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CFE - CURSO TALLER DE ESTADISTICA Y PROBABILIDAD P. Reyes / Sep. 2006

CURSO TALLER DEESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Elaboró: Dr. Primitivo Reyes AguilarSeptiembre de 2006

Mail: [email protected]. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

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mailto:[email protected]


CONTENIDO

MÓDULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 2

MÓDULO 2. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS Y ADMINISTRATIVAS 21PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

MÓDULO 3. PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES 42DE PROBABILIDAD

MÓDULO 4. DISTRIBUCIÓN NORMAL 67

MÓDULO 5. ESTADÍSTICA INFERENCIAL 74INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS

MÓDULO 6. TABLAS DE CONTINGENCIA Y ANOVA 107

MÓDULO 7. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL 117

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MÓDULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVALa Estadística descriptiva es la rama de las matemáticas que comprende la recopilación, tabulación, análisis e interpretación de datos cuantitativos y cualitativos, para tomar decisiones que se requieran a fin de que el comportamiento de los datos se mantenga dentro de los parámetros de control establecidos.

Población (N)– Es el conjunto de todos los elementos de interés para determinado estudio

Parámetro – Es una característica numérica de la población, se identifica con letras griegas (Media = µ, Desviación estándar = σ, Proporción = π, Coeficiente de correlación = ρ)

Muestra (n) – Es una parte de la población, debe ser representativa de la misma.

Estadístico – Es una característica numérica de una muestra, se identifica con letras latinas (Media = X, Desviación estándar = s, Proporción = p, Coeficiente de correlación = r)

La Estadística descriptiva proporciona un criterio para lograr mejoras, debido a que sus técnicas se pueden usar para describir y comprender la variabilidad. Por ejemplo, consideremos en una caldera de vapor la presión del combustible alimentado y la eficiencia de la caldera, si utilizamos instrumentos de medición con la resolución suficiente, encontraremos que existe variabilidad en esos parámetros, y mediante el uso de técnicas estadísticas podemos realizar mejoras para reducir la variación en rendimiento de la caldera.

Para poder obtener consecuencias y deducciones válidas de los datos de un estadístico, es muy útil contar con información sobre los valores que se agrupan hacia el centro y sobre que tan distanciados o dispersos estén unos respecto a otros. Comenzaremos por definir estas medidas:

La estadística inferencial se refiere a la estimación de parámetros y pruebas de hipótesis acerca de las características de la población en base a los datos obtenidos con una muestra.

1.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN PARA DATOS SIMPLES.

Medidas de tendencia central

Media: ( ) Es el promedio aritmético de todos los valores que componen el conjunto de datos. Se calcula mediante la siguiente fórmula:

Para una muestra y para una población se tiene respectivamente:

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Ejemplo 1: En un equipo de fútbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes:

1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.

Mediana: ( ) Los datos de "n" observaciones son ordenados del más pequeño al más grande, Si el tamaño de la muestra es "non" la mediana es el valor ordenado en la posición (n+1)/2,Cuando el tamaño de la muestra es "par" la mediana es el promedio de los dos valores que se encuentran al centro del conjunto de valores. Se puede calcular mediante:

Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior ¿cuál es la mediana?

Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene:

1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84;

Como tenemos 11 datos el número es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el número que ocupa la sexta posición en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana

Media acotada (Truncated Mean): Determinado porcentaje de los valores más altos y bajos de un conjunto dado de datos son eliminados (tomando números enteros), para los valores restantes se calcula la media.

Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%:

68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2,

Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el más bajo y el más alto, ordenado los datos obtenemos:

8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores a eliminar

son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos

Medidas de dispersión

Para comprender el concepto de varianza, supóngase que tenemos los datos siguientes de los cuales queremos saber que tan dispersos están respecto a su media:

2, 3, 4, 5, 6 con media = 20/5 = 4

Si tomamos la suma de diferencias de cada valor respecto a su media y las sumamos se tiene:

(-2) + (-1) + (0) + (1) +(2) = 0

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Por lo que tomando diferencias simples no es posible determinar la dispersión de los datos.

Si ahora tomamos esas mismas diferencias al cuadrado y las sumamos se tiene:

4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

Varianza de los datos

Es una medida que nos ayuda a comprender la variabilidad de los datos, que tan distanciados están de la media

Poblacional (σ2 ) Se obtiene dividiendo el valor anterior entre n = 5, o sea el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado, tomando n datos.

Poblacional (s2 ) Se obtiene dividiendo el valor anterior entre n - 1 = 4, o sea el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado, tomando n -1 datos.

Desviación estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza:

Para el caso de una población

Para el caso de una muestra

Rango ( R ): es la diferencia positiva entre el valor mayor y el valor menor de un conjunto de datos. Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0

Su rango es R = 4.0 – 2.0 = 2.0

Coeficiente de Variación (CV): Se utiliza para comparar la dispersión de dos conjuntos de datos que tienen unidades diferentes, ya que representa una medida relativa de dispersión.

Por ejemplo si la media de tiempos de respuesta es de 78.7 y su desviación estándar es 12.14, el CVt:

Por otra parte si la media de temperaturas es de 10 y su desviación estándar de 2, el CVs de las temperaturas es:

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Por tanto la dispersión de las temperaturas es mayor que la de los tiempos de de respuesta, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente disímbolos.

Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente:

Muestra 1: 230 250 245 258 265 240Muestra 2: 190 228 305 240 265 260

Calcule la desviación estándar para ambas muestras.

Muestra 1: Muestra 2

Suma(Xi - )2 = 790 Suma(Xi - )2 = 7510

n - 1 = 5 n-1 = 5

s = = 12.56 s = = 38.75

Rango = 265 – 230 = 35 Rango = 305 – 190 = 115

CV = 12.56/248*100= 5.06% CV = 38.75/248*100 = 15.625

Aunque la media en ambas muestras es la misma, la desviación estándar (s), rango y coeficiente de variación, son menores en la muestra 1, por lo cual deducimos que es presenta menor variabilidad.

Ejemplo 5:

Se desea hacer un estudio estadístico de la temperatura del agua, para esto es necesario tomar una muestra y calcular la media, mediana, media acotada al 15%, desviación estándar, rango y coeficiente de variación. Se realizan 14 observaciones arrojando los siguientes resultados en ºC: 2.11, 3.8, 4.0, 4.0, 3.1, 2.9, 2.5, 3.6, 2.0, 2.4, 2.8, 2.6,2.9, 3.0.

1) Calcular la media, mediana, desviación estándar, media acotada al 5%, desviación estándar, rango y coeficiente de variación.

1.2 OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN: PERCENTILES, DECILES Y QUARTILES

Cada conjunto de datos ordenado tiene tres cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual clasifica el 25% de las observaciones y sobre el cual se encuentra el 75% restante. El segundo cuartil divide a los datos a la mitad similar a la mediana.

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Los deciles separan un conjunto de datos ordenado en 10 subconjuntos iguales y los percentiles en 100 partes, la ubicación de un percentil se encuentra en:

Donde:

Lp es el sitio del percentil deseado en una serie ordenadan es el número de observacionesP es el percentil deseado

Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente:

3 10 19 27 34 38 48 56 67 744 12 20 29 34 39 48 59 67 747 14 21 31 36 43 52 62 69 769 15 25 31 37 45 53 63 72 7910 17 27 34 38 47 56 64 73 80

La localización del percentil 35 se halla en:

O sea que el percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17 que es 29 y la observación 18 que es 31 o sea L35 = 29 + (0.85)(31-29) = 30.7. Por tanto el 35% de las observaciones están por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7.

De la misma forma los percentiles 25, 50 y 75 proporcionan la localización de los cuartiles Q1, Q2 y Q3 respectivamente.

Q1: es el número que representa al percentil 25 (hay 25% de los datos por debajo de este).

Q2 o Mediana: es el número que representa al percentil 50 (hay 50% de los datos por debajo de este).

Q3: es el número que representa al percentil 75 (hay 75% de los datos por debajo de este).

Rango o Recorrido intercuartílico: es la diferencia entre Q1 y Q3.

DIAGRAMA DE CAJA

Es la representación gráfica de los datos en forma de caja:

1 10 4

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Q3 + 1.5 RIC

Q3

Q2 Mediana

Q1

Q1 – 1.5RIC

Rango Intercuartílico = RIC = Q3 – Q1 Valores atípicos Bigotes

Figura 1. Diagrama de caja con sus cuarteles y bigotes

1.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS E HISTOGRAMAS

Cuando tenemos una cantidad grande de datos es difícil poder analizarlos, a menos que hagamos uso de herramientas que nos permitan hacerlo con mayor facilidad y claridad. El histograma es una de ellas, consiste en un diagrama de barras donde las bases corresponden a los intervalos y las alturas a las frecuencias. Para construir un histograma es necesario tener un mínimo de 50 a 100 datos. Se tienen las siguientes definiciones:

Distribución de frecuencias: es un resumen tabular de un conjunto de datos que muestra el número o frecuencia de artículos en cada una de varias clases que no se traslapan.

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Frecuencia relativa (f): Es la frecuencia de la clase dividida entre el total n de datos. Se puede representar en porcentaje.

Distribución de frecuencias porcentuales: es la representación de las frecuencias relativas porcentuales.

Frecuencia acumulada (F): es la acumulación secuencial de las frecuencias de cada clase.

Ejemplo 6

Construir un histograma con la siguiente serie de datos:

2.41 17.87 33.51 38.65 45.70 49.36 55.08 62.53 70.37 81.213.34 18.03 33.76 39.02 45.91 49.95 55.23 62.78 71.05 82.374.04 18.69 34.58 39.64 46.50 50.02 55.56 62.98 71.14 82.794.46 19.94 35.58 40.41 47.09 50.10 55.87 63.03 72.46 83.318.46 20.20 35.93 40.58 47.21 50.10 56.04 64.12 72.77 85.839.15 20.31 36.08 40.64 47.56 50.72 56.29 64.29 74.03 88.67

11.59 24.19 36.14 43.61 47.93 51.40 58.18 65.44 74.10 89.2812.73 28.75 36.80 44.06 48.02 51.41 59.03 66.18 76.26 89.5813.18 30.36 36.92 44.52 48.31 51.77 59.37 66.56 76.69 94.0715.47 30.63 37.23 45.01 48.55 52.43 59.61 67.45 77.91 94.4716.20 31.21 37.31 45.08 48.62 53.22 59.81 67.87 78.24 94.6016.49 32.44 37.64 45.10 48.98 54.28 60.27 69.09 79.35 94.7417.11 32.89 38.29 45.37 49.33 54.71 61.30 69.86 80.32 96.78

Paso 1: Contar el número de datos n = 130

Paso 2: Calcular el rango R = Valor mayor – Valor menor, R = 96.78-2.41 = 94.37. Generalmente los datos no están ordenados por lo cual resulta conveniente ordenarlos de menor a mayor para tener una mejor visualización. En el ejemplo los datos ya han sido previamente ordenados.

Paso 3: Seleccionar el número de columnas, mediante = . Por lo cual el histograma se compone de 11 columnas

Paso 4: Calcular el tamaño del intervalo de clase ( C ), dividiendo el rango entre el número de

columnas: C = , resultando el tamaño del intervalo 9.

Otra manera de calcular el tamaño del intervalo es el siguiente:Dividir el valor del rango entre un cierto número de clases (K). La tabla de abajo es una guía que nos muestra para diferentes cantidades de datos el número recomendado de clases a utilizar.

Número de datos (N) Número de clases (K) Menos de 50 5 – 750 a 100 6 – 10100 a 250 7 – 12Más de 250 10 – 20

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Paso 5: Calcular los limites de clase de cada intervalo: [0-8], [ 9-17], etc., considerando que el tamaño del intervalo representa la diferencia entre dos límites de clase adyacentes ya sean inferiores o superiores.

Paso 6: Contar el número de valores que caen en cada intervalo utilizando una hoja de registro, de esta manera se obtiene la frecuencia para cada intervalo.

Tabla 1.Columna Intervalo Registro de frecuencias1 0 -8 IIIII 52 9-17 IIIII IIII 93 18-26 IIIII I 64 27-35 IIIII IIIII I 115 36-44 IIIII IIIII II 176 45-53 IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III 287 54-62 IIIII IIIII IIIII III 188 63-71 IIIII IIIII III 139 72-80 IIIII IIIII 1010 81-89 IIIII III 811 90-98 IIIII 5

Paso 7: Basándose en los datos anteriores construya el histograma.

Diagrama de tallo y hojas

Es otra representación de la información, primero se ordenan los dígitos principales a la izquierda de una línea vertical. A la derecha de esta línea se registra el último dígito para cada dato conforme se revisan las observaciones en el orden en que se registraron. Por ejemplo:

Con Minitab: Stat > EDA > Steam and leaf… Indicar columna de datos, increment = 10

Stem-and-leaf of Respuest N = 50

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Histograma

0

5

10

15

20

25

30

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99

Clase

Frec

uenc

ia

Frecuencia


Leaf Unit = 1.0

2 6 89 8 7 233566 16 8 01123456 (11) 9 12224556788 23 10 002466678 14 11 2355899 7 12 4678 3 13 24 1 14 1

1.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS.

La media con datos agrupados: se calcula así:

Donde

f es la frecuencia o número de observaciones en cada claseM es el punto medio de cada clase, se determina como el valor medio entre los límites de clase.n es el tamaño de la muestra o la suma de todas las frecuencias de las clases

Ejemplo:

Clase Frecuencia de clase Frecuencia acumulada(Presión) (días) M fM F

50-59 3 54.5 163.5 360-69 7 64.5 451.5 1070-79 18 74.5 1341.0 2880-89 12 84.5 1014.0 4090-99 8 94.5 756.0 48100-109 2 104.5 209.0 50

50 3935.0

Mediana de datos agrupados:

Primero se identifica la clase donde se encuentra la mediana cuya F es >= n / 2, en este caso la clase de 70 a 79 con punto central de clase = 74.5.

Donde:Página 11


Lmd es el límite inferior de la clase de la mediana cuya F es >= n / 2 o sean (70)F es la frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase de la mediana (10)Fmd es la frecuencia de la clase de la mediana (18) C es el intervalo de clase de la mediana que es la diferencia entre dos límites de clase (10)

Moda de datos agrupados:

Primero se halla la clase que tenga la frecuencia más alta, en este caso la clase 70 a 79.

Donde:

Lmo es el límite inferior de la clase modal con la frecuencia más alta (70).Da es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que la antecede (18 – 7 = 11)Db es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que le sigue (18 – 12 = 6) C es el intervalo de la clase modal ( 80 – 70 = 10 )

Varianza y desviación estándar de datos agrupados:

Para los datos anteriores se tiene:

Clase Frecuencia de clase(Presión) (días) M fM M2 fM2

50-59 3 54.5 163.5 2790.25 8910.7560-69 7 64.5 451.5 4160.25 29121.7570-79 18 74.5 1341.0 5550.25 99904.5080-89 12 84.5 1014.0 7140.25 85683.0090-99 8 94.5 756.0 8930.25 71442.00100-109 2 104.5 209.0 10920.25 21840.50

3935.0 316902.50

Con esta información el personal puede tomar sus decisiones

1.5 USOS FRECUENTES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

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EL TEOREMA DE TCHEBYSHEV

Establece que para todo conjunto de datos por lo menos de las observaciones se

encuentran dentro de K desviaciones estándar de la media, con K >= 1.

Por ejemplo si K = 3 desviaciones estándar respecto a la media, se tiene que por lo menos el:

De las observaciones estarán dentro de dicho intervalo.

CASO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

68.3% de las observaciones se encuentran dentro de 1 desviación estándar de la media95.5% de las observaciones se encuentran dentro de 2 desviaciones estándar de la media99.7% de las observaciones se encuentran dentro de 3 desviaciones estándar de la media

SESGO

En la distribución normal si no es simétrica y tiene una cola más amplia del lado derecho, se dice que existe un sesgo a la derecha y viceversa.

El coeficiente de sesgo o asimetría P se determina como sigue:

Si P < 0 los datos están sesgados a la izquierda, si P > 0 están sesgados a la derecha; si P = 0 están distribuidos normalmente.

Para el caso de los datos del ejemplo anterior se tiene:

Los datos están un poco sesgados hacia la derecha.

Coeficiente de asimetría de Fisher

Otra estimación del sesgo o coeficiente de asimetría se hace a través de momentos estadísticos (diferencias contra la media) como lo sugiere Fisher:

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o Para la distribución normal debe ser 0.

Se puede considerar que una distribución es simétrica si , asimétrica hacia la izquierda con o hacia la derecha .

Por ejemplo:

Ejemplo de una distribución con sesgo negativo o sesgada hacia la izquierda con Sesgo = -1.01

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Ejemplo de una distribución con sesgo positivo o sesgada hacia la derecha con Sesgo = 1.08

CURTOSIS

En la distribución normal si no es acampanada y es más picuda o aplanada de lo normal se dice que tiene una Curtosis diferente de cero que es lo normal, si es mayor es más picuda o más plana al revés.

Coeficiente de Curtosis de Fisher

- 3 o Para la distribución normal debe ser 0.

La distribución es mesocúrtica (plana normal) si , leptocúrtica si más puntiaguda que la normal o platicúrtica (más plana que la normal ) con .

Ejemplo de curva más plana que la normal Curtosis = -1.03

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Ejemplo de curva más picuda que la normal Curtosis = 0.76

1.6 USO DE MINITAB y EXCEL

Para la obtención de las estadísticas descriptivas con Minitab las instrucciones son: Stat > Basic statistics > Display descriptive statistics

Indicar las variables de las cuales se quieren obtener las estadísticas básicas y la variable categórica si se desean varios grupos.

