crystallography and structure - basu.ac.irsolution for plane (111) 2a 0 for (111): note: since the...

بلورشناسی مواد

حسن علم خواه: گردآوریاستادیار گروه مواد دانشگاه بوعلی سینا

95زمستان Dr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

سرفصل مطالب

انواع پیوندهای اتمیساختار بلوری فلزاتاندازه گیری صفحات و جهت بلوریساختار بلوری سرامیک هانحوه اندازه گیری فاصله صفحات بلوری

Dr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

© 2

00

3 B

rook

s/Cole P

ub

lishin

g / T

hom

son

Learn

ing

™

© 2

00

3 B

rook

s/Cole P

ub

lishin

g / T

hom

son

Learn

ing

™

Metals

Ceramic

combination

with a metal

Associated

with polymers

Semiconductor

materials


مقایسه استحکام مواد مختلف©

20

03

Bro

ok

s/Cole P

ub

lishin

g / T

hom

son

Learn

ing

™


انواع پیوندهای اتمی

Primary bonding: Metallic bond, Covalent bond, Ionic bond.

Secondary bonding: Van der Waals interactions (London forces, Debye interaction)

Intermetallic compound is a compound such as Al3V formed by two or more metallic atoms


پیوند فلزی


پیوند کوواالنت©

20

03

Bro

ok

s/Cole P

ub

lishin

g / T

hom

son

Learn

ing

™


پیوند یونی

© 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™


مقایسه انواع پیوندهای اتمی


مقدمه


انواع نظم اتمی

(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson

Learning™ Dr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

• Non dense, random packing

• Dense, ordered packing

Dense, ordered packed structures tend to have

lower energies & thus are more stable.

ارتباط انرژی و فشردگیEnergy

r

typical neighborbond length

typical neighborbond energy

Energy

r

typical neighborbond length

typical neighborbond energy


تغییر آلوتروپی قلع


سلول واحد


سیستم های بلوری

7 crystal systems of varying

symmetry are known

These systems are built by

changing the lattice

parameters:

a, b, and c are the edge

lengths

, , and are interaxial

angles

Fig. 3.4, Callister 7e.


سیستم های بلوری

Crystal structures are divided

into groups according to unit

cell geometry (symmetry).


ساختار بلوری برخی فلزات


مفاهیم پایه(Lattice Parameter)پارامتر شبکه یا ثابت •

(در سیستم معکبی)تعداد اتم ها در هر سلول واحد •

(.Coordination No)عدد همسایگی•

( Atomic Packing Factor)فاکتور تراکم اتمی •

(Theoretical Density)چگالی تئوریکی •

( Linear & Planar Density)چکالی خطی و سطحی •

(Crystallographic Planes)صفحات و جهات بلوری •


• Rare due to low packing density (only Po – Polonium --

has this structure)

• Coordination No. = 6

سادهمکعبیساختارSimple Cubic Structure (SC)


سایر ساختارهای بلوری متداول

Body Centered Cubic (BCC)

Face Centered Cubic (FCC)

Hexagonal Close-Packed (HCP)


• Coordination # = 8

Adapted from Fig. 3.2,

Callister 7e.

(Courtesy P.M. Anderson)

(BCC)پر مرکزساختاری مکعبی

ex: Cr, W, Fe (), Tantalum, Molybdenum

2 atoms/unit cell: (1 center) + (8 corners x 1/8)



Adapted from Fig. 3.1, Callister 7e.


(FCC)ساختار مکعبی سطوح پر

ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag

4 atoms/unit cell: (6 face x ½) + (8 corners x 1/8)


(1)کار در کالس .را بدست آوریدBCCو FCCرابطه شعاع اتمی و پارامتر شبکه در سیستم -



• 3D Projection • 2D Projection

Adapted from Fig. 3.3(a),

Callister 7e.

