アンサンブル・カルマンフィルタ

三好 建正

（気象庁 数値予報課）

2005/11/19 THORPEX研究集会 神戸大学にて

アウトライン

• 数値天気予報のしくみ• アンサンブル予報• データ同化• アンサンブル・カルマンフィルタ（EnKF）

数値天気予報のしくみ

time

予報

観測

解析

観測

真の状態（未知）

解析

予報

解析

モデルシミュレーション

予報解析サイクル：過去の観測の情報を時間方向に積み重ねる。

成長する誤差

真の状態（未知）

観測

観測誤差

予報

解析

解析誤差

予報誤差

予報

カオス力学系では、初期値の誤差が成長する。

→ 決定論的な予測の限界

確率論的な表現

T=t0誤差を含む初期値 誤差を含む予報

P

誤差を含む観測誤差を含む解析

T=t1

問題点：

モデル自由度：~O(106)以上

誤差の形状の自由度：Gaussianを仮定しても、共分散行列はモデル自由度の2乗の自由度を持つ。

大きすぎて、陽に確率論的な表現を扱うことは不可能

アンサンブルによる確率論的表現Obs.

Analysis Ens. mean

T=t0 T=t1 T=t2誤差を含む初期値 FCST Ens. mean

P

アンサンブル予報の利点（１）

• 予報の（不）確実性が予測できる– 予報誤差を予測する→明日の予報はいつもより当たりやすい, etc.

T=t0 T=t1

P

T=t0 T=t1

P

当たりにくい日 当たりやすい日

アンサンブル予報の利点（２）

• 決定論的予報では外れてしまう予報も、どれかのアンサンブルメンバーが表現しうる

– 決定論的予測（単一の予測）では、一つの予測しか出せない。

– 解析誤差が発展する範囲で複数の予測が可能

T=t0

決定論的予報

アンサンブル平均

現実

T=t1

アンサンブルによる確率論的表現Obs.

Analysis Ens. mean

T=t0 T=t1誤差を含む初期値 FCST Ens. mean

P

解析（データ同化）のプロセス

解析（データ同化）のプロセス

真の状態について、独立な情報を提供する。

二つの情報を組み合わせることで、より確からしい解析値を得る。

背景場を観測で修正する

背景場も観測も、真の状態（未知）のまわりに分布

情報の組み合わせ（1次元の例）

15 20 [C]

p

この部屋の気温

A BBest estimation

22

22

22

22

BA

BAAB

BA

BBAA TTTTTσσσσ

σσσσ

++

=++

= −−

−−

二つの独立した情報から、より確からしい（誤差の小さい）推定値が得られる。

−−∝ 2

2

2)(exp)(

A

AA

TTTpσ

−−∝ 2

2

2)(exp)(

B

BB

TTTpσ

++

−−∝

−−

−−∝

•=

−−

−− 2

22

22

2

2

2

2

&

exp

2)(

2)(exp

)()()(

BA

BBAA

B

B

A

A

BABA

TTT

TTTT

TpTpTp

σσσσ

σσ

多次元変数への拡張

)]()(exp[)( 121 fTffp xxBxxx −−−∝ −

)]()(exp[)( 121 oToo HHp yxRyxx −−−∝ −

)}]()()(){(exp[)()()(

1121

&

oTofTf

ofof

HHppp

yxRyxxxBxxxxx

−−+−−−∝

•=−−

変数を多次元に一般化する。

背景場の確率密度関数（PDF）

観測のPDF

合成確率

これを最大にするようなxが解析値を与える。

背景誤差共分散行列

観測誤差共分散行列

誤差共分散とは？

College Park, MDで観測したとすると、その地点での背景場の値と観測値を組み合わせて、College Parkでの解析値は得られるでしょう。

その近隣では観測はありませんが、どうなるのでしょう？

誤差共分散は、College Parkでの観測情報を広げる働きをする

流れに依存した誤差共分散

これでは不適切

流れに依存して、形状が歪むべき

寒冷前線がありますね。。

この場合はどうなるでしょう？

流れに依存した誤差共分散を使うことで、適切なデータ同化（解析）ができる。

EnKFの原理

データ同化（解析）

アンサンブル予報

解析誤差 予報誤差

このサイクルプロセス ＝ EnKF

流れに依存した予報誤差を使って解析し、その解析誤差を反映したアンサンブル摂動を生成する。

アンサンブル予報と解析の相補的関係

EnKFの利点（１）

R

oy fx

超低次元に広がるアトラクタax

“Errors of the day”

アトラクタを考慮しない場合の解析値

アトラクタ上で解析されるので、自然とバランスの取れた解析値が得られる。

EnKFの利点（２）mメンバーのアンサンブルが原則的に(m-1)次元空間を張る。

決定論的予報

+

- 輪郭を捉えようとする

解析誤差を必ずしも反映しない＋，－ペア

従来の力学的束縛によるアンサンブル摂動生成（BreedingやSV法）では、＋，－ペアによりアンサンブル摂動の平均がゼロとなるようにしていた。→mメンバーはm/2次元空間を張る。

解析誤差を適切に反映したアンサンブルメンバー

EnKFの機動観測への応用• EnKFのアンサンブルは、そのサイクルプロセスにより、予報誤差、解析誤差を良く反映するため、機動観測への応用にも期待される。

• Liu et al. (2005)は、EnKFを使った理想的な数値実験を行い、予報アンサンブル・スプレッドにより見積もられた予報誤差標準偏差の大きい場所が、機動観測に適した地点であることを確かめた。

