第一章数与式 - casiocasio fx-82es 与991es...

目录

第一章数与式

第二章方程与不等式

第三章坐标与函数

第四章三角与复数

第五章数列

第六章算法

第七章统计与概率

第八章矩阵、向量与微积分

1-1

2-1

3-1

4-1

5-1

6-1

7-1

8-1

数式运算

1

1-1数式运算

数式运算

CASIO fx -82ES 与 991ES 两款计算器具有强大的数式运算功能，它们能够进行加、减、乘、除、乘方、开方等

各种主要的数学运算，它们都是按数学的书写顺序输入，许多数学表达式均与教科书通常采用的形式一致。

数式运算中，主要要注意计算器的一些功能切换键。以 82ES 为例，按qw（SETUP），显示：

相应的功能切换为

功能切换键切换功能功能切换键切换功能

MthIO 数学格式 LineIO 线性格式

Deg 度数 Rad 弧度

Gra 百分度 Fix 精确度

Sci 科学计数法 Norm 1 指数格式

2 非指数格式

功能切换键切换功能功能切换键切换功能

ab/c 带分数 d/c 假分数

STAT 开闭 STAT 统计模式的频率（FREQ）

Disp 小数点显示模式( Dot 或 Comma )

▼

CONP ▼ 调整显示对比度

运用计算器进行数式运算时，经常用到的一些功能键是：

M：上一次的运算结果

+-OP：简单的运算符号

u、d、D、s、qsS：可以直接选用的运算符号

f：输入一个数的任何次方

qfF：输入一个数的任何次根 qgG：输入 10 的任何次方

qhH：输入 e 的任何次方

▼

1:MthIO 2:LineIO3:Deg 4:Rad 5:Gra 6:Fix 7:Sci 8:Norm

1:ab/c 2:d/c

3:STAT 4:Disp

5:▼

CONP ▼

数式运算

1

1-2 数式运算

K：乘以 10 的 x 次方

e：绝对值或模

a：输入分数

qaA：输入带分数

n或qn ：分数转换为小数，假分数与带分数之间的转换

!$RE：左右上下移动键，可以移动到要修改的位置

b：进行单位转换

o ：删除刚输入的内容

C ：删除全部内容

说明：本节所指功能键均以 82ES 为例，991ES 略有不同。

例 1 数学格式与线性格式

使用数学格式输入1 32 43 5+ ，其显示结果同书写形式

1 32 43 5+

，计算结果显示为10415

；而若使用线性格式，

显示结果为2 1 3 ＋ 4 3 5 ，计算结果显示为104 15 。

又如，输入 2 3× ，其显示结果与其相同，计算结果显示为 6 ；使用线性格式，结果为2.449489743。（在

数学格式下，按qp，也可显示结果2.449489743）。

例 2 求值 2 8−

解： 2 8− ＝ 6

按键e2-8p，计算器显示：

说明：出现▲符号表示可以使用!、$、R、E、把光标移到需要修改的地方，进行修改。

例 3 张师傅在银行里储蓄人民币 8000 元，存了一年，得到本利合计 8878.40 元，问这项储蓄的月利率是多少？

解：(8878.40-8000)÷8000÷12 ＝ 0.00915 ＝ 0.915％，因此这项储蓄的月利率是 0.915％。

按键(8878.40-8000)P8000P12p

计算器显示：

按n键，计算器显示：

Math

2 8−

6

Math

（8878.40-8000）÷8000÷12

18320000

Math

（8878.40-8000）÷8000÷12

0.00915

数式运算

1

1-3数式运算

说明 1：只要再乘以 100，就能得到所求的百分比。

说明 2：如果 8000 需反复应用，可先输入 8000，以后只要按M即可，按键8000p ，计算器显示：

若按键(8878.40-M)PMP12p，计算器显示：

例 4 修建一项工程，甲工程队单独承包要 80 天完成，乙工程队单独承包要 120 天完成。现在由两个工程队合作

承包，几天可以完成？

解：1 481 1

80 120

=+

，因此现在由两个工程队合作承包，48 天可以完成。

按键1P(1P80+1P120)p，计算器显示：

也可如此按键a1Ra1R80$+a1R120p，计算器显示：

说明：上述操作充分体现了自然书写显示计算器的优点，便于观察，一目了然，如有错误，可及时修改。

例 5 用科学计数法表示下列各数：

（1）3

1000；（2）

54110000000

−

解：（1） 33 3 101000

−= ×

按键qw(SETUP)7(7: Sci)1（进入科学计数法，其中的 1 是选 1 位有效数字）。按a3R100

0pn，计算器显示：

Math

8000

8000

Math

（8878.40-Ans）÷Ans÷12

18320000

Math

1÷（1÷80 ＋ 1÷120）

48

Math

11 1

80 120+

48

SCI Math

31000

33 10−×

数式运算

1

1-4 数式运算

解：（2） 5541 5.41 1010000000

−− = − ×

按键qw(SETUP)7(7: Sci)3（选 3 位有效数字）。按za541R10000000

p，计算器显示：

说明：计算器屏幕显示 Sci，表示进入科学计数法，根据题目要求选 0 ～ 9 位有效数字。当计算结果（分数）超

过一定位数时即显示科学计数法的结果，或者显示小数，并且可以互相转换。

例 6 求180π

的近似值（精确到 0.0001），再用科学计数法表示下列各数。

解： 20.0175 1.75 10180π −≈ = ×

按键qw(SETUP)6(6: Fix)4（确定精确度，根据所需要求选 4）。按aqKLR180pn，

计算器显示：

继续按键qw(SETUP)7(7：Sci)3n，计算器显示：

说明：计算器屏幕显示 Fix，表示进入确定精确度状态，确定精确度的操作和科学计数法类同，而且也可以进行

转换。

例 7 计算（1） )10(2.5)10(1.2 -43 ×⋅× −；（2） )102()108.2( 56 −×÷×

解（1）： 74-3 10310000000

3)10(2.5)10(1.2 −− ×==×⋅×

按键 (1.2O10fz3$)O(2.5O10fz4$)pn，计算器显

示：

解（2）： 1156 104.1)102()108.2( ×=×÷× −

按键qw(SETUP)7(7: Sci)2，(8.2K6)P(2O10fz5$)p，计算

SCI Math

54110000000

−

55.41 10−− ×

FIX Math

180π

0.0175

SCI Math

180π

21.75 10−×

SCI Math

)102.5()10.21( 4-3 −×××

73 10−×

数式运算

1

1-5数式运算

器显示：

说明：输入 10 的 -1 次幂、2 次幂、3 次幂，都可以用直接键u、d、D，用K可以输入乘以 10 的 x 次幂（这

里的 x 要求是非负整数），能减少按键次数，提高运算速度。

例 8 计算（1）；3 27

125− （2） 4 0.002568（精确到 0.0001）

解（1）：3 27 3

125 5− = −

按键qsSza27R125p，计算器显示：

解（2）： 4 0.002568 0.2251=按键qw(SETUP)6(6: Fix)4，qfF4$0.002568p计算器显示：

说明：输入 2 次方根、3 次方根，可以用直接键 s、qsS，其它方根用 qfF，先输入方根数

再按$输入被开方数。

例 9 计算（1） 21

22 )3(2 + ；（2）⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ 125

311)2745(

解（1）： 13)3(2 21

22 =+

按键s2d+3dp，计算器显示：

说明：本题若按如此操作(2d+3d)fa1R2p，显示的结果就是小数。

解（2）：3

31156125311)2745( +−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

按键(s45$+s27$)+(sqaA1$1R3$$-s125

Math

2 22 3+

13

SCI Math

)102()108.2( 56 −×÷×

114.1 10×

SCI Math

3 27125

−

35

−

FIX Math

4 0.002568

0.2251

数式运算

1

1-6 数式运算

$)p，计算器显示：

说明：在数学格式下，可以得到最后的精确结果。继续按qp，也可得到小数形式的近似结果。

Math

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++ 125

311)2745(

6 5 11 33

− +

方程不等式

2

2-1方程不等式

方程与不等式

CASIOfx-82ES与991ES两款计算器都具有一定的方程与不等式的计算功能，特别是991ES具有(EQN)的功能。当

按下w5（EQN）并进入EQN模式时，出现方程式类型菜单：

分别表示可以解决形如：

二元一次方程组⎩⎨⎧

=+=+

;,

222

111

cybxacybxa

三元一次方程组

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

;,

,

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxa

dzcybxa

一元二次方程 02 =++ cbxax ；一元三次方程 023 =+++ dcxbxax 等各类方程（组）。对于系数是分数形式的二元一次方程组、三元一次方程组，当答数在计算范围内时，所得的结果为分数形式。如

果系数是整数的一元二次方程、一元三次方程的结果为无理数，则显示近似值或虚数形式的结果。

CASIOfx-991ES型计算器还可以使用SOLVE（COMP）功能，即使用近似牛顿法来解方程式。

CASIOfx-991ES型计算器具有CASIOfx-82ES型的所有功能。CASIOfx-82ES型计算器虽不具有直接的方程计算功

能和SOLVE功能，但可以对于已经数学求解公式得到的结果运用其强大的数式功能进行计算，或利用由函数生成的

数字表格（TABLE）求得方程的近似解。

要注意的是，在进行上述运算时，计算器必须处于COMP状态，即按键w ，显示

（991-ES）（82-ES）按1即可以进入COMP状态。

例1 解方程： 432432

++=++xxx

解：1 1 1 108(2 3 4) ( )2 3 4 13

x = + + ÷ + + =

运用CASIOfx-82ES型计算器，按键

PP+3+4)P(1P2+1P3+1P4)p，计算器显示结果10813

。

说明：不能直接解方程，但可以在一定的范围内用来作分数运算，进而可以解决一元一次方程的求解问题。其分

数的输入还可采用自然书写形式。

例2 解方程 02

33

2=

−+

− xx

解：23

32

21

31

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + x ，

2 3 1 1 3 3 2 23 2 3 2 5

x⎛ ⎞ +⎛ ⎞= + ÷ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

运用CASIOfx-82ES型计算器，按键

(s2$P3+s3$P2)P(1P3+1P2)p，

计算器显示结果 5

2233 +。

1:COMP 2:CMFLX3:STAT 4:BASE-N 5:EQN 6:MATRIX 7:TABLE 8:VECTOR

1:COMP 2:STAT3:TABLE

1： n n na X b Y c+ =

2： n n n na X b Y c Z d+ + =

3： 2 0aX bX c+ + =4： 3 2 0aX bX cX d+ + + =

方程不等式

2

2-2 方程不等式

说明：CASIOfx-82ES型计算器能够显示某些范围内无理数。

例3 解方程 1765

432

=++

+++

iix

iix

解：i

ii

ixii 76

543

2176

143

1+

−+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+ ，

2 5 1 1 207 5113 4 6 7 3 4 6 7 101 101

i ix ii i i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ÷ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠运用fx-991ES型计算器，按键w2，进入复数计算状态，

1:COMP 2:CMFLX3:STAT 4:BASE-N 5:EQN 6:MATRIX 7:TABLE 8:VECTOR

再按键qw（SETUP）R ，

1:ab/c 2:d/c3:CMPLX 4:STAT 5:DISP 6: CONP

按键3

Complex Result？

1:a+bi 2:r∠θ

按键1，此时复数用 bia + 的代数形式表示。

运用fx-991ES，顺次按键：(1-2Qb（i）P(3+4Qb（i）)-5Qb（i）P(6+7Qb（i）))P(1P(3+4Qb（i）)+1P(6+7Qb

（i）))p，计算器显示结果 i10151

101207

− 。

说明：CASIOfx-991ES型计算器能进行复数计算（CMPLX），复数计算均在CMPLX模式（w2）下进行。

在CMPLX模式下，b键可改变功能，成为一个虚数i输入键。

例4 解方程 053022 2 =+− xx

解：230 30 4 22 5 15 115

2 22 22x ± − × × ±= =

×

运用CASIOfx-82ES型计算器，操作如下：a30+s30d-4O22O5$$2O22p，

计算器显示结果 22

11515 +；

再继续运用fx-82ES型计算器，按键：$$$$$o-p，结果计算器显示为22

11515 −。

说明1：fx-82ES型计算器不具有直接解一元二次方程的功能，但可以利用求根公式解决有理数系数的一元二次方

程，其可以显示允许范围内的无理根。

说明2：本题还可运用fx-991ES型计算器的(EQN)功能直接计算。

方程不等式

2

2-3方程不等式

先按键q5进入方程式计算状态（EQN），再按键3 ，进入解一元二次方程状态，

Math

a b c

〔 0 0 0〕 0

顺次按键，输入方程系数22p-30p5p。按p，计算器显示结果为再按键p，显示结果为

Math

=2X 0.1943724866

得到两个近似根 1 21.169263877, 0.1943724866x x= = 。

例5 解方程 0102 2 =+− xx

解：21 1 4 2 10 1 792 2 4 4

x i± − × ×= = ±

×

运用fx-991ES型计算器，先按键w2，进入复数计算状态，再按键qw（SETUP）R31，启用 bia + 的代

数形式表示复数。按键a1+s1d-4O2O10$$2O2p，计算器显示结果为

Math

21 1 4 2 102 2

+ − × ××

1 794 4

i+

再继续按键 $$$$$o-p，结果计算器显示为 i479

41− 。

说明：为了得到准确值，这里用求根公式直接计算，回避使用fx-991ES计算器的方程式计算状态（EQN）。

例6 解方程 03464 23 =+−− xxx

解：运用fx-991ES型计算器直接计算，按w5进入方程式计算状态（EQN），再按键4 ，进入解

一元三次方程状态。顺次按键，输入方程系数4p-6p-4p3p。按p，计算器显示结果

8228756555.01 −=x ；再按键p，显示 822875656.12 =x ；继续按键p，显示 21

3 =x 。

得到三个根 8228756555.01 −=x ， 822875656.12 =x 与21

3 =x 。

说明：fx-991ES型计算器具有形如 023 =+++ dcxbxax 的实系数一元三次方程的求解功能。若有两个虚数

解，则表示式为 bia + 的复数形式。

例7 解方程 0140169524 23 =−+− xxx （其中2

130 << x ）。（近似到0.1）

解法一：运用fx-991ES型计算器直接计算：按w5进入方程式计算状态（EQN），再按4，进入解一元三次方程状态。顺次按键，输入方程系数4p-52p169p-140p，按p，计算器显示结果

526091388.81 =x ；再按键p，显示 185067304.32 =x ；继续按键p，显示 288841308.13 =x 。

得到两个符合要求的根 1.3x = 或 3.2x = 。

方程不等式

2

2-4 方程不等式

解法二：运用fx-82ES型计算器的TABLE功能，按键w

1:COMP 2:STAT3:TABLE

按3，进入通过函数生成数字表格（TABLE）状态

输入函数表达式，按4Q)（X）D-52Q)（X）d+169Q)（X）-140， Math

f(X)＝ 140-X169X52X4 23 +−

按p Math

Start?