(HCP)ساختار هگزاگونال

6 atoms/unit cell

ex: Cd, Mg, Ti, Zn

• c/a = 1.633 (ideal)

c

a

A sites

B sites

A sitesBottom layer

Middle layer

Top layer


(2)کار در کالس : HCPدر سیستم -

چیست؟ cو aرابطه حجم هگزاگونال بر حسب ( 1رابطه شعاع اتمی و پارامتر شبکه چگونه است؟ ( 2تعداد اتمها در سلول واحد چندتا است؟( 3


تعداد اتم های ثابت شبکهعدد همسایگیموجود درسول واحد

نوع ساختار

62R1Sc

82Bcc

124Fcc

122R6hcp

مشخصات ساختارهای بلوری متداول

؟

؟

؟


(3)کار در کالس میلیمتر مربع، چند 670و مساحت 0/08mmدر یک ورق نازک طال به ضخامت : تمرین

(آنگستروم است1/44شعاع اتمی آن )سلول واحد شبکه وجود دارد؟


مفاهیم پایه(Lattice Parameter)پارامتر شبکه یا ثابت شبکه •

(در سیستم بلوری)تعداد اتم ها در هر سلول واحد •







فاکتور تراکم اتمیAtomic Packing Factor (APF)

APF = Volume of atoms in unit cell

Volume of unit cell

کدام ساختار متراکم تر است؟


APF =

a3

4

3p (0.5a) 31

atoms

unit cellatom

volume

unit cell

volume

دهفاکتور تراکم اتمی برای ساختار معکبی سا


Callister 7e.

close-packed directions

a

R=0.5a

contains (8 x 1/8) = 1 atom/unit cell

Here: a = Rat*2

Where Rat is the ‘handbook’

atomic radius

• APF for a simple cubic structure = 0.52Dr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

(4)کار در کالس و وزن 8/57g/cm3نانومتر و چگالی 0/143دارای شعاع اتمی ( Nb)نیوبیوم : تمرینمی FCCیا BCCمشخص کنید ساختمان کریستالی آن . است 92/91g/molاتمی

باشد؟


BCCفاکتور تراکم اتمی برای ساختار

a

APF =

4

3p ( 3a/4)32

atoms

unit cell atom

volume

a3

unit cell

volume

length = 4R =

Close-packed directions:

3 a

• APF for a body-centered cubic structure = 0.68

aR

Adapted from

Fig. 3.2(a), Callister 7e.

a2

a3


• APF for a face-centered cubic structure = 0.74

FCCفاکتور تراکم اتمی برای ساختار

The maximum achievable APF!

APF =

4

3p ( 2a/4)34

atoms

unit cell atom

volume

a3

unit cell

volume

Close-packed directions:

length = 4R = 2 a

Unit cell contains:6 x 1/2 + 8 x 1/8

= 4 atoms/unit cella

2 a

Adapted from

Fig. 3.1(a),

Callister 7e.

(a = 22*R)


APFمقایسه دو ساختار بلوری با بیشترین


(5)کار در کالس به cو a ،bاورانیوم دارای شبکه بلوری ارتورومبیک بوده و پارامتر شبکه آن : تمرین

اگر چگالی، وزن اتمی و شعاع . نانومتر است0/495و 0/587، 0/286ترتیب برابر باشد، درصد 0/1385nmو 19/05g/cm3 ،236g/molاتمی آن به ترتیب برابر

.فاکتور تراکم اتمی را محاسبه کنید


rتئوریکیچگالی

where n = number of atoms/unit cell

A = atomic weight

VC = Volume of unit cell = a3 for cubic

NA = Avogadro’s number

= 6.023 x 1023 atoms/mol

Density = r =

VCNA

n Ar =

CellUnitofVolumeTotal

CellUnitinAtomsofMass


• Ex: Cr (BCC)

