escobar, f. -_analisis_moderno_de_presiones_de_pozos

ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE

POZOS

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000

∆ P,

t*∆

P', p

si

t, hr

(t*∆P') r = 63.93 psi

t r = 30 hr

∆P r =260 psi

t i = 0.042 hr

Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

2

ANALISIS MODERNO DE PRESIONES DE POZOS Freddy Humberto Escobar Macualo, Ph.D.

Prohibida su reproducción sin previa autorización del autor

Neiva, Huila, Noviembre de 2003


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INTRODUCCION

Este texto contiene la programática, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Análisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto guía y herramienta básica en el desarrollo de las clases. Este trabajo recopila información de varios libros y artículos técnicos relacionados con el tema en cuestión existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad. El texto reúne algunas de las experiencias del autor en el área de presiones de fondo, al igual que incluye aportes recientes que él ha hecho a esta rama de la ciencia. El programa a desarrollar consta de ocho capítulos. El primero de ellos se orienta a la descripción del flujo de fluidos en medios porosos. Allí se estudian los conceptos básicos del análisis de pruebas de presión y el principio de superposición, así como la deducción y solución de la ecuación de difusividad con sus limitaciones y aplicaciones. El capítulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinación de presión, completamiento parcial y penetración parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En éste, también se presentan los fundamentos de almacenamiento y daño, al igual que una introducción a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este capítulo se emplearán todas las técnicas existente para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la técnica de ajuste por curvas tipo (más antigua) hasta el método moderno llamado Tiab’s Direct Synthesis Technique, más nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atención en esta técnica toda vez que no solo es moderna sino también de uso muy práctico. El capítulo tres estudia las pruebas de restauración de presión y los métodos para determinar la presión promedia del yacimiento. En el capítulo cuatro se estudian las pruebas DST y los métodos de interpretación. Este capítulo hace una breve introducción a la determinación de heterogeneidades en zonas aledañas al pozo. El capítulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos métodos para su determinación. El capítulo seis se centra en pruebas múltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeñas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogéneos. Por ésto, el capítulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El capítulo 8 está dedicado a los pozos hidráulicamente fracturados. Allí se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su efecto en los regimenes de flujo. Se hace énfasis especial en la técnica que elimina el uso de las curvas tipo y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


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PROLOGO

Ing. Luis Elias Quiroga Arjona o Ing. MSc. Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas


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TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION .................................................................................................... 3 TABLA DE CONTENIDO ........................................................................................ 9 1. FUNDAMENTOS GENERALES....................................................................... 10 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS................................................................................ 10 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN.................................. 17 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD....................................................................... 18 1.3.1. MÉTODO I.................................................................................................. 18 1.3.2. MÉTODO II................................................................................................. 21 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............................. 23 1.3.4. SOLUCIÓN DE LA LÍNEA FUENTE........................................................... 25 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES ................................................................... 34 1.4.1. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL ................... 34 1.4.2. SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI................................... 40 1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD...... 41 1.6. DISTRIBUCION DE PRESION...................................................................... 47 1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO)................................................................ 48 1.8. FLUJO DE GAS ............................................................................................ 51 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN....................................................... 60 1.9.1. DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA PRESIÓN................................... 60 1.9.2. CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN A UNIDADES DE CAMPO........................................................................................ 61 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA .............................................. 65 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.............................................................. 65 1.10.2. ECUACIÓN DE HORNE........................................................................... 66 1.10.3. ECUACIÓN DE BOURDET Y COLABORADORES ................................. 66 1.10.4. ECUACIÓN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT........................................ 67 1.10.5. ECUACIÓN DE SIMMONS ...................................................................... 67 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN .............................................................. 69 1.11.1. SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO............................................................. 69 1.11.2. SUPERPOSICIÓN EN TIEMPO............................................................... 71 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO ........... 73 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE .................................. 73 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LÍNEA DE PRESIÓN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ..................................................................... 74 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN............... 75 2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN.................................................. 78 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE).................................. 78 2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE .......... 84 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY.................................. 86 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO................. 90


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2.3.2. MÉTODO DE EARLOUGHER.................................................................... 91 2.3.3. MÉTODO SEMILOG ................................................................................... 92 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT)............................................. 100 2.5. CONTROL DE CALIDAD ............................................................................ 102 2.6. REGIMENES DE FLUJO............................................................................. 102 2.7. POZOS HORIZONTALES........................................................................... 107 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET............... 110 2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE .......................... 113 2.9.1. LÍNEAS Y PUNTOS CARACTERÍSTICOS................................................ 114 2.9.2. ESTIMACIÓN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA ................... 122 EJEMPLO............................................................................................................ 123 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL ......................... 127 2.10.1. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFÉRICO ........................ 130 2.10.2. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFÉRICO.................. 132 2.10.3. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST .................................... 134 2.10.4. TIAB’S DIRECT SÍNTESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFÉRICO ................................................................................................... 143 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES................................................... 144 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO ...................................................... 144 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIÓN PARCIAL ....... 144 2.11. PRUEBAS MULTI-FLUJO......................................................................... 149 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO ................................................................................ 152 2.13. METODO DE PINSON.............................................................................. 156 2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS.............................. 158 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST ................................... 158 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS – METODO DE SLIDER..................................................... 164 2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES.................................................... 166 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES................ 177 3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION............................................ 185 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .............................................................. 185 3.2. METODO DE HORNER ............................................................................... 187 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO.................................................... 187 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF)........................................... 189 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIÓN.......................................................................................... 189 3.2.4. PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) .... 189 3.2.5. GRÁFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS ................. 190 3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .................................. 191 3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT.......................................................... 194 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS ............................................................................................ 197 3.6 PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO................................................... 199 3.6.1. MÉTODO DE MBH................................................................................... 199 3.6.2. MÉTODO DE DIETZ ................................................................................. 206 3.6.3. MÉTODO DE MDH.................................................................................... 206 3.6.4. MÉTODO DE RAMEY-COBB.................................................................... 207


7

3.6.5. MÉTODO DIRECTO (AZARI 1987).......................................................... 207 3.6.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ............................................................................................. 208 3.6.6.1. YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ......................................... 208 3.5.6.2. SISTEMAS CERRADOS RECTANGULARES ....................................... 209 3.6.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN ................................................ 210 3.6.6.4. DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO 210 3.6.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ............ 211 4. PRUEBAS DST .............................................................................................. 222 4.1. GENERALIDADES....................................................................................... 222 4.1.1. PROPÓSITO ............................................................................................. 222 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST..................................................................... 222 4.1.3. INFORMACIÓN CALCULADA DE UN DST ............................................. 222 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA................................................... 223 4.3. PROCESO DE PRUEBA............................................................................. 223 4.3.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 223 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER............................................................... 224 4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST........................................................................ 224 4.4.1. DST CONVENCIONAL............................................................................. 224 4.4.2. DST SECO................................................................................................ 225 4.4.4. MÚLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO ........................................................... 225 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE...................................................................... 225 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO................................................... 225 4.5. METODO DE HORNER ............................................................................... 225 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL............................ 228 4.6.1. MÉTODO DE DATOS LIMITADOS (MÉTODO EN EL SITIO DEL POZO) 228 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD...................................................... 231 4.7.1. MÉTODO DE HORNER ........................................................................... 231 4.7.2. MÉTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL .............................................. 231 4.7.3. MÉTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN............................................ 232 4.7.4. MÉTODO DE BIXEL Y OTROS ............................................................... 233 5. HETEROGENEIDADES................................................................................. 236 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ............................. 236 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ..................................................... 237 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN....................................... 237 5.2.2. MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRÁFICAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN ............................................................................................................ 239 5.2.2.1. MÉTODO DE HORNER ......................................................................... 239 5.2.2.2. MÉTODO DE DAVID Y HAWKINS......................................................... 242 5.2.2.3. MÉTODO DE EARLOUGHER............................................................... 245 5.2.2.4. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................... 247 5.3. FRONTERAS MULTIPLES ......................................................................... 250 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA ....................................................... 250 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ..................................................................... 250 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ............................................... 250


8

5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO........ 252 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO ........................................................................... 252 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ............................................................................. 252 6. PRUEBAS MULTIPLES ................................................................................. 256 6.1. GENERALIDADES....................................................................................... 256 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ 256 6.2.1. MÉTODO DE EARLOUGHER................................................................... 257 6.2.2. MÉTODO DE RAMEY............................................................................... 259 6.2.3. MÉTODO DE TIAB Y KUMAR .................................................................. 260 6.3. PRUEBAS DE PULSO ................................................................................. 267 6.3.1. MÉTODO DE KAMAL – BIRGHAM........................................................... 268 7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS .................................... 277 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .................................... 283 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 285 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD............................................................................................................................ 289 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO.............................................. 289 7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION........................................... 290 7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS................................................................................................. 296 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO .................................. 305 7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE................................................................... 308 7.8.1. ASPECTO TEÓRICO................................................................................ 309 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS .............................................. 310 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIÓN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO314 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO ........................................................... 317 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS............................................... 325 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES......................... 325 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIÓN ........................ 325 8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIÓN (FALLOFF) . 328 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES ............................................ 331 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS........................................................... 341 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P VS. ) .................................................. 342 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P VS. )...................................................... 342 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ............................................... 344 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)........................... 346 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE .......................................................................................... 348 8.8.1. SIMULACIÓN DE FRACTURAS .............................................................. 348 8.8.2. REGIMENES DE FLUJO EN FRACTURAS............................................. 351 8.8.3. ANÁLISIS DE FLUJO BILINEAL .............................................................. 352 8.8.5. ANÁLISIS DE FLUJO PSEUDORADIAL.................................................. 356


9

8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS................................................. 359 8.9.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................... 359 8.9.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ........ 361 8.9.3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA............................................................................................................................ 366 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ............................................................... 370 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ................................................................................. 371 8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ...................................................... 377 8.10.1. CARACTERÍSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA 378 8.10.2. RÉGIMEN DE FLUJO BILINEAL............................................................ 378 8.10.3. FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO ............................................. 382 8.10.4. INTERRELACIONES ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL ............. 383 8.10.5. INTERRELACIÓN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL.................. 385 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRADIAL Y BILINEAL...................................... 386 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO........................................................ 389 8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ................... 403 NOMENCLATURA .............................................................................................. 404 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 410


10

1. FUNDAMENTOS GENERALES

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS Las pruebas de presión pueden entenderse por aplicación de la tercera ley de Newton, como se ilustra en la Fig. 1.1.

Mecanismo delyacimiento

ModeloMatemático

Perturbación de entrada

Entrada al modelo

Salida derespuesta

Salida delmodelo

Fig. 1.1. Esquema de la representación matemática de una prueba de presión

Básicamente los objetivos del análisis de las pruebas de presión son: • Evaluacion del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamaño, permeabilidad por espesor

(útil para Espaciamiento y estimulación), presión inicial (energía y pronóstico), límites (tamaño y determinación de existencia de un acuífero).

• Administración del yacimiento • Descripción del yacimiento Las pruebas DST y restauración de presión. Se usan principalmente en producción primaria y exploración. Pruebas múltiples: Se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores.


11

ALM

ACEN

AM

IEN

TO

0.5

0.5

0.25

GRAFICO HORNER GRAFICO LOG-LOG GRAFICO DERIVADA

Protuberancia Protuberancia Derivadanegativa

Reversamiento de presión en vez de pico. Se puede observar un mínimo.Puede confundirse con el comporta-miento de un yacimiento naturalmentefracturado

Sistematotal

Sistema más permeable

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

Flujo radialen fisuras

Sistema más permeable

Transición

sistematotsl

Flujo radial

Flujo radial ensistema total

PH

ASE

RE

DIS

TRIB

UTI

ON

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Ps

eudo

esta

ble

Yac.

Nat

. Fra

ctur

ado

Fuj

o Tr

ansi

torio

Pendienteunitaria

m=0.5

FLU

JO L

INEA

L EN

CAN

ALE

S

Un gráfico acrtesiano de P vs. la raiz de tla mayoría de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificación de yacimientos

12MODELO

YACIMIENTO HOMOGENEO YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD

SISTEMAS INFINITOS

SISTEMASCERRADOS

POZOSFRACTURADOS

INTERPOROSITY FLOW ESTADOPSEUDOESTABLE

TRANSITORIO

GRAFICOLOG-LOG

GRAFICOSEMILOG

GRAFICO DELA DERIVADA

log

tD/C

D*P

D'

PD

log

PD

m

2m

1 1

1/2

1/4

t∆

Cartesiano

1/2 1/2 1/2

TRANS

1/2

TRANS

>1/4

m = Pendiente semilog. Representaflujo radial infinito

InfinitoBarrera de no flujoPresión constante

Conduct. infinita Flujo uniformConduc. finita(flujo bilineal)

1/4

Hay un factor de 2 enseparaciónentre PD y PD'para fracturas de conduc-tividad infinita. El factor es4 para fracturas de -con-ductividad finita

Se desarrollan 2 lineas paralelasLa transición inicia antes que terminelos efectos de WBS

F = FISURA

T =SISTEMA TOTAL

4 t∆

0.50.5

Flujoradial

Flujoradial

mm

T

F

m

m

T

F

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

13YACIMIENTO HOMOGENEO

Frontera externa cerrada Barrera lineal impermeable (falla)

Barrera de presiónconstante

Cartesiana

Pre

sión

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Semilog

Tiempo

P y

t*∆P'

Pres

ión

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P y

t*∆ P

' m 2m

m2m

En el gráfico semilog se observa una recta que doblasu pendiente. Una segunda región plaa se observaen la derivada

Pre

sión

Tiempo

Log-Log

t*P'

P

Tiempo

P y

t*∆P'

m2m

Una región plana normalmente se observaen la mayoría de los gráficos de f P vs t y una line que decrece conitnuamente seobserva en el gráfico de la derivada

0.5

1.0

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos


14

Tabla 1.1. Parámetros obtenidos de pruebas de pozo

Tipo de Prueba Parámetro Obtenido DST Comportamiento del yacimiento

Permeabilidad Daño

Longitud de fractura Presión del yacimiento Límites del yacimiento

Fronteras Prueba de formación múltiple repetida

Perfil de Presión

Prueba de declinación de presión

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Daño Longitud de fractura

Límites del yacimiento Fronteras

Prueba de restauración de presión

Comportamiento del yacimiento Permeabilidad

Daño Longitud de fractura

Presión del yacimiento Fronteras

Prueba de paso de rata Presión de rotura de formación Permeabilidad

Daño Prueba Falloff Movilidad en varios bancos

Daño Presión del yacimiento

Longitud de fractura Ubicación del frente

Fronteras Prueba de pulso e interferencia Comunicación entre pozos

Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad

Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical

Pruebas de yacimientos con capas

Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal

Permeabilidad vertical Daño

Presión de capa promedio Fronteras externas


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Tabla 1.2. Gráficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

Gráficas Régimen de flujo

Cartesiana t∆ 4 t∆ Log-log Semilog

Almacenamiento Línea recta Pendiente→C Intercepto→ ∆tc, ∆Pc

Pendiente unitaria en ∆p y p’ ∆p y p’ coincide

s Positivo s Negativo

Flujo Lineal Línea recta Pendiente→xf

Intercepto→ Daño de fractura

Pendiente=1/2 en ∆P y P’ si s=0 Pendiente =1/2 en ∆p y P’ si s=0 a medio nivel de ∆P Pendiente = ½ después de almacenamiento indica un canal del yacimiento

Flujo Bilineal Línea recta Pendiente →Cfd

Pendiente=1/4 P’a ¼ de nivel de ∆P

Primer IARF (alta-k capas, fracturas)

Disminución de pendiente

P’ horizontal a P’D=1/2 Línea recta Pendiente→kh ∆P1hr→s

Transición Más disminución de pendiente

seP 2−=∆ λ P’D=1/4 (transición) P’D<1/4 (estado pseudoestable)

Línea recta Pendiente=1/2 (transición) Pendiente=0 (estado pseudoestable)

Segundo IARF Pendiente similar al primer IARF

P’ horizontal a p’D=1/2 Línea recta Pendiente→kh, P* ∆P1hr→s

Frontera sencilla de no flujo

P’ horizontal a p’D=1 Línea recta Pendiente =2m Intersección con IARF→distancia a frontera

Fronteras externas de no flujo (solo declinación)

Línea recta pendiente→φAh Pint→CA

Pendiente unitaria para ∆P y P’ ∆P y P’ coincide

Incremento de pendiente

IARF= flujo radial de acción infinita Pruebas de declinación, de restauración de interferencia y de pulso: se usan en todas las fases de producción. Pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y pulso: Se usan en las etapas primaria y secundaria. El análisis de pruebas de presión tiene una variedad de aplicaciones durante la vida de un yacimiento. Las pruebas DST y de restauración de presión en pozos únicos se usan principalmente durante producción primaria y exploración, mientras que las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical también se corren en pozos productores/inyectores. Pruebas de caída, de restauración, de interferencia y de pulso


16

se utilizan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resume los parámetros que pueden obtenerse del análisis de pruebas de presión. Los ingenieros de petróleos deberían tener en cuenta el estado del arte de la interpretación de pruebas de presión, herramientas de adquisición de datos, métodos de interpretación y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos del APP. Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el análisis de presiones comprende dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificación de los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la prueba, (2) estimación de parámetros. Entre ellos tenemos: gráficos log-log de presión y derivada de presión vs. tiempo de transiente (herramienta de diagnóstico), gráfico semilog de presión vs. tiempo, gráfico Cartesiano de los mismos parámetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes gráficos y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a 1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y características de flujo encontrados en una prueba de presión. En general, el análisis de presiones es una herramienta excelente para describir y definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburífero. Los regímenes de flujo son una función directa de las características del sistema pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse mediante la detección de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal, no necesariamente implica la presencia de una fractura. La interpretación de pruebas de presión es el método primario para determinar permeabilidad, factor de daño, presión de yacimiento, longitud y conductividad de fractura y heterogeneidad del yacimiento. Además, es el único método más rápido y más barato para estimar variable dependientes del tiempo como el factor de daño y la permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo. El período de comportamiento infinito ocurre después del fin del almacenamiento y antes de la influencia de los límites del yacimiento. Puesto que los límites no afectan los datos durante este período, el comportamiento de presión es idéntico al comportamiento de un yacimiento infinito. El flujo radial puede reconocerse por una estabilización aparente del valor de la derivada. El análisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, daño, presión promedia, longitud media de una fractura hidráulica, dirección de una fracturas, conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1) Definir el modelo del yacimiento e identificación de los regímenes de flujo y (2) Estimación de parámetros.


17

1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN Declinación de presión (ver. Fig. 1.4)

Tiempo

Tiempo

Pres

ión

Cau

dal

0

q

tp

tp

Pres

ión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.4. Representación esquemática de pruebas de restauración (derecha) y declinación o caída de presión (izquierda)

Pre

sión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Pres

ión

Cau

dal

Tiempo

Tiempo

0

Fig. 1.5. Prueba de inyección (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


18

Restauración de presión (ver. Fig. 1.4) a) Es difícil mantener el caudal constante b) No hay producción Inyección Ver (Fig. 1.5) Falloff Considera una declinación de presión inmediatamente después de la inyección. Idéntico a una prueba de restauración (ver Fig. 1.5) Otras pruebas: Interferencia DST Múltiples 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD Al inicio de la producción, la presión en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo se expanden y se mueven hacia el área de menor presión. Dicho movimiento es retardado por la fricción contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fluído. A media quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presión que induce a los fluídos aledaños a moverse hacia el pozo. El proceso continúa hasta que la caída de presión creada por la puesta en producción se disipa a lo largo del yacimiento. El proceso físico que toma lugar en el yacimiento puede describirse mediante la ecuación de difusividad cuya deducción se muestra a continuación. 1.3.1. Método I (Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulación del sistema

k dPv

dsµ= −

kA dPq

dsµ= −

Para flujo radial 2A rhπ=


19

r r+∆r

∆r

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

Masa que entra = 3

3

L MqT L

ρ =

2k Pq rhr

∂πµ ∂

= −

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Prh rh rh drr r t

ρ ∂ ρ ∂ ∂π π π φ ρµ ∂ µ ∂ ∂

+

− + =

( ) ( ) ( )2 2 2r r dr

k P k Ph r h r rh drr r t

ρ ∂ ρ ∂ ∂π π π φ ρµ ∂ µ ∂ ∂

+

− + =

( )

1r dr r

k P k Pr rr r r

dr t

ρ ∂ ρ ∂µ ∂ µ ∂ ∂ φ ρ

∂

+

⎡ ⎤−⎢ ⎥

⎣ ⎦ =

( )1 k Prr r r t

∂ ρ ∂ ∂ φ ρ∂ µ ∂ ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.1)

1 1VcV P P

∂ ∂ ρ∂ ρ ∂

= − =


20

De donde;

( )oc P Poeρ ρ −= (1.2)

1

fcP

∂ φφ ∂

=

Colocando la Ec. 1.1 en términos de ρ:

( ) ( ) ( )φ∂∂ρρ

∂∂φρφ

∂∂

ttt+=

( ) Pt t P t

∂ ∂ ρ ∂ φ ∂ ∂ ρφ ρ φ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂

= +

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

cc

ttcc

ttff 1

∂ρ∂φ

∂ρ∂

ρφρ

∂ρ∂φρφ

∂∂

( ) [ ]t

ccct f ∂

ρ∂φρφ∂∂

+=

La parte derecha de la ecuación de difusividad se ha simplificado completamente. Ahora continuando con el término de la izquierda:

1P Pr r c r

∂ ∂ ∂ ρ ∂ ρ∂ ∂ ρ ∂ ρ ∂

= =

Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene:

[ ]t

cccrc

rkrr f ∂

ρ∂φ∂

ρ∂µ∂

∂+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1 (1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en términos de p, se deriva la Ec. 1.2 con respecto a r y t, así:

( )oc P Po

Pe cr r

∂ ρ ∂ρ∂ ∂

−=

( )oc P P

oPe c

t t∂ ρ ∂ρ∂ ∂

−=


21

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:

( ) ( )1o oc P P C P P

o f ok r P Pe c c c e c

r r c r c t∂ ∂ φ ∂ρ ρ

∂ µ ∂ ∂− −⎛ ⎞

⎡ ⎤= +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

Extrayendo los términos constantes de la derivada:

tP Pr c

kr r r tµ ∂ ∂ ∂φ

∂ ∂ ∂⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.4)

Defina la constante de difusividad, η, como:

kctµφ

η=

1

Luego resulta: 1 1P Prr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Derivando;

2

2

1 1P P Prr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

⎡ ⎤+ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

2

2

1 1P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ η ∂

+ = (1.5)

En coordenadas cilíndricas:

2 2 2

2 2 2 2

1 1 tz

r r r

k ckP P P P Pr r r k r k z k t

θ φµ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ θ ∂ ∂

+ + + = (1.6.)

1.3.2. Método II Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en reconocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio


22

poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase. El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es:

φπ )2( rhdrV = (1.7) Puesto que,

PP+dP r

r+dr

h

Pozo

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presión

dPdV

Vc 1

−=

Entonces;

cVdPdV −= De la Ec. 1.7, se tiene:

dPrhdrcdV φπ )2(−=

Si tVdq

∂∂

= entonces reemplazando la relación anterior en esta se tiene:


23

tPrhdrcdq

∂∂

−= )2( πφ

ó;

tPrhc

rq

∂∂

−=∂∂ )2( πφ (1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

rPkrhq

∂∂

−=µ

π )2( (1.9)

Derivando la Ec. 1.9 con respecto a r, se obtiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=∂∂

2

2

)2(rPr

rPkh

rq

µπ (1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene:

2

2(2 ) (2 )P k P Pc rh h rt r r

φ π πµ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂− = − +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

ó;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

=∂∂

2

2

rPr

rPk

tPrc

µφ

Rearreglando,

tP

kc

rP

rrP

∂∂

=∂∂

+∂∂ µφ1

2

2

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuación de difusividad. 1.3.3. Limitaciones de la Ecuación de Difusividad a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad

constantes b) Un solo fluido satura el medio poroso c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible


24

d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables, e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2. ρ ρ= −

oc p pe o( ) (1.2)

A) Flujo radial

2

2

10.0002637

tcP P Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.12)

Donde; P = psi µ = cp t = hr r = ft ct = 1/psi φ = fracción k = md B) Flujo Multifásico (Método de Perrine)

2

2

10.0002637

t

t

cP P Pr r r t

φ∂ ∂ ∂∂ ∂ λ ∂

+ = (1.13)

fwwggoot cScScScc +++=

λµ µ µt

o

o

g

g

w

w

k k k= + +

El método asume gradientes de presión y de saturación despreciables. Martin demostró que (a) El método pierde exactitud a medida que la saturación de gas se incrementa, (b) La estimación de la movilidad es buena, (c) El cálculo individual de las movilidades es sensible a los gradientes de saturación. Se logran mejor estimativos cuando la distribución de saturación es uniforme y (d) El método subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de daño. Cuando hay flujo de gas libre:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +−

±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mh

BRqRqqk gswwsog

g

)(0001.0(162600µ

C) Flujo de Gas

tpm

kc

rpm

rrpm

gi

tgi

∂∂µφ

∂∂

∂∂ )(

0002637.0)(1)(

2

2

=+ (1.14)


25

0 2000 4000 6000 8000 10000

µZ, cp

Presión

Cua

drát

ico

Lineal

Pseu

dopr

esió

n

Pseudopresión

Fig. 1.8. Pseudopresión

Donde m(P) es:

( )( ) ( )

m

p

p

dPm PP z Pρ

µ= ∫

1.3.4. Solución de la Línea Fuente El anexo A presenta la solución de la línea fuente usando la transformada de Boltzman. A continuación se presenta el método de Combinación de variables independientes, el cual es basado en el análisis dimensional de Buckingham. Este toma una función f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o función que contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma general es:

1 2( , , , ) ( , ,...)f f x y z t f f s s= → = s ax y z tb c d e= La ecuación de difusividad es:


26

1r r

rfr

ft

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (1.15)

Donde f es:

wf

i wf

P Pf

P P−

=−

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ =

1, 0, 0fr r tr

∂∂

= = >

0, , 0f r t= → ∞ >

Definiendo un grupo de variables como: s ar tb c= (1.16) Multiplicando la Ec. 1.15 por ∂s/∂s: 1r

ss r

rss

fr

ss

ft

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

Intercambiando términos: 1r

sr s

rsr

fs

st

fs

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = (1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16: ∂∂

sr

abr tb c= −1

∂∂

st

acr tb c= −1

Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando:


27

1 1 11 b c b c b cf fabr t r abr t acr tr s s s

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− − −⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2 11 b b

c b cr r f fa b t r acr tr r s r s s

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

−⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Puesto que rs

atb

c= entonces;

a b

rr t

ss

atfs

acr tfs

b cc

b c2 2

22 1∂

∂∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

abr

r ts

sfs

acr tfs

b c b c2

21∂

∂∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

br

ts

sfs

cfs

2

2

∂∂

∂∂

∂∂

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

2

2

f r c fss s b t s

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 1

2

f c fs r t ss s b s

−∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Comparando el término encerrado en paréntesis cuadraron con la Ec. 1.16 ( s ar tb c= ), se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar2/t de modo que r2t-1=s/a, entonces:

2

f c fs ss s b a s

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤=⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦

El término encerrado en paréntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

f fs ss s s

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Escribiendo como una ecuación diferencial ordinaria:


28

dds

s dfds

s dfds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (1.17.a)

Aplicando el mismo análisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en función de s: Condiciones iniciales:

0, 0 , 0f r t= ≤ ≤ ∞ = puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s → ∞ (1.17.b) Condición de frontera 1: Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy.

r fr

r t∂∂

= = >1 0 0, ,

Multiplicando la anterior ecuación por ∂s/∂s:

r fs

sr

∂∂

∂∂

= 1

rfs

abr tb c∂∂

− =1 1

rfs

ab rr

tb

c∂∂

= 1

∂∂

fs

ab sat

tcc = 1

Puesto que b = 2;

sfs

∂∂

=12

(1.17.c)

Condición de frontera 2:


29

f r t= → ∞ >0 0, , Si s = ar2/t cuando r → ∞, s = ar2/t → ∞ (1.17.d) Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez más grande. Luego, la nueva ecuación diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es: dds

s dfds

s dfds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (1.17.a)

Condiciones iniciales:

0, f s= → ∞ (1.17.b) Condición de frontera 1:

sfs

∂∂

=12

cuando s=0 (1.17.c)

Condición de frontera 2:

0, f s= → ∞ (1.17.d) Nota: Observe que la condición inicial y la condición de frontera 2 son lo mismo. Defina:

dfg sds

=

Entonces la Ec. 1.17.a se transforma en: d g gds

=

Separando e integrando;

1ln g s c= +

g c e s dfds

s= =1 (1.18)

Despejando df;


30

dfc e

sds

s

= 1

1

sedf c dss

=∫ ∫

La anterior es una ecuación que no es analíticamente integrable (se resuelve por series de potencia):

2

1 ......2!

se sss

= + + +

Simplificando la solución:

f c es

ds cs

= +∫1 2

Aplicando la condición de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:

c e s dfds

s1

12

= =

Cuando s = 0, es = 0, entonces c1 = ½, luego;

f es

ds css

= +∫12 0

2

Aplicando la condición de frontera 2, f = 0 cuando s → ∞

20

102

se ds cs

∞

= +∫

de donde;

20

12

sec dss

∞

= − ∫

entonces;


31

0 0

1 12 2

s s se ef ds dss s

∞

= −∫ ∫

12

s sef dss∞

= ∫

ó:

12

s

s

ef dss

∞ −

= − ∫

)(21 sEf i −−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

trEtrf i 42

1),(2

ó;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

La ecuación anterior es una muy buena aproximación de la solución analítica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon) que rD ≥ 20 ó tD/rD

2 ≥ 0.5. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste:

21 dxbxcxay++

+=

donde: r2 = 0.99833613 a = 0.5366606870950616 b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 d = 0.119967622262022 x = log(PD)

y

D

D

rt 102 =


32

32

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

0.01 0.1 1 10 100

r D = 20

r D =

2

r D = 1.3r D = 1

PD

t / r 2D D

Fig. 1.9. Presión adimensional para diferentes valores del radio adimensional


33

33

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10 100 1000 10000

10 10 10 10 10 104 5 6 7 8 9

t D /r D

P D

2

Fig. 1.10. Presión adimensional para un pozo sin almacenamiento y daño en un yacimiento infinito


34

La función exponencial puede ser evaluada mediante:

2 3 4

( ) 0.57721557 ln ....2 2! 3 3! 4 4!x x xEi x x x= + + − + −⋅ ⋅ ⋅

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES Los parámetros adimensionales no proporcionan una visión física del parámetro que se mide, pero si una descripción general o universal de éstos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o más de 107 en formaciones de muy permeables. 1.4.1. Ecuación de Difusividad en Forma Adimensional

2

2

1 tcP P Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.19)

Defina:

r rrD

w

=

Derivando; ∂ ∂r r rw D= (1.20)

2 2 2w Ddr r dr= (1.21)

Reemplazando el valor de r y las Ecs. 1.20 y 1.21 en la Ec. 1.19:

2

2 2

1 t

w D w D w D

cP P Pr r r r r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ =

22

2

1 t w

D D D

c rP P Pr r r k t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.22)

Defina el tiempo adimensional como;


35

1

100 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25

Ei(-x)

x

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1 ≤ x ≤ 10

0.0001

0.001

0.01

0.1

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ei(-x)

x

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 1


36

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.001 ≤ x ≤ 0.2

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.00 ∞ 6.3315 5.6394 5.2349 4.9482 4.7261 4.5448 4.3916 4.2591 4.1423 0.01 4.0379 3.9436 3.8576 3.7785 3.7054 3.6374 3.5739 3.5143 3.4581 3.4050 0.02 3.3547 3.3069 3.2614 3.2179 3.1763 3.1365 3.0983 3.0615 3.0261 2.9920 0.03 2.9591 2.9273 2.8965 2.8668 2.8379 2.8099 2.7827 2.7563 2.7306 2.7056 0.04 2.6813 2.6576 2.6344 2.6119 2.5899 2.5684 2.5474 2.5268 2.5068 2.4871 0.05 2.4679 2.4491 2.4306 2.4126 2.3948 2.3775 2.3604 2.3437 2.3273 2.3111 0.06 2.2953 2.2797 2.2645 2.2494 2.2346 2.2201 2.2058 2.1917 2.1779 2.1643 0.07 2.1508 2.1376 2.1246 2.1118 2.0991 2.0867 2.0744 2.0623 2.0503 2.0386 0.08 2.0269 2.0155 2.0042 1.9930 1.9820 1.9711 1.9604 1.9498 1.9393 1.9290 0.09 1.9187 1.9087 1.8987 1.8888 1.8791 1.8695 1.8599 1.8505 1.8412 1.8320 0.10 1.8229 1.8139 1.8050 1.7962 1.7875 1.7789 1.7704 1.7619 1.7536 1.7453 0.11 1.7371 1.7290 1.7210 1.7130 1.7052 1.6974 1.6897 1.6820 1.6745 1.6670 0.12 1.6595 1.6522 1.6449 1.6377 1.6305 1.6234 1.6164 1.6094 1.6025 1.5957 0.13 1.5889 1.5822 1.5755 1.5689 1.5623 1.5558 1.5494 1.5430 1.5367 1.5304 0.14 1.5241 1.5180 1.5118 1.5057 1.4997 1.4937 1.4878 1.4819 1.4760 1.4702 0.15 1.4645 1.4587 1.4531 1.4474 1.4419 1.4363 1.4308 1.4253 1.4199 1.4145 0.16 1.4092 1.4039 1.3986 1.3934 1.3882 1.3830 1.3779 1.3728 1.3678 1.3628 0.17 1.3578 1.3528 1.3479 1.3430 1.3382 1.3334 1.3286 1.3239 1.3191 1.3145 0.18 1.3098 1.3052 1.3006 1.2960 1.2915 1.2870 1.2825 1.2780 1.2736 1.2692 0.19 1.2649 1.2605 1.2562 1.2519 1.2477 1.2434 1.2392 1.2350 1.2309 1.2268 0.20 1.2227 1.2186 1.2145 1.2105 1.2065 1.2025 1.1985 1.1946 1.1907 1.1868

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial para 4 ≤ x ≤ 18.9

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 0.003779 0.003349 0.002969 0.002633 0.002336 0.002073 0.001841 0.001635 0.001453 0.0012915 0.001148 0.001021 0.000909 0.000809 0.00072 0.000641 0.000571 0.000509 0.000453 0.0004046 0.00036 0.000321 0.000286 0.000255 0.000228 0.000203 0.000182 0.000162 0.000145 0.0001297 1.15E-04 1.03E-04 9.22E-05 8.24E-05 7.36E-05 6.58E-05 5.89E-05 5.26E-05 4.71E-05 4.21E-058 3.77E-05 3.37E-05 3.02E-05 2.70E-05 2.42E-05 2.16E-05 1.94E-05 1.73E-05 1.55E-05 1.39E-059 1.24E-05 1.12E-05 9.99E-06 8.95E-06 8.02E-06 7.19E-06 6.44E-06 5.77E-06 5.17E-06 4.64E-0610 4.16E-06 3.73E-06 3.34E-06 3.00E-06 2.69E-06 2.41E-06 2.16E-06 1.94E-06 1.74E-06 1.56E-0611 1.40E-06 1.26E-06 1.13E-06 1.01E-06 9.08E-07 8.15E-07 7.32E-07 6.57E-07 5.89E-07 5.29E-0712 4.75E-07 4.27E-07 3.83E-07 3.44E-07 3.09E-07 2.77E-07 2.49E-07 2.24E-07 2.01E-07 1.81E-0713 1.62E-07 1.46E-07 1.31E-07 1.18E-07 1.06E-07 9.50E-08 8.50E-08 7.70E-08 6.90E-08 6.20E-0814 5.60E-08 5.00E-08 4.50E-08 4.00E-08 3.60E-08 3.30E-08 2.90E-08 2.60E-08 2.40E-08 2.10E-0815 1.90E-08 1.70E-08 1.60E-08 1.40E-08 1.30E-08 1.10E-08 1.00E-08 9.00E-09 8.00E-09 7.00E-0916 7.00E-09 6.00E-09 5.00E-09 5.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 4.00E-09 3.00E-09 3.00E-09 3.00E-0917 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 2.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-0918 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 1.00E-09 0 0 0 0 0


37

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1 ≤ x ≤ 3.9

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 ∞ 4.0379 3.3547 2.9591 2.6813 2.4679 2.2953 2.1508 2.0269 1.9187 0.1 1.8229 1.7371 1.6595 1.5889 1.5241 1.4645 1.4092 1.3578 1.3098 1.2649 0.2 1.2227 1.1829 1.1454 1.1099 1.0762 1.0443 1.0139 0.9849 0.9573 0.9309 0.3 0.9057 0.8815 0.8583 0.8361 0.8147 0.7942 0.7745 0.7554 0.7371 0.7194 0.4 0.7024 0.6859 0.6700 0.6546 0.6397 0.6253 0.6114 0.5979 0.5848 0.5721 0.5 0.5598 0.5478 0.5362 0.5250 0.5140 0.5034 0.4930 0.4830 0.4732 0.4636 0.6 0.4544 0.4454 0.4366 0.4280 0.4197 0.4115 0.4036 0.3959 0.3883 0.3810 0.7 0.3738 0.3668 0.3599 0.3532 0.3467 0.3403 0.3341 0.3280 0.3221 0.3163 0.8 0.3106 0.3050 0.2996 0.2943 0.2891 0.2840 0.2790 0.2742 0.2694 0.2647 0.9 0.2602 0.2557 0.2513 0.2470 0.2429 0.2387 0.2347 0.2308 0.2269 0.2231 1.0 0.2194 0.2157 0.2122 0.2087 0.2052 0.2019 0.1986 0.1953 0.1922 0.1890 1.1 0.1860 0.1830 0.1801 0.1772 0.1743 0.1716 0.1688 0.1662 0.1635 0.1609 1.2 0.1584 0.1559 0.1535 0.1511 0.1487 0.1464 0.1441 0.1419 0.1397 0.1376 1.3 0.1355 0.1334 0.1313 0.1293 0.1274 0.1254 0.1235 0.1216 0.1198 0.1180 1.4 0.1162 0.1145 0.1128 0.1111 0.1094 0.1078 0.1062 0.1046 0.1030 0.1015 1.5 0.100020 0.098544 0.097093 0.095666 0.094263 0.092882 0.091524 0.090188 0.088874 0.0875801.6 0.086308 0.085057 0.083825 0.082613 0.081421 0.080248 0.079093 0.077957 0.076838 0.0757381.7 0.074655 0.073589 0.072539 0.071506 0.070490 0.069489 0.068503 0.067534 0.066579 0.0656391.8 0.064713 0.063802 0.062905 0.062021 0.061151 0.060295 0.059452 0.058621 0.057803 0.0569981.9 0.056204 0.055423 0.054654 0.053896 0.053150 0.052414 0.051690 0.050977 0.050274 0.0495822.0 0.048900 0.048229 0.047567 0.046915 0.046273 0.045641 0.045017 0.044403 0.043798 0.0432022.1 0.042614 0.042035 0.041465 0.040903 0.040349 0.039803 0.039266 0.038736 0.038213 0.0376982.2 0.037191 0.036691 0.036198 0.035713 0.035234 0.034762 0.034297 0.033839 0.033387 0.0329412.3 0.032502 0.032069 0.031643 0.031222 0.030808 0.030399 0.029996 0.029599 0.029207 0.0288212.4 0.028440 0.028065 0.027695 0.027330 0.026970 0.026616 0.026266 0.025921 0.025581 0.0252462.5 0.024915 0.024589 0.024267 0.023950 0.023638 0.023329 0.023025 0.022725 0.022430 0.0221382.6 0.021850 0.021566 0.021287 0.021011 0.020739 0.020470 0.020205 0.019944 0.019687 0.0194322.7 0.019182 0.018935 0.018691 0.018450 0.018213 0.017979 0.017748 0.017520 0.017296 0.0170742.8 0.016855 0.016640 0.016427 0.016217 0.016010 0.015805 0.015604 0.015405 0.015209 0.0150152.9 0.014824 0.014636 0.014450 0.014266 0.014085 0.013906 0.013730 0.013556 0.013385 0.0132153.0 0.013048 0.012883 0.012721 0.012560 0.012402 0.012246 0.012091 0.011939 0.011789 0.0116413.1 0.011494 0.011350 0.011208 0.011067 0.010928 0.010791 0.010656 0.010523 0.010391 0.0102613.2 0.010133 0.010006 0.009882 0.009758 0.009637 0.009516 0.009398 0.009281 0.009165 0.0090523.3 0.008939 0.008828 0.008718 0.008610 0.008503 0.008398 0.008294 0.008191 0.008090 0.0079903.4 0.007891 0.007793 0.007697 0.007602 0.007508 0.007416 0.007324 0.007234 0.007145 0.0070573.5 0.006970 0.006884 0.006800 0.006716 0.006634 0.006552 0.006472 0.006392 0.006314 0.0062373.6 0.006160 0.006085 0.006010 0.005937 0.005864 0.005793 0.005722 0.005652 0.005583 0.0055153.7 0.005448 0.005381 0.005316 0.005251 0.005187 0.005124 0.005062 0.005000 0.004939 0.0048793.8 0.004820 0.004762 0.004704 0.004647 0.004591 0.004535 0.004480 0.004426 0.004372 0.0043193.9 0.004267 0.004215 0.004165 0.004114 0.004065 0.004016 0.003967 0.003919 0.003872 0.003825


38

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22

t ttD

o

= (1.23)

∂ ∂t t to D=

22

2

1 t w

D D D o D

c rP P Pr r r kt t

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.24)

Para definir to, asuma que 12

=o

wt

ktrcµφ , de donde;

krct wt

o

2µφ= (1.25)

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definición de tD:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

krctt wt

D

2µφ (1.26)

Despejando tD;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

wtD rc

kttµφ

Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23:

22

2 2

1 t w

D D D Dt w

c rP P Pr r r tc rk

k

φ µ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂φ µ

+ =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

1

D D D D

P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = (1.27.a)

Solución para el caso de rata constante;

( )ln /e w

kh PqB r rµ

∆=


39

Nótese que la ecuación anterior es la solución de la ecuación de difusividad para estado estable. Despejando ∆P;

ln e

w

rqBPkh r

µ ⎛ ⎞∆ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Definiendo:

P rrD

e

w

= ln

DqBP P

khµ

∆ =

Esto significa que la caída de presión física en estado estable para flujo radial es igual a la presión adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento. El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones más complejas, pero en este caso la presión adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presión adimensional siempre es función del tiempo adimensional. En general, la presión a cualquier punto en un sistema con pozo único que produce a rata constante, q, está dada por:

[ ( , )] ( , , , geometría,....)i D D D DqBP P r t P t r C

khµ

− =

La presión adimensional es también afectada por la geometría del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, características anisotrópicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

( , ) ( )D D D ikhP r t P P

qBµ= − (1.27.b)

Derivando dos veces;

DkhP P

qB∂ ∂

µ= − (1.28)

2 2

DkhP P

qB∂ ∂

µ= − (1.29)


40

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

2

2

1D D D

D D D D

P P PqB qB qBkh r kh r r kh t

∂ ∂ ∂µ µ µ∂ ∂ ∂

− − = −

2

2

1D D D

D D D D

P P Pr r r t

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ =

Solución para el caso de presión constante:

; 0 1wfD D

i wf

P PP P

P P−

= ≤ ≤−

El procedimiento es similar al caso de rata constante. 1.4.2. Solución de la Integral Exponencial, Ei Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito con rw → 0, r → 0, P → Pi. Defina;

r rrD

w

=

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

= (1.30)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Art

Acktt w

Dt

DA

20002637.0µφ

(1.31)

),( DDDD trPP =

( )141.2D i

khP P Pq Bµ

= − (1.32)

Ejercicio: Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a través de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presión en el pozo después de un mes de producción: Pi = 3225 psia h = 42 pies


41

ko = 1 darcy φ = 25 % µo = 25 cp ct = 6.1x10-6 /psi Bo = 1.32 bbl/BF rw = 6 pulg A = 150 Acres q = 300 BPD

Acktt

tDA µφ

0002637.0=

76.0)6534000)(101.6)(25)(25.0(

)720)(1000)(02637.0(6 =

×= −DAt

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presión adimensional de 12.

( )ppq

khP iD −=βµ2.141

)()25)(32.1)(300)(2.141(

)42)(1000(12 ppi −=

P = 2825 psi.

Fig. 1.13. Geometría del yacimiento

1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1),(2

42

42

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

PD

t DA

1

1

1

1

1

1

1

1

Fig. 1.14.a. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

43

43

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

P D

t DA

1

2

1

2

1

2

1

2

Fig. 1.14.b. Presión adimensional para un un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

44

44

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

P D

t DA

1

2

1

2

1

2

1

4

Fig. 1.14.c. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000

45

45

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0.001 0.01 0.1 1

PD

t DA

1

5

1

4

1

4

1

4

Fig. 1.14.d. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 2000


46

ktrc

trx t

D

D22 948

4µφ

−=−= (1.33)

Si P E xD i= − −12

( ) entonces, se cumple que cuando x < 0.0025

E x xi ( ) ln( . )= 1781 (1.34) E x xi ( ) ln . ln= +1781 E x xi ( ) ln .= + 0 5772 (1.35)

Por definición de PD;

P E xD i= − −12

( )

PrtDD

D

= −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12 4

0 57722

ln .

Pt

rDD

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

40 57722ln .

De la definición de PD;

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . (1.36)

Esta ecuación es válida para tD/rD

2 ≥ 50 ó 100.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+=kt

rcEkh

qpp tii

29486.70 µφµβ (1.37)

Ejercicio: Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: q = 20 BF/D µ = 0.72 cp ct = 1.5x10-5 φ = 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 pies B = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies


47

Calcule la presión del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies después de 0.3 hrs de producción.

22

82.310002637.0

wwtD rrc

ktt ==µφ

Los tiempos adimensionales son: Para 1 pie 31.85, para 10 pies 0.3185 para 100 pies 0.003185. Y el x es, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximación logarítmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 6.572(10)(150)

2993.43

ti i

c rqBp p Ekh kt

p psi

φµµ ⎧ ⎫= + − = −⎨ ⎬

⎩ ⎭=

2948 (20)(1.475)(0.72)70.6 3000 70.6 2.044

(10)(150)2997.96

ti i

c rqBp p Ekh kt

p psi

φµµ ⎧ ⎫= + − = −⎨ ⎬

⎩ ⎭=

1.6. DISTRIBUCION DE PRESION En el punto N, Fig. 1.15, la presión puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solución de la línea fuente como tal, el yacimiento se asume infinito.

Yacimiento infinito, Pi

Pozo

Punto N

Fig. 1.15. Distribución de presión


48

1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) Hay varias formas de cuantificar daño o estimulación en un pozo en operación (productor o inyector). El método más popular es el de representar una condición del pozo mediante una caída de presión en estado estable que ocurre en la cara del pozo, adicional a la caída de presión transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente. La caída de presión adicional, se llama “efecto de daño” y toma lugar en una zona infinitesimalmente delgada: “zona de daño”. ∆P = ∆P depleción + ∆P de daño Algunos factores causantes de daño son: 1. Invasión de los fluidos de perforación 2. Penetración parcial del pozo 1. Completamiento parcial 2. Taponamiento de las perforaciones 3. Precipitación orgánico/Inorgánica 4. Densidad de perforación inadecuada o perforación limitada 5. Crecimiento bacteriano 6. Dispersión de arcillas 7. Presencia de torta y cemento 8. Presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo

141.2i wf Dq BP P P

khµ

− = sin daño

( )141.2i wf Dq BP P P skhµ

− = + (1.38)

141.2 141.2i wf Dq B q BP P P skh khµ µ

− = + (1.39)

141.2sq BP skhµ

∆ =

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de daño tiene un radio finito, rs, con una permeabilidad alterada, ks, la caída de presión debido al daño se expresa como la diferencia de presión existente entre la zona virgen y la zona alterada, es decir:

s alterada en zona danada virgen en zona danadap P P∆ = ∆ − ∆


49

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Radio, pies

Pres

ión,

psi

S>0

S<0

S=0

Pozo

Fig. 1.16. Influencia del daño

141.2 ln 141.2 lns ss

s w w

r rq B q BPk h r kh rµ µ

∆ = −

141.2 1 ln ss

s s w

rq B kPk h k rµ ⎛ ⎞

∆ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Luego:

w

s

s rr

kks ln1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (1.40)

rs, ks son difíciles de obtener, luego de la Ec. 1.3

141.2sq BP skhµ

∆ =

r r es w

s= − Combinando con la Ec. 1.40


50

∆pqkh

kk

rrs

s

s

w

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1412 1. ln

µ β (1.41)

29481141.2

2t w

i wf ic rq BP P E s

kh ktφµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.42)

Aplicando la aproximación logarítmica:

( )1141.2 ln 1.7812i wf

q BP P x skhµ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

29481141.2 ln 1.781

2t w

i wfc rq BP P s


= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

ó;

294870.6 ln 1.781 2t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

21688.4770.6 ln 2t w

i wfc rq BP P s


= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

( )2

70.6 ln 1688.47 ln 2t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2 ln1070.6 7.4315 ln 2

ln10t w

i wfc rq BP P s


= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

puesto que el ln 10 = 2.3025

2ln[ /( )]7.4315 2162.62.3025 ln10 ln10

t wi wf

c r ktq B sP Pkh

φµµ ⎧ ⎫= − + −⎨ ⎬

⎩ ⎭

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦


51

Pwf

Log t

m

khBq

mµ6.162

=

Fig. 1.17. Gráfico semilog Cambiando de signo:

2

162.6 3.2275 log 0.8686t wi wf

c rq BP P skh kt

φµµ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Invirtiendo el logaritmo:

2162.6 log 3.23 0.8686i wft w

q B ktP P skh c rµ

µ⎡ ⎤⎛ ⎞

= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.43)

pendiente semilog 1.8. FLUJO DE GAS Para flujo de gas la presión de fondo puede expresarse como m(p), p2 ó p.

2 22

1637log 3.23 0.886g

wf it w

zTq ktP P skh c rµ

φµ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.44)

-------------- x ------------- q = Mpcn/D T = °R


52

2 2 1637( )( ) g

wf i wf i wf i

zTqP P P P P P x

khµ⎛ ⎞

− = − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2wf iP P

P+

=

1637

2g

wf i

zTq xP Pkh Pµ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

162.6 10.09

2g

wf i

q zTP P xkh P

µ⎛ ⎞ ⎧ ⎫− = − ⎨ ⎬⎜ ⎟⎩ ⎭⎝ ⎠

El término entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente 0.00504 /gB zT P= en bbl/pcn. Resulta:

162.6 g gwf i

qBP P x

khµ⎛ ⎞

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Incluyendo el daño:

2162.6 log 3.23 0.8686wf i g gt w

ktP P q sc r

µ βφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

La ecuación es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito está presente. Sistemas Finitos cerrados En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por un periodo de transición. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, el cual es un régimen de flujo transitorio donde el cambio de presión con el tiempo, dP/dt, es constante en todos los puntos del yacimiento:

p

dP qdt cV

−=

Luego la ecuación de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en:


53

Area de drene

Finito

Fig. 1.18. Sistema cerrado

Pozo

A

B

C

D D

D D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas


54

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

P y

t *

PD

D

D

t D

A B C D

0.E+00

1.E+03

2.E+03

3.E+03

4.E+03

5.E+03

6.E+03

7.E+03

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11

P D

t D

A B C

D

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 1.E+07 2.E+07 3.E+07 4.E+07 5.E+07 6.E+07 7.E+07 8.E+07 9.E+07 1.E+08

D

P D

t D

CB

A

a) Derivada

b) Semilog

c) Cartesiano

Fig. 1.20. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento cerrado


55

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

P y

t *

PD

D

D

t D

A B C D

0.E+00

1.E+01

2.E+01

3.E+01

4.E+01

5.E+01

0.E+00 5.E+06 1.E+07 2.E+07 2.E+07 3.E+07 3.E+07 4.E+07 4.E+07 5.E+07 5.E+07

DDB

A

P D

t D

0.E+00

5.E+00

1.E+01

2.E+01

2.E+01

3.E+01

3.E+01

4.E+01

4.E+01

5.E+01

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

DCB

B

P D

t D

Fig. 1.21. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento abierto


56

1

p

P c qr cter r r k cV

φ µ∂ ∂⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma errónea como flujo estable, aunque el verdadero estado estable la presión es constante con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo productor en el centro de un yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porción marcada con A denota los efectos de almacenamiento y daño en el pozo. Debido a ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa más tarde como lo señala la zona demarcada como B. Esta zona se llama también zona de comportamiento infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema infinito. Obsérvese que pudiera existir una zona de transición entre los periodos A y B pero aquí no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona de transición demarcada como C para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que corresponde a la demarcación D, en donde la presión cambia linealmente con el tiempo. La representación de dichos regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no tiende a infinito. Para este tipo de yacimientos la solución de la ecuación exponencial es diferente de la solución Ei. Si se asume que el pozo es una línea fuente, entonces:

22

02 2

1 0

( )3( , ) 2 ln 22 4 ( )

n Dtn DDD D D D D

n n n

J rrP r t t r eJ

βββ β

∞−

=

= + − − − ∑

r rreD

e

w

=

0.0002637

Dt

kttc Aφ µ

=

αn es la raíz de:

( ) 021 =enrJ α

n n erβ α=

La solución de la ecuación de difusividad en forma adimensional está dada por:

2

1 1 2.54582 ln ln2 2D DA

w A

AP tr C

π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠


57

Nótese que si en la ecuación anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos últimos términos de la ecuación se transforman en la solución familiar ln(re/rw)-3/4. Una característica importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presión con respecto al tiempo es una constante, es decir, dPD/dtDA = 2π . Sistemas Finitos Abiertos o de presión constante Cuando en cualquier punto del yacimiento la presión no varía con el tiempo, se dice que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero: 1 0Prr r r

∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Las funciones adimensionales de presión para flujo lineal y radial son, respectivamente:

( ) 2D ssLLhPA

π=

( ) ln eD ssr

w

rPr

=

Y la solución de la ecuación de difusividad será:

( )0.00708 ( )

ln /e w

e w

kh P PqB r rµ

−=

que es la forma radial de la ecuación de Darcy. En los yacimientos, el estado estable puede ocurrir solamente cuando el yacimiento está completamente recargado por un acuífero o cuando la inyección y la producción se encuentran balanceadas. Sin embargo, un yacimiento que posee un acuífero muy activo no siempre actuará bajo estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se seguirá por el estado estable una vez la caída de presión haya tocado las fronteras del yacimiento. La representación de los regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La extracción de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona una perturbación de presión. Aunque se espera que dicha perturbación viaje a la velocidad del sonido, ésta se atenúa rápidamente de modo que para una duración dada de tiempo de producción existe una distancia, el radio de drenaje, más allá del cual no se observarán cambios sustanciales de presión. A medida que se extrae más fluido (o se inyecta) la perturbación se mueve más dentro del yacimiento con continua declinación de presión en todos los puntos que han experimentado declinación de


58

presión. Una vez se encuentra una frontera la presión en la frontera continúa declinando pero a una rata más rápida que cuando la frontera no se había detectado. Por otro lado si el transiente de presión alcanza una frontera abierta (empuje de agua) la presión se mantiene constante en algún punto, las presiones más cercanas al pozo declinarán más despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Cambios de caudal o pozos adicionales causan transientes de presión adicionales que afectan tanto la declinación de presión como la distribución de la misma. Cada pozo establecerá un área de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una frontera de flujo o no, el gradiente de presión –no el nivel de presión- tiende a estabilizarse después de tiempo de producción suficientemente largo. Para el caso de frontera cerrada, la presión alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de presión constante y una declinación de presión general en todo punto y que es lineal con el tiempo. Para yacimientos de presión constante, se obtiene el estado estable, tanto la presión como su gradiente permanecen constantes con el tiempo. EJEMPLO Un pozo sencillo en un yacimiento está produciendo un caudal constante de petróleo de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son: µ = 1.3 cp ct = 1.62x10-5 psi-1 φ = 18 % Pi = 2800 psia re = 3500 ft rw = 0.3 ft B = 1.25 bbl/STB h = 80 ft k = 75 md s =1.5 a) Halle la presión del pozo fluyendo después de un mes de producción. b) Determien la presión del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft

para el mismo tiempo de producción. Graficar el perfil de presión. SOLUCION a) El tiempo adimensional es obtenido mediante;

2 5 2

0.0002637 0.0002637(75)(720) 41737891.7(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3)D

t w

kttc rφ µ −= = =

×

Note que la relación tD/rD

2 es mucho mayor que 70, entonces la aproximación logarítmica de Ei puede ser usada:

[ ] [ ] 3559.1880907.07.41737891ln80907.0ln 2 =+=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

D

D

rt

xEi


59

Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de la tabla 1.3 ó de la Fig. 1.10. Estime el valor de x, mediante:

2 5 29948 948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(0.3) 5.9895 10

75(30)(24)tc rx

ktφ µ −

−×= = = ×

Entonces, Ei se evalúa usando la tabla 1.3 Ei = 18.356. Este valor anterior coincide muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presión de pozo fluyendo se estima usando la Ec. 1.43:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

×−= − )5.1(8686.023.3

)1)(1062.1)(3.1)(18.0()720)(75(log

)80)(75()25.1)(3.1)(110(6.1622800 25wfP

Pwf = 2755.3 psi La Ec. 1.43 está limitada por el valor de tD/rD

2. Si este fuera el caso, otra manera de representar la Ec. 1.34 es:

)(6.70),( xEikh

BqPtrP i −−=µ (1.45)

Reemplazando los parámetros conocidos en la ecuación anterior:

70.6(110)(1.3)(1.25)( , ) 2800 18.356 2755.1 psi(75)(80)

P r t = − =

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b;

Tabla 1.4. Distribución de presión

Radio, ft x Ei(-x) ∆p, psi P, psia 0.3 5.99x10-9 18.356 44.92 2755.1 1 6.66 x10-8 15.948 33.54 2766.5 2 2.66 x10-7 14.561 30.62 2769.4 5 1.66 x10-6 12.729 26.77 2773.2

10 6.65 x10-6 11.342 23.85 2776.2 20 2.66 x10-5 9.956 20.94 2779.1

100 6.65 x10-4 6.738 14.17 2785.8 1000 6.65 x10-5 2.198 4.623 2795.4


60

2750

2760

2770

2780

2790

2800

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Radio, pie

Pre

sión

, psi

Fig. 1.22. Distribución de presión en el yacimiento

5 28948(0.18)(1.3)(1.62 10 )(1) 6.655 10

75 (30 24)x

−−×

= = ×× ×

Ei se obtiene de la tabla 1.3, Ei = 5.948. La presión se estima con la Ec. 1.45:

psitrP 5.2766948.15)80)(75(

)25.1)(3.1)(110(6.702800),( =−=

Los valores de presión para los demás radios son reportados en la tabla 1.4 y graficados en la Fig. 1.22. Se observa en la gráfica que las mayores caídas de presión tienen lugar en la región cercana a la cara del pozo, como se esperaba. 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN 1.9.1. Deducción de la Derivada de la Presión

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1,2

Derivando respecto a tD:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆

−=∆∆

D

Di

DD

D

trE

ttp

421 2

(1.46)


61

Puesto que,

( ) ∫∞ −

−=−x

u

i duu

exE

Aplicando este concepto:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∆−

∆∆

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆

∫∞ −

D

D

t

r

u

DD

Di

D

uu

ett

rEt 4

2

24

∞

∆∆

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

∆∆ −

D

D

tr

D

u

D

Di

D tu

ue

tr

Et

4

2

2

4

Tomando la derivada ∆v/∆tD y remplazando v por rD

2/4tD:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆ −

2

2

2

4/2

44

4

2

D

D

D

D

tr

D

Di

D tr

tr

etrE

t

DD

( )DD tr

DD

Di

D

ett

rEt

4/2

214

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆ (1.47)

Combinando (1.37) y (1.38)

( )DD tr

DD

D ett

p 4/2121 −−=

∆∆ (1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que:

D

D

tr

DD

D ett

p 4

2

121 −

−=∂∂ (1.49)

El anterior concepto fue introducido por Tiab en 1975. 1.9.2. Conversión de la Ecuación de Derivada de Presión a Unidades de Campo Tomando la Ec. 1.49


62

DD tr

DD

D ett

p 4/2

21 −−=

∆∆

Puesto que,

2000264.0

wtD rc

kttφµ

= (1.50)

( )

µβqPPkh

P wfiD 2.141

−= (1.51)

Las Ecs. 1.50 y 1.51 están expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t.

2

000264.0

wt

D

rck

tt

φµ=

∆∆ (1.52)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆−=

∆∆

tP

qkh

tp wfD

µβ2.141 (1.53)

Puesto que se puede escribir:

tttP

tp

D

D

D

D

∆∆∆∆

=∆∆

// (1.54)

Aplicando el concepto de la Ec. 1.54

( ) tP

kqctrkh

tP wfw

D

D

∆

∆−=

∆∆

000264.02.141

2

µβφµ (1.55)

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendo rD y tD

( ) ( )( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∆

∆− ktrrcr

wtwfwtwt

ekt

rct

Pkq

rckh 000264.04/22

2

22

000264.02000264.02.141

φµφµ

µβφµ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∆

∆− ktrc

wft

ett

Pq

kh2948

21

2.141

φµ

µβ


63

Simplificando

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=∆

∆ ktrc

wft

ekht

qt

P2948

6.70φµ

βµ (1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo

∂∂

Pt

Pt

eD

DD

D

rtD

D= =−

' 12

2

4 (1.57)

En el pozo, rD = 1, luego:

Dt

DD e

tP 4

1

21'

−

= (1.58)

Para tD > 250, 1/ 4 1Dte− = , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

DD t

P21'= (1.59)

Tomando logaritmo a ambos lados:

2loglog1log'log −−= DD tP

301.0log'log −−= DD tP (1.60) Lo que indica que la gráfica log-log de PD’ contra tD da una línea recta de pendiente unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se convierten:

1 70.6' wfwf

P q BPt t kh

∂ µ∂

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.61)

ó;

70.6log ' log logwfq BP t

khµ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.62)


64

log

Pwf '

Log t

khBqPhr

µ6.701 =

1 hr

P1hr

Fig. 1.23. Gráfico log-log de Pwf’ vs. t

m = -1

m = -1

log

P ' D

log t D

Falla simple

Fig. 1.24. Identificación de fallas mediante gráfico log-log de PD’ vs. tD


65

m

2m

log

PD

log t D

Falla simple

Fig. 1.25. Identificación de fallas mediante gráfico de PD vs. log tD Con efectos de almacenamiento (WBS) y daño la línea no da recta. Con P’1hr se puede hallar k ó kh por medio de la Ec. 1.63.

1' 70.6hrqP

khµ β

= (1.63)

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA

1.10.1. Diferencia Finita Central Calcular la derivada de la Presión requiere de algún cuidado, debido a que el proceso de diferenciación de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente. Una diferenciación numérica usando puntos adyacentes producirá una derivada muy ruidosa.

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−∆−

−−−

∆+−+

−−∆−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

111

11

11

11

111

11 2

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iiii

i ttttPtt

ttttPttt

ttttPttt

tPt


66

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎪

⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∆

−∆

+∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

111

11

11

211

111

11

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln

iiii

iii

iiii

iiii

iiii

iii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt (1.64)

1.10.2. Ecuación de Horne Cuando los datos están distribuidos en una progresión geométrica (con la diferencia de tiempo de un punto al siguiente muchos más grande a medida que pasa la prueba), entonces el ruido en la derivada puede reducirse usando una diferenciación numérica con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor método para reducir el ruido es usar datos que están separado por lo menos 0.2 de un ciclo logarítmico, en vez de puntos que están inmediatamente adyacentes. Por lo tanto:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∆

−∆

+∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+−

−+

−+

−+

−++

+−

kijikii

iiji

iiii

iikiji

kijiiji

jikii

ii

ttttPtt

ttttPttt

ttttPtt

tPt

tPt

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

/ln/ln/ln

ln 1

11

2

(1.65)

2.0lnln ≥−+ iji tt

2.0lnln ≥− −kii tt

1.10.3. Ecuación de Bourdet y colaboradores

Este algoritmo de diferenciación reproduce la curva tipo de la prueba sobre el intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto después del punto de interés, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el punto considerado.

