ÀÅË z Ê¿Â À¿Þ Å�Å�ÇÞ � �ÂÒÕÈÀÂÈ�
z 13 7i~ ~ Ê�ÁÇÀ¿ Ó�Ê¿ÈÀ� Ô ÇãÕí¿ÈÀ�.
2.84 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅÁ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-
Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z , ÂÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ z 3 z 5 3i� � � . Ñ�� ÀÅËÞ �ÂÒÂ�ÕÁ� Ó¿ÊÂÆ¿-
¾ÅÉÞ z , �Å¿ÅÞ �íÇ¿ ÀÅ Ó¿¾Ò�ÀÇÒÅ Ó�ÀÒÅ;
2.85 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w ÓÇ
3z 2iw
iz 6
¡¢¡
. H Ç¿¾�Á ÀÅË z ÂÁԾǿ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ
£ ¤O 0,0 ¾Â¿ ¥ 2¦
Ñ) Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË w ÂÁԾǿ ÈÇ ÅÓ�¾ÇÁÀÒÅ ¾É¾ãŠ¾À�ÁÂÞ r 1§
B) N Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á z, w ¾Â¿ � ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á Ç�Á¿ ÈËÁÇËîÇ¿Â¾Õ È�ÓÇ�Â.
×) � Ë�ÅãÅÊ�ÈÇÀÇ À�Á ÇãÕí¿ÈÀÅ ¾Â¿ À� Ó�Ê¿-ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~
2.86 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z ÓÇ z 4i 1¨ © ¾Â¿ Å
w ÓÇ w 2z 4 7iª « ¬ . � �ÒÇîÇ� � ÇãÕí¿ÈÀ� ¾Â¿ �
Ó�Ê¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~
2.87 ä�ÁÅÁÀÂ� Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z ¾Â¿ w Ê¿Â ÀÅËÞ Å�Å�ÅËÞ ¿ÈíÉÅËÁ (1 i)z 2 4i 18 ® ® ¯ ¾Â¿ w 2z 11 5i0 1 / . � �ÒÇ�ÀÇ: Ñ) °Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z
×) °�Á Ó�Ê¿ÈÀ� ¾Â¿ ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z
+) °�Á ÇÛ�È�È� À�Þ ¾ÂÓ�Éã�Þ �ÅË �Ò�ȾÅÁÀ¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ w
ä) °� Ó�Ê¿ÈÀ� ¾Â¿ ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~
2.88 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-
Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z ÂÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿
± ²³ ´z i z i 3 z i 4 01 / 1 1 1 0
2.89 ïÈÀ� z,w Ó� Ó�ÆÇÁ¿¾Å� Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� À�ÀÅ¿Å¿
ßÈÀÇ µ ¶z w z wz 3 w 3 z w 3 ·¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ . � Â�ÅÆÇ¿-
íîÇ� �À¿ zR
w� Ô z w z w» ¼ ¼
2.90 +¿Â ÀÅÁ z C R½ ¾ ¿ÈíÉÇ¿ � Èí�È�
1z 2011
z¿ À Á Â1
Ñ) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË z Ç�Á¿ È�ÓÇ�Å
¾É¾ãÅË ÓÇ ¾�ÁÀÒÅ ÀÅ £ ¤O 0,0
×) ÑÁ 1 2 3z ,z ,z ¿¾ÂÁÅ�Å¿ÅÉÁ À�Á Á Â1 Á ÆÇ�ÛÇÀÇ
�À¿ à Ä1 2 31 2 3
1 1 1z z z 9
z z z
Å Æ/ / / / ÇÈ ÉÊ Ë
2.91 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z 1Ì Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿-ÈíÉÇ¿ 2001 20013z 2001z 2004Í Î . N ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿
Ñ) ³ ´2001 2001z z 10 0 ×) zz 1Ï
+) ÂÒ¿îÓ�Þ 1 zw
1 z
ÐÑÒ
Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ.
2.92 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ� Ó, Ô, Õ ÓÇ |Ó|=|Ô|=|Õ|=2 ¾Â¿ Ö+×+Ø=1
Ñ) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ³ ´ ³ ´³ ´Ó+Ô Ô+Õ Õ+Ó Rð
×) � �ÒÇîÇ� � À¿ÓÔ À�Þ �ÂÒÕÈÀÂÈ�Þ 1 1 1
Ö × ØÙ Ù
+) � Â�ÅÆÇ¿íîÇ� �À¿ |Ú Û| |Û Ü| |Ü Ú| 2Ý Ý Ý Ý Ý Þ
2.93 ïÈÀ� Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� 1 2z , z ,w ÓÇ
1 2z z 2© © , 2 21 2z z 0ß à ¾Â¿ 1 2
2 21 2
2z zw
z z
áâã
Ñ) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ 11
4z
zä 2
2
4z
z0
×) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å w Ç�Á¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾�Þ
+) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ¿ÈíÉÇ¿ 1 2
2 1
z z2
z z¿ å
ä) ÑÁ w 2æ , Á ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Â) 1 2z z 2ç è
�) ÀÅ ÀÒ�Ê�ÁÅ �ÅË �íÇ¿ ¾ÅÒËÖ�Þ À¿Þ Ç¿¾�-
ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ O , 1z , 2z Ç�Á¿ ¿È��ãÇËÒÅ
13 é êëìíîïë - ðíñòìó ôíõöï÷ïøòìó ùúñíûüëöýþ
http://users.sch.gr/mipapagr
3 ÿ�����ÿ����ÿ �������� � ����ÿ� (� ÿ ÿ�������)
3.01 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� � �x
f x ln1 x
� �� � ��� �
Ñ) � ÅÒ�ÈÇÀÇ À�Á 1f�
×) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � �1
xlim f x 1����
+) ÑÁ z,w Ç�Á¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� À�ÀÅ¿Å¿ ßÈÀÇ Á ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ ! " # $1 1 7f ln 1 f ln z w
6% %& & ' Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿
Â) z w 2( )
�) * + * +Re z Re w 2, -
3.02 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ 2
2
4z zw
4z z
./
0, z C1
Ñ) � ãËîÇ� ÈÀÅ C � ÇÛ�È�È� 24z z 02 3
×) ÑÁ Å w Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ, Á �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å C À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z
+) ÑÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó� Ó�ÆÇÁ¿¾ßÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ 1 2 1 2z , z , w , w Ç�Á¿ ÇÈ�ÀÇÒ¿¾Õ È�ÓÇ� ÀÅË ÊÇ�ÓÀÒ¿¾ÅÉ À��ÅË
C , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ë�ÕÒíÇ¿ 4 5ox 0,16 ßÈÀÇ Á ¿ÈíÉÇ¿ 0 1 2 0 1 2 ox z z x w w x7 8 7 9
3.03 ïÈÀ� z : ;i< = , *>,? R@ ¾Â¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� A B2
2
z iz x 5x 2 z izf x
x 3x 2
C C C CD
C C. ÑÁ E F
x 1lim f x 3GH
I , Á Â�Å-
ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ñ) z iz 1J K ¾Â¿ z iz 2( )
×) 5
z2
L +) 3
MN8
O
3.04 +¿Â ÀÅËÞ Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉÞ z,w ¿ÈíÉÇ¿ 2
2x 1
z 3 4i x w 3 6i x 2 1lim
2x 1PQ Q Q Q R R
SQ
Ñ) � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z .
×) � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË w .
+) � �ÒÇîÇ� � ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z wT .
3.05 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� U Vz x i f xK J W ¿ÈíÉÇ¿ z 1K Ê¿Â ¾ÕîÇ fx XY , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿:
Ñ) °Å �ÇÆ�Å ÅÒ¿ÈÓÅÉ ¾Â¿ ÀÅ ÈÉÁÅãÅ À¿ÓßÁ À�Þ f Ç�Á¿ Ë�ÅÈÉÁÅãÅ ÀÅË Æ¿ÂÈÀÔÓÂÀÅÞ Z [1,1\ ,
×) ÑÁ � f Ç�Á¿ ÈËÁÇíÔÞ À�ÀÇ Æ¿ÂÀ�ÒÇ� ÈÀÂîÇÒ� �Ò�È�ÓÅ ÈÀÅ ] ^1,1_ .
3.06 ïÈÀ� ` af : b,c Rd ÈËÁÇíÔÞ ÈËÁÕÒÀ�È� ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z : ;i< = , e f1z g if gh i , U V1z j if jK J . ÑÁ
¿ÈíÉÇ¿ k l m n2 21 23 z z 4izz 4i Re z zo o p , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � fC �íÇ¿ �Á ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ ¾Å¿Á� È�ÓÇ�Å ÓÇ ÀÅÁ x xq .
4r stu 2013 – 2014 14
v. wxyxz{|z}{~�|�
3.07 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f , ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ Æ¿ÕÈÀ�Ó � ��,� ¾Â¿ �ÂÒÂÊ�Ê�È¿Ó� ÈÀÅ U V�,j ÓÇ � �f � � 0� � .
ä�ÁÇÀ¿ ¾Â¿ Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ � if(�)z
� if(�)
��
�. ÑÁ Å z Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x x� �íÇ¿ Ó¿Â
ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ ãÉÈ� ÈÀÅ U V�,j .
3.08 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ Æ¿ÕÈÀ�Ó � �0,2 ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� U V1z f 0 iK J ¾Â¿ � �2z 1 f 2 i� � � .
ÑÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ 1 2 1 2z z z z� � � , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ � �0,2 .
3.09 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w C ¾Â¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f : R R¡ ÓÇ ¢ £ 3 2f x z x w x z wI ¤ ¥ ¤ . � Â�Å-
ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó� ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ Z [1,1\ .
3.10 ïÈÀ� ÈËÁÕÒÀ�È� ¦ § 3f x 2z 1 x z x 1¨ © ª ª ��ÅË z Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ ÓÇ z 0« ¾Â¿ x R¬ . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿
ÂÁ ¢ £1
Re z12
, À�ÀÇ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ ® ¯0,1 .
3.11 ïÈÀ� f : R R¡ ÈËÁÕÒÀ�È� ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ R Ê¿Â À�Á Å�Å� ¿ÈíÉÇ¿ �À¿
° ± ° ± ° ±2
1 23 2 5 41 2
1 z zf x z z f x f x 2x x 2
4
²³ ² ³ ´ ³ ² , x R¬ , ��ÅË 1 2z , z Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� �ÅË Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ ÀÅËÞ Ç�Á¿
ÇÈ�ÀÇÒ¿¾Õ È�ÓÇ� ÀÅË ¾É¾ãÅË 2 2x y 1µ ¶ . äÇ�ÛÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ ® ¯0,1
3.12 Ñ. � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ê¿Â ÀÅËÞ Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉÞ z , w ¿ÈíÉÇ¿ · ¸2 2 2
z w z w 2 Re zw¹ º » ¹
×. ¼Ç�ÒÅÉÓÇ ÈËÁÕÒÀ�È� f : R R¡ � Å�Å� Ç�Á¿ ÊÁ�È��Þ ÓÅÁ�ÀÅÁ� ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ�
1z 3 f(2)· i½ ¾ ¿ÂÀ 12z f (2) 3· iÁ à ÊÀ ÀÄËÞ Ä�Ä�ÄËÞ ÀÈíÉÇÀ � Èí�È� · ¸
2 21 2 1 2z z 2 Re z z» º . � ÆÇ�ÛÇÀÇ �ÀÀ
Ñ) 1 2z zI
×) ÄÀ f ,g ��ÄË Å Æg(x) f 2x f(x) xÇ È È , x R¬ Ç�ÁÂÀ ÊÁ�È��É ÊË�ÁÄËÈÇÉ
Ê) ÂÁ � f Ç�ÁÂÀ ÈËÁÇÌÍÉ , ÎÇ ÈÉÁÄÏÄ ÀÀÎÐÁ ÀÄ R , À�ÀÇ � ÇÑ�È�È� 12x f(x) f (x)ÒÓ Ô �ÌÇÀ ÎÄÁÂÆÀ¿Í Õ��Â
� Ä�Ä� �Õ�È¿ÇÀÂÀ ÈÀÄ ÆÀÖÈÀ�ÎÂ × Ø2,3
3.13 ÙÈÀ� Ä ÎÀÊÂÆÀ¿�É ÂÕÀËÎ�É Ú ÛÜÝ
z1 Ý i
Þß
. Ó RY
à � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄÁ ÊÇ�ÎÇÀÕÀ¿� À��Ä À�Á ÇÀ¿�Á�Á á ÀÄË â ãäz
å åÕÇ�ÀÇ ÀÄËÉ ÎÀÊÂÆÀ¿ÄÉÉ �ÄË Â��ÌÄËÁ À�Á ÇÏÖÌÀÈÀ� ¿ÂÀ À� Î�ÊÀÈÀ� Â��ÈÀÂÈ� Â�� ÀÄ æ çO 0,0
è àÁ ÄÀ ÇÀ¿�ÁÇÉ á ÀÄË â ãäz ÂÁÍ¿ÄËÁ ÈÇ ¿É¿ÏÄ ¿�ÁÀÕÄË 1
K O,2
é êëì íî ï ¿ÂÀ ¿À�ÁÂÉ 1
ð2
ñ , Á ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ ÄÀ
ÇÀ¿�ÁÇÉ À�Á ÎÀÊÂÆÀ¿ÐÁ â ãäz 1
òzó ôõö ÷ø ù
Ç�ÁÂÀ ÂÁÀÀÆÀÂÎÇÀÕÀ¿Ö È�ÎÇ� ÀÄË ¿É¿ÏÄË ÂËÀÄÉ.
