blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_a___x.y.pdf27 i...

35

Upload: others

Post on 07-Mar-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

� �������

� �

�� � � �� ������������������������

!"#$%"&'()*+,-./01 2 3,456768./01 9:-,;<=5>?1@A�BC

Page 2: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

7

Page 3: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

DE FGHEIE DJH KLMNOLPJH NQLRKJH C

1 SQNTULF FDE C

1.01 VW XYZ[\]\ ^\ «_W`a`b_c» daYec ]afg dbXWhb_aig 1 2z zj , 1 2z zk , 1

2

z

z, l]W`

1

1 i 3z

1 i 3

mn o , 2

iz

2i 3 2p q

1.02 VW rY\sai` ab t,u Rv l]W`: w) b^xi\b l]b 2 2(y z) (y z ) i 5 5i{ { | } { .

~) b^xi\b l]b 2 12 5i(t ui)

i

�� �

1.03 VW W�ah\��\]\ l]b 1 1

1 1

1 i 1 i 1 i 1 i4

1 i 1 i 1 i 1 i

� �� �� � � �� � � �� � � �

1.04 �^]� ab WYbsda� � ,� ,�,� �� ab a�a�ab W` hbWbY\sai` d\ ]a 4 Wec`af` ]a �hba f�l�ab�a. VW W�ah\��\]\ l]b: i) �� � �i i i i� � � ii) � � � �i 1� � � � .

1.05 VW h\��\]\ l]b XbW _Zs\ � � *� b^xi\b 2� 2� 1 2� 2 2� 3

2� 2� 1 2� 2 2� 3

i i i i

1 1 1 1

i i i i

� � �� � �

� � � �� � �

1.06 VW W�ah\��\]\ l]b 30 30(2� 3 i) (3  2�i) 0¡ ¡ ¢ £ , ¤ t,u Rv

1.07 A` � � *� , `W rY\�]\ ]W WsYa�^dW]W: ¥ ¦1002 3 1001 i i i ... 1 i§ ¨ § ¨ ¨ § _Wb

© ª © ª © ª © ª« ¬i 2 3i 4 5i ... 2­ 2 2­ 1 i® ® ® ® ® ® ¯ ® ¯

1.08 VW rY\�]\ ]bg ]bd°g ]af ± IN² XbW ]bg a-�a�\g b^xi\b _Zs\ dbW W�l ]bg b^l]³]\g: w) 3� 1i 1� � ~) ´ ´(1 i) (1 i)µ ¶ ·

1.09 �^]� z °`Wg dbXWhb_lg _Wb ¸ ¹ ºf » i z¼ ½ ,

z C¾ , *¿ ÀÁ , ]l]\ A) `W W�ah\��\]\:  à  à  à  Ãf 3 f 8 f 13 f 18 0¡ ¡ ¡ £

~) `W f�a�aX�^\]\ ]³` �WYZ^]W^³ Ä Å Ä Å Ä Å Ä Åf 8Æ f 8Æ 1 f 8Æ 1 f 8Æ 4Ç Ç Ç È Ç Ç , *É ÊË Ì

1.10 w` Í Î Í ÎÏf Ð i 1 iÑ Ò , *¿ NÁ `W W�ah\��\]\ l]b Ó Ô Ó Ô Ó Ô Ó Ôf 4Õ f 4Õ 1 f 4Õ 2 f 4Õ 3 0Ö Ö Ö Ö Ö Ö × _Wb Ø Ù Ø Ù Ø Ù Ø Ùf 1 f 2 f 3 ... f 101 1 iÚ Ú Ú Ú Û Ú .

1.11 VW W�ah\��\]\ l]b : Ü Ý Ü Ý4Þ 4Þ3 4 i 4 3i Rß ß ß à XbW _Zs\ ¿ ÀáÁ .

1.12 â dbXWhb_lg z 2 iã ä `W W`W�fs\� ^\ Z-sYab^dW hia dbXWhb_å` u,w �af ab \b_l`\g ]afg rY�^_a`]Wb ^]bg \fs\�\g y x 2æ ç _Wb y 2x 1� è

W`]�^]abxW.

1.13 VW �i^\]\ ^]a C ]bg \�b^å^\bg: w) é ê é ê2 2

3 2x 4 x 0ë ì ì í

~) 2z(1 i) z z 1 iî î ï ð î

ñ) ò ó2ô z 4 ô zi 4ôõ ö õ ÷ XbW _Zs\ ø Cù

1.14 w` z,w Cú , x, y Rú `W �i^\]\ ]W ^f^]c-dW]W: w) û ü

5iz 18w 7

2 i z 6iw 5 4i

î ïýþÿ ð ð ï îþ�

~) � �

� �

1 i z 3iw 5 6i

z 2 i w 6 i

� � � � ���

� � � ��

1.15 w` z C _Wb 2z z 1 0� � � , `W W�ah\��\]\ l]b: 2004

2004

1z 2

z �

Page 4: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 4

�. ��������������

1.16 ñbW ]a dbXWhb_l z 0� b^xi\b l]b 1z 1

z� ! .

VW W�ah\��\]\ l]b 200 100z z 1 0" " #

1.17 &]a dbXWhb_l \���\ha `W ^³d\bå^\]\ ]a ^i`a�a ]�` ^³d\��` �af \�`Wb \b_l`\g ]�` dbXWhb-_å` z l]W`: w) z 2$ 1 5(1 $)i% ' ( ( , ) 0* ,

B) + ,2z 3 - 4- 1 i. / / / , t R0 .

ñ) z 3 i12345 6 , 7 [0,8)9 ,

:) 2z ;<= > i? @ XbW _Zs\ A RB , ø Rù

C) 2z 2DE F 2DEF GHIF iJ K , A RB

&]) z 2$ 1 5(1 L)i% ' ( ( , W` 2M 3ø 2N O

P) 2

z iQRSTUVS

W X , YZ Z

[2

ð\ , ] ^_

1.18 '�^]� 1 2M ,M ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` 1z 1 `ab icdeb% ( ( , 2z 1 fgh iijkhl m n ,

o op ,

2 2

q rs tu vw x

w) VW h\��\]\ l]b ]W 1 2M ,M W`c_af` ^]a` �hba _i_�a ~) `W rY\�]\ ]a` X\�d\]Yb_l ]l�a ]af d°^af M , ]af \fsiXYWddaf ]dcdW]ag 1 2M M ,

1.19 ñbW ]afg z , w Cy b^xi\b l]b 2z w 1 0z { | . VW rY\�]\ ]a` X\�d\]Yb_l ]l�a ]³g \b_l`Wg } ]af z l]W` ab \b_l`\g 0 , z , w \�`Wb ^³d\�W ^f`\fs\bW_Z

1.20 w` ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` z , 1 , iz~

rY�^_a`]Wb ^]³` �hbW \fs\�W, `W W�ah\��\]\ l]b a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` ^³d\��`M(z) \�`Wb _i_�ag

1.21 VW rY\�]\ ]³ XYWddcC ^]³` a�a�W W`c_\b ³ \b_l`W ]af dbXWhb_ai z ^\ _Zs\ dbW W�l ]bg �\-Yb�]å^\bg w)

1z ��� i

����� � ,

�� R �� , � �

2

� �� � � �� �� �

~) 1z ��� i

���� � , � �� , � ��  

1.22 w` ³ \b_l`W ]af dbXWhb_ai z ¡ ¢ i£ ¤ ,

t,u R0 W`c_\b ^\ _i_�a d\ _°`]Ya ]a O(0,0) _Wb W_]�`W 1 , `W rY\s\� ³ \��^�^³ ]³g XYWddcg ^]³` a�a�W _b`ai`]Wb l]b ab \b_l`\g ]�` dbXWhb_å` W-Ybsdå` w d\ 1 1

w z2 z

¥ ¦§ ¨© ª« ¬

1.23 w` ³ \b_l`W ]af w \�`Wb ^]³` \fs\�W x 0­ , `W rY\s\� a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` \b_l`�` ]af w 1

zw i

®¯

°

1.24 VW rY\�]\ ]a X\�d\]Yb_l ]l�a ]�` ^³d\�-�` ± ²x, y W` b^xi\b ³ ´

3x µ y 1 i µ i

2

¶ ·¸ ¸ ¹ ¸º »¼ ½,

x, y,¾ R¿

1.25 �^]� a z x yiÀ Á x, y R  _Wb ³ b^l]³]W 2 2(x 2x) (4x y )i  ( 7)iÃ Ä Ã Å Ä Ã , ³ a�a�W \�`Wb W�³scg XbW _Zs\ t R0 . VW h\��\]\ l]b XbW _Zs\ t R0 ]W ^³d\�W Æ(z)

W`c_af` ^\ _i_�a

1.26 VW �Ya^hbaY�^\]\ X\�d\]Yb_Z ]a ^i`a�a

]�` \b_l`�` ]�` dbXWhb_å` Ç È1

z ln É iÉ

Ê Ë Ì,

Í ÎÏ 0,Ð ÑÒ

1.27 ñbW ]afg �YWXdW]b_aig WYbsdaig t, u ,

b^xi\b l]b 2 2Ó Ô 16Õ Ö . w` 5 3z × Øi

4 4Ù Ú , `W W�a-

h\��\]\ l]b a X\�d\]Yb_lg ]l�ag ]�` \b_l`�` ]af z \�`Wb °��\b[³.

1.28 �^]� ab dbXWhb_a� z Û 1 (2Û 1)iÜ Ý Þ Þ ,

ß Rà _Wb w z (2 i)| z z

w) VW rY\�]\ ]afg X\�d\]Yb_aig ]l�afg ]�` z , w _Wsåg _Wb ]³ ^x°^³ ]afg ~) VW rY\�]\ ]a` dbXWhb_l z �af °x\b ]³` ��³^b°^]\Y³ \b_l`W ^]³` WYxc O(0,0)

ñ) VW rY\�]\ ]³` \�Zxb^]³ W�l^]W^³ ]�` \b-_l`�` ]�` z _Wb w XbW _Zs\ ß Rà

Page 5: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

5 á âãäåæçã - èåéêäë ìåíîçïçðêäë ñòéåóôãîõö

÷øùøúûü÷ ýüúþÿü��ü

1.29 VW rY\sai` ab �,�,� R� å^]\ `W \�`Wb ^ffX\�g ab dbXWhb_a� z,w l]W`: � �2z � 2 4 � 2 i� � � _Wb w 3 � 2 i� � �

1.30 w` 1 2z ,z C R� z `W h\��\]\ l]b � �� � � � � �1 2 1 2 1 2z z z z R Re z Re z� � � � �

1.31 A` z,w C� `W W�ah\��\]\ l]b w. \�`Wb �YWXdW]b_a� ab WYbsda� ab:

z iz

z+iz

ð _Wb � �� �z+z z z z

2zz z

î î

B. \�`Wb eW`]W^]b_a� ab WYbsda� ab: � � �

� � �

22

33

z+i z i

z+i z i

! !

" ! _Wb z u z u

w u w u

# ## #

1.32 �^]� ab z,w d\ z C Rà $ , w C {0,1}% & .

VW W�ah\��\]\ l]b zw z 1R w

w 1 w

' ( ) *'

.

1.33 w` 1 2 1 2

1 2

z z z z z zw

z z

+ + ,-,

d\ 1 2z ,z C0 ,

1 1 2 2z z z z 1. . _Wb 1 2z z\ î . VW W�ah\��\]\ l]b w I/ .

1.34 VW �i^\]\ ]³` \��^�^³ zz i(z z) 2ð î ï

1.35 VW �i^\]\ ]a ^i^³dW 0 1

0 1 0 13z 1 i w 2 3i

2 i z 1 i w 1

2 3 3 4 356 3 3 3 457

1.36 w` z,w C8 , w 09 , `W h\��\]\ l]b: z wz wz

Rew 2ww

:; < => ?@ A _Wb z wz wz

Imw 2iww

BC D EF GH I

1.37 w` 1 2 3z ,z ,z C% `W h\��\]\ l]b: J K J K L M1 2 3 2 3 1 3 1 2z Im z z z Im z z z Im z z 0N N O

1.38 ñbW _Zs\ dbXWhb_l z `W W�ah\��\]\ l]b:

A) 2(z z) 0P Q B) 2(z z) 0R S .

1.39 �^]� a dbXWhb_lg z d\ z 0\ . w` z z

wz z

T U , `W W�ah\��\]\ l]b w) a w \�`Wb �YWXdW]b_lg ~) 2 w 2V W W

ñ) w` w 2X ]l]\ z R/

:) w` w 2Y Z ]l]\ z I[

1.40 VW W�ah\��\]\ l]b: w) \ ] \ ]4^ 4^

3 4 i 4 3i R_ _ _ ` , a bcd e

~) f f(1 i) (1 i) Rg g h i , j kl m

ñ) 4n n( 1 i) ( 4)o p q o _Wb `W f�a�aX�^\]\ ]³` �W-YZ^]W^³ r ) XbW _Zs\ s t *u

1.41 VW W�ah\��\]\ l]b 2004 2006

2 i i 20

1 2i 1 2i

v wx y x yv z{ | { |w v} ~ } ~

1.42 w` � � � ��f � i 1 i� � , *� N� , `W h\��\]\ l]b � � � � � � � �f 1 f 2 f 3 ... f 101 1 i� � � � � �

1.43 �^]� z x yi, x,y R� � � _�b 4z 1w z

4 z

���

,

z 4� . �� �Y\�]\ ]a X\�d\]Yb_� ]��a ]�` ^�d\��` M(z) ]af dbX�hb_ai \�b��haf, �]�` w R� .

1.44 �� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]�` \b_�-

`�` ]af z , �]�` b^�i\b (z �)(z �) (z �)(� z)� � � � � , *  R¡¢ .

1.45 �� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]�` ^�-

d\��` �af \�`�b \b_�`\g ]�` Yb£` _Z¤\ db�g ���

]bg \¥b^£^\bg: ¦) 2 2z 4z z 4z§ ¨ § ©) 2 2z z zzª «

Page 6: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4¬ ­®¯ 2013 – 2014 6

°. ±²³²´µ¶´·µ¸¹¶º

1.46 »^]� z x yi, x,y R� � � _�b ¼ ½M z \b_�`�

]af z ^]a dbX�hb_� \���\ha. ¦` \�`�b w 2z z¾ ¿ ,

`� �Y\�]\ ]a` X\�d\]Yb_� ]��a ]af M , �]�` À Á2Re w 1Â

1.47 ¦` z C {0}Ã Ä , `� ��ah\�¥\]\ �]b ab \b_�`\g ]�` dbX�hb_£` z ,

1

z _�b z¿ ^]a dbX�hb_� \���\ha

\�`�b ^�d\�� ^f`\f¤\b�_Z.

1.48 ¦` ab Å Æ Ç Èz 2 É 2Ê Ë É iÌ Í Î Í _�b Ï Ðw Ñ Ò Ó iÔ Õ Ö Õ b_�`a�abai` ]� ^f`¤c_�

z 2w¾ , `� ��ah\�¥\]\ �]b ab ×,Ø,Ù RÚ ��a]\Ûai` hb�ha�b_aig �Yafg �Yb¤d�]b_cg �Ya�haf.

1.49 »^]� z,w CÜ , d\ 1z w

wÝ Þ . ¦` � \b_�`�

]af w �`c_\b ^\ _i_Ûa d\ _�`]Ya ]a ß àO 0,0 _�b �_]�`� á 2â ]�]\ `� ��ah\�¥\]\ �]b � \b_�`� ]af dbX�hb_ai z �`c_\b ^\ �ÛÛ\b[�, ]�g a�a��g `�

�Y\�]\ ]bg \^]�\g.

1.50 ¦` � \b_�`� ]af dbX�hb_ai �Yb¤dai z

_b`\�]�b ^]a` _i_Ûa 2 2x y 4ã ä , `� ��ah\�¥\]\ �]b � \b_�`� ]af dbX�hb_ai �Yb¤dai 4i

w zz

å æ _b`\�-]çb ^\ _i_Ûa.

1.51 �ç Ûi^\]\ ]�` \¥�^�^�

(3 2i)z (3 2i)z 2è è é ê _çb `ç ç�ah\�¥\]\ �]b a X\-�d\]Yb_�g ]��ag ]�` \b_�`�` ]�` Yb£` ]�g \�`çb dbç \f¤\�ç _Z¤\]� ^]� hbç`f^dç]b_c ç_]�`ç ]af w 3 2i� � .

1.52 ë \¥�^�^� 2z ìz í 0î î ï , ð,ñ Rò ��\b Y�ç ]a` dbXçhb_� 2 i¿ . �ç �Y\�]\ ]�` ZÛÛ� Y�ç

_çb ]ç ó , ô .

1.53 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b �]b ab \b_�`\g ]�` Yb£` ]�g \¥�^�^�g 2 2 2õö ÷ z 2õö÷ z 5 4õö ÷ 0ø ù ø ú ù û

¼ ½÷ 0,üý ç`c_af` ^\ f�\Y�aÛc Xbç _Z¤\ ¼ ½÷ 0,üý

1.54 þ]�` b^�]�]ç: 2z 2iz ÿ 0� � � , a z \�`çb eç`]ç^]b_�g \`£ a ó �YçXdç]b_�g. �ç �Y\¤\� ]a hbZ^]�dç ^]a a�a�a �ç�Y`\b ]bd�g a ó , _çb `ç

�Y\¤\� a z (^f`çY]c^\b ]af ó )

1.55 �ç �Y\�]\ ]bg ]\]YçX�`b_�g Y�\g ]�` ç-

Yb¤d£` ¦) z 4¾ ¿ ©) z 2i� %) z 3 4i� �

1.56 »^]� �]b ��

(1 z)f(z)

1 z

���

*� �

¦) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b 1f f(z)

z

� � �� �.

©) ¦` \�`çb zz 1¾ , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b f(z) R� .

%) �ç �Y\�]\ Xbç �abZ � aY�\]çb ]a f(i) .

') �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ]a f(i) \�`çb �YçXdç]b-_�g Xbç _Z¤\ \�b]Y\�]� `.

1.57 ¦` 1 3z i

2 2� � � , w 1 z¾ � , `ç ç�ah\�¥\]\

�]b A) 21 z z 0� � � , B) 3z 1� ,

%) 2 3 4 5 61 z z z z z z 1� � � � � � �

') 2� �w z¨ Xbç _Z¤\ ef^b_� � ,

() 300w 1� _çb 333w 1¨ �

þ]) 2004 2001

2004 2001

1 1z z 2

z z� � � �

Page 7: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

7 � !"#$&! - )#*+", -#./&0&1+", 23*#45!/67

http://users.sch.gr/mipapagr

2 89:;< 8=>?@=A<B

2.01 �ç �Y\�]\ ]a d�]Ya ]af z , �]ç`: ¦)

2 4(1 i) (1 i)z

2 7 6i

C DEC

©)

92 i 5

z3

F GHI J KJ KL M

%) N O2 28 z 3z 6 iP Q R

2.02 ¦` x,y CS `ç ç�ah\�¥\]\ �]b a çYb¤d�g x y y x

xy+ xy

T \�`çb eç`]ç^]b_�g

2.03 ¦` x,y CS `ç ç�ah\�¥\]\ ]�` ^f`\�çX�-

Xc x+yx y 1 R

1+xy� � U �

2.04 ¦` z,w CÜ d\ z wV , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b W XW X

2004

2004

z wR

z w

YZ

[ \`£ a \ ]

\ ]

2003

2003

z w

z w

^_

\�`çb eç`]ç^]b-_�g

2.05 '\�¥]\ �]b zzR

z z` a , b cz C 0d e

2.06 %bç _Z¤\ z Cf , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 2 2z i i z� � � ©)

2 2z+ z z zg h

2.07 %bç _Z¤\ z,w CÜ , `ç h\�¥\]\ �]b ¦) i j

2 2 2 2z w z w 2 z wk k l m k

©) 2 2 2

2 z z+u w z u+w u=wn o p o q

%) z z z z 2 z z Rr r s t u v

2.08 ¦` 1 2z ,z C� _çb b^�i\b w x w x w x w x1 2 2 1Re z Im z Re z Im zy z y , `ç ç�ah\�¥\]\

�]b { |1 2 1 2z z Re z z}

2.09 Nç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 2z e ln z e 1 ln z 1� ~ � � � �

©) log z+100 1 log z 1 z 10� � � � �

2.10 ¦` 1 2z ,z C� _çb b^�i\b 2 2 21 2z z z� � , `ç

h\�¥\]\ �]b 1 1 1 2 1 2z z z z z z z z� � � � � � �

2.11 ¦` z Cf d\ `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) z z z z 2 z z Rr r s t u v

©) � �z z z z 2 z z C R� � � � � � �

2.12 ¦` z,w C� d\ w 1� ç�ah\�¥]\ �]b ç` z zw

R1 w

� ��

]�]\ z R� c w 1�

2.13 ¦` z,w CÜ _çb z w z w ,� � � �ç ç-

�ah\�¥\]\ �]b z w 3 z� � .

2.14 ¦` 1 2z ,z C� d\ 1 2z z 1� � _çb b^�i\b 1 2

1 2

z z1

1 z z

� ��

`ç ç�ah\�¥\]\ �]b 1z 1� c 2z 1�

2.15 ¦` 1 2z ,z C {0}� � _çb b^�i\b 2 2 2

1 2 1 2z z |z z |� � � , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) 1 2 1 2z z z z� � �

©) 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z� � �   �

2.16 ¦` 2 2 2 21 2 1 2 1 2z z z z 2 z z� � �   � Xbç

_Z¤\ 1 2z ,z C {0}� � `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) 1 2 1 2z z z z� � �

©) 1 2z z I¡ _çb 1

2

zI

Page 8: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4£ ¤¥¦ 2013 – 2014 8

§. ¨©ª©«¬­«®¬¯°­±

2.17 »^]� *1 2 3z,z ,z ,z C² £^]\ `ç b^�i\b

1 2

2

z z z

z

³ ´µ¶ ·¸ ¹

º »1 2 11 2

2 2

z z z zz z

z z

¼ ½¾ ¿ ¾À Á Ã

`ç h\�¥\]\ �]b z RÄ

2.18 ¦` 1 2z , z C� d\ 1 2z z 1Å Å , ]�]\: ¦) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z 1 0 z z z z 1 0� � � � ~ � � � �

©) `ç �Y\�]\ ]a d�]Ya ]af 1 2 1 2

1 2 1 2

z z z z 1

z z z z 1

Æ Æ ÇÆ Ç Æ

2.19 »^]� z,w CÜ , È RÉ d\ z w 1Ê Ê , `ç

h\�¥\]\ �]b: A) z w 1 zwË Ì Ë ©)

z wR

1 zw

Í ÎÍ

%) z w Ïzw-1 z w zw ÏÐ Ð Ñ Ð Ò Ð

2.20 '�`\]çb a z CÓ d\ z 1� . �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦)

2 21 z 1 z 4Ô Ô Õ Ö ©)

2z 1R

z

× Ø

2.21 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ç` z+u+w=0 _çb zu+uw+wz=0 ]�]\ z u wÙ Ù

2.22 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b 2z z 1 z z 1 1� � � ~ � � � , z CÓ

2.23 A` 1 2 3z z z 1Ú Ú Ú , 1 2 3z z z 1Û Û Ü _çb 1 2 3z z z 1Ý Ý Þ , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b

1 2 3

1 1 11

z z z� � �

_çb `ç �Y\�]\ ]afg 1 2 3z , z , z .

2.24 ¦` 1 2 3z , z , z C� , 1 2 3z z z� � _çb ab \b_�`\g ]�` 1 2 3z , z , z ^]a \���\ha \�`çb _aYfe�g b^a�Û\iYaf ]YbX£`af, `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ab \b_�`\g ]�` 1 2 2 3 1 3z z , z z , z z \�`çb _aYfe�g b^a�Û\iYaf ]YbX£`af.

2.25 **¦` 1 2 3z ,z ,z Cß hbçeaY\]b_a� ç`Z hia _çb b^�i\b �]b 1 2 2 3 3 1z z z z z zà á à á à , `ç h\�-¥\]\ �]b 2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z� � � � �

2.26 ** ¦) A` 1 2 3z z z 0Û Û Ü _çb 2 2 21 2 3z z z 0â â ã , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b 3 3 3

1 2 3z z z� �

_çb �]b 1 2 3z z zä ä

©) �ç ç�ah\�¥\]\ �]b å æ å æ å æ2 2 2z u u w w z 0

z u u w w z

ç è ç è ç é êç é ç é ç

2.27 ¦` 1 2 3z z zä ä _çb 1 2 3z z z 0Û Û Ü , d\ 1 2 3z ,z ,z Cß , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b 2 2 2

1 2 3z z z 0â â ã

2.28 ¦` ab \b_�`\g ]�` 1 2 3z , z , z C� ^]a \��-�\ha ^��dç]�ëaf` b^��Û\fYa ]Y�X�`a, `ç ç�ah\�-¥\]\ �]b ì í ì í ì í2 2 2

2 1 3 2 1 3z z z z z z 0î ï î ï î ð

2.29 »^]� a ¤\]b_�g çYb¤d�g ñ _çb ab dbXçhb_a� 1 2 3z , z , z ]�]abab £^]\ `ç b^�iaf` ab ^��^\bg: 1 2 3z z z ò� � � , 2

1 2 3z z z ñ� � � _çb 2 2 21 2 3z z z 0â â ã . �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: 1 2 2 3 3 1z z z z z z 8� � �

2.30 »^]� ab 1 2 3z ,z ,z Cß Xbç ]afg a�a�afg b^�i\b 1 2 2 3 3 1z z z z z z 1ó ó ô ,

õ ö ÷ ø ÷ ø1 2 2 3 3 1z z z z z z 10ù ù ù ú `ç �Y\¤\� ]a û üû üû ü2 2 2

1 2 31 z 1 z 1 zý ý ý

2.31 ¦` z w z w 1þ ÿ ÿ ÿ , `ç h\�¥\]\ �]b

¦) 2

z z1 0

w w

� � � � �� �� � ©)

z1 3

w�

2.32 ¦` 1 2z ,z C� `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) 1 2 1 2z z z z� ©) 1 2 1 2 1 2z z z z 2 z z �

%) � 1 2 1 2 1 2z z z z i 2 z z� �

Page 9: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

9 � ������� - ������ ����������� !��"#��$%

http://users.sch.gr/mipapagr

2.33 %bç _Z¤\ z,w C& `ç h\�¥\]\ �]b ¦) ' (2zw wz 0) *

©) ' (2zw wz 0+ ,

%) 2 zw zw wz 2 zw- . / .

2.34 %bç ]afg 0,1,2, w Cß `ç h\�¥\]\ �]b ¦) 3 4 3 4 3 4� 5 � � e

©) 6 7 7 8 8 62 w 6 2 w 7 2 w 89 : 9 : 9 ;9 : 9 : 9

2.35 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b : ¦` z w 1< < ]�]\ zw zw 2= >

2.36 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b: ¦) ? @? @

2 2 2z w 1 z 1 wA B C C

©) 1 1

z i i zz z

� D � E D , *z CF

2.37 ¦` \�`çb z i z iw

z i z i

G HI GH G

, `ç ç�ah\�¥\]\ �]b w RJ _çb �]b w 2K .

2.38 %bç _Z¤\ z,u,w C& `ç h\�¥\]\ �]b: ¦) z 1 z 2 z 1 z 2L L M M M M N

©) z+2 z 3 z z+5� � 5 �

%) z z z z

2 z2 2

O PO Q

2.39 %bç _Z¤\ z CR `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) ¦` 1 - z zS ]�]\ T U2 Re z 1V

©)*** ¦` 1z 1

zW X ]�]\ 1

z 5z

Y Z , *z CF

2.40 »^]� z C[ �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) ¦` z 2 i 5e e 5 ]�]\ 8 z 14 6i 185 e e 5

©) ¦` z 3 1\ ] ]�]\ 22z^_` z 2� a , b R[

%) ¦` z 1 1c d _çb z 2 1e � ]�]\ 1 z 3e e

2.41 %bç ]afg z, w Cf b^�iaf` �]b w 3 2i 3e � 5 _çb (1 i)w 2 2 2g g h . �ç ç�ah\�-

¥\]\ �]b z w 10i j

2.42 ¦` Xbç ]afg 1 2z ,z C� b^�i\b �]b: 1z 1k

_çb 2z 1k `ç ç�ah\�¥\]\ �]b: 1 2 1 2z z 1 z zl m l

2.43 %bç ]afg dbXçhb_aig z _çb w b^�i\b �]b 1 z

w1 z

nop

. '\�¥]\ �]b q r q rIm z 0 Im w 0s t u .

2.44 �ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦)

z z1

z+ z z zv w

x

©) 3z+w z1

2z 1 2w+1 2 z+wy z

{ z

%) z w

z+w|}x ~��x

� � , �

0 x2

� �

2.45 ¦` z w 1< < `ç ç�ah\�¥\]\ �]b ¦) z 1 w 1 zw 1 2� � � � � �

©) 2 3z 1 z 1 z 1 2� � � � � �

2.46 %bç _Z¤\ 1 2z ,z C� , d\ 1 2z z 1� `ç ç�a-h\�¥\]\ �]b 1 2 1 2

1 2

z z z zi i z z

2 2

� �� � � � �

2.47 *'�`a`]çb ab dbXçhb_a� çYb¤da� z,w d\ |z||w| 1� � .�ç ç�ah\b�¤\� �]b 2(z w)

0zw

� �

2.48 **¦` � �z, w,z w C i� d e e , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b b z i w i

1z i w i

� �� �

� �

z w i1

z w i

� �� �

� �

2.49 %bç _Z¤\ z C[ , `ç Ûi^\]\ ]bg ç`b^£^\bg ¦) 2z 4z 0] � ©) 2z 4z 3 0� � �

Page 10: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 10

�. �� �¡¢£¡¤¢¥¦£§

2.50 %bç _Z¤\ z C[ `ç ç�ah\�¥\]\ �]b z 10 3 z 2 z 1 3¨ © ¨ ª ¨ ©

2.51 A` « ¬ « ¬15 15z+2+4i 2z+1+2i­ ]�]\ `ç

�Ya^hbaY�^\]\ X\�d\]Yb_Z ]bg \b_�`\g ]af z

2.52 �ç �Y\�]\ ]a ^i`aÛa ]�` ^�d\��` ]af \�b-��haf �af \�`çb \b_�`\g ]af z C[ ç` log z 5 log z 1e 5 e

2.53 '�`a`]çb ab dbXçhb_a� z _çb w �af ^f`-h�a`]çb d\ ]� ^��^�

2

®w

z¯ , � R *� . ¦` b^�i\b

�]b z 1 1° ± , `ç ç�ah\�¥\]\ �]b � \b_�`ç ]af w

_b`\�]çb ^\ �çYç�aÛc.

2.54 ¦` ² ³ ² ³ 1´ µ µ µ d\ ¶,· C¸ , `ç h\�-¥\]\ �]b: 2010 2010¹ º»

2.55 ¦` � \b_�`ç ]af dbXçhb_ai z ç`c_\b ^\ _i_Ûa d\ _�`]Ya ¼ ½O 0,0 ¾ç¿ ç¾À�Á à 1Ä , Á Â-

�ÅÆÇ�¥ÇÀÇ �À¿ ÀÅ �Æ¿Å ¿È�ÉÇ¿ ¾Â¿ Ê¿Â À�Á Ç¿¾�Á ÀÅË

Ìz-iw ,

iz ÌÍ

Î Ï RÐ .

2.56 Ñ) ÑÁ z 1 2 z 2� � e , Á �ÒÇ�ÀÇ À�

ÊÒÂÓÓÔ �ÅË Æ¿ÂÊÒÕÖÇ¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË z

×) ÑÁ 1 2

1 2

z 1 z 12

z 2 z 2

Ø ØÙ Ù

Ú Ú, Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿

21 2z z 16Ü Ý

2.57 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿: Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿-

¾ßÁ à 2i

z1 ài

áâá

, Ï RÐ ÂÁÔ¾ÅËÁ ÈÇ �Á ÅÒ¿ÈÓ�ÁÅ

¾É¾ãÅ.

2.58 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w ÓÇ z w 1å æ . ÑÁ

� Ç¿¾�Á ÀÅË z ¾¿ÁÇ�À¿ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ z 3 4i 5ç è é

Á Â�ÅÆÇ� ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË w ¾¿ÁÇ�À¿ ÈÇ �ÁÂ

¾É¾ãÅ.

2.59 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ *z, w Cê ßÈÀÇ 2 2z w 0ë ì .

� Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á z, w ¾Â¿ � ÂÒíÔ

À�Á ÂÛ�Á�Á Èí�ÓÂÀ�ëÅËÁ ÅÒîÅÊßÁ¿Å ¾Â¿ ¿ÈÅȾÇã�Þ ÀÒ�Ê�ÁÅ.

2.60 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅÁ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-

Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z ÂÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á

21, z, 1+z ÈÀÅ Ç���ÇÆÅ Ç�Á¿ ÈËÁÇËîÇ¿Â¾Õ È�ÓÇ�Â.

2.61 ïÈÀ� 1 2z ,z Cð ÓÇ

ñ ò1 2 1 2z z Re z z 1ó ó ó . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿

Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á 1 2z ,z ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ ¾Â¿ � ÂÒ-

íÔ À�Á ÂÛ�Á�Á Ç�Á¿ È�ÓÇ� ÈËÁÇËîǿ¾Õ.

2.62 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿ÈíÉÇ¿

ô õ22 213 z z 24 z 50 0ö ö ÷ ø . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å

ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Þ Ç¿¾�ÁÂÞ M ÀÅË z Ç�Á¿ Ë�ÇÒ�ÅãÔ

2.63 Ñ) � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å C À�Á

Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z C[ ÈÀÅ Ç���ÇÆÅ, ÂÁ

2

1 1 10

z 3i z 3i z 9ù ú

û ù ù

×) ÑÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ 1 2z , z ÂÁÔ-

¾ÅËÁ ÈÀ� C ¾Â¿ Ç�Á¿ ÈËÓÓÇÀÒ¿¾�Þ �Þ �ÒÅÞ À�Á

ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á, Á �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ Ó�Ê¿ÈÀÅ ¾Â¿ ÀÅ Ç-ãÕí¿ÈÀÅ ÀÅË 1 2z ze

2.64 ÑÁ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ� 1 2z ,z �íÅËÁ Ç¿-¾�ÁÇÞ ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ À È�ÓÇ� A,B ÂÁÀ�-ÈÀÅ¿íÂ, �ÅË ÆÇÁ ÂÁÔ¾ÅËÁ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ

ü ýC : 2 2x y 1þ ÿ , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ¿ÈíÉÇ¿

1 2 1 2z z 1 z z� � � ÂÁ ¾Â¿ Ó�ÁÅ ÂÁ �Á Ó�ÁÅ Â��

À È�ÓÇ� A, B Ç�Á¿ ÇÈ�ÀÇÒ¿¾� È�ÓÇ�Å ÀÅË ü ýC

2.65 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� z ¿ÈíÉÇ¿ z 3� , ¾Â¿ z 3i � , Á �ÒÇ�ÀÇ À�Á À¿ÓÔ À�Þ �ÂÒÕ-

ÈÀÂÈ�Þ Ñ=2 2

z 3i z 3i .� � � � ÆÅîÇ� ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾Ô

ÇÒÓ�ÁÇ� À�Þ

Page 11: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

11 � ���� � - ����� ���� � ��� ����������

http://users.sch.gr/mipapagr

2.66 � �ÒÅÈÆ¿ÅÒ�ÈÇÀÇ ÈÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� Ç���ÇÆÅ ÀÅ

À ÈÉÁÅã À�Á Ç¿¾�Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z �ÅË Â-

�ÅÀÇãÅÉÁ À¿Þ ÊÒÂÖ¿¾�Þ ãÉÈÇ¿Þ À�Á ÈËÈÀ�ÓÕÀ�Á:

Ñ) z 3 z 1

z 5 z 2

� � � � ! � " � #

×) z 1

z 1 2 z 1

$ %&' ( % )&*

+) 3 z 4i 5V e 5 ä) 1 z-1 i 2V � V

2.67 N �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-

Á�Á ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ z ÈÇ ¾ÕîÇ Ó¿Â Â�� À¿Þ Ç��ÓÇÁÇÞ �ÇÒ¿�ÀßÈÇ¿Þ Ñ) z 3 z 3 10e � � �

×) z 2i z 2i 6, - - .

