LMAC

INTRODUCAO AOS

PROCESSOS ESTOCASTICOS

2006/07

Colectanea de Exercıcios

Mestrado em Matematica e AplicacoesLicenciatura em Matematica Aplicada e Computacao

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Capıtulo 0

Revisoes

Exercıcio 0.1 Sejam X e Y variaveis aleatorias independentes. Mostre que:

(a) Se X ∼ Poisson(λ) e Y ∼ Poisson(µ), entao X + Y ∼ Poisson(λ + µ).

(b) Se X ∼ Binomial(n, p) e Y ∼ Binomial(m, p), entao (X + Y ) ∼ Binomial(n + m, p).

(c) Se X ∼ Geometrica(p) e Y ∼ Geometrica(p), entao (X + Y ) ∼ Binomial Negativa(2, p).

Exercıcio 0.2 Sejam X, Y e Z variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas

com distribuicao geometrica de parametro p, 0 < p < 1.

(a) Determine P (X = Y ).

(b) Calcule a funcao de probabilidade condicional de X dado X + Y = n. Identifique a

distribuicao em causa.

(c) Calcule P (X + Y = Z).

Exercıcio 0.3 (Falta de memoria e seu uso na caracterizacao das distribuicoes geometrica e

exponencial).Diz-se que uma variavel positiva X, com valores em S, S = IN ou S = IR+, nao tem memoria

se para x, y ∈ S:

P (X > x + y | X > x) = P (X > y).

(a) Mostre que se X tem distribuicao geometrica, entao X nao tem memoria.

(b) Mostre que se X e uma variavel aleatoria discreta com valores em IN e sem memoria, entao

X tem distribuicao geometrica.

(c) Mostre que se X tem distribuicao exponencial, entao X nao tem memoria.

(d) Mostre que se X e uma variavel aleatoria positiva (absolutamente) contınua e sem memoria,

entao X tem distribuicao exponencial.

Exercıcio 0.4 O numero de frutos produzidos por uma arvore e uma varavel aleatoria X.

Alguns destes frutos, em numero de Y , sao atacados por uma larva, o que os torna improprios

para consumo. Supondo que X possui distribuicao de Poisson de parametro λ e ainda que cada

fruto e atacado pela larva com probabilidade p, independentemente dos outros frutos, determine:

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(a) A funcao de probabilidade de Y condicional a X = n, com n ∈ IN .

(b) A funcao de probabilidade de Y .

(c) Conclua que o numero de frutos da arvore que sao atacados por larvas (Y ) e independente

do numero de frutos que nao sao atacados por larvas (X−Y ) e que estas variaveis aleatorias

possuem distribuicoes de Poisson de parametros λp e λ(1 − p), respectivamente.

(d) Suponha que Z e W sao variaveis aleatorias independentes com distribuicoes de Poisson

de parametros α e β, respectivamente. Com base nos resultados das alıneas anteriores,

adivinhe a distribuicao de Z condicional a Z + W = n, n ∈ IN , e averigue da validade da

proposta de distribuicao que tenha sugerido.

Exercıcio 0.5 Suponha que X ∼ Exponencial(λ), Y ∼ Exponencial(µ) e X e Y sao inde-

pendentes. Devido a censura, e impossıvel observar X e Y directamente; em sua substituicao

observam-se Z e W ,

Z = min(X, Y ) e W =

{

1 Z = X

0 Z = Y.

(a) Caracterize a distribuicao conjunta de Z e W .

(b) Prove que Z e W sao independentes.

Exercıcio 0.6 Mostre que se (X1, X2, . . . , Xn) e uma amostra aleatoria de X ∼ Exponencial(λ),

entao (com X0:n = 0):

(a) X1:n − X0:n, X2:n − X1:n, . . . , Xn:n − Xn−1:n sao variaveis aleatorias independentes e

(Xi:n − Xi−1:n) ∼ Exponencial((n − i + 1)λ).

(b) Calcule, para 0 ≤ a ≤ b, P (X1:n ≤ a, Xn:n ≤ b).

Exercıcio 0.7 O numero de entrevistas marcadas por um vendedor em qualquer dia e uma

variavel aleatoria com distribuicao de Poisson de parametro µ. A probabilidade de uma entre-

vista resultar numa venda e de 0.5. Determine (se os seus calculos levarem a uma serie, ela deve

ser somada):

(a) A probabilidade de o vendedor conseguir exactamente uma venda num dia arbitrario.

(b) O valor esperado do numero de entrevistas efectuadas em dias em que o vendedor consegue

apenas uma venda.

Exercıcio 0.8 Um homem tem n chaves e quer abrir uma porta. O homem experimenta as

chaves duma forma aleatoria. Seja N o numero de tentativas necessarias para abrir a porta.

(a) Calcule E(N) e Var(N), se as chaves anteriormente experimentadas e que nao abrem a

porta: (i) forem eliminadas; e (ii) nao forem eliminadas.

(b) Comente os resultados obtidos na alınea anterior.

Exercıcio 0.9 Sabendo que Λ ∼ Exponencial(µ) e (X | Λ = λ) ∼ Poisson(λ), para λ > 0,

determine a distribuicao de X.

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Exercıcio 0.10 Seja N a variavel aleatoria que representa o numero de clientes diarios numa

loja. Suponha que as quantias gastas pelos clientes sao independentes e tem valor medio µ e

variancia σ2 . Determine o valor medio e a variancia da quantia total gasta diariamente na loja.

Exercıcio 0.11 Suponha que N pessoas vao a uma festa e colocam os seu chapeus no centro

de uma sala onde se misturam completamente; no final da festa, cada pessoa retira ao acaso

um chapeu. Calcule o valor esperado e a variancia do numero de pessoas que, no final da festa,

retiram o seu chapeu.

Exercıcio 0.12 Uma urna contem n bolas vermelhas e m azuis, com n > m, as quais sao remo-

vidas uma de cada vez. Mostre que a probabilidade de que haja sempre mais bolas vermelhas

na urna que bolas azuis (ate a ultima ser removida) e (n − m)/(n + m).

Exercıcio 0.13 A polıcia sabe que um perigoso criminoso se encontra na cidade A com proba-

bilidade 0.3, na cidade B com probabilidade 0.6 ou entao fugiu do paıs. Se ele estiver na cidade

i e Ni (i = A,B) polıcias forem destacados para o capturar ele e apanhado com probabilidade

1 − pNi (0 < p < 1), se tiver saıdo do paıs nao e apanhado. Admita que as variaveis aleatorias

Ni sao independentes e com funcoes de probabilidade:

P (NA = n) =2ne−2

n!, n ∈ IN0 e P (NB = n) = 2−n, n ∈ IN.

(a) Qual e a probabilidade de um total de 3 polıcias serem envolvidos na captura?

(b) Qual e a probabilidade do criminoso ser capturado?

(c) Sabendo que o criminoso foi capturado numa cidade em que k polıcias o procuraram, qual

e a probabilidade de ele ter sido capturado em B?

Exercıcio 0.14 Componentes electronicas para exportacao sao embaladas em caixas que por

sua vez sao metidas em contentores. O peso, em gramas, de cada componente e uma variavel

aleatoria X com distribuicao exponencial de parametro λ, o numero de componentes por caixa

e uma variavel aleatoria N com distribuicao de Poisson de parametro µ e o numero de caixas

por contentor e uma variavel aleatoria K com distribuicao geometrica de parametro p. Supondo

que X, N e K sao mutuamente independentes, determine:

(a) A probabilidade de um contentor seleccionado ao acaso conter apenas uma componente.

(b) O valor esperado do peso total das componentes contidas num contentor.

Exercıcio 0.15 Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas

com distribuicao uniforme em (0, 1) e definam-se:

Nx = [min {n ∈ IN : Xn < Xn−1} |X0 = x] e h(x) = E (Nx) , com 0 ≤ x ≤ 1.

(a) Obtenha uma equacao integral para h(x) por condicionamento em X1 e conclua dessa

equacao que h(x) e decrescente em [0, 1].

(b) Diferencie ambos os membros da equacao obtida em (a).

(c) Resolva a equacao obtida em (b).

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(d) Para uma segunda abordagem de calculo de h(x) argumente que

P (Nx ≥ k) =(1 − x)k−1

(k − 1)!, 0 ≤ x ≤ 1.

(e) Indique o intervalo em que h(x), 0 ≤ x ≤ 1, assume valores.

Exercıcio 0.16 Um grande numero de pessoas, N = mk, sao submetidas a um teste de sangue.

O teste pode ser administrado de dois modos:

(i) Cada pessoa e testada individualmente.

(ii) As amostras de sangue de k pessoas sao juntas e testadas simultaneamente. Se o resultado

do teste for negativo, nao e necessario fazer mais testes para este grupo de pessoas. Se o

resultado for positivo, cada uma dessas k pessoas e testada individualmente, em seguida.

Assuma que a probabilidade, p, de que o resultado de um teste individual seja positivo e a

mesma para todas as pessoas e que os resultados para pessoas diferentes sao independentes.

(a) Calcule a probabilidade de que o teste para k pessoas em simultaneo de resultado positivo.

(b) Calcule E(Xj), onde Xj e o numero de testes efectuados segundo o plano (j), para j = i, ii.

(c) Se p for proximo de zero e se pretender escolher o plano de teste com menor numero

esperado de testes, que plano que deve ser escolhido? Justifique.

Exercıcio 0.17 Sejam Z1, Z2, . . . , ZN variaveis aleatorias independentes e identicamente dis-

tribuıdas com valores em {1, 2, . . . , k} e seja

XN = numero de valores distintos em Z1, Z2, . . . , ZN .

(a) Calcule E(XN ), com N ∈ IN .

(b) Calcule E(XN ) no caso em que N ∼ Poisson(λ) e Zi ∼ Uniforme({1, 2, . . . , k}) .

Exercıcio 0.18 Sejam {Xk, k ≥ 1} variaveis aleatorias independentes e identicamente dis-

tribuıdas com distribuicao Bernoulli(p) e defina-se

Sn =

n∑

i=1

Xi, n ≥ 1.

Mostre que Sn tem distribuicao binomial usando o seguinte metodo:

(a) Prove que para n ≥ 1 e 1 ≤ k ≤ n + 1,

P (Sn+1 = k) = p P (Sn = k − 1) + (1 − p)P (Sn = k).

(b) Resolva a equacao recursiva anterior usando funcoes geradoras de probabilidades.

Exercıcio 0.19 Sejam {Xk, k ≥ 1} e N variaveis aleatorias com variancia finita e assumindo

valores em IN0, tais que {Xk, k ≥ 1} sao variaveis aleatorias independentes e identicamente

distribuıdas e sao independentes de N . Use funcoes geradoras de probabilidades para mostrar

que:

Var

(

N∑

i=1

Xi

)

= E(N)Var (X1) + E2 (X1)Var(N).

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Exercıcio 0.20 Suponha que X e uma variavel aleatoria inteira e nao negativa com funcao

massa de probabilidade {pk}.

(a) Admita que se observam X componentes e cada uma delas e, independentemente das

restantes, defeituosa com probabilidade s (0 < s < 1). Qual e a probabilidade de todas as

componentes observadas serem defeituosas?

(b) Suponha que T e uma variavel aleatoria geometrica, independente de X, tal que para

n ∈ IN0:

P (T ≥ n) = sn, 0 < s < 1.

Calcule P (T ≥ X) e compare esse valor com o valor obtido em (a).

Exercıcio 0.21 Um mineiro esta preso numa mina com tres portas. A primeira porta da acesso

a um tunel que o conduz a liberdade ao fim de duas horas. A segunda porta da acesso a um

tunel que o conduz ao mesmo local ao fim de tres horas. E a terceira da acesso a um tunel que

o conduz ao mesmo local ao fim de cinco horas. Supondo que o mineiro tem sempre a mesma

probabilidade de escolher qualquer uma das portas, calcule a funcao geradora de momentos da

variavel aleatoria X que representa o tempo necessario para alcancar a liberdade. Qual e o

numero esperado de horas que o mineiro leva ate alcancar a liberdade?