1

Math

End?

1

Math

Step?

1

输入起始值、结束值、步骤值（步长），即按键0p29p1p，得到数字表格。

Math

1234567891011

X012345678910

F(X)-140-19227

-40-95-134-133-6885350

从中可以发现 0)1( <f 、 0)2( >f 、 0)3( >f 、 0)4( <f 、 0)8( <f 、 0)9( >f ，所以在区间 )2,1( ，

)4,3( ， )9,8( 内各有一根。

先求区间 )2,1( 内的根：按键Cp，然后再输入起始值、结束值、步骤值（步长），按键1p2p0.0

方程不等式

2

2-5方程不等式

5p，发现 0)25.1( <f 、 0)3.1( >f 。本题要求近似到0.1，所以区间 )2,1( 内的根为x=1.3。

类似求得区间 )4,3( 内的根为x＝3.2。

说明：对于函数f(x)（x∈ D），如果存在实数c（c∈ D），当x=c时，f(c)=0，那么就把x=c叫做函数f(x)

（x∈D）的零点。设函数f(x)在闭区间[a，b]连续，如果f(a)与f(b)异号，那么必定存在一点c (a，b)，使得

f(c)=0。利用这个性质，我们可以使用fx-82ES型计算器的利用通过函数生成数字表格（TABLE）求得方程的近似

解。TABLE模式中的函数最多可以输入30个自变量的数值。在实际求零点的过程中，由于十进制的关系，我们一

般选择将两端数据二十等分或二十五等分。格式为：函数、起始值、结束值、步骤值（步长）。如本题， =)(xf

140169524 23 −+− xxx ，第一步时，起始值＝0，结束值＝29；步骤值＝1，再发现 )2,1( 内有解后，把三个值作

改动，起始值＝1，结束值＝2；步骤值＝0.05，最后按要求找到近似解。

例8 求方程 18lg3 =+ xx 的近似解。（保留十个有效数字）

解法一：由于 xxxf lg)( 3 += 递增，且 )3(18)1( ff << ，所以该方程有且仅有一个实数解。

运用fx-991ES型计算器的SOLVE功能，顺次按键，输入函数表达式与所求变量

Qn（Y）Qr（＝）Q)（X）qd（ 3x ）+gQ)（X）)q)（，）Q)（X），

Math

Y= X),Xlog(X3 +

再按键qr（SOLVE）

Math

Y？

输入 )(xfy = 的值，按键18p，

Math

Solve for X

0

再随意输入一个正值，如输入1，即按键1p，

Math

Y= X),Xlog(X3 +

X=2.600441391

即得原方程的近似解 2.600441391x = 。

说明：运用fx-991ES型计算器的SOLVE功能，实际上就是运用牛顿法来解一个方程式。由于有时由变量的初始值

（假设值）不能得到方程的解，可以尝试改变解变量的初始值。要注意的是，当有多个解时，使用SOLVE却只能求

得某一个解，所以有时需要预先确定解的大致位置。

解法二：运用fx-82ES型计算器的函数生成数字表格（TABLE）功能求解。

由于 18lg)( 3 −+= xxxf 递增，且 )3(0)2( ff << ，所以方程 018lg3 =−+ xx 有且仅有一个实数解。按

键w3，输入函数表达式Q)（X）D+gQ)（X）)-18p。按键输入起始值、结束值、步

骤值（步长），2p3p0.1p，发现， 0)6.2( <f ， 0)7.2( >f 由此断定方程在（2.6，2.7）之间存

在一个实数解。

方程不等式

2

2-6 方程不等式

缩小范围。按键Cp，改变起始值、结束值、步骤值（步长），按键2.6p2.7p0.0

05p，发现 0)6.2( <f ， 0)605.2( >f ，由此断定方程在（2.6，2.605）之间存在一个实数解。

继续缩小范围。按键Cp，再次改变起始值、结束值、步骤值（步长），按键2.6p2.605

p0.0002p ，发现 0)6004.2( <f 、 0)6006.2( >f ，由此断定方程在（2.6004，2.6006）之间存

在一个实数解。

如此继续，便可发现 0)600441391.2( <f ， 0)600441392.2( >f 。若再继续，由于计算器内部位数限制，

得到 0)600441391.2( <f ， 0)600441391.2( >f 。从而得到原方程符合要求的近似解 600441391.2=x 。说明：fx-82ES型计算器的TABLE功能和fx-991ES型计算器的SOLVE功能是两个很有用的功能。在实际应用中，

我们可以根据结果的精确度要求，结束TABLE的计算。另我们在用计算器求一定范围内的实数根之前，应尽量先确

定根的个数。

例9 解方程组 ⎩⎨⎧

=−=+

.2437,22

yxyx

解：运用fx-991ES型计算器直接计算，按键w5进入方程式计算状态（EQN），再按键1，进入解二元一次

方程状态。顺次按键，输入方程组系数，1p2p2p7p-3p24pp，

最后计算器屏幕显示结果1754

=x ；再按键p ，显示

1710

−=y 。

即得原方程组的解是

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

.1710

,1754

y

x

说明：fx-991ES型计算器可以解决形如

⎩⎨⎧

=+=+

,,

222

111

cybxacybxa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

,,

,

3333

2222

1111

dzcybxadzcybxa

dzcybxa 的二元一次方程组与三元一次

方程组。对于系数是分数形式的二元一次方程组，三元一次方程组，当答数在计算范围内是，所得的结果为分数形式。

例10 解方程组

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=−

.96,34,12

xzzyyx

解：原方程组是

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−+=+−

.906,340,102

zyxzyxzyx

运用fx-991ES型计算器直接计算，按键w5进入方程式计算状态

（EQN），再按键2，进入解三元一次方程状态。顺次按键，输入方程组系数

1p-2p0p1p0p1p-4p3p-6p0p1p9p，按p，计算器显示

结果4779

−=x ；再按键p，显示4763

−=y ；再按键p，显示4751

−=z 。

即得原方程组的解是

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

−=

.4751

,4763

,4779

z

y

x

方程不等式

2

2-7方程不等式

例11 解不等式 012 2 >−− xx

解：先解方程 012 2 =−− xx ，22

241122

)1(24)1(1 22

××+±

=×

−××−−±=x 。

运用fx-82ES型计算器，按键a1+s1d+4O2$$2O2p，计算器显示结果1；继续

按键$$$$o-p，显示21

− 。

即得原不等式的解是 1>x 或21

−<x 。

说明：事实上，求根公式以及判断解的形式是必须要掌握的，这里计算器只是作为运算的工具。当然也可如下题

那样运用fx-82ES型计算器的函数生成数字表格（TABLE）功能。

例12 求不等式 11072007

21

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+n

的最大整数解。

解：由于 11072007)(

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+x

xf 递减，所以只需找到第一个使 1)( ≤nf 的整数n即可。

运用fx-82ES型计算器的函数生成数字表格（TABLE）功能。按键w3，再顺次按键，输入函数表达式，

2007(7P10)f(Q)（X）+1P2)$+-1p。

按键，输入起始值、结束值、步骤值（步长），1p30p1p。可以发现 0)20( >f ， 0)21( <f ，所以

不等式 11072007

21

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+n

的最大整数解为20。

说明：本题函数的单调性是获得正确结论不可缺少的一步。

坐标与函数

3

3-1坐标与函数

坐标与函数

一、坐标

CASIO fx -82ES与 fx -991ES这两款计算器都有极坐标与直角坐标的互化功能，运用这一功能可方便地将两种坐

标系下的坐标互相转换。由于这两款计算器在这一功能上表现完全一致，只是键盘排列上略有不同，所以这里以

fx -82ES的操作为例进行介绍。

坐标的互化，首先要确定角度的度量制。按qw（SETUP），显示：


其中3:Deg为角度制，4:Rad为弧度制。

例1 将直角坐标系下的坐标 (1 ,1)转化成极坐标（极角用角度表示）。

解：按键w1qw（SETUP）3，将计算器设置为计算模式，角的单位设置为角度制。

按键q+（Pol）1q)（，）1)p，计算器显示结果

Math

Pol (1 , 1)

r =1.414213562,

说明：上述结果是在MthIO (qw（SETUP）1)模式下显示得到的，►表示后面还有结果，按$即可显示尚

未显示的内容。若将输出模式设置为LineIO(qw（SETUP）2)，即可显示

Pol (1 , 1)

r = 1.414213562 = 45

例2 将极坐标系下的坐标 ( 2 , )4π

转化为直角坐标。

解：按键w1qw（SETUP）4，将计算器设置为计算模式，角的单位制设置为弧度制。

按键q-（Rec）s2$q)（，）aqK（π）R4$)p，计算器显示结果

Math

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

4π,2Rec π

X=1,Y=1

说明：上述结果是在MthIO (qw（SETUP）1)模式下显示得到的，若将输出模式设置为LineIO(qw

（SETUP）2)，即可显示

坐标与函数

3

3-2 坐标与函数

4π),2(Rec ÷π

X= 1Y= 1

例3 将直角坐标 ( 2 , 6)− 化成极坐标。（极角用弧度制表示）

解：直接运用计算器的坐标转换功能进行计算。按键w1qw（SETUP）1qw（SETUP）4，将计算器设置为计算模式，输出格式为MthIO，结果用弧度制表示。

按q+（Pol）s2$q)（，）zs6$)p计算器显示结果

Math

5,2.82842712r)6,2( Pol

=−

说明1：若要将 r 写成带根号的形式，在算得结果以后调出X 寄存器中的结果（J)），注意只有在MahIO状

态下此项操作的结果才会是带根号的形式。如果计算的极角恰好是特殊角，调出Y 寄存器中的结果（Jn）显示的

结果是形如3π

、4π

……的形式。本题中，通过上述操作，可将极径表示为 2 2 ，极角为3π

− 。

说明2：根号形式的计算结果有一定的允许值范围，超过这一范围后计算器自动将结果以小数形式表示。按qp

可将根号形式化为小数形式。

例4 将极坐标2( 2 , )3π

− 化为直角坐标。

解：由于计算器默认极径为正值，所以先要将该坐标化为 (2, )3π

− ，然后利用坐标转换功能直接进行计算。

按键q-（Rec）2q)（，）zaqK（π）R3$)p，计算器显示结果

Rec[2,

3π

− ]