Seleccionar las gráficas opcionales para los datos: Histograma, diagrama de caja y de puntos.

Seleccionar los estadísticos específicos que se desean obtener:

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Los resultados son los siguientes:

Descriptive Statistics: Peso en gr Variable Línea N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 MedianPeso en gr 1 250 0 3999.6 3.14 49.6 3877.0 3967.8 3999.5 2 250 0 4085.6 3.32 52.5 3954.0 4048.8 4087.0 Variable Línea Q3 MaximumPeso en gr 1 4040.0 4113.0 2 4121.5 4202.0

Diagramas de caja en Minitab:

1. Capture datos en la hoja de trabajo: 7 8 9 9 11 12 12 13 14 15 16 17 18 19 20 222. Seleccione la opción: Graph> Boxplot3. Seleccione la variable C1 como se muestra en la pantalla y presione clic en ok4. A continuación se muestra el diagrama de caja:

Caja

22.5

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

7.5

5.0

Boxplot of Caja

Histograma en Minitab:Página 17


1. Capture los datos del ejemplo 6 en la hoja de trabajo: 2. Seleccione la opción: Graph> Histogram (simple)3. Seleccione la variable C1 como se muestra en la pantalla y presione clic en ok4. En Options se puede cambiar el número de celdas con Number of intervals (6 – 8)5. A continuación se muestra el Histograma:

DATOS

Freq

uenc

y

110805020-10

40

30

20

10

0

Histogram of DATOS

Prueba de normalidad en Minitab:

1. Capture los datos del ejemplo 6 en la hoja de trabajo: 2. Seleccione la opción: Stat > Basic statistics3. Seleccione la variable C1 como se muestra en la pantalla y presione clic en ok4. Seleccione la prueba de Anderson Darling5. A continuación se muestra la grafica normal, si P value > 0.05 los datos son normales.

DATOS

Perc

ent

1209060300

99.9

99

959080706050403020105

1

0.1

Mean

0.399

50.05StDev 22.50N 130AD 0.380P-Value

Probability Plot of DATOSNormal

USO DE EXCEL

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1. En el menú Herramientas seleccione la opción Análisis de datos. Datos de ejemplo 6.2. Seleccione la opción Estadística descriptiva.3. Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numéricos de la tabla.4. Seleccione Resumen de estadísticas.5. En opciones de salida seleccione en Rango de salida, una celda de la hoja de calculo

que este en blanco (a partir de está celda serán insertados los resultados).

La hoja mostrará las siguientes medidas estadísticas de los datos presentados:

Columna1

Media50.053769

2Error típico 1.9738137Mediana 49.345Moda 50.1Desviación estándar

22.5049388

Varianza de la muestra 506.47227Curtosis -0.4466339Coeficiente de asimetría -0.0352296Rango 94.37Mínimo 2.41Máximo 96.78Suma 6506.99Cuenta 130

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EJERCICIOS:

1. Las empresas de generación de energía eléctrica están interesadas en los hábitos de consumo de los clientes para obtener pronósticos exactos de las demandas de energía. Una muestra de consumidores de 90 hogares con calefacción de gas arrojó lo siguiente (FURNACE.MTW):

BTU.In_12.97 7.73 9.60 11.12 13.474.00 7.87 9.76 11.21 13.605.20 7.93 9.82 11.29 13.965.56 8.00 9.83 11.43 14.245.94 8.26 9.83 11.62 14.355.98 8.29 9.84 11.70 15.126.35 8.37 9.96 11.70 15.246.62 8.47 10.04 12.16 16.066.72 8.54 10.21 12.19 16.906.78 8.58 10.28 12.28 18.266.80 8.61 10.28 12.316.85 8.67 10.30 12.626.94 8.69 10.35 12.697.15 8.81 10.36 12.717.16 9.07 10.40 12.917.23 9.27 10.49 12.927.29 9.37 10.50 13.117.62 9.43 10.64 13.387.62 9.52 10.95 13.427.69 9.58 11.09 13.43

a) Determinar los estadísticos de tendencia y dispersión

b) Construir un diagrama de caja e histograma

c) Realizar una prueba de normalidad de los datos

d) Establecer conclusiones

Página 20


MÓDULO 2. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS ESTADÍSTICAS Y ADMINISTRATIVAS PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS

2.1 HOJA DE REGISTRO O VERIFICACIÓN

2.2 DIAGRAMA DE PARETO

2.3 LLUVIA DE IDEAS

2.4 DIAGRAMA DE ISHIKAWA

2.5 CARTA DE TENDENCIAS

2.6 DIAGRAMA DE FLUJO

2.7 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Página 21


2.1 HOJA DE REGISTRO O VERIFICACIÓN

Básicamente es un formato que facilita que una persona pueda tomar datos en una forma ordenada y de acuerdo al estándar requerido en el análisis que se esté realizando.

Pasos para la elaboración de una hoja de verificación:

1. Determinar claramente el proceso sujeto a observación. 2. Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos (horas a semanas).3. Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar.4. Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Dedicar el tiempo necesario.

Ejemplo de hoja de verificación

Consejos para la elaboración e interpretación de las hojas de verificación

1. Asegúrese de que las observaciones sean representativas.2. Asegúrese de que el proceso de observación es eficiente de manera que las personas tengan

tiempo suficiente para hacerlo.3. La población (universo) muestreada debe ser homogénea, en caso contrario, el primer paso es

utilizar la estratificación (agrupación) para el análisis de las muestras/observaciones las cuales se llevarán a cabo en forma individual.

EJERCICIO: Colectar el intervalo de tiempo en que ingresan personas a un departamento.

Página 22

DEFECTO 1 2 3 4 TOTALTamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26Forma errónea I III III II 9Depto. Equivocado IIIII I I I 8Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37Mal Acabado II III I I 7TOTAL 25 20 21 21 87

DIA


2.2 DIAGRAMA DE PARETO

Herramienta utilizada para el mejoramiento de la calidad para identificar y separar en forma crítica las pocas causas que provocan la mayor parte de los problemas de calidad. El principio enuncia que aproximadamente el 80% de los efectos de un problema se debe a solamente 20% de las causas involucradas.

El diagrama de Pareto es una gráfica de dos dimensiones que se construye listando las causas de un problema en el eje horizontal, empezando por la izquierda para colocar a aquellas que tienen un mayor efecto sobre el problema, de manera que vayan disminuyendo en orden de magnitud. El eje vertical se dibuja en ambos lados del diagrama: el lado izquierdo representa la magnitud del efecto provocado por las causas, mientras que el lado derecho refleja el porcentaje acumulado de efecto de las causas, empezando por la de mayor magnitud.

Pasos para desarrollar el diagrama de Pareto:

1. Seleccione qué clase de problemas se van a analizar. 2. Decida qué datos va a necesitar y cómo clasificarlos. Ejemplo: Por tipo de defecto, localización,

proceso, máquina, trabajador, método.3. Defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la recolección.4. Diseñe una tabla para el conteo de datos con espacio suficiente para registrarlos.5. Elabore una tabla de datos para el diagrama de Pareto con la lista de categorías , los totales

individuales, los totales acumulados, la composición porcentual y los porcentajes acumulados6. Organice las categorías por orden de magnitud decreciente, de izquierda a derecha en un eje

horizontal construyendo un diagrama de barras. El concepto de “otros” debe ubicarse en el último lugar independientemente de su magnitud.

7. Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

Ejes verticales:- Eje izquierdo: Marque este eje con una escala desde 0 hasta el total general- Eje derecho: Marque este eje con una escala desde 0 hasta 100%

Eje horizontal:- Divida este eje en un número de intervalos igual al número de categorías clasificadas.

8. Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto), Marque los valores acumulados (porcentaje acumulado) en la parte superior, al lado derecho de los intervalos de cada categoría, y conecte los puntos con una línea continua.

9. Escriba en el diagrama cualquier información que considere necesaria para el mejor entendimiento del diagrama de Pareto.

Ejemplo de diagrama de Pareto:

El departamento de ventas de un fabricante de materiales de empaque tiene registrada una lista de las quejas que se han recibido durante el último mes.

Página 23


Tipo de queja No. de quejas

TotalAcumulado

ComposiciónPorcentual

Porcentaje Acumulado

A) Entregas fuera de tiempo25

25 35.71 35.71

B) Calibre fuera de especificaciones 23 48 32.85 68.56

C) Material sucio y maltratado7

55 10 78.56

D) Material mal embalado6

61 8.57 87.13

E) Dimensiones fuera de especificaciones3 64 4.28 91.41

F) Inexactitud en cantidades 266 2..85 94.26

G) Mala atención del personal 1 67 1.42 95.68

H) Maltrato del material por transportistas 1 68 1.42 97.7

I) Fallas en documentación1 69 1.42 98.52

J) Producto con códigos equivocados 1 70 1.4 99.94

Las quejas A,B y C representan el 78.56%, siendo en estas en las que debemos de enfocarnos primero a resolver.

Diagrama de Pareto en Minitab

Página 24

123

67

23

25

78.56

87.13

95.68

97.7

99.94

35.71

68.56

91.41

A B C D E F G H I J

94.26

98.52

%

ACUMULADO

NO

DE

QUEJAS

50


1. Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)2. Stat>Quality Tools>Pareto Chart3. Seleccionar la opción Chart defects table , en el campo labels in seleccione: C1 y en

Frequencies in seleccione: C2. Combine defects after the first 80%. OK

El sistema despliega la gráfica de Pareto:

En la gráfica se observa que aprox. el 80% de los efectos es debido a los defectos A, B y C.

A continuación se muestra un diagrama de Pareto considerando una variable categórica.

Flaws

Coun

t

SmudgeOtherScratchPeel

20

15

10

5

0

SmudgeOtherScratchPeel

20

15

10

5

0

Period = Day Period = Evening

Period = Night Period = Weekend

FlawsPeelScratchOtherSmudge

Pareto Chart of Flaws by Period

EJERCICIO: Realizar un diagrama de Pareto con las fallas de un equipo.

Página 25

OthersGFEDCBA

3 1 2 3 6 72325 4.3 1.4 2.9 4.3 8.610.032.935.7

100.0 95.7 94.3 91.4 87.1 78.6 68.6 35.7

70

60

50

40

30

20

10

0

100

80

60

40

20

0

DefectCount

PercentCum %

Per

cent

Cou

nt

PARETO CHART


2.3 LLUVIA DE IDEAS DE IDEAS (BRAINSTORMING)

En las sesiones de lluvia de ideas se generan nuevas ideas mediante la participación de todo el equipo.

Para comenzar con el proceso de tormenta de ideas, en el cual se genera información la gente se reúne en una sala en la cual se recomienda la disposición de las mesas en forma de “U” para facilitar el debate. La gente que participa en la sesión deberá de pertenecer a diferentes áreas o tener puntos de vista diferentes, esto con el objeto de enriquecer la sesión.

El facilitador debe de contar con experiencia en la conducción de sesiones de tormentas de ideas, o al menos haber tenido experiencias previas. Para conducir un grupo se lleva a cabo la siguiente metodología:

1. Seleccionar el problema a tratar.2. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del problema, las cuales

se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o malas sean estas.3. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos concernientes

al problema.4. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy interesantes, que motivan

a los participantes a generar más ideas.5. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener

mayor cantidad de ideas así existirán mayores posibilidades de conseguir mejores ideas.6. Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros.7. Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar

las mejores ideas por medio del consenso del grupo de trabajo.8. Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solución.

La técnica tormenta de ideas puede ser aplicada con gran frecuencia al llevar a cabo otras herramientas, como por ejemplo, diagramas causa-efecto (Ishikawa), Diagrama de relaciones, Diagrama de árbol, planes con 5W-1H, Diseño de experimentos, pruebas de confiabilidad, etc.

EJERCICIO: Realizar una lluvia de ideas para solucionar el problema de llegar a tiempo a algún lugar.

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2.4 DIAGRAMA CAUSA-EFECTO (ISHIKAWA)

El diagrama causa-efecto, también llamado “espina de pescado” por la semejanza de su forma, también es conocido por diagrama de Ishikawa.

Es utilizado para explorar e identificar todas las causas posibles y relaciones de un problema (efecto) o de una condición específica en las características de un proceso.

Los pasos para elaborar el diagrama de causa- efecto son los siguientes:

1. Seleccione el efecto (problema) a analizar. Se puede seleccionar a través de un consenso, un diagrama de Pareto, otro diagrama o técnica.

2. Realice una lluvia de ideas para identificar las causas posibles que originan el problema.3. Dibuje el diagrama:

- Coloque en un cuadro a la derecha la frase que identifique el efecto (característica de calidad)

- Trace una línea horizontal hacia la izquierda del cuadro que contiene la frase. A esta línea se le conoce como columna vertebral.

- Coloque líneas inclinadas que incidan en la columna vertebral (causas principales).- Dibuje líneas horizontales con flechas que incidan en las líneas inclinadas conforme a la

clasificación de las causas (causas secundarias)- Dibuje líneas inclinadas que incidan en las líneas de las causas secundarias (causas

terciarias)4. Clasifique las causas derivadas de la lluvia de ideas, de la siguiente manera:

Causas principales. Preguntando después por que suceden obtener Causas secundarias Volviendo a preguntar de nuevo las razones obtener Causas terciarias, Se continua este proceso de preguntas de ¿por qué?, ¿por qué? hasta agotar las

respuestas.5. El equipo analiza cada causa estratificada (secundaria o terciaria) y por medio de eliminación y

consenso determina cuales son las causas potenciales relevantes que pueden estar ocasionando el problema.

6. Elabore y ejecute un programa de verificación de las causas relevantes por medio de un diagrama 5W-1H para identificar las causas reales o causas raíz.

Ejemplo1

Se detectaron fallas en la soldadura de partes, por lo cual se procedió a realizar una investigación utilizando el diagrama causa-efecto.

El problema es soldadura defectuosa, siendo el efecto que se va a analizar.

Primero se determinan las causas principales M’s: Máquinas Mano de obra Métodos Materiales Mediciones Medio ambiente

1 Tomado de: Alberto Galgano, Los siete instrumentos de la Calidad Total, ediciones Díaz de Santos,1995Página 27


Estas constituyen las causas primarias del problema y es necesario desafiarlas para encontrar causas más específicas secundarias y terciarias.

Se construye el diagrama espina de pescado con las causas primarias (M´s), a partir de estas causas se agrupan las causas secundarias y terciarias derivadas de la lluvia de ideas.

En el ejemplo anterior las causas primarias fueron agrupadas en (M’s): mediciones, máquinas, mano de obra,medio ambiente, métodos y materiales. Es posible realizar este diagrama con causas primarias diferentes a las M´s, por ejemplo:

Problema: Por que el servicio “ABC”, no satisface los requerimientos del cliente. Las causas primarias en las que se puede organizar este problema son las siguientes:

Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 Proceso 4

Diagrama de Causa Efecto en Minitab

1. Llenar las columnas C1 a C5 con las diferentes causas correspondientes a los conceptos de Personal, Máquinas, Materiales, Métodos, Mediciones y Medio ambiente.

2. Stat>Quality Tools>Cause and Effect Diagram

Página 28

SOLDADURA DEFECTUOSA

MATERIALESMÉTODOS

MAQUINAS MANO DE OBRA

UNIONSOLDADURA

DESOXIDANTE

LACA DEPROTECCION

TERMINALES

CORTOS OXIDADOS

ANGULOINCORRECTO DE

LA FLAMA

TIEMPOS DEESPERA

SECUENCIASOLDADURA

VELOCIDAD DEAVANCE

DIMENSIONESINADECUADAS

TEMPERATURA

PUNTA OXIDADAFORMAPUNTA

HABILIDAD

FORMACION

LIMITESERGONOMICOS

MEDIO AMBIENTE

MEDICIONES

FUERA DEDIMENSIONESESPECIFICADS

SUPERFICIES CON

POLVO EIMPUREZAS


3. Introducir los datos en la pantalla de entrada, indicando el problema en Effect y aceptar con OK.

AMBIENTE MATLS. PERSONAL MÉTODO MAQUINASPolvo Forma Salud Ajuste Mantto.Vibraciones Dureza Habilidad Velocidad DeformaciónHumedad Almacén Humor AbrasiónTemperatura Herramental

FORMA ALMACÉN HABILIDAD HUMORDiámetro Tiempo Selección HorasCurvatura Ambiente Formación Moral Experiencia Cansancio

Problema desoldadura

Measurements

Methods

Material

Machines

Personnel

Humor

Habilidad

Salud

Herramental

Abrasión

Deformación

Mantto.

Almacén

Dureza

Forma

Velocidad

Ajuste

Temperatura

Humedad

Vibraciones

Polvo

Cause-and-Effect Diagram

EJERCICIO: Realizar un Diagrama de Causa Efecto para el problema de llegara tiempo al trabajo.

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2.5 CARTA DE TENDENCIASDefinición:• Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de manufactura.

Usos:• Saber el comportamiento de un sistema o proceso durante el tiempo.• Tomar las acciones correctivas a tiempo si la tendencia afectará en forma negativa.Ejemplo: Se tienen los datos siguientes de errores de planeación de la producción durante 15 semanas:

Semana % Errores Semana % Errores1 0.15 8 0.032 0.04 9 0.043 0.08 10 0.054 0.07 11 0.075 0.04 12 0.046 0.05 13 0.027 0.01 14 0.03

15 0.01

USO DE MINITAB 1. Stat> Time Series > Trend Análisis Variable: % de errores2. Time > Stamp Semana OK

La gráfica se muestra a continuación:

Semana

% Err

ores

151413121110987654321

0.16

0.14

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.00

Accuracy MeasuresMAPE 62.6253MAD 0.0193MSD 0.0007

VariableActualFits

Trend Analysis Plot for % ErroresLinear Trend Model

Yt = 0.0869524 - 0.00478571*t

Comportamiento de los datos durante un periodo de tiempo determinado.