+) z 2i z 2i 6, , - .

2.68 +¿Â ÀÅ Ó¿ÊÂÆ¿¾� z 0 ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ 1

z 1z

/ 0 1 . äÇ�ÛÀÇ �À¿ 200 100z z 1 02 2 3

2.69 � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�-

Á�Á ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ z Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿ÈíÉÇ¿ ¾ÕîÇ Ó¿Â Â�� À¿Þ Èí�ÈÇ¿Þ:

Ñ) 2 2

1-z 1 z4 5 ×) log z 2 log z6 7

2.70 � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á

8 92:1 1 2w z z; < , = >2?

2 1 2w z - z@ , *A NB ÓÇ *

1 2z ,z Cd , 1 2z zC , 1 2z z , ÅÒ�ëÅËÁ ÇËîÇ� �ÅË

Æ¿�ÒíÇÀ¿ Â�� ÀÅ D E0,0

2.71 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È�

F G221 2 1 2x 2 z x z 2 Re z zH I J �íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾�Þ

Ò�ëÇÞ Ê¿Â ¾ÕîÇ 1 2z ,z Cð

2.72 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ò�ëÇÞ À�Þ ÇÛ�È�È�Þ 2z Kz 4 0/ / 0 ÓÇ 4 L 4M N N �Ò�ȾÅÁÀ¿ ÈÇ ¾É¾ãÅ.

2.73 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� z ¿ÈíÉÇ¿

O PQ R1 z 1 zR

z z

2 ST

S Á ÆÇ¿íîÇ� �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á

1, 1, z, zU Ç�Á¿ ÅÓÅ¾Ë¾ã¿¾Õ È�ÓÇ�Â.

2.74 ïÈÀ� Å¿ Æ¿ÂÖÅÒÇÀ¿¾Å� Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� 1z ¾Â¿ 2z

ßÈÀÇ Å 1 2

1 2

z zw

z z

VWX

Á Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ, Á ÆÇ�-

ÛÇÀÇ �À¿: Ñ) 2004w 0Y ×) 1 2z zC

2.75 ä�ÁÇÀ¿ � ÇÛ�È�È� 2z Zz Z 0[ [ \ ��ÅË

] 0^ � ƿ¾Ò�ÁÅËÈÕ À�Þ. � �ÒÇ�ÀÇ À¿Þ Ò�ëÇÞ À�Þ ¾ÂîßÞ ¾Â¿ ÀÅ Ç�ÆÅÞ ÀÅË ÀÒ¿ÊßÁÅË �ÅË Èí�ÓÂÀ�ëÅËÁ

Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ò¿ëßÁ À�Þ ¾Â¿ � ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á

2.76 ïÈÀ� 1 2z ,z Cð ¾Â¿ ÀÅ �ÅãËßÁËÓÅ

_ `_ `2 22

1 2 1 2P(x) x 2 z z x 1 z 1 za b c b b b , x Rd .

� Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ P(x) 0e Ê¿Â ¾ÕîÇ x Rd

2.77 � ãÉÈÇÀÇ ÈÀÅ C À ÈËÈÀÔÓÂÀÂ

Ñ) z i iz i z izf g f g f

×) z 4

1z 8

h ih

¾Â¿ 3z 11

z 3

j kj

+) z w 1l l ¾Â¿ z w 1 zwm m n .

2.78 � ãÉÈÇÀÇ ÈÀÅ C À¿Þ ÇÛ¿ÈßÈÇ¿Þ:

Ñ) 2

z 6 zz 9 0o p q ×) 2z z 0r s

+) z z 1 i 0t t t u ä) 2

z z 3 z 0v w x

2.79 � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ò�ëÇÞ À�Á ÇÛ¿ÈßÈÇ�Á

2z z+1=0y , ¾Â¿ 2z 3z+1=0z ÅÒ�ëÅËÁ ¾ÅÒËÖ�Þ ¿ÈÅȾÇãÅÉÞ ÀÒÂ�Çë�ÅË

2.80 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ z,w Cð ÓÇ z 9iw

iz 1

rs{

¾Â¿

z 3|

Ñ) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ w 3}

×) � �ÒÇ�ÀÇ À� Ó�Ê¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~

2.81 � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ÂÁ � ÇÛ�È�È�

� � � �� �iz 2 w z 2i� � � ÓÇ ÕÊÁ�ÈÀÅ ÀÅ z C� *� �� ,

�íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾Ô Ò�ë À�ÀÇ w 1} .

Page 12: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 12

�. ��������������

2.82 � ÇÛÇÀÕÈÇÀÇ ÂÁ � ÇÛ�È�È�

� �� 2 3i1 iz

2 3 i

�� kj

, �íÇ¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾Ô Ò�ëÂ.

2.83 +¿Â ÀÅÁ z C� ¿ÈíÉÇ¿ �À¿: z 1 2i 4� � � . NÂ

�ÒÇ�ÀÇ À¿Þ À¿Ó�Þ ÀÅË z Ê¿Â À¿Þ Å�Å�ÇÞ � �ÂÒÕÈÀÂÈ�

z 13 7i~ ~ Ê�ÁÇÀ¿ Ó�Ê¿ÈÀ� Ô ÇãÕí¿ÈÀ�.

2.84 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅÁ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-

Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z , ÂÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ z 3 z 5 3i� �   � . Ñ�� ÀÅËÞ �ÂÒÂ�ÕÁ� Ó¿ÊÂÆ¿-

¾ÅÉÞ z , �Å¿ÅÞ �íÇ¿ ÀÅ Ó¿¾Ò�ÀÇÒÅ Ó�ÀÒÅ;

2.85 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w ÓÇ

3z 2iw

iz 6

¡¢¡

. H Ç¿¾�Á ÀÅË z ÂÁԾǿ ÈÀÅÁ ¾É¾ãÅ

£ ¤O 0,0 ¾Â¿ ¥ 2¦

Ñ) Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË w ÂÁԾǿ ÈÇ ÅÓ�¾ÇÁÀÒÅ ¾É¾ãŠ¾À�ÁÂÞ r 1§

B) N Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á z, w ¾Â¿ � ÂÒíÔ À�Á ÂÛ�Á�Á Ç�Á¿ ÈËÁÇËîÇ¿Â¾Õ È�ÓÇ�Â.

×) � Ë�ÅãÅÊ�ÈÇÀÇ À�Á ÇãÕí¿ÈÀÅ ¾Â¿ À� Ó�Ê¿-ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~

2.86 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z ÓÇ z 4i 1¨ © ¾Â¿ Å

w ÓÇ w 2z 4 7iª « ¬ . � �ÒÇîÇ� � ÇãÕí¿ÈÀ� ¾Â¿ �

Ó�Ê¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~

2.87 ä�ÁÅÁÀÂ� Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z ¾Â¿ w Ê¿Â ÀÅËÞ Å�Å�ÅËÞ ¿ÈíÉÅËÁ (1 i)z 2 4i 18­ ® ® ¯ ¾Â¿ w 2z 11 5i0 1 / . � �ÒÇ�ÀÇ: Ñ) °Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z

×) °�Á Ó�Ê¿ÈÀ� ¾Â¿ ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z

+) °�Á ÇÛ�È�È� À�Þ ¾ÂÓ�Éã�Þ �ÅË �Ò�ȾÅÁÀ¿ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ ÀÅË Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉ w

ä) °� Ó�Ê¿ÈÀ� ¾Â¿ ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z w~

2.88 � �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å À�Á Ç¿¾�-

Á�Á À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ z ÂÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿

± ²³ ´z i z i 3 z i 4 01 / 1 1 1 0

2.89 ïÈÀ� z,w Ó� Ó�ÆÇÁ¿¾Å� Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� À�ÀÅ¿Å¿

ßÈÀÇ µ ¶z w z wz 3 w 3 z w 3 ·¸ ¹ ¸ º ¹ ¸ . � Â�ÅÆÇ¿-

íîÇ� �À¿ zR

w� Ô z w z w» ¼ ¼

2.90 +¿Â ÀÅÁ z C R½ ¾ ¿ÈíÉÇ¿ � Èí�È�

1z 2011

z¿ À Á Â1

Ñ) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � Ç¿¾�Á ÀÅË z Ç�Á¿ È�ÓÇ�Å

¾É¾ãÅË ÓÇ ¾�ÁÀÒÅ ÀÅ £ ¤O 0,0

×) ÑÁ 1 2 3z ,z ,z ¿¾ÂÁÅ�Å¿ÅÉÁ À�Á Á Â1 Á ÆÇ�ÛÇÀÇ

�À¿ à Ä1 2 31 2 3

1 1 1z z z 9

z z z

Å Æ/ / / / ÇÈ ÉÊ Ë

2.91 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ z 1Ì Ê¿Â ÀÅÁ Å�Å�Å ¿-ÈíÉÇ¿ 2001 20013z 2001z 2004Í Î . N ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿

Ñ) ³ ´2001 2001z z 10 0 ×) zz 1Ï

+) ÂÒ¿îÓ�Þ 1 zw

1 z

ÐÑÒ

Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ.

2.92 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ� Ó, Ô, Õ ÓÇ |Ó|=|Ô|=|Õ|=2 ¾Â¿ Ö+×+Ø=1

Ñ) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ³ ´ ³ ´³ ´Ó+Ô Ô+Õ Õ+Ó Rð

×) � �ÒÇîÇ� � À¿ÓÔ À�Þ �ÂÒÕÈÀÂÈ�Þ 1 1 1

Ö × ØÙ Ù

+) � Â�ÅÆÇ¿íîÇ� �À¿ |Ú Û| |Û Ü| |Ü Ú| 2Ý Ý Ý Ý Ý Þ

2.93 ïÈÀ� Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� 1 2z , z ,w ÓÇ

1 2z z 2© © , 2 21 2z z 0ß à ¾Â¿ 1 2

2 21 2

2z zw

z z

áâã

Ñ) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ 11

4z

zä 2

2

4z

z0

×) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Å w Ç�Á¿ �ÒÂÊÓÂÀ¿¾�Þ

+) � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ ¿ÈíÉÇ¿ 1 2

2 1

z z2

z z¿ å

ä) ÑÁ w 2æ , Á ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Â) 1 2z z 2ç è

�) ÀÅ ÀÒ�Ê�ÁÅ �ÅË �íÇ¿ ¾ÅÒËÖ�Þ À¿Þ Ç¿¾�-

ÁÇÞ À�Á Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ O , 1z , 2z Ç�Á¿ ¿È��ãÇËÒÅ

Page 13: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

13 é êëìíîïë - ðíñòìó ôíõöï÷ïøòìó ùúñíûüëöýþ

http://users.sch.gr/mipapagr

3 ÿ�����ÿ����ÿ �������� � ����ÿ� (� ÿ ÿ�������)

3.01 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� � �x

f x ln1 x

� �� � ��� �

Ñ) � ÅÒ�ÈÇÀÇ À�Á 1f�

×) � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � �1

xlim f x 1����

+) ÑÁ z,w Ç�Á¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� À�ÀÅ¿Å¿ ßÈÀÇ Á ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ ! " # $1 1 7f ln 1 f ln z w

6% %& & ' Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿

Â) z w 2( )

�) * + * +Re z Re w 2, -

3.02 ïÈÀ� Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ 2

2

4z zw

4z z

./

0, z C1

Ñ) � ãËîÇ� ÈÀÅ C � ÇÛ�È�È� 24z z 02 3

×) ÑÁ Å w Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ, Á �ÒÇ�ÀÇ ÀÅ ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾� À��Å C À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z

+) ÑÁ Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ À�Á Ó� Ó�ÆÇÁ¿¾ßÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾ßÁ 1 2 1 2z , z , w , w Ç�Á¿ ÇÈ�ÀÇÒ¿¾Õ È�ÓÇ� ÀÅË ÊÇ�ÓÀÒ¿¾ÅÉ À��ÅË

C , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ë�ÕÒíÇ¿ 4 5ox 0,16 ßÈÀÇ Á ¿ÈíÉÇ¿ 0 1 2 0 1 2 ox z z x w w x7 8 7 9

3.03 ïÈÀ� z : ;i< = , *>,? R@ ¾Â¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� A B2

2

z iz x 5x 2 z izf x

x 3x 2

C C C CD

C C. ÑÁ E F

x 1lim f x 3GH

I , Á Â�Å-

ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ñ) z iz 1J K ¾Â¿ z iz 2( )

×) 5

z2

L +) 3

MN8

O

3.04 +¿Â ÀÅËÞ Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉÞ z,w ¿ÈíÉÇ¿ 2

2x 1

z 3 4i x w 3 6i x 2 1lim

2x 1PQ Q Q Q R R

SQ

Ñ) � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË z .

×) � �ÒÇîÇ� Å ÊÇ�ÓÇÀÒ¿¾�Þ À��ÅÞ À�Á Ç¿¾�Á�Á ÀÅË w .

+) � �ÒÇîÇ� � ÇãÕí¿ÈÀ� À¿ÓÔ ÀÅË z wT .

3.05 ÑÁ Ê¿Â ÀÅÁ Ó¿ÊÂÆ¿¾� ÂÒ¿îÓ� U Vz x i f xK J W ¿ÈíÉÇ¿ z 1K Ê¿Â ¾ÕîÇ fx XY , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿:

Ñ) °Å �ÇÆ�Å ÅÒ¿ÈÓÅÉ ¾Â¿ ÀÅ ÈÉÁÅãÅ À¿ÓßÁ À�Þ f Ç�Á¿ Ë�ÅÈÉÁÅãÅ ÀÅË Æ¿ÂÈÀÔÓÂÀÅÞ Z [1,1\ ,

×) ÑÁ � f Ç�Á¿ ÈËÁÇíÔÞ À�ÀÇ Æ¿ÂÀ�ÒÇ� ÈÀÂîÇÒ� �Ò�È�ÓÅ ÈÀÅ ] ^1,1_ .

3.06 ïÈÀ� ` af : b,c Rd ÈËÁÇíÔÞ ÈËÁÕÒÀ�È� ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z : ;i< = , e f1z g if gh i , U V1z j if jK J . ÑÁ

¿ÈíÉÇ¿ k l m n2 21 23 z z 4izz 4i Re z zo o p , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � fC �íÇ¿ �Á ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ ¾Å¿Á� È�ÓÇ�Å ÓÇ ÀÅÁ x xq .

Page 14: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4r stu 2013 – 2014 14

v. wxyxz{|z}{~�|�

3.07 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f , ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ Æ¿ÕÈÀ�Ó � ��,� ¾Â¿ �ÂÒÂÊ�Ê�È¿Ó� ÈÀÅ U V�,j ÓÇ � �f � � 0� � .

ä�ÁÇÀ¿ ¾Â¿ Å Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ � if(�)z

� if(�)

��

�. ÑÁ Å z Ç�Á¿ ÖÂÁÀÂÈÀ¿¾�Þ Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x x� �íÇ¿ Ó¿Â

ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ ãÉÈ� ÈÀÅ U V�,j .

3.08 ä�ÁÇÀ¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ Æ¿ÕÈÀ�Ó � �0,2 ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� U V1z f 0 iK J ¾Â¿ � �2z 1 f 2 i� � � .

ÑÁ ¿ÈíÉÇ¿ �À¿ 1 2 1 2z z z z� � � , Á Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ � �0,2 .

3.09 ä�ÁÅÁÀ¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� z,w C  ¾Â¿ � ÈËÁÕÒÀ�È� f : R R¡ ÓÇ ¢ £ 3 2f x z x w x z wI ¤ ¥ ¤ . � Â�Å-

ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó� ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ Z [1,1\ .

3.10 ïÈÀ� ÈËÁÕÒÀ�È� ¦ § 3f x 2z 1 x z x 1¨ © ª ª ��ÅË z Ó¿ÊÂÆ¿¾�Þ ÓÇ z 0« ¾Â¿ x R¬ . � Â�ÅÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿

ÂÁ ¢ £1

Re z12

­ , À�ÀÇ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ ® ¯0,1 .