( ) ( )

11

11

11

1

1

−+

−+

++

−

−

−

−−−

+−−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ii

iiii

iiii

ii

ii

i XX

XXXXPPXX

XXPP

dxdP (1.66)

Siendo X el logaritmo natural de la función de tiempo .


67

L L

(t , X )1 1

(t , X )2 2

Fig. 1.26. Ilustración del suavizamiento 1.10.4. Ecuación de Clark y Van Golf-Racht Clark y van Golf-Racht utilizan el método de Bourdet y escriben éste en términos de ∆P y ∆t, generando una función que utiliza una sola diferencia progresiva.

1 22 1

1 2

1 2

X Xt tt tdX

dt t t

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠=+

(1.67)

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logarítmica aplicada. 1.10.5. Ecuación de Simmons La rata de flujo se calcula por diferenciación numérica de la longitud de la columna de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisión de los cálculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de diferencias finitas han sido derivadas de la expansión de las series de Taylor sin el requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a tiempos tardíos cuando la presión es relativamente constante. Para el cálculo del caudal inicial una diferencia finita progresiva es requerida. Defina: ∆ti = ti+1 – ti. La diferencia finita central:

)()(

122

1

122

12

12

1

−−

−−+−

∆∆+∆∆∆−∆−∆+∆

=iiii

iiiiiii

ttttXtXttXt

dtdX (1.68)

Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:


68

)(/)(

)()(1

12

1

212

21

2

21

++

++++

∆+∆−∆∆+∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆−

=iiiii

iii

iii

i

ii

ttttt

XXt

ttXt

tt

dtdX (1.69)

La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisión del cálculo de la derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusión de más puntos de datos en la aproximación. Para el último punto, la diferencia finita regresiva es:

12

2121

2121

221

21

221

/)()(

)()(1

−−−−−

−−−

−−

−

−−

∆∆+∆−∆+∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆−

=iiiii

iii

iii

i

ii

ttttt

XXt

ttXt

tt

dtdX (1.70)

El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presión vs. tiempo por ser más efectivo y con mínimos errores promedios. Es el único algoritmo de carácter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier proceso de derivación y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado. El algoritmo de Simons es de carácter polinomial de segundo grado. Pero escrito en términos de Presión y Tiempo, por lo que resulta impráctico el suavizamiento al tiempo que se realizan los cálculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como el de Simons, el de 2º grado, el de 3er grado regresivo o el de 3er grado progresivo por ser de carácter discreto, no deben ser suavizados después de un proceso de derivación. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L = 0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivación. El mejor procedimiento para análisis de datos de presión vs. tiempo, es el de derivar y luego suavizar los datos.

0.1

1

10

100

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PD

t *P 'D D

P ,

t *P

'D

D

D

t D

Fig. 1.27. La función derivada de presión analítica para un yacimiento homogéneo e infinito


69

0.01

0.1

1

10

100

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

P ,

t *P

'D

D

D

t D

Fig. 1.28. La función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons,

Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN “Adicionando soluciones a la ecuación diferencial lineal resultará en una nueva solución de esa ecuación diferencial pero para diferentes condiciones de frontera”. ψ ψ ψ ψ= + +1 1 2 2 3 31f f f 1.11.1. Superposición en Espacio De acuerdo con la Fig. 1.29, la caída de presión en el punto N, será:

,1 ,2N N NP P P∆ = ∆ + ∆ (1.71) Se sabe que;

( )141.2D i

khP P Pqµ β

= −


70

Yacimiento infinito, Pi

Pozo 1q1

Punto N

r1

Pozo 2q2

r2

Fig. 1.29. Presión en el punto N

141.2 ( , )i D D Dq BP P P P r t

khµ

− = ∆ = (1.72)

P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene:

( ) ( )1 21 2

141.2 ( , ) ( , )N o D D D o D D DP qB P r t qB P r tkh

µ ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (1.73)

wD r

rr 11 =

2

2Dw

rrr

=

Extendido a n número de pozos:

( ) ( )1 21 2

141.2 ( , ) ( , )N o D D D o D D DP qB P r t qB P r tkh

µ ⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦ (1.74)

[ ]1

141.2 ( , )n

N D Di Di

q BP P r tkh

µ=

∆ = ∑

Si N es un pozo de observación (activo), entonces, en el pozo:


71

[ ]141.2w D

q BP P skh

µ∆ = + (1.75)

Luego finalmente resulta;

[ ]1

141.2 141.2( , )n

N D DNi D Ni

q B q BP P r t skh kh

µ µ=

∆ = +∑ (1.76)

↓ Incluye N

rrrDNi

w

= 1

Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones adimensionales y no presiones. Si el punto de interés es un pozo en operación, el factor de daño debe adicionarse a la presión adimensional de ese pozo únicamente. 1.11.2. Superposición en Tiempo Algunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Fig. 1.30 y Fig. 1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposición. Para ello, un único pozo se visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un período de tiempo t - t2. El cambio en la presión en el pozo debido al cambio de rata es:

[ ]1 1 2 1 2141.2 ( , ) ( ) ( , )D D D D D D

BP q P r t q q P r t skh

µ∆ = + − + (1.77)

Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen más variaciones en caudal:

( ) ( ) ( )11

141.2 ( , ( ) )n

D D i Di ii

P qB qB P r t t skh

µ−

=

⎡ ⎤∆ = − − +⎣ ⎦∑ (1.78)

Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en producción. k = 76 md φ = 20 % B = 1.08 bbl/BF pi = 2200 psi µ = 1 cp ct = 10x10-6/psi h = 20 pies Calcule la presión en el pozo 1 después de 7 hrs de producción y en el pozo 2 después de 11 hrs de producción. Asuma comportamiento infinito.


72

t1

Cau

dal

Tiempo

q1

q2

t2

Fig. 1.30. Superposición en tiempo

100

50

Pozo 1100 pies

Pozo 2

25

100

10 8

Cau

dal,

BPD

Cau

dal,

BPD

Tiempo, hrs Tiempo, hrs

s=5rw = 1 pie

s=1.7rw = 1 pie

Fig. 1.31. Superposición en tiempo

∆P(7 hr)= ∆P causado por + ∆P causado por el flujo del pozo 1 el flujo del pozo 2

( )2

1 27 , 1

141.2 141.2 100( 1, ) ( , )1Dhr r D D D D D D

q B q BP P r t s P r tkh kh

µ µ=

⎛ ⎞∆ = = + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 6 2

0.0002637 0.0002637(76) 10020(0.2)(10 10 )1D

t w

kt tt tc rφ µ −= = =

×

En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, x = 70140 > 100, luego:


73

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . =5.98

En el pozo 2, tD = 10020t/1002 = 7.014. De la 1.9.a ó 1.9.b (referencia 6) PD = 1.4. Calculando ∆P en el pozo 1, resulta:

( ) ( )7 , 1141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1)5.98 5 1.4 113.7

(76)(20) (76)(20)Dhr rP =∆ = + + =

Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psi PARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presión en el pozo 2. Se deben considerar dos ratas en cada pozo:

(11 , 1) 1 1

2 2

0.1(100) ( , 11 , 100) 0.1(50 100) ( , 11 10 , 100)

0.1(25) ( , 11 , 1 ) 0.1(100 25) ( , 11 8 , 1 )Dhr r D pozo D D pozo D

D pozo D D pozo D

P P t hr r P t hr r

P t hr r s P t hr r s=∆ = = = + − = − =

+ = = + + − = − = +

Para el pozo 1 tD = (10020/1002)(11) = 11 PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10 tD = (10020/1002)(1) = 1 PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6) Para el pozo 2 tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la fórmula da PD = 6.21 tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la fórmula PD = 5.56. Colocando ∆P en el pozo 2 se tiene:

(11 , 1) 0.1(100)(1.61) 0.1( 50)(0.522) 0.1(25)(6.21 1.7)

0.1(75)(5.56 1.7) 87.72Dhr rP =∆ = + − + + +

+ =

Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO 1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla Sellante De acuerdo con la Fig. 1.32, la caída de presión en el pozo activo es; P P PDW DR DI= + (1.79)


74

Falla sellante =d 2d

Pozo Productor

Pozo Productor

Pozo Productor(Imagen)

SISTEMA REAL SISTEMA MODELADO

Fig. 1.32. Pozo único cerca a una falla sellante

P EtDR i

D

= − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

14

(1.80)

P ErtDI iD

D

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

12 4

2

(1.81)

r drDI

w

=2

Se asume s = 0, WBS = 0. 1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Línea de Presión Constante (empuje de agua)

d

Pozo Productor

Presión constante

= 2d

Pozo Inyector(Imagen)

Pozo Productor

SISTEMA REAL SISTEMA MODELADO

Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo

Este sistema, matemáticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber más de un pozo por cuadrante.


75

npozos =360θ

1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se Interceptan yD = by/bx

Este sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.34. EJEMPLO El pozo A en la Fig. 1.35 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea estimar su presión fluyendo después de una semana de producción. Las propiedades del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes: s = -5 Pi = 2500 psi B = 1.3 bbl/STB µ = 0.87 cp h = 40 ft ct = 15x10-6 /psi φ = 18 % rw = 6 in k = 220 md Cual será la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción? Cual sería la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción si el pozo estuviera en un yacimiento infinito? SOLUCION La caída de presión en el pozo A está afectada por su propia caída de presión y la caída de presión causada por sus pozos imágenes. La distancia del pozo A a sus pozos imaginarios se muestran en la Fig. 1.36. La caída de presión total para el pozo A es:

ftrimageftrimageftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPPPP 500,5866,41000,3866,2500,1, ====== ∆+∆+∆+∆+∆+∆=∆

Por simetría la expresión anterior se convierte en:

ftrimageftrimageftrimagerwrAA PPPPP 1000,3866,2500,1, 22 ==== ∆+∆+∆+∆=∆ El parámetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.

433.17,105.1)168)(220(

)5.0)(105.1)(87.0)(18.0(948 825

==×

= −−

iAwell Exx

633.3,015.0)168)(220(

)500)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

51 ==×

=−

iorwellimage Ex


76

by

bx

=

2bx

2by

Pozo real

Pozo imagen Pozo imagen

Pozo imagen

Fig. 1.34. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan

60°

Pozo A

500 ft

YD=1

500 ft

Fig. 1.35. Localización del pozo A (método de las imágenes)

Pozo A

500 ft

500 ft

1000 ft

500 ft

866 ft

866

ft

ImagenPozo 1

ImagenPozo 2

ImagenPozo 3

ImagenPozo 4

ImagenPozo 5

Figure 1.36. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por

dos fallas de intersección las cuales forman un ángulo de 60°


77

564.2,0452.0)168)(220(

)866)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

42 ==×

=−

iorwellimage Ex

291.2,06.0)168)(220(

)1000)(105.1)(87.0)(18.0(948 25

3 ==×

=−

iwellimage Ex

Entonces, la caída de presión en A resultará:

[ ]ftrimageiftrimageiftrimageirwrAiA EEEsEkh

Bqp 1000,3866,2500,1, 2226.70 ==== +++−=∆µ

[ ] psiPA 3.76291.2)564.2(2)633.3(210433.17)40)(220(

)3.1)(87.0)(380(6.70 =+++−=∆

La presión fluyendo en el pozo A es: Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psi Si el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribución de la no caída de presión sería obtenida de los pozos imaginarios, entonces:

,70.6 2A i A r rwq BP E s

khµ

=⎡ ⎤∆ = +⎣ ⎦

[ ] psiPA 63.2510434.17)40)(220(

)3.1)(87.0)(380(6.70 =−=∆

La presión fluyendo del pozo entonces sería de 2474.4 psi. Se observó que las fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de caída de presión total en el pozo A.


78

2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN

Estas pruebas se efectuan con el fin de obtener: • Permeabilidad promedia en el área de drene del pozo • Volumen poroso del yacimiento • Determinar heterogeneidades (en el área de drene) Lo que directamente se obtiene es: • Transmisibilidad • Volumen poroso por compresibilidad total Como se hace una prueba de declinación de presión • Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la

estabilización en todo el yacimiento (sino hay estabilización probablemente se requiera una prueba multitasa).

• Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones (Mínimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad de los datos).

• Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf. La duración de una prueba de declinación puede ser unas pocas horas o varios días, dependiendo de los objetivos de la prueba y las características de la formación. Pruebas de declinación extensas o pruebas límite (reservoir limit tests, RLT) se corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros objetivos son: Hallar k, s, WBS, φ, forma del yacimiento y tamaño del yacimiento. Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presión estática del yacimiento antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo es difícil o impráctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de pruebas se analizan mediante pruebas multitasa. 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) Es el flujo continuado de la formación hacia el pozo después de que el pozo ha sido cerrado para estabilización. Se le denomina también postflujo, postproducción, postinyección, carga o descarga. En pruebas de declinación ocurre descarga (unloading). El flujo ocurre por la expansión de fluidos en el pozo. En pruebas de restauración de presión ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior.


79

q

t

flujo en la caradel pozo

Caudal encabeza

q

t

flujo en la caradel pozo

Caudal encabeza

RESTAURACION DECLINACION

Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauración y caída de presión

q /

qsf

1

0

C1

C2

C3

tD

Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C1 Las pruebas tradicionales de presión tuvieron que ser lo suficientemente largas para sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y daño de modo que se pudiera obtner una línea recta indicando el comportamiento del flujo radial. Incluso esta aproximación presenta desventajas ya que más de una línea aparente puede aparecer y los analistas tienen problemas decidiendo cual línea usar. Aunado a ello, la escala del gráfico podría evidenciar ciertas respuestas de presión como rectas cuando en realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el método de las curvas tipo. Existe flujo en la cara el pozo después del cierre en superficie. El almacenamiento afecta el comportamiento del transiente de presión a tiempos tempranos. Matemáticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presión de fondo:


80

VCP

∆=

∆

El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie más despacio que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relación qsf/q cuando se cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0 la relación qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor será la transición. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos severos, la formación empieza a influenciar más y más la presión de fondo hasta que se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de presión que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este análisis es tedioso, a no ser que se utilice la técnica denominada Tiab’s Direct Síntesis Technique que se presentará más adelante en esta unidad. Normalmente, q es controlada en superficie (a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata transmisión de la perturbación desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo.

wb wbC C V= 144uC V

ρ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

JUSTO DESPUESDEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUESDEL CIERRE, P < 0

Fig. 2.2. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado


81

0.01

0.1

1

10

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

y t

D*P

D'

tD

Ci = 0.01 bbl/psiCi = 0.05 bbl/psis = 0

Fig. 2.3. Presión y derivada de presión para un pozo con incremento del almacenamiento

0

2

4

6

8

10

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

tD

Ci = 0.01 bbl/psiCi = 0.05 bbl/psis = 0

Fig. 2.4. Gráfico semilo para un pozo con almacenamiento incremental

El almacenamiento puede cambiar durante una prueba de presión tanto en pozos inyectores como productores. Varias circustancias causan cambios en el almacenamiento, tales como redistribución de fases e incremento o decremento del almacenamiento asociado con pruebas de presión en pozos inyectores. En pozos inyectores, una vez se cierra el pozo, la presión en superficie es alta pero podría decrecer a la presión atmosférica e ir al vacío si la presión estática es inferior a la presión hidrostática. Esto causa incremento del almacenamiento (hasta 100 veces) de un sistema incompresible a uno de un sistema donde el nivel de líquido cae. Ver Fig. 2.2. El comportamiento de la presión y la derivada se muestran en las Figs. 2.3 y 2.4. La situación inversa ocurre en pozos inyectores con un alto nivel de aumento del nivel de almacenamiento en el líquido y en productores con alto GOR o por


82

redisolución del gas libre. La Fig. 2.5 muestra un pozo produciendo bajo bombeo con empaque. Mientras se bombea el nivel del pozo se mantiene por debajo del empaque, pero se incrementa cuando se cierra el pozo debido a que el gas en el pozo se redisuelve o se comprime. Cuando el nivel de líquido alcanza el empaque (existirá una pequeña cantidad de gas), el almacenamiento caerá de un valor relativamente alto para aquel de un nivel de líquido incremental a un valor relativamente pequeño para la situación de compresión controlada. Puede verse en las Figs. 2.6 a 2.8 anteriores que tanto para aumento o decremento del almacenamiento, el segundo coeficiente de almacenamiento determina el comienzo de la línea recta semilogarítmica. Ver los comportamientos de presión en las Figs. 2.6, 2.7 y 2.8. Si existe gas por encima del nivel de líquido, su compresibilidad debe considerarse para estimar el almacenamiento. Para estos casos es mejor utilizar la ecuación de la definición. Cuando la relación entre ∆V y ∆P no cambia durante la prueba, el coeficiente de almacenamiento es constante y puede estimarse de datos de Completamiento. Para un nivel de fluido variable:

JUSTO DESPUESDEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUESDEL CIERRE, P < 0

wb wbC C V=144uC V

ρ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Fig. 2.5. Decremento del coeficiente de almacenamiento para un pozo bajo bombeo

con empaque

0.1

1

10

100

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

y t

D*P

D'

tD

Ci = 0.08 bbl/psiCi = 0.032 bbl/psi


83

Fig. 2.6. Presión y derivada de presión para un pozo con decremento del almacenamiento

0

4

8

12

16

20

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

tD


Fig. 2.7. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental

0.1

1

10

100

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P D

y t

D*P

D'

tD


Fig. 2.8. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental más acentuado

C Vu=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

144ρ

Vu volumen del wellbore/unidad de longitud, bbl/pie ρ densidad del fluido en el wellbore, lbm/pie3 C Coeficiente de almacenamiento, bbl/psi Para pozos inyectores o pozos completamente llenos de fluidos:


84

wb wbC C V= Cwb Compresibilidad del fluido en el wellbore = 1/Pwb Vwb Volumen total del pozo

2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE Al abrir el pozo, ver Fig. 2.9, la producción de petróleo será dada por el fluido que está almacenado en éste (pozo), qsf = 0. A medida que transcurre el tiempo, qsf tiende a q y el almacenamiento se desprecia y la cantidad de líquido en el pozo será constante. La acumulación líquida será (asumiendo B constante): v A Zwb wb= ( ) ,

la rata de flujo es entonces dv

dtA dZ

dtwb

wb=

Awb

qsf pw

z

qpt

Fig. 2.9. Representación esquemática del almacenamiento

24( )5.615

wbsf wb

dv dZq q B Adt dt

= − = (2.1)

qsf y q están dados en BF/D. Puesto que Pw – Pt = ρZ/144 (asumiendo g/gc = 1). Siendo ρ la densidad del fluido en lbm/pie3 y Pt es la presión en superficie. Derivando;


85

( )144w t

d dZP Pdt dt

ρ− = (2.2)

Combinando las Ecs. 2.1 y 2.2, resulta:

( )24(144)( )5.615

wb w tsf o

A d P Pq qdt

βρ

−− =

Defina C como;

CAwb=

1445 615. ρ

(2.3)

Asumiendo Pt constante, reemplazando C y despejando qsf:

24 wsf

dPCq qB dt

= + (2.4)

141.2

w i Dq BP P P

khµ

= − (2.5)

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

=

de donde:

k

trct Dwt

0002637.0

2µφ= (2.6)

La derivada de la Ec. 2.6 es:

Dwt dt

krcdt

0002637.0

2µφ= (2.7)

Derivando Pw Ec. 2.5 con respecto a t:

141.2w DdP dPq Bdt kh dt

µ= − (2.8)


86

Reemplazando dt de la Ec. 2.7 en la Ec. 2.8:

2141.2

0.0002637

w D

t wD

dP dPq Bc rdt kh dt

k

µφ µ

= −

2

0.0373w D

t w D

dP dPqBdt h c r dtφ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.9)

Combinando las Ecs. (2.4) y (2.9)

2

0.894 wDsf

t w D

dPqCq qc hr dtφ

= −

2

894.0

wtD hrc

CCφ

= (2.10)

wD

sf DD

dPq q C qdt

= − (2.11)

1sf wDD

D

q dPCq dt

= − (2.12)

Si CD = 0 entonces, qsf = q. Las principales ventajas de usar cierre en fondo de pozo es la minimización de los efectos de almacenamiento y duración del postflujo. Cuando la válvula de cierre en fondo es accionada, el flujo hacia arriba dentro del pozo se interrumpe. Entretanto el flujo continua entrando a la cámara a una rata que declina exponencialmente. 2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY De acuerdo con la Fig. 2.10 se observa que a tiempos iniciales qsf = 0. Luego, qsf/q = 0, por tanto la Ec. 2.12 se convierte en:

1 0− =CdpdtD

wD

D (2.13)

Separando variables;


87

0 0

wD DP t

D wD DC dP dt=∫ ∫

Integrando:

D wD DC P t= (2.14) Tomando logaritmo a ambos lados: log log logwD D DP t C= − Claramente se observa que la pendiente es uno. Luego en cualquier oportunidad que se grafique PD vs. tD y al comienzo da una recta con pendiente unitaria, lo que es una buena indicación que existe almacenamiento. De la Ec. 2.14;

/D D wDC t P= Si se sustituyen los valores de CD, tD y PwD, se obtendrá:

24qB tC

P=

∆ (2.15)

Esta última ecuación sirve para determinar C a partir de datos de P vs. t reales en una prueba de declinación de presión. Al graficar, se toma un punto cualquiera sobre la recta de pendiente 1 y se calcula C mediante:

24 ( )N

i wf N

tqBCP P

=− (2.16)

C obtenido por la Ecs. 2.15 ó 2.16 debe coincidir con el valor obtenido de C = 144Vu/ρ. En caso contrario, podría haber una indicación de que el líquido está cayéndose o elevándose. Las razones más comúnmente atribuidas son alta relación gas-petróleo en el pozo, pozos altamente estimulados, empaques con escapes o espacios en las conexiones con el pozo (causados por colapso de la formación o mala cementación) y pozos usados para inyección de fluidos viscosos. En conclusión, las propiedades de las curvas tipo de Ramey permiten identificar (a) una pendiente unitaria que indica el almacenamiento, y (b) el desvanecimiento de los efectos de almacenamiento.

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

CD=0

CD=100

CD=1000CD=10000 CD=100000

s 2010 5 0 -5

PD

tD

Fig. 2.10. Presión adimensional para un pozo en un yacimiento infinito (almacenamiento y daño)

89

89

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

CD e2s

10101010101010101010101010101010

30

25

20

1614

12

10

9

8

7

6

5

4

3

2

,/

kh t md ft hrC cp bbl psiµ∆ −

24p Ct qB

∆∆

Fig. 2.11. Curva tipo para pozo en yacimiento infinito con almacenamiento y daño


90

2.3.1. Ajuste por Curvas Tipo de Ramey, Procedimiento Al igual que Tiab´s Direct Synthesis Technique, que se verá más adelante en esta unidad, el ajuste por curvas tipo es el único procedimiento que puede aplicarse en pruebas cortas donde no se ha desarrollado el flujo radial (línea semilog). Sin embargo, el ajuste por curvas tipo es riesgoso por ser una técnica basada en ensayo y error, pero puede proporcionar resultados aproximados incluso cuando los métodos convencionales fallan. Un error en un milímetro puede causar diferencias de presión de hasta 200 psi. El procedimiento es el siguiente: 1) Grafique ∆P vs. t (field data plot, fdp) en papel logarítmico usando la misma

escala de la curva maestra dada en la Fig. 2.10. 2) Coloque el fdp sobre la curva maestra de modo que los ejes sean paralelos. 3) Obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la curva tipo. Ver Fig. 2.12. 4) Escoja un punto de ajuste conveniente y lea las coordenadas correspondientes

∆PM, tM, PDM, tDM, y CDM. 5) Calcule k

141.2 DM

M

Pq Bkh Pµ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (2.17)

6) Estime la porosidad

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

t D

∆t, hr

∆P, p

si

Fig. 2.12. Ajustando datos de presión a la curva tipo


91

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DM

M

wt tt

rck

2

0002637.0µ

φ (2.18)

7) Estime el almacenamiento

DMwt CrhcC

8936.0

2φ= (2.19)

2.3.2. Método de Earlougher 1) Grafique ∆P/t vs. t y ajuste con la Fig. 2.11. Escoja cualquier punto conveniente y lea:

2 24( ) , , , ,sD M M

MMM

P C kh t PC e tt qB c tµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.20)

2) Calcule C

24

24 M

M

q P Ct q

CPt

ββ

⎛ ⎞∆⎜ ⎟⎝ ⎠=

∆⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.21)

Si el ajuste fue erróneo debe repetir el proceso.

3) Calcule k

k

Ch

kh tc

tM

M

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µµ

(2.22)

4) calcule s

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= M

sD

wt eCC

rhcs )(89359.0

ln21 2

2µφ (2.23)


92

Ejercicio: Resuelva el problema propuesto anteriormente por el método de Ramey. Respuestas s = 20, CD = 103. 2.3.3. Método Semilog 1) Comportamiento de un pozo único en un yacimiento infinito. En el pozo rD = 1,

luego:

PtrD

D

D

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

12

0 809072ln . (2.24)

Incluyendo factor de daño, resulta:

( )141.2

i wfD

kh P PP s

q Bµ−

+ = (2.25)

En la cara del pozo rD = 1, luego:

( )1 ln 0.80907 22D DP t s= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.26)

Reemplazando la Ec. 2.24 en la Ec. 2.25

2

( ) 1 0.0002637ln 0.80907 2141.2 2

i wf

t w

kh P P kt sq B c rµ φ µ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.27)

Como el papel semilog no esta en escala de logaritmo natural, se debe pasar a escala de log en base 10. Por lo tanto dividiendo todo por el ln 10 se tiene:

)10ln(/280907.00002637.0ln)10ln(6.70

)(2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−s

rckt

qppkh

wt

wfi

µφβµ

Lo cual se reduce a:

2

( )log(0.0002637) log 0.80907 / ln(10) 2 / ln(10)

162.6i wf

t w

kh P P kt sq B c rµ φ µ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2

( )3.5789 log 0.3514 0.8686

162.6i wf

t w

kh P P kt sq B c rµ φµ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.28)


93

De donde;

2

162.6 log 3.2275 0.8686wf it w

q B ktP P skh c r

µφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.29)

De la pendiente;

162.6 q Bkhm

µ= (2.30)

El tiempo de arranque de la línea recta es (verifica donde arranca m y donde WBS ha terminado) puede estimarse de: t s CD D≅ +( . )60 3 5 , en unidades de campo es:

khCs

khCstSSL

µµ )11890203316()5.360(6.3388 +=

+=

khCstSSL

µ)12000200000( += (2.31)

s<0

Pwf cae menos

Pwf

s>0

m

log t

Barrera de no flujo

2m

Barrera de flujo

Mayor caida de presion

Fig. 2.13. Comportamiento de la presión observada en un gráfico semilog


94

Ya sea que los datos sean registrados en superficie con tiempo real o en fondo los datos deben validarse en el sitio del pozo. La validación asegura que los datos adquiridos son adecuados para satisfacer los objetivos de la prueba. Cuando se leen datos en superficie en tiempo real, la validación en el sitio del pozo revela el momento en que se han registrados suficientes puntos para la prueba de modo que ésta deba terminarse y se optimice el tiempo del equipo. Examinar el tSSL y los datos de presión adquiridos de presión y su derivada vs. tiempo en un gráfico log-log es el enfoque de la validación en el sitio del pozo. Sin embargo, la estimación del tSSL puede requerir ensayo y error por lo que se prefiere usar la derivada para determinar con mejor exactitud y practicidad dicho tiempo. Este valor puede identificarse con el comienzo del flujo radial en el gráfico de la derivada. Con base en el tSSL es que se diseña la prueba; el tiempo de diseño de prueba es T = 10tSSL. El tiempo de estabilización de la declinación (tiempo requerido para alcanzar las fronteras de no flujo) durante la prueba se puede determinarse como sigue (para un pozo en el centro de la mayoría de sistemas simétricos, tDA = 0.1 de la tabla 2.1):

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (2.32)

Ackt

tµφ0002637.01.0 =

( )k

Act ts

43560380 φµ= (2.33)

( )k

Act ts

435601200 φµ=

Lee proporcionó la solución de la ecuación de flujo para la condición de inyección instantánea:

2948 tc rkt

iconstP P e

t

φµ−

= +

Derivando la función de presión con respecto a t:

2 2948 948 2948ln lnt tc r c r

tkt kt c rdP constconst t e e tdt t k

φµ φµ φµ− −= −

Factorizando:


95

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos

CA

31.62

31.6

27.6

27.1

21.9

30.8828

12.9851

4.5132

3.3351

21.8369

10.8374

4.5141

2.0769

3.1573

0.1

0.1

0.2

0.2

0.4

0.1

0.7

0.6

0.7

0.3

0.4

1.5

1.7

0.4

0.06

0.06

0.07

0.07

0.12

0.05

0.25

0.30

0.25

0.15

0.15

0.50

0.5

0.15

Menos de1 % errorpara tDA >

0.1

0.1

0.09

0.09

0.08

0.09

0.03

0.025

0.01

0.025

0.025

0.06

0.02

0.005

Use solución de sistema infinito con menos de1 % error for tDA >

1

1

0.098 0.9 0.6 0.015

ExactoPara tDA >

60°

1

1/3

43

1

1

1

1

1

1

1

1

Yacimientosfinitos


96

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos – Cont.

CA

0.5813

0.1109

5.379

2.6896

0.2318

2.3606

2.6541

2.0348

1.9986

1.662

1.3127

0.7887

19.1

25.0

2.0

3.0

0.8

0.8

4.0

1.0

0.175

0.175

0.175

0.175

0.175

0.175

--

--

0.6

0.6

0.3

0.3

2.0

0.4

0.08

0.09

0.09

0.09

0.09

0.09

--

--

Menos de1 % errorpara tDA >

0.02

0.005

0.01

0.01

0.03

0.025

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

Cannot use

--

--

Use solución de sistema infinito con menos de1 % error for tDA >

1

2

1

2

1

4

1

4

1

4

1

5Vertical-Fracturedreservoirs

1

1

xf/xe=0.1

1

1

xf/xe=0.2

1

1

xf/xe=0.3

1

1

xf/xe=0.5

1

1

xf/xe=0.7

1

1

xf/xe=1.0

Water-Drive reservoirs

Unknown Drive mechanism

0.1155 4.0 2.0 0.011

4

Use (Xe/Xf) in place of A/rwfor fractured reservoirs

2 2

Exactopara tDA >


97

2948 29481ln 1tc r

tkt c rdP const t edt t k

φµ φµ− ⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

294810 1 tc rdP

dt t kφµ⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

Para un sistema radial el tiempo máximo es determinado fijando la derivada a cero y despejando el tmax.

krct t

2

max948 µφ

= (2.34)

el radio de drenaje (para un sistema radial)

t

sd c

tkrφµ

029.0= (2.35)

y para cualquier tiempo de producción, tp, el radio de investigación está dado por:

t

pinv c

tkr

φµ0325.0= (2.36)

El tiempo al cual el periodo de estado pseudoestable (presión se convierte en función lineal del tiempo) tiene lugar está dado por:

krct et

pss

2948 µφ= (2.37)

Para cualquier tiempo de producción, tp, la Ec. 2.37, se puede expresar como:

krct einvt

p

2948 µφ= (2.38)

La Ec. 2.37 es apropiada para geometrías cuadradas. Sin embargo, para sistemas circulares, la Ec. 2.38 puede proporcionar buenos resultados ya que ésta toma un poco más de tiempo para alcanzar la frontera. Para estos casos, la relación apropiada es:

krct et

pss

21190 µφ= (2.39)


98

La caída de presión dimensional es dada por la Ec. 1.27.a. De la Ec. 1.43, la contribución a la caída de presión ocasionada por el daño se debe al último término, llámese 0.8686s multiplicado por -162qµB/kh. Luego:

0.87( )sP m s∆ = −

0.87( ) 1 ln ss

s w

rkP mk r

⎧ ⎫∆ = − −⎨ ⎬

⎩ ⎭

s normalmente es mayor -5, rara vez es -10 (múltiples fracturas). a) Radio Efectivo o Aparente del Pozo.

sww err −='

Donde;

121.1513 log 3.23hr i

t w

P P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.40)

b) Factor de Eficiencia de Flujo, FE

ideal

real

JJFE =

Si FE < 1 existe daño, de lo contrario hay estimulación. Los índices de productividad, J, se estiman mediante:

idealwf s

qJP P P

=− −∆

realwf

qJP P

=−

Para maximizar el índice de productividad: • Incrementar la permebilidad en la zona aledaña al pozo - Fracturamiento • Reducir la viscosidad – Inyección de vapor


99

• Remosión del daño - Acidificación • Incrementar la penetración del pozo • Reducir el factor volumétrico de formación – Escogiendo separadores correctos en

superficie

1 s

wf

PFEP P

∆= −

− (2.41)

P presión promedia del área de drene o presión inicial en yacimientos nuevos. c) Relación de Daño, DR, DR=1/FE d) Factor de Daño, DF. DF = 1 - FE

1ln

d

e

w

qsDF r qsr

= = −+

qd es el caudal de daño real (caudal con daño) Si DF > 0; pozo dañado Si DF < 0; pozo estimulado o mejorado e) Relación de productividad, PR

lnPR=

ln skin

e

p w

o e

w

rq rq r

r

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

f) Pérdida Anual de Ingresos/año, US$ FD L q OP DF$ ( )= 365 siendo OP, el precio del petróleo. Ejemplo, Cuál será la pérdida anual de un pozo que produce 500 BFD, el cual tiene un factor de daño de 8, drena un área de 120 acres y tiene un radio de 6 pulg. Asuma que el precio del crudo es 18 US$. 120 acres = 5227200 pie². Asumiendo área circular r = 1290 pies.


100

P wf

log t log t

log

P wf

Pendiente

De la pendiente se obtienepermeabilidad y daño

De la linea de pendiente unitariase obtiene almacenamiento

Fig. 2.14. Características de los gráficos semilog y log-log

5045.0)/ln(

=+

=we rrs

sDF , luego FD$L=2’071603.125 dólares.

2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT) Es una prueba larga de caída de presión. La prueba de caída de presión es usada para estimar condiciones artificiales (C y s), Fig. 2.14, mientras que RLT trata con las fronteras. En un gráfico cartesiano, Fig. 2.15, se distinguen tres zonas: Región I: Flujo inestable. Se usa log-log para determinar C. teus es el fin del flujo inestable (aparece el pseudoestable).

krct et

eus 0002637.0

2µφ= (2.32)

El tiempo del inicio del estado pseudoestable es;

krct et

pss 00088.0

2µφ= (2.43)

Note que t teus pss= / π


101

k

rct et

0002637.0

2µφ≈

krct et

00088.0

2µφ≈

P

, p

siw

f

Time, hrs

Region I Region II Region III

Fig. 2.15. Características encontradas en el gráfico cartesiano

El estado pseudoestable es gobernado por:

P t Ar CD D

w A

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1

22 2458

2π ln ln . (2.44)

El área está dada en pies² y CA es el factor de forma. La mayoría de las curvas están dadas para rA/rw = 2000. Región II: Flujo transitorio - radial. La ecuación gobernante es:

( )P khq

p p sD i wf= − −1412. µ β

(2.45)

Región III: Flujo pseudoestable De la Ec. 2.44 y combinando con los parámetros adimensionales (tDA y PD), se tiene:

2

0.23395 70.6 2.2458ln ln 2wf it w A

qB q B AP t P sc Ah kh r C

µφ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.46)

--- m* --- ------------------------- b --------------------- De la pendiente m*, se obtiene el volumen poroso:


102

Ahcqm

tφβ23395.0* −= (2.47)

0.23395

*pt

qBVc m

= − (2.48)

Del intercepto se obtiene el factor de forma:

p p qkh

Ar A

sINT iw

= − + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

70 6 2 2458 22

. ln ln .µ β (2.49)

Y el factor de forma es:

1 int2.3035.456

*

hrP Pm

AmC e

m

−

= (2.50)

Con CA vaya a la tabla 2.1 para determinar la geometría del yacimiento. a) De dicha tabla encuentre el valor de CA más cercano al valor obtenido con la Ec.

2.50 b) Calcule el tD al arranque del estado pseudoestable

( )t mm

tDA PSS pss= 01833. * (2.41)

c) Compare el valor (tDA)PSS con la columna “exacto para tDA > “ en la tabla 2.1. Si

(tDA)PSS es menor que el valor obtenido de esa columna entonces esa debe ser la forma que más se ajusta al sistema.

2.5. CONTROL DE CALIDAD Usar más de una herramienta en una prueba para verificar que funcionan bien. La diferencia en las presiones registradas debe ser muy cercana y está dada por la diferencia en presión hidrostática entre un registrador de presión y otro tal como se muestra en la Fig. 2.16. 2.6. REGIMENES DE FLUJO

• Pendientes de la Derivada • Almacenamiento • Estado Pseudoestable • Estado Estable • Hemicilindrico


103

regP P ghρ= −

regP P=

h

Registradorde presion # 1

Registradorde presion # 2

Fig. 2.16. Esquematización del control de calidad

No Flujo

No Flujo

No Flujo

No Flujo

VISTA DE PLAN PERFIL

Fig. 2.17. Representación del flujo lineal (yacimiento alargado)

3D PLANTA PERFIL

Fig. 2.18. Representación del flujo lineal (pozo fracturado hidráulicamente)


104

PLANTA PERFIL

Fig. 2.19. Representación del flujo radial

VISTA DE PLAN PERFIL

Radio externo

No Flujo

No Flujo

Esférico

Radio externo

No Flujo

No Flujo

Hemisférico

Fig. 2.20. Representación del flujo esférico y hemisférico

• Pseudoradial • Elíptico • Biradial • Esférico

El flujo radial es el régimen de flujo más importante en interpretación de pruebas de presión. Este se reconoce por una extensión constante o tren plano en la derivada. La geometría de flujo radial se describe como líneas de corriente que convergen hacia un cilindro circular. Ver Fig. 2.21. En pozos completados en todo el intervalo perforado, el cilindro puede representar la porción del pozo intersectando toda la formación. En formaciones parcialmente penetradas, el flujo radial podría estar restringido a tiempos


105

tempranos a solo una sección del intervalo de la formación donde el flujo es dirigido hacia el pozo. Cuando el pozo está estimulado o en pozos horizontales, el radio efectivo para el flujo radial podría estar alargado (flujo pseudoradial).Los pozos horizontal pueden exhibir flujo radial de tiempo temprano en el plano vertical normal al pozo. Si el pozo está localizado cerca de una barrera de no flujo (falla) la respuesta de presión puede exhibir flujo radial al pozo seguido por flujo radial al pozo más su imagen a través de la barrera. Cuando quiera que exista el flujo radial se puede estimar los valores de k y s. Cuando el flujo radial toma lugar a tiempos tardíos, se puede estimar la presión extrapolada del yacimiento en pruebas de restauración de presión. El flujo esférico ocurre cuando las líneas de corriente convergen a un punto (Fig. 2.32). Este régimen ocurre en pozos que han sido parcialmente completados o formaciones parcialmente penetradas. Para el caso de completamiento parcial o penetración parcial cerca al tope o la base de la formación, la capa impermeable más cercana impone un flujo hemisférico. Tanto el flujo esférico como el hemisférico son vistos en la curva de la derivada como una pendiente negativa con valor de 0.5. Una vez determinada la permeabilidad del flujo radial, esta puede usarse con la permeabilidad horizontal para determinar la permeabilidad vertical. Esta última es importante para predecir conificación de gas o agua. La geometría del flujo lineal consta de vectores de flujo paralelos. El flujo lineal es identificado por una tendencia de pendiente positiva de valor 0.5 en el gráfico de la derivada. Este régimen se presenta en pozos hidráulicamente fracturados, pozos horizontales y yacimientos alongados. Puesto que las líneas de corriente convergen a un plano, los parámetros asociados con el flujo lineal son la permeabilidad de la formación en la dirección de las líneas de flujo y el área de flujo normal a las líneas de corriente. La permeabilidad horizontal determinada de otro régimen de flujo puede usarse para estimar el ancho del área de flujo. Esto proporciona la longitud media de la fractura en un pozo hidráulicamente fracturado, la longitud de producción efectiva de un pozo horizontal, y el ancho de un yacimiento alongado, al igual que la posición del pozo dentro del mismo. La combinación de los datos de flujo radial (o cualquier otro) puede proporcionar los valores principales de la permeabilidad en x o la permeabilidad vertical para estimar los valores de las permeabilidades direccionales de la capa. En una formación anisotrópica, la productividad de un pozo horizontal es más efectiva perforando el pozo en la dirección normal a la máxima permeabilidad horizontal. El flujo biradial o flujo elíptico se presente en pozos horizontales o en pozos hidráulicamente fracturados exhibiendo una pendiente positiva de 0.36 (ó 0.35 según otros investigadores). Este se presenta en fracturas largas y pozos horizontales donde la geometría de las líneas de corriente son de naturaleza elíptica. Los pozos hidráulicamente fracturados con fracturas de baja conductividad pueden exhibir flujo bilineal adicional al flujo lineal. Este régimen ocurre por una caída de


106

presión en la fractura misma que resulta en líneas de corriente paralelas en la fractura al mismo tiempo que existen líneas de flujo en la formación (normales a las de la fractura). El término bilineal se refiere a dos flujos lineales simultáneos que ocurren direcciones normales. El tren de la derivada para este patrón de flujo muestra una pendiente positiva de un cuarto. Cuando se conocen la longitud media de la fractura yb la permeabilidad de la formación, la conductividad de la fractura puede determinarse del flujo bilineal. El régimen de flujo compresión/expansión toma lugar cuando el volumen que contiene la perturbación de presión no cambia con el tiempo y la presión en todos los puntos dentro del volumen invariable varía en la misma forma. Este volumen puede limitarse por una porción o todo el pozo, una zona compuesta limitada, o un volumen de drene cerrado. Si el pozo es el factor limitante, el régimen de flujo es llamado almacenamiento (wellbore storage); si el factor limitante es el volumen total de drene, este comportamiento se conoce como estado pseudoestable. La derivada de la compresión/expansión aparece como una pendiente unitaria. Una o más pendientes unitarias precediendo al flujo radial pueden representar efectos de almacenamiento. La transición del periodo de almacenamiento a otro régimen de flujo usualmente aparece como una joroba, lomo o pico (Fig. 2.26). El régimen de flujo de almacenamiento representa una respuesta que es efectivamente limitada al volumen del pozo. Por lo tanto proporciona muy poca información acerca del yacimiento. Más aún, este puede enmascarar repuestas importantes a tiempos tempranos que sirven para caracterizar aspectos cercanos al pozo incluyendo penetración parcial o radio de daño finito. Este régimen de flujo es minimizado (nunca eliminado) cerrando el pozo cerca al intervalo productor. El lector debe ser consciente que en formaciones de considerable espesor o en fracturas hidráulicas el almacenamiento puede prevalecer. Cerrar el pozo en fondo puede reducir la porción de datos dominada por almacenamiento en dos o más ciclos logarítmicos. En algunos pozos probados sin cierre en fondo, los efectos de almacenamiento pueden durar varios días. Después del flujo radial, puede ocurrir una pendiente unitaria que no corresponde al comportamiento final observado y que podría resultar de la producción de una zona dentro de otras zonas (o múltiples zonas en una sola). Este comportamiento es acompañado por flujo cruzado en el pozo y ocurre cuando las zonas compuestas se han repletado diferentemente. Si ocurre pendiente unitaria al final de la prueba, se asume que existen condiciones de estado pseudoestable para todo el volumen del área de drene y solo se observa en pruebas de declinación de presión. El volumen del yacimiento puede estimarse de ests régimen de flujo. La apropiada identificación de los regimens de flujo, loo cual aparece como un patron característico exhibido por la derivada de presión,is importante porque un régimen de flujo es la geometría de las líneas de corriente de flujo en la formación probada. Para cada régimen de flujo identificado un conjunto de propiedades del yacimiento pueden calcularse usando solo una porción del los datos del transiente de presión que exhibe el comportamiento del patrón carácterístico.


107

Los 10 patrones de régimen de flujo comúnmente observado en una prueba de presión son radial, esférica, hemisférica, lineal, bilineal, pseudohemisférica, compresión/expansión, estado estable, doble porosidad o permeabilidad, y pendiente doblada. La Fig. 2.21.a contiene la popular herramienta de identificación de regímenes de flujo (originalmente considera solo 8 patrones). Esta se usa para diferenciar los tipos de regímenes de flujo en gráficos log-log para su aplicación en la determinación y entendimiento las condiciones en subsuelo y en el yacimiento.

Radial Esférico/hemisférico

Almac

enam

iento

Pseud

oesta

ble (D

eclin

ación

)

Radial Radial

Bilineal

LinealBiradial/elíptico Lineal

Lineal

Dual-Lineal Pseudohemisférico

Una frontera

abierta, m= -1

Estado estable

Fig. 2.21.a. Herramienta de identificación de regímes de flujo Las ecuaciones de difusividad para flujo lineal y esférico/hemisférico son, respectivamente:

2

2

xp

ck

tp

t ∂∂

=∂∂

φµ (2.52)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

rpr

rrck

tp

t2

1φµ

(2.53)

2.7. POZOS HORIZONTALES Un número de diferentes regimenes de flujo pueden ser encontrados mientras se analizan las respuestas del transiente de presión en pozos horizontales. Uno o más de esos regimenes de flujo podrían estar ausentes o enmascarados dependiendo de los parámetros del yacimiento. Los parámetros que juegan un papel importante en el comportamiento transitorio de la presión en un pozo horizontal son: la relación de permeabilidad vertical a horizontal, la posición relativa de la cara del pozo en el estrato y la longitud de la cara del pozo horizontal comparada con el espesor de la formación. Esencialmente, han sido identificados cuatro regimenes de flujo


108

principales que son teóricamente posibles de encontrar durante una prueba de declinación o restauración de presión en un pozo horizontal. Cuando se inicia la producción, la presión transiente se moverá perpendicular a la cara del pozo como se ilustró en la Fig. 2.21.b, entonces se forma el flujo radial. El mismo comportamiento es observado en un pozo vertical produciendo en un ambiente de acción infinita. Este régimen de flujo ha sido reconocido como flujo radial a tiempo temprano y su duración es muy corta en estratos delgados o cuando existe permeabilidad vertical alta.

Fig. 2.21.b. Flujo radial a tiempos tempranos Cuando el pozo está cerrado a una frontera de no flujo y este es afectado por la perturbación de la presión, un flujo hemicilíndrico se forma como lo muestra la Fig. 2.22. Frecuentemente, la longitud del pozo horizontal es mucho mayor que el espesor del yacimiento, lo cual contribuye a la formación del segundo régimen de flujo principal. Este es conocido como régimen de flujo lineal y se desarrolla cuando la perturbación de la presión alcanza las fronteras superiores e inferiores del yacimiento. Ver Fig. 2.23. La duración efectiva de este flujo está relacionada con el inicio de los efectos finales. Este régimen de flujo está ausente cuando la longitud horizontal de la cara del pozo es corta comparada con la formación. En cambio, una zona de transición longitudinal se desarrollará antes del siguiente periodo de flujo identificable.

Fig. 2.22. Flujo Hemicilíndrico


109

Fig. 2.23. Flujo Lineal

En ausencia de una fuente de presión constante y no fronteras al flujo horizontal sobre una distancia razonable, el flujo hacia la cara del pozo horizontal se vuelve efectivamente radial después de un largo tiempo, con el plano horizontal actuando algo así como un punto fuente, Ver Fig. 2.24. Este régimen de flujo, llamado radial a tiempos últimos, puede no ser observado si otras fronteras externas están afectando el primero o no será observado cuando el yacimiento tiene fronteras de presión constante.

Fig. 2.24. Flujo radial a tiempos tardíos Entre los periodos de flujo radial tempranos y últimos es posible encontrar un régimen de flujo lineal causado por la influencia del tope y base de las fronteras mientras la longitud horizontal del pozo es importante para el radio de investigación. En otras palabras, en un yacimiento semi-infinito, una vez que las fronteras paralelas han sido alcanzadas, un régimen de flujo lineal se desarrollará. Siguiendo el flujo radial temprano, puede aparecer un periodo intermedio si el pozo se encuentra cerrado a una de las fronteras superior o inferior; éste periodo es llamado régimen de flujo hemiradial, ver Fig. 2.25. Este régimen de flujo usualmente no se desarrollará si la posición del pozo relativa al espesor de la formación es 1 o cero, indicando que el pozo está muy cerrado a cualquiera de las fronteras superior o inferior. Un régimen que se podría estabilizar cuando un pozo horizontal esta en prueba de declinación de presión, pero este no se considera común, es el estado estable. Este solo se desarrollará cuando exista una fuente de presión constante tal como un acuífero o una capa de gas.


110

Fig. 2.25. Flujo Hemiradial Resumiendo, existen cuatro principales regimenes de flujo distintos que teóricamente pueden desarrollarse cuando un pozo horizontal está siendo probado por declinación o restauración de presión; su identificación es crítica para la apropiada interpretación de una prueba de un pozo horizontal. EL flujo elíptico (pendiente 0.36 en la curva de la derivada) puede presentarse en pozos horizontales. En general, en orden cronológico de desarrollo, éstas son: • Flujo radial a tiempos tempranos • Flujo lineal a tiempos intermedios • Flujo radial a tiempos últimos • Flujo lineal a tiempos últimos(estado pseudoestable) 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET la curva tipo de la derivada se presenta en la Fig. 2.26. La aplicación es similar a las curvas de Ramey. Las ecuaciones gobernantes son:

P kq

t pD =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1412.* '

µ β∆ (2.54)

tC

kh tC

D

D

= 0 000295.µ

(2.55)

Si se tiene un buen punto de ajuste de los datos con la curva tipo, se leen los siguientes parámetros de ambas gráficas:

, ( * ') , , ', ,D DM M DM DM M

D D M

t tP t P P P tC C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k, s, y C se obtienen de:


1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

CD e2s

1010101010101010101010101010

40

35

30

2520

15

12

10

8

6

5

4

3

2

tD/cD

pD, (

t D/c

D)p

D'

Fig. 2.26. Curva tipo de Bourdet


112

1412

( * ')

DDM

D

M

tq Ph C

kt P

µ β ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

∆

141.2 DM

M

Pqkh P

µ β=

∆

C kh ttC

M

D

D M

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0 000295.µ

Leyendo C eD

s2

2

22 8936.0

wt

ss

D hrcCeeC

φ=

Ms

Dwts eChrcCe )(

8936.02

22 φ

=

Llamando todo el lado derecho como n. Ce ns2 = Despejando s;

s nC

=12

ln

Debido a la diferencia en presión dada en la Fig. 2.27, las curvas tipo de declinación no pueden usarse para analizar datos de restauración de presión, para aliviar este problema Agarwal usando el concepto de desuperposición introdujo el concepto de tiempo efectivo que se define mediante:

p

pe tt

ttt

+∆∆

=∆

Para flujo de gas se recomienda usar pseudotiempos.


113

Pres

ion

Tiempo

Pi

tpt ∆t

∆p drawdown

Presionde referencia

∆p buildup

∆p diferencia

Fig. 2.27. Diferencias de presión de declinación y restauración

2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE, TDST La solución de la ecuación de difusividad considerando daño y almacenamiento está dada por:

0

2

2 34 1 D

D

J

u teP duu Uπ

∞ −⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.56)

y su derivada es;

∫∞

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−

0

2

24 du

uUe

dtdP

JD

DDtu

π (2.57)

donde;

[ ] ( ) ( ) ( )[ ]22221010 1)()1()( uYsuCuYuCuJsuCuJuCU DDDDJ −−+−−= (2.48)

La presión adimensional, PD, tiempo adimensional, tD y coeficiente de almacenamiento adimensional son expresados como sigue:


114

141.2DkhP P

quB⎛ ⎞

= ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.59)

trc

ktwt

D ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

0002637.0φµ

(2.60)

Chrc

Cw

Dt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

8935.0φ

(2.61)

2.9.1. Líneas y Puntos Característicos El gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo, Fig. 2.26, tiene varias características únicas: (1) La curva de presión tiene una línea de pendiente unitaria durante tiempos

tempranos. Esta línea corresponde al flujo de almacenamiento puro. La ecuación de esta línea recta es:

D

DD C

tP = (2.62)

combinando las Ecs. 2.59 y 2.60 dadas:

Chrc

trc

k

Ct

w

wt

D

D

t⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

2

2

8935.0

0002637.0

φ

φµ

Cthk

Ct

D

D⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −

µ41095.2 (2.63)

Sustituyendo las Ecs. 2.59 y 2.63 en la Ec. 2.62 y solucionando el coeficiente de almacenamiento C se obtiene:

42.95 10141.2

kh hk tPquB Cµ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠


115

PtqBC

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24 (2.64)

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Para pruebas de declinación de presión, ∆P = Pi - Pwf. Para pruebas de restauración de presión ∆P = Pws - Pwf (∆t = 0). 2) La curva de la derivada de presión también tiene una línea recta de pendiente

unitaria a tiempos tempranos. La ecuación de esta línea es obtenida tomado la derivada de la Ec. 2.62 con respecto al logaritmo natura de tD/CD. Así:

D

DD

D

D

CtP

Ct

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛' (2.65)

donde la derivada de la presión adimensional es:

2

141.2'

0.0002637D

DD

t w

kh dPquBPP

t k dtc rφµ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

'856.26'2

PqB

hcrP twD ∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

φ (2.66)

El lado izquierdo de la Ec. 2.65 puede expresarse en unidades reales mediante combinación de las Ecs. 2.63 y 2.66:

'856.261095.2'2

4 PqB

hcrCthkP

Ct tw

DD

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − φµ

'*00792252.0'2

PtChrc

BqkhP

Ct w

DD

D t ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φµ

Multiplicando y dividiendo por 0.8935


116

'*8935.0

007087.0'2

PtC

hrcBq

khPCt w

DD

D t ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ φµ

Puesto que CD es:

Chrc

Cw

Dt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

8935.0φ

'*1007087.0' PtCBq

khPCt

DD

D

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ

Puesto que la pendiente unitaria es uno, entonces CD = 1, así

'*2.141

' PtBq

khPCt

DD

D ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛µ (2.67)

De la Fig. 2.22 es obvio que la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos es la misma para las curvas de presión y derivada de presión. Combinando las Ecs. 2.65, 2.66 y 2.67 y solucionando para C se obtiene una ecuación similar a la Ec. 2.64 donde ∆P es remplazado con t*∆P’.

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3) La porción de flujo radial de acción infinita de la derivada de presión es una línea

recta horizontal. Para un yacimiento homogéneo, la ecuación de esta línea es:

5.0' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

r

DD

D PCt (2.68)

Combinando las Ecs. 2.67 y 2.68 y solucionando para la permeabilidad se tiene:

'*2.141

5.0 PtBq

kh∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

µ

( )rPthBqk'*

6.70∆

=µ

(2.69)


117

Donde el subíndice r es usado para la línea de flujo radial. En términos de presión, la ecuación de esta línea es:

[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= s

DrD

DDr eC

CtnP 2ln80907.015.0 (2.70)

4) El tiempo de inicio de la línea de acción infinita de la curva de derivada de presión

está dada aproximadamente por:

( )102log10 sD

SRD

D eCCt

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (2.71)

Esta ecuación es obtenida mediante graficación de los valores de tD/CD correspondientes al primer punto donde la Ec. 2.70 es válida, por ejemplo, en el inicio de la línea horizontal para diferentes valores de CDe2s > 100. Valores de tD/CSR fueron obtenidos de la segunda derivada de la Ec. 2.46. Sustituyendo por CD y tD y solucionando para tSR:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

= − shrc

Ckh

Ctwt

SR 28935.0ln109.6 25 φµ (2.72)

donde tSR es el tiempo de inicio de línea de flujo radial de acción infinita. Vongvuthipornchai y Raghavan mostraron que el tiempo de inicio de la línea recta semilog se determina mejor de:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

SRD

DD

SRD

D

CteC

Ct s lnln1 2

α (2.73)

donde α es la tolerancia (fracción) usada para determinar el valor de tDSR al cual la Ec. 2.68 es válida. Para α = 0.05 ellos encofraron que la Ec. 2.73 (solución aproximada) puede predecir el valor de tDSR con un 8 % del valor predicho por la Ec. 2.57 (solución exacta). La línea recta semilog siempre aparecerá al iniciar temprano la porción horizontal de la curva de derivada de presión. La diferencia puede ser mucho más que del 50 %. El coeficiente de almacenamiento se puede estimar de la Ec. 2.73 cuando α = 0.05 y solucionando para C:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=DSR

DSRwt ts

thrcCln2

056.0 2φ (2.74)

donde tDSR es calculado de la Ec. 2.60 a t = tSR.


118

5) La línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos y la línea de acción infinita a

tiempos tardíos de la derivada de presión, por ejemplo, la línea horizontal, interceptan en:

5.0' =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iD

D

D PCt

(2.75)

5.0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iD

D

Ct

(2.76)

Donde el subíndice i se usa para “intersección”. En unidades reales las coordenadas de este punto de intersección se obtienen de:

( )kh

BqPt iµ6.70'* =∆ (2.77)

y,

5.08935.0

0002637.0

2

2

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

iw

wt

Chrc

trc

k

tφ

φµ

khCti

µ1695= (2.78)

Estas ecuaciones se pueden derivar, respectivamente, de las Ecs. 2.69, 2.63 y 2.76. Así, el punto de intersección puede ser usado para determinar k de la Ec. 2.77 y C de la Ec. 2.78. Puesto que la línea de pendiente unitaria es la misma para las curvas de presión y derivada de presión, en el punto de intersección se tiene: ( ) ( ) ( )rii PtPtP '*'* ∆=∆=∆ (2.79) 6) Entre las líneas rectas a tiempos tempranos y tardíos, las curvas de derivada tiene

una forma específica para diferentes valores de CDe2s. Aquí, las coordenadas de los “picos” para CDe2s > 100 fueron obtenidas de la segunda derivada y graficadas en ejes Cartesianos. La ecuación de esta línea es:


119

42.036.0' −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xD

D

xD

D

D

CtP

Ct (2.80)

Combinando las Ecs. 2.63, 2.67 y 2.80 se tiene que:

( ) xxx btCqBPt 42.0015.0'* −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ (2.81)

siendo:

khBqbx /2.141 µ= (2.82) y (t*∆P’)x y tx son las coordenadas del punto máximo (pico) de la curva de derivada de presión. De la Ec. 2.81 es obvio que se pueda calcular el coeficiente de almacenamiento o la permeabilidad de las coordenadas del pico. Despejando k de la Ec. 2.81 se tiene que:

( ) xx PttCqBhBqk

)'*(/015.013.59

∆−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

µ (2.83)

Esta ecuación podría ser usada para calcular k solo si no es observada la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos últimos, tal como en pruebas cortas, o si existe mucha interferencia en los valores de la derivada a tiempo últimos. Despejando C de la Ec. 2.81 se tiene que:

( )0.015

* ' 0.42x

xx

qBtCt P b

=∆ +

(2.84)

Esta ecuación podría ser usada en casos donde k es conocida por otras fuentes y no se observa la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos. 7) Un gráfico log-Log de log (CDe2s) versus las coordenadas del pico produce las

siguientes ecuaciones:

( )24.1

2 35.0logxD

DsD C

teC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.85)

y,


120

( )24.1

2 '71.1logx

DD

DsD P

CteC ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.86)

Sustituyendo las Ecs. 2.63 y 2.67 en las Ecs. 2.85 y 2.86 se producen dos nuevas expresiones. Combinando estas nuevas expresiones con las Ecs. 2.77 y 2.78 se tiene que:

24.12 1485.0log ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

xsD t

teC (2.87)

y

( )( )

1.12

'*'*80.0log ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

=i

xsD Pt

PteC (2.88)

Así, las coordenadas del punto máximo (pico) de la derivada de presión se pueden usar también para calcular daño. Resolviendo para daño las Ecs. 2.87 y 2.88 dan respectivamente:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

24.18935.0ln5.0171.0

wti

x

rhcC

tts

φ (2.89)

y,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆∆

= 2

1.18935.0ln5.0

)'*()'*(921.0

wti

x

rhcC

PtPts

φ (2.90)

Debido a que en algunas pruebas de presión la forma de la protuberancia del almacenamiento puede parecer plana en el “pico’, es posible leer el valor correcto de (t*∆P′)x pero un valor incorrecto de tx. En este caso, es una buena práctica calcular s de ambas ecuaciones. Si estas dan valores diferentes entonces se debe obtener un nuevo valor de tx y repetir los cálculos hasta que las dos ecuaciones arrojen valores similares de daño. 8) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita

de la curva de derivada de presión y los picos para diferentes valores de CDe2s se puede obtener dividiendo la Ec. 2.80 con la Ec. 2.68:


121

5.0' =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

r

DD

D PCt

(2.68)

42.036.0' −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xD

D

xD

D

D

CtP

Ct

(2.80)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

42.036.02'

'

xD

D

rD

D

D

xD

D

D

Ct

PCt

PCt

(2.91)

Usando las Ecs. 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.91 se tiene:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×=∆∆

42.0410062.12)'*()'*(

Ctkh

PtPt x

r

x

µ (2.92)

La Ec. 2.92 se puede usar para calcular C o k. Sustituyendo por kh/µ de la Ec. 2.69 y despejando C se tiene que:

0.015( * ') 0.42( * ')

x

x r

qBtC t P t P= ∆ + ∆ (2.93)

Así, el coeficiente de almacenamiento se puede determinar aún si no es observada la línea de pendiente unitaria por razones mecánicas debido a la falta de datos de presión a tiempos tempranos. Despejando k de la Ec. 2.92, resulta:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+∆∆

= 42.0)'*()'*(5.02.9416

r

x

x PtPt

htC

kµ

(2.94)

9) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita

de las curvas de presión y derivada de presión se puede obtener dividiendo la Ec. 2.70 con la Ec. 2.68:

80907.02ln'

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛st

PCt

PDr

rD

D

D

Dr (2.95)


122

Usando las Ecs. 2.59, 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.95 y despejando el daño se tiene que:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)'*(

5.0 2wt

r

r

r

rckt

PtPs

φµ (2.96)

donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y ∆Pr es el valor de ∆P correspondiente a tr. 2.9.2. Estimación de Distancia a las Barreras y Area Existen muchas formas de estimar el área del yacimiento mediante la TDST. La forma más común es utilizando el punto de intersección entre la línea de comportamiento infinito y la linea de estado pseudoestable, trpi: En la siguiente expresión el área está dada en pies cuadrados:

301.77rpi

t

ktA cφ µ= (2.97)

Normalmente, la literatura presenta procedimientos detallados para el uso de la TDST. El procedimiento general es: 1) Grafique log-log ∆P y t*∆P’ 2) Trace una línea en la región temprana de pendiente unitaria 3) Trace la línea de flujo radial de acción infinita 4) Lea las coordenadas de la intersección ti y t*∆P’i. 5) Lea las coordenadas del pico, tx, (t*∆P’)x. 6) Seleccione cualquier punto conveniente tr en la línea de flujo radial de

comportamiento infinito y lea ∆Pr. 7) Si existe estadopeudoestable o estable trace una pendiente unitaria (o -1) sobre

ésta y lea el intercepto con la línea de flujo radial, trpi. El radio de investigación a un tiempo t de la prueba y la máxima respuesta de presión se estiman de:

1/ 2

0.0325invt

ktrcφ µ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.98)

krct t

2

max948 µφ

= (2.99)


123

Tabla 2.2. Datos de presión para ejercicio

t, hrs Pwf, psia ∆P, psia t*∆P’, psia/hr t, hrs Pwf, psia ∆P,psia t*∆P’, psia/hr0.00 2733 0 5 2312 421 65.42 0.10 2703 30 31.05 7 2293 440 35.32 0.20 2672 61 58.95 9.6 2291 442 5.86 0.30 2644 89 84.14 12 2290 443 5.85 0.40 2616 117 106.30 16.8 2287 446 7.63 0.65 2553 180 129.70 33.6 2282 451 7.99 1.00 2500 233 135.15 50 2279 454 7.94 1.50 2440 293 151.90 72 2276 457 10.50 2.00 2398 335 127.26 85 2274 459 12.18 3.00 2353 380 102.10 100 2272 461 13.36 4.00 2329 404 81.44

EJEMPLO El pozo Kate-1 produce de un yacimiento con las siguientes características: rw = 3.2 pulg. q = 250 BPD µ = 1.2 cp ct = 26.4x10-5 psi-1 h = 16 pies φ = 18 % B = 1.229 bbl/BF Los datos de una prueba de caída de presión se reportan en la tabla 2.2. Hallar permeabilidad, factor de daño, eficiencia de flujo, factor de daño (DF), caudal ideal y área usando método convencionales. SOLUCION Del gráfico semilogarítmico, Fig. 2.28.a, se obtiene una pendiente m = -18 psi/ciclo. Luego de la Ec. 2.30, k = 208 md. De la misma Fig. 2.28 se lee P1hr = 2308. Luego:

121.1513 log 3.23 22.03hr i

t w

P P ksm c rφ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

0.87( ) 354sP m s psi∆ = − =

1 23.2 %s

wf

PFEP P

∆= − =

−

DF =1 - FE= 76.8 % qideal = 1000 BPD.