ú � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ ÀÄ ÀÕ�Ê�ÁÄ �ÄË �ÌÇÀ �É ¿ÄÕËÊ�É ÀÀÉ ÇÀ¿�ÁÇÉ À�Á ÎÀÊÂÆÀ¿ÐÁ û ü1z , ý þ1z ÿ , � �2012z Ç�ÁÂÀ
ÄÕËÄÊÐÁÀÄ (www.mathematica.gr)
15 � ������� - ���� ���������� ���������
http://users.sch.gr/mipapagr
��������� �
4 !"#$% %"&'(!)%)%
4.01 ÙÈÀ� � ÈËÁÖÕÀ�È� 2
1f(x) n 1
x
* +, -. /0 12
A) åÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ À�É B) 3ÉÈÀÇ À�Á ÇÑ�È�È� 4 5f x 1 06 7
è) 3ÉÈÀÇ À�Á ÂÁ�È�È� 8 9f x 0:
ú) � ÆÇ�ÑÇÀÇ
�ÀÀ2
1 1f f( 2 ) f
;<=x2;<= x 1
> ? > ?@ AB C B CB CD E FE F
4.02 àÁ G H 2f x x x 1I ¤ ¤ . � Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ
I J I Jf x f x 1K L
4.03 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� G H M Nx x1
f x Ó Ó2
OI ¤ .
� Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ P Q P Q R S P Qf x y f x y 2f x f yT T U V ,
x, y RW
4.04 XÀÄ ÆÀ�ÏÂÁ�
ÈÌÍΠÁ �ÕÇ�ÀÇ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀ ÀÄË x ,
À� ÈËÁÖÕÀ�È� �ÄË
�ÇÕÀÊÕÖÊÇÀ ÀÄ
ÇÎ�ÂÆ�Á À�É ÊÕÂÎÎÄÈ¿ÀÂÈÎ�Á�É �ÇÕÀÄÌÍÉ �ÄË Æ�ÎÀÄËÕÊÇ�ÀÂÀ Â�� À� YZ ¿ÂÀ ÀÀÉ �ÏÇËÕ�É ÀÄË ÀÕÀÊÐÁÄË [\] ÊÀ ÀÀÉ ÆÀÖÊÄÕÇÉ Ë�ÈÇÀÉ ÀÄË E �ÖÁ� ÈÀ� B^ . °Ä ÀÕ�Ê�ÁÄ [\] Ç�ÁÂÀ ÀÈ�-
�ÏÇËÕÄ ÎÇ ÎÍ¿ÄÉ �ÏÇËÕÖÉ 1 � BE x_ ¿ÂÀ `a bac
4.05 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� f ÎÇ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ
ÀÄ R ÎÇ d ex
x
4f x
4 2f
g. � Ë�ÄÏÄÊ�ÈÇÀÇ ÀÄ
4 5 4 5f x f 1 x6 h ¿ÂÀ ÀÄ :
1 2 2002 2003f f ...f f
2004 2004 2004 2004
i j i j i j i jk k kl m l m l m l mn o n o n o n o
pqrstuv #rqwxyrxz
4.06 N ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ À� ÊÕÂÊÀ¿Í �ÂÕÖÈÀÂÈ� À�É ÈËÁÖÕÀ�È�É f(x) ln x{ ¿ÂÀ Á �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÏÍËÄÉ
À�Á ÕÀ�ÐÁ À�É ÇÑ�È�È�É | } 6f x 10~�
4.07 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á
� �f x x� � �g x x 1� � � � �1
k xx
�
� �h x 1 x� � � �1
m xx 1
��
� �1
n xx 1
��
4.08 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á
f(x) ln( x), x 0I ¥ � g(x) ln( x), x 0I ¥ ¥ �
k(x) ln x7 m(x) ln x� � t(x) ln x� �
4.09 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á:
à) 4 5f x 7 2x x
å)
� �
x
2
e , x 0
g(x) lnx , 0<x e
x 1 , x e
� � ¡ �¢
£ ¤ ¥
è) 2 xf(x) ¦§¨
2I
4© ª«¬ 2013 – 2014 16
. ®¯°¯±²³±´²µ¶³·
#¸¹º» »qtx¼»½
4.10 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á ¾ ¿ À Á2f x x ln x Ã
x 1g(x)
x x-3x+2 x
ÄÅ t(x) I
1
x 2 x 1Æ Æ
h(x) I2
x 2
1 x 1 x
Ç
È È È
24 - xk(x)
(x - 1) x 1É
Ê
4.11 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á Ë Ì2 x
f x2ÍÎx 1
ÏÐ
Ñ Ò2ÓÔx
g xÕÖx ÕÖ2x
I¥
2
2x 2x
x 1Ô(x)
e eפ
I¥
Ø Ù2
1t x
2ÚÛÜ x 5ÚÛÜx 3Ý
Þ Þ
4.12 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á ß àß à
xe ef x
2x 1 ln x
áâ
á ã ä
1t x ln x
x 1å
æ
g(x) I xe - 1 + 1 - lnx Ñ Ò ç è2k x ln 1 xI ¥
4.13 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á é ê2
x x 1
x x 1f x
9 4.3 27ëì ì
íî ì
3 2g(x) x xï ð
h(x) I 2ñòóx 1ô xf(x) (e 1)ln(x 1)õ ö ö
4.14 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á ÷ ø1
f x ln xx 1
ùú
û ü û ü1
g x ln xx 1
ý þÿ
� �x 2
1h x
4 x�
� � �
1
lnxk x x�
4.15 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-
ÈÇ�Á 2
2x 2x
x 1k(x)
e eפ
�¥
, � x
t x ln xx 1
��
2
2
x x 2r(x)
x x
¤ ¥�
¥ , �
3 x 2k x
2x 4 x 1
� ��
� � �
4.16 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ ¿ÖËÇ ÎÀÂÉ Â��
ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ:
f(x) � xe - 1 + 1 - lnx � �m x ln(x 1)� �
4.17 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ ¿ÖËÇ ÎÀÂÉ Â��
ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ:
� �x 2
1f x
4 x�
� � � x
x 3g x log
3 x
��
�
� !"# $%&'()
4.18 èÀ À� ÈËÁÖÕÀ�È� f : R R* ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ
Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò2f x 2f x 2 x x 1¥ ¥ � ¥ , x R+ . � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ �
fC ÆÇÁ À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ÖÑÄÁ x x,
4.19 ÙÈÀ� ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R R- ÊÀ ÀÀÉ
Ä�Ä�ÇÉ ÀÈÌÉÇÀ . / . / 2f x 9 g x x0 1 0 ÊÀ ¿ÖËÇ x R+ .
� �ÕÇËÇ� � ÈÌÇÀÀ¿Í Ë�È� À�Á f gC , C
4.20 ÙÈÀ� � ÈËÁÖÕÀ�È� f : R R* ÊÀ À�Á Ä-
�Ä� ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ 2 3 4 52f x 2 f 3x 06 6 7 ÊÀ ¿ÖËÇ
x R+ . � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ � fC À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ÖÑÄÁ x x, ÈÇ ÆÉÄ ÀÄËÏÖÌÀÈÀÄÁ È�ÎÇ�Â
4.21 ÙÈÀ� ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R R- , ÐÈÀÇ ÁÂ
ÀÈÌÉÇÀ 2f(x) g(x) x 89 : ; ¿ÖËÇ x R+ , < R= . �Â
�ÕÇËÇ� Ä > ÐÈÀÇ ÄÀ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ ÀÄËÉ, ÁÂ
À�ÎÁÄÁÀÂÀ ÈÀ�Á ÇËËÇ� x 1� ¿ÂËÐÉ ¿ÂÀ À ÆÀÂ-
ÈÀÍÎÂÀ ÈÀ Ä�Ä� � fC Ç�ÁÂÀ �ÖÁ� Â�� À�Á gC
4.22 � �ÕÇËÄÉÁ À ÆÀÂÈÀÍÎÂÀ ��ÄË � fC
Ç�ÁÂÀ �ÖÁ� Â�� À� gC �ÀÂÁ:
à) Ñ Ò x x 1f x 4 2 ?� ¥ ¿ÂÀ @ A x 2g x 2 8BC D
å) 2x EF x 0
f(x)1 2x EF x<0
G HIJ KL LIM
¿ÂÀ g(x) x 2N O
¿ÂËÐÉ ¿ÂÀ � Â��ÈÀÂÈÍ ÀÄËÉ.
17 P QRSTUVR - WTXYSZ [T\]V^V_YSZ `aXTbcR]de
http://users.sch.gr/mipapagr
fghi%i) $j")kilg'm"
4.23 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� f(x) x 1n o .
à) � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ �ÄÀÇÉ Â�� ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈË-
ÁÂÕÀÍÈÇÀÉ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÎÇ À� ÈËÁÖÕÀ�È� f .
2
1
x - 1f (x)
x - 1p
3
2 2
x 1f (x)
x - x 1
qr
q
s t2
3f (x) x 1� u 4
1f (x) x 1
x
v wx yz {| }
Ñ Ò x 15f x ln e ?� ln(x 1)
6f (x) e ~�
å) � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ ÇËÕÉÀÇÕÄ ÆËÁÂÀ� Ë�ÄÈÉÁÄÏÄ
ÀÄË R ÈÀÄ Ä�Ä�Ä ÄÀ �ÂÕÂ�ÖÁ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ Ç�ÁÂÀ �ÏÇÉ �ÈÇÉ.
4.24 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 1 ���x
f(x)��x
�C ¿ÂÀ ��x
g(x)1 ���x
��
4.25 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ
Ñ Ò s t s tx x
f x 1 2 2 1×
� u � � ¿ÂÀ � �g x 0�
4.26 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 2f(x) x x 1� � � ¿ÂÀ
2
1g(x)
x x 1
��� �
4.27 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ ÈÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� �ÇÕÀ�ÀÐÈÇÀÉ.