3.11 ïÈÀ� f : R R¡ ÈËÁÕÒÀ�È� ÈËÁÇíÔÞ ÈÀÅ R Ê¿Â À�Á Å�Å� ¿ÈíÉÇ¿ �À¿

° ± ° ± ° ±2

1 23 2 5 41 2

1 z zf x z z f x f x 2x x 2

4

²³ ² ³ ´ ³ ² , x R¬ , ��ÅË 1 2z , z Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� �ÅË Å¿ Ç¿¾�ÁÇÞ ÀÅËÞ Ç�Á¿

ÇÈ�ÀÇÒ¿¾Õ È�ÓÇ� ÀÅË ¾É¾ãÅË 2 2x y 1µ ¶ . äÇ�ÛÀÇ �À¿ � ÇÛ�È�È� � �f x 0� �íÇ¿ Ó¿Â ÀÅËãÕí¿ÈÀÅÁ Ò�� ÈÀÅ ® ¯0,1

3.12 Ñ. � ÆÇ�ÛÇÀÇ �À¿ Ê¿Â ÀÅËÞ Ó¿ÊÂÆ¿¾ÅÉÞ z , w ¿ÈíÉÇ¿ · ¸2 2 2

z w z w 2 Re zw¹ º » ¹

×. ¼Ç�ÒÅÉÓÇ ÈËÁÕÒÀ�È� f : R R¡ � Å�Å� Ç�Á¿ ÊÁ�È��Þ ÓÅÁ�ÀÅÁ� ¾Â¿ Å¿ Ó¿ÊÂÆ¿¾Å� ÂÒ¿îÓÅ�

1z 3 f(2)· i½ ¾ ¿ÂÀ 12z f (2) 3· iÁ à ÊÀ ÀÄËÞ Ä�Ä�ÄËÞ ÀÈíÉÇÀ � Èí�È� · ¸

2 21 2 1 2z z 2 Re z z» º . � ÆÇ�ÛÇÀÇ �ÀÀ

Ñ) 1 2z zI

×) ÄÀ f ,g ��ÄË Å Æg(x) f 2x f(x) xÇ È È , x R¬ Ç�ÁÂÀ ÊÁ�È��É ÊË�ÁÄËÈÇÉ

Ê) ÂÁ � f Ç�ÁÂÀ ÈËÁÇÌÍÉ , ÎÇ ÈÉÁÄÏÄ ÀÀÎÐÁ ÀÄ R , À�ÀÇ � ÇÑ�È�È� 12x f(x) f (x)ÒÓ Ô �ÌÇÀ ÎÄÁÂÆÀ¿Í Õ��Â

� Ä�Ä� �Õ�È¿ÇÀÂÀ ÈÀÄ ÆÀÖÈÀ�ÎÂ × Ø2,3

3.13 ÙÈÀ� Ä ÎÀÊÂÆÀ¿�É ÂÕÀËÎ�É Ú ÛÜÝ

z1 Ý i

Þß

. Ó RY

à � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄÁ ÊÇ�ÎÇÀÕÀ¿� À��Ä À�Á ÇÀ¿�Á�Á á ÀÄË â ãäz

å åÕÇ�ÀÇ ÀÄËÉ ÎÀÊÂÆÀ¿ÄÉÉ �ÄË Â��ÌÄËÁ À�Á ÇÏÖÌÀÈÀ� ¿ÂÀ À� Î�ÊÀÈÀ� Â��ÈÀÂÈ� Â�� ÀÄ æ çO 0,0

è àÁ ÄÀ ÇÀ¿�ÁÇÉ á ÀÄË â ãäz ÂÁÍ¿ÄËÁ ÈÇ ¿É¿ÏÄ ¿�ÁÀÕÄË 1

K O,2

é êëì íî ï ¿ÂÀ ¿À�ÁÂÉ 1

ð2

ñ , Á ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ ÄÀ

ÇÀ¿�ÁÇÉ À�Á ÎÀÊÂÆÀ¿ÐÁ â ãäz 1

òzó ôõö ÷ø ù

Ç�ÁÂÀ ÂÁÀÀÆÀÂÎÇÀÕÀ¿Ö È�ÎÇ� ÀÄË ¿É¿ÏÄË ÂËÀÄÉ.

ú � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ ÀÄ ÀÕ�Ê�ÁÄ �ÄË �ÌÇÀ �É ¿ÄÕËÊ�É ÀÀÉ ÇÀ¿�ÁÇÉ À�Á ÎÀÊÂÆÀ¿ÐÁ û ü1z , ý þ1z ÿ , � �2012z Ç�ÁÂÀ

ÄÕËÄÊÐÁÀÄ (www.mathematica.gr)

Page 15: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

15 � ������� - ���� ���������� ���������

http://users.sch.gr/mipapagr

��������� �

4 !"#$% %"&'(!)%)%

4.01 ÙÈÀ� � ÈËÁÖÕÀ�È� 2

1f(x) n 1

x

* +, -. /0 12

A) åÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ À�É B) 3ÉÈÀÇ À�Á ÇÑ�È�È� 4 5f x 1 06 7

è) 3ÉÈÀÇ À�Á ÂÁ�È�È� 8 9f x 0:

ú) � ÆÇ�ÑÇÀÇ

�ÀÀ2

1 1f f( 2 ) f

;<=x2;<= x 1

> ? > ?@ AB C B CB CD E FE F

4.02 àÁ G H 2f x x x 1I ¤ ¤ . � Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ

I J I Jf x f x 1K L

4.03 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� G H M Nx x1

f x Ó Ó2

OI ¤ .

� Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ P Q P Q R S P Qf x y f x y 2f x f yT T U V ,

x, y RW

4.04 XÀÄ ÆÀ�ÏÂÁ�

ÈÌÍΠÁ �ÕÇ�ÀÇ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀ ÀÄË x ,

À� ÈËÁÖÕÀ�È� �ÄË

�ÇÕÀÊÕÖÊÇÀ ÀÄ

ÇÎ�ÂÆ�Á À�É ÊÕÂÎÎÄÈ¿ÀÂÈÎ�Á�É �ÇÕÀÄÌÍÉ �ÄË Æ�ÎÀÄËÕÊÇ�ÀÂÀ Â�� À� YZ ¿ÂÀ ÀÀÉ �ÏÇËÕ�É ÀÄË ÀÕÀÊÐÁÄË [\] ÊÀ ÀÀÉ ÆÀÖÊÄÕÇÉ Ë�ÈÇÀÉ ÀÄË E �ÖÁ� ÈÀ� B^ . °Ä ÀÕ�Ê�ÁÄ [\] Ç�ÁÂÀ ÀÈ�-

�ÏÇËÕÄ ÎÇ ÎÍ¿ÄÉ �ÏÇËÕÖÉ 1 � BE x_ ¿ÂÀ `a bac

4.05 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� f ÎÇ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ

ÀÄ R ÎÇ d ex

x

4f x

4 2f

g. � Ë�ÄÏÄÊ�ÈÇÀÇ ÀÄ

4 5 4 5f x f 1 x6 h ¿ÂÀ ÀÄ :

1 2 2002 2003f f ...f f

2004 2004 2004 2004

i j i j i j i jk k kl m l m l m l mn o n o n o n o

pqrstuv #rqwxyrxz

4.06 N ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ À� ÊÕÂÊÀ¿Í �ÂÕÖÈÀÂÈ� À�É ÈËÁÖÕÀ�È�É f(x) ln x{ ¿ÂÀ Á �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÏÍËÄÉ

À�Á ÕÀ�ÐÁ À�É ÇÑ�È�È�É | } 6f x 10~�

4.07 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á

� �f x x� � �g x x 1� � � � �1

k xx

� �h x 1 x� � � �1

m xx 1

��

� �1

n xx 1

��

4.08 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á

f(x) ln( x), x 0I ¥ � g(x) ln( x), x 0I ¥ ¥ �

k(x) ln x7 m(x) ln x� � t(x) ln x� �

4.09 � ÈÌÇÆÀÖÈÇÀÇ ÀÀÉ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍÈÇ�Á:

à) 4 5f x 7 2x x

å)

� �

x

2

e , x 0

g(x) lnx , 0<x e

x 1 , x e

� �  ¡ �¢ 

£ ¤ ¥

è) 2 xf(x) ¦§¨

2I

Page 16: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4© ª«¬ 2013 – 2014 16

­. ®¯°¯±²³±´²µ¶³·

#¸¹º» »qtx¼»½

4.10 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á ¾ ¿ À Á2f x x ln x Ã

x 1g(x)

x x-3x+2 x

ÄÅ t(x) I

1

x 2 x 1Æ Æ

h(x) I2

x 2

1 x 1 x

Ç

È È È

24 - xk(x)

(x - 1) x 1É

Ê

4.11 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á Ë Ì2 x

f x2ÍÎx 1

ÏÐ

Ñ Ò2ÓÔx

g xÕÖx ÕÖ2x

2

2x 2x

x 1Ô(x)

e eפ

Ø Ù2

1t x

2ÚÛÜ x 5ÚÛÜx 3Ý

Þ Þ

4.12 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á ß àß à

xe ef x

2x 1 ln x

áâ

á ã ä

1t x ln x

x 1å

æ

g(x) I xe - 1 + 1 - lnx Ñ Ò ç è2k x ln 1 xI ¥

4.13 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á é ê2

x x 1

x x 1f x

9 4.3 27ëì ì

íî ì

3 2g(x) x xï ð

h(x) I 2ñòóx 1ô xf(x) (e 1)ln(x 1)õ ö ö

4.14 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á ÷ ø1

f x ln xx 1

ùú

û ü û ü1

g x ln xx 1

ý þÿ

� �x 2

1h x

4 x�

� � �

1

lnxk x x�

4.15 � �ÕÇ�ÀÇ À �ÇÆ� ÄÕÀÈÎÄÉ À�Á ÈËÁÂÕÀÍ-

ÈÇ�Á 2

2x 2x

x 1k(x)

e eפ

�¥

, � x

t x ln xx 1

��

2

2

x x 2r(x)

x x

¤ ¥�

¥ , �

3 x 2k x

2x 4 x 1

� ��

� � �

4.16 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ ¿ÖËÇ ÎÀÂÉ Â��

ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ:

f(x) � xe - 1 + 1 - lnx � �m x ln(x 1)� �

4.17 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ �ÇÆ�Ä ÄÕÀÈÎÄÉ ¿ÖËÇ ÎÀÂÉ Â��

ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ:

� �x 2

1f x

4 x�

� � � x

x 3g x log

3 x

��

� !"# $%&'()

4.18 èÀ À� ÈËÁÖÕÀ�È� f : R R* ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ

Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò2f x 2f x 2 x x 1¥ ¥ � ¥ , x R+ . � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ �

fC ÆÇÁ À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ÖÑÄÁ x x,

4.19 ÙÈÀ� ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R R- ÊÀ ÀÀÉ

Ä�Ä�ÇÉ ÀÈÌÉÇÀ . / . / 2f x 9 g x x0 1 0 ÊÀ ¿ÖËÇ x R+ .

� �ÕÇËÇ� � ÈÌÇÀÀ¿Í Ë�È� À�Á f gC , C

4.20 ÙÈÀ� � ÈËÁÖÕÀ�È� f : R R* ÊÀ À�Á Ä-

�Ä� ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ 2 3 4 52f x 2 f 3x 06 6 7 ÊÀ ¿ÖËÇ

x R+ . � ÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ � fC À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ÖÑÄÁ x x, ÈÇ ÆÉÄ ÀÄËÏÖÌÀÈÀÄÁ È�ÎÇ�Â

4.21 ÙÈÀ� ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R R- , ÐÈÀÇ ÁÂ

ÀÈÌÉÇÀ 2f(x) g(x) x 89 : ; ¿ÖËÇ x R+ , < R= . �Â

�ÕÇËÇ� Ä > ÐÈÀÇ ÄÀ ÊÕÂÊÀ¿�É �ÂÕÂÈÀÖÈÇÀÉ ÀÄËÉ, ÁÂ

À�ÎÁÄÁÀÂÀ ÈÀ�Á ÇËËÇ� x 1� ¿ÂËÐÉ ¿ÂÀ À ÆÀÂ-

ÈÀÍÎÂÀ ÈÀ Ä�Ä� � fC Ç�ÁÂÀ �ÖÁ� Â�� À�Á gC

4.22 � �ÕÇËÄÉÁ À ÆÀÂÈÀÍÎÂÀ ��ÄË � fC

Ç�ÁÂÀ �ÖÁ� Â�� À� gC �ÀÂÁ:

à) Ñ Ò x x 1f x 4 2 ?� ¥ ¿ÂÀ @ A x 2g x 2 8BC D

å) 2x EF x 0

f(x)1 2x EF x<0

G HIJ KL LIM

¿ÂÀ g(x) x 2N O

¿ÂËÐÉ ¿ÂÀ � Â��ÈÀÂÈÍ ÀÄËÉ.

Page 17: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

17 P QRSTUVR - WTXYSZ [T\]V^V_YSZ `aXTbcR]de

http://users.sch.gr/mipapagr

fghi%i) $j")kilg'm"

4.23 ú�ÁÇÀÂÀ � ÈËÁÖÕÀ�È� f(x) x 1n o .

à) � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ �ÄÀÇÉ Â�� ÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� ÈË-

ÁÂÕÀÍÈÇÀÉ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÎÇ À� ÈËÁÖÕÀ�È� f .

2

1

x - 1f (x)

x - 1p

3

2 2

x 1f (x)

x - x 1

qr

q

s t2

3f (x) x 1� u 4

1f (x) x 1

x

v wx yz {| }

Ñ Ò x 15f x ln e ?� ln(x 1)

6f (x) e ~�

å) � �ÕÇ�ÀÇ ÀÄ ÇËÕÉÀÇÕÄ ÆËÁÂÀ� Ë�ÄÈÉÁÄÏÄ

ÀÄË R ÈÀÄ Ä�Ä�Ä ÄÀ �ÂÕÂ�ÖÁ� ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ Ç�ÁÂÀ �ÏÇÉ �ÈÇÉ.

4.24 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 1 ���x

f(x)��x

�C ¿ÂÀ ��x

g(x)1 ���x

��

4.25 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ

Ñ Ò s t s tx x

f x 1 2 2 1×

� u � � ¿ÂÀ � �g x 0�

4.26 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 2f(x) x x 1� � � ¿ÂÀ

2

1g(x)

x x 1

��� �

4.27 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ ÈÀÀÉ �ÂÕ¿ÖÀ� �ÇÕÀ�ÀÐÈÇÀÉ.

à) 2f(x) x x 1� � � ¿ÂÀ 2

1g(x)

x x 1

��

� �

å) f(x) �1

ln 2x

� � ¡ ¢£ ¤ ¿ÂÀ ¥ ¦ ¥ ¦g x ln 1 2x ln x§ ¨ ¨

4.28 � �ÕÇËÇ� Ä © Rª ÐÈÀÇ Á Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ

ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ 3

2

«x 3x 4f(x)

x «x 4

� u ��

� u ¿ÂÀ

g(x) ¬x 1­ ® ®

4.29 � ÇÑÇÀÖÈÇÀÇ ÂÁ Ç�ÁÂÀ �ÈÇÉ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ

f(x) �1

ln 2x

� � ¡ ¢£ ¤ ¿ÂÀ ¥ ¦ ¥ ¦g x ln 1 2x ln x§ ¨ ¨

¯k#°'!± $j")kilg'm"

4.30 � �ÕÇËÄÉÁ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f g² ,¿ÂÀ g

f

�ÀÂÁ

à) f(x) 4 |x|]� ³ ¿ÂÀ g(x) x 1´ µ

4.31 � �ÕÇËÄÉÁ ÄÀ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f g² ,¿ÂÀ g

f

ÂÁ f(x) �2x 1, x 2

x , x 2

¶ ·¹̧º

»¹¼ ¿ÂÀ ½ ¾

lnx, 0 x 3g x

-2x 3, x 3

¿ ¿ÀÁ Â Ã ÄÅ

4.32 èÀ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R RÆ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ

Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò2 2g x f x 2f x x 3� � u u , x RÇ È . � ÆÇ�ÑÇÀÇ

�ÀÀ � gC À�ÎÁÇÀ ÀÄÁ ËÇÀÀ¿� �ÎÀÖÑÄÁ Oy

4.33 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f ,g : R RÆ ÂÁ

ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ

Ê Ë Ê Ë Ê Ë Ê ËÌ Í2 2f x g x 1 2 ÎÏx f x ÐÑÒx g xÓ Ó Ô Õ Ö Õ

4.34 N �ÕÇ�ÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R R×

�ÄË À¿ÂÁÄ�ÄÀÄÉÁ À�Á ÈÌ�È�: Ø Ù2 2f x x 1Ú Û , x RÜ

4.35 N �ÕÇ�ÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R R×

�ÄË À¿ÂÁÄ�ÄÀÄÉÁ À�Á ÈÌ�È�: Ý Þ Ý Þß à2 x xf x 4e f x eá â ,

x Rã ä

4.36 � �ÕÄÈÆÀÄÕ�ÈÇÀÇ �ÏÇÉ ÀÀÉ ÊÁÍÈÀ ÂÉÑÄË-

ÈÇÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R Rå ÊÀ ÀÀÉ Ä�Ä�ÇÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ 2 2f (x) x� æ ç1 ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ

4.37 � �ÕÇ�ÀÇ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ ÀÀÉ ÈËÁÂÕÀÍÈÇÀÉ f : R Rå ÂÁ ÊÀ ¿ÖËÇ x RÉ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ

è éê ë è éê ëf x 1 f x 2 0ì ì í

4.38 N Â�ÄÆÇ�ÑÇÀÇ �ÀÀ f gî , ÂÁ ÀÈÌÉÇÀ �ÀÀ

ï ð ñ ò2 2f g (x) 2 f g (x) 2ó ô ó õ ÊÀÂ ¿ÖËÇ x RÜ

Page 18: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4ö ÷øù 2013 – 2014 18

ú. ûüýüþÿ�þ�ÿ����

���� ������

4.39 NÂ Ñ ÀÖ� À ÂÁ �ÁÂÀ ÖÕÀÀ É Í � ÕÀÀÀ�É �À ��ÁÂÕÀÍ� ÀÉ

� �2g(x) ln x x 1� � � ,

2x 3 x 0

3 x 0f(x)

2x 3 x 0

� ��� �� �� � ��

4.40 %À À� ��Á��À��� f : R R× À� ! À �ÀÀ " #x f(x) f( x) 2 2f( x) 0, x R$ & $ $ & ' ( ) . � Â��* �+ À

�ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ Á �� �À À�Á À!�� À�-.