A = 52.00 g/mol

R = 0.125 nm

n = 2

a = 4R/3 = 0.2887 nma

R

r = a3

52.002

atoms

unit cellmol

g

unit cell

volume atoms

mol

6.023 x 1023

rtheoretical

ractual

= 7.18 g/cm3

= 7.19 g/cm3

rتئوریکیچگالی


(6)کار در کالس و وزن اتمی آن 10/5g/cm3چگالی نقره . )شعاع اتمی نقره را محاسبه کنید: تمرین

107/87g/mol)


(7)کار در کالس ، چگالی HCPساختار بلوری منیزیم . )را محاسبه کنید( Mg)شعاع اتمی منیزیم : تمرین(استc/a=1/62و نسبت 24/3g/molو وزن اتمی آن 1/74g/cm3نقره


(8)کار در کالس 5با ثابت شبکه FCCسانتیگراد دارای ساختار 850عنصری در دمای باالتر از : تمرین

4با ثابت شبکه BCCآنگستروم می باشد و پایین تر از دمای مذکور دارای ساختار .درصد تغییر حجم حین سرد شدن را محاسبه کنید. آنگستروم است


ex: linear density of Al in [110]

direction

a = 0.405 nm

)Linear Density( خطیچگالی

Linear Density of Atoms LD =

a

[110]

Unit length of direction vector

Number of atoms

# atoms

length

13.5 nma2

2LD

-==

# atoms CENTERED on the direction of interest!

Length is of the direction of interest within the Unit CellDr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

(9)کار در کالس را بدست BCCو FCCچگالی اتمی خطی در جهت قطر اصلی معکب در شبکه : تمرین.آورید


Solution for plane (100)

===

=

536.33536.02

125.04

2

4

125.0

0 nmnmr

FCCa

nmrNi

a0

For (100):

7854.0

2/4

2_

/10600.110536.3

2_

2

2

215

28

==

=

=-

r

rfractionpacking

cmatomscm

atomsdensityplanar

p

FCC



5554.0

2/42

2_

/10131.110536.32

2_

2

2

215

28

==

=

=-

r

rfractionpacking

cmatomscm

atomsdensityplanar

p

For (110):

a0

02a

It is important to visualize how the plane is cutting

across the unit cell – as shown in the diagram!

FCC



02a

02a

For (111):

Again try to visualize the plane, count the number of

atoms in the plane:

02a

2

000 866.02

32

2

1

2

1_ aaabhareaplane =

==

215

28/10847.1

10536.3866.0

2_ cmatoms

cm

atomsdensityplanar =

=

-

9069.0

866.0

4/22_

2

0

2

0 ==a

afractionpacking

p

Therefore, plane (111) is close-packed!

FCC



===

=

510.33510.03

152.04

3

4

152.0

0 nmnmr

BCCa

nmrLi

First, find atomic radius for Nickel from Appendix 2, page 797 of

Textbook (6th Ed. Shackleford) to calculate the lattice parameter:

For (100):

5890.0

4/3_

/10115.810510.3

1_

2

0

2

0

214

28

==

=

=-

a

afractionpacking

cmatomscm

atomdensityplanar

p

BCC


Solution for plane (110)For (110):

It is important to visualize how the plane is cutting

across the unit cell – as shown in the diagram!

8330.0

2

4/32_

/10148.110510.32

2_

2

0

2

0

215

28

==

=

=-

a

afractionpacking

cmatomscm

atomsdensityplanar

p

BCC



02a

For (111):

Note: Since the (111) does NOT pass through the

center of the atom in the middle of the BCC unit cell,

we do not count it!

2

000 866.02

33

2

1

2

1_ aaabhareaplane =

==

214

28/10686.4

10510.3866.0

2/1_ cmatoms

cm

atomdensityplanar =

=

-

3401.0

866.0

4/32/1_

2

0

2

0 ==a

afractionpacking

p

Therefore, there is no close-pack plane in BCC!

There are only (3)(1/6)=1/2 atoms in the plane.