Exercıcio 0.22 Seja X1, X2, . . . uma sucessao de variaveis aleatorias tais que Xn possui funcao

de distribuicao

Fn(x) =

0 x < −nx+n2n −n ≤ x < n

1 x ≥ n

.

Sera que Fn converge para uma funcao de distribuicao?

Exercıcio 0.23 Seja X1, X2, . . . uma sucessao de variaveis aleatorias independentes tais que

para k = 1, 2, . . .

P (Xk = −1) = 1 − P(

Xk = k2)

= 1 − 1

k2.

Verifique que:

E

[

n∑

k=1

Xk

]

−→∞∑

k=1

1

k2=

π2

6mas

n∑

k=1

Xkq.c.−→ −∞.

Exercıcio 0.24 Admita que para n = 1, 2, . . ., Xn tem distribuicao uniforme em {0, 1, . . . , n}.Mostre que

Xn

n

d−→ Uniforme[0, 1].

Nota: Este resultado e muito importante para a geracao de numeros pseudo-aleatorios da distribuicao

uniforme em computador, uma vez que estes utilizam matematica discreta.

Exercıcio 0.25 Mostre que se Xn ∼ Bernoulli(pn), n = 1, 2, . . . e X ∼ Bernoulli(p), entao:

Xnd−→ X ⇐⇒ pn −→ p.

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Exercıcio 0.26 Seja X1, X2, . . . e Y1, Y2, . . . sucessoes independentes de variaveis aleatorias in-

dependentes e identicamente distribuıdas tais que E(X1) = α, Var(X1) = σ2, E(Y1) = β(6= 0) e

Var(Y1) = τ2. Designando, para n ∈ IN ,

Xn =

∑ni=1 Xi

ne Yn =

∑ni=1 Yi

n,

determine a distribuicao limite de

Zn =√

nXn − α

Yn.

Exercıcio 0.27 Seja X1, X2, . . . uma sucessao de variaveis aleatorias independentes e identica-

mente distribuıdas nao-negativas, com funcao densidade f satisfazendo

λdef= lim

x↓0f(x) > 0.

Mostre que

n min(X1, X2, . . . , Xn)d−→ Exponencial (λ).

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Capıtulo 1

Processos de Poisson

Exercıcio 1.1 Seja {Xk, k ≥ 1} uma sucessao de variaveis aleatorias independentes tais que:

Xk ∼ Exponencial (λk), k ≥ 1.

Para n ≥ 1, considerem-se as variaveis aleatorias Zn e Kn tais que:

Zn = min(X1, X2, . . . , Xn) e Kn = min{1 ≤ k ≤ n : Xk = Zn}.

(a) Justifique que, para n ≥ 1, as variaveis aleatorias Zn e Kn sao independentes e:

Zn ∼ Exponencial

(

n∑

k=1

λk

)

e P (Kn = k) =λk

∑nj=1 λj

I{1,2,...,n}(k).

Sugestao: comece por mostrar que para k ∈ {1, 2, . . . , n} e x ≥ 0,

P (Kn = k, Zn > x) =λk

∑nj=1 λj

e−(λ1+λ2+...+λn) x.

(b) Conclua que, para n ≥ 1 e 1 ≤ k ≤ n:

(Xk − Zn | Xk > Zn)d= Xk ∼ Exponencial (λk).

Considere agora que λk ≡ λ; i.e que {Xk, k ≥ 1} e uma sucessao de variaveis aleatorias inde-

pendentes e identicamente distribuıdas com distribuicao Exponencial (λ).

(c) Conclua que, para n ≥ 1:

Sn =

n∑

k=1

Xk ∼ Erlang (n, λ);

i.e., Sn possui funcao densidade de probabilidade dada por:

fSn(x) = λe−λx (λx)n−1

(n − 1)!I(0,+∞)(x).

(d) Para n ≥ 1, conclua que a variavel aleatoria Sn definida em (c) satisfaz:

P (Sn > x) =n−1∑

k=0

e−λx (λx)k

k!, x > 0;

i.e., a distribuicao Erlang(n, λ) esta relacionada com a distribuicao de Poisson pela relacao:

1 − FErlang(n,λ)(x) = FPoisson(λx)(n − 1), x > 0.

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(e) Para n ≥ 1 e 1 ≤ k ≤ n, seja Xk:n a k-esima estatıstica ordinal da amostra aleatoria

(X1, X2, . . . , Xn) – ordenada por ordem crescente; i.e.,

X1:n = min(X1, X2, . . . , Xn)

Xk:n = min{Xj , 1 ≤ j ≤ n : Xj > Xk−1:n}, 2 ≤ k ≤ n.

Conclua, que as variaveis aleatorias

X1:n, X2:n − X1:n, . . . , Xn:n − Xn−1:n

sao independentes e que, para 1 ≤ k ≤ n, com X0:n = 0,

(Xk:n − Xk−1:n) ∼ Exponencial ((n − k + 1)λ).

(f) Use a alınea anterior para concluir que, para 1 ≤ k ≤ n:

E [Xk:n] =k−1∑

j=0

1

(n − j)λ.

Exercıcio 1.2 O numero de sinais emitidos por uma fonte no intervalo (0, t], N(t), tem dis-

tribuicao Poisson (λt). Cada sinal emitido e registado por um receptor com probabilidade p,

independentemente dos restantes sinais emitidos. Seja X(t) o numero de sinais registados pelo

receptor no intervalo (0, t].

(a) Calcule a funcao de probabilidade de X(t) condicional a N(t) = n.

(b) Determine a distribuicao de X(t).

Exercıcio 1.3 O ministerio da saude de um pequeno paıs e responsavel pelo registo, numa base

de dados, de todos os nascimentos que ocorrem nesse paıs. Suponha que os intervalos entre duas

notificacoes consecutivas de nascimentos sao independentes e distribuem-se exponencialmente

com valor esperado de 2 horas.

(a) Com o objectivo de gerir o espaco de memoria, o responsavel pela base de dados pretende

saber qual o numero esperado de registos anuais. Calcule-o.

(b) Determine a probabilidade do funcionario responsavel pela introducao dos registos ficar

desocupado durante um dia inteiro.

(c) Obtenha a probabilidade de serem notificados 100 nascimentos ao fim de 3 dias, sabendo

que ao fim dos 2 primeiros desses 3 dias foram notificados 80.

Exercıcio 1.4 Tres clientes – A, B e C – entram simultaneamente numa estacao de correios com

dois “guichets” de atendimento. A e B dirigem-se para os “guichets”, onde sao imediatamente

atendidos por dois funcionarios, ao passo que C so sera atendido quando A ou B abandonarem

os respectivos “guichets”. Qual e a probabilidade de A ser o ultimo cliente a abandonar a estacao

de correios, sabendo que a duracao do servico prestado por qualquer dos funcionarios e:

(a) Exactamente 10 minutos?

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(b) Uma variavel aleatoria uniforme discreta em {1, 2, 3}?

(c) Uma variavel aleatoria exponencial com parametro µ?

Exercıcio 1.5 E efectuado um numero de experiencias (identicas) com distribuicao Poisson de

valor esperado λ. Admita que o conjunto de resultados possıveis das experiencias e {1, 2, . . . , n},que as experiencias sao independentes e que o resultado de cada experiencia e igual a i, 1 ≤ i ≤ n,

com probabilidade pi.Para j = 0, 1, . . ., calcule E(Xj) e Var(Xj), onde Xj representa o numero de resultados

possıveis que ocorreram exactamente j vezes no total de experiencias efectuadas.

Exercıcio 1.6 Seja {N(t), t ≥ 0} um processo com incrementos independentes e estacionarios

e tal que N(t) tem distribuicao de Poisson (λt), designado por Processo de Poisson de taxa λ.

Determine, para s, t ≥ 0:

(a) Cov[N(t), N(t + s)].

(b) E[N(t)N(t + s)].

(c) Mostre que, para n ≥ 1,

P (N(s) = k | N(s + t) = n) =

(

n

k

) (

s

s + t

)k ( t

s + t

)n−k

, k = 0, 1, . . . , n.

Exercıcio 1.7 Um Processo de Poisson Bidimensional (homogeneo) com intensidade λ (> 0) e

um processo de ocorrencias de eventos no plano real tal que:

(i) Para qualquer regiao do plano de area A, o numero de eventos nessa regiao tem distribuicao

Poisson (λA); e

(ii) Os numeros de eventos em regioes disjuntas do plano sao independentes.

Suponha que ha dois processos de Poisson bidimensionais independentes: 1 e 2, com intensidades

λi (i = 1, 2) e denote-se por Xi (i = 1, 2) a distancia de um ponto arbitrario do plano ao evento

mais proximo do processo i. Mostre que:

(a) Para i = 1, 2, Xi tem funcao densidade:

fXi(x) = 2λiπxe−λiπx2

I(0,∞)(x).

(b) E[Xi] = (2√

λi)−1.

(c) P (X1 < X2) = λ1/(λ1 + λ2).

(d) A variavel aleatoria min(X1, X2) tem funcao densidade de probabilidade

f(x) = 2(λ1 + λ2)πxe−(λ1+λ2)πx2I(0,∞)(x).

Que pode concluir com respeito a adicao de processos de Poisson bidimensionais indepen-

dentes?

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Exercıcio 1.8 Sejam S1, S2 e S3 os instantes de ocorrencia do primeiro, segundo e terceiro

eventos de um processo de Poisson de taxa λ. Calcule a funcao densidade de probabilidade

conjunta de (S1, S2, S3).

Exercıcio 1.9 Homens e mulheres entram num supermercado de acordo com dois processos de

Poisson independentes de taxas λ e µ, respectivamente. Comecando a contabilizacao de clientes

num instante arbitrario, determine a probabilidade de se registar a entrada de pelo menos n

homens antes do registo da entrada de m mulheres, com n, m ∈ IN .

Exercıcio 1.10 O Evaristo e o Joao entram simultaneamente numa barbearia: o Evaristo para

lhe fazerem a barba, o Joao para lhe cortarem o cabelo. Supondo que o Evaristo e o Joao

sao imediatamente atendidos e que a duracao de um corte de cabelo (barba) tem distribuicao

exponencial de valor esperado 20 (15) minutos, calcule a probabilidade do Joao se despachar

antes do Evaristo.

Exercıcio 1.11 Sejam X1 e X2 variaveis aleatorias independentes contınuas e positivas. Prove

que

P (X1 < X2 | min(X1, X2) = t) =r1(t)

r1(t) + r2(t), t > 0,

onde ri(t) = fXi(t)/[1 − FXi

(t)] e a funcao taxa de falha de Xi, i = 1, 2; em adicao, verifique

que se X1 e X2 tem distribuicao exponencial a probabilidade anterior nao depende de t.

Exercıcio 1.12 Seja {X(t), t ≥ 0} um processo de Poisson de taxa λ. Suponha que cada che-

gada e registada com probabilidade p, independentemente das outras chegadas. Seja {Y (t), t ≥0} o processo de contagem das chegadas registadas; i.e., para t ≥ 0, Y (t) e igual ao numero de

chegadas registadas no intervalo (0, t].

(a) Conclua que se M ∼ Geometrica (p), 0 < p ≤ 1, for uma variavel aleatoria independente

da sucessao {Xk, k ≥ 1} de variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas

com distribuicao Exponencial (α), entao:

M∑

k=1

Xk ∼ Exponencial (αp).

(b) Use o resultado da alınea (a) para concluir que {Y (t), t ≥ 0} e um processos de Poisson

de taxa λp.

