calculo de bachilleres.pdf

8/20/2019 CALCULO DE BACHILLERES.pdf

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CálculoDiferencial e

Integral II


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Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2009.Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de SonoraBlvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, MéxicoLa edición consta de 1,209 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE SONORA

Director GeneralLic. Eusebio Pillado Hernández

Director AcadémicoLic. Jorge Alberto Ponce Salazar

Director de Administración y FinanzasLic. Oscar Rascón Acuña

Director de PlaneaciónDr. Jorge Ángel Gastélum Islas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IIMódulo de Aprendizaje.Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres

del Estado de Sonoratodos los derechos reservados.Segunda edición 2010. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICADepartamento de Desarrollo CurricularBlvd. Agustín de Vildósola, Sector SurHermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA:

Elaboración:Librada Cárdenas Esquer

María Elena Conde Hernández

Revisor de Contenido:María Elena Conde HernándezHermenegildo Rivera Martínez

Corrección de Estilo: Jesús Alfonso Velasco Núñez

Supervisión Académica:Nancy Vianey Morales Luna

Edición: Ana Isabel Ramírez Vásquez

Coordinación Técnica:Martha Elizabeth García Pérez

Coordinación General:Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar


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COMPONENTE:

FORMACIÓNPROPEDÉUTICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

QUÍMICO–BIOLÓGICO

Esta asignatura se imparte en el 6 semestre; tiene como antecedente

Cálculo Diferencial e Integral I, no tiene asignatura consecuente es

____________________________ y se relaciona con

____________________________________________________.

HORAS SEMANALES: 3 CRÉDITOS: 6

D TOS DEL LUMNO

Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

Ubicación Curricular


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4

Mapa Conceptual de la Asignatura


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Recomendaciones para el alumno ......................................................................6Presentación .........................................................................................................6

UNIDAD 1. DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ......................... 9

1.1.

La diferencial .................................................................................................11Sección de tareas ................................................................................................31

Autoevaluación .....................................................................................................39Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................43

UNIDAD 2. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOSDE INTEGRACIÓN. ..................................................................................... 45

2.1. Integral Indefinida .........................................................................................472.2. Métodos de integración ................................................................................55Sección de tareas ................................................................................................65


UNIDAD 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO YLAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA .................................. 77

3.1. Integral definida ............................................................................................793.2. Teorema fundamental del Cálculo ...............................................................833.3 Aplicaciones de la Integral Definida ..............................................................89Sección de tareas ................................................................................................95


Claves de respuestas ...........................................................................................103Glosario ................................................................................................................104Bibliografía ............................................................................................................105

Índice


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6

El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en élse manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e IntegralII.

No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del

Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, elanálisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lecturacomplementarios; de ahí la importancia de atender las siguientesrecomendaciones:

Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidostemáticos a revisar en clase.

Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.

Al término de cada unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala demedición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.

Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/oreafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.

Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados encada unidad.

Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosarioque aparece al final del módulo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos deaprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal delColegio: www.cobachsonora.edu.mx

Deberá incluirse el enfoque del campo y de la asignatura, (sin ser necesaria laidentificación).

Enfoque del campo: justifica la ubicación de la asignatura en determinado campode conocimiento; es decir, responde a la pregunta, ¿por qué pertenece estaasignatura al campo de _________?

Enfoque de la asignatura: describe la importancia e intencionalidad de laasignatura dentro del plan de estudios, su pertinencia social en la formación delos estudiantes de bachillerato, se responde a las preguntas ¿por qué esimportante conocer acerca de lo planteado en el programa? ¿dónde reside larelevancia de los contenidos seleccionados para los estudiantes a este nivel?

Recomendaciones para el alumno

Presentación


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RIEMS

Introducción

El Colegio de Bachilleres del estado de Sonora, en atención a los programas deestudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venidorealizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestrosestudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos adesarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución.

Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizajepara todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la ReformaCurricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral deEducación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado encompetencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige ala totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles delalumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las

competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse entodos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, enel primer semestre.

Competencias Genéricas CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICA

I Se

autodetermina y

cuida de sí

1 Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas yretos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.2 Es sensible al arte y participa en la apreciación einterpretación de sus expresiones en distintos géneros.3 Elige y practica estilos de vida saludables.

II Se expresa y

comunica

4 Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes endistintos contextos mediante la utilización de medios,códigos y herramientas apropiados.

III Piensa crítica y

reflexivamente

5 Desarrolla innovaciones y propone soluciones aproblemas a partir de métodos establecidos. 6 Sustenta una postura personal sobre temas de interés yrelevancia general, considerando otros puntos de vista demanera crítica y reflexiva.

IV Aprende de

forma autónoma

7 Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de lavida.

V Trabaja en

forma colaborativa

8 Participa y colabora de manera efectiva en equiposdiversos.

VI Participa con

responsabilidad

en la sociedad

9 Participa con una conciencia cívica y ética en la vida desu comunidad, región, México y el mundo.10 Mantiene una actitud respetuosa hacia lainterculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideasy prácticas sociales. 11 Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica,con acciones responsables.


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8

Competencias Disciplinares Básicas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para lacomprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático yel uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social onatural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente lasmagnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lorodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un procesoo fenómeno, y argumenta su pertinencia.8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos

matemáticos y científicos.

Competencias docentes:1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo.3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque

por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares ysociales amplios.

4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de maneraefectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoqueformativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e

integral de los estudiantes.8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la

gestión institucional.


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UUnniiddaadd 11iferenciales

e integra

Indefinida

Objetivos

El alumno:

Aplicará los conceptos de diferencial,

para resolver valores aproximados defunciones; además de problemasprácticos, tras conocer las reglas dediferenciación; mostrando una actitudanalítica y participativa.

Temario

La diferencial.

Isaac Newton (1642-1727), fue el inventor del Cálculo Diferencial eIntegral, que también fue inventado de manera paralela por GottfriedWilhelm Leibnitz (1646-1716). Utilizando el Cálculo, encontró sus tres

Leyes del Movimiento que describen el movimiento de los objetos enla Tierra.

Organizador anticipado

¿Por qué el Cálculo Diferencial e Integral ha sido un curso obligadode la formación matemática que se requiere en las universidadespara seguir diferentes carreras que van desde la ingeniería, laeconomía, las ciencias de la salud, hasta las ciencias naturales en

general? La razón a fondo es que el Cálculo constituye el segundogran avance o gran resultado de la historia de las matemáticasdespués de la geometría euclidiana, desarrollada en la Grecia

Antigua. Así, el Cálculo diferencial e Integral conforman a lamatemática moderna, la cual nace precisamente entre los siglos XVIIy XVIII en el marco de aquella revolución científica que generó unanueva visión del mundo, y constituyó una visión moderna de la quesomos parte.


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Cálculo diferencial e integral II

10

Mapa Conceptual de Unidad

DIFERENCIALES

Definición deDiferencial

Nos permiteenunciar

Reglas de

diferenciación

Para resolverproblemas

De aproximación alincremento y de

errores deaproximación


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11

Diferenciales e Integral Indefinida

Evaluación Diagnóstica

Ejemplo: Antes de iniciar esta unidad sobre la diferencial, elabora un mapaconceptual utilizando los conceptos que aparecen en la siguiente lista ymuéstrala a tu profesor cuando te lo solicite.

Razón de cambio. Derivadas explícitas.

LL A A DDIIFFEERREENNCCII A ALL

1.1.1. Concepto geométrico de la diferencial de una función “dy ” ).

Existen muchas situaciones, en las cuales necesitamos estimar una diferencia,algunos ejemplos de esto son:

a) Aproximar valores de funciones.b) Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor

Aproximado).c) Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable

independiente varía “un poco”.Para el caso de aproximar funciones podemos utilizar la recta tangentecomo la mejor aproximación lineal a la función alrededor del punto detangencia.