02a

BCC


FCC Stacking

Highlighting the faces

Highlighting

the stacking

A

B

C


A sites

B B

B

BB

B B

C sites

C C

CA

B

B sites

• ABCABC... Stacking Sequence

• 2D Projection

• FCC Unit Cell

FCC Stacking Sequence

B B

B

BB

B B

B sitesC C

CA

C C

CA

AB

C


A

B

HCP Stacking

Highlighting the cell

Figure 3.3

Highlighting

the stacking

A

Layer A

Layer A

Layer B

Self-Assessment: How many atoms/cell?


FCC HCP

Looking down (111) plane!

Looking down (0001) plane

Comparing the FCC and HCP Planes Stacking


مفاهیم پایه(Lattice Parameter)پارامتر شبکه یا ثابت شبکه •

(در سیستم بلوری)تعداد اتم ها در هر سلول واحد •







بلوری در سیستم مکعبیتعیین جهات

ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1 => [ 201 ]

-1, 1, 1

z

x

[ 111 ]=>

y

نظروصل کردن مرکز سیستم به نقطه مورد

خواندن محل تقاطع پیکان با محورهایa وb وc

تبدیل اعداد بدست آمده به عدد صحیح

قرار دادن اعداد نهایی در داخل براکت[UVW ]<جهات هم خانواده>


محل تقاطعمحل تقاطع

تبدیل به عدد صحیحقراردادن در داخل براکت

x y z

a/2 b 0c

1/2 1 0

1 2 0

[120]

مثال دیگر از تعیین جهات بلوری


[ 1120 ]ex: ½, ½, -1, 0 =>

Adapted from Fig. 3.8(a), Callister 7e.

a1

a2

a3

-a3

2

a2

2

a1-

a3

a1

a2

z

HCPتعیین جهات بلوری در سیستم


اندیس و بالعکس3اندیس به 4تبدیل جهت بلوری از

=

=

=

'ww

t

v

u

)vu( +-

)'u'v2(3

1-

)'v'u2(3

1-=

]uvtw[]'w'v'u[

Fig. 3.8(a), Callister 7e.

-a3

a1

a2

z


مثال

-a3

a1

a2

z

1 1 12 ' ' 2 1 1 13 3 3

1 1 12 ' ' 2 1 1 13 3 3

1 1 2 23 3 3

' 0

M-B Indices: [1120]

u u v

v v u

t u v

w w

= - = - =

= - = - =

= - = - = - -

= =


نحوه تعیین صفحات بلوری

خواندن محل تقاطع صفحه با محورهایa وb وc

وارونه نمودن اعداد فوق

تبدیل اعداد بدست آمده به عدد صحیح

اندیس میلر = قرار دادن اعداد نهایی در داخل پرانتز(hkl ){صفحات هم خانواده}


صفحات بلوری هم خانواده


صفحات بلوریz

x

ya b

c

اندیس میلر .4 (110)

مثال a b cz

x

ya b

c

اندیس میلر .4 (100)

محل تقاطع .1 1 1

وارونه نمودن .2 1/1 1/1 1/

1 1 0صحیح کردن .3 1 1 0

محل تقاطع .1 1/2

وارونه نمودن .2 1/½ 1/ 1/

2 0 0صحیح کردن .3 2 0 0

مثال a b c


صفحات بلوریz

x

ya b

c

4. Miller Indices (634)

example1. Intercepts 1/2 1 3/4

a b c

2. Reciprocals 1/½ 1/1 1/¾

2 1 4/3

3. Reduction 6 3 4

(001)(010),

Family of Planes {hkl}

(100), (010),(001),Ex: {100} = (100),


x y z

Intercepts

Intercept in terms of lattice parameters

Reciprocals

Reductions

Enclosure

a -b c/2

-1 1/20 -1 2

N/A

(012)

مثال دیگر


HCPصفحه بلوری در سیستم : مثال دیگر

In hexagonal unit cells the same idea is used

example a1 a2 a3 c

4. Miller-Bravais Indices (1011)

1. Intercepts 1 -1 12. Reciprocals 1 1/

1 0

-1

-1

1

1

3. Reduction 1 0 -1 1

a2

a3

a1

z

Adapted from Fig. 3.8(a), Callister 7e.