EJERCICIO: Hacer una carta de tendencias con datos reales de alguna situación particular.

Página 30


2.6 MAPA DE PROCESOS / DIAGRAMA DE FLUJO

Ventajas de los diagramas de flujo

Proveen una secuencia gráfica de cada uno de los pasos que componen una operación desde el inicio hasta el final. Permitiendo una mejor visualización y comprensión del proceso.

Los diagramas de flujo pueden minimizar grandes volúmenes de documentación, como la del ISO 9000. Facilitan el desarrollo de Procedimientos Estándar de Operación. Al tener un procedimiento de operación estándar se reduce en gran medida la variación y el tiempo de ciclo. Los diagramas de flujo permiten detectar áreas de mejora en los procesos.

Descripción de símbolosEn la construcción de diagramas de flujo de procesos se utilizan los símbolos descritos a continuación:

Operación de transformación: de la cual resulta un cambio físico oquímico del producto.

Inspección: Verificación de alguna característica mediante un estandar de calidadprestablecido.

Transporte: Movimiento físico del producto o un componente.

Demora: Indica la necesidad de un periodo de inactividad en espera de operación inspección o transporte.

Almacenamiento: Mantener un producto en almacenamiento hasta que continúe su procesamiento o sea vendido.

Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo

1. Describir el proceso a evaluar: Es importante seleccionar un proceso relevante.

2. Definir todos los pasos que componen el proceso: el equipo de trabajo anota en tarjetas los diferentes pasos que conforman el proceso, con este método el equipo puede arreglar y ordenar los pasos del proceso.

3. Conectar las actividades: Cuando los pasos que componen el proceso han sido descritos se construye el diagrama de flujo, conectando las actividades mediante flechas, cada símbolo debe describir la actividad que se realiza con pocas palabras.

4. Comparar el proceso actual con el proceso considerado como “ideal” las siguientes preguntas pueden servir de guía:¿Existen pasos demasiado complejos? ¿Existe duplicidad o redundancia? ¿Existen puntos de control para prevenir errores? ¿deberían de existir? ¿El proceso funciona en la manera en la cual debería de hacerse? ¿Se puede realizar el proceso de diferente manera?

5. Mejoras del proceso: Una vez que se contestan las preguntas mediante tormenta de ideas se realizan mejoras. Definiendo los pasos que agregan valor y los que no agregan se puede llevar a cabo una simplificación sustancial del proceso. Las mejoras son priorizadas y se llevan a cabo planes de acción.

6. Implementar el nuevo procedimiento: Una vez realizadas las mejoras se dan a conocer a las personas involucradas en el proceso y se verifica su efectividad.

Diagrama de flujo: Una visita a la farmacia2

Operación: despacho de una fórmula.2 Adaptado de Hamid Noori/Russell Radford, Administración de Operaciones y producción, Ed. Mc.Graw Hill Pp.282

Página 31


EVENTO SÍMBOLO TIEMPO(min.)

DISTANCIA (pies)

Abrir la puerta, caminar hacia el área de la farmacia del almacén. 0.8 50

Esperar para ser atendido. 1

Sacar la fórmula de la billetera o del bolsillo y entregarla al dependiente.

0.4

Esperar hasta cuando el dependiente despache la fórmula y calcule el valor.

10

Sacar la tarjeta de crédito de la billetera y entregarla al dependiente.

0.4

Esperar que el dependiente diligencie el desprendible de la tarjeta de crédito.

1

Verificar el desprendible 0.2

Firmar el desprendible 0.1

Esperar el desprendible y el medicamento 0.3

Colocar la tarjeta y el desprendible dentro de la billetera 0.2

Recoger el medicamento y caminar de regreso hasta la puerta 0.8 50

Diagrama de Flujo Físico

Pasos para realizarlo:•Dibuje el esquema físico de su área de trabajo, incluyendo estaciones de trabajo, áreas de espera, áreas de máquinas, etc.•Use flechas para delinear el flujo de la parte dentro del área. Cada flecha debe delinear un paso del proceso.

Ventajas • Muestra el número de movimientos para completar el proceso.• Muestra la complejidad del flujo y las curvas.• Puede añadir tiempo a cada paso, para mostrar cuellos de botella y tiempo sin valor agregado Vs tiempo con valor agregado.

EJERCICIO: Realizar un diagrama de flujo de un proceso

Página 32

Edificio A

Edificio B


2.7 DIAGRAMAS DE DISPERSIÓNEl diagrama de dispersión es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables. Por ejemplo, entre una característica de calidad y un factor que le afecta.La ventaja de utilizar este tipo de diagramas es que al hacerlo se tiene una comprensión más profunda del problema planteado.

La relación entre dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que cada relación está dada por un par de puntos (uno para cada variable).La variable del eje horizontal x normalmente es la variable causa, y la variable del eje vertical y es la variable efecto.

La relación entre dos variables puede ser: positiva o negativa. Si es positiva, significa que un aumento en la variable causa x provocará una aumento en la variable efecto y y si es negativa significa que una disminución en la variable x provocará una disminución en la variable y.

Por otro lado se puede observar que los puntos en un diagrama de dispersión pueden estar muy cerca de la línea recta que los atraviesa, o muy dispersos o alejados con respecto a la misma. El índice que se utiliza para medir ese grado de cercanía de los puntos con respecto a la línea recta es el índice de correlación r. En total existen cinco grados de correlación: positiva evidente (r = 1), positiva, negativa evidente (r = -1), negativa y nula (r = 0).

Página 33

Correlación PositivaEvidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Correlación NegativaEvidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónPositiva

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

CorrelaciónNegativa

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0


LAS SIETE NUEVAS HERRAMIENTAS PARA LA MEJORA CONTINUA

Diagrama de afinidad:o Organiza grandes cantidades de información

Gráfica doble de interrelaciones:o Muestra los enlaces de causas y efectos entre aspectos relacionados

Diagrama de árbol:o Diagrama los niveles de destalle para alcanzar un objetivo principal y los objetivos

secundarios relacionados Diagrama Matricial:

o Muestra las relaciones y correlaciones entre ideas Matrices de prioridad:

o Asigna prioridades a asuntos, tareas o posibles opciones con base en criterios conocidos

Gráficas de Programa de Decisión de Procesos (GPDP):o Revela cadenas de eventos y planes de contingencia

Diagrama de redes y actividades:o Desarrolla u programa para tareas complejas

APLICACIONES

Las herramientas para la mejora continua se emplean de manera ideal en los casos siguientes:

Dividir un requerimiento general de detalles específicos Identificar y eliminar las causas raíz de un problema Programar actividades complejas Planeación de contingencia Ayudar a una organización a pasar de la manera antigua de pensar a otras formas más

novedosas de hacerlo Realizar una selección final de una lista de opciones Evaluar opciones de diseño de producto

Es posible emplear las nuevas herramientas para la mejora continua en varias fases del diagrama de mejora es posible emplear más de una en cada paso y se deberá elegir la herramienta correcta para el trabajo.

Página 34


2.8 DIAGRAMA DE AFINIDAD

Es una herramienta que se emplea para organizar grandes cantidades de información agrupando los aspectos de la misma con base en relaciones clave entre ellos; también se conoce como método KJ. Cuando se emplea este diagrama, se organizan las ideas o áreas generales de problemas para adquirir la comprensión de un problema o asunto complejo, así como para identificar las causas potenciales de un problema. La herramienta ayuda a mejorar el compromiso y el apoyo del equipo.

- Usar cuando existe un caos, el equipo aporta ideas, se requiere un pensamiento trascendental o el tema es un aspecto amplio.

PASOS1. Reunir el equipo y elegir un líder.

a. El equipo deberá consistir en 5 o 6 personas que estén relacionados con el problema.

2. Establecer el asunto o problema en forma de pregunta.3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de

trabajo.a. Sólo una idea por tarjetab. Máximo siete palabras por tarjetac. Cada tarjeta deberá contener un sustantivo y un verbo

4. Desplegar las tarjetas en una mesa grande o muro.5. Acomodar las tarjetas en pilas similares o por “familias”.6. Crear tarjetas de encabezado7. Dibujar el diagrama de afinidad

a. Trazar un círculo en torno a cada agrupamiento y conectar este con la tarjeta de encabezado

b. El diagrama queda completo cuando el equipo alcanza el consenso y etiqueta el diagrama con el nombre del equipo y la fecha

8. Discutir el diagrama de afinidad

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20062.9 GRÁFICA DOBLE DE INTERRELACIONES

Una gráfica doble de interrelaciones es una herramienta gráfica que se emplea para organizar problemas o aspectos complejos y que implican muchas variables, se emplea para estudiar las relaciones entre los elementos de un problema e identificar las causas raíz o las soluciones, es similar al diagrama de afinidad en la medida que el proceso de construcción de una gráfica doble interrelaciones es creativo.

Ayuda a identificar las causas potenciales de un problema. A diferencia del diagrama de causa y efecto, la gráfica permite que el equipo de solución de problemas observe al mismo tiempo muchos efectos y trace la relación entre dichos efectos y varias causas.

PASOS1. Reunir el equipo y elegir un líder.2. Poner el asunto o problema en forma de pregunta.

a. Es posible elegir dicho asunto o problema de las siguientes fuentes:- El aspecto clave o la tarjeta de encabezado más crítica de un diagrama de

afinidad. - La declaración de efecto de un diagrama de causa y efecto- El aspecto clave de un diagrama de árbol- Un aspecto clave identificado por el equipo

3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en fichas de trabajo.

- Si la declaración del problema se originó en un diagrama de afinidad, usar las tarjetas de encabezado de éste y realizar una tormenta de ideas para buscar ideas adicionales

- Si la declaración del problema se tomó del efecto en un diagrama de causa y efecto, copiar las causas más básicas de cada uno de los “huesos” del diagrama en fichas de trabajo

- Si la declaración del problema se originó en un diagrama de árbol, usar el nivel más bajo de detalle de éste

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006

- Si la declaración del problema fue un aspecto clave identificado por el equipo, es preciso hacer una tormenta de ideas y colocar estas en tarjetas de índice

4. Analizar las relaciones.5. Revisar la gráfica doble de interrelaciones.6. Identificar causas y efectos raíz.

a. Una causa raíz es una categoría de la que sale la gran cantidad de flechas. b. Un efecto raíz es una categoría a la que llega una gran cantidad de flechas.

7. Estudiar la gráfica doble de interrelaciones.

2.10 DIAGRAMA DE ÁRBOL

Un diagrama de árbol (diagrama sistemático) es una técnica que se emplea para buscar la forma más apropiada y eficaz de alcanzar un objetivo específico. Esta herramienta gráfica de diagrama los diversos niveles de detalle, estos representan acciones (o tareas) que siguen rutas lógicas para implantar un objetivo amplio. Al implantar los puntos detallados de acción, se crea un efecto de dominio que lleva al logro del objetivo principal.

Cuando se trabaja sobre un objetivo amplio, un diagrama de árbol ayuda a orientar tareas específicas, es posible emplearlo para planear la implantación de una solución detallada en forma ordenada. El diagrama de árbol funciones para dividir un aspecto u objetivo más complejo.

PASOS1. Reunir un equipo apropiado.2. Elegir la declaración de objetivo.

c. Es posible elegir dicho asunto o problema de las siguientes fuentes:- El aspecto clave o la tarjeta de encabezado más crítica de un diagrama de

afinidad.- La declaración de efecto de un diagrama de causa y efecto- El aspecto clave de un diagrama de árbol- Un aspecto clave identificado por el equipo

3. Generar los encabezados de primer nivel del árbol.a. Como punto de inicio, usar los siguientes tres encabezados de primer nivel del árbol

- Si el objetivo es un aspecto clave de un diagrama de afinidad, usar las tarjetas de encabezado. Si el objetivo es la tarjeta crítica de encabezado, usar las tarjetas bajo tal encabezado

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- Si el objetivo es una causa o efecto raíz de una gráfica doble de interrelaciones, usar las tarjetas que llevan a ella

- Si el objetivo es un aspecto clave identificado por el equipo, realizar una tormenta de ideas cuyo enfoque sea la implantación

4. Completar el diagrama de árbol bajo cada encabezado principal. 5. Revisar el diagrama de árbol terminado.

2.11 DIAGRAMA MATRICIAL

PERSONAL

CURSO Dirección Supervisión Ingenieros Trab. De Produc.

Trab. De Mant.

Trab. De Oficina

Control Estadístico del proceso

Diseño de productos

Despliegue de funciones de Calidad

Mejora de Procesos

Eficacia de equipos

Benchmarking

Ingeniería concurrente

Medición

Visión Global Taller de trabajo

Los diagramas matriciales son herramientas que se emplean para revelar las correlaciones entre ideas, tares y responsabilidad y que aparecen en diversas formas matriciales, es posible emplear estas herramientas para organizar y comparar dos o más conjuntos de artículos para mostrar cuales de ellos están relacionados, asimismo pueden mostrar la fortaleza estadística y la dirección de influencia de cada relación.

Los diagramas matriciales se emplean para mostrar la relación entre las tareas de un diagrama de árbol y otras características o funciones, son herramientas de extrema flexibilidad, pueden manejar cualquier tipo de contenido de información y comparar cualquier número de variables.

Pueden tener cualquiera de las siguientes formas:

- Forma de L- Forma de T- Forma de Y- Forma de X- Forma de C

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Es posible crear diagramas matriciales para mostrar diversos tipos de relaciones, una forma de usarlos es desarrollar las nuevas actividades contra lo que en ese momento hace una organización, para desplegar una solución genérica.

PASOS1. Reunir a un equipo apropiado.2. Elegir las consideraciones clave.

a. ¿Qué tipo de información se desea mostrar en la matriz?3. Elegir la forma apropiada de la matriz.

a. Decidir el tipo de forma que permitirá obtener la mejor información:- Forma de L: 2 consideraciones clave- Forma de T: 3 consideraciones clave con relaciones directas e indirectas- Forma de Y: 3 consideraciones clave con relaciones directas- Forma de X: 4 consideraciones clave con relaciones directas e indirectas - Forma de C: 3 consideraciones clave con relaciones simultáneas

4. Definir los símbolos de relación a emplear y crear una leyenda.5. Concluir la matriz.

2.12 MATRICES DE PRIORIDADES

Las matrices de prioridades son herramientas para tomas decisiones. Utilizando criterios ponderados y acordados, se emplean tales herramientas para asignar prioridades a aspectos, tareas u opciones posibles. Se basan en la combinación de un diagrama de árbol y uno matricial.

Pueden ayudar a reducir el número de opciones; de modo que sea posible tomar decisiones con mayor facilidad, debido a que las matrices de prioridades proporcionan un enfoque lógico a la elección de un conjunto de opciones, son ideales para elegir un problema para que lo ataque el equipo y estrechar una lista de soluciones potenciales para un problema.

PASOS

1. Reunir un equipo apropiado.2. Establecer el objetivo principal a alcanzar y las opciones que ayuden a lograrlo.3. Generar los criterios por los que se juzgarán las opciones.4. Juzgar cada criterio contra todos los demás.a. Comparar la importancia de cada uno de ellos contra los demás por medio de la

siguiente escala:- 10 = Mucho más importante- 5 = Más importante- 1 = Más importante- 1 / 5 = Más importante- 1 / 10 = Más importante

5. Comparar entre sí las opciones para todos los criterios retenidos.6. Compara cada opción con base en todos los criterios combinados.

2.13 GRÁFICAS DE PROGRAMAS DE DECISIÓN DE PROCESOS(GPDP)

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Planeación de una reunión

Reservar sala de reuniones

Verificar equipo audiovisual

Efectuar los arreglos de

alimentación

Sala de reuniones no disponible

Equipo audiovisual no disponible

Banquete no disponible

Menú no disponible

Cambiar fecha de reunión

Reservar otro sitio

Rentar equipo audiovisual

Reservar otro sitio

Ordenar a otro proveedor

Solicitar un menú distinto

Ordenar otro proveedor de banquetes

= Seleccionado = No factible


Una gráfica de programa de decisión del proceso (GPDP) es una herramienta dinámica de planeación que se emplea para diagramar en forma sistemática todas las posibles cadenas de eventos para alcanzar un objetivo amplio o para implantar una solución compleja.

Se enumeran todos los eventos concebibles y una contramedida apropiada en este flujo cronológico, se emplea este método cuando existe incertidumbre en un proceso de implantación, cuando el problema u objetivo es único o desconocido.

Las gráficas de programa de decisión del proceso se clasifican por las herramientas que se emplea: GPDP “planeado por adelantado”: anticipan lo “inesperado” antes de la implantación

verdadera. Se efectúa una tormenta de ideas de todas las distintas posibilidades y se elaboran planes de contingencia con anticipación.

GPDP en tiempo real: se desarrollan alternativas durante la implantación.

La GPDP se clasifican por el formato gráfico: Gráfico: combinación de diagrama de árbol y diagrama de flujo. Descripción: lista numerada de eventos y contramedidas.

Se emplea una GPDP para describir de manera sistemática una solución u objetivo complejos, otro propósito es probar teorías durante la implantación de una solución compleja.

PASOS1. Reunir el equipo apropiado.2. Elegir el flujo básico de implantación.3. Elegir el formato de la gráfica.4. Establecer el objetivo principal.5. Enumerar los pasos del proceso.6. Determinar contramedidas.7. Evaluar las contramedidas.

