ComplementoOrtogonalMODULO2 - AULA16Aula16ComplementoOrtogonalObjetivoPre-requisitos: aulas13(Somadesubespacos);14(Espacoseuclidianos)e15 (Conjuntos ortonor-mais/projecaoortogonal).Obterocomplementoortogonaldeumsubespa co.Estaaulaecurta- nelacompletaremosateoriainiciadanaaulaan-terior. Destacaremosumsubespacoespecial, queedenidoapartirdeumoutrosubespa co,usandoano caodeortogonalidade. Recordaremostambemo conceito de soma direta de subespa cos. Iniciamos com a principal deni caodestaaula.ComplementoortogonalSejamV umespa coeuclidianoeUV umsubespa covetorial deV .VamosrepresentarporUosubconjuntoformadopelosvetoresdeV quesaoortogonaisatodovetordeU,isto e:U= {v V | < v, u >= 0, u U}O subconjunto U e chamadocomplementoortogonal de Ue e tambemumsubespa covetorialdeV .Defato,(i) U= ,pois< oV, u >= 0, u V ;logo,oV U.(ii) Sejamv1, v2 U,isto e,< v1, u >= 0e< v2, u >= 0, u U.Entao< v1 + v2, u >=< v1, u > + < v2, u >= 0 + 0 = 0, u U.Logo,v1 + v2 U.(iii) Sejam Rev U,isto e,< v, u >= 0, u U. Entao< v, u >= < v, u >= .0 = 0, u U.Logo, v U.97CEDERJComplementoOrtogonalExemplo1EmR2, ocomplementoortogonaldosubespa cogeradopelovetor(3, 0)eosubespa cogeradopelovetor (0, 1). Defato, sendoU=[(3, 0)], umvetoruUe daforma(3, 0), paraalgumR. Queremos identicar osvetores de R2que sao ortogonais atodo vetor de U. Istoe, os vetoresv=(x, y) R2taisque< v, u >= 0, u U. Ouseja,queremos(x, y)taisque 3x = 0. Como essa igualdade tem que se vericar para qualquer real,conclumos que x = 0. Logo, todo vetor de Ue da forma (0, y), com y R.Assim, qualquervetordessaforma, n aonulo, geraU, epodemosescreverU= [(0, 1)]. Note queUe o eixodas abscissase U, o eixodas ordenadas,comoindicaagura1.Fig.1: UmsubespacodeR2eseucomplementoortogonal.Naaula13,voceestudousomaesomadiretadesubespa cos.Recordando:SendoUeWsubespa cosvetoriaisdeummesmoespa covetorialV ,asoma de Ue We o subconjunto de Vformado pelos vetores que podemserescritoscomoasomadeumvetordeUcomumdeW,isto e:U+ W= {v V |v = u + w; u Uew W}.Asomadedoissubespa cosdeVetambemumsubespa codeV .AsomadiretadeUeW, representadaporU W,easomadeUeWnocasoemqueU W= {oV}.SendoV dedimensaonita,adimens aodasomadiretadeUeWeasomadasdimensoesdeUeWeauniaodeumabasedeUcomumabasedeWeumabasedasomadireta.CEDERJ98ComplementoOrtogonalMODULO2 - AULA16Alem disso, quando a soma e direta, so existe uma maneira de decomporcadavetorde Vnumasomadeum vetorde Ucom um vetorde U, oquesignicadizerqueessesdoisvetoressao unicos.Proposi cao1SejamV umespa coeuclidianoeU,subespa codeV . EntaoV= UU.Demonstracao.Temosquemostrarduascoisas: (i)VesomadeUedocomplementoortogonaldeU,e(ii)essasoma edireta.(i) Queremosmostrarque,v V, v = u + w,paraalgumu Uealgumw U.SejamB={u1, ..., um}umabaseortonormal deU, ev V . Pela Vimos, na aula 15, quetodo espaco euclidiano ad-miteumabaseortonormal.proposi cao3daaula15,ovetorw = v < v, u1 > u1 < v, u2 > u2 ... < v, um> umeortogonalatodovetordeBe, assim, ortogonalatodoelementodeU. Logo,w U. Podemos,entao,escreverv= w..U+( < v, u1 > u1 < v, u2 > u2 ... < v, um > um). .U,oqueprovaqueV= U+ U.