à) 2f(x) x x 1� � � ¿ÂÀ 2
1g(x)
x x 1
��
� �
å) f(x) �1
ln 2x
� � ¡ ¢£ ¤ ¿ÂÀ ¥ ¦ ¥ ¦g x ln 1 2x ln x§ ¨ ¨
4.28 � �ÕÇËÇ� Ä © Rª ÐÈÀÇ Á Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ
ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 3
2
«x 3x 4f(x)
x «x 4
� u ��
� u ¿ÂÀ
g(x) ¬x 1 ® ®
4.29 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ
f(x) �1
ln 2x
� � ¡ ¢£ ¤ ¿ÂÀ ¥ ¦ ¥ ¦g x ln 1 2x ln x§ ¨ ¨
¯k#°'!± $j")kilg'm"
4.30 � �ÕÇËÄÉÁ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f g² ,¿ÂÀ g
f
�ÀÂÁ
à) f(x) 4 |x|]� ³ ¿ÂÀ g(x) x 1´ µ
4.31 � �ÕÇËÄÉÁ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f g² ,¿ÂÀ g
f
ÂÁ f(x) �2x 1, x 2
x , x 2
¶ ·¹̧º
»¹¼ ¿ÂÀ ½ ¾
lnx, 0 x 3g x
-2x 3, x 3
¿ ¿ÀÁ Â Ã ÄÅ
4.32 èÀ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R RÆ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ
Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò2 2g x f x 2f x x 3� � u u , x RÇ È . � ÆÇ�ÑÇÀÇ
�ÀÀ � gC À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ËÇÀÀ¿� �ÎÀÖÑÄÁ Oy
4.33 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R RÆ ÂÁ
ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ
Ê Ë Ê Ë Ê Ë Ê ËÌ Í2 2f x g x 1 2 ÎÏx f x ÐÑÒx g xÓ Ó Ô Õ Ö Õ
4.34 N �ÕÇ�ÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R R×
�ÄË À¿ÂÁÄ�ÄÀÄÉÁ À�Á ÈÌ�È�: Ø Ù2 2f x x 1Ú Û , x RÜ
4.35 N �ÕÇ�ÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R R×
�ÄË À¿ÂÁÄ�ÄÀÄÉÁ À�Á ÈÌ�È�: Ý Þ Ý Þß à2 x xf x 4e f x eá â ,
x Rã ä
4.36 � �ÕÄÈÆÀÄÕ�ÈÇÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÊÁÍÈÀ ÂÉÑÄË-
ÈÇÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R Rå ÊÀ ÀÀÉ Ä�Ä�ÇÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ 2 2f (x) x� æ ç1 ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ
4.37 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R Rå ÂÁ ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ
è éê ë è éê ëf x 1 f x 2 0ì ì í
4.38 N Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ f gî , ÂÁ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ
ï ð ñ ò2 2f g (x) 2 f g (x) 2ó ô ó õ ÊÀÂ ¿ÖËÇ x RÜ
4ö ÷øù 2013 – 2014 18
ú. ûüýüþÿ�þ�ÿ����
���� ������
4.39 NÂ Ñ ÀÖ� À ÂÁ �ÁÂÀ ÖÕÀÀ É Í � ÕÀÀÀ�É �À ��ÁÂÕÀÍ� ÀÉ
� �2g(x) ln x x 1� � � ,
2x 3 x 0
3 x 0f(x)
2x 3 x 0
� ��� �� �� � ��
4.40 %À À� ��Á��À��� f : R R× À� ! À �ÀÀ " #x f(x) f( x) 2 2f( x) 0, x R$ & $ $ & ' ( ) . � Â��* �+ À
�ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ Á �� �À À�Á À!�� À�-.
4.41 ** .�Á ÀÂÀ � ��Á��À��� f : R R× /À À�Á
���� À� ! À f(x y) f(x y) 2f(x) f(y)0 0 1 2 0 /À ¿�3 x,y R4 . � Â��* �+ À �ÀÀ: 5) 6 fC *À�� ÀÂÀ Â�� À� 7 80,0
9) � f �ÁÂÀ ��ÀÀÂ
%) : ;f x f(x)< /À ¿�3 x RÜ
4.42 5Á À� ! À f(x y) f(x) f(y)= î = , x,y R> ? ÁÂ
* �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ,
4.43 5Á À� ! À f(x) f(y)f(x y)
1 f(x)f(y)
@@ A B , /À ¿�3
x,y R4 Á * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ,
4.44 C�À� ��Á��À��� f : R Rå � ���� �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ /À À�Á ���� À� ! À �ÀÀ D EF G2f x x 2 2xH I /À ¿�3 x RÉ . � �� �À À�Á
À!�� À�-
4.45 .!� ��ÁÂ�À,� À- f ,g : R RJ � ��Á ÀÀ- À*À�À�À -: K L K L K L2f x f x f xM N ¿ÂÀ
O P O P O P2g x g x g xQ R R /À ¿�3 x RÉ . � * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ ��ÀÀ ¿ÂÀ � g � �ÀÀÀ,
4.46 .�Á�ÁÀÂÀ �À ��ÁÂ�À,� À- f ,g S
f gA A RT U � Â��* �+ À �ÀÀ: 5Á �À f ,g �ÁÂÀ � �ÀÀÀ�- À�À � f gV �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ÁW �À f gX , f /g , ( g(x) 0Y ) �ÁÂÀ ��ÀÀ -
Z[\]^] _`ab\
4.47 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á ��ÁÂ�À,-
� �Á: 5) d e 1 xf x e 3fg h i jx 1, 2k l
9) m n m nf x 3ln 1 2x 1o p p p , q rx 2, 1/2s t t
4.48 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á ��ÁÂ�À,-
� �Á: 5) u v x 1f x
x 1
wxy
z {x 2, 5|
9) } ~2
6f x
x 4 2�
� � � jx , 2k l� l
4.49 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á
2x 2 �� 2 x 3f(x)
x 1 �� 3 x 5
� � � ��� � � � ��� , g(x) 3 2 x 1� � l
4.50 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á
f(x) � 1log 1
x
� ��� �� �, � �
x
x 1
5 eg x
5 e ����
2
2
x 2xf(x)
x 4
� �
4.51 ¡À� � ,S ¢Â�Á ÀÂÀ � /�¢À¿, �Â���ÀÂ-
�� À�- ��Á��À���- £ ¤y f x¥ . � �� �À À� �c,3�- À�Á �À¦WÁ À�Á +À�W� �Á:
5) § ¨f x 2© ª
9) § ¨f x 0©
%) § ¨f x 1©
.) £ ¤f x 2¥
«) § ¨ ¬ f x ®, ® 3,3© ¯ ª
19 ° ±²³´µ¶² - ·´¸¹³º »´¼½¶¾¶¿¹³º ÀÁ¸´Âò½ÄÅ
http://users.sch.gr/mipapagr
Z[\ÆÇÈÉ ZÊ\ËÌÍÎÈÇÏ\
4.52 � ¿¢��� À À� ��Á��À��� f �- �!Á3 -�� *!� , � �À���À���Á (S� ÀÂ�À�ÀÀ¿WÁ) ��ÁÂ�À,-
� �Á, ÂÁ:
xf(x) xÐ Ñ Ò Ñ Ò2 2g(x) ln x 1 ln x 3Ó Ô Õ Ô
Ö ×2k(x) ln(x 1) ln xØ Ù Ú
4.53 � ��À�À � � ��Á��À��� f gÛ ÂÁ
5) f(x) 1 x� l ¿ÂÀ g(x) Ó ln x
9) f(x) � x 1 ÜÝ x (0,2)
x 1 ÜÝ x [2, 4)
Þ ßàá â ßã
, g(x) x 1� l
4.54 5Á ä å 2f x 1 xæ ç , è ég x 3 x 2Ó Õ Á ���-
� À ÀÀ- ��ÁÂ�À,� À- f gÛ ¿ÂÀ g fÛ
4.55 5Á f(x) � 2ln(x x 1)ê ê ,
g(x) Ó ë ìx x1e e
2íî Á Â��* �+ À �ÀÀ
(f g)(x) ïð (g f)(x) xñò , x Ró ô
4.56 � �� �À À� � *�� ��À�S�! À�- ��Á��À�-
��- h , ÂÁ h f : [0,5) Rõ ¿ÂÀ 2h(x) f(x 4) f(x 1)ö ÷ ø ø
4.57 � �� 3 � � À!��- SÀÂ- ��Á��À���- f � ¿�3 SÀ Â�� ÀÀ- � �À�ÀW� À-: 5) 5Á ù úf ln(2x) x 3û ü , x eý þ ,
9) 5Á 2(f g)(x) x x 1ÿ � �� ¿ÂÀ g(x) x 1Ó Ô
%) 5Á (g f)(x) ïð 2��� x ¿ÂÀ 2g(x) x�
4.58 C�À� �À ��ÁÂ�À,� À- ff : A R� ,
gg : A R� S � f gf A A . � Â��* À À�!Á �À ���À�� À-: A) 5Á � f �ÁÂÀ ��ÀÀÂ, À�À ¿ÂÀ � gof �ÁÂÀ ��ÀÀÂ.
B) 5Á � f �ÁÂÀ � �À�*À¿,, À�À ¿ÂÀ � g fÛ �ÁÂÀ � �À�*À¿, S À�Á �*À � ���*�.
4.59 � Â��* À À � �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À���
��� Á À¿ÂÁ���À � À� � ��� f(x) f(2 x) xÔ Õ Ó ,
x Ró ô
4.60 5Á è é 2f x x x 2Ó Ô Ô ¿ÂÀ � � 2g x x x 2 � �
Á Â��* �+ À �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À��� h S hA R� , W�À Á À� ! À � � � � � �h f(x) h g(x) g f(x)� �
4.61 � �� �À À� ��Á��À���- � �f : 0, R�� �
/À À�Á ���� À� ! À �ÀÀ � �x
f ln x f x 1e
� � !" #$ % /ÀÂ
¿�3 x 0& .
4.62 5Á ' ( 2xf f(x) e) /À ¿�3 x R* , Á * �+ À �ÀÀ � f �Â��Á À À�Á ÀÀS, 2014
4.63 5Á À� ! À �ÀÀ + ,f f (x) 2x 1- ./ /À ¿�3 x R* À�À Á ���c�/�� À À� 0 1f 1
4.64 � ����*À��À�3 � � À!��- À�- f :
5) 5Á (1 x)f(x 1) f(1 x) x 12 2 3 2 3 4 , x R*
9) 5Á À� ! À 212f(x) f x
x
5 67 89 :; <, x R *ó ô
4.65 %À À���Á��À��� *f : R R= À� ! À �ÀÀ f(y) 1f(x y) f(x) e >? @ A x, y RB .� Â��* �+ À �ÀÀ
f(x) 1f(x) e CD ¿ÂÀ 1 f( x)f(x) e E EF /À ¿�3 x R* ¿ÂÀ Á �� �À À�Á f
4.66 5Á f(x) GHx 3
2 x
IJ
Á �� 3 � � K Rô , ÂÁ
À� ! À: L Mf f (x) xDN , x 2O
4.67 � �� 3�!Á �À ��ÁÂ�À,� À- f : R RP ÂÁ
/À ¿�3 x, y RB À� ! À �ÀÀ Q R S T S Tf x f y f xy x y xyU U V U U
4W XYZ 2013 – 2014 20
[. \]^]_`a_b`cdae
5 fghgighjk
5.01 «+ ÀÂ�À À� S�Á�À�Á� À�Á ��ÁÂ�À,� �Á
5) f(x) G 5 5 xl l 9) m nx
x
e 1f x ln
e 1
op
q
%) r s r s3
f x x 1 2t u u .) v w 4 xf x e 3xy z
«) f(x) Gx 3
x 2
{|
}) f(x) G4x 3 ~� x 2
1 2x ~� x 2
� ��� � ��
5.02 .�Á�ÁÀÂÀ �À ��ÁÂ�À,� À- f ¿ÂÀ g S
� � x 5 3f x e x x x 1� � � � � ¿ÂÀ
� � 3g x 2 x x ln x� � � � . � c�3�!Á �À ÂÁÀ�W� À-
� �f x 0� , � �g x 0�
5.03 5) 5Á � �x x
3 4f x 1
5 5
� � � �� � �� � � �� � , x R¡ À�À
Á Â��* À 3 � �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á. ¢3�Á���Â.
9) � c�3 � � ÂÁ����� x x x3 4 5¢ £ .
5.04 N c!� À ÀÀ- ÂÁÀ�W� À-:
5) ln x 1 x¤ ¥ 9) x 1 xe
1 x
¦§
¨
5.05 %À À� ��Á��À��� f : R R© À� ! À �ÀÀ: ª «52f (x) f x 3x¬ /À ¿�3 x R¡ .