Sea )( x f y = una función cualquiera y sean los puntos

))(,()),(,( x x f x x x f x ∆+∆+ dos puntos sobre la función como se

muestra en la siguiente figura:

1.1.

x x x ∆+

)( x x f ∆+

)( x f


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12

x∆ , representa el incremento que sufre la variable independiente, y definiremos elincremento real que sufre la función que lo denotaremos como y∆ como la

diferencia que existe entre )( x f y )( x x f ∆+ , es decir:

)()( x f x x f y −∆+=∆

Al cual se le conoce como el nombre de Valor Real o cambio total y lo podemosapreciar en la siguiente figura:

)()( x f x x f y −∆+=∆

x∆ x x x ∆+

)( x x f ∆+

)( x f


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13


Tracemos la recta tangente a la función )( x f en el punto x , llamaremos dy alincremento aproximado a través de la recta tangente como lo podemos observar enla siguiente figura:

Si observamos la figura podemos darnos cuenta que la tangente del ángulo deinclinación de la recta, equivale a la razón que existe entre dy y x∆ , además si

recordamos lo que se estuvo estudiando en el curso anterior la tangente del ángulode inclinación de la recta corresponde a la pendiente de la recta tangente la cuálesta representada por la derivada de la función, en otras palabras y resumiendo loanterior podemos decir que:

)´( x f x

dy=

∆

Ahora bien si denotamos a x∆ como dx tendremos que )´( x f dx

dy= , o bien

si despejamos dy se obtiene:

dx x f dy )´(=

A la que llamaremos LA DIFERENCIAL DE f en el punto x , con respecto al

incremento x∆ =dx , conocido también con el nombre de Valor Aproximado delcambio total y∆ .

)()( x f x x f y −∆+=∆

x∆ x x x ∆+

)( x x f ∆+

)( x f

dy


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14

A la diferencia que existe entre el Valor real ( y∆ ) y el Valor Aproximado ( dy ), lellamaremos ERROR DE APROXIMACIÓN y lo denotaremos como (E.A), es decir:

E.A = dy y −∆

EJEMPLO 1.- Sea2

)( x x f = . Hallar dy y,∆ y E.A cuando 1= x y01.0==∆ dx x .

SOLUCIÓN:

Como 2)( x x f y == , entonces como )()( x f x x f y −∆+=∆ , calculamos:

2)()( x x x x f ∆+=∆+ = (1 + 0.01)2 = (1.01)2 = 1.02012)( x x f = = (1)2 = 1

Sustituyendo estos valores en:

)()( x f x x f y −∆+=∆ , obtenemos:

0201.010201.1 =−=∆ y

Que corresponde al incremento real que sufre la función 2)( x x f = cuando la x seincrementa de 1 a 1.01.

Ahora bien como 2)( x x f = , entonces, x x f 2)(' = de tal forma que:

dx xdx x f dy 2)´( == , sustituyendo los valores de 1= x y 01.0=dx obtenemos:

)01.0()1(22 == dx xdy

02.0=dy

Que corresponde al Valor Aproximado de la función 2)( x x f = a través de larecta tangente a ella cuando la x se incrementa de 1 a 1.01.

Si calculamos E.A.

E.A = dy y−∆

Es decir:

E.A = 02.00201.0 −

E.A = 0001.0

E.A = 0.0001

Lo que nos permite observar que es una muy buena aproximación pues tenemosun error de una millonésima.


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15


EJEMPLO 2.- Sea 32)( 2 −−= x x x f . Hallar dy y,∆ y E.A cuando 1= x y

001.0,01.0,1.0,5.0,1==∆ dx x .

SOLUCIÓN:

Como 32)( 2 −−= x x x f , entonces como )()( x f x x f y −∆+=∆ ,calculamos:

322)())((23)(2)()( 222 −∆−−∆+∆+=−∆+−∆+=∆+ x x x x x x x x x x x x f

32)( 2 −−= x x x f

Sustituyendo estos valores en:

)()( x f x x f y −∆+=∆ , obtenemos:

)32(322)())((2 222 −−−−∆−−∆+∆+=∆ x x x x x x x x y

32322)())((2 222 ++−−∆−−∆+∆+=∆ x x x x x x x x y

x x x x y ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2 si sustituimos por ejemplo los valores de

1= x y 1=∆ x tendremos que:

x x x x y ∆−∆+∆=∆ 2)())((2 2

)1(2)1()1)(1(2 2 −+=∆ y

212 −+=∆ y

1=∆ y

Otra manera de resolverse es utilizando el procedimiento del ejemplo 1, es decir:Para 1= x y 1=∆ x tendremos que:

3)(

344)(

3)2(2)2()(

3)11(2)11()(

3)(2)()(

2

2

2

−=∆+

=−−=∆+

=−−=∆+

=−+−+=∆+

=−∆+−∆+=∆+

x x f

x x f

x x f

x x f

x x x x x x f

32)( 2 −−= x x x f

4)(

321)(3)1(2)1()(

2

−=

−−=−−=

x f

x f x f


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16

Por lo tanto, si sustituimos estos valores en: )()( x f x x f y −∆+=∆ , obtenemos:

1

43

)4(3

=∆

+−=∆

−−−=∆

y

y

y

Como 32)( 2 −−= x x x f entonces:

dx xdx x f dy )22()´( −== sustituyendo los valores de 1= x y 1=dx , seobtiene:

0

)1)(0(

)1)(22(

)1)(2)1(2()22(

=

=

−=

−=−=

dy

dy

dy

dx xdy

De tal manera que:

E.A = dy y −∆

Es decir:

E.A = 01−

E.A = 1

E.A = 1 Utilizando cualquiera de los dos procedimientos para calcular y∆ podemos

terminar de resolver el ejemplo para el valor de 1= x y001.0,01.0,1.0,5.0=∆ x utilizando la siguiente tabla:

x x∆ )( x x f ∆+ )( x f y∆ dy E.A

1 1 -3 -4 1 0 11 0.51 0.11 0.011 0.001

EJERCICIO 1EN EQUIPO: Hallar y∆ y dy , y E.A para las funciones y los valores dados:

5.01)()5

01.02342)()4

1.01)()3

1.03

)()2

2.0,8)()1

2

2

3

===

==+−=

−===

===

==∆==

dx y x para x Ln x f

dx y x para x x x f

dx y x para x x f

dx y x para xSen x f

dx x x para x x f

π

TAREA 1

Página 31.


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17


1.1.2. Teoremas sobre Diferenciales.

Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por ladiferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula dederivación que se vio en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I, lecorresponde una diferenciación que detallaremos a continuación.

FÓRMULAS DIFERENCIALES GENERALES

Para )()( xg y x f , funciones derivables de x :

1. CONSTANTE: [ ] 0=cd

2. MULTIPLO CONSTANTE: [ ] dx xgc xcgd )(')( =

3. POTENCIA: [ ] dx xn xd nn 1−=

4. SUMA O DIFERENCIA:

[ ]dx xgdx x f

xgd x f d xg x f d

)(')('

))(())(()()(

±=

±=±

5. PRODUCTO:

dx x f xgdx xg x f

x f d xg xgd x f xg x f d

)(')()(')(

)()()()()()(

⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅

6. COCIENTE:

[ ] [ ][ ]

[ ]2

2

)(

)(')()(')(

)(

)()()()(

)(

)(

xg

dx xg x f dx x f xg

xg

xgd x f x f d xg

xg

x f d

⋅−⋅=

⋅−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

7. REGLA DE LA CADENA:

( )[ ] ( )[ ] dx xg xg f xg f d xg f d )('))((')(()( ⋅==o


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EJEMPLOS: Utilizando las reglas de diferenciación, Calcula la diferencial de las

siguientes funciones.