124

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0.1 1 10 100

p1hr = 2308 psi m=-18 psia/cycle

t, hr

Pw

f , ps

i

Fig. 2.28.a. Gráfico Semilog

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

∆ P,

t*∆ P

', p

si

t, hrs

Almacenamiento

Estado Pseudoestable

(t*∆P') r =7.7 psi

∆P r = 451 psi

trpi = 56 hrs

Flujo radial

tr = 33.6 hrs

Fig. 2.28.b. Gráfico log-log de presión y derivada de presión


125

2200

2300

2400

2500

2600

2700

2800

0 20 40 60 80 100

m*=0.13 psia/hrPint = 2285 psia

t, hr

Pwf ,

psi

Fig. 2.29. Gráfico Cartesiano de Pwf vs. t para los datos de la tabla 2.2

EJEMPLO Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar (a) el volumen de drenaje, (b) área de drenaje, y (c) geometría del sistema por el método convencional. Recalcule permeabilidad, daño y área usando TDST. 1. De una gráfica Cartesiana de Pwf vs. t, Fig. 2.29, se tiene: m* = -0.13 psia/hr Pint = 2285 psia tpss ≈ 50 hrs 2. El volumen de drenaje del sistema se obtiene de la Ec. 2.47 así:

6 3 55

0.23395 0.23395(250)(1.229) 2.09 10 ft o 3.73 10* (26.4 10 )(0.13)p

t

qBV Ah bblc m

φ −= = − = = × ××

3. El área de drenaje es:

62.09 10 1 16.743560

DVA Ach hφ φ

×= = =


126

4. Usar la Ec. 2.40 para estimar el factor de forma. De la gráfica semi-log de Pwf vs. tiempo (Fig. 2.13), se tiene: m = -18 psi/log ciclo P1hr = 2308 psi, entonces;

( )

8.3913.0

18456.5 1822852308303.2

==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

eCA

5. Geometría del sistema. En la Tabla 2.1, CA = 39.8 corresponde con frecuencia a un pozo en el centro de un círculo, cuadrado, o hexágono: Círculo: CA = 31.62 Cuadrado: CA = 30.88 Hexágono: CA = 31.6 6. Verificación: usar la Ec. 2.51

( ) 066.0501813.01833.0 ==pssDAt

Este pozo coincide con (tDA)pss = 0.1 para las 3 formas. Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar permeabilidad, daño y área usando TDST. De la Fig. 2.28.b se tiene: tr = 33.6 hr (t*∆P’)r = 7.7 psi ∆Pr = 451 psi trpi = 56 hr La permeabilidad se halla de la Ec. 2.69:

( )70.6 70.6(250)(1.2)(1.229) 211.3 md

* ' (16)(7.7)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

Calcule el daño por medio de la Ec. 2.96:

20.5 ln 7.43( * ')

r r

r t w

P ktst P c rφµ

⎛ ⎞∆= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

5 2451 211.3(33.6)0.5 ln 7.43 22.47.7 0.18(1.2)(26.4 10 )(0.2667 )

s −

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦


127

El área se calcula con la Ec. 2.97:

5211.3(56)

15.8301.77 301.77(0.18)(1.2)(26.4 10 )(43560)RPi

t

ktA Accφ µ −= = =

×

EJEMPLO Con los datos del ejemplo anterior determine tSSL y determine si el nivel de fluido pozo está aumentando o disminuyendo supara los datos del ejercicio anterior, si el pozo tiene tubería de producción de 2 pulg. De diámetro en un revestimiento de diámetro interno 5 pulg., con juntas. La densidad del fluido es 42.5 lbm/pie3. SOLUCION Al graficar ∆P. vs. t en papel logarítmico se obtiene una recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. Se lee un punto sobre la recta de pendiente unitaria: ∆P = 59 psi y t = 0.2 hr. El almacenamiento se obtiene por medio de la Ec. 2.16.

(250)(1.229) 0.2 0.0434 /24 ( ) 24 59

N

i wf N

tqBC bbl psiP P

= = =−

Usando la Ec. 2.31,

(200000 12000 ) (200000 12000[22.03])(1.2)(0.0434) 7.37(208)(16)SSL

s Ct hrkh

µ+ += = =

Despejando la capacidad de la tubería de la definición de almacenamiento:

V C bbl pieu = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=ρ

1440 0128. /

De valores tabulados se tiene que Vu = 0.0134 bbl/pie. Lo que permite concluir que el líquido está cayendo. 2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL Cuando un pozo penetra una pequeña parte del espesor de la formación, entonces tiene lugar un flujo hemisférico. Ver Fig. 2.30. Cuando el pozo es revestido por encima del intervalo productor y solo una pequeña parte del revestimiento es perforada, tiene lugar un flujo esférico en la región cercana a la cara del pozo. Ver Fig. 2.31. Como el transiente avanza más hacia lo más profundo de la formación, el flujo se vuelve radial, pero si la prueba es corta, el flujo será esférico. Ambos tipos


128

de flujo se caracterizan por una pendiente de -½ en el gráfico log-log de la derivada de la presión. Gran parte del material introducido en este libro considera que el pozo penetra completamente una formación horizontal. Kazemi y Seth demostraron que para un pozo completado parcialmente se desarrollan dos porciones rectas. La primera representa la transmisibilidad del intervalo perforado y la segunda representa el intervalo de perforación completo. La primera línea se puede enmascarar por almacenamiento u otros efectos. El factor de daño aparente, Sa, obtenido del análisis de transiente de presión es una combinación de varios factores de “pseudo daño” tales como:

h

Flujo radial

Flujo esferico

Flujo radial

Fig. 2.30. Regimenes de flujo ideales en completamiento parcial

hp=28'

h=350'

Periodo 1Flujo radial

Periodo 2Flujo hemisférico

Periodo 3Flujo radial

Fig. 2.31. Regimenes de flujo ideales en penetración parcial

......++++= cppa sssss θ (2.100) siendo s el factor de daño verdadero causado por el daño a la porción del pozo, sp es el factor de pseudo daño debido a la entrada restringida de flujo, sθ es el factor de


129

pseudo daño resultante de una desviación del pozo, y scp es el pseudo daño debido a un cambio en la permeabilidad cerca a la cara del pozo. sp se puede estimar de:

1 lnp Dp

hs hh

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.101)

hp = longitud del intervalo perforado o abierto.

z

h

wD k

krhh = (2.102)

donde kh es la permeabilidad horizontal kv es la permeabilidad vertical. La contribución del pseudo daño de un pozo inclinado está dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

wrhs

100log

5641

865.106.2 θθθ (2.103)

La ecuación anterior es válida para 0° ≤ θ ≤ 75°, h/rw > 40 y tD > 100. Note que la Ec. 2.103 podría proporcionar un valor negativo. Esto es debido a que la desviación en la cara del pozo proporciona mayor área en la cara del pozo o un pseudo espesor de formación. Un pseudo daño que responde a un cambio en la permeabilidad cerca de la cara del pozo está dado por:

1 0.2 lns w s scp

p p s w

r r k k rhsh h k r

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

EJEMPLO Un pozo direccional el cual tiene un ángulo con la vertical de 24.1° tiene un factor de daño s = -0.8. El espesor de la formación es de 100 ft, el radio del pozo es 0.3 ft, y la relación de permeabilidad horizontal con vertical es 5. Cual porción de la dañada corresponde a la desviación del pozo? SOLUCION Estime la contribución del pseudo daño del pozo inclinado usando la Ec. 2.103:

4432.0)3.0(100

100log56

1.2441

1.24 865.106.2

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θs


130

De la Ec. 2.100 el factor de daño aparente y total es:

2432.14432.08.0 −=−−=+= θsssa Por lo tanto, 35.65 % del factor de daño es debido a la desviación del pozo. Otra forma de representar la medida total del daño es:

( )( )1t F pd pd dp ss s f s s f s

F θ= + + +

SF, Daño por penetración Parcial Spd, Daño por perforaciones Sθ, Daño por Desviación Sdp, Daño a la Formación F, Fracción de zona abierta al flujo 2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad y movilidad constantes es:

tP

kc

rPr

rr sp

t

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ φµ2

2

1

Donde, ksp, es la permeabilidad esférica que se define como el promedio geométrico de las permeabilidades verticales y horizontales:

23sp v hk k k=

El sistema físico se ilustra en las Figs. 2.33 y 2.34. Dicha región se denomina “sumidero esférico”. rsw está dado por:

2 lnsw

w

brbr

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.104)

Donde b=hp/h. La ecuación de flujo esférico para declinación de presión es:

3/ 2

70.6 2453 1(1 )wf i sp tsp sw sp

q B q BP P s ck r k t

µ µ φµ= − + + (2.105)


131

VISTA SUPERIOR VISTA SECCIONAL

Fig. 2.32. Flujo radial hacia un sumidero esférico

Poz

o ci

líndr

ico

real

Sumideroesferico

rw

rsw

Fig. 2.33. Sumideros cilíndrico y esférico De un gráfico cartesiano de Pwf en función de 1/ t habrá una recta de cuyo intercepto y corte podemos calcular:

3/22453⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= tsp c

mBqk φµµ (2.106)

( )

170.6i sp sw

sp

P I k rs

q Bµ−

= − (2.107)


132

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre:

3/ 2

70.6 2453 1 1 1(1 )ws wf sp tsp sw sp p p

q B q BP P s ck r k t t t t

µ µ φµ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − + −

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

De lo contrario:

3/ 2

2453 1 1 70.6ws i t sp

sp sp swp

q B q BP P c sk k rt t t

µ µφµ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − +

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

De un gráfico Cartesiano de Pws en función de ( )1/ 1/ 1/p pt t t t+ ∆ − + ∆ se obtendrá

una recta de cuya pendiente y corte podemos estimar:

3/22453⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= tsp c

mBqk φµµ

( )

170.6

wf sp swsp

I P k rs

q Bµ−

= −

Conociendo la permeabilidad vertical se puede estimar el valor de los efectos de daño debido a penetración parcial:

[ ]1 1 ln/c Ds h G

b h⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

donde hD se puede estimar de la Ec. 2.101, y G se estima mediante:

( ) ( ) ( )2 32.948 7.363 / 11.45 / 4.675 /G b h b h b h= − + − 2.10.2. Análisis Convencional para Flujo Hemisférico El modelo para flujo hemisférico es muy similar que el de flujo esférico. La diferencia es que una condición de frontera considera media esfera. Las Figs. 2.34 y 2.35 esquematizan la geometría de este sistema. Para pruebas de restauración de presión:

3/ 2

141.2 4906 1(1 )wf i ths sw hs

q B q BP P s ck r k t

µ µ φµ= − + +


133

Vista Superior Vista de lado Vista 3D

Fig. 2.34. Flujo radial hacia un sumidero hemisférico

Sum

ider

o ci

líndr

ico

real Sumidero

hemisferico

rw

rsw

Fig. 2.35.a. Sumideros cilíndrico y hemisférico

Para condiciones de flujo hemisférico la constante 2453 de la Ec. 2.106 se duplica a 4906 y 70.6 de la Ec. 2.107 se duplica a 141.2, luego:

3/24906⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ths c

mBqk φµµ (2.108)

( )

1141.2

wf hs swhs

I P k rs

q Bµ−

= − (2.109)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre:

3/ 2

141.2 4906 1 1 1(1 )ws wf hs ths sw hs p p

q B q BP P s ck r k t t t t

µ µ φµ⎡ ⎤⎢ ⎥= + + − + −

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.110)


134

De lo contrario:

3/ 2

4906 1 1 141.2ws i t hs

hs hs swp

q B q BP P c sk k rt t t

µ µφµ⎡ ⎤⎢ ⎥= − − +

∆ + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.111)

Al igual que para pruebas de declinación, hay una duplicación de las constantes, luego:

3/24906⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ths c

mBqk φµµ (2.112)

( )1

141.2wf hs sw

hs

I P k rs

q Bµ−

= − (2.113)

2.10.3. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo esférico Las ecuaciones para cálculo de permeabilidad y almacenamiento usadas en la sección 2.9 se usan en esta sección excluyendo las correlaciones allí desarrolladas que relacionan las coordenadas del pico con la permeabilidad, el daño y el almacenamiento. Para pruebas de declinación o restauración de presión, leyendo cualquier valor del tiempo y la derivada de presión durante el flujo esférico se puede calcular la permeabilidad esférica, y luego la permeabilidad vertical, y el daño causado por completamiento parcial:

2/3

1227( * ')

tsp

sp sp

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.114)

( )

( )2

34.74 1 12 * '

spt swsp

sp sp sp

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆= + −⎢ ⎥

∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.115.a)

El daño total puede calcularse del flujo radial tardío, Ec. (2.96):

2 22 2

2

( )0.5 ln 7.43( * ')

r r rr t

r t w

p k ts st p c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.96)

El daño mecánico puede estimarse de:

1 11 2

1

( )0.5 ln 7.43( * ')

r r rr m

r t w

p k ts st p c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.96)

0.001

0.01

0.1

1

10

1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07 1.00E+08

tD

t D*P

D'

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

Simetría Radial

Simetría Esférica( ) 2/1'

21* −= DspDD tPtπ

( ) 5.0* ' =rDD Pt

( ) 0066.0* ' =spDD Pt

( ) 2/1

22/3

2/3'

4* −= D

wsp

rrDD t

rk

hkPt

π

Fig. 2.35.b. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con completamiento parcial para diferentes relaciones de

completamiento (b = hp/h) en simetrías esférica y radial

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Tiempo, hrs

Pres

ión

y de

rivad

a de

pre

sión

, ps

i

Flujo esférico (m = -1/2)

2o. Flujo Radialtr2

Pendienteunitaria

(t*∆P')sptsp(t*∆P') r2

∆PN

tN

∆Psp

∆Pr2

2/3

'1227( * )

tsp

w sp sp

cqBkt p t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

rwr pth

qBk)*(

6.70'2 ∆

=µ

23sp V Hk k k=

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

H

sp

H

VA k

kkkI

NPtqBC ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

24

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 2'wt

rr

rw

rwt rc

tkpt

psφµ

( )( ) 11

*274.34 '

2

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

∆

∆=

spw

spw

spsp

swtsp pt

ptkrcs φµ

ti

Fig. 2.35.c. Respuesta de presión para un pozo con completamiento parcial ilustrando los puntos y líneas características

0.001

0.01

0.1

1

10

1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07

tD

t D*P

D'

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

b = 0.1

b = 0.2

b = 0.4b = 0.6

b = 0.8 b = 1

( ) 2/1'

21* −= DDD tPt

π

( ) 5.0* ' =DD Pt

Simetría Radial

( ) 0033.0* ' =DD Pt

SimetríaHemisférica

( ) 2/1

22/3

2/3'

2* −= D

wsp

rrDD t

rk

hkPt

π

Fig. 2.35.d. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con penetración parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías hemisférica y radial

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Flujo Hemisféricom = -1/2

∆Phs

1er. Flujo Radial

tr2

∆Pr2

2o. Flujo Radial

∆Pr1

(t*∆P')r1

thstr1

(t*∆P')hs

(t*∆P')r2

( )( ) 11

*274.34 '

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

∆∆

=hsw

hsw

hshs

swths pt

ptkrcs φµ

3/2

' )*(2453 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=

hs

t

hswhs t

cpt

qBk φµµ

2'2 )*(

6.70

rwr pth

qBk∆

=µ

1'1 )*(

6.70

rwpr pth

qBk∆

=µ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 21

1'

11

wt

rr

rw

rwr rc

tkpt

psφµ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)*(

)(5.0 22

2'

22

wt

rr

rw

rwr rc

tkpt

psφµ

3 2HVhs kkk =

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

H

hs

H

VA k

kkkI

ti

Tiempo, hrs

Pres

ión

y de

rivad

a de

pre

sión

, ps

i

Fig. 2.35.e. Respuesta de presión para un pozo con penetración parcial ilustrando los puntos y líneas características

10

100

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

CD100001001010.1

PD

t /CD D

Fig. 2.35.f. Solución fuente esférica para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño

0.1

1

10

100

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

t *P

'D

D

t D

C = 0.1D

C = 1D

C = 10DC = 100D

C = 1000D

Flujo esféricom=-1/2

Fig. 2.35.g. Solución fuente esférica (derivada de presión) para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06

t *P

'D

D

t D

b0.10.20.30.40.60.81.0

Flujo esféricom=-1/2

Fig. 2.35.h. Comportamiento de la derivada de presión para un pozo único en un yacimiento infinito con diferentes longitude de penetración parcial (CD = 0, s = 0)


142

El sufijo r1 denota la línea del primer flujo radial. tr1 es cualquier tiempo conveniente durante la primera línea de flujo radial en el gráfico de la derivada. ∆pr1 y (t*∆p’)r1 son los valores de presión y derivada correspondientes a tr1. El daño total, st, se define como la suma de todos los efectos de daño en las fronteras del pozo:

mt c sp

ss s sb

= + +

Donde sc significa ya sea penetración parcial o completamiento parcial, sm significa el daño mecánico y ssp el daño esférico. La permeabilidad horizontal puede estimarse de:

1 '1

70.6( * )r H

p w r

qBk kh t p

µ= =

∆ (5.3)

La Fig. 2.35.b ilustra la derivada de presión adimensional en simetría esférica y la correspondiente derivada de presión adimensional en simetría radial. Allí se observa que el valor de la derivada para el flujo radial tardío en geometría esférica es equivalente a 0.0066 en lugar de 0.5 del sistema radial. Además, la línea de pendiente –½ correspondiente al flujo esférico y la línea de flujo radial tardío de la curva de la derivada de presión adimensional en simetría esférica se intersectan en:

( ) 1/ 21* '2D D Dspi

t P tπ

−=

de donde:

0066.02

1 2/1 =−Dspt

π

Que substituyendo el tiempo adimensional resulta:

sp

swti k

rct2

85.6927748 φµ= (2.115.b)

En la anterior ecuación el sufijo i denota la “intersección” entre el flujo esférico y el flujo radial tardío. Si el flujo radial no se observa este tiempo puede dar un punto inicial para trazar la línea horizontal correspondiente al flujo radial, del cual se halla la permeabilidad horizontal. Este punto también se puede utilizar para verificar la permeabilidad esférica ksp. Otra ecuación que define el mencionado tiempo adimensional puede hallarse de la intersección de la línea de pendiente –½ (flujo esférico) con la línea horizontal de flujo radial tardío pero en simetría radial, sabiendo que:


143

( )Drswsp

riDD trk

hkPt 14

*22/3

2/3'

π=

( )* ' 0.5D D it P =

Luego:

5.014 22/3

2/3

=Drswsp

r

trk

hk

π

Al reeemplazar las variables adimensionales se tiene:

3

22

77.301sp

tri k

chkt

φµ= (2.115.c)

Puesto que las Ecs. 2.115.b y 2.115.c representan el mismo punto de intersección, éstas pueden combinarse para hallar una nueva forma de estimar rsw:

sp

rsw k

hkr 0066.0=

2.10.4. Tiab’s Direct Síntesis Technique, TDST, para flujo hemisférico Aquí se presentan las mismas consideraciones de la sección 2.13.3. Usando un valor de tiempo y derivada durante el flujo hemisférico, la permeabilidad hemisférica y el daño por penetración parcial se estiman mediante:

2/3

2453( * ')

ths

hs sp

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.116)

( )

( )2

34.74 12 * '

t sw hshs

hs hs hs

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆= −⎢ ⎥

∆⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.117)

En la Fig. 2.35.d se puede apreciar que la derivada en geometría esférica del flujo radial tardío corresponde a 0.0033 en lugar de 0.5 del sistema radial. Esta vez la línea de flujo radial y de flujo hemisférico, en simetría hemisférica, se intersectan en: ( )* ' 0.0033D D it P = , d donde:


144

hs

swti k

rct

2

41.27710995φµ

= (2.118.a)

Este punto de intersección en simetría radial proporciona la siguiente ecuación:

3

22

09.1207hs

tri k

chkt φµ= (2.118.b)

Igualando las Ecs. 2.118.a y 2.118.b se puede obtener una forma alterna de estimar rsw.

hs

rsw k

hkr 0066.0= (2.118.c)

El daño total y mecánico se evalúa de una forma similar a la sección 2.10.3. 2.10.5. Consideraciones Importantes 2.10.5.1. Efecto de almacenamiento Es importante identificar el rango de valores de almacenamiento, CD que pueden influenciar la interpretación del régimen de flujo esférico y hemisférico. La forma más simple es graficando PD vs. tD/CD. la Fig. 2.35.f proporciona una idea del efecto del almacenamiento. Como puede verse, la respuesta de presión para varios valores de CD puede distinguirse cuando el almacenamiento es bajo (<10) mientras que para valores más grandes de CD la respuesta es casi idéntica. Un mejor entendimiento se puede lograr si se grafica (tD*PD’) vs. tD/CD. En la Fig. 2.35.g, se observa la respuesta de la derivada de presión para varios valores de CD. Para CD <10 se distingue bien la pendiente de –½ que caracteriza tanto el flujo esférico como el hemisférico. Para valores de 10 < CD >100 la pendiente de –½ es más dificil de identificar. Para valores de CD > 100, el regimen de flujo esférico practicamente ha sido enmascarado por el almacenamiento, lo cual imposibilita la aplicación de la técnica arriba presentada para estimimar la permeabilidad vertical. Luego, para asegurar que no existe enmascaramiento CD debería ser menor de 10. 2.5.10.2. Efectos de la longitud de la Penetración Parcial La longitud del intervalo completado o la longitud de la penetración parcial, hp, juegan un papel importante en la definición del flujo esférico. La presencia de flujo esférico o hemisférico se caracteriza por una pendiente de –½. Esta pendiente característica está ausente cuando la relación de penetración, b = hp/h es mayor del 20 %, como se aprecia en la Fig. 2.35.h.


145

EJEMPLO Abbott et all presentaron en su artículo datos de presión-tiempo para una prueba de declinación de presión. El pozo No. 20 está parcialmente completado en un yacimiento masivo de carbonato. El pozo se cerró para estabilización y luego fluyó a 5200 BOPD por 8.5 hrs. Los datos de presión se dan en la tabla 2.3. Las propiedades de yacimiento y fluido se dan a continuación: h = 302 ft rw = 0.246 ft Pi = 2298 psia b = 120 ft q = 5200 BPD B = 1.7 bbl/STB φ = 0.2 µ = 0.21 cp ct = 34.2 x 10-6 psi-1

Tabla 2.3. Datos de presión para el pozo No. 20

t, hr , hrt Pwf, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

0.0 2266 0 0.5 1.414 2255 11 11.5 1.0 1.000 2243 23 24.5 1.6 0.791 2228 38 40.0 2.0 0.707 2218 48 45.0 2.5 0.632 2208 58 52.5 3.0 0.577 2197 69 69.0 3.5 0.535 2185 81 66.5 4.0 0.500 2178 88 60.0 4.5 0.471 2170 96 56.3 5.5 0.426 2161 105 46.8 6.0 0.408 2157 109 48.0 6.5 0.392 2153 113 52.0 7.0 0.378 2149 117 49.0 7.5 0.365 2146 120 52.5 8.0 0.354 2142 124 48.0 8.5 0.343 2140 126

162.6 162.6(5200)(1.7)(0.21) 8.19 md( 122)(302)r

qBkmh

µ− −= = =

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 2275.3log1513.1 2

1

wt

ihr

rck

mPP

sφµ


146

2130

2150

2170

2190

2210

2230

2250

2270

0.1 1 10

t, hr

P w

f, ps

im=-122 psi/ciclo

P1hr =-2252 psi

Fig. 2.36. Flujo semilog radial para el pozo No. 20

2020

2060

2100

2140

2180

2220

2260

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

P wf

, psi

I = 2060 psi

m = 250 psi(hr )1/2

,t hr

Flujo esférico

Fig. 2.37. Gráfico de flujo esférico (cartesiano) para el pozo No. 20

6 2

2252 2298 8.191.1513 log 3.2275 5.03122 (0.2)(0.21)(34.2 10 )(0.246)

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟− ×⎝ ⎠⎣ ⎦

Método Cartesiano: La Fig. 2.37 contiene un gráfico Cartesiano de Pwf en función 1/ t . De allí la pendiente observada es, m = 250 psi(hr-1/2) e intercepto, I= 2060 psia, la permeabilidad esférica y el daño esférico son:

2/3 2 /3-62453 2453(5200)(0.21)(1.7) (0.2)(0.21)(34.2 10

250sp tq Bk c

mµ φµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


147

ksp = 7.81 md La permeabilidad vertical se estima de:

23sp v hk k k=

De donde:

3 3

2 2

7.81 7.1 md8.19

spv

h

kk

k= = =

120 9.69 ft1202ln2 ln 0.246

sw

w

brbr

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )2298 2060 (7.81)(9.69)

1 1 0.8670.6 70.6(5200)(0.21)(1.7)i sp sw

sp

P I k rs

q Bµ− −

= − = − = −

Con el valor de la permeabilidad vertical se puede estimar el daño causado por penetración parcial:

0.5 0.58.26 302 1324.17.1 0.246

HD

V w

k hhk r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32

675.445.11363.7948.2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

hb

hb

hbG

2 3120 120 1202.948 7.363 11.45 4.675 1.57

302 302 302G ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ] ( )1 11 ln 1 ln 1324.1 1.57 8.52120302

c Ds h Gbh

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − − = − − =⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tiab´s Direct Synthesis Technique La Fig. 2.38 presenta el gráfico de la derivada. De allí se leyeron los siguientes datos:


148

10

100

1000

0.1 1 10

∆P,

t*∆P

', p

si

t, hrs

Almacenamiento

(∆P)N = 23 psitN = 1 hr

Flujo esférico

(t*∆P')sp = 56.25 psitsp = 4.5 hr

2o. Flujo radial

tr = 7.5 hr

(t*∆P')r = 52.5 psi

(∆P)sp = 96 psi(∆P)r = 120 psi

Fig. 2.38. Derivada de presión para el pozo No. 20 Almacenamiento tN = 1 hr ∆P = 23 psia Flujo esférico (t*∆P’)sp = 56.25 psi ∆Psp = 96 psi tsp = 4.5 hr Flujo radial tardío (t*∆P’)r2 = 52.5 psi ∆Pr2 = 96 psi tr2 = 7.5 hr El almacenamiento se estima de:

( )(5200)(1.7) 1 16.01 bbl/psi

24 24 23N

N

tqBCP

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De la línea de flujo esférico, m = ½, la permeabilidad esférica y el daño esférico mecánico se estiman mediante:

2/3 2 /3-6(5200)(1.7)(0.21) (0.2)(0.21)(34.2 10 )1227 1227

( * ') 56.25 4.5t

spsp sp

cqBkt P t

φµµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ksp = 8.05 md


149

( )( )

( )( )

2 -6 2 96(0.2)(0.21)(34.2 x 10 )(9.69 )34.74 1 34.74 12 * ' (8.05)(4.05) 2 56.25

w spt swsp

sp sp sp

Pc rsk t t P

φµ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

ssp = -0.93 La permeabilidad horizontal y el daño se hallan del flujo radial tardío:

70.6 70.6(5200)(1.7)(0.21) 8.26 md( * ') (302)(52.5)r

r

qBkh t P

µ= = =

∆

2 -6 2

120 (8.26)(7.5)0.5 ln 7.43 0.5 ln 7.43( * ') 52.5 (0.2)(0.21)(34.2 10 )(0.246 )

r r r

r t w

P k tst P c r xφµ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

s = -5.33 La permeabilidad vertical se estima de:

23sp v hk k k=

3 3

2 2

8.05 7.65 md8.26

spv

h

kk

k= = =

La tabla 2.4 presenta la comparación de los resultados obtenidos por el método convencional y TDST.

Tabla 2.4. Comparación de resultados

Parámetro Método Convencional TDST ksp, md 7.01 8.05

ssp -0.86 -0.93 ⎯k, md 8.19 8.26

sr -5.03 -5.53 kv, md 7.10 7.65

2.11. PRUEBAS MULTIFLUJO Razones de su uso:


150

Cau

dal

Tiempo

q1

q2

q3

q4

q5

qN-1

qN

0 t1 t2 t3 t4 t5 tN-2 tN-1 tN

Fig. 2.39. Gráfica de una prueba múltiple

1. Es a menudo impráctico mantener a rata constante por mucho tiempo para

efectuar una prueba de caída de presión completa. 2. Cuando el pozo no se cerró el tiempo suficiente para alcanzar la presión estática

antes de que iniciara la prueba de caída de presión. 3. Cuando no es económicamente rentable cerrar un pozo para hacer una prueba de

restauración de presión. Ya sea que las ratas sean constantes o no durante periodos los periodos de flujo, existen principalmente 3 tipos de pruebas multiflujo:

(a) Rata variable incontrolada, (b) series de ratas constantes, y (c) Rata de flujo variable con presión de fondo constante. Esta prueba es común en

pozos gasíferos produciendo de formaciones muy apretadas. Las pruebas de restauración de presión, vistas más adelante en la unidad 3, son realmente un caso especial de pruebas multiflujo. Aplicando el principio de superposición (basado en la Fig. 2.39):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−+++−−++−−

++−−++−=

− ])]([)[(....])]([)[(])]([)[(

])]([)[(])([2.141)(

1

334223

1121

sttPqqsttPqqsttPqq

sttPqqstPq

khBPtP

DNDNN

DDDD

DDDD

iwfµ

Rearreglando:


151

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−++−−−++

−−−+−−−=

−

−−−

sttPqttPttPq

ttPttPqttPtPq

khBPtP

DNDN

DNDDNDN

DDDDDDDD

iwf

}]([{}]([]([{...

}]([]([{}]([)({2.141)(

1

121

21211µ

Utilizando la aproximación logarítmica:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−

−

−−

src

kttq

ttttq

ttttq

ttttq

tttq

khBPtP

wtNN

N

NN

iwf

24316.7ln)}{ln(

lnlnlnln6.70)(

21

1

21

3

23

2

12

11

φµ

µ

Dividiendo por el ln 10 y rearreglando:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−= −

−

=

−∑ src

kttqtt

ttq

khBPtP

wtNN

N

j j

jjiwf 8686.02275.3log)}{log(log6.162)( 21

1

1

1

φµµ

Por conveniencia:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−∑

=−

− src

kttq

qqkh

Bq

tPP

wt

N

jj

N

jj

N

wfi 8686.02275.3loglog6.162)(2

11

1

φµµ

defina:

khBm µ6.162'= (2.119)

src

kswt

⋅+−= 87.023.3log' 2φµ (2.120)

''' smb = (2.121)

Generalizando:

( )' 'i wf

nn

P P tm X b

q−

= + (2.122)

donde el tiempo de superposición, Xn, es:


152

( )∑=

−− −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

n

ii

n

iin ttlog

qqqX

11

1 (2.123)

La Ec. 2.122 es la ecuación de una línea recta (papel cartesiano) con pendiente m’ e intercepto b’, ver Fig. 2.40. Una vez que m’ y b’ son conocidos, la permeabilidad y el factor de daño se pueden estimar usando las Ecs. 2.124 y 2.125:

0

4

8

12

16

4 6 8

m'

N

wfi

qPP −

nX

b'

Fig. 2.40. m’ y b’ de una prueba multitasa

162.6'

Bkm h

µ= (2.124)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= 23.3log

''1513.1 2

wt rck

mbs

φµ (2.125)

La presión inicial, Pi, y toda la historia de la rata de flujo podría conocerse usando este método. Generalmente, estos no se conocen. 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO Este método fue desarrollado por Russell. Este es simplemente un caso especial de pruebas multiflujo. El procedimiento es como sigue: 1. Estabilice el pozo por varios días a una rata constante, q1. 2. Baje la herramienta registradora de presión en el pozo unas 3 ó 4 horas antes del

cambio de rata y empiece a registrar presiones:


153

3. Cambien la rata de flujo usando el choque en cabeza. Después de una corta transición, la rata se estabiliza al nuevo valor, q2.

Las 3 regiones en la Fig. 2.41 representan ciertas características típicas: Región A - Porción de historia de presiones usados en análisis de pruebas de flujo Región B - Detección de fronteras e interferencia Región C - El pozo regresa a una declinación estable de presión

Cau

dal

Tiempo

Pw

f

Pi

t1 ∆t

Historia de presiónpasada

REGION A REGION B

REGION C

Región A es usada en análisis de presionesRegion B se debe a efectos de frontera e interferenciaRegión C ocuure cuando el pozo regresa a presión de delinación estabilizada

Tiempo

q1

q2

t tra

nsic

ión

t1 ∆t

Usualmente se requiere un tiempo de transición cortoantes que la nueva rata de flujo se estabiliza

Fig. 2.41. Representación de una prueba bi-flujo La presión de fondo fluyente después del cambio de rata está gobernada por la siguiente ecuación:

( ) int1

211 loglog' Pt

qq

tttmPwf +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

= (2.126)

donde:

11 24

qN

t p= (2.127)

khBqm µ1

16.162' −= (2.128)


154

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= s

rck

qqmPP

wti 87.023.3log' 2

1

21int φµ

(2.129)

La Ec. 2.126 indica que un gráfico lineal de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) da una línea recta con pendiente m’1 e intercepto Pint, como se muestra en la Fig. 2.42. En general, el “lag time” (tiempo de transición) es más corto cuando hay reducción de rata que cuando hay incremento, i.e. Si q2 < q1 entonces el tlag será corto y si q2 > q1 entonces el tlag será largo debido a efectos de almacenamiento. Una vez se conocen m’1 y Pint, se calcula k, s y P* ≈ Pi.

hmBqk

'6.162

1

1µ−= (2.130)

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∆

−= 23.3log

'0

1513.1 21

1

21

1

wt

hrwf

rck

mPtP

qqqs

φµ (2.131)

La caída de presión a través de la zona de daño es:

( )smqPskin 11 '87.0)( −=∆ (2.132)

( )smqqqPskin 1

1

22 '87.0)( −=∆ (2.133)

( ) ( )[ ]hrwf PtPqq

qPP 112

1int 0 −=∆

−−=∗ (2.134)

P* se conoce como “presión falsa” y a menudo se usa para estimar la presión promedia del yacimiento. EJEMPLO La producción de área ha causado serios problemas en ciertos pozos. Debido al peligro de perder una herramienta en el subsuelo, las pruebas de restauración de presión han sido reemplazadas por pruebas biflujo. La Tabla 2.5 presenta los datos de presión para un pozo que ha fluido a una rata de 1841 STB/D durante 28.4 hrs antes de que la rata se incrementara a 3523 STB/D. Estime la permeabilidad, factor de daño y pérdidas de presión debido al daño. Información adicional, se da a continuación: B = 1.63 bbl/STB rw = 0.365 ft µ = 1.63 cp φ = 30 % h = 108 ft ct = 302x10-6 psi-1


155

SOLUCION Los cálculos necesarios para preparar un gráfico para pruebas biflujo (Fig. 2.43) se resumen en la tabla 2.5. Como se da en el problema, t1 = 28.4 hrs. El gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) se presenta en la Fig. 2.43. Puesto que la segunda rata es mas alta, esta prueba se comporta como una prueba de caída de presión. Se observa que a tiempos tempranos hay efectos de almacenamiento mientras que a tiempos tardíos se desarrolla una línea recta de pendiente -75.5 psi/ciclo log . Usando esta pendiente, la permeabilidad se calcula de:

( )( )( )( )( )( ) md

hmBqk 6.97

1085.7563.163.118416.162

'6.162

1

1 =−

==µ

P wf ,

psi

Pint

m'1

tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+ loglog

1

21Incremento del tiempo de flujo

q2 < q1

Los efectos de frontera se perciben primero aquí

Fig. 2.42. Gráfico de Pwf vs. log [(t1+∆t)/∆t] + q2/q1 log (∆t) El factor de daño total se calcula con la Ec. 2.131.

( )( )( )( )0.223.3

365.01030263.13.06.97log

5.7513151419

3523184118411513.1 26 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

×−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=

−s

Lo anterior indica que el pozo está ligeramente estimulado. En términos de pérdida de presión, se tiene:

( )( ) psiPskin 1310.25.7587.0 =−−=∆


156

Tabla 2.5. Datos de presión para prueba biflujo

∆t, hrs Pwf, psia t

tt∆

∆+1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+t

tt1log ( )tqq

∆log1

2 ( )tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+ loglog

1

21

0.00 1419 0.25 1400 114.60 2.06 -1.15 0.91 0.50 1384 57.80 1.76 -0.58 1.19 0.75 1358 38.87 1.59 -0.24 1.35 1.00 1335 29.40 1.47 0.00 1.47 1.25 1321 23.72 1.38 0.19 1.56 1.50 1310 19.93 1.30 0.34 1.64 1.75 1304 17.23 1.24 0.47 1.70 2.00 1300 15.20 1.18 0.58 1.76 2.50 1286 12.36 1.09 0.76 1.85 3.00 1280 10.47 1.02 0.91 1.93 3.50 1274 9.11 0.96 1.04 2.00 4.00 1270 8.10 0.91 1.15 2.06 4.50 1265 7.31 0.86 1.25 2.11 5.00 1261 6.68 0.82 1.34 2.16 6.00 1255 5.73 0.76 1.49 2.25 7.00 1249 5.06 0.70 1.62 2.32 8.00 1245 4.55 0.66 1.73 2.39 9.00 1241 4.16 0.62 1.83 2.44 10.0 1237 3.84 0.58 1.91 2.50 15.0 1219 2.89 0.46 2.25 2.71 20.0 1206 2.42 0.38 2.49 2.87 26.1 1200 2.09 0.32 2.71 3.03

2.13. METODO DE PINSON Este es una aproximación del método biflujo y debería usarse solo cuando t1 >> ∆t, en tal caso, la Ec. 2.126 se convierte en:

intlog PtmP pwf +∆= (2.135)

Esta ecuación indica que un grafico semilog de Pwf vs. ∆t, ver Fig. 2.44, debería dar una línea recta de pendiente mp e intercepto Pint dados por:

( )kh

Bqqmpµ126.162 −

−= (2.136)


157

1200

1220

1240

1260

1280

1300

1320

1340

1360

1380

1400

1420

1440

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

∆t = 1 hr

P1hr = 1315 psi m'1 = -75.5 psia/log cycle

P w

f, ps

i

'loglog1

2 tqq

ttt

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

Fig. 2.43. Gráfico de una prueba de dos ratas

1200

1250

1300

1350

1400

1450

0.1 1 10 100

P w

f , ps

i

P1hr=1323 psia m=-87.9 psi/cysle

∆t, hrs Fig. 2.44. Gráfico Semilog de Pwf vs. ∆t

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= 12

12

12

2int log87.023.3log t

qqs

rck

qqqm

PPwt

pi φµ

(2.137)

Estas dos ecuaciones pueden usarse para estimar k y s, o también:

( )hm

Bqqkp

µ126.162 −−= (2.138)


158

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∆−= 23.3log

01513.1 2

1

wtp

wfhr

rck

mtPP

sφµ

(2.139)

El método de Pinson es mucho más rápido y más simple que el de Russell. Earlougher demostró que los valores de k y s obtenidos de un gráfico Pinson podría ser considerado como una aproximación de los valores reales. El error en permeabilidad (Ec. 2.140) y en factor de daño (Ec. 2.142) están dados por:

( ) *21*

1

1TqTq

q

kkk

Eactual

actualEk −−

=−

= (2.140)

donde:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+∆

=

1

1log

log*

ttt

tT (2.141)

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =∆−−=−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

*10

1513.121

11

Tqqq

mtPP

ssEp

wfhractualEs (2.142)

2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS La ecuación gobernante es:

( )' log 'i wf n

eqn

P P tm t b

q−

= + (2.143)

donde el tiempo equivalente, teq, se estima mediante (de la Ec. 2.123):

( )( ) nXnqiqiq

in

n

ieq ttt 10

1

11

=−=−−

−=

∏ (2.144)

Si se grafica [Pi - Pwf(t)]/qn vs. Log teq, se obtendrá una línea recta. Utilice las Ecs. 2.119 y 2.120 para estimar permeabilidad y daño. 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTIRATA Los detalles matemáticos de la derivación de las ecuaciones pueden hallarse en el articulo SPE 62607. Estime los siguientes parámetros:


159

Tabla 2.6. Datos de presión y caudal para prueba multirata

n t, hr q, BPD Pwf, psi ∆P, psi ∆P /q Xn teq t*(∆P/q)' teq*(∆P/q)' psi/BPD hr 0 2906 1 1 1580 2023 883 0.559 0.000 1.000 1 1.5 1580 1968 938 0.594 0.176 1.500 0.0827 0.0827 1 1.89 1580 1941 965 0.611 0.276 1.890 0.0922 0.085 1 2.4 1580 2 3 1490 1892 1014 0.681 0.519 3.306 0.0862 0.0791 2 3.45 1490 1882 1024 0.687 0.569 3.707 0.0459 0.0543 2 3.98 1490 1873 1033 0.693 0.624 4.208 0.038 0.0422 2 4.5 1490 1867 1039 0.697 0.673 4.712 0.0752 0.0576 2 4.8 1490 3 5.5 1440 1853 1053 0.731 0.787 6.124 0.111 0.1044 3 6.05 1440 1843 1063 0.738 0.819 6.596 0.076 0.0933 3 6.55 1440 1834 1072 0.744 0.849 7.056 0.0601 0.07 3 7 1440 1830 1076 0.747 0.874 7.481 0.2905 0.0683 3 7.2 1440 4 7.5 1370 1827 1079 0.788 0.974 9.412 0.4561 0.0941 4 8.95 1370 1821 1085 0.792 1.009 10.212 0.245 0.0764 4 9.6 1370 5 10 1300 1815 1091 0.839 1.124 13.311 0.319 0.1996 5 12 1300 1797 1109 0.853 1.153 14.239 0.2056 0.2094 6 14.4 1260 7 15 1190 1775 1131 0.950 1.337 21.746 0.2518 0.1018 7 18 1190 1771 1135 0.954 1.355 22.662 0.1366 0.0946 7 19.2 1190 8 20 1160 1772 1134 0.978 1.423 26.457 0.2151 0.1913 8 21.6 1160 9 24 1137 1756 1150 1.011 1.485 30.553 0.2147 0.2311

10 28.8 1106 11 30 1080 1751 1155 1.069 1.607 40.426 0.3864 0.2234 11 33.6 1080 12 36 1000 13 36.2 983 1756 1150 1.170 1.788 61.414 0.3984 0.4908 13 48 983 1743 1163 1.183 1.799 63.020

n

niq q

tPPP )(−=∆ (2.145)


160

donde;

ttt nn ∆+= −1 (2.146) Con el tiempo equivalente, Ec. 2.146, determine la derivada teq*(∆P/q)’ y haga el gráfico de la derivada. El almacenamiento puede obtenerse tomando un punto cualquiera sobre la recta unitaria de tiempo temprano y estimado mediante:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

qPtBC

∆24 (2.147)

La permeabilidad se obtiene con la derivada en el flujo radial usando la Ec. 2.148 y el daño se obtiene con la Ec. 2.149 tomando un valor de tiempo y presión en la línea de flujo radial:

rqPthBk

)*(.

′=

∆µ670 (2.148)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 43.7ln

)'*()(

5.0 2wt

r

rq

rq

rckt

PtP

sφµ∆

∆ (2.149)

Cuando la rata de flujo tiene una variación moderada, se prefiere utilizar tiempo real en vez de tiempo equivalente con excelentes resultados. Por el contrario, cambios bruscos en la rata de flujo proporcionan resultados inaceptables. Es recomendable que los datos de la prueba se registren en intervalos iguales de tiempo para obtener derivadas más suavizadas. TDST es aplicable a pruebas de dos ratas y existe además una técnica para pruebas donde hay una rata de flujo constante precedida por rata de flujo variable. Para pruebas de inyección con múltiples ratas, referirse al artículo SPE 76714. EJEMPLO Estime permeabilidad y porosidad utilizando el método cartesiano, semilog y TDST usando los datos de presión y rata de flujo medidos en una prueba multirata se dan en la tabla 2.6. Otros parámetros conocidos del yacimiento son: Pi = 2906 psi B = 1.27 bbl/STB µ = 0.6 cp h = 40 ft rw = 0.29 ft φ = 11.2 % ct = 2.4x10-6 1/psi

SOLUCION


161

Una de las dificultades de éste método es la determinación de Xn y del tiempo equivalente, teq, lo que lo hacen un procedimiento tedioso. Para ilustrar esto se estimará Xn a las 6.05 hrs, utilizando la Ec. 2.123. Observe que cada valor de j se refiere al nivel n en la prueba y por lo tanto se usa el último dato de tiempo y caudal de cada intervalo de j que finalmente afecta la prueba. Para el ejemplo, n = 3 y:

( ) ( ) ( )11 1 1

1 1

1log logn n

i in i i i i

i in n

q qX t t q q t tq q

−− − −

= =

⎛ ⎞−= − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑

Método Cartesiano:

La tabla 2.6 presenta el resumen de los valores calculados para la presión normalizada [Pi - Pwf(t)]/qn, tiempo de superposición, Xn , Ec. 2.123 y tiempo equivalente, teq, Ec. 2.144. La Fig. 2.45 muestra los del gráfico cartesiano de [Pi - Pwf(t)]/qn versus Xn. Se observan allí dos líneas rectas. Note que la pendiente de la segunda línea recta es mayor que la de la primera indicando ya sea una falla, una zona de baja permeabilidad o estado pseudoestable. Los resultados de regresión lineal dan un a pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D), y un intercepto b’=0.5532 psi/(STB/D). La permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

3

1 11580 0 log 6.05 0 1490 1580 log 6.05 2.41440 1440

1 1440 1490 log 6.05 4.8 0.8191440

n j j

j

X= =

=

= − − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − − =⎡ ⎤⎣ ⎦

162.6 (162.56)(1.27)(0.6) 13.49 md

' 0.2296(40)Bk

m hµ

= = =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= 23.3log

''1513.1 2

wt rck

mbs

φµ

6 2

0.5532 13.481.1513 log 3.23 3.870.2296 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

Método semilog: La Fig. 2.46 es un gráfico semilog de [Pi - Pwf(t)]/qn versus t y teq. El objeto de éste gráfico es el de comparar entre el análisis riguroso usando tiempo equivalente, teq, y análisis usando el tiempo real de flujo, t. Note que durante el primer ciclo los gráficos de t y teq son prácticamente iguales. La regresión para el caso de tiempo real dio una pendiente m’=0.2411 psi/(STB/D)/ciclo e intercepto b’ o ∆P/q(1hr)=0.553 psi/(STB/D).


162

De nuevo, la permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

Xn, tiempo de superposición

∆ P/q

, psi

/BPD

m'=0.2296 psi/BPD

b' = 0.5532 psi/BPD

Fig. 2.45. Gráfico cartesiano de presión normalizada vs. Tiempo de superposición

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1 10 100

t y teq, hrs

∆ P/q

, psi

/BP

D

t teq

m'=0.2411 psi/BPD/ciclo, t real

b' = 0.553 psi/BPD, t real

m'=0.2296 psi/BPD/ciclo, teq

b' = 0.5532 psi/BPD, teq

Fig. 2.46. Gráfico semilog de presión normalizada vs. Tiempo equivalente y tiempo

real


163

0.01

0.1

1

10

1 10 100

t teq

t y teq, hrs

∆ P q,

t*∆ P

q' y

t eq

*∆P

q', p

si/S

TB

t *(∆Pq)'r = 0.097 psi/STB

(∆Pq)r = 0.69 psi/BPD

tr = 4 hrs

Fig. 2.47. Gráfico log-log de presión normalizada y su derivada vs. Tiempo equivalente y tiempo real

162.6 (162.56)(1.27)(0.6) 12.84 md

' 0.2411(40)Bk

m hµ

= = =

6 2

0.553 12.841.1513 log 3.23 3.980.2411 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

La línea recta con teq tiene una pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D)/ciclo, e intercepto b’ ó ∆P/q(1hr)=0.5532 psi/(STB/D). Luego la permeabilidad y el daño estimados mediante las Ecs. 2.124 y 2.125 son 13.49 md y –3.87, respectivamente.

Tabla 2.7. Comparación de resultados estimados mediante diferentes técnicas

TECNICA k, md s Tiempo de Superposición Método Cartesiano

13.49 -3.87

Tiempo Equivalente Método Semilog

13.49 -3.87

Tiempo Real Método Semilog

12.84 -3.98

TDST 13.86 -3.794


164

Método de Tiab’s Direct Synthesis Technique: La derivada de la presión normalizada también se reporta en la tabla 2.6. La Fig. 2.47 ilustra un gráfico log-log de ∆Pq and (t*∆P'q) versus t y teq. Durante el primer ciclo los dos juegos de datos tienen aproximadamente la misma tendencia. De dicho gráfico, se observa la línea de comportamiento infinito y se leen los siguientes valores: (t*∆P'q)r = 0.097 psi/(STB/D), (∆Pq)r = 0.69 psi/(STB/D) y tr = 4 hrs La permeabilidad y el daño se estiman, respectivamente, usando las Ecs. 2.148 y 2.149:

70.6 (70.6)(1.27)(0.6) 13.86 md( * ) 0.097(40)q r

Bkh t P

µ= = =

′∆

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 43.7ln

)'*()(

5.0 2wt

r

rq

rq

rckt

PtP

sφµ∆

∆

6 2

0.69 (13.86)(4)0.5 ln 7.43 3.7940.097 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 )

s −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎝ ⎠⎣ ⎦

La comparación de los resultados obtenidos mediante los diferentes métodos se resumen en la tabla 2.7. Note que todos los resultados concuerdan bien. La estimación de la permeabilidad usando tiempo real tiene una desviación absoluta de 4.81 %. Puesto que este error es aceptable se puede realizar el análisis graficando presión normalizada vs. tiempo ya que el cálculo de Xn es tedioso y requiere un programa de computador. Se halló una diferencia de 2.74 % entre los resultados obtenidos de la TDST y el análisis semilog. Nótese que la derivada tiene mucho ruido probablemente debido a que el incremento del tiempo no es igualmente espaciada. 2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS – METODO DE SLIDER La Fig. 2.48 esquematiza un pozo con la presión de cierre declinando (línea sólida) antes que iniciara la prueba a un tiempo t1. La extrapolación del primer comportamiento (línea punteada) representaría el comportamiento de presión esperado para el cierre continuado. La producción arranca en t1 y la presión se comporta como lo muestra la línea sólida.


165

t1

Pres

ión

Tiempo de flujo

Declinación inicial de presión observada

Extrapolación correcta

Declinación de presión observada

∆t

∆Pow(t)

∆P∆t

Fig. 2.48. Esquematización de declinación de presión en un yacimiento desarrollado En la Fig. 2.48, ∆Pwo(t) es la caída de presión con respecto a Pi que es causada por otros pozos en el yacimiento y se mide a un tiempo t = t1 + ∆t. Dicha caída de presión se esquematiza en la Fig. 2.48 como la diferencia entre la presión inicial y la línea de declinación extrapolada. ∆P∆t es la diferencia entre la presión de fondo observada (registrada) y la presión extrapolada. Para analizar correctamente pruebas de este tipo se requiere:

1) Extrapole correctamente la presión de cierre 2) Determine ∆P∆t 3) Grafique ∆P∆t vs. ∆t. Esto debería dar una recta cuya pendiente puede

analizarse usando las Ecs. 2.30 y 2.40. Considere un pozo cerrado en un yacimiento desarrollado con otros pozos en operación. Existe una declinación de presión en el pozo cerrado producto de la producción de los otros pozos. Después que el pozo de prueba se ha puesto en producción al tiempo t1, su presión será:

[ ]141.2 ( , 1,...) ( )wf i D D D owq BP P P t r s P t

khµ

= − ∆ = + − ∆ (2.150)

∆Pwo(t) puede estimarse por superposición a partir de:

2

141.2( ) ( , ...)n

ow i w j j D D Djj

P t P P q B P t rkh

µ=

∆ = − = ∑ (2.151)


166

La Ec. 2.151 asume que TODOS los pozos arrancan a producir a t = 0. Esta asumpción puede eliminarse mediante una superposición más compleja. Si los otros pozos en el yacimiento operan bajo estado pseudoestable, la Ec. 2.151 se convierte en:

( ) *owP t b m t∆ = − (2.152) La pendiente, m*, es negativa cuando se grafica ∆Pwo(t) vs. t ó positiva si se grafica Pw vs. t. m* se estima antes de que el pozo de prueba se abra en producción:

2 1

2 1

( ) ( )* ws ws wsdP P Pmdt t t

−= =

− (2.153)

Si se dispone de datos de presión antes de la prueba, m* puede estimarse fácilmente. También, se puede estimar mediante una ecuación resultante de reemplazar la Ec. 2.44 en la 2.151:

2

0.23395*n

j jjt

m q Bc hAφ =

−= ∑ (2.154)

estando el volumen del yacimiento en ft3. Combinando adecuadamente las Ecs. 2.24 (con rD = 1), 1.30, 2.150 y 2.152, resulta:

1* logwf hrP m t m t P− ∆ = ∆ + ∆ (2.155) donde m y P1hr se obtienen de las Ecs 2.29 y 2.30:

1 ( 0) 2log 3.2275 0.8686hr ws tt w

kP P m sc rφµ∆ =

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

La Ec. 2.155 indica que un gráfico de Pw f - m*∆t vs. log ∆t da una recta de pendiente m y corte ∆P1hr en ∆t = 1 hr. La permeabilidad se pude hallar de la ecuación anterior. El daño se estima de un arreglo de la Ec. 2.40:

12

( 0)1.1513 log 3.23hr ws

t w

P P t ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ − ∆ == − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2.17. TDST PARA YACIMIENTOS LINEALES Estos yacimientos pueden aproximarse a la geometría descrita por la Fig. 2.49.a. y resultan principalmente de depósitos fluviales, comúnmente llamados canales. Los


167

posibles regímenes de flujo cuando el pozo está completamente descentrado se presentan en la Fig. 2.52. Cuando las fronteras paralelas del yacimiento son de no flujo (cerradas), y el pozo se encuentra localizado a un extremo de éste, Fig. 2.49.c, se observa que el régimen de flujo dominante es el flujo lineal caracterizado por una pendiente de 0.5, ver Fig. 2.50, y cuya ecuación gobernante es:

22

L

DD D L L

D

tP t s s

Wπ

π= + = + (2.156)

Siendo sL el daño causado por el cambio de flujo lineal a radial. Los parámetros adimensionales se definen como:

2

0002637.0

wtD rc

kttµφ

= (2.60)

2L

DD

D

ttw

= (2.157.a)

E

Dw

Ywr

= (2.157.b)

* ' * '141.2D D

kht P t Pq Bµ

= ∆ (2.158)

La derivada de la Ec. 2.156 es:

* ' DD D

D

tt P

Wπ

= (2.159)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.159 y despejando el producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, se tiene:

7.2034( * )E

L t

qB tkYh t p c

µφ∆

=∆

(2.160)

Para ∆t = 1 hr

1

7.2034( * )E

L t

qBkYh t p c

µφ

=∆

(2.161)


168

YE

x E

X w

Pozo

Pozo

YE

YE

h

h

a) GEOMETRIA DEL YACIMIENTO

b) FLUJO DUAL LINEAL

c) FLUJO LINEAL

Fig. 2.49. Geometría del yacimiento y caracterización de los regímenes de flujo El producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, puede ser calculada del flujo lineal dual, DL, que toma lugar cuando el pozo se encuentra localizado a cualquier distancia de la frontera lateral más cercana a él, ver Fig. 2.49.b. El comportamiento de la presión adimensional y su derivada se presentan en la Fig. 2.51.

2 DD L

D

tP s

Wπ

= + (2.162)

cuya derivada es:

* ' DD D

D

tt P

Wπ

= (2.163)

Al remplazar las variables adimensionales se tiene:

4.064( * )E

DL t

qB tkYh t p c

µφ∆

=∆

(2.164)

Para ∆t = 1 hr


169

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

P

y t

*P'

D

D

D

t D

Fin del flujo radial

Flujo dual lineal

Estado pseudoestable

1/2

Pozo en el centro - Laterales cerrados

Fig. 2.50. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado en la

mitad del yacimiento

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

`

P y

t

*P'

D

D

D

t D

1/8

Pozo a 1/8 - laterales cerrados

Flujo dual lineal

Flujo lineal puro


Fin del flujo radial

Fig. 2.51. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado a 1/8 de

la frontera más cercana


170

1

4.064( * )E

DL t

qBkYh t p c

µφ

=∆

(2.165)

Puntos de Intersección Para tiempos largos de producción, en la derivada de pseudopresión se obtiene una línea recta de pendiente unitaria la cual corresponde al flujo de estado pseudoestable, cuya ecuación esta dada por: ( )* ' 2 *D D DApsst P tπ= (2.166)

Esta línea se intercepta con la línea del flujo lineal y doble lineal obteniéndose el área de drene del yacimiento. Para flujo doble lineal se tiene:

2

301.77DLPi E

t

kt YAcφµ

= (2.167)

Para flujo lineal se tiene:

2

948.047LPi E

t

kt YAcφµ

= (2.168)

La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

π41

=DARPit (2.169)

Donde:

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (2.170)

Sustituyendo la ecuación 2.170 en 2.169 y despejando el área se obtiene:

t

RPi

ckt

Aφµ77.301

= (2.171)

Igualmente, de la intersección de la línea de comportamiento radial infinito de la derivada de presión (línea recta horizontal) con los flujos lineal y doble lineal se obtienen ecuaciones para calcular el ancho del yacimiento lineal. El punto de corte


171

entre el flujo radial y el flujo lineal es único tRLi, donde el valor de la derivada adimensional de la presión adquiere un valor de ½ cuando el pozo se encuentra centrado con respecto a sus fronteras más cercanas y de 1 cuando el pozo esta descentrado y se observan dos líneas horizontales, ver Fig. 2.52, Luego:

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10 1.E+11 1.E+12

P

y t

*P'

D

D

D

t D

Flujo dual lineal


Almace-namiento

Primer Flujo radial

2o. Flujo radial

Flujo l

ineal

Fig. 2.52. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular con el pozo situado asimétricamente

con respecto a los lados del yacimiento

( )* ' 0.5DD D DL

D

tt P

Wπ

= = (2.172)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.172 se obtiene el ancho del yacimiento YE en unidades de campo:

0.05756 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.173)

Cuando se observan dos líneas horizontales (dos flujos radiales) o cuando el primero está enmascarado, la Ec. 2.173 se transforma en:

0.02878 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.173)


172

Para puro flujo lineal, las ecuaciones 2.173 y 2.174 se transforman respectivamente en:

0.1020 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.174)

0.051 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.175)

El daño causado por la convergencia del flujo lineal a radial puede hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.156 y 2.158, sustituyendo las variables adimensionales por las cantidades en unidades de campo y despejando el daño, sL:

12( * ') 34.743

L LL

L E t

P ktst P Y cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.176)

Donde tL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆pL y t*∆pL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tL. El daño causado por la convergencia del flujo dual lineal a radial puede también hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.162 y 2.163 y despejando el daño, sL:

12( * ') 19.601

DL DLDL

DL E t

P ktst P Y cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.177)

Donde tDL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ∆PDL y t*∆PDL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tDL. En yacimientos lineales cuando el pozo está descentrado y existe una acción simultánea del flujo lineal, en un lado, y del estado estable, en el otro extremo, se presenta un flujo de pendiente de -1/2, que no corresponde al flujo esférico o hemisférico, ver Fig. 2.54 y 2.55, y por ende se llamó flujo pseudohemisférico. La ecuaciones gobernantes de este regimen de flujo son:

( )2

2 0.5( ) ED D D D SHS

E

XP W X t sY

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.178)

( )2

2 0.5* '2

D ED D D D

E

W Xt P X tY

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.179)


173

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12

Flujo Pseudo estable

Flujo Dual lineal

t *P

' D

D

tD

Flujo Lineal

Flujo Radial

tDLPSSi

tLPSSi

tRPSSi

X = 1/4 X /Y = 512

D

EE

tDLPitLPi

Fig. 2.53. Puntos de intersección característicos de los yacimientos lineales

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12

Flujo Radial

Flujo Pseudo-Hemisférico

Flujo Dual lineal

t DLSHSi

t RSHSi

t *P

' D

D

tD

Yacimiento con frontera lejana cerrada

XD = 1/16XE/YE = 512

X = 1/16 X /Y = 512

D

EE

Fig. 2.54. Puntos característicos del flujo pseudohemisférico Usando la filosofía de la Tiab´s Direct Synthesis technique, se obtiene una relación para estimar el daño causado por la convergencia de flujo dual lineal a flujo pseudohemisférico y la posición del pozo.

( )123.162

* 'SHS x t

SHSE SHSSHS

P b cst P Y kt

φµ⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(2.180)


174

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12 1,E+13

Yacimiento con frontera lejana cerrada

Yacimiento con fronteras abiertas

t *P'

D

D

tD

m= -1

Flujo Dual lineal

Flujo Radial

Flujo Pseudo Hemisférico

X = 1/4 X /Y = 512

D

EE

Fig. 2.55. Características de las línea de pendiente -1

( )

0.51.5

2 17390* '

tE

x SHSSHS

ck Y q Bb h t P t

φµµ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2.181)

El daño total para este tipo de yacimiento se evalúa de acuerdo a los regímenes de flujo que se presenten: • Pozo cerca de la frontera cerrada. En este caso se presentan el flujo radial, dual

lineal y lineal. • Pozo cerca de la frontera abierta. En este caso se presentan el flujo radial, dual

lineal y flujo pseudohemisférico.

r DL Ls s s s= + + (2.182)

r DL SHSs s s s= + + (2.183) Los puntos de intersección, ver Fig. 2.53 a 2.55, hallados entre las diferentes líneas de la derivada permiten desarrollar las siguientes ecuaciones:

2

301.77DLPSSi E

t

kt YAcφµ

= (2.184)


175

2

948.047LPSSi E

t

kt YAcφµ

= (2.185)

0.05756 RDLiE

t

ktYcφµ

= (2.186)

0.1020 RLiE

t

ktYcφµ

= (2.187)

1

65.41DLSHSi

xt

ktbcφµ

= (2.188)

0.5

*246.32

RSHSiEx

t

ktYbcφµ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.189)

Para casos de estado estable se traza una pendiente unitaria, SS1, cuyo corte con la línea de estado pseudoestable permite estimar la longitud del yacimiento, ver Fig. 2.53.

13 177.9E

SHSSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.190)

1. Fronteras abiertas • Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal

1

33

9 3

1 11.426 10E

DLSS i

t x

ktX

c bφµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.191)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial

1

2 23

6 3

14.72 10E

RSS i E

t x

kt YXc bφµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.192)

• Intersección pendiente -1 con flujo pendiente -½


176

13 177.9E

SHSSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.193)

2. Fronteras mixtas (pozo cerca de la frontera abierta) • Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal

2

33

10 3

1 11.42 10E

DLSS i

t x

ktX

c bφµ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(2.194)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial

2

2 23

7 3

14.66 10E

RSS i E

t x

kt YXc bφµ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.195)

• Intersección de la línea de pendiente -1 con la linea de flujo pseudo hemisférico

de pendiente -½

23 1768.4E

SHSSS ix

t

ktX b

cφµ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.196)

Del punto de inflexión entre el flujo dual lineal al lineal se puede obtener la posición del pozo, mediante cualquiera de las siguientes relaciones:

5448.2F

xt

ktbcφµ

= (2.197)

( * ')415.84

Ex F

khYb t Pq Bµ

= ∆ (2.198)

Puntos máximos – Pozo cerca de la frontera abierta Primer punto máximo (cambio de flujo dual lineal a pseudo hemisférico)

1( * ')ED D X

E D

X t PY X

π⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.199)


177

Segundo Punto Máximo (fin de la línea de flujo pseudo hemisférico y comienzo del flujo estable):

1158.8

Xx

t

ktbcφµ

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.200)

1( * ')159.327

E Xx

khY t Pbq Bµ

∆= (2.201)

2

2

1637.3( * ')

xE

E X

b q BXY kh t P

µ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.102)

0.5

2139.2

XE

t

ktXcφµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.103)

Pozo cerca de la frontera cerrada

0.5

3144.24

XE

t

ktXcφµ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.104)

2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES La Ec. 2.30 se utiliza para determinar la permeabilidad del flujo radial de un gráfico semilogarítmico. La ecuación que gobierna el flujo lineal es (Ver Fig. 2.56):

2WD DeP t sπ σ= + + (2.105) Donde:

0.0002637De

t

kttcφµ

= (2.106)

y σ pseudo Daño debido al flujo lineal. El ancho del yacimiento YE se determina de:

0.5

1

8.1282Ef t

qBYm h k c

µφ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2.107)


178

2 π

1

Det

b1f sσ= +

WD

P

Fig. 2.56. Grafico de PwD vs. tDe0.5 Durante el flujo lineal

1m *

log t, hr

P, p

si

Fig. 2.57. P Versus t0.5 Durante el flujo lineal Donde m1f es igual a la pendiente de la línea de flujo lineal en el grafico cartesiano ∆P Versus t0.5 (ver Fig. 2.57). El daño para flujo lineal se calcula de la siguiente ecuación:

11 ln2 141.2

f w

e

khb rsq B Yµ

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.108)

Donde b1f es el punto de corte de la gráfica cartesiana P Versus t0.5, Fig. 2.57. El area se puede calcular del flujo pseudoestable de la siguiente ecuación:


179

*

0.234E E

t

qBX Yhc mφ

= (2.109)

Donde m* es la pendiente del grafico semilogarítmico de presion contra tiempo (psi/hr), Ver Fig. 2.58.