5) � Â��* �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À Â!-
+���Â
9) � c�3 � � ÂÁ����� ® ¯2f x x 1 1° ± ²
5.06 � Â��* �+ À �ÀÀ � ��Á��À���
ª « xf x 2 x ¬ . �ÁÂÀ /Á����- Â!+��� ¿ÂÀ Á c!� -
À À�Á ÂÁ����� 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6³ ³´ ´ µ¶
5.07 .�Á ÀÂÀ �ÀÀ � ��Á��À��� f ��À�S�Á� ¿ÂÀ �ÁÂÀ /Á,�À Â!+��� �À� � �0,·¸ . � c!� À À�Á
+����� ¹ º ¹ º » ¼ ¹ º2 3f x f x f x f x½ ¾ ½
5.08 6 ��Á��À��� f : (0, ) R¿À Á � À À�Á À*À�-
À�À ª «  Ãx
f x -f y =fy
Ä ÅÆ ÇÈ É
/À ¿�3 x, y 0Ê . «�À�c��Á
À� ! À �ÀÀ «ÂÁ Ë 1Ì À�À Í Îf Ï 0Ð ». � * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á. Â!+��� �À� � �0,·¸
5.09 C�À� ��ÁÂ�À,� À- f ,g S ¿�ÀÁ� �!Á�c�
��À�S�! À� Ñ ÒÓ,Ô , �!Á�c� ÀÀSWÁ À� Ñ ÒÓ,Ô W�À
Õ Ö Õ Ög x f x× , Ø Ùx Ú,ÛÜ Ý ¿ÂÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À ¢3�-Á���Â. . �+À �ÀÀ Þ ß � �f g(x) g f(x)à Ø Ùx Ú,ÛÜ Ý
5.10 5Á f : R Rá � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ /Á����- ¢3�-Á��� �À� R S f(f(x )) x /À ¿�3 x R¡ , ÁÂ
* �+ À �ÀÀ f(x) xâ ã , x R¡
5.11 � Â��* À 3 � �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À���
f : R R© , /Á,�À ¢3�Á��� S À�Á À*À�À�ÀÂ
2 22f (x ) 2xf(6x 8) 4 3x, x Rä ä å ä æ ç
5.12 6 ��Á��À��� f �ÁÂÀ /Á����- Â!+��� ¿ÂÀ
/À ¿�3 x R¡ À� ! À �ÀÀ: 2x 3f(x)f x
5
èé ê ëì íî ï, ÁÂ
Â��* �+ À �ÀÀ f(x) xð , /À ¿�3 x R¡
5.13 5Á f : R R© �ÁÂÀ � ��Á��À��� À�� � ,-
SÂÀ�-, Á �� �À À�Á S�Á�À�Á� À�- ��Á��À���-
� � � �g x f f(x)ñ �À� ò ó1,0ô
21 õ ö÷øùúû÷ - üùýþøÿ �ù��û�û�þøÿ ��ýù��÷���
http://users.sch.gr/mipapagr
5.14 %À À� ��Á��À��� f : R R© À� ! À �ÀÀ � f xf x 2e x 2� � � /À ¿�3 x R¡
5) � Â��* À À � �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À Â!-
+���Â
9) � S c À�3 � �- ���- À� S�Á�À�Á� � ��-
Á��À��� ª « xg x x 2e ¬
%) � ���c�/�� À À� � �f 1
%) � �� �À À� �����S� À�- f
5.15 C�À� ��Á��À��� f , ��À�S�Á� �À� R , ���
�ÁÂÀ /Á,�À S�Á�À�Á� ¿ÂÀ � /�¢À¿, À�- �Â��-
�ÀÂ�� *À�� ÀÂÀ Â�� À ��S � � �1, 1� � ¿ÂÀ � �1,2
5) � Â��* �+ À �ÀÀ �ÁÂÀ /Á,�À Â!+���Â
9) � c!� À ÀÀ- ÂÁÀ�W� À- � �f 2x 1 1� � � ¿ÂÀ
� �f 1 x 2� à
.) � c!� À À�Á +����� � �2f x 2�
«) 0�� - ��¦ - S��� � Á � À � +�����
Õ Öf x 2014�
5.16 5) � Â��* �+ À �ÀÀ � ��Á��À���
� � 5 3h x x x x� � � , x R¡ � Â! / ,�! Â!+���Â.
9) C�"� �� ��"��� f ��!�S� � �"� R W�"  !� ! ! ª « ª « ª «5 3f x f x f x x¬ ¬ /! #�3 x R¡ .
� Â��* �+ " �"! � f � Â! / ,�! Â!+���Â
%) � c!� " "� +����� $ %h x 3& #Â! Â
'�(c(/�)*"* "( + ,f 3
5.17 C)"� � )' ��"�)� - .f : 0, R/1 2 "�"(!Â
W)"* 3 41
f f x 0x
5 6 7 89 :; < /! #�3* x 0= . >*��(!?* "�
)' ��"�)� - . - .g x f h(x)@ ��(' A B1 x
h x1 x
CD
E. F�-
"*: G) � Â�(H*�+*"* �"! � g *� Â! �*�!"",.
I) N Â�(H*�+*"* �"! � h *� Â! / ,)! ¢J�- (') )"( K L1,1M
N) � O!)*"* "� *+�)�)�
P Q P Q P Q P Qx 2x 11x 111xh e h e h e h eR S R )"( K L1,1M
TUVWXYXY
5.18 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��
"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-
Z [\ x 1 2x 3] ^ _ g(x) 4 x 2ñ � �
� �43t(x) 4 x 4x� ` ` a b 2r x x 4x 5c d e
f : [ 1, 4) Rf g ?* f(x) 2x 1h i
j kx 1 lm x 2
n x3x 1 lm x 2
o pqr s t uv
5.19 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��
"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-
G) w x w x y zf x 1 2ln x 1 , x 2,3{ | | }
I) f : [ 1, 4) Rf g ?* f(x) 2x 1h i
5.20 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��
"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-
G) a b 2f x x 4x 5c d e
I) ~ � 2x xf x e 2e 3� � �
5.21 G)� H*�+*"* �"! 1x 2
x� � Â x 0=
I. �)"� � � � �x x
f(x) 9 80 9 80� � � � . N �(H*�-
+*"* �"! f(x) 2� /! #�J* x R� #Â! �"! � f �Â-
�(')!��*! *O� !)"(
5.22 �)"� f : R R� )' ��"�)� ?* f(0) 1�
G) � �(H*�+*"* �"! � )' ��"�)�
2
2f(x)g(x)
1 f (x)�
� � *! ?�/!)"� "!?, "( 1 .
I) � ��*�"* "� ?�/!)"� "!?, "�- )' ��"�-
)�- x
2x
2e�(x) 2013
1 e� �
�
5.23 � ��*J*� ( � R� , �)"* � )' ��"�)�
2f(x) x (� 1)x 2ñ � · · Â � *! *O� !)"( "( 2�
4� ��� 2013 – 2014 22
�. � ¡ ¢£¤¢¥£¦§¤¨
©ª«¬VX® 1:1
5.24 � *+*"Â)"*� �(!*- Â�� "!- �Â�Â#�"� )'-
Â�",)*!-, *� Â! 1 1¯ #Â! �(!*- � !: G) ° ±f x 2 ln x 3² ³
I) ´ µ x 1f x 3e 2¶· ¸
N) ¹ º ¹ º ¹ ºf x x x 3 x 4 2004ñ � � ·
5.25 .� *"Â! � )' ��"�)� f : [1, ) R»¼ ½ /!Â
"� (�(� !) !*! 2f(f(x)) 2x 3x 2ñ � · , /! #�J* x [1, )¾ ¿À . � H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯
5.26 .� *"Â! �"! � )' ��"�)� f : R R� *� Â! 1 1¯ . � Â�(H*�+*"* �"! � �
Á Â Á Â Á Â3F x f x 2f x 3Ã Ä Å *� Â! 1 1¯ .
5.27 G � )' ��"�)� f : R R� � *! "� !H!�"�-
"Â Æ ÇÆ Ç Æ Ç 2003f f x 3f x x 0È É ÊË , x R� Â H*�+*"* �"! *� Â! 1-1
5.28 � Â�(H*! "*� �"! H* *� Â! 1 1¯ � )' ��-
"�)� f  !) !*! Ì Í2 26f x f (x) 9Î Ï x RÐ Ñ
5.29 .� *"Â! � )' ��"�)� Ò Óf x 2 x ln xÔ Õ Õ
G) N ?*O*",)*"* "� ?( ("( � "�- f
I) � O!)*"* "� *+�)�)� Ö × Ö ×f x f 1Ø
N) � O!)*"* "�  �)�)� x ln x 1Ù Ú
5.30 � O!)*"* "!- *+!)�)*!- . G) x 1e ln x 2 xÛ Ü Ý Þ I) 7 5 3x 2x 3x x 6ß ß ß à
5.31 NÂ O!)*"* "� *+�)�)�
á â ã ä á â442 2log å 1 log 5å 5 5å 5 å 1æ ç ç è ç ç æ
5.32 .� ( "Â! (! )' Â�",)*!- f ,g : R Ré ?*
ê ë 2f f (x) x 5x 9ì í îï #Â! ð ñ ð ñ2g x x xf x 3ò ó ô ,
x RÐ Ñ . N Â�(H*�+*"* �"! õ öf 3 3÷ #Â! �"! � g
H* *� Â! 1 1¯
5.33 .� *"Â! � ê ë ø ù2f x 2x ln x 1ì î î , x 0ú
G � ?*O*",)*"* "� ?( ("( � "�- f
I � O!)*"* "� *+�)�)�:
û üý þ
22
4
3x - 2 + 12 x - 3x + 2 = ln
x + 1
ÿ �� �� �� �
)"( � �2,��
5.34 � ��*J*� ( R �)"*  *� Â! 1 1¯ �
)' ��"�)� f(x) �24 x � x 0
x � 8 � x 0
� � ��� � � ���
5.35 >*��(!?* "!- )' Â�",)*!- f :� R� #Â! g :� R� ,  Â�(H*�+*"* �"!  B f(A)� #Â! �
g f� *� Â! 1 1¯ "�"* � g *� Â! 1 1¯
5.36 �)"� )' ��"�)� f : R R� ?* )! (O( "!-
?� "( R #Â! 3f (x) 3f(x) x 0� � � , x R
� Â�(H*�+*"* � f  "!)"��!*"Â! #Â!  ��*�"* "Â
#(! � )�?*� "� fC #Â! 1fC "
5.37 G *� Â! yxx e y eß à ß , x, y R# $ "�"* G) � Â�(H*�+*"* �"! x y% .
I) � O'J*� � *+�)�)� 22 3x x 2x 3x 2 e e &� � � �
5.38 � Â�(H*�+*"* �"!  !) !*! '( 3 3e e ) *+ , + "�"* - ./ ?* 0,1 RÑ
5.39 G x
x2 4f(x) 2
3 3
2 34 5 67 89 : "�"*:
G) � H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯
I) � O!)*"* "� *+�)�)� x x x3 2 4 3 3 6; < ; = ;
5.40 G > ? x 3f x e x x 1à ß ß ß "�"*
G) NÂ H*�+*"* �"! *� Â! 1 1¯
I) � O!)*"* "� *+�)�)�: 2x -x 2 3 2 x+3 3e +(x - x) + x - 2x = e +(x + 3) + 3
23 @ ABCDEFB - GDHICJ KDLMFNFOICJ PQHDRSBMTU
http://users.sch.gr/mipapagr
VWXYZX[\]^
5.41 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- 3f(x) x 1� �
5.42 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- _ ` _ `2f x 2 x 3a b c , x 3d
5.43 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- f(x) 5 x 2e f g
5.44 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
xf(x) log 3 10h i
5.45 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
f(x) j3x
3x
3 e
3 e
ßÎ
5.46 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
f(x) j 2x 3.
x 4
kk
5.47 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�-
)�- xf(x) log
1 xl
m
5.48 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�-
)�- xf(x) ln(2 e ) x� � �
5.49 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- 3 2f(x) x 3x 3x 2� � � �
5.50 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
2
x 1 , x 0f(x)
9x , x 0
n opqr s tqu
5.51 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
xf(x)
1 xv w
5.52 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-
x y2f(x) ln x 1 xz { |
5.53 � ��*�"* " #(! � )�?*� "� 1fC " fC Â
f(x) j 1 xÎ , } ~x 1,0� �
5.54 �)"� )' ��"�- f �)"*  !) !*! f(f(f(x))) 2x 7� � /! #�J* x R . .� *"Â! Â#�?� �"! f(1) 3, f(3) 9� � . � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯ '
#Â! Â O!)*"* "� *+�)�)� 1f (x) 9� � .
5.55 N! "� )' ��"�)� f : R R� ?* � �f R R�
!) !*! �"! 3f (x) 3f(x) x 0� � � , /! #�J* x R . �Â
Â�(H*�+*"* � f  "!)"��!*"Â! #Â!  ��*�"* "�
1f�
5.56 G /! "!- )' �",)*!- f , g (�!)?� *-
)"( R, '��� (' (! )' �",)*!- � � 1f g
�� #Â!