(c) Mostre que se W ∼ Poisson(α) e

[(Z1, Z2, . . . , Zk) | W = n] ∼ Multinomial (n, p1, p2, . . . , pk),

entao (Z1, Z2, . . . , Zk) e uma sequencia de variaveis aleatorias independentes e:

Zj ∼ Poisson (αpj) , 1 ≤ j ≤ k.

(d) Use agora o resultado da alınea (c) para concluir que {Y (t), t ≥ 0} e {X(t)− Y (t), t ≥ 0}sao processos de Poisson independentes, com taxas λp e λ(1 − p), respectivamente.

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Exercıcio 1.13 Sejam {X(t), t ≥ 0} e {Y (t), t ≥ 0} processos de Poisson independentes de

parametros λ1 e λ2, respectivamente. Defina, para t ≥ 0,

Z1(t) = X(t) + Y (t), Z2(t) = X(t) − Y (t) e Z3(t) = X(t) + k,

com k ∈ IN . Diga quais dos processos anteriores sao processos de Poisson e em caso afirmativo

determine a respectiva taxa.

Exercıcio 1.14 O numero de mensagens que chegam a um telegrafo e um processo de Poisson

de taxa igual a 3 mensagens por hora.

(a) Qual e a probabilidade de nao chegar nenhuma mensagem no perıodo da manha (8h as

12h)?

(b) Qual e a distribuicao da hora a que chega a primeira mensagem da tarde?

Exercıcio 1.15 Admita que automoveis passam por determinado troco de uma auto-estrada

de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 3 carros por minuto.

(a) Suponha que o Evaristo decide atravessar esse mesmo troco com os olhos vendados. Qual

e a probabilidade de ele conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos?

Responda a questao considerando s = 2, 5, 10, 20.

(b) Suponha agora que o Evaristo e suficientemente agil para conseguir escapar ileso de um

automovel, nao acontecendo o mesmo se durante a travessia surgirem dois ou mais au-

tomoveis. Calcule a probabilidade de o Evaristo nao ser ferido, caso a travessia demore

s = 5, 10, 20, 30 segundos.

Exercıcio 1.16 Em cada domingo, 15 unidades de um determinado produto sao postas em

“stock” para venda nos restantes dias da semana. As encomendas desse produto sao regidas por

um processo de Poisson de taxa igual a 3 unidades por dia. Note-se que uma encomenda nao

resulta numa venda caso nao haja unidades em “stock”. Admita ainda que devido a natureza

do produto sao destruıdas em cada domingo todas as unidades que nao tenham sido vendidas

na semana anterior.

(a) Calcule a probabilidade de nao haver unidades para venda a partir das 0 horas de terca-

feira.

(b) Determine a probabilidade de terem sido vendidas todas as unidades em “stock” ate as 24

horas de sabado.

(c) Obtenha a expressao do numero esperado de unidades destruıdas em cada semana.

Exercıcio 1.17 Considere uma via principal (via 1) com um so sentido de trafego onde, no seu

inıcio, surgem veıculos segundo um processo de Poisson de taxa λ por minuto. Cada veıculo

que circula na via principal efectua, independentemente dos restantes veıculos, um desvio para

uma via secundaria (via 2) com probabilidade p. A via 2 possui um semaforo L metros apos o

cruzamento da via 1 para essa via.Obtenha a expressao que lhe permita calcular o tempo maximo que o semaforo pode estar

fechado (x) de modo a garantir que a probabilidade de haver um engarrafamento na via principal

provocado por veıculos que pretendem virar para a via 2 seja de aproximadamente 0.05.

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(a) Suponha que em L metros cabem exactamente k veıculos.

(b) Suponha que os veıculos tem comprimento (em metros) variavel com distribuicao uniforme

no intervalo (a, b), com b << L.

Exercıcio 1.18 Considere uma via principal com um unico sentido que sofre a incorporacao

(total) de uma via secundaria. Carros seguindo na via principal passam no ponto de incorporacao

da via secundaria segundo um processo de Poisson de taxa 10 carros por minuto. O Evaristo

circula na via secundaria e necessita de 10 segundos para entrar na via principal. Suponha

desprezavel o tempo que os carros que circulam na via principal demoram a atravessar a seccao

de incorporacao da via secundaria na via principal. Sejam:

· N o numero de carros que passam na seccao de incorporacao da via secundaria na via

principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal; e

· Yn o instante (em segundos) de passagem do n-esimo carro que o Evaristo ve passar

enquanto espera para entrar na via principal (n = 1, 2, . . . , N).

(a) Determine a distribuicao de N e calcule o valor do seu terceiro quartil.

(b) Justifique que caso N ≥ 1, entao, para n = 1, 2, . . . , N ,

E[Yn] = 2n3 − 8e−5/3

1 − e−5/3.

(c) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo aguarda ate iniciar a manobra de incor-

poracao na via principal.

Considere agora que os carros que seguem na via principal passam no ponto de incorporacao da

via secundaria segundo um processo de Poisson de taxa λ carros por minuto e que o Evaristo

necessita de y segundos para entrar na via principal.

(d) Qual e a probabilidade de passarem n carros, n ∈ IN0, na seccao de incorporacao da via

secundaria na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal?

(e) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo espera ate iniciar a incorporacao na via

principal.

Exercıcio 1.19 Seja {N(t), t ≥ 0} um processo de Poisson de taxa λ e Y uma variavel aleatoria

positiva independente de {N(t), t ≥ 0} . Calcule E(N(Y )) e Var(N(Y )).

Exercıcio 1.20 Um certo produto e distribuıdo diariamente, mas a hora da sua chegada e uma

variavel aleatoria com distribuicao uniforme entre -1h e 2h (sendo zero a hora de abertura do

supermercado). O processo de chegadas dos clientes ao supermercado e um processo de Poisson

de taxa 20 (a unidade de tempo e a hora).

(a) Sabendo que em cada 100 clientes 60 pretendem adquirir o referido produto, calcule o

numero esperado de clientes nao servidos diariamente devido ao produto nao ter sido

ainda distribuıdo.

14

Ainda no mesmo supermercado vai realizar-se, num determinado dia, uma campanha que con-

siste em atribuir um premio a cada 20o cliente que chegar.

(b) Qual e a distribuicao do intervalo de tempo entre chegadas de clientes premiados?

(c) Sabendo que o supermercado esta aberto entre as 9h e as 19h indique a expressao que lhe

permitiria calcular a probabilidade de ter-se que atribuir exactamente 10 premios.

(d) Considere o processo {Y (t), t ≥ 0} em que Y (t) representa o numero de clientes premiados

no intervalo (0, t]. Sera que {Y (t), t ≥ 0} e um processo de Poisson? Justifique.

Exercıcio 1.21 Considere dois processos de Poisson independentes, {X(t), t ≥ 0} e {Y (t), t ≥0}, tais que E(X(t)) = λt e E(Y (t)) = µt. Sejam T e T ′ instantes de ocorrencia de eventos

consecutivos no processo {X(t), t ≥ 0}. Seja N = Y (T ′) − Y (T ) a variavel aleatoria que

representa o numero de ocorrencias de eventos do processo {Y (t), t ≥ 0} entre T e T ′. Determine

a funcao de probabilidade de N .

Exercıcio 1.22 Um sistema tem duas componentes: 1 e 2, as quais podem avariar em instantes

de chegadas de tres tipos de choques: I, II e III. A componente 1 avaria quando chegam choques

dos tipos I e III e a componente 2 avaria quando chegam choques dos tipos II e III. Os choques

dos tipos I, II e III chegam segundo processos de Poisson independentes de taxas λ1, λ2 e λ3,

respectivamente. Para j = 1, 2, seja:

Xj = tempo que decorre ate a componente j avariar.

(a) Mostre que (X1, X2) tem distribuicao tal que para s, t ≥ 0:

P (X1 > s, X2 > t) = e−[λ1s+λ2t+λ3 max(s,t)].

(b) Mostre que X1 e X2 tem distribuicao exponencial e calcule os respectivos parametros.

Exercıcio 1.23 Seja (X1, X2, . . . , Xn) uma amostra aleatoria de uma populacao exponencial e

Mn = max(X1, X2, . . . , Xn).

(a) Calcule P (X1 >∑n

i=2 Xi).

(b) Use (a) para mostrar que o maximo da amostra e maior que a soma dos resultantes valores

com probabilidade n/2n−1; i.e.

P

(

Mn >n∑

i=1

Xi − Mn

)

=n

2n−1.

(c) Calcule o tempo esperado que decorre ate observar eventos em todos os processos de um

conjunto de tres processos de Poisson independentes de taxa 1 por hora.

Exercıcio 1.24 Impulsos chegam a um contador Geiger segundo um processo de Poisson de

taxa 3/minuto. Cada impulso tem, independentemente dos restantes, probabilidade 1/3 de ser

registado. Sejam N(t) e X(t) o numero de impulsos que chegam ao contador e o numero de

impulsos que sao registados nos t minutos iniciais, respectivamente.

15

(a) Mostre que, para n ∈ IN0 e k = 0, 1, . . . , n:

P (X(t) = k | N(t) = n) =

(

n

k

)

2n−k

3n.

(b) Mostre que, para t ≥ 0, X(t) tem distribuicao de Poisson e indique o respectivo parametro.

(c) Mostre que para 0 ≤ s < t, n ∈ IN0 e k = 0, 1, ..., n:

P (N(s) = k | N(t) = n) =

(

n

k

)

(s

t

)k (

1 − s

t

)n−k.

(d) Dado que em 10 minutos foram registados 16 impulsos, qual e o numero esperado de

impulsos que chegaram ao contador nesse perıodo?

(e) Dado que no minuto inicial foram registados 2 impulsos, qual e a probabilidade de que

ambos os impulsos registados tenham chegado nos 20 segundos iniciais?

Exercıcio 1.25 Suponha que {N1(t), t ≥ 0} e {N2(t), t ≥ 0} sao processos de Poisson inde-

pendentes com taxas λ1 e λ2, respectivamente.

(a) Mostre que {N1(t) + N2(t), t ≥ 0} e um processo de Poisson com taxa (λ1 + λ2).

(b) Mostre que a probabilidade do primeiro evento do processo {N1(t) + N2(t), t ≥ 0} provir

de {N1(t), t ≥ 0} e igual a λ1/(λ1 +λ2), independentemente do instante da sua ocorrencia.

Exercıcio 1.26 Automoveis passam em determinado ponto de uma estrada de acordo com um

processo de Poisson de taxa λ = 1 automovel por minuto. Considerando que a percentagem de

Porsches que circulam nessa estrada e de 5%, calcule:

(a) A probabilidade de passar pelo menos um Porsche no perıodo de uma hora.

(b) O numero esperado de automoveis que passaram no perıodo de uma hora, sabendo que 10

deles eram da marca Porsche.

(c) A probabilidade de terem passado 5 Porsches ao fim de uma hora, sabendo que nesse

mesmo perıodo passaram 50 carros pelo referido ponto da estrada.

Exercıcio 1.27 Seja Sr o instante de ocorrencia da r-esima chegada no processo de Poisson

{N(t), t ≥ 0} de taxa λ.

(a) Mostre que, para 1 ≤ r ≤ n e 0 < u < t:

P (Sr ≤ u, N(t) = n) =

n∑

k=r

e−λt (λu)k

k!

[λ(t − u)]n−k

(n − k)!.

(b) Use o resultado anterior para concluir que a funcao densidade de probabilidade do instante

de ocorrencia da r-esima chegada, condicional a ocorrencia de n, 1 ≤ r ≤ n, chegadas ate

ao instante t e:

f(u) =n!

(r − 1)! (n − r)!

ur−1

tr

(

1 − u

t

)n−rI[0,t](u).

