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Fisher-Skellam-Formel Ausbildung der Welle Linearbandkeramik Résumé

DasWave-of-Advance-Modell

Axel Berger

Institut für Ur- und FrühgeschichteUniversität zu Köln

Seminar: Die Neolithisierung im MittelmeerraumWintersemester 2013/14

Dr. Silviane Scharl, Dr. Jörg Linstädter, Dr. Lee Clare


Gliederung

1 Die Fisher-Skellam-Formel für die lokale Bevölkerungsdichte

2 Die Ausbildung der Welle

3 Nichtanwendbarkeit für die Linearbandkeramik

4 Résumé


Partielles und totales Differential

𝑝 = 𝑝(�⃗�, 𝑡)

d 𝑝

d𝑡̸= 0

𝜕 𝑝

𝜕𝑡= 0

d 𝑝

d𝑡=

𝜕 𝑝

𝜕𝑡+

𝜕 𝑝

𝜕�⃗�

d �⃗�

d𝑡

Ignacio Icke, Wikicommons


Das autochthone Wachstum

logistische Wachstumskurve

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁(1)

Definitionen𝑛 : Bevölkerungsdichte [Personen/km2]

𝛼 : max. Bevölkerungswachstum [%/a]𝑁 : Tragfähigkeit [Personen/km2]




𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁(1)

Definitionen𝑛 : Bevölkerungsdichte [Personen/km2]𝛼 : max. Bevölkerungswachstum [%/a]

𝑁 : Tragfähigkeit [Personen/km2]




𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁(1)

Definitionen𝑛 : Bevölkerungsdichte [Personen/km2]𝛼 : max. Bevölkerungswachstum [%/a]𝑁 : Tragfähigkeit [Personen/km2]


Das logistische Wachstum

Vergleich vonexponentiellemund logistischemWachstum bei einerAnfangssteigung von3.9 %/a

Am84


Die Zufallsbewegung

Verteilung der Zielpunkte und Entfernungen der Migration nach einem Zeit-schritt bei rein zufälliger Diffusionsbewegung

𝑑2 ∼ 𝑡, 𝑑 ∼√𝑡

Am84


Das Wachstum durch Zuwanderung

Die Diffusionsbewegung

𝐽 = −𝐷d𝑛d�⃗�

= −𝐷∇⃗𝑛 (2)

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= ∇⃗(𝐷∇⃗𝑛) = 𝐷∇⃗2𝑛 (3)

∇⃗2 = d2

d𝑥2+

��d2

d𝑦2

=d2

d𝑟2+

1

𝑟

d

d𝑟+

��1

𝑟2d2

d𝜙2≃ d

2

d𝑟2

Definitionen𝐽 : Nettostrom [1/km a] 𝐷: Diffusionskoeffizient [km2/a]



Die Zuwanderung

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝐷∇⃗2𝑛 = 𝐷d

2𝑛

d𝑟2

𝐷 =𝑚2

2𝑑(1a)=

𝜇2

2𝑑𝜏

𝜕 𝑛

𝜕𝑡=

𝜇2

4𝜏· d

2𝑛

d𝑟2

Definitionen

𝑑: Zahl der Dimensionen [2]𝑚: Migration pro Jahr [km]

𝜇: Migration pro Generation [km]𝜏 : Dauer einer Generation [a]



Die Zuwanderung

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝐷∇⃗2𝑛 = 𝐷d

2𝑛

d𝑟2

𝐷 =𝑚2

2𝑑(1a)=

𝜇2

2𝑑𝜏

𝜕 𝑛

𝜕𝑡=

𝜇2

4𝜏· d

2𝑛

d𝑟2

Definitionen𝑑: Zahl der Dimensionen [2]𝑚: Migration pro Jahr [km]

𝜇: Migration pro Generation [km]𝜏 : Dauer einer Generation [a]


Die Fisher-Skellam-Gleichung

Die komplette Gleichung

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁+𝐷 · d

2𝑛

d𝑟2

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁+

𝜇2

4𝜏· d

2𝑛

d𝑟2(4)

Definitionen𝛼: max. Bevölkerungswachstum [%/a] 𝑁 : Tragfähigkeit [Personen/km2]𝜇: Migration pro Generation [km] 𝜏 : Dauer einer Generation [a]


Die Ausbreitungswelle

Die Ausbreitung einer logistisch wachsenden Bevölkerung von einem Zentrumaus

Am84


Die Ausbildung der Welle

Die Fisher-Skellam-Gleichung

𝜕 𝑛

𝜕𝑡= 𝛼𝑛 ·

(︁1− 𝑛

𝑁

)︁+

𝜇2

4𝜏· d

2𝑛

d𝑟2

Die Geschwindigkeit der Welle

𝑣 ≥ 2√𝐷𝛼 = 2

√︂𝜇2𝛼

4𝜏= 𝜇

√︂𝛼

𝜏(5)

Definitionen𝛼: max. Bevölkerungswachstum [%/a] 𝑁 : Tragfähigkeit [Personen/km2]𝜇: Migration pro Generation [km] 𝜏 : Dauer einer Generation [a]


Die Werte der Parameter

Autor 𝛼 [%/a] 𝜏 [a] 𝜇 [km] Proxy zur Bestimmung von𝜇

Pinhasi 2005 2.9–3.5 29–35 30–47 Entfernung vom Geburtsortzu dem eines Elternteils

Ammerman 1984 0.6–3.0 25 17–45

Geburtsorte von Mannund Frau oder Wohnortals Erwachsener undGeburtsort

Rendine 1986 1.6 25 31 wie Pinhasi 2005

Fort 2002 2.9–3.5 25–28 34–44 Mittel aus Ammerman1984 und Pinhasi 2005

Spannbreiten der von verschiedenen Autoren verwendeten Werte der ethno-graphisch erschließbaren Parameter.