� � 1g f
�� ,  Â�(H*�+*"* �"! '��� (' #Â! (! 1g� ,
1f� Â "�)"(! Â.
5.57 �)"� � f ?* 3f(x) 2x x 2� � � .
G) � Â�(H*�+*"* �"! � f  "!)"��!*"Â!. I) � O!)*"* "� *+�)�)� 1f(x) f (x)�� .
N) � O!)*"* "�  �)�)� 1f (5x 6) 1� � � .
5.58 �)"� � )' ��"�)� 3f(x) x x 2� � �
G) � Â�(H*�+*"* �"!  "!)"��!*"Â! I) � O!)*"* "!- *+!)�)*!- f(x) 12� , 1f (x) 2� � �
N) � ��*�"* " #(! � )�?*� "�- 1fC " ?* "('- �-
+( *- #Â! ?* "� *'J*� y x�
.) � O!)*"* "� "� *+�)�)�
2 3 3 2(2 �� x) �� x �� x ��x 2� � � � � #Â! "!-  !)�-
)*!-: 1f (x) 3� , #Â! 1f (x 1) x 5� � ¡ �
4¢ £¤¥ 2013 – 2014 24
¦. §¨©¨ª«¬ª«®¯¬°
6 ±²³´µ²¶
6.01 N! "� )' ��"�)� f : R R� !) !*! �"! · ¸¹ º» ¼½ ¾¿ ÀÁÂÃ
f f f ... x ... 2x 1Ä ÅÆÇÇÈÇÇÉ
 ��*�"* "( Ê Ëf 1
6.02 >*��(!?* "!- )' Â�",)*!- f ,g : R RÌ �(' *� Â!  "!)"��Í!?*- #Â! !) !*! f g g fÎÏ Ï Â Â�(H*�+*"* �"!: G) 1 1f g g fÐ ÐÑÒ Ò I) 1 1 1 1f g g f� � � ��Ó Ó
6.03 .� *"Â! � 1 1Ô )' ��"�)� f : R (0, )Õ Ö× /! "� (�(� !) !*! �"! f(x y) f(x) f(y)Ø Ù Ú /! #�J*
x, y RÛ . � Â�(H*�+*"* �"!: 1 1 1f (xy) f (x) f (y)Ü Ü ÜÝ Þ , x, y f(R)ß
6.04 �)"� � )' ��"�)� f : R R� ?* )! (O( "!?� "( Ê Ë1,�� #Â! /! #�J* x Rà !) !*! 2 2xf (x) 2f(x) e 1� � � . G) � ��*�"* "� f
I) � H*�+*"* �"! � f *� Â! "1-1" #Â!  ��*�"* "�  "�)"�(!� "�-.
6.05 �)"� )' ��"�)� f : (0, ) RÖ× Õ ?* "� !H!�"�"Â: á â ã ä xf x -f y =f
y
å æç èé ê
/! #�J* x, y 0ë G � *+�)�)�
ì íf x 0î � *! ?( ÂH!#, ���Â, "�"*
G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1Ô
I) � O!)*"* "� *+�)�)� ï ð ñ ò ñ ò ï ð2 2f x f x 3 f x 1 f x 1ó ó ô ó ó ó
6.06 N! "� )' ��"�)� f : R R� !) !*! �"! õ ö Ê Ë õ öf x y f x f y� � � , /! #�J* x, y RÛ .
.� *"Â! *�!O�( �"! !) !*! � ���"Â)�: « G x 0÷ "�"* ì íf x 0ø » .
G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! �*�!"", #Â! / ,)! Â!+(')Â
I) � O!)*"* "� *+�)�)� ù ú ù ú û ü2 2f 4x 2005 f 4x 2005 2f 8x 4ý ý þ ÿ þ
6.07 H )' ��"�)� f : R R� *� Â! / ,)! ?( �"( � #Â! � fC H!�� *"Â! Â�� " )�?*� � �A 5,9 #Â! Ê ËB 2,3
"�"*: G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! / . Â!+(')Â
I) � O'J*� � *+�)�)� � �1 2f 3 f (x 2x) 9�� � �
6.08 N! "� )' ��"�)� f : R R� *� Â! / �)"� �"! � � f xe f x x� � /! #�J* x Rà
G) � H*�+*"* �"! � f *�� � �"�)"��Í�?�. I) � ��*�"* "( Ê Ëf 1 .
N) N O!)*"* "�� *+�)�)� x 4 2x 1e e x 5� �� Ù Ø
6.09 � �(H*�+*"* �"� � fC "�- � �5x 2
f x2x 5
��
�, � *� �+(� )'??*��� - ��� y x�
25 � ����� � - !�"#�$ %�&' ( )#�$ *+"�,-�'./
http://users.sch.gr/mipapagr
6.10 �)�� �� �)()0*O�- 0 � (+'/���( ���/��( 1 2345 34=35 6//6/� ??��7 86 0!0O7 ?6 0��� 2 0 �
�8�� ��� ˆ9:; < (rad)� .
A) � H6�+6�6 ��� �7 6?� H�� �7= AB> 6�� � Ê Ë Ê Ë? @ 4 1 ABC@ DE@� � , F
0 G2
H H
I) G� � /��� I ?6� �JOO6� � 8�7 K��7, 8!?!�� ?6 �� 8=�JK��8� L MN t
O f t2 4
P P Q , 0 t 2FH H , �
60!KJ86�6 �7 6?� H�� R 86 8=�JK��8� ?6 �7 K��7, � �K6��6 86 �7� K7��0, 8��/?, �7 �K�/��7 ST> 6�� � �8��O6=K7 0 JU- 0 � �7 6?� H�� �7= �� 8��/?, 606���.
6.11 V) V� f /�. !+7=8 8�7 R 0 � ox RW , ���6 X Y X Yo o o of f(x x f x x� Z �
B) � �7H6�+6�6 ��� � 8=�JK��8� [ \34x 1
f x3
]� ���8�K�!6� �, � �K6��6 ��� 1f^ 0 JU- 0 � � 07��J
8�?6� ��� fC 0 � 1fC _ .
6.12 `� �� 8=�JK��8� f : R R� �8 !6� ��� f(x y) f(x)f(y)� � /� 0JJ6 x, y Ra 0 � =�JK 6� b Rc , U8�6
f(d) 0e . � �7H6�+6�6 ���: V) f(x) 0f /� 0JJ6 x Rà 0 � f(0) 1g
I) f( x)h =1
f(x) 0 �
f(x)f(x y)
f(y)] � , x Ri j
`) kf(Cx) f (x)� /� 0JJ6 l mn 0 � x Rà
6.13 *.��6� � � 8=�JK��8� f : R R� /� ��� 7�7� �8 !6�: x
2
3ef(x)
2 f (x)o
p, /� 0JJ6 x Rà
V. � H6�+6�6 ��� f(x) 0f /� 0JJ6 x Rà .
I. � H6�+6�6 ��� � f 6�� � /��8��- !+7=8 .
`. � q!86�6 ��� ��8�8�: ln f(x) 0r .
6.14 * .��6� � � 8=�JK��8� f : R R� /� ��� 7�7� �8 !6� ��� s t 3f f(x) xu /� 0JJ6 x Rà .
V) � �7H6�+6�6 ��� � f 6�� � ���8�K��?�
I) � �7H6�+6�6 ��� v w [ \3 3f x f x�
`) V� 6�� � Ê Ëf 8 27� � �7H6�+6�6 ��� x yf 2 3z
.) V� � 8=�JK��8� f 6�� � /�,8� !+7=8 � q!86�6 ��� 6+�8�8� { |f x x} .
~) � �7H6�+6�6 ��� � � � � � �3 3f 1 f 1 f 0� � �
6.15 �8�� � 8=�JK��8� � � � �f : 0, 0,�� � �� ?6 Ê Ëf 1 1� 0 � � 8=�JK��8� � � � �g x xf x 1� � � 7�7� 6�� �
/��8��- !J��7=8 .
V) � H6�+6�6 ��� � f 6�� � /��8��- !J��7=8 .
B) N q!86�6 ��� 6+�8�8� � � � �f x ln e x 0� � �
`) � q=J6� � 6+�8�8� [ \ v w v w v w7 5 9f x f x f x f x� � �
4� ��� 2013 – 2014 26
�. ����������� �¡
¢£¤¥ ¦§¨¥£©ª¦«¬¨
7 ®¯ °± X²
7.01 � =�7q7/�86�6 � �³�
V) 2 3x 1
2 3lim
x 1 x 1´µ ¶·¸ ¹· ·º »
¼) ½ 1
x 1
¾x (¾ 1)x 1lim ¿À ¾ Á*
x 1
Â
ÃÄ Å Å
ÆÄ
7.02 � =�7q7/�86�6 � �³�
V) x 2limÇÈ
3 6 x x 6
x 2
É É ÊÊ
¼) 3 2
x 0lim x xË
Ì
`) 2
x 9
x 81lim
2x x 6x 3 x 9ÍÎ
Î Ï Î
7.03 � =�7q7/�86�6 � �³�
V) x 1limÐ
3 2 3x 2 x 1
x 2 x 1
Ñ ÒÑ Ò
¼) x 1limÐ
2x 3 x 4x 3
x 1
� ] ] �]
7.04 � =�7q7/�86�6 � �³�
x 1limÓÔ
2x 1 x 1
x 1
Õ Õ Ö
Õ Õ,
x 1
x 1 x 1lim
2 x 1×Ø Ù ØØ Ø
7.05 � =�7q7/�86�6 �7 x 0lim f(x)Ú
�
x 2 x 2ÛÜ x 0
f(x) 4x0 ÛÜ x 0
Ý Þ ß ßàáâ ã
á âä
7.06 � =�7q7/�86�6 �7 x 0
6x 3åæxlim
x 2åæxç]�
7.07 � �³6��6 �7 èé2
1lim êëì
íîïìð
ñ òóô õö ÷
7.08 ¼) 2 2
2x 0
åæ x 2øùú x 2lim
x 4 2ç] �
� ]
7.09 � =�7q7/�86�6 � �³�
V) x 1
x 1lim ûü 1
x 1 xýþ ÿ�� �� � �
¼) x 1
1 x 1lim �� �
1 x 2´·µ ¶
¸ ¹· º »
7.10 � =�7q7/�86�6 � �³� :
V) �
x 3
� �xlim
x 1 2 � �
¼) x 0
2x ��xlim
���x 1 ���x�´··
7.11 � =�7q7/�86�6 � �³� :
V) � �
x 1
åæ x 3 2lim
åæ(x 1)ç
� ]
]
¼) � �2
2x 0
�� �� xlim
x�
`) � �
2x 0
1 ��� 1 ���xlim
x´· ·
7.12 � �³6��6 ( � =��³ 7=�) � �³�
x 0limÐ
1��x ��x
!"# $% &
2
2x 0
1x '(
xlimx x) *
+ ,3
2
x 0
x 7lim x 9 3 -.
x/0 12 344 56 78 98 96 7: ;< =
7.13 � �³6J6� 7 > N? �
x 0
@Ax @A2x ... @ABxlim 28
xCD D D E
7.14 V� x 0limÐ
f(x)2
xE � �³6��6 �7
x 0limÐ 2 2
xf(3x)-f(-x) FG2x
3x FG xH
27 I JKLMNOK - PMQRLS TMUVOWOXRLS YZQM[\KV]^
http://users.sch.gr/mipapagr
7.15 V� x 2lim g(x) 7_` a , � �³6��6 �7
2
2x 2
2 g(x) g(x) x xf(x)lim
x x 4bcd d e e
d
7.16 V� x 1
f(x) 5lim 0
f(x) 2fg hi � �7j6�+6�6 ���
x 1lim f(x) 5_ a k
7.17 � �³6J6� �7 l mx 1lim f(x)g(x)ç
�
n ox 1 x 1
g(x)lim f(x)(x 1) lim 3
x 1p pq rs t tu vsw x
7.18 �8�� 8=��³��8� f y6 x 0
f(x)lim 3
xz {
V) � j6�+6�6 ��� x 0
f(vx)lim 3v
x| } , v 0~
¼) V� 2 2f (vx) �� x 2f(vx) ��x� � � /� 0�J6 x R�
� j6�+6�6 ��� 3v 1�
7.19 � �7j6�+6�6 ��� � � �2
x �lim f x 0� � , ���6
� �x �lim f x 0ç
� .
