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H0 = 80,000 = 4,000n =100x =79,600

de la de

de la poblacin

de muestra

de la muestra

H0: = 80,000

H1: 80,000 = 0.05

la es cuadrada

la no es cuadrada

de esta hi tesis

Pruebas de dos Extremos.

Un fabricante surte los ejes traseros para los camiones del Servicio Postal de Estados Unidos.Estos ejes deben soportar 80,000 libras por pulgada cuadrada en pruebas de carga, pero un ejeexcesivamente fuerte eleva los costos de produccin de manera significativa. La largaexperiencia indica que la desviacin estndar de la resistencia de sus ejes es 4,000 libras por

pulgada cuadrada. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes de la produccin, losprueba y encuentra que la capacidad de carga media de la muestra es 79,600 libras porpulgada cuadrada. Escritos en smbolos, los datos en este caso son:

Si el fabricante de ejes utiliza un nivel de significancia () de 0.05 en la prueba, Satisfarn losejes sus requerimientos de carga? En smbolos, podemos establecer el problema como:

Como conocemos la desviacin estndar de la poblacin, y como el tamao de la poblacines suficientemente grande para considerarlo infinito, podemos utilizar la distribucin normalen nuestra prueba. Primero, calculamos el error estndar de la media usando la ecuacin 6-1:

=

= = = La figura ilustra este problema, muestra el nivel de significancia de 0.05 como las dos regiones

sombreadas que contienen, cada una, 0.025 del rea. La regin de aceptacin de 0.95 contiene

dos reas iguales de 0.475 cada una. De la tabla de la distribucin normal (tabla 1 del

apndice) podemos ver que el valor z apropiado para 0.475 del rea bajo la curva es 1.96.

Ahora podemos determinar los lmites de la regin de aceptacin:

+ 1.96 = 80,000 + 1.96(400)= 80,000 + 784= 80,784 libras por pulgada cuadrada Lmite superior

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- 1.96 = 80,000 - 1.96(400)= 80,000 - 784

= 79,216 libras por pulgada cuadrada Lmite inferiorObserve que hemos definido los lmites de la regin de aceptacin (80,784 y 79,216) y la media

de la muestra (79,600), y que se ilustran en la figura 8-9 en la escala de la variable original

(libras por pulgada cuadrada). En la siguiente seccin veremos otra forma de definir los lmites

de la regin de aceptacin y el valor de la media de la muestra. Evidentemente, la media de la

muestra cae dentro de la regin de aceptacin; el fabricante debe aceptar la hiptesis nulaporque no hay diferencia significativa entre la media hipottica de 80,000 y la media observada

de los ejes de la muestra. Con base en esta muestra, el fabricante debe aceptar que la corrida

de produccin satisface los requerimientos de carga.

Prueba de hiptesis usando la escala estandarizada

En la prueba de hiptesis que acabamos de concluir se requirieron dos nmeros para tomar la

decisin: un valor observado calculado a partir de la muestra, y un valor crtico que define la

frontera entre las regiones de aceptacin y de rechazo. Veamos con cuidado cmo obtuvimos

ese valor critico. Despus de establecer el nivel de significancia de =0.05, buscamos en latabla, para encontrar que

1.96 son los valores z que dejaban 0.025 de probabilidad en cada

extremo de la distribucin. Entonces hay dos escalas de medicin, la escala original o sinprocesar y la escala estandarizada. Observe que nuestra media muestral de 79,600 libras por

pulgada cuadrada est dada en la escala sin procesar, pero los valores crticos z de1.96 estndados en la escala estandarizada. Como estos dos nmeros se dan en dos escalas distintas, no

podemos compararlos directamente cuando probamos nuestras hiptesis. Debemos

convertir uno de ellos a la escala del otro.Hicimos nuestra prueba de hiptesis en la escala original al convertir los valores z crticos de1.96 a los valores crticos de en la escala original. Entonces, como el valor observadode =(79,600) cay entre los lmites inferior y superior de la regin de aceptacin (79,216 y80,784), aceptamos la hiptesis nula. En lugar de convertir los valores crticos z a la escalaoriginal, para obtener nmeros directamente comparables con el valor observado de x ,podramos haber convertido nuestro valor observado de x a la escala estandarizada,utilizando la ecuacin para obtener un valor z observado, un nmero directamentecomparable con los valores crticosz:

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=l00 de la de la poblacin

estndar de la poblacin

de la muestra

=2n = 50

H0: =100H1:

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= =

=

=

Ahora usamos la ecuacin para estandarizar la media de la muestra, , restando , lamedia hipottica, y dividiendo entre , el error estndar de la media:

= =

=

Al colocar el valor estandarizado en la escala z se observa que esta media muestral cae de

lleno en la regin de aceptacin, como se muestra en la figura. Por tanto, el hospital debe

aceptar la hiptesis nula, porque la media observada de la muestra no es significativamente

menor que la media hipottica de 100 cc. Con base en esta muestra de 50 dosis, el hospital

debe concluir que las dosis de la entrega son suficientes.