X=1，Y=-1.732050►

说明：利用信息技术帮助你确认你的计算结果是否正确，这也是一项很有意义的工作，有利于养成一种对自己工

作负责的习惯。

例5 已知点 (3 ,5)P ， (6 ,9)Q ，求 P 、Q之间的距离。

解：本题可以利用向量的减法和极径的意义，借用直角坐标与极坐标的互化功能解决，使问题简化。

按键q+（Pol）3-6q)（，）5-9p，计算器显示结果为5。

说明：这里计算的实际上是向量QPuuur

的模，所以你也可以利用上述方法计算向量的模。另外同上面的例题一样，

我们也可以将计算得到的距离以根式的形式呈现（J)），当然前提是在运算前需要将输出格式设置为MthIO状态。

二、函数

CASIO fx -82ES与 fx 991ES这两款计算器中有一个特殊的功能“通过函数生成数字表格功能（TABLE）”，借

助于这一功能可以方便地解决函数中的一些问题。我们能方便地进行列表计算，帮助学生通过函数的数值特点来分析

函数、研究函数的特性如奇偶性、单调性、最值等问题，帮助学生形成数学的猜想、验证推演的结果，对于培养学生

坐标与函数

3

3-3坐标与函数

数学的分析能力，提高学生的直觉思维都十分有利。

由于这两款计算器在这一功能能上表现完全一致，只是键盘排列上略有不同，所以这里以 fx -82ES的操作为例进

行介绍。其基本操作，可见前一章方程与不等式的例题讲解。

例1 已知 4 2( ) 1f x x x= + + [ 3 ,3], Zx x∈ − ∈ ，求函数 ( )f x 的值域。

解：按键w3（注意： fx -991ES为w7），设置函数生成数字表格模式

Math

f(X)＝

按Q)（X）f4$+Q)（X）d+1，输入函数表达式

f(X)＝ 1XX 24 ++

按p

Start? 1

End? 1

Step? 1

按z3p设置表格的起始值，按3p设置结束值，按1p设置步骤长。计算器生成数字表格，按R键

能显示其余未在屏幕上显示的数据。

Math

X F(X)123

-3-2-1

91213

-3

由此可以得到这一函数在 [ 3 ,3], Zx x∈ − ∈ 的值域为（1,91）。

说明：对于 fx -82ES与 fx 991ES计算器，生成的数字表格数据最多只能是30个，超过这一容量计算器会显示出

错信息。按C或左、右箭头键都能使计算器返回函数表达式。若要重新编辑函数表达式或改变表格的起始值、结束

值或步骤长，可按C计算器返回到函数表达式。

例2 已知函数 3 2( ) 4 10f x x x x= − + − ，计算 ( 2 1)f + 的值。

解：按键w1qw（SETUP）1，将计算器设置为计算模式，输出格式为MthIO。

按s2$+1qJ（STO）z，将 2 1+ 存入寄存器A。

按Jzf3$-4OJzd+Jz-10p，计算器显示结果

Math

10AA4Ans 23 −+−

2214 −−

即 ( 2 1) 14 2 2f + = − − 。

说明1：将 2 1+ 存入寄存器A，其目的是为了简化变量的输入，当然你也可以直接输入 2 1+ ，在需要处理多

坐标与函数

3

3-4 坐标与函数

个同类的问题时，用好寄存器会给你带来更多的方便。如在计算上述函数值之后，还需要计算 (2 2 3)f − 的值，则

可将2 2 3− 存入寄存器A，然后用E查找历史，翻出 3 2Ans 4A A 10− + − ，直接按p就会显示结果8 18 3− 。

说明2：若使用 fx -991ES计算器，还可以使用它的CALC功能，利用这一功能可方便地计算同一函数在多个点上

的值。

例3 已知函数 2 2( ) 1 , ( ) 2 1f x x x g x x x= − + − = − − ，求 ( ( 2 1))f g − 。

解：本题可利用多语句表达式功能，并结合Ans的运用，直接进行计算。

按键s2$-1QD（：）Md-2M-1QD（：）zMd+M-1ppp，

计算器显示结果 45 28 2− + 。

说明：本题的计算运用了多语句表达式，每一语句用冒号隔开，最后按三次等号，表示按顺序连续执行三个语句，得到最后结果。

例4 已知函数2( ) 4f x x x= − − ，求 ( ( (3)))f f f 的值。

解：本题可以直接利用计算器的“叠代功能”进行计算。具体步骤如下：

按键w1，设置计算模式。按3d-3-4p，显示 (3)f 的结果。继续按d-M-4pp，

计算器显示结果

Math

4AnsAns2 −−

2

所以 ( ( (3)))f f f =2。

说明：这里 2Ans Ans 4− − 的意义是将前一次的计算结果代入Ans 进行计算。第一个等号p计算的结果是将

(3) 2f = 代入上式中的Ans 计算，得到 ( (3)) 2f f = − ；第二个等号p是将 ( (3)) 2f f = − 代入上式中的Ans 计算，得到最后结果2。

例5 判断函数

24( )| 4 | 4

xf xx

−=

− −的奇偶性，并证明你的结果。

解：直接在表格模式下输入函数表达式，从具体数值上观察函数是否具有奇偶性。

按键w3（注意： fx -991ES为w7），设置函数生成数字表格模式。

按as4-Q)（X）d$ReQ)（X）-4$-4p，输入函数表达式。继续按

z3p、3p、1p，将起始值、结束值、步骤长分别设置为-3、3和1。

X F(X)123

-3-2-1

ERROR0

1.732

观察数字表格中的数据，可以发现函数在自变量为-3、0、3时都是无意义的。我们进一步将起始值、结束值及步

骤长设置为-2、2、0.5，重新计算所得结果，如表1所示。

由此猜想该函数为奇函数，并由计算可以发现使函数式有意义的自变量的值都在区间[ 2 , 2]− 内，所以可将函数

式化简得24( ) xf x

x−

=−

。

坐标与函数

3

3-5坐标与函数

（证明略）说明1：学生很容易从这个函数表达式的具体形式中形成一种印象，这一函数是一个非奇非偶函数，容易产生误

解。但通过计算一些具体的数据，可以给我们一种直觉，它是一个奇函数，同时也引导我们将问题解决的注意力集中

到定义域的确定与绝对值的处理上，客观上帮助我们形成了解题的策略。

说明2：在 fx -991ES中绝对值为第二功能，操作时需加注意。

例6 已知函数 log (2 )ay ax= − 在[0 ,1]上是减函数，则 a 的取值范围是（）。

（A） (0 ,1) （B） (1 , 2) （C） (0 , 2) （D） [2 , )+∞ 解：本题可以通过计算，排斥错误的选项，从而获取正确的结果。

由对数的概念可知底数不能为1，排斥选项（C）。

而当 a 的数值取到充分大时，一定能使对数的真数为负值，又排斥了选项（D）。

因此我们只要确定 a 的数值是在区间 (0 ,1)上还是在 (1 , 2)上。

令 0.5a = ，按键i0.5$2-.5Q)（X）p，输入函数表达式。设置列表的起始值为0，终止值为1，步骤长为0.1。从生成的表格可以发现，这一函数不是单调递减的，故排斥（A）。

所以正确结果为（B）。

说明：通过具体的数值计算，帮助排斥错误的结论是一种很好的方法，千万不要以为这只是一种取巧的方式。实

际上，在你的任何一次计算过程中都需要进行验算，如果你能通过一些具体的数据来发现结论的错误是十分有益的，

这将有助于培养你思维的敏锐性和深刻性，对于提高你解题的准确性也有着十分积极的意义。

例6 用计算器验算函数lg ( 1)xy x

x= > 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只可能是( )。

（A）lg xy

x= 在 (1 , )+∞ 上是单调减函数

（B） lg xyx

= ， (1 , )x∈ +∞ 有最小值

（C）lg xy

x= ， (1 , )x∈ +∞ 的值域为

lg3(0 , ]3

（D）lglim 0 , N

n

n nn→∞

= ∈

解：直接在表格模式下输入函数表达式lg xy

x= 计算并观察结果。

按键agQ)（X）)RQ)（X）p，输入函数表达式lg xy

x= 。按1p、30p、1p，

将起始值和结束值分别设为1和30，步骤长设为1。

坐标与函数

3

3-6 坐标与函数

节选计算结果列表（表2），观察表中数据，lg 2 0.15052

= ，lg3 0.1593

= ，lg 4 0.15054

= 可知函数不是单调

函数，可排斥选项（A）。另外当 4x > 时，发现函数lg xy

x= ， (1 , )x∈ +∞ 在给定范围内呈单调递减趋势，联想

到对数函数随着自变量的逐渐增大的递增速度在逐渐减小，而正比例函数的递增速度是恒定不变的，不难想象函数在

(1 , )+∞ 上不会有最小值，因此可排斥选项（B）。而lg33

是否是最大值有待进一步分析，所以取一些3附近的自变

量值计算函数值与自变量为3的函数值进行比较，经计算发现lg 2.9 lg32.9 3

> ，选项（C）的结论也不正确。所以正确

结果为（D）。

说明：在列表计算中，有时由于步骤长的设置不能很好地反映出函数的特性，所以需要调整步骤长，或取一些具

体的数据进一步计算来帮助确定结论。由此可知，计算器的作用是帮助人脑进行思考，而最为重要的是我们的分析和

推理，不能简单地从一些计算的结果中就匆忙地得出结论。

例7 设函数7( ) 2006 ( )

10xf x = ⋅

1072006 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

x

，若 ( ) (1) (2) (3) ( )F n f f f f n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K ， Zn +∈ ，当 n 取何值时 ( )F n 取得

最大值？

解：在表格模式下，将函数7( ) 2006 ( )

10xf x = ⋅

1072006 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

x

的表达式输入计算器，取1为列表的起始值，30为终止值，步

骤长为1进行计算。由计算结果可以发现 ( )f n 是单调递减的，且从 (1)f 到 (21)f 中的各项均大于1，从 (22)f 起的

各项均小于1，要使 ( )F n 最大，只要将 ( )f n 中所有大于1的项相乘即可，所以当 21n = 时 ( )F n 最大。

说明：本题的解题过程充分地运用了计算器的功能特点，采取穷举的方法，很简单地解决了问题。值得注意的

是，我们应该从中研究问题的特点，形成数学的解题策略与方法。由前面的计算，我们可得以下纸笔运算的方法：

1. 证明 ( )f n 是单调递减；

2. 求方程 11072006 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

x

的解，经计算得 21.31884535x = ；

3. 根据计算结果，可知从 (1)f 到 (21)f 中各项均大于1，从 (22)f 起小于1，由此得出最后结果。

在解题时我们应充分注意运用计算器进行探究发现，帮助形成解题的策略，计算器不仅仅只是一个仅仅进行计算的工具。

例8 已知2( ) 3f x x ax a= + + − 。若 [ 2 2]x∈ − ，时 ( ) 0f x ≥ 恒成立，求实数 a 的取值范围。

解：本题的已知条件可以转化为 2( 1) ( 3)a x x− ≥ − + 当 [ 2 2]x∈ − ，时恒成立。即当 (1 , 2]x∈ 时，恒有

2( 3)1

xax

− +≥

−成立，且 [ 2 ,1)x∈ − 时，恒有

2( 3)1

xax

− +≤

−成立。也即当 (1 , 2]x∈ 时，

2( 3)max( )1

xax

− +≥

−，且

坐标与函数

3

3-7坐标与函数

[ 2 ,1)x∈ − 时，2( 3)min( )

1xax

− +≤

− 。

利用 fx -82ES（与 fx -991ES）计算器的函数生成数字表格的功能，设置起始值为-2，结束值为2，步骤长为0.2，

可以观察到函数在 (1 , 2]上的最大值为-7，[ 2 ,1)− 上的最小值为2，由此可得 7 2a− ≤ ≤ 。

说明：这种解法有其不完整的一面，但顺着这个思路用纸笔进行计算也能方便地获得结论。由此可以看到，计算

器的意义更多地在于验证结果和提供解题思路。事实上利用计算器解题，可以有两种途径：第一种是先用计算器进行

解题，然后用纸笔计算；或是先用纸笔运算，然后用计算器验证结果。前者在于用技术帮助思维，后者是反思结果、

确认结果的正确性。如果人们常常从这两个方面进行考虑，则一定能迅速提高解题能力。

三角与复数

4

4-1三角与复数

三角与复数一、三角

CASIO fx -82 ES 与 CASIO fx -991 ES 这两款计算器都具有三角计算的功能 , 现以 82ES 为例。

三角计算中，首先要确定角度的度量制。按qw（STEUP），显示：

其中 3:Deg 为角度制，4:Rad 为弧度制。另按qM（DRG），显示

其中 1: o为度，2: r 为弧度，3:g 为百分度。

其他经常用到的一些功能键，有j：正弦函数；k：余弦函数；l：正切函数；qj （ 1sin− ）：反正弦函数；

qk（ 1cos− ）：反余弦函数；ql（1tan− ）：反正切函数。

这些都是可以直接选用的三角函数、反三角函数的运算符号。

例 1

（1）在 Degree 状态下输入 °1 与 r1 （在计算器中表示 1 弧度），观察它们的结果。

（2）在 Radian 状态下输入 °1 与 r1 ，观察它们的结果。

比较两者的异同，试分析这些结果分别代表什么含义。解：

（1）按键qw（STEUP） 3，设置角度制。按1p输入，计算器显示

若继续按qM2p输入 r1 ，计算器显示结果

（2）按键qw（STEUP） 4，设置弧度制。按1qM1 输入 °1 ，按p，计算器显示

Math

1

1

Math

Ansr

57.29577951

Math

°1

1180

π


1:o 2: r3:g

三角与复数

4

4-2 三角与复数

再按n结果显示小数

若输入 r1 ，则显示 1。

说明：（1）的结果表示 1 57.29577951r = o ，（2）的结果表示 °1 ＝

1180

π ＝ 0.0174532923 弧度。

例 2 用计算器求 sin12π

的值

解：在 Radian 状态下，按键jqK（π）P12 ，输入 sin12π

，按p ，计算器显示结果

若按qp，则显示小数

说明：类似可以计算其他的三角比，尽管计算器没有专门的余切、正割、余割的功能键，但可利用同角的正弦与余割、余弦与正割、正切与余切之间的倒数关系，仍可求出相应的数值。