(ii) Seja v U U. Como v U, < v, u >= 0, u U. Em particular,comov U,temos< v, v >= 0,oqueimplicav= oV .Logo,U U= {oV}.Comojavimosnaaula15,todovetorv V podeserdecompostoemduas parcelas,umasendoa proje caoortogonal do vetorsobreum subespa code V e aoutra, umvetor ortogonal aesse subespa co. Considerando ossubespa cosUeU,podemosent ao,decomporcadavetorvdeV ,deforma unica,nasoma:v= w + u,ondeu U: u eaproje caoortogonaldevsobreosubespa coU,ew U: weortogonalaU.99CEDERJComplementoOrtogonalEimportantelembrarqueparadeterminaraproje caodeumvetorvdeV sobreU,enecessarioconhecerumabaseortonormaldeU. Paraisso,estudamosometododeGram-Schmidt.Emresumo:Sendo-Uumsubespa covetorialdoespacoeuclidianoV ;-{v1, ..., vm}baseortonormaldeU-v V ,entaov= w + u,ondeu = projUv =m

i=1< v, vi > viExemplo2SejaWoeixozdeR3,isto e,W= {(x, y, z) R3|x = y= 0} = {(0, 0, z); z R}.Weoplanoxy,isto e:W= {(x, y, z) R3|z= 0} = {(x, y, 0); x, y R}.Temos, entao, que R3= WW, pois, dado (x, y, z) R3, podemos escrever(x, y, z) = (x, y, 0). .W+(0, 0, z). .WeW W = {(0, 0, z); z R}} = {(x, y, 0); x, y R} = {(0, 0, 0)} = oR3.Essasituacaoest ailustradanagura2.Fig.2: UmsubespacodeR3eseucomplementoortogonal.CEDERJ100ComplementoOrtogonalMODULO2 - AULA16Exemplo3SejaWosubespa code R4geradopor u=(1, 2, 3, 1)ew=(2, 4, 7, 2).VamosencontrarumabaseparaW.Paraumvetorv= (x, y, z, t)deR4pertenceraW,deveserortogonalaueaw,simultaneamente, isto e:_< v, u >= 0< v, w >= 0_x + 2y + 3z t = 02x + 4y + 7z + 2t = 0_x + 2y + 3z t = 0z + 4t = 0.Um vetor de R4e solu cao desse sistema quando e da forma(2y+13t, y, 4t, t), com y, t R. Como (2y+13t, y, 4t, t) = y(2, 1, 0, 0, )+t(13, 0, 4, 1), temos que o subespa co W e gerado pelos vetores (2, 1, 0, 0, )e(13, 0, 4, 1), quesaoLI. Logo, {(2, 1, 0, 0, ), (13, 0, 4, 1)}eumabase Voce se lembra?Este metodopara determinar um conjuntode geradores sempre forneceumabasedosubespaco.deW.Exemplo4DadoU= {(x, y, z) R3; x + y + z= 0},vamosa) escrever o vetor (3, 2, 5), de R3como uma soma de um vetor de Ue umdeU;b) obterovetorproje caoortogonaldev = (a, b, c) R3sobreUec) escrevero vetor v = (a, b, c), de R3, como soma de um vetor de Ue umortogonalaU.Vamos obter umabaseparaU: umvetor deUpodeser escritonaforma(x, y, x y)=x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1). Logo, osvetores(1, 0, 1)e(0, 1, 1)geramUesaoLI. Logo, formamumabasedeU. Precisamosortonormalizaressabase. Paraisso,aplicamosometododeGram-Schmidt:Sejamv1=(1, 0, 1) e v2=(0, 1, 1). Seja{u1, u2}abase ortonormalprocurada. Ent ao:u1=v1||v1||= (12, 0, 12).w2= v2 < v2, u1 > u1 = (0, 1, 1) 12(12, 0, 12) = (12, 1, 12).u2=w2||w2||=26(12, 1, 12) = (16,26, 16).Podemos,agora,resolveroexerccio:a)projU(3, 2, 5) = proju1(3, 2, 5) + proju2(3, 2, 5) == 22u1 46u2== (1, 0, 1) + (23, 43,23) == (13, 43,53).101CEDERJComplementoOrtogonalDa, temos(3, 2, 5) projU(3, 2, 