Prueba de Hiptesis de Proporciones.

Una compaa que est evaluando a cules de sus empleados ascender, determinando la

proporcin de aquellos cuya capacidad, capacitacin y experiencia de supervisin los califican

para pasar al siguiente nivel administrativo. El director de recursos humanos dice al presidente

que aproximadamente el 80%, o 0.8, de los empleados de la compaa son aptos para un

ascenso.El presidente rene un comit especial para evaluar la capacidad de ascenso de todos

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los empleados. Este comit hace entrevistas a fondo con 150 empleados y encuentra que, a su

juicio, slo el 70% de la muestra est calificada para el ascenso.

pH0 = 0.8 Valor hipottico de la proporcin de xitos de la poblacin (considerados aptos para el ascenso, en este caso).

qH0 = 0.2 Valor hipottico de la proporcin de fracasos de la poblacin (considerados no aptos para el ascenso).

n = 150 Tamao de muestra

p = 0.7 Proporcinapta para el ascenso de la muestra

q = 0.3 Proporcin no apta para el ascenso de la muestra

El presidente desea probar al nivel de significancia de 0.05 la hiptesis de que 0.8 de los

emplea- dos son aptos para el ascenso:

H0:p = 0.8 Hiptesis nula: 80% de los empleados es apto

H1:p 0.8 Hiptesis alternativa: la proporcin de empleados aptos no es el 80% =0.05Nivel de significanciaEn este caso, la compaa desea saber si la proporcin verdadera es mayor o menor que la

pro- porcin hipottica. Por consiguiente, resulta adecuado efectuar una prueba de dos colas

para una proporcin; la figura 8-14 muestra la grfica. El nivel de significancia corresponde alas dos regiones sombreadas, cada una con 0.025 del rea. La regin de aceptacin de 0.95 se

ilustra como dos reas de 0.475 cada una. Puesto que np y nq son cada una mayores que 5,

podemos utilizar la aproximacin normal de la distribucin binomial. De la tabla 1 del apndice,

podemos determinar que el valor crtico de z para 0.475 del rea bajo la curva es 1.96.Podemos calcular el error estndar de la proporcin, utilizando los valores hipotticos de pH0yqH0:

=

= ()() = = A continuacin estandarizamos la proporcin de la muestra dividiendo la diferencia entre laproporcin de la muestra observadap y la proporcin hipottica,pH0, entre el error estndarde la proporcin.

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pH0 = 0.6

qH0 = 0.4

n = 60

de la de que estndares de ambiental

de la de que no que, por tanto, est contaminando

de la muestra

p = 33 60 o 0.55 de que no contamina

q= 27 60 o 0.45 de que contamina

= = =

Al sealar la proporcin de la muestra estandarizada que se calcul, -3.06, en un bosquejo de ladistribucin muestral, es claro que esta muestra cae fuera de la regin de aceptacin.

Entonces, en este caso, el presidente debe rechazar la hiptesis nula y concluir que existe una

diferencia significativa entre la proporcin hipottica de empleados aptos para ascenso (0.8) del

director de recursos humanos y la proporcin observada de empleados aptos en la muestra.

De esto, debe inferir que la proporcin real de empleados aptos en toda la compaa no es el

80%.

Prueba de un extremo para proporciones.

Un miembro de un grupo de inters pblico preocupado por la contaminacin ambiental

afirma, en una audiencia pblica, que menos del60% de las plantas industriales de esta reacumple con los estndares de cuidado del ambiente. A la reunin asisti una funcionaria de

1a Agencia de Proteccin Ambiental (APA) quien cree que el 60% de las plantas s cumple con

los estndares; decide probar esa hiptesis al nivel de significancia de 0.02.

H0:p = 0.6 Hiptesis nula: la proporcin de plantas que cumplen con los estndares de contaminacin ambiental es 0.6

H1:p < 0.6 Hiptesis alternativa: la proporcin que cumple con los estndares de contaminacin ambiental es menor que 0.6 = 0.02Nivel de significancia para probar la hiptesisLa funcionaria realiza una investigacin completa de los registros de su oficina. Muestrea 60

plantas de una poblacin de ms de 10,000 y encuentra que 33 cumple con los estndares de

cuidado del ambiente. Es vlida la afirmacin del miembro del grupo de inters pblico?

Comencemos por resumir el caso con smbolos:

sta es una prueba de una cola: la funcionaria de APA se pregunta slo si la proporcin real esmenor que 0.6. Especficamente, sta es una prueba de cola izquierda. Para rechazar la

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hiptesis nula que establece que la proporcin verdadera de plantas que cumplen es el 60%, larepresentante de APA debe aceptar la hiptesis alternativa que dice que menos de 0.6cumplen. La figura 8-16 ilustra esta prueba de hiptesis.Como np y nq son cada uno mayores que 5, podemos usar la aproximacin normal de la

distribucin binomial. El valor crtico de z de la tabla 1 del apndice para 0.48 del rea bajo la

curva es 2.05.