4.41 ** .�Á ÀÂÀ � ��Á��À��� f : R R× /À À�Á

���� À� ! À f(x y) f(x y) 2f(x) f(y)0 0 1 2 0 /À ¿�3 x,y R4 . � Â��* �+ À �ÀÀ: 5) 6 fC *À�� ÀÂÀ Â�� À� 7 80,0

9) � f �ÁÂÀ ��ÀÀÂ

%) : ;f x f(x)< /À ¿�3 x RÜ

4.42 5Á À� ! À f(x y) f(x) f(y)= î = , x,y R> ? ÁÂ

* �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ,

4.43 5Á À� ! À f(x) f(y)f(x y)

1 f(x)f(y)

@@ A B , /À ¿�3

x,y R4 Á * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ � �ÀÀÀ,

4.44 C�À� ��Á��À��� f : R Rå � ���� �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ /À À�Á ���� À� ! À �ÀÀ D EF G2f x x 2 2xH I /À ¿�3 x RÉ . � �� �À À�Á

À!�� À�-

4.45 .!� ��ÁÂ�À,� À- f ,g : R RJ � ��Á ÀÀ- À*À�À�À -: K L K L K L2f x f x f xM N ¿ÂÀ

O P O P O P2g x g x g xQ R R /À ¿�3 x RÉ . � * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ ��ÀÀ ¿ÂÀ � g � �ÀÀÀ,

4.46 .�Á�ÁÀÂÀ �À ��ÁÂ�À,� À- f ,g S

f gA A RT U � Â��* �+ À �ÀÀ: 5Á �À f ,g �ÁÂÀ � �ÀÀÀ�- À�À � f gV �ÁÂÀ � �ÀÀÀ, ÁW �À f gX , f /g , ( g(x) 0Y ) �ÁÂÀ ��ÀÀ -

Z[\]^] _`ab\

4.47 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á ��ÁÂ�À,-

� �Á: 5) d e 1 xf x e 3fg h i jx 1, 2k l

9) m n m nf x 3ln 1 2x 1o p p p , q rx 2, 1/2s t t

4.48 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á ��ÁÂ�À,-

� �Á: 5) u v x 1f x

x 1

wxy

z {x 2, 5|

9) } ~2

6f x

x 4 2�

� � � jx , 2k l� l

4.49 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á

2x 2 �� 2 x 3f(x)

x 1 �� 3 x 5

� � � ��� � � � ��� , g(x) 3 2 x 1� � l

4.50 � �� �À À �!Á�c ÀÀSWÁ À�Á

f(x) � 1log 1

x

� ��� �� �, � �

x

x 1

5 eg x

5 e ����

2

2

x 2xf(x)

x 4

� �

4.51 ¡À� � ,S ¢Â�Á ÀÂÀ � /�¢À¿, �Â���ÀÂ-

�� À�- ��Á��À���- £ ¤y f x¥ . � �� �À À� �c,3�- À�Á �À¦WÁ À�Á +À�W� �Á:

5) § ¨f x 2© ª

9) § ¨f x 0©

%) § ¨f x 1©

.) £ ¤f x 2¥

«) § ¨ ¬ ­f x ®, ® 3,3© ¯ ª

Page 19: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

19 ° ±²³´µ¶² - ·´¸¹³º »´¼½¶¾¶¿¹³º ÀÁ¸´Âò½ÄÅ

http://users.sch.gr/mipapagr

Z[\ÆÇÈÉ ZÊ\ËÌÍÎÈÇÏ\

4.52 � ¿¢��� À À� ��Á��À��� f �- �!Á3 -�� *!� , � �À���À���Á (S� ÀÂ�À�ÀÀ¿WÁ) ��ÁÂ�À,-

� �Á, ÂÁ:

xf(x) xÐ Ñ Ò Ñ Ò2 2g(x) ln x 1 ln x 3Ó Ô Õ Ô

Ö ×2k(x) ln(x 1) ln xØ Ù Ú

4.53 � ��À�À � � ��Á��À��� f gÛ ÂÁ

5) f(x) 1 x� l ¿ÂÀ g(x) Ó ln x

9) f(x) � x 1 ÜÝ x (0,2)

x 1 ÜÝ x [2, 4)

Þ ßàá â ßã

, g(x) x 1� l

4.54 5Á ä å 2f x 1 xæ ç , è ég x 3 x 2Ó Õ Á ���-

� À ÀÀ- ��ÁÂ�À,� À- f gÛ ¿ÂÀ g fÛ

4.55 5Á f(x) � 2ln(x x 1)ê ê ,

g(x) Ó ë ìx x1e e

2íî Á Â��* �+ À �ÀÀ

(f g)(x) ïð (g f)(x) xñò , x Ró ô

4.56 � �� �À À� � *�� ��À�S�! À�- ��Á��À�-

��- h , ÂÁ h f : [0,5) Rõ ¿ÂÀ 2h(x) f(x 4) f(x 1)ö ÷ ø ø

4.57 � �� 3 � � À!��- SÀÂ- ��Á��À���- f � ¿�3 SÀ Â�� ÀÀ- � �À�ÀW� À-: 5) 5Á ù úf ln(2x) x 3û ü , x eý þ ,

9) 5Á 2(f g)(x) x x 1ÿ � �� ¿ÂÀ g(x) x 1Ó Ô

%) 5Á (g f)(x) ïð 2��� x ¿ÂÀ 2g(x) x�

4.58 C�À� �À ��ÁÂ�À,� À- ff : A R� ,

gg : A R� S � f gf A A . � Â��* À À�!Á �À ���À�� À-: A) 5Á � f �ÁÂÀ ��ÀÀÂ, À�À ¿ÂÀ � gof �ÁÂÀ ��ÀÀÂ.

B) 5Á � f �ÁÂÀ � �À�*À¿,, À�À ¿ÂÀ � g fÛ �ÁÂÀ � �À�*À¿, S À�Á �*À � ���*�.

4.59 � Â��* À À � �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À���

��� Á À¿ÂÁ���À � À� � ��� f(x) f(2 x) xÔ Õ Ó ,

x Ró ô

4.60 5Á è é 2f x x x 2Ó Ô Ô ¿ÂÀ � � 2g x x x 2 � �

Á Â��* �+ À �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À��� h S hA R� , W�À Á À� ! À � � � � � �h f(x) h g(x) g f(x)� �

4.61 � �� �À À� ��Á��À���- � �f : 0, R�� �

/À À�Á ���� À� ! À �ÀÀ � �x

f ln x f x 1e

� � !" #$ % /ÀÂ

¿�3 x 0& .

4.62 5Á ' ( 2xf f(x) e) /À ¿�3 x R* , Á * �+ À �ÀÀ � f �Â��Á À À�Á ÀÀS, 2014

4.63 5Á À� ! À �ÀÀ + ,f f (x) 2x 1- ./ /À ¿�3 x R* À�À Á ���c�/�� À À� 0 1f 1

4.64 � ����*À��À�3 � � À!��- À�- f :

5) 5Á (1 x)f(x 1) f(1 x) x 12 2 3 2 3 4 , x R*

9) 5Á À� ! À 212f(x) f x

x

5 67 89 :; <, x R *ó ô

4.65 %À À���Á��À��� *f : R R= À� ! À �ÀÀ f(y) 1f(x y) f(x) e >? @ A x, y RB .� Â��* �+ À �ÀÀ

f(x) 1f(x) e CD ¿ÂÀ 1 f( x)f(x) e E EF /À ¿�3 x R* ¿ÂÀ Á �� �À À�Á f

4.66 5Á f(x) GHx 3

2 x

IJ

Á �� 3 � � K Rô , ÂÁ

À� ! À: L Mf f (x) xDN , x 2O

4.67 � �� 3�!Á �À ��ÁÂ�À,� À- f : R RP ÂÁ

/À ¿�3 x, y RB À� ! À �ÀÀ Q R S T S Tf x f y f xy x y xyU U V U U

Page 20: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4W XYZ 2013 – 2014 20

[. \]^]_`a_b`cdae

5 fghgighjk

5.01 «+ ÀÂ�À À� S�Á�À�Á� À�Á ��ÁÂ�À,� �Á

5) f(x) G 5 5 xl l 9) m nx

x

e 1f x ln

e 1

op

q

%) r s r s3

f x x 1 2t u u .) v w 4 xf x e 3xy z

«) f(x) Gx 3

x 2

{|

}) f(x) G4x 3 ~� x 2

1 2x ~� x 2

� ��� � ��

5.02 .�Á�ÁÀÂÀ �À ��ÁÂ�À,� À- f ¿ÂÀ g S

� � x 5 3f x e x x x 1� � � � � ¿ÂÀ

� � 3g x 2 x x ln x� � � � . � c�3�!Á �À ÂÁÀ�W� À-

� �f x 0� , � �g x 0�

5.03 5) 5Á � �x x

3 4f x 1

5 5

� � � �� � �� � � ��   �  , x R¡ À�À

Á Â��* À 3 � �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á. ¢3�Á���Â.

9) � c�3 � � ÂÁ����� x x x3 4 5¢ £ .

5.04 N c!� À ÀÀ- ÂÁÀ�W� À-:

5) ln x 1 x¤ ¥ 9) x 1 xe

1 x

¦§

¨

5.05 %À À� ��Á��À��� f : R R© À� ! À �ÀÀ: ª «52f (x) f x 3x¬ ­ /À ¿�3 x R¡ .

5) � Â��* �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À Â!-

+���Â

9) � c�3 � � ÂÁ����� ® ¯2f x x 1 1° ± ²

5.06 � Â��* �+ À �ÀÀ � ��Á��À���

ª « xf x 2 x­ ¬ . �ÁÂÀ /Á����- Â!+��� ¿ÂÀ Á c!� -

À À�Á ÂÁ����� 23x x 6 2x 22 2 x 5x 6³ ³´ ´ µ¶

5.07 .�Á ÀÂÀ �ÀÀ � ��Á��À��� f ��À�S�Á� ¿ÂÀ �ÁÂÀ /Á,�À Â!+��� �À� � �0,·¸ . � c!� À À�Á

+����� ¹ º ¹ º » ¼ ¹ º2 3f x f x f x f x½ ¾ ½

5.08 6 ��Á��À��� f : (0, ) R¿À Á � À À�Á À*À�-

À�À ª «  Ãx

f x -f y =fy

Ä ÅÆ ÇÈ É

/À ¿�3 x, y 0Ê . «�À�c��Á

À� ! À �ÀÀ «ÂÁ Ë 1Ì À�À Í Îf Ï 0Ð ». � * �+ À �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á. Â!+��� �À� � �0,·¸

5.09 C�À� ��ÁÂ�À,� À- f ,g S ¿�ÀÁ� �!Á�c�

��À�S�! À� Ñ ÒÓ,Ô , �!Á�c� ÀÀSWÁ À� Ñ ÒÓ,Ô W�À

Õ Ö Õ Ög x f x× , Ø Ùx Ú,ÛÜ Ý ¿ÂÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À ¢3�-Á���Â. . �+À �ÀÀ Þ ß � �f g(x) g f(x)à Ø Ùx Ú,ÛÜ Ý

5.10 5Á f : R Rá � �ÀÀÀ, ¿ÂÀ /Á����- ¢3�-Á��� �À� R S f(f(x )) x­ /À ¿�3 x R¡ , ÁÂ

* �+ À �ÀÀ f(x) xâ ã , x R¡

5.11 � Â��* À 3 � �ÀÀ * Á ���� À ��Á��À���

f : R R© , /Á,�À ¢3�Á��� S À�Á À*À�À�ÀÂ

2 22f (x ) 2xf(6x 8) 4 3x, x Rä ä å ä æ ç

5.12 6 ��Á��À��� f �ÁÂÀ /Á����- Â!+��� ¿ÂÀ

/À ¿�3 x R¡ À� ! À �ÀÀ: 2x 3f(x)f x

5

èé ê ëì íî ï, ÁÂ

Â��* �+ À �ÀÀ f(x) xð , /À ¿�3 x R¡

5.13 5Á f : R R© �ÁÂÀ � ��Á��À��� À�� � ,-

SÂÀ�-, Á �� �À À�Á S�Á�À�Á� À�- ��Á��À���-

� � � �g x f f(x)ñ �À� ò ó1,0ô

Page 21: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

21 õ ö÷øùúû÷ - üùýþøÿ �ù��û�û�þøÿ ��ýù��÷���

http://users.sch.gr/mipapagr

5.14 %À À� ��Á��À��� f : R R© À� ! À �ÀÀ � f xf x 2e x 2� � � /À ¿�3 x R¡

5) � Â��* À À � �ÀÀ � f �ÁÂÀ /Á,�À Â!-

+���Â

9) � S c À�3 � �- ���- À� S�Á�À�Á� � ��-

Á��À��� ª « xg x x 2e­ ¬

%) � ���c�/�� À À� � �f 1

%) � �� �À À� �����S� À�- f

5.15 C�À� ��Á��À��� f , ��À�S�Á� �À� R , ���

�ÁÂÀ /Á,�À S�Á�À�Á� ¿ÂÀ � /�¢À¿, À�- �Â��-

�ÀÂ�� *À�� ÀÂÀ Â�� À ��S � � �1, 1� � ¿ÂÀ � �1,2

5) � Â��* �+ À �ÀÀ �ÁÂÀ /Á,�À Â!+���Â

9) � c!� À ÀÀ- ÂÁÀ�W� À- � �f 2x 1 1� � � ¿ÂÀ

� �f 1 x 2� à

.) � c!� À À�Á +����� � �2f x 2�

«) 0�� - ��¦ - S��� � Á � À � +�����

Õ Öf x 2014�

5.16 5) � Â��* �+ À �ÀÀ � ��Á��À���

� � 5 3h x x x x� � � , x R¡ � Â! / ,�! Â!+���Â.

9) C�"� �� ��"��� f ��!�S� � �"� R W�"  !� ! ! ª « ª « ª «5 3f x f x f x x¬ ¬ ­ /! #�3 x R¡ .

� Â��* �+ " �"! � f � Â! / ,�! Â!+���Â

%) � c!� " "� +����� $ %h x 3& #Â! Â

'�(c(/�)*"* "( + ,f 3

5.17 C)"� � )' ��"�)� - .f : 0, R/1 2 "�"(!Â

W)"* 3 41

f f x 0x

5 6 7 89 :; < /! #�3* x 0= . >*��(!?* "�

)' ��"�)� - . - .g x f h(x)@ ��(' A B1 x

h x1 x

CD

E. F�-

"*: G) � Â�(H*�+*"* �"! � g *� Â! �*�!"",.

I) N Â�(H*�+*"* �"! � h *� Â! / ,)! ¢J�- (') )"( K L1,1M

N) � O!)*"* "� *+�)�)�

P Q P Q P Q P Qx 2x 11x 111xh e h e h e h eR S R )"( K L1,1M

TUVWXYXY

5.18 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��

"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-

Z [\ x 1 2x 3] ^ _ g(x) 4 x 2ñ � �

� �43t(x) 4 x 4x� ` ` a b 2r x x 4x 5c d e

f : [ 1, 4) Rf g ?* f(x) 2x 1h i

j kx 1 lm x 2

n x3x 1 lm x 2

o pqr s t uv

5.19 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��

"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-

G) w x w x y zf x 1 2ln x 1 , x 2,3{ | | }

I) f : [ 1, 4) Rf g ?* f(x) 2x 1h i

5.20 � ��*J(! " Â#��"Â" #�J* ?!Â- Â��

"!- �Â�Â#�"� )' Â�",)*!-

G) a b 2f x x 4x 5c d e

I) ~ � 2x xf x e 2e 3� � �

5.21 G)� H*�+*"* �"! 1x 2

x� � Â x 0=

I. �)"� � � � �x x

f(x) 9 80 9 80� � � � . N �(H*�-

+*"* �"! f(x) 2� /! #�J* x R� #Â! �"! � f �Â-

�(')!��*! *O� !)"(

5.22 �)"� f : R R� )' ��"�)� ?* f(0) 1�

G) � �(H*�+*"* �"! � )' ��"�)�

2

2f(x)g(x)

1 f (x)�

� � *! ?�/!)"� "!?, "( 1 .

I) � ��*�"* "� ?�/!)"� "!?, "�- )' ��"�-

)�- x

2x

2e�(x) 2013

1 e� �

5.23 � ��*J*� ( � R� , �)"* � )' ��"�)�

2f(x) x (� 1)x 2ñ � · · Â � *! *O� !)"( "( 2�

Page 22: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 22

�. � ¡ ¢£¤¢¥£¦§¤¨

©ª«¬VX­®­ 1:1

5.24 � *+*"Â)"*� �(!*- Â�� "!- �Â�Â#�"� )'-

Â�",)*!-, *� Â! 1 1¯ #Â! �(!*- � !: G) ° ±f x 2 ln x 3² ³

I) ´ µ x 1f x 3e 2¶· ¸

N) ¹ º ¹ º ¹ ºf x x x 3 x 4 2004ñ � � ·

5.25 .� *"Â! � )' ��"�)� f : [1, ) R»¼ ½ /!Â

"� (�(� !) !*! 2f(f(x)) 2x 3x 2ñ � · , /! #�J* x [1, )¾ ¿À . � H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯

5.26 .� *"Â! �"! � )' ��"�)� f : R R� *� Â! 1 1¯ . � Â�(H*�+*"* �"! � �

Á Â Á Â Á Â3F x f x 2f x 3Ã Ä Å *� Â! 1 1¯ .