- Evaluar las contramedidas y marcarlas en la forma siguiente = Seleccionada = No factible

2.14 DIAGRAMA DE REDES DE ACTIVIDADES

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Un diagrama de redes de actividades (también conocido como diagrama de flechas) es una técnica de administración de redes de uso generalizado para la planeación e implantación de tareas complejas, e particular las mas comunes que cuentas con subtareas conocidas. Es una combinación de la Técnica de Revisión y Evaluación y Programas (PERT) y el Método de Ruta Crítica (CPM).

Se emplea el diagrama de redes de actividades para desplegar soluciones complejas con programas muy estrictos de tiempo. Identifica los pasos y subtareas y muestra el flujo de rutas simultáneas de implantación

PASOS1. Reunir el equipo apropiado.

a. Los miembros del equipo deberán conocer a fondo las tareas y subtareas2. Identificar todas las tareas que requiere el proyecto.3. Determinar la secuencia de actividades.4. Calcular el tiempo que se requiere cada actividad.5. Calcular la ruta crítica del proyecto.6. Calcular la fecha más tardía de inicio y más temprana de conclusión de cada subtarea.7. Calcular la holgura total.8. Diseñar el diagrama de redes de actividades.

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1 día

1 día

1 día

3 día

2 día

3 día

2 día

5 día


MÓDULO 3. PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

3.1 INTRODUCCIÓN

La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cuaqlquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles. En algunos casos se utiliza de manera informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva.DEFINICIONES

Probabilidad: es la posibilidad numérica de ocurra un evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a uno.

Experimento: es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6)

Evento: es cualquier colección de resultados contenidos en el espacio muestral. Es simple si sólo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados.

Definición Clásica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad CompuestaEs la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí.En la composición existen dos posibilidades: Unión o Intersección .

Unión de A y B Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la intersección de A y B está compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Relaciones entre eventosExisten tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un día despejado será 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

, si

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

=

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuación:

RAZÓN DE LA QUEJA

Falla eléctrica Falla mecánica Falla apariencia TotalEn garantía 18% 13% 32% 63%

Fuera de garantía 12% 22% 3% 37%Total 30% 35% 35% 100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)

P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51

Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica:

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7.AP

P(A)=.3

P(A/B)=.67

AB

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos son dependientes.

Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes? El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule ?

a)

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva: Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

Ley multiplicativa: Si los eventos A y B son dependientes:

Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a)

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A B

Eventos mutuamente excluyentes.

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado.

A: El primer artículo está en buen estado.B: El segundo artículo está en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

=

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

EJERCICIOS:

1. Tres componentes forman un sistema. Como los componentes del subsistema 2-3 están conectados en paralelo, trabaja si por lo menos uno de ellos funciona. Para que trabaje el sistema debe trabajar el componente 1 y el subsistema 2-3.

a) ¿Qué resultados contiene un evento A donde funcionan exactamente dos de los tres componentes?

b) ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en el que por lo menos funcionan dos los componentes?

c) ¿Qué resultados están contenidos en el evento C donde funciona el sistema?

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P(B) =.98P(A) =.98

A B

P(B/A)=.97B

A

P(A) =.98

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006d) Listar los resultados de C’, A o C, A y C, B o C y B y C.

2. En una planta los trabajadores trabajan 3 turnos. En los últimos años ocurrieron 200 accidentes. Algunos se relacionan con condiciones inseguras y otros a condiciones de trabajo, como se muestra a continuación:

Turno Condiciones inseguras Condiciones de trabajo TotalDiurno 10% 35% 45%

Vespertino 8% 20% 28%Nocturno 5% 22% 27%

Total 23% 77% 100%

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1

3

2

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Si se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y se determina el turno y tipo de accidente:

a) ¿Cuáles son los eventos simples?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente seleccionado se atribuya a condiciones inseguras?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ocurrido en el turno diurno?

3. La ruta que usa un automovilista tiene dos semáforos. La probabilidad de que pare en el primero es de 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo es de 0.5 y la probabilidad de que pare por lo menos en uno es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga

a) En ambos semáforos?

b) En el primero pero no en el segundo?

c) Exactamente en un semáforo?

4. Una empresa construye tres plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Se Ai el evento en el que se termina la planta i en la fecha del contrato. Utilizar las notaciones de unión, intersección y complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en términos de A1, A2 y A3, mostrar en diagramas de Venn.

a) Por lo menos una planta se termina en la fecha del contrato.

b) Todas las plantas se terminan en la fecha del contrato

c) Sólo se termina la planta del sitio 1 en la fecha del contrato

d) Exactamente se termina una planta en la fecha del contrato

e) Se termina ya sea la planta del lugar 1 o las otras dos en la fecha del contrato.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20063.2 TÉCNICAS DE CONTEO

Supóngase que una persona tiene dos modos de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene tres maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántos modos podrá realizar el viaje de A a C pasando por B?

Evidentemente, si empezó a pie podrá tomar avión, carro o trasatlántico; y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o trasatlántico.Utilizando literales (las iniciales) el viajero tuvo las siguientes oportunidades: pa, pc, pt; ba, bc, bt.

Que son 6; cada primera oportunidad contó con tres posibilidades.

Se tiene: 2 oportunidades X 3 posibilidades = 6 posibilidades.

PRINCIPIO DE CONTEO: Si un evento puede hacerse de a1 maneras diferentes, y cuando se ha hecho, puede hacerse un segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y luego un tercer evento de a3 maneras también diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras diferentes en que los eventos se pueden realizar , en el orden indicado es de:

Ejemplo 9: ¿De cuantos modos podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y dos pares de calzado?

Solución: Primer evento (camisas) a1 = 3 Segundo evento ( pantalones) a2 = 4 Tercer evento (zapatos) a3 = 2

modos diferentes.

PERMUTACIONES: Una permutación es un arreglo ordenado de una parte de los elementos, o de todos los elementos de un conjunto.

Ejemplo 10: Dado el conjunto de las letras , escribir todas las permutaciones empleando las tres letras cada vez.

Solución: opi, oip, ipo, iop, pio, poi : son seis permutaciones posibles.

Ejemplo 11: ¿Y tomando dos letras solamente cada vez?

Solución: op, oi, io, ip, pi, po: son seis permutaciones.

En la mayoría de los casos resulta muy complicado hacer las permutaciones manualmente por lo cual utilizamos la siguiente fórmula:

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CIUDAD A CIUDAD B CIUDAD C

a pie en avión

en carro

en trasatlánticoen bicicleta


donde:n = número total de elementos del conjuntoP = Permutacionesr = número de elementos que se toman a la vez.! = factorial.Nota: 0! = 1

Ejemplo 12: ¿Se toman 3 números de lotería de un total de 50, de cuantas formas se pueden tomar los números?

COMBINACIONES: Es el número de subconjuntos de r elementos que se puede formar de un conjunto de n elementos, sin importar el orden de los elementos. Para determinar el número de combinaciones posibles utilizamos:

Ejemplo 13: Un entrenador de basket ball tiene 9 jugadores igualmente hábiles, ¿cuántas quintetas podrá formar?

Ejemplo 14: Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a) 4 ases, (b) 4 ases y un rey (c) 3 dieces y dos jotas,

a) P(4 ases) = =

b) P (4 ases y 1 rey) =

c) P (3 dieces y 2 jotas) =

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006TEOREMA DE BAYES

Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la información que tenemos de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden más de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer?

Z > 1.80 m A = HombreB = MujerP (A) = .60P (B) = .40P (Z/A) = .20P (Z/B) = .01

Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80,Utilizando el teorema de Bayes:

P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.

Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 %

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Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)Z > .80

Hombre Mujer

P(B/Z) = .032P(A/Z)

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z

HOMBRE MUJER

< 1.80

> 1.80

.80

.20

.99

.01

= Z

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006 EJERCICIOS:

1. Una planta emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo y 10 en la noche. Se seleccionan 6 para hacerles entrevistas exhaustivas. Suponer que cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado de una urna de nombres.

a) ¿Cuántas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores sean seleccionados del mismo turno?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estén representados en la selección?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no esté representado en la muestra de trabajadores?

2. Una caldera tiene 5 válvulas de alivio idénticas. La probabilidad de que que en algún momento se abra una de ellas es de 0.95. Si su operación es independiente, calcular la probabilidad de que por lo menos se abra una de ellas. Y la probabilidad de que por lo menos no se abra una de ellas.

3. Dos bombas conectadas en paralelo fallan en determinado día, sin que haya dependencia mutua. La probabilidad de que solo falle la bomba más vieja es de 0.10 y de que falle la bomba más nueva es de 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen ambas bombas al mismo tiempo?

4. Un sistema de componentes conectados como se muestra en la figura. Los componentes 1 y 2 en paralelo hacen que el subsistema funcione con uno uno solo, el sistema funciona solo si tambiñen trabajan los componentes 3 y 4. Si los componentes son independientes y la probabilidad de que cada componente funcione es de 0.9, calcular la probabilidad de que funcione el sistema.

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1

1

43

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20063.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una variable aleatoria (VA) es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en SS.

Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1.

Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles valores son enteros.

Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores posibles son los reales.

Distribución de probabilidad o función de masa de probabilidad: Establece en una tabla, fórmula o gráfica como se distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles valores de la variable aleatoria y.

Debe cumplir con las reglas siguientes:

1. 0 <= P(y) <= 1

2. Suma (P(y)) = 1

Su fórmula es la siguiente:

Valor esperado:

Función de distribución acumulativa:

Con propiedades:

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y P(Y=y)

0 1/4

1 1/2

2 1/4

yy

yyYPyP )5(.)5(.

3)()( 3

Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8y

0.3

0.5

0.7

0.9

F(x)

0 1 2

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como E(X), es

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X.

Varianza de una distribución de probabilidad discreta

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es:

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La variable aleatoria toma un numero finito de n valores, cada uno con igual probabilidad.

Con n = 10 se tiene:

Su media y varianza son las siguientes:

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0 2 4 6 8 1e+001x

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

prob

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo

P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

Con

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.

N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5

P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

USO DE EXCEL:N = Tamaño de Población, n = Tamaño de muestra, D= éxitos en la población; x = éxitos en la muestra.

En Fx Estadísticas seleccionar =distr.hipergeom(x, n, D, N)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Hypergeometric Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) N, D, n y en Input constant introducir x.

EJERCICIO:1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o más defectuosos se rechaza el lote de 10. a) Si el lote tiene un defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote?b) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.

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NnD

112

NnN

ND

NnD

0183.0

!10!10!20

!10!5!15

!0!5!5

)5(

P

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIÓN BINOMAL

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota por p

Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n

La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazamiento.

Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1.La binomial es una aproximación de la hipergeométricaLa distribución normal se paroxima a la binomial cuando np > 5

La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:

Con media y varianza:

Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía. Para comprobarlo se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).

Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5.

P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra.

En Fx Estadísticas seleccionar =distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Binomial Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

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nxppxn

xXPxf xnx ,...,1,0)1()()(

)1()(

)(2 pnpXV

npXE

X

X

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006EJERCICIOS:

1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de 0.95. Se toman 20 páneles solares y se registró la vida útil.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil?

c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor verdadero de P?

2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?.

3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan:

a) A lo sumo 6 se detengan por completob) Exactamente 6 se detengan por completo?c) Al menos 6 se detengan por completo?d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20 plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:

a) Menos que una planta?

b) Menos de dos plantas

c) Exactamente 3

d) Más de una

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Se basa en los mismos principios de la distribución binomial.1. El experimento consiste de una secuencia de ensayos independientes. 2. Cada ensayo produce un éxito o un fracaso. 3. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, P(éxito en el ensayo i) = p4. El experimento continua hasta completar r ensayos.

La variable de interés es X = número de fracasos que preceden al r-ésimo éxito. X se llama variable aleatoria binomial negativa, ya que en contraste con la distribución binomial, el número de éxitos es fijo y el número de ensayos aleatorio.

Su función de distribución es:

con X = 0, 1, 2, …..

Ejemplo: Se quieren reclutar 5 personas para participar en un nuevo programa. Si p = 0.2 la probabilidad de que las personas quieran participar. ¿Cuál es la probabilidad de que se les deba preguntar a 15 personas antes de encontrar a 5 que estén de acuerdo en participar?. Es decir si S=(de acuerdo en participar),

¿Cuál es la probabilidad de que ocurran X=10 fracasos antes del r=quinto éxito?.

r = 5, p = 0.2 y x = 10, se tiene:

La probabilidad de que a lo sumo ocurran 10 fracasos (F) se les pregunte a lo sumo a 10 personas es:

Su media y varianza son las siguientes:

USO DE EXCEL:

=NEGBINOMDIST(10,5,0.2) y SUMA (X=0 hasta 10) =NEGBINOMDIST(X,5,0.2)

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Otra forma:

Sea y el número de intentos hasta que el r-ésimo éxito es observado.

P = probabilidad de éxito en un solo intentoQ = 1-pY = Número de intentos hasta que se obtienen los r éxitos

P(15) = combinat(14, 10) 0.2^5*0.8^10 = 0.0343941

Ejemplo: Un fabricante utiliza fusibles en un sistema eléctrico comprados en lotes grandes. Se prueban secuecialmente hasta que se observa el primero con falla. Asumiendo que el lote contiene 10% de fusibles defectivos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros 5 probados?

P= 0.1 q= 0.9

P(y) = p*(q^y-1) = (.1)*(0.9^y-1)

Para y = 1 hasta 5:

P(y<=5) = p(1) + p(2) +………+ p(5) = 0.41..

b) Encontrar la media, varianza y desviación estándar para y el número de fusibles probados hasta que el primer fusible con falla es observado.

Media = 1/p = 1/0.1 = 10

Varianza = q/p^2 = 0.9/(0.1^2) = 90

Sigma = 9.49

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a la Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas cuando n es grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson proporciona buenas aproximaciones cuando np <= 5.

Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6.

Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

Con media y varianza:

Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indeminizaciones y= 4 en un cierto año es:

El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel.

Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos = np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo:

Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas.

np = 20 *0.05 = 1.0

Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:

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,...1,0!

)(

xx

exfx

pn

pn


La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5.

La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el número de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el promedio por día.Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom. Sem.Número de llegadas a una estación de servicio durante un minuto dado, conociendo el prom./min.Número de ventas hechas por un agente de ventas en un día, conociendo el promedio por día.

Sólo se requiere que los eventos sean independientes.

USO DE EXCEL:x = éxitos en la muestra, np = media.

En Fx Estadísticas seleccionar =Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Poisson Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) n*p = mean y en Input constant introducir x.

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1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:Usando la distribución binomial y la distribución de Poissona) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la prob. De que estén ocupadas es mayor al 50%?

3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si la probabilidad de que 3 o más partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la compra.¿Qué sucede en este caso?.

4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutosa) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora?b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos?c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?d) ¿cuál es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos?

5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas,¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos?

6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al azar, ¿Cuál es la prob. De que 3 tengan la tecnología MMX?.

7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,¿Cuál es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades?

8. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad de que:a) Los 5 estén calificadosb) 4 esten calificadosc) Por lo menos 3 estén calificados

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su función de distribcuón acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad F(yo) = P(y<=y0).

Si F(y) es la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua entonces su función de densidad f(y) para y es:

f(y) = dF(y) / dy

Sus propiedades son que:

1. f(y) >= 0

2. Integral desde menos infinito a más infinito de f(y) d(y) = F( ) = 1

f(y)

F(yo)

yyo

Función de distribución acumulativa

Entre las distribuciones continuas más comunes se encuentran la distribución normal y la distribución exponencial.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se usa para modelar artículos con una tasa de falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, y = 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0

Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media.

La función de densidad de la distribución exponencial

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

Si el número de ocurrencias tiene Distribución de Poisson, el lapso entre ocurrencias tiene distribución exponencial. Su función de distribución acumulada es la siguiente:

Cuando X = 0 la distribución de Poisson se convierte en el segundo término de la distribución exponencial.

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h

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000

h

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etfetR

etF

t

t

t

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

= 0.003, MEDIA = 333

= 0.002, MEDIA = 500

= 0.001, MEDIA = 1,000


Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea <= tF(x)

t

Aquí se desea saber de que no transcurra más de cierto tiempo entre dos llegadas, sabiendo que se tiene una tasa de llegadas .

Ejemplo: El tiempo de respuesta de un departamento es de 5 minutos promedio y se distribuye exponencialmente. La probabilidad de que el tiempo de respuesta a lo sumo de 10 minutos se determina como sigue:

P(X<=10) = F(10; 1/5) = 1- exp(-0.2*10) = 0.865

La probabilidad entre el tiempo de respuesta de 5 y 10 minutos es:

P(5<=X<=10) = F(10;1/5) – F(5; 1/5) = 0.233

USO DE EXCEL:Lamda = 1/ media.

En Fx Estadísticas seleccionar =distr.exp(x, lamda,1) = distr.exp(10,0.2,1) = 0.865

USO DE MINITAB: Calc > Probability distributions > Exponential Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada) Indicar Threshold = 0 y en Scale indicar la media 5 En Input constant indicar la X del tiempo.

Exponential with mean = 5 x P( X <= x )10 0.864665

La Distribución Exponencial es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante. Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencialDesde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción.

Las fallas ocurren en los sistemas con una distribución denominada Curva de la Bañera:

Fallas diseño Senectud

Fallas infantiles Fallas aleatorias Fallas por desgaste

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006La zona de tasa de fallas constantes, es modelada con La Distribución exponencial, muy aplicada a la Confiabilidad, que es la probabilidad de que un equipo o componente sobreviva sin falla hasta un periodo t bajo condiciones normales de operación:

R(t) = Confiabilidad de un sistema o componente

Donde es la tasa media de falla y su inverso es el tiempo medio entre fallas (MTBF), o sea:

Ejemplo: El MTBF de un foco es de 10 semanas, por tanto = 0.1 fallas/semana y la probabilidad de que el foco no falle o continúe en operación hasta las 15 semanas es:

y la probabilidad de que falle dentro de las 15 semanas es:

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1. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular:

a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.b) La desviación estándar de esas llegadasc) P(X<=15)d) P(8<=X<=14)

2. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, ¿cuál es la probabilidad de que

a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?

b) A lo sumo 30,000 horas?

c) Entre 20,000 y 30,000 horas?

3. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial:

f(x) = 0.125 exp(-0.125*x)

a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia?

4. El tiempo entre fallas de un componente de equipo es importante para proveer de equipos de respaldo. Un generador eléctrico tiene una vida promedio de 10 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle dentro de los siguientes 14 días?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que opere por más de 20 días?

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MÓDULO 3. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.

Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal.

La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.

La Función de Distribución de Probabilidad (PDF) normal tiene forma de una campana con simetría sobre su media definida por la siguiente ecuación:

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Y

X

Función de Densidad de Probabilidad Normal

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)

Función de Densidad de Probabilidad Normal

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000Tiempo

f(t)


Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal o Distribución Gaussiana tiene forma de campana y es la más conocida. La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar = 1. Su Media =

Mediana = Moda El área bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a más infinito vale 1. La distribución normal es simétrica, es decir cada mitad de curva tiene un área de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar. La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , en

consecuencia hay un número infinito de distribuciones normales.Existe una relación del porcentaje de población a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y

La distribución de probabilidad f (Z) es una distribución normal estándar con media 0 y desviación estándar 1; esto es Z se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar = 1 Z~N(0,1): La gráfica de densidad de probabilidad se muestra en la figura.

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z0 1 2 3-1-2-3

z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3XX

La desviación estándarsigma representa la distancia de la media alpunto de inflexión de la curva normal


La distribución f (Z) se encuentra tabulada en la tabla de distribución normal estándar o se puede determinar con Excel. En esta tabla podemos determinar los valores de Z o la probabilidad de determinado valor Z.

Nota: Excel proporciona el valor del área bajo la curva desde menos infinito hasta un valor dado de Z.

F(z)=pr(Z z) 1.0

0.5

.01Z

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Forma de la Distribución Normal acumulada

La población incluye todos los datos, la muestra es una porción de la población.

El valor de zDetermina el número de desviaciones estándar entre algún valor X y la media de la población Para calcular el valor de Z usamos la siguiente fórmula.

Calculo de Probabilidades normales

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1

0Z

F(z)

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20061. Identificar la variable de interés.2. Identificar los parámetros de la variable (su media y desv. estándar).3. ¿Cual es la pregunta sobre el área bajo la curva de probabilidad normal?4. Convertir los valores a la distribución normal estándar (estandarización Z = (X-Media)/S) .5. Encuentre la probabilidad en tabla de la normal estándar o por Excel.

Ejemplo 1: El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

=

Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal estándar o por medio de Excel (=distr.norm.estand(0.05). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. siendo esta la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 P (X<500). Dado que el porcentaje pedido es la solución es 1-.69146 =0.3085 , 30.85% de los participantes pasarán la prueba.

Ejemplo 2:Encuentre las probabilidades siguientes usando la tabla Z.

a) P(-1.23 < Z > 0)

Solución: Buscamos el valor Z1..23 en las tablas siendo este =0.89065. restando 0.89065-0.5 = 0.3905, este valor es la probabilidad de 0 a 1.23 que es exactamente la misma de –1.23 a 0 por simetría. Por lo tanto la probabilidad es 0.3905

USO DE EXCEL

Para calcular la probabilidad dado un valor Z procedemos de la siguiente manera:

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK

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485

Z.05

30.85%

0Z-1.23


Seleccione la celda que contiene el valor de Z, que en este caso es Z= 1.3 , de clic en aceptar y aparecerá la probabilidad buscada f(z)= 0.903199

Para calcular Z dada una probabilidad f(z)En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand.inv OK

De clic en aceptar. Procedemos de la misma manera que en el caso anterior, pero en esta ocasión seleccionamos la probabilidad 0.93319

El valor Z = 1.4999

Cuando no tenemos valores de Z ni probabilidad.

Ejemplo 3 : Suponga que una distribución normal dada tiene una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad P (X > 24).

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK

El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:

El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X 24), la probabilidad buscada es:

P (X > 24) = 1-.8413= .1587

USO DE MINITAB

Para cálculos utilizando el paquete Minitab, usar:

1. Calc >Probability Distributions >Normal

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (con Z):

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2. Indicar Cumulative Distribution o inverse Cumulative Distribution (dando valores de Z se obtienen valores de área) o Inverse Cumulative Distribution (dando áreas proporciona los valores de Z).

3. Dejar los parámetros de Mean Mu=0 y Estándar deviation Sigma = 1.

4. En Input constant indicar el valor de Z (cumulative) para obtener el área bajo la curva o proporcionar el área bajo la curva (Inverse cumulative) para obtener el valor de Z. OK

5. Si se especifica una columna Cx para almacenamiento de los resultados, estos no se muestran automáticamente, para verlos es necesario ejecutar la opción >Manip >Display Data

DISTRIBUCIÓN NORMAL (con datos reales y X):

6. Indicar Cumulative Distribution o inverse Cumulative Distribution (dando valores de X se obtienen valores de área) o Inverse Cumulative Distribution (dando áreas proporciona los valores de X).

7. Introducir los valores de los parámetros de la media en Mean y la sigma en Estándar deviation.

8. En Input constant indicar el valor de X (cumulative) para obtener el área bajo la curva o proporcionar el área bajo la curva (Inverse cumulative) para obtener el valor de X. OK

9. Si se especifica una columna Cx para almacenamiento de los resultados, estos no se muestran automáticamente, para verlos es necesario ejecutar la opción >Manip o Data >Display Data

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1. ¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar está incluido dentro de los siguientes rangos?

a) P(1.2 <= Z <= 2.2): b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) d) P( Z >= 2.4)e) P( Z<-2.9) + P(Z>3.1)f) P(Z>= 1.9)

2. El tiempo de vida de las baterías del conejito tiene una distribución aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviación estándar de 3.77 horas.

a) ¿Qué porcentaje de las baterías se espera que duren 80 horas o menos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure entre 86.0 y 87.0 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure más de 88 horas?

3. Considere una media de peso de estudiantes de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese más de 85Kgs.?b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 50Kgs.?c) ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 60 y 80 Kgs.?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 55 y 70 Kgs.?e) ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 85 y 100Kgs.?

4. Una máquina llenadota de refresco se ajusta para servir 10 onzas de líquido por vaso, si la desviación estándar es de 0.12 onzas. ¿Cuál es la probabilidad o porcentaje de las veces de que la máquina sirva:

a. 10.2 onzas o más?b. Entre 10.1 y 10.3 onzas?c. Entre 9.7 y 10.3 onzas?d. Menos de 9.8 onzas?e. Entre 9.8 y 9.9 onzas?

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MÓDULO 5. ESTADÍSTICA INFERENCIAL INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS

5.1 INTRODUCCIÓN

La inferencia estadística es el proceso mediante el cual se utiliza la información de los datos de una muestra para extraer conclusiones acerca de la población de la que se seleccionó la muestra. Las técnicas de inferencia estadística se dividen en dos áreas principales: Estimación de intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis.

En cada prueba estadística, se comparan algunos valores observados contra algunos esperados u otro valor observado comparando estimaciones de parámetros (media, desviación estándar, varianza). Estas estimaciones de los verdaderos parámetros son obtenidos usando una muestra de datos y calculando los estadísticos.

La capacidad para detectar una diferencia entre lo que es observado y lo que es esperado depende del desarrollo de la muestra de datos. Incrementando el tamaño de la muestra mejora la estimación y la confianza en las conclusiones estadísticas.

5.2 INTERVALOS DE CONFIANZA

Las medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominan estadísticos, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media y desviación estándar real de la población o de los parámetros.

Cuando no deseamos obtener números sencillos como la media basada en una muestra, utilizamos los intervalos de confianza, los cuales nos dan un margen con algún tipo de error.

Para obtener un intervalo de confianza usamos:

Punto estimado + error estimado Para calcular el error estimado:

Desviación estándar multiplicador de CI (nivel de confianza) deseado.

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P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2

Intervalo de confianza donde se encuentra el parámetro con un NC =1-a

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Ejemplo 1. Obtenemos una muestra donde la media = 100, la desviación estándar = 10, Encontrar el intervalo de confianza al 95% en el cual se encuentra la media para una distribución normal.

100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025

95% de nivel de confianza significa que sólo tenemos un 5% de probabilidad de obtener un punto fuera de ese intervalo.

Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. En la tabla Z vemos que para un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960.

C.I. Multiplicador99 2.57695 1.96090 1.64585 1.43980 1.282

Para tamaños de muestra > 30, la distribución de referencia es la Normal, para muestras de menor tamaño, debe usarse la distribución t. El IC que no es simétrico es el de la varianza:

DISTRIBUCIONES MUESTRALES UTILIZADAS T CHI CUADRADA

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. 302

. 302

2 22

2 2

, 1 1 , 12 2

2

( 1) ( 1)

(1 )

para n

para n

n n

X Zn

X tn

n s n s

p pp Zn

a

a

a a

a

TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006USO DE EXCELLos estadísticos de prueba con alfa se determinan como sigue:

Zalfa/2 = distr.norm.estand.inv(alfa/2)

talfa/2 = distr.t.inv(alfa, gl) donde gl = grados de libertad = n-1

Chi cuadrada de alfa/2 = prueba.chi.inv(alfa/2, gl)

Falfa/2 = distr.f.inv(alfa/2, gl. Numerador, gl. Denominador)

USO DE MINITAB

Calc > Probability distributions > Normal, t , Chi-Square, F, etc. Seleccionar Inverse Cumulative Distribution; si los pide dar los grados de libertad = n-1 En input constant poner el valor de alfa/2 o alfa

Para determinar los intervalos de confianza en Minitab se tiene: intervalo de confianza para la media

stat > basic statistics > 1-sample z o 1-sample t variable -- indicar la columna de los datos en samples in columns o summarized data

(indicando en sample size el tamaño de muestra y en mean la media). para el caso de la prueba z además se indica en standard deviation la desviación estándar.

en options: indicar el confidence level -- 90, 95 o 99% (igual a 1-alfa). OK Intervalo de confianza para una proporción

stat > basic statistics > 1-proportion seleccionar summarized data number of trials = n tamaño de la muestra number of events = d éxitos encontrados en la muestra en options: indicar el confidence interval -- 90, 95 o 99%.. seleccionar use test and interval based in normal distribution

Tamaño de muestraPara determinar el tamaño de muestra necesario para el intervalo de confianza o la prueba hipótesis con base a un error máximo y un nivel de confianza deseado se utilizan las siguientes fórmulas:

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Ejemplos para la media con distribución normal z

z 1. el peso promedio de una muestra de 50 bultos de productos xmedia = 652.58 kgs., con s = 217.43 kgs. determinar el intervalo de confianza al nc del 95% y al 99% donde se encuentra la media del proceso (poblacional). alfa = 1 - NC2. Un intervalo de confianza del 90% para estimar la ganancia promedio del peso de ratones de laboratorio oscila entre 0.93 y 1.73 onzas. ¿cuál es el valor de z?.

3. 100 latas de 16 onzas de salsa de tomate tienen una media de xmedia = 15.2 onzas con una s = 0.96 onzas. ¿a un nivel de confianza del 95%, las latas parecen estar llenas con 16 onzas?.

4. Una muestra de 16 soluciones tienen un peso promedio de 16.6 onzas con s = 3.63. se rechaza la solución si el peso promedio de todo el lote no excede las 18 onzas. ¿cuál es la decisión a un 90% de nivel de confianza?.

Ejemplos para la media (con distribución t) y varianza (con distribución chi cuadrada)

5. 20 cajas de producto pesaron 102 grs. con s = 8.5 grs. ¿cuál es el intervalo donde se encuentra la media y varianza del lote para un 90% de nivel de confianza?. grados libertad=20 -1 =19

6. Una muestra de 25 productos tienen un peso promedio de 23.87 grs. con una s = 9.56. ¿cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media y varianza a un nivel de confianza del 95 y del 98% del peso de productos del lote completo?.

7. Los pesos de 25 paquetes enviados a través de ups tuvieron una media de 3.7 libras y una desviación estándar de 1.2 libras. hallar el intervalo de confianza del 95% para estimar el peso promedio y la varianza de todos los paquetes. los pesos de los paquetes se distribuyen normalmente.

Ejemplos para proporciones con distribución z

8. De 814 encuestados 562 contestaron en forma afirmativa. ¿cuál es el intervalo de confianza para un 90% de nivel de confianza?

9. En una encuesta a 673 tiendas, 521 reportaron problemas de robo por los empleados ¿se puede concluir con un 99% de nivel de confianza que el 78% se encuentra en el intervalo de confianza. ?

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20065.3 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE UNA POBLACIÓN

Una hipótesis es una afirmación a comprobar, por ejemplo:

Un proveedor de bebidas afirma que sus botellas contienen 16 onzas; un productor de software dice que su rechazo promedio es de 3%; etc.

La hipótesis planteada que contiene el signo de igualdad se denomina hipótesis nula ho (=, >=, <=) y su complemento es la hipótesis alterna ha. se puede iniciar planteando cualquiera de las dos por ejemplo si se indica …probar si las ventas son mayores que $1000 o …..las ventas son menores a $1000, se inicia planteando ha y como complemento se plantea ho (ventas<=1000 o ventas>=1000).

Las conclusiones al final siempre son contra la Ho.

Los términos surgen de las investigaciones agrícolas quienes probaban la efectividad de fertilizantes, lo nulo era sin efecto

Las hipótesis nulas no se rechazan o si se rechazan (aceptándose la ha) con base en datos muestrales y un valor alfa.

Prueba estadística: es un procedimiento para probar una afirmación o creencia sobre el proceso.

Hipótesis nula (Ho) - usualmente es una afirmación representando una situación “status quo”. generalmente deseamos rechazar la hipótesis nula.puede ser por ejemplo ho: , , = 5sólo puede ser rechazada o no rechazada

Hipótesis alterna (Ha) - es lo que aceptamos si podemos rechazar la hipótesis nula. Ha es lo que queremos probar es el complemento de Ho.

Por ejemplo 5 para prueba de dos colas< 5 para prueba de cola izquierda > 5 para prueba de cola derechaEsta hipótesis se acepta cuando se rechaza Ho

Estadístico de prueba: Calculado con datos de la muestra (Z, t, X2 or F).

Región de Rechazo: Indica los valores de la prueba estadística para que podamos rechazar la Hipótesis nula (Ho). Esta región esta basada en un riesgo a deseado, normalmente 0.05 o 5%.

Las pruebas de hipótesis pueden ser de dos colas, de cola derecha o de cola izquierda, dependiendo del signo de la hipótesis alterna, a continuación se esquematizan cada una de ellas.

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“PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR PRUEBAS DE HIPÓTESIS”

1. Definir el Problema ( Problema Práctico).2. Señalar los Objetivos ( Problema Estadístico).3. Determinar tipo de datos: Atributo o Variable.4. Si son datos Variables: Prueba de Normalidad.

5. Establecer las Hipótesis: Hipótesis Nula (Ho lleva signo =, <=, >=), Hipótesis Alterna (Ha lleva signo >, < o <>).

6. Seleccionar el nivel de significancia Alfa (normalmente 0.05 o 5%) o el nivel de confianza 1 - alfa.

7. Establecer el tamaño de la muestra, .8. Desarrollar el Plan de Muestreo.9. Seleccionar Muestras y Obtener Datos.10. Decidir la prueba estadística apropiada y calcular el estadístico de prueba (Z, t, X2 o F)

a partir de los datos.

11. Obtener el estadístico correspondiente de tablas o Excel.12. Determinar la probabilidad P de que el estadístico de prueba calculado ocurra al azar.13. Comparar el estadístico calculado con el de tablas y ver si cae en la región de rechazo o

ver si la probabilidad es menor a alfa, rechace Ho y acepte Ha. En caso contrario no rechace Ho.

14. Con los resultados interprete una conclusión estadística para la solución práctica.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Las fórmulas para calcular el estadístico de prueba en base a la muestra son las siguientes:

Para el caso de muestras pareadas se calculan las diferencias d individuales como sigue:

Ejemplos de Prueba de hipótesis Estadística

Paso 1. Para una muestra grande (n >30) probar la hipótesis de una media . Establecer alfa.Ho: Ha:

Paso 2. Calcular el estadístico de prueba

Paso 3. Establecer la región de rechazo, para prueba de 2 colas:

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21

1 222

1 2

1 2

2 21 1 2 2

11 2

; . ; 30;/

; . ; 30;/

; 1, 1; . .var

; . ; ' . .1 1/

( 1) ( 1) ;2

p

p

XZ Una media n conocidan

Xt Una media n desconocidaS nSF DF n n prueba dos ianzasS

X Xt dos medias s desconocidas peroS

n n

n s n sS DF nn n

2

1 22 21 2

1 2

2

; . ; ' .

.

n

X Xt dos medias s desconocidas diferentess sn n

DF formula especial

22

2

22

; . . ; . . ./

( 1) ; ( 1); . . ar

( ) ; ( 1)( 1); .

id

dt Pares de medias d para cada parS n

n SX DF n prueba una v ianza

O EX DF r c bondad ajusteE


Paso 4. Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo rechazaremos Ho de otra manera no podemos rechazar Ho.

Paso 5. Calcular el intervalo de confianza IC para un nivel de confianza de 1-alfa, si la media de la hipótesis se encuentra dentro del intervalo, no rechazar Ho y viceversa.