7.20 � 8=��³��8� f 6�� � �³�� 8�7 R 0 �
�8 !6� ��� � �x 3lim f(x) 2x 5 4�� � � � . � �³6��6 �7
x 3lim f(x)_
7.21 V� � �2
x 3lim 12f(x) 4f (x) 9� � � , � �³6J6� �7
x 3lim f(x)_
7.22 V� x 2
f(x) 4lim 1
x-2�� � 0 � �8 !6�
� � � �f x f 1 x ¡ , x R� �³6��6 �7 x 1lim f(x)_`
7.23 � �³6J7!� � ¢ £x 1lim f(x)ç
0 � ¤ ¥x 1lim g(x)¦ , �
l mx 1lim f(x) g(x) 5ç
§ � 0 � l mx 1lim 2f(x) g(x) 4ç
¨ �
7.24 V� /� �� 8=��³��8� f : R R© 6�� �
x 1limª
f(x) x2
x-1
« ¬ , � �³6��6 � �³�
x 1limª 2 2
f(x) 1
f (x) x
®
0 � x 1limª
2
2
f (x) f(x) 2
f (x) 3 2x
¯ ¯° ¯
7.25 A� ± ² ± ²2 2f x 2f x ³´µ x 0¶ · ¸ /� 0�J6 x R� � �7j6�+�6 ���
x 0lim f(x)¹º =1.
7.26 � 8=��³��8� f � 6� �³ /y ��0� �³�7 8�7
ox 2� 0 � �8 !6� ± ² ± ² 2x 2 f x x 7x 10¶ ¸ ¶ · /�
0�J6 x R� . � �³6J6� �7 x 2lim f(x)» .
7.27 `� �� 8=��³��8� f : R R© �8 !6� ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½2 2 2 2x 2xf x f x ¾¿ x 2xf x ¾¿ xÀ Á À Á À /�
0�J6 x R� , � �7j6�+6�6 ���:  à  Ãx 0lim f x 0 f 0Ä Å Å .
7.28 V� � f: R RÆ 6�� � �6³����, y6
x 1lim f(x) 2_ Ç � �³6J6� �7
x 0lim[f(x-1)-f(1-x)]_
7.29 V� x 3
f(x) xlim 2
x-3ÈÉ Ê , � �³6J6� �7
x 3lim f(x)»
7.30 �8�� 8=��³��8� f /� ��� 7�7� �8 !6� Ë Ì Í Î Ë Ìf x y f x f yÏ Ð Ï , x, y RÑ .
V) � �7j6�+6�6 ��� � f 6�� � �6³���,
¼) V� �8 !6� ��� Ò Óx 0lim f x 0ç
� , � �7j6�+�6 ���
Ô Õ Ô Õx Ölim f x f ×Ø Ù /� 0�J6 Ú RÛ
`) V� �8 !6� ��� Ü Ýx 0
f xlim 2012
xÈ Ê � �7j6�+6�6 ���
Þ ßx 2
f x 2lim 2012
x 2àá âá
0 � ���
ã ä ã äx 0
f åæ(x) åæ f(x)lim 0
xçè é
4ê ëìí 2013 – 2014 28
î. ïðñðòóôòõóö÷ôø
8 ùú ûüûüýþÿùü�� �ý� ÿ�� ��
8.01 � �³6J7!�( � =��³ 7=�)� �³�
V) x 4
2 xlim
x 3 x 2��
� � ¼)
2
2x 1
x 3 2lim
x 2x 1��
�
`) x 4
5 2xlim
x x 2x 2 x 4�
� .)
2
x �5 x
lim��x���
~) 2
3 2x 1
x 5x 4lim
x 3x 3x 1ç§ ¨
§ ¨ § &�)
3
3
x 1
x 1lim
(x 1)��
�
8.02 � �³6J7!�( � =��³ 7=�)� �³�
V) 2x 1
x 1lim
x 2 x 1��
� � ¼)
x 0
x 16 4lim
x x��� �� ! "! "# $
`) 2
x 1
x 5xlim
x x x x 1%'
' ( ' .)
2
x 0
3x 2lim
)*+x 1, -..
~) 2x 1
x 5 x 3lim
x 1 (x 1)�/� �� � ! "! "� �# $
0)2
3x 0
3 2xlim
1 øùú xç 1§
§
8.03 V) V� x 1
h(x)lim
|x 2|ç� §2§ � �³3J3� �4
x 1lim g(x)5
8.04 V� 2
x 1lim (x 4)f(x) 3x 267
8 9: : ; < ;=> ? � �³3-
J3� �4 x 1lim f(x)@A
8.05 V� x 2
2x 3 5lim
f(x)BC D E CF � �³3J3� �4
x 2lim f(x)G
8.06 V� x 1lim g(x) 3H I J � �³3J3� �4
x 1
g(x) 2x g(x) 6 4xlim
x x x x 1KL L M L
M M L
NOPQ RQOQSTUOPVWX YZXQOU[\T]X \U^ _`
8.07 V�
2
ab(cx) cd x 0x
f(x) x x cd x 0
x 2 x
e fggh i jg kg lm
� �³3�-
�3 �4 x 0lim f(x)G /� 0�J3 Ú RÛ
8.08 V� 2
2x 1 no x pf(x)
x x p no x pq rstu v q w xty
�
�³3��3 �4 x 4lim f(x)G /� 0�J3 z R{
8.09 � �³3��3 �4=- | ,} R~ U��3 : 3 2
3x 1
x (� æ)x (2� æ 1)x 3 ælim R
x 3x 2ç§ § § § ¨ ¨ § � Û
§ ¨�
8.10 � �³3��3 �4 z R{ U��3
2 2x 9
x 5�lim
(x � )%' � '�'
8.11 � �³3��3 � | ,} R~ �
x 1
�x � x 2lim 8
x 3 2�� � �� �
8.12 � �4j3� �3� ��� /� 0�J3 z R{ � �=-
��³���� 2
3 2
x -�x 2f(x)
x -3x 3x-1
¨�¨
j3� � 3� �³ /y ��0�
�³�4 ��4 1 .
N �³3J4!� /� 0�J3 Ú RÛ � �³� :
A) 2
2x 2
x x 6lim
x Úxç¨ §§
B) 2
x 4
x �lim
(x 4)( x 2)��
� �
29 � ������� - ������ ����������� ���� ¡��¢£
http://users.sch.gr/mipapagr
NOP^ \ZXQOU¤\¤¥ \U^ Q¦TPO^
8.13 � =�4§4/��3�3 � �¨�
V) © ªxlim x x x x«¬ ® ¯ ¯
°) © ª2 2
xlim x x 3 x«¬ ® ¯
±) ² ³2 2
xlim x x x 2 2x´µ¶ · · · ·
8.14 � =�4§4/��3�3 � �¨�
V) 2
x
x 2 xlim
x x 2¸¹º» ¼
¼ »
°) x x 1
x 2 x 3x
e 3lim
e 3
½½ ½¾¿ÀÁÁ
±)
2
2x
x 2x 3 4lim
x 2x 5ÂÃÄÅ Å ÅÆ Æ
.) x 0
3 2 log xlim
1 2 log x秨
8.15 � =�4§4/��3�3 � �¨�
V) 2 2x
x 2ÇÈxlim
x x 3ÉÊËÌÍ Í
°) 2
3x
xÎÏÐx ÑÒxlim
xÓÔÕÖ
8.16 � =�4§4/��3�3 �4 x
xx
ln(1 3 )lim
ln(1 2 )×ØÙÚÚ
8.17 � �¨3��3 �4 Û Ü2
xlim ÝÞ x 1 xßàá â ã
8.18 � �¨3��3 �4 2
t
ln(t t 1)lim
ln täåæç ç
8.19 ±� ��� �=��¨���� è éf : 0, Rêë ì �� !3�
í î ï ðx
f xlim l 0,
x ñòó ô õ ö÷ � �¨3ø3� �4
ù úû üx
ln f xlim
ln xýþÿ
����������� ��� �� �����
8.20 V� 3 2( 1)x ( �)x �x 3
f(x) x 1
� � � � �� � �
�¨3ø3� �4 xlim f(x)��� /� 0�ø3 � ,� R�
8.21 V� 2x 2x 3
f(x) -�x-� x 1
� �� � � �¨3ø4�� 4�
� ,� R U��3 xlim f(x) 3! 11��� " #
8.22 V� 2f(x) x 2x 3 $x % & & & � �¨3ø3� �4
xlim f(x)�'� /� 0�ø3 ( R)
8.23 V� 2f(x) x 4 x*+, -./01 2 3 2 y3
0 4,5 67 7 . � �¨3��3 � 8,9 U��3 x
3lim f(x)
2:;< =
8.24 � �¨3ø4�� 4� � ,� R U��3: 2
xlim x 2x 3 >x ? 12@AB
C DE E E E FG HI J
8.25 ±� 0�ø3 K 0L , � =�4§4/��3�3 �4
x -lim� �
x x
x x
M 2 1
M -2 1
# N# ,
8.26 ±� 0�ø3 K 0L , � =�4§4/��3�3 �4
x limO PQ
x x 1
x 1 x
M 2
M 2
��##
8.27 � �¨3ø3� �4 �¨�4 xlim f(x)��� V� R S T 0U U V
W3 X ,Y,Z R[ 0 � 2 2 2f(x) M x 1 ! x 2 \ x 3" # # # # #
8.28 ]��� � ^ _2 2x `
f x lnx
a bcd e fe fg h i 0L � �¨3�-
�3 � �¨� j kx 0lim f xl , m n
x lim f xo pq r s
x lim f(x) ln(x)t uv w .
4x yz{ 2013 – 2014 30
|. }~�~����������
…
8.29 ]��� �=��¨���� f /� ��� 4�4� ����3�: 2 2x f(x) x 2� � � , /� 0�ø3 x 0� . � �¨3��3 �
A) x 2
f(x)-4lim
x 2� � B)
x 2
f(x)-4lim
x 2 2� � �
±) 2
x 2
f (x)-16lim
x 2� � .)
2x 2
f(x)-1 -3lim
x 4� �
8.30 � �¨3��3 � � �x 0lim f x� , � �
x 0limg x� �
� � � � � � � �2 2f x g x 2f x 4g x 5 x� � � � � , /� 0�ø3 x R� .
8.31 V� ����3� ��� ¡ ¡¢ £o
2 2
x xlim f x g x 0¤ ¥ ¦ , ���3
� �4§3�+3�3 ��� ¨ ©ox x
lim f xª « ¬ ox x
lim g x 0® ¯
8.32 A� ° ± ° ±2 2f x 2f x ²³´ x 0µ ¶ · /� 0�ø3 x R� , � �4§3��ø3� ���
x 0lim f(x) 1¸¹ º
8.33 V� » ¼2
x 3lim 12f(x) 4f (x) 9½ ¾ ¿ � �¨3��3 �4
x 3lim f(x)À
8.34 Á �=��¨���� f ��3� �¨ /W ��0� �¨�4 ��4
ox 2 0 � /� 0�ø3 x R� ����3�
° ± ° ± 2x 2 f x x 7x 10µ · µ ¶ .°¨3��3 �4 x 2lim f(x)Ã
8.35 � =�4§4/��3�3 �4
2
2x 0
1x ÄÅ
xlimx x¤ ¥
8.36 **]��� � �=��¨���� f /� ��� 4�4� �-
���3� Æ Ç Æ Ç2f x ÈÉf x xÊ Ë /� 0�ø3 x R� . N �4-
§3�+3�3 ��� Ì Íx
f x 1lim
x 2ÎÏÐ Ñ
8.37 .��4�� � 4� �=� ¨�,�3�- f, g, h U��3 �
����4=� x 2
2g(x) 4lim 2
x 2ÒÓ Ô
Ó
ÕÖ(x 2)g(x) f(x) x 2 h(x) 2
(x 2)
�� � � � � �� 0 �
x 2
x 2lim 1
h(x)×Ø Ù 0 � /� 0�ø3 Ú Ûx R 2Ü Ý . � �¨3��3
� x 2lim g(x)Þ ,
x 2lim h(x)Þ 0 �
x 2lim f(x)À
8.38 V�4§3�+�3 ��� 2
x
x ßàá xlim 1
x âãxäåæç èé
8.39 °¨3��3 �4 ê ë2
xlim x ìíx 1 xîïð ñ ñ ò
8.40 � �¨3ø3� �4 x
x óôxlim
x óôxõö÷øù
8.41 � �¨3ø3� �4 x
2úûx üýþ2xlim
xÿ���
8.42 � �¨3ø3� �4 2 2x
x 2��xlim
x x 3���
�
8.43 � �¨3ø3� �4 2
3x
x��x �xlim
x���
�
8.44 � �¨3ø3� �4 2
x
x 3lim
3 ��x ���x���
�
� �
8.45 �� �¨3��3 �4 x
4��xx
3 � !lim
x"#$
% &'( )*+ ,
8.46 �� �¨3�-3 -4 2x
x./x 3012xlim
x 2x 2345
6
6 6
31 7 89:;<=9 - >;?@:A B;CD=E=F@:A GH?;IJ9DKL
http://users.sch.gr/mipapagr
9 MNOPQPRS MNOSTUVMPWO
9.01 �� �¨3ø3� 4 -��4- -�- �=X3�4�- �=X�¨-�-
��- f �X Y���3Y �-Y 2xf(x) 5x 2 Z[x (x 1)(x 2)\ \ ] \ Ý Ý , x R^ _
9.02 VX x 2
f(x)-2xlim 1
x-2`a b�Y � f c�X�Y �=Xc�,-,
�¨c�-c -4 2
x 2
xf(x)-2x 3f(2)-6xlim
x-2d
�
9.03 �� ��e§c�+c-c �-Y �X � �=X�¨-��� f c�X�Y �=Xc�,- �-e 0x 1f b�Y Y���cY �-Y f(xy) f(x) f(y)g h /Y� b�øc x, y Ri -�-c c�X�Y �=Xc�,- �-e R
9.04 VX /Y� b�øc x Rj Y���cY �-Y k l
2 2 2mn x 2xf(x) f (x) mn x x x 2f(x)� � � � � .�� ��e-
§c�+c-c �-Y � f c�X�Y �=Xc�,- �-e ox 0Â .