Die quantitative Anwendung des Modells

Parametervariation der Ausbreitungsgeschwindigkeit für eine Generations-dauer von 𝜏 = 25𝑎. Hervorgehoben sind die ethnographisch wahrschein-lichsten Bereiche für 𝛼 und 𝜇2. Die untere Kurvenschar ist mit der falschenGleichsetzung von 𝐷 = 𝜇2/𝜏 in Am84 berechnet.

Fo02


Eine Bestätigung des Modells

Die Ausbreitung der Bisamratte von einem Zentrum in Böhmen

Sk51


Das Neolithikum nach Ammerman 1971, 1973 und 1984

Ausbreitungsdaten ausAmmerman 1973 ohneRegressionsgerade undmit Hervorhebung derLinearbandkeramik[Am84].

Am84


Lage der 118 Daten zur Linearbandkeramik

Lage der 118 von Pinhasi der Linearbandkeramik zugeordneten Siedlungen

Pi05


Verteilung der 118 Daten zur Linearbandkeramik

Verteilung der 118 Daten zur Linearbandkeramik aus Pinhasi 2005. Die blaueGerade entspricht der Regression über alle 765 Daten für das Neolithikum.

Pi05


Résumé

Das Wave-of-Advance-Modell enthält auschließ-lich lokale Vorgänge ohne jede Fernwirkung undist außerstande Sprünge und Hiaten zu erklären.Für die Modellierung menschlicher und kulturel-ler Ausbreitungen ist es damit ungeeignet.


Hausarbeit und Literatur

Vielen Dank

Das Handout, die Literatur und eine ausführlichereHausarbeit zum Thema liegen auf:

www.axel.berger-odenthal.de/work/Referat/

http://axel.berger-odenthal.de/work/Referat/


LiteraturAm71 A. J. Ammerman & L. L. Cavalli-Sforza,

Measuring the Rate of Spread of Early Farming in Europe.Man 6 (1971), 674–688.

Am73 A. J. Ammermann & L. L. Cavalli-Sforza,A population model for the diffusion of early farming in Europe.In: Colin Renfrew (Hrsg.),The explanation of culture change: models in prehsitory, Proceedings of a meeting of the Research Seminar inArchaeology and Related Subjects held at the University of Sheffield.(Pittsburgh 1973), 343–357.

Am84 Albert J. Ammerman & L. L. Cavalli-Sforza,The Neolithic Transition and the Genetics of Populations in Europe.(Princeton 1984).

Fi37 R. A. Fisher,The Wave of Advance of Advantageous Genes.Annal of Eugenics 7 (1937), 355–369.

Fo02 Joaquim Fort & Vicenç Méndez,Wavefronts in time-delayed reaction-diffusion systems. Theory and comparison to experiment.Reports on Progress in Physics 65 (2002), 895–954.

Ke48 David G. Kendall,A form of wave propagation associated with the equation of heat conduction.Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 44 (1948), 591–594.

Pi05 Ron Pinhasi, Joaquim Fort & Albert J. Ammerman,Tracing the Origin and Spread of Agriculture in Europe.PLoS Biology 3 (2005) xii, e410, 2220–2228..

Sk51 J. G. Skellam,Random Dispersal in Theoretical Populations.Biometrika 38 (1951), 196–218.

http://axel.berger-odenthal.de/PDF/journals/Man6-674-Ammerman.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/Scans/Fernleihe/Renfrew~Culture.Change/343-Ammermann.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/Scans/meins/Ammermann~Neolithic.Transition.Europe/000-Inhalt.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/Scans/Zeitschrift/Annals.of.Eugenics/7/355-Fisher.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/PDF/journals/RepProgPhys65-0895-Fort.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/Scans/USB-K�ln/Taa41-Proc.Cambr.Philosoph.Soc/44/591-Kendall.pdfhttp://axel.berger-odenthal.de/PDF/journals/PLoSBio03.12-e410-Pinhasi.pdfhttp://dx.doi.org/10.1371/journal.pbio.0030410http://axel.berger-odenthal.de/PDF/journals/Biometrika38-196-Skellam.pdf

Die Fisher-Skellam-Formel für die lokale BevölkerungsdichtePartielles und totales DifferentialDas autochthone WachstumDas logistische WachstumDie ZufallsbewegungDas Wachstum durch ZuwanderungDas Wachstum durch ZuwanderungDie Fisher-Skellam-GleichungDie Ausbreitungswelle

Die Ausbildung der WelleDie Ausbildung der WelleDie Werte der ParameterDie quantitative Anwendung des ModellsEine Bestätigung des Modells

Nichtanwendbarkeit für die LinearbandkeramikDas Neolithikum nach Ammerman 1971, 1973 und 1984Lage der 118 Daten zur LinearbandkeramikVerteilung der 118 Daten zur Linearbandkeramik

RésuméRésuméHausarbeit und LiteraturLiteratur

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