磁性・超伝導

Bardeen-Cooper-Schrieffer理論

2016/12/23

J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer (1957) 量子論による微視的な超伝導の理論(BCS理論)

クーパー対(Cooper pair) 電子が対を作る(q = 2e)． ボーズ粒子としてふるまう． 対の重心運動量は0． 波動関数の軌道の対称性としてs, p, d, …

もっとも単純なs波の場合を考える． k↑と-k↓の対 S = ½ + (- ½) = 0

↑ ↓

格子ひずみが引力を与える．

k -k

K =k+(-k)= 0

J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer (1957) 量子論による微視的な超伝導の理論(BCS理論)

1. 電子間の引力は励起状態と基底状態の間にエネルギーギャップを与える．

2. 電子－格子－電子相互作用は観測される大きさのエネルギーギャップを与える．

3. ロンドンの侵入深さと固有コヒーレンスの長さはBCS理論の自然の結果として出てくる．(=マイスナー効果の導出）

4. 𝑇c = 1.14𝜃exp(−1/𝑈𝐷 𝜖F ) 転移温度Tcは１方向スピンの状態密度D(eF)と電子－格子－電子相互作用の強さU をむ．

5. 超伝導リングを通る磁束は量子化される．BCS基底状態は電子対を含み，対の電荷2eで表された量子磁束が得られる．

電子間に相互作用はない． 完全に満ちたフェルミの海．

電子間に引力相互作用. 最も低い励起状態からEg離れる．

１粒子準位が対になって占有される． (クーパー対）

１個のクーパー対の占める体積に電子は106 個存在

運動エネルギー <

全エネルギー

>

フェルミ気体 BCS基底状態

2電子系の波動関数は

𝑲 = 𝒌1 + 𝒌2 = 0 重心運動量 とするとk1 = -k2 = k

𝜑(𝒓1, 𝒓2) = 𝑔𝑘exp[𝑖 𝒌 ∙ 𝒓1 − 𝒌 ∙ 𝒓2 ]

𝒌

固有値e，相互作用がない場合のエネルギー Ek, 2つの電子間の相互作用H1

𝐸𝑘 − 𝜀 𝑔𝑘 + 𝑔𝑘′ 𝒌 𝐻1 𝒌′

𝑘′= 0 永年方程式は

状態の和をエネルギー積分に置き換える.

𝐸 − 𝜀 𝑔𝑘 𝐸 + 𝑑𝐸′𝑔𝑘′ 𝐸

′ 𝐻1 𝐸, 𝐸′ 𝑁 𝐸′ = 0

スピンの一方向での状態密度 N(E’) 𝐻1(𝐸, 𝐸′) = 𝒌 𝐻1 𝒌

′ ,

𝐻1(𝐸, 𝐸′) = −𝑉

𝜀 = 2𝜖F − Δ

デバイのフォノン遮断周波数 wD を用いて，eF以上のћwD の範囲が重要. この範囲内では

𝐻1(𝐸, 𝐸′) = 0

この範囲外では

N(E’) ～ NF (= フェルミエネルギーでの状態密度)

とおく．Dは電子対の結合エネルギーを表す．

Δ =2ℏ𝜔D

exp1𝑁F𝑉− 1

Vが正(=引力)ならば常にD > 0. このとき系のエネルギーは電子対をフェルミ準位上に励起することによって小さくなる．

フェルミの海を不安定にする．

超伝導リングの中の磁束の量子化

超伝導体リング

• 磁束が量子化されてとびとびの値をとる． • リング全体でコヒーレンスが実現している． • 巨視的な量子現象の表れ．

f0

量子磁束(flux quantum)

𝜙0 =2𝜋ℏ𝑐

2𝑒=ℎ𝑐

2𝑒≅ 2.0678 × 10−7G ∙ cm2

𝜙0 ≅ 2.0678 × 10−15T ∙ m2

磁束のこの単位はフラキソイド(fluxoid)またはフラキソン(fluxon)とよばれる．

ボゾン場の例として電磁場を考える．

電場の強さE(r) は定性的には場の確率振幅の働きをする．フォトンの数が多い時のエネルギー密度は

𝐸∗ 𝒓 𝐸 𝒓 /4𝜋 ≅ 𝑛(𝒓)ℏ𝜔

ここでn(r)は周波数wのフォトンの数密度．よって半古典近似で

𝐸(𝒓) ≅ 4𝜋ℏ𝜔𝑛(𝒓)𝑒𝑖𝜃(𝒓) 𝐸∗(𝒓) ≅ 4𝜋ℏ𝜔𝑛(𝒓)𝑒−𝑖𝜃(𝒓)

q(r)は場の位相．

電荷をもったボゾン気体の粒子確率振幅

𝜓 = 𝑛𝑒𝑖𝜃(𝒓) 𝜓∗ = 𝑛𝑒−𝑖𝜃(𝒓)

粒子の速度はハミルトン方程式から

𝒗 =1

𝑚𝒑 −𝑞

𝑐𝑨 =1

𝑚−𝑖ℏ𝛻 −

𝑞

𝑐𝑨

粒子流量は

𝜓∗𝒗𝜓 =𝑛

𝑚𝑖ℏ𝛻𝜃 −

𝑞

𝑐𝑨

したがって電流密度は

𝑗 = 𝑞𝜓∗𝒗𝜓 =𝑛𝑞

𝑚𝑖ℏ𝛻𝜃 −

𝑞

𝑐𝑨

両辺のrotを取って

rot𝑗 =𝑛𝑞

𝑚𝑖ℏ𝛻 × 𝛻𝜃 −

𝑞

𝑐rot𝑨 = −

𝑛𝑞2

𝑚𝑐𝑩

ロンドン方程式が得られる．

表面から十分に離れた閉じた経路C を考える．

∴　ℏ𝛻𝜃 =𝑞

𝑐𝑨

𝑗 = 𝑞𝜓∗𝒗𝜓 =𝑛𝑞

𝑚𝑖ℏ𝛻𝜃 −

𝑞

𝑐𝑨 = 0

リングを一周した時の位相の変化は

𝛻𝜃 ∙ 𝑑𝒍C

= 𝜃2 − 𝜃1

𝜃2 − 𝜃1 = 2𝜋𝑠

1周した時に位相がそろわなければならないので整数sを用いて

ストークスの定理より磁束をFとして

十分に超伝導体内部ならばB, j ともに0.

𝑨 ∙ 𝑑𝒍 = rot𝑨 ∙ 𝑑𝜹 =C

𝑩 ∙ 𝑑𝜹 =C

ΦC

𝑨 =ℏ𝑐𝛻𝜃

𝑞

磁束の量子化

𝑨 ∙ 𝑑𝒍 =ℏ𝑐

𝑞 𝛻𝜃 ∙ 𝑑𝒍CC

両辺を積分すると

マイスナー状態では

Φ =2𝜋ℏ𝑐

𝑞s

Φ = Φext +Φsc

外部からの磁束

超伝導電流からの磁束

𝜙0 =2𝜋ℏ𝑐

2𝑒=ℎ𝑐

2𝑒 磁束量子

永久電流の持続

第１種超伝導体のリングは整数個の量子磁束を保持する．

熱ゆらぎにより超伝導リングの一部が常伝導にならない限り量子磁束は脱出できない．

1つの量子磁束が漏れる単位時間あたりの確率Pは

P = 試行頻度 X 活性化障害因子

活性化障害因子：exp(-DF/kBT )

活性化エネルギー： Δ𝐹 ≈ 𝑅𝜉2𝐻c/8π 2

リングの太さ 10-4 cm, コヒーレンス長 10-4 cm, Hc = 103 G ⇒ DF ～ 10-7 erg

exp −Δ𝐹

𝑘B𝑇≈ exp(−108) ≈ 10− 4.34×10

7

試行頻度は𝐸g/ℏ程度

Eg = 10-15 ergとすると

𝐸g/ℏ ≈ 10−15/10−27 ≈ 1012 s-1

したがって

P = 試行頻度 X 活性化障害因子1012 × 10−4.34×107𝑠−1 ≈

10−4.34×107𝑆−1

逆数𝑇 = 1/𝑃 = 104.34×107> 1018 宇宙の年齢

電流は永遠に保持される．

例外： 臨界磁場に近くHc が低い 第２種超伝導体