16

Exercıcio 1.28 Autocarros chegam a uma estacao de servico de acordo com um processo de

Poisson de taxa λ. Apos a chegada de qualquer autocarro o respectivo deposito comeca a

ser imediatamente enchido, operacao esta que demora um tempo aleatorio S com funcao de

distribuicao G. Uma vez enchido o deposito o autocarro abandona de imediato a referida estacao.

Determine a distribuicao do numero de autocarros com deposito por encher no instante t.

Exercıcio 1.29 Admita que clientes chegam a um estabelecimento comercial de acordo com

um processo de Poisson nao homogeneo. Entre as 8h e as 17h (perıodo de funcionamento do

estabelecimento) os clientes chegam de acordo com as seguintes taxas:

· Das 8h as 10h a taxa de 4 clientes por hora;

· Das 10h as 12h a taxa de 8 clientes por hora;

· Do meio-dia as 14h a taxa aumenta linearmente de 8 clientes para 10 clientes por hora; e

· Das 14h ate ao fecho do estabelecimento a taxa diminui linearmente de 10 para 4 clientes

por hora.

(a) Identifique a funcao de intensidade do processo e obtenha o numero esperado de clientes

que visitam o estabelecimento num dia.

(b) Qual e a probabilidade do numero de chegadas entre as 13h e as 15h ser superior a 5? E

a de nao ocorrerem chegadas nesse mesmo intervalo de tempo?

Exercıcio 1.30 Sejam T1, T2, . . . os tempos entre chegadas consecutivas de um processo de

Poisson nao homogeneo com funcao de intensidade {λ(t), t ≥ 0}.

(a) Serao as variaveis aleatorias T1 e T2 identicamente distribuıdas?

(b) Determine a distribuicao de T1 e T2.

Exercıcio 1.31 Considere um processo de Poisson nao homogeneo caracterizado pela funcao

valor medio

Λ(t) = t2 + 2t, t ≥ 0.

(a) Qual e a probabilidade de ocorrerem exactamente n eventos entre os instantes 4 e 5?

(b) Obtenha a funcao de intensidade do processo.

Exercıcio 1.32 Considere um processo de Poisson nao-homogeneo {N(t), t ≥ 0} com (funcao)

valor medio {Λ(t) = t(t + 1), t ≥ 0}.

(a) Calcule a probabilidade de ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3.

(b) Sabendo que ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3, calcule a probabi-

lidade de ambos os eventos terem ocorrido apos o instante 2.

(c) Determine a distribuicao do tempo de vida residual no instante 2: SN(2)+1 − 2, com Sn

sendo o instante do n-esimo evento do processo de contagem {N(t), t ≥ 0}.

(d) Determine a distribuicao da idade do processo no instante 3: 3 − SN(3).

17

(e) Se um evento que ocorre no instante t, t ≥ 0, gera dividendos com valor esperado (em

euros) de e−0.1t, calcule o valor esperado dos dividendos recebidos ate ao instante 10.

Sugestao: considere o valor esperado da variavel aleatoria D que representa os dividendos gerados

por um evento escolhido ao acaso de entre os eventos que ocorrem ate ao instante 10.

(f) Justifique, recorrendo a definicao, que {N∗(t), t ≥ 0} dado por:

N∗(t) = N

([√

1 + 4t − 1

2

])

, t ≥ 0,

e um processo de Poisson e calcule a respectiva taxa.

(g) Com as definicoes da alınea anterior, diga se o processo {N+(t) = N∗(√

t), t ≥ 0} e um

processo de renovamento, se possui incrementos independentes e se possui incrementos

estacionarios .

Exercıcio 1.33 Seja, para t ≥ 0, X(t) o valor total dos premios pagos por uma companhia de

seguros de vida no intervalo (0, t]. Pagamentos de premios de seguros de vida sao reclamados a

companhia segundo um processo de Poisson de taxa 5 pagamentos por semana. Se os premios

forem independentes e possuırem distribuicao exponencial com valor esperado 20 000 dolares,

determine:

(a) O valor esperado e a variancia do valor total de premios pagos pela companhia num perıodo

de 4 semanas.

(b) Cov(X(s), X(t)), com 0 ≤ s ≤ t.

(c) Cov(Y (s), Y (t)), com 0 ≤ s ≤ t, sendo {Y (t), t ≥ 0} um processo de Poisson composto

geral.

Exercıcio 1.34 Considere um processo de Poisson condicional em que a intensidade e uma

variavel aleatoria Λ com funcao densidade de probabilidade

fΛ(λ) =αmλm−1e−αλ

(m − 1)!I(0,+∞)(λ);

isto e, Λ ∼ Erlang (m, α), com m ∈ IN e α > 0.

(a) Mostre que, para n ∈ IN0,

P (N(t) = n) =

(

m + n − 1

m − 1

)(

t

α + t

)n( α

α + t

)m

e

(Λ | N(t) = n) ∼ Erlang (m + n, α + t).

(b) Calcule

limh→0+

P (N(t + h) − N(t) = 1 | N(t) = n)

h.

Exercıcio 1.35 O aeroporto da cidade natal do Evaristo dispoe de um centro de reservas que

funciona 24 horas por dia. Apos um estudo minucioso do processo de chegadas ao referido

centro, considerou-se razoavel que:

18

· Condicionalmente ao conhecimento da taxa de chegadas, as chegadas se regiam por um

processo de Poisson; e

· Em cada dia, a taxa de chegadas de clientes por hora e uma variavel aleatoria com distri-

buicao exponencial de taxa 4.

(a) Qual e a probabilidade de nao chegarem clientes ao centro de reservas num perıodo de t

horas de um dia?

(b) Prove que a probabilidade da referida taxa nao exceder os 6 clientes por hora num dia em

que no perıodo entre as 0 e as 12 horas chegaram 49 clientes, e igual a Fχ2(100)

(192).

Sugestao: use o facto de X ∼ Gama (α, δ) ⇔ 2δX ∼ χ2(2α).

19

Capıtulo 2

Movimento Browniano

Exercıcio 2.1 Seja X = {X(t), t ≥ 0} um movimento browniano padrao.

(a) Determine a distribuicao de X(s) + X(t), com 0 ≤ s ≤ t.

(b) Determine a distribuicao de X(s) condicional a {X(t1) = A, X(t2) = B}, com t1 < s < t2.

(c) Calcule E[X(t1)X(t2)X(t3)], com 0 < t1 < t2 < t3.

Exercıcio 2.2 Seja X = {X(t), t ≥ 0} um movimento browniano padrao e e defina-se Y =

{Y (t) = µt + σX(t), t ≥ 0}, com µ ∈ IR e σ ∈ IR+. Y e chamado movimento browniano com

tendencia µ e coeficiente de difusao σ2.

(a) Calcule a funcao densidade de probabilidade conjunta de Y (s) e Y (t), 0 ≤ s ≤ t.

(b) Assumindo µ = 0, calcule o valor esperado e a variancia de | Y (t) | e diga, justificando, se

{| Y (t) |, t ≥ 0} possui incrementos independentes.

(c) Compare a funcao de covariancia de Y com a de um processo de Poisson homogeneo de

taxa λ. Em que situacoes sao iguais?

Exercıcio 2.3 Seja {X(t), t ≥ 0} um Processo Gaussiano; i.e. um processo cujas distribuicoes

multidimensionais finitas sao (sempre) gaussianas.

(a) Mostre que {X(t), t ≥ 0} e estacionario se e so se {X(t), t ≥ 0} for estacionario em

covariancia.

(b) Suponha agora que {X(t), t ≥ 0} e um movimento browniano padrao e considere o Processo

de Ornstein-Uhlenbeck:

V (t) = e−αt2 X

(

eαt)

, t ≥ 0.

Mostre que {V t), t ≥ 0} e um processo gaussiano.

(c) Obtenha a funcao valor medio e a funcao de covariancia do processo de Ornstein-Uhlenbeck

da alınea anterior.

Exercıcio 2.4 Considere um movimento browniano padrao {X(t), t ≥ 0} e defina-se

Y (0) = 0 e Y (t) = t X

(

1

t

)

, t > 0.

20

(a) Determine a distribuicao de Y (t), t > 0.

(b) A que e igual Cov [Y (s), Y (t)], para 0 < s < t?

(c) Prove que {Y (t), t ≥ 0} e um movimento browniano padrao.

(d) Seja T = inf{t > 0 : X(t) = 0}. Use (c) para argumentar que P (T = 0) = 1.

Nota: para um movimento browninano padrao, a probabilidade de retorno a origem apos qualquer

instante fixo e 1.

Exercıcio 2.5 O Evaristo, como jovem “yuppie” muito empreendedor, decidiu fazer-se socio

de uma empresa portuense ligada a industria textil a partir do dia 1 de Janeiro de 1987. Numa

reuniao com os restantes socios da empresa o nosso amigo colheu informacoes preciosas. Ficou

a saber que era muito provavel que os seus lucros na empresa (em milhares de contos) se

comportassem como um movimento browniano padrao, sendo a unidade de tempo o ano. E

para alem disso um dos socios da empresa, Hans Hotter, adiantou que os lucros do Evaristo - ao

fim da primeira quinzena de Junho de 1987 e exactamente cinco anos depois desta data - ainda

eram correlacionados entre si.

(a) O Evaristo ficou muito surpreendido com a observacao do Sr. Hotter. Demonstre que nao

ha razoes para qualquer surpresa.

Devido a um incendio no gabinete do contabilista do Evaristo, foram perdidos os registos dos

lucros respeitantes aos anos 1987-1990. No entanto aquele adiantou que sabia de cor os lucros

no final de 1987 e de 1990: foram de 12 e 9 milhares de euros, respectivamente. Face a esta

informacao:

(b) Esboce a deducao da funcao densidade de probabilidade do lucro as 24 horas de 31/12/1988.

(c) Determine a probabilidade do lucro as 24 horas de 31/12/1988 ter excedido 10000 euros.

Sugestao: Se {X(t), t ≥ 0} e um movimento browniano padrao, entao, para 0 < t1 < s < t2 e A,B ∈ IR:

E(X(s) | X(t1) = A,X(t2) = B) = A + (B − A)s − t1t2 − t1

e

Var(X(s) | X(t1) = A,X(t2) = B) =(s − t1) (t2 − s)

t2 − t1.

Exercıcio 2.6 Mostre que se {An, n ≥ 1} for uma sucessao crescente (ou decrescente) de

acontecimentos, entao

limn→∞

P (An) = P(

limn→∞

An

)

.

Nota: limn→∞ An = ∪∞k=1Ak se A1 ⊆ A2 ⊆ . . .; e limn→∞ An = ∩∞

k=1Ak se A1 ⊇ A2 ⊇ ....

Exercıcio 2.7 Seja X um movimento browniano padrao e recorde-se que

P (X(u) 6= 0, u ∈ (t, tx)) =2

πarcsin

(

√

1/x)

para t > 0 e x > 1.

(a) Conclua que, qualquer que seja a > 0, quase certamente X possui zeros no intervalo (0, a),

para o que podera fazer uso do Exercıcio 2.6.

21

(b) Tendo por base o resultado da alınea anterior, conclua que quase certamente X possui

uma infinidade de zeros no intervalo [0, 1).

(c) Calcule a funcao de distribuicao do instante de ocorrencia do ultimo zero antes do instante

1.

(d) Calcule a funcao de sobrevivencia do instante de ocorrencia do primeiro zero apos o instante

1.

(e) Calcule a funcao densidade de probabilidade conjunta do instante de ocorrencia do ultimo

zero antes do instante 1 e do primeiro zero apos o instante 1.

Exercıcio 2.8 Seja X um movimento browniano padrao. Para t > 0, obtenha a distribuicao

de:

(a) |X(t)|.