EJEMPLO 1. Sea 425 2 +−= x x y Calcula dy

Aquí se aplica la regla de suma o resta de funciones.SOLUCIÓN:

)4()2()5( 2 d xd xd dy +−=

dx xdxdy 210 −=

Factorizando dx obtenemos la diferencial de la función 425 2 +−= x x y

dx xdy )210( −=

Conclusión: La diferencial es dx x )210( −

EJEMPLO 2. Sea x y 1

= , Calcula dy

Hacemos a la función 1−= x y y utilizamos la regla de las potencias.

SOLUCIÓN:

dx xdy 2−−= y para no dejar exponentes negativos hacemos lo siguiente:

dx x

dy2

1−=

Conclusión: la diferencial es

2 x

dxdy −=

EJEMPLO 3. Sea )24)(92( 25 +−= x x y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

[ ][ ][ ]dx x x x

dx x x x x

dx x x x xdy

722056

20407216

)10)(24()8)(92(

46

466

425

−+=

++−=

++−=


Aquí se aplica la

regla de la suma de

funciones.

Aquí se aplica la

regla de potencias

de funciones.

[ ]dx x x xdy 722056 46 −+=


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19


EJEMPLO 4. Sea5

72

3

+

+= x

x y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dx x

x x x

dx x

x x x x

dx x

x x x xdy

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+−+=

22

24

22

424

22

322

)5(

1415

)5(

142153

)5(

)2)(7()3)(5(

Conclusión: la diferencial es dx x

x x xdy

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−+=

22

24

)5(

1415

EJEMPLO 5. Sea ( )76 95 −= x y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

( )

dx x x

dx x xdy

665

566

)95(210

)30(957

−=

−=

Conclusión: la diferencial es dx x xdy 665 )95(210 −=

Aquí se aplica la

regla del cociente de

funciones.

Aquí se aplica la

regla de la cadena.


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EJERCICIO 2

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funcionesutilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor parasu revisión.

1) 34 2

−= x y 13) 2)23(

2

−= x y

2) 31

2 x y =

3)5 2

2

x y = 14)

35

2

+=

x y

4)12

1

−

+=

x

x y 15)

2

1

+

−=

x

x y

5) 865 4

+−= x x y

6) 35 )129( +−= x x y

7) )25)(92( 2 −+−= x x y

8)3

2 728

x

x x y

+−=

9) 111

535

2 +−+−+= x

x x

x x y

10) 2)72( += x y

11) 19 += x y

12)3 2

1

−=

x y

TAREA 2

Página 33.


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FÓRMULAS DIFERENCIALES DE FUNCIONES TRASCEDENTALES.

I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1) [ ] dx xgCos xg xgSend ))(()´())(( ⋅=

2)

[ ] dx xgSen xg xgCosd ))(()´())(( ⋅−=

3)

[ ] dx xgSec xg xgTand ))(()´())(( 2⋅=

4)

[ ] dx xgCsc xg xgCot d ))(()´())(( 2⋅−=

5)

[ ] dx xgTan xgSec xg xgSecd ))(())(()´())(( ⋅⋅=

6)

[ ] dx xgCot xgCsc xg xgCscd ))(())(()´())(( ⋅⋅−=

II. FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

1)

dxe xged xg xg )()( )(' ⋅=

III. FUNCION LOGARITMO NATURAL

1) [ ] 0)()()(')(( ≠⋅= xgcondx

xg xg xg Lnd


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22

EJEMPLO 1. Sea )73( 2 −= xSen y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dx xCos xdy )73(6 2 −⋅=

Conclusión: la diferencial es dx xCos xdy )73(6 2 −⋅=

EJEMPLO 2 . Sea 392 −+= x xe y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dxe xdy x x 392)92( −+⋅+=

Conclusión: la diferencial es dxe xdy x x 392)92( −+⋅+=

EJEMPLO 3 . Sea )835( 23 +++= x x x Ln y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dx x x x

x xdy ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+++

++=

835

161523

2

Conclusión: la diferencial es dx x x x

x xdy

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+++

++=

835

1615

23

2

EJEMPLO 4 . Sea ))5(( 3 −= xTan Ln y , Calcula dy

SOLUCIÓN:

dx xSec xCsc xdx xTan

xSec xdy )5()5(3

)5(

)5(3 3323

322

−⋅−⋅=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−⋅=


dx xSec xCsc xdy )5()5(3 332

−⋅−⋅=


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Página 35.

EJERCICIO 3

INDIVIDUAL: Encuentra la diferencial de las siguientes funcionesutilizando las fórmulas de diferenciación y entrégaselas a tu profesor parasu revisión.

1) )34( 2 −= xSen y 13) 2)23(2−= xSec

y

2) )2( 31

x Ln y =

3)⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

5 2

2

xTan y 14)

)35(

2

+=

xCsc y

4)12

1

−

+

=

x

x

e y 15) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

= 2

1

x

x

Ln y

5) )865( 4 +−= x xSec y

6) ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ +−= 35 )129( x xCsc y

7) )25)(92( 2 −+−= x xCos y

8) ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +−

= 3

2 728

x

x x

Ln y

9)1

1

5

1523 +−+−+

= x

x x

x x

e y

10) 2)72( += xSen y

11) )19( += xCos y

12)3 2

1

−=

Tanx y


24/105


24

1.1.3. Aplicaciones de la diferencial.

Trataremos algunos problemas que se resuelven en forma aproximada, calculandoel incremento de una función.

PROBLEMA 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de ladode 5m, si éste recibe un aumento de 0.002m.

SOLUCIÓN:

Datos:

2l A = Fórmula del área de un cuadrado.ml 5=

mldl 002.0=∆=

Calcular: =dA

Entonces: Como 2l A = su diferencial es: dlldA .2= y sustituyendo los datos

tenemos: )002.0)(5(2 mmdA = por lo tanto 2020.0 mdA =

Conclusión: El incremento es de 0.020 metros cuadrados.

PROBLEMA 2. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 4.25

SOLUCIÓN: Como vimos anteriormente dy nos representa una muy buena

aproximación a la función )( x f y = alrededor del punto de tangencia 0 x , lo que

nos permite afirmar que:

dy x f x f +≅ )()( 0 donde dx x f dy )(' 0=

Como el problema consiste en aproximar 4.25 , entonces, podemos definir unafunción que nos permita aproximar dicho valor, para esto tomaríamos la función

x x f =)( de igual manera escogeríamos un punto 0 x donde podamos conocercon exactitud el valor de la función evaluada en ese punto, para este caso esconveniente tomar 250 = x , entonces si sabemos que:

dx x f x f x f

dy x f x f

)(')()(

)()(

00

0

+≅

+≅

5m


25/105

25


Haciendo:

1) x x f =)(

Como x x f =)( entonces 21

)( x x f = por lo tanto

x

x x f

2

1

2

1)(' 2

1

== −

2) x

x f 2

1)(' =

3) 4.25= x

4) 250 = x

5)

4.0

254.25

0

=

−=

−=

dx

dx

x xdx

Entonces:

04.54.25

04.05

)4.0)(1.0(5

)4.0(10

1

5

)4.0()5)(2(

15

)4.0(252

1254.25

)(')()( 00

≅

+≅

+≅+≅

+≅

+≅

+≅ dx x f x f x f

El valor real de 039841.54.25 = lo podemos obtener haciendo uso de lacalculadora.