例 3 借助计算器的由函数生成的数字表格（TABLE）研究正弦函数 siny x= 值的一些规律

解：在 Radian 状态下，按键 w3（注意： fx -991ES 为 w7），设置函数生成数字表格模式。按键输入正

弦函数 siny x= ，设置表格的起始值为 0，结束值为 2π，步骤长为 π÷6。计算器生成数字表格

移动光标，可以看到其他数据。由此可以得到正弦函数在［0，2π］之间的变化情况，如周期性、最大值、最小值等的规律。

说明：可以更换步长的值，进行更为细致的观察。步长越小，观察正弦函数的变化规律越为清晰。对于余弦函数也可作类似研究，得到类似的结论。

例 5 求不等式 )2sin(sin xx < 在区间 )2,0[ π 上的解集。

解：在 Radian 状态下，按键 w3，设置函数生成数字表格模式。按键输入函数 sin sin(2 )y x x= − ，设置

表格的起始值为 0，结束值为 2π，步骤长为 π÷6。计算器生成数字表格

Math

°1

0.0174532923

Math

sin(π÷12

6 24−

Math

sin(π÷12

0.258819045

Math

X F(X)1 0 02 0.5235 0.53 1.0471 0.866

三角与复数

4

4-3三角与复数

通过观察数字表格，结合函数的零点，综合可知不等式 )2sin(sin xx < 的解集是 )6

,0( πU )

35,( ππ 。

说明：解决本题的关键在于将不等式转化为函数，运用计算器的数字表格解决问题。

例 6 正弦函数 Rxxy ∈= ,sin R 是否有反函数？若有，请求出；若没有，请说明理由。

解：根据反函数的定义，判断一个函数是否具有反函数，只需分析这个函数的自变量 x 和函数值 y 之间是否

一一对应。因此，可以运用计算器，通过函数值的计算进行判断。

在 Radian 状态下，按键w3，设置函数生成数字表格模式。按键输入正弦函数 siny x= ，设置表格的

起始值为 0，结束值为 2π，步骤长为 π÷2。计算器生成数字表格

通过数字表格，可以发现当 0x = 、 x π= 、 2x π= 时，函数值均为 0。因此我们不难得到结论：定义在 R 上

的正弦函数不存在反函数。

例 7 请用计算器验证等式 sin(arcsin ) , [ 1,1]x x x= ∈ − 。

解：在计算器中，输入函数，可以通过计算函数值来进行判断。

在 Radian 状态下，按键 w3，设置函数生成数字表格模式。按键输入函数 sin(arcsin( ))y x= ，设置表格

的起始值为 -1，结束值为 1，步骤长为 0.1。计算器生成数字表格

通过数字表格，可以发现：在 ]1,1[−∈x 中，自变量与应变量的值相等。即有 sin(arcsin ) , [ 1,1]x x x= ∈ −

例8 已知 sin(arcsin ) , [ 1,1]x x x= ∈ − ，那么 arcsin(sin )x 又等于什么呢？它与 sin(arcsin )x 有何异同？

能说明原因吗？解：在计算器中，输入函数，通过计算函数值来进行判断。

在 Radian 状态下，按键 w3，设置函数生成数字表格模式。按键输入函数 arcsin(sin( ))y x= ，设置表

格的起始值为 -π，结束值为 π，步骤长为 π÷10。通过计算器生成数字表格，可以发现：当 ]2

,2

[ ππ−∈x 时，显然

arcsin(sin )x x= 。那么对于其他范围内的 x 呢？由于 aarcsin 的取值范围是 ]2

,2

[ ππ− ，那么 arcsin(sin )x 呢？

我们可以先猜测一下结论，并分析为什么 arcsin(sin )x 与 sin(arcsin )x 的结论会有所不同。

说明：类似地，我们还可对于余弦函数、正切函数的反函数进行探讨研究。作为拓展，还可以讨论

)cos(arccos x 与 )arccos(cos x 、 sin(arccos )x 与 )cos(arcsin x 、 )arcsin(cos x 与 )arccos(sin x 的异同，也

可以验证等式2

arccosarcsin π=+ xx 。

Math

X F(X)1 0 02 0.5235 -0.3663 1.0471 0

Math

X F(X)1 0 02 0.5235 0.53 1.0471 0.866

Math

X F(X)1 -1 -12 -0.9 -0.93 -0.8 -0.8

三角与复数

4

4-4 三角与复数

例 9 解方程：2

sin xx = （精确到 0.1）。

解：考虑到函数为奇函数，这里主要研究非负根。

在 Radian 状态下，按键 w3，设置函数生成数字表格模式。按键输入函数 sin( ) 2y x x= − ÷ ，设置表格的

起始值为 0，结束值为 2π，步骤长为 1。通过计算器生成的数字表格，可以发现：方程的一个根为 0x = ，一个根在

(1, 2) 。改变表格的起始值为 1，结束值为 2，步骤长为 0.1。通过计算器生成的数字表格，可以发现一个正根在

(1.8,1.9)。再次更换表格的起始值、结束值与步骤长，可以得到方程的近似解为 1.9x ≈ 。

所以，方程的解为 0x = 或 1.9x ≈ − 或 1.9x ≈ 。

二、复数

CASIO fx -991 ES 具有复数的计算功能。

要注意的是，进行复数运算时，计算器必须处于复数状态，按w

其中 2:CMPLX 为复数状态，按2即进入。计算器上与复数状态直接有关的键是（i）。例 1 在实数范围内解方程 12 −=x

。

解：在一般状态下，按s输入算式 1− ，按p发现出错，说明在实数范围内无解。

而若预先w2按设置复数状态，按s输入算式 1− ，

说明：以下各例题的计算均在 CMPLX 模式下进行。

例 2 求复数 i43+=z 的模及其共轭复数。解：按键w2，设置复数状态。

按qc（Abs）3+4Qx( i )p，即可得到复数 i43+=z 的模为 5。

Math

Math ERROR〔AC〕：Cancel〔 ▲〕〔

▲

〕：Goto

Math

1−

CMPLX Math

1−

i

1:COMP 2:CMPLX3:STAT 4:BASE-N5:EQN 6:MATRIX 7:TABLE 8:VECTOR

CMPLX Math

Conjg(3＋4i)

i43−

三角与复数

4

4-5三角与复数

在复数状态下，按q2（CMPLX）

按2，选择共轭复数。输入复数 3+4i，即3+4Qx( i )p，得到共轭复数 i43−=z 。

说明：运用计算器，可以很方便地得到有关复数的一些基本结果。

例 3 计算 )i24()i31( +−++ 。解：如图输入复数的算式，按p即可得到计算结果 -3+5i。

例 4 计算 )2i3()i35( −−− 解：如图输入复数的算式，按p即可得到计算结果 7-6i。

例 5 计算 )i24)(i32( +−

解：如图输入复数的算式，按p即可得到计算结果。

例 6 计算i1i1

+−

解：如图输入复数的算式，按p即可得到计算结果 -i。

1:arg 2:conjg3:

▲

r θ∠ 4:

▲

a+bi

CMPLX Math

Conjg(3＋4i)

i43−

CMPLX Math

)i24()i31( +−++

i53+−

CMPLX Math

)2i3()i35( −−−

i67 −

CMPLX Math

)i24)(i32( +−

i814 −

CMPLX Math

)i1()i1( ＋÷−

-i

三角与复数

4

4-6 三角与复数

例 7 计算 4)i21( + 解：如图输入复数的算式，按p即可得到计算结果 -7-24i。

说明：运用计算器可以计算复数的加、减、乘、除等四则运算。复数的乘方运算，当指数不超过 3 时可以直接用

乘方运算；而当指数超过 3 时，必须用连乘运算。复数的平方根无法计算，必须运用更为高级的计算器进行。

例 8 已知关于 x 的方程 )0(02 ≠=++ acbxax 。(其中 a 、b 、 c 是实数 )

( 1 ) 当 9,4,13 −=−== cba 时，求方程的解；

( 2 ) 当 1,4,13 =−== cba 时，求方程的解。

解：

解法一：通过对判别式的计算，直接求出实系数一元二次方程的解。

对 )0(02 ≠=++ acbxax 系数进行赋值：13qJ（STO）z将 13 赋值给 A；z4qJ（STO）x

将 -4 赋值给 B；z9qJ(STO)c将 -9 赋值给 C。

根据求根公式计算。计算方程另一根时，可以选择 REPLAY 进行修改。

得到原方程的两个根 1与9

13− 。

选择 REPLAY，修改其中部分数据，便可计算第（2）小题，得到两个虚根 i133

312± 。

解法二：运用方程式解答的 EQN 功能，可以直接计算实系数一元二次方程的解。

CMPLX Math

(1+2i)(1+2i)(1+2i)(1+2i)

-7-24i

CMPLX Math

13→A

13

CMPLX Math

-4→B

-4

CMPLX Math

-9→C

-9

CMPLX Math

)A2()AC4BB( 2 ÷−+−

1

CMPLX Math

)A2()AC4BB( 2 ÷−+−

913

−

数列

5

5-1数列

数列

运用CASIO fx -82ES与 fx -991ES两款计算器解决数列问题的基本思想是，充分地认识到数列是一种特殊的函

数，即把项数看作自变量，定义域为正整数(或它的有限子集{ }1,2,3, ,nL )的函数。数列就是当自变量从小到大依次

取值所对应的一列函数值，因此数列的通项公式 ( )na f n= 即为函数的表达式，数列的递推式 ( )1n na f a+ = 即为函数

的关系式。因此对数列问题解决可以沿用函数的方法和手段。下面的叙述以CASIO fx -82ES为例进行。

对于数列的研究，一般依赖于数列的通项公式或数列的递推公式。

按w3进入数字表格TABLE模式，输入完整的函数表达式，依次设置起始值、结束值与步骤值，按p屏幕即

可显示数列的前若干项。

若按w1进入计算COMP模式，输入数列的首项，按p存储初始值，输入数列的递推公式，不断地按p……。

每次按p后屏幕上依次显示数列的各项。

例1 根据下面数列 }{ na 的通项公式，写出前5项：

（1） nan

na nnn ⋅−=

+= )1()2(;

1 解：（1）由通项公式定义可知，只要将通项公式中的n依次取1，2，3，4，5，便可得到数列的前5项。此即在函

数表达式 ( )1

xf xx

=+

中，x依次取1，2，3，4，5得到对应的函数值。

按键w3，进入数字表格TABLE模式，按Q)（X）P(Q)（X）+1)，

输入完整的函数表达式。按p，再依次设置起始值为1、结束值为5与步骤值为1。按p，计算器显示生成的数字表

格（按R，移动光标，即可看阅其他数据）。

Math

X F(X)1 1 0.52 2 0.66663 3 0.754 4 0.85 5 0.8333

因此得到数列的前5项： 0.8333 0.8, 0.75, 0.6666, 0.5, 54321 ===== aaaaa 。

解：（2）如（1）的做法，得到函数 ( ) ( 1)xf x x= − ⋅ 生成的数字表格。

Math

X F(X)1 1 -12 2 23 3 -34 4 45 5 -5

因此得到数列的前5项： 5 4, ,3 2, ,1 54321 −==−==−= aaaaa 。

说明：本题解决的本质就是将数列看作是一种特殊的函数。

例2 探索等差数列17，21，25，29，…的变化规律，并找出这一数列的第7项。

解：由观察得知该数列的变化规律是后一项等于前一项加4，可以根据这一特点，运用计算器得到所需结果。

按键17p，输入并存储初始值。按M+4，实现递推公式。按pppppp，即得所需结果。

（每次按p后屏幕上显示数列的项，最后连续按下6次p后得到数列的第7项41。）

数列

5

5-2 数列

Math

Ans+4

41

说明：还可以利用变量X进行迭代实现。

按键17qJ（STO）)（X），把17先存入X，

Math

17 → X

按Q)（X）+4qJ（STO）)（X），把X+4存入X

Math

X+4 → X

按ppppp（最初屏幕上显示第2项，连续按下5次后得到数列的第7项41）。

Math

X+4 → X

41

例3 已知数列 }{ na 的第1项是1，以后的各项由式1

11−

+=n

n aa 给出，写出这个数列的前5项。

解：题中已给出数列 }{ na 的第1项 11 =a 和递推公式 1

11−

+=n

n aa 。

按键1p，输入并存储初始值。按1+1PM，实现递推公式。按pppp ，即得所需结果。每次

按p后，计算器显示数列的一项，即可得到数列的前5项：23 2, ,1 321 === aaa ， 4

5 ,3

a = 585

a = 。

Math

1+1÷Ans

2

Math

1+1÷Ans

23

数列

5

5-3数列

Math

1 ＋ 1÷Ans

53

Math

1 ＋ 1÷Ans

58

说明：本题主要运用M键和p键的配合，M键具有储存上一次运算结果的功能，p键则默认前一次运算的表达式。

例4 在等差数列{ }na 中， 1 20.7, 1.5a a= = 求该数列的前7项和 7S 。解：因为 }{ na 是等差数列，所以公差 2 1 1.5 0.7 0.8d a a= − = − = ，可设 0 1 0.1a a d= − = − 。按键0qJ（STO）m（M）z0.1p ，输入并储存初值。按M+0.8m，