(b)

∣

∣

∣

∣

min0≤s≤t

X(s)

∣

∣

∣

∣

.

(c) X(t) − min0≤s≤t

X(s).

Exercıcio 2.9 Seja X um movimento browniano com tendencia µ e coeficiente de difusao σ2 e

defina-se

Tx = inf{t ≥ 0 : X(t) = x}

para x ∈ IR.

(a) Conclua queX(t)

t−→ µ quase certamente.

(b) Conclua, atraves da derivacao de uma equacao diferencial, que para A, B > 0,

P (TA < T−B) =1 − e

2µ

σ2 B

e−2µ

σ2 A − e2µ

σ2 B.

(c) Tendo por base a alınea anterior, determine

P (T1 < T−1 < T2).

(d) Tendo por base a alınea (b), conclua que se µ < 0, entao

M = supt≥0

X(t) ∼ Exponencial

(

−2µ

σ2

)

.

Exercıcio 2.10 Suponha que comprou accoes de uma companhia pelo valor unitario de a + b

euros, a, b > 0, e que o preco actual dessas accoes e a euros, sendo que decidiu vender as accoes

quando o respectivo preco atingir a + b euros ou assim que passem mais t unidades de tempo.Se o preco das acccoes for regido por um movimento browniano padrao, qual e a probabilidade

de nao recuperar o valor investido?

22

Exercıcio 2.11 O valor de uma determinada accao e descrito por um movimento browniano

geometrico com tendencia µ = 2% e coeficiente de difusao σ2 = 0, 01%, sendo que o valor actual

da accao e 100 euros.Determine pela formula de Black-Scholes o valor de uma opcao de compra no instante 10 de

uma accao pelo valor de

(a) 100 euros.

(b) 120 euros.

(c) 80 euros.

Exercıcio 2.12 Um processo estocastico Y = {Y (t), t ≥ 0} e uma martingala se

E[Y (t)|Y (u), 0 ≤ u ≤ s] = Y (s)

para 0 ≤ s ≤ t. Conclua que:

(a) Se Y e uma martingala, entao

E[Y (t)] = E[Y (0)], t ≥ 0.

(b) O movimento browniano padrao e uma martingala.

(c) Se X e um movimento browniano padrao e

Z(t) = X2(t) − t, t ≥ 0

entao Z = {Z(t), t ≥ 0} e uma martingala e calcule E[Z(t)].

(d) Se X e um movimento browniano padrao e

W (t) = exp

{

cX(t) − c2t

2

}

, t ≥ 0

com c sendo uma constante arbitraria, entao W = {W (t), t ≥ 0} e uma martingala e

calcule E[W (t)].

Exercıcio 2.13 Seja Y = {Y (t), t ∈ IR} um processo estacionario em covariancia com funcao

de covariancia

σ(t) = Cov(Y (s), Y (s + t)), s, t ∈ IR.

(a) Conclua que

Var(Y (s + t) − Y (s)) = 2[σ(0) − σ(t)].

(b) Seja Z(t) = Y (t + 1) − Y (t), t ∈ IR. Conclua que Z e estacionario em covariancia e que

Cov(Z(s), Z(s + t)) = 2σ(t) − σ(t − 1) − σ(t + 1).

23

Capıtulo 3

Cadeias de Markov em Tempo

Discreto

Exercıcio 3.1 Considere a cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} com espaco de estados {0, 1, 2} e

matriz de probabilidades de transicao

P =

.3 .3 .4

.2 .7 .1

.2 .3 .5

.

Calcule P (X8 = 2 | X0 = 0) e P (X4 = 2, X8 = 2 | X0 = 0).

Exercıcio 3.2 O Evaristo pode encontrar-se num de tres estados de espırito: 1- radiante; 2-

assim-assim; 3-macambuzio. Caso hoje esteja radiante, o seu estado amanha sera 1, 2 ou 3 com

probabilidades 0.5, 0.4 e 0.1, respectivamente. Se num dia estiver assim-assim, no dia seguinte

estara radiante, assim-assim ou macambuzio com probabilidades 0.3, 0.4 e 0.3. Por fim, caso

hoje esteja macambuzio, amanha encontrar-se-a nos estados 1, 2 ou 3 com probabilidades 0.2,

0.3 e 0.5.

(a) Considerando que Xn representa o estado de espırito do Evaristo no dia n, identifique a

matriz de probabilidades de transicao da cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0}.

(b) Obtenha a probabilidade do Evaristo se encontrar radiante dois dias apos ter estado ma-

cambuzio.

(c) Qual e a probabilidade do Evaristo nao estar radiante daqui a 4 dias, sabendo que hoje se

encontra assim-assim?

Exercıcio 3.3 Considere o modelo de urnas de Ehrenfest em que M moleculas sao distribuıdas

por 2 urnas. Em cada instante de tempo uma molecula, escolhida ao acaso, e trocada de urna.

Seja Xn o numero de moleculas na urna 1 apos n trocas e seja µn = E[Xn].

(a) Sera que {Xn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov?

(b) Mostre que, para n ∈ IN0,

µn+1 = 1 +M − 2

Mµn e µn =

M

2+

(

M − 2

M

)n(

E[X0] −M

2

)

−→n→∞

M

2.

24

(c) Sera que Xnp−→ M

2 ?

Exercıcio 3.4 Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas

tais que, para i = 1, 2, . . ., P (Xi = j) = αj , j ≥ 0. Considere que e efectuado um registo no

instante n se Xn > max i=0,1,...,n−1 Xi (assuma-se que X0 = 0), sendo nesse caso o valor registado

igual a Xn. Considere ainda que Ri representa o i-esimo valor registado.

(a) Justifique que {Ri, i ≥ 1} e uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de

probabilidades de transicao (a um passo).

(b) Seja, para i ∈ IN , Ti o tempo que decorre entre o (i − 1)-esimo e i-esimo registos, com o

0-esimo registo a ocorrer no instante zero. Sera que {Ti, i ≥ 1} e uma cadeia de Markov?

E {(Ri, Ti), i ≥ 1}? Em caso afirmativo, calcule as respectivas probabilidades de transicao.

Exercıcio 3.5 Especifique as classes comunicantes das cadeias de Markov com as seguintes

matrizes de probabilidades de transicao e determine se as mesmas sao transientes ou recorrentes:

P1 =

0 .5 .5

.5 0 .5

.5 .5 0

P2 =

0 0 0 1

0 0 0 1

.5 .5 0 0

0 0 1 0

P3 =

0 0 1 0

1 0 0 0

.5 .5 0 0

.3 .3 .4 0

P4 =

0 1 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

.3 0 .7 0

P5 =

.5 0 .5 0 0

.2 .6 .2 0 0

.5 0 .5 0 0

0 0 0 .5 .5

0 0 0 .5 .5

P6 =

.3 0 .7 0 0 0

0 .3 0 .7 0 0

.7 0 .3 0 0 0

0 .2 0 .8 0 0

.2 .3 0 0 .2 .3

.2 .2 .1 .1 .2 .2

P7 =

1 0 0 0 0 0

0 .7 .3 0 0 0

0 .2 .8 0 0 0

.2 .3 0 .1 .4 0

.3 0 .2 .2 .3 0

0 0 0 0 0 1

Exercıcio 3.6 Considere uma cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} generica com espaco de estados

S e matriz de probabilidades de transicao P e seja, para k ∈ IN ,

f(k)ij = Pi(X1 6= j, X2 6= j, . . . , Xk−1 6= j, Xk = j), i, j ∈ S

com Pi(.) = P (. | X0 = i).

(a) Mostre que a recorrencia positiva e a recorrencia nula sao propriedades de classe.

(b) Prove que se S e finito, entao {Xn, n ≥ 0} nao possui estados recorrentes nulos e nem

todos os estados sao transientes.

(c) Mostre que se #S = M (< ∞) e o estado j pode ser alcancado a partir do estado i, entao

j pode ser alcancado a partir de i em M passos ou menos.

(d) Conclua que

p(n)ij =

n∑

k=1

f(k)ij p

(n−k)jj , n ∈ IN.

25

(e) Use resultado anterior para concluir que se fii < 1 e fjj < 1, entao:

∞∑

n=1

p(n)ij < ∞ e fij =

∑∞n=1 p

(n)ij

1 +∑∞

n=1 p(n)jj

.

(f) Justifique que se pii > 0, entao o tempo que decorre ate a saıda do estado i

ηi = (inf {n ≥ 1 : Xn 6= i} | X0 = i)

possui distribuicao gemetrica e identifique o respectivo parametro.

Exercıcio 3.7 A Polıcia da cidade-natal do Evaristo identificou seis estados associados aos

habitos televisivos dos seus habitantes: 1 – habitante que se recusa a ver TV; 2 – ve somente

a SIQUE; 3 – ve TV com alguma frequencia; 4 – habitante viciado em TV; 5 – habitante

sofrendo modificacoes comportamentais; 6 – habitante em “coma profundo”. As transicoes de

um estado para outro podem ser modeladas por uma cadeia de Markov com a seguinte matriz

de probabilidades de transicao:

P

1 0 0 0 0 0

.5 0 .5 0 0 0

.1 0 .5 .3 0 .1

0 0 0 .7 .1 .2

1/3 0 0 1/3 1/3 0

0 0 0 0 0 1

(a) Identifique os estados transientes e recorrentes.

(b) Partindo do estado 2, obtenha uma expressao para a probabilidade de se atingir o estado

6 antes de atingir o estado 1; i.e., a probabilidade de um telespectador da SIQUE vir a

entrar em estado de coma.

Exercıcio 3.8 Seja X0 uma variavel aleatoria assumindo valores inteiros e {Zn, n ≥ 1} uma

sucessao de variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdas a Z, com

P (Z = 1) = p = 1 − P (Z = −1) = q, 0 < p < 1.

A cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} definida por:

Xn = X0 +n∑

k=1

Zk, n ≥ 0,

e um passeio aleatorio simples de parametro p com posicao inicial X0.

(a) Identifique o espaco de estados do passeio aleatorio simples e classifique, em termos de

recorrencia, os estados.

(b) Seja Rn o numero de retornos a origem ocorridos ate ao instante n:

Rn =n∑

k=1

1{Xk=0}, n ≥ 1.

26

Conclua que se p = 1/2 entao

E [R2n] =2n + 1

22n

(

2n

n

)

− 1

e que E (Rn) e assintoticamente proporcional a√

n.

Sugestao: Use a aproximacao de Stirling (n! ∼√

2π e−n nn+1/2, quando n → ∞).

Assumindo que X0 assume um valor fixo no conjunto {0, 1, . . . , K}, considere a variavel aleatoria

N definida por:

N = inf{n ≥ 0 : Xn = 0 ∨ Xn = K}

e o processo estocastico {Yn, n ≥ 0} definido por

Yn =

Xn n ≤ N

XN n > N.

Para efeitos de interpretacao considere-se que Zn e o ganho do jogador A (ao jogador B) na

n-esima partida de um jogo que termina assim que um dos jogadores arruina o outro. A variavel

aleatoria N representa entao a duracao do jogo na situacao em que as fortunas iniciais dos

jogadores A e B sao respectivamente X0 e K −X0, K e a soma das fortunas dos jogadores A e

B (fortuna total) e Yn e a fortuna do jogador A apos n jogadas (eventuais).

(c) Justifique que {Yn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov e obtenha a respectiva matriz de

probabilidades de transicao P.

(d) Conclua que P (N < ∞ | Y0 = i) = 1, para i = 0, 1, . . . , K.

Seja ρ = q/p e τi a probabilidade de ruına do jogador A condicional a sua fortuna inicial ser i:

τi = P (YN = 0 | Y0 = i) , i = 0, 1, . . . , K.

(e) Justifique que τ0 = 1, τK = 0 e

τi+1 − τi = ρ (τi − τi−1), 1 ≤ i ≤ K − 1.

