Republica bolivariana de Venezuela Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño

Sede – BarcelonaEstadística I

BACHILLER:

Gabriela Lisbeth Silva Velasquez C.I: 26.916.636Sección: ESIYV20162

Medidas de tendencia

Barcelona, 20 de febrero del 2017

Las medidas de tendencia central

Concepto: Son empleadas para resumir a los conjuntos de datos que serán sometidos a un estudio estadístico, se les llama medidas de tendencia central porque general mente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios. Estas medidas son utilizadas con gran frecuencias como medidas descriptivas de poblaciones o muestras.

Importancia: Nos permiten fijar, establecer y/o proyectar limites y valores hacia los que tiende a ubicarse la variable que se esta evaluando. Por otra parte las medidas de dispersión permiten ver el rango entre el cual pudiese moverse la variable. Y la importancia de ambas es que permite fijar los valores de las variables para lograr una mejor administración de los procesos: Productivos, administrativos, de servicios, etc., en cualquier área donde se puedan generar y tomar datos: educativos, de salud, comercio, producción, economía, etc.

Tipos de promedios: estadísticos y matemáticos .

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y saca uno de los valores dividida entre el total de valores.

La mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas. 

La moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.

La media geométrica es una cantidad arbitraria de números de la raíz del producto de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índices.

La media armónica es una medida de tendencia central que se define como el número de elementos dividido por la suma de sus inversos. La media armónica de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números

La media cuadrática, valor cuadrático medio o RMS es una medida estadística de la magnitud de una cantidad variable.

Cálculo y aplicación La media aritmética:

La media aritmética se utiliza con frecuencia en campos como la economía , la sociología y la historia , a pesar de que se utiliza en casi todos los campos académico, hasta cierto punto. Por ejemplo, el PIB per cápita da una aproximación de la renta media aritmética de la población de un país.

Cálculo y aplicación Promedio geométrico:

Es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices, porcentajes de interés devengado o  tasas de crecimiento, como en ventas por ejemplo. Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de series de datos a través del tiempo. 

Si el crecimiento de las ventas en un negocio fue en los tres últimos años de 3%,  18% y 25%, ¿cuál ha sido el crecimiento anual de sus ventas?

1.03 x 1.18 x 1.25 = 1.5193

 La parte decimal de este número, pasada a porcentaje, nos dice que las ventas del negocio a partir del valor donde comenzó la medición, han aumentado en total,  en tres años, 51.93%

Nota:  El 3% de una base, sumado a la base, se escribe en forma decimal como: 1.03  el 18% sería 1.18, etc.  el “1” representa el dato inicial, o base, a partir del cual comienza la aplicación de los porcentajes sucesivos

Cálculo y aplicación

Cálculo de la moda para datos agrupados 1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo ilustrativo:Determinar la moda del conjunto de datos 2, 4, 6, 8, 8 y 10Solución:Mo = 8, porque es el dato que ocurre con mayor frecuencia. A este conjunto de datos se le llama unimodal

Cálculo y aplicación Cálculo de la mediana

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados:La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre 

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana. es la semisuma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.

Cálculo a partir de series simples y agrupadas de las medidas de dispersión

Series simplesRango: En una serie tanto simple como en los datos agrupados está dado por la diferencia existente entre el mayor valor y el menor. Es una medida grosera de dispersión y habitualmente no se lo utiliza. No es demasiado explicativo. Sea la serie simple: 1 2 2 3 7  Será 7 – 1 = 6

Varianza: Se obtiene realizando el cociente de la sumatoria de los desvíos cuadráticos de cada uno de los valores con respecto a la media y la cantidad de valores que poseemos. Sea la serie simple anterior:1 2 2 3 7 y la media correspondiente a esta serie X = 3

(1-3)² + (2-3)² + (2-3)² + (3-3)² + (7-3)²

5

Cálculo a partir de series simples y agrupadas de las medidas de dispersión

Series agrupadas

Se emplea la siguiente ecuación:

Ejemplo : Calcular la desviación media en base a la siguiente tabla sobre las calificaciones de un estudiante en 12 asignaturas evaluadas sobre 10.