9.05 ±Y� -Y- �=X�¨-,�cY- f ,g : R Ro Y���cY �-Y
p q p q p q p q2 2 2f x g x 2f x 5 4g x rst xu u u v u , x R^ _ .
�� ��e§c�+c-c �-Y eY f, g c�X�Y �=Xc�c�- �-e
ow
x2
 .
9.06 xY� �=X�¨-��� f : R Ry ��cY -�X Y§Y�-�-
-� z { z {5f x f x x| } x R^ _ . �� ��e§c�+c-c �-Y c�-
X�Y �=Xc�,- �-e ox 0Â .
9.07 ** VX � �=X�¨-��� f c�X�Y �=Xc�,- �-e 0
b�Y Y���cY xxf(x) e 1~ � /Y� b�øc x Rj , X� �¨c�-c -e f(0)
9.08 VX � �1
f x ln xx
� � b�Y � 1f� c�X�Y �=Xc�,-,
X� §c�+c-c �-Y � �
� �
1 2
1x 0
f x xlim 1
x f x
�
��
��
�
9.09 ]�-� � �
2
3
1 1x �� , �� x �
2 xf x
x x, �� x �
��
� �� � ��
�
V) �� ��e§c�+c-c �-Y �X � 0� -�-c � f c�X�Y �-
�=Xc�,- �-e ox �� .
°) �� c+c-��c-c -� �=X��cY� -�- f �-e � 0�
9.10 ]�-� f : R Ry Wc ¡ ¡3 2xf x 3f x e 1¢ £ ¤ ,
/Y� b¥øc x Rj
V) �� §c�+c-c �-Y 2xf(x) e 1¦ § , x Rj
°) �� c+c-¥�c-c �X � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e W�§cX
9.11 ]�-� � �¨X¥¨-��� f : R Ry , /Y� -�X e-
�e�� Y��©cY ª «2 2f(x) 2f(x) ¬® x 0¯ ° ± , x Rj
V) �� ��e§c�+c-c �-Y f(x) 1 x² ³
°) �� ��e§c�+c-c �-Y � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e
0
±) �� �´c�-c -e �´Ye x 0
1lim xf
xµ
¶ ·¶ ·¸ ¹¸ ¹
º »º »
9.12 .�Xc-�Y � ¼ ½
1
x
1
x
2 2, x 0
f x2 1 ¾, x 0
¿À Á
ÂÀÃ Ä
ÁÀÀ ÃÅ
V) �� ¨�eÆe/��c-c -� �´Y�:
Ç Èx lim f xÉ ÊË
, Ì Íx -lim f xÎ Ï
, Ð Ñx 0lim f xÒÓ
, Ð Ñx 0lim f xÔÓ
Õ) Ö�¥´�cY -YW, -e¨ × U�-c � f X� c�X�Y �¨-
Xc�,-;
9.13 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e 0x 1Ø
b�Y Y��©cY �-Y f(xy) f(x) f(y)Ù Ú /Y� b¥øc x, y RÛ .
�� ��e§c�+c-c �-Y c�X�Y �¨Xc�,- �-e R
9.14 ]�-� �¨X¥´-��� f -�-eY� U�-c :
Ü Ý Þ ß Ü Ýf x y f x f y 1à á à â , x, y RÛ . �� ��e§c�+c-c �-Y �X � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e ��Wc�e ã Rä , -�-c c�X�Y �¨Xc�,- �-e R .
4å æçè 2013 – 2014 32
é. êëìëíîïíðîñòïó
ôõö÷øù úûüýþÿõ�õ
9.15 �� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����
2
x 1��x
x 2x
��
� ��cY �-e §Y¥�-�W�
1 �,
2 2
� �� �
-e¨Æ¥�Y-
�-eX WY� ´���
9.16 �� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����
22 2 n �0
x x 1 x - 1� � �
� Wc ,� ,n 0� ��cY �b´Y�U-
§©e ´��c-, -Y- � �1 2� , � 1,1� � b�Y Y��©cY �-Y 2 2
21 2
� -�1 1
� � �� �
9.17 ]�-� � c+����� 3 2x �x � 0� � , Wc ã,! Rä , " 0# , $ % 1 0& & ' . �� ��e§cY�-c� �-Y ��cY §©e -e¨Æ¥�Y�-eX ´��c- �-e ( )1,1*
9.18 '+�-� , -f : .,/ R0 , �¨Xc�,- �¨X¥´-���,
U�-c 2f(1) 12 b�Y 2f(3) 34 . �� ��e§c�+c-c �-Y ¨�¥´�cY ox [5,6]7 , U�-c 2
o of(x ) x .
9.19 +�-� f : [0,w] R8 �¨Xc�,- �¨X¥´-���,
U�-c f(0) f(9): . �� ��e§c�+c-c �-Y ¨�¥´�cY
; <ox 0,=> , U�-c o o
?f(x ) f x
2
@ AB CD E
F G.
9.20 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e R b�Y
/Y� b¥Hc x RI c�X�Y f(x) f(x 2) 0J J K �� ��e§c�-+c-c �-Y: A) Á f c�X�Y �c´Ye§Yb,
B) Ö�¥´�e¨X ¥�cY´eY ã Rä U�-c f(L) f(L 2)M N
9.21 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e O P1, 2Q
Rc S T S Tf 1 f 2U V , §c�+-c �-Y ¨�¥´�cY W Xox 1, 2Y Z U-
�-c o3f( 1) 4f(2) 7f(x )[ \ ]
9.22 E�-� , -f : .,/ R0 , �¨Xc^,- b�Y /X,�Y�
_H�Xe¨�� �¨X¥´-��� Rc f(`) f(a) 0b c ,
,� ,n N *ä b�Y d ef g,hi . �� §c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY
ox (j,k)l , U�-c
m n o pqr s t f(x ) rf(u) sf v tf(w)x x y x x
9.23 .�XeX-�Y eY �¨X�´-,�cY- Rc -©�e¨- xf(x) 20 z x e{ | | | , g(x) 21 ! (mnx }~�x)� � � � . VX -e
(�,�) c�X�Y ��Rc�e -�- c¨Hc��- 21y 20x� , Rc
� �(.,/) 0,0� , X� ��e§c�+c-c �-Y eY fC , gC �^e¨X
�X� -e¨Æ¥^Y�-eX beYX� ��Rc�e Rc -c-R�R�X�
� �ox 0,1>
9.24 VX �,� 0� , X� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����
ãmnx ! x� � �^cY (R�� -e¨Æ¥^Y�-eX ) ´��� -�- e-
�e��- � ���ƨ-� -YR, §cX ¨�c´���XcY -eX ã !� .
9.25 VX � f c�X�Y �¨Xc^,- �-e R b�Y Y�^©cY �-Y � � � �f x f 2 x 0� � � /Y� b¥Hc x , X� ��e�c�+c-c �-Y �
c+����� � �f x 0� �^cY R�� -e¨Æ¥^Y�-eX ´��� �-e
R .
9.26 VX � �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc^,- �-e
O P1,2 Rc � �f 2 6� , b�Y �b�R� � � � �f 1 f 2 8� � , X�
��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY, � �ox 1, 2> U�-c
� �2
o o of x x x� � .
9.27 � �¨X¥´-��� � � f : 0, 0,¡¢ £ ¡¢ c�X�Y
�¨Xc^,- b�Y ¨�¥´^e¨X 0 ã ! ¤¥ ¥ ¥ U�-c
¦§¨f f f 1§ ¦ ¨
© ª© ª © ª«¬ ¬ ¬
® ¯® ¯ ® ¯. �� �c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY ox
U�-c ° ±2010
o of x x�
9.28 �� �´c�-c -� �¨X¥´-��� f , �¨Xc^, �-e
R �X Y�^©cY ² ³ ² ³f x f xe 4x 4e 0´µ µ ¶ /Y� b¥Hc x R·
b�Y ¸ ¹f 0 ln 2º
33 » ¼½¾¿ÀÁ½ - ¿ÃľŠƿÇÈÁÉÁÊľŠËÌÿÍνÈÏÐ
http://users.sch.gr/mipapagr
9.29 VX O P1 2 1994� ,� , ...,� 0,1Ñ . �� ��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY, �X� -e¨Æ¥^Y�-eX Ò Óox 0,1Ô U�-c
o 1 o 2 o 1994x � x � ..... x � 997.Õ Ö Õ Ö Ö Õ º
9.30 �� �´cHe©X �Æc- eY �¨Xc^c�- �¨X�´-,�cY- f : R R× �X Y�^©cY �-Y Ø Ù Ø Ù
2f x 2f x mnx 1Ú � ,
x RÛ ä
9.31 *ÜÝÞßàáâ ãäÞåæàçãç f : R Rè ãäÞßéêë ìß
í î2f x 9ï ðâá ñåòß x Ró ñáâ ô õf 0 3ö . ÷á áøùúßÝûßàß
üàâ ô õf x 3ö ðâá ñåòß x Ró
9.32 N �´c�-c -e �©XeÆe -YRUX -�- �¨X¥´-���- ý þf x 4 x 2 xÿ � � � b�Y X� Æ©�c-c -�X �X�����
� �f x 0�
9.33 ��-� � �¨Xc^,- �¨X¥´-��� f /Y� -�X e-
�e�� Y�^©cY �-Y � �224x 9 f(x) 36� � /Y� b¥Hc
x 3,3� � .
�� �´c�-c -eX -©�e -�- �X �f 0 2� �
9.34 �� �´c�-c -� �©XeÆ� -YRUX -�X �¨X�´-,-
�c�X
V) Ø Ù21 x
f x , 0 x 1x
Ú� ¥ �
Õ) � � 3f x x ���x� � , � �x 0,� /2�
9.35 xY� �¨Xc^,- �¨X¥´-��� f : R R× Yb�Xe-
�eYc� -� �^���: � � � � � � � �f 1 f 2 f 3 f 4 ! . -� R�e-
´e©�c � f X� c�X�Y �X-Y�-´�"YR�;
9.36 VX #,$,% R& , X� ��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´-
^cY o
'x 0,
2
( )* + ,. / U�-c
0 1 0 1 0 12 2 2o o o
323 x 4 23 x 4 23 x 4
25 5 5 5 5 6
9.37 �� ��e�c�+c-c �-Y eY /´�_Yb�- ��´��-¥-
�cY- -�X �¨X�´-,�c�X 7 8f x x9 b�Y : ;g x <=>2x?