(f) Use o resultado da alınea anterior para concluir que

τi =ρi − ρK

1 − ρK, 0 ≤ i ≤ K.

(g) Conclua que, para i = 1, 2, . . . , K − 1,

P (Y1 = i + 1 | Y0 = i, YN = K) =

p(

1 − ρi+1)

/(

1 − ρi)

p 6= 12

(i + 1)/(2i) p = 12

.

Exercıcio 3.9 Considere uma cadeia de Markov {Yn, n ≥ 0} com espaco de estados IN0 e

matriz de probabilidades de transicao

P =

1 0 0 0 0 0 . . .

q1 0 p1 0 0 0 . . .

0 q2 0 p2 0 0 . . .

0 0 q3 0 p3 0 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

com 0 < pi < 1 e qi = 1 − pi, para i ∈ IN , e defina-se

N = inf{n ≥ 0 : Yn = 0}.

Se pi ≡ p e usando a mesma interpretacao que no Exercıcio 3.8, o estado 0 pode ser interpretado

como o estado de ruına de um jogador que defronta um oponente infinitamente rico e N como

o instante em que o jogador atinge o estado de ruına.

(a) Assumindo pi ≡ p, conclua que, para i ∈ IN0,

P (N < ∞ | Y0 = i) =

1 p ≤ 1/2

ρi p > 1/2.

com ρ = (1 − p)/p.

(b) Conclua que, para i ∈ IN ,

P (Y1 = i + 1 | Y0 = i, N < ∞) =

p(

1 − ρi+1)

/(

1 − ρi)

p 6= 12

(i + 1)/(2i) p = 12

.

(c) Como se relacionam os resultados das alıneas (a) e (b) com os resultados obtidos nas

alıneas (f) e (g) do Exercıcio 3.8 ?

Exercıcio 3.10 Dois medicamentos foram desenvolvidos para tratar determinada doenca. A

probabilidade do medicamento i curar um paciente e pi, i = 1, 2, sendo as duas probabilidades

de cura desconhecidas mas pertencentes ao intervalo (0, 1). Com o fim de indicar qual e o medi-

camento que deve ser administrado futuramente no tratamento da referida doenca, e importante

decidir se p1 ≥ p2 ou, pelo contrario, p2 > p1.Com este objectivo em mente, estuda-se o efeito da administracao dos medicamentos 1 e 2

numa serie de pacientes com escolha do medicamento a administrar a cada paciente efectuada

ao acaso. Os resultados dessa experiencia sao sintetizados em variaveis Xi (Yi) que assumem

valor: 1, se o i-esimo paciente a quem e administrado o medicamento 1 (2) fica curado, e 0, no

caso contrario. A experiencia e terminada assim que haja uma diferenca do numero de curas

obtidas usando os dois medicamentos de valor igual a M , com M ∈ IN fixo, para igual numero

de pacientes tratados por cada um dos medicamentos, e decide-se que:

• p1 ≥ p2, se

N∑

i=1

(Xi − Yi) = M

• p2 > p1, seN∑

i=1

(Xi − Yi) = −M

com 2N sendo o numero total de pacientes cujas reaccoes aos medicamentos 1 ou 2 sao usadas

para a tomada de decisao:

N = inf

{

n ≥ 1 :

∣

∣

∣

∣

∣

n∑

i=1

(Xi − Yi)

∣

∣

∣

∣

∣

= M

}

.

Considerando qi = 1−pi, i = 1, 2, e ρ = (p1q2)/(p2q1), conclua (e.g., relacionando este problema

com o da ruına do jogador e usando a equacao de Wald) que:

28

(a) A probabilidade de cometer um erro de decisao e igual a 1/(1 + ρM ).

(a) Se p1 > p2, o numero esperado de pares observados ate a tomada de decisao e

E(N) = MρM − 1

(p1 − p2) (ρM + 1).

Exercıcio 3.11 O Evaristo tem um restaurante onde, nas noites de 6a feira, se realiza um es-

pectaculo em que participam somente artistas amadores. As apresentacoes sao classificadas pela

clientela extremamente exigente desse mesmo restaurante numa escala de 1 a 5: a classificacao 1

e atribuıda a uma apresentacao muito boa, enquanto que a classificacao 5 e atribuıda a qualquer

espectaculo de tal modo atroz que pode desencadear disturbios fısicos violentos. A probabilidade

da actuacao de um artista da classe 5 ser seguida por uma cena de pancadaria e igual a 0.3.

Uma vez arrefecidos os animos retomam-se as apresentacoes - “the show must go on”.Considere que a sucessao de estados nas noites de 6a feira pode ser modelada por uma cadeia

de Markov com 6 estados: o estado 6 representa uma “cena de pancadaria” e o estado i uma

actuacao de um “artista da classe i”, para 1 ≤ i ≤ 5; a respectiva matriz de probabilidades de

transicao e

P =

.05 .15 .3 .3 .2 0

.05 .3 .3 .3 .05 0

.05 .2 .3 .35 .1 0

.05 .2 .3 .35 .1 0

.1 .1 .1 .1 .39 .3

.2 .2 .2 .2 .2 0

Jogando sempre pelo seguro, o Evaristo inicia o espectaculo com um artista que ele sabe ser da

classe 2.

(a) Qual e a probabilidade de uma “estrela” - artista da classe 1 - ser descoberta antes de se

iniciar uma cena de pancadaria?

(b) Determine o numero esperado de actuacoes que precedem a primeira cena de pancadaria

da noite.

Exercıcio 3.12 O Evaristo possui um outro restaurante cujas financas anuais podem encontrar-

se num dos seguintes estados: 1 - falencia; 2 - quase-falencia; 3 - solvencia. A matriz de

probabilidades de transicao associada a cadeia de Markov que modela o estado financeiro anual

do referido restaurante e

P =

1 0 0

.5 .25 .25

.5 .25 .25

.

(a) Calcule, para n ∈ IN , o vector[

f(n)13 f

(n)23 f

(n)33

]

. Note-se que, para i = 1, 2, 3, f(n)i3 e a

probabilidade de, tendo partido do estado i, o estado de solvencia ser atingido (a partir

do primeiro ano) pela primeira vez ao fim de n anos.

(b) Calcule o numero esperado de anos que o Evaristo aguentara ate a falencia assumindo que

se encontrava inicialmente no estado de solvencia.

29

Exercıcio 3.13 As financas anuais da Casa do Damouro podem ser modeladas por uma cadeia

de Markov com espaco de estados {0, 1, 2} (0 – falencia; 1 – quase-falencia; 2 – solvencia) com

matriz de probabilidades de transicao

P =

0 0 1

.5 .25 .25

.5 .25 .25

sendo que a transicao que ocorre apos ser atingido o estado de falencia se deve a injeccao de

dinheiro que o Estado efectua na Casa do Damouro.

(a) A cadeia de Markov descrita e irredutıvel? E aperiodica?

(b) Determine o numero esperado de anos que decorrem entre injeccoes de dinheiro pelo Es-

tado.

(c) Calcule o numero esperado de anos que decorrem ate haver injeccao de dinheiro pelo

Estado partindo do estado de quase-falencia.

(d) Partindo do estado de solvencia, calcule a probabilidade de nao demorar mais de tres anos

a ocorrer a primeira injeccao de dinheiro pelo Estado.

Exercıcio 3.14 Uma urna contem bolas azuis e/ou bolas brancas, num total de K bolas. Em

cada instante, uma bola escolhida ao acaso e retirada da urna. Se a bola retirada for azul, e

colocada novamente na urna; se for branca, e substituıda por uma bola azul retirada de um saco

com bolas azuis. Seja Xn o numero de bola azuis na urna depois de a operacao anterior ter sido

efectuada n vezes, n ≥ 0, e µn = E[Xn]. Para 0 ≤ i, j ≤ K, defina-se:

Tij = inf{n ≥ 0 : Xn = j | X0 = i}.

(a) Derive a recursao:

µn+1 = (1 − 1/K) µn + 1, n ≥ 0,

e conclua que:

µn = K − (1 − 1/K)n [K − µ0].

(b) Justifique que, para 0 ≤ i < K,

E[Ti,i+1] = (1 − i/K)−1 .

(c) Calcule, para 0 ≤ i < K, E[Ti,K ].

(d) Sera que existe uma distribuicao limite para Xn? Em caso afirmativo, determine-a.

Exercıcio 3.15 O Evaristo Jr., o filho mais problematico do Evaristo, pode encontrar-se em 4

estados de espırito. No estado 1 ele manifesta tendencias suicidas, enquanto que no estado 4

procura ajuda psiquiatrica. Os estados 2 e 3 correspondem a estados depressivos. As mudancas

30

de estado de espırito do Evaristo Jr. sao modeladas por uma cadeia de Markov com matriz de

probabilidades de transicao

P =

1 0 0 0

.50 0 .25 .25

.25 .50 0 .25

0 0 0 1

(a) Calcule as probabilidades do Evaristo Jr. cometer suicıdio partindo dos estados depressivos

2 e 3.

(b) Calcule os numeros esperados de mudancas de estado de espırito, partindo dos estados

depressivos 2 e 3, necessarias para que o Evaristo Jr. procure ajuda psiquiatrica.

Exercıcio 3.16 O Evaristo tem uma pequena vinha numa regiao onde as condicoes atmosfericas

diarias podem ser modeladas por uma cadeia de Markov com quatro estados (1 – dia soalheiro;

2 – dia fresco; 3 – dia nublado; e 4 – dia chuvoso) e com matriz de probabilidades de transicao

P =

.4 .2 .1 .3

.4 .3 .2 .1

.6 .1 .1 .2

.2 .4 .3 .1

O Evaristo sabe que as uvas ainda nao estao prontas para a apanha: um pouco mais de sol torna-

las-ia deliciosas, ao passo que um dia chuvoso arruina-las-ia. De forma a ajuda-lo a decidir se

devera ou nao iniciar a vindima hoje e sabendo que o dia esta nublado:

(a) Calcule a probabilidade de a vinha vir a ter um dia soalheiro antes de um dia de chuva.

(b) Recorrendo eventualmente ao facto de

2.723 0.848 0.491

2.143 2.143 0.714

2.054 0.804 1.518

0.6 −0.2 −0.1

−0.4 0.7 −0.2

−0.6 −0.1 0.9

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

calcule o numero esperado de dias que antecedem um dia chuvoso.

Exercıcio 3.17 Uma aranha caca uma mosca movendo-se do compartimento 1 para o compar-

timento 2, e vice-versa, de acordo com uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades de

transicao A, enquanto que a mosca, sem se aperceber da presenca da aranha, desloca-se de um

compartimento para o outro de acordo com uma cadeia de Markov com matriz de probabilidades

de transicao M, sendo

A =

[

.7 .3

.3 .7

]

e M =

[

.4 .6

.6 .4

]

.

A aranha apanha imediatamente a mosca desde que os dois insectos se encontrem no mesmo

compartimento, terminando assim a cacada.

(a) Mostre que, ignorando o numero do compartimento em que termina a cacada, o progresso

da cacada pode ser descrito a custa de uma cadeia de Markov com tres estados e obtenha

a matriz de probabilidades de transicao dessa mesma cadeia.

31

(b) Determine a probabilidade de a aranha e a mosca se encontrarem no instante n (assumindo,

obviamente, que no instante 0 a aranha e a mosca se encontram em compartimentos

opostos).

(c) Determine a duracao esperada da cacada.

Exercıcio 3.18 Considere uma cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} com espaco de estado IN0 e

matriz de probabilidades de transicao P, sendo que o estado 0 e absorvente e os restantes

transientes. Seja

N = inf{n ≥ 0 : Xn = 0}

e defina-se, para i, n ∈ IN0,

mi = E(N | X0 = i) e σi(n) = P (N > n | X0 = i).