Virtual Materials Science & Engineering (VMSE)

• VMSE is a tool to visualize materials science topics such as

crystallography and polymer structures in three dimensions

• Available in Student Companion Site at www.wiley.com/college/callister

and in WileyPLUSDr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

سلول واحد در سرامیک ها

در فلزات فقط یک نوع اتم با شعاع یکسان داریم.

در سرامیکها دو یا چند نوع اتم با شعاع های متفاوت داریم.


• Coordination Number increases with

عدد همسایگی و شعاع یونی

Adapted from Table 3.3,

Callister & Rethwisch 4e.

2

rcationranion

Coord.

Number

< 0.155

0.155 - 0.225

0.225 - 0.414

0.414 - 0.732

0.732 - 1.0

3

4

6

8

linear

triangular

tetrahedral

octahedral

cubic







ZnS

(zinc blende)

NaCl(sodium

chloride)

CsCl(cesium chloride)

rcationranion

To form a stable structure, how many anions can

surround around a cation?


محاسبه حداقل نسبت کاتیون به آنیون Determine minimum rcation/ranion for an octahedral site

(C.N. = 6)

a = 2ranion

2ranion + 2rcation = 2 2ranion

ranion + rcation = 2ranion

rcation = ( 2 -1)ranion

arr 222 cationanion =+

414.012anion

cation =-=r

r


• On the basis of ionic radii, what crystal structure

would you predict for FeO?

• Answer:

5500

1400

0770

anion

cation

.

.

.

r

r

=

=

based on this ratio,

-- coord # = 6 because

0.414 < 0.550 < 0.732

-- crystal structure is NaCl

Data from Table 3.4,


Example Problem: Predicting the Crystal

Structure of FeO

Ionic radius (nm)

0.053

0.077

0.069

0.100

0.140

0.181

0.133

Cation

Anion

Al3+

Fe2+

Fe3+

Ca2+

O2-

Cl-

F-Dr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

Rock Salt StructureSame concepts can be applied to ionic solids in general.

Example: NaCl (rock salt) structure

rNa = 0.102 nm

rNa/rCl = 0.564

cations (Na+) prefer octahedral sites



rCl = 0.181 nm


MgO and FeO

O2- rO = 0.140 nm

Mg2+ rMg = 0.072 nm

rMg/rO = 0.514

cations prefer octahedral sites

So each Mg2+ (or Fe2+) has 6 neighbor oxygen atoms



MgO and FeO also have the NaCl structure


AX Crystal Structures

939.0181.0

170.0

Cl

Cs ==-

+

r

r



Cesium Chloride structure:

Since 0.732 < 0.939 < 1.0,

cubic sites preferred

So each Cs+ has 8 neighbor Cl-

AX–Type Crystal Structures include NaCl, CsCl, and zinc blende


ZnS بلوریساختار


خالصه برخی ساختارهای سرامیکی معروف


فضاهای خالی در ساختارهای بلوری


مورفیسمپلی Two or more distinct crystal structures for the

same material (allotropy/polymorphism)

titanium

(HCP), (BCC)-Ti

carbon:

diamond, graphite

BCC

FCC

BCC

1538ºC

1394ºC

912ºC

-Fe

-Fe

-Fe

liquid

iron system:


SiO4

4-


• Some engineering applications require single crystals:

• Properties of crystalline materials

often related to crystal structure.


--Ex: Quartz fractures more easily

along some crystal planes than

others.

--diamond single

crystals for abrasives--turbine blades

Fig. 8.33(c), Callister 7e.

(Fig. 8.33(c) courtesy

of Pratt and Whitney).

(Courtesy Martin Deakins,

GE Superabrasives,

Worthington, OH. Used with

permission.)