De tal manera que el error de aproximación sería:

E.A = aproximadoValor realValor −

E.A

000159.0

000159.0

04.5039841.5

=

−=

−=


26/105


26

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real enaproximadamente una diezmilésima.PROBLEMA 3. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a 1.1 Ln

SOLUCIÓN: Hagamos:

1) x Ln x f =)( Como x Ln x f =)( entonces

x x f 1)(' =

2) x

x f 1)(' =

3) 1.1= x

4) 10 = x

5)

1.0

11.1

0

=

−=

−=

dx

dx

x xdx

Entonces:

1.01.11.00

)1.0(10

)1.0(1

111.1

)(')()( 00

≅

+≅

+≅

+≅

+≅

Ln

Ln Ln

dx x f x f x f

El valor real de 0953.01.1 = Ln lo podemos obtener haciendo uso de lacalculadora.



E.A

00047.0

00047.0

1.00953.0

=

−=

−=

Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real enaproximadamente cuatro diezmilésimas.

`


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27


PROBLEMA 4. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1m,debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál esaproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

SOLUCIÓN: La cantidad de concreto requerida es la diferencia V ∆ entre elvolumen del cilindro exterior y el cilindro interior como lo podemos observar en lasiguiente figura:

Calcularemos V ∆ a través de dV recordando que la fórmula para calcular elvolumen del cilindro es:

hr V 2π =

Como cmmh 1001 == entonces tenemos una función para el volumen delcilindro que depende únicamente del radio la cuál escribimos de la siguientemanera:

2

100)( r r V π

=

Por lo tanto:

dr r dV π 200=

Si sustituimos 50=r y 3=dr , en dV , obtenemos:

377961.94247

)3)(50(200

cm

dV

=

= π

Lo que representa la cantidad de concreto que se necesita para revestir el depósitocilíndrico.

V ∆


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28

PROBLEMA 5. Utilizando diferenciales encuentra una aproximación a º5.30Cos SOLUCIÓN: Hagamos:

1) xCos x f =)(

Como xCos x f =)( entonces xSen x f −=)('

2) xSen x f −=)('

3) º5.30= x

4) º300 = x

5)

º5.0

º30º5.30

0

=

−=

−=

dx

dx

x xdx

Para poder aproximar correctamente el valor de º5.30Cos es importante que el

º5.0=dx lo expresemos en radianes, es decir, rad dx360

π

= .

Entonces:

87038.0720

3360º5.30

7202

3

3602

1

2

3

360º30º30º5.30

)(')()( 00

=+

≅

+≅

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+≅

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≅

+≅

π

π

π

π

Cos

SenCosCos

dx x f x f x f

El valor real de 86162.0º5.30 =Cos lo podemos obtener haciendo uso de lacalculadora.



E.A

00876.0

00876.0

87038.086162.0

=

−=

−=

Recuerda que:

180º= rad π


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29


Esto nos permite observar que la aproximación difiere del valor real enaproximadamente ocho milésimas.

EN EQUIPO DE DOS: Detalla por escrito el proceso de solución analíticatípica de problemas de aproximación al incremento, utilizando ladiferencial y compara el proceso de solución con tu compañero.

1) obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo delado de 2m al aumentar el lado 0.003m.

2) Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor.

3) Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, estaúltima se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentreaproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura,sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

4) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su ladoaumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?

5) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su ladodisminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?

6) Aproximar utilizando diferenciales los siguientes valores:

A) 5.9

B) 5 1.32

C) 5.0e

D) 3 01.64

E) º5.45Sen

F) º25.60Cos

G) º75.30Tan

H)

3.1 Ln

I) 37

J) 5.4

1

EJERCICIO 4

TAREA 4

Página 37


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30


31/105

31


INSTRUCCIONES: Hallar y∆ y dy y E.A para las funciones y los valores dados; entrégale los resultados atu profesor para su revisión.

001.0,01.0,1.0,5.0,1,11

)()10

001.0,01.0,1.0,5.0,1,1)()9

001.0,01.0,1.0,5.0,1012)()8

001.0,01.0,1.0,5.0,14

)()7

001.0,01.0,1.0,5.0,10)()6

001.0,01.0,1.0,5.0,11)()5

001.0,01.0,1.0,5.0,1134)()4

001.0,01.0,1.0,5.0,111)()3

001.0,01.0,1.0,5.0,13

)()2

001.0,01.0,1.0,5.0,1,64)()1

2

2

2

3

==∆==

==∆==

==−+=

===

===

===

==+−=

==−=

===

==∆==

dx x x para x

x f

dx x x para x x f

dx y x para x x x f

dx y x para xTan x f

dx y x parae x f

dx y x para x Ln x f

dx y x para x x x f

dx y x para x x f

dx y x para xCos x f

dx x x para x x f

x

π

π

Nombre ____________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1


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33/105

33


INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de

diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

1025)1 23 −+−= x x x y

12

1)11

−=

x y

211

)25 2

5 −−+= x

x x

y 3

2 95)12

x

x x y

+−=

)12)(94()3 37 +−= x x y 8 52 )13()13 −= x y

5

32)4

2

6

+

+−=

x

x x y

)5)(13()14 310 +−= x x y

42

8)5

2

3

++

−=

x x

x y

5 2 24

1)15

+=

x y

5

152

)6

2

−

−−

= x

x x

y 8

7

)16 4 += x y

32 )53()7 −= x y 346)17 23 +−−= x x x y

3 2)8 −= x y

4

3

)18 x

x x y

+=

7

1)9

+=

x

y 6

5

2)19 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

−

+=

x

x y

62 )9(

3)10

+=

x y

37 )12()63()20 −+= x x y

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2


34/105


34

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________


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35


INSTRUCCIONES: Hallar la diferencial dy de las siguientes funciones, utilizando las fórmulas de

diferenciación; entrégale los resultados a tu profesor para su revisión.

)1()1 3 += xSen y 7 5 9)11 −= x Ln y

)72()2 5 += xCos y

)3(

)3()12

−

−=

xCos

xSen y

)94()3 7 −= xTan y )1()1()13 22 −+−= xCos xSen y

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−=

5

2)4

x

xCot y

)(

1)14

5 xSec

y =

)]1)(23[()5 −+= x xSec y 9

2

3

2

15)15 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+−=

x

x x Ln y

55 )112()6 −= xCsc y 3)16 −= xe y

32

)53()7 −= x Ln y 28

)17 ++

= x x

e y

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+=

4

3)8

x

x Ln y

22

2523

)18−−

++

= x x

x x

e

e y

)6)(2()9 +−= x x Ln y 5)19 xSene y =

))(()10 3 xSen Ln y = ))3(()20 −= x LnCose y

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3


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36

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________


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37


INSTRUCCIONES: Plantea y resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1) Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas,estimar mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:

a) El volumen del cubo.b) El área superficial del cubo.

2) Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7m. al aumentar el lado 3mm.

3) Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 7.3m al aumentar el lado0.007m.

4) Obtener el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8cm de radiocuando el radio aumenta 3cm.

5) Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta en 0.04 cm.¿Cuánto aumento aproximadamente su área?

6) Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuántodisminuirá porcentualmente su área?

7) La pared lateral de un depósito cilíndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe revestirse conuna capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto quese requiere?

8) Pruebe que si al calentar(enfriar) una placa cuadrada metálica de lado L, su ladoincrementa(disminuye) un p %, entonces el área se incrementa(diminuye) un 2p %.

9) Al calcular la altura de un cerro, se encuentra que desde un punto situado a 100 m de la proyecciónen el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º.Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que lamedición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4


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38

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________


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39


INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de laopción que consideres correcta.