(a) Mostre que os valores esperados do tempo que decorre ate absorcao partindo do estado i

(mi), i ≥ 1, satisfazem o seguinte sistema linear de equacoes:

mi = 1 +∞∑

j=1

pij mj .

(b) Deduza, para n ≥ 0, uma formula que lhe permita obter σi(n + 1), i ≥ 1, a custa de

{σj(n), j ≥ 1}.

Exercıcio 3.19 Considere um processo de ramificacao {Xn, n ≥ 0} em que o numero de des-

cendentes por indivıduo possui valor esperado µ (> 0), variancia σ2 (< ∞), funcao massa de

probabilidade {pk, k ≥ 0} e funcao geradora de probabilidades P (s), 0 ≤ s ≤ 1. Para n ∈ IN0,

seja Pn(s), 0 ≤ s ≤ 1, a funcao geradora de probabilidades do tamanho da populacao iniciada

por um unico indivıduo na n-esima geracao (Xn | X0 = 1) e considerem-se a probabilidade de a

populacao iniciada por um indivıduo estar extinta na n-esima geracao,

πn = P (Xn = 0 | X0 = 1) = Pn(0),

e a probabilidade de extincao da populacao iniciada por um indivıduo,

π = P (inf{n ≥ 1 : Xn = 0} < ∞ | X0 = 1) .

Assuma-se ainda que E[X0] > 0 e Var[X0] < ∞.

(a) Mostre que, para n ∈ IN0,

E[Xn] = E[X0] µn e

∞∑

k=0

E[Xk] =

∞ µ ≥ 1

E[X0]/(1 − µ) µ < 1.

Que consequencia tem o resultado descrito em relacao a probabilidade de extincao da

populacao?

(b) Mostre que, para n ∈ IN0,

Var[Xn] = µ2n Var[X0] + E[X0] ×

σ2 µn−1 µn−1µ−1 µ 6= 1

nσ2 µ = 1.

32

(c) Conclua que {πn, n ≥ 0} e uma sucessao nao-decrescente de probabilidades e que

π = limn→∞

Pn(0) = limn→∞

πn.

(d) Conclua que as funcoes geradoras de probabilidades Pn, n ≥ 0, satisfazem a recursao

Pn+1(s) = Pn(P (s)) = P (Pn(s)), 0 ≤ s ≤ 1

com P0(s) = s, 0 ≤ s ≤ 1.

(e) Baseando-se nos resultados das alıneas (c) e (d), conclua que π e a menor solucao da

equacao

s = P (s)

no intervalo [0, 1].

(f) Conclua que se p0 + p1 = 1, entao:

P (s) =

p0 + p1s p1 < 1

s p1 = 1e π =

1 p1 < 1

0 p1 = 1.

(g) Conclua que se p0 + p1 < 1, entao P (s) e uma funcao contınua, estritamente crescente e

estritamente convexa no intervalo [0, 1] e verifica:

µ ≤ 1 ⇔ lims→1−

P ′(s) ≤ 1.

(h) A partir dos resultados das 3 alıneas anteriores, conclua que se p1 6= 1, entao

π < 1 ⇔ µ > 1.

(i) Calcule o valor de π nos casos em que:

p0

p1

p2

=

1/2

1/4

1/4

,

1/4

1/12

2/3

,

1/4

1/2

1/4

.

(j) Justifique que

P (extincao da populacao) = P

(

infn≥0

Xn = 0

)

= E(

πX0)

.

Exercıcio 3.20 Seja {Xn, n ≥ 0} um processo de ramificacao em que o numero de descendentes

directos de um indivıduo possui distribuicao Binomial (2, p).

(a) Calcule a probabilidade de um indivıduo nao possuir qualquer descendente ao fim de 3

geracoes.

(b) Conclua que a probabilidade de extincao da populacao iniciada por um indivıduo e:

π =

1 p ≤ 12

(

1−pp

)2p > 1

2

.

33

(c) Conclua que se X0 ∼ Poisson (λ), entao a probabilidade de extincao da populacao e:

P

(

infn≥0

Xn = 0

)

=

1 p ≤ 12

exp(

−λ 2p−1p2

)

p > 12

.

Exercıcio 3.21 Uma corrente fraca de electroes pode ser amplificada por utilizacao de um

aparelho constituıdo por diversas placas. Ao embater numa placa, cada electrao da origem a um

numero aleatorio de outros electroes, que por sua vez, ao embaterem na proxima placa, geram

outros electroes, e assim sucessivamente. Suponha que o numero de electroes a que cada electrao

da origem por embate tem distribuicao Poisson (λ).

(a) Determine o valor esperado e a variancia da amplificacao de um unico electrao inicial na

n-esima placa.

(b) Determine uma expressao para a probabilidade de ocorrencia de amplificacao num numero

infinito de placas, supondo que λ = 1.01.

Exercıcio 3.22 Considere uma cadeia de Markov com dois estados e cuja matriz de probabili-

dades de transicao e, com 0 ≤ p ≤ 1:

P =

[

p 1 − p

1 − p p

]

.

(a) Determine, em funcao do valor de p, as classes comunicantes da cadeia de Markov .

(b) Mostre por inducao matematica que:

Pn =

[

12 + (2p−1)n

212 − (2p−1)n

212 − (2p−1)n

212 + (2p−1)n

2

]

.

Suponha que o Sr. Stressado tem dois caminhos, A e B, para ir de casa ao emprego, e vice-versa.

Sempre que demora mais de 30 minutos em fila usando um dos caminhos, o Sr. Stressado utiliza

o caminho contrario na viagem seguinte. A probabilidade de o Sr. Stressado demorar mais de

30 minutos em fila e em cada viagem, independentemente das restantes, 0.7. Suponha que na

1a viagem o Sr. Stressado utiliza o caminho A.

(c) Calcule a probabilidade de o Sr. Stressado utilizar o caminho A na sua 3a viagem.

(d) A longo-prazo, que fracao de vezes utiliza o Sr. Stressado o caminha A?

Exercıcio 3.23 Admita que no paıs-natal do Evaristo a mobilidade entre as classes sociais

baixa (1), media (2) e alta (3) de uma geracao para outra e descrita por uma cadeia de Markov

com matriz de probabilidades de transicao

P =

.45 .48 .07

.05 .70 .25

.01 .50 .49

Qual e a percentagem, a longo-prazo, de habitantes em cada uma das tres classes sociais?

34

Exercıcio 3.24 Uma matriz de probabilidades de transicao P e duplamente estocastica se as

somas por coluna sao iguais a 1; i.e.

∑

i

pij = 1, ∀j.

(a) Conclua que se uma cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} com espaco de estados finito, S, e

matriz de probabilidades de transicao duplamente estocastica e irredutıvel e aperiodica,

entao possui probabilidades limite

Pj = limn→∞

P (Xn = j) =1

#S, j ∈ S.

(b) Seja Yn a soma do numero de pontos obtidos em n lancamentos independentes de um dado

perfeito. Determine, recorrendo eventualmente ao resultado da alınea anterior,

limn→∞

P (mod(Yn, 4) = j), j = 0, 1, 2, 3.

Exercıcio 3.25 Uma partıcula desloca-se sobre uma circunferencia parando em cinco pon-

tos previamente marcados no sentido dos ponteiros do relogio: 0, 1, 2, 3 e 4. Em cada passo

a partıcula desloca-se no sentido dos ponteiros do relogio com probabilidade p, e no sentido

contrario com probabilidade 1−p, com 0 < p < 1. Seja, para n ∈ IN0, Xn a posicao da partıcula

no instante n.

(a) Justifique que {Xn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov e determine a respectiva matriz de

probabilidades de transicao P.

(b) Sera que {Xn, n ≥ 0} possui uma distribuicao limite? Se assim for, determine as probabi-

lidades limite dos estados da cadeia de Markov e interprete-as.

Exercıcio 3.26 Um indivıduo possui r guarda-chuvas que usa nos trajectos entre a casa e o

escritorio. Se ao sair de casa ou do escritorio nao estiver a chover, ele nao transporta nenhum

guarda-chuva com ele; mas, se estiver a chover e houver algum guarda-chuva nesse local, ele usa

um desses guarda-chuvas no trajecto para o outro local. Assuma que, independentemente do

passado, chove com probabilidade p, 0 < p < 1, em cada trajecto que o indivıduo efectua.

(a) Defina uma cadeia de Markov que ajude a determinar a proporcao de vezes que o indivıduo

se molha nos trajectos casa-escritorio e escritorio-casa.

(b) Mostre que as probabilidades estacionarias do indivıduo possuir i, 0 ≤ i ≤ r, guarda-chuvas

em casa (ou no escritorio) sao dadas por:

Pi =

1−pr+1−p i = 0

1r+1−p i = 1, 2, . . . , r

.

(c) A longo-prazo, qual e a fraccao de vezes que o indivıduo se molha?

(d) Para r = 3, que valor de p maximiza a fraccao de vezes que o indivıduo se molha?

35

Exercıcio 3.27 O Evaristo faz 30 minutos de “jogging” todas as manhas, saindo pela porta da

frente ou pela das traseiras com igual probabilidade. A saıda de casa calca um par de “tennis”

ou, caso nao haja nenhum par de “tennis” a porta que escolheu para a saıda, faz “jogging”

descalco. Finda a sessao de “jogging” o Evaristo volta a casa, entrando pela porta da frente ou

pela das traseiras com igual probabilidade. Caso nao tenha corrido descalco, deixa os “tennis”

utilizados a porta que escolheu para a entrada.Supondo que o Evaristo possui no total K pares de “tennis”, qual e, a longo-prazo, a pro-

porcao de vezes que o Evaristo corre descalco?

Exercıcio 3.28 O nosso heroi, o Evaristo, e jogador de uma equipa de basquetebol semi-

profissional. O numero de pontos que ele marca em cada jogo flutua entre tres estados: 1 - zero

ou um ponto; 2 - de dois a quatro pontos; 3 - cinco ou mais pontos. Para mal da equipa, quando

o Evaristo marca muitos pontos num certo jogo, os seus companheiros de equipa recusam-se a

passar-lhe a bola na partida seguinte e, inevitavelmente, o Evaristo nao marca pontos.A estatıstica da equipa, Dra. M. Aliha Cunha, depois de ter observado as transicoes entre

estados, concluiu que essas transicoes podem ser modeladas por por uma cadeia de Markov com

matriz de probabilidades de transicao

P =

0 1/3 2/3

1/3 0 2/3

1 0 0

Os salarios dos jogadores da equipa dependem da pontuacao marcada em cada jogo. Assim,

o Evaristo recebe 40, 30 e 20 euros por jogo, se a pontuacao pertencer aos estados 3, 2 e 1,

respectivamente.

(a) Qual e a proporcao de jogos, a longo-prazo, em que o numero de pontos marcados pelo

Evaristo e superior a 4?

(b) Qual e, a longo-prazo, o ganho medio do Evaristo por jogo?

Exercıcio 3.29 O Evaristo, como qualquer paciente que se preze pelos seus dentes, vai ao

dentista de seis em seis meses. No entanto, por ser extremamente guloso e adorar chocolates, o

estado dos dentes do Evaristo varia, de uma visita para a seguinte, de acordo com uma cadeia

de Markov com quatro estados que requerem as seguintes intervencoes por parte do dentista: 1

- nenhuma; 2 - destartarizacao; 3 - obturacao; 4 - limpeza de um canal.A conta do dentista e de 20, 30, 50 e 300 euros se os dentes do Evaristo estiverem nos estados

1, 2, 3 e 4, respectivamente. As transicoes de um estado para outro sao regidas pela seguinte

matriz de probabilidades de transicao

P =

.6 .2 .1 .1

.4 .4 .1 .1

.3 .3 .2 .2

.4 .5 .1 0

(a) Qual e, aproximadamente, a percentagem de visitas em que o Evaristo paga pelo menos

50 euros?