Crystals as Building Blocks


• Most engineering materials are polycrystals.

• Nb-Hf-W plate with an electron beam weld.

• Each "grain" is a single crystal.

• If grains are randomly oriented,overall component properties are not directional.

• Grain sizes typ. range from 1 nm to 2 cm

(i.e., from a few to millions of atomic layers).

Adapted from Fig. K,

color inset pages of

Callister 5e.

(Fig. K is courtesy of

Paul E. Danielson,

Teledyne Wah Chang

Albany)

1 mm

Polycrystals

Isotropic

Anisotropic


• Single Crystals

-Properties vary with

direction: anisotropic.

-Example: the modulus

of elasticity (E) in BCC iron:

• Polycrystals

-Properties may/may not

vary with direction.

-If grains are randomly

oriented: isotropic.

(Epoly iron = 210 GPa)

-If grains are textured,

anisotropic.

200 mm

Source of data is R.W.

Hertzberg, Deformation

and Fracture Mechanics

of Engineering

Materials, 3rd ed., John

Wiley and Sons, 1989.

courtesy of L.C. Smith

and C. Brady, the

National Bureau of

Standards, Washington,

DC [now the National

Institute of Standards

and Technology,

Gaithersburg, MD].

Single vs PolycrystalsE (diagonal) = 273 GPa

E (edge) = 125 GPa


Effects of Anisotropy:


X-Ray Diffraction

Diffraction gratings must have spacings comparable to the wavelength of diffracted radiation.

Can’t resolve spacings

Spacing is the distance between parallel planes of atoms.


Figure 3.32 Relationship of the Bragg angle (θ) and the

experimentally measured diffraction angle (2θ).

X-ray intensity (from detector)

q

qc

d =n

2 sinqc


X-Rays to Determine Crystal Structure

X-ray intensity (from detector)

q

qc

d =n

2 sin qc

Measurement of

critical angle, qc,

allows computation of

planar spacing, d.

• Incoming X-rays diffract from crystal planes.


Callister 7e.

reflections must be in phase for a detectable signal!

spacing between planes

d

q

q

extra distance traveled by wave “2”

2 2 2hkl

ad

h k l=

For Cubic Crystals:

h, k, l are Miller IndicesDr. Elmkhah (Bu-Ali Sina Univ.)

Figure 3.34 (a) An x-ray diffractometer. (Courtesy of

Scintag, Inc.) (b) A schematic of the experiment.


X-Ray Diffraction Pattern

Adapted from Fig. 3.20, Callister 5e.

(110)

(200)

(211)

z

x

ya b

c

Diffraction angle 2q

Diffraction pattern for polycrystalline -iron (BCC)

Inte

nsity (

rela

tive)

z

x

ya b

c

z

x

ya b

c


Diffraction in Cubic Crystals:


• Atoms may assemble into crystalline or

amorphous structures.

• We can predict the density of a material, provided we

know the atomic weight, atomic radius, and crystal

geometry (e.g., FCC, BCC, HCP).

SUMMARY

• Common metallic crystal structures are FCC, BCC, and

HCP. Coordination number and atomic packing factor

are the same for both FCC and HCP crystal structures.

• Crystallographic points, directions and planes are

specified in terms of indexing schemes.

Crystallographic directions and planes are related

to atomic linear densities and planar densities.


• Some materials can have more than one crystal

structure. This is referred to as polymorphism (or

allotropy).

SUMMARY• Materials can be single crystals or polycrystalline.

Material properties generally vary with single crystal

orientation (i.e., they are anisotropic), but are generally

non-directional (i.e., they are isotropic) in polycrystals

with randomly oriented grains.

• X-ray diffraction is used for crystal structure and

interplanar spacing determinations.


با آرزوی توفیق الهی

[email protected]


crystallography and structure - basu.ac.irsolution for plane (111) 2a 0 for (111): note: since the...

Documents