M Math

Ans ＋ 0.8M ＋

710

然后按pppppp，每按一次p，显示数列的一项。最后按Qm（M）p ，计算器显示所需结

果，即为前7项的和。

M Math

M

21710

说明1：本题主要运用了m ，其功能是在独立存储器中加上显示数值或表达式结果。Qm（M）p，则显

示最后的结果，即为前若干项的和。

说明2：解题结束后，即使按下C键，改变计算模式，或是关闭计算器电源，独立存储器内容仍会保持，

开机后，指示符“M”仍会显示在计算器的左上角。因此在开始操作计算新题前，需清除独立存储器内容，即按

0qJ（STO）m（M），此时指示符“M”也会从屏幕上消失。

例5 求等比数列1 1 1 11, , , ,2 4 8 16

的各项之和。

解：因为 }{ na 是等比数列，所以公比2

1

12

aqa

= = ，可设 10 2aa

q= = 。

按键0qJ（STO）m（M）2 p ，输入并储存初值。按MO12m ，

M Math

Ans×12

M ＋

1

然后按 pppp，每按一次p，显示数列的一项。最后按Qm（M）p ，计算器显示所需结果，即

为前5项的和。

数列

5

5-4 数列

M Math

M

3116

说明：本题与例4的处理方法完全相同。

例6 （2005年湖南高考试题）已知数列 }{ na 满足 )(13

3,0 *

11 Nna

aaan

nn ∈

+

−== + ，

则 20a =（）。

A．0 B． 3− C． 3 D．3

2 解：题中已给出数列 }{ na 的第1项和递推公式。

按键0p，输入并存储初始值。按(M-s3$)P(s3$M+1)，实现递推公式。

Math

◄ ) ( )1Ans33 +÷

按ppp，每按一次p，显示数列的一项，这样得到数列的前4项： 1 2 3 40, 3, 3, 0a a a a= = − = = 。

由于数值再次出现，因此可知数列的项呈现周期性变化，周期为3， 20 2 3a a= = − 。故选（B）。

说明：本题将M键和p键巧妙、和谐的结合，产生计算器的迭代功能，这将会使一些数学问题的探究方式发

生根本性的改变、一些问题将获得出人意料的解决途径和有实际意义的结论。

例7 某人为子女准备一笔学费，2006年初存入3万元。以后每年年初存入8000元，如果银行年利率为2.2％，那么

到2017年初全部取出得到本金和利息共多少元？

解：据题意，可设此人从2006年起每年在银行的存款数为 na ，则

( )1 1 2.2% 8000.n na a+ = + + 1 30000a = 。

按键30000p，输入并存储初始值。按1.022M+8000，实现递推公式。

Math

1.022Ans＋8000

按ppppppppppp，

Math

1.022Ans＋8000 136461.5756

再按-8000，即可得到所需结果128461.5756。故到2017年初全部取出得到本金和利息共128461.58元。

数列

5

5-5数列

Math

Ans-8000

128461.5756

说明：本题直接运用计算器进行计算，并未进行化简，也未归纳成等比数列。其中，经过11次M的计算（即按

11次p），得到的是2017年初全部取出所得到的本金和利息总和，但2017年初无需存入8000元，因此最后的结果还

要减去8000，才是所需结果。

例8 某市前些年由于对城市垃圾处理问题的不重视，到2005年底垃圾堆积达到1亿吨，侵占了大量土地，还造成

环境污染，估计今后若干年还将平均每年产生0.08亿吨新的垃圾。现市政府投入巨资研究垃圾科学处理、回收利用、

变废为宝，估计2006年能处理垃圾0.05亿吨，并且今后处理垃圾能力平均增长10%，求：

（1）到哪一年底，垃圾堆积达到最多？

（2）到哪一年开始，垃圾堆积少于0.5亿吨，才基本解决垃圾堆积问题。

解（1）：设2006年为第1年，当年处理垃圾的能力低于产生的新垃圾时，垃圾的堆积量仍然在增加，因此若设到

第n年垃圾堆积达到最多，则

0.05×(1＋10％)n-1≤0.08，即1.1n-1≤1.6。

设 ( ) ( )11.1 , 1,2, .xf x x−= = L ，本题即为求满足不等式 ( ) 1.6f x ≤≤ 的最大整数。按键w3，进入数字表格TABLE模式。按1.1f(Q)（X）-1) ，输入完整的函数表达

式。按p，依次设置起始值为1、结束值为20、步骤值为1。按p，计算器生成数字表格。（为说明问题，这里将

整个数字表格全部列出。实际上，由于屏幕的原因，只能显示一部分，按R，能够看阅后面的数据）

从表中可以看出函数值小于的最大正整数为x=5。故到2010年底，垃圾堆积达到最多。

Math

X F(X)1 1 012 2 1.13 3 1.214 4 1.3315 5 1.46416 6 1.61057 7 1.77158 8 1.94879 9 2.143510 10 2.357911 11 2.593712 12 2.853113 13 3.138414 14 3.452215 15 3.797416 16 4.177217 17 4.594918 18 5.054419 19 5.559920 20 6.1159

（2）设到第n年开始，垃圾堆积少于0.5亿吨，则

.5.0)1.105.008.0()1.105.008.0()1.105.008.0()05.008.0(1 12 <×−++×−+×−+−+ −nK

化简得1.1 0.16 2 0n n− − > 。

数列

5

5-6 数列

由（1）知n＝5时垃圾堆积最多，从第6年开始逐步下降，因此借助计算器从n=5开始进行寻找满足不等式的最小正整数。

设 ( ) ( )1.1 0.16 2, 5,6,xf x x x= − − = L ，本题即为求满足不等式的最小正整数。

按键w3，进入数字表格TABLE模式。按1.1fQ（X）$-0.16Q)（X）-2，

输入完整的函数表达式，按p，依次设置起始值为5、结束值为20、步骤值为1。按p，计算器生成数字表格。（为说

明问题，这里将整个数字表格全部列出。实际上，由于屏幕的原因，只能显示一部分，按R，能够看阅后面的数据）

从表中可看出函数值大于0的最小正整数为x=16。故直到2021年底才基本解决垃圾堆积问题。

Math

X F(X)1 5 -1.1892 6 -1.1883 7 -1.1714 8 -1.1365 9 -1.0826 10 -1.0067 11 -0.9068 12 -0.7819 13 -0.62710 14 -0.44211 15 -0.22212 16 0.034913 17 0.334414 18 0.679915 19 1.075916 20 1.5274

说明：此题涉及的一类不等式不容易求解，甚至不能直接求解，但利用计算器在一定的范围内进行搜寻和探索，

容易获得答案。

例9 据《汽车周刊》报道：A型轿车成为家庭轿车市场上的最大亮点。上海大众新推出的POLO牌轿车融和了世

界“高新技术”和“潮流魅力”，深受大众的青睐。某人计划购买一辆价格约为14.4万元的A型轿车，考虑到购买轿

车一年的养路费、保险费、汽油费、年检费、停车费等约需1.8万元，同时汽车年折旧率约为10﹪（就是说这辆车每

年减少它的价值的10﹪），试问大约使用几年，花费在该车上的费用就会达到或超过售价14.4万元？

解：若设n年后，花费在该车上的费用就达售价的14.4万元，于是第n年汽车所剩的价值为14.4×0.9n，n年内汽车

的损耗达14.4（1-0.9n）元，所花的杂费为1.8n元，则

14.4（1-0.9n）+1.8n≥14.4，即 8 0.9nn = ×≥ 。

按键2p，输入初始值2。按8O0.9fMp …，连续按p键后，计算器显示不变的最终值

4.816260675（在计算器运算的最大精确范围内），即可获得方程的近似解。

Math

.9.08 Ans×

4.816260675

因此大约使用5年花费在该车上的费用就达到或超过售价14.4万元。

说明：这种超越不等式一般不能直接求解，但这里利用计算器的迭代功能可以逐步、有效地获得相当精确的方程

根。

例10 某高校一位学生毕业时选中了A、B、C三家公司。公司 A允诺第一年年薪为 8 万元，以后逐年递增 9 千元；

B公司允诺第一年年薪为 10 万元，并且以后每年增加上一年年薪的 4%；C公司允诺第一年年薪为 9 万元，以后每年

数列

5

5-7数列

递增上年的 6%，试问：

（1）若此人进A、B或C公司工作，第n年的年薪分别可达多少？

（2）从第几年起，此人在C公司的年薪超过B公司的年薪？

（3）从第几年起，此人在A公司的年薪超过C公司的年薪？是否一直延续下去？

解（1）：应用数列知识，可以得到此人在各个公司第n年的年薪：

在A公司第n年年薪为：an=8+0.9×(n-1),（n∈N）；

在B公司第n年年薪为：bn=10(1+4%)n-1,（n∈N）；

在C公司第n年年薪为：cn=9(1+6%)n-1 ,（n∈N）。

其中an是等差数列的通项公式，bn、cn是等比数列的通项公式。

解（2）：依题意列出不等式： cn >bn，即9(1+6%)n-1>10 (1+4%)n-1

153 10 .52 9

n−⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

即 5352

10log 1.9

n > +

按键w1，进入计算COMP模式。输入运算式，得 5352

10log 1 6.5.9+ ≈

所以从第7年起，此人在C公司的年薪超过了B公司。

解（3）：依题意可以列出不等式： n na c> ，即18 0.9( 1) 9(1 6%) 0nn −+ − − + > ，得7.1+0.9n-9·1.06n-1>0。

按键w3，进入数字表格TABLE模式。按7.1+0.9Q)（X）-9O1.06f

Q)（X）-1，输入完整的函数表达式。按p，依次设置起始值为1、结束值为20、步骤值为1。按p，计

算器生成数字表格。（为说明问题，这里将整个数字表格全部列出。实际上，由于屏幕的原因，只能显示一部分，按

R，能够看阅后面的数据）

从表中可以看出当 n=5，即第5年起A公司年薪超过C公司年薪。

那么是否从第5年起，此人在A公司工作的年薪就始终超过C公司的年薪呢？由表进一步可知从第16年起此人在C公司的年薪超过了A公司。

Math

X F(X)1 1 -12 2 -0.643 3 -0.3124 4 -0.0195 5 0.23776 6 0.45597 7 0.63338 8 0.76739 9 0.855310 10 0.894611 11 0.882312 12 0.815613 13 0.690214 14 0.503615 15 0.251816 16 -0.06917 17 -0.46318 18 -0.93419 19 -1.48920 20 -2.13

说明：上面的不等式由代数方程和简单的指数方程混合而成，显然无法利用课本上所学的知识和方法进行解决。

但是借助CASIO fx -82ES或CASIO fx -991ES这两款计算器就可以极为方便解决这一问题，当然解题策略的制定必须

建立在对数列概念深刻领悟的基础上。

算法

6

6-1算法

算法

算法内容进入了高中数学课程标准，进入了教材，进入了数学课堂。这就是说，要增强学生的算法意识，充分利

用算法思想解决数学问题。CASIO fx-82ES与991ES两款计算器都具有一定的存储功能，可以运用计算器解决一些算

法问题，增强学生的算法意识。如利用迭代思想求数列的和、求方程的根等。

与算法内容直接有关的键有

M：上一次的运算结果；m：在独立存储器中加上显示数值或者表达式结果；

qm（M－）：在独立存储器中减去显示数值或者表达式结果；

Qm（M）：独立存储器；

qJ（STO）：将特定数值或计算结果代入一个变量；

J：显示变量的数值

要注意的是，在运用这些存储器时，计算器需处于一般计算COMP状态。

另要注意，解题结束后，即使按下C键，改变计算模式，或是关闭计算器电源，独立存储器内容仍会保持，

开机后，指示符“M”仍会显示在计算器的左上角。因此在开始操作计算新题前，需清除独立存储器内容，即按

0qJ（STO）m（M），此时指示符“M”也会从屏幕上消失。

例 1 根据如下框图，计算输出值。

（1）（2）

分析 :（1）根据框图可以知道，本题所要求的是 12+22+…+102。于是可以将本题看成为求数列前 10 项的和，并

考虑运用计算器计算数列的项 2i ，同时在 M 寄存器中计算这些项的和。

（2）根据框图可以知道，本题所要求的是1+ 21

+…+ 101

。于是同样可以将本题看成为求数列前10项的和，同样

可以考虑运用计算器计算数列的项i1

，同时在M寄存器中计算这些项的和。

解（1）顺次按键1qJ（STO）m（M）(sM)+1)dmppppppppJ

m（M），此时计算器显示

因此输出值=385。

Y

N

S +n 2 → S

1→ n , 0→ S

n +1→ n

n >10

� � S

� �

� �开始

输出

结束

Y

N

S +1n

→ S

1→ n , 0→ S

n +1→ n

n >10

� � S

� �

� �开始

输出

结束

M

M

385

算法

6

6-2 算法

解（2）顺次按键1qJ（STO）m（M）(Mu+1)dmppppppppJm

（M），此时计算器显示

因此输出值=2.928968254。说明：（1）本题关键在于每加一项，数列的项就由i2变为（i+1）2，如何用i2的值（即Ans）去表示（i+1）2。显

然， 22 1)Ans(1)( +=+i 。首先将数列首项1存入M寄存器，然后将(sM)+1)d加入到M寄存器中，按m时，M为1，因

此(sM)+1)d =22=4，为数列的第2项；按第1个p键时，执行的运算式为 21)Ans( + M+，此时 M为4，因此上述运算值=32=9，为数列的第3项；……；按第8个p键时，将数列的第10项加入到M寄存器中；后