Tabla 2.8. Datos de presión y derivada de presión para ejemplo real de yacimiento rectangular

t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi t, hr ∆P,

psi t*∆P´,

Psi 0.165 49.00 51.00 4.331 331.24 147.65 9.824 458.47 136.700.332 99.00 67.00 4.498 336.89 149.17 10.157 463.23 132.870.498 122.42 60.38 4.665 342.30 151.39 10.490 467.44 134.030.665 140.49 66.57 4.831 347.70 152.79 10.824 471.48 132.580.831 156.07 73.69 4.998 352.84 154.09 11.157 475.61 130.610.998 170.14 80.12 5.165 358.01 155.83 11.490 479.47 127.781.165 182.92 84.74 5.331 362.96 156.87 11.824 483.19 126.711.331 194.48 88.67 5.498 367.77 157.85 12.157 486.70 125.211.498 205.17 92.44 5.665 372.54 159.51 12.490 489.94 122.971.665 215.09 96.63 5.831 377.15 159.55 12.824 493.12 119.841.831 224.53 101.16 5.998 381.67 159.94 13.157 496.26 117.321.998 233.54 105.28 6.165 386.10 161.25 13.490 499.19 115.012.165 242.11 109.19 6.331 390.50 161.31 13.824 502.05 113.782.331 250.33 113.12 6.498 394.60 161.74 14.157 504.71 111.162.498 258.24 116.37 6.665 398.63 161.58 14.490 507.15 109.552.665 265.94 120.68 6.831 402.76 161.88 14.990 510.78 106.052.831 273.23 124.15 6.998 406.64 161.66 15.490 514.29 102.522.998 280.57 126.97 7.165 410.42 161.90 15.990 517.45 99.40 3.165 287.49 130.91 7.331 414.19 161.66 16.490 520.59 97.21 3.331 294.22 133.24 7.657 421.18 161.21 16.990 523.48 93.62 3.498 300.85 136.37 7.990 428.16 160.73 17.490 526.10 90.44 3.665 307.28 138.93 8.324 434.62 153.77 17.990 528.57 86.87 3.831 313.54 141.42 8.657 440.94 149.99 20.474 470.79 50.29 3.998 319.60 143.73 8.990 446.87 146.59 22.640 538.42 10.60 4.165 325.50 145.48 9.490 453.81 140.47

EJEMPLO El presente ejemplo se tomó de una prueba de presión real generada en un pozo de petróleo ubicado en un canal de un yacimiento en Colombia, los datos de presión y derivada de presión se presentan en la tabla 2.8, y los de roca y fluido se presentan a continuación.


180

q = 1400 bbl/Dia h = 14 ft ct = 9x10-6 psi-1 rw = 0.51 pies φ = 24 % Bo = 1.07 bbl µ = 3.5 cp Usando la TDST y análisis convencional: 1) Estime la permeabilidad del flujo radial 2) Determine el lado y ancho del yacimiento 3) Determine la distancia del pozo a la frontera SOLUCIÓN POR LA TDST De la Fig. 2.58, se obtuvieron los siguientes datos (t*∆P’)r = 60 psi ∆Pr = 122,424 psi tDL = 2 hr (t*∆P’)DL = 105,81 psi ∆PDL = 265,942 psi tRDLi = 0,7 hr tSHS = 10,157 hr (t*∆P’)SHS = 132,873 ∆PSHS = 458,466 psi tSHSDLi = 6 hr tSHSRi = 50 hr tDLSS1i = 7,5 hr tRSS1i = 24 hr tSHSSS1i = 12 hr La permeabilidad se obtiene de la Ec. 2.69:

( )70.6 70.6(1400)(3.5)(1.07) 440.7

* ' (14)(60)r

q Bk mdh t P

µ= = =

∆

El ancho del yacimiento se calcula de la Ec. (2.164).

6

4.064 4.064(1400)(1.07) (2)(3.5) 352.4(0.24)(9 10 )( * ') 440.7(14)(105,81)

DLE

tDL

tqBY ftckh t P

µφ −

∆= = =

×∆

Verifique YE con la Ec. 2.186:

6

(440.7)(0.7)0.05756 0.05756 367.7(0.24)(3.5)(9 10 )

RDLiE

t

ktY ftcφµ −= = =

×

Se determina la posición del pozo (distancia a la frontera más cercana) de la Ec. (2.181):

( )( )

1.5 1.52

0.5 0.56

440.7 (367.8)

0.24(3.5) 9 101400(3.5)(1.07)17390 17390* ' 14(132.873) 10.157SHS

Ex

t

SHS

k Ybcq B

h t P tφµµ −

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ×⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


181

10

100

1000

0.1 1 10 100

(t*∆P')r = 60 psi

∆P,

t*∆ P

´, ps

i

t, hrs

t = 50 hrsSHSRi

t =24 hrsSS2Rit = 0.7hrsRDLi t = 6 hrsSHSDLi

t =12 hrsSS2SHS

t =7 hrsSS2DLi

t =10.157hrs

(t*∆P') =132.8 psi

SHS

SHS(t*∆P') =105,81psi

t =2 hrsDL

DL

Fig. 2.58. Presión y derivada de presión para ejemplo yacimientos lineales bx = 283.7 ft Verifique bx de las ecuaciones 2.188 y 2.189:

6

1 1 440.7*6 285.965.41 65.41 0.24*3.5*(9*10 )

SHSDLix

t

ktb ftcφµ −= = =

0.5 0.5

6

367.7 440.7*50* * 283.9246,32 246,32 0.24*3.5*(9*10 )

SHSRiEx

t

ktYb ftcφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

En la curva de derivada de la presión una vez se termina la línea de pendiente -0,5 de flujo pseudohemisférico, antes de caer se levanta un poco, de lo cual determinamos que la frontera lejana es cerrada, este punto máximo no se observa con mucha claridad de lo cual utilizamos las ecuaciones del punto de intersección de la pendiente -1 con los flujos dual lineal, pseudo hemisférico y radial.

2

3 33

10 3 10 6 3

1 1 1 440.7 7 11.41 10 1.41 10 0.24 3.5 (9 10 ) 284

637.2

E

DLSS i

t x

E

ktX

c b

X ft

φµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × × × ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠=

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo Radial, Ec. (2.195):


182

1100

1150

1200

1250

1300

0.1 1t, hr

P, p

sim=140 psi/ciclo

Fig. 2.59. Grafico semilog para ejemplo yacimientos lineales

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.5 1 1.5 2 2.5

P, p

si

1

1

184 24.045184

24.045f

f

dP tm

b

= +=

=

t

Fig. 2.60. Grafico cartesiano de P vs. t0.5 para ejemplo yacimientos lineales

2

2 22 23

7 3 7 6 3

367.71 1 440.7 244.66 10 4.66 10 0.24 3.5 (9 10 ) 284

628.2

E

RSS i E

t x

E

kt YXc b

X ftφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞×⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟× × × × ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠=

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo pseudo hemisférico, Ec. (2.197). Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo dual lineal, Ec. (2.194):


183

2

1/3

6

1 1 440.7 12 284 637.1768.4 768.4 0.24 3.5 (9 10 )E

SHSSS ix

t

ktX b ft

Cφµ −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞×= = × =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟× × ×⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

El daño del flujo radial se determina de la Ec. 2.96:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln)'*(

5.0 2wt

r

r

r

rckt

PtPs

φµ

6 2122.424 440.7 0.50.5 ln 7.43 4.9

60 0.24 3.5 9 10 0.33rs −×⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟× × × ×⎝ ⎠

⎡ ⎤⎣ ⎦

El daño del flujo dual lineal se halla de la Ec. (2.177)

( )12

* ' 34.743DL DL

DLE tDL

P ktst P Y Cφµ

⎛ ⎞∆= −⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

6

265.942 1 440.7 22105.81 34.743 367.7 0.24 3.5 9 10

0.4

DL

DL

s

s

−

×⎛ ⎞= −⎜ ⎟ × × × ×⎝ ⎠=

El daño del flujo dual se halla de la Ec. (2.180):

( )123.162

* 'SHS x t

SHSE SHSSHS

P b cst P Y kt

φµ⎛ ⎞∆= +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠

6458.466 123.16(283.7) (0.24)(3.5)(9 10 )2132.873 352.4 (440.7)(10.157)

0.0222

SHS

SHS

s

s

−×⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

El daño total se calcula de la sumatoria de todos los daños, Ec. (2.183). s = sR + sDL + sSHS = -4.9 + 0.4 + 0.0222 = -4.47779 SOLUCION POR EL METODO CONVENCIONAL De las Figs. 2.59 y 2.60 se determinaron los siguientes datos: m = 140 psi/ciclo m1f = 148 b1f = 24.045


184

Con la pendiente del grafico semilogarítmico m se determina la permeabilidad con la Ec. (2.30).

162.6 162.6(1400)(3.5)(1.07) 434.96(14)(140)

q Bk mdhm

µ= = =

Se encuentra el valor del ancho del yacimiento con la Ec. (2.107), teniendo el valor de m1f que es la pendiente del grafico de presión versus t0.5 .

0.5 0.5

61

(1400)(1.07) (3.5)8.1282 8.1282 358.7(148)(14) (434.96)(0.24)(9 10 )e

f t

qBY ftm h k c

µφ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥×⎣ ⎦⎣ ⎦

El daño se determina con el valor del corte con el eje Y, b1f de la gráfica de presión versus t0.5, Ec. (2.108).

11 1 (434.96)(14)(24.045) (0.51)ln ln 3.182 141.2 2 141.2(1400)(3.5)(1.07) (358.7)

f w

e

khb rsq B Yµ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Al comparar con los resultados de la simulación con los obtenidos por el método de TDST y el del método convencional no se encuentra mayor diferencia.


185

3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION

La prueba de restauración de presión ha sido una técnica muy popular usada en la industria petrolera. Varias razones la han convertido en una prueba muy popular, algunas de estas son: (a) no requiere una supervisión muy detallada, (b) se pueden estimar la permeabilidad y el factor de daño a partir de pruebas de restauración o declinación de presión. Sin embargo, la declinación de presión no permite estimar la presión promedio de yacimiento o la presión inicial de yacimiento mientras que la prueba de restauración de presión si lo hace. La Fig. 3.1 muestra un gráfico de una prueba de restauración de presión ideal. En términos generales, una prueba de restauración de presión requiere cerrar un pozo productor después de que se ha producido durante algún tiempo en el que la estabilización de la rata se ha alcanzado. Una prueba de restauración de es corrida así: 1. Determinar la ubicación de los empaques, tamaño de la tubería de producción y la

tubería de revestimiento, profundidad del pozo. 2. Estabilizar el pozo a una rata de producción constante, q. 3. Cerrar el pozo y registrar el valor Pwf (justo antes del cierre). 4. Leer la presión de cierre, Pws, a intervalos cortos de 15 segundos para los

primeros minutos (10-15 min), entonces cada 10 min. Para la primera hora. Durante las siguientes 10 horas, se deben tomar lecturas de presión cada hora. Cuando la prueba progresa, los intervalos de tiempo se pueden expandir a 5 horas.

Para correr una prueba de restauración de presión, el pozo produce a una rata constante por un período de tiempo tp. Se baja un registrador de presión al pozo inmediatamente antes de cerrarlo. tp no debe ser muy pequeño para no tener problemas con el radio de investigación. 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION Supóngase que después de que el pozo ha producido a una rata constante durante un tiempo tp, se decide cerrar para obtener una prueba de restauración de presión. Intuitivamente se espera movimiento de fluidos en el yacimiento después de cerrar el pozo, pero en superficie q = 0. Se hace una analogía al movimiento de fluidos en el yacimiento de la siguiente manera: Se deja producir el pozo indefinidamente a la misma rata q, y al instante de cerrar el pozo se inyecta en el mismo pozo el mismo caudal q y luego se suma la presión de caída de presión debido a la producción de q y los mismos datos de presión multiplicados por -1 y desplazado al instante de cerrar el pozo:


186

Tiempo

tp

tp

Tiempo

Pres

ión

Cau

dal

0

q

Pwf

Fig. 3.1. Representación de la Restauración de Presión

)()( DDDpDDS tPttPP ∆−∆+= (3.1)

( )P khq

p pDS i ws= −1412. µ β

(3.2)

qNpt p

24= (3.3)

Np es el petróleo producido desde la última estabilización q es el caudal constante justo antes de cerrar el pozo. Combinando las Ecs. 3.1 y 3.2:

[ ]DDDpDiws tPttPkh

qpp )()(2.141∆−∆+−=

βµ (3.4)

[ ] sttttP DpDpD −+∆+=∆+ 80907.0)ln(21)( (3.4.a)

[ ]P t t sD D D( ) ln( ) .∆ ∆= + −12

0 80907 (3.4.b)


187

Combinando las Ecs. 3.4.a y 3.4.b se obtiene;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆

∆+=∆

ttt

tP pDD ln

21)( (3.5)

La Ec. 3.4 se convierte en la ecuación de Horner:

162.6 log pws i

t tq BP Pkh t

µ + ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(3.6)

Como resultado de la aplicación del principio de superposición es que el factor de daño, s, no afecta aparece en la ecuación simplificada de Horner. Eso significa que la pendiente del gráfico Horner no está afectada por el daño. Sin embargo, el factor de daño altera la forma de la curva de restauración de presión, como se indica en la Fig. 3.2. Esta desviación se debe también al almacenamiento o a los daños negativos de los pozos fracturados. 3.2. METODO DE HORNER El gráfico de Horner generalmente no se prefiere, porque requiere más trabajo que MDH a menos que tp < tpss. Este método se usa preferiblemente en pozos nuevos porque tenemos Pi. Si tp es por lo menos el doble del tamaño de tpss se justifica graficar usando tpss en vez de tp en sistemas finitos, ya que el gráfico Horner, al contrario de MDH, tiende a prolongar la recta semilog. Graficar Horner con tpss en vez de de tp tiene significado para minimizar errores en la estimación de la presión promedia. De la pendiente del gráfico Horner obtenga kh:

162.6q Bmkh

µ= (3.7)

162.6q Bkh

mµ

= (3.8)

3.2.1. Pozo en un Yacimiento Infinito

121.1513 log 3.2275hr wf

t w

P P ksm c rφ µ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.9)

Pwf, es la presión justo antes del cierre.


188

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

1101001000

ttt p

∆∆+

m

1 hr

P*

PP

, p

siw

s

Almacenamiento

Fig. 3.2. Comportamiento de la presión – Gráfico Horner

11

1hrt t tP

t+ ∆ +

= =∆

(3.10)

Si tp < 1 hr

12

11.1513 log log 1 3.2275hr wf

t w p

P P ksm c r tφ µ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.11)

0.87( )sP m s∆ = −

( 0)

1*

s

wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

− (3.12)

El factor de daño afecta más la prueba de restauración que la de caída porque el almacenamiento persiste. 3.2.2. Rata de Postflujo (afterflow, qaf) Aunque el pozo se cierra para una prueba de restauración de presión, el postflujo causado por el almacenamiento tiene una influencia significativa en los datos de presión. Esto ocurre porque la presión en cabeza no es igual a la presión de cierre en fondo, por lo tanto el fluido continúa fluyendo desde la formación al pozo. Luego la presión no se recupera tan rápido como esperamos. A medida que la rata de flujo


189

tiende a cero, la presión se incrementa rápidamente. La gráfica semilog es pronunciada y lineal en este periodo y puede confundirse con la pendiente semilog.

( )24( /144)

u wsaf

V d PqB d tρ

∆=

∆

( )24 ws

afdPCq

B d t∆

=∆

24N

N

tqBCp

⎛ ⎞∆= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

de análisis de presiones.

24 ( )u ws

afC V dPqB d t

∆=

∆

( )24 ;wsLF

af LF udPCq C C V

B d t∆

= =∆

(3.13)

3.2.3. Pasos para Determinar el Almacenamiento de una Prueba de Restauración 1) Estime qaf para varios tiempos 2) si qaf/q > 0.01 no se está en el régimen de m 3) si qaf/q < 0.01 se concluye que WBS (efectos de almacenamiento) no afectan los

datos de presión y se está en la verdadera recta 3.2.4. Predicción de la Duración del Postflujo (Afterflow) a) Pozos productores

204afCt

B J⎛ ⎞

∆ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.14)

Después de este tiempo, el efecto de almacenamiento es despreciable,

wf

qJP P

=−

, , , *i eUse P P P o P

b) Pozos inyectores


190

2000

2050

2100

2150

2200

2250

2300

2350

2400

1001010.1

m

P ,

psi

ws

Almacenamiento

∆t, hrs

P 1hr

Fig. 3.3. Gráfico semilog o MDH

204 LFaf

CtBJ

⎛ ⎞∆ ≅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.15)

Arranque de la porción de línea recta, SSL ∆t C eD D

s= 50 0 14. (3.16)

0.14170000 s

SSLCet

khµ

∆ = (3.17)

Recordando la Ec. 2.31:

khCstSSL

µ)12000200000( += (2.31)

Se puede observar que el daño influye mucho más las pruebas de resturación (Falloff) que de declinación de presión (inyección). Para pozos fracturados, la estimación de este tiempo basado usando C con base en datos de volumen en vez de datos de la pendiente unitaria (que probablemente no existe) tiende a minimizar el ∆tSSL permitiendo despreciar almacenamiento en la fractura. 3.2.5. Gráfico de Horner para Yacimientos Cerrados Para hallar k, s, y C el método es igual a infinito, solo que para un pozo nuevo o intrusión de agua activa, P* ≈ Pi. En la mayoría de los casos P* > P promedia.


191

* log pws

t tP P m

t+ ∆⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (3.18)

3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) Este se basa en la asumpción que el tiempo de producción es suficientemente largo para alcanzar el estado pseudoestable, luego es más representativo usar presión promedia que presión inicial. MDH se prefiere en pozos viejos o formaciones depletadas, por lo que se podría dificultar la obtención de la estabilización antes del cierre. El gráfico de Horner puede simplificarse si ∆t <<< tp, luego:

pp ttt ≅∆+ luego:

ttt

ttp

p ∆−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+logloglog (3.19)

Combinando las Ecs. 3.18 y 3.19:

* log logws pP P m t m t= − + ∆ Si * log pp m t cte− = = intercepto, entonces:

p p qkh

tws hr= +1162 6. logµ β

∆

m qkh

=162 6. µ β

(3.20)

En el gráfico MDH no tiene sentido matemático extrapolar. s se calcula con la ecuación para yacimiento infinito.

121.1513 log 3.2275hr wf

t w

P P ksm c rφµ

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.21)

El arranque del comportamiento infinito es:

∆t Ckh

eSSLs= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

170000 0 14µ . (3.22)


192

0.001

0.01

0.1

1

0.001 0.01 0.1 1

1 2

3

6

7

4

5

tpDA

( ∆t

) DA

ESL

Fig. 3.4. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta Horner para las formas suministradas en la Fig. 3.6

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.001 0.01 0.1 1

1

3,6

7

4

2

tpDA

( ∆t

) DA

ESL

Fig. 3.5. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta MDH para las formas suministradas en la Fig. 3.6


193

1

1

1

1

1

1

2

1

FORMA CURVANUMERO

1

2

3

4

1

1

2

1

1

4

5

6

7

FORMACURVANUMERO

Fig. 3.6. Formas usadas en las Figs. 3.4 y 3.5 C se obtiene del gráfico log-log, usando la Ec. 2.16. Si no existe pendiente unitaria, entonces;

C Vu=144

ρ (3.23)

Cuando se llega al ∆tESL la prueba se puede detener.

( )ESLDAt

ESL tk

Act ∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

0002637.0µφ

(3.24)

(∆tDA)ESL se obtiene de la Fig. 3.4 para el gráfico de Horner ó de la Fig. 3.5 para el gráfico de MDH. Note que este parámetro depende de la forma del yacimiento y de la localización del pozo. En ambos gráficos, el parámetro tpDA se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

0.0002637 ppDA

t

k tt

c Aφ µ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.25)

Inspeccionando las Figs. 3.4 y 3.5, se observa que (∆tDA)ESL para sistemas cerrados siempre es menor un gráfico Horner que para un gráfico MDH. Para sistemas geométricos la línea recta se prolongará para el gráfico Horner para tiempos de producción tp hasta de 4tpss. El gráfico de horner es superior desde el punto de vista de duración de la línea recta cuando tp < tpss. El caso no es lo mismo para sistemas abiertos.


194

24 p

p

Nt

q= (3.26)

3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT Es un método de ensayo y error que serías más atractivo en casos de sistemas con presión constante o sistemas de inyección de agua (llenado) porque en éstos casos la línea recta sería más larga y por ende más fácil de precisar. Las ecuaciones que gobiernan el método de Muskat (y MDH) son:

[ ]141.2 ( ) ( ) 2ws D D D D DAq Bp p P t t P t t

khµ π− = + ∆ − ∆ −

A partir del intercepto a ∆t = 0 se calcula k.

int

int

( )141.2 D pDA

M

P tq Bkh P

µ=

∆

Donde PD(tpDA) se obtiene de la Fig. 3.8 para ciertos valores particulares de tiempo o de la Fig. 3.9 para valores de un amplio más rango de valores de tiempo adimensional. Las curvas de la Fig. 3.9, pueden sustituirse por los siguientes ajustes: Para un pozo dentro de un yacimiento de forma cuadrada – caso de presión constante:

( )pDADM tP 692995.21exp(13509395.10118157.0int −−+−= (3.27.a) Para un pozo dentro de un yacimiento de geometría cuadrada – Caso de barrera de no flujo.

( )pDADM tP 7038508.50exp(1682297.002056.0int −−+−= (3.27.b) La pendiente del gráfico de Muskat puede usarse para hallar el área de drene:

SFt M

kA Mc mφ µ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Donde MSF es el factor de forma de Muskat y se determina de la Fig. 3.10. Si A se conoce, entonces;


195

1000

100

10

10 20 40 60 80 100 120 140

∆t, hrs

Presión promediamuy alta

Presión promediacorrecta

Presión promediamuy baja

intMP∆

log

(P -

P

)w

s

mM

Fig. 3.7. Representación esquemática del gráfico de Muskat para análisis de Pruebas de restauración de presión

0.67 para tpDA > 0.1



Fig. 3.8. Valores de tpDA

SF SFt t

M M

M Mkhc h S Tm A m A

φµ

= = = (3.28)

El comienzo y final de la línea recta de Muskat está dada por:

( )SLDAt t

kAct ∆⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

0002637.0µφ (3.29)


196

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.001 0.01 0.1 1

tpDA

P D

(t D

A) M

int

PresiónConstante

No flujo

Fig. 3.9. Presión adimensional de intercepción de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado

MSF = -0.00471 para

MSF = -0.00233 para

MSF = -0.00528 para

Fig. 3.10. Factor de forma de Muskat, MSF

Donde (∆tDA)SL se halla de la Fig. 3.12 usando tpDA encuentra dos líneas una para el arranque y otra para el fin de la línea recta.

int

int

( ) ( 0) ln 0.75D DA ewf

w

P t rs P P tP r

⎛ ⎞⎡ ⎤= − ∆ = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦∆⎝ ⎠

(3.30)

Para yacimientos de forma cuadrada:


197

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0001 0.001 0.01 0.1

(∆ t

DA)

SL

tpDA

No flujo

Presiónconstante

Arranque de la línea recta de Muskat

Fin de la línea recta de Muskat

Fig. 3.11. Tiempo de inicio y terminación de la línea recta de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado

r Ae =

435602

(3.31)

Donde el área está dada en acres. Se puede concluir que en términos generales se prefiere MDH porque su fácil uso. Para tiempos de producción cortos, se recomienda usar el método de Horner ya que la recta semilog es más larga que la de MDH. 1) El método de Horner podría ser usado para analizar datos de restauración de

presión, asumiendo que se conoce tp. Sin embargo, como primera elección normalmente se usa MDH y luego Horner.

2) Si tp no se conoce, use MDH 3) El método de Muskat se utiliza como último recurso y también para determinar el

área de drene. 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS Los métodos presentados anteriormente pueden arrojar resultados erróneos cuando el pozo en prueba produce bajo estado pseudoestable antes de una prueba de restauración de presión o experimenta una declinación de presión debido a la producción de pozos aledaños en el yacimiento. En esos casos es mejor usar la Ec. 3.1 en una forma más general. Un procedimiento similar al presentado para el caso de declinación de presión, se presenta a continuación.


198

tp

Pres

ión

Tiempo∆t = 0

Pw ext

∆P∆t

Pwf

Ps

∆t = ts

Presión observada

Presión esperadaen sistema infinito

Fig. 3.11.b. Esquematización de restauración de presión en un yacimiento desarrollado

Se requiere extrapolar la presión de fondo fluyente sobre le periodo de restauración de presión para estimar Pw ext, ver Fig. 3.11.b. Luego halle la diferencia entre la presión observada de cierre y la y la presión de fondo fluyente extrapolada, ∆P∆t, y grafique ésto en función de ∆t. Los datos deberían ajustarse a la siguiente ecuación:

1 logt ws wext hrP P P P m t∆∆ = − = ∆ + ∆ (3.31.a) Una línea recta en este gráfico da una pendiente m dada por la Ec. 3.7 e intercepto:

1 2

162.6 log 3.2275 0.86859hrt w

q B kP skh c r

µφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ = − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.31.b)

La permeabilidad se halla de la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.21 cambiando P1hr por ∆P1hr*.

121.1513 log 3.2275hr

t w

P ksm c rφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆= − +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

Si la declinación de presión es lineal antes del cierre, la Ec. 3.31.a se convierte en:

1* logws hrP m t P m t− ∆ = ∆ + ∆ (3.31.c)


199

Donde m* es el cambio lineal de rata de presión antes del cierre:

* wfdPm

dt= en la región cuando t < tp

Normalmente, m* es negativa. El valor de ∆P1hr en la Ec. 3.31.c se deriva de la Ec. 3.31.b y la ecuación para el comportamiento lineal extrapolada es:

1 ( 0) 2* log 3.2275 0.86859hr wf tt w

kP P m sc rφµ∆ =

⎡ ⎤⎛ ⎞∆ = + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

De modo que un gráfico de (Pws – m*∆t) vs log ∆t debería dar una línea recta. La permeabilidad se calcula con la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.9 cambiando P1hr por ∆P1hr*. 3.6 PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO La presión promedia para un yacimiento sin intrusión de agua es la presión que el yacimiento alcanzaría si todos los pozos se cierran por tiempo infinito. En está sección se estudiarán dos métodos para determinar la presión promedia: el método de MBH, Dietz, MDH y el de Ramey-Cobb. La presión promedia es útil para: 1) Para caracterizar el yacimiento

a) Si ∆P = P - Pwf es pequeño por unidad de producción, lo que se conoce como índice de productividad, J, indica que existe un empuje de agua activo o un yacimiento muy grande

b) Si ∆P es grande por unidad de producción implica drenaje de un yacimiento pequeño, lente de arena o yacimiento fallado.

2) Para calcular aceite in-situ 3) Para pronósticos del comportamiento futuro del yacimiento 4) La presión promedia es un parámetro fundamental que debe ser entendido en

procesos de recobro primario, secundario y proyectos de mantenimiento de presión.

Mediante el uso del análisis de presiones lo que se estima es la presión promedia en la región de drene. 3.6.1. Método de MBH (Matthews-Bronz & Hazebrock) Este método es considerado el más exacto. Utiliza un gráfico Horner. Se aplica en la mayoría de situaciones donde se desea para hallar la presión promedia en un yacimiento cerrado para cualquier localización de pozo dentro de una variedad de formas de drene. El método asume que no hay variaciones en movilidades de fluido o


200

compresibilidades de fluido dentro de la región de drene. Esta limitación se puede sobrellevar usando un tiempo de producción tp igual tpss. El procedimiento es: 1) Calcule tp = 24 Np/q. 2) El valor de tp debe ser comparado con el tiempo requerido para alcanzar el estado

pseudoestable. Por lo tanto obtenga (tDA)pss de la tabla 2.1, de la columna “exacto para tDA > “. Para esto debe conocerse previamente la forma del yacimiento.

3) Calcule el tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, tpss:

( )0.0002637

t DA psspss

c A tt

kφ µ

= (3.32)

3) Obtenga la relación α, α = tp/tpss. Si α > 2.5 entonces, haga t = tpss. Si α < 2.5

(para ratas muy altas, el mejoramiento en el cálculo de la presión promedia es significativo cuando α está comprendido entre 2.5 y 5) entonces haga t = tp. Luego grafique Pws vs. (t+∆t)/∆t. Como se vio anteriormente, el uso de tpss en el método de Horner puede incrementar la longitud de la recta semilog, contrario al gráfico MDH.

5) Con el tiempo, t, definido en el paso anterior determine tpDA

0.0002637p DA

t

kt tc Aφ µ

= (3.33)

6) Extrapole la recta semilogarítmico del gráfico Horner y halle P*. 7) Determine PDMBH de la Figs. 3.12.a 3.12.d usando el tpDA calculado en el paso 5. 8) Calcule la presión promedia:

*2.3025 DMBH

mP P P⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.34)

Debido factores de compensación (valores bajos de P* con correspondientes correcciones pequeñas), cualquier valor de tp usado con el método MBH teóricamente dará resultados idénticos para presión promedia. Prácticamente, un tp relativamente corto puede eliminar problemas numéricos serios en el cálculo de la presión promedia. Esto incluye errores causados por largas extrapolaciones y desviaciones de las asumpciones teóricas: (1) falta de estabilización de la rata de flujo antes del cierre, (2) migración y cambio de áreas de drene en yacimientos con múltiples pozos, y (3) variaciones en la compresibilidad del sistema y movilidad.


201

0

1

2

3

4

5

6

7

0.01 0.1 1 10

Tiempo de Producción adimensional, tpDA

P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss

Hexágono y circulo

Cuadrado

Triánguloequilátero Rombo

Triángulo recto

Fig. 3.12.a. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene equiláteras


202

-1 .0-0 .8-0 .6-0 .4-0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .01 .21 .41 .61 .82 .02 .22 .42 .62 .83 .03 .23 .43 .63 .84 .04 .24 .44 .64 .85 .05 .25 .45 .65 .86 .0

0.01 0.1 1 10

(tDA)pss

(tDA)pss(tDA)pss

(tDA)pss

Pozo a 1/8 de altura del lado

Tiempo de Producción adimensional, tpD A

P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.b. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene cuadradas


203

-1

0

1

2

3

4

5

6

0.01 0.1 1 10

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss

Pozo a 1/8 de longitu

d

del lado

Pozo a 1/8 de altura del lado


P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.c. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 2:1


204

-2

-1

0

1

2

3

4

0.01 0.1 1 10

1

5

14

14

14

14

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss

(tDA)pss


P D

MBH

= 2

.303

(P -

P)/m

*

Fig. 3.12.d. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 4:1 y 5:1


205

0

1

2

3

4

51.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

P D M

DH

Tiempo de cierre adimensional, ∆tDA

Fig. 3.13. PD MDH para un pozo en el centro de áreas de drene circular y cuadrada


206

3.6.2. Método de Dietz Este método asume que el pozo fluyó lo suficiente hasta alcanzar el estado pseudoestable antes del cierre y que la recta semilog se desarrolló apropiadamente. Este método es sencillo y simple y usualmente se prefiere en pozos sin un daño significante, s >-3 o rw’ = 0.05 re. El procedimiento para este método es: 1) Conociendo la forma del yacimiento y la localización del pozo encuentre CA de la tabla 2.1. 2) Calcule el tiempo de cierre de Dietz, ( )∆t p

∆t c AC kP

t

A=

φµ0 0002637.

(3.35)

3) Haga un gráfico MDH (opcionalmente puede hallar k y s) 4) Obtenga la presión promedia a un ∆t = ∆tP . Para un pozo en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con presión constante, el factor de forma, CA = 19.5, luego la Ec. 3.35 se convierte en:

kAct t

P

φµ5.19=∆ (3.36)

3.6.3. Método de MDH (Miller-Dietz-Hutchinson) Esta técnica fue elaborada para estimar la presión promedia en yacimientos de forma circular o cuadrada. Se aplica solamente en pozos que operan bajo estado pseudoestable. Su procedimiento se presenta como sigue: 1) En un gráfico MDH, escoja cualquier punto sobre la recta y lea sus coordenadas,

(Pws)N y ∆tN 2) Calcule ∆tDA

Nt

NDA tAc

kt ∆=∆µφ

0002637.0 (3.37)

4) De la Fig. 3.13, determine PDMDH correspondiente a (∆tDA)N 5) Calcule la presión promedia

1.1513ws N DMDHmP P P⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.38)

Para líneas de presión constante PDMDH se lee de las curvas más bajas.


207

1.1513e ws N DMDHmP P P⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.39)

3.6.4. Método de Ramey-Cobb Ellos presentaron un método para extrapolar la presión promedia de un gráfico Horner cuando t ≥ tpss. Este método requiere conocer información sobre la forma del área de drene, la localización del pozo y la confirmación que las fronteras son cerradas. El procedimiento de Ramey-Cobb es: 1) Conociendo la forma de la tabla 2.1 obtenga el (tDA)pss, Calcule tp y tpss.

( )0.0002637

tpss DA pss

c At tk

φµ= (3.40)

2) Si tp < tpss el método no es confiable. Calcule el tiempo Horner correspondiente a la presión promedia.

Pt

A

P

p tAc

kCt

ttφµ

0002637.0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+ (3.41)

Cuando (tp+∆t) = tp, la Ec. 3.41 se reduce a la Ec. 3.35. Si tp < teia (fin de la línea de comportamiento infinito), Ramey y Cobb mostraron que:

4 pDAtp

P

t te

tπ+ ∆⎛ ⎞

=⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (3.42)

3) Haga un gráfico Horner (opcionalmente calcule k y s) 4) Del gráfico, lea la presión promedia a ( ) /p p

t t t⎡ ⎤+ ∆ ∆⎣ ⎦

3.6.5. Método Directo (Azari 1987) Azari (1987) presentó un método simple para calcular la presión promedia durante producción o restauración de presión sin la ayuda de ninguna gráfica. Este método requiere conocer la distancia desde el pozo a la cual la presión del yacimiento es la misma presión promedia. Para yacimientos cerrados:

162.6= + 2log 0.5203 0.87ewf

w

rq BP P skh r

µ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.43)


208

2

162.6+ log 1.1224 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.44)

Para yacimientos con frontera de presión constante:

162.6+ 2log 0.4342 0.87ewf

w

rq BP P skh r

µ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.45)

2

162.6 log 1.036 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.46)

Para considerar diferentes posiciones de los pozos y diferentes geometrías de yacimiento, las ecuaciones de flujo se desarrollaron introduciendo los factores geométricos de forma de Dietz en las ecuaciones 3.44 y 3.46 las cuales se transforman, respectivamente en:

2

162.6+ log 0.368 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.47)

2

162.6 log 0.454 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.48)

3.6.6. Tiab's Direct Synthesis Technique Durante estado pseudoestable

3.6.6.1. Yacimientos circulares cerrados El área de drene se halla mediante la siguiente ecuación:

1

0.234 ( * ')t p

qBAc h t Pφ

=∆

(3.49)

Siendo (t*∆P’)p1 el valor de la derivada de presión en la línea de estado pseudoestable al tiempo t = 1 hr, extrapolado si es necesario. Ver Fig. 3.14. Para un pozo en el centro de un yacimiento circular, la presión promedia se obtiene a partir de un gráfico de presión y derivada de presión según la siguiente expresión:

( * ')141.2 3 = ln

( ) ( * ') 4pss e

ipss pss w

t P rq BP Pkh P t P r

µ ⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.50)


209

1

10

100

1000

10000

0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

(t*∆P')p1

(t*∆P')pss

(∆P)pss

Línea de estado

pseudoestable

tpss

trpi

Línea de flujo radial

Fig. 3.14. Esquema ilustrativo para determinar área y presión promedia usando TDST donde Pi es la presión inicial (en algunos casos puede aproximarse a P*, (∆P)pss y (t*∆P’)pss son los valores de (∆P) y (t*∆P’) en la línea recta de estado pseudoestable. Se recomienda tomar cualquier punto tardío, pero los dos valores deben coincidir con el tiempo. Ver Fig. 3.14. 3.6.6.2. Sistemas cerrados rectangulares Para estos sistemas el área se estima con la Ec. 3.49. El factor de forma y la presión promedia se obtiene respectivamente mediante las siguientes ecuaciones:

1

2

0.003314 ( )2.2458 1 ( * ')

pss pssA

w t pss

kt PAC Expr c A t Pφµ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.51)

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

pss pss A w

t Pq B AP Pkh P t P C rµ ⎡ ⎤⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞

= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.52)


210

3.6.6.3. Uso del punto de intersección El punto de intersección entre la línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable, trpi, es única tanto para el sistema circular como el rectangular. El área y la presión promedia se hallan mediante las siguientes ecuaciones:

948.05 rpi

t

kA tc

πφµ

= (3.53)

70.6iq BP Pkhµ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.54)

3.6.6.4. Determinación de la presión promedia en sistemas cerrados drenados por un pozo verticalmente fracturado Use la Ec. 3.49 para estimar el área. El factor de forma y la presión promedio se halla por medio de:

20.003314 ( )

=2.2458 exp 1- ( * ')

pss psseA

f t pss

kt PxCx c A t Pφµ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.55)

2

0.0744 ( ) 2.2458- 70.6 ln( * ')

pss pss ei

t pss f A

kt P xqP Pkh c A t P x C

πµβφµ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭ (3.56)

Las Ecs. 3.53 y 3.54 se aplican también a este caso. Cuando se presenta flujo biradial, el área y la presión promedia se pueden determinar de las siguientes ecuaciones:

1.123

142.43 BRPi

et

f

kA txcx

φµ

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.57)

0.72 0.360.36-5.64 e

i BRPif t

xq B kP P tkh x c Aµ

φµ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (3.58)

donde tBRPi es el punto de intersección entre la línea de flujo biradial y radial. Para fracturas de flujo uniforme y cuando xe/xf < 8, el flujo radial no se observa, entonces se utiliza la intersección entre el flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tLPi. Luego, el área y la presión promedia se obtienen de:


211

2 0.001055 f

LPit e

xkA tc x

πφµ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.59)

-4.06

ei LPi

ft

q xP P txh c k

β µ

φ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.60)

3.6.6.5. Pozos Fracturados en Regiones Rectangulares Para estos sistemas, la transición entre la línea de comportamiento infinito y la de estado pseudoestable es más larga comparada con el caso de sistemas cuadrados en ambos casos de fractura: conductividad infinita y flujo uniforme. Cuando la línea de flujo radial no se observa, tale s el caso de xe/xf < 8, se usa la siguiente ecuación para determinar la permeabilidad:

2

1

8.128 ( * ')t CB

qBkc A h t Pµ

φ⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.61)

Donde (t*∆P’)CB1 es el valor de (t*∆P’) a t = 1 hr sobre la línea de flujo lineal. Despejando el área de drene se obtiene:

2

1

8.128 ( * ')t CB

qBAc k h t Pµ

φ⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∆⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.62)

El punto de intersección entre el flujo lineal de la frontera paralela más cercana: el segundo flujo lineal y la línea de estado pseudoestable, tCBPi, es único. Con este punto determine el área de la siguiente ecuación:

0.0002634 CBPi

t

kA tc

πφµ

= (3.63)

Esta ecuación debería usarse para propósitos de verificación de los valores permeabilidad y área obtenidos mediante las Ecs. 3.61 y 3.62. La presión promedia se obtiene de:

4= - 8.284 10 i CBPi

t

qP P th c k Aβ µ

π φ−⎛ ⎞

×⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.64)

Esta ecuación debería usarse si k y A pueden determinarse de la frontera paralela más cercana.


212

EJEMPLO Los datos de una prueba de restauración de presión se reportan en la tabla 3.1. Las propiedades del yacimiento se obtuvieron de un pozo localizado en el centro de un yacimiento de forma cuadrada. Dados los siguientes datos: rw = 4 in h = 44 ft φ = 12 % µ = 0.76 cp B = 1.24 rb/STB Np= 4550 STB A = 40 acres (área contratada) q = 340 BPD ct = 36x10-6 psi-1

Pwf = 2980 psi (medido justo antes del cierre)

Tabla 3.1. Datos de restauración de presión

∆t, hr Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/ ∆t (t*∆P'),psi

∆t, hr Pws, psi (tp+∆t)/∆t (tpss+∆t)/∆t (t*∆P'), psi

0.1 3100 3212.76 807.45 79.65 7 3342 46.88 12.52 21.85 0.2 3150 1606.88 404.23 96.78 10 3350 33.12 9.06 22.46 0.3 3200 1071.59 269.82 107.67 15 3360 22.41 6.38 19.24 0.5 3250 643.35 162.29 78.65 20 3364 17.06 5.03 16.33 0.75 3275 429.24 108.53 57.19 30 3370 11.71 3.69 11.34

1 3290 322.18 81.65 45.56 40 3372 9.03 3.02 9.04 2 3315 161.59 41.32 31.16 50 3374 7.42 2.61 7.18 3 3325 108.06 27.88 24.24 60 3375 6.35 2.34 7.61 4 3330 81.29 21.16 21.32 70 3376 5.59 2.15 8.05 5 3335 65.24 17.13 20.15 80 3377 5.01 2.01 8.49

Estime: A. Permeabilidad B. Factor de daño C. Presión promedia del yacimiento, por medio de: C.1. MBH C.2. Dietz C.3. Ramey-Cobb C.4. MDH C.5. Tiab’s Direct Síntesis Technique C.6. Método directo (Azari) SOLUCION A. Permeabilidad Ecuación básica:


213

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

ttt

khBqPP p

iws log6.162 µ

tp se halla mediante:

hrqN

t pp 2.321

340)4550)(24(24

===

El gráfico de Horner se da en la Fig. 3.14 (ver datos en tabla 3.1). Se visualiza una recta con pendiente de. La permeabilidad se calcula de:

mdmh

Bqk 91.26)44)(44(

)24.1)(76.0)(340)(6.162(6.162===

µ

B. Factor de daño

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= =∆ 2275.3log1513.1 2

)0(1

wt

twfhr

rck

m

PPs

φµ

De la Fig. 3.14, P1hr = 3306 psi, luego:

18.32275.3)333.0)(1036)(76.0)(12.0(

91.26log)44(298033061513.1 26 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−−

= −s

C. Presión promedia del yacimiento C.1. Método de MBH 1. Determine (tDA)pss de la Tabla 2.1 para yacimientos de forma cuadrada, (tDA)pss = 0.1 1. Calcule tpss;

hrtk

Act pssDAt

pss 645.80)1.0()91.26)(0002637.0(

)43560)(40)(1036)(76.1)(12.0()(0002637.0

6

=×

==−φµ

2. Calcule:

982.3645.80176.312

===pss

p

tt

α . Puesto que α > 2, luego t = tpss.


214

3100

3200

3300

3400

110100100010000

P ws, psi

ttt p ∆∆+ /)(

m=44P1hr = 3306 psi

P=3368 psi

299.12=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

P

p

ttt

Fig. 3.14. Gráfico de Horner

3100

3200

3300

3400

1101001000

P ws ,psi

ttt pps ∆∆+ /)(

P*=3398 psi

Fig. 3.15. Gráfico de Horner con tpss


215

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

Flujo radial

∆P,

t* ∆P'

, psi

t, hr

Estado estable

(t*∆P') r = 21.86 psi

∆P r = 362 psi

tr = 7 hrs

∆P pss = 384 psi

(t*∆P') pss = 16.33 psi

tpss = 20 hrs

Fig. 3.16. Gráfico de la presión y derivada de presión

3. Grafique Pws vs. log(tpss+∆t)/∆t, (ver tabla 3.1). En la Fig. 3.15, trace una línea

recta y extrapólela a 1 hr, y determine el valor de P*. P* = 3398 psi 4. Calcule el tiempo de producción adimensional de:

1.00999.0)645.80()4356040)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(0002637.06 ≈=

⋅×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −t

Ackt

tpDA φµ

5. De la Fig. 3.12.b para un sistema de forma cuadrada con pozo en el centro, la

presión adimensional de MBH es PDMBH=1.15.

mPPPDMBH

−=

∗

303.2

Luego, la presión promedia del yacimiento será:


216

psiPmPP DMBH 3376303.2

)15.1)(44(3398303.2

* =−=−=

C.2. MÉTODO DE DIETZ Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), Fig. 3.17. 2. Determine el factor de forma CA de la tabla 2.1 para un pozo localizado en el

centro de un área de drene cuadrada. CA = 30.8828. 3. Calcule el tiempo de cierre de Dietz:

hrCk

ActA

t

P1136.26

)8828.30(1

)91.26)(0002637.0()43560)(40)(1036)(76.0)(12.0(1

0002637.0

6

=×

==∆−

−

ϕµ

4. De la Fig. 3.17, P = 3368 psi. C.3. Método de Ramey - Cobb Pasos: 1. Calcule tp y tpss:

hrqN

t pp 176.321

340)4550)(24(24

===

y,

hrtk

Act DApsst

pss 645.80)1.0()91.26)(0002637.0(

)43560)(40)(1036)(76.1)(12.0(0002637.0

6

=×

==−φµ

2. Para el área dada, A=1742400 ft2, determine el factor de forma CA de la Tabla 2.1,

para un pozo localizado en el centro de una área de drene cuadrada, CA=30.8828. 3. Puesto que tp >> tpss, calcule ( )[ ]−∆∆+ Pttt / (Tiempo de cierre de Ramey-Cobb),

de:

pAtP

tCAc

kt

tt⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

φµ0002637.0


217

3050

3100

3150

3200

3250

3300

3350

3400

0.1 1 10 100

P=3368 psiP

ws, psi

∆t, hrs

∆tN

(Pws)N

Fig. 3.17. Gráfico de MDH

299.12)176.312)(8828.30()43560)(40)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(6 =

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆+

−Pt

tt

4. De la Fig. 3.14, determine P para ( )[ ]−∆∆+ Pttt / . El valor de la presión promedia

es 3368 psi. C.4. Método de Miller-Dyes-Hutchinson (MDH) Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(∆t), como se muestra en la Fig. 3.17. 2. Escoja cualquier punto conveniente N sobre la porción recta y lea ∆tN y (Pws)N.

Los valores leídos son: ∆tN = 10 hrs y (Pws)N = 3350 psi. 3. Calcule el tiempo de cierre adimensional usando la siguiente ecuación (para el

punto N):

0124.0)10()43560)(40)(1036)(76.0)(12.0(

)91.26)(0002637.0(0002637.06 =

×=∆⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆ −N

tDA t

Ackt

φµ

Nota: Use este tiempo adimensional con la curva superior de la Fig. 3.13, y halle el valor de PDMDH. De esta figura, PDMDH =0.6. 5. Calcule P , (con el punto N), de la siguiente ecuación:


218

psiPmPP DMDHwsN 9.3372)6.0(1513.1443350

1513.1=+=+=

C.5. TDST Los datos del estado pseudoestable se tomaron del estado estable. Los siguientes datos se leyeron del gráfico 3.16: tr = 7 hr ∆Pr = 362 psi (t*∆P’)pss = 16.33 psi ∆Ppss = 384 psi tpss = 20 hr (t*∆P’)r = 21.86 psi Estime la permeabilidad y daño de:

70.6 (70.6)(340)(0.76)(1.24) 23.52 md( * ') 44(21.86)r

q Bkh t P

µ= = =

∆

2 6 2362 23.52(7)0.5 ln 7.43 0.5 ln 7.43 1.93

( * ') 21.86 (0.12)(0.76)(36 10 )(0.3 )r r

r t w

P ktst P c rφµ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆= − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ×⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Tomando un sistema rectangular cerrado, Ecs. 3.51 y 3.62, se halla el factor de forma y la presión promedia. Aquí se toma como Pi el último valor de presión, es decir 3377 psi.

1

2

0.003314 ( )2.2458 1 ( * ')

pss pssA

w t pss

kt PAC Expr c A t Pφµ

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∆⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

1

2 6

2.2458 (40)(43560) 0.003314(23.52)(20) 384 10.3 0.12(0.76)(30 10 )(40)(43560) 16.33AC Exp

−

−

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥× ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭

CA = 94054

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

pss pss A w


= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

2

(340)(0.76)(1.24) 16.33 2.2458(40)(43560) 3377 70.6 ln(23.52)(44) 384 16.33 94054(0.3 )

P⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

3371.4 psiP =


219

C.5. AZARI (Método directo) Tomando la Ec. 3.46, para sistemas de presión constante, se tiene:

2

162.6 log 1.036 0.87wfw

q B AP P skh r

µ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

162.6(340)(0.76)(1.24) 40(43560)2980 log 1.036 0.87(1.93) 3379.3 psi(23.52)(44) 0.3

P⎛ ⎞

= + − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

La tabla 3.2 resume los resultados de los datos de presión promedia obtenidos por los seis métodos anteriores:

Tabla 3.2. Resumen de presión promedia

Método Presión Promedia, psi Ramey & Cobb 3368 MBH 3376 MDH 3372.9 Dietz 3368 TDST 3371.4 Azari (Método directo) 3379.3 Promedio 3372.6 EJEMPLO La tabla 3.3 proporciona datos de restauración de presión. Se cree que el pozo está en el centro de un yacimiento cuadrado. El pozo produjo 234000 STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para la prueba. Las propiedades de roca y fluido son: φ = 19.4 % ct = 19.4x10-6 1/psi h = 50 ft Pwf (t = 0) = 2840 psi A = 93 acres µ = 1.34 cp β = 1.44 bbl / STB rw = 0.25 ft

Use el método de Tiab y el método directo para hallar la presión promedia del yacimiento. Método Directo 1- El valor de k es 22.41 md (de gráfico Horner no suministrado).


220

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

(t*∆P')pss=37 psi

(∆P)r = 400 psi

(t*∆P')r=30 psi

(∆P)pss=405 psi

tr = 1 hr

Fig. 3.18. Gráfico log-log de presión y derivada de presión (tabla 3.3)

Tabla 3.3. Datos de presión para ejemplo

∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

∆t, hrs Pws, psi ∆P, psi t*∆P’, psi

0 2840 0 0.36183 3195.249 355.249 32.839370.00989 2872.354 32.354 0.45863 3202.808 362.808 32.527050.01458 2909.071 69.071 109.6355 0.63368 3213.607 373.607 34.859230.02103 2954.428 114.428 145.7317 0.82962 3223.326 383.326 29.187340.02814 3001.944 161.944 145.7446 1.12182 3229.806 389.806 27.547390.04192 3050.54 210.54 143.3739 1.50068 3239.525 399.525 24.123130.05035 3078.618 238.618 145.2437 2.00748 3243.844 403.844 24.558720.05983 3102.376 262.376 116.8582 2.62819 3252.884 412.884 43.339750.08447 3128.294 288.294 68.36178 3.40394 3266.523 426.523 49.794180.11545 3147.732 307.732 58.70226 4.17739 3276.242 436.242 54.540160.16125 3166.091 326.091 47.36436 4.9103 3285.961 445.961 60.124540.24814 3182.29 342.29 35.86205 5.77179 3295.68 455.68

2- El valor de s es 1.1. 3- Para un pozo localizado en el centro de un cuadrado cerrado, CA = 30.8828. 4- La presión promedia se calcula mediante de:

2

162.6+ log 0.368 0.87wfA w

q B AP P skh C r

µ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠


221

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= )(0.87)(1.1 )368.0( )25.0)(8828.30(

)43560)(93(log )(22.41)(50.44)0)(1.34)(1(162.6)(25 2840 2P

psiaP 3375 =

Tiab's Direct Synthesis Technique A- Permeabilidad de la formación 1. Del gráfico log-log dado en la Fig. 3.17, Se obtiene (t*∆P’)r = 30 psia. La permeabilidad se calcula de:

mdPthqk

w 22.7 )30)(50(

)44.1)(34.1)(250)(6.70( )*( 6.70 / ==∆= µβ .

B- Factor de daño 1. Se selecciona un tiempo conveniente tr = 1 hr durante el flujo radial, allí se lee ∆Pr

= 400 psi y (t* ∆P')r = 30 psia. 2. El factor de daño se calcula mediante de:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

∆∆= 43.7

ln

)*()( 5.0

2/ wt

r

rw

rw

rctk

PtPs

φµ

3.1 43.7 )25.0)(104.19)(34.1)(194.0()1)(7.22( ln )30(

)400( 5.0 26 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−= −s

C- Presión promedia 1. Seleccione cualquier punto conveniente sobre la línea de estado pseudoestable y se leen: (∆P)pss = 405 psi y (t*∆P’)pss = 37 psi. 2. Calcule la presión promedia a partir de la Ec. 3.52:

2

( * ') 2.2458 70.6 ln( ) ( * ')

pssi

w pss pss A w


= − ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∆ − ∆⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

La Ec. 3.52 da un estimativo confiable de P si el valor de la presión inicial del yacimiento se conoce de otras Fuentes. Debido a la carencia de información acerca de Pi, y que además se tiene tiempos de cierre cortos comparados con el tiempo de producción, la presión inicial del yacimiento se maneja como si ésta fuese igual a P*, la cual se halla de un gráfico Horner (P* = 3400 psi).

2

(250)(1.34)(1.44) 37 (2.2458)(93)(43560)3400 - 70.6 ln 3353.6 psia(22.7)(50) (400 37) (30.8828)(0.25)

P⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦


222

4. PRUEBAS DST

4.1. GENERALIDADES Una prueba DST (Drillstem Test) es una prueba de presión corta que se efectúa durante la perforación utilizando la tubería de perforación. Está formada por pruebas de declinación y caída de presión consecutivas. Para correr un DST, una herramienta especial se coloca en la sarta de perforación y se baja a la zona a probar. La herramienta aísla la formación de la columna de lodo en el anular y permite que los fluidos de la formación fluyan a la sarta de perforación mientras se registra continuamente la presión. 4.1.1. Propósito 1. Tomar una muestra del fluido del yacimiento. 2. Establecer la probabilidad de comercialidad. Normalmente se corre en pozos

exploratorios y algunas veces en pozos de avanzada si la formación es muy heterogénea.

3. Determinar las propiedades de la formación y el daño. Estos podrían usarse para estimar el potencial de flujo del pozo.

Además de proporcionar una muestra del tipo de fluido en el yacimiento, un buen DST da una indicación de la rata de flujo, una medida de las presiones estáticas y de flujo y una prueba transitoria corta. Un DST puede en ciertos casos detectar barreras, si éstas son cercanas al pozo: fallas, discontinuidades, frentes de inyección, etc. y servir para la determinación de la presión inicial o la presión promedia. 4.1.2. Usos de los datos DST 1) Descripción del yacimiento 2) Un volumen recuperado. Cartas de tiempos de flujo y cierre y presiones de fondo vs. Tiempo 4.1.3. Información calculada de un DST k, s y radio de investigación, distancia a fallas y presión promedia (si el tiempo de prueba lo permite).


223

4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA Los principales componentes de una herramienta DST (ver Fig. 4.1), junto con sus respectivas funciones, son mostradas a continuación: Ancla: Sostiene el empaque en el lugar correcto y saca cortes o basuras que pueden taponar el equipo. Registradores de Presión: Normalmente son dos. Proporcionan un registro completo de lo que pasa en el pozo. Empaque: Puentea o separa el pozo en el punto inmediatamente sobre a la zona a probar. Válvula Igualadora de Presión (By-Pass): Permite al lodo fluir hacia abajo a través del empaque al final de la prueba. Iguala las presiones arriba y abajo de la herramienta haciendo fácil la sacada de la herramienta. Válvula Retenedora (Probadora): Previene la entrada del lodo a la sarta de perforación mientras se baja la herramienta. Retiene la muestra de fluido cuando se saca el equipo.

Formación porosa

Tubería de Perforación

VálvularetenedoraVálvulaIgualadora

Empaque de caucho

Registradorde presiónNo. 2

Anclaperforada

Registradorde presión No. 2

{{

{

EMPA

QU

ESAN

CLA

Zapato del ancla

PRO

BAD

OR

ESH

IDR

AULI

CO

S

Fig. 4.1. Componentes de la herramienta DST 4.3. PROCESO DE PRUEBA 4.3.1. DST Convencional A) Mientras se baja la herramienta el empaque se colapso permitiendo elevar el nivel

del lodo


224

B) Una vez llegado al objetivo se fija el empaque (compresión y expansión) para aislar la zona inferior del resto del pozo

C) Se opera la válvula revendedora de modo que la zona aislada se expone a la baja presión dentro de la sarta vacía. Causa que los fluidos de la formación entren a la sarta

D) Al final de la prueba la válvula retenedora se cierra atrapando cualquier fluido sobre ella. Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones

E) Se reduce el peso y se libera el empaque F) Se retira la sarta. Se invierte la prueba mediante el cierre de las preventoras e

inyección de lodo por el anular. 4.3.2. Prueba Straddle Packer. Aislar completamente una zona.

OIL

Fig. 4.2. Prueba Straddle Packer

4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST 4.4.1. DST Convencional 1) Captura de agua dentro de la sarta. Razones : reducir la presión de colapso de la

sarta y reducir la presión diferencial en la formación y a través de los empaques cuando se para la herramienta

2) Bajando la herramienta. La curva es ocasionada por el incremento del peso de lodo

3) Máxima presión hidrostática 4) Se crea extra presión para fijar el empaque 5) Se abre la válvula de prueba. Se libera presión debajo de los empaques 6) Periodo de flujo de la formación a la sarta. Al entrar más fluido se incrementa la

presión hidrostática 7) Se cierra la válvula de prueba y da lugar a una prueba de restauración de presión.


225

8) Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones debajo del empaque. 9) Se libera el empaque. 10) Se saca la herramienta.

4.4.2. DST Seco. Formación completamente impermeable (Lutitas). No hay flujo. Ver línea discontinua en la Fig. 4.4. 4.4.3. Condiciones Pobres en el Pozo. Ver Fig. 4.4. 1) Raspado de la torta 2) Taponamiento de la ancla perforada o la válvula de prueba 3) Arrastre o sacadas debido a condiciones pobre del pozo 4.4.4. Pruebas de Flujo Múltiple. Ver Fig. 4.5.

4.4.5. DST con Doble Cierre. Ver Fig. 4.6.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

DST seco

Pre

sión

Tiempo

Fig. 4.3. Esquema DST Seco 4.5. METODO DE HORNER 1) Obtenga los puntos de presión de las cartas DST 2) Grafique P-vs-(tp+∆t)/∆t (gráfico Horner); Calcule k

162.6q Bkmh

µ= (4.1)


226

p

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

DST

Fig. 4.4. Condiciones pobres en el pozo

Pres

ión

Tiempo

Fig. 4.5. Prueba de Flujo Múltiple

Pres

ión

Tiempotp1 tp2

Fig. 4.6. DST con doble cierre


227

ptRq 24

=

3) R es el aceite total recuperado en la sarta de perforación. El valor usado para tp

usualmente es la longitud del periodo de flujo que precede. Sin embargo, si el periodo de flujo es muy largo, es más exacto usar la suma de la longitud de los periodos de flujo. tp = tp1 + tp2

4) Factor de daño

1 ( 0)2

11.1513 log 1 log 3.2275hr wf t

p t w

P P ksm t c rφ µ

∆ =⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎛ ⎞

= + + − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ (4.2)

5) Halle DR y FE

( 0)

1 s

i wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

− (4.3)

DRFE

=1

(4.4)

0.87( )sP m s∆ =

6) Radio de investigación

t

pinv c

tkr

µφ029.0= (4.5)

El almacenamiento no es muy significante en la porción de restauración de un DST puesto que el pozo se cierra cerca a la cara de la formación. Sin embargo, si se sospecha su existencia, se debe que parte de los datos deben analizarse. En formaciones con bastante espesor y baja permeabilidad o en yacimientos de gas, el almacenamiento puede ser significativo. Para variaciones significativas en la rata de flujo (análisis multiflujo) y cuando tp es menor que el tiempo de cierre, las siguientes ecuaciones se usan para modificar tp y q:


228

2 21

1

11

( )* 2

2 ( )

N

j j jj

p p N

j j jj

q t tt t

q t t

−=

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑ (4.6.a)

∑=

−−=N

jjjj

p

ttqt

q1

1)(*

1* (4.6.b)

Usar la relación anterior en el gráfico de Horner 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL Estos parámetros pueden ser estimados mediante el cálculo de P* como se mostró en el capítulo 3 para (tp+∆t)/∆t=1 (tiempo de cierre infinito). Sin embargo, no son requeridas correcciones debido a la forma del yacimiento puesto que un DST tiene corta duración. Así, generalmente para un DST:

*PPi ≅ Para una frontera con presión constante

o;

*PP ≅ para un yacimiento finito

4.6.1. Método de datos limitados (Método en el sitio del pozo) En el sitio del pozo, los únicos datos de presión disponibles son: la presión hidrostática (lodo) inicial (IHP), la presión de cierre inicial (ISIP), las presiones de flujo inicial y final (IFP1 y IFP2) de los periodos de flujo 1ero y 2do, las presiones de flujo final de los periodos de flujo 1ero y 2do (FFP1 y FFP2), la presión de cierre final (FSIP) y la presión hidrostática final (FHP). El tiempo de flujo total es definido por:

21 ppp ttt += La presión de yacimiento inicial o presión de yacimiento promedio puede ser asumida así:

ISIPPPi ≈≈ La permeabilidad del yacimiento puede ser estimada a partir de:


229

ISIP

IHP

P1 P2 P3 P4 P5

∆t1

∆t2∆t3

∆t4

∆t5

Flujo inicial Ciclo de cierre inicial

flujo

Línea base

Fig. 4.7. Carta típica DST

Tabla 4.1. Datos de la Prueba DST – Datos del Cierre Inicial

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t0.01667 454.64 4.099 0.16670 1898.51 1.510 0.46668 2244.26 1.182 0.03334 668.73 3.549 0.20000 2007.38 1.425 0.50000 2252.10 1.170 0.05001 904.62 2.700 0.23334 2074.48 1.364 0.66667 2280.43 1.127 0.06668 1124.61 2.275 0.26668 2124.08 1.319 0.75000 2289.50 1.113 0.08335 1317.01 2.020 0.30002 2159.25 1.283 1.00000 2304.41 1.085 0.10002 1487.02 1.850 0.33336 2184.23 1.255 1.25000 2313.36 1.068 0.11669 1624.46 1.728 0.36670 2204.50 1.232 1.33300 2314.60 1.064 0.13336 1734.21 1.637 0.40000 2220.40 1.213 1.50000 2319.07 1.057 0.15003 1824.82 1.567 0.43334 2232.83 1.196 1.55330 2320.19 1.055

hmBqk

E

µ6.162= (4.7)

Siendo,

])[(log tttFSIPISIPm

pE ∆∆+

−= (4.8)

Siendo ∆t el tiempo de cierre total o el tiempo cuando se lee FSIP. La Ec. 4.1 puede usarse para estimar la permeabilidad si ISIP = FSIP puesto que la Ec. 4.8 no se aplica. La Relación de daño se estima mediante:


230

0

500

1000

1500

2000

2500

1 10 100

m=-17.5 psi/ciclop1hr=2150 psi

(tp+∆t)/∆t

P w

s, ps

iP*=2300 psi

Fig. 4.8. Gráfico Horner

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

EmFFPISIPDR 2183.0 (4.9)

ó:

( )pE tmFFPISIPDRlog43.4

2

+−

≈ (4.10)

Este método no es muy confiable ya que solo puede ser usado para datos limitados.