Solución:Se calcula la media aritmética.

Cálculo y aplicación a partir de series numéricas las medidas de posición.

Cuartiles: Hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: primero, segundo y tercer cuartil.

(Q1, Q2, Q3)Aquel valor de una serie que supera al 25% de los datos y es superado por el 75% restante.Formula de Q1 para series de Datos Agrupados en clase.

Deciles: Hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (primero al noveno decil). (D1, D2, … D9)El primer decil es aquel valor de una serie que supera a 1/10 parte de los datos y es superado por las 9/10 partes restantes (respectivamente, hablando en porcentajes, supera al 10% y es superado por el 90% restante),

Percentiles: Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (primero al noventa y nueve percentil).Cuartiles (Q1, Q2, Q3)El P99 (noventa y nueve percentil) supera al 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.

Ejercicios

Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

SOLUCIÓN:Ordenamos la serie de números:  2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8Moda:        Mo = 5Mediana:       Me= 5+5/2 = 10/2      Me = 5Media aritmética      X= 2+2+3+3+4+4+4+4+4+5+5+5+5+5+5+6+6+8+8/20  = 99/20 = 4.95

 Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido: 15, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 14, 18. Calcular la moda, la mediana y la media aritmética.

SOLUCIÓN:Ordenamos la serie de números: 13, 14, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 19Moda:        Mo = 15Mediana:       Me= 15Media aritmética      X= 13+14+15+15+15+16+18+18+19/9  = 143/9 = 15.88

Ejercicios Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de ochenta personas: (a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer intervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg. (c) ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?

SOLUCIÓN: (a) Como se trata de efectuar una distribución de datos agrupados, debemos obtener primero los intervalos correspondientes, situando los datos en sus lugares respectivos:

(b) Observando la columna de frecuencias acumuladas se deduce que existen N3 = 26 individuos cuyo peso es menor que 65 Kg., que en términos de porcentaje corresponden a: 100 32,5% 80 26 = (c) El número de individuos con ⋅peso comprendido entre 70 y 85 Kg. es: n5 + n6 + n7 = 14 + 7 + 3 = 24 lo que es equivalente a: N7 – N4 = 80 – 56 = 24

Ejercicios

Continuacion

Conclusión

Se puede establecer como conclusión sobre el tema de tendencia central, que es el conjunto

de mecanismos que se tiene para el estudio de los métodos y procedimientos donde se dan

los datos tabulados que ayudan a dar inferencias científicas partiendo de tales datos. Estos

datos sirven para que todas las ramas de la ciencia donde se necesita llegar a dar

conclusiones sobre situaciones; por medio de los datos se forman grupos describiéndolos

con solo un número. Para tal fin no se utilizan los extremos sino que un valor más típico, el

cual se encuentra en el centro. Este centro sirve para poder llegar a un punto medio donde

se ubicaría el promedio o punto central de los datos descritos para poder establecer

resultados como se puede ver a lo largo dela historia como es el caso de Mendel.

Bibliografía

https://matematicasempresariales.com/2014/09/26/cual-es-el-promedio-geometrico-y-en-que-puede-aplicarse-en-el-trabajo-de-empresas/

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html

http://www.monografias.com/trabajos85/ejemplos-ilistrativos-resueltos-moda/ejemplos-ilistrativos-resueltos-moda.shtml

https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_dispersi%C3%B3n

http://www.monografias.com/trabajos89/medidas-de-dispersion/medidas-de-dispersion.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/medidasposicion/medidasposicion.shtml

https://www.google.co.ve/search?q=formula+del+promedio+geometrico&espv=2&biw=1366&bih=662&site=webhp&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiX2MvDnJ_SAhUBeyYKHdyAB3kQ_AUIBigB#tbm=isch&q=formula+la+mediana+estadisticas&imgrc=d-pR5ORiz_8MkM