1. La diferencial de la siguiente función 1453 24 −+−= x x x y es:

dx x xdy )41012( 3 +−=

dx x x xdy )141012( 3 −+−=

dx x xdy )31012( 3 +−=

dx x xdy )41012( 23 +−=

2. El incremento aproximado del volumen de un cubo con lado de 5.3m al aumentar el lado 0.007m es:0.698

0.725

0.589

0.456

3. La diferencial de la siguiente función )7( 4 += xSen y es:

dx xCosdy )7( 4 +=

dx xCos xdy )7(4 43

+= dx xCos xdy )7(4 43 +−=

dx xCosdy )7( 4 +−=

4. El valor aproximado de 3 5.8 es:

2.041

2.083

2.416

2.004

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIÓN


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40

5. La diferencial de la siguiente función )12( += x Ln y es:

dx x

xdy

12

2

+=

0=dy

dx x

dy12

2

+=

dx x Ln

dy)12(

2

+=

6. La diferencial de la siguiente función 5−= xe y es:

dxedy x 5−=

dxe xdy x 5)5( −−=

dxdy =

dxedy x 5−−=

7. La diferencial de la siguiente función )9( 7 += x y es:

dx xdy 7=

dx xdy )9( 7 +=

dx xdy 7=

dx xdy 67=

8. El valor del incremento real y∆ de la función:

01.00,5)( 2 ==∆=−= dx x y x para x x f es:

1.0=∆ y

01.0=∆ y

001.0=∆ y

0001.0=∆ y


41/105

41


9. El valor del error de aproximación (E.A) de la función

5.04,5)3()( 2 ==∆=+−= dx x y x para x x f es:

0025.0. = A E

0025.0. = A E

025.0. = A E

25.0. = A E

10. Al calentar una placa metálica cuadrad de 25 cm de lado, su lado se incrementa un 2 %, el porcentaje en elque se incrementa su área es:

2 %

3 %

4 %

8 %

Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente por lo que teinvitamos a continuar con esa dedicación.

Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero esnecesario que nuevamente repases los temas.

Si contestaste correctamente 7 ó menos reactivos, tu aprendizaje es

insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tuprofesor.

Consulta las

claves de

respuestas en la

página 103.

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE


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42


43/105

43


INSTRUCCIONES:

Realiza los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. Completa la siguiente tabla para la función: x

y 1=

x xdx ∆= y∆ dy dy y −∆

2

2

2

2

1

0.5

0.1

0.01

2. Utiliza el concepto de diferencial para encontrar el valor aproximado de los siguientes valores:

a) 37

b) ( )58.1

c) 5

5.32

d) º5.60Sen

e) 25.1 Ln

3. Resuelve el siguiente problema de aplicación de las diferenciales:

Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. elradio mide 8m, con un error posible de ±0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error máximo en elvolumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.

EJERCICIO DE

REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________


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44

4. Hallar dy utilizando los teoremas:

( ) x

x

e y j x yi x x

yh xSec yg

e y f x x Ln ye xSen yd

x yc x

x x x yb x x ya

2tan1084

72

2

72

3

232

)53)11

))()

)22))84()

67)72

)5113)

=+=−+==

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

+−=−=

+=++−

=+−=

+


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http://integrals.wolfram.com

La presa Hoover en E. U. tiene uno de los diques de arcode concreto más altos del mundo . Ésta contiene lasaguas del Río Colorado, la estructura depende tanto delas paredes del Black Canyon como de su propia masa.Este diseño de arco presenta una curva hacia el agua quecontiene y casi siempre se construye en cañonesangostos.Para determinar el área y el volumen de concreto para laconstrucción de la obra se requiere de conocimientosmatemáticos, como los de integración que en estecapítulo te presentaremos.

Si quieres investigar más acerca de esta monumentalobra, consulta en Internet bajo el nombre de la “presaHoover”.

UUnniiddaadd 22Integral indefinida

y algunos métodos

de integración

Objetivos

El alumno:

Aplicará el concepto de integral indefinida,integrando diferenciales cuya forma nosea susceptible de integrarse de manera

inmediata, a partir del conocimiento dealgunos métodos de integración (cambiode variable, integración por partes);mostrando una actitud analítica yparticipativa.

Temario

• Integral indefinida• Métodos de integración


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Cálculo integral II

46

Mapa Conceptual de Unidad

Integrales

IntegralIndefiinida

Métodos deintegración

Cambio devariable o porsustitución

Integraciónpor partes

Para integrarlas se usan


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47

Integral definida

LL A A IINNTTEEGGRR A ALL IINNDDEEFFIINNIIDD A A..

2.1. La integral indefinida (Antiderivada).

Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. La segunda operación anula a la primera, regresando loszapatos a la posición original. Decimos que las dos son operaciones inversas. Las matemáticas contienenmuchos pares de operaciones inversas: La Suma y la resta; al igual que la división y la multiplicación; lo mismopuede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente, productos notables y la factorización. Enel Cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivada )´( x f de una función )( x f . Ahora nos

ocuparemos del problema inverso, es decir, dada una función )( x f buscaremos obtener la función )( xF , tal

que al derivar F obtengamos la función )( x f . A )( xF se le conoce como la antiderivada de )( x f . Veamoslos siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Encuentra la antiderivada de x x f 2)( = y represéntala gráficamente.

Solución: Buscamos una función )( xF que satisfaga la igualdad x xF 2)(' = . Recordando los conocimientos

de cálculo diferenciaI I, sabemos que la función cuya derivada es x2 , es:

2)( x xF = ;

ya que la derivada de 2)( x xF = es x xF 2)(' = . Sin embargo, sabemos que no es la única, pues también siderivamos las siguientes funciones:

,2)(

,2

3)(

,3)(

2

2

2

π −=

+=

−=

x xF

x xF

x xF

obtenemos la misma derivada. Generalizando lo anterior podemos escribir C x xF += 2)( , donde C es

cualquier constante, dichas funciones representan la antiderivada de la función x x f 2)( = .Si representamos gráficamente cada una de las antiderivadas obtenemos:

2.1.

Observa que ladiferencia entre las

parábolas se da en elcorte de éstas con el eje y . Los valores de las

ordenadas en dicho corte representan los valoresque puede tomar la

constante C .


48/105


48

Ejemplo 2: Encuentra la antiderivada de 23)( x x f = .

Solución: Al igual que en el ejemplo anterior, buscamos una función )( xF que satisfaga la igualdad

23)(' x xF = . Ésta es:

C x xF += 3)( ,

ya que si derivamos )( xF , obtenemos 23)(' x xF = , recuerda que la derivada de la constante C es igual acero.

Por lo tanto la antiderivada de 23)( x x f = es C x xF += 3)( .

Encontrar la función que tiene cierta derivada es más que un simple ejercicio mental. Más adelante se verá quehay aplicaciones reales e interpretaciones físicas de esta idea.

2.1.1. Definición formal de integral indefinida.

Una definición formal del concepto de antiderivada es la siguiente:

Sea )( xF una función tal que )()´( x f xF = , la cual llamaremos la antiderivada de f , y la denotaremoscomo

∫= dx x f xF )()( ; Al término ∫ dx x f )( también se le conoce como integral indefinida.

F es una antiderivada de)( x f .

“Integral indefinida” y“función primitiva” son

sinónimos de la palabra“antiderivada”.

El símbolo ∫ es la inicialde la palabra suma.


49/105

49

Integral definida

Ejemplos: Encuentra la integral indefinida o la antiderivada de las siguientes funciones.

1) ∫ dx x23 es una función )( xF tal que 23)(' x xF = , es decir, C x xF += 3)( .

Por lo tanto: ∫ += C xdx x 323 .

2) C xdx x +=∫ 434 .

3) C xdx x +=∫ 201920 .

4) C xdx +=∫ 55 .

5) C xdx +−=−∫ 33 .

6) C x xdx x ++=+∫ 5)54( 43 .

7) C x x xdx x x ++−=+−∫ 3)3320( 320219 .