EJEMPLO La tabla 4.1 muestra las presiones registradas de un DST que fue corrido en un pozo de petróleo. Determinar la permeabilidad, y el factor de daño para este pozo, igual que la presión promedio para este yacimiento. La información relevante concerniente al pozo, fluido y el yacimiento es: rw = 0.25 ft h = 25 ft φ = 10 % µ = 1.1 cp B = 1.2 bbl/STB tp1 flujo inicial = 0.085 hrs tp2 flujo final = 3 hrs R = 22.43 bbl ct = 1.2x10-6 1/psi Caudal de petróleo promedio durante el periodo de flujo inicial = 372 BPD


231

SOLUCION Usando tp = 0.085 hrs para los datos de cierre inicial y tp = 3.085 para los datos de cierre final, los valores de (tp+∆t)/∆t son calculados y reportados en la tabla 4.1. Un gráfico Horner fue construido y presentado en la Fig. 4.8. En este gráfico, la pendiente es –17.5 psi/ciclo. Entonces la permeabilidad es estimada usando la Ec. 4.1:

mdmh

Bqk 5.182)25(5.17

)2.1)(1.1)(372)(6.162(6.162===

µ

El factor de daño se calcula de la Ec. 4.2:

6.462275.3)25.0)(102.1(1.0

5.182log085.311log

5.1772.131721501513.1 26 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

−= −s

De la Fig. 4.8, P = P* = 2300 psi 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD Normalmente, cualquier tipo de barrera al flujo no puede ser vista en un DST ya que el tiempo es muy corto para afectar el gráfico semilog. Sin embargo, en estos casos donde los periodos de flujo son bastante largos para observar desviaciones de la pendiente semilog, la cual refleja cambios en la transmisibilidad del yacimiento, fallas, discontinuidades, condiciones de frontera o geometría del yacimiento como se ilustra en la Fig. 4.9. Algunos de los métodos para estimar la distancia a las fronteras serán mostrados posteriormente. 4.7.1. Método de Horner

x

p

p

t

ttt

ktdcEi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ln948 2φµ (4.11)

Cuando una línea de presión constante es encontrada a una distancia “d” del pozo, la Ec. 4.11 también aplica. 4.7.2. Método de Dolan, Einarsen y Hill Ellos simplificaron la Ec. 4.11 asumiendo que la función exponencial puede ser reemplazada por la aproximación logarítmica, así:


232

OIL

GAS

h1 h2

h1 < h2

k1 k2

k1 < k2

a) Barrera de no flujo (falla) b) Cambio en el tipo de fluido

b) Cambio en espesor de la zona productora b) Cambio de permeabilidad (facies)

Fig. 4.9. Tipos de discontinuidades

x

pt

p

ttt

c

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

φµ024337.0 (4.12)

4.7.3. Método de Ishteiwy y Van Poollen Ellos llegaron a la siguiente correlación empírica:

13.1pD

x

p tt

tt=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+ (4.13)

donde;

20002637.0

dct

tpD φµ

= (4.14)

Introduciendo la Ec. 4.14 en la Ec. 4.13 y solucionando para la distancia, d, se tiene:


233

110

(tp+∆t)/∆t

P w

s , ps

i

[(tp+∆t)/∆t] x = 1.55

m=1

321

psi/c

iclo

Fig. 4.10. Gráfico Horner – Pozo cercano a una discontinuidad

x

pt

p

ttt

c

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

φµ015276.0 (4.15)

4.7.4. Método de Bixel y Otros La siguiente relación fue presentada: Para pruebas de declinación:

t

x

cktd

φµ0307.0= (4.16)

Para restauración de presión, su ecuación fue la misma Ec. 4.14. EJEMPLO Gibson y Campbell presentaron datos de DST corridos en la formación Red del condado Major, Oklahoma. El pozo se trató para trabajos de completamiento con aproximádamente 480 BPD. El gráfico de Horner se suministra a continuación.


234

q = 118 BPD ct = 8.2x10-6 psi-1 µ = 1.3 cp φ = 12 % B = 1.1 bbl/STB m = 1321 psi/cycle tp = 4 hr A) Determine la permeabilidad B) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados C) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad? SOLUCION a) Permeabilidad Pueso que la pendiente se da, la permeabilidad se obtiene de:

mdmh

Bqk 38.1)1321)(15(

)3.1)(1.1)(118(6.1626.162===

µ

b) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados De la Fig. 4.10, [(tp+∆t)/∆t]x = 1.55. Aplicando el método de Horner se tiene:

x

p

p

t

ttt

ktdcEi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− ln948 2φµ

55.1ln)4(38.1

)102.8)(3.1)(12.0(948 26

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−−

− dEi

( ) 4383.0)104646.1( 25 =×−− − dEi

Interpolando de la tabla 1.3;

618.0)104646.1( 25 =× − d luego, d = 53 ft Usando el método de Dolan, Einarsen y Hil, Ec. 4.12:


235

ft

ttt

c

ktd

x

pt

p 7.40)55.1)(102.8)(3.1)(12.0(

)4(38.1024337.0024337.0 6 =×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+= −

φµ

Método de Ishteiwy y van Poollen, Ec. 4.15:

ft

ttt

c

ktd

x

pt

p 5.25)55.1)(102.8)(3.1)(12.0(

)4(38.1015276.0015276.0 6 =×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+= −

φµ

c) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la

discontinuidad? La pendiente decrece, sin embargo, hay evidencia de una “bbaarrrreerraa ddee pprreessiióónn ccoonnssttaannttee”. El mejoramiento en la transmisibilidad podría deberse al tratamiento que el pozo recibió antes de la prueba.


236

5. HETEROGENEIDADES

Los métodos de análisis de presión disponibles están basados en suposiciones basados en la ley de Darcy, por ejemplo, una formación homogénea y horizontal de espesor uniforme, con distribuciones de porosidad y permeabilidad isotrópica y constante. El tema del comportamiento de la presión en yacimientos heterogéneos ha tenido considerable atención en los últimos años. La principal razón de esto, es la necesidad de una mayor exactitud en la descripción del yacimiento. La descripción del yacimiento tiene un efecto significativo en el diseño, operación, y por lo tanto, el éxito económico del proceso involucrado. Puesto que estos métodos pueden ser aplicados solo una vez al yacimiento, es obvia la necesidad de una confiable descripción del yacimiento. Dos técnicas que pueden usarse para describir yacimientos son los trazadores y las pruebas de transiente de presión. Las pruebas de transiente de presión han sido más usadas (y con mejores resultados) que los trazadores. La determinación de la eficiencia de barrido volumétrica es un problema que tiene un mejor potencial de ser solucionado por los trazadores. Actualmente, la descripción de la heterogeneidad del yacimiento mediante el ajuste del comportamiento del trazador es afectada por la falta de modelos numéricos adecuados, el mucho tiempo gastado para obtener los resultados, y la dependencia del ajuste a los parámetros adicionales que son introducidos por los mismos trazadores, (por ejemplo, coeficientes de dispersión, retención del trazador, etc.). Es muy posible que los trazadores y las pruebas de transiente de presión en el futuro sean usadas al mismo tiempo para la descripción del yacimiento. 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO Las heterogeneidades del yacimiento, ver Fig. 4.9, son variaciones en las propiedades de la roca y el fluido resultantes de la depositación, plegamiento, fallamiento, cambios postdepositacionales en la litología del yacimiento, y cambios en las propiedades o tipos de fluidos. Las heterogeneidades del yacimiento pueden ser de pequeña escala, como en yacimientos carbonatados donde la roca tiene dos constituyentes, matriz y fracturas, cavidades y cavernas. Estas también pueden ser de mayor escala, tales como barrearas físicas, fallas, contactos fluido-fluido, cambios de espesor, cambios de litología, varias capas con diferentes propiedades en cada capa, etc. Adicionalmente a estas heterogeneidades naturales, el hombre puede inducir heterogeneidades artificiales alrededor de la cara del pozo durante la perforación (invasión de lodo), el fracturamiento hidráulico, o la inyección de fluido.


237

Otra característica relacionada es anisotropía en la permeabilidad, es decir cuando esta propiedad varía con la dirección de flujo. La anisotropía también puede ser causada por procesos sedimentarios (depósitos de canales llenos) o por tectonismo (orientación de fracturas en sentido paralelo). La anisotropía toma lugar tanto en yacimientos homogéneos como heterogéneos. Por lo tanto, la anisotropía no implica heterogeneidad. La mayoría de los yacimientos tienen permeabilidad vertical menos que la horizontal, de modo que existe anisotropía en ese sentido. 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA 5.2.1. Pruebas de Restauración de Presión Aplicando el principio de superposición, la presión de cierre adimensional para un pozo cercano a la frontera está dada por:

( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+++∆−+∆+= D

wDDp

wDDDDpDDS t

rdptt

rdpstPsttPP ,2,2,1,1

en forma dimensional:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−−

−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+=−

tkdcEi

khBq

ttkdcEi

khBqs

rctk

khBq

src

ttkkh

BqPP

t

p

t

wt

wt

pwsi

2

2

2

2

3792)(6.70

)(37926.70869.023.3log)(6.162

869.023.3)(

log6.162

µφµ

µφµµφ

µ

µφµ

(5.1) Para un tiempo de producción, tp, suficientemente largo y para tiempos muy cercanos al tiempo de cierre, la Ec. 5.1 puede ser expresada así:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

tkdcEi

ttkdcEi

ttt

khBqPP t

p

tpiws

22 3792434.0)(

3792434.0log6.162 µφµφµ

(5.2) A tiempos lejanos, los valores predichos por la Ec. 5.2 empiezan a desviarse hacia arriba de la línea recta en semilog. Los cálculos de d requieren la estimación de ∆PL el cual es la diferencia entre las funciones exponenciales:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

−−=∆

p

t

p

ttL kt

dcEittk

dcEitk

dcEikh

BqP222 3792

)(379237926.70 µφµφµφµ


238

Pw

f

log ttx

a) Prueba Drawdown

P ws

b) Prueba Buildup - Grafico Horner

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

∆+

t

tt plog

x

p

ttt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

P ws

c) Prueba Buildup - Grafico MDH

log ∆t

(∆t)x

m

2m

m

2m

m

2m

Fig. 5.1. Identificación de fronteras lineales de gráficos semilog d puede ser calculada por un procedimiento de ensayo y error usando la ecuación anterior. Sin embargo, siempre que tp >> ∆t, la Ec. 5.2 se convierte en:

162.6 162.6log logp pws i

t t t tq B q BP Pkh t kh t

µ µ+ ∆ + ∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o;

325.2 log pws i

t tq BP Pkh t

µ + ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆⎝ ⎠

(5.3)

Observando la comparación entre las Ecs. 3.6 y 5.3, la pendiente es el doble en la Ec. 5.3. En otras palabras la Ec. 5.3 puede ser expresada como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+−=

ttt

mPP piws log2 (5.4)


239

Esta ecuación en una gráfica de presión de restauración, muestra que la pendiente eventualmente será el doble siempre que la perturbación de la presión haya alcanzado una barrera lineal tal como una falla. Una vez la pendiente es doblada, d puede ser fácilmente calculada leyendo el tiempo de intercepción de la línea recta de la pendiente m con la línea recta de pendiente 2m, como se ilustra en las Figs. 5.1.b y 5.1.c. Este comportamiento también es presentado en un gráfico de presión de declinación como lo indica la Fig. 5.1.a. Sin embargo, la pendiente de una gráfica de presión de restauración normal no cambiará para la parte temprana de la presión de restauración. Así, esta porción de línea recta temprana con pendiente m puede ser usada para calcular k, s y C como se discutió en el capítulo 3. La extrapolación de la línea recta de doble pendiente es usada para la estimación de la presión promedio. Este redoble en la pendiente se presenta en pruebas multitasa, de inyección, de declinación, etc. Cuando un pozo está cerca a barreras múltiples se pueden presentar diferentes características del transiente de presión. Por ejemplo, cuando existen dos fallas interceptándose en ángulo recto cerca a un pozo (una más cerca que la otra), la pendiente se duplicará y luego se redoblará. 5.2.2. Métodos para Calcular la Distancia a las Discontinuidades Lineales de Gráficas de restauración de presión 5.2.2.1. Método de Horner Siempre que ∆tD > 25, la distancia a una discontinuidad puede ser solucionada a partir de la siguiente correlación empírica.

x

pt

p

tttc

ktd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

101217.0µφ

(5.5)

2

0002637.0dc

tktt

D φµ∆

=∆ (5.6)

Para valores pequeños de tp, el método de Horner es menos exacto. EJEMPLO Los siguientes datos de presión fueron obtenidos del pozo Bravo-1 en West –Texas. Este es un yacimiento de calizas con influjo de agua únicamente en la porción del sur. Los datos geológicos indican la presencia de una frontera (Raven) al oriente del pozo. Ver los datos de restauración en la tabla 5.1. La propiedades de la roca y del fluido son las siguientes:


240

rw = 5 in h = 18 ft φ = 14 % ct = 22x10-5 /psi µ = 1.8 cp B = 1.31 bbl/STB Pi = 3750 psi ρ = 56.8 lbm/ft3 q = 80 BPD Np = 9000 STB Encontrar: Permeabilidad del yacimiento, eficiencia de flujo y distancia a la frontera Raven, usando el método de Horner.

Tabla 5.1. Datos de Presión de Restauración

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t 0 2900 9 3310 134.33 0.5 3090 2401.00 13 3320 93.31 0.7 3118 1715.29 20 3333 61.00 1.1 3170 1091.91 30 3343 41.00 1.6 3199 751.00 40 3350 31.00 2.5 3240 481.00 50 3363 25.00 3.5 3278 343.86 70 3382 18.14 5 3290 241.00 100 3400 13.00 7 3302 172.43 150 3423 9.00 250 3450 5.80

SOLUCION Permeabilidad del yacimiento. De la gráfica semilog de Pws vs. (tp+∆t)/∆t (gráfica de Horner), la Fig. 5.2. donde tp = 24Np/q = (24)(9000)/180 = 1200 hrs. Tómese la porción de línea recta con pendiente m = 66 psi/ciclo (línea de comportamiento infinito). La permeabilidad de la formación será:

( ) mdmh

Bqk 2618)66(

)31.1)(8.1)(80)(6.162(6.162===

µ

La eficiencia de flujo es estimada mediante:

*( 0)

1 s

wf t

PFEP P ∆ =

∆= −

−

Donde:

( )0.87sP m s∆ =


241

3000

3100

3200

3300

3400

3500

3600

3700

110100100010000

m1=-66 psi/ciclom2=-136 psi/ciclo

p1hr = 3245 psi

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

P w

s , ps

iP*=3550 psi

Fig. 5.2. Gráfica de Horner De la Fig. 5.2, P1hr = 3245 psia. Por lo tanto el factor de daño es:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= =∆ 23.3log1513.1 2

)0(1

wt

twfhr

rck

m

PPs

ϕµ

( )( )( )( )223.3

416.010228.114.026log

66290027411513.1 25 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

−=

−s

( )0.87 66 2 116sP psia∆ = = . P* = 3550 psia (extrapolando la 2da línea recta),

entonces:

%8229003550

1161 =−

−=FE

Lo anterior significa que es necesaria una estimulación. La distancia a la frontera lineal es encontrada de la siguiente ecuación:


242

( )( )( )( )( ) ft

tttc

tkd

x

pt

p 53104.258.114.0

12002601217.0101217.0 5 =×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+∆

= −φµ

5.2.2.2. Método de David y Hawkins Utilizaron cualquiera de los gráficos MDH, Fig. 5.1.c., o Horner, Fig. 5.1.b así:

t

x

ctkd

µφ∆

= 01217.0 (5.7)

De la gráfica MDH, es obtenida directamente ∆tx. Por el gráfico de Horner ∆tx tiene que ser solucionado de [(tp+∆t)/∆t]x. Esta ecuación es estrictamente válida para [(tp+∆t)/∆t]x ≥ 30. Una desventaja para este método es que requiere largos tiempos para que la pendiente sea doble. Esto tiene lugar cuando:

2

380000 tc dtk

φ µ∆ =

Cuando d es largo o k es pequeño, la pendiente puede no ser el doble en una prueba de restauración de presión típica.


∆t, hrs Pws, psia (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psia (tp+∆t)/∆t 0 2665 5 3111 202.6 0.1 2940 10081 10 3148 101.8 0.2 2970 5041 20 3192 51.4 0.5 3009 2017 50 3258 21.16 1 3040 1009 100 3311 11.08 2 3070 505 200 3361 6.04

EJEMPLO Un pozo de petróleo produjo 4410 STB de petróleo y fue cerrado. El caudal de producción promedio fue de 105 STB/día. El pozo está ubicado en un área donde se supone existe una discontinuidad en la permeabilidad (falla). Además, los efectos de almacenamiento en la cara del pozo son despreciables. Los datos de restauración de presión y de la roca son presentados, estimar entonces la distancia a la discontinuidad usando el método de David y Hawkins, la permeabilidad e la formación, y el factor de daño. Las propiedades de la roca y el fluido para este sistema son:


243

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

ttp

2900

2950

3000

3050

3100

3150

3200

3250

3300

3350

3400

110100100010000

m1=-100 psi/ciclo73=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

X

p

ttt

P w

s , ps

i m2=-190 p

si/ciclo

Fig. 5.3. Gráfico de Horner q = 105 BPD rw = 0.33 ft h = 19 ft φ = 16 % µ = 0.87 cp B = 1.27 bbl/STB ct = 18.4x10-6 /psi k = 9.9 md SOLUCION Calcule el tiempo Horner de:

hrqN

t pp 1008

105)4410(2424

===

De la gráfica de Horner en la Fig. 5.3, se observa que m2/m1≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad. De la intercepción de las dos líneas rectas, [(tp+∆t)/∆t]x =73. Puesto que tp es 1008 hrs, entonces ∆tx = 14 hrs. La distancia a la discontinuidad es solucionada de la Ec. 5.7:

( )( )( )( )( ) ft

ctkd

t

x 90104.1887.016.0

149.901217.001217.0 6 =×

=∆

= −φµ

Así, la distancia a la discontinuidad es aproximadamente de 90 ft. Sin embargo, la dirección a la discontinuidad no puede ser determinada a partir de esta prueba del pozo.


244

4460

4480

4500

4520

4540

4560

4580

4600

100100010000

m1=-13 psi/ciclo

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

Pw

s , ps

i

m 2=-57 psi/ciclo

m 2=-10

0 psi/

ciclo

650=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+

x

p

ttt

Fig. 5.4. Gráfica de Horner EJEMPLO Los datos de restauración de presión tabulados a continuación fueron medidos durante una prueba a un pozo localizado en le campo Bay Marchand, costa afuera de Lousiana. El pozo ha producido 203280 STB de petróleo desde el último cierre. La rata estabilizada después del cierre fue de 336 BOPD. Otros datos importantes son: q = 105 BPD rw = 0.286 ft h = 27 ft φ = 30 % µ = 1.87 cp B = 1.217 bbl/STB ct = 10x10-6 /psi Pwf = 4473 psi


t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t Pws, psi 16 4534 846.0 4534 0 4473 20 4538 675.0 4538 0.5 4482 27041.0 24 4548 564.3 4548 1 4486 13521.0 28 4552 483.9 4552 2 4490 6761.0 32 4557 423.5 4557 4 4494 3381.0 36 4562 376.6 4562 6 4508 2254.3 40 4567 339.0 4567 8 4516 1691.0 44 4572 308.3 4572 10 4520 1353.0 48 4576 282.7 4576 12 4524 1125.7 52 4580 261.0 4580 14 4528 966.7 61 4580 222.6 4580


245

Los datos de la sísmica indican la presencia de una falla, posiblemente junto con el área de drenaje del pozo de prueba. Los datos de la prueba confirman la presencia de esta falla?. Si es así, estime la distancia a la falla usando el método de David y Hawkins. Estimar la permeabilidad efectiva en el pozo. SOLUCION tp es 14520 hrs usando la Ec. 4.6.b. De la gráfica de Horner presentada en la Fig. 5.4, son aparentes tres líneas rectas. Estas líneas tienen pendientes m1 = -13, m2 = -57, y m3 = -100 psi/ciclo. Si una falla está presente, se espera que dos líneas rectas con una relación de pendientes aproximada a dos, se presente. Observando las primeras dos líneas m2/m1=4.4 y m3/m2=1.8. Sin hacer un análisis más detallado, la segunda línea representa el flujo transiente en el yacimiento y la tercera línea se debe a la falla. Por consiguiente, la primera línea se debe probablemente a la estimulación de la cara del pozo. La permeabilidad es obtenida a partir de la pendiente de la segunda línea, entonces:

( ) mdhm

Bqk 8127)57(

)217.1)(88.1)(336)(6.162(6.1622

=−

==µ

La intercepción de las líneas 2 y 3 ocurre en [(tp+∆t)/∆t]=650. Así, ∆tx = 22.4 hrs. De la Ec. 5.7, la distancia a la falla puede ser calculada:

( )( )( )( )( ) ft

ctkd

t

x 218101088.130.0

4.228101217.001217.0 6 =×

=∆

= −φµ

El tipo de comportamiento de presión observado en la Fig. 5.4 podría ser causado por el fallamiento. 5.2.2.3. Método de Earlougher Este método generalmente arroja resultados exactos para todos los tiempos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

008119.0

D

Dt

p

rtc

ktd

µφ (5.8)

donde;

x

pD t

ttP ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+= ln

21 (5.9)


246

2900

3000

3100

3200

3300

3400

0.1 1 10 100 1000

∆t = 15 hrx

P

, ps

iaw

s

∆t, hr

m=99.94 psi/ciclo

m=196.3

4 psi/ci

clo

Fig. 5.5. Gráfico MDH para Estimar la Distancia a una Falla Note que tD/rD

2 es desconocido y debería ser estimado usando la Fig. 1.10 o su ajuste estadístico que se presenta inmediatamente después de dicha Figura. El método de Earlougher no es recomendable cuando tp >> ∆t usando la Ec. 5.9. EJEMPLO Para los datos de restauración de presión dados en el segundo ejemplo (tabla 5.2), calcular permeabilidad, factor de daño y determinar si existe o no una falla que no haya sido detectada. Si es así, estimar la distancia pozo a la falla usando la gráfica MDH y el método Earlougher. SOLUCION De las Figs. 5.3 y 5.5 la pendiente en la región de comportamiento infinito está alrededor de 100 psi/ciclo. Se observa también que m2/m1 = 1.9 ≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad (falla). La permeabilidad es estimada de la Ec. 3.8:

mdhm

Bqk 93.9)19(100

)27.1)(87.0)(105(6.1626.162

1

===µ

De la tabla 5.2, P1hr = 3040 psia, el factor de daño es entonces estimado con la siguiente ecuación procedente de la unidad 4.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= =∆ 23.3log1513.1 2

)0(1

wt

twfhr

rck

m

PPs

φµ


247

( )( )( )( )6.023.3

33.0104.1887.016.093.9log

100304026651513.1 26 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−−

−=

−s

De la Fig. 5.5, ∆tx = 15 hr. Usando la Ec. 5.7:

ftctkd

t

x 8.92)104.18)(87.0)(16.0(

)15)(93.9(01217.001217.0 6 =×

=∆

= −µφ

De la Fig. 5.3, [(tp+∆t)/∆t]x = 73. Usando la Ec. 5.5, se tiene:

ft

tttc

ktd

x

pt

p 05.89731

)104.18)(87.0)(16.0()1008)(93.9(01217.0101217.0 6 =×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+= −µφ

Usando el método de Earlougher se estima PD de la Ec. 5.9:

14523.2)73ln(21ln

21

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆+=

x

pD t

ttP

y usando la Fig. 1.10 ó su ajuste estadístico: x =log(PD) = log(2.14533) = 0.3314738

5692.1)3515.0)(11997.0()3515.0)(8503.0(1

)3515.0)(8432.1(53666.02 =

+−+

=y

09.371010 5692.12 === y

D

D

rt . La distancia a la falla se estima con la Ec. 5.8:

ft

rtc

ktd

D

Dt

p 34.83)09.37)(104.18)(87.0)(16.0(

)1008)(93.9(008119.0008119.0 6

2

=×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

µφ

5.2.2.4. Tiab’s Direct Synthesis Technique Para discontinuidades ocasionadas por diferencia de fluido (inyección) se invita al lector a leer el artículo SPE 76781. Overpeck y Holden también han trabajado este tema.


248

Imagen (espejo)

ky

kx

Barrera

d

y

x

Verdadera imagen

Pozo Reall

θ

Fig. 5.6. Sistema de Falla en un Yacimiento Anisotrópico Real

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

y co

ordi

nate

Boundary

A=1

A=5

A=100

A=10

A=2

x coordinate

Fig. 5.7. Posiciones del Pozo Imagen Normalizado como una Función de la Relación de Permeabilidad A y la Orientación de la Falla


249

0.1

1

10

100

1000

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09

89

81

72

63

55

46

37

29

20

16

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1`

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10`

CDe2s

A 1 2 5 10100

P D

and

t DP

D'

tD /CD

Fig. 5.8. Presión adimensional y derivada de presión vs grupo adimensional para un pozo sencillo cercano a una frontera de no flujo en un medio anisotrópico para un ángulo entre el pozo y la normal a la frontera (θ) de 30° y diferentes relaciones de

permeabilidad, A

tctkd

φµRe0002637.056.2=

ykxkA /=

A se ajusta con la gráfica 5.8.

Akkx = (5.10.a)

Akk x

y = (5.10.b)

Si el ángulo se conoce, el factor de corrección para la distancia aparente puede estimarse mediante:

21

22

²sin²cossin

²sin²coscos

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

θθθ

θθθ

AAAADDR


250

DDRddtrue =

5.3. FRONTERAS MULTIPLES En la detección de fronteras multiples el lector es referido al trabajo de Tiab y Crichlow y al artículo SPE 53933. 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA La conductividad adimensional de la falla/frontera está definida como:

Lw

kk

F ffCD = (5.11)

El valor de FCD típicamente varía entre cero y 1.0 ó más. Un valor de cero indica una frontera sellada o ausencia de la frontera y un valor infinito indica una presión constante en la frontera o una falla completamente sellada. 5.4.1. Frontera con Escape Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como:

1−= − CDFeτ (5.12) donde –1 ≤ τ ≤ 0. Valores negativos de τ indican la presencia de una acuífero al otro lado de la frontera. Note que cuando τ = 0, FCD = 0 indica que L = 0, y cuando τ = –1, FCD = ∞, indica que la conductividad de la frontera es infinita.

2( * ') '0.00375902 3.1638126( * ')

x

r

t Pt P

τ ∆= −

∆ (5.13)

La ecuación anterior es aplicable para casos cuando la segunda línea horizontal no está bien desarrollada.

2( * ')0.983396 0.98603107( * ')

r

r

t Pt P

τ ∆= −

∆ (5.14)

5.4.2. Frontera de No Flujo o Sellante Una conductividad adimensional escalable de la frontera, τ, es definida como:


251

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P ,

t *

P '

and

(t *

P ')

'D

D

D

D

D

t D

τ0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1.0

Pressure curve

Pressure derivative curve

Second pressure derivative curve

Fig. 5.9. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera con escape parcial y valores de conductividad adimensional

escalable negativos (frontera de flujo)

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P ,

t *P

' a

nd (t

*P

')'

D

D

D

D

D

t D

τ1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

Pressure curve

Pressure derivative curve

Second pressure derivative curve

Fig. 5.10. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera parcialmente sellante y valores de conductividad adimensional

escalable positivos (frontera de no flujo)


252

CDF−=1τ (5.15) donde 0 ≤ τ ≤ 1. Los valores positivos indican la presencia de barreras de no flujo. Un valor de cero indica que no hay falla/frontera, entonces la permeabilidad en ambos lados de la frontera es la misma. Note que cuando τ = 0, FCD = 1, y cuando τ = 1, FCD =0 indican que la barrera tiene una permeabilidad de cero.

2( * ') '3.173803 0.0015121( * ')

x

r

t Pt P

τ ∆= −

∆

2( * ')1.01338389 1.0146535( * ')

r

r

t Pt P

τ ∆= −

∆

5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO 5.5.1. Con Flujo Cruzado La Fig. 5.11 ilustra las bondades de estos sistemas. El comportamiento de la presión transiente de un yacimiento de varias capas con flujo cruzado es el mismo que el de un sistema homogéneo equivalente, con una transmisibilidad total aritmética:

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

i it

khkh1 µµ

i = 1, 2, 3,..., n (5.16)

Y el almacenamiento total aritmético:

( ) ( )∑=

=n

iittt hchc

1

φφ (5.17)

5.5.2. Sin Flujo Cruzado Este tipo de yacimientos están también referidos a sistemas compuestos, en los cuales las capas solo se comunican a través de la cara del pozo, como lo muestra la Fig. 5.12. a. Comportamiento Declinación de Presión La caída de presión a tiempos tempranos en un sistema de 2-capas produce una porción de línea recta en el gráfico semilog de PD vs. tD, Fig. 5.13, donde:

( ) ( )wfit

D PPBq

khP −=µ2.141

(5.18)


253

k1, φ1, h1

k2, φ2, h2

k3, φ3, h3

Fig. 5.11. Sistema de Tres Capas con Flujo Cruzado

k1, φ1, h1

k2, φ2, h2

Arenisca

Barrera impermeableArenisca

Fig. 5.12. Sistema de Dos Capas sin Flujo Cruzado


254

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

2)()(0002637.0

wtt

tD rhc

tkhtµφ

=

Approximate end of infinite acting period

h1/h2 = 1(φ µ ct)1/(φ µ ct)1 = 1re/rw = 2000 k1/k2 = 100

k1/k2 = 10k1/k2 = 2k1/k2 = 1

Fig. 5.13. Comportamiento del declinación de presión adimensional para un pozo en el centro de un yacimiento de varias capas, cerrado, circular y compuesto

Perio

do d

eal

mac

enam

ient

o

RectaSemilog

Apla

nam

ient

o

Incremento Final de la presión

Presión Promedia del yacimiento

Pres

ión

Log (Tiempo de cierre)

A

B

C D

E

Fig. 5.14. Presión de restauración teórica para un pozo sencillo ideal, multicapas, en un yacimiento de frontera cerrada


255

( )

( ) trhckhtwtt

TD ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

0002637.0µφ

(5.19)

( ) ( ) ( )21 khkhkh t += (5.20) ( ) ( ) ( )21 hchcthc ttt φφφ += (5.21) De acuerdo a la Fig. 5.13, nada distingue la curva declinación de presión a la del de una sola capa, yacimiento homogéneo, teniendo las propiedades promedio del sistema de varias capas. La pendiente de la línea recta puede ser usada para determinar (kh)t y el factor de daño promedio con las ecuaciones de declinación de presión normal. La inclinación hacia arriba es causada por los efectos de frontera. Después de un gran tiempo de producción, las condiciones de estado pseudo estable prevalecen y el comportamiento de la presión será lineal con el tiempo. b. Comportamiento en Restauración de Presión La Fig. 5.15 muestra una sección de línea recta inicial BC con pendiente:

( )tkhBqm µ6.162

= (5.22)

la cual, puede ser usada para estimar el producto total (kh). El achatamiento de CD puede ser observado solo en el caso de un yacimiento de dos-capas con contraste pequeño en espesor o porosidad. Los métodos no son favorables para analizar la segunda pendiente.


256

6. PRUEBAS MULTIPLES

6.1. GENERALIDADES La forma más simple de pruebas de interferencia involucra dos pozos: un productor (o inyector) y un pozo de observación. La idea general es Producir en un pozo y observar la caída de presión en otro. Pruebas de multinterferencia usualmente involucra un productor (o inyector) y varios pozos de observación. Para realizar una prueba de interferencia, todos los pozos involucrados se cierran hasta estabilizar sus presiones de fondo. Luego, se bajan las herramientas de registro de presiones en el pozo de observación y se abre el productor (o inyector) a producción (inyección). Si existe interferencia, se registra una caída de presión en el (los) pozo(s) de observación dentro de una longitud de tiempo razonable. La mayoría de las pruebas múltiples se efectúan en yacimientos cerrados. Las pruebas múltiples se llevan a cabo por un número de razones: • Buscar conectividad y/o continuidad del yacimiento • Detectar permeabilidad direccional y otras heterogeneidades • Estimar volumen del yacimiento • Orientación de Fracturas hidráulicas Para un sistema de dos pozos:

tinv c

tkrµφ

029.0= (6.1)

El daño en el pozo activo no afecta la presión en el pozo de observación. Hay dos tipos de pruebas: De interferencia y de pulso. 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA Estas se usan para determinar: a) Conectividad del yacimiento. Transmisibilidad b) Dirección de los patrones de flujo. Esto se hace mediante apertura selectiva de

pozos alrededor del pozo cerrado o en observación. c) Capacidad de almacenaje (factor de almacenaje) = st = φ ct h d) Determinación de la naturaleza y magnitud de la anisotropía. Se halla la

permeabilidad del yacimiento en todas sus direcciones y la dirección, θ, del ángulo de anisotropía.


257

Pozo activo(inyector o productor) Pozo de observación

(Preferiblemente cerrado)

Fig. 6.1. Representación esquemática de una prueba de interferencia

Pozo activo

Pozo de observación # 1

Pozo de observación # 2Pozo de observación # 3

Fig. 6.2. Representación esquemática de la medida de la anisotropía En yacimientos con contactos fluido-fluido, por ejemplo capa de gas, en la región de interferencia, las pruebas múltiples podrían dar resultados erróneos o ilógicos debido a las diferentes propiedades de los fluidos en las regiones. 6.2.1. Método de Earlougher a) Dos pozos: Uno activo (inyector o productor) y el otro de observación

preferiblemente cerrado. La presión en el pozo de observación es:

1 logws hrP P m t= + (6.2)

Cuando t = 1 hr, Pws ≈ P1hr ≈ Pi para yacimientos nuevos. La Ec. (6.2) es válida si tD/rD

2 > 100 (x < 0.0025). Siendo r la distancia entre pozos. La restricción de tD/rD2 >

100 se aplica con un error del 1 %.


258

1 hr

P ws

log t

Para yacimientos nuevos1A t 1hr, ws hr iP P P= = ≈

Fig. 6.3. Gráfico semilog de una prueba de interferencia

Pozo activo Pozo de observación

h1

h2

Ocurre primero reflexiónen la frontera inferior donde esta el pozo activo

Fig. 6.4. Reflexión de la onda en un sistema de espesor variable

220002637.0

rckt

rt

tD

D

µφ= (6.3)

Cuando se grafica Pws vs. log t, se debería obtener una línea recta de cuya pendiente y corte se obtiene la transmisibilidad y la porosidad. La transmisibilidad, T, se halla de:

162.6kh qTm

βµ

= = (6.4)


259

1 2log 3.2275hr it

kP P mc rφµ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Note que el factor de daño no aparece en esta ecuación puesto únicamente hay flujo de fluidos en el pozo activo y no en el pozo de observación. Sin embargo, se presentan excepciones cuando el pozo está muy estimulado. El almacenamiento también es minimizado en las pruebas múltiples pero no del todo.

12.302 7.41316

2

i hrP Pm

t tTS c er

φ µ−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦= = (6.5)

b) Dos pozos: ambos cerrados

logws it tP P m

t+ ∆

= +∆

(6.6)

t es el tiempo total de producción en el pozo activo. Efectúe un gráfico Horner y de la pendiente obtenga la transmisibilidad:

162.6qBTm

=

Calcula el factor de almacenaje de:

( 0) 12.302 ln 1 7.41316

2

i wfp p tm t

tTS er

− ∆ =⎡ ⎤⎛ ⎞− + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦= (6.7)

6.2.2. Método de Ramey Dos pozos: Uno activo (productor o inyector) y el otro de observación preferiblemente cerrado. Procedimiento: 1) Grafique ∆Pws = Pi - Pws (pozo de observación) vs. tiempo de prueba y obtenga el

mejor ajuste con una de las curvas de la Fig. 1.10. 2) Tome cualquier punto conveniente y lea las coordenadas: (PD)M, (tD/rD

2)M, ∆PM, tM 3) Halle transmisibilidad ;


260

Pozo activo(inyector o productor) Pozo de observación

(Preferiblemente cerrado)

ESTE POZO SE CIERRA

Fig. 6.5. Caso b: ambos pozos cerrados

162.6 DM

M

PT qBP

=∆

(6.8)

4) Calcule St;

2

2

0.0002637 Mt

D

D M

tTSr t

r

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.9)

Limitaciones: a) rD > 20 (ver Fig. 1.9) b) (tD/rD

2) > 50 ó 100 6.2.3. Método de Tiab y Kumar P’m = el máximo valor de la derivada de presión en el pozo de observación el cual está colocado a una distancia r del pozo activo. Unidades psi/hr. tm = Es el tiempo al cual ocurre P’m, hrs Procedimiento: 1) Obtenga ∆P vs. tiempo en el pozo de observación que preferiblemente está

cerrado. 2) Calcule P’ = ∆(∆P)/∆t = cambio de ∆P/cambio en tiempo de prueba 3) Grafique P’ vs. t en log-log, ver Fig. 6.6. 4) Calcule St;

2

10.0274'tm

qSr pβ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.10)


261

log

P'

log t

tm

P'm

Fig. 6.6. Gráfico log-log de la derivada

tm

p'mp'

tto

punto deinflexión

Fig. 6.7. Gráfico cartesiano para determinar el punto de inflexión 5) Calcule la transmisibilidad, T

2 1948 tm

T S rt

= (6.11)

Cuando por efectos de ruido es muy difícil obtener el P’ entonces se gráfica en cartesiano.


262

Seleccione el punto de inflexión. La pendiente es P’m. Extrapole la recta y lea el valor de to. 6) Verifique y chequee resultados:

ot trST 12.382 2= (6.12)

EJEMPLO Durante una prueba de interferencia fueron producidos 3125 STB de petróleo por el pozo A. La respuesta de la presión fue observada en el pozo B, 138 ft lejos del pozo A por 300 horas. Entonces, el pozo A fue cerrado también y la respuesta de la presión fue observada en el pozo B para 100 horas. Adicionalmente se dan los siguientes datos del yacimiento: µ = 1.3 cp B = 1.14 bbl/STB h = 31 ft Pi = 2600 psia ρ = 56.4 lbm/ft3 s = -2.2 (well A) ct = 16x10-6 /psi Vu = 0.00697 bbl/ft Los datos de tiempo y presión de prueba están dados en las tablas 6.1 y 6. 2. 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando: A) El método de Earlougher a) Pozo A es activo b) Pozo A está cerrado B) El método de Tiab y Kumar C) Mostrar que los efectos del almacenamiento en la cara del pozo no son importantes en el pozo A.

Tabla 6.1. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Activo)

Tiempo Prueba,

hr

Respuesta de la presión,

psia

Tiempo Prueba,

hr

Respuesta de la presión,

psia 1.1 2595.6 10 2575.5 1.5 2593.5 15 2571.0 2.0 2591.4 25 2565.0 2.5 2590.0 35 2561.0 3.0 2587.5 60 2555.0 4.0 2585.0 100 2549.0 5.0 2583.0 150 2543.5 7.5 2579.0 300 2530.0


263

Tabla 6.2. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Cerrado)

Tiempo de prueba, hr

Respuesta de la presión, psia

t1+∆t)/∆t

1.0 2541.0 301.00 2.0 2544.0 151.00 3.5 2547.0 86.71 5.0 2551.0 61.00 7.0 2555.0 43.86

10.0 2559.0 31.00 15.0 2563.5 21.00 25.0 2569.0 13.00 40.0 2574.0 7.50 60.0 2577.0 6.00 100.0 2580.0 4.00

Tabla 6.3. Derivada de presión y datos postflujo

Tiempo,

hr P, psi ∆P, psi P', psi/hr qaf, STB qaf/q

1.1 2595.6 4.40 4.00 1.498947 0.0060 1.5 2593.5 6.50 5.25 1.967368 0.0079 2.0 2591.4 7.60 4.20 1.573895 0.0063 2.5 2590.0 10.00 2.80 1.049263 0.0042 3.0 2587.5 12.50 5.00 1.873684 0.0075 4.0 2585.0 15.00 2.50 0.936842 0.0037 5.0 2583.0 17.00 2.00 0.749474 0.0030 7.5 2579.0 21.00 1.60 0.599579 0.0024

10.0 2575.5 24.50 1.40 0.524632 0.0021 15.0 2571.0 29.00 0.90 0.337263 0.0013 25.0 2565.0 35.00 0.60 0.224842 0.0009 35.0 2561.0 39.00 0.40 0.149895 0.0006 60.0 2555.0 45.00 0.24 0.089937 0.0004 100.0 2549.0 51.00 0.15 0.056211 0.0002 150.0 2543.5 56.50 0.11 0.041221 0.0002 300.0 2530.0 70.00 0.09 0.033726 0.0001

SOLUCION

1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando A) El Método de Earlougher: a) El pozo A está activo.


264

2520

2540

2560

2580

2600

0.1 1 10 100 1000

Tiempo, hrs

P w

s , ps

im=-25.518 psi/ciclo

Fig. 6.8. Gráfico semilog de Pws vs. t Es necesario construir un gráfico en semilog de Pws vs tiempo (ver Fig. 6.1). En este gráfico, se traza una línea recta cuya pendiente, m = -25.517. Puesto que 3125 STB de petróleo fueron recuperados durante 300 horas de producción, entonces la rata de flujo, q, es 250 BPD. Entonces, la permeabilidad es calculada usando la Ec. 6.4:

mdmh

Bqk 15.76)31)(518.25(

)14.1)(3.1)(250(6.1626.162==−=

µ

Usar la Ec. 7.5 para estimar la porosidad:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4316.7302.2

exp 12 m

PPr

kc hrit µ

φ

Mediante un análisis de regresión lineal se encuentra que P1hr = 2600.53 psi, entonces:

%17.124316.7518.25

53.26002600302.2exp

)1016)(138)(3.1(15.76

62 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−×

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−φ

b) El pozo A está cerrado La Fig. 6.2 presenta una gráfica en semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t. De la línea recta, se tiene: m = -26.749 y P1hr = 2532.55 psia.

• Usar la Ec. 6.4 para calcular la permeabilidad


265

2530

2540

2550

2560

2570

2580

1 10 100 1000

P1hr = 2532.55 psi

m=26.749 psi/ciclo

ttt

∆

∆+1

P w

s , ps

i

Fig. 6.9. Gráfico semilog de Pws vs. (t1+∆t)/∆t

0.01

0.1

1

10

1 10 100 1000

P', p

si/h

r

t, hrs

tm = 1.5 hrs

P'm = 5.25 psi/hr

Fig. 6.10. Gráfica de la Derivada de Presión

mdk 65.72)31)(749.26(

)14.1)(3.1)(250(6.162==

• La porosidad es determinada por medio de la Ec. 6.5;

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛=∆ 4310.711ln

302.2exp

1

)0(12 tm

PPrkc twshr

t µφ


266

[ ] %84.94310.7300

11ln749.26

253055.2532302.2exp)138)(3.1(

65.722 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ

B) Método de Tiab y Kumar • Obtener ∆P vs tiempo (ver tabla 6.3) • Calcular la derivada de presión, P' • Graficar la derivada de presión vs tiempo en escala log-log, ver Fig. 6.10, de esta P'm

= 5.25 psia y tm = 1.5 hr • Usar la Ec. 6.10 para estimar la porosidad

%74.1525.51

)1016)(138)(31()14.1)(250(0274.0

'10274.0 622 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

mt PchrqBφ

• Estime la permeabilidad de la Ec. 6.11;

mdt

rckm

t 4.395.1

1)138)(3.1)(1016)(1574.0(9481948 262 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −µφ

Note que la gráfica de la derivada presenta cierto ruido, entonces se recomienda suavizar la gráfica antes de desarrollar los cálculos. C) Mostrar que el efecto de almacenamiento en la cara del pozo no es importante en el pozo A Cuando qaf/q < 0.01 se puede concluir que el postflujo o el almacenamiento en la cara del pozo no está afectando los datos de presión. Para calcular qaf, se usa el siguiente procedimiento:

tddPws

BC=qaf ∆

24 (6.13)

siendo;

psibblVC u /0178.04.56

00697.0144144 ===ρ

entonces;

499.1414.1

)0178.0(24==qaf


267

tiempo

1 2 3 4 5 6

Rat

a de

fluj

o (P

ozo

puls

ante

)Pr

esió

n ob

serv

ada

t1

t1

pulso 1

pulso 2

pulso 3

pulso 4

pulso 5

pulsos

Tren establecido

qP1∆

t L1

∆tc

∆tp

qP2∆∆tp

Respuesta de los

pulsos

Fig. 6.11. Nomenclatura de las pruebas de pulso Valores adicionales son mostrados en la tabla 6.3. En esta tabla, se puede notar que la condición qaf/q < 0.01es siempre cumplida, por tanto los efectos de almacenamiento en la cara del pozo no son importantes. 6.3. PRUEBAS DE PULSO Está técnica usa una serie de pulsos cortos de la rata de flujo. Los pulsos son periodos alternantes de producción (o inyección) y cierre con el mismo caudal en cada producción. La respuesta de presión a los pulsos se mide en el pozo de observación. La principal ventaja de las pruebas de pulso estriba en la corta duración del pulso. Un pulso puede durar unas horas o unos pocos días, lo cual interrumpe la operación normal ligeramente comparado con las pruebas de interferencia. tL (time lag), es el tiempo entre el fin de el pulso y el pico de presión causado por el pulso. ∆P, (amplitud). La distancia vertical entre la tangente a dos puntos picos consecutivos y la línea paralela a esa tangente en el pico del pulso a medir.


268

∆tc, Ciclo del pulso. Tiempo desde el arranque hasta el fin del periodo de flujo. ∆tp, Periodo de cierre. La convención de signos para ∆P es: 1. ∆P > 0 si q > 0 (pozo productor activo) , ∆P/q > 0 2. ∆P < 0 si q < 0 (pozo inyector activo), ∆P/q > 0 3. ∆P < 0 para picos impares 4. ∆P > 0 para picos pares 6.3.1. Método de Kamal – Birgham Procedimiento: 1) Grafique ∆P/q vs. t en papel cartesiano 2) De este gráfico obtenga el tL, ∆tc y ∆tp. 3) Calcule la relación tL/∆tc y F’= ∆tp/∆tc. 4) Halle [∆PD(tL/∆tc)2] de las Figs. 6.12.a a la 6.12.d, que corresponde a F’ y tL/∆tc del paso 3. (NOTE: Al-Khalifah, A. A., Al-Hashim, H. S. and Menouar, H. K. Revised Pulse Testing Correlation Charts. SPE paper 14253, presented at the 60th Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers held in Las Vegas, Sept. 1985, hallaron error en las ecuaciones de Kamal – Birgham y desarrollaron nuevas ecuaciones y cartas). 5) Calcule la transmisibilidad, T

( )( )[ ]T

pq

t tP t t

L c

D L c=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14122

2.

//β

∆∆

∆ ∆ (6.14)

Analice todos los valores puesto que el primero puede estar afectado por WBS. 6) Determine tLD/rD

2, tiempo lag dimensional, de las Figs. 6.13.a a 6.13.d correspondiente a F’ y tL/∆tc obtenido en el paso 3.

7) Calcule St;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

2000263.0

D

LD

Lt

rtt

rTS (6.15)

En el pozo de observación los efectos de almacenamiento se incrementan con el tiempo lag y tienden a reducir la amplitud de los primeros pulsos. Sin embargo si r>32(C/St)0.54 entonces los efectos de almacenamiento en el pozo de respuesta en menos del 5 % de incremento del tiempo de transición y no afectará la amplitud.


269

0.00000

0.00025

0.00050

0.00075

0.00100

0.00125

0.00150

0.00175

0.00200

0.00225

0.00250

0.00275

0.00300

0.00325

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.4

F'=0.3

F'=0.9F'=0.2

F'=0.6

Primer pulso impar

Tiempo de transición, tL /longitud del ciclo, ∆tc

F'=0.1

Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Fig. 6.12.a. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el

primer pulso impar

0.00000

0.00050

0.00100

0.00150

0.00200

0.00250

0.00300

0.00350

0.00400

0.00450

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6

F'=0.5

F'=0.3

F'=0.1

F'=0.2

F'=0.4

Primer pulso par


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Fig. 6.12.b. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el

primer pulso par


270

0.00000

0.00050

0.00100

0.00150

0.00200

0.00250

0.00300

0.00350

0.00400

0.00450

0.01 0.1 1


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6

F'=0.5F'=0.4

F'=0.3F'=0.2

F'=0.1

Todos los pulsos pares excepto el primero

Fig. 6.12.c. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos pares excepto el primer

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

0.01 0.1 1


Am

plitu

d de

resp

uest

a de

l pul

so, ∆

P D

[t L

/ ∆t c

]2

Todos los pulsos impares excepto el primero

F'=0.7

F'=0.4

F'=0.5

F'=0.3

F'=0.2 F'=0.9

F'=0.8F'=0.6

Fig. 6.12.d. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos impares excepto el primer


271

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.3

F'=0.6 F'=0.5

F'=0.4

F'=0.2

F'=0.1Primer pulso par


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

Fig. 6.13.a. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso par

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

F'=0.8

F'=0.7F'=0.6

F'=0.4F'=0.5

F'=0.3

F'=0.2F'=0.1

F'=0.9Primer pulso impar

Fig. 6.13.b. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso impar


272

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.01 0.1 1

F'=0.8

F'=0.7

F'=0.6F'=0.5

F'=0.4

F'=0.3

F'=0.2

F'=0.1Todos los pulsos pares excepto el primero


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

Fig. 6.13.c. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos pares excepto el primero

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.01 0.1 1


Tiem

po d

e tra

nsic

ión

adim

ensi

onal

(t LD

/ r D)

2

F'=0.8F'=0.7 F'=0.6

F'=0.5F'=0.4

F'=0.3F'=0.2

F'=0.9Todos los pulsos impares excepto el primero

Fig. 6.13.d. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos impares excepto el primero


273

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

xy 0016.0=

Tiempo, hrs

∆p/q

, psi

/BPD

0072222.00014222.0 += xy

Rate de flujo, BPD

0014.000096.0 += xyqP1∆

qP2∆

qP3∆

t L1=

0.55

t L2=

-0.0

8

t L2=0.47

Fig. 6.14. Gráfico de la Prueba de Pulso

Tabla 6.4. Datos de la Prueba de Pulso

t, hr ∆P(psi) ∆P/q t, hr ∆P(psi) ∆P/q 0.25 0.175 0.0005 2.75 1.925 0.0055 0.50 0.560 0.0016 3.00 2.975 0.0085 0.75 1.400 0.0040 3.25 3.850 0.0110 1.00 2.625 0.0075 3.50 4.270 0.0122 1.25 3.150 0.0090 3.75 4.060 0.0116 1.50 2.940 0.0084 4.00 3.360 0.0096 1.75 1.890 0.0054 4.25 2.590 0.0074 2.00 1.400 0.0040 4.50 2.100 0.0060 2.25 1.260 0.0036 4.75 2.100 0.0060 2.50 1.505 0.0043 5.00 2.555 0.0073

EJEMPLO Los datos de la respuesta de la presión dados en la tabla 6.4 fueron obtenidos de un pozo productor durante una prueba múltiple. Datos adicionales concernientes a esta prueba son mostrados a continuación: µ = 2.8 cp B = 1.20 bbl/STB h = 30 ft ct = 12x10-6 /psi C = 0.002 bbl/psi en el pozo de observación


274

Periodo de cierre = 0.7 hr Periodo de pulso = 1.63 hr Distancia entre pozos = 140 ft Rata de flujo = 350 STB/D 1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) 2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d) 3) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explicar la diferencia. 4) Comente el efecto de almacenamiento en esta prueba. SOLUCION Para el Pulso 1: En la Fig. 6.14, una línea recta desde (0,0) hasta (2.25, 0.0036) ha sido dibujada. Puesto que la forma general de una ecuación de línea recta es:

)( 11

1 x-xx-xy-y=y-y

12

2

Aplicando esta ecuación, se tendrá;

xy 0016.0= . ∆P1/q es igual a la distancia entre los puntos (1.25, 0.002) y (1.25, 0.009):

21

21

1 )()( y-y+x-x=qP

22∆

∆P1/q = 0.007041 tL1 = 0.55 ∆tC1 = 2.33 ∆tp1 = 0.7 Para el Pulso 2: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (1.25,0.009) hasta (3.5, 0.0122), la ecuación de la línea recta será:

0072222.00014222.0 += xy . ∆P2/q es igual a la distancia entre los puntos (2.25, 0.0036) y (2.25, 0.01042): ∆P2/q = 0.0066992 psi/BPD tL2 = -0.0799 hr ∆tC2 = 2.33 hrs ∆tp2 = 0.7 hrs Para el Pulso 3: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (2.25,0.0036) hasta (4.75, 0.006), la ecuación de la línea recta será:

0014.000096.0 += xy . ∆P3/q es igual a la distancia entre los puntos (3.25, 0.004836) y (3.5, 0.0122): ∆P3/q = 0.007455 tL3 = 0.47 ∆tC3 = 2.33 ∆tp3 = 0.7


275

1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la relación tL/∆tC y F' = ∆tp/∆tC tL/∆tC = 0.47/2.33 = 0.2017 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.c. [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0033. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14:

( )( )( )2

2 2

141.2 141.2(2.8)(1.2)(0.0033)/ 173.4(0.0033)(0.2017 )(30)/ /

D L cL c

Bk p t t mdp q t t h

µ ⎡ ⎤= ∆ ∆ = =⎣ ⎦∆ ∆

2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d). Determinar el time lag adimensional, tLD/rD², de la figura 6.13.c usando tL/∆tC y F'. Entonces, tLD/rD² = 0.52. Estimar la porosidad usando la Ec. 6.15:

( )2 2 62

0.0002637 0.0002637(68.29)(0.47) 2.5 %(2.8)(140 )(12 10 )(0.52)/

Lt

t LD D

tkcr c t r

φµ −= = =

×

3) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explique la diferencia. Para el Pulso 1: tL/∆tC = 0.55/2.33 = 0.236 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/∆tC y F' se obtiene [∆PD (tL/∆tC)²] de la Fig. 6.12.b. Entonces, [∆PD (tL/∆tC)²] = 0.0037. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14;

2

141.2(2.8)(1.2)(0.0037) 283.9(0.0037)(0.236 )(30)

k md= =

Determinar el tiempo de transición adimensional, tLD/rD², de la Fig. 6.13.b usando tL/∆tC y F'. Esto es tLD/rD² = 0.26. Ahora, estimar la porosidad usando la Ec. 6.15

2 6

0.0002637(55.98)(0.55) 4.75 %(2.8)(140 )(12 10 )(0.26)

φ −= =×

Para el Pulso 2: Puesto que el time de transición, tlag, es negativo (ver Fig. 6.14), lo cual implica que la presión está empezando a incrementar después del cierre del pozo,


276

como lo muestra el gráfico. Este comportamiento no es físicamente lógico y puede ser causado por algún error ocurrido durante la prueba. 4) Comente sobre el efecto de almacenamiento en esta prueba. En el primer pulso, la permeabilidad fue afectada un 63.7 % y la porosidad fue afectada un 88 %. Esto fue debido a un incremento en tL y una reducción en el valor de la amplitud del pulso. tL1 = 0.55 ∆P1 = 0.007041 tL3 = 0.47 ∆P32 = 0.007455 Estos cambios son causados por el efecto de almacenamiento.


277

7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS

En estos yacimientos, se observan dos tipos diferentes de porosidad. La matriz tiene menor permeabilidad y su porosidad es pequeña comparada con la de las fracturas, la cual también tiene alta permeabilidad. Sin embargo, existen casos donde la matriz tiene porosidad y permeabilidad con valor cero, entonces el flujo solo ocurre desde las fracturas. Este tipo de comportamiento se presenta en yacimientos con rocas ígneas o metamórficas. Los yacimientos naturalmente fracturados tienen fracturas con permeabilidad, kf y porosidad, φf y una matriz con permeabilidad, km y porosidad, φm. Algunos yacimientos funcionan como si estos fueran naturalmente fracturados, pero éstos realmente no lo son. Este es el caso de canales disueltos, capas interestratificadas con permeabilidad diferente (dolomitas interestratificadas con calizas las cuales tienen menos densidad o areniscas interestratificadas con otras limolitas y areniscas de grano fino). Sin embargo, los modelos fracturados naturalmente pueden ser aplicados a estos tipos de yacimientos. En esta clase de yacimientos fracturados naturalmente, los dos tipos diferentes de porosidad son encontrados como se muestra en el lado izquierdo de la figura 7.1.c. Una muy baja porosidad, presentada en los poros finos y otra alta porosidad representada por fisuras, cavidades y fracturas. Los yacimientos fracturados naturalmente son heterogéneos. La idea de un canal homogéneo ocurre fuera de la realidad. No obstante, la roca es fracturada homogéneamente, la precolación del agua del agua causa depositación mineral, la cual reduce la permeabilidad o tapona completamente los canales del fluido. Por lo tanto, las fracturas de carácter homogéneo cambian con el tiempo y se obtiene una roca heterogénea. La porosidad de la fractura es rara vez mayor al 1.5 o 2 %. Usualmente, esta es menor que el 1 %. La capacidad de almacenamiento de la fractura, Sf = φfcfhf, es muy pequeña, debido a que φf es pequeña y hf es extremadamente baja. En contraste, kf es muy alta. La capacidad de almacenamiento de la matriz, Sm = φmcmhm, es mayor que La capacidad de almacenamiento de la fractura. Normalmente, la permeabilidad de la matriz es menor que la permeabilidad de la fractura. Si estas tienen el mismo valor, el sistema se comporta como homogéneo y sin fractura. Si la permeabilidad de la matriz es cero y las fracturas son fortuitamente distribuidas, el sistema tiene un comportamiento homogéneo. Sin embargo, si la permeabilidad de la matriz es cero, pero las fracturas tienen una dirección preferencial, entonces se tiene flujo lineal. Además, si la permeabilidad de la matriz es pequeña (usualmente menor que 0.01 md) y el yacimiento es


278

ampliamente fracturado, el sistema se comporta como homogéneo y sin fracturas. Desde el punto de vista de prueba de pozo, tres condiciones deben ser cumplidas para determinar si en realidad se trata de un yacimiento fracturado naturalmente. 1. La porosidad de la matriz es mayor que la porosidad de la fractura. 2. La permeabilidad de la matriz no es cero, pero su permeabilidad es mucho más

pequeña que la permeabilidad de la fractura. 3. El pozo intercepta la fractura. Odeh examinó varios modelos teóricos y concluyó que los yacimientos fracturados (especialmente con porosidad secundaria) generalmente se comportan como yacimientos homogéneos. De acuerdo con Warren y Root, una gráfica de presión de cierre versus log (tp+∆t)/∆t producirá dos porciones de líneas rectas paralelas como se muestra en la Fig. 7.1.d. La primera porción de línea recta puede ser usada para calcular el producto total kh y el factor de daño por el método convencional de Horner. Note que P1hr es tomado de la segunda línea recta. La presión promedia del yacimiento se estima mediante la extrapolación de la segunda línea a (tp+∆t)/∆t = 1 para obtener P* y entonces usar técnicas convencionales. La distancia vertical entre las dos líneas rectas semilog, identificada como ∂P puede ser usada para estimar la relación φct producida en la fractura para el sistema total (capacidad de almacenamiento de la fractura):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPlogantiω (7.1)

De la ecuación anterior, si ∂P < 100, el parámetro de capacidad de almacenamiento puede contener muchos errores. Defina:

matft

ft

ccc

)()()(φφ

φω

+=

El parámetro de flujo interporoso, λ, es directamente proporcional a la relación de permeabilidad de la matriz y la fractura.

f

m

kk

∝λ

Si ω tiende a 0 y λ ≤ 1x10-9, toda la permeabilidad proviene de la fractura. El parámetro λ puede ser estimado por el método de Uldrich y Ershaghi (1979), usando las coordenadas del punto de inflexión del gráfico semilog de declinación de presión:


279

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1 10

ω

FEID

FDD

FEID or FDD

Fig. 7.1.a. Determinación de FEID ó FDD

ln( ) log 0.351 0.872.303

wf i EIDP P Fanti m s

mλ ω ω

−⎛ ⎞= − + + + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.2)

donde:

ln( ) ln( )1 1EIDF Ei Eiω ω ω

ω ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.3)

FEID es la diferencia integral exponencial en el punto de inflexión y FDD es un factor usado para estimar ω de una prueba de declinación de presión cuando el último tiempo de extensión no es evidente.

inf inf2.303 ( )wf wf earlyDD

P PF

m− −⎡ ⎤−⎣ ⎦= (7.4)

donde Pwf-inf es el valor de la presión en la inflexión y (Pwf-inf)early es la presión extrapolada al tiempo cercano de extensión en el punto de inflexión. Para una presión de restauración, el parámetro λ puede despejarse de la siguiente relación:

infinf

inf

(1 ) [( ) ( ) ]( )exp(1 ) [( ) ( ) ]

p D DD

p D D

t ttt t

ω ω λλω ω ω λω

− − + ∆∆⎡ ⎤ =⎢ ⎥ − − + ∆⎣ ⎦


280

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

0.001

0.0020.004 0.01 0.02 0.04 0.1 0.3 0.6

FB

ωinf

infp

tt t

∆+ ∆

Fig. 7.1.b. Determinación de FB

Matriz Fractura

YACIMIENTO REAL SISTEMA IDEALIZADO

Caverna

Matriz

Fractura

MatrizFractura

Fig. 7.1.c. Ilustración de un yacimiento fracturado naturalmente y su representación ideal


281

5700

5800

5900

6000

6100

6200

6300

6400

6500

10100100010000100000

Shu

t-in

pres

sure

(tp+∆t)/∆t

Extrapolate to P*

Extrapolate to P1hrm

m/2

m

12

3

Fig. 7.1.d. Gráfico Horner para un yacimiento fracturado Esta ecuación puede ser reordenada de la siguiente manera:

inf( )D Bt Fλ ∆ = (7.5) Así, teniendo FB, el parámetro λ puede ser obtenido del gráfico. El parámetro λ (parámetro de flujo interporoso) puede ser estimado fácilmente de los gráficos semilog usando la relación presentada por Tiab y Escobar (2203):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

ωωµφλ 1ln)(3792

inf

2

tkrc wtt (7.6)

donde ∆tinf es el valor del tiempo en el cual tiene lugar la inflexión. ω y λ son independientes de la presión. Las propiedades PVT pueden afectar la capacidad de almacenamiento. El parámetro de flujo interporoso es función de la capacidad de almacenamiento. De acuerdo a la Fig. 7.1.d, la porción lineal (sección 1), representa un flujo transiente radial a través de las fracturas. A partir de la pendiente, m, puede ser solucionada la permeabilidad de la fractura. Puesto que la permeabilidad de la fractura es pequeña, el depletamiento tiene lugar rápidamente, por lo tanto, la presión de pozo fluyendo y la presión de la fractura caen rápidamente. Esto hace que el fluido de la matriz fluya hacia las fracturas (sección 2). Esto causa una caída de la rata de declinación de presión del pozo. Finalmente, cuando a presión de la matriz alcanza la presión de la fractura, la contribución de la fractura desaparece y su comportamiento es debido a la contribución de la matriz. Si las líneas de la sección 1 y 3 no son paralelas, entonces una frontera del yacimiento ha sido detectada.


282

El periodo de transición, sección 2, se debe a: A. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión matriz-fractura

(Warren y Root, 1963) – modelo de estado pseudo estable. Caso especial del caso C.

B. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión promedio en toda la matriz (Streltsova, 1988). Modelo de gradiente de presión.

C. La rata de flujo bajo comportamiento de estado inestable es función de la caída de presión en toda la matriza (Kazemi, 1969, deSwann, 1976 y Najurieta, 1980). Modelo de estado instable.