-�RXeX-�Y �c �X� R�Xe ��Rc�e -e¨ �Y��-,R�-e- @
0,4
A BC DE F
.
9.38 GY �¨X�´-,�cY- H I H If ,g : 0,1 0,1J c�X�Y
�¨Xc^c�- b�Y Y�^©cY f g g fKL L /Y� b¥Hc M Nx 0,1O .
��P� �b�R� �PY � f c�X�Y /X����- _H�Xe¨�� �Pe
M N0,1 . �� ��e�cY^Hc� �PY ¨�¥´^cY
(Pc) Q Rox 0,1S TUVW X Yo of x xZ b�Y [ \o og x x]
9.39 �� �´c�Pc Pe �´���Re P�- �¨^¥´P���- f
�^ Ø Ù _ `2 2f x 4x 5wx w mnx� Ú � , 0 x 2ab b
9.40 ��P� �¨^c^,- �¨^¥´P��� f : R Z× b�c
d ef 1 2f , ^� ��e�g�+gPg �Pc 7 8f x 29 , x RÛ ä .
9.41 V^ � �¨^¥´P��� f g�^�c �¨^g^,- h�c /^�-
���- �©+i¨�� �Pi (0, + j) Rg k lx 0lim f x m Rno
p q h�c
Ø Ùx lim f x r Rs tu
� ä , ^� ��i�g�+gPg �Pc ¨�¥´^gc R�-
^i �^�- �´cHR�- vx 0w U�Pg
x y x yox 1o of x e ln x 1t� � � .
9.42 � �¨^¥´P��� f g�^�c �¨^g^,- �Pi R h�c
c�^©gc z {f f(x) x| /c� h¥Hg x R} . �� ��i�g�+gPg �Pc ¨�¥´^gc ã Rä U�Pg z {f ~ ~|
9.43 ��P� f : R R× �¨^g^,- Rg z {f 10 9| h�c
/c� h¥Hg x R} c�^©gc �Pc � � � �� �f x · f f x 1� . ��
�´g�Pg Pi � �f 5
9.44 '+�P� � � � �f : 0,1 0,1� �¨^g^,- �¨^¥´P���.
.g�+Pg �Pc ¨�¥´^gc � �ox 0,1� P�Pici U�Pg � �o of x x�
(S. Banach)
4� ��� 2013 – 2014 34
�. ��������������
� ¡¢£¤¥ ¦§£¨§ ¢¥
9.45 V) �� ��i�g�+gPg �Pc � g+�����
© ªln x 2 x 1 0« ¬ �^gc Ri^��ch, ®���
Õ) .�^gP�c � �¨^¥®P���
¯ °¯ °3 2
2
x 2 ± 1 x 1 ±² x 1f x
x x ln± 1 ±² x 1
³ ´ µ µ ¶·¸ ¹µ µ º·»
Rg ã Rä .
V^ � f g�^�c �¼^g^,- �Pi R , ^� �®g�Pg P�^ PcR,
Pi¼ ã Rä
9.46 ½c� P� �¼^g^, �¼^¾®P��� f, c�^¿gc �Pc:
À Á63 x
2 x 4 2x 8 xf(x) ÂÃ x6
Ä Å Ä Æ Æ Ä , x 4Ç È É .
�� ¼�iÆi/��gPg Pi f(0) h�c ^� ��i�g�+gPg �Pc ¼-
�¾®^gc, �^� Pi¼Æ¾^c�Pi^ Ê (0,1]Ë U�Pg
Ì Í 6Îf Î ÏÐ Î
6Ñ Ò .
9.47 ��P� Ó Ô 2g x x xÕÖx× Ø h�c
Ù Ú
3 2x x ÛÜÝx, ÞÝ g(x) 0
f x g(x)
Þ ÞÝ g(x) 0
ß àáâã ä
â ãå
�� �®g�Pg Pi
æ Rä �ç � f g�ç�è �¼çg^,-
9.48 ��P� f : R R× �¼ç¾®P���, é�Pg
ê ë2 2 2f x mn x x� � , x RÛ ä .
ì) �� ��i�g�+gPg �Pè � f g�ç�è �¼çg^,- �Pi
0
í) ìç � f g�ç�è �¼çg^,- �Pi R h�è è�^¿gè
î ï î ïf ~ f ð 0ñ ç� �g�+gPg �Pè òó 0ô .
9.49 ��P� �¼çg^,- �¼ç¾®P��� f �Pi õ ö1, 4 /è�
P�ç i�i�� è�^¿i¼ç: ÷ øf x 0ù /è� h¾Hg ú ûx 1, 4ü ,
÷ øf 1 0ý , þ ÿ þ ÿ þ ÿ þ ÿf 1 f 2 f 3 f 4� �� ��i�g�+gPg �Pè: ì) ÷ øf x 0ý /è� h¾Hg ú ûx 1, 4ü ,
í) � �¼ç¾®P��� � � � � � � � �2g x f x f 1 f 2� � �^gè Rè�
Pi¼�¾^è�Piç ®��� �Pi õ ö1,2 .
½) � f �gç g�ç�è �çPè�P®�"èR�.
9.50 ��P� � �¼ç¾®P��� � -�
g(x) x5
Ñ Ò i®è�R�-
ç� �Pi � ,� . ìç è�^¿gè 4�
f g f(�)5
� � �� ��� �� �
� �� � ��i¼
f g�ç�è R�� �¼çg^,- �¼ç¾®P��� i®è�R�ç� �Pi R ,
ç� �g�+gPg �Pè ¼�¾®^gè �x [�,�]� é�Pg
� �f(x ) f(g(x ))�
9.51 ��P� iè �¼çg^g�- �¼ç�®P,�gè- � �f ,g : 0, R�� Rg î ïg 0 1! h�è
" # " #x f(x) g(x) x 3f(x) g(x)Ú � $
ì) �� �®g�Pg Pi % &f 0
í) ìç ÷ øf x 0ù /è� h¾Hg ú ûx 0, 4ü ç� �g�+gPg �Pè: �) � g+�����
î ï î ï î ï î ïx 2 f x xf x 2 x x 2' ( ( ! ' �^gè Rè� Pi¼�¾^è-
�Piç ®�)� �Pi * +0,2 .
�) î ïg x 0, /è� h¾Hg ú ûx 0, 4ü .
9.52 ��P� � �¼çg^,- h�è /ç����- _H�çi¼��
�¼ç¾®P��� f : (0,1) R- /è� P�ç i�i�� è�^¿i¼ç
x 0
f(x) 3lim 3
x.
/0 h�è 2212(x 1) (x 1)f(x) x 13 4 3 4 3
567 89:; x (0,1)<
=) >7 ?@;AB; BC DEFCGC B6HIF BJK
h(x) f(x) ln x 3L M M
N) >7 O;AP;B; QB6 J 5@7R68S T7@9DB7DJ BJK
DUF9@BJDJK f(x) 3g(x) e VW BXHF;6 BJF ;U:;A7 y xY
D; XF7 HQFC DJH;AC H; B;BHJHXFJ 0x (0,1)Z
9.53 A) [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK 876
1 1] D; O69DBJH7 ^ . =F _,`,a bc H; d e fg g ,
F7 7TCO;AP;B; QB6 :7 ;AF76 ;AB; f(h) f(i) f(j)k k
;AB; f(j) f(i) f(h)k k
B) =F J DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK 876 1 1]
DBo ^ , F7 7TCO;AP;B; QB6 ;AF76 5FJDAlK HCFQBCFJ
DBC ^ .
http://users.sch.gr/mipapagr
9.54 mDBl DUF9@BJDJ f , DUF;\SK DBC R 876
6D\E;6 J D\XDJ
n o n o n o3 2 3 2f x 4f x 6f x x 2x 6x 1p p q r p r 567 89:;
x Rs . >7 7TCO;AP;B; QB6 J ;PADlDJ t uf x 0v X\;6
BCUG9\6DBCF H67 @Aw7 DBC x y0,1
9.55 [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC R , 876
6D\E;6 z { z {f f(x) x 4 2f x| } ~ 567 89:; x Rs . >7
O;AP;B; QB6:
=. J f ;AF76 1 1]
N. AF J f ;AF76 5FSD67 HCFQBCFJ BQB; ;AF76
5FSD67 R:AFCUD7
�. UT9@\;6 ox R� IDB; � �o of x x�
�. � �f 1 1W
9.56 [ 7F9?7DJ - QTlK 876 J 87B9?7DJ - DBJF
�JGQB;@J 8C@URS BCU �GEHTCU O67@8;A 6 I@;K.
mF7K C@;6?9BJK P;86F9;6 BJF 7F9?7DJ DB6K 6 BC
T@lA 876 \l@AK F7 DB7H7BSD;6 ?@AD8;B76 D; 6 I@;K
DBJF 8C@URS. �JF 9GGJ HX@7 P;86F9;6 DB6K 6 BC
T@lA BJF 87B9?7DJ, D; 6 I@;K, 78CGCU:IFB7K BJF
AO67 O67O@CHS, ;T6DB@XR;6 DBJ ?9DJ. >7 O;AP;B;
QB6 UT9@\;6 XF7 BCUG9\6DBCF DJH;AC BJK O67O@C-
HSK QTCU ?@AD8;B76 BJF AO67 I@7 876 B6K OEC JHX-
@;K
9.57 [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC � ��,�
H; t uf x 0� , � �x �,�� . �67 89:;
� �1 2 3 vx ,x , x ,..., x �,�� F7 7TCO;AP;B; QB6 UT9@-
\CUF � �1 2� ,� �,�� IDB;
� � ¡ ¢ ¡ ¢ � 1 2 3 v
1
f x f x f x ... f xf £
v
¤ ¤ ¤ ¤¥
¦ § ¦ § ¨ © ¨ © ¦ §ª2 1 2 3 vf « f x f x f x ... f x¬
9.58 mDBl J DUF9@BJDJ f : IR IR® IDB;
¯ ° ¯ °2f x f f(x) 4± ² 567 89:; x IR³ 876 t uf 2 1v
A) =F J DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC DJ-
H;AC 0x 1´ , F7 UTCGC5AD;B; BC Q@6C
µ ¶x 1
1lim f(x) 3 ·¸
x 1¹º
º
B) >7 7TCO;AP;B; QB6 J DUF9@BJDJ f O;F ;A-
F76 DUF;\SK DBC » ¼1,2
9.59 �AF;B76 J DUF;\SK DUF9@BJDJ f H;
½ ¾ ½ ¾f x ln x ln x 1¿ À À
=) >7 7TCO;AP;B; QB6 J f ;AF76 7FB6DB@X�6HJ
876 F7 C@AD;B; BJF 1fÁ
N) >7 ?@;AB; BC DEFCGC B6HIF BJK DUF9@BJ-
DJK Â Ã Â Ãxg x f x eÄ Å
�) >7 7TCO;AP;B; QB6 J ;PADlDJ
¯ °xf x e 1 0Æ Ç ² X\;6 HCF7O68S GEDJ H;57GEB;@J
BCU XF7
9.60 �AF;B76 J DUF;\SK DUF9@BJDJ
� �f : 0, IRÈÉ Ê 567 BJF CTCA7 6D\E;6
Ë Ì Ë Ì3 3f x xf x x 0Í Í Î 567 89:; Ï Ðx 0,Ñ ÒÓ .
=) >7 7TCO;AP;B; QB6 ¯ °3x f x 0Ç Ô Ô
N) >7 H;G;BJ:;A lK T@CK BJ DUFX\;67 J DU-
F9@BJDJ Õ Ö
Õ ÖÕ Ö
Õ Ö2
f x2f x ×Ø 1 , x 0
x xg x 1 , x 0
f x, x 0
x
ÙÚ Û ÜÝ
ÝÝÞ Û ÞßÝ ÛÝ àÝá
9.61 �AF;B76 J â ã
1
x
1
x
2 2, x 0
f x2 1 ä, x 0
åæ ç
èæé ê
çææ éë
=) >7 UTCGC5AD;B; B7 ¯ °x lim f xì íî
,
ï ðx -lim f xñ ò
, ó ôx 0lim f xõö
, ó ôx 0lim f x÷ö
N) øT9@\;6 B6HS BCUù IDB; J f F7 ;AF76 DU-
F;\SK;