按Jm（M）键，取出M寄存器中的数，即所求的值。

（2）本题关键在于每加一项，数列的项就由i1

变为1

1+i

，如何用i1

的值（即Ans）去表示1

1+i

。显然，

1

1+i

=(Ans-1+1)-1。

首先将数列首项1存入M寄存器，然后将(M+1)u加入到M寄存器中，按m时，M为1，因此

(Mu+1)u=0.5，为数列的第2项；按第1个p键时，执行的运算式为(Ans-1+1)-1M+，此时M为0.5，

因此上述运算值=31

，为数列的第3项；……；按第8个p键时，将数列的第10项加入到M寄存器中；后按Jm

（M）键，取出M寄存器中的数，即所求的值。

在本题的解题过程中，我们利用M键体现了迭代思想。

例2 计算：3+3×5+3×52+3×53+3×54+3×55。

解：顺次按键3qJ（STO）m（M）5MmppppJm（M），此时计算器显示

因此原式=11718。说明：我们用计算器计算等比数列的各项，同时又在M寄存器中计算它们的和。首先将等比数列首项3存入M寄

存器，然后将公比5与M的乘积加入到M寄存器中，按m时，M为3，因此5M =15，为数列的第2项；按第一个 p键时，执行的运算式为5AnsM+，此时M为15，因此5M=75，为数列的第3项；……，按第四个p键时，将

数列的第6项加入到M寄存器中；后按Jm键，取出M寄存器中的数，即所求的值。

例3 计算：2+22+24+28+216。

解：顺次按键2qJ（STO）m（M）dmpppJm（M），此时计算器显示

因此原式=65814。说明：本例中从第2项起，各加数均为前一项的平方。按dm键，计算器会显示Ans2M+，即将前一项的平方

加入到M寄存器中，并不需要按Mdm。

M

M

2.928968254

M

M

11718

M

M

65814

算法

6

6-3算法

例4 已知a1=3，an+1=an2－an，n∈N，求该数列的前5项及前5项的和。

解：顺次按键3qJ（STO）m（M）d-Mm，此时计算器显示

再按p键，计算器显示



再按J（M）键，计算器显示

因此，这个数列的前5项分别为a1=3，a2=6，a3=30，a4=870，a5=756030，前5项的和为756939。说明：本例是利用数列的递推公式求数列的项an及数列的前n项的和。可以以Ans代替an，计算an+1。由于本例既

要计算数列的前5项，又要计算数列前5项的和，因此考虑用计算器计算数列的前5项，而在M寄存器中计算数列前5项的和。

例5 用“二分法”求函数f(x)=ex+x在区间（-1，0）内的零点。（精确到0.01）分析：由于f(-1)=-0.632120558，f(0)=1，故在（-1，0）内必有零点。计算区间中点的函数值，若函数值为负，则

将区间中点取代区间左端点；若函数值为正，则将区间中点取代区间右端点；若函数值为零，则区间中点即函数零

点。

若考虑将区间（-1，0）的左、右端点分别存入A、B寄存器，则区间中点为(A+B)÷2，区间中点的函数值为

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2。解：顺次按键z1qJ（STO）z（A）0qJ（STO）x（B）qH(Qz（A）

+Qx（B）)P2)+(Qz（A）+Qx（B）)P2p，此时计算器显示

M

Ans2－AnsM+

6

M

Ans2－AnsM+

30

M

Ans2－AnsM+

870

M

Ans2－AnsM+

756030

M

M

756939

算法

6

6-4 算法

由于此计算值大于0，需将区间中点取代区间右端点，故再按(Qz（A）+Qx)P2qJ（B）（STO）x（B），计算器显示

重复上述步骤，可按Ep，计算器显示

由于此计算值小于0，需将区间中点取代区间左端点，故可按E!oqJ（STO）z（A），计算器显示


由于此计算值小于0，需将区间中点取代区间左端点，故可按Ep，计算器显示


e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

0.1065306597

(A+B)÷2→B

-0.5

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

-0.2776334473

(A+B)÷2→A

-0.75

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

-0.08973857148

(A+B)÷2→A

-0.625

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

7.282824731×10-3

算法

6

6-5算法

由于此计算值大于0，需将区间中点取代区间右端点，故可按E!oqJ（STO）x（B），计算器显示


由于此计算值小于 0，需将区间中点取代区间左端点，故可按E!oqJ（STO）z（A），计算器显示





(A+B)÷2→B

-0.5625

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

-0.04149754984

(A+B)÷2→A

-0.59375

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

-0.01717583919

(A+B)÷2→A

-0.578125

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

-4.963760389×10-3

算法

6

6-6 算法


由于此计算值大于0，需将区间中点取代区间右端点，故可按E!oqJ（STO）x（B），计算器显示

至此A、B中的数，即区间左、右端点的值分别为 - 0 . 5 7 0 3 1 2 5、 - 0 . 5 6 6 4 0 6 2 5，也就是说 f ( x )在区间

（-0.5703125，-0.56640625）内有零点，左、右端点的值精确到0.01均为-0.57，因此该零点精确到0.01亦为-0.57，所

以函数f(x)=ex+x在区间（-1，0）内的零点（精确到0.01）为-0.57。说明：本例中每次的计算式子与过程均类似，故想到运用计算器可以重新调用曾使用过的计算式子的功能，因此

想到使用寄存器进行运算，于是考虑将区间端点分别存入A、B两个不同的寄存器中。操作中应关注A、B的值，一旦

精确到0.01的近似值相等，就可停止计算。

例6 用“迭代”的方法求方程ex+x=0的根。

分析：将方程变形为x=-ex，给x定的一个初始值，计算-ex

的值，然后反复以算得的值作为x的取值，计算-ex的值。

如果能收敛到某一个确定的值，那么该值就是原方程的解。

解：皷次按键z1pzqhHM)pp...p，连续按41次p键，计算器显示

可以发现，如果再按p键，该数不再改变，即得

-0.5671432904=－e^(-0.5671432904)，故x=-0.5671432904是原方程的解。

说明：本例中x的初始值为-1，改变初始值，可能改变收敛的速度。但根一般不会改变。

如果要求原方程精确到0.01的解，那么只需连续按10次p键，便可得原方程精确到0.01的解x=-0.57。本例如果将原方程变形为x=ln(-x)，则无法收敛到某一个确定的值，将出现“Math ERROR”。

方程如何变形才能收敛？这个问题可通过探索、尝试获得解决。

例7（2004年上海数学高考第20题）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数

y= f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)。（1）求函数f(x)的表达式；

（2）证明：当a>3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。

(A+B)÷2→A

-0.5703125

e^((A+B)÷2)+(A+B)÷2

1.155202015×10-3

(A+B)÷2→B

-0.56640625

-e^(Ans)

-0.5671432904

算法

6

6-7算法

分析：（1）根据题意，不难得出x

xy 82 += 。

（2）当x=a时，代入f(x)= f(a)得f(a)=f(a)，等式成立，故x=a是方程f(x)= f(a)的一个根，于是想到因式分解。由

aa

xx 88 22 +=+ 得 08-)-( =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

axaxax ，问题转化为当a>3时，方程 08

=−+ax

ax （*）是否一定有两个

根。

解：我们可以用计算器进行探索，任意给定a(a>3)，例如令a=4，将方程（*）变形为 aax

x −=8

，用迭代的方

法，连续计算8÷A÷Ans–A的值，当屏幕显示的数保持不变时，便求得该方程所收敛的根。不妨给定x的初始值为4，顺次按键4qJ（STO）z（A）8PQz（A）PM-Qz（A）pp…p，连续按12次p

键，便可得方程的一根为x=–4.449489743。

为求方程的另一根，可将方程变形为 )(8

xaax

+= ，继续迭代。不妨给定x的初始值为4，顺次按键4

p8PQz（A）P(Qz（A）+M)pp…p…，再连续按12次p键，便可得方程的另一根

为x=0.4494897428。说明：我们也可以改变a的值，然后按若干个E键，利用计算器的重新调用曾使用过的计算式子的功能，轻松地

求得相应方程的根。例如令a=5，可得方程的两个根分别为0.3017851452和–5.301785145。可以猜想两根之和为–a，于

是想到将方程（*）变形为一元二次方程ax2+a2x–8=0，当a>3时，该方程有一正一负的两个实数根。由根与系数的关

系可知，若正根等于a，则负根为–2a，因此a

aa 82 −=⋅− , 3 4=a <3，所以当a>3时，原方程有三个各不相等的实

数根。

如果将条件a>3改为a>2或a>1，结论是否仍然正确呢？为此我们进一步探索，还可以发现，如果令a=3、2、1、

–4、–5，方程（*）均有两个不相等的实数根。由一元二次方程ax2+a2x–8=0的Δ>0，可得a>0或a< 3 32− ，我们

同样能够得出：当a>0且 3 4≠a 或时，原方程有三个各不相等的实数根。

对于一些需要猜测、证明的结论，有时可以用计算器进行探索，找出特征、发现规律，从而得到证明思路。

统计与概率

7

7-1统计与概率

统计概率

CASIO fx -82ES与991ES两款计算器具有强大的统计运算功能，它们能够进行有关统计的各种运算，进行数据处

理与数据拟合，为解决各种数学问题提供了强有力的工具。下面的叙述以991ES为例进行。

进行数据处理与数据拟合时，要注意常用的一些功能键。按w，计算器显示

其中3:STAT为统计状态。按3，计算器显示

相应的功能为

若进行单变量数据处理，可按1，进入单变量统计状态，

即可输入数据。然后按q1（STAT），此时计算器显示

相应的功能为

功能键功能功能键功能

1－VAR 单变量统计 A+BX 线性回归

_+CX2 二次回归 ln X 对数回归

e^X 以 e 为底的指数回归 A·B^X 以B为底的指数回归

A·X^B 幂回归 1/X 倒数回归

功能键功能功能键功能

Type 统计类型的选择 Data 统计数据

Edit 编辑工具菜单 Sum 数据和、数据平方和

Var 数据平均数、标准差 MinMax 数据最大值、最小值

Distr 正态分布计算

1:COMP 2:CMPLX3:STAT 4:BASE-N 5:EQN 6:MATRIX 7:TABLE 8:VECTOR

1:1－VAR 2:A+BX3:_+CX2 4:ln X5:e^X 6:A·B^X7:A·X^B 8:1/X

1:Type 2:Data3:Edit 4:Sum5:Var 6:MinMax7:Distr

STAT

统计与概率

7

7-2 统计与概率

例1 估计在掷普通的正方体骰子时，点数“5”出现的可能性。

分析：可以利用计算器的随机数功能模拟掷骰子，掷若干次（例如50次）后统计出点数“5”出现的次数，从而

得出其出现的频率。

解：先设定计算器的状态，按q

按6（Fix）

按0，使计算结果精确到个位。

然后顺次按键6q.（Ran#）+.5p，此时计算器显示一个不大于6且不小于1的随机整数，我们以

它来表示掷骰子后出现的点数。

例如，若本例中连续按50次p键，得点数“5”出现的次数为8次，于是可算得点数“5”出现的频率为16%，以

此估计点数“5”出现的可能性。

说明：由于是随机数，因此每次按键的结果会不一样。如果要模拟掷硬币，可以顺次按2q.（Ran#）+.5p，此时，计算器将显示1或2。

选择适当的功能键，便可处理数据，得到所需的结果。如按5，显示

其中，1：数据个数； 2：平均数； 3：总体标准差，xσn= ( )n

xx 2∑ − ；4：样本标准差， xσn-1= ( )1

2

−

−∑n

xx

与统计概率直接有关的键有：

q1（STAT）：另建STAT编辑屏幕

qO（nPr）：排列数

qP（nCr）：组合数

q.（Ran#）：随机数

例2 平面上有15个点，其中任何三点都不共线，以其中任意三点为顶点作三角形，共可作多少个三角形？

解：本题可作三角形的个数就是从15个元素中取出3个元素的组合数，故有 315C 个。顺次按键15qP

（nCr）3p，此时，计算器显示

故可作455个三角形。

说明：在计算排列数 rnP 或组合数 r

nC 时，应先输入数据n，然后按qO（nPr）或qP（nCr）键，接着输

入数据r，最后按p键，便可求得结论。其中n为自然数，r为非负整数，且n必须大于或等于r，否则计算器将显示

“Math ERROR”，表示错误。

SETUP

1:n 2: x

3:xσn 4:xσn-1

1:MthIO 2:LineIO3:Deg 4:Rad5:Gra 6:Fix7:Sci 8:Norm

Fix 0~9？

15C3

455

统计与概率

7

7-3统计与概率

例3 袋中装有大小不同的6只白球和4只黑球，从中任意摸出3只球，计算其中至少有2只球是白球的概率。

分析：3个球中至少有2只白球，可以是2只白球、一只黑球，也可以是3只白球，于是可知本题答案应为

解：顺次按键

(6qP（nCr）2O4qP（nCr）1+6qP（nCr）3)P10qP（nCr）3p，此时，计算器显示

说明：若原设置为数学模式MathIO，计算器将显示精确数32，此时不必再按n键。

例4 求10！。

解：顺次按键10qu（x!）p，计算器显示3628800，因此10！=3628800。说明：在计算自然数n的阶乘时，应先输入数据n，然后按qu（x!），最后按p键，便可求得结论。由于计