EJEMPLO Asumiendo que los valores siguiente son leídos de la Fig. 7.1.d, encontrar la fracción del volumen poroso total proporcionados por las fracturas y la porosidad de la fractura. Del gráfico semilog m = 300 psi/ciclo. Información adicional:

inf( )D Bt Fλ ∆ = (7.5) ∂P = 285 psi φma = 4.3 % (ct)ma = 1.5x10-6 psi (ct)f = 3x10-4 psi SOLUCION

1122.0300285logantiloganti =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

4

4 5

(3 10 )0.1122

(3 10 ) (0.043)(1.5 10 )f

f

φφ

−

− −

×=

× + ×

Entonces, la porosidad de la fractura es 2.72x10-2 %. El análisis clásico de yacimientos de doble porosidad está basado en un modelo continuo que considera propiedades promedio. Fuera del flujo a través de las fracturas, la ecuación de difusividad también incluye un término que tiene en cuenta el flujo en la matriz. Varios modelos tratan sobre la transferencia de fluido entre las fracturas y la matriz bloque. Kazemi propuso un modelo transiente el cual aplica para los siguientes regímenes de flujo de bloque interno: transiente, último transiente y estado semi pseudo estable (PSSS).


283

7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE Recientemente, el concepto de daño de interporosidad ha sido introducido al estudio de yacimientos naturalmente fracturados. Este resultó de la observación de la depositación de material en una capa delgada de baja permeabilidad o la alteración de la superficie de fractura causada por la precolación de agua a través de las fracturas. Este efecto es para inhibir y retrasar el soporte de los bloques de la matriz a los sistemas de fractura. La solución analítica (espacio Laplaciano) para la respuesta de la presión en un sistema de doble porosidad es:

( )( )

D

DofD

tssfsKsfss

sfsrKP

→

=)()(

)(~

1

*

(7.7)

En la cara del pozo, rD = 1. El parámetro Laplace )(sf es función del tipo de modelo (PSSS o transiente) y la geometría del sistema de fractura. Las siguientes tres geometrías de bloque de matriz son consideradas: Lámina (capas) n = 1 Palos de fósforos (cilindro) n = 2 Cubo (esfera) n = 3 Siendo n el número de planos de fractura normal. Se recomienda reemplazar paralelepípedos rectangulares por cilindros y cubos por esferas ya que estos tienen relaciones volumen/superficie idénticas, entonces sus propiedades de difusión son muy parecidas. Los parámetros de flujo interporoso, λ, y de capacidad de almacenamiento o relación de capacidad, ω, son usados en el estudio de los sistemas de doble porosidad:

2

2)2(4

mfb

wmb

hkrknn +

=λ (7.8)

mmbffb

ffb

cccφφ

φω

+= (7.9)

La función )(sf excluye el daño de interporosidad para el modelo PSSS aplicado a las tres geometrías simplificadas es:

λωλωω

+−+−

=sssf

)1()1()( (7.10)

Ahora, si el daño de interporosidad es tomado en cuenta, la función )(sf será:


284

)]2[1/()1()]2[1/()1()(

ma

ma

snssnssf

+++−+++−

=λωλωω (7.11)

sm

smima kh

hks 2= (7.12)

Si el parámetro de flujo interporoso aparente se define como:

maa sn ]2[1 ++

=λλ (7.13)

entonces, la ecuación 1.5 se convierte en:

a

a

sssf

/

/

)1()1()(

λωλωω

+−+−

= (7.14)

Las funciones )(sf para el caso transiente incluyendo el daño de interporosidad para el modelos de capas o estratos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+

−−

+=

λλ

λλ

λλ

λλλ

ωsss

ssssf

ma)1(3tanh)1(31

)1(3tanh)1(331

)( (7.15)

Para el modelo de palos de fósforos:

sIsIss

sIsIs

ssf

oma

o

)1(3)1(3)1(81

)1(3)1(3)1(8

41

)(1

1

λλ

λλ

λλ

λλλ

ω

−−−

+

−−−

+= (7.16)

Para cubos de azúcar:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−

+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−

+=

1)1(15coth)1(151

1)1(15coth)1(15)1(1581

)(

λλ

λλ

λλ

λλ

λλλ

ωsss

ssss

sf

ma

(7.17)


285

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P wD

log tD

λ=10-4 λ=10

-5λ=10

-6

λ=10-7

Fig. 7.1.e. Efecto de λ sobre el comportamiento de yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.01

7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Asumiendo que rD = 1, la declinación constante de la rata en la cara de la arena es rescrita de la Ec. 1.1 como:

D

fDfD

tssPP

→= ),,(~~ ** λω (7.18)

Después de la inversión numérica de la transformada de Laplace, la ecuación anterior se convierte (sin considerar efectos de daño y almacenamiento) en:

),,(~ ** λωDfDfD tPP = (7.19) Considerando efectos de daño y almacenamiento, se tiene:

( )]~[1

~~

*

*

fDD

fDwD PsssCs

sPsP

++

+= (7.20)

La inversión de la ecuación anterior puede ser escrita así:

),,,,( sCtPP DDwDwD λω= (7.21) Entonces, una vez que los cuatro parámetros en el paréntesis son conocidos, la inversión numérica puede ser usada para generar soluciones de PwD como una función de tD.


286

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

log P'wD

log tD

λ=10-4

λ=10-5

λ=10-6

λ=10-7

Fig. 7.2. Efecto de λ sobre el comportamiento de la presión en yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.01

La Fig. 7.1.e es una reacción de la presión típica en sistemas de doble porosidad. Son observados tres aspectos principales: una primera línea recta, una zona de transición o inflexión y una línea recta final que tiene la misma pendiente que la primera. La primera línea representa solo el sistema de fractura y es muy corta y normalmente es difícil de detectar debido al efecto de almacenamiento. La ecuación para esta línea es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

γω 4lnlnln

21

DwD tP (7.22)

ó;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

γµφπµ

2

4lnln

4 wffb

fb

fbiwf rc

kt

hkqBPP (7.23)

donde s = 0. La línea recta final representa el comportamiento de todo el sistema y está expresada como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

γ4lnln

21

DwD tP (7.24)

o;


287

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ω =0.1ω =0.05

ω =0.01

ω =0.005

ω =0.001

ω =0.0005

ω =0.0001

log P

D'

log t Db

ω =0.2

ω =0.5

Fig. 7.3. Curva tipo derivada unificada

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+ γµφπµ

2][4

lnln4 wfmt

fb

fbiwf rc

kt

hkqBPP (7.25)

Las dos líneas rectas están separadas por ln ω (un número negativo). El final teórico de la primera línea recta y el inicio de la línea recta final están dados, respectivamente, por:

( )λ

ωω )1(01.01

−=leDt (7.26)

14

)( ==λ

DDb tt (7.27.a)

fbm

wmb

wfmt

fbDb kh

rknnrc

tkt 2

2

2 4)2(4

][+

=+ µφ

(7.27.b)

La Fig. 7.2 presenta una curva tipo para P’wD vs. tD. Note que la derivada presenta una pendiente característica o mínimo entre las dos líneas rectas de la derivada constante e igual. Este mínimo depende del valor de λ. Los valores de 4n(n+2) para las tres principales geometrías son: Geometría 4n(n+2) Lámina (slab) 12 Palos de fósforos/cilindro 32 Cubo/esfera 60


288

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ω =0.001 ω =0.01

ω =0.1

ω =0.25

ω =0.5

log P

D'

log t Db

Fig. 7.4. Derivada logarítmica de presión de yacimientos con doble porosidad

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sma=0log P D'

log t D

Sma=0.1

Sma=1Sma=5Sma=10

Sma=20

Sma=100

Sma=50

Fig. 7.5. Yacimiento con doble porosidad, flujo transiente con daño de interporosidad, bloques de matriz con forma laminada, ω=0.01 y λ=105

La Fig. 7.3 es una curva tipo de P’wD vs. tDb para diferentes valores de ω. Note que, ahora el mínimo aumenta cuando ω incrementa. Los datos de campo pueden ser ajustados con esta curva para obtener kbf, λ y ω. La pendiente unitaria no muestra el efecto de almacenamiento (note que la presión adimensional, PD, podría proporcionar una línea de pendiente unitaria). Esto se debe a la característica especial del sistema con


289

doble porosidad PSSS. A medida que ω disminuye en valor, la derivada en el mínimo se aproxima a cero. Para valores de ω menores que 0.001, la intersección de la línea de pendiente cero con el punto de inflexión y la línea recta final es expresada así:

( )γ

λ41

4=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= DiDb tt (7.28)

7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE

POROSIDAD Lo mismo que para el modelo PSSS, la ecuación de presión sin considerar efectos de almacenamiento y daño puede ser expresada así:

),,(** λωDwDwD tPP = (7.29) Aunque, los parámetros ω y λ son los mismos que en el modelo PSSS, la función Laplaciana, )(sf varía para cada geometría. La Fig. 7.4 presenta el gráfico de derivada de presión para sistemas con doble porosidad. La deriva para valores pequeños de ω es muy diferente que la dada para el modelo PSSS. Igualmente, ajustar la curva tipo es una buena idea para obtener los parámetros de yacimiento desconocidos. Los tres modelos transitorios no pueden ser distinguidos solo de datos de pruebas de pozo. La Fig. 7.5 muestra el comportamiento de la presión cuando se considera daño de interporosidad en el modelo. Note que para Sma > 10 la forma de la curva de derivada de presión permanece constante –aunque se traslado a la derecha- y similar al caso de PSSS. El modelo de daño de interporosidad y el modelo PSSS producen resultados similares cuando:

maeff Sn )2(1 ++

=λλ (7.30)

7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Las soluciones de rata constante incluyendo efectos de almacenamiento y daño se expresan así;

),,,,( sCtPP DDwDwD λω= (7.31.a)

),,,,('' sCtPP DDwDwD λω= (7.31.b) La solución está basada en las Ecs. 7.7 y 7.26 con la )(sf apropiada dependiendo del modelo. El factor de daño se puede estimar de la pendiente semihilos que represente el


290

comportamiento de todo el sistema. A tiempos cercanos, el comportamiento de la presión sin efectos del almacenamiento es:

( )stP DwD 24lnlnln21

++−= γω (7.32)

La Ec. 7.32 no es válida (ya que es inversión de la Ec. 7.20) si s < 0 y

γω 4lnlnln2 +−> Dts

7.5. ANALISIS DE PRESION DE RESTAURACION La reacción a la presión de restauración es obtenida mediante superposición:

µπ

qBPPkhP wsi

Ds)(2 −

= (7.33)

DDDpDDs tPttPP )()( ∆−∆+= (7.34)

Si la solución analítica para presión de declinación es solo disponible, entonces el tiempo de superposición requiere una inversión numérica para (tp+∆tD) y (∆tD), respectivamente. Definiendo la presión de restauración como Pws-Pwf(∆t=0) y la función de presión de restauración adimensional como:

µπ

qBtPPkh

P wfwsDB

)0((2 =∆−= (7.35)

DpDDDDpDDB ttPtPtPP )()()( ∆+−∆+= (7.36) El análisis de presión de restauración es desarrollado mediante la graficación de PDB vs. log (∆te)D, donde:

tttt

tp

pe ∆+

∆=∆ (7.37)

Cuando tp >> ∆t:

DDDB tPP )(∆= (7.38)

tte ∆=∆ (7.39)


291

La reacción de la presión de restauración semilog dada por la expresión de la Ec. 7.37 o por la función de Horner (tp+∆t)/∆t está caracterizada por una línea recta inicial muy corta la cual es tenida en cuenta para el sistema de fractura y una línea recta final correspondiente al comportamiento combinado o total. En el caso de presión de declinación, existen varios criterios para el inicio, final e intersección de las líneas en términos de tDb. Estos criterios están incluidos en el comportamiento de la presión de restauración sí tDb es reemplazado por (∆te)Db.

[ ] 2)(4)2(4

mfmt

emDbe hc

tknntµφ +

∆+=∆ (7.40.a)

El inicio de la línea recta final tiene lugar cuando (∆te)Db =1 ó;

2)(4)2(41

mfmt

em

hctknn

µφ +

∆+= (7.40.b)

Para el comportamiento PSSS (caso presión de restauración):

( )pbts

btspfmt

m

m

ttnnttc

hk

∆+∆+

= +

)2(4)(4

2

µφ (7.41)

En términos generales, los análisis de pruebas de pozo en sistemas con doble porosidad tienen las siguientes metas: confirmar el comportamiento de doble porosidad, determinación de las propiedades del sistema de fractura, kfbh y s, y la identificación de los parámetros ω y λ. El gráfico de la derivada es la principal herramienta para la identificación de yacimientos con doble porosidad. La derivada de la presión en el modelo PSSS está caracterizada por un mínimo distinto y una pendiente unitaria antes del periodo final. El transiente es reconocido mediante un mínimo no agudo en el periodo intermedio. Sin embargo, la gráfica semilog debería ser considerada puesto que la reacción de la presión de yacimientos naturalmente fracturados puede ser fácilmente confundida con la de un sistema multifásico, la cual presenta un cambio completo durante el almacenamiento, en lugar de un pico, causando un mínimo o una inclinación en la curva de la derivada de la presión. Analizando sistemas con doble porosidad, el primer paso consiste en ajustar los datos de campo con una curva tipo sin efectos de almacenamiento. kfbh puede ser obtenida del ajuste de presión y λ se puede estimar del ajuste del tiempo mediante:

( ) ( )( )Mbf

wfmtMDb

tkrCt 24 +=

φµλ (7.42)


292

Retomando que el parámetro λ se puede estimar del punto de inflexión, ∆tinf, se encontraron unos gráficos semilog usando las relaciones presentadas por Tiab y Escobar (2003):

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

ωωµφλ 1ln)(3792

inf

2

tkrc wtt (7.43)

Si el almacenamiento es despreciable, entonces ω se puede estimar a partir de los parámetros ajustados. Para una mayor exactitud en la estimación de ω, se debe determinar primero CD analizando los datos más tempranos usando curvas tipo homogéneas convencionales. Entonces, se debe encontrar la curva tipo de porosidad doble adecuada que ajuste con el CD encontrado. Este procedimiento no se trabaja para valores muy grandes de λ y almacenamiento significativo. Stewart y Ascharsobbi simularon flujo radial colocando un pozo en un nodo central de una malla cuadrada mientras mantenían la presión constante, Pe, en los nodos situados por fuera del circulo de radio re. Para un sistema homogéneo la ecuación de flujo radial en estado estable está dada por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=− s

rr

hkqPrP

wrwf ln

2)(

πµ (7.44)

entonces, un gráfico de P(r) vs. ln r produce una línea recta de pendiente, m, e intercepto b:

hkqm

rπµ

2= (7.45)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

wrwf r

rshk

qPb ln2π

µ (7.46)

por lo tanto:

wwf r

mPb

s ln+−

= (7.47)

La permeabilidad promedio está relacionada con la permeabilidad de las fisuras por medio de:

mfifbr h

wkmh

qkk ===π

µ2

(7.48)


293

El factor de daño de flujo radial, s, está relacionado con el tamaño del bloque, hm, mediante:

w

m

rhs ln

2−=

π (7.49)

En pozos acidificados, sin embargo, las fracturas conectadas pueden poseer una mayor anchura. El factor de daño es entonces estimado por:

w

m

c rh

wws ln

2

3

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π (7.50)

Cuando e pozo es situado en el centro de un bloque del modelo de palos de fósforos sin interceptar fracturas, un alto factor de daño positivo es estimado por:

w

m

m

fb

rh

kk

s2

ln1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (7.51)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una fisura-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo Q-18 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.1. h = 242 ft rw = 0.29 ft q = 3629 STB/D Pwf = 1932 psi tp = 408000 hrs B = 1.32 rb/STB µ = 1.18 cp (φ ct)m+f = 7.50x10-06 psi-1 km = 0.148 md SOLUCION Esta prueba puede ser analizada usando el método convencional semilog de Horner. Una gráfica Horner es presentada en la Fig. 7.6. la capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la Ec. 7.1:

305.03116antilogantilog =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

La Ec. 7.48 se utiliza para estimar kfb:


294

Tabla 7.1. Datos de presión de restauración, pozo Q-18

∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t ∆t, hrs Pws, psi (tp+∆t)/∆t 0.0167 1948 24431138.7 0.9500 1987 429474.7 0.0333 1958 12252253.3 1.3500 1990 302223.2 0.0500 1961 8160001.0 1.7500 1993 233143.9 0.0667 1963 6116942.5 2.1500 1994 189768.4 0.1000 1966 4080001.0 2.5500 1995 160001.0 0.1333 1969 3060766.2 3.1833 1996 128169.9 0.2000 1971 2040001.0 3.9000 2001 104616.4 0.3500 1976 1165715.3 4.6500 2003 87742.9 0.5500 1981 741819.2 5.4833 2005 74408.7 0.7500 1984 544001.0 5.0000 2006 81601.0 0.9500 1987 429474.7

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

1.E+041.E+051.E+061.E+071.E+08

P w

s , ps

i

(tp+∆t)/∆t

∆P=16

m=-31 p

si/cic

loInicio de la línea rectafinal = 2.15 hrs

b = 21

42 ps

i

Fig. 7.6. Gráfica Horner Clásica

mdmh

Bqk fb 4.106)242)(31(

)32.1)(18.1)(3629(2.1412.141===

µ

Estimar el factor de daño de la Ec. 7.47.

52.5)48.3(ln31

19322142ln −=+−

−=+

−= w

wf rmPb

s


295

2

2

4)2(4

mb

wmb

hkrknn +

=λ

λ se puede estimar la Ec. 7.8 si se hacen las siguientes suposiciones: tomar n = 1 (lámina), kb = kfb y hmb = h, entonces:

62

2

2

2

106.5)242)(4.106(4

)8392.8()148.0()21(44

)2(4 −×=+

=+

=mb

wmb

hkrknnλ

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una falla-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo R-6 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.2. h = 1150 ft rw = 0.292 ft q = 17000 STB/D Pwf = 5223 psi tp = 408000 hrs B = 1.74 rb/STB µ = 0.47 cp (φ ct)m+f = 1.4x10-06 psi-1 km = 0.148 md

Tabla 7.2. Datos de presión de restauración, pozo R-6

∆t, hrs Pws, psi t*P’ws, psi ∆t, hrs Pws, psi t*P’ws, psi 0.000 5223 1.400 5269 9.87 0.010 5232 5.61 2.000 5272 9.40 0.023 5239 9.56 2.400 5274 11.72 0.058 5250 8.48 2.700 5275 10.81 0.230 5256 5.06 3.450 5277 8.54 0.780 5263 8.80 3.700 5281 7.78 1.400 5269 9.87 4.000 5281 6.91

SOLUCION El gráfico MDH dado en la Fig. 7.7 confirma la existencia de un sistema con porosidad doble. Una curva tipo de ajuste es también mostrada en la Fig. 7.8. La capacidad de almacenamiento, ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la siguiente ecuación:

25.02213logantiloganti =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂−=

mPω

Usar la Ec. 7.48 para estimar kfb:


296

5220

5230

5240

5250

5260

5270

5280

5290

0.01 0.1 1 10

P w

s , ps

i

∆t, hrs

∆P=13m=-22 psi/ciclo

Inicio de la 2a. línearecta= 0.78 hrs

b = 5265 psi

Fig. 7.7. Gráfico MDH para el pozo R-6

mdmh

Bqk fb 6.77)1150)(22(

)74.1)(47.0)(17000(2.1412.141===

µ

λ puede estimarse usando los puntos de ajuste de la Fig.7.8 y la Ec. 7.42 (en unidades CGS): tM = 0.023 hrs t*∆P’ = 8.5 psi/hr P’D = 0.5 tD = 0.0162 ω = 0.2

( ) ( )( )

( ) ( )( )

510

282

1058.82)1076.7(

)9.8(10088.1)0047.0(40162.04 −−

−+ =

××

== xtk

rct

Mbf

wfmtMDb φµλ

El factor de daño puede ser aproximado mediante la Ec 7.49.

7.6292.0

1150ln2

ln2

−=−=−=ππ

w

m

rhs

7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS Mavor y Cinco-Ley presentaron una solución en espacio Laplace para un pozo en un yacimiento fracturado naturalmente con producción a rata constante. Los efectos de almacenamiento y daño son considerados.


297

-4

-3

-2

-1

0

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

log P D '

log t Db

ω =0.1ω =0.05

ω =0.01

ω =0.005

ω =0.001

ω =0.0005

ω =0.

0001

ω =0.2 ω =0.5

Fig. 7.8. Curva de ajuste de la derivada para el pozo R-6

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }[ ])()()()()(

)()()()(11

1

sfsKsfsssfsKCssfsKsfsssfsKsfsssfsKsP

oD

ow ++

+= (7.52)

La función )(sf para flujo interporoso en estado pseudoestable, flujo interporoso transiente, y para el caso de capas y el caso esférico, son definidos, respectivamente, como:

λωλωω

+−+−

=sssf

)1()1()( (7.53.a)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=2/12/1 )1(3coth

3)1()(

λωωλω s

ssf (7.53.b)

1)1(15coth)1(1551)(

2/12/1

−⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=λ

ωλ

ωλω sss

sf (7.53.c)

La solución de la derivada de la ecuación (1.45) es expresada como:


298

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PPR

P'D

PD

P D, P'D, PPR

tD

Fig. 7.9. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08 1.E+09 1.E+10

PPR

P'D

PD

P D, P'D, PPR

tD

Fig. 7.10. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso transitorio


299

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1ω = 0.03

ω = 0.01

ω = 0.003

ω = 0.001

ω = 0.

0003

ω = 0.0001

ω = 0.00003

P'D

tD

Fig. 7.11. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

P D

tD/CD

CDe2s=10

50

CDe2s=10

40

CDe2s=10

30

CDe2s=10

20

CDe2s=10

15

CDe2s=10

10

CDe2s=10

6

CDe2s=10

3

CDe2s=10

2

CDe2s=10

0

CDe2s =1

0-1

Fig. 7.12. Curva tipo para un yacimiento homogéneo, de acción infinita con almacenamiento y daño


300

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1

P'D

tD

ω = 0.03ω = 0.01ω = 0.003

ω = 0.001ω = 0.0003

ω = 0.0001ω = 0.00003

Fig. 7.13. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo estratos

0.1

1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

ω = 0.1

P'D

tD

ω = 0.03ω = 0.01ω = 0.003

ω = 0.001ω = 0.0003

ω = 0.0001

ω = 0.00003

Fig. 7.14. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo esférico


301

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.15. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.1

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.16. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.2


302

0.1

1

10

100

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a

a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10

-3

a=1x10

-2

a=3x10

-2

a=1x10

-1

Fig. 7.17. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estable ω=0.3

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.18. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio modelo de estratos. ω=0.1


303

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.19. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para modelo de estratos, ω=0.01

0.1

1

10

1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07

PPR

tD/CD

ωω

λ

)1( −= DC

a a=1x10-4

a=3x10-4

a=1x10-3

a=3x10-3

a=1x10-2

a=3x10-2

a=1x10-1

Fig. 7.20. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para caso estratos ω=0.02


304

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ })()()()()(

)()()()('11

1

sfsKsfsssfsKCssfsKsfssfsKsfsssfsKsP

oD

owD ++

+= (7.54)

Las Figs. 7.9 y 7.10 presentan los gráficos de la presión adimensional, la derivada de la presión adimensional y la relación de la presión adimensional con la derivada de la presión adimensional para flujo interporoso en estado pseudoestable y acción infinita y flujo interporoso transitorio, respectivamente. Los efectos del almacenamiento se notan por la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos mientras PPR permanece a un valor constante de 0.5. Entonces, una línea recta semilog se presenta durante el periodo de flujo radial de la fractura. Una vez el periodo de transición es alcanzado las curves de PD se acuestan hacia el eje x mientras para el flujo interporoso en estado pseudo estable P’D disminuye abruptamente y PPR incrementa fuertemente. Después, P’D incrementa hasta un valor fijo de 0.5 se alcanza. Para el flujo interporoso transiente, la curva P’D disminuye hasta 0.25 mientras el PPR incrementa por encima de la curva PD. En el tiempo final las curves P’D incrementaron a 0.5 y PPR disminuyo y se unió con la curva PD. Las variables adimensionales están definidas por:

2

0002637.0

wtD rc

kttφµ

= (7.55)

[ ]),(2.141

),( trPPBq

khtrP iDDwD −=µ

(7.56)

Chrc

Cwt

D 289359.0

φ= (7.57)

D

DDD dt

dPtP =' (7.58)

D

DD

D

dtdPt

PPPR 5.0= (7.59)

t

f

cc

)()(

φφ

ω = (7.60)

f

mw k

kr 2=λ (7.61)


305

Las Figs. 7.11 a la 7.20 son un grupo de curvas tipo log-log. Estas incluyen PD vs. tD/CD para diferentes CDe2s, P’D vs. tD/CD para diferentes valores de ω y PPR vs. tD/CD para un rango de λCD/(1-ω)ω. 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO 1. Construir los gráficos log-log de (a) ∆P vs. ∆te (Ec. 7.39), (b) ∆te vs. ∆te

(d∆P)/(d∆te) vs. ∆te, y (c) ∆P*0.5/(∆te (d∆P)/(d∆te) vs. ∆te. 2. Determinar el modelo de flujo de interporoso basado en el perfil de los datos

graficados. Para el flujo de interporoso transitorio determinar la posible geometría del bloque de la matriz.

3. Obtener ω ajustando la parte de la zona de transición de la rafia de derivada de presión con la curva apropiada de PD’ vs. tD/CD. ω se pude estimar con un ajuste adecuado de la Fig. 7.11. ω es la relación entre el valor ajustado de CDe2s durante los periodos de tiempo últimos y finales.

4. Usar la curva de PPR vs. tD/CD para ajustar con la tercera gráfica y registrar los valores de (CDe2s)M, ∆te/(tD/CD)M, y (λCD/(1-ω)ω)M.

5. Ajustar la gráfica ∆P vs. ∆te con la curva PD vs. tD/CD por alineación de los ejes del tiempo con el ∆te/( tD/CD)M obtenido previamente. Registrar (PD/∆P)M.

6. Estimar los parámetros del yacimiento de:

M

D

PPBqkh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆= µ2.141 (7.62)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

DD

e

CttkhC

/000295.0

µ (7.63.a)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=+

DD

e

wtmfD Ct

thrC

CC/

8936.02)( φ

(7.63.b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

fD

mfs

D

CeC

s)()(

ln5.02

(7.64)

Si ω no puede ser encontrado de la curva tipo, estimar ω de:

fs

D

mfs

D

eCeC

)()(

2

2+=ω (7.65)

El parámetro de flujo interporoso con estado pseudoestable, λ, está dado por:


306

M

D

D

CC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

)1()1(

ωωλωωλ (7.66.a)

El parámetro de flujo interporoso transiente, λ esta dado por:

M

D

D

CC ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= 2

2

)1()1(

ωλωλ (7.66.b)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad, almacenamiento, factor de daño y los parámetros λ y ω para un yacimiento cuya información esta dada a continuación y en la tabla 7.3. h = 7 ft rw = 0.29 ft q = 830 STB/D Pwf = 3816.99 psi tp = 30.05 hrs B = 1.5 rb/STB µ = 0.3 cp φ = 0.05 ct = 2x10-05 psi-1 SOLUCION Un gráfico de ∆P, t*∆P’, y PPR vs. tiempo es mostrado en la Fig. 7.21. Cada curva fue ajustada a su respectiva curva tipo. Los parámetros ajustados son los siguientes: (CDe2s)M = 6.1x10-3 ∆te/( tD/CD)M = 6x10-3 (λCD/[1 - ω] ω)M = 10 Para ω = 0.15 (PD/∆P)M = 1/17 Estimar la permeabilidad de la Ec. 7.62:

mdP

Ph

BqkM

D 2.443171

7)5.1)(3.0)(830(2.1412.141

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

µ

El cálculo de C es estimado de la Ec. 7.63.a:

( ) ftSTBCttkhC

DD

e /0186.00061.01.0

)7)(2.443(000295.0/

000295.0==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

µ

El almacenamiento adimensional, factor de daño y parámetro de flujo interporoso se encontraron usando las Ecs. 7.63.b, 7.64 y 7.66.a, respectivamente:


307

Tabla 7.3. Datos de presión de restauración

t, hrs P, psi ∆p T*∆p' PPR t, hrs P, psi ∆p t*∆p' PPR

0.000000 3816.99 0.255902 3884.70 67.710 9.035 3.7470.000621 3817.96 0.970 1.830 0.265 0.330442 3886.59 69.600 7.447 4.6730.001247 3819.73 2.740 3.843 0.357 0.404981 3888.34 71.350 6.420 5.5570.001862 3821.64 4.650 5.441 0.427 0.498147 3889.31 72.320 6.215 5.8180.003103 3824.92 7.930 8.065 0.492 0.572686 3890.20 73.210 5.553 6.5920.003729 3826.96 9.970 8.706 0.573 0.684489 3890.80 73.810 4.849 7.6110.004970 3829.52 12.530 9.773 0.641 0.833557 3892.31 75.320 4.646 8.1050.006837 3832.61 15.620 10.620 0.735 0.945360 3892.60 75.610 4.344 8.7040.008693 3835.18 18.190 12.105 0.751 1.168970 3893.57 76.580 4.151 9.2240.010560 3837.58 20.590 13.233 0.778 1.336680 3893.97 76.980 3.601 10.6900.012428 3839.94 22.950 14.426 0.795 1.578920 3894.64 77.650 3.677 10.5600.014910 3842.79 25.800 15.391 0.838 1.951600 3895.38 78.390 3.427 11.4380.018018 3845.72 28.730 16.174 0.888 2.324270 3895.92 78.930 3.411 11.5710.021115 3848.40 31.410 16.521 0.951 3.069630 3896.81 79.820 3.264 12.2290.027946 3853.16 36.170 16.974 1.065 3.349140 3897.18 80.190 3.342 11.9990.034162 3856.67 39.680 17.013 1.166 4.746680 3898.22 81.230 3.702 10.9710.040379 3859.48 42.490 16.844 1.261 5.864710 3899.11 82.120 3.943 10.4130.050933 3863.31 46.320 16.462 1.407 6.982750 3899.81 82.820 4.352 9.5160.063980 3867.10 50.110 15.788 1.587 8.659800 3900.69 83.700 4.571 9.1550.078884 3870.32 53.330 15.076 1.769 9.405190 3901.08 84.090 4.802 8.7550.100618 3873.84 56.850 13.931 2.040 10.150500 3901.43 84.440 4.843 8.7170.120810 3876.51 59.520 13.038 2.283 12.013900 3902.31 85.320 4.414 9.6640.153423 3879.37 62.380 11.824 2.638 14.260000 3903.19 86.200 4.167 10.343

( ) 282330061.029.0)7)(102(05.0

)0186.0(8936.0/

8936.0252)( =

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆= −+

DD

e

wtmfD Ct

thrC

CCφ

428233

10ln5.0)()(

ln5.02

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

fD

mfs

D

CeC

s

[ ] 8107.2006.028233

)15.01(15.0)1(

)1( −×=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

M

D

D

CC ωω

λωωλ


308

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆P, PPR, t*

∆P'

∆t, hrs

∆P

PPR

t*∆P'

Fig. 7.21. ∆P, t*∆P, y PPR vs tiempo

7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE

Las ecuaciones básicas para flujo en yacimientos fracturados naturalmente con porosidad doble fueron formuladas originalmente por Barenblatt y otros en 1960. Usando la mecánica continua, los parámetros del medio y de flujo de las fracturas y la matriz, son definidas en cada punto matemático. La transferencia de fluido entre los dos medios es mantenida en una función fuente, donde el fluido se asume en estado pseudoestable en la matriz del sistema. Warren y Root usaron esta aproximación para desarrollar una solución integrada y aplicable para las pruebas de presión de declinación y restauración en un yacimiento fracturado naturalmente con porosidad doble. A partir de su trabajo se pueden identificar varios regímenes de flujo del análisis semilog. En orden cronológico existen una línea recta en tiempos cercanos representando únicamente el depletamiento de la fractura, y una línea recta en tiempos finales, la cual corresponde al tiempo cuando todo el yacimiento produce como un yacimiento homogéneo equivalente. A estos tiempos finales, la línea recta semilog es paralela a la primera línea recta. Dos parámetros claves fueron derivados por Warren y Root para caracterizar yacimientos fracturados naturalmente: el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, y el parámetro de flujo interporoso, λ. ω proporciona un estimado de la magnitud y la distribución de la matriz y el almacenamiento de la fractura, y λ es una medida de la


309

rata de transferencia de masa de la matriz a la red de fracturas y por lo tanto describe la capacidad de flujo de la matriz disponible en las fracturas. Nuevos desarrollos realizados por Mavor y Cinco incluyeron almacenamiento y daño en la solución para el parámetro de flujo de interporoso en estado pseudoestable en un yacimiento fracturado naturalmente. Esto fue llevado a cabo en espacio Laplace e invertido numéricamente usando el algoritmo de Stehfest. Como consecuencia directa, fueron desarrolladas curvas tipo por Bourdet y Gringarten, las cuales incluyeron almacenamiento y daño en yacimientos fracturados naturalmente. Subsecuentemente, los parámetros de yacimiento podrían ser estimados cuando el almacenamiento dominara los datos de presión en tiempos cercanos. Un avance en las curvas tipo de yacimientos fracturados naturalmente ocurrió con la adición de la curva de la derivada (Bourdet y otros, 1983). El incremento de la sensibilidad de la curva de la derivada en yacimientos fracturados naturalmente, resulta en una mayor exactitud de la curva tipo de ajuste. Desafortunadamente, el ajuste con curvas tipo es un método por ensayo y error, lo cual proporciona frecuentemente respuestas no únicas; por lo tanto, la Tiab’s Direct Síntesis Technique se propone en esta sección. Este método combina los puntos característicos y las pendientes de un gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión con las soluciones analíticas exactas para obtener propiedades del yacimiento. Esta ha sido aplicada exitosamente por Tiab para modelos de fractura vertical con conductividad infinita y flujo uniforme, para yacimientos homogéneos con daño y almacenamiento, y para pozos fracturados verticalmente en sistemas cerrados. Esta sección presenta la ampliación de este nuevo método para yacimientos fracturados naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable. 7.8.1. Aspecto Teórico Una formación real fracturada naturalmente está compuesta de un sistema heterogéneo de cavernas, fracturas, y matriz, las cuales son aleatorias en su naturaleza. Para modelar este sistema se asume que el yacimiento consta de elementos de bloque de matriz discretos separados por un sistema ortogonal de fracturas uniformes y continuas. Estas fracturas están orientadas paralelas a los ejes principales de permeabilidad. Se asumen dos geometrías comúnmente, por ejemplo, capas y cubos de azúcar. El flujo entre la matriz y las fracturas está gobernado por condición de estado pseudoestable, pero solo las fracturas llegan a la cara del pozo a una rata constante. Se asume que el fluido es de una sola fase y ligeramente compresible. La solución de la presión de la cara del pozo en un yacimiento de acción infinita, con las suposiciones anteriores está dada por:

s+ -t-Ei-

)-(t-Ei++t = p DD

DD ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

λωω

λ11

80908.0ln21 (7.67)

La función derivada de la Ec. 7.67 puede ser obtenida fácilmente así:


310

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

)1(exp

1exp1

21'*

ωωλ

ωλ

-t+

-t-= Pt DD

DD (7.68)

Las variables adimensionales son definidas por:

141.22

Do

h Pk = P q Bµ∆ (7.69)

221

2

)(0002637.0

wD rc

tk = tµφ +

(7.70)

22

1 21 2

cc cφω

φ φ=

+ (7.71)

kkr =

2

2w

1αλ (7.72)

donde α refleja la geometría de los elementos de la matriz. Note, que los subíndices numerados se refieren a la propiedad dada cuando fueron distribuidas, por ejemplo, en relación al volumen bruto o al volumen elemental representativo. Por lo tanto, φ1 y φ2 son la matriz bruta y las porosidades de fractura, respectivamente, o en otras palabras la relación de los volúmenes porosos de la matriz y la fractura en el volumen total bruto. 7.8.2. Puntos y Líneas Característicos La Fig. 7.22 ilustra las características únicas de un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo para un yacimiento fracturado naturalmente. Referente a esta figura pude ser realizado el siguiente análisis: Los periodos de flujo radial de acción infinita están representados por una línea recta horizontal de derivada de presión. El primer segmento corresponde al depletamiento de la fractura y el segundo a la reacción del yacimiento homogéneo equivalente. Una expresión para la derivada durante este tiempo está dada por:

21'* =P t DD (7.73)

Sustituyendo por las variables adimensionales y reordenando resultados en una técnica simple y rápida para determinar la permeabilidad de la red de fracturas,


311

0.01

0.1

1

10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

P D

and

t*P

D'

t D

tD,e1 tD,b2

tDmin

(t*PD')min @ tDmin

(t*PD') r2(tD)usi

(PD) r2

(t*PD') r1

(PD) r1

Fig. 7.22. Puntos y líneas características de un yacimiento fracturado naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.01, λ=1x10-6

270.6

( * )o

r

q B kh t P

µ=

∆ (7.74)

donde (t*∆P’)r es la derivada de la presión a algún tiempo conveniente, t. Note en la Fig. 7.22 que en la parte recta de la curva de derivada se indica el periodo de transición para yacimientos fracturados naturalmente. La parte más baja de esta parte recta es dependiente del coeficiente de almacenamiento adimensional, pero independiente del flujo interporoso. Una expresión analítica para las coordenadas mínimas puede ser obtenida tomando la segunda derivada de la Ec. 7.67 e igualando el resultado a cero. Subsecuentemente, las coordenadas mínimas adimensionales están dadas por:

ωλω 1ln)( min = tD (7.75)

y;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= −− ω

ωω ωω 11

1

min 121)'*( DD Pt (7.76)

El uso de la segunda derivada fue propuesto originalmente por Uldrich y Ershaghi para determinar el parámetro de flujo interporoso. Sin embargo, para convertir esta expresión universal en unidades reales, fue desarrollada una forma normalizada


312

dividiendo el punto mínimo de la derivada por el valor la línea de la derivada del flujo radial de acción infinita. La expresión analítica resultante es escrita así:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∆∆ −− ω

ωω ωω 11

1min 1

'*'* =

)P(t)P(t

r

(7.77)

Existe una relación de ajuste entre la relación de la derivada de la presión y ω. Por conveniencia, una correlación empírica fue desarrollada,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

rr PtPt+

PtPt =

)'*()'*(0.54653

)'*()'*(0.15866 min

2

minω (7.78)

y es válida desde 0 ≤ ω ≤ 0.10 con un error menor que 1.5 %. Un método alternativo para determinar ω surge de los tiempos característicos definidos de curva de derivada de presión. Mostrados en la Fig. 7.22 esos tiempos incluyen el final de la primera línea recta horizontal, tDe1, el inicio de la segunda línea recta horizontal, tDb2, y el tiempo correspondiente a la mínima derivada, tDmin. La siguiente relación, independiente del parámetro de flujo interporoso, puede ser desarrollada de las relaciones de los tiempos.

1 2 min50(1- ) 5(1- ) ln(1/ )

e bt t t ω ω ω ω ω

= = (7.79)

El coeficiente de almacenamiento adimensional se puede determinar directamente de la relación del final de la primera línea recta y el inicio de la segunda línea recta. Sin embargo, las relaciones de los tiempos con la coordenada del tiempo mínimo son ligeramente más complejas; por lo tanto, unas correlaciones empíricas fueron desarrolladas para facilitar la solución de ω. La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo para el final de la primera línea recta, con un error menor que el 5%, es:

min

1

1exp - - 0.43830.9232 50 e

t t

ω⎡ ⎤⎛ ⎞

= ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(7.80)

La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo de inicio de la segunda línea recta, válido para ω ≤ 0.1 con un error menor que el 2 % está dada por:

2min min

2 2

5 5 0.19211 0.80678b b

t t t t

ω ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (7.81)

Para un coeficiente de almacenamiento adimensional dado la mínima coordenada de presión adimensional es independiente del parámetro de flujo interporoso, mientras que


313

la mínima coordenada de tiempo adimensional está en función de λ. Subsecuentemente, un gráfico de log (tD*P’D)min vs. log (λtDw)min resulta en una línea recta con pendiente unitaria. La correspondiente ecuación empírica es:

)63.0ln()ln()'*ln( minmin + t = Pt DDD ⋅λ (7.82)

Expresando la Ec. 7.82 en unidades reales y reordenando, proporciona un método para determinar λ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

tPt

BqrhS4 =

o

2wT '*2.5

min

λ (7.83)

Un método alternativo para determinar λ puede llevarse a cabo observando una línea recta con característica de pendiente unitaria durante el último periodo de transición. El menor coeficiente de almacenamiento adimensional (punto más bajo de la recta) ajusta los datos más exactamente a línea de pendiente unitaria. Un ω menor que 0.05 da como resultado un estimativo más exacto de λ. Para ω > 0.05, λ será sobrestimado. La ecuación analítica para este comportamiento del último tiempo de transición es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

2ln'*ln( Dus

usDDt = )Pt

λ (7.84)

La intersección de la línea de pendiente unitaria del periodo de transición con la línea de la derivada de presión del flujo radial con acción infinita (mostrada en la Fig. 7.22), desarrolla una expresión muy simple para determinar λ,

Dusit = 1λ (7.85)

o en unidades reales,

usi2

2wT

tkrS = 1

0.0002637⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ µλ (7.86)

En general, el parámetro de flujo interporoso se puede estimar de cualquiera de los valores de tiempo característicos mediante las siguientes relaciones,

1 min 2

(1- ) ln(1/ ) 1 5(1- )50 e busi

tt t t

ω ω ω ω ωλβ β β β

= = = = (7.87)


314

donde β representa el inverso del grupo de constantes en el paréntesis de la Ec. 7.87. Para el punto de intersección de la pendiente unitaria solo se requiere un estimado de la permeabilidad de la red de fracturas, mientras para los tiempos característicos restantes el coeficiente de almacenamiento adimensional debería también ser conocido. Afortunadamente, para determinar λ de la Ec. 7.83 solo requiere de la identificación de las coordenadas mínimas y esto proporciona una ventaja sobre otros métodos. El factor de daño se puede determinar de los valores de presión y derivada de presión a un tiempo conveniente durante cualquiera de los dos segmentos de línea de flujo radial con acción infinita. De las ecuaciones analíticas de tiempo cercano, en unidades reales, el factor de daño está dado por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆ 43.71ln

'*21 1 +

rStk -

PtP = S 2

wT

r2

r1m ωµ

(7.88)

donde el subíndice r1 denota la línea recta de tiempo cercano. Similarmente, durante el periodo de tiempo lejano se puede desarrollar una expresión para el factor de daño;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆ 7.43ln

'*21 2 +

rStk -

PtP = S 2

wT

r2

r2m µ

(7.89)

7.8.3. Respuesta de la Presión con Efectos de Almacenamiento Como una consecuencia directa del almacenamiento, el periodo de flujo radial en tiempo cercano de acción infinita tiende a ser ocultado. Por lo tanto, la línea de flujo radial en tiempo lejano de acción infinita es esencial para estimar el factor de daño y la permeabilidad de la red de fracturas como se discutió anteriormente. Existen varios métodos directos para determinar la constante de almacenamiento a partir de las curvas de presión y derivada de presión. Las líneas de presión y derivada de presión con pendiente unitaria a tiempos cercanos son un indicativo del almacenamiento puro. En unidades reales, la curva de presión puede ser usada para resolver la constante de almacenamiento,

PtBq

= C∆

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛24

(7.90)

Similarmente, de la línea de derivada de presión con pendiente unitaria,

'*24 PttBq

= C∆

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ (7.91)


315

Una alternativa es usar también la intersección de la línea de presión de pendiente unitaria en el tiempo cercano con la línea de flujo radial de acción infinita. De este punto de intersección se puede estimar C.

2

1695ihk tC µ

= (7.92)

La influencia del almacenamiento en las coordenadas mínimas es de mayor importancia en el análisis. Como muestra la Fig. 7.23, el dilema es sí el punto mínimo observado es el mínimo real o un “pseudo-mínimo” como resultado directo del almacenamiento. Investigaciones detalladas han mostrado que el punto mínimo no es afectado por el almacenamiento para todos los ω y λ, proporcionados,

10)(

)( min, t

txD

oD ≥ (7.93)

Por consiguiente, los procedimientos descritos anteriormente son válidos. Cuando la relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico es menor que el límite definido por la Ec 7.93 ocurre un “pseudo-mínimo” en la curva de la derivada de presión. Una correlación empírica generada durante esta región proporciona un método para calcular el parámetro de flujo interporoso,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

tt

C =

o,

x

D min

10

min 5.5651)]/1log([ λλ (7.94)

donde,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1.924)]1log([ min

1.0845λλλ / = (7.95)

Un método alternativo para determinar λ está basado en la relación de la coordenada de la derivada de presión mínima con la coordenada de la derivada de presión en el pico. Esta correlación es válida únicamente para CDλ > 0.001.

xD PtPt

C =

)'*()'*(

101 min

∆∆λ (7.96)


316

0.01

0.1

1

10

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08

t D*P

D'

t D

CD=0

CD=500

λ=10-6λ=10-5

Real minimum

Pseudo-minimum

Fig. 7.23. Efecto del almacenamiento en la derivada de presión mínima, ω=0.05, s=0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0.02

0.010.0050.00050.0

0.03

0.04

0.05

0.06

0.08

]8686.0)/1[log(** sCD +λλ

(t*∆

P') m

in/(t

*∆P

') r

ω

Fig. 7.24. Determinación del coeficiente de almacenamiento de la relación de derivada de presión de mínima a radial

Si es observado un “pseudo-mínimo” se recomienda el siguiente método para determinar ω. Primero, el parámetro de flujo interporoso, el factor de daño, y la constante de almacenamiento deben ser conocidas con anterioridad a partir de los grupos adimensionales mostrados en la Fig. 7.24. Este grupo acoplado con la relación de la derivada de presión de flujo radial de acción mínima a infinita, proporciona una manera de determinar el coeficiente de almacenamiento.


317

7.8.4. Procedimiento Paso a Paso Caso 1 – Coordenadas mínimas no influenciadas por almacenamiento: Paso 1 – Construir un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. t e identificar las distintas líneas y puntos característicos. Paso 2 – Identificar cualquiera de las líneas horizontales de flujo radial de acción infinita a tiempos cercanos o lejanos. Calcular la permeabilidad del sistema fracturado de la Ec. 7.74. Paso 3 – Dibujar las líneas de presión y derivada de presión de pendiente unitaria al tiempo cercano indicativas de almacenamiento puro. Seleccionar un punto conveniente sobre esas líneas y resolver la constante de almacenamiento de las Ecs. 7.90 o 7.91. Identificar el punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. Usar este punto con la Ec. 7.92 para solucionar o verificar la permeabilidad del sistema fracturado o la constante de almacenamiento. Paso 4 – Seleccionar un ∆P y t*∆P’ a un tiempo conveniente durante el periodo de flujo radial de acción infinita a tiempo lejano. Sustituir esos valores en la Ec. 7.89 y determinar el factor de daño. Paso 5 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de derivada de presión. Si la relación de esas coordenadas es mayor que diez indica que las coordenadas mínimas no están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 – Identificar la coordenada de la derivada de presión mínima y normalizar esos valores con respecto a la derivada de presión de flujo radial de acción infinita. Usar la Ec. 7.78 para calcular el coeficiente de almacenamiento adimensional, ω. Paso 7 – Las Ecs. 7.79 – 7.81 pueden ser usadas para verificar el ω determinado en el paso 6. Paso 8 – Con base en las coordenadas mínimas determinar λ de la Ec. 7.83. Si una pendiente unitaria es desarrollada durante el periodo último de transición, entonces la Ec. 7.89 puede ser usada para verificar el parámetro de flujo interporoso calculado. Similarmente, la relación de los tiempos característicos (Ec. 7.86) puede usarse para verificar de nuevo los resultados. EJEMPLO Los datos de presión medidos en una prueba de restauración de presión están dados en la tabla 7.4. Una rata de producción variable precedió a esta prueba de restauración de presión; por lo tanto fue usada una función de superposición para modelar la historia del flujo. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 880 B φ = 8 % µ = 1.3 cp ct = 5x10-6 /psi B = 1.3 bbl/STB h = 29 ft rw = 0.29 ft Pwf (∆t=0) = 7248 psi Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento.


318

Tabla 7.4. Datos de presión del pozo

t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi t, hr Pwf, psi0.000743 7276.14 0.046372 7644.18 1.574 7721.88 6.737 7756.78 23.346 7797.380.001768 7322.16 0.047398 7646.49 1.661 7722.81 7.174 7756.65 23.532 7797.440.003819 7362.11 0.048423 7648.81 1.749 7723.72 8.049 7760.20 23.878 7797.880.005357 7398.18 0.050474 7650.88 1.837 7725.85 8.924 7763.47 24.225 7798.420.006382 7427.28 0.052012 7652.65 1.924 7726.63 9.799 7766.63 24.571 7798.810.008433 7452.14 0.069444 7668.94 2.012 7726.52 10.675 7769.58 24.916 7799.300.009458 7473.70 0.086875 7677.52 2.100 7726.98 11.549 7772.39 25.262 7799.720.010484 7490.58 0.1038 7682.51 2.187 7727.75 12.424 7774.80 25.608 7800.200.012535 7506.00 0.1212 7686.63 2.275 7728.50 13.300 7777.25 25.794 7800.500.014073 7519.93 0.1397 7689.76 2.362 7729.23 14.174 7779.55 25.954 7800.660.015098 7531.70 0.1571 7692.36 2.449 7729.91 15.049 7781.56 26.299 7801.120.017149 7542.65 0.1746 7694.48 2.537 7730.57 15.924 7783.74 26.646 7801.530.018117 7552.64 0.1920 7696.61 2.624 7731.23 16.800 7785.69 27.146 7802.160.019200 7561.42 0.2094 7698.10 2.712 7731.89 17.674 7787.48 27.510 7802.680.021250 7569.66 0.2268 7699.36 2.800 7732.53 17.693 7787.97 28.011 7803.160.022788 7577.22 0.2443 7700.83 2.887 7733.14 17.995 7788.14 28.375 7813.620.023814 7584.04 0.2617 7701.69 2.974 7733.74 18.342 7790.81 29.240 7804.560.025865 7590.39 0.3494 7705.50 3.062 7734.35 18.688 7789.44 30.105 7805.140.026890 7595.96 0.4371 7708.77 3.149 7734.98 19.034 7790.19 30.776 7805.920.027915 7601.53 0.5242 7710.94 3.324 7735.58 19.381 7790.86 31.641 7806.700.029966 7606.87 0.6119 7712.77 3.412 7736.17 19.727 7791.44 32.507 7807.490.031504 7611.32 0.6996 7715.72 3.499 7736.74 20.072 7792.07 33.371 7808.220.032530 7615.77 0.7867 7716.17 3.587 7737.28 20.418 7792.62 34.236 7808.360.034580 7620.09 0.8744 7716.67 3.674 7738.40 20.765 7793.20 35.101 7809.610.035606 7623.67 0.9615 7717.61 3.761 7739.48 21.111 7793.81 35.966 7810.290.036631 7627.26 1.049 7718.22 4.112 7741.07 21.357 7794.20 36.831 7810.890.038682 7630.78 1.137 7718.78 4.549 7743.59 21.630 7794.58 37.800 7811.570.039707 7633.71 1.224 7719.27 4.987 7745.97 21.976 7795.11 40.424 7813.280.041245 7636.64 1.312 7719.74 5.424 7748.33 22.322 7795.53 0.043296 7639.55 1.399 7720.18 5.861 7750.50 22.668 7796.10 0.044322 7641.86 1.487 7720.88 6.300 7752.71 23.014 7796.64

SOLUCION Paso 1 – Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. Tiempo es mostrado en la Fig. 7.25. Note que una línea horizontal puede ser dibujada a través de los puntos de la derivada a tiempos lejanos representando el periodo de flujo radial de acción infinita. Paso 2 – De la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos: (t*∆P’)r = 37 psi, entonces usando la Ec. 7.74:

md. =PthBq =k

r

o 89.141)37)(20(

)3.1)(3.1)(880(670)*(

70.62 =

∆µ


319

Paso 3 – Dibujar la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos que indica el almacenamiento. El punto conveniente es: t = 0.0018 hr ∆P = 74.2 psi t*∆P’ = 52.423 psi Usando las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente,

psibblptqB = C /0011.0

2.740018.0

24)3.1(880

24=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

psibbl Pt

tqB = C /0016.0423.52

0018.024

)3.1(880'*24

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Del punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos,

psibblthk = C i /0016.0)3.1(1695

)0013.0)(20)(89.1411695

2 ==µ

Paso 4 - Seleccionar ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos, t = 35.101 hr ∆P = 561.61 psi t*∆P’ = 37 psi Usando la Ec. 7.89:

2 22

2

1 - ln 7.432 * '

rm

wTr

tP k = St P S rµ

⎡ ⎤⎛ ⎞∆⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

6 22

1 561.61 141.89(35.101)- ln 7.43 1.422 37 5 10 (0.08)(1.3)(0.29 )m

r

S = + −

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Paso 5 – Identificar el tiempo mínimo y pico, tx = 0.0095 hr tmin,o = 1.049 hr tmin,o/tx = 110 Esta coordenada mínima representa únicamente la reacción del yacimiento: Paso 6 - Calcular ω con base en (t*∆P’)min, (t*∆P’)min = 8.865 psi


320

1

10

100

1000

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

∆P

t*∆P'

t b2=30 hr

tusi=5.5 hrs

(t*∆P') r=37 psi

(t*∆P') min=8.865 psit min = 1.049 hr

t x=0.0095 hr

(t*∆P') x=128 psi

t i=0.013 hr

Fig. 7.25. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.4 De la Ec. 7.78,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆∆

rr PtPt+

PtPt =

)'*()'*(0.54653

)'*()'*(0.15866 min

2

minω

037.057

8.8650.54653 +57

8.8650.158662

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =ω

Paso 7 – El tiempo al final del periodo de flujo radial cercano no es observado, y el tiempo para el inicio del periodo de flujo radial a tiempos lejanos no está bien definido. Estimar tb2 = 30 hr, usando la Ec. 7.81:

0.05830

1.044)(50.80678 + 30

1.044)(50.19211550.192112

min2

min =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

tt0.80678 +

tt =

b2b2

ω

Paso 8 - Determinación de λ. De la coordenada mínima, usando la Ec. 7.83,

6

min

26

min

109.2049.1865.8

)3.1(880)29.0)(105)(08.0)(20(5.42'*2.54 −

−

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆ =

tPt

qBrSh =

2wTλ


321

Del punto de intersección del periodo de transición, tusi = 5.5 hr, usando la Ec. 7.86,

551

141.89)(0.0002637)(0.290.08)(1.3)(105

00026370

26

. =

t1

k.rS =

iUS,2

2wT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −µλ = 0.00000033

λ promedio = 1.55x10-6

Caso 2 – Coordenada mínima influenciada por almacenamiento: Paso 1 – Los pasos 1 - 4 del Caso 1 son independientes de las coordenadas mínimas y por lo tanto se pueden aplicar en el caso 2. Paso 2 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de la derivada de presión. Una relación de esos tiempos menor que diez corresponde a los efectos del almacenamiento en las coordenadas mínimas. Paso 3 – Usando la relación de tiempo del paso 2 y el CD calculado anteriormente, el parámetro de flujo interporoso se puede determinar de las Ecs. 7.94 y 7.95. Paso 4 – Igualmente, las coordenadas de la derivada de presión en el mínimo y en el pico se pueden usar en conjunto con CD para determinar el parámetro de flujo interporoso mediante la Ec. 7.96. Paso 5 – El coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, es determinado gráficamente de la Fig. 7.24, donde Sm, CD, y λ son calculados anteriormente y los puntos de la derivada de presión de flujo radial de acción infinita y mínima son observados. EJEMPLO La tabla 7.5 presenta los datos de una prueba de declinación de presión. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son: q = 3000 stbd φ = 0.10 µ = 1.0 cp ct = 3.0 x 10-5 psi-1 B = 1.25 bbl/stb h = 100 ft. rw = 0.40 ft Pwf (t=0) = 4473 psi Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso, y coeficiente de almacenamiento. SOLUCION Paso 1 - Un gráfico log-log de ∆P y t*∆P’ vs. tiempo es presentado en la Fig. 7.26 con los puntos y líneas característicos marcados. Paso 2 – El periodo de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es fácilmente identificado. (t*∆P’)r = 138.5 hrs


322

Tabla 7.5. Datos de declinación de presión

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

T, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

t, hrs Pwf, psi

t*∆P', psi

0.0933 4373.4 84.473 0.6766 4103.5 111.676 3.427 3971.3 90.502 14.43 3804.1 136.8570.1766 4299.1 133.483 0.7600 4086.4 99.694 4.427 3948.3 87.168 20.43 3758.7 138.8100.2600 4246.1 146.776 0.9266 4075.4 95.720 5.427 3931.6 95.595 26.43 3720.3 135.2100.3433 4203.6 151.595 1.0930 4060.3 87.234 6.427 3917.1 108.303 32.43 3695.1 134.7900.4266 4173.8 157.618 1.26 4043.1 84.384 7.427 3898.4 122.336 38.43 3674.6 134.1160.5100 4139.7 150.295 1.427 4032.2 76.719 9.427 3865.3 142.426 44.43 3652.4 156.2780.5933 4118.5 141.355 2.427 4002.8 75.401 12.43 3824.2 137.651 50.43 3636.9 183.611

53.43 3625.2 196.734

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

∆P

t*∆P'

t b2=14.4 hr

(t*∆P') r=138.5 psi

(t*∆P') min=72.1 psit min = 2.427 hrt x=0.43 hr

(t*∆P') x=151.9 psit i=0.14 hr

∆ P y

t* ∆

P',

(psi

)

t, hrs

Fig. 7.26. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.5

entonces, usando la Ec. 7.74 se obtiene,

md =Pth

Bq = kr

o2 1.19

)5.138(100)25.1)(0.1)(3000(6.70

)'(6.70

=∆⋅

µ

Paso 3 – De la línea de pendiente unitaria cercana un punto conveniente es leído. ∆P = 99.6 psi t*∆P’=116.4 psi ∆PWBS = 99.6 psi t = 0.093 hr


323

De las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente,

psibbl ptqB = C /146.0

6.99093.0

24)25.1(3000

24=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

psibbl Pt

tqB = C /125.04.116

093.024

)25.1(3000'*24

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

El punto de intersección de línea de pendiente unitaria con la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es ti = 0.14 hr. El coeficiente de almacenamiento es ahora calculado usando la Ec. 7.92,

psibblthk = C i2 /158.0)1(1695

)14.0)(100(1.191695

==µ

Paso 4 – Seleccionar un punto conveniente para ∆P y t*∆P’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos, t = 50.43 hrs ∆P = 836.1 psi t*∆P’=138.5 Usando la Ec. 7.89,

2 26 22

2 2

1 1 836.1 19.1(50.43)- ln 7.43 - ln 7.43 3.92 '* 2 138.5 3 10 (0.1)(1)(0.4 )

rm

wr rT

tP k S P t S rµ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Paso 5 – Las coordenadas de tiempo mínimo y pico son: tx = 0.43 tmin,o = 2.427 tmin,o/tx = 5 < 10 La relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico sugiere que las coordenadas mínimas si están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 - Determinación de λ. El valor promedio de C es 0.143 bbl/psi, entonces, aplicando la Ec. 2.8,

2661)4.0)(103)(1)(1.0(

)143.0(8935.08935.0262 =

×== −

wtD rc

CCφµ

De las Ecs. 7.94 y 7.95,

510

min

10

min 101.8,0032.0427.243.0565.5

266115.5651)]/1log([ −×==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λλλ

tt

C =

o,

x

D


324

De la Ec. 7.96,

5min 108.194.151

087.72)2661(10

1)'*(

)'*(10

1 −×==∆

∆=

xD PtPt

Cλ

Paso 7 - Determinación de ω.

52.05.138

078.72)'*(

)'*( min ==∆

∆

rPtPt

065.0)9.3(8686.0)000018.0

1log()108.1(26618686.0)1log( 5 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ + −xsCD λ

λ

De la Fig. 7.24, ω = 0.025.


325

8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS

La orientación de las fracturas hidráulicas es función de la distribución de esfuerzos en la formación. Si el esfuerzo menos importante en la formación es horizontal, entonces se obtendrá una fractura vertical. Por otra parte, si el esfuerzo menos importante es vertical, entonces tendrá lugar una fractura horizontal. Sin embargo, hay una creencia general en que las fracturas verticales se obtienen a profundidades mayores de 3000 ft. 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES La Fig. 8.1 es un plano de un sistema cuadrado cerrado en cuyo centro hay un pozo con una fractura vertical. La longitud de fractura se ha exagerado para propósitos de la explicación. Generalmente, el fluido entra a la fractura a una rata de flujo uniforme por unidad de área de la cara de la fractura para que exista una caída de presión en la fractura. En este caso, la fractura se refiere a una “fractura de flujo uniforme”. Sin embargo, para algunas fracturas que tienen permeabilidad infinita (conductividad) y, por lo tanto, la presión es uniforme en todas partes. Excepto para fracturas con bastante contenido de material de sostén y fracturas conductivas, se piensa que la fractura de flujo uniforme representa mucho mejor la realidad que la fractura de conductividad infinita. 8.1.1. Comportamiento en Pruebas de Declinación La presión adimensional en el pozo para el caso de una fractura de flujo uniforme es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

DxfDxfDxfD t

Eit

erftP4

121

21π (8.1)

y para el caso de una fractura de conductividad infinita es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

DxfDxfDxfDxfDxfD t

Eit

Eit

erft

erftP 75.0433.0018.0067.0866.0134.021 π

(8.2)

donde;


326

xf

xe

PozoFractura vertical

Barrera de no flujo

Fig. 8.1. Representación esquemática de una fractura vertical.

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

f

wDDxf x

rtt (8.3)

Si tDxf < 0.1 en la Ec. 8.1 y tDxf < 0.1 en la Ec. 8.2, estas dos ecuaciones se convierten en:

DxfD tP π= (8.4) indicando que a tiempos tempranos el flujo dentro de la fractura es lineal. En unidades reales, la Ec. 8.4 se puede escribir así:

tmPP vfiw += (8.5) donde;

2

4.064vf

t f

qBmh k c x

µφ

−= (8.6)

es la pendiente de la gráfica Cartesiana de P vs. t1/2, que se puede usar para calcular:


327

0.01

0.1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fcor

Penetración de la Fractura, xe/xf

Gráfico Horner para todoslos tiempos de producción

Gráfico MDH

m 0.12

0.05

0.02 0.015 0.01 0.0075 0.005

tpDA=0.0025

Fig. 8.2. Factor de corrección para kh estimado de pruebas de restauración de presión en pozos fracturados verticalmente

2

2 4.064f

t

qBkxhm cvf

µφ

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.7)

en la cual, el análisis semilog convencional aplica para tDxf > 10. Las Ecs. 8.1 y 8.2 se convierten, respectivamente en:

( )[ ]80907.2ln21

+= DxfD tP (8.8)

( )[ ]2.2ln21

+= DxfD tP (8.9)

Estas dos ecuaciones dan la presión adimensional para flujo pseudoradial, siempre que los efectos de frontera no se encuentren. En un yacimiento cerrado, el periodo de flujo pseudoradial de acción infinita solo se desarrolla completamente si xe/xf > 5.


328

Existe una relación aproximada entre el cambio de presión al final del periodo de flujo lineal, ∆Pel, y en el inicio de la línea recta semilog, ∆Pbsl:

elsbl PP ∆≥∆ 2 (8.10) Si esta relación no se cumple es por que se escogieron incorrectamente el periodo de flujo lineal o el periodo de flujo radial. Nota: • Un gráfico de ∆P vs. tiempo en un papel log-log producirá una línea recta de media pendiente durante el periodo lineal. • El análisis anterior es válido para pruebas de declinación de presión y de inyección. 8.1.2. Comportamiento en Pruebas de Restauración (Falloff) En pozos fracturados verticalmente, las pruebas de restauración de presión o falloff son similares a pozos no fracturados. Sin embargo, la permeabilidad, estimada del gráfico Horner o MDH, debe ser corregida así:

corcFkk = (8.11) donde;

( )( )apparent

truecor kh

khF = (8.12)

mhBqkc

µ6.162= (8.13)

El factor de relación, Fcor, se toma de la Fig. 8.2. El gráfico Horner es fuertemente recomendado para análisis de datos de pozos fracturados verticalmente. Para usar la figura anterior, se necesita conocer xe/xf. xf es simplemente la longitud media del lado del cuadrado. xf es la longitud media de la fractura, la cual se puede estimar de:

cortvff hFc

mqBm

qBxφ

3187.0= (8.14)

Fcor se puede estimar mediante una técnica iterativa así: Paso 1. Estime kxf

2 de la Ec. 8.7.