Paso 6. Calcular el valor de Probabilidad P para el estadístico calculado a partir de la muestra Zc o Tc por medio de:

Para Zc: P = distr.norm.estand.inv(-Zc)Para Tc: P = distr.t.inv(Tc, grados de libertad, 1 o 2 colas)Para Chi2: P = Prueba.chi.inv(Chi c, grados de libertad)

Si el valor de P es menor o igual a alfa se rechaza Ho y se acepta Ha (en el caso de dos colas el valor de P total es del doble del calculado).

USO DE MINITAB PARA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE LA MEDIA

Stat > basic statistics > 1-sample z o 1-sample t Variable -- indicar la columna de los datos en simples in columns o summarized data

(indicando en simple size el tamaño de muestra y en mean la media). para el caso de la prueba z además se indica en standard deviation la desviación estándar.

Indicar en test mean la media de la hipótesis a probar. Indicar el signo de la hipótesis alterna: less than, not equal, greater than

OK

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Prueba de Hipótesis para muestras grandes usando Z:

¿Parecería ser correcta la afirmación de que se mantiene el precio promedio de las computadoras en $2,100?Probarlo a un 5% de nivel de significancia Se inicia con el planteamiento de la hipótesis nula

DatosMinoristas n 64 media mu = 2100Precio prom. X 2251Desv. Estándar s 812 (Alfa = 0.05

(Alfa/2 = 0.025Paso 1. Establecimiento de hipótesis

Ho: uC = 2100Ha: uC <> 2100 Por tanto se trata de una prueba de dos colas

Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc

151 = > Zc = 1.48768473

101.5 Error estándar

Como el valor de Zc es positivo se comparará contra de Zexcel (1-alfa/2) positivo

Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para el valor de probabilidad (Alfa / 2):

Ze ( 0.025 ) = 1.95996398 DIST.NORM.STAND.INV.( 0.025 )

Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene

Zexcel ( 0.025 ) Zexcel ( 0.025 )-1.95996398 1.959963985

Zc = 1.487684729 Valor p para Zc es igual aP(-Zc) = 0.06841765

Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfa / 2y por tanto no hay suficiente evidencia para RECHAZAR Ho Se concluye que el precio promedio no es diferente de $2,100

Paso 5. Como el valor P = 0.068 correspondiente a la Z calculada Zc es mayor que el valor de Alfa / 2 = 0.025, también nos da el criterio para NO RECHAZAR la Ho

Paso 6. El Intervalo de confianza para la media poblacional (1-Alfa = 0.95 Porciento)al nivel de confianza 1-Alfa

Error estándar 101.5Z alfa/2 1.95996398

Intervalo de confianza 2251 198.936344El intervalo de confianza incluye a la media de la hipótesispor tanto no se rechaza la Ho. 2052.063656 <= <= 2449.936344 )

P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2

ns

XZ NULAHIPOTESIS

c.

nsZXestimarparaIC

2... a

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Ejemplo de Prueba de Hipótesis para muestras pequeñas usando t:

Se piensa que las ventas promedio de $5,775 se han incrementado gracias a la campaña publicitariaProbar esta afirmación a un nivel de significancia alfa de 1%

Se inicia con el planteamiento de la hipótesis AlternaDatos

Semanas n 15 media mu = 5775Ventas prom X 6012Desv. Estándar s 977 (Alfa = 0.01 (1-Alfa = 0.99

(Alfa/2 = 0.005 (1-Alfa/2 = 0.995Paso 1. Establecimiento de hipótesis

Ho: uC <= 5775

Ha: uV > 5775 Se trata de una prueba de cola derecha

Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba tc

237 = > tc = 0.93950568

252.260315 Error estándar

Como el valor de tc es positivo se comparará contra de t excel (1- alfa) positivoNOTA:En excel poner 2alfa para obtener t de alfa

Paso 3. Determinar la te de Excel o de tablas para Alfa 0.01

te ( 0.99 2.62449406 DIST.T.INV( 0.02 , gl. 14 )gl = 14

Paso 4. Comparando los valores tc calculado contra t excel se tiene

texcel ( 0.02 gl. 14)2.62449406

tc = 0.93950568 Valor p para tc es igual aP(tc) = 0.368130427

Como tc es menor que texcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfay por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho Se concluye que la publicidad no ha tenido efecto en las ventas

Paso 5. Como el valor de P para Zc es 0.368 mayor a Alfa = 0.05 no se rechaza Ho

Paso 6. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel (1-Alfa = 99 Porciento)

Error estándar 252.260315t alfa 2.62449406

Como el intervalo de confianza Intervalo de confianza 6012 662.0557002

contiene a la media de la Hipótesis no se rechaza Ho 5349.9443 <= <= 6674.0557 )

P(t >= + t excel ) = alfa

ns

Xt NULAHIPOTESISc

.

nstXestimarparaIC a ...

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Ejemplo de Prueba de hipótesis para una proporción:

Prob. El gerente de mercado considera que el 50% de sus clientes gasta menos de $10 en cada visita a la tienda.DATOS: ¿Estás de acuerdo con esta afirmación a un nivel de significancia del 5%?

Se inicia con el planteamiento de la hipótesis nula18.17 Datos7.17 Clientes n 50 Proporción media = 0.52.08 30 gastaron p 0.64.17 menos de$10 (Alfa = 0.05 (1-Alfa = 0.95

18.02 (Alfa/2 = 0.025 (1-Alfa/2 = 0.9758.73 Paso 1. Establecimiento de hipótesis4.128.155.15 Se trata de una prueba de dos colas

17.1521.12 Paso 2. Cálculo del estadístico de prueba Zc17.186.12 0.1 = > Zc = 1.414213562.129.99 0.07071068 Error estándar10

5.125.12 Como el valor de Zc es positivo se comparará contra de Zexcel (alfa/2) positivo

12.1218.17 Paso 3. Determinar la Ze de Excel o de tablas para (1-Alfa/2 = 0.9754.12

27.18 Ze ( (1-Alfa/2 = 1.95996398 DIST.NORM.STAND.INV.( 0.975 )2.178.15 Paso 4. Comparando los valores Zc calculado contra Zexcel se tiene3.020.65

11.123.324.83

10.128.732.176.42

12.188.84 Zexcel ( 0.025 ) Zexcel ( 0.975 )

17.17 -1.95996398 1.9599639811.1717.89 Zc = 1.41421356 Valor p para Zc es igual a11.12 P(-Zc) = 0.079269848.92 Como Zc es menor que Zexcel, no cae en el área de rechazo, p > Alfa /2 8.42 y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho y se concluye7.12 que el porcentaje que compra menos de $10 no difiere del 50% de clientes9.172.63 Paso 5. Como el valor P de Zc es 0.079 mayor a Alfa/2 no se rechaza Ho

21.2218.42 Paso 6. El Intervalo de confianza para la media poblacional al nivel 4.82 (1-Alfa = 95 Porciento)5.55

11.11 Error estándar 0.0707106817.83 Z alfa/2 1.41421356

Intervalo de confianza 0.6 0.1Como la media de p = 0.6 se encuentradentro del intervalo, no se rechaza Ho ( 0.5 <= 0.7 )

P(Z <= - Zexcel ) = alfa/2

n

pZ

NULAHIPNULAHIP

NULAHIPOTESISc )1( ..

.

P(Z>= Zexcel ) = alfa/2

nppZpestimarparaIC )1(...

2

a

5.0:5.0:

c

c

HaHo

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006USO DE MINITAB PARA LA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA PROPORCIÓN

Stat > Basic Statistics > 1-Proportion Seleccionar Summarized Data Number of trials = n tamaño de la muestra Number of events = D éxitos encontrados en la muestra

En Options: Indicar el Confidence Interval -- 90, 95 o 99% Indicar la Test Proportion Proporción de la hipótesis Indicar el signo de la hipótesis alterna: Less Than, Not equal, Greater than

Seleccionar Use test and interval based in normal distributionOK

EJERCICIOS

1. Se midió la temperatura de fusión de un aceite vegetal hidrogenado en n=16 muestras y se encontró una media de 94.32. Si la temperatura de fusión sigue una distribución normal con sigma = 1.20.

a) Probar a un 95% de nivel de confianza de que la media se ha mantenido en 95.

2. La duración promedio de cierto foco es de 750 horas. El cliente cambiaría de marca sólo que se demuestre que de manera concluyente que la vida de los focos es menor que la anunciada. Se elige una muestra aleatoria de 20 focos, se determina su duración y se obtiene una vida media de 738.44 con una desviación estándar de 38.20.

a) ¿Cuál sería la conclusión a un 95% de nivel de confianza?

3. Después de ciertas horas de trabajo se determinó el desgaste de flechas en 0.0001” para cada una de las n=8 máquinas que tienen plomo y cobre como material de soporte, y se obtuvo como resultado que la media fue de 3.72 con desviación estándar de 1.25.

a) Se desea probar si el desgaste es mayor a 3.5 a un 95% de nivel de confianza.

3. Las lecturas de radiación de Radón tomadas en 12 lugares fueron como sigue:105.6, 90.9, 91.2, 96.9, 96.5, 91.3, 100.1, 105, 99.6, 107.7, 103.3 y 92.4.

a) A un alfa de 5%, ¿indican las lecturas que difieren de 100?.

4. Se prueban 100 baterías de Ni-H para celdas de prueba y se determina que 14 de ellas se ampoyan en sus placas fallando. Para un 5% de nivel de significancia.

a) ¿Proporciona lo anterior una evidencia de que más del 10% de las baterías fallan?

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20065. Para un cierto servicio los tiempos de respuesta son de 3 horas, probar la afirmación para un 98% de nivel de confianza.

Una muestra de datos arrojó los resultados siguientes:

1.922.163.633.164.023.142.22.343.052.38

6. Las horas tomadas para mantenimiento son las siguientes. Probar a un 5% si el tiempo es > 2 Hrs.

Tiempos1.91.72.82.42.62.52.83.21.62.5

7. Un estudio encontró que 40% de los usuarios de Internet recibieron más de 10 mensajes diariosSi de 420 usuarios 188 recibieron estos mensajes, a un nivel de 5% ¿Cuál es la conclusión?

8. Un estudio indicó que el 64% de los consumidores de supermercado creen en las marcas propias.El fabricante de una salsa de tomate preguntó a 100 compradores donde 52 prefieren marca propia,probar si el porcentaje de preferencias es menor al 64%, para un 5% de nivel de significancia

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5.6 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS POBLACIONES

Supongamos que tenemos muestras de dos calderas que producen el mismo rendimiento. Se desea ver si hay diferencia significativa en el rendimiento de “Caldera A y Caldera B”. Caldera A Caldera B89.7 84.781.4 86.184.5 83.284.8 91.987.3 86.379.7 79.385.1 82.681.7 89.183.7 83.784.5 88.5

Estadísticas Descriptivas Variable Caldera N Media Desv.Std Rendimiento A 10 84.24 2.90 B 10 85.54 3.65

Pregunta Práctica: ¿Existe diferencia entre las Calderas?

Pregunta Estadística ¿La media de la caldera B (85.54) es significativamente diferente de la media de la Caldera A (84.24)? o su diferencia se da por casualidad en una variación de día a día.

Ho: Hipótesis Nula: No existe diferencia entre las Calderas.

Ha: Hipótesis Alterna: Las medias de las Calderas son diferentes.

Se busca demostrar que los valores observados al parecer no corresponden al mismo proceso, se trata de rechazar Ho.

¿Representan las Calderas dos procesos diferentes?¿Representan las mismas condiciones como un solo proceso?

Lo anterior se contesta con pruebas de hipótesis para dos poblaciones como se explica a continuación.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006PRUEBAS PARA LA IGUALDAD DE DOS VARIANZAS.

Presentaremos ahora pruebas para comparar dos varianzas. Supóngase que son dos las poblaciones de interés, por ejemplo X1 y X2, donde , se desconocen. Deseamos probar hipótesis relativas a la igualdad de las dos varianzas, . Considérese que se disponen dos muestras aleatorias de tamaño n1 de la población 1 y de tamaño n2 de la población 2, y sean

las varianzas de muestra. Para probar la alternativa de dos lados

Utilizamos el hecho de que la estadística

Se distribuye como F, con n1-1 y n2 –1 grados de libertad.

Rechazaríamos H0 si

o si

Donde y son los puntos porcentuales superior e inferior de la distribución F con n1-1 y n2-2 grados de libertad. La tabla F proporciona sólo los puntos de la cola superior de F, por lo que para determinar debemos emplear

=

La misma estadística de prueba puede utilizarse para probar hipótesis alternativas de un lado. La hipótesis alternativa de un lado es:

Si , rechazaríamos .

Ejemplo 1: Los siguientes son tiempos de quemado (en minutos) de señales luminosas de dos tipos diferentes.

Tipo 1 Tipo 263 6481 7257 8366 5982 6582 5668 63

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59 7475 8273 82

Pruebe la hipótesis de que las dos varianzas sean iguales. Use

=

= F.025,9,9= 4.03 =.248

0.877 no es mayor que 4.03, por lo cual no se rechaza la hipótesis nula .

USO DE EXCEL Seleccionar Análisis de datos en el menú herramientas. En funciones para análisis elija la opción : Prueba F para varianzas de dos muestras. Seleccionar las columnas de datos con rótulos y el nivel Alfa/2 de 0.025.

Prueba F para varianzas de dos muestras Tipo 1 Tipo 2

Media 70.6 70Varianza 88.7111111 100.444444Observaciones 10 10Grados de libertad 9 9F 0.88318584 P(F<=f) una cola 0.42811371 Valor crítico para F (una cola) 0.24838585

De la tabla deducimos que F1-alfa/2 = 0.248 es menor que Fc de 0.883 y el valor de P value = 0.428 es mayor a alfa/2 de 0.025 por lo cual no rechazamos H0. y las varianzas son iguales.USO DE MINITAB

Stat > Basic statistics > 2 Variances Samples in different columns Seleccionar las columnas de datos En Options: Confidence level 97.5%, Test Mean = 0.0; Alternative = Not equal OK

Test for Equal Variances: Tipo 1, Tipo 2

97.5% Bonferroni confidence intervals for standard deviations

N Lower StDev Upper

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Tipo 1 10 5.89483 9.4187 20.8295Tipo 2 10 6.27256 10.0222 22.1643

F-Test (normal distribution)Test statistic = 0.88, p-value = 0.856

Conclusión: Como Fc de 0.88 es mayor a F1-alfa/2 de 0.248 y Pvalue de 0.856 es mayor a Alfa de 0.05, no se rechaza Ho, las varianzas son similares.

PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS.

a) Varianzas conocidas

Supóngase que hay dos poblaciones de interés X1 y X2, Suponemos que X1 tiene media desconocida y varianza conocida y que X2 tiene media desconocida y varianza conocida . Estaremos

interesados en la prueba de la hipótesis de que las medias y sean iguales.

Considérense primero las hipótesis alternativas de dos colas:

Donde: H0 = Hipótesis nula; H1 = Hipótesis alternativa; = media de la población 1; = media de la población 2.

El procedimiento para probar es calcular la estadística de prueba Zc mediante la siguiente fórmula:

Donde:

= media de la muestra 1; = media de la muestra 2; = varianza de la población 1;

= varianza de la población 2; = tamaño de la muestra 1; = tamaño de la muestra 2

La hipótesis nula H0 se rechaza aceptándose a su vez H1 o Ha en los tres casos siguientes:

a) o Donde: Z0 = Valor calculado del estadístico de prueba; = distr.norm.estand(alfa/2).

b) Si el cero no se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia de las medias.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006c) Si el valor P de probabilidad para el estadístico de prueba Zc es menor al valor del nivel de significancia Alfa. P = 2*distr.norm.estand.inv(Zc)

Las hipótesis alternativas de un lado se analizan de manera similar. Para probar

Se calcula la estadística de prueba Zc , y se rechaza si .

Para probar las otras hipótesis alternativas de un lado

Se utiliza la estadística de prueba Zc y se rechaza si

Ejemplo 2:

Se emplean dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16 onzas. El proceso de llenado puede suponerse normal, con desviaciones estándar de y . Se cree que ambas máquinas llenan hasta el mismo volumen neto, sin importar que este volumen sea o no de 16 onzas. Se toma una muestra aleatoria de la salida de cada máquina.

¿Piensa usted que el llenado es similar? Utilizando . o nivel de confianza de 95%.

Máquina 1

Máquina 2

16.03 16.0216.04 15.9716.05 15.9616.05 16.0116.02 15.9916.01 16.0315.96 16.0415.98 16.0216.02 16.0115.99 16.00

Calculando las medias de cada máquina obtenemos .

Página 91 de 124


=

= Z.025 = distr.norm.estand.inv(0.975) = 1.96El uso de la tabla es el siguiente: 1-.025 =.975 buscando el valor de Z correspondiente a .975 encontramos Z = 1.96

Utilizando el criterio de decisión para rechazar la hipótesis nula H0, nos damos cuenta de que 1.34 no es mayor que 1.96. por lo cual no rechazamos H 0. No existe suficiente evidencia estadística para pensar que las medias son diferentes.

Cuando rechazamos la hipótesis nula se considera que la prueba es potente, si no se rechaza la hipótesis nula el criterio de decisión es débil, ya que generalmente se busca rechazar H0.

-Zalfa/2=-1.96Zc = 1.34

Zalfa/2=1.96Como Zc es menor que Z alfa/2, no cae en el área de rechazo, y por tanto no hay suficiente evidencia para rechazar Ho

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P(z >= Z excel ) = alfa/2 P(z <= - Z excel ) = alfa/2


USO DE EXCEL Seleccionar Análisis de datos en el menú herramientas. En funciones para análisis elija la opción : Prueba z para medias de dos muestras.