5.27 G � )' ��"�)� f : R R� � *! "� !H!�"�-

"Â Æ ÇÆ Ç Æ Ç 2003f f x 3f x x 0È É ÊË , x R� Â H*�+*"* �"! *� Â! 1-1

5.28 � Â�(H*! "*� �"! H* *� Â! 1 1¯ � )' ��-

"�)� f  !) !*! Ì Í2 26f x f (x) 9Î Ï x RÐ Ñ

5.29 .� *"Â! � )' ��"�)� Ò Óf x 2 x ln xÔ Õ Õ

G) N ?*O*",)*"* "� ?( ("( � "�- f

I) � O!)*"* "� *+�)�)� Ö × Ö ×f x f 1Ø

N) � O!)*"* "�  �)�)� x ln x 1Ù Ú

5.30 � O!)*"* "!- *+!)�)*!- . G) x 1e ln x 2 xÛ Ü Ý Þ I) 7 5 3x 2x 3x x 6ß ß ß à

5.31 NÂ O!)*"* "� *+�)�)�

á â ã ä á â442 2log å 1 log 5å 5 5å 5 å 1æ ç ç è ç ç æ

5.32 .� ( "Â! (! )' Â�",)*!- f ,g : R Ré ?*

ê ë 2f f (x) x 5x 9ì í îï #Â! ð ñ ð ñ2g x x xf x 3ò ó ô ,

x RÐ Ñ . N Â�(H*�+*"* �"! õ öf 3 3÷ #Â! �"! � g

H* *� Â! 1 1¯

5.33 .� *"Â! � ê ë ø ù2f x 2x ln x 1ì î î , x 0ú

G � ?*O*",)*"* "� ?( ("( � "�- f

I � O!)*"* "� *+�)�)�:

û üý þ

22

4

3x - 2 + 12 x - 3x + 2 = ln

x + 1

ÿ �� �� �� �

)"( � �2,��

5.34 � ��*J*� ( R �)"*  *� Â! 1 1¯ �

)' ��"�)� f(x) �24 x � x 0

x � 8 � x 0

� � ��� � � ���

5.35 >*��(!?* "!- )' Â�",)*!- f :� R� #Â! g :� R� ,  Â�(H*�+*"* �"!  B f(A)� #Â! �

g f� *� Â! 1 1¯ "�"* � g *� Â! 1 1¯

5.36 �)"� )' ��"�)� f : R R� ?* )! (O( "!-

?� "( R #Â! 3f (x) 3f(x) x 0� � � , x R

� Â�(H*�+*"* � f  "!)"��!*"Â! #Â!  ��*�"* "Â

#(! � )�?*� "� fC #Â! 1fC "

5.37 G *� Â! yxx e y eß à ß , x, y R# $ "�"* G) � Â�(H*�+*"* �"! x y% .

I) � O'J*� � *+�)�)� 22 3x x 2x 3x 2 e e &� � � �

5.38 � Â�(H*�+*"* �"!  !) !*! '( 3 3e e ) *+ , + "�"* - ./ ?* 0,1 RÑ

5.39 G x

x2 4f(x) 2

3 3

2 34 5 67 89 : "�"*:

G) � H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯

I) � O!)*"* "� *+�)�)� x x x3 2 4 3 3 6; < ; = ;

5.40 G > ? x 3f x e x x 1à ß ß ß "�"*

G) NÂ H*�+*"* �"! *� Â! 1 1¯

I) � O!)*"* "� *+�)�)�: 2x -x 2 3 2 x+3 3e +(x - x) + x - 2x = e +(x + 3) + 3

Page 23: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

23 @ ABCDEFB - GDHICJ KDLMFNFOICJ PQHDRSBMTU

http://users.sch.gr/mipapagr

VWXYZX[\]^

5.41 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- 3f(x) x 1� �

5.42 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- _ ` _ `2f x 2 x 3a b c , x 3d

5.43 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- f(x) 5 x 2e f g

5.44 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

xf(x) log 3 10h i

5.45 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

f(x) j3x

3x

3 e

3 e

ßÎ

5.46 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

f(x) j 2x 3.

x 4

kk

5.47 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�-

)�- xf(x) log

1 xl

m

5.48 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�-

)�- xf(x) ln(2 e ) x� � �

5.49 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�- 3 2f(x) x 3x 3x 2� � � �

5.50 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

2

x 1 , x 0f(x)

9x , x 0

n opqr s tqu

5.51 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

xf(x)

1 xv w

5.52 � ��*�"* "�  "�)"�(!� "�- )' ��"�)�-

x y2f(x) ln x 1 xz { |

5.53 � ��*�"* " #(! � )�?*� "� 1fC " fC Â

f(x) j 1 xÎ , } ~x 1,0� �

5.54 �)"� )' ��"�- f �)"*  !) !*! f(f(f(x))) 2x 7� � /! #�J* x R . .� *"Â! Â#�?� �"! f(1) 3, f(3) 9� � . � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1¯ '

#Â! Â O!)*"* "� *+�)�)� 1f (x) 9� � .

5.55 N! "� )' ��"�)� f : R R� ?* � �f R R�

!) !*! �"! 3f (x) 3f(x) x 0� � � , /! #�J* x R . �Â

Â�(H*�+*"* � f  "!)"��!*"Â! #Â!  ��*�"* "�

1f�

5.56 G /! "!- )' �",)*!- f , g (�!)?� *-

)"( R, '��� (' (! )' �",)*!- � � 1f g

�� #Â!

� � 1g f

�� ,  Â�(H*�+*"* �"! '��� (' #Â! (! 1g� ,

1f� Â "�)"(! Â.

5.57 �)"� � f ?* 3f(x) 2x x 2� � � .

G) � Â�(H*�+*"* �"! � f  "!)"��!*"Â!. I) � O!)*"* "� *+�)�)� 1f(x) f (x)�� .

N) � O!)*"* "�  �)�)� 1f (5x 6) 1� � � .

5.58 �)"� � )' ��"�)� 3f(x) x x 2� � �

G) � Â�(H*�+*"* �"!  "!)"��!*"Â! I) � O!)*"* "!- *+!)�)*!- f(x) 12� , 1f (x) 2� � �

N) � ��*�"* " #(! � )�?*� "�- 1fC " ?* "('- �-

+( *- #Â! ?* "� *'J*� y x�

.) � O!)*"* "� "� *+�)�)�

2 3 3 2(2 �� x) �� x �� x ��x 2� � � � � #Â! "!-  !)�-

)*!-: 1f (x) 3�   , #Â! 1f (x 1) x 5� � ¡ �

Page 24: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4¢ £¤¥ 2013 – 2014 24

¦. §¨©¨ª«¬ª­«®¯¬°

6 ±²³´µ²¶

6.01 N! "� )' ��"�)� f : R R� !) !*! �"! · ¸¹ º» ¼½ ¾¿ ÀÁÂÃ

f f f ... x ... 2x 1Ä ÅÆÇÇÈÇÇÉ

 ��*�"* "( Ê Ëf 1

6.02 >*��(!?* "!- )' Â�",)*!- f ,g : R RÌ �(' *� Â!  "!)"��Í!?*- #Â! !) !*! f g g fÎÏ Ï Â Â�(H*�+*"* �"!: G) 1 1f g g fÐ ÐÑÒ Ò I) 1 1 1 1f g g f� � � ��Ó Ó

6.03 .� *"Â! � 1 1Ô )' ��"�)� f : R (0, )Õ Ö× /! "� (�(� !) !*! �"! f(x y) f(x) f(y)Ø Ù Ú /! #�J*

x, y RÛ . � Â�(H*�+*"* �"!: 1 1 1f (xy) f (x) f (y)Ü Ü ÜÝ Þ , x, y f(R)ß

6.04 �)"� � )' ��"�)� f : R R� ?* )! (O( "!?� "( Ê Ë1,�� #Â! /! #�J* x Rà !) !*! 2 2xf (x) 2f(x) e 1� � � . G) � ��*�"* "� f

I) � H*�+*"* �"! � f *� Â! "1-1" #Â!  ��*�"* "�  "�)"�(!� "�-.

6.05 �)"� )' ��"�)� f : (0, ) RÖ× Õ ?* "� !H!�"�"Â: á â ã ä xf x -f y =f

y

å æç èé ê

/! #�J* x, y 0ë G � *+�)�)�

ì íf x 0î � *! ?( ÂH!#, ���Â, "�"*

G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! 1 1Ô

I) � O!)*"* "� *+�)�)� ï ð ñ ò ñ ò ï ð2 2f x f x 3 f x 1 f x 1ó ó ô ó ó ó

6.06 N! "� )' ��"�)� f : R R� !) !*! �"! õ ö Ê Ë õ öf x y f x f y� � � , /! #�J* x, y RÛ .

.� *"Â! *�!O�( �"! !) !*! � ���"Â)�: « G x 0÷ "�"* ì íf x 0ø » .

G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! �*�!"", #Â! / ,)! Â!+(')Â

I) � O!)*"* "� *+�)�)� ù ú ù ú û ü2 2f 4x 2005 f 4x 2005 2f 8x 4ý ý þ ÿ þ

6.07 H )' ��"�)� f : R R� *� Â! / ,)! ?( �"( � #Â! � fC H!�� *"Â! Â�� " )�?*� � �A 5,9 #Â! Ê ËB 2,3

"�"*: G) � Â�(H*�+*"* �"! � f *� Â! / . Â!+(')Â

I) � O'J*� � *+�)�)� � �1 2f 3 f (x 2x) 9�� � �

6.08 N! "� )' ��"�)� f : R R� *� Â! / �)"� �"! � � f xe f x x� � /! #�J* x Rà

G) � H*�+*"* �"! � f *�� � �"�)"��Í�?�. I) � ��*�"* "( Ê Ëf 1 .

N) N O!)*"* "�� *+�)�)� x 4 2x 1e e x 5� �� Ù Ø

6.09 � �(H*�+*"* �"� � fC "�- � �5x 2

f x2x 5

��

�, � *� �+(� )'??*��� - ��� y x�

Page 25: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

25 � ����� � - !�"#�$ %�&' ( )#�$ *+"�,-�'./

http://users.sch.gr/mipapagr

6.10 �)�� �� �)()0*O�- 0 � (+'/���( ���/��( 1 2345 34=35 6//6/� ??��7 86 0!0O7 ?6 0��� 2 0 �

�8�� ��� ˆ9:; < (rad)� .

A) � H6�+6�6 ��� �7 6?� H�� �7= AB> 6�� � Ê Ë Ê Ë? @ 4 1 ABC@ DE@� � , F

0 G2

H H

I) G� � /��� I ?6� �JOO6� � 8�7 K��7, 8!?!�� ?6 �� 8=�JK��8� L MN t

O f t2 4

P P Q , 0 t 2FH H , �

60!KJ86�6 �7 6?� H�� R 86 8=�JK��8� ?6 �7 K��7, � �K6��6 86 �7� K7��0, 8��/?, �7 �K�/��7 ST> 6�� � �8��O6=K7 0 JU- 0 � �7 6?� H�� �7= �� 8��/?, 606���.

6.11 V) V� f /�. !+7=8 8�7 R 0 � ox RW , ���6 X Y X Yo o o of f(x x f x x� Z �

B) � �7H6�+6�6 ��� � 8=�JK��8� [ \34x 1

f x3

]� ���8�K�!6� �, � �K6��6 ��� 1f^ 0 JU- 0 � � 07��J

8�?6� ��� fC 0 � 1fC _ .

6.12 `� �� 8=�JK��8� f : R R� �8 !6� ��� f(x y) f(x)f(y)� � /� 0JJ6 x, y Ra 0 � =�JK 6� b Rc , U8�6

f(d) 0e . � �7H6�+6�6 ���: V) f(x) 0f /� 0JJ6 x Rà 0 � f(0) 1g

I) f( x)h =1

f(x) 0 �

f(x)f(x y)

f(y)] � , x Ri j

`) kf(Cx) f (x)� /� 0JJ6 l mn 0 � x Rà

6.13 *.��6� � � 8=�JK��8� f : R R� /� ��� 7�7� �8 !6�: x

2

3ef(x)

2 f (x)o

p, /� 0JJ6 x Rà

V. � H6�+6�6 ��� f(x) 0f /� 0JJ6 x Rà .

I. � H6�+6�6 ��� � f 6�� � /��8��- !+7=8 .

`. � q!86�6 ��� ��8�8�: ln f(x) 0r .

6.14 * .��6� � � 8=�JK��8� f : R R� /� ��� 7�7� �8 !6� ��� s t 3f f(x) xu /� 0JJ6 x Rà .

V) � �7H6�+6�6 ��� � f 6�� � ���8�K��?�

I) � �7H6�+6�6 ��� v w [ \3 3f x f x�

`) V� 6�� � Ê Ëf 8 27� � �7H6�+6�6 ��� x yf 2 3z

.) V� � 8=�JK��8� f 6�� � /�,8� !+7=8 � q!86�6 ��� 6+�8�8� { |f x x} .

~) � �7H6�+6�6 ��� � � � � � �3 3f 1 f 1 f 0� � �

6.15 �8�� � 8=�JK��8� � � � �f : 0, 0,�� � �� ?6 Ê Ëf 1 1� 0 � � 8=�JK��8� � � � �g x xf x 1� � � 7�7� 6�� �

/��8��- !J��7=8 .

V) � H6�+6�6 ��� � f 6�� � /��8��- !J��7=8 .

B) N q!86�6 ��� 6+�8�8� � � � �f x ln e x 0� � �

`) � q=J6� � 6+�8�8� [ \ v w v w v w7 5 9f x f x f x f x� � �

Page 26: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 26

�. ����������� �¡

¢£¤¥ ¦§¨¥£©ª¦«¬¨

7 ­®¯­ °±­ X²

7.01 � =�7q7/�86�6 � �³�

V) 2 3x 1

2 3lim

x 1 x 1´µ ¶·¸ ¹· ·º »

¼) ½ 1

x 1

¾x (¾ 1)x 1lim ¿À ¾ Á*

x 1

Â

ÃÄ Å Å

ÆÄ

7.02 � =�7q7/�86�6 � �³�

V) x 2limÇÈ

3 6 x x 6

x 2

É É ÊÊ

¼) 3 2

x 0lim x xË

Ì

`) 2

x 9

x 81lim

2x x 6x 3 x 9ÍÎ

Î Ï Î

7.03 � =�7q7/�86�6 � �³�

V) x 1limÐ

3 2 3x 2 x 1

x 2 x 1

Ñ ÒÑ Ò

¼) x 1limÐ

2x 3 x 4x 3

x 1

� ] ] �]

7.04 � =�7q7/�86�6 � �³�

x 1limÓÔ

2x 1 x 1

x 1

Õ Õ Ö

Õ Õ,

x 1

x 1 x 1lim

2 x 1×Ø Ù ØØ Ø

7.05 � =�7q7/�86�6 �7 x 0lim f(x)Ú

x 2 x 2ÛÜ x 0

f(x) 4x0 ÛÜ x 0

Ý Þ ß ßàáâ ã

á âä

7.06 � =�7q7/�86�6 �7 x 0

6x 3åæxlim

x 2åæxç]�

7.07 � �³6��6 �7 èé2

1lim êëì

íîïìð

ñ òóô õö ÷

7.08 ¼) 2 2

2x 0

åæ x 2øùú x 2lim

x 4 2ç] �

� ]

7.09 � =�7q7/�86�6 � �³�

V) x 1

x 1lim ûü 1

x 1 xýþ ÿ�� �� � �

¼) x 1

1 x 1lim �� �

1 x 2´·µ ¶

¸ ¹· º »

7.10 � =�7q7/�86�6 � �³� :

V) �

x 3

� �xlim

x 1 2 � �

¼) x 0

2x ��xlim

���x 1 ���x�´··

7.11 � =�7q7/�86�6 � �³� :

V) � �

x 1

åæ x 3 2lim

åæ(x 1)ç

� ]

]

¼) � �2

2x 0

�� �� xlim

x�

`) � �

2x 0

1 ��� 1 ���xlim

x´· ·

7.12 � �³6��6 ( � =��³ 7=�) � �³�

x 0limÐ

1��x ��x

!"# $% &

2

2x 0

1x '(

xlimx x) *

+ ,3

2

x 0

x 7lim x 9 3 -.

x/0 12 344 56 78 98 96 7: ;< =

7.13 � �³6J6� 7 > N? �

x 0

@Ax @A2x ... @ABxlim 28

xCD D D E

7.14 V� x 0limÐ

f(x)2

xE � �³6��6 �7

x 0limÐ 2 2

xf(3x)-f(-x) FG2x

3x FG xH

Page 27: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

27 I JKLMNOK - PMQRLS TMUVOWOXRLS YZQM[\KV]^

http://users.sch.gr/mipapagr

7.15 V� x 2lim g(x) 7_` a , � �³6��6 �7

2

2x 2

2 g(x) g(x) x xf(x)lim

x x 4bcd d e e

d

7.16 V� x 1

f(x) 5lim 0

f(x) 2fg hi � �7j6�+6�6 ���

x 1lim f(x) 5_ a k

7.17 � �³6J6� �7 l mx 1lim f(x)g(x)ç

n ox 1 x 1

g(x)lim f(x)(x 1) lim 3

x 1p pq rs t tu vsw x

7.18 �8�� 8=��³��8� f y6 x 0

f(x)lim 3

xz {

V) � j6�+6�6 ��� x 0

f(vx)lim 3v

x| } , v 0~

¼) V� 2 2f (vx) �� x 2f(vx) ��x� � � /� 0�J6 x R�

� j6�+6�6 ��� 3v 1�

7.19 � �7j6�+6�6 ��� � � �2

x �lim f x 0� � , ���6

� �x �lim f x 0ç

� .

7.20 � 8=��³��8� f 6�� � �³�� 8�7 R 0 �

�8 !6� ��� � �x 3lim f(x) 2x 5 4�� � � � . � �³6��6 �7

x 3lim f(x)_

7.21 V� � �2

x 3lim 12f(x) 4f (x) 9� � � , � �³6J6� �7

x 3lim f(x)_

7.22 V� x 2

f(x) 4lim 1

x-2�� � 0 � �8 !6�

� � � �f x f 1 x  ¡ , x R� �³6��6 �7 x 1lim f(x)_`

7.23 � �³6J7!� � ¢ £x 1lim f(x)ç

0 � ¤ ¥x 1lim g(x)¦ , �

l mx 1lim f(x) g(x) 5ç

§ � 0 � l mx 1lim 2f(x) g(x) 4ç

¨ �

7.24 V� /� �� 8=��³��8� f : R R© 6�� �

x 1limª

f(x) x2

x-1

« ¬ , � �³6��6 � �³�

x 1limª 2 2

f(x) 1

f (x) x

­®

0 � x 1limª

2

2

f (x) f(x) 2

f (x) 3 2x

¯ ¯° ¯

7.25 A� ± ² ± ²2 2f x 2f x ³´µ x 0¶ · ¸ /� 0�J6 x R� � �7j6�+�6 ���

x 0lim f(x)¹º =1.