329

Paso 2. Estime kc de la Ec. 8.13. Paso 3. Calcule k de la Ec. 8.11 usando un valor razonable de xe/xf (empezar en xf = 0.5xe) en la Fig. 8.2. Paso 4. Usar el valor de k del paso 3 para estimar xf en la Ec. 8.7. Paso 5. Este nuevo valor de xf se usa para calcular un nuevo xe/xf a ser utilizado en la figura. Este mejoraría la estimación de k. Paso 6. Este proceso continua hasta que dos valores sucesivos sean iguales. Si ambos periodos de flujo no se desarrollan, es necesario realizar un estimativo independiente de kc a partir de un pozo no fracturado cercano. Una técnica alterna para análisis de datos de prueba transiente en pozos fracturados es ajustar curvas tipo usando las Figs. 8.3, 8.4, y 8.5. La permeabilidad se estima de:

M

MD

PP

hBqk

)()(2.141

∆=

µ (8.15.a)

y la longitud media de la fractura es:

( )( )

0.0002637 Mf

Dxf M

tkxc ttφµ

∆= (8.15.b)

Si todos los datos de la prueba caen sobre la línea de media pendiente en el gráfico de log ∆P vs. log ∆t, entonces la permeabilidad no se puede estimar mediante el ajuste de cualquier curva tipo o gráfico semilog. Esta situación ocurre con frecuencia en formaciones de gas apretadas, donde el periodo de flujo lineal puede durar por varios cientos de horas. Sin embargo, el último punto de los datos en la línea de media pendiente (o en la línea recta de ∆P vs. t1/2) se puede usar para estimar un límite superior de k:

PhBqk

∆≤

µα 2.1411 (8.15.c)

y una longitud de fractura mínima es:

2

0.0002637f

t

ktxcα φµ

≥ (8.16)

donde: α1 = 0.215 para la fractura de conductividad infinita = 0.76 para la fractura de flujo uniforme α2 = 0.016 para la fractura de conductividad infinita = 0.16 para la fractura de flujo uniforme (∆P) y (t) = corresponden al último punto de datos


330

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100

05.0==z

r

fD k

krhh

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.60.8

1

1.5

0.5

10

3100

hrf

Pozo Fractura k z

k r

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

Fig. 8.3. Presión adimensional para un pozo simple fracturado horizontal (flujo uniforme) en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro

del intervalo

0.01

0.1

1

10

0.001 0.01 0.1 1 10 100

xf Fin aproximado del periodode media pendiente

Flujo uniforme

Conductividad infinita

P D

t D(rw / xf )2 2

Fig. 8.4. Presión adimensional para un pozo simple fracturado vertical en un sistema

infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo


331

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Area de dreneA=4xe

2xf2xe

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

xe/xf =

1

10/7 2 10/3

5

10

∞

2

Fig. 8.5. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita.

8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES A tiempos de flujo tempranos, existe un periodo de flujo vertical lineal desde la formación hasta la fractura horizontal. Durante esos tiempos, la presión adimensional está dada por:

πDrf

DD

thP 2= (8.17)

donde;

z

r

fD k

krhh = (8.18)

2

wDrf D

f

rt tr

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8.19)


332

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Area de drene

A=4xe

2xf2xe

xe/xf =

1 10/7 2 10/3 5

10

20

∞

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

PD

2

Fig. 8.6. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de flujo uniforme

A tiempos tempranos y para valores grandes de hD, se tiene una porción de línea recta con media pendiente. A valores bajos de hD, esta línea recta tiene pendiente unitaria, como se muestra en el gráfico log-log de PD vs. tDrf (Fig. 8.3). En unidades reales, la presión fluyendo durante declinación de presión o inyección, en un periodo de flujo lineal es:

tmPP Hfiwf += (8.20) donde;

tzfHF ckr

qBmφµ

22587

−= (8.21)

Así, un gráfico de Pwf vs. t1/2 (gráfica Cartesiana) tendría una porción de línea recta a tiempos tempranos con intercepto Pi (en t=0). La permeabilidad vertical kz se puede calcular de la Ec. 8.21 si rf es conocido. Generalmente, rf se calcula del ajuste de la curva tipo de la Fig. 8.3 así:


333

MDrf

M

t

rf t

tc

kr)(

0002637.02

µφ= (8.22)

La permeabilidad radial kr es calculada del análisis del periodo de flujo pseudoradial:

mhBqkr

µ6.162= (8.23.a)

El valor de kz se puede también calcular del punto de ajuste:

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DMf

rz h

hrkk (8.23.b)

El valor de kr puede ser estimado de:

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∆=

M

MDD

fzr P

hPr

Bqk

k /2.1411 µ (8.23.c)

Como dato, no existen estudios del comportamiento de la restauración de presión (falloff) en pozos fracturados horizontalmente. Nota: El efecto de almacenamiento no se incluye en este análisis de fracturas hidráulicas. EJEMPLO Los datos de presión de restauración obtenidos después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico se muestran en la tabla 8.1. Las características del yacimiento son las siguientes: q = 64.3 BPD rw = 0.198 ft h = 51 ft φ = 8 % µ = 0.45 cp B = 1.507 bbl/STB ct = 17.7x10-6 /psi tp = 364 hrs 1. Usando técnicas convencionales semilog y Cartesianas, encontrar: a. Permeabilidad b. Longitud media de fractura. c. Eficiencia de flujo d. Almacenamiento 2. Recalcular (a), (b), y (c) usando curvas tipo apropiadas de PD y PD’.


334

Tabla 8.1. Datos de presión de restauración

∆t, hrs Pws, psi ∆t0.5, hr0.5 ∆P, psi (tp+∆t)/ ∆t t*∆P’, psi P', psi/hr 0.0 1170 0.000 0.5 1329 0.707 159 729.00 59.889 119.778 1.0 1388 1.000 218 365.00 139.603 139.603 1.5 1464 1.225 294 243.67 163.006 108.671 2 1501 1.414 331 183.00 146.786 73.393 3 1570 1.732 400 122.33 209.375 69.792 4 1639 2.000 469 92.00 251.844 62.961 6 1748 2.449 578 61.67 279.544 46.591

10 1899 3.162 729 37.40 303.719 30.372 18 2075 4.243 905 21.22 311.701 17.317 27 2209 5.196 1039 14.48 329.161 12.191 36 2304 6.000 1134 11.11 322.987 8.972 45 2375 6.708 1205 9.09 322.865 7.175 54 2434 7.348 1264 7.74 308.208 5.708 63 2481 7.937 1311 6.78 299.262 4.750 71 2516 8.426 1346 6.13 296.365 4.174

SOLUCION 1. Técnicas convencionales semilog y Cartesianas a. Permeabilidad de la formación. Un gráfico Horner para los datos dados en la tabla 8.1 se presenta en la Fig. 8.7. La pendiente es –510 psi/ciclo. La permeabilidad se puede estimar de la pendiente de la línea recta semilog, usando la siguiente ecuación:

mdmh

Bqkc 52.0)42)(510(

)507.1)(45.0)(101)(6.162(6.162===

µ

Calcule la permeabilidad siguiendo paso a paso el procedimiento: Paso 1. Considerar xf/xe = 0.5. Paso 2. Leer el factor de corrección correspondiente de la Fig. 8.2, sobre la línea Horner. Fcor=0.46. Paso 3. De la Fig. 8.8, gráfico Cartesiano de ∆P vs. t0.5, la pendiente es mvf = 141.3 psi/hr0.5. Paso 4. Calcule:


335

1000

1400

1800

2200

2600

3000

3400

1101001000

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

∆+t

tt p

Pws ,

psi

P*=3160 psi

P1hr=1138 psi

m=510 psi/ciclo

Fig. 8.7. Grafico Horner

1000

1400

1800

2200

2600

0 2 4 6 8 10

hrst,

P w

s , ps

i m vf= 141.3 psi/h

r0.5

Fig. 8.8. Grafico de Pws vs. t

2

2 4.064f

vf t

qBkxhm c

µφ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

26

22 ftmd6.3452

)107.17)(08.0()45.0(

)3.141)(42()507.1)(101)(064.4(

−=×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅ −fxk


336

100

1000

10000

0.1 1 10 100

∆ P, p

si

∆t, hrs

Fig. 8.9. Grafico log-log de ∆P vs. ∆t

Paso 5. Aplique el factor de corrección para calcular una nueva permeabilidad:

(0.52)(0.46) 0.2392c cork k F md= = = Paso 6. Calcule la longitud media de fractura:

ftk

kxx f

f 14.1202392.0

6.34522

===

Paso 7. Estimar xe, de:

ftc

ktx

t

pe 339

)107.17)(45.0)(08.0()364)(2392.0(029.0029.0 6 =

×== −φµ

Paso 8. Calcular la relación xf/xe:

356.0339

14.120==

e

f

xx

Repita el paso 2 al 7 para n iteraciones hasta que xf(i) ≈ xf(i-1). Después de 12 pasos, la permeabilidad es k = 0.475493 md. Ver la siguiente tabla:


337

Asumido

xf/xe xe, ft Fcor k, md xf, ft Nuevo

xf/xe 0.5 337.9897 0.45728 0.237785 120.4982 0.356514

0.356514 385.9966 0.596406 0.310131 105.5117 0.273349 0.273349 449.9846 0.810533 0.421477 90.50785 0.201135 0.201135 471.3004 0.889141 0.462354 86.41439 0.183353 0.183353 476.4818 0.908799 0.472575 85.47472 0.179387 0.179387 477.6316 0.913190 0.474859 85.26894 0.178525 0.178525 477.8814 0.914146 0.475356 85.22437 0.178338 0.178338 477.9355 0.914352 0.475463 85.21473 0.178298 0.178298 477.9471 0.914397 0.475487 85.21265 0.178289 0.178289 477.9497 0.914407 0.475492 85.2122 0.178287 0.178287 477.9502 0.914409 0.475493 85.2121 0.178287 0.178287 477.9503 0.914409 0.475493 85.21208 0.178287

1

10

100

1000

0.1 1 10 100

t, hrs

P', p

si/h

r

Fig. 8.10. Gráfico log-log de la derivada de presión vs. tiempo b. Longitud media de fractura

2 3452.6 85.20.178287

ff

kxx ft

k= = =

c. Eficiencia de Flujo De la Fig. 8.7, P1hr = 1138 psi y usando Pwf = 1170 psi conocida, calcule el factor de daño usando la Ec. 4.10.


338

6 2

1170 1138 0.6711.1513 log 3.2275 4.37(320) (0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.28)

sx −

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

2

11703115)37.4)(510)(87.0(1)87.0(11 ≈

−−

−=−

−=−

∆−= ∗∗

wfwf

S

PPms

PPPFE

d. Almacenamiento. Del gráfico log-log de ∆P vs. t (Fig. 8.9) se obtuvo el punto N (∆tN = 0.5 hr y ∆PN = 159 psi). Se puede calcular el coeficiente de almacenamiento de:

psibblPtqBC

N

N /02.0)159)(24(

)5.0)(507.1)(101(24

==∆∆

=

2. Técnica de ajuste por curva tipo I) Método PD a) Permeabilidad. Usando la Fig. 8.9 y Fig. 8.4 obtener el punto de ajuste M: ∆PM = 340 psi ∆tM = 10 hrs (PD)M = 1.6

mdPh

BPqkM

DM 08.1)340)(42(

)4.0)(507.1)(45.0)(101)(2.141(2.141==

∆=

µ

b) Longitud media de fractura. De la Fig. 8.5, tDxf = 1.4.

26

2 3196)45.1)(107.17)(45.0)(08.0(

)10)(08.1)(0002637.0(0002637.0 ftt

tc

kxDxfM

M

tf =

⋅=

∆= −φµ

xf = 56.5 ft II) Método P’D. Usando la Fig. 8.10 y las curvas tipo de las Figs. 8.11 a la 8.13 un punto de ajuste es: (P’ws)M = 11 psi ∆tM = 10 hrs P’SD = 0.4 ∆txfD = 1.1


339

0.01

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100

P'D

∆txfD

Fin del flujo lineal deconductividad infinita

Fin del flujo lineal de flujo uniforme

Inicio del comportamientoinfinito para mabas fracturas

Fig. 8.11. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo fracturado verticalmente

en un yacimiento infinito

0.01

0.1

1

10

100

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02

P'sD

∆txfD

Fractura de flujo uniforme

txfD=1

txfD=10

txfD=100

txfD=1000

Fig. 8.12. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de flujo uniforme en un yacimiento infinito


340

0.01

0.1

1

10

100

1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02

P'sD

∆txfD

txfD=1

txfD=10

txfD=100

txfD=1000

Fractura de conductividad Infinita

Fig. 8.13. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de conductividad infinita en un yacimiento infinito

La permeabilidad, la longitud media de fractura y el factor de daño se determinan de las Ecs. 8.24 a la 8.26, respectivamente: 1. Permeabilidad:

M

xfD

MWS

SD

tt

PP

hBqk ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

''2.141 µ (8.24)

mdk 42.0)10)(11)(51(

)1.1)(4.0)(507.1)(45.0)(1014)(2.141(==

2. Longitud media de fractura

DxfM

M

tf t

tc

kxφµ

0002637.02 = (8.25)

ftx f 4.56)1.1)(107.17)(45.0)(08.0(

)10)(42.0)(0002637.0(6 =

⋅= −


341

3. Eficiencia de Flujo.

f

W

xrs 2ln= (8.26)

2(0.28)ln 4.656.4.

s = = −

72.223703115

)6.4)(320)(87.0(1)87.0(11 =−

−−=

−−=

−∆

−= ∗∗wfwf

s

PPms

PPPFE (8.27)

8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS El producto de la permeabilidad de la fractura y la longitud de la fractura (kfw) se conoce como conductividad de la fractura. La conductividad de la fractura adimensional se expresa matemáticamente como:

f

ffD xk

wkC = (8.28)

La expresión anterior se puede también encontrar multiplicada por π. Sin embargo, se acostumbra, en análisis de pruebas de pozo, a usarse como está dada en la Ec. 8.28. La fractura de flujo uniforme es uno de los conceptos introducidos en la literatura para la interpretación de datos de pruebas de pozo en pozos fracturados. Este tipo de conductividad asume que el flujo del yacimiento hacia la fractura es uniforme y una pequeña caída de presión se presenta a lo largo de la fractura. Este tipo de conductividad se puede observar en fracturas con alto daño causado por una zona de baja permeabilidad alrededor de la fractura. Una fractura de conductividad infinita tiene una conductividad tal que la caída de presión a lo largo de la fractura se considera de cero. En un gráfico log-log, este tipo de fractura es identificado mediante una pendiente media sobre los datos tempranos en la presión y derivada de presión. Una fractura se considera que tiene conductividad infinita cuando su conductividad de fractura es mayor que 300. Por otro lado, la fractura posee conductividad finita la cual se identifica en un gráfico log-log mediante una pendiente de ¼ de los datos tempranos. Una pendiente ½ puede o no mostrarse después. Una fractura de conductividad finita implica una caída de presión a lo largo de la fractura. Esta caída de presión contribuye a la formación de un flujo lineal simultáneo en la fractura y un flujo lineal desde la formación hasta la fractura como se representa en la Fig. 8.14.b. Este régimen de flujo simultáneo se conoce como flujo bilineal. La larga duración del flujo, ocasiona una baja conductividad de fractura. El análisis convencional para este tipo de fracturas requiere ajuste de curvas tipo.


342

Para fracturas de conductividad infinita, Tiab mostró que la relación de la longitud, xe, con la longitud de fractura, xf, tiene cierta influencia sobre el patrón de flujo, ver la Fig. 8.26. Teóricamente, si xe = xf, solo una pendiente ½ se observará indicando la presencia de puro flujo lineal en la formación. Sin embargo, como el incremento de xe/xf en la línea recta de pendiente unitaria es corto, entonces se forma una pendiente 0.36. Esto es debido al flujo biradial, como lo llama Tiab. Otros autores lo han llamado flujo elíptico. Cuando, la relación xe/xf ≥ 16, únicamente se observa la pendiente 0.36. La Fig. 8.14.a presenta el comportamiento de la rata de flujo en una fractura con diferentes conductividades. 8.4. GRAFICO DE FLUJO BILINEAL (∆P vs. 4 t∆ )

25.025.0)(

1.44 tkcwkh

BqPtff φµ

µ=∆

De la pendiente de la gráfica:

25.025.0)(

1.44 tkcmBqwkh

tbfff φµ

µ=

Para este caso, xf se puede expresar también usando el procedimiento de ensayo y error mencionado antes. 8.5. GRAFICO DE FLUJO LINEAL (∆P vs. t∆ )

kct

xhqBP

tff φµ064.4

=∆

kcmqBxh

tlfff φ

µ064.4=

blf

elffD t

tC 0125.0=

donde telf y tblf son los tiempos para final e inicio del flujo lineal.


343

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

w

ffD q

xtxqq

),(2=

q fD

fD x

xx =

x D

CfD

3003063

0.6

Fractura de flujo uniforme

Fig. 8.14.a. Distribución de flujo a lo largo de una fractura

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

PD

t Dxf

CfD0.10.5151050100500

Fig. 8.14.b. Curva tipo de Cinco-Ley


344

8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) Cinco y otros formularon un modelo para estudiar el comportamiento de la presión en fracturas de conductividad finita. Este modelo es quizá uno de las más importantes contribuciones a la literatura de pruebas de pozos. Esta curva tipo esta dada en la Fig. 8.14.b. Del punto de ajuste, se pueden obtener los parámetros de fractura y yacimiento. Obtenga primero la permeabilidad:

BqPkhP M

MD µ2.141)()( ∆

= (8.29)

La longitud de fractura se puede solucionar de:

20002637.0)(

ft

MMD xc

kttφµ

= (8.30)

La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28:

f

fMfD xk

wkC =)(

Use la Fig. 8.32 o la Ec. 8.31 (por análisis semilog) para estimar el factor de daño:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 23.3log1513.1 2

1

wt

ihr

rck

mPPs

φµ (8.31)

EJEMPLO Con los siguientes datos y los de la tabla 8.2 de una prueba de presión, encontrar permeabilidad, factor de daño, longitud de fractura y conductividad de la fractura. φ = 30 % h = 30 ft ct = 2x10-6 /psi µ = 0.85 cp B = 1.65 rb/STB q = 250 BPD rw = 0.25 ft SOLUCION De acuerdo a la curva tipo dada en la Fig. 8.15, se tiene: (∆P)M = 100 psi (PD)M = 0.47 ∆tM = 100 hrs (tD)M = 1.6 (CfD)M = 2


345

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

10

100

1000

10000

0.1 1 10 100 1000

∆P,

psi P

D, p

si

t, hr

t D, hr

∆P=100 psi, P D = 0.47∆t = 100 hrs, t D = 3.3

PUNTO DE AJUSTE

Fig. 8.15. Ajuste por curva tipo

Tabla 8.2. Datos de prueba de presión para un pozo fracturado

t, hr ∆P, psi t, hr ∆P, psi 0.25 57 40 261

0.5 68 50 2801 79 60 298

2.5 106 70 3115 134 80 321

10 168 90 33420 210 100 34330 238 150 384

Encontrar permeabilidad de la Ec. 8.29, así:

)65.1)(85.0)(250(2.141)100)(30(47.0 k

= luego k = 7.76 md

La longitud media de la fractura se calcula usando la Ec. 8.30:


346

26 )102)(85.0)(3.0()100)(76.7(0002637.06.1fx−×

=

xf = 158.4 ft La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28:

)4.158)(76.7(2

wk f=

kfw = 7720 md-ft Usando la Ec. 10.34, s = –5.65. 8.7. CURVAS TIPO CON ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS)

MfD

MfDD

M CCP

PhBqk

)()(

)(2.141

∆=

µ

MfDDxf

MfD

t

Mf Ct

Cc

ktx)(

)(0002637.02

2

φµ= (8.32)

La conductividad de fractura adimensional está dada por:

MfDffD CkxC )( 2= (8.33) Si la fractura está dañada y una porción de la prueba se supone en flujo bilineal, se puede ajustar una gráfica log-log de ∆Pwf y ∆P’wf vs. t. El almacenamiento se puede determinar mediante:

MDxf

MD

M

M

tFPF

PtqBC

)]([)]([

)()(2339.0

2

1

∆= (8.34)

La conductividad de fractura es:

3

12 )(

)]([2.1414.0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∆=

M

MD

tf P

PFBqkc

Ch

wk µφ


347

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

2/3

2 4 /3

( )( ) f D

Dxf DxffD

k wF t t

C=

2/3

1 1/3

( )'( ) f D D

Dxf DfD Dxf

k w dPt F PC dt

=

2/3

1 1/3

( )( ) f D

D DfD

k wF P P

C=

F 1 (

PD)

y tD

xfF1

'(PD)

CD10000 50002000100050020010050201050

Fig. 8.16. Curva tipo de Wong y otros para pozo vertical con fractura de conductividad finita, almacenamiento y daño bajo condiciones de flujo bilineal


348

Impermeable boundaries

Espesor

Fractura

Pozow

xf

Fig. 8.17. Esquema de una fractura ideal 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE Esta sección trata sobre el análisis de datos de pruebas tomados de pozos que han sido fracturados hidráulicamente. En un principio, el fracturamiento hidráulico llegó a ser en una buena manera para incrementar la productividad de los pozos completados en yacimientos de baja permeabilidad. Sin embargo, últimamente, se ha convertido en una práctica común gracias a su impacto para incrementar la productividad del pozo y remover el daño. El propósito de las pruebas de pozos fracturados es determinar las propiedades de fractura y yacimiento para proporcionar una valoración efectiva del tratamiento de fractura y predecir una productividad a largo plazo para el yacimiento 8.8.1. Simulación de Fracturas Cuando un pozo es fracturado hidráulicamente, la presión se eleva en la formación hasta su agrietamiento. Un fluido que contiene arena o material de sostén es entonces colocado en la grieta. El fluido se separa de las partículas sólidas (arena) dentro de la formación y al retirarlo la fractura se cierra pero con el material de sostén adentro de modo que la fractura no cierra completamente. La Fig. 8.17 representa una fractura ideal. La meta del fracturamiento es abrir más el área superficial de la cara del pozo sin perforar otro pozo. Puesto que mayor área del yacimiento está en comunicación directa con la cara del pozo, un gran volumen de fluido puede producirse dentro de la cara del pozo por unidad de tiempo, resultando en un incremento de la rata de producción. Básicamente, el fracturamiento incrementa el radio efectivo de la cara del pozo:


349

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

Fin aproximado del periodo de media pendiente

Slope=1/2

xe/xf=15xe/xf`=10

xe/xf`=7xe/xf`=5

xe/xf`=3

xe/xf`=2

xe/xf`=1.5

xe/xf`=1Area de drene A=(2xe)2

xf

xe

FIn del periodo de media pendiente paraxe/xf=1

EL estado pseudoestable arrancaaprox. a tDA=0.12 para todos los xe/xf

P D

t DA

Fig. 8.18. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un sistema cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00

CfD=10

CfD=0.1

CfD=0.5

CfD=1

CfD=5

CfD=500

CfD=50CfD=100

Pozo a caudal constante

141.2wDkh PP aceite

q Bµ∆

=

2( )1424wD

kh PP gasq zTµ

∆=

[ ( )]1424wD

kh m PP gasqT

∆=

2

0002637.0

ftDxf xc

kttµφ

=

f

ffD xk

wkC =

CfD=Conductividad adimensional de lafractura

P wD

t Dxf

Fig. 8.19. Fractura vertical de capacidad infinita


350

a) Flujo lineal en la fractura

b) Flujo bilineal

d) Flujo lineal en la formaciónc) Flujo pseudoradial

Fig. 8.20. Regímenes de flujo que gobiernan el comportamiento de la presión en

un pozo interrumpido por una fractura vertical de capacidad finita

'2

f sw w

xr r e−= = (8.35)

El fracturamiento no altera la permeabilidad del yacimiento pero si altera la permeabilidad promedio del sistema. El análisis de presiones de una prueba en un pozo fracturado requiere del uso de curvas tipo las cuales han sido generadas analíticamente. Dichas soluciones están basadas en una de estas tres suposiciones: • Fractura de conductividad infinita, • Fractura de flujo uniforme, o • Fractura de conductividad finita. Las curvas tipo para una fractura de conductividad infinita se muestran en la Fig. 8.18. Las curvas tipo para una fractura de conductividad finita se presentan en la Fig. 8.19. A menos que la permeabilidad de la formación sea extremadamente baja, por ejemplo en el rango microdarcy, la reacción de la presión, para la mayoría de los pozos fracturados, parece ser representativa de un sistema de fractura de conductividad finita. Tomando como base esta observación, únicamente el sistema de fractura de conductividad finita es considerado en esta sección. En esta sección, el término “fractura” se refiere a fractura de conductividad finita.


351

8.8.2. Regimenes de Flujo en Fracturas Después de que un pozo ha sido fracturado, un nuevo grupo de regímenes de flujo es producido. Los principales regímenes de flujo se presentan en la Fig. 8.20 y son los siguientes: • Flujo lineal en la fractura • Flujo bilineal (fractura y formación) • Flujo lineal en la formación (o elíptico) • Flujo pseudoradial Para sistemas de fractura de conductividad infinita y flujo uniforme únicamente el tercer y cuarto régimen de flujo son evidentes en los datos de presión. El flujo lineal en la normalmente ocurre a un tiempo muy temprano, puesto que éste es normalmente enmascarado por los efectos del almacenamiento. El inicio del flujo pseudoradial puede ocurrir a un tiempo que económicamente no es factible de alcanzar, y por ende no puede ocurrir a ningún tiempo durante una prueba de pozo. Para determinar kh del yacimiento, es necesario que el yacimiento este en flujo radial. Sin embargo si la fractura es de conductividad finita y se observan las pendientes de un medio y un cuarto, es posible obtener la permeabilidad del punto de intersección entre éstas líneas. Esto únicamente es posible por medio de la Tiab’s Direct Synthesis Technique. De modo que, si un análisis de una prueba de un pozo fracturado es requerido, es importante que una prueba de prefracturamiento se desarrolle para determinar kh del yacimiento, si se usan métodos convencionales o curvas tipo. Si esto no ocurre, un análisis único de los datos puede no ser posible, ya que existen dos incógnitas: permeabilidad del yacimiento y longitud de la fractura. Si los efectos del almacenamiento duran una cantidad de tiempo significativa, es posible que el primero de los tres regímenes de flujo sean enmascarados. Si ésto ocurre, el análisis para determinar la longitud de la fractura no es posible. En este caso, el éxito del tratamiento de fractura tendrá que ser determinado usando el factor de daño calculado. Como regla general, una fractura es exitosa si el factor de daño es reducido a menos de -3. Si los efectos del almacenamiento son de vida corta, entonces los análisis de flujo bilineal o flujo lineal se pueden usar para determinar la longitud de fractura y su conductividad. Para análisis de pozos fracturados, se usa un nuevo grupo de parámetros adimensionales. Estos son el tiempo adimensional para un pozo fracturado, tDxf, y la conductividad de fractura adimensional CfD. Estos se definen así:

2

0.0002637Df

t f

k ttc xφ µ

∆= (8.36)


352

f

fffD xk

wkC = (8.37)

8.8.3. Análisis de Flujo Bilineal La ocurrencia del flujo bilineal está caracterizada por una pendiente de 1/4 en un gráfico log-log de presión y su derivada. Ver Fig. 8.21. Esta gráfica indica que el flujo bilineal ocurrió para más de un ciclo log. Como resultado, se puede concluir que la pendiente de 1/4 es válida y puede ser analizada para determinar la longitud media de fractura. El comportamiento de la presión durante el periodo de flujo bilineal se modela usando la siguiente ecuación:

4/12/1

45.2Dxf

fDD t

CP = (8.38)

En unidades de campo, la ecuación de la reacción de la presión es:

( ) ( ) 4/12/1

4/113.44kcwkh

tBqPtff µφ

µ ∆=∆ (8.39)

Cuando la pendiente de 1/4 es evidente en un gráfico log-log, los datos puedes ser regraficados en un papel lineal de P versus t1/4. La pendiente, mbf de una línea recta. Esta puede ser usada para determinar la conductividad de la fractura así:

( )

2

4/113.44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kchmBqwk

tbff µφ

µ (8.40)

Con el anterior valor de kfw, el valor para CfD puede ser determinado. El siguiente paso es calcular un valor de PD para cualquier P, usando:

P kh Pq BD =∆

1412. µ (8.41)

Usando los valores para PD y CfD, el gráfico log-log se puede ajustar a las curvas tipo apropiadas y obtener los valores correspondientes para t y tDxf. El valor para xf es calculado usando la Ec. 8.36. Para verificar que los datos que fueron examinados realmente estaban en flujo bilineal, debe calcularse el rango de tiempo para la existencia del flujo bilineal. Teóricamente, el flujo bilineal ocurre para un tiempo adimensional de:


353

1E-5 1E-4 1E-3 1E-2 1E-1 1E+0 1E+1 1E+2 1E+3 1E+4 1E+5

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

Flujo Bilineal

Flujo lineal

Flujo radial∆P

y t*

∆P',

psi

t, hr

Fig. 8.21. Gráfico log-log de los datos de presión durante flujo bilineal y flujo lineal

161.02 >= fDfD

Dxf CC

t (8.42)

1645.255.42/1 <−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= fD

fDDxf C

Ct (8.43)

8.8.4. Análisis de Flujo Lineal La ocurrencia de formación de flujo lineal está caracterizada por una pendiente de un 1/2 en la gráfica log-log de la presión y derivada de presión. Este régimen de flujo será normalmente evidente y analizable para fracturas con muy alta conductividad (CfD > 300). El inicio de del régimen de flujo lineal ocurre en:

1002 =fDDxf Ct (8.44) Si se obtienen los datos que exhiben la pendiente de un medio en la gráfica log-log, entonces el análisis sigue los mismos pasos que el flujo bilineal. Se pueden emplear las curvas log-log de la Fig. 8.19. Las ecuaciones que gobiernan el análisis de flujo lineal están basadas en la ecuación de respuesta de la presión durante este régimen de flujo:


354

CIA

DA

DE

PRES

ION

AD

IMEN

SIO

NA

L, P

D

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E-10 1.E-08 1.E-06 1.E-04 1.E-02 1.E+00 1.E+02

Fractura de baja conductividad

CASO Im=1/4

B

C

AF

L

GH

I

J

CASO IIm=1/4

m=1/2

0.1500

Umbral del flujopseUdoradial

TIEMPO ADIMENSIONAL, tDxf

CfD

Fractura de alta conductividad

Fig. 8.22. Comportamiento típico presión adimensional vs. tiempo adimensional en pozos fracturados

1/ 2( )D DxfP tπ= (8.45)

En unidades de campo, la Ec. 8.45 es:

2/1

064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

kct

hxqBP

tf φµ (8.46)

Así, la gráfica de P versus t1/2 producirá una línea recta de pendiente mlf, de:

2/1

064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆=

kct

hxqBm

tflf φ

µ (8.47)

La Ec. 8.47 se puede usar para determinar xf. Para verificar que los datos usados para el análisis realmente representan flujo lineal, el rango válido de datos ocurre durante:

016.01002 << DxffD

tC

(8.48)

Tomando como base el tiempo al cual el flujo lineal termina, tDxf = 0.016, es posible estimar la permeabilidad de la formación. En el final del flujo lineal, los datos de P versus ∆t1/2 se desvían de la línea recta. Usando el tiempo de esta desviación con las Ecs. 8.36, y 8.37 producirá:


355

10

100

1000

10000

0.001 0.01 0.1 1 10 100

∆ P y

t*∆

P, p

si

Tiempo, hr

Fig. 8.23. Puntos de presión y derivada de presión

31700

32700

33700

34700

35700

36700

37700

38700

39700

40700

110100100010000

Pres

ión,

KPa

(tp+∆t)/∆t

P1hr=75125 KPa

m=7

17.5

psi/

ciclo

Fig. 8.24. Gráfico Horner


356

30500

32500

34500

36500

38500

40500

42500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

mbf = 405 psi/hr0.25

Pres

ión,

KPa

(∆t) , hr0.25 0.25

Fig. 8.25. Gráfico Cartesiano de presión vs. (∆t)1/4

elflf thmBqk µ1.100= (8.49)

En la Ec. 8.49, telf representa el tiempo al final de flujo lineal. 8.8.5. Análisis de Flujo Pseudoradial Después de que ha pasado un periodo suficiente de tiempo, y si las fronteras del yacimiento no influyen el comportamiento de la presión, el flujo comienza a converger radialmente hacia el sistema pozo – fractura. Este periodo es el periodo de flujo pseudoradial y comenzará realmente después de un tiempo adimensional de:

2.5 para bajaDxf fDt C> (8.50)

5 para altaDxf fDt C> (8.51) Este periodo es llamado periodo de flujo pseudoradial debido a que es idéntico al caso de yacimiento radial pero con un factor de daño negativo causado por la presencia de la fractura. Durante este periodo el comportamiento de la presión está descrito por:


357

srx

tPw

fDxfD ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 404.0ln5.0 2

2

(8.52)

Si se alcanza el flujo pseudoradial, entonces las técnicas convencionales (por ejemplo, semilog) pueden usarse. La Fig. 8.22 muestra el comportamiento general de un pozo con una fractura vertical de conductividad finita para dos casos: Caso I: comportamiento de la fractura de baja conductividad, por ejemplo CfD=0.1 y Caso II: fractura que tiene una alta capacidad de almacenamiento y alta conductividad, por ejemplo CfD=500. Esta figura muestra que el comportamiento de la presión a tiempos tempranos de un pozo con una fractura de conductividad finita incluye varios regímenes de flujo. Un breve resumen de las características de esos regímenes son: (a) Inicialmente, es una fractura de flujo lineal caracterizada por una línea recta de pendiente ½ (no mostrada en la figura debido a que generalmente es muy corta). Los puntos A, F y L, realmente representan el final de este régimen de flujo. (b) Después de un periodo de transición, las curvas muestran un periodo de flujo bilineal, indicado por una línea recta de pendiente ¼. Los segmentos B-C y G-H representan este régimen. La línea de flujo bilineal no es probable sin embargo es observada en el caso de una alta conductividad de la fractura. (c) Como el tiempo incrementa, un periodo de flujo lineal en la formación podría desarrollarse, y puede ser identificado mediante una línea recta de pendiente 0.5. El segmento I-J (caso II) representa una fractura con alta conductividad CfD >300. (d) Eventualmente, en ambos casos, el sistema alcanza el régimen de flujo radial. EJEMPLO Usando los siguientes datos y los datos de prueba de presión dados en la tabla 8.1, encontrar la permeabilidad., factor de daño, y conductividad de la fractura para una fractura del yacimiento. q = 1100 BPD φ = 15 % µ = 0.53 cp B = 1.37 rb/STB rw = 0.328 ft Pwf = 4668.9 psi h = 18 ft ct = 1.3x10-5 psi-1 tp = 22.3 hrs

SOLUCION Se construyeron tres gráficos para trabajar este ejemplo. Un gráfico de presión y derivada de presión, un gráfico Horner y uno de presión vs. ∆t1/4 los cuales se presentan en las Figs. 8.23, 8.24 y 8.25, respectivamente. Los puntos de derivada de presión fueron estimados usando la Ec. 1.63 y un factor de ajuste de 0.2. Los siguiente parámetros fueron leídos de las gráficas. Del gráfico de Horner:


358

Tabla 8.3. Datos de prueba de presión

t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa0.0000 32191 0.0639 36121 1.570 39197 5.38 39852 14.90 40402 29.90 409090.0030 32342 0.0667 36306 1.730 39259 5.40 39851 15.40 40421 30.90 409340.0056 32494 0.0833 37031 1.900 39304 5.57 39865 15.90 40443 31.90 409610.0093 32670 0.100 37339 2.067 39349 5.73 39881 16.40 40462 32.90 409860.0111 32814 0.117 37490 2.233 39398 5.90 39933 16.90 40462 33.90 410120.0139 32979 0.133 37592 2.400 39438 6.07 39945 17.40 40503 34.90 410330.0167 33144 0.150 37683 2.567 39495 6.40 39939 17.90 40524 35.90 410550.0194 33306 0.167 37770 2.733 39535 6.90 39972 18.40 40540 36.90 410600.0222 33476 0.183 37843 2.900 39593 7.40 40008 18.90 40561 37.90 410990.0250 33642 0.200 37906 3.067 39627 7.90 40043 19.40 40591 38.90 411190.0279 33912 0.217 37962 3.233 39655 9.40 40073 19.90 40597 39.90 411480.0306 33982 0.233 38010 3.400 39669 9.90 40103 20.40 40616 40.90 411610.0333 34155 0.317 38225 3.533 39693 9.40 40135 20.90 40635 41.90 411610.0361 34329 0.400 38312 3.733 39704 9.90 40163 21.40 40653 42.90 412030.0389 34507 0.483 38489 3.900 39720 10.40 40186 21.90 40669 43.90 412180.0417 34665 0.567 38603 4.067 39764 10.90 40211 22.40 40684 44.90 412350.0444 34861 0.650 38687 4.233 39755 11.40 40235 22.90 40703 45.90 412530.0472 35042 0.733 38783 4.400 39766 11.90 40262 23.90 40734 46.90 412710.0500 35202 0.817 38878 4.567 39782 12.40 40263 24.90 40765 47.90 412860.0528 35384 0.900 38985 4.733 39795 12.90 40315 25.90 40804 0.0556 35568 1.067 39061 4.900 39809 13.40 40335 26.90 40829 0.0583 35751 1.233 39107 5.067 39824 13.90 40359 27.90 40855 0.0611 35937 1.400 39148 5.233 39835 14.40 40360 28.90 40882

De la gráfica semilog, m = 717.5 psi/ciclo, P1hr = 5125 psi y P* = 6106 psi. Del gráfico bilineal mbf = 405 psi/hr0.25. De la Ec. 4.7:

( ) mdmh

Bqk 9.918)5.717(

)37.1)(52.0)(1100)(6.162(6.162==−=

µ

De la Ec. 4.2;

7.42275.3)328.0)(103.1)(53.0)(15.0(

9.9log5.717

9.466851251513.1 25 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= −x

s

Lo cual indica un tratamiento de fractura exitoso. Usando la Ec 8.40:


359

( )ftmd

xkchmBqwk

tbff −=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−33.7308

)9.9)(103.1)(53.0)(15.0()18)(405()37.1)(53.0)(1100(13.4413.44

2

4 5

2

4/1µφµ

8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS Esta sección presenta la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación de gráficas log-log de presión y derivada de presión sin usar curvas tipo para el ajuste. Para el caso de una fractura de flujo uniforme, los gráficos de derivada de presión para varias relaciones xe/xf revelan tres regímenes de flujo dominantes. Durante tiempos tempranos el flujo de fluidos es lineal y puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.5. La línea de flujo lineal es usada para calcular la longitud media de la fractura. El régimen de flujo radial de acción infinita, el cual puede ser identificado por una línea recta horizontal, es dominado por xe/xf > 8. Este régimen de flujo es usado para calcular permeabilidad y daño. La tercera línea recta, la cual corresponde al régimen de flujo pseudoestable y presenta una pendiente unitaria. Esta línea es usada para calcular el área de drene y el factor de forma. Para el caso de fractura de conductividad infinita, los gráficos de derivada de presión muestran un cuarto régimen de flujo dominante, llamado aquí como flujo biradial. Este régimen de flujo, el cual puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.36, puede también ser usado para calcular la longitud media de fractura y la permeabilidad. 8.9.1. Introducción Puthigai y Tiab extendieron la aplicación de a función de derivada de presión a pozos fracturados verticalmente en un yacimiento infinito. Ellos hicieron uso de ajuste por curvas tipo para interpretar esta función. Fueron investigados los modelos de fracturas de flujo uniforme y de conductividad infinita. Wong y otros analizaron el comportamiento de las curves de derivada de presión ara un pozo con una fractura de conductividad finita, daño y almacenamiento durante condiciones de flujo bilineal. Chukwu usó la técnica de ajuste por curvas tipo para analizar la presión y derivada de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Tiab introduce una nueva técnica para la interpretación de pruebas de transiente de presión, llamada Tiab’s Direct Synthesis Technique la cual usa los gráficos log-log de presión y derivada de presión versus tiempo para calcular parámetros de yacimiento tales como daño, almacenamiento, permeabilidad, y longitud media de fractura sin usar la técnica de ajuste con curvas tipo y empleando ciertas “huellas digitales” halladas en el gráfico de presión y derivada de presión. El propósito de esta sección es aplicar la Tiab’s Direct Synthesis Technique para un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado. Las suposiciones usuales a aplicar, son por ejemplo que el medio poroso es isotrópico, horizontal, homogéneo,


360

uniforme en espesor y tiene permeabilidad constante. Además, la fractura penetra completamente la extensión vertical de la formación y es la misma longitud en ambos lados del pozo. La caída de presión adimensional de un pozo ubicado en el centro de una fractura de plano vertical en un yacimiento limitado puede ser generalizada así:

]

2 2

0

2 2

2 1 2 exp 4 '1

sin /1 2 exp 4 ' cos( / )

/1

tDA

DAD

f eDA D f e DA

f e

yeP n txn e

y m x xem t m x x x dtx m x xm e

π π

ππ π

π

⎛ ⎞⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎜ ⎟= + −∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ′⋅ + − ⎜ ⎟∑ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡⎢⎣

(8.53)

donde el tiempo adimensional y la presión del pozo adimensional son definidas por las siguientes ecuaciones:

Acktt

tDA µφ

0002637.0= (8.53.a)

BqPkh

PD µ2.141∆

=

Donde ∆P es igual a Pi - Pwf para pruebas de declinación de presión y Pws - Pwf (∆t=0) para pruebas de restauración de presión. La presión de pozo adimensional de un flujo uniforme se puede obtener de la Ec. 8.53 a xD = 0. Asumiendo una geometría cuadrada, por ejemplo xe = ye, y una fractura de flujo uniforme, la derivada de la Ec. 8.53 con respecto al tiempo adimensional tDA es:

2 2 2 2 sin /' 2 1 2 exp( 4 ) 1 2 exp( 4 )

/1 1

f eDA DAD

f e

m x xP n t m t

m x xn m

ππ π π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤∞ ∞⎢ ⎥⎢ ⎥= + − + −∑ ∑⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (8.54)

La presión adimensional de un pozo interceptado por una fractura vertical de conductividad infinita se puede obtener de la Ec. 8.53 a xD = 0.732. La derivada de la presión de pozo adimensional para un cuadrado es:

2 2 2 2 sin /' 2 1 2 exp( 4 ) 1 2 exp( 4 ) cos(0.732 / )

/1 1

f eDA DA f eD

f e

m x xP n t m t m x x

m x xn m

ππ π π π

π

⎡ ⎤⎡ ⎤∞ ∞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥= + − + − ⎜ ⎟∑ ∑⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥= =⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.55) Se pueden derivar ecuaciones similares para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento rectangular. Por lo tanto, para un rectángulo dos a uno, simplemente el grupo xe = 2ye en la Ec. 8.53 y entonces tomar la derivada con respecto a tDA. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional para pozos fracturados verticalmente en el


361

centro de un sistema cerrado ha sido ya discutido por Gringarten y otros. Chukwu generó curvas tipo para varios sistemas rectangulares usando funciones de presión y abogando a las técnicas de ajuste de curvas tipo, como una herramienta para el análisis de pruebas de transiente de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Los problemas con el ajuste de curvas tipo son bien conocidos como lo puntualizó Tiab y por lo tanto no serán discutidos aquí. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional y la derivada de presión versus el tiempo tiene varias características únicas que pueden ser usadas para interpretar pruebas de presión de pozo sin la necesidad de la técnica de ajuste de curvas tipo. 8.9.2. Características de una Fractura de Flujo Uniforme La Fig. 8.26 muestra un gráfico log-log de la presión y el grupo de derivada de presión versus el tiempo adimensional para tres valores de xe / xf. Estas curvas tienen varias características únicas, que pueden ser usadas para interpretar las pruebas de transiente de presión en pozos fracturados sin usar el ajuste con curvas tipo.

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10


P D

y t D

A*P

D'

tDA

Flujo radial

Flujo uniformeFlujo lineal

xe/xf=8

xe/xf=4

xe/xf=1

Fig. 8.26. Fractura de Flujo Uniforme en un Cuadrado 1) Para fluidos a tiempos cortos de producción el flujo en la fractura es lineal. La

duración de este régimen de flujo es una función de la relación de penetración xe/xf. La ecuación correspondiente a esta línea recta a tiempos tempranos es:


362

DAf

eDDA t

xxPt ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= 772.1' (8.56)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación producirá:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

f

eDADDA x

xtPt

πloglog5.0)'*log( (8.57)

La pendiente de esta línea recta es 0.5, la cual es de por si una característica única del régimen de flujo lineal. Sustituyendo por los términos adimensionales en la Ec. 8.56 y solucionado para la derivada de presión del pozo se tiene:

tmPt L5.0'* =∆ (8.58)

5..0

2064.4 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ftL xkch

qBmφµ

µ (8.59)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.24: log ( * ') 0.5 log log (0.5 )Lt P t m∆ = + (8.60) Esta expresión muestra que un gráfico de t*∆P’ medido versus tiempo en un gráfico log-log producirá una línea recta de pendiente 0.5 si el régimen de flujo lineal es el dominante. Permitir que (t*∆P’)L1 sea el valor del producto t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta de flujo lineal (extrapolada, si es necesario); entonces combinando las Ecs. 8.58 y 8.59 y solucionando para la longitud media de fractura xf se obtiene:

5.0

1)'*(032.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=kcPth

Bqx

tLf φµ

(8.61)

La ecuación de la porción de línea de flujo lineal de la curva de presión es:

tmP L=∆ (8.62) Sea (∆P)L1 el valor de ∆P en la línea recta (extrapolada si es necesario) a un tiempo t=1 hr. Así, después sustituyendo por mL de la Ec. 8.62, se tiene:


363

0.5

14.064 ( )f L t

qBx h P c k

µφ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠ (8.63)

Se puede derivar una expresión útil mediante la combinación de las Ecs. 8.58 y 8.62 a un tiempo t = 1 hr:

1 1( * ') 0.5( )L Lt P P∆ = ∆ (8.64) Generalmente, las condiciones cercanas a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo lineal. En tal caso, se debe calcular la longitud media de la fractura de la línea de pendiente ½ de la curva de presión, usando la Ec. 8.63. Entonces, calcular (t*∆P’)L1 de la Ec. 8.64 y dibujar una línea recta de pendiente 0.5 a través de este punto. Esta línea corresponde a la línea de flujo lineal de la curva de derivada de presión. 2) Siguiendo el régimen de flujo lineal es la línea de flujo radial de acción infinita

(horizontal), como se muestra en la Fig. 8.26. Este régimen de flujo es dominante solo si la relación de penetración xe/xf es mayor que 8. La ecuación correspondiente a esta segunda línea recta está descrita por:

5.0'* =DDA Pt (8.65)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para la permeabilidad producirá:

70.6( * ')r

q Bk h t P

µ= ∆ (8.66)

donde el subíndice r se usa para línea de flujo radial. 3) Para tiempos de producción largos, la función derivada de presión producirá una

línea recta de pendiente unitaria. Esta línea corresponde al régimen de flujo del estado pseudoestable, comienza en un valor de tDA de aproximadamente 0.2. La ecuación de esta línea recta es:

DADDA tPt π2'* = (8.67)

Sustituyendo por los términos adimensionales se obtiene:

tAc

qBPtt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

φ27.4'* (8.68)


364

Esta expresión puede ser usada para calcular el área de drenaje por la obtención de (t*∆P’)p1 de la gráfica y resolviendo la Ec. 8.68 para A. (t*∆P’)p1 es el valor de la derivada a un tiempo de t=1 hr en la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). 4) La presión adimensional durante el flujo en estado pseudoestable es una función

lineal del tiempo adimensional. La ecuación correspondiente a este régimen es:

/2.24582 ln( ) lnD DA e f

AP t x x

Cπ= + (8.69)

Tomando la relación de las Ecs. 8.69 y 8.67 se tiene:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

Af

e

DDDA

D

Cxx

tPtP 2458.2ln2

11'* π (8.70)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para el factor de forma CA se tiene:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆

∆−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

ps

ps

t

ps

f

eA Pt

PAckt

xxC

)'*()(

1000527.0

exp2458.2

2

φµ (8.71.a)

2

2458.2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eA x

xC si (∆P)ps = (t*∆P’)ps (8.71.b)

Donde tps es cualquier tiempo conveniente durante la porción de línea del estado pseudoestable de las curvas. (∆P)ps y (t*∆P’)ps son valores de ∆P y t*∆P’ correspondientes a tps, respectivamente. 5) El punto de intersección de la línea del flujo lineal y la línea del flujo radial de

acción infinita es único. Las coordenadas de este punto se puede obtener mediante la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.65, y resolviendo para el tiempo adimensional producirá

2

41

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDALRi x

xt π (8.72)


365

Donde el subíndice L y R representan lineal y radial, respectivamente; e i intersección. Sustituyendo la Ec. 8.53.a, donde A=4xe

2, dentro de esta ecuación y despejando la relación xf

2/k, se obtiene:

t

LRif

ct

kx

φµ1207

2

= (8.73) Esta ecuación preferiblemente debería ser usada para verificar la exactitud de los valores de permeabilidad y la longitud media de fractura obtenidos de las Ecs. 8.66 y 8.61, respectivamente. 6) La línea de flujo lineal y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

2

41

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eDALPi x

xt π (8.74)

Esta ecuación es obtenida por la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.67. El subíndice L y P corresponden para lineal y pseudoestable, respectivamente. Sustituyendo para el tiempo adimensional de la Ec. 8.53.a se tiene:

LPi

tf t

Ackx

22 7544φµ

= (8.75) Esta ecuación se puede usar para propósito de verificación o para calcular k dado que xf es conocido. 7) La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable a tiempos tardíos

interceptan en:

π41

=DARPit (8.76) Sustituyendo la Ec. 8.53.a en la Ec. 8.76 y despejando para A se tiene:

t

RPic

ktA µφ77.301= (8.77)

8) Combinando las Ecs. 8.72, 8.74 y 8.76, se puede ver que los tiempos de

intersección de las líneas rectas correspondientes a los tres regímenes de flujo están relacionados por la siguiente relación:


366

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛===

f

e

LPi

LRi

LPi

RPi

RPi

LRi

xx

tt

tt

tt

(8.78)

Esta expresión se puede usar para propósitos de verificación. También se usa cuando se diseña una prueba de transiente de presión en un pozo interceptado por una fractura vertical. 9) El factor de daño se puede calcular de:

( )( ) 20.5 ln 7.43

* 'r R

t wr

P k tst P c rφµ

⎧ ⎫⎛ ⎞∆⎪ ⎪⎨ ⎬= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (8.79)

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y (∆P)r es el valor de ∆P correspondiente a tr. 10) El efecto del almacenamiento en pozos fracturados verticalmente usando la Tiab’s

Direct Synthesis Technique la será discutida por separado. Sin embargo, si se observa línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento es observada, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab se pueden aplicar para calcular el coeficiente de almacenamiento. Por lo tanto, del punto de intersección de la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita. El coeficiente de almacenamiento es:

USRitkhC ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

µ1695 (8.80)

donde tUSRi es el tiempo de intersección de las dos líneas rectas. 8.9.3. Características de una Fractura de Conductividad Infinita La Fig. 8.27 es un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versus tDA para una fractura vertical de conductividad infinita dentro de un sistema cuadrado. Esta figura muestra la existencia de cuatro líneas rectas: (a) la línea de flujo lineal de pendiente 0.5, (b) línea de flujo biradial de pendiente 0.36, (c) línea de flujo radial de acción infinita (línea horizontal), y (d) línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente unitaria. Para xe/xf > 8, el régimen de flujo lineal es casi inexistente, y la línea de flujo biradial es observada primero. Para xe/xf < 8, es la línea de flujo radial la que desaparece. Únicamente las características del régimen de flujo biradial serán discutidas aquí. Las características e interpretación de los otros tres regímenes de flujo


367

(lineal, radial y pseudoestable) son las mismas que se discutieron anteriormente para fractura de flujo uniforme.

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10


P D

y t D

A*P

wD

'

tDA

Flujo radial

Conductividad infinitaFlujo bilineal

xe/xf=16

xe/xf=4

xe/xf=2flujo biradial

Fig. 8.27. Fractura de conductividad infinita en un cuadrado 1) La ecuación de la línea de flujo biradial es:

36.072.0

769.0'* DAf

eDDA t

xxPt ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.81)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación produce:

0.72

log ( * ' ) 0.36 log log 0.769 eDA D DA

f

xt P tx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.82)

La Ec. 8.81 fue derivada tomando los puntos correspondientes a esa línea recta, y entonces aplicando un análisis de regresión multivariada, la Ec. 8.81 se convierte en:

36.02

769.0'* txxCPt

f

eBR ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=∆ (8.83)


368

donde:

36.0

268.7 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ack

khBq

Ct

BR φµµ

(8.84)

Tomando el logaritmo de la Ec. 8.83 se tiene:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∆

72.0

7699.0loglog36.0'*logf

e

xxCtPt BR (8.85)

Así, la línea de flujo biradial se puede identificar por su pendiente de 0.36. Es importante no confundir esta línea biradial con la línea de flujo lineal debido a que sus pendientes (0.5 y 0.36) son relativamente cercanas. Sea (t*∆P’)BR1 el valor de t*∆P’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.83 se puede usar para calcular la longitud media de fractura xf si el régimen de flujo lineal no es observado:

1.388

10.694

( * ')BR

fBR

Cx xe t P=

∆⎡ ⎤⎣ ⎦ (8.86)

Donde CBR es calculado de la Ec. 8.84, y la permeabilidad de la línea de flujo radial de acción infinita (Ec. 8.65). 2) Estos tiempos de intersección de la línea de flujo biradial y a línea de flujo lineal se

puede determinar por combinación de las Ecs. 8.66 y 8.81:

2

00257.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDALBRi x

xt (8.87)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para xf

2/k produce:

t

LBRif

ct

kx

φµ39

2

= (8.88) Si el flujo radial de acción infinita está bien definido, calcular k de la Ec. 8.32, entonces calcular la longitud media de la fractura de la Ec. 8.61 (si el régimen de flujo lineal es dominante) o de la Ec. 8.86 (si el régimen de flujo biradial es mucho más dominante). Sin embargo para xe /xf <8, el régimen de flujo radial de acción infinita es de vida muy


369

corta o esencialmente inexistente. En este caso, la permeabilidad puede ser calculada de:

( ) LBRitPthBqk

L

1

'*67.12

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆=

µ (8.89)

Esta ecuación fue derivada por combinación de las Ecs. 8.61 y 8.88. 3) Para xe /xf > 8 el régimen de flujo lineal no es generalmente dominante y por lo tanto la línea recta correspondiente a este régimen no será observada. En este caso es mejor usar el tiempo de intersección de la línea de flujo biradial y la línea de acción infinita para verificar los valores de k y xf:

2

3023.0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

fDARBRi x

xt (8.90)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para la relación xf

2/k dada:

t

RBRifx

ct

k φµ4587

2

= (8.91) Esta ecuación también puede usarse para calcular la longitud media de fractura xf, si k puede ser determinada de la línea de acción infinita, por ejemplo la Ec. 8.88. 4) El tiempo de intersección de la línea de flujo biradial y la línea de estado pseudoestable se puede obtener combinando las Ecs. 8.81 y 8.67:

125.1

03755.0 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

eDAPBRi x

xt (8.92)

Sustituyendo el tiempo adimensional y resolviendo para k se tiene:

125.13.142

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

f

e

PBRi

t

xx

tAc

kφµ

(8.93)

5) Varias relaciones útiles se pueden derivar mediante la combinación de las ecuaciones del tiempo de intersección. Por lo tanto, combinando las Ecs. 8.88 y 8.91 se tiene:


370

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10

Estado pseudoestablet D

A*P

D'

tDA

Flujo radial

Flujo uniforme

Flujo lineal

xe/xf=16

xe/xf=4

Cuadrado4:1R

Fig. 8.28. Fractura de flujo uniforme en un cuadrado y un rectángulo 4:1

itt LBRRBRi 6.117= (8.94) De las Ecs. 8.90 y 8.92 se puede derivar:

PBRie

fRBRi t

xx

t

125.2

8 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (8.95)

Estas ecuaciones se pueden usar para propósitos de verificación o para diseño de pruebas de transiente de presión. 8.9.4. Sistemas Rectangulares Para un sistema rectangular, la transición entre el flujo radial de acción infinita y el flujo de estado pseudoestable, para ambos tipos de fractura, es mucho más largo que para uno cuadrado. Para un rectángulo 4:1, por lo tanto, este periodo de transición producirá una línea recta de pendiente 0.5, como muestra la Fig. 8.28. Esta línea recta corresponde al efecto de dos fronteras paralelas cerradas. La ecuación de esta línea recta es:


371

DADDA tPt 545.3'* = (8.96) Sustituyendo por los términos adimensionales se tiene:

tmPt CB=∆ '* (8.97) Donde el subíndice CB corresponde a las fronteras paralelas cerradas, y mCB está dada por:

5.0128.8 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kAchqB

mt

CB φµ

(8.98)

Sea (t*∆P’)CB1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario). Luego, se despeja permeabilidad o el área de drene de las Ecs. 8.97 y 8.98. Si la línea de flujo radial de acción infinita no es observada, tal como cuando xe/xf < 8, entonces la permeabilidad es:

25.05.0

1)'*(85.2 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=

AcPthqBk

tCB φµ

(8.99)

Las ecuaciones para el tiempo de intersección de la línea de fronteras paralelas cerradas con las otras líneas, por ejemplo la línea de flujo radial de acción infinita y la línea de flujo del estado pseudoestable se pueden derivar fácilmente mediante la combinación de las Ecs. 8.65 y 8.67, respectivamente, con la Ec. 8.96. La línea de fronteras paralelas cerradas y la línea de flujo lineal a tiempos tempranos tienen la misma pendiente, 0.5. Sin embargo, las constantes 1.772 (Ec. 8.56) y 0.769 (Ec. 8.81) cambian con una relación del lado largo al lado corto, ye/xe. Esto afectará las ecuaciones del tiempo de intersección involucradas con las líneas de frontera biradial y lineal. 8.9.5. Procedimientos Una prueba de transiente de presión en un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado, producirá todas las líneas rectas necesarias para calcular la longitud media de fractura, permeabilidad, daño, área de drene y factor de forma a partir de las técnicas convencionales. Sin embargo, en muchos casos las pruebas son muy cortas para observar la línea de flujo de estado pseudoestable, o la línea del régimen de flujo lineal no está bien definida debido a la falta de puntos, tales como cuando la relación de penetración xe/xf es muy alta. En tales casos, el ajuste con curvas tipo fue la única alternativa para las técnicas convencionales. Sin embargo, aún con la adición de la curva de derivada de presión, encontrando un ajuste único mediante una simple


372

comparación de formas es todavía uno de los principales problemas de la técnica de ajuste con curvas tipo. La técnica propuesta aquí se ilustra para el caso de un pozo fracturado en un cuadrado. CASO 1 FRACTURA CON FLUJO UNIFORME El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso ideal donde todas las líneas rectas necesarias están bien definidas. Paso 1 – Grafique los valores de cambio de presión del pozo (∆P) y de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo. La presencia de una línea recta de pendiente 0.5 (régimen de flujo lineal) seguida por una línea recta horizontal (régimen de flujo radial) indica que el pozo está interceptado por una fractura de flujo uniforme. Una tercera recta de pendiente 0.5 indica un sistema cerrado. Paso 2 – Lea el valor de (t*∆P’)r correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita. Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66. Paso 4 – Obtener el valor de (t*∆P’) a un tiempo t = 1 hr de la línea de flujo lineal (extrapolada si es necesario), (t*∆P’)L1. Paso 5 – Calcular la longitud media de fractura xf de la Ec. 8.61. Si la porción de línea de flujo lineal de (t*∆P’) es muy corta o muy distorsionada por el efecto de la cercanía a la cara del pozo y ruido, entonces xf podría ser determinada de la línea de pendiente ½ de ∆P, usando la Ec. 8.63. Use la Ec. 8.64 para dibujar la línea de pendiente ½ de la curva de derivada de presión. Paso 6 – Determinar el tiempo de intersección de la línea de flujo lineal y radial de la gráfica, por ejemplo tLRi , usando la curva (t*∆P’). Paso 7 – Calcule la relación xf

2/k de la Ec. 8.73. Luego calcule esta relación usando valores de k y xf obtenido en los pasos 3 y 5, respectivamente. Si las dos relaciones son aproximadamente iguales, entonces los valores de k y xf son correctos. Si esas relaciones son significativamente diferentes, trasladar una o ambas líneas rectas, y repetir los pasos del 2 al 7 hasta que las relaciones sean iguales. Generalmente, los valores de derivada de presión durante el régimen de flujo lineal probablemente son más distorsionados debido a problemas mecánicos, almacenamiento y daño. Por consiguiente, si la línea de flujo radial de acción infinita está bien definida, entonces la línea de flujo lineal es probablemente la única que se pudiese trasladar. Un traslado hacia la izquierda disminuirá el valor de xf y un traslado hacia la derecha lo incrementará. Paso 8 – Lea el valor de (t*∆P’)p1 de la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). Calcule el área de drene usando la Ec. 8.68. Paso 9 – Obtenga el tiempo de intersección de la línea de acción infinita y la línea de estado pseudoestable, tRPi, de la gráfica, y calcule A de la Ec. 8.77. Si los dos valores de A en los pasos 9 y 10 son aproximadamente iguales, entonces A es correcta. Si éstos son claramente diferentes entonces trasladar hacia la izquierda o derecha y repetir los pasos 8, 9 y 10 hasta que la Ec. 8.68 y 8.77 den los mismos valores de A.


373

Paso 10 – Seleccionar cualquier valor conveniente de tiempo tr durante el periodo de acción infinita y leer el valor correspondiente de (∆P)r; luego calcule el factor de daño de la Ec 8.79. Paso 11 – Leer el valor de ∆P y (t*∆P’) correspondiente a cualquier tiempo tps durante la porción de flujo de estado pseudoestable de las curvas, y calcular el factor de forma CA de la Ec. 8.71. La Fig. 8.26 muestra que para xe/xf < 8 el régimen de flujo radial de acción infinita no es el dominante. Así no se puede dibujar la línea horizontal correspondiente a este régimen de flujo. En este caso usar los siguientes pasos: 1. Calcular la longitud media de fractura de la línea de flujo lineal (Pasos 4 y 5 del Caso 1). 2. Use la línea de flujo de estado pseudoestable para calcular A (Pasos 8 y 9 del caso 1). 3. Calcule la permeabilidad del tiempo de intersección de las dos líneas rectas y de la Ec. 8.75. Calcule el valor de (t*∆P’)r de la Ec. 8.66, entones calcular el factor de daño de la Ec. 8.79 (Paso 10). CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA A. Régimen de Flujo Lineal

Si todas las tres líneas rectas usadas en el Caso 1, la línea de flujo lineal, línea de flujo radial de acción infinita y línea de flujo de estado pseudoestable, están disponibles, entonces el paso 11 del procedimiento usado para analizar una prueba de transiente de presión en una fractura de flujo uniforme es exactamente la misma que para una fractura de conductividad infinita.

B. Régimen de Flujo Biradial En muchas pruebas la porción de línea de flujo lineal de curva de la fractura de conductividad infinita es muy corta o inexistente, como se muestra en la Fig. 8.28 para relaciones xe/xf altas. Así solo las líneas biradial, de acción infinita, y de estado pseudoestable pueden ser observadas. En este caso el siguiente procedimiento es recomendado.

Paso 1 - Grafique ∆P y (t*∆P’) versus tiempo de prueba en una gráfica log-log, y trace las líneas rectas necesarias, por ejemplo la línea de flujo biradial de pendiente 0.36, la línea de acción infinita (horizontal) y la línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente 1. Paso 2 – Igual que el Paso 2 del Caso 1. Paso 3 - Igual que el Paso 3 del Caso 1. Paso 4 - Igual que el Paso 8 del Caso 1. Paso 5 - Igual que el Paso 9 del Caso 1. Paso 6 – De la línea de flujo biradial (extrapolada si es necesario) leer el valor de (t*∆P’)BR1 a un tiempo t = 1 hr.