Prueba z para medias de dos muestras Máquina 1 Máquina 2

Media 16.015 16.005Varianza (conocida) 0.000225 0.000324Observaciones 10 10Diferencia hipotética de las medias 0 z 1.34962722 P(Z<=z) una cola 0.08856779 Valor crítico de z (una cola) 1.95996398 Valor crítico de z (dos colas) 0.17713559 Valor crítico de z (dos colas) 2.24140273

Conclusiones: No se rechaza Ho (Medias iguales) ya que Zc de 1.349 < Zalfa/2 de 1.96; el valor P de 0.177 es mayor a Alfa = 0.05.

USO DE MINITAB Stat > Basic statistics > 2 Sample t seleccionar Summarized data Seleccionar Assume equal variantes En Options: Confidence level 95%, Test Difference 0.0; Alternative Not equal En Graphs: Boxplot of data OK

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Two-Sample T-Test and CI

Sample N Mean StDev SE Mean1 10 16.0150 0.0150 0.00472 10 16.0050 0.0180 0.0057

Difference = mu (1) - mu (2)Estimate for difference: 0.01000095% CI for difference: (-0.005567, 0.025567)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 1.35 P-Value = 0.194 DF = 18Both use Pooled StDev = 0.0166

Conclusiones: No se rechaza Ho (Medias iguales) ya que Zc de 1.35 < Zalfa/2 de 1.96; el valor P de 0.194 es mayor a Alfa = 0.05 y el cero se encuentra en el IC para la diferencia de medias de (-0.005567, 0.025567).

b) Varianzas desconocidas:

Consideraremos ahora pruebas de hipótesis respecto a la igualdad de las medias de dos distribuciones normales donde no se conocen las varianzas . Tenemos dos casos en el primero las varianzas son iguales y en el segundo las varianzas son desiguales, a continuación analizaremos cada uno de ellos.

Caso 1 varianzas igualesSean X1 y X2 dos poblaciones normales independientes con medias desconocidas , y varianzas conocidas pero iguales . Deseamos probar:

Sean X1, X2, , las medias y las varianzas de las muestras, respectivamente. Puesto que tanto

estiman la varianza común , podemos combinarlas para producir una sola estimación, mediante la siguiente fórmula:

Para probar calcúlese la estadística de prueba

Si o si , rechazamos

Las alternativas de un lado se tratan de modo similar. Para probar:Página 94 de 124


Calcúlese la estadística de prueba t0 y rechácese si:

Para la otra alternativa de un lado,

Calcúlese la estadística de prueba y rechácese si:

Ejemplo 3: Se está investigando la resistencia en ohms de dos alambres, con la siguiente información de muestras.

Alambre 1 Alambre 20.14 0.1350.141 0.1380.139 0.140.14 0.1390.138 0.144

Suponiendo que las dos varianzas son iguales, ¿qué conclusiones puede extraerse respecto a la resistencia media de los alambres?

Calculando la media y la desviación estándar de la muestra:

= .0021

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= 1.72

Buscamos en la tabla de distribución t el valor = t.025,8 =2.306

Utilizando el criterio de rechazo , 1.72 no es mayor que 2.306, por lo tanto no rechazamos H0.

USO DE EXCEL Seleccionar Análisis de datos en el menú herramientas. En funciones para análisis elija la opción: Prueba t para dos muestras suponiendo

varianzas iguales. Seleccionar las columnas de datos y las celdas de resultados.

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Alambre 1 Alambre 2Media 0.14033333 0.138Varianza 4.2667E-06 4.6667E-06Observaciones 6 4Varianza agrupada 4.4167E-06 Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 8 Estadístico t 1.72002633 P(T<=t) una cola 0.06187033 Valor crítico de t (una cola) 2.30600413 P(T<=t) dos colas 0.12374065 Valor crítico de t (dos colas) 2.75152359

Conclusión: En la tabla de Excel encontramos los valores deseados: 1.72 no es mayor que 2.306 (=distr.t.inv(0.05,8) por lo cual no rechazamos Ho. Asimismo P value de 0.123 es mayor a alfa/2 de 0.025 y no se rechaza Ho, las medias son similares.USO DE MINITAB

Stat > Basic statistics > 2 Sample t Samples in different columns Seleccionar Assume equal variantes En Options: Confidence level 97.5%, Test Difference 0.0; Alternative Not equal

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En Graphs: Boxplot of data OK

Two-Sample T-Test and CI: Alambre 1, Alambre 2

Two-sample T for Alambre 1 vs Alambre 2

N Mean StDev SE MeanAlambre 1 6 0.14033 0.00207 0.00084Alambre 2 4 0.13800 0.00216 0.0011

Difference = mu (Alambre 1) - mu (Alambre 2)Estimate for difference: 0.00233397.5% CI for difference: (-0.001399, 0.006066)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 1.72 P-Value = 0.124 DF = 8Both use Pooled StDev = 0.0021

Conclusión: En la tabla de Excel encontramos los valores deseados: 1.72 no es mayor que 2.306 por lo cual no rechazamos Ho. Asimismo P value de 0.124 es mayor a alfa/2 de 0.025 y el cero se encuentra en el intervalo de confianza por lo que no se rechaza Ho, las medias son similares.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Caso 2 Varianzas diferentes

Cuando las varianzas son diferentes utilizamos el estadístico de prueba:

Para el cálculo de los grados de libertad utilizamos:

El procedimiento para llevar a cabo la prueba de hipótesis es el mismo que el caso 1, varianzas iguales excepto que se emplean t0 como estadística de prueba y n1 + n2 -2 se sustituye por en la determinación de los grados de libertad para la prueba.

Ejemplo 4: Se están investigando dos métodos para producir gasolina a partir de petróleo crudo. Se supone que el rendimiento de ambos procesos se distribuye normalmente. Los siguientes datos de rendimiento se han obtenido de la planta piloto.

Proceso 1 Proceso 224.2 2126.6 22.125.7 21.824.8 20.925.9 22.426.5 22

¿Hay alguna razón para creer que el Proceso 1 tiene un rendimiento medio mayor?

Calculamos la media y la varianza para ambos procesos:

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=

=

Buscando el valor en la tabla t encontramos t .05,9 = 1,833, mediante el criterio de rechazo para una cola t0>t.05,9 , 8.48>2.262, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula, y aceptamos la hipótesis alterna, el proceso 1 tiene mayor rendimiento que el proceso 2.

USO DE EXCEL Seleccionar Análisis de datos en el menú herramientas. En funciones para análisis elija la opción: Prueba t para dos muestras suponiendo

varianzas desiguales. Seleccionar las columnas de datos y las celdas de resultados.

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Proceso 1 Proceso 2Media 25.6166667 21.7Varianza 0.90166667 0.376Observaciones 6 6Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 9 Estadístico t 8.48757168 P(T<=t) una cola 6.878E-06 Valor crítico de t (una cola) 2.26215716 P(T<=t) dos colas 1.3756E-05 Valor crítico de t (dos colas) 2.68501085

Tc de 8.48 mayor que Talfa!de 2.262 (valor crítico de t de una cola), se rechaza Ho.USO DE MINITAB

Stat > Basic statistics > 2 Sample t Samples in different columns Quitar selecciçon de Assume equal variantes En Options: Confidence level 97.5%, Test Difference 0.0; Alternative Not equal En Graphs: Boxplot of data OK

Two-Sample T-Test and CI: Proceso 1, Proceso 2

Two-sample T for Proceso 1 vs Proceso 2 N Mean StDev SE Mean

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Proceso 1 6 25.617 0.950 0.39Proceso 2 6 21.700 0.613 0.25

Difference = mu (Proceso 1) - mu (Proceso 2)Estimate for difference: 3.9166797.5% CI for difference: (2.64695, 5.18638)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 8.49 P-Value = 0.000 DF = 8

Data

Proceso 2Proceso 1

27

26

25

24

23

22

21

Boxplot of Proceso 1, Proceso 2

PRUEBA DE DOS MEDIAS PAREADAS CON T

Cuando es posible resulta ventajoso utilizar muestras pareadas en las pruebas de comparación. En una prueba de comparación pareada, la reducción en la variabilidad experimental puede permitir la detección de pequeños movimientos en los datos. A pesar de que los grados de libertad sean reducidos, porque ahora el tamaño de muestra corresponde al número de comparaciones.

Un ejemplo de este tipo de prueba es la evaluación de dos piezas de equipo de inspección para determinar si existe alguna diferencia significativa entre los equipos.

Las hipótesis de prueba en torno a la igualdad pueden realizarse efectuando una prueba t de una muestra en . Específicamente, probar contra es equivalente a probar

El estadístico de prueba apropiado es

donde y

Rechazaríamos si o si , las alternativas de un lado se tratarían de manera similar.

Ejemplo 5:

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus productos con un método propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se seleccionaron ocho trabajadores de la planta de armado y se les pidió que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos observados en minutos.

TrabajadorProceso actual

Proceso nuevo Di (Di-D)^2

1 38 30 8 10.56252 32 32 0 03 41 34 7 494 35 37 -2 45 42 35 7 496 32 26 6 367 45 38 7 498 37 32 5 25

Dpromedio 4.75 27.8203125

En , ¿existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor que el del método propuesto por más de dos minutos?

= 4.75 = 3.69

= = 2.107

, debido a que 2.107 > 1.895 rechazamos H0, y aceptamos la H1: el tiempo de armado para el proceso actual es mayor en dos minutos que el método propuesto.

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USO DE EXCEL Seleccionar Análisis de datos en el menú herramientas. En funciones para Análisis elija la opción: Prueba t para dos muestras emparejadas Seleccionar las columnas de datos y las celdas de resultados

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas

Proceso actual

Proceso nuevo

Media 37.75 33Varianza 22.21428571 15.14285714Observaciones 8 8Coeficiente de correlación de Pearson 0.646487248 Diferencia hipotética de las medias 0 Grados de libertad 7 Estadístico t 3.637357075 P(T<=t) una cola 0.004158105 Valor crítico de t (una cola) 2.364624251 P(T<=t) dos colas 0.00831621 Valor crítico de t (dos colas) 2.841244247

De la tabla concluimos que Tc de 3.63 > Talfa/2 de 2.364 (valor crítico de t una cola), por lo cual rechazamos Ho. Por otro lado el valor P de 0.008 es menor a alfa de 0.05 y se rechaza Ho, las medias son diferentes.

USO DE MINITAB Stat > Basic statistics > Paired t Samples in different columns En Options: Confidence level 95%, Test Mean = 0.0; Alternative = Not equal En Graphs: Boxplot of data OK

Paired T-Test and CI: Proceso actual, Proceso nuevo

Paired T for Proceso actual - Proceso nuevo

N Mean StDev SE MeanProceso actual 8 37.7500 4.7132 1.6664Proceso nuevo 8 33.0000 3.8914 1.3758Difference 8 4.75000 3.69362 1.30589

95% CI for mean difference: (1.66205, 7.83795)T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 3.64 P-Value = 0.008

De la tabla concluimos que Tc de 3.64 > Talfa/2 de 2.364 (valor crítico de t en dos colas), por lo cual rechazamos Ho. Por otro lado el valor P de 0.008 es menor a alfa de 0.05, el cero no se encuentra en el intervalo de confianza IC y se rechaza Ho, las medias son diferentes.

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE DOS PROPORCIONES

En las pruebas de hipótesis sobre proporciones tratamos de probar:

Considérese que se toman dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de dos poblaciones, y sea X1 y X2 el número de observaciones que pertenecen a la clase de interés en la muestra 1 y 2 respectivamente.

Una estimación del parámetro común p es:

La estadística de prueba para es entonces:

Si o , la hipótesis nula se rechaza.

Ejemplo 6: La fracción de productos defectuosos producidos por dos líneas de producción se está analizando. Una muestra aleatoria de 1000 unidades de la línea 1 tiene 10 defectuosas, en tanto que una muestra aleatoria de 1200 unidades de la línea 2 tiene 25 defectuosas. ¿ Es razonable concluir que la línea de producción 2 produce una fracción más alta de producto defectuoso que la línea 1? Use .

=

=

=

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= = -2.02

Se utiliza el estadístico de prueba Z0 y no se rechaza si

-2.02 no es menor que –2.35 por lo cual H0 no se rechaza.

USO DE MINITAB Stat > Basic statistics > 2-Proportions Seleccionar Summarized data En Trials poner el tamaño de las muestras y en Events lo que se busca. En Options: Confidence level 99%, Test Difference = 0.0; Alternative = Not equal Seleccionar Use pooled estimate for p for test OK

Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p1 10 1000 0.0100002 25 1200 0.020833

Difference = p (1) - p (2)Estimate for difference: -0.010833399% CI for difference: (-0.0241928, 0.00252612)Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = -2.02 P-Value = 0.043

Conclusión: De la tabla Tc de -2.02 > Talfa de -2.35 (valor crítico de t en dos colas), por lo cual no rechazamos Ho. Por otro lado el valor P de 0.043 es mayor a alfa de 0.01, el cero se encuentra en el intervalo de confianza IC y no se rechaza Ho para un alfa de 0.01, las medias son similares.

RESUMEN DE LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Pruebas de medias:

Prueba Z para medias (varianza conocida): Prueba si dos medias de muestras son iguales. Prueba t para medias (varianza desconocida): Prueba si dos medias de muestras son iguales.

Se tienen dos casos: varianzas iguales y varianzas diferentes Prueba t pareadas para medias: prueba si dos medias de muestras (por pares) son iguales.

Pruebas de varianza: Prueba F para varianzas: Prueba si dos varianzas de muestras son iguales.

Pruebas de proporciones: Prueba Z para proporciones: Prueba si dos proporciones de muestras son iguales.

EJERCICIOS:

1. Determinar a un nivel de confianza del 90% si hay diferencia entre las medias de tiempos de limpieza de máquina A y máquina B. Se toman muestras para comprobar la afirmación.

Máquina A Máquina B25.2 18.017.4 22.922.8 26.421.9 24.819.7 26.923.0 17.819.7 24.623.0 21.019.716.921.823.6

2. Los tiempos de terminación del programa para dos departamentos se muestran a continuación:Probar a un 90% de nivel de confianza si sus varianzas y promedios son iguales.

Depto. A Depto. B300 276280 222344 310385 338372 200360 302288 317321 260376 320290 312301 334283 265

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 20063. Los tiempos de terminación para la tarea con un método mejorado y actual son, para el mismo empleado son los siguientes. Probar a un 90% de nivel de confianza si los métodos dan los mismos resultados.

Método 1 Método 2 Dif.6.0 5.4 0.65.0 5.2 -0.27.0 6.5 0.56.2 5.9 0.36.0 6.0 0.06.4 5.8 0.6

Ho: Dif. Prom = 0 0.3 DpromHa: Dif. Prom. <> 0 0.3347 Sdif

4. Un participante es calificado antes y después de un curso. Probar a un 8% de nivel de significancia si el curso tuvo impacto.

Antes Después5 64 67 73 45 38 95 76 6

5. A dos grupos de personas se les pidió que indicaran el porcentaje de recortatorio de dos avisos:Probar a un 5% si son iguales los dos grupos.

Aviso Lo vieron Lo recordaronA 150 63B 200 60

6. Se hizo una encuesta para determinar el porcentaje de personas que usaban Internet en el trabajo: En México se encontró que el 40% de los adultos usa Internet de una muestra de 240.En Monterrey el 32% de los adultos usaba Internet de una muestra de 250.¿Para un nivel de significancia del 10%, es mayor la proporción que usa Internet en México que en Monterrey?

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MÓDULO 6. TABLAS DE CONTINGENCIA Y ANOVA

6.1 TABLAS DE CONTINGENCIA

La tabla ji- cuadrada ( ) se utiliza principalmente :

Para probar si una serie de datos observada, concuerda con el modelo (serie esperada) de la información.

Para probar las diferencias entre las proporciones de varios grupos (tabla de contingencia).

Para todos los casos,Ho: No hay diferencia o no hay dependencia entre variablesH1: Hay diferencia o si hay dependencia entre variables

Pasos para realizar la tabla de contingencias

1) Plantear las hipótesis:

H1: al menos dos proporciones son diferentes.2) Construir una tabla que contenga los valores observados.3) Sumar los totales de los renglones y columnas de los valores observados.4) Debajo de cada valor observado poner el valor esperado utilizando la fórmula:

4) Calcular el valor del estadístico de prueba usando la fórmula:

donde:

Oij = Valor observado de la celda i,j.Eij = Valor esperado de la celda i,j

5)6) Determinar los grados de libertad mediante:

donde r = número de renglones c = número de columnas

7) Calcular el valor crítico en la tabla 8) Criterio de decisión: si el valor crítico < valor del estadístico de prueba rechazamos Ho

Ejemplo: Al final de un semestre, las calificaciones de matemáticas fueron tabuladas en la siguiente tabla de contingencia de para estudiar la relación entre la asistencia a clase y la calificación obtenida.

Ausencias AprobadoNo

aprobado 0 - 3 135 110 4 - 6 36 4

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7 - 45 9 6Con , ¿indican los datos que son distintas las proporciones de estudiantes que pasaron en las tres categorías de ausencias?

H0 : p1 = p2 = p3

H1 : al menos dos proporciones son diferentes.

Los valores Oij = 135, 110... corresponden a los valores observados, los valores esperados se colocan en las celdas con paréntesis, para calcular los utilizamos la fórmula:

Calculamos el valor del estadístico de prueba usando la fórmula:

La tabla siguiente nos ayuda a organizar los cálculos para el estadístico.