算器的内存限制，能显示的最大数必须小于10100，因此本计算器可以计算69或小于69的自然数的阶乘。

例5 某班20位学生在一次数学测验中的成绩如下：

67，78，82，82，85，85，85，85，85，87，87，89，90，93，93，93，95，97，98，100。

求这个班的学生在这次测验中的总分、平均分与标准差。（精确到0.01）分析：对于本例中的20个数据，可以采用一一输入，也可以使用频数简化输入。

（1）一一输入：首先将计算器设置为单变量统计状态。

按键w3（STAT）计算器显示

按1（1－VAR），计算器显示

然后输入20个数据，顺次按键：67p78p82p82p85p85p85p85p

85p87p87p89p90p93p93p93p95p97p98p

100p，

按C键退出数据输入屏幕。

（2）使用频数输入：首先按qw（SETUP）R4（STAT），计算器显示

(6C2×4C1+6C3)÷10C3

0.6666666667

1:1－VAR 2:A+BX3:_+CX2 4:ln X5:e^X 6:A·B^X7:A·X^B 8:1/X

如果再按n键，可将小数转换为分数，那么计算器将显示精确数2 3，因此，3个球中至少有2只球是白球的概

率为32。

STAT

统计与概率

7

7-4 统计与概率

然后输入20个数据，顺次按键：67p78p82p85p87p89p90p93

p95p97p98p100p$RRR2p5p2pRR3pRRRR。按C键退出数据输入屏幕。

在完成数据输入之后，为求得总分、平均分与标准差，先按qw（SETUP）6（Fix）2，使计算结果保留

2位小数，然后按q1（SETUP），此时计算器显示

按1（ON）设置频数栏（FREQ）。

再将计算器设置为单变量统计状态，顺次按键w3（STAT）1（1－VAR），计算器显示

按4（Sum），计算器显示

再按2（∑x）p，得总分为1756。按q1（STAT）5（Var），计算器显示

再按2（ x ）p，得平均数为87.80。按q1（STAT）5（Var）3（xσn）p，可得标准差为7.46。说明：在输入带有频数的数据时，频数的默认值是1，故当频数为1时，可按R键，或按1p。

若需要求数据中的最大数据或最小数据，可按q1（STAT）6（MinMax），然后再选最大数据或最小数据

选项。

若需要编辑数据时，可按q1（STAT）2（Data）。

若需要插入一些数据时，可将光标停在需要插入的地方，然后按q1（STAT）3（Edit），选择插入工具

Ins，再输入需要的数据。

若需要删除所有的数据时，可按q1（STAT）3（Edit），选择删除工具Del-A即可。

例6 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间有一定关系，下面的表格是实测的6个纤维样品的强度 y与相应的拉伸

倍数 x的数据。其散点图近似于一条直线。

拉伸倍数x 4.0 5.0 6.3 7.1 8.0 9.0

强度y（千克/平方毫米） 3.5 4.5 5.8 6.4 7.0 8.0

Frequency?

1:xσn 2:OFF

1:Type 2:Data3:Edit 4:Sum5:Var 6:MinMax 7:Distr

1:∑x2 2:∑x

1:n 2: x

3:xσn 4:xσn-1

STAT

统计与概率

7

7-5统计与概率

（1）试求回归直线方程；

（2）当合成纤维的拉伸倍数为3时，强度为多少千克/平方毫米？

（3）当合成纤维的强度为5千克/平方毫米时，拉伸倍数为多少？

解（1）：为了输入数据对（x，y），首先按qw（SETUP）R4（STAT），按2（OFF）关闭频数栏

（FREQ），再顺次按键w3（STAT）2（A+BX），将计算器设置为线性回归状态（如果计算器原先就是统计

状态，则可按q1（STAT）1（Type）2（A+BX）），此时计算器显示

输入6对数据，顺次按键

4p5p6.3p7.1p8p9p$R3.5p4.5p5.8p6.4

p7p8p，然后按C键退出数据输入屏幕。

为了求出回归直线方程，可按q1（STAT），此时计算器显示

再按7（Reg）1（A）p ，计算器显示

再按q1（STAT）7（Reg）2（B）p ，计算器显示

因此回归直线方程为y=0.07106676899+0.8825786646x。

解（2）：按3q1（STAT）7（Reg）5（ y ）p，计算器显示

因此，当合成纤维的拉伸倍数为3时，强度约为2.718802763千克/平方毫米。

解（3）：按5q1（STAT）7（Reg）4 （ x ）p，计算器显示

1:Type 2:Data3:Edit 4:Sum5:Var 6:MinMax 7:Reg

STAT

STAT

A

0.07106676899

STAT

B

0.8825786646

STAT

3 y

2.718802763

统计与概率

7

7-6 统计与概率

因此，当合成纤维的强度为5千克/平方毫米时，拉伸倍数约为5.584695652。说明：CASIOfx-82ES与991ES计算器均提供了7种拟合曲线，分别是线性回归曲线、二次回归曲线、对数回归曲

线、以e为底的指数回归曲线、以常数B为底的指数回归曲线、幂回归曲线以及倒数回归曲线。一般地，可根据散点

图的形状，确定采用何种回归曲线进行拟合。

例7 某班有50个学生。假定一年有365天，那么其中至少有两个学生同一天过生日的概率是多少？（精确到0.01）

分析：因为每个学生的生日均有365种可能，因此50个学生的生日就有 50365 种可能。若他们的生日全不相同，

则有 50365P 种可能。因此至少有两个学生同一天过生日的概率为1-

50

50365

365P

。但 50365P 和 50365 都大于本计算器所能显示

的最大的数，因此无法计算50

365P 和 50365 。但我们可以将其转化为几个较小的数，如将50

365P 转化为25 25

365 340P P× ，将

50365 转化 25 25365 365× ，再进行计算。

解：我们可将原式化为1－ 25

25340

25

25365

365365PP

× 。

先按365d25)qJ(STO)z（A）将36525储存在A寄存器中，然后按 qw（SETUP）6

（Fix）2，使计算结果保留2位小数，再顺次按键

1-365qO（nPr）25PQz（A）O340qO（nPr）25PQz（A）

p，计算器显示结果0.97，因此至少有两个学生同一天过生日的概率为0.97。说明：熟悉计算器的性能及使用范围，充分利用计算器的各种功能，是解决本题的关键。

STAT

5 x

5.584695652

矩阵、向量与微积分

8

8-1矩阵、向量与微积分


一、矩阵

CASIO fx-991ES计算器具有矩阵运算的功能，可以进行矩阵的加法、减法、乘法以及数乘运算，可以求矩阵的

转置矩阵，对方阵计算其行列式，对可逆方阵求其逆矩阵。

进行矩阵的计算，必须进入矩阵模式。即按w，显示

其中6:MATRIX即为矩阵模式。按6，显示

其中有三个名为“MatA”， “MatB”以及“MatC”的矩阵存储器，另有一个名为“MatAns”的存储器专门存储矩

阵答案。

按C键，使计算器进入MATRIX(矩阵)模式，

即可进行矩阵的各种计算。以下的运算均在矩阵模式下进行。

与矩阵计算直接有关的键是（MATRIX），按q4（MATRIX），显示

各功能分别是

Dim 矩阵的尺寸类型 Data 矩阵数据

MatA 矩阵存储器 MatB 矩阵存储器

MatC 矩阵存储器 MatAns 存储矩阵答案

det 行列式 Trn 转置矩阵

例1 设有两矩阵A， B，求 A B+ 以及 2A B− ，其中

1 0 24 7 3

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

，11 2 03 7 9

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

解：按键w6C，进入MATRIX(矩阵)模式。为定义矩阵的尺寸类型，按q4（MATRIX）1(Dim)，


Matrix？

1:MatA 2:MatB 3:MatC

0

1:Dim 2:Data3:MatA 4:MatB 5:MatC 6:MatAns7:det 8:Trn

MAT


8

8-2 矩阵、向量与微积分

按1，选择MatA。

按4，选择矩阵的尺寸类型2×3，进入矩阵编辑屏幕,

这时就可将每个元素输入矩阵，只要顺次按键1p0pz2p4p7p3p，

定义矩阵A (存储在MatA中)。继续按键q4124，即可开始编辑矩阵B，顺次按键11p2p0p3p7pz9p，定义

矩阵B (存储在MatB中)。如果此时要退出编辑屏幕，可按C键。若要查看所定义的矩阵A，可顺次按键q43p。

在定义了矩阵A与B之后，对于A B+ ，可以顺次按键q43+q44p，此时计算器显示

因此12 2 27 14 6

A B−⎛ ⎞

+ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠。

对于 2A B− ，只要顺次按键q4（MATRIX）3-2q4（MATRIX）4p，此时计算器显示

于是21 4 2

22 7 21

A B− − −⎛ ⎞

− = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠说明：在输入矩阵元素时，如果在输入数据中出现错误，可通过按光标键将光标移到需要修改的地方，再输入正

确的数据，并用等号键确认即可。如果需要编辑的矩阵存储器中矩阵已被定义过，且要定义的矩阵与原有矩阵尺寸相

同，也可以按q4（MATRIX）2 (Data)，再选择矩阵名，也可进入矩阵编辑屏幕。定义后的矩阵一旦退出矩阵

模式，则存储器中内容即可被清除。下次再定义时需要重新定义，但如果不退出矩阵模式，则当计算器被关闭后又重

新打开, 所定义的矩阵仍然被保留。

Matrix？

1:MatA 2:MatB 3:MatC

MatA（m×n） m×n?1:3×3 2:3×2 3:3×1 4:2×35:2×2 6:2×1

0 0 00 0 0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

0

12 2 27 14 6

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

12

-21

21 4 22 7 21

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦

MAT

A

MAT

AnS

MAT

AnS


8


例2 设矩阵 ( )1 2 3C = ，求 TC C 。

解：根据要求，需要计算矩阵C的转置矩阵CT与C的乘积矩阵。

顺次按键q4（MATRIX）13R1，从而将MatC定义成一个1×3矩阵。再按键1p2p3p，

输入矩阵元素。

顺次按键q4（MATRIX）8（Trn, 即：转置运算）q4（MATRIX）5)q4（MATRIX）

5p，此时计算器显示

因此我们得结果T

1 2 32 4 63 6 9

C C⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

。

例3 计算矩阵

2 1 01 2 1

0 1 2A

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

的行列式以验证A可逆，并求它的逆矩阵A-1。

解：按前面例题的方式将矩阵A存入到MatA，再顺次按键q4（MATRIX）7（det, 即行列式运算）q4

（MATRIX）3p，此时计算器显示

因此 | | 4 0A = ≠ ，从而A可逆。

对于A的逆矩阵，可再顺次按键q4（MATRIX）3up，此时计算器显示

于是，我们有1

0.75 0.5 0.250.5 1 0.5

0.25 0.5 0.75A−

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1 2 32 4 63 6 9

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4

3 4

例4 确定使方阵A的方幂Ak等于单位矩阵E的最小正整数k，其中

2 13 1

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠，并计算A+A4+A5

解：在MATRIX模式中将矩阵A存入MatA。求方阵的平方可使用d键，方阵的3次幂可使用qd（D）。

顺次按键q4（MATRIX）3dp，求出A2，它不是单位矩阵。

再顺次按键q4（MATRIX）3qd（D）p，求出A3= _E，从而可知A6= E。因此使Ak等于单位矩阵E

的最小正整数等于6。

0.75 0.5 0.250.5 1 0.50.25 0.5 0.75

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

MAT

AnS

MAT

det(MatA

MAT

AnS


8


为计算A4, 可顺次按键q4（MATRIX）3dq4（MATRIX）3dp，即运用A2 · A2 = A4进行计算。

为保存计算结果A4，可将A4

复制到MatB中。具体按键顺序为qJ（STO）x（MatB）。

最后再顺次按键q4（MATRIX）3+q4（MATRIX）4+q4（MATRIX）4q4

（MATRIX）3p，此时计算器显示

于是可知4 5 1 1

3 2A A A A B B A

−⎛ ⎞+ + = + + ⋅ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

，其中 4B A= 。

说明：计算A4，还可利用矩阵答案存储器(MatAns)的功能与A4= A3 · A 进行。按q4（MATRIX）6（MatAns）

q4（MATRIX）3p，求出A4。（这里的按键需要紧接在计算出A3

的结果之后）

例5 已知抛物线过三点A1= (-1，3)，A2(2，2)，A3(3，6)，求该抛物线的方程。

解：设该抛物线方程为 y = ax2 + bx + c，现需要求出系数a,b,c的值。由于所求抛物线过三个已知点，因此将这三点

坐标代入方程，得到关于a,b,c的线性方程组

34 2 29 3 6

a b ca b ca b c

− + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

(1)

1 1 14 2 19 3 1

A−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

，

326

B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

，

aX b

c

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

。

则方程组(1)就化为矩阵方程AX= B。由于A可逆, 所以X=A-1B。因此我们首先将矩阵A与B分别输入计算器的矩阵存储器MatA与MatB中，最后顺次按

键 q4（MATRIX）3uq4（MATRIX）4p，此时计算器显示（注意，在执行上述操作前，需要将输

入/输出格式设定为MathIO（数学）形式）

-1

1 13 2−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

13 12

1.08331.4160.5

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

将光标键上下移动，并注意屏幕右下角的显示，我们得到

1312

1 1712

12

1.08331.4160.5

A B−

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

即得所求的抛物线方程为213 17 1

12 12 2y x x= − + 。

MAT

AnS

MAT

AnS


8


说明：可以利用计算器的CALC功能验证上述结果的正确性。首先，输入抛物线方程右边的表达式，即顺次按键

13P12Q)（X）d-17P12Q)（X）+1P2。输入完表达式之后，按下r健，即可进行CALC运算。运算时，计算器会提示你输入表达式中变量X的值。因

此，我们再顺次按键rz1p，此时计算器屏幕右下方显示3，表明表达式在x= _1处的值为3。再按键r2，

p，r3p，屏幕右下方分别显示2与6。说明表达式在x= 2，3处的值分别等于2与6，因此结论正确。

二、向量计算

CASIO fx-991ES计算器具有向量运算功能，适用的向量是2、3维向量。可以实施向量的加减法、数乘运算，向

量的点积(或内积)以及叉积(或外积)等各种运算, 还可以求向量的长度(或模)，许多操作与矩阵计算相似。

进行向量计算，必须进入向量模式(VECTOR)。即按键w，显示

其中8:VECTOR 即为向量模式。按8，显示

其中有三个名为“VctA”，“VctB”以及“VctC”的向量存储器，另有一个名为“VctAnS”的存储器专门存储向量答案。按C健，使计算器进入VECTOR(向量)模式，即可进行向量的各种计算。以下的操作都在向量模式下进行。

与向量计算直接有关的键是（VECTOR），按q5（VECTOR），显示

各功能分别是

Dim 向量的尺寸类型 Data 向量数据

MatA 向量存储器 MatB 向量存储器

MatC 向量存储器 MatAns 存储向量答案

det 输入“ （向量的点积符号）


Vector？

1:VctA 2:VctB 3:VctC

0

1:Dim 2:Data3:VctA 4:VctB5:VctC 6:VctAns7:Dot

VCT


8


例1 已知平面上两点求 (2, 5), (4,9)A B− ，求 AB 的中点C的坐标。

解：设向量 (2, 5), (4,9)a b= − =rr

，则1 ( )2

a b+rr

就是C点的坐标。

将向量 ar输入向量存储器VctA，可顺次按键q5（VECTOR）1（Dim）

按1（VctA）

按2，进入向量编辑器。可如同编辑矩阵那样编辑向量VctA。

再皷次按键q5（VECTOR）12（VctB）2，可将向量br输入VctB。

最后按C(q5（VECTOR）3+q5（VECTOR）4)P2p，计算器显示

于是可得中点C的坐标为 (3, 2) 。例2 将向量 (2, 1, 2)a = −

r单位化。

解：将向量 ar单位化，就是要求出单位向量| |aa

r

r 。

顺次按键q5（VECTOR）111，进入向量编辑器，然后将向量 ar输入VctA.。要计算向量的模，可以使用绝对值函数键qc（Abs）。

因此计算单位化向量，可顺次按键

Cq5（VECTOR）3Pqc（Abs）q5（VECTOR）3p，

计算器显示

通过按键n以及左右移动光标，可以将结果进行S-D转换（此时可将结果中的小数转化为分数）。于是得单位化后

的向量为2 1 23 3 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

。

例3 确定向量 (2,3)a =r

与 ( 6,5)b = −r

的点积和它们之间的夹角ϕ 。

解：先分别将向量 ar及向量br存入VctA与VctB，为求向量 ar与b

r的点积，可顺次按键

Cq5（VECTOR）3q5（VECTOR）7（Dot，点积运算）q5（VECTOR）4p，计算器显示结果3。

Vector？

1:VctA 2:VctB 3:VetC

VctR(m) m?

1:3 2:2

3

[ ]3 2

0.6666666667

[ ]0.6666 0.333 0.6666−

VCT

AnS

VCT

AnS


8


因此， 3a b⋅ =rr

。

欲求这两个向量间的夹角，可利用公式ϕ arccos| | | |

a ba b⋅

=⋅

rrrr 。在角度制状态下顺次按键

Cqk（1cos− ）MP(qc（Abs）q5（VECTOR）3)qc（Abs）q5（VECTOR）

4p，

计算器显示结果83.88449643°。

若再按键x，可得两向量间的夹角为ϕ 83 53'4.19 ''= ° 。说明：计算两向量间的夹角时所用的键M是调用最后的答案，即先前刚计算的点积值3。因此这一系列按键必须

紧接在点积操作之后。

例4 设 (0,1,1), ( 1, 2, 4), (2,5, 4)A B C− − 是空间三点，求向量 ABuuur

与 ACuuur

的叉积。

解：叉积 ( ) ( )AB AC OB OA OC OA× = − × −uuur uuur uuur uuur uuur uuur

，其运算只需按四则运算中的乘法键O即可。

先将3个3维向量 (0,1,1), ( 1, 2, 4), (2,5, 4)− − 分别存入VctA，VctB，VctC中。再顺次按键C(q5

（VECTOR）4-q5（VECTOR）3)O(q5（VECTOR）5-q（VECTOR）3p，

此时计算器显示结果

因此可得 ( 17,1, 6)AB AC× = − −uuur uuur

。

说明：对于2维及3维向量都可进行点积与叉积运算（当然运算必须在两同维数向量间进行）。2维向量间的叉积

可以理解为z坐标为0的两个3维向量的叉积。可见下例。

例5 求向量 (1,1)a =r

与向量 (2,3)b =r

的叉积。

解：先分别将向量 ,a brr存入VctA与VctB，为求两向量的叉积，可顺次按键Cq5（VECTOR）

3Oq5（VECTOR）4p，

此时计算器显示

也即 (0,0,1)a b× =rr

。

说明：这一结果应理解为 (1,1,0) (2,3,0) (0,0,1)× = 。

3

83.88449643

[ ]17 1 6− −

-17

0

[ ]0 0 1

VCT

VctA•VctB

VCT

AnS

VCT

AnS

VCT

cos-1(Ans÷(Abs(V

▲


8


三、微积分

CASIO fx-991ES计算器具有微分与积分的数值计算功能。在进行微分计算时，它所采用的是中心差分近似法。

而积分运算则采用的是高斯-克朗罗德（Gauss-Kronrod）数值积分法。微分计算与积分计算都只能在一般计算模式

COMP下进行。

微分运算的语法是

d/dx(f(x)，a，tol)

其中f(x)是x的函数，a表示求函数在 x a= 处的导数，tol是偏差范围（1410−≥ ），它的输入输出格式是“线性”。偏差

范围值是可选项，较小的偏差范围值具有较好的计算精度，但是它可能使计算时间增加，默认的偏差值是 101 10−× 。

积分运算的语法是

( ( ), , , )f x a b tol∫其中f(x)是被积函数，a为积分下限，b为积分上限，tol为偏差范围（ 1410−≥ ）。它的输入输出格式是“线性”。偏差

范围值是可选项，默认的偏差值是51 10−× 。

与微积分运算直接有关的键是y与（d

dx■）

例1 设函数 ( ) cosf x x= ，求 ( )2'f π 。

解：首先要注意计算器是否处于COMP模式，以及角度制是否处于“弧度”状态（可通过按键qw

（SETUP）4进入此状态。此时，屏幕第一行中间位置会显示）。

在完成了这些准备工作后, 在线性格式状态下我们可顺次按键

qy（d

dx■）kQ)（X）)q)（，）qK（π ）P2)p，

则计算器显示

说明：若处在数学格式状态，上述按键过程有所不同，需要使用光标键来进行输入。最后的屏幕显示也是不同的

在数学格式状态下，不再使用偏差范围值。

例2 计算 ( ) | |f x x= 在 2x = − 处的导数。

解：计算 ( ) | |f x x= 在 2x = − 处的导数，可以在数学格式状态下顺次按键

qy（d

dx■）qc（Abs）Q)（X）$$z2p，

Math

ddx

(cos(X)) 2x π= ÷

-1

d/dx(cos(X)，π ÷2)

-1

Math

ddx

（） x=

Math

dx∫

π=


8


此时计算器显示：

即得2

d(| |) 1d x

xx =−

= − 。

说明：在得到这一结果后，可以利用光标键来重现上次计算所用的表达式，然后修改该表达式，求出其他函数或

在其他点的导数。

若再顺次按键!!oo0p，则屏幕显示：

这与微积分知识有所不同，其原因是目前的信息技术在求导数时会有一定的限制。

例3 在偏差范围为 1510− 的条件下求函数2 3( ) 5xf x x= − + 在 1.2x = 处的导数。

解：先将计算器的状态设置为线性模式，然后顺次按键

qy（d

dx■）Q)（X）d-3PQ)（X）+5q)（，）1.2 q)1Kz15)p，


也即1.2

d ( ) 4.483333333d x

f xx =

= 。

说明：设置偏差范围可以适用一些较为简单的函数，对较为复杂的函数设置偏差范围，可能会产生“Time Out”(超时)错误。

例4 分别计算积分函数sin x

x在区间[ , 4]π− 上的积分值。

解：首先计算该函数在区间[ , 4]π− 上的积分。

在数学格式及弧度制状态下顺次按键

yajQ)（X）)RQ)（X）$$zqK（π ）$4p ，此时计算器屏幕显示：

Math

ddx

(|X|) 2x=−

-1

Math

ddx

(|X|) 0x=

0

2d / d (X 3 X 5,1x − ÷ +

△

4.483333333

Math

4 sin( ) dx xxπ−∫

3.610140191

π=

π=

π=


8


因此，有4 sin( ) d 3.610140191x x

xπ−=∫ 。

说明：若计算该函数在[ 4, 4]− 上的积分，可以通过类似的按键操作，也可以输入在[ 4, 4]− 区间上的积分表达式，或

者利用刚才的积分表达式通过移动光标对积分区间进行修改。但在按执行键（即等号键）后，屏幕出现了与微积分知

识不相一致的出错信息：

其原因是目前的信息技术在求积分时会有一定的限制。

具体操作时，可作如下考虑。由于被积函数是偶函数，因此为计算函数在[ 4, 4]− 上的积分, 只需计算[0,4]上的

积分。考虑到 0x = 这一分点，可计算函数在1010 ,4−⎡ ⎤⎣ ⎦上的积分。从而可顺次按键

2yajQ)（X） )RQ)（X）$$1Kz10$4p，


所以，有10

4 4

4 10

sin( ) sin( )d 2 d 3.516406278x xx xx x−−

≈ =∫ ∫ ，该结果与数学软件Maple计算的结果完全一致。

例5 求 sin(sin( ))y x= 在 4x π= 处的切线方程。

解：将计算器设置为数学格式，以及弧度状态。首先求函数在 4x π= 处的值，为此顺次按键 jjQ)（X）))rqK（π）P4，从而求得函数在 4x π= 处的值是0.6496369391。

再求函数在 4x π= 处的导数值，即顺次按键

qy（d

d x ■）jjQ)（X）))$qK（π）P4p，

得导数值0.53757411。

于是，函数在 4x π= 处的切线方程为 40.6496369391 0.53757411( )y x π− = − 。

Math

Math ERROR

[AC] : Cancel

[ ▲ ] [

▲

] : Goto

Math

xx

x d)sin(24

10-101∫ ×

3.516406278

　　在新的一年到来之时，我们庆贺，在卡西欧（上海）贸易有限公司的积极支持与参与下，我们的项

目“现代信息技术与数学教学的有机整合”获得了顺利完成。我们也庆贺，作为这个项目的成果，这本

书以一种崭新的面貌呈现在我们的目前。这是众多志同道合的教师的共同结晶，是许多一线教师的教学

实践的总结。

　　参与本项目与本书的都是具有丰富教学经验，拥有良好的信息技术水平的专家与教授。有来自高级中

学的高级、特级教师，有来自华东师范大学的教授，他们是：

　　　　华东师范大学数学系忻重义

　　　　华东师范大学数学系林磊

　　　　华东师范大学数学系王继延　　

　　在此向他们表示衷心的感谢，愿CASIO信息技术越来越深入数学教学，愿现代信息技术与数学教学

的有机整合之氛围越来越浓厚。

后记

“现代信息技术与数学教学的有机整合”项目组

本书编写组

2007年元旦

第一章 数与式 - casiocasio fx-82es 与991es...

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第一章数与式 - casiocasio fx-82es 与991es...