7.26 � 8=��³��8� f � 6� �³ /y ��0� �³�7 8�7

ox 2� 0 � �8 !6� ± ² ± ² 2x 2 f x x 7x 10¶ ¸ ¶ · /�

0�J6 x R� . � �³6J6� �7 x 2lim f(x)» .

7.27 `� �� 8=��³��8� f : R R© �8 !6� ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½2 2 2 2x 2xf x f x ¾¿ x 2xf x ¾¿ xÀ Á À Á À /�

0�J6 x R� , � �7j6�+6�6 ���:  à  Ãx 0lim f x 0 f 0Ä Å Å .

7.28 V� � f: R RÆ 6�� � �6³����, y6

x 1lim f(x) 2_ Ç � �³6J6� �7

x 0lim[f(x-1)-f(1-x)]_

7.29 V� x 3

f(x) xlim 2

x-3ÈÉ Ê , � �³6J6� �7

x 3lim f(x)»

7.30 �8�� 8=��³��8� f /� ��� 7�7� �8 !6� Ë Ì Í Î Ë Ìf x y f x f yÏ Ð Ï , x, y RÑ .

V) � �7j6�+6�6 ��� � f 6�� � �6³���,

¼) V� �8 !6� ��� Ò Óx 0lim f x 0ç

� , � �7j6�+�6 ���

Ô Õ Ô Õx Ölim f x f ×Ø Ù /� 0�J6 Ú RÛ

`) V� �8 !6� ��� Ü Ýx 0

f xlim 2012

xÈ Ê � �7j6�+6�6 ���

Þ ßx 2

f x 2lim 2012

x 2àá âá

0 � ���

ã ä ã äx 0

f åæ(x) åæ f(x)lim 0

xçè é

Page 28: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4ê ëìí 2013 – 2014 28

î. ïðñðòóôòõóö÷ôø

8 ùú ûüûüýþÿùü�� �ý� ÿ�� ��

8.01 � �³6J7!�( � =��³ 7=�)� �³�

V) x 4

2 xlim

x 3 x 2��

� � ¼)

2

2x 1

x 3 2lim

x 2x 1��

`) x 4

5 2xlim

x x 2x 2 x 4�

� .)

2

x �5 x

lim��x���

~) 2

3 2x 1

x 5x 4lim

x 3x 3x 1ç§ ¨

§ ¨ § &�)

3

3

x 1

x 1lim

(x 1)��

8.02 � �³6J7!�( � =��³ 7=�)� �³�

V) 2x 1

x 1lim

x 2 x 1��

� � ¼)

x 0

x 16 4lim

x x��� �� ! "! "# $

`) 2

x 1

x 5xlim

x x x x 1%'

' ( ' .)

2

x 0

3x 2lim

)*+x 1, -..

~) 2x 1

x 5 x 3lim

x 1 (x 1)�/� �� � ! "! "� �# $

0)2

3x 0

3 2xlim

1 øùú xç 1§

§

8.03 V) V� x 1

h(x)lim

|x 2|ç� §2§ � �³3J3� �4

x 1lim g(x)5

8.04 V� 2

x 1lim (x 4)f(x) 3x 267

8 9: : ; < ;=> ? � �³3-

J3� �4 x 1lim f(x)@A

8.05 V� x 2

2x 3 5lim

f(x)BC D E CF � �³3J3� �4

x 2lim f(x)G

8.06 V� x 1lim g(x) 3H I J � �³3J3� �4

x 1

g(x) 2x g(x) 6 4xlim

x x x x 1KL L M L

M M L

NOPQ RQOQSTUOPVWX YZXQOU[\T]X \U^ _`

8.07 V�

2

ab(cx) cd x 0x

f(x) x x cd x 0

x 2 x

e fggh i jg kg lm

� �³3�-

�3 �4 x 0lim f(x)G /� 0�J3 Ú RÛ

8.08 V� 2

2x 1 no x pf(x)

x x p no x pq rstu v q w xty

�³3��3 �4 x 4lim f(x)G /� 0�J3 z R{

8.09 � �³3��3 �4=- | ,} R~ U��3 : 3 2

3x 1

x (� æ)x (2� æ 1)x 3 ælim R

x 3x 2ç§ § § § ¨ ¨ § � Û

§ ¨�

8.10 � �³3��3 �4 z R{ U��3

2 2x 9

x 5�lim

(x � )%' � '�'

8.11 � �³3��3 � | ,} R~ �

x 1

�x � x 2lim 8

x 3 2�� � �� �

8.12 � �4j3� �3� ��� /� 0�J3 z R{ � �=-

��³���� 2

3 2

x -�x 2f(x)

x -3x 3x-1

¨�¨

j3� � 3� �³ /y ��0�

�³�4 ��4 1 .

N �³3J4!� /� 0�J3 Ú RÛ � �³� :

A) 2

2x 2

x x 6lim

x Úxç¨ §§

B) 2

x 4

x �lim

(x 4)( x 2)��

� �

Page 29: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

29 � ������� - ������ ����������� ���� ¡��¢£

http://users.sch.gr/mipapagr

NOP^ \ZXQOU¤\¤¥ \U^ Q¦TPO^

8.13 � =�4§4/��3�3 � �¨�

V) © ªxlim x x x x«¬­ ® ¯ ¯

°) © ª2 2

xlim x x 3 x«¬­ ® ¯

±) ² ³2 2

xlim x x x 2 2x´µ¶ · · · ·

8.14 � =�4§4/��3�3 � �¨�

V) 2

x

x 2 xlim

x x 2¸¹º» ¼

¼ »

°) x x 1

x 2 x 3x

e 3lim

e 3

½½ ½¾¿ÀÁÁ

±)

2

2x

x 2x 3 4lim

x 2x 5ÂÃÄÅ Å ÅÆ Æ

.) x 0

3 2 log xlim

1 2 log x秨

8.15 � =�4§4/��3�3 � �¨�

V) 2 2x

x 2ÇÈxlim

x x 3ÉÊËÌÍ Í

°) 2

3x

xÎÏÐx ÑÒxlim

xÓÔÕÖ

8.16 � =�4§4/��3�3 �4 x

xx

ln(1 3 )lim

ln(1 2 )×ØÙÚÚ

8.17 � �¨3��3 �4 Û Ü2

xlim ÝÞ x 1 xßàá â ã

8.18 � �¨3��3 �4 2

t

ln(t t 1)lim

ln täåæç ç

8.19 ±� ��� �=��¨���� è éf : 0, Rêë ì �� !3�

í î ï ðx

f xlim l 0,

x ñòó ô õ ö÷ � �¨3ø3� �4

ù úû üx

ln f xlim

ln xýþÿ

����������� ��� �� �����

8.20 V� 3 2( 1)x ( �)x �x 3

f(x) x 1

� � � � �� � �

�¨3ø3� �4 xlim f(x)��� /� 0�ø3 � ,� R�

8.21 V� 2x 2x 3

f(x) -�x-� x 1

� �� � � �¨3ø4�� 4�

� ,� R U��3 xlim f(x) 3! 11��� " #

8.22 V� 2f(x) x 2x 3 $x % & & & � �¨3ø3� �4

xlim f(x)�'� /� 0�ø3 ( R)

8.23 V� 2f(x) x 4 x*+, -./01 2 3 2 y3

0 4,5 67 7 . � �¨3��3 � 8,9 U��3 x

3lim f(x)

2:;< =

8.24 � �¨3ø4�� 4� � ,� R U��3: 2

xlim x 2x 3 >x ? 12@AB

C DE E E E FG HI J

8.25 ±� 0�ø3 K 0L , � =�4§4/��3�3 �4

x -lim� �

x x

x x

M 2 1

M -2 1

# N# ,

8.26 ±� 0�ø3 K 0L , � =�4§4/��3�3 �4

x limO PQ

x x 1

x 1 x

M 2

M 2

��##

8.27 � �¨3ø3� �4 �¨�4 xlim f(x)��� V� R S T 0U U V

W3 X ,Y,Z R[ 0 � 2 2 2f(x) M x 1 ! x 2 \ x 3" # # # # #

8.28 ]��� � ^ _2 2x `

f x lnx

a bcd e fe fg h i 0L � �¨3�-

�3 � �¨� j kx 0lim f xl , m n

x lim f xo pq r s

x lim f(x) ln(x)t uv w .

Page 30: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4x yz{ 2013 – 2014 30

|. }~�~����������

8.29 ]��� �=��¨���� f /� ��� 4�4� ����3�: 2 2x f(x) x 2� � � , /� 0�ø3 x 0� . � �¨3��3 �

A) x 2

f(x)-4lim

x 2� � B)

x 2

f(x)-4lim

x 2 2� � �

±) 2

x 2

f (x)-16lim

x 2� � .)

2x 2

f(x)-1 -3lim

x 4� �

8.30 � �¨3��3 � � �x 0lim f x� , � �

x 0limg x� �

� � � � � � � �2 2f x g x 2f x 4g x 5 x� � � � � , /� 0�ø3 x R� .

8.31 V� ����3� ���   ¡   ¡¢ £o

2 2

x xlim f x g x 0¤ ¥ ¦ , ���3

� �4§3�+3�3 ��� ¨ ©ox x

lim f xª « ¬ ­ox x

lim g x 0® ¯

8.32 A� ° ± ° ±2 2f x 2f x ²³´ x 0µ ¶ · /� 0�ø3 x R� , � �4§3��ø3� ���

x 0lim f(x) 1¸¹ º

8.33 V� » ¼2

x 3lim 12f(x) 4f (x) 9½ ¾ ¿ � �¨3��3 �4

x 3lim f(x)À

8.34 Á �=��¨���� f ��3� �¨ /W ��0� �¨�4 ��4

ox 2 0 � /� 0�ø3 x R� ����3�

° ± ° ± 2x 2 f x x 7x 10µ · µ ¶ .°¨3��3 �4 x 2lim f(x)Ã

8.35 � =�4§4/��3�3 �4

2

2x 0

1x ÄÅ

xlimx x¤ ¥

8.36 **]��� � �=��¨���� f /� ��� 4�4� �-

���3� Æ Ç Æ Ç2f x ÈÉf x xÊ Ë /� 0�ø3 x R� . N �4-

§3�+3�3 ��� Ì Íx

f x 1lim

x 2ÎÏÐ Ñ

8.37 .��4�� � 4� �=� ¨�,�3�- f, g, h U��3 �

����4=� x 2

2g(x) 4lim 2

x 2ÒÓ Ô

Ó

ÕÖ(x 2)g(x) f(x) x 2 h(x) 2

(x 2)

�� � � � � �� 0 �

x 2

x 2lim 1

h(x)×Ø Ù 0 � /� 0�ø3 Ú Ûx R 2Ü Ý . � �¨3��3

� x 2lim g(x)Þ ,

x 2lim h(x)Þ 0 �

x 2lim f(x)À

8.38 V�4§3�+�3 ��� 2

x

x ßàá xlim 1

x âãxäåæç èé

8.39 °¨3��3 �4 ê ë2

xlim x ìíx 1 xîïð ñ ñ ò

8.40 � �¨3ø3� �4 x

x óôxlim

x óôxõö÷øù

8.41 � �¨3ø3� �4 x

2úûx üýþ2xlim

xÿ���

8.42 � �¨3ø3� �4 2 2x

x 2��xlim

x x 3���

8.43 � �¨3ø3� �4 2

3x

x��x �xlim

x���

8.44 � �¨3ø3� �4 2

x

x 3lim

3 ��x ���x���

� �

8.45 �� �¨3��3 �4 x

4��xx

3 � !lim

x"#$

% &'( )*+ ,

8.46 �� �¨3�-3 -4 2x

x./x 3012xlim

x 2x 2345

6

6 6

Page 31: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

31 7 89:;<=9 - >;?@:A B;CD=E=F@:A GH?;IJ9DKL

http://users.sch.gr/mipapagr

9 MNOPQPRS MNOSTUVMPWO

9.01 �� �¨3ø3� 4 -��4- -�- �=X3�4�- �=X�¨-�-

��- f �X Y���3Y �-Y 2xf(x) 5x 2 Z[x (x 1)(x 2)\ \ ] \ Ý Ý , x R^ _

9.02 VX x 2

f(x)-2xlim 1

x-2`a b�Y � f c�X�Y �=Xc�,-,

�¨c�-c -4 2

x 2

xf(x)-2x 3f(2)-6xlim

x-2d

9.03 �� ��e§c�+c-c �-Y �X � �=X�¨-��� f c�X�Y �=Xc�,- �-e 0x 1f b�Y Y���cY �-Y f(xy) f(x) f(y)g h /Y� b�øc x, y Ri -�-c c�X�Y �=Xc�,- �-e R

9.04 VX /Y� b�øc x Rj Y���cY �-Y k l

2 2 2mn x 2xf(x) f (x) mn x x x 2f(x)� � � � � .�� ��e-

§c�+c-c �-Y � f c�X�Y �=Xc�,- �-e ox 0Â .

9.05 ±Y� -Y- �=X�¨-,�cY- f ,g : R Ro Y���cY �-Y

p q p q p q p q2 2 2f x g x 2f x 5 4g x rst xu u u v u , x R^ _ .

�� ��e§c�+c-c �-Y eY f, g c�X�Y �=Xc�c�- �-e

ow

x2

 .

9.06 xY� �=X�¨-��� f : R Ry ��cY -�X Y§Y�-�-

-� z { z {5f x f x x| } x R^ _ . �� ��e§c�+c-c �-Y c�-

X�Y �=Xc�,- �-e ox 0Â .

9.07 ** VX � �=X�¨-��� f c�X�Y �=Xc�,- �-e 0

b�Y Y���cY xxf(x) e 1~ � /Y� b�øc x Rj , X� �¨c�-c -e f(0)

9.08 VX � �1

f x ln xx

� � b�Y � 1f� c�X�Y �=Xc�,-,

X� §c�+c-c �-Y � �

� �

1 2

1x 0

f x xlim 1

x f x

��

��

9.09 ]�-� � �

2

3

1 1x �� , �� x �

2 xf x

x x, �� x �

��

� �� � ��

V) �� ��e§c�+c-c �-Y �X � 0� -�-c � f c�X�Y �-

�=Xc�,- �-e ox �� .

°) �� c+c-��c-c -� �=X��cY� -�- f �-e � 0�

9.10 ]�-� f : R Ry Wc   ¡   ¡3 2xf x 3f x e 1¢ £ ¤ ,

/Y� b¥øc x Rj

V) �� §c�+c-c �-Y 2xf(x) e 1¦ § , x Rj

°) �� c+c-¥�c-c �X � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e W�§cX

9.11 ]�-� � �¨X¥¨-��� f : R Ry , /Y� -�X e-

�e�� Y��©cY ª «2 2f(x) 2f(x) ¬­® x 0¯ ° ± , x Rj

V) �� ��e§c�+c-c �-Y f(x) 1 x² ³

°) �� ��e§c�+c-c �-Y � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e

0

±) �� �´c�-c -e �´Ye x 0

1lim xf

¶ ·¶ ·¸ ¹¸ ¹

º »º »

9.12 .�Xc-�Y � ¼ ½

1

x

1

x

2 2, x 0

f x2 1 ¾, x 0

¿À Á

ÂÀÃ Ä

ÁÀÀ ÃÅ

V) �� ¨�eÆe/��c-c -� �´Y�:

Ç Èx lim f xÉ ÊË

, Ì Íx -lim f xÎ Ï

, Ð Ñx 0lim f xÒÓ

, Ð Ñx 0lim f xÔÓ

Õ) Ö�¥´�cY -YW, -e¨ × U�-c � f X� c�X�Y �¨-

Xc�,-;

9.13 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e 0x 1Ø

b�Y Y��©cY �-Y f(xy) f(x) f(y)Ù Ú /Y� b¥øc x, y RÛ .

�� ��e§c�+c-c �-Y c�X�Y �¨Xc�,- �-e R

9.14 ]�-� �¨X¥´-��� f -�-eY� U�-c :

Ü Ý Þ ß Ü Ýf x y f x f y 1à á à â , x, y RÛ . �� ��e§c�+c-c �-Y �X � f c�X�Y �¨Xc�,- �-e ��Wc�e ã Rä , -�-c c�X�Y �¨Xc�,- �-e R .

Page 32: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4å æçè 2013 – 2014 32

é. êëìëíîïíðîñòïó

ôõö÷øù úûüýþÿõ�õ

9.15 �� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����

2

x 1��x

x 2x

��

� ��cY �-e §Y¥�-�W�

1 �,

2 2

� �� �

-e¨Æ¥�Y-

�-eX WY� ´���

9.16 �� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����

22 2 n �0

x x 1 x - 1� � �

� Wc ,� ,n 0� ��cY �b´Y�U-

§©e ´��c-, -Y- � �1 2� , � 1,1� � b�Y Y��©cY �-Y 2 2

21 2

� -�1 1

� � �� �

9.17 ]�-� � c+����� 3 2x �x � 0� � , Wc ã,! Rä , " 0# , $ % 1 0& & ' . �� ��e§cY�-c� �-Y ��cY §©e -e¨Æ¥�Y�-eX ´��c- �-e ( )1,1*

9.18 '+�-� , -f : .,/ R0 , �¨Xc�,- �¨X¥´-���,

U�-c 2f(1) 12 b�Y 2f(3) 34 . �� ��e§c�+c-c �-Y ¨�¥´�cY ox [5,6]7 , U�-c 2

o of(x ) x .

9.19 +�-� f : [0,w] R8 �¨Xc�,- �¨X¥´-���,

U�-c f(0) f(9): . �� ��e§c�+c-c �-Y ¨�¥´�cY

; <ox 0,=> , U�-c o o

?f(x ) f x

2

@ AB CD E

F G.