36

(b) Determine, aproximadamente, o custo anual medio de manutencao dos dentes do Evaristo.

Exercıcio 3.30 O modelo que se descreve a seguir foi proposto pelos fısicos P. e T. Ehrenfest

para descrever a divisao de moleculas de ar em duas camaras de igual dimensao e forma, ligadas

por um pequeno canal de comunicacao, e e conhecido por modelo de Ehrenfest.Em duas camaras (1 e 2) de igual dimensao e forma, ligadas por um pequeno canal de

comunicacao, ha, no total, M moleculas de ar. Em cada instante, cada uma das M moleculas

tem igual probabilidade de ser aquela que passa da camara em que se encontra para a outra

camara.Seja, para n ∈ IN , Xn o numero de moleculas de ar que se encontram na camara 1.

(a) Justifique que o processo {Xn, n ≥ 0} constitui uma cadeia de Markov em tempo discreto.

(b) Obtenha a matriz de probabilidades de transicao de {Xn, n ≥ 0}.

(c) Classifique os estados de {Xn, n ≥ 0}; nomeadamente, identifique as classes de estados e

classifique-os quanto a recorrencia/transiencia.

(d) Caso seja possıvel, determine as probabilidades limite de {Xn, n ≥ 0} e interprete-as.

Exercıcio 3.31 Suponha que um conjunto de M bolas e distribuıdo por m urnas, numeradas

de 1 a m, sendo inicialmente (instante 0) colocadas todas as bolas na urna 1. Em cada instante

n, n = 1, 2, . . . , e escolhida ao acaso uma bola, a qual e retirada da urna em que se encontra e

colocada numa urna seleccionada ao acaso. Sejam para n ∈ IN0:

Xn = numero de bolas na urna 1 no instante n

Yn = numero de urnas com bolas no instante n.

(a) Mostre que {Xn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov irredutıvel e recorrente positiva, e que

a respectiva matriz de probabilidades de transicao P e, para i = 0, 1, . . . , M , dada por:

pij =

(

1 − iM

)

1m j = i + 1

iM

m−1m j = i − 1

1 − pi,j−1 − pi,j+1 j = i

.

(b) Usando a identidade E[Z] = E[E[Z | W ]], mostre que:

E[Xn+1] =1

m+

(

1 − 1

M

)

E[Xn], n ∈ IN0.

(c) Use a relacao anterior para concluir que o numero esperado de bolas na urna 1 no instante

n tende para M/m, a medida que n tende para infinito.

(d) Use (a) para concluir que a distribuicao limite de {Xn, n ≥ 0} e binomial e identifique os

respectivos parametros (pode comecar por esta parte). Que distribuicao deve ter X0 para

que {Xn, n ≥ 0} seja uma sucessao de variaveis aleatorias identicamente distribuıdas?

(e) Diga, justificando, se {Yn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov.

37

Exercıcio 3.32 Considere que M bolas sao distribuıdas por m urnas. Em cada instante uma

bola e escolhida ao acaso, retirada da urna em que se encontra e colocada ao acaso numa das

outras (m − 1) urnas.

(a) Tente adivinhar a probabilidade estacionaria de haver ni bolas na urna i, para i =

1, 2, . . . , m, e confirme o resultado usando a teoria das cadeias de Markov.

(b) Compare o resultado obtido na alınea anterior no caso de duas urnas (m = 2) com os

obtidos na alınea (d) do Exercıcio 3.30 (referente ao modelo de Ehrenfest) e na alınea (d)

do Exercıcio 3.31.

Exercıcio 3.33 Considere uma cadeia de Markov com espaco de estados {0, 1, . . . , M} e matriz

de probabilidades de transicao P com

pij =

αi i < M, j = i + 1

αM i = j = M

1 − αi i > 0, j = i − 1

1 − α0 i = j = 0

0 c.c.

.

com 0 < αi < 1, 0 ≤ i ≤ M .

(a) Prove que esta cadeia de Markov e reversıvel no tempo e determine as suas probabilidades

limite.

(b) Particularize as probabilidades limite calculadas na alınea (a) ao caso em que αi ≡ α.

Exercıcio 3.34 Uma urna contem duas bolas vermelhas antes de ser iniciado o processo que

se descreve a seguir. Em cada instante n, n ∈ IN , retira-se uma bola da urna e substitui-se esta

por uma bola vermelha, com probabilidade p, ou por uma bola azul, com probabilidade 1 − p,

sendo 0 < p < 1. Sejam, para n ∈ IN ,

• Xn o numero de bolas vermelhas na urna no instante n (depois de ter sido efectuada a

troca de bolas); e

• Yn =

1 se a bola colocada na urna no instante n e vermelha

0 c.c..

(a) Sera que existe uma variavel aleatoria X tal que Xnd→ X? Em caso afirmativo determine

a distribuicao de X.

(b) Sera que existe uma constante k verificando n−1∑n

i=1 Yip→ k? Caso ela exista, indique o

seu valor.

Exercıcio 3.35 Seja G um grafo conexo arbitrario com custo cij associado a aresta que liga

os vertices i e j. Considere que uma partıcula se desloca do vertice i para o vertice j com

probabilidade

pij = cij/∑

k

cik

38

onde cik = 0 caso nao exista aresta ligando os vertices i e k.Defina uma cadeia de Markov que descreva o movimento da partıcula e demonstre que a

referida cadeia e reversıvel no tempo.

Exercıcio 3.36 Seja {Xn, n ≥ 0} uma cadeia de Markov com espaco de estados IN0, irredutıvel,

aperiodica, recorrente positiva e com probabilidades limites {πn, n ≥ 0}.Considere um novo processo estocastico {Yk, k ≥ 0} onde Yk e o k-esimo valor da cadeia de

Markov {Xn, n ≥ 0} que pertence ao conjunto {0, 1, . . . , N}; por exemplo, se N = 3 e X1 = 1,

X2 = 3, X3 = 5, X4 = 6 e X5 = 2, entao Y1 = 1, Y2 = 3 e Y3 = 2.

(a) Justifique que {Yk, k ≥ 0} e uma cadeia de Markov.

(b) Qual e, a longo-prazo, a proporcao de tempo que {Yk, k ≥ 0} passa em cada um dos

estados?

(c) A reversibilidade no tempo da cadeia de Markov original implica a reversibilidade no tempo

de {Yn, n ≥ 0}?

Considere agora a cadeia de Markov {Zn, n ≥ 0}, resultante da truncagem de {Xn, n ≥ 0} a

{0, 1, . . . , N}, com espaco de estados {0, 1, . . . , N} e com matriz de probabilidades de transicao

P

pij =

pij/∑N

k=0 pik 0 ≤ i, j ≤ N

0 c.c..

(d) Conclua que se {Xn, n ≥ 0} e reversıvel no tempo, entao {Zn, n ≥ 0} tambem e reversıvel

no tempo e determine as suas probabilidades limite.

Exercıcio 3.37 O taxi do Evaristo passa alternadamente por tres locais. Quando chega ao local

1, dirige-se de imediato para os restantes locais com igual probabilidade. Ao chegar ao local 2,

dirige-se imediatamente para o local 1 com probabilidade 1/3 ou para o local 3 com probabilidade

2/3. Do local 3 dirige-se sempre para o local 1. Os tempos esperados das deslocacoes do local i

para o local j, tij , sao iguais a: t12 = 20, t13 = 30, t23 = 30, (tij = tji).

(a) Qual e a probabilidade limite do local de paragem do Evaristo ser o local i, i = 1, 2, 3?

(b) Determine a probabilidade limite do taxi estar a dirigir-se para o local 2

limt→∞

P (no instante t o taxi estar a dirigir-se para o local 2) .

(c) Calcule a fraccao de tempo, a longo-prazo, que o Evaristo dispende a viajar do local 2

para o local 3.

Exercıcio 3.38 Uma maquina da oficina do Evaristo pode encontrar-se num de tres estados: 1

– em funcionamento perfeito; 2 – em condicoes aceitaveis; e 3 – em reparacao. Suponha que a

maquina:

• permanece no estado 1 durante um tempo com valor esperado µ1, e desse estado transita

para os estados 2 e 3 com probabilidades 3/4 e 1/4, respectivamente;

• permanece no estado 2 durante um tempo com valor esperado µ2, necessitando a seguir

reparacao; e

39

• permanece no estado 3 durante um tempo com valor esperado µ3, transitando de seguida

para os estados 1 e 2 com probabilidades iguais a 2/3 e 1/3, respectivamente.

A longo-prazo, que proporcao de tempo permanece a maquina em cada um dos estados?

Exercıcio 3.39 O estado de um sistema de seguranca e descrito por um processo semi-markovi-

ano com espaco de estados {1, 2, 3}, tempo esperado de permanencia no estado i igual a i,

i = 1, 2, 3, e matriz de probabilidades de transicao tal que p12 = 1, p21 = p23 = 0.5 e p31 = 1.

(a) Qual e, a longo-prazo, a proporcao de transicoes que conduzem o sistema ao estado 1?

(b) A longo-prazo, que proporcao de tempo fica o sistema em cada um dos estados?

Exercıcio 3.40 Sejam X(i) = {X(i)n , n ≥ 0}, i = 1, 2, dois processos de ramificacao com funcao

de probabilidade do numero de descendentes por indivıduo {p(i)j , j ≥ 0}, i = 1, 2. Mostre que

se X(1)0 = X

(2)0 = 1 e

∞∑

j=k

p(1)j ≤

∞∑

j=k

p(2)j , ∀k ≥ 0

entao X(1) ≤st X(2) e a probabilidade de extincao e maior para X(1) que para X(2).

Exercıcio 3.41 Sejam X(i) = {X(i)n , n ≥ 0}, i = 1, 2, dois passeios aleatorios em IN0, com

probabilidades de transicao

p(i)0,0 = 1, p

(i)j,j+1 = p

(i)j = 1 − p

(i)j,j−1, i = 1, 2 e j ≥ 1.

Mostre que se X(1)0 ≤ X

(2)0 e p

(1)j ≤ p

(2)j , para j ≥ 1, entao X(1) ≤st X(2). Sera que podemos

tirar alguma conclusao se o estado 0 passar a ser reflector(

i.e., p(1)0,1 = p

(2)0,1 = 1

)

?

Exercıcio 3.42 Uma maquina produz artigos segundo um processo de Poisson {N(t), t ≥ 0}de taxa λ. Um empregado embala os artigos pela ordem com que sao produzidos. Os tempos de

embalagem dos artigos sao independentes e possuem distribuicao Exponencial de parametro µ.Seja, para n ≥ 0, Xn o numero de artigos que estao por embalar imediatamente apos a

terminacao da embalagem do n-esimo artigo e

P =

p0 p1 p2 p3 . . .

p0 p1 p2 p3 . . .

0 p0 p1 p2 . . .

0 0 p0 p1 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

.

(a) Justifique que {Xn, n ≥ 0} e uma cadeia de Markov em {0, 1, . . .} com matriz de proba-

bilidades de transicao P e explicite o significado de pk, k ≥ 0.

(b) Conclua que {pk} ∼ Geom.Mod. (µ/(µ + λ)).

(c) Mostre que {Xn, n ≥ 0} cresce estocasticamente com λ e com µ−1.

Sugestao: Use o facto de∑

l≥k pil ser funcao nao decrescente de i.

(d) Nas condicoes da alınea anterior e com λ = µ, mostre que {Xn, n ≥ 0} nao possui

distribuicao limite.

(e) Conclua que, para λ < µ, a cadeia de Markov {Xn, n ≥ 0} nao e reversıvel no tempo e

determine a respectiva distribuicao limite.

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