無人飛行機

自動ゾンデ©Vaisala

ドロップゾンデ©Vaisala

サンプリングエラーの問題

限られたメンバー数 ~O(100)モデル自由度~O(106)、共分散行列の自由度~O(1012)

サンプリングエラー

（局所低次元性, Patil et al. 2000）

局所化 アトラクタの低次元性

解決法

局所化による解決法

図：Lorenc (2003)より抜粋

局所化

裾でサンプリングエラーが抑えられる。

いろいろなEnKFの手法

We implement and compare Serial EnSRF and LEKF

EnKF

Serial EnSRF (Whitaker and Hamill 2002)ETKF (Bishop et al. 2001)EAKF (Anderson 2001)

LEKF (Ott et al. 2002; 2004)

Effective in serial treatment of observations

Simultaneous treatment of observations

Perturbed observation (PO) method

Square root filtering (SRF) method

We do not investigate this

Serial EnSRF localizes covariance P around observation locations.

LEKF treats local patches independently.N local patches cover the entire globe.

Weighting function

Local patch

LEKF with obs. localization

0.33

Lorenzの40変数モデルへの適用

Serial EnSRF

40変数のうち20を観測（観測誤差：1.0）従来の時間依存しない誤差を使った場合の解析RMSE: 1.15

0.34

Lorenz-96 model (Lorenz 1996; Lorenz and Emanuel 1998)

Cov

aria

nce

infla

tion

fact

or

Localization length scale Localization length scale

T30L7の全球モデルでの適用例• Perfect model scenario• The SPEEDY model

(Molteni 2003)– Primitive-Equation

dynamical core– Simplified physics

100.0Ps [Pa]0.0001q [kg/kg]

1.0T [K]1.0v [m/s]1.0u [m/s]

Obs. Err. Stdev.Variables

500Z 解析RMSE

3DVAR (31m)

LEKF (8m)

Serial EnSRF(5m)

30 ensemble members

解析インクリメントと真の誤差

3DVAR EnKF

Lattice-like pattern in the 3DVAR background error field.EnSRF analysis increment is better capturing error structures.

Shades: background error, Contour: analysis increment

5日予報の成績

SPREAD

RMSE

3DVAR

問題点

• モデル誤差の存在– 現実を再現する完全なモデルはない。– モデルの不完全性に起因する誤差が、サイクルプロセスで引き継がれてしまう。

– EnKFだと、時間依存する誤差共分散でも引き継がれるという危険性がある。

モデル誤差バイアス推定法（Dee and da Silva 1998）などによって、バイアスについては対応できる可能性

モデル誤差の共分散については、その大きさや影響も含め、未解明

今後の課題• 高解像度全球モデルへの適用

– 必要なアンサンブルメンバー数？

• 実際の観測データの使用– Houtekamer et al. (2005), Whitaker et al. (2005)

• 4次元変分法（4D-Var）との比較– 4D-VarもEnKFも時間依存する予報誤差を考慮しているが

• モデル誤差推定法の適用可能性– Dee and da Silva (1998), Danforth et al. (2005)

• メソ領域モデルへの適用• ターゲット観測への有用性

– 現実に誤差の大きい場所がわかる→解析場の改善へ

まとめ

• 数値天気予報– 予報解析サイクル– データ同化（解析）– 決定論的表現の限界→確率論的表現へ– アンサンブルによる確率論的表現

• アンサンブル・カルマンフィルタ（EnKF）– アンサンブル予報→予報誤差– 解析誤差→アンサンブル摂動生成– すばらしいパフォーマンスの実例– 今後、実用化に向けて…

サイクルプロセス

Kalman filtering (KF)Kalman filtering (KF) is an optimal weighted mean between forecast and observation.

)( fi

oii

fi

ai HxyKxx −+=

Here, the optimal weight (Kalman gain) is given as1][ −+= RHHPHPK Tf

iTf

ii

KF (estimation of P) is optimal when the model is linear and perfect.

Error covariance is estimated by the forecast:Pi

f = MPiaMT + Q

Error covariance forecast is usually underestimated partly because of model nonlinearity. Thus, covariance inflation is required.

Pif = (1+ δ)MPi

aMT

Inflation parameter

Ensemble Kalman filtering (EnKF)Ensemble formulation

PE TE× ≅N

100~m

N

000,000,10~N

Assumption: Limited number of ensembles can estimate PTo avoid sampling errors, we localize covariance.

Eif = 1+ δME i

aPif = (1+ δ)MPi

aMT

By the ensemble formulation, we can forecast error covariance from ensemble forecasting:

The SPEEDY model (Molteni 2003)

Primitive-equation dynamic coreSimplified physicsConvection (a simplified mass-flux scheme)

Vertical diffusionSurface fluxes of momentum and energy (bulk aerodynamic formula)Long wave radiation (four spectral bands)Short-wave radiation (two spectral bands)Large-scale condensation, Clouds

No diurnal forcing

Prognostic variablesu, v, T, q, Ps

ResolutionT30L7 ( 96 x 48 x 7 )

1000.08072000.20063000.34055000.51047000.68538500.83529250.9501

Pressure(hPa)

Sigma(p/ps)

Level

Computational time2 seconds for 6-hour forecast on a 2.7GHz Celeron PC