5) = (3, 2, 5) (13, 43,53) = (103 ,103 ,103 ).Entao(3, 2, 5) = (13, 43, 53). .U+(103, 103, 103). .U.b)projU(a, b, c) = proju1(a, b, c) + proju2(a, b, c) ==ac2 u1 +_a+2bc6_u2==_2abc3, a+2bc3, ab+2c3_.c)(a, b, c) = (2a b c3, a + 2b c3, a b + 2c3). .U+(a + b + c3, a + b + c3, a + b + c3). .U.Exemplo5EmP2(R),denimosoprodutointerno< f(t), g(t) >=_10f(t) g(t)dt.Vamosobterumabaseortonormaldosubespa co[3, 1 t].Sejap(t) = at2+ bt + c [3, 1 t]. Entao< f(t), p(t) >=_103(at2+ bt + c)dt = 0 2a + 3b + 6c = 0 (1).< g(t), p(t) >=_10 (1 t)(at2+ bt + c)t = 0 a + 2b + 6c = 0 (2).O sistema linear formado pelas equa coes (1) e (2) possui solu coes (a, b, c) taisquea = b; c = b/6. Logo,p(t) = 6bt26bt + b = b(6t26t + 1), b R.Ouseja, ovetor6t2 6t + 1geraocomplementoortogonal dosubespa co[3, 1 t]. Assim,{6t26t + 1} eumabasede[3, 1 t].CEDERJ102ComplementoOrtogonalMODULO2 - AULA16ResumoNestaaulaestudamososubespacoqueeocomplementoortogonaldeumoutro. Naverdade, podemosdenirocomplementoortogonal dequal-quer subconjunto de um espa co euclidiano e provar que e um subespa co, masquandopartimosdeumsubsconjuntoUquee, eleproprio, umsubespa co,ocasocamuitomaisinteressanteporquepodemosescreveroespa cocomosomadiretadeUeseucomplementoortogonal. Podemos,tambem,decom-porumvetordoespa coemduasparcelas,sendocadaumadelasaproje caoortogonaldovetoremumdossubespa cos: UeU.Exerccios1. DadoU= {(x, y, z) R3; y 2z= 0},a) Escrevaovetor(1, 2, 4), deR3comouma somade um vetorde UeumdeU.b) Obtenhaovetorproje caoortogonal de v = (a, b, c) R3sobre U.2. SejaWosubespa codeR4geradoporu=(1, 2, 3, 1), v=(2, 4, 7, 2)e= (1, 1, 1, 1). Encontreumabaseortonormalpara W.3. ConsidereoseguinteprodutointernoemR4:< (a, b, c, d), (x, y, z, w) >= 2ax + by + cz + dw,para(a, b, c, d), (x, y, z, w) R4. Determineumabasedosubespa coortogonaldeU= [(1, 2, 0, 1), (2, 0, 1, 1)].4. EmM2(R),arela cao< A, B>= a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22,onde A = (a1j),B= (bij),i, j= 1, 2, e um produtointerno. Considereoseguintesubespa codeM2(R):W=__x yz w_; x y + z= 0_.a) DetermineumabasedeW.b) DetermineumabasedeW.5. SejamR4eU={(x, y, z, w)R4; x + y z+ 2w=0}. DetermineumabaseortonormaldeUdeumadeU.103CEDERJComplementoOrtogonalAuto-avalia caoBem, chegamosaonal doprimeirom odulo. Apr oximaaulareveateoriaapresentadaaolongodas16primeirasaulas, emformadeexerccios.Antesdepartirparaela,porem, certique-sedeterapreendidoatecnicae,principalmente, o signicado do que estudamos nesta aula. Se sentir qualquerdiculdade aoresolver os exerccios ouaoestudar os exemplos, entre emcontatocomotutordadisciplina.Respostasdosexerccios1. a) (1, 2, 4) = (1,165 ,85) + (0, 65,125 )b) projU(a, b, c) = (a,4a+2c5,2b+c5)2. UmabasedeW: {(7,10,4,1)166}3. (Aten caoparaoprodutointerno,diferentedousual!!)UmabasedeU: {(1, 1, 4, 0), (1, 0, 6, 2)}4. a)__1 10 0_,_0 11 0_,_0 00 1__b)__1 11 0__5. Uma base de U: {(12, 0,12, 0), (16,26,16, 0), (221, 221,221,321)}.UmabasedeU: {17,17, 17,27)}CEDERJ104