9.20 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e R b�Y

/Y� b¥Hc x RI c�X�Y f(x) f(x 2) 0J J K �� ��e§c�-+c-c �-Y: A) Á f c�X�Y �c´Ye§Yb,

B) Ö�¥´�e¨X ¥�cY´eY ã Rä U�-c f(L) f(L 2)M N

9.21 Á �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc�,- �-e O P1, 2Q

Rc S T S Tf 1 f 2U V , §c�+-c �-Y ¨�¥´�cY W Xox 1, 2Y Z U-

�-c o3f( 1) 4f(2) 7f(x )[ \ ]

9.22 E�-� , -f : .,/ R0 , �¨Xc^,- b�Y /X,�Y�

_H�Xe¨�� �¨X¥´-��� Rc f(`) f(a) 0b c ,

,� ,n N *ä b�Y d ef g,hi . �� §c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY

ox (j,k)l , U�-c

m n o pqr s t f(x ) rf(u) sf v tf(w)x x y x x

9.23 .�XeX-�Y eY �¨X�´-,�cY- Rc -©�e¨- xf(x) 20 z x e{ | | | , g(x) 21 ! (mnx }~�x)� � � � . VX -e

(�,�) c�X�Y ��Rc�e -�- c¨Hc��- 21y 20x� , Rc

� �(.,/) 0,0� , X� ��e§c�+c-c �-Y eY fC , gC �^e¨X

�X� -e¨Æ¥^Y�-eX beYX� ��Rc�e Rc -c-R�R�X�

� �ox 0,1>

9.24 VX �,� 0� , X� ��e§c�+c-c �-Y � c+�����

ãmnx ! x� � �^cY (R�� -e¨Æ¥^Y�-eX ) ´��� -�- e-

�e��- � ���ƨ-� -YR, §cX ¨�c´���XcY -eX ã !� .

9.25 VX � f c�X�Y �¨Xc^,- �-e R b�Y Y�^©cY �-Y � � � �f x f 2 x 0� � � /Y� b¥Hc x , X� ��e�c�+c-c �-Y �

c+����� � �f x 0� �^cY R�� -e¨Æ¥^Y�-eX ´��� �-e

R .

9.26 VX � �¨X¥´-��� f c�X�Y �¨Xc^,- �-e

O P1,2 Rc � �f 2 6� , b�Y �b�R� � � � �f 1 f 2 8� � , X�

��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY, � �ox 1, 2> U�-c

� �2

o o of x x x� � .

9.27 � �¨X¥´-��� �   �  f : 0, 0,¡¢ £ ¡¢ c�X�Y

�¨Xc^,- b�Y ¨�¥´^e¨X 0 ã ! ¤¥ ¥ ¥ U�-c

¦§¨f f f 1§ ¦ ¨

© ª© ª © ª«¬ ­¬ ­ ¬ ­

® ¯® ¯ ® ¯. �� �c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY ox

U�-c ° ±2010

o of x x�

9.28 �� �´c�-c -� �¨X¥´-��� f , �¨Xc^, �-e

R �X Y�^©cY ² ³ ² ³f x f xe 4x 4e 0´µ µ ¶ /Y� b¥Hc x R·

b�Y ¸ ¹f 0 ln 2º

Page 33: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

33 » ¼½¾¿ÀÁ½ - ¿ÃľŠƿÇÈÁÉÁÊľŠËÌÿÍνÈÏÐ

http://users.sch.gr/mipapagr

9.29 VX O P1 2 1994� ,� , ...,� 0,1Ñ . �� ��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´^cY, �X� -e¨Æ¥^Y�-eX Ò Óox 0,1Ô U�-c

o 1 o 2 o 1994x � x � ..... x � 997.Õ Ö Õ Ö Ö Õ º

9.30 �� �´cHe©X �Æc- eY �¨Xc^c�- �¨X�´-,�cY- f : R R× �X Y�^©cY �-Y Ø Ù Ø Ù

2f x 2f x mnx 1Ú � ,

x RÛ ä

9.31 *ÜÝÞßàáâ ãäÞåæàçãç f : R Rè ãäÞßéêë ìß

í î2f x 9ï ðâá ñåòß x Ró ñáâ ô õf 0 3ö . ÷á áøùúßÝûßàß

üàâ ô õf x 3ö ðâá ñåòß x Ró

9.32 N �´c�-c -e �©XeÆe -YRUX -�- �¨X¥´-���- ý þf x 4 x 2 xÿ � � � b�Y X� Æ©�c-c -�X �X�����

� �f x 0�

9.33 ��-� � �¨Xc^,- �¨X¥´-��� f /Y� -�X e-

�e�� Y�^©cY �-Y � �224x 9 f(x) 36� � /Y� b¥Hc

x 3,3� � .

�� �´c�-c -eX -©�e -�- �X �f 0 2� �

9.34 �� �´c�-c -� �©XeÆ� -YRUX -�X �¨X�´-,-

�c�X

V) Ø Ù21 x

f x , 0 x 1x

Ú� ¥ �

Õ) � � 3f x x ���x� � , � �x 0,� /2�

9.35 xY� �¨Xc^,- �¨X¥´-��� f : R R× Yb�Xe-

�eYc� -� �^���: � � � � � � � �f 1 f 2 f 3 f 4 ! . -� R�e-

´e©�c � f X� c�X�Y �X-Y�-´�"YR�;

9.36 VX #,$,% R& , X� ��e�c�+c-c �-Y ¨�¥´-

^cY o

'x 0,

2

( )* + ,. / U�-c

0 1 0 1 0 12 2 2o o o

323 x 4 23 x 4 23 x 4

25 5 5 5 5 6

9.37 �� ��e�c�+c-c �-Y eY /´�_Yb�- ��´��-¥-

�cY- -�X �¨X�´-,�c�X 7 8f x x9 b�Y : ;g x <=>2x?

-�RXeX-�Y �c �X� R�Xe ��Rc�e -e¨ �Y��-,R�-e- @

0,4

A BC DE F

.

9.38 GY �¨X�´-,�cY- H I H If ,g : 0,1 0,1J c�X�Y

�¨Xc^c�- b�Y Y�^©cY f g g fKL L /Y� b¥Hc M Nx 0,1O .

��P� �b�R� �PY � f c�X�Y /X����- _H�Xe¨�� �Pe

M N0,1 . �� ��e�cY^Hc� �PY ¨�¥´^cY

(Pc) Q Rox 0,1S TUVW X Yo of x xZ b�Y [ \o og x x]

9.39 �� �´c�Pc Pe �´���Re P�- �¨^¥´P���- f

�^ Ø Ù _ `2 2f x 4x 5wx w mnx� Ú � , 0 x 2ab b

9.40 ��P� �¨^c^,- �¨^¥´P��� f : R Z× b�c

d ef 1 2f , ^� ��e�g�+gPg �Pc 7 8f x 29 , x RÛ ä .

9.41 V^ � �¨^¥´P��� f g�^�c �¨^g^,- h�c /^�-

���- �©+i¨�� �Pi (0, + j) Rg k lx 0lim f x m Rno

p q h�c

Ø Ùx lim f x r Rs tu

� ä , ^� ��i�g�+gPg �Pc ¨�¥´^gc R�-

^i �^�- �´cHR�- vx 0w U�Pg

x y x yox 1o of x e ln x 1t� � � .

9.42 � �¨^¥´P��� f g�^�c �¨^g^,- �Pi R h�c

c�^©gc z {f f(x) x| /c� h¥Hg x R} . �� ��i�g�+gPg �Pc ¨�¥´^gc ã Rä U�Pg z {f ~ ~|

9.43 ��P� f : R R× �¨^g^,- Rg z {f 10 9| h�c

/c� h¥Hg x R} c�^©gc �Pc � � � �� �f x · f f x 1� . ��

�´g�Pg Pi � �f 5

9.44 '+�P� � � � �f : 0,1 0,1� �¨^g^,- �¨^¥´P���.

.g�+Pg �Pc ¨�¥´^gc � �ox 0,1� P�Pici U�Pg � �o of x x�

(S. Banach)

Page 34: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

4� ��� 2013 – 2014 34

�. ��������������

� ¡¢£¤¥ ¦§£¨§ ¢¥

9.45 V) �� ��i�g�+gPg �Pc � g+�����

© ªln x 2 x 1 0« ¬ ­ �^gc Ri^��ch, ®���

Õ) .�^gP�c � �¨^¥®P���

¯ °¯ °3 2

2

x 2 ± 1 x 1 ±² x 1f x

x x ln± 1 ±² x 1

³ ´ µ µ ¶·¸ ¹µ µ º·»

Rg ã Rä .

V^ � f g�^�c �¼^g^,- �Pi R , ^� �®g�Pg P�^ PcR,

Pi¼ ã Rä

9.46 ½c� P� �¼^g^, �¼^¾®P��� f, c�^¿gc �Pc:

À Á63 x

2 x 4 2x 8 xf(x) ÂÃ x6

Ä Å Ä Æ Æ Ä , x 4Ç È É .

�� ¼�iÆi/��gPg Pi f(0) h�c ^� ��i�g�+gPg �Pc ¼-

�¾®^gc, �^� Pi¼Æ¾^c�Pi^ Ê (0,1]Ë U�Pg

Ì Í 6Îf Î ÏÐ Î

6Ñ Ò .

9.47 ��P� Ó Ô 2g x x xÕÖx× Ø h�c

Ù Ú

3 2x x ÛÜÝx, ÞÝ g(x) 0

f x g(x)

Þ ÞÝ g(x) 0

ß àáâã ä

â ãå

�� �®g�Pg Pi

æ Rä �ç � f g�ç�è �¼çg^,-

9.48 ��P� f : R R× �¼ç¾®P���, é�Pg

ê ë2 2 2f x mn x x� � , x RÛ ä .

ì) �� ��i�g�+gPg �Pè � f g�ç�è �¼çg^,- �Pi

0

í) ìç � f g�ç�è �¼çg^,- �Pi R h�è è�^¿gè

î ï î ïf ~ f ð 0ñ ç� �g�+gPg �Pè òó 0ô .

9.49 ��P� �¼çg^,- �¼ç¾®P��� f �Pi õ ö1, 4 /è�

P�ç i�i�� è�^¿i¼ç: ÷ øf x 0ù /è� h¾Hg ú ûx 1, 4ü ,

÷ øf 1 0ý , þ ÿ þ ÿ þ ÿ þ ÿf 1 f 2 f 3 f 4� �� ��i�g�+gPg �Pè: ì) ÷ øf x 0ý /è� h¾Hg ú ûx 1, 4ü ,

í) � �¼ç¾®P��� � � � � � � � �2g x f x f 1 f 2� � �^gè Rè�

Pi¼�¾^è�Piç ®��� �Pi õ ö1,2 .

½) � f �gç g�ç�è �çPè�P®�"èR�.

9.50 ��P� � �¼ç¾®P��� � -�

g(x) x5

Ñ Ò i®è�R�-

ç� �Pi � ,� . ìç è�^¿gè 4�

f g f(�)5

� � �� ��� �� �

� �� � ��i¼

f g�ç�è R�� �¼çg^,- �¼ç¾®P��� i®è�R�ç� �Pi R ,

ç� �g�+gPg �Pè ¼�¾®^gè �x [�,�]� é�Pg

� �f(x ) f(g(x ))�

9.51 ��P� iè �¼çg^g�- �¼ç�®P,�gè- � �f ,g : 0, R�� Rg î ïg 0 1! h�è

" # " #x f(x) g(x) x 3f(x) g(x)Ú � $

ì) �� �®g�Pg Pi % &f 0

í) ìç ÷ øf x 0ù /è� h¾Hg ú ûx 0, 4ü ç� �g�+gPg �Pè: �) � g+�����

î ï î ï î ï î ïx 2 f x xf x 2 x x 2' ( ( ! ' �^gè Rè� Pi¼�¾^è-

�Piç ®�)� �Pi * +0,2 .

�) î ïg x 0, /è� h¾Hg ú ûx 0, 4ü .

9.52 ��P� � �¼çg^,- h�è /ç����- _H�çi¼��

�¼ç¾®P��� f : (0,1) R- /è� P�ç i�i�� è�^¿i¼ç

x 0

f(x) 3lim 3

x.

/0 h�è 2212(x 1) (x 1)f(x) x 13 4 3 4 3

567 89:; x (0,1)<

=) >7 ?@;AB; BC DEFCGC B6HIF BJK

h(x) f(x) ln x 3L M M

N) >7 O;AP;B; QB6 J 5@7R68S T7@9DB7DJ BJK

DUF9@BJDJK f(x) 3g(x) e VW BXHF;6 BJF ;U:;A7 y xY

D; XF7 HQFC DJH;AC H; B;BHJHXFJ 0x (0,1)Z

9.53 A) [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK 876

1 1] D; O69DBJH7 ^ . =F _,`,a bc H; d e fg g ,

F7 7TCO;AP;B; QB6 :7 ;AF76 ;AB; f(h) f(i) f(j)k k

;AB; f(j) f(i) f(h)k k

B) =F J DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK 876 1 1]

DBo ^ , F7 7TCO;AP;B; QB6 ;AF76 5FJDAlK HCFQBCFJ

DBC ^ .

Page 35: blogs.sch.grblogs.sch.gr/patsimas/files/2013/11/ckat_sxol_2013-2014_papagrigorakis_A___x.y.pdf27 I OK JKLMN - PMQRLS VOWOXRLS TMU ^ YZQM[\KV] 7.15 V x 2 lim g(x) 7 _ ` a, ³ 6 6 7

http://users.sch.gr/mipapagr

9.54 mDBl DUF9@BJDJ f , DUF;\SK DBC R 876

6D\E;6 J D\XDJ

n o n o n o3 2 3 2f x 4f x 6f x x 2x 6x 1p p q r p r 567 89:;

x Rs . >7 7TCO;AP;B; QB6 J ;PADlDJ t uf x 0v X\;6

BCUG9\6DBCF H67 @Aw7 DBC x y0,1

9.55 [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC R , 876

6D\E;6 z { z {f f(x) x 4 2f x| } ~ 567 89:; x Rs . >7

O;AP;B; QB6:

=. J f ;AF76 1 1]

N. AF J f ;AF76 5FSD67 HCFQBCFJ BQB; ;AF76

5FSD67 R:AFCUD7

�. UT9@\;6 ox R� IDB; � �o of x x�

�. � �f 1 1W

9.56 [ 7F9?7DJ - QTlK 876 J 87B9?7DJ - DBJF

�JGQB;@J 8C@URS BCU �GEHTCU O67@8;A 6 I@;K.

mF7K C@;6?9BJK P;86F9;6 BJF 7F9?7DJ DB6K 6 BC

T@lA 876 \l@AK F7 DB7H7BSD;6 ?@AD8;B76 D; 6 I@;K

DBJF 8C@URS. �JF 9GGJ HX@7 P;86F9;6 DB6K 6 BC

T@lA BJF 87B9?7DJ, D; 6 I@;K, 78CGCU:IFB7K BJF

AO67 O67O@CHS, ;T6DB@XR;6 DBJ ?9DJ. >7 O;AP;B;

QB6 UT9@\;6 XF7 BCUG9\6DBCF DJH;AC BJK O67O@C-

HSK QTCU ?@AD8;B76 BJF AO67 I@7 876 B6K OEC JHX-

@;K

9.57 [ DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC � ��,�

H; t uf x 0� , � �x �,�� . �67 89:;

� �1 2 3 vx ,x , x ,..., x �,�� F7 7TCO;AP;B; QB6 UT9@-

\CUF � �1 2� ,� �,�� IDB;

�  �   ¡ ¢ ¡ ¢ �  1 2 3 v

1

f x f x f x ... f xf £

v

¤ ¤ ¤ ¤¥

¦ § ¦ § ¨ © ¨ © ¦ §ª2 1 2 3 vf « f x f x f x ... f x¬ ­ ­ ­ ­

9.58 mDBl J DUF9@BJDJ f : IR IR® IDB;

¯ ° ¯ °2f x f f(x) 4± ² 567 89:; x IR³ 876 t uf 2 1v

A) =F J DUF9@BJDJ f ;AF76 DUF;\SK DBC DJ-

H;AC 0x 1´ , F7 UTCGC5AD;B; BC Q@6C

µ ¶x 1

1lim f(x) 3 ·¸

x 1¹º

º

B) >7 7TCO;AP;B; QB6 J DUF9@BJDJ f O;F ;A-

F76 DUF;\SK DBC » ¼1,2

9.59 �AF;B76 J DUF;\SK DUF9@BJDJ f H;

½ ¾ ½ ¾f x ln x ln x 1¿ À À

=) >7 7TCO;AP;B; QB6 J f ;AF76 7FB6DB@X�6HJ

876 F7 C@AD;B; BJF 1fÁ

N) >7 ?@;AB; BC DEFCGC B6HIF BJK DUF9@BJ-

DJK Â Ã Â Ãxg x f x eÄ Å

�) >7 7TCO;AP;B; QB6 J ;PADlDJ

¯ °xf x e 1 0Æ Ç ² X\;6 HCF7O68S GEDJ H;57GEB;@J

BCU XF7

9.60 �AF;B76 J DUF;\SK DUF9@BJDJ

� �f : 0, IRÈÉ Ê 567 BJF CTCA7 6D\E;6

Ë Ì Ë Ì3 3f x xf x x 0Í Í Î 567 89:; Ï Ðx 0,Ñ ÒÓ .

=) >7 7TCO;AP;B; QB6 ¯ °3x f x 0Ç Ô Ô

N) >7 H;G;BJ:;A lK T@CK BJ DUFX\;67 J DU-

F9@BJDJ Õ Ö

Õ ÖÕ Ö

Õ Ö2

f x2f x ×Ø 1 , x 0

x xg x 1 , x 0

f x, x 0

x

ÙÚ Û ÜÝ

ÝÝÞ Û ÞßÝ ÛÝ àÝá

9.61 �AF;B76 J â ã

1

x

1

x

2 2, x 0

f x2 1 ä, x 0

åæ ç

èæé ê

çææ éë

=) >7 UTCGC5AD;B; B7 ¯ °x lim f xì íî

,

ï ðx -lim f xñ ò

, ó ôx 0lim f xõö

, ó ôx 0lim f x÷ö

N) øT9@\;6 B6HS BCUù IDB; J f F7 ;AF76 DU-

F;\SK;