Tabla. Cálculos para el estadístico Chi cuadrada

Para determinar el valor crítico del estadístico de prueba procedemos de la siguiente manera:Determinar los grados de libertad usando la fórmula: , gl = (3-1)(2-1) = 2

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006El valor critico del estadístico ji-cuadrada para y g.l. = 2 se denota , En la tabla ji- cuadrada encontramos que vale 5.991, el valor del estadístico de prueba es =17.44.

Conclusión: Como este estadístico está localizado en la región de rechazo (a la derecha del valor crítico) , rechazamos Ho por lo cual aceptamos la hipótesis alternativa H1: al menos dos proporciones son diferentes. La tasa de aprobación si depende de las asistencias.

USO DE EXCEL: para determinar el valor crítico 1. Posicionarse en una celda vacía2. Accesar el menú de funciones con Fx 3. Seleccionar ESTADÍSTICAS, PRUEBA. CHI.INV. Dar valores de probabilidad (0.05) y grados de libertad, (# de renglones -1) * (# de columnas - 1) para el caso de tablas de proporciones.

USO DE MINITAB1. Stat > Tables > Chi square test2. Indicar las columnas conteniendo la tabla (C2 Aprobado y C3 No aprobado)3. OK

Chi-Square Test: Aprobado, No aprobado Expected counts are printed below observed countsChi-Square contributions are printed below expected counts Aprobado No aprobado Total 1 135 110 245 147.00 98.00 0.980 1.469 2 36 4 40 24.00 16.00 6.000 9.000 3 9 6 15 9.00 6.00 0.000 0.000Total 180 120 300

Chi-Sq = 17.449, DF = 2, P-Value = 0.000

Conclusión: Como el estadístico calculado Chi cuadrado es mayor al Chi de alfa y el valor P es menor a Alfa, se rechaza Ho indicando que si hay dependencia de los aprobados y asistencias.

Ejercicio 1. Se trata de ver si el número de reclamaciones depende de la cuadrilla para un 5% de nivel de significancia. Ho: Los rechazos son independientes de la cuadrilla.

Ha: los rechazos dependen de la cuadrillaCuadrilla OK Rech

1 200 352 150 243 210 40

Ejercicio 2. Los datos de 3 proveedores en relación a partes defectuosas es como sigue:Probar a un 5% de significancia si los defectos dependen del tipo de proveedor.

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Proveedor BuenosCon Def menores

Con def graves

A 90 3 7B 170 18 7C 135 6 9

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6.2 ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA)

El análisis de la varianza de un factor (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de una vía porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como:

Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son:

1. Ambas poblaciones son normales.2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es, El estadístico tiene una distribución muestral resultando:

El valor crítico para la prueba F es:

Donde el número de grados de libertad para el numerador es k-1 y para el denominador es k(n-1), siendo el nivel de significancia.

k = número de muestras.

Por ejemplo:

Ejemplo: Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a 3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Programa 3.

Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programael diseño se denomina DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO

Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas:

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TRATAMIENTOS

I c=1 c=2 c=3 J

Programa 1Programa 2 Programa 3

r=1 85 80 82r=2 72 84 80r=3 83 81 85r=4 80 78 90r=5 ** 82 88

Medias 80.00 81.00 85.00 XjMedia de medias o media total 82.14

TIPOS DE VARIACIÓN Y SUMAS DE CUADRADOS

1. Variación total entre los 14 empleados, su puntuación no fue igual con todosVARIACIÓN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCT = (85-82.14)2 + (72-82.14)2+(83-82.14)2+.....+(88-82.14)2SCT = 251.7

2. Variación entre los diferentes tratamientos o Variación entre muestras o variación entre programa 1, programa 2 y programa 3EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL

SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2SCTR = 65.71

3. Variación dentro de un tratamiento o muestra o programa dado que no todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los mismos puntajes. Se denomina Variación dentro de los tratamientos.VARIACIÓN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIÓN DEL ERROR

CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO

SCE = SCT - SCTR = 186

4. GRADOS DE LIBERTAD

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11

gl SCT = gl SCTR + gl SCE gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c

5. CUADRADOS MEDIOS (Suma Cuadrados/ Grados libertad)CMT = Cuadrado medio total = SCT / (n-1) = 19.4CMTR = Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1) = 32.9CME = Cuadrado medio del error = SCE/ gle.= 16.9

6. ESTADÍSTICO DE PRUEBA Fc Y ESTADÍSTICO F CRÍTICO DE ALFA

Fc = CMTR / CME= 1.946745562

Cálculo de F con Excel=DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR) =DISTR.F.INV(0.05, 2, 11) = 3.982297957

NO RECHAZAR ZONA DE

RECHAZO

Distr. F

Como Fc es menor a Falfa no se rechaza Ho y las medias son iguales.

7. VALOR P DE Fc

P = distr.f(Fc, gl. SCTr, gl. SCE) = distr.f(1.946, 2, 11) = 0.18898099Como P es mayor a alfa no se rechaza Ho

CONCLUSION: NO HAY SUFICIENTE EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO, LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS SON IGUALES

TABLA DE ANOVA

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Entre muestras (tratam.) SCTR c-1 CMTR CMTR/CMEDentro de muestras (err.) SCE n-c CMEVariación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006USO DE EXCEL:

En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.

En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos (todas las columnas a la vez). Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados.

RESUMEN Análisis de varianza de un factorGrupos Cuenta Suma Promedio Varianza

Programa 1 4 320 80 32.666667Programa 2 5 405 81 5Programa 3 5 425 85 17

ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de Promedio de

VariacionesSuma

cuadrados libertad Cuadrados Fc Probabilidad F críticaEntre grupos 65.71428571 2 32.85714286 1.9431644 0.18937731 3.98229796Dentro de grupos 186 11 16.90909091 Total 251.7142857 13

USO DE MINITAB

Stat > ANOVA > One Way (Unstacked) en Responses in separate columns Indicar las columnas de datos En Confidence Level 95% Seleccionar Comparisons Tukey 5% OK

One-way ANOVA: Programa 1, Programa 2, Programa 3

Source DF SS MS F PFactor 2 65.7 32.9 1.94 0.189Error 11 186.0 16.9Total 13 251.7

S = 4.112 R-Sq = 26.11% R-Sq(adj) = 12.67%

Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev

Level N Mean StDev ----+---------+---------+---------+-----Programa 1 4 80.000 5.715 (------------*------------)Programa 2 5 81.000 2.236 (----------*-----------)Programa 3 5 85.000 4.123 (-----------*----------) ----+---------+---------+---------+----- 77.0 80.5 84.0 87.5Pooled StDev = 4.112

NOTA: Si los Intervalos de confianza se traslapan, las medias son iguales estadísticamente

Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006All Pairwise Comparisons

Individual confidence level = 97.94%

Programa 1 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-Programa 2 -6.451 1.000 8.451 (------------*-----------)Programa 3 -2.451 5.000 12.451 (-----------*------------) --------+---------+---------+---------+- -6.0 0.0 6.0 12.0

Programa 2 subtracted from:

Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-Programa 3 -3.025 4.000 11.025 (-----------*----------) --------+---------+---------+---------+- -6.0 0.0 6.0 12.0

NOTA: Si el cero se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia entre medias, este par de medias no son diferentes.

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1. Cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida de tres componentes están siendo investigado.

Se obtienen las siguientes concentraciones: Catalizador

A B C D58.2 56.3 50.1 52.957.2 54.5 54.2 49.958.4 57 55.4 5055.8 55.3 51.754.9

2. Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes de Ingeniería se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuales son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza.

3. Las calificaciones en el examen a 18 empleados de tres unidades de negocioSe muestran a continuación:Probar si no hay diferencia entre las unidades a un 5% de nivel de significancia.

A B C85 71 5975 75 6482 73 6276 74 6971 69 7585 82 67

4. Probar si hay diferencia en los tiempos de servicio de 4 unidades de negocio para el mismo servicio a un nivel de significancia del 5%.

A B C D5.4 8.7 11.1 9.97.8 7.4 10.3 12.85.3 9.4 9.7 12.17.4 10.1 10.3 10.88.4 9.2 9.2 11.37.3 9.8 8.8 11.5

MÓDULO 7. REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL

Son dos herramientas para investigar la dependencia de una variable dependiente Y en función deuna variable independiente X. Y = f(X)

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Y = Variable dependiente que se desea explicar o predecir, también se llama regresor o respuestaX = Variable independiente, también se llama variable explicativa, regresor o predictor

Regresión lineal - La relación entre X y Y se representa por medio de una línea rectaRegresión curvilinea - La relación entre X y Y se representa por medio de una curva.

Y * * ** * * * * * * * * * b1 * * * * * * * *

* * * * * * b0

Correlación positiva Correlación negativa X Sin correlación

La ecuación de la recta es la siguiente:

El término de error es la diferencia entre los valores reales observados Yi y los valores estimados por la ecuación de la recta. Se trata de que estos sean mínimos, para lo cual se utiliza el método de mínimos cuadrados.

Y *

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estimadaregresióndeModeloXbbY

muestraladedatosenbaseConeXbbYpoblaciónlaenbaseConXY

...................

..............................

10

*́

10

10


*

X

Se trata de minimizar la suma de todos los errores o residuos:

Las fórmulas resultado de la minimización de lo cuadrados del error se aplicarán en el siguiente ejemplo por claridad. Se tienen los siguientes supuestos:

1. Los errores o residuos se distribuyen normalmente alrededor de la recta de regresión poblacional2. Las varianzas de los errores son las mismas en todos los valores de X (Homoscedasticidad) en caso contrario se tiene (Heteroscedasticidad)3. Los errores o residuos son independientes: No se muestra algun patrón definido.

El coeficiente de Correlación r desarrollado por Carl Pearson es un indicador de la fuerza de la relación entre las variables X y Y, puede asumir valores entre -1 y 1 para correlación negativa y positiva perfecta respectivamente. Por ejemplo si se encuentra que la variable presión tiene una correlación positiva con el rendimiento de una caldera, se deben buscar soluciones al problema mediante acciones asociadas con la variable presión; de lo contrario, sería necesario buscar la solución por otro lado.

Se identifican tres medidas de desviación como sigue:

YYest = 4.4 + 1.08 X

Yi = 23 *Desviación no explicadaError = (Yi - Yest) = 1.32

Variación total(Yi-Ymedia)=5.13 Desviació explicada

(Yest-Ymedia) = 3.81Ymedia =17.87

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X = 16 X

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TALLER DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD P. REYES / SEPT. 2006Ejemplo: Se sospecha que el tiempo requerido para hacer un mantenimiento preventivo está relacionado con su número. Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los datos de tiempo tomados para n = 25 servicios se muestran a continuación:

X Servicios Y Tiempo (Xi-X)*(Yi-Y) (Xi-X)^2 (Yi-Y)^2 Yest Error2 9.95 119.076672 38.9376 364.1533 10.9199 0.94088 24.45 1.099872 0.0576 21.0021 28.3362 15.1022

11 31.75 7.499472 7.6176 7.3832 37.0443 28.029210 35.00 10.502272 3.0976 35.6075 34.1416 0.73698 25.02 0.963072 0.0576 16.1026 28.3362 10.99694 16.86 51.612672 17.9776 148.1771 16.7253 0.01812 14.38 91.433472 38.9376 214.7045 10.9199 11.97212 9.60 121.260672 38.9376 377.6337 10.9199 1.74229 24.35 -3.558928 0.5776 21.9286 31.2389 47.45638 27.50 0.367872 0.0576 2.3495 28.3362 0.69914 17.08 50.679872 17.9776 142.8694 16.7253 0.1258

11 37.00 21.989472 7.6176 63.4763 37.0443 0.002012 41.95 48.568672 14.1376 166.8541 39.9470 4.01212 11.66 108.406272 38.9376 301.8142 10.9199 0.54774 21.65 31.303072 17.9776 54.5057 16.7253 24.25234 17.89 47.245472 17.9776 124.1620 16.7253 1.3564

20 69.00 470.014272 138.2976 1,597.3771 63.1686 34.00521 10.30 135.625472 52.4176 350.9178 8.0172 5.2111

10 34.93 10.379072 3.0976 34.7770 34.1416 0.621615 46.59 118.686672 45.6976 308.2553 48.6551 4.264615 44.88 107.127072 45.6976 251.1337 48.6551 14.251216 54.12 194.676672 60.2176 629.3676 51.5578 6.564917 56.63 241.751472 76.7376 761.6054 54.4605 4.70686 22.13 15.462272 5.0176 47.6486 22.5307 0.16065 21.15 25.540272 10.4976 62.1385 19.6280 2.3164

206 725.82 2,027.7132 698.5600 6,105.9447 220.0926SX SY Sxy Sxx Syy = SST SSE

X promedio Y Promedio SXi-X)*(Yi-Y) S(Xi-X)^2 S(Yi-Y)^2

Sxy Sxx Syy

Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y = a + bx. Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que se minimice la distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos tomando las sumas de cuadrados siguientes se muestran a continuación:

Sxy = 2027.71Sxx = 698.56Syy = 6105.94

Las ecuaciones para el cálculo manual son las siguientes:

= 2.902704421

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= 5.114515575

Las sumas de cuadrados son:

6,105.9447

220.0926

5,885.8521

El coeficiente de determinación r2 y el coeficiente de correlación r se calculan a continuación:

= 0.9639

El coeficiente de determinación indica el porcentaje de la variación total que es explicada por la regresión.

= 0.9816

El coeficiente de correlación proporciona el nivel de ajuste que tienen los puntos a la línea recta indicando el nivel de influencia de una variable en la otra. El factor de correlación r es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística para afirmar que el tiempo de atención esta relacionado con el número de servicios atendidos.

USO DE EXCEL

1. En el menú Herramientas seleccione la opción Análisis de datos. Datos de ejemplo 6.2. Seleccione la opción Regresión.3. Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numéricos de la tabla.4. Seleccione Resumen de estadísticas.5. En opciones de salida seleccione en Rango de salida, una celda de la hoja de calculo que

este en blanco ( a partir de está celda serán insertados los resultados).

Resumen

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.981811778Coeficiente de determinación R^2 0.963954368R^2 ajustado 0.962387167Error típico 3.093419627Observaciones 25

ANÁLISIS DE VARIANZA Suma de Promedio de

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Grados de

libertad Cuadrados cuadrados FValor crítico

de FRegresión 1 5885.852069 5885.852069 615.0800898 4.24118E-18Residuos 23 220.0926348 9.569244992Total 24 6105.944704

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%Intercepción 5.114515575 1.145804127 4.463691004 0.000177215 2.744239161XServicios 2.902704421 0.117040719 24.80080825 4.24118E-18 2.660587249

X Servicios Curva de regresión ajustada

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

0 5 10 15 20 25

X Servicios

Y Ti

empo

Y Tiempo

Pronóstico Y Tiempo

Lineal (Pronóstico YTiempo)

En la gráfica observamos que al aumentar el número de servicios el tiempo de atención aumenta.

USO DE MINITAB

Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos siguientes (después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y C2):

Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y aceptar con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de determinación.

Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en Minitab: Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X,

seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función cuadrática o cúbica y aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.

En Options: seleccionar Display Confidence (para media en X) y Prediction Intervals para X. En Graphs: Seleccionar Residual for plots Standardized y Normal Plot of residuals La gráfica de residuos debe apegarse a la recta y tener siempre un valor P value >0.05.

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X Servicios

Y Tie

mpo

20151050

70

60

50

40

30

20

10

0

S 3.09342R-Sq 96.4%R-Sq(adj) 96.2%

Regression95% CI95% PI

Fitted Line PlotY Tiempo = 5.115 + 2.903 X Servicios

Regression Analysis: Y Tiempo versus X Servicios

The regression equation isY Tiempo = 5.115 + 2.903 X ServiciosS = 3.09342 R-Sq = 96.4% R-Sq(adj) = 96.2%Analysis of VarianceSource DF SS MS F PRegression 1 5885.85 5885.85 615.08 0.000Error 23 220.09 9.57Total 24 6105.94

La regresión tiene una r^2 de 96.4% y la influencia de una variable X en Y es significativo.

Los intervalos de confianza para la media y el intervalo de predicción para un punto específico X son los siguientes:

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tSyiestYYxparaIP

SCxXXi

nSeSyi

*

2

..

)(11

tSyestYparaIC

SCxXXi

nSeSy

xy

*

!

2

..

)(1


1. La energia consumida en un proceso depende del ajuste de máquinas que serealice, realizar una regresión cuadrática con los datos siguientes y responder las preguntas.

Cons_energíaAjuste Máq.

Y X21.6 11.15

4 15.71.8 18.91 19.41 21.4

0.8 21.73.8 25.37.4 26.44.3 26.7

36.2 29.1

a) Trazar un diagrama de dispersiónb) Obtener la ecuación de regresión lineal y cuadrática y compararc) Estimar el consumo de energía para un ajuste de máquina de 20 con regresión cuadráticad) Obtener los intervalos de predicción y de confianza paraun ajuste de máquina de 20e) Obtener el coeficiente de correlación y de determinación

2. En base al porcentaje de puntualidad se trata de ver si hay correlación con las quejas en una línea aérea. Las quejas son por cada 100000 pasajeros.

%puntos QuejasAerolinea X Y

A 81.8 0.21B 76.6 0.58C 76.6 0.85D 75.7 0.68E 73.8 0.74F 72.2 0.93G 70.8 0.72H 68.5 1.22

a) Trazar un diagrama de dispersiónb) Obtener la ecuación de regresión lineal c) Estimar las quejas para un porcentaje de puntualidad de 80%d) Obtener los interalos de predicción y de confianza para una altura de 63"e) Obtener el coeficiente de correlación y de detemrinación

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estadÍstica descriptiva · web view2. cada ensayo produce un éxito o un fracaso. 3. la...

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