374

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100 1000

∆P y

t*∆

P'

Tiempo, hr

tLRi=1.2(t*∆P')r=105.5

(∆P)r=105.5

tr=48

(t*∆P')L1=105.5

Fig. 8.29. Curvas de presión y derivada de presión Paso 7 – Calcule el término CBR de la Ec. 8.84, luego calcule la longitud media de fractura xf usando la Ec. 8.86. Paso 8 – De la gráfica, determine el tiempo de intersección de la línea de flujo radial y la línea de flujo biradial, tRBRi, luego calcule xf

2/k de la Ec. 8.91. Paso 9 - Calcular xf

2/k usando los valores de k y xf obtenidos en los Pasos 3 y 7, respectivamente. Si los Pasos 8 y 11 dan el mismo valor de xf

2/k, entonces los valores de k y xf son correctos. Si éstos son diferentes, entonces traslade una o ambas líneas rectas (biradial y de acción infinita), y repetir los Pasos 2, 3, 6, 7, 8 y 9 hasta que los Pasos 8 y 9 den el mismo valor de xf

2/k. Paso 10 – Igual al Paso 10 del Caso 1. Paso 11 – Igual al Paso 11 del Caso 1. C. Regímenes de Flujo Lineal y Biradial

La Fig. 8.27 indica que para xe/xf = 2, ambas líneas de flujo lineal y flujo biradial pueden observarse. En este caso, la escogencia del procedimiento depende de cual de las dos líneas está mejor definida. La Fig. 8.27 también muestra que para 1 <xe/xf < 8 la línea horizontal correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita puede ser muy corta para ser observada. En este caso, la longitud media de fractura se calcula como se discutió en el Caso 1 (Pasos 4 y 5), y la permeabilidad se calcula del punto de intersección de las líneas de flujo lineal y biradial, por ejemplo la Ec. 8.89. Use la Ec. 8.88 para propósitos de verificación.


375

Tabla 8.4. Datos de Presión

t, hrs P, psi t*∆P’, psi



0.010000 5180.516 9.23087 0.229087 5114.365 36.27736 5.248075 4914.153 91.713160.012023 5178.636 10.54014 0.275423 5107.467 38.73384 6.309573 4897.025 93.796190.014454 5176.577 11.72241 0.331131 5100.102 41.37633 7.585776 4879.542 95.613360.017378 5174.322 12.82671 0.398107 5092.232 44.22563 9.120109 4861.749 97.188160.020893 5171.855 14.01576 0.478630 5083.817 47.29661 10.964780 4843.691 98.544710.025119 5169.160 15.28467 0.575440 5074.815 50.59502 13.182570 4825.404 99.704230.030200 5166.224 16.62967 0.691831 5065.183 54.11097 15.848930 4806.922 100.693160.036308 5163.033 18.04506 0.831764 5054.879 57.81682 19.054610 4788.276 101.531870.043652 5159.574 19.52534 1.000000 5043.873 61.66244 22.908680 4769.489 102.241150.052481 5155.836 21.06790 1.202264 5032.142 65.58171 27.542290 4750.584 102.840310.063096 5151.809 22.67274 1.445440 5019.680 69.50258 33.113110 4731.580 103.343140.075858 5147.480 24.34180 1.737801 5006.494 73.34374 39.810720 4712.492 103.766270.091201 5142.837 26.08251 2.089296 4992.606 77.03471 47.863010 4693.335 104.120990.109648 5137.868 27.90302 2.511886 4978.053 80.51626 57.543990 4674.118 104.418430.131826 5132.556 29.81587 3.019952 4962.879 83.74402 69.183100 4654.853 104.667560.158489 5126.883 31.83841 3.630780 4947.134 86.69314 83.176380 4635.546 108.803410.190546 5120.828 33.98632 4.365158 4930.874 89.34966 100.00000 4616.205 120.18258

EJEMPLO Los datos de presión dados en la tabla 8.4 corresponden a una prueba de declinación de presión en un pozo fracturado altamente productivo. La derivada de presión para esta prueba fue estimada mediante la Ec. 1.63 y sus datos se reportan en la tabla 8.4. Otros datos conocidos del yacimiento y el pozo son: q = 2000 STB/D φ = 0.24 µ = 0.3 cp ct = 14.8x10-6 psi-1 B = 1.5 bbl/STB h = 50 ft rw = 0.4 ft Pi = 5200 psi

SOLUCION Paso 1 – La Fig. 8.29 muestra una grafica log-log de ∆P y (t*∆P’) versus tiempo. La curva de derivada de presión muestra la existencia de tres líneas rectas. La primera línea recta de pendiente 0.5 correspondientes al régimen de flujo lineal. La pendiente 0.5 corresponde al régimen de flujo lineal. La pendiente de la segunda línea recta es aproximadamente 0.36. Así, esta fractura de altamente conductiva puede es tratada como si tuviera conductividad infinita. La tercera línea recta es horizontal y corresponde al régimen de flujo radial de acción infinita. El pozo no fue probado por bastante tiempo para observar la línea de estado pseudoestable. La Fig. 8.29 muestra donde esta línea se ubicaría si el pozo hubiera sido probado por más tiempo y por lo


376

tanto xe = 660 ft. Puesto que la línea correspondiente al régimen de flujo de estado pseudoestable no es observada, el procedimiento presentado en el Caso 2 es modificado como sigue: Paso 2 – De la línea (horizontal) de flujo radial de acción infinita en la Fig. 8.29: (t*∆P’)r =105.5 psi Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66.

( )70.6 70.6(2000)(0.3)(1.5) 12

' 50(105.5)r

q Bk mdh t P

µ= = =

⋅ ∆

Paso 4 – De la línea del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 a un tiempo t = 1 hr: (t*∆P’)L1 = 97 psi Paso 5 - Calcule la longitud media de fractura de la Ec. 8.61.

( ) ftkcPth

BqxtL

f 4.105)12)(108.14(24.0

3.0)97(50

)5.1)(2000(032.2'*

032.25.0

6

5.0

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

= −φµ

Paso 6 – Seleccione cualquier tiempo conveniente tr durante el periodo de flujo radial de acción infinita y lea el valor correspondiente de ∆P: tr = 48 hrs (∆P)r = 507 psi Paso 7 - Calcular el factor de daño de la Ec. 8.79.

85.443.7)4.0)(108.14)(3.0)(24.0(

4812ln5.105

5075.0 26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⋅−= −s

Paso 8 - Verificación a) Calcule la relación xf

2/k usando el valor de k y xf en los pasos 3 y 5, respectivamente.

mdftkx f 2

22

5.92712

4.105==

b) Calcule la relación xf

2/k de la Ec. 8.73, donde tLRi = 1.2 hr (de la Fig. 8.29):

mdftc

tkx

i

LRif 26

2

933108.1430.024.01207

2.11207

=⋅⋅⋅⋅

== −φµ

Puesto que los dos valores de xf

2/k son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores de k, xf y s son correctos.


377

8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA

Esta sección amplia la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación del comportamiento de los datos de presión y derivada de presión de un pozo interceptado por una fractura hidráulica de conductividad finita. En esta técnica son analizados gráficos log-log de datos de presión y derivada de presión de una prueba de declinación o restauración de presión sin usar ajustes con curvas tipo o procedimientos de regresión. Un gráfico log-log de presión y derivada de presión versus tiempo de prueba para un pozo fracturado en un sistema cerrado puede revelar la presencia de varias líneas rectas correspondientes a diferentes regímenes de flujo; flujo bilineal, flujo lineal, flujo radial de acción infinita, y flujo de estado pseudoestable. Las pendientes y puntos de intersección de estas líneas rectas son únicos y por lo tanto pueden ser usados para calcular varios parámetros de pozo, yacimiento y fractura: permeabilidad, factor de daño, coeficiente de almacenamiento, conductividad de la fractura, longitud media de la fractura y área de drene.

Se encontró que las ecuaciones correspondientes a los puntos de intersección son muy útiles en el chequeo de parámetros obtenidos de las pendientes, cuando la curva de derivada de presión no es suavizada. Se deriva una nueva ecuación para calcular (a) longitud media de fractura en la ausencia de una línea recta de régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de fractura de baja conductividad, (b) conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c) factor de daño en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta. Cinco-Ley y otros presentaron una técnica para la interpretación de datos de transiente de presión para pozos interceptados por una fractura vertical de conductividad finita. Ellos demostraron que si la conductividad de la fractura adimensional, CfD, es menor que 300, tal como en fracturas muy largas y fracturas de muy baja capacidad, pues la conductividad de la fractura no puede ser considerada infinita. Cinco-Ley y Samaniego desarrollaron un método para analizar datos de presión a tiempos tempranos para un pozo con una fractura de conductividad finita. Este método está basado en el régimen de flujo bilineal, el cual está caracterizado por una línea recta de pendiente 0.25 en un gráfico log-log de caída de presión versus tiempo. Este periodo de flujo está presente cuando el flujo lineal dentro de la fractura y el flujo lineal dentro de la fractura y la formación ocurren simultáneamente. La formación de la línea de flujo lineal de pendiente = 0.5 es observada después del flujo lineal. Wong, Harrington y Cinco-Ley presentaron curvas tipo para presión y derivada de presión para el análisis de datos de transiente de presión para pozos con fractura de conductividad finita. Ellos desarrollaron un método de ajuste con curvas tipo para casos sin almacenamiento y sin efectos de daño.


378

8.10.1. Características de Fracturas de Conductividad Finita Considere un pozo fracturado verticalmente produciendo de una formación horizontal, homogénea e isotrópica. La permeabilidad es constante, el espesor es uniforme, y la fractura tiene la misma longitud en ambos lados del pozo. La teoría general y las ecuaciones del comportamiento de la presión para un pozo fracturado bajo condiciones de flujo bilineal tal como fueron presentadas por Cinco-Ley y Samaniego y Wong, Harrington y Cinco-Ley se aplican aquí. Asumiendo que el pozo fracturado está produciendo por largo tiempo para observar el comportamiento de acción infinita, y que los efectos de daño y almacenamiento son dominantes, entonces el gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión versus tiempo producirá características únicas, las cuales puede ser usadas para analizar pruebas de transiente de presión mediante Tiab’s Direct Synthesis Technique. La Fig. 8.30 muestra un gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo adimensional para varios valores de conductividad de fractura, para efectos de esfuerzos despreciables, y sin efectos de daño y almacenamiento. El efecto del daño y el almacenamiento en tal gráfica se muestran el la Fig. 8.31. De estas figuras se pueden identificar varias características únicas. Estas son: (1) La línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento, (2) La línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, (3) La línea de flujo lineal de pendiente 0.5, y (4) La línea horizontal a tiempos tardíos que corresponde al régimen de flujo radial. 8.10.2. Régimen de Flujo Bilineal Cinco-Ley y Samaniego fueron los primeros en discutir las características de este régimen de flujo. Es llamado flujo “bilineal” debido a que es el resultado de dos regímenes de flujo lineal. Un régimen de flujo es el flujo lineal incompresible de la fractura y el otro régimen de flujo es el flujo lineal compresible en la formación, como se muestra en la Fig. 8.20. Ellos mostraron matemáticamente que el flujo bilineal existe siempre que: (a) La mayoría del fluido que entra a la cara del pozo viene de la formación, y (b) Los efectos de la fractura no afectan el comportamiento del pozo. Durante el régimen de flujo bilineal mostrado en la Fig. 8.22, el comportamiento de la presión adimensional del pozo está dado por:

25.0451.2Dxf

fD

tC

PD ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.100)

Combinando las Ecs. 8.100, 8.36, 8.37 y 8.39 y despejando el cambio de presión del pozo, ∆P, se tiene:


379

25.0tmP BL=∆ (8.101)

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

fftBL wkh

Bqkc

m µφµ 25.0

13.44 (8.102)

El subíndice “BL” representa el término bilineal. Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.101 se tiene:

BLmtP loglog25.0log +=∆ (8.103) Esta expresión indica que un gráfico de ∆P versus tiempo en una gráfica log-log producirá una porción de línea recta de pendiente 0.25, si el régimen de flujo bilineal es dominante tal como en fracturas de conductividad finita con capacidad de almacenamiento adimensional pequeña, por ejemplo CfD < 300. Sea (∆P)BL1 el valor de ∆P a un tiempo t = 1 hora en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.103 se vuelve:

BLBL mP =∆ 1)( (8.104) Combinado las Ecs. 8.102 y 8.104 y resolviendo para la conductividad de la fractura, por ejemplo kfwf, se tiene:

2

1)(146.1947 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=BLt

ff PhBq

kcwk µ

φµ (8.105)


380

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03

Inicio aproximado delflujo pseudoradial

Fractura de conductividad infinita

Fin del regimen de flujo bilineal

t Dxf

P D

y

t D

xf* P

' D

CfD0.10.51.05.010.025.050.0100.0500.0

Fig. 8.30. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

P D

y

P D

'

Tiempo adimensional

CD=10000

CD=2000

CD=500

CD=20

CD=5000CD=1000

CD=200CD=0

Fig. 8.31. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente


381

La conductividad de la fractura también se puede determinar de la línea recta de la derivada de la presión correspondiente al régimen de flujo bilineal. La derivada adimensional de la presión en el pozo durante ese régimen es:

25.06127.0'* DxffDfD

DDxf twk

Pt ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛= (8.106)

Sustituyendo por los parámetros adimensionales y resolviendo para la derivada de presión del pozo, se tiene:

25.025.0'* tmPt BL ⋅=∆ (8.107) Tomando el logaritmo de ambos lados de estas ecuaciones, da:

)25.0log(log25.0)'*log( BLmtPt +⋅=∆ (8.108) Esta expresión también muestra que un gráfico log-log de (t*∆P’) versus tiempo producirá una línea recta de pendiente 0.25 si el flujo bilineal es dominante. Sea (t*∆P’)BL1 el valor de (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario) entonces la Ec. 8.108 se convierte en:

BLBL mPt 25.0)'*( 1 =∆ (8.109) Comparando las Ecs. 8.104 y 8.109, dadas a un tiempo t=1 hr:

11 )(25.0)'*( BLBL PPt ∆=∆ (8.110) La conductividad de la fractura de conductividad finita de la línea de derivada de presión es obtenida reemplazando (t*∆P’)BL1 en la Ec. 8.105 con 4(t*∆P’)BL1, así:

2

1)'*(74.121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=BLt

ff PthBq

kcwk µ

φµ (8.111)

La Ec 8.111 es muy importante en muchos aspectos, debido a: (a) Esta relaciona las funciones de presión y derivada de presión en un punto único, y (b) Esta puede ser usada para propósitos de verificación. Generalmente, las condiciones de cercanía a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo bilineal, haciendo esto difícil localizar la línea de pendiente ¼. En tal caso, estime la conductividad de la fractura de la línea de flujo bilineal de la curva de presión,


382

usando la Ec. 8.105 Entonces, estime (t*∆P')BL1 de la Ec. 8.110 y dibuje una línea recta de pendiente 0.25 a través de este punto. 8.10.3. Flujo Bilineal y Almacenamiento Si la línea recta de pendiente unitaria, que corresponde al régimen de flujo del almacenamiento está presente (lo cual no es muy común que ocurra), entonces el coeficiente de almacenamiento se puede determinar de las ecuaciones usuales por ejemplo de la curva de presión:

PtqBC

∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24 (8.112)

o de la curva derivada de presión:

'*24 PttqBC∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.113)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de presión pueden ser obtenidas por la combinación de la Ec. 8.101 y 8.112:

tC

qBtmBL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2425.0 (8.114)

Reemplazando t por tUSBLi se tiene:

3/43/424 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

qBCmt BL

USBLi (8.115)

En el punto de intersección, en la curva de presión:

25.0)()( USBLiBLUSBLi tmP =∆ (8.116) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de derivada se pueden obtener combinando las Ecs. 8.107 y 8.113; por ejemplo:

tc

qBtmBL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2425.0 25.0 (8.117)


383

Reemplazando t por t'USBLi se tiene:

t cmqBUSBLi

BL' //

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟64 3

4 3

(8.118)

y;

25.0)'(25.0)'*( USBLiBLUSBLi tmPt =∆ (8.119) Las coordenadas de los puntos de intersección en las curvas de ∆P y t*∆P' son relacionadas a continuación: t tUSBLi USBLi= 44 3/ ' (8.120)

USBLiUSBLi PtP )'*(4)( ∆=∆ (8.121) Estas dos expresiones son muy útiles para propósitos de verificación. 8.10.4. Interrelaciones entre el Flujo Bilineal y Lineal Si el régimen de flujo lineal en la formación es observado después de la línea de flujo bilineal, tal como para CfD > 300, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab para los casos de fractura de conductividad infinita y fractura de flujo uniforme se pueden usar para determinar la longitud de fractura. Brevemente, las ecuaciones descritas para el régimen de flujo lineal son:

tmP L=∆ (8.122)

tmPt L5.0)'*( =∆ (8.123) Donde:

2064.4ft

L kxchqBm

φµ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.124)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.121 y resolviendo para la longitud media de la fractura xf a un tiempo t = 1 hr se tiene:

( ) kcPhqBx

tLf φ

µ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

=1

064.4 (8.125)


384

Donde (∆P)L1 es el valor de ∆P a un tiempo t=1 hora en la porción de línea recta de pendiente 0.5 (extrapolada si es necesario). La longitud de fractura se puede determinar de la curva de derivada reemplazando (∆P)L1, en la Ec. 8.50 por 2(t*∆P’)L1, después de un tiempo t = 1 hora:

11 )(5.0)'*( LL PPt ∆=∆ (8.126) (a) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas en la curva de ∆P se pueden obtener combinado las Ecs. 8.101 y 8.122: m t m tBL L

0 25 0 5. .= (8.127) Reemplazando t por tBLLi, donde el subíndice “BLLi” representa la intersección de las líneas bilineal y de flujo lineal, se tiene:

t mmBLLiBLLi

L=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

(8.128)

BLLiLBLLi tmP =∆ )( (8.129) o;

25.0)()( BLLiBLBLLi tmP =∆ (8.130) Sustituyendo por mBL (Ec. 8.102) y mL (Ec. 8.124) en la Ec. 8.128 se tiene:

22

13910 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ff

ftBLLi wk

kxct µφ (8.131)

Resolviendo explícitamente para k se tiene:

t

BLLi

f

ff

ct

xwk

kµφ13910

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (8.132)

Las Ecs. 8.131 y 8.132 pueden ser usadas para propósitos de verificación, si todos los tres regímenes de flujo son observados. Si la prueba es muy corta para observar la línea de flujo radial, o una prueba pre-frac no es posible tal como en la formación de baja permeabilidad, entonces la Ec. 8.132 puede ser usada para calcular la permeabilidad de la formación.


385

Una relación útil para diseñar y con propósitos de verificación puede ser derivada combinando la conductividad adimensional de la fractura Ec. 8.37 y Ec. 8.128.

22

13910 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

fD

ftBLLi c

xkct φµ (8.133)

(b) Usando una aproximación similar, las coordenadas del punto de intersección de las líneas rectas bilineal y lineal en la curva de derivada, se tiene:

44

161

2' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

L

BL

L

BLBLLi m

mm

mt (8.134)

5.0)'(5.0)'*( BLLiLBLLi tmPt =∆ (8.135)

o;

25.0)'(25.0)'*( BLLiBLBLLi tmPt ⋅=∆ (8.136) Una relación entre tBLLi y t'BLLi puede ser derivada combinando las Ecs. 8.123 y 8.125:

BBLiBBLi tt '16= (8.137) Combinando las Ecs. 8.130 y 8.136 se tiene:

BLLiBLLi PtP )'*(4)( ∆=∆ (8.138) Así, es posible “ubicar” las líneas rectas correspondientes a los dos regímenes de flujo de la curva de derivada de presión a partir de la curva de presión, aún cuando los datos de derivada de presión son extremadamente ruidosos. 8.10.5. Interrelación entre el Flujo Bilineal y Radial La porción de derivada de presión correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita es una línea recta horizontal. Este régimen de flujo está dado por:

70.6( * ')rq Bt P

khµ

∆ = (8.139)


386

El subíndice r representa el flujo radial. La permeabilidad de la formación es por lo tanto:

70.6( * ')r

q Bkh t P

µ=

∆ (8.140)

donde (t*∆P’)r es obtenido por extrapolación de la línea horizontal al eje vertical. La línea del flujo radial puede también ser usada para calcular el factor de daño de:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆∆

= 43.7ln'*

)(5.0 2wt

R

R

R

rckt

PtPs

φµ (8.141)

Donde tR es cualquier tiempo conveniente durante el régimen de flujo radial de acción infinita (como el indicado por la línea horizontal en la curva de derivada de presión) y (∆P)r es el valor de ∆P en la curva de presión correspondiente a tr. La coordenada de tiempo del punto de intersección de la líneas bilineal y radial se puede determinar de una combinación de las Ecs. 8.102 y 8.107:

0 25 70 60 25. ..m t q BkhBL =

µ (8.142)

t q Bkh mRBLi

BL

0 25 70 6 4. .=

µ (8.143)

Sustituyendo por mBL de la Ec. 8.102 se tiene:

( )231677 ff

tRBLi wk

kct φµ

= (8.144)

Esta expresión preferiblemente debe ser usada para propósitos de verificación. 8.10.6. Relaciones entre Biradial y Bilineal Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de flujo bilineal y biradial en la curva de presión se pueden obtener combinado la Ec. 8.107 y 8.83:

( ) 72.04

11.0

/18.2

fefftBLBRi xxwkkc

ktµφ

= (8.144.a)


387

La conductividad de la fractura o la longitud de la fractura pueden ser obtenidas de la Ec. 8.144.a. CASOS ESPECIALES El análisis anterior asume que todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de formación y radial) son observados durante la prueba de presión y que éstos están bien definidos en la curva de derivada de presión. En muchas instancias, al menos uno de los regímenes de flujo no es observado o no está definido. Note que el flujo lineal de fractura no es discutido aquí, puesto que es prácticamente imposible observar este régimen de flujo debido al fenómeno de la cara del pozo. (a) Flujo Lineal de la Formación no es Observado. Para una fractura de baja conductividad, la línea recta correspondiente al régimen de flujo lineal probablemente no será observada. Después de la línea de flujo bilineal, la curva de derivada de presión generalmente entra a un flujo de transición. Después, si la prueba es corrida por un tiempo largo, se observa una línea horizontal en la curva de derivada de presión correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita. En este caso, la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140 y la conductividad de la fractura es determinada de la línea de flujo bilineal (Ecs. 8.105 o 8.111). En la literatura, en la ausencia de flujo lineal de la formación, la longitud media de la fractura es determinada por ensayo y error como lo discutieron Cinco-Ley y Samaniego o mediante el procedimiento de ajuste con curvas tipo. Tiab desarrolló las siguientes ecuaciones que relacionan la longitud media de la fractura (xf), permeabilidad de la formación (k), conductividad de la fractura (wfkf), y factores de daño de post-frac:

ffw

f

kwk

r

x 31739.3'1

92173.1

−= (8.145)

donde r’w es el radio efectivo del pozo:

sww err −=' (8.146)

Para una fractura con una muy alta conductividad, el término (31739k/wfkf) se aproxima a cero, como se espera, el radio adimensional efectivo del pozo rw’/xf se aproxima a 0.5. La Ec. 8.145 es derivada por generación, similarmente a Cinco-Ley y Samaniego, una curva muestra la relación rw’/xf para la conductividad adimensional de la fractura como la definida por la Ec. 8.37, y entonces se obtiene la mejor relación que represente la curva mediante un análisis de regresión multivariable (r2=0.999). Combinando la Ecs. 8.145 y 8.146 se tiene:


388

ffw

sf

kwk

re

x31739.3

92173.1

−= (8.147)

Conociendo la conductividad de la fractura (wfkf) del flujo bilineal, y la permeabilidad de formación (k) y daño (s) del flujo radial, la Ec. 8.147 se puede usar para calcular la longitud media de fractura (xf). Esta ecuación es muy sensible a los valores de daño (debido al término exponencial). (b) Flujo Bilineal no es Observado. Si la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25 no está bien definida o no se observa debido al fenómeno de cara del pozo, entonces la conductividad de la fractura (wfkf) se puede calcular de:

fw

sff

xre

kkw92173.1

31739.3

−= (8.148)

donde la permeabilidad de la formación es determinada de la Ec. 8.140 (si un pre-frac no es posible) y daño post-frac de la Ec. 8.141. La longitud media de la fractura es obtenida de la Ec. 8.125. (c) No se Observa el Flujo Radial. Para pruebas cortas tales como en formaciones de baja permeabilidad, la línea recta horizontal en la derivada de presión, que corresponde al comportamiento de acción infinita podría no ser observado durante el periodo limitado de tiempo de una prueba convencional de declinación o restauración de presión. En este caso, la Ec. 8.141 no puede ser usada para calcular el factor de daño post-frac. Si el flujo lineal de la formación y el bilineal están bien definidos en las curvas de derivada de presión y presión, entonces la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.132 (asumiendo que no hubo prueba pre-frac), mientras que el factor de daño post-frac es obtenido de:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

fffw kw

kx

rs 31739.392173.1ln (8.149)

El factor de daño post-frac puede también ser calculado mediante el método gráfico sugerido por Cinco-Ley y otros, ajuste de curvas tipo, o de la siguiente ecuación:

32

2

005.0064.018.0111.032.065.1ln

uuuuu

xrs

f

w

++++−

+= (8.150)

y;


389

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kxkw

uf

ffln (8.151)

Es importante enfatizar que valores exacto de k, xf, y wfkf solo pueden obtenerse cuando, respectivamente, los regímenes de flujo radial, lineal de la formación y bilineal están bien definidos en las curvas de presión y derivada de presión. En ausencia de cualquiera de los tres regímenes, las Ecs. 8.145 – 8.149 son de gran exactitud (con error menor al 1 %) para determinar estos parámetros. 8.10.7. Procedimiento Sistemático El fracturamiento hidráulico tiene un efecto definido sobre el comportamiento del transiente de presión. Es importante por lo tanto estimar la respuesta completa de la presión esperada usando propiedades de yacimiento asumidas y medidas, o con el más pequeño factor clave estimado en la reacción de la prueba. El diseño de la prueba es crítico ya que muchos aspectos pueden enmascarar la respuesta buscada, o puede causar una respuesta errónea debida simplemente a que se parece al comportamiento esperado. Es conveniente tomar datos de presión a intervalos cortos mientras el almacenamiento sea importante para definir mejor la porción afectada por almacenamiento de la curva de derivada de presión. Debido a los efectos del almacenamiento pueden enmascarar los regímenes de flujo bilineal y lineal de la formación (lo cual puede hacer que la prueba de presión no sea interpretable), puede ser necesario idear una prueba que minimice o elimine los efectos del almacenamiento. Los mejores resultados son obtenidos cuando el pozo es cerrado en la cara de la arena y la presión de fondo del pozo se registra continuamente durante una prueba transiente. Aunque la presión de superficie frecuentemente puede ser convertida a valores de profundidad del pozo si la información adecuada acerca del sistema del pozo está disponible, es probable que esta conversión resultara en un efecto de ruido adicional en los valores de derivada de presión. CASO 1 – CASO IDEAL (TODOS LOS 3 REGIMENES DE FLUJO SON OBSERVADOS) El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso donde todas la líneas rectas correspondientes a varios regímenes de flujo de una fractura de conductividad finita están bien definidas. Paso 1 - Grafique el cambio de presión ∆P y los valores de derivada de presión (t*∆P’) versus el tiempo e prueba. Paso 2 – Identifique y trace las líneas rectas correspondientes al almacenamiento (pendiente = 1), flujo bilineal (pendiente = 0.25), flujo lineal de la formación (pendiente = 0.5), y flujo radial de acción infinita (línea horizontal).


390

Paso 3 – Calcule el coeficiente de almacenamiento de la Ec. 8.112, si la pendiente unitaria está bien definida. Paso 4 - Calcule la permeabilidad de formación, k, de la línea de flujo radial de acción infinita en la curva de derivada de presión, usando la Ec. 8.132. Paso 5 – Lea el valor de ∆P y (t*∆P’) a un tiempo t=1 hr de la línea de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), y calcular la conductividad de la fractura (kfwf) de las Ecs. 8.105 y 8.111. Si los valores de tiempo temprano de los valores de derivada de presión están distorsionados con ruido, entonces usar la Ec. 8.110 para “ubicar” la línea de pendiente de ¼ en la curva (t*∆P’). Las Ecs. 8.105 y 8.111 de por sí producirán el mismo valor de (kfwf). Paso 6 - Calcule el tiempo de intersección de la líneas de flujo bilineal y radial usando la Ec. 8.144, y comparar con el tiempo de intersección observado en la gráfica tRBLi. Si los valores calculado y observado de tRBLi son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación, k, y la conductividad de la fractura, kfwf, son correctos. Si éstos son diferentes, ajuste una de las dos líneas rectas o ambas y recalcule k y kfwf hasta que los dos valores de tRBLi sean iguales. Paso 7 – Calcule el factor de daño de la Ec. 8.141. Paso 8 - Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Verifique este valor de xf calculando tBBLi de la Ec. 8.131 y entonces compararlo con el valor observado de tBBLi. Si estos dos valores de tBBLi son aproximadamente iguales se puede concluir que xf es correcto. Si los dos valores de tBBLi son diferentes trasladar la línea de ½ pendiente hasta que el tBBLi observado y calculado sean iguales. Paso 9 - Calcule la conductividad adimensional de la fractura (CfD) de la Ec. 8.71. Se puede observar que el índice de productividad máximo (PI) ocurre en el valor óptimo de CfD = 1.6, para cualquier formación, pozo, y material de sostén. Aunque el CfD óptimo puede no ser técnicamente o económicamente posible, si la Ec. 8.37 produce un CfD que es muy diferente de 1.6 es importante buscarlo por una razón. Generalmente, en yacimientos de baja permeabilidad, CfD=1.6 indica una larga y angosta fractura; en yacimientos de alta permeabilidad, este valor de CfD puede indicar una fractura corta y ancha. CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD BAJA (NO SE OBSERVA LA LÍNEA DE FLUJO LINEAL) Para una fractura de baja conductividad, el régimen de flujo lineal de la formación probablemente será de vida muy corta para que este bien definido, haciendo difícil trazar la línea de pendiente ½, o no será observada del todo. Pasos 1 - 7: Igual al caso ideal. Paso 8: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.147. Paso 9: Igual al caso ideal.


391

CASO 3 - FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INTERMEDIA Una prueba de presión en un pozo con una fractura de conductividad intermedia producirá todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de la formación y radial). Sin embargo, si el efecto de almacenamiento y/o ruido en los datos de presión a tiempos tempranos son severos, entonces se dificultará dibujar la línea de pendiente 1/4. Pasos 1-4: Igual al caso ideal. Paso 5: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Paso 6: Seleccione cualquier tiempo conveniente tR durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión, y lea los valores correspondientes de (∆P)r y (t*∆P’)r. Luego, calcule el factor de daño (s) de la Ec. 8.141. Paso 7: Estime la conductividad de la fractura (kfwf) de la Ec. 8.148. Paso 8: Igual que el paso 9 del caso ideal. CASO 4 PRUEBAS CORTAS POST-FRAC Para yacimientos de baja permeabilidad, la porción de la curva correspondiente al comportamiento de acción infinita radial puede no ser observado. Luego un procedimiento de ensayo y error podría ser empleado. Pasos 1-3: Igual que el caso ideal. Paso 4: El valor de permeabilidad se determina de una prueba pre-frac. Paso 5: Calcule la conductividad de la fractura (kfwf) como se discutió en el paso 5 del caso ideal. Paso 6: Calcule la longitud media de fractura (xf) como se discutió en el paso 8 del caso ideal. Paso 7: Calcule el daño a partir de la Ec. 8.149. Paso 8: Igual al paso 9 del caso ideal. Opcionalmente, puesto que se conoce la permeabilidad, (t*∆P’)r se puede despejar de la Ec. 8.140 y la línea de flujo radial puede trazarse en el gráfico de la derivada. Use la intersección de esta línea con los regímenes de flujo de la fractura para determinar la conductividad y longitud media de la fractura. EJEMPLO (Caso ideal – todos los 3 regímenes de flujo son observados) La tabla 8.5 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico de un pozo de petróleo. La derivada de presión fue calculada usando la Ec. 1.63 con un valor aproximado de 0.5. Otras características son dadas a continuación. q = 101 STB/D φ = 0.08 µ = 0.45 cp


392

10

100

1000

0.1 1 10 100

(t*∆P')R=114 psiFlujo bilinear

Flujo lineal(∆P)BL1=145 psi

(t*∆P')BL1=36 psi tR = 30 hrs

(∆P)R=471 psi

(∆P)L1=120 psi

∆ P,

t*∆ P

', p

si

Tiempo, hrs

tBBLi=1.6 psi

Flujo radial

Fig. 8.32. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 1

Tabla 8.5. Datos de presión para el caso 1

t, hrs P, psi t*∆P', psi t, hrs P, psi t*∆P', psi 0 2200 10 2545 94.86

0.001 2265 0.17 15 2590 114.80 0.23 2302 26.74 20 2623 119.91 0.39 2315 29.08 25 2646 122.82 0.6 2330 31.72 30 2671 127.40 1 2345 45.57 35 2693 132.22

1.8 2383 72.00 40 2710 137.87 2.4 2395 95.97 45 2726 127.13 3.8 2460 115.24 50 2740 116.28 4.1 2465 111.89 55 2756 107.06

4.96 2480 95.07 60 2765 99.23 6.2 2508 88.83 65 2780 93.04 8.5 2520 96.71 71 2783 86.23

ct = 17.7x10-6 psi-1 B = 1.507 bbl/STB h = 42 ft rw = 0.28 ft tp = 2000 hrs


393

SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.32 es una gráfica del cambio de presión ∆P y valores de derivada de presión (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), lineal (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 - No se observa efectos de almacenamiento (no hay línea recta con pendiente =1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede ser calculado. Paso 4 - De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r = 114 psi. Usando la Ec. 8.140, la permeabilidad de la formación es:

70.6 (70.6)(101)(0.45)(1.507) 1( * ') (42)(114)r

q Bk mdh t P

µ= = =

∆

Paso 5 – De la Fig. 8.32 el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son: (t*∆P’)L1 = 145 psi (∆P)L1 = 36 psi La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111 es:

ftmdwk ff −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−6.308

)145)(42()507.1)(45.0)(101(

)0.1)(107.17)(45.0)(08.0(146.1947

2

6


⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−96.312

)36)(42()507.1)(45.0)(101(

)05.1)(107.17)(45.0)(08.0(174.121

2

6

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producirán un valor bastante cercano de kfwf que promedia 310.8 md-ft. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección del flujo bilineal y radial es obtenido de la Ec. 8.144:

hrstRBLi 22.103)8.310()0.1(

)107.17)(45.0)(08.0(1677 23

6

=×

=−


394


t, hr P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi t*∆P', psi 0.00 2392.94 13.82 2700.80 94.233 0.10 2466.88 18.381 15.79 2713.74 91.117 0.20 2485.23 28.232 17.77 2723.70 93.808 0.35 2500.59 32.198 19.74 2734.51 100.391 0.49 2512.11 35.005 22.70 2748.44 103.060 0.74 2527.46 38.663 32.58 2791.67 126.629 0.99 2538.41 40.068 37.51 2808.59 132.807 1.23 2547.37 43.556 42.45 2826.51 147.301 1.48 2555.76 42.597 47.38 2842.86 148.902 1.97 2567.70 46.419 52.32 2857.60 133.658 2.47 2579.08 52.011 57.25 2867.60 149.436 2.96 2588.61 54.670 62.19 2883.67 161.677 3.95 2605.96 60.969 67.13 2894.05 155.966 4.94 2619.32 61.885 72.09 2906.14 153.138 5.92 2630.70 73.399 77.00 2915.52 144.986 6.91 2643.64 77.953 81.93 2925.05 150.167 7.90 2653.17 72.456 86.87 2931.59 153.702 9.87 2670.37 84.255 91.80 2942.97 155.424 11.85 2686.87 91.049 94.42 2946.95 161.724

La cual baja en el rango del tiempo de intersección observado tRBLi de la Fig. 8.32. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de permeabilidad de formación (k) y conductividad de la fractura (kfwf), son correctos. Paso 7 – Lea tR=30 horas, el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de (∆P) y (t*∆P’) son: (t*∆P’)r = 114 psi (∆P)r = 471 psi Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

4.443.7)28.0)(107.17)(45.0)(08.0(

)30)(0.1(ln114471

21

26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= −s

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125, donde a un tiempo t = 1 hr, (∆P)L1 = 120 psi.


395

ftx f 2.69)0.1)(107.17)(08.0(

45.0)120)(42(

)507.1)(101(064.4 6 =×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

De la Ec. 8.131, la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas rectas lineal y bilineal es:

hrtBLLi 1.28.310

1)2.69(*)107.17)(45.0)(08.0(1391022

6 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −

Este valor calculado de tBLLi es aproximadamente igual al valor observado tBLLi = 1.6 hrs. Así, se puede concluir que xf es correcto. Note que existe cierto ruido en los datos de derivada de presión correspondientes al flujo lineal de la formación. Por tanto, se tendría que usar la Ec. 8.147 para calcular xf:

fte

x f 58

8.310)1(31739.3

28.0

92173.14.4 =

−= −

Las Ecs. 8.125 y 8.147 producen un valor similar de longitud de fractura xf. La diferencia puede deberse a una selección inapropiada de los puntos característicos. Paso 9 – La conductividad de fractura adimensionales es:

5.4)1(2.69

8.310===

kxkw

Cf

fffD

EJEMPLO (No se observa flujo lineal en la formación)

La tabla 8.6 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. La derivada de presión fue calculada usando la Ec. 1.63 con un factor de aproximación de 0.1. Los parámetros de yacimiento y del fluido son mostrados a continuación. q = 1736 STB/D φ = 0.08 µ = 0.27 cp ct = 26.7x10-6 psi-1 B = 1.62 bbl/STB h = 152 ft rw = 0.23 ft tp = 2000 hrs


396

SOLUCION Los resultados del tratamiento son determinados usando un procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.33 muestra un gráfico de ∆P y valores de (t*∆P’) versus el tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r=160 psi. La permeabilidad es calculada de la Ec. 8.140:

70.6 (70.6)(1736)(0.27)(1.62) 2.2( * ') (152)(160)r

q Bk mdh t P

µ= = =

∆

Paso 5 – De la Fig. 8.33, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son: (t*∆P’)BL1 = 160 psi (∆P)BL1 = 40 psi La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111:


⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−4.1685

)160)(152()62.1)(27.0)(1736(

)2.2)(107.26)(27.0)(08.0(146.1947

2

6


⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−7.1685

)40)(152()62.1)(27.0)(1736(

)2.2)(107.26)(27.0)(08.0(174.121

2

6

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producen prácticamente el mismo valor de kfwf. Paso 6 – El tiempo calculado de intersección de flujo bilineal y radial se obtiene de la Ec. 8.144:

hrtRBLi 2.955)1685()2.2(

)107.26)(27.0)(08.0(1677 23

6

=×

=−


397

1

10

100

1000

0.1 1 10 100 1000

Flujo bilinear

(t*∆P')BL1=40 psi

∆ P y

t*∆

P',

psi

Tiempo, hrs

Flujo radial

tRBLi=1100 hrs

(∆P)BL1=160 psi(t*∆P')R=160 psi

(∆P)R=550 psi

tR=90 hrs

Fig. 8.33. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 La cual es muy cercana al tiempo de intersección observado tRBLi de la Fig. 8.33. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación (k) y la conductividad de la fractura (kfwf), son correctos. Paso 7 – Tome tR = 90 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión (∆P) y (t*∆P’) son: (t*∆P’)r = 550 psi (∆P)r = 160 psi Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

86.543.7)23.0)(107.26)(27.0)(08.0(

)90)(2.2(ln160550

21

26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= −s

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.147:

fte

x f 3.238

1685)2.2(31739.3

23.0

92173.186.5 =

−= −

El factor de daño puede ser calculado de la Ec. 8.151:


398

1675.1)2.2)(3.238(

1685ln =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=u

84.5)1675.1(005.0)1675.1(064.0)1675.1(18.01

)1675.1(11.0)1675.1(32.065.13.238

23.0ln 32

2

−=+++

+−+=s

El factor de daño anterior tiene una diferencia de 0.34 % comparado con el valor obtenido previamente en el paso 7. Esto también verifica la exactitud de la Tiab’s Direct Síntesis Technique. Paso 9 – La conductividad de fractura adimensional es:

21.3)2.2)(3.238(

1685===

kxkw

Cf

fffD


t, hr P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi t*∆P', psi 0.00 2366.49 17.86 2887.51 165.339 0.09 2477.83 42.947 22.72 2928.61 183.183 0.19 2525.47 61.689 27.57 2965.86 187.292 0.38 2560.88 52.580 32.43 2994.87 185.602 0.86 2606.24 64.004 37.28 3021.46 186.193 1.35 2633.69 62.758 42.14 3043.51 177.831 1.84 2652.17 61.401 47.00 3062.56 182.965 2.32 2666.25 64.754 51.85 3081.33 181.163 3.29 2691.99 84.149 56.71 3096.55 179.999 4.26 2715.88 94.770 61.56 3112.19 182.089 5.24 2735.50 101.617 66.42 3125.55 182.473 6.21 2753.70 104.906 71.27 3138.35 180.398 9.12 2797.78 118.470 76.13 3151.15 169.881 12.03 2829.78 124.277 80.99 3160.68 166.090 14.95 2858.09 148.446 85.84 3168.93 171.498

90.70 3179.45 187.917 EJEMPLO (No se observa el flujo bilineal)

La tabla 8.7 proporciona datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento y fluido son mostrados a continuación.


399

10

100

1000

0.1 1 10 100

Flujo lineal

(t*∆P')L1=44 psi

∆ P y

t*∆

P',

psi

Tiempo, hrs

Flujo radial(∆P)L1=150 psi (t*∆P')R=195 psi

(∆P)R=599.37 psi

tR=27.57 hrs

Fig. 8.34. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 q = 1343.34 STB/D φ = 0.09 µ = 0.208 cp ct = 30.36x10-6 psi-1 B = 1.782 bbl/STB h = 150 ft rw = 0.23 ft tp = 2500 hrs SOLUCION Paso 1 - La Fig. 8.34 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas lineal de formación (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, (t*∆P’)r =195 psi. La permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140:

mdPth

BqkR

2.1)195)(150(

)782.1)(208.0)(54.1343)(6.70()'*(

6.70==

∆=

µ

Paso 5 – De la Fig. 8.34, el valor de ∆P y (t*∆P’) a t=1 hr de la línea de flujo lineal respectivamente son: (t*∆P’)L1 = 150 psi


400

(∆P)L1 = 44 psi La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125:

ftx f 9.108)23.0)(1036.30)(09.0(

208.0)150)(150(

)782.1(54.1343064.4 26 =×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

Paso 6 – Tome tR = 27.57 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de ∆P y (t*∆P’) son: (t*∆P’)r = 599.37 psi (∆P)r = 195 psi Entonces, de la Ec. 8.141, el factor de daño es:

16.543.7)23.0)(1036.30)(208.0)(09.0(

)57.27)(2.1(ln195

37.59921

26 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−= −s

Paso 7 – La conductividad de la fractura se calcula usando la Ec. 8.148:

ftmde

kw ff −=−

= − 7.543

9.10892173.1

23.0

)2.1(31739.316.5

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

16.49.1082.1

7.543===

xkxkw

Cf

fffD

EJEMPLO (Prueba corta- Línea de flujo radial no es observada)

Una prueba de presión pre-frac en un pozo de petróleo produjo k = 12.4 md. La tabla 8.8 proporciona los datos de restauración de presión después de que el pozo fue fracturado hidráulicamente. Los parámetros de yacimiento y fluido son los siguientes: q = 411.98 STB/D φ = 0.2 µ = 0.53 cp ct = 101x10-6 psi-1 B = 1.258 bbl/STB h = 21 ft rw = 0.689 ft tp = 3000 hrs


401

SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.35 muestra una gráfica de ∆P y valores de (t*∆P’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Se identificaron las líneas bilineal (pendiente=0.25) y lineal (pendiente= 0.5). Paso 3 – No se observó el efecto del almacenamiento. Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – El valor de permeabilidad es conocido de la prueba pre-frac, k = 12.4 md. Paso 5 – De la Fig. 8.35, los valores de ∆P y (t*∆P') a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son: (t*∆P’)BL1 = 72 psi (∆P)BL1 = 18 psi La conductividad de la fractura se calcula usando las Ecs. 8.105 y 8.111:


⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−35.5578

)72)(21()258.1)(53.0)(98.411(

)4.12)(10101)(53.0)(2.0(146.1947

2

6


⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

−44.5579

)18)(21()258.1)(53.0)(98.411(

)4.12)(10101)(53.0)(2.0(174.121

2

6

Las Ecs. 8.105 y 8.111 dieron un valor similar de kfwf. Paso 6: De la Fig. 8.34, (∆P)L1

= 37.2 psi. Luego, la longitud media de la fractura se estima con la Ec. 8.125:

ftx f 02.124)4.12)(10101)(2.0(

53.0)2.37)(21(

)258.1(98.411064.4 6 =×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

La Ec. 8.131 se usa para calcular las coordenadas del punto de intersección de la línea recta de pendiente ½ y de la línea recta de pendiente 1/4:

hrstBLLi 037.149.5578

02.124)4.12)(10101)(53.0)(2.0(910,1322

6 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×= −


402


t, hr P, psi t*∆P', psi t, hr P, psi t*∆P', psi 0.00 479.61 2.78 565.95 23.713 0.017 507.06 80.394 3.78 573.20 24.314 0.019 522.00 62.384 4.78 579.17 25.768 0.082 528.11 5.290 5.78 583.87 28.098 0.28 535.79 14.503 7.78 592.97 31.603 0.33 541.48 12.571 9.78 600.65 32.472 0.78 543.33 14.105 11.78 606.48 34.312 1.08 551.72 16.889 13.78 611.46 36.285 1.78 555.99 15.028 17.78 622.27 38.217

19.78 625.68 39.431

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

Flujo lineal

(t*∆P')BL1=18 psi

∆P,

t*∆P'

, ps

i

Tiempo, hrs

(∆P)BL1=72 psiFlujo bilineal

(∆P)L1=37.2 psi

Fig. 8.35. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 El valor calculado anteriormente corresponde al punto de intersección observado entre las líneas rectas en la Fig. 8.35. Paso 7 – Calcular el factor de daño de la Ec. 8.149:

18.59.5578

)4.12(31739.302.124

92173.1689.0ln −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=s


403

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

62.34.1202.124

9.5578===

xkxkw

Cf

fffD

Las siguientes observaciones son muy importantes para el análisis de datos de presión para pozos fracturados de conductividad finita. 1. Las líneas rectas correspondientes a los regímenes de flujo se pueden usar para

calcular permeabilidad, longitud media de fractura, y conductividad de la fractura sin usar ajuste con curvas tipo o técnica de análisis de regresión.

2. Los puntos de intersección de las tres líneas rectas preferiblemente deben ser usadas para verificar los valores de los parámetros obtenidos de las pendientes.

3. Para pruebas cortas, la permeabilidad se puede calcular de la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas lineal y bilineal.

4. Una nueva ecuación es presentada para calcular (a) La longitud media de fractura en la ausencia de la línea recta del régimen de

flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de una fractura de baja conductividad,

(b) La conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y

(c) El factor de daño post-frac en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta.

8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA Una vez la longitud de la fractura y el daño se conocen, la conductividad adimensional de la fractura puede estimarse mediante la correlación gráfica proporcionada en la Fig. 8.36 o por el siguiente juego de ecuaciones obtenidos de la figura en mención:

8.267.0;ln ≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= x

rx

sxw

f (8.152)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−

=2010112.05944514.11

286571983.077955.159222806.0

10 xx

xx

C fD (8.153)


404

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.1 1 10 100 1000

f

f

Df xk

wkC =

s +

ln(x

/ r

)

f

w

Fig. 8.36. Efecto del daño con la conductividad de la fractura NOMENCLATURA A Área de drenaje, acres a Factor de forma, ft-2

B Factor volumétrico del aceite, rb/STB b intervalo perforado bx ver Ec. 2.72 C Factor de almacenamiento, bbl/psi c Compresibilidad, 1/psi c1 Compresibilidad total de la matriz, psi-1 c2 Compresibilidad total de la fractura, psi-1 CA Factor de forma CBR Constante característica del flujo biradial CD Factor de almacenamiento adimensional cf Compresibilidad total de la fisura, conductividad de la fractura, md-ft CfD Conductividad adimensional de la fractura cft Compresibilidad total de la fractura, 1/psi cm Compresibilidad total de la matriz coe Compresibilidad efectiva del petróleo coema Compresibilidad efectiva de la matriz, psi-1


405

coef Compresibilidad efectiva del sistema de fractura, psi-1

co Compresibilidad del petróleo, 1/psi cr Compresibilidad bruta de la roca, 1/psi cw Compresibilidad del agua, 1/psi h Espesor de formación, ft he Espesor del intervalo efectivo del yacimiento hf Espesor de la fractura, ft hm Dimensión del bloque de la matriz hp intervalo perforado hs Espesor de la capa de daño de interporosidad I0 Punto de intersección en el eje y de la gráfica t*P’ vs. 1/t k Permeabilidad de la formación, md. k1 Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md. kf Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md. kfi Permeabilidad intrínseca de la fisura kmi Permeabilidad intrínseca de la matriz kr Permeabilidad radial, md. ks Permeabilidad de la capa con daño de interporosidad kx Permeabilidad en la dirección x ky Permeabilidad en la dirección y m Pendiente m’ Pendiente del gráfico semilog de (t⋅P’) vs. 1/t mp Máxima pendiente del gráfico cartesiano de ∆P vs. t mpss Pendiente del estado pseudoestable debida al alto contraste de movilidad,

psi/hr mtr Pendiente del gráfico semilog en región de transición P Presión, psi P Presión estabilizada en el yacimiento después del cierre, psi P’ Derivada de presión, psi/hr PD Presión adimensional P’D Derivada de presión adimensional PDB Función de presión de restauración adimensional PfD Presión adimensional de fractura

* ( )fDP s Transformada de Laplace de la presión de fisura adimensional Pfo Presión promedio en el sistema de fractura al momento del cierre Pi

Presión inicial, psi P’m Derivada de presión máxima, psi PPR Relación entre presión adimensional y derivada de presión adimensional Ps Presión estática, psi Pwf Presión del pozo fluyendo, psi

wDP Solución Laplace para la presión de la cara del pozo Pwo Presión de fondo al momento del cierre Pws Presión de cierre de fondo, psi


406

P1hr Valor de presión leído de la línea en el gráfico a un tiempo de flujo de 1 hora q Caudal de petróleo, BPD qaf Rata afterflow, BPD q, qw Rata de flujo del pozo/petróleo, BPD qo Rata de flujo al instante de cierre expresada en unidades de yacimiento, rb

(barriles de yacimiento) r Radio, ft (distancia entre el pozo activo y el de observación) rD Radio adimensional re Radio de drenaje del pozo, radio externo del yacimiento, ft reD Radio adimensional de los limites del yacimiento, rD= reD = re/rw rs Radio del daño, ft rw Radio del pozo, ft S Saturación, fracción s Factor de daño, parámetro Laplace s Parámetro Laplace Sm Factor de daño mecánico Sma Factor de daño de interporosidad St Capacidad de almacenamiento = φcth, ft/psi t Tiempo, hrs, tiempo de prueba tD Tiempo adimensional calculado usando el radio tDA Tiempo adimensional basado en el área de drenaje del yacimiento tDb Tiempo adimensional de bloque tDSR Tiempo adimensional reflejado a un tiempo en el que los efectos de

almacenamiento se puede asumir despreciables o inicia la línea de acción infinita

tDxf Tiempo adimensional referido a la longitud media de fractura tint Tiempo de intercepto tinf Punto de inflexión tL Tiempo de transición tLD Tiempo adimensional de transición tm Tiempo máximo, hrs tp Tiempo de producción total antes del cierre, hrs, tp = tp1 + tp2 Tr Transmisibilidad = kh/µ, md-ft/cp tx Tiempo al cual tiene lugar el valor pico, hr (t*∆P’)x derivada del punto máximo (peak), psi Vma Volumen de la matriz de poro fino, bbl Vs Volumen del daño, bbl Vt Volumen total de fluido, bbl w, wf Ancho de fractura, in wc Ancho de los canales de las fisuras x Dirección x xE Lado largo del rectángulo (yacimiento cerrado) xf Longitud media de fractura, ft xw Ubicación del pozo a lo largo de la fractura


407

y Dirección x yE Lado corto del rectángulo (yacimiento cerrado) z Factor de desviación del gas

SIMBOLOS GRIEGOS

∆ Cambio, caída ∆P Diferencia de presión, psi ∆P’ Cambio de la rata de presión con el tiempo (derivada de presión), psi ∆Pc Corrección de presión al inicio de la prueba, psi ∆PD Amplitud del tiempo adimensional ∆P/q Amplitud en la prueba de pulso, psi-day/STB ∆t Tiempo de cierre total, hrs, intervalo de tiempo ∆tC Periodo de pulso más periodo de cierre = pulso total ∆tc Tiempo de corrección al inicio de la prueba, psi ∆te Tiempo de declinación equivalente ∆tinf Punto de inflexión semilog, hrs ∆tp Periodo de pulso

λ Parámetro de flujo de interporosidad φ Porosidad φfb Porosidad de fisura gruesa φmb Porosidad de matriz gruesa µ Viscosidad, cp ρ Densidad, lbm/ft3 ω Producto compresibilidad-porosidad de todo el sistema, coeficiente de

almacenamiento adimensional γ Constante exponencial de Euler, 1.871 η Factor de difusividad hidráulica τ Factor de tortuosidad SUBINDICES actual Real app Aparente avg Promedio bts Inicio de la tercer línea recta b2 Inicio del Segundo periodo de flujo radial BL Bilineal BLLi Intersección de las líneas de flujo bilineal y lineal BLRi Intersección de las líneas de flujo radial y bilineal


408

BR Biradial BRBL Intersección de las líneas de flujo biradial y bilineal CB Fronteras paralelas cerradas D Cantidad adimensional DL Dual lineal DLSHSi Intersección entre flujo dual lineal y flujo de pendiente -1/2 e1 Final del primer periodo de flujo radial F punto de inflexión f Formación, fractura, fisura g Gas i Condiciones iniciales o intersección ideal Ideal inf Inflexión int Intersección L Lineal M Punto de ajuste m Matriz, propiedad intrínseca de la matriz, pendiente ma Matriz max Máximo min Mínimo verdadero min,o Mínimo observado m+f Matriz + fisura o Petróleo P Estado pseudoestabble R,r Flujo radial, roca r1 Tiempo temprano, periodo de flujo radial r2 Tiempo tardío, periodo de flujo radial SHS Flujo pseudo hemisférico PSS Flujo pseudo estable SS Flujo estable DLPSSi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

dual lineal LPSSi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

lineal RPi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo

radial RDLi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo dual lineal RLi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo lineal RSHSi Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo de pendiente

-1/2 SS1 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y

empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene ambas fronteras abiertas


409

SS2 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta al flujo

RSS1i Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS1)

DLSS1i Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS1)

SHSSS1i Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS1)

RSS2i Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS2) DLSS2i Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1

(SS2) SHSSS2i Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1

(SS2) s Estático sc Condiciones estándar SR Inicio de la línea de flujo radial t Total US Pendiente unitaria usi Punto de intersección de la pendiente unitaria X Punto máximo en el almacenamiento X1 Punto máximo que se presenta entre el flujo dual lineal y el flujo

pseudo hemisférico cunado el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta

X2 Punto máximo que se presenta al finalizar el flujo pseudo hemisférico y al comienzo de la línea de flujo estable cuando el yacimiento tienen fronteras mixtas y el pozo está cerca al frontera abierta

X3 Punto máximo que se presenta cuando se termina la línea de flujo lineal comienza la línea de flujo estable. cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo está cerca de la frontera cerrada

w Cara del pozo, pozo, agua wf Condiciones fluyendo x Máximo punto o pico 1 Propiedad de la región interna, tiempo es 1 hora 2 Propiedad de la región externa


410

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417

ANEXO A. Derivación la línea continua fuente de solución para la ecuación de difusividad Para derivar la línea continua fuente de solución para la ecuación de difusividad, se debe asumir que el yacimiento es infinito y produce a una rata constante, q. Matemáticamente, aplicando la ley de Darcy para flujo radial.

rprkhq

∆∆

=µ

π2 (A.1)

2

wr

kh pq rr

πµ

∆⎛ ⎞= ⎜ ⎟∆⎝ ⎠ (A.2)

De la Ec. 1.2 el gradiente de presión será:

wrw rkhq

rp 1

2πµ

=∆∆ (A.3)

Otras dos suposiciones deben ser usadas:

0→wr (A.3a) ∞→→ rasPP i (A.3b)

Por lo tanto, la condición de frontera será: P = Pi (A.4)

err →lim

Además, para la condición inicial, es requerido que t = 0, es decir, inicialmente el yacimiento tiene una presión uniforme. La condición inicial se puede expresar en función del radio, así: P = Pi at t = 0 for all r La Ec. (A.3) se puede escribir de la siguiente manera de acuerdo a la aproximación de la línea fuente, la cual afirma.


418

h

rw

re

wrw rkhq

rp 1

2πµ

=∆∆

∞→→ rasPP i

Case of an infinite reservoir

02

lim

→

=∆∆

rkh

qrpr

πµ

para t > 0 (A.5)

La solución fundamental está basada en el uso de la transformación de Boltzman que aplica a medio poroso:

ktrcy t

4

2φµ= (A.6)

Y la ecuación de difusividad:


419

tp

kc

rp

rrp t

∂∂

=∂∂

+∂∂ φµ1

2

2

(A.7)

( )

tp

kc

rp

rrrp t

∆∆

=∆∆

+∆

∆∆∆ φµ1/ (A.8)

Generalmente hablando, ya que r y ∆p/∆r varían con q en la Ec. 1.1:

( )r

rpr∆

∆∆∆ /

Dejar rpv ∆∆= / cuando se toma la derivada;

( )rrv

rvr

rrv

∆∆

+∆∆

=∆

∆ (A.9)

( ) ( )

rr

rp

rrpr

rrv

∆∆

∆∆

+∆

∆∆∆=

∆∆ / (A.10)

( ) ( )

rp

rrpr

rrv

∆∆

+∆

∆∆∆=

∆∆ / , o

( ) ( )

rp

rrrp

rrrv

∆∆

+∆

∆∆∆=

∆∆ 1/ (A.11)

Puesto que el lado derecho de la Ec. (A.9) es igual al lado izquierdo de la Ec. 1.8, la ecuación de difusividad, Ec. 1.8 se puede rescribir así:

tp

kc

rpr

rrt

∆∆

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆∆

∆∆ φµ1 (A.12)

o;

ty

yp

kc

ry

ry

ypr

yrt

∆∆

∆∆

=∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

∆∆ φµ1 (A.13)

Tomando la derivada de la Ec. (A.6) con respecto a r y t,

ktrc

ktrc

ry tt

242 φµφµ

==∆∆ (A.14)


420

2

2

4ktrc

ty tφµ

−=∆∆ (A.15)

Si se coloca la Ec. (A.14) y (A.15) dentro de la ecuación de difusividad, Ec. (A.13)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∆∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

2

2

4221

ktrc

ykpc

ktrc

ktrc

ypr

yrtttt φµφµφµφµ

Simplificando;

yp

ktrc

kc

ktrc

yp

ktrc

yrtttt

∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

2

22

4221 φµφµφµφµ

Puesto que kt

rcy t

4

2φµ= , se puede escribir:

yp

ktrc

kc

ktrc

ypy

yrttt

∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

2

2

4221 φµφµφµ

yp

ktrc

tr

ypy

yrt

∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

2

2

4221 φµ

yp

ktrc

ypy

yt

∆∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

4

2φµ

ypy

ypy

y ∆∆

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

De acuerdo a la Ec. (A.11)

ypy

yp

yp

yy

∆∆

−=∆∆

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆ (A.16)

En términos de derivadas parciales

ypy

yp

ypy

∂∂

−=∂∂

+∂∂

2

2

,


421

o;

( ) 01 =∆∆

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆∆

∆∆

ypy

yp

yy (A.17)

Para condiciones de frontera, la solución para la Ec. 1.17 se puede encontrar de la aproximación de la línea fuente.

02

lim

→

=∆∆

rkh

qrpr

πµ

(A.5)

y,

ry

ypr

rpr

∆∆

∆∆

=∆∆

Usando la Ec. (A.14)

ktrc

ypr

rpr t

2φµ

∆∆

=∆∆

Reordenando:

yp

ktrc

rpr t

∆∆

=∆∆

2

2φµ (A.18)

Combinando la Ec. (A.18) con (A.16);

ypy

rpr

∆∆

=∆∆ 2

Si r →0 entonces y→ 0, por lo tanto

02

2lim

→

=∆∆

ykh

qypy

πµ

(A.19)

Dejar rpv ∆∆= / , así la Ec. (A.17) se convierte en:


422

( ) ( )vyvy

y++∆

∆1

Separando variables

( )yyy

vv ∆

+−=∆ 1 , o

∫ ∫ ∫∆−∆

−=∆ y

yy

vv

ln v = - ln y - y + c’

Para propósitos matemáticos, dejar c’ = ln c’ ln v = -ln y – y + ln c’

yycv −='lnln

y

yc

ve−

='ln

ln

yeycv −=' (A.20)

Reemplazando v en la Ec. (A.20)

yecypy −=

∆∆ ' (A.21)

Multiplicando ambos lados de la ecuación (A.21) por 2

yecypy −=

∆∆ '22 (A.22)

De acuerdo a la Ec. (A.19), la Ec. (A.22) se vuelve:

00

'2lim2lim

→→

=∆∆ −

yy

ecypy y

(A.23)


423

También, de la Ec. (A.19), la Ec. (A.23) se puede convertir en:

02

'2lim

→

=−

ykh

qec y

πµ

Si y→ 0 , por lo tanto e –0 = 1 , así

khqcπµ

2'2 = o;

khqcπµ

4'= (A.24)

Reemplazando la Ec. 1.24 en la ecuación (A.20)

yeykh

qv −=1

4πµ , o

khqe

yyp y

πµ

41 −=

∆∆ (A.25)

Separando variables e integrando;

∫ ∫ ∆=∆ − yeykh

qp y14π

µ

∫∞

−

+∆=y y

cyy

ekh

qp "4π

µ (A.26)

Escogiendo el límite menor (aunque este puede ser asignado arbitrariamente) como infinito, se obtiene.

∫∞ −

+∆−

=y

y

cyy

ekhqp "

4πµ (A.27)

La integral exponencial está definida por:

( ) ∫∞ −

∆=−−y

y

i uu

eyE (A.28)


424

Combinando la Ec. (A.28) y (A.27)

( ) "4

cyEkh

qP i +−=πµ (A.30)

Aplicando la condición de frontera (A.3b) se tendrá:

( ) 24cE

khqP ii +∞−=πµ

Puesto que ( ) 0→∞−iE , por lo tanto C2 = Pi (A.31) Reemplazando (A.31) en (A.30)

( ) ii PyEkh

qP +−=πµ

4

( )[ ]yEkh

qPP ii −−=−πµ

4 (A.32)

Reemplazando la Ec. (A.6) en (A.32) y tomando P como la presión a cualquier radio, r a cualquier tiempo.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−

ktrcE

khqtrPP t

ii 44,

2φµπµ

(A.33)

Puesto que

2wD cr

kttϕµ

= (A.34)

wD r

rr = (A.35)

Resolviendo la Ec. (A.34) para t y la Ec. (A.35) para r, respectivamente se tiene:


425

Dwt t

krct

2φµ= (A.36)

DW rrr = (A.36a)

Combinando la Ec. (A.36) y (A.36a) con la Ec. (A.33)

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=−

ktrck

rrcE

khqtrPP

Dwt

Dwtii 2

2

421

2, 2

φµφ

πµ

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

D

Dii t

rEtrPPq

kh42

1,2 2

µπ (A.36b)

Por definición, se conoce que PD referido para PPp i −=∆ , y la presión adimensional es:

( ) ( )[ ]trPPq

khtrP iDDD ,2, −=µ

π (A.36c)

Combinando (A.36b) y (A.36c) finalmente, se tendrá:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

D

DiDDD t

rEtrP42

1,2

(A.36d)