A continuacin, podemos calcular el error estndar de la proporcin usando la proporcinhipottica de la poblacin de la siguiente manera:

= = ()() = =Error estndar de la proporcin

Y estandarizamos la proporcin de la muestra dividiendo la diferencia entre la poblacin de lamuestra observada, p , y la proporcin hipottica, pH0, entre el error estndar de laproporcin.

= = =

La siguiente figura ilustra dnde se encuentra la proporcin de la muestra en relacin con elvalor crtico, -2.05. Al observar esta figura, podemos ver que la proporcin de la muestra caedentro de la regin de aceptacin. Entonces, la funcionaria de APA debe aceptar la hiptesisnula de que la pro- porcin real de plantas que cumplen es 0.6. Aunque la proporcinobservada de la muestra es menor que 0.6, no es significativamente menor que 0.6, es decir,no est tan abajo de 0.6 para aceptar la afirmacin del miembro del grupo de inters pblico.

Valor en la prueba de Hiptesis.El valor es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo o mas que un valorobservado si la hiptesis nula es verdadera.

Consiste en comparar la probabilidad denominada valor con el nivel de significancia.Si el valor es menor que el nivel de significancia Ho se rechaza.

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Si el valor de es mayor que el nivel de significancia Ho se acepta.Prueba de dos colas para medias usando la distribucin t

La especialista en recursos humanos de una importante corporacin est reclutando un gran nmero de

empleados para un proyecto en el extranjero. Durante el proceso de seleccin, la administracin le

pregunta cmo van las cosas, y ella responde: Bien.Creo que la puntuacin promedio en la prueba deaptitudes ser aproximadamente 90. Cuando la administracin revisa 20 de los resultados de la prueba,

encuentra que la puntuacin media es 84, y la desviacin estndar de esta puntuacin es 11.

= 90 Valores hipotticos de la media de poblacinn = 20 Tamao de la muestra

x = 84 Mediade la muestras =11 Desviacin estndar de la muestra

Si la administracin desea probar su hiptesis al nivel de significancia de 0.10, cul es el procedimiento

a seguir?

H0: =90 Hiptesis nula: la puntuacin media real de poblacin es 90H1: 90 Hiptesis alternativa: la puntuacin media no es 90 = 0.10 Nivel de significancia para probar esta hiptesisLa siguiente figura ilustra la grfica de este problema. Puesto que la administracin est interesada en

saber si la puntuacin media verdadera es mayor o menor que la puntuacin hipottica, es apropiado

usar una prueba de dos colas. El nivel de significancia de 0.10 se indica en la figura como las dos reas

sombreadas; cada una contiene 0.05 del rea bajo la distribucin t. Como el tamao de muestra es 20, el

nmero apropiado de grados de libertad es 19, es decir, 20 -1. Entonces, buscamos en la tabla de la

distribucin t del apndice, en la columna de 0.10 y el rengln correspondiente a 19 grados de libertad.

Encontramos que el valor crtico de t es 1.729.

Como no se conoce la desviacin estndar de la poblacin, debemos estimarla usando ladesviacin estndar de la muestra. = = Ahora podemos calcular el error estndar de la media. Como estamos usando , unaestimacin dela desviacin estndar de la poblacin, el error estndar de la media tambinser una estimacin.

=

=

=

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= Error estndar estimado de la media.A continuacin estandarizamos la media de la muestra, restando, la media hipottica, ydividiendo entre , el error estndar estimado de la media. Como nuestra prueba dehiptesis se basa en la distribucin t, usamos t para denotar el estadstico estandarizado.

= = =Al sealar este resultado en una grfica de la distribucin muestral, nos damos cuenta de que

la media de la muestra cae fuera de la regin de aceptacin, como se ve la figura.

Por tanto, la administracin debe rechazar la hiptesis nula (la aseveracin de la directora del

departamento de personal acerca de que la puntuacin media real de los empleados

examinados es 90).

Ejemplo:Una compaa empaca aserrn de pinos en bolsas de 50 lb., desea probar la hiptesis que elpeso promedio de las bolsas es inferior a 50 lb. A un nivel de significancia de 0,1 para lo cualpesa las diez bolsas de la produccin del da con los siguientes valores:

Datos:

50 Valores hipotticos de la media de poblacin

50 Valores hipotticos de la media de poblacinn = 10 Tamao de la muestra = 48,18 Mediade la muestras =2,88 Desviacin estndar de la muestra

= = = ( = = ) =

=

=

= =

= ()=

45,6 46,3 47,7 46,3 46,2

47,4 49,2 55,8 47,5 48,5

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Problemas resueltos:

Problema 46:

Problema 48:

Problema 50:

De acuerdo con un estudio de la American Pet Food Dealers Association, 63% de las familiasestadounidenses tienen mascotas. Se prepara un informe para una editorial enel San FranciscoChronicle. Como parte del editorial, una muestra aleatoria de 300 familias mostro que 170posean mascotas. Estos datos contradicen los de la American Pet Food DealersAssociation?Aplique un nivel de significancia de 0.05.

Problema 52: