estadistica
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Colegio Nacional Técnico “Augusto Arias”
PLAN DIDACTICO ANUAL
1.-DATOS INFORMATIVOS
1.1.-AÑO LECTIVO:2011-2012
1.2.-ASIGNATURA:Estadística
1.3.-AREA ACADEMICA:Científica
1.4.-ESPECIALIZACIÒN:Contabilidad y Administración
1.5.-CURSO: Sexto A, B, C, D.
1.6.-PROFESORA: Gloria Gallegos B.
2.-CALCULO DE TIEMPO:
2.1.-Número de periodos personales 2
2.2.-Número de semanas de trabajo 40
SUBTOTAL 80
2.3.-Semanas de improviso 7
2.4.-Semanas laboradas 33
2.5.-Total de periodos anuales de clases: 66
3.- MACROPETENCIA:
Efectúa todas las operaciones básicas de gestión administrativa contable, en el ámbito privado y/o público, con
arreglo a las normas de organización interna, a las instituciones recibidas a la legislación vigente, de forma
eficiente y con calidad de servicio con responsabilidad.
4.-COMPETENCIA ESPECIFICA/Competencia de Curso/
Aplica las medidas de Tendencia Central, las Medidas de Dispersión, Puntuaciones Tipificadas y los Números
índices, en la resolución de problemas de la vida real con responsabilidad y honestidad.
5.-OBJETIVOS
Aplicar en los estudiantes las habilidades en la resolución de ejercicios de Medidas de Tendencia Central, las
Medidas de Dispersión, Puntuaciones Tipificadas y los números índices, mediante la aplicación de fórmulas de
cálculo, para proponer el éxito en resolver problemas de la vida diaria con responsabilidad y honestidad.
6.-ORGANIZACIÒN DE UNIDADES CON TIEMPOS
Nro. NOMBRES DE UNIDAD No PERIODOS
1 Medidas de Tendencia Central 20
2 Medidas de Dispersión 30
3 Número de índices 16
7.-DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO:
Nro. CONTENIDO DE CADA UNIDAD
1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media Aritmética de una serie estadística
Media Aritmética de una serie estadística de frecuencia
Media Aritmética de una serie estadística de intervalos
Representación gráfica de la Media Aritmética
Media Aritmética de una serie estadística
Media Aritmética de una serie estadística de frecuencia
Media Aritmética de una serie estadística de intervalos
Representación gráfica de la Mediana
Cuartiles, deciles y centiles
Media Aritmética de una serie estadística
Media Aritmética de una serie estadística de frecuencia
Media Aritmética de una serie estadística de intervalos
Representación gráfica del Modo
Media Geométrica
Media Armónica
2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Desviación Media de una serie estadística
Desviación Media de una serie estadística de frecuencia
Desviación Media de una serie estadística de intervalos
Varianza de una serie estadística
Varianza de una serie estadística de frecuencia
Varianza de una serie estadística de intervalos
Desviación Típica de una serie estadística
Desviación Típica de una serie estadística de frecuencia
Desviación Típica de una serie estadística de intervalos
Coeficiente de variación
Puntuaciones Tipificadas
3 NÚMERO DE ÍNDICES
Precios relativos
Cantidad relativa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A B C D E
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A B C D E
Valor relativo
Números índices globales
8.- SISTEMA DE HABILIDADES
o Aplicar Trazar
o Demostrar Identificar
o Ordenar Reconocer
Media Aritmética
En matemáticas y estadística, la media aritmética es un conjunto finito de números es el valor característico de
una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor
esperado.
EJERCICIOS: 1) 3, 6, 10, 4, 2, 1, 7.
Un grupo de estudiantes al ser encuestados dieron los siguientes datos en la estatura:
149-147-165-160-161-164-168-169-170-159-158-164-162-170-160
157-149-162-165-171-168-167-151-152-154-149-153-153-154-162
169-168-167-164-168-167-168-161-150-163-167-165-167-166-169
DETERMINAR:
1) La serie estadística de intervalos siendo un ancho de intervalo 3.
2) La amplitud
3) El número de intervalos
4) Los puntos medios o marca de clase
5) Frecuencia relativa
6) Porcentaje de la frecuencia acumulada
a= Ls-Li ni Ls-i+1 XM % Fr
a = 171-149 171-3+1
a = 22 ni=8,33 169
EJERCICIOS:
Calcular la media aritmética de los siguientes datos:
140-142-142-143-144-150-162-162-160-162-140-143-142-140
160-162-163-161-150-140-142-150-141-142-144-145-140.
X F XM F.R F.A %
169 – 171
166 – 168
163 – 165
160 – 162
157 – 159
154 – 156
151 – 153
148 – 150
145 - 147
66
11
7
7
3
2
4
4
1
170
250
164
161
158
155
152
149
146
0,33
0,24
0,156
0,156
0,067
0,044
0,089
0,089
0,022
45
39
28
21
14
11
9
5
1
100
86,67
62,22
46,67
31,11
24,40
20
11,11
2,22
45
X F F.A
X
X
X
Media aritmética de una serie estadística de intervalos
Primer método: 1º Obtenemos los puntos medios
2º Multiplicamos las frecuencias porlos puntos medios respectivos.
3º Sumamos todos los productos de las frecuencias por los puntos medios.
4º Dividimos la suma obtenida para el número de elementos de la serie.
SU FORMULA ES:
X
Ejemplo:
Si la edad de los profesores de ciertos colegios fueron;
X
X
X
X
163
162
161
160
150
145
144
143
142
141
140
1
4
1
2
3
1
2
2
5
1
5
162
648
161
320
450
145
288
286
710
141
700
27 1012
X F XM F.Xm
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 - 65
83
191
99
67
41
27
16
7
4
23
28
33
38
43
48
53
58
63
1909
5348
3267
2546
1763
1296
848
406
252
535 387 16816
Segundo método: Para encontrar la media aritmética por este método observamos el siguiente procedimiento.
1º Determinamos los puntos medios
2º Suponemos un punto medio de preferencia aquel que tenga mayor frecuencia (Xms)= punto medio supuesto
3º Establecemos la diferencia (U) entre los puntos medios y el punto medio supuesto dividiendo luego cada
diferencia por el ancho del intervalo.
U
4º Multiplicamos algebraicamente cada una de las frecuencias por la correspondiente diferente.
5º Sumamos todos los productos de las frecuencias por las diferencias.
x x i
X x i
X x 5
X
X x i
X x 5
X
X F XM XMS U F. U
21 – 25
26 – 30
31 – 35
36 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 - 65
83
191
99
67
41
27
16
7
4
23
28
33
38
43
48
53
58
63
28
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-83
0
99
134
123
108
80
42
28
535 531
X F XM XMS U F. U
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 - 34
1
0
5
4
8
14
23
11
8
1
47
28
1
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
0
20
12
16
14
0
-42
-74
-96
75 -149
Calcular las edades de un grupo de personas de un centro educativo: Media aritmética siendo el ancho 5.
47-46-40-38-39-36-35-12-15-14-16-15-13-42-28
30-37-38-36-30-35-20-27-26-25-26-25-30-33-31.
a = Ls-Li ni Ls-i+1 XM
a = 171-149 171-3+1 XM
a = 22 ni=8,33 169 XM=45
U
U
U= 2
X x i
X x 5
X
X F XM XMS U F. U
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 - 34
1
0
5
4
8
14
23
11
8
1
47
28
1
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
1
0
20
12
16
14
0
-42
-74
-96
75 -149
La Mediana
Es una medida de tendencia central que ocupa el centro de una serie ordenada en sentido ascendente o
descendente.
Mediana de una serie estadística
Consideramos a serie:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Ordenada en sentido ascendente y que consta de un número impar
de términos.
La mediana es 8, porque en la serie anterior el 8 es el valor central.
Si tomamos la serie:3, 4, 5, 6, 7, 8. La cual consta de un numero par de términos entonces la mediana es la
semisuma de los valores centrales:
Mediana de una serie estadística de frecuencia:
Ejemplo:
Los datos del cuadro estadístico siguiente corresponden a estaturas en centímetros de 25 personas.
0
1
2
3
4
5
6
7
10 15 20 25 30 35 40 45
X F F.A
Mdm= 163
Para determinar el valor de la mediana, utilizaremos el siguiente
procedimiento. 1º Calculamos la columna de la frecuencia acumulada.
2º La mediana la encontramos en la variable que correspondiente a la frecuencia acumulada inmediato superior
a aquellas que sobrepasa la mitad de números total de casos.
Ejercicio # 2
167
166
165
164
163
162
161
160
159
2
2
2
3
4
3
3
4
1
25
23
21
19
16
12
9
5
1
25
X F F.A
Mdm= 53
Ejercicio # 3
Mdm= 60
Mediana de una serie estadística de intervalos
Para el cálculo de la mediana de intervalos utilizamos el siguiente procedimiento.
1º Determinaremos la columna de frecuencia acumulada
2º Dividimos el número de casos para 2, este valor nos permite localizar la posición que sobrepase la mitad de
números de casos.
3º Encontramos el limite real inferior del intervalo
4º Obtenemos la frecuencia acumulada menor (fam)
5º Encontramos el valor de la frecuencia, que corresponde al intervalo donde esta localizado la mediana
6º Hallar el ancho de intervalo.
7º Aplicamos la formula.
Mdm x i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
10
10
16
14
7
8
7
1
0
2
1
3
13
23
39
53
60
68
75
76
76
78
79
79
X F F.A
110
109
90
70
60
50
45
40
8
7
12
14
20
9
12
10
92
84
77
65
51
31
22
10
42
Ejemplos:
Si la edad de los profesores de los colegios de Santo Domingo en el año 2011 fue:
Fam = 83
F = 191
i = 5
Ejercicio # 2:
Calcular la mediana de los siguientes datos obtenidos en una encuesta sobre las edades a un grupo de personas.
Fam = 43
F = 9
i = 5
Ejercicio # 3
Encontrar la mediana y represente gráficamente los siguientes datos obtenidos en una prueba:
X F F.A
21 – 25
26 – 30
31 – 35
34 – 40
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 - 65
83
191
99
67
41
27
16
7
4
83
274
373
440
481
508
5240
531
535
535
X F F.A
75 – 79
70 – 74
65 – 69
60 – 64
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 - 34
7
6
20
10
9
8
11
14
6
4
95
88
82
62
52
43
35
24
10
4
95
20 – 15 – 16 – 18 – 19 – 18 – 15 – 16 – 17 – 17 – 17
19 – 18 – 20 – 20 – 16 – 15 – 16 – 17 – 19 – 18 – 17
18 – 18 – 20 – 15 – 17 – 18 – 16 – 17 – 16 – 18 – 17
a= Ls-Li ni Ls-i+1
a = 171-149 171-3+1
a = 22 ni=8,33 169
Fam = 0
F = 18
i = 3
X F FA XM
18 – 20
15 – 17
15
18
33
18
19
16
33
Ejercicio # 4:
Encontrar la mediana del siguiente ejercicio.
Fam = 601
F = 258
i = 1500
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
16 19
X F FA XM
16501 – 18000
15001 – 16500
13501 – 15000
12001 – 13500
10501 – 12000
9001 – 10500
7501 – 9000
6001 – 7500
4501 – 6000
3001 – 4500
1501 – 3000
1 – 1500
41
113
9
14
33
48
58
76
228
258
354
247
1479
1438
1325
1316
1302
1269
1221
1163
1087
859
601
247
17250,5
15750,5
14250.5
12750,5
11250,5
9750,5
8250,5
6750,5
5250,5
3750,5
2250,5
750,5
1479
Cuartiles, déciles y centiles
Al igual que la mediana dividen a una serie en partes iguales, así: la mediana divide a la serie en dos partes
iguales, los Cuartiles en 4 partes, los deciles en 10 partes y los centiles en 100 partes.
Ejercicio #1
P1
P2
P3
Q1 = 3
Q2 = 4
Q3 = 6
Ejercicio # 2
Calcular los cuartiles del siguiente ejercicio:
0
50
100
150
200
250
300
350
400
X F FA CUARLITES
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
0
1
7
8
7
14
16
10
10
7
83
82
80
80
79
72
64
57
43
27
17
7
P3
P2
P1
83
P1
P2
P3
Q1 = 36
Q2 = 50
Q3 = 77
Cuartiles de una serie estadística de intervalos
Ejemplos
Si la edad de profesores del cantón Santo Domingo en el año 2011 fueron:
P1
P2
P3
Fam = 83
F = 191
i = 5
Q1 Q2
Q1 Q2
X F FA CUARLITES
36
34
30
28
26
25
20
18
17
16
10
7
5
10
6
11
14
16
11
9
99
89
82
77
67
61
50
36
20
9
P3
P2
P1
99
X F FA CUARLITES
61 – 65
56 – 60
51 – 50
46 – 50
41 – 45
36 – 40
31 – 35
26 – 30
21 – 25
4
7
16
27
41
67
99
191
83
535
531
524
508
481
440
283
274
83
P3
P1 P2
99
Q1 Q2
Q1 Q2
Q1 Q2
Q1 26,85 Q2 30,35
Deciles de Intervalos
Ejemplo:
Al ser encuestados grupos de familiares, se detecta que sus edades se encuentran entre 4 y 51 años; los
resultados una vez tabulados son:
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P
Fam = 6 F = 5 i = 4
Q1 Q2
Q1 Q2
Q1 Q2 4
Q1 Q2
Fam = 10 F = 17 i = 4 Q1 Q2
Q1 14,3Q2 20,30
X F FA CUARLITES
48 – 51
44 – 47
40 – 43
36 – 39
32 – 35
28 – 31
24 – 27
20 – 28
16 – 19
12 – 15
8 – 11
4 – 7
2
6
7
10
12
18
13
10
6
5
4
2
95
93
87
80
70
58
40
27
17
11
6
2
P9
P8
P7
P5 Y P6
P3 y P4
P2
P1
99
Q3 Q4
Fam = 10 F = 17 i = 4 Q3 Q4
Q3 Q4 4
Q3 Q4
Q3 Q4
Q3 23,98Q4 26,90
Q5 Q6
Q5 Q6
Q5 Q6 4
Q5 Q6
Q5 Q6
Q5 29,18 Q6 31,26
Q7 Q8
Q7 Q8
Q7 Q8 4
Q7 Q8
Q7 Q8
Q7 34,34 Q8 37,90
Q9
Q9
Q9
Q9
Q9
Q9 42,66
MODO
Es el valor que corresponde a la mayor frecuencia, en otras palabras es el valor más frecuente, o que mayor
número de veces se repite en la serie.
El modo se utiliza para detectar la estatura más corriente, el salario más común, o las calificaciones que más se
repiten.
Modo de una serieestadística: En una estadística que corresponde a la variable coeficiente intelectual de un
grupo de personas, se han obtenido los siguientes datos 230; 120; 128; 120; 110; 115; el modo es 120.
Modo de una serie estadística de frecuencias
Ejemplo:
Al tabular una encuesta aplicada a estudiantes de una especialidad técnica, acerca del número de hermanos de
cada uno de ellos obtuvieron los siguientes datos:
Ejemplo # 1 Ejemplo # 2
Modo: 4
Modo: 2
Modo 4
Modo de una serie estadística de intervalos
Ejemplo:
Calcular la edad de profesores que trabajan en los colegios del cantón Santo Domingo
X F
7
6
5
4
3
2
1
5
4
6
20
8
20
10
99
X F
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
0
1
7
8
7
14
16
10
10
3
79
D1= 191-83 = 108
D1+D2 =191-99 = 92
Calcular el modo y representar gráficamente los siguientes datos:
41-39-37-20-56-25-27-32-31-28-19-47-38-43-21-32-35-34-47-49
18-25-37-29-20-43-37-40-32-31-35-46-30-32-53-50-42-31-44-37
a = Ls-Li ni Ls-i+1
a = 56-18 56-3+1
a = 38 ni=13,67 54 29,5
D1= 8-3=5
D2=8-3=5
X F
61 – 65
56 – 60
51 – 55
46 – 50
41 – 35
36 – 40
31 –35
26 – 30
21 – 25
4
7
16
27
41
67
99
191
83
X F FA XM
54 – 56
51 – 53
48 – 50
45 – 47
42 – 44
39 – 41
36 – 38
33 – 35
30 – 32
27 – 29
24 – 26
21 – 23
18 – 20
1
1
2
3
4
3
5
3
8
3
2
1
4
40
39
38
36
33
29
26
21
18
10
7
5
4
55
52
49
46
43
40
37
34
31
28
25
22
19
Media geométrica
Es la raíz enésima del producto de los valores que representan a la variable
La fórmula tenemos:
EJEMPLO:
Calcular la media geométrica de la siguiente serie de datos: 3, 12, 48, 192 y 768
Determinar la media geométrica de los siguientes valores: 15, 16, 17,18
Media armónica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
55 52 49 46 43 40 37 34 31 28 25 22 19
Es el valor inverso o reciproco de la media aritmética. Su fórmula es:
EJEMPLO:
Si un automóvil se desplaza a una velocidad de 40, 60, 80km por hora calcular la velocidad promedia.
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión nos manifiesta claramente el valor con el cual se separa los datos en relación con su
media.
Entre ellos tenemos:
Desviación media; Es el cociente que resulta de dividir la suma aritmética de las desviaciones para el número de
casos.
Desviación media de una serie estadística: Para el cálculo de la desviación media de una serie estadística
utilizamos la fórmula:
EJEMPLO:
Calcular la desviación media si las calificaciones de una prueba de estadística a un grupo de 6 estudiantes
fueron:
_
d = X - X
d= 20 – 16,17 = 3,83
d= 18 – 16,17 = 1,83
d= 17 – 16,17 = 0,83
d= 15 – 16,17 = -1,17
d= 14 – 16,17 = -2,17
d= 13 – 16,17 = -3,17
Ejemplo # 2
Calcular la desviación media de los siguientes datos:
_
d = X - X
d= 17 -12,5 =4,5
d= 16 – 12,5 = 3,5
d= 15 – 12,5 = 2,5
d= 14 – 12,5 = 1,5
d= 13 – 12,5 = 0,50
d= 12 – 12,5 = -0,50
d= 11 -12,5 =-1,50
d= 10 -12,5 =-2,5
d= 9 -12,5 =-3,5
d= 8 -12,5 =-4,5
Desviacion media de una serie estadística de frecuencia:
PROCEDIMIENTO
1º Se obtiene la media aritmética de la serie de frecuencia
2º Se determinan las desviaciones d=x-X
3º se encuentra el producto de las frecuencias por las desviaciones (f.d)
4º Se suma aritméticamente el producto de las frecuencias por las desviaciones, sin tomar en cuenta el signo
5º Aplicamos la formula
X F
20
18
17
15
14
13
3,83
1,83
0,83
-1,17
-2,17
-3,17
X F
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
4,5
3,5
2,5
1,5
0,50
-0,50
-1,50
-2,50
-3,5
-4,5
Ejemplo:
d = X - X
d= 51 -12,5 =3,37
d= 50 – 12,5 = 2,37
d= 49 – 12,5 = 1,37
d= 48 – 12,5 = 0,37
d= 47 – 12,5 = -0,63
d= 46 – 12,5 = -1,63
d= 45 -12,5 =-2,63
d= 44 -12,5 =-3,63
Desviación media de una serie estadística de intervalos
1º Se encuentra la media aritmética de la serie de estadística de intervalos (el segundo método)
2º Se obtiene las desviaciones d=xm-X
3º Encontramos el producto de las frecuencias por las desviaciones (f.d)
4º Sumamos aritméticamente los producto de las f.d, sin tomar en cuenta el signo
5º Aplicamos la formula
Ejercicio en clase:
X F XF D F. D
51
50
49
48
47
46
45
44
1
2
3
5
3
2
2
1
51
100
147
240
141
92
90
44
3,37
2,37
1,37
0,37
-0,63
-1,63
-2,63
-3,63
3,37
4,74
4,11
1,85
1,89
3,26
5,26
3,63
19 905 28,11
X F Xm Xms U F . U d F . d
16 – 19
20 – 23
24 – 27
28 – 31
32 – 35
36 – 39
40 – 43
44 – 47
48 – 51
4
3
2
8
12
20
10
5
0
17,5
21,5
25,5
29,5
33,5
37,5
41,5
45,5
40,5
37,5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-20
-12
-6
-16
-12
0
10
10
0
-17,4
-13,4
-9,4
-5,4
-1,4
2,6
6,6
10,6
14,6
-69,6
-40,2
-18,80
-43,2
-16,80
52
66
53
0
Varianza de una serie estadística
Para el cálculo de la varianza utilizamos las siguientes formulas:
EJEMPLOS:
La estatura en centímetros de un grupo de estudiantes es:
52 - 55 1 53,5 4 4 18,6 18,6
65 -42 378,20
X d d2
160
164
165
166
168
169
170
-6
-2
-1
0
2
3
4
36
4
1
0
4
9
16
d = X - X
d= 160 – 166 = -6
d= 164 – 166 = -2
d= 165 – 166 = -1
d= 166 – 166 = 0
d= 168 – 166= -2
d= 169 – 166 = 3
Varianza de una serie estadística de frecuencias PROCEDIMIENTO PARA EL CALCULO DE FRECUENCIAS
1ºSe determina la media aritmética
2º Se obtiene las desviaciones d =x-X
3º Se eleva al cuadrado las desviaciones
4º Se encuentra el producto de las frecuencias por las desviaciones al cuadrado f.
5º Se aplica la formula
Ejemplo:
1162 70
X F X.f d f.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
2
2
1
3
8
2
3
2
1
11
24
26
14
45
128
34
54
38
20
-4,76
-3,76
-2,76
-1,76
-0,76
0,24
1,24
2,24
3,24
4,24
22,6576
14,1376
7,6176
3,0976
0,5776
0,0576
1,5376
5,0176
10,4976
17,9776
22,6576
28,2752
15,2352
3,0976
1,7328
0,4608
3,0752
15,0528
20,9952
17,9776
25 394 128,56
d = X - X
d= 11 – 15,76 = -4,76
d= 12 – 15,76 = -3,76
d= 13 – 15,76 = -2,76
d= 14 – 15,76 = -1,76
d= 15 – 15,76= -0,76
d= 16 – 15,67 = 0,24
d= 17 – 15,67 = 1,24
d= 18 – 15,67 = 2,24
d= 19 – 15,67 = 3,24
d= 20 – 15,67 = 4,24
Varianza de una serie estadística de intervalos PROCEDIMIENTO:
1ºCalculamos la media aritmética de una serie estadística de intervalos
2º Determinamos el valor de la desviaciones d = Xm – X
3º Elevamos cada una de las desviaciones al
4º Obtenemos el producto de las frecuencias por las desviaciones al cuadro f.
5º Aplicamos la fórmula de la varianza
d = X - X
X F Xm f. Xm f.
21-25
26-30
31-35
36-40
41-45
46-50
51-55
56-60
61-65
83
191
99
67
41
27
16
7
4
23
28
33
38
43
48
53
58
63
-1909
5348
3267
2546
1763
1296
848
406
252
-9,96
-4,96
0,04
5,04
10,04
15,04
20,04
25,04
30,04
99,20
24,60
0,00
25,40
100,80
226,20
401,60
627,00
902,40
8233,60
4698,60
0
1701,80
4132,80
6107,40
6425,60
4384
3609,60
535 17635 39298,40
d= 23 – 32,96 = -9,96
d= 28 – 32,96 = -4,96
d= 33 – 32,96 = 0,04
d= 38 – 32,96 =5,04
d= 43 – 32,96 = 10,04
d= 48 – 32,96 = 15,04
d= 53 – 32,96 = 20,04
d= 58 – 32,96 = 25,04
d= 63 – 32,96 = 30,04