8) C xsendx x +=∫cos .

9) C edxe x x

+=∫ .

10) C xe x x xsendxe x xsen x x x +−+++=−++−∫ 5tancos)5sec(cos 2 .

EJERCICIO 1EN EQUIPO: Encuentra la integral indefinida (antiderivada) de lassiguientes funciones y compara tus resultados con tus compañeros:

1) dx x∫ 45 6) ∫ dxπ

2) ∫ dx x67 7) ∫ − dx x

2csc

3) dx x x )123( 2 +−∫ 8)

∫ ⋅ dx x x tansec

4) dx x )42( −∫ 9) ∫ +++ dx x x x )1234( 23

5) ∫ dx4 10) dx x x x xe x )cotcsctansec( ⋅−⋅+∫


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50


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51

Integral definida

2.1.2. Reglas básicas de integración.

DEFINICIÓN DE LA NOTACION INTEGRAL PARA LAS ANTIDERIVADAS:Si )( xF es una integral indefinida de )( x f se expresa:

∫ +== C xF dx x f y )()( Si y solo si )()´( x f C xF =+

Donde:=C Constante arbitraria.

REGLAS BÁSICAS DE INTEGRACION

:

1) CONSTANTE: ∫ += C kxkdx

2)

MULTIPLO CONSTANTE: ∫ ∫= dx x f k dx xkf )()(

3) SUMA O DIFERENCIA: [ ] ∫ ∫∫ ±=± dx xgdx x f dx xg x f )()()()(

4) POTENCIAS: ∫ ++=

+

C n

xdx x

nn

1

1

, 1≠n

5) EXPONENCIALES: ∫ += C edxe x x

6) LOGARITMICA: C xdx xdx x

+==∫ ∫ − ln

1 1

7) TRIGONOMETRICAS:

C senx xdx∫ +=cos

∫ +−= C xsenxdx cos

∫ += C x xdx tansec2

∫ += C x xdx x sectansec

∫ +−=

C x xdx cotcsc

2

∫ +−= C x xdx x csccotcsc


52/105


52

Ejemplos: Calcular la integral de las siguientes funciones utilizando las reglas de integración.

1) ∫ =dx5

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la constante así:

∫∫ +== C xdxdx 555 C x += 5 .

2) ∫ =dx x34

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla del múltiplo constante así:

∫ ∫ ++==

+

C x

dx xdx x13

44413

33

Por lo tanto:

C xdx x +=∫ 434

C x += 4 .

3) ∫ =+− dx x x )323( 2

Solución: En este ejemplo utilizaremos la regla de la suma o resta:

∫ ∫ ∫∫ =+−=+− dx xdxdx xdx x x 323)323( 22

C x x xC x x x

++−=++−= 33

2

2

3

3 2323

C x x x ++−= 323 .

4) ∫ =+ dx x 2)32(

Solución: Aplicando el álgebra tenemos:

∫ ∫ ∫∫ ++=++ dx xdxdx xdx x x 9124)9124( 22

C x x x

C x x x

+++=+++= 96

3

49

2

12

3

4 2323

C x x x

+++= 963

4 23

.


53/105

53

Integral definida

5) ∫ = xdxsen2

Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

∫ +−= C x xdxsen )cos(22

Simplificando tenemos: C x +−= cos2 .

6) ∫ = xdx2sec8

Solución: Aplicando las reglas de funciones trigonométricas tenemos:

C xdx x +=∫ )(tan8sec8 2

Simplificando tenemos:

C x += tan8 .

7) ∫ =−+ dx x x )23)(32( 2

Solución:

∫ ∫ ∫∫∫ −+−=−+− dxdx xdx xdx xdx x x x 6946)6946( 2323

C x x x x

+−+−= 62

9

3

4

4

6 234

C x x x x

+−+−= 62

9

3

4

2

3 234.

8) ∫ =dx x

Solución: Aplicando la regla de potencias tenemos:

C xC x

dx x +=+=∫ 232

3

2

1

3

2

2

3)( ;

simplificando nos quedaría de la siguiente manera:

C x += 33

2.


54/105


54

9) ∫ =+ dx xe x )cos(

Solución:

Esto quedaría de la siguiente forma:

C xsene xdxdxe x x

++=+ ∫∫ cos C xsene

x ++= .

10) ∫ =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+ dx x

x x 4

2 325

Solución:

Aquí se aplica la regla de potencias y la de logaritmos:

∫ ∫∫ =−+ −

dx xdx xdx

x

42 321

5

C x x

x +−

−+=−

3

3

3

2ln5

33

;

simplificando tenemos la solución:

C x

x x +++=3

3 1

3

2ln5 .

EJERCICIO 2INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones y entrégaselas atu profesor para su revisión.

1) ∫ =−+− dx x x x 23 10852

2) ∫ =⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ ++− dx x

x x

x8621

3

4

3) ∫ =−+ dx x x )27(

4) ∫ =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ dx

x5

1

5) ∫ =+− dx x x )52)(34( 2

6) ( )∫ =− dx x 223

7) ( )∫ =+−+ dx x x xe x 32 3seccos6

8) ∫ =+−

dx x

x

2

42

9) ( )∫ =− dx x 32

10) =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+−∫ dx

x

x x x2

53 8764

TAREA 1

Pág. 65


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55

Integral definida

MMÉÉTTOODDOOSS DDEE IINNTTEEGGRR A ACCIIÓÓNN..

2.2.1. Integración por cambio de variable o sustitución.

En esta sección se estudiarán métodos para la integración de funciones compuestas, es decir, producto defunciones, cociente de funciones, potencias de suma de funciones, etc. La técnica de cambio de variable o

sustitución es el más frecuente. Consiste en hacer una expresión igual a una nueva variable (por ejemplo u),calcular el diferencial de esta nueva variable y sustituir estos cambios en la expresión que queremos integrar. Enmuchas ocasiones la integral que se obtiene con el cambio de variable es más sencilla que la original y asípodemos integrarla.Evidentemente después tenemos que deshacer el cambio de variable.La importancia de la sustitución en la integración es comparable con la de la regla de la cadena en la derivación.Recuerda que para funciones derivables dadas por

)(uF y = y )( xgu = , la regla de la cadena expresa que

[ ] )('))(('))(( xg xgF xgF dxd = .

De la definición de una antiderivada, se deduce que

∫ += C xgF dx xg xgF ))(()('))((' .)( C uF +=

Con un cambio de variable formal, se escribe de nuevo toda la integral en términos de u y du (o de cualquierotra variable conveniente). La técnica de cambio de variables usa la notación de Leibniz para la derivada. Esdecir, si F es la antiderivada de f y )( xgu = , entonces dx xgdu )('= , y la integral anterior toma la forma

.)()()('))((∫ ∫ +== C uF duu f dx xg xg f En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar el teorema de integración por sustitución, reconociendo la

presencia de ))(( xg f y )(' xg . Observa que la función compuesta en el integrando tiene una función externaf y una función interna g. Además, la derivada )(' xg está presente como un factor del integrando.

2.2.

Funcióninterna

Funciónexterna

Derivada de lafunción interna

∫ += .))(()('))(( C xgF dx xg xg f 321 El teorema no indicacómo distinguir entre

))(( xg f y )(' xg en el

integrando. A medidaque adquieras másexperiencia en laintegración, tu habilidadpara hacer esto seincrementará. Porsupuesto, una parteclave es la familiaridadque tengas conderivadas.


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56

EJEMPLO 1: Encuentra ∫ + .)2()1( 22

dx x x

Solución: Primero, haz que u sea la función interna, 12 += xu . Después , calcula el diferencial de u que es xdxdu 2= , despejando dx de la expresión de du , tienes xdudx 2/= . Ahora, usando 222 )()1( u x =+ ,

sustituye el cambio de variable para obtener lo siguiente:

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ =+ ∫∫

x

du xudx x x

2

2.)2()1( 222

duu∫= 2

C u

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

3

3

( ) .13

1 32 C x ++=

Si te fijas la intención del cambio de variable es expresar la integral, que es un producto de funciones, enuna integral más sencilla, de tal manera que puedas utilizar los teoremas básicos de integración. En esteejemplo con el cambio de variable sugerido se logró expresar el producto de funciones dx x x )2()1( 22 +

como una potencia de funciones duu 2

con la finalidad de utilizar el teorema de integración básicocorrespondiente.

EJEMPLO 2: Encuentra ∫ − .12 dx x x

Solución: Como en el ejemplo anterior, hacemos que u sea la función interna, 12 −= xu , el diferencial de u es dxdu 2= y obtenemos 2/dudx = . Como el integrando contiene un factor de x que no se va a podercancelar al sustituir dx , también debemos despejar x en términos de u , como sigue:

2

112

+=⇒−=

u x xu .

Ahora, haciendo la sustitución del cambio de variable, obtienes lo siguiente:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=− ∫∫ 22 112

21

duuudx x x

x

43421

∫ ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ += duuu 2

12

3

4

1

C uu

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +=

23

254

1 23

25

( ) ( ) .126

112

10

12

32

5C x x +−+−=

EJEMPLO 3: Encuentra

∫ dx x xsen .

Solución: Como el integrando involucra la función trigonométrica xsen el cambio de variable adecuado es

21

u xu == , ya que el denominador del integrando contiene la misma forma del argumento de la función

trigonométrica. De modo que dx xdu 21

2

1 −= , despejando dx tenemos:

du xdu x x

dudx 22

22

1

21

===−

.

Integral en términos de u

Antiderivada en términos de u

Antiderivada en términos de x


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57

Integral definida

Sustituyendo el cambio de variable obtenemos:

( )du x x

senudx

x

xsen∫∫ = 2 ,

duusen∫= 2 ,C u+−= cos2 ,

C x +−= cos2 .

EJEMPLO 4: Encuentra .3cos32 xdx xsen∫

Solución: Como ,)3(3 22 xsen xsen = haz xsenu 3= . Entonces .)3)(3(cos dx xdu = .

Ahora, despejamos dx , obteniendo x

dudx

3cos3= , se sustituyen u y

xdu

3cos3 en la integral dada

produciendo lo siguiente:

x

du xu xdx xsen

3cos3

3cos3cos3 22 ∫∫ = ,

duu∫= 2

3

1,

C u

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

33

1 3,

C xsen += 39

1 3 .

EJEMPLO 5: Encuentra ∫ +++ dxe x x x 62

2

)1( .

Solución: En el caso de las funciones exponenciales es recomendable considerar el argumento de la funciónexponencial (es decir, todo el exponente) como el cambio de variable u . Así 622 ++= x xu , diferenciandou obtienes: dx xdu )22( += , despeja dx y no olvides considerar el factor común con la finalidad de obtener

un factor igual al factor que tienes en el integrando para que logres la cancelación del mismo,)1(2 +

= x

dudx .

Sustituye el cambio de variable en la integral para proceder a integrar bajo algún teorema básico:

.2

1

,2

1

,

2

1

;)1(2

)1()1(

62

62

2

2

C e

C e

due

x

due xdxe x

x x

u

u

u x x

+=

+=

=

++=+

++

++

∫

∫∫


58/105


58

EJEMPLO 6: Encuentra ∫ +−+−

.)1644(

423223

2

dx x x x

x x

Solución: En este ejemplo el integrando es un cociente de polinomios específicamente, observa que eldenominador del cociente es una potencia, por lo que la sugerencia para el cambio de variable de acuerdo a

los ejemplos anteriores es precisamente x x xu 1644 23 +−= , diferenciando obtienesdx x xdu )16812( 2 +−= , observa que el diferencial de u es parecido al numerador del cociente del

integrando, por lo que al momento de despejar te sugiero que consideres nuevamente el factor común con elobjetivo de eliminar ese factor al momento de aplicar la sustitución del cambio de variable. Ahora despejamos

dx de du ,)423(4 2 +−

= x x

dudx y sustituimos en la integral:

.)1644(4

1

;4

1

14

1

;

4

1

4

1

;)423(4

423

)1644(

423

23

1

2

2

22

2

223

2

C x x x

C u

C u

duu

u

du

x x

du

u

x xdx

x x x

x x

++−

−=

+−=+−

⋅=

==

+−

+−=

+−

+−

−

−

∫∫

∫ ∫

Con todos estos ejemplos pudiste darte cuenta ya, de los pasos a seguir para llevar a cabo la integración porsustitución. Enseguida te presentamos un resumen de estos pasos.1.- Elige un cambio de variable )( xgu = . Casi siempre es mejor elegir la parte interna de una funcióncompuesta; digamos, una cantidad elevada a una potencia, una función radical, el argumento de una funcióntrigonométrica o una exponencial cuando éste no es una simple x , etc.

2.- Calcula dx xgdu )('= y despeja de ella dx .3.- Escribe de nuevo la integral en términos de la variable u sustituyendo el cambio de variable.4.- Evalúa la integral resultante en términos de .u 5.- De nuevo sustituye u por )( xg para obtener una antiderivada en términos de . x 6.- Si quieres comprobar tu respuesta puedes hacerlo mediante derivación o mediante el uso de la tecnología.(Busca “The Integrator” en el Google).

TAREA 2

Pág. 67


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59

Integral definida

2.2.2 Integración por partes.

Si una integral no puede resolverse por cambio de variable, puedes intentarlo por integración por partes.Este método puede aplicarse a una gran variedad de funciones, es muy útil particularmente paraintegrandos que incluyen productos de funciones algebraicas o logaritmos que no pueden evaluarse

directamente por medio de los teoremas básicos de integración. Por ejemplo, la integración por partesfunciona bien para integrales similares a

∫ ,ln xdx x ∫ dxe x x2 y ∫ xdxsene

x ,

ya que puede transformarlas en una forma estándar.La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto

[ ] '' vuuvdx

duv

dx

dvuuv

dx

d +=+= ,

donde u y v son funciones diferenciables de x . Si 'u y 'v son continuas, es posible integrar ambos miembrosde esta ecuación para obtener

∫ ∫+= vdxudxuvuv ''

∫ ∫+= .vduudv

Al volver a escribir esta ecuación, se obtiene el siguiente teorema:

TEOREMA: Integración por partes.

Si u y v son funciones de x y tienen derivadas continuas, entonces

∫ ∫−= .vduuvudv

EJERCICIO 3INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando latécnica de cambio de variable y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1 ( )∫ =−−−+− dx x x x x x )5206(10852 2323

6) ∫ =−−

dx x x

x

2

12

2) ∫ =dx x

xsen

2cos

22

7) ∫ =dt t

e t

2

1

3) ∫ =+ dx x x 543

8) ∫ =−

dx x

senx

cos2

4) ∫ =−− dx x x x 532 )82)(43( 9) ∫ =dx x

xcos

1

5) ∫ =−

dx xe x22

10)∫ =dt t sent

2


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60

Esta es la fórmula de integración por partes. En esta fórmula se expresa la integral original en términos de otraintegral. Con base en las selecciones de u y dv , puede ser más fácil evaluar la segunda integral que laoriginal. Como la selección de u y dv es importante en el proceso de integración por partes, se proporcionalas siguientes recomendaciones:1. dx siempre forma parte de dv .2. dv tiene que ser integrable.

3.- Intenta hacer que dv sea la parte más complicada del integrando y que se ajuste a una regla básica deintegración. Entonces u será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando.4.- Intenta hacer que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más sencilla que u .Entonces dv será el factor (o los factores) que quede(n) en el integrando.En algunos casos puede necesitarse la aplicación de la fórmula de integración por partes más de una vez,como en el ejemplo que se planteará más adelante.

EJEMPLO 1: Integración por partes que contiene producto de una función exponencial.

Encuentra ∫ .dx xe x

Solución: Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la forma ∫ .udv Hayvarias formas de hacerlo.

{

,)()(321

dv

x

u

dxe x∫ { ,)()( 321dvu

x xdxe∫ { ,)(1 43421

dv

x

u

dx xe∫ {.)()(dvu

xdx xe∫ 321

De acuerdo con las recomendaciones anteriores, la primera opción parece ser la adecuada, ya que la

derivada de xu = es más sencilla que x , y dxedv x= es la parte más complicada del integrando que seajusta a una regla básica de integración.

.dxdu xu =⇒=

.

tenemosintegrando

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

=

=

=

∫ ∫

Ahora la integración por partes produce:

∫ ∫−= vduuvudv

∫ ∫−= dxe xedx xe x x x

C e xe x x +−=

.)1( C xe x +−= Factorizamos

Para comprobar el resultado, trata de derivar C xe x +− )1(

para ver si obtienes el integrando original. Busca“The Integrator” en el Google si quieres comprobarlo de una manera más rápida.

EJEMPLO 2: Integración por partes que contiene producto de una función logarítmica.

Encuentra ∫ .ln2 xdx x

Solución: En este caso es más fácil integrar 2 x que xln . Además, la derivada de xln es más simple que

xln . Por consiguiente, debes hacer .2dx xdv =

.1

ln dx x

du xu =⇒=

Fórmula de integración por partes

Integramos


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61

Integral definida

,3

322

∫ ==⇒= x

dx xvdx xdv

la integración por partes produce:


∫∫ −= dx x x x x

xdx x

1

3

1

ln3ln

33

2

∫−= dx x x x 2

3

3

1ln

3

.9

ln3

33

C x

x x

+−=

Puedes comprobar este resultado derivando o a través del uso de la tecnología. Si derivas te queda:

.ln3

))((ln1

39ln

3

22

2333

x x x

x x x

x x x

x

dx

d =−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

EJEMPLO 3: Integración por partes de la función logaritmo natural. Encuentra .ln dx x∫ Solución: Considera

dx x

du xu 1

ln =⇒= ,

.∫ ==⇒= xdxvdxdv

Por tanto, la integración por partes produce:


dx x x x xdx x ∫∫ −= 1

lnln

dx x x ∫−= ln C x x x +−= ln C x x +−= )1ln( .

EJEMPLO 4: Uso repetido de la integración por partes.

Encuentra .2 xdxsen x∫ Solución: Los factores 2 x y xsen son igualmente fáciles de integrar. Sin embargo, la derivada de 2 x es

más sencilla que la de xsen . Por consiguiente, haz 2 xu = .

.22 xdxdu xu =⇒=

∫ −==⇒= x xdxsenv xdxsendv cos .

Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:

∫∫ ++−= 122 cos2cos C xdx x x x xdxsen x


Sustituimos

Integramos

Simplificamos


Sustituimos

Integramos

Reescribimos

Primera integración por partes


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62

Esta primera aplicación de la integración por partes ha simplificado la integral original, pero la integral delmiembro derecho aún no se ajusta a la regla básica de integración. Entonces, para evaluar esa integralpuedes aplicar nuevamente la integración por partes. En esta ocasión, haz .2 xu =

,22 dxdu xu =⇒=

.coscos ∫ ==⇒= xsendx xvdx xdv

La integración por partes produce ahora:

∫ ∫−= senxdx xsenx xdx x 22cos2 .cos22 2C x xsenx ++=

Al combinar estos dos resultados escribimos

.cos22cos22 C x xsenx x xsenxdx x +++−=∫ Donde C es la suma de 21 C C + .

EJEMPLO 5: Encuentra ∫ dx xe x

cos .

Solución: Haz xeu = .

,dxedueu x x =⇒=

∫ ==⇒= xsendx xvdx xdv coscos .

Y la integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv produce:

1cos C dx xsene xsenedx xe x x x +−= ∫∫

Aplicando nuevamente la integración por partes:

,dxedueu x x

=⇒= ∫ −==⇒= xdx xsenvdx xsendv cos .

,coscos

coscoscos

C dx xe xe xsene

C dx xe xe xsenedx xe

x x x

x x x x

+−+=

++−−=

∫

∫∫

pasando la integral del miembro derecho de la igualdad hacia el lado izquierdo y factorizando tenemos:

.)cos(2

1

)cos(cos2

C x xsene

C x xsenedx xe

x

x x

++=

++=∫

EJEMPLO 6: Encuentra ∫ ++

.1

)1ln(dx

x

x

Solución:

,1

1)1ln( dx

xdu xu

+=⇒+=

∫ +=+=⇒+= −−

21

21

21

)1(2)1()1( xdx xvdx xdv

Segunda integración por partes


63/105

63

Integral definida

Aplicando el teorema de integración por partes ∫ ∫−= vduuvudv obtienes:

∫

∫ ∫

++−++=

+++

−++=+

+

−

,)1(2)1ln()1(2

,)1(1

12)1ln()1(2

1

)1ln(

21

21

21

21

C x x x

C x x

x xdx x

x

Integrando ésta última integral por cambio de variable obtienes:

.)2)1(ln()1(2

)1(4)1ln()1(2

21

21

21

C x x

C x x x

+−++=

++−++=

Para saber más yenriquecer el tema,visita el sitioencarta.com

TAREA 3

Pág. 69

EJERCICIO 4INDIVIDUAL: Encuentra la integral de las siguientes funciones utilizando la

técnica de integración por partes y entrégaselas a tu profesor para su revisión.

1 ∫ =dx xe x2

6) ∫ =−

dxe x x6

2) ∫ =dx xe x cos 7) ∫ =dx x

3sec

3) ∫ =dxe x x32

8) ∫ =dx x x ln2

4) ∫ =dt t t ln 9) ∫ =+ dx x x 1

5) ∫ =dx x 2)3ln( 10) ∫ =dt t sen

2


64/105


64

¡Ojo Recuerda que

debes resolver la

autoevaluación y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudará a enriquecer

los temas vistos en

clase.


65/105

65

Integral definida

INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida de las siguientes funciones usando los teoremas básicos.

1) ∫ =+− dx x x )836( 3

2) ∫ =−− dx x x )4)(45( 2

3) ∫ =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+− dx x x

x x449

312

4) ∫ =− dx x 2)73(

5) ∫ =− dx x 3)15(

6) ∫ =+ dx xe x )csc5( 2

7) ∫ =+ dx x )1(

8) ∫ =−++ dx x x x x xsen )cotcscseccos( 2

9) ∫ =⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +−−dx

x

x x x3

45 3254

10) ∫ =++−++− −

−dx x x x x x x )123( 3

22

1123

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 1


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66

Revisión: _____________________________________________________

Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________


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67

Integral definida

INSTRUCCIONES: Encuentra la integral indefinida usando la técnica de cambio de variable y verifica el resultado por diferenciación.

1.- ∫ + dx x )2()21( 4

2.- dx x x )2(9 2 −−∫

3.- ∫ + dx x x 243

)3(

4.- ∫ − dx x x 432 )1(

5.- ∫ + dt t t 22

6.- dx x x∫ −3 215

7.- dx

x

x∫

−

32

)1(

8.- dx x

x∫ + 23

2

)1(

9.- dx x

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