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TECNICAS FINANCIERAS _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ UNIVERSIDAD DE PAMPLONA-Facultad de Estudios a Distancia

Programas de Estudio a Distancia

www.unipamplona.edu.co

Esperanza Paredes Hernández

Rectora

María Eugenia Velasco Espitia

Decana Facultad de Estudios a Distancia

Técnicas

Financieras



PROLOGO Este libro de fundamentos y aplicaciones de las matemáticas financieras tiene como propósito principal, presentar diferentes herramientas de evaluación del dinero en el tiempo utilizado para este fin un, lenguaje sencillo que el estudiante con pocos conocimientos sobre el tema, los pueda abordar con facilidad otro propósito es que para el desarrollo de algunos temas, se utiliza el uso de la calculadora HEWLETT PACRARD como también la hoja electrónica Excel, herramientas que ayudan y facilitan y hacen más sencillo los procedimientos para solucionar los diferentes problemas y casos de la Matemáticas Financiera. Es de aclarar que este libro no pretende desarrollar modelos Matemáticos, ni explicar detalladamente de donde y como resultan las fórmulas, lo que buscan es saber las aplicaciones y el uso de las fórmulas en la vida cotidiana de las personas como de las empresas con el único objetivo que es el de tomar decisiones de tipo económico. Cada capitulo tiene su objetivo general, desarrollando los contenidos en una forma clara y sencilla explicando los ejercicios paso a paso y con el uso de las diferentes herramientas como la calculadora H.P., el Excel y sobre todo elaborando los ejemplos con situaciones reales que se presentan en el diario vivir de un, ciudadano o empresa. Este libro va dirigido a los estudiantes de administración de empresas, contaduría y carreras afines que les proporciona conceptos básicos y fundamentales para el desempeño de sus funciones y para utilizar mejor en todos los casos el Valor del dinero en el tiempo.



CAPITULO 1. INTERÉS SIMPLE

OBJETIVO

Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá: Definir los conceptos de interés, interés simple, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo o periodos de pago. TEMAS 1.1 Introducción y conceptos básicos. 1.2 Cálculo de intereses. 1.3 Representación gráfica o diagrama de tiempo. 1.4 Cálculo de valor Presente. 1.5 Cálculo de plazo o tiempo. 1.6 Cálculo de tasa de interés. 1.1. INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS



Introducción. En toda actividad comercial y financiera se acostumbra pagar un interés por uso del dinero prestado. La gran fuente de ingresos de las Entidades Financieras es originada por los intereses de los usuarios. CONCEPTOS O DEFINICIONES INTERÉS Es el precio que se paga por usar el dinero de otro en un tiempo determinado. Valor del dinero en el tiempo. Utilidad o ganancia que genera un capital o rendimiento de una Inversión. Por un dinero que se presta es necesario pagar un precio. Este precio está representado por una suma que se debe pagar en el plazo estipulado, este valor se denomina interés. Cuando se invierte un capital en un negocio o inversiones se espera recuperar un mayor valor de la suma invertida, esta utilidad del capital o de la inversión, se llama tasa de retorno que la podemos asimilar a la tasa de interés, en otras palabras, la utilidad de la inversión es igual al interés del capital aportado. INTERÉS SIMPLE Se dice que una operación comercial o financiera se maneja con interés simple cuando los intereses no generan intereses. CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS SIMPLE El capital inicial no varía durante el tiempo de la operación ya Que los intereses no se suman al capital. Los intereses solo se aplican al capital inicial.

Los intereses serán siempre iguales para cada uno de los Periodos.

Para dar claridad a las definiciones anteriores se expone el siguiente ejemplo:



El Señor Carvajal, prestó $ 1.000.000 de pesos al Señor Cañas, para que le devuelva $ 1.100.000 de pesos dentro de dos meses. Aquí se aprecia que el Señor Carvajal se gana $ 100.000 por prestarle él $ 1.000.000 al Señor Cañas. Los $ 100.000 pesos son los intereses que se ganó en los dos meses o sea $ 50.000 cada mes. Del ejemplo anterior se deduce lo siguiente:

1. Él $ 1.000.000 del Señor Carvajal representa el capital invertido. Esto también se llama valor presente y lo representamos en este libro con la palabra P, también se denomina C= Capital Invertido o prestado.

2. Él $ 1.100.000 pagados por el Señor Cañas representa el dinero y lo

representamos con la letra F que significa valor futuro.

3. $ 100.000 representan los intereses ganados por el Señor Carvajal en los dos meses y lo representamos con la letra I

De aquí resulta la siguiente fórmula: I = F – P I = Interés P= Valor Presente F= Valor Futuro I = 1.100.000 – 1.000.000 I = 100.000 Si en los dos meses los intereses fueron de $ 100.000 esto quiere decir que $ 50.000 son los de un mes. Si queremos conocer el porcentaje se ejecuta la siguiente operación:

05.0000.100

000.50 Esto corresponde al índice porcentual que para

Expresarlo en porcentaje lo multiplicamos por 100 o sea, 0.05x100 equivale al 5%.Otra forma de calcular los intereses es aplicar la fórmula aprendida en la secundaria que es aplicar fórmula siguiente:

I = CxRxT (2)



Donde: I = Interés C = Capital = 1.000.000 r = Rata o Tasa de Interés = 5% = 0.05 T = Tiempo = 2 meses Con base en el ejemplo anterior I = 1.000.000x0.05x2 I = 100.000 Representación Gráfica. Una de las técnicas para la solución de problemas de Matemáticas financieras o del valor del dinero a través del tiempo es la representación gráfica que consiste en trasladar la información del problema o sus datos, a un diagrama que nos permita visualizar y controlar la solución que le estamos dando. La representación gráfica se inicia trazando una línea horizontal que nos permite ver el tiempo que dura la transacción. Hoy Mañana Presente Futuro Si las operaciones se realizan mensual, bimestral, trimestral, etc. Dividirá esa línea horizontal en el número de veces que dura la operación. Ejemplo: Si una operación dura 8 trimestre la línea horizontal estará dividida en 8 partes. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Las flechas hacia arriba en una línea de tiempo representan los ingresos a caja. Las flechas hacia abajo en una línea de tiempo representan los egresos de caja. Si representamos el ejemplo del Señor Carvajal en una línea de tiempo quedará así: F = 1.100.000

I = 0.05



2 0

Meses P = 1.000.000 Volviendo a retomar la formula (2) Podemos cambiar algunos términos como son: C = Capital por P valor Presente r = Rata por i tasa de interés n = Número de periodos i = Interés Nos quedaría entonces así:

PniI

Despejamos P nos queda así:

ni

IP

Pn

Ii

Pi

In

Para calcular el valor futuro volvemos a la fórmula (1) que es I = F – P; despejando F = P + I. Pero como I es igual Pni; F= P+Pni; Entonces factorizando nos queda:

)1( nipf ( 3 )

De la fórmula (3) podemos calcular P y nos queda:

niI

f

De la formula (3) despejamos I :

I = CxRxT (2)

1



)1

(1

p

f

ni

De la formula (3) despejamos n

)1

(1

p

f

in

Ahora para dar mayor claridad definimos cada uno de los componentes de la formula 3. Valor Presente: Es la suma de dinero que toma o se entrega en préstamo hoy. El valor presente indica una cantidad de dinero ubicado en el periodo cero, y se representa con la letra P, en otros libros con las letras VP. Valor Futuro: Es la suma de dinero recibida o pagada por un préstamo en un futuro, está ubicado al final de un periodo n y se representa con la letra F y en otros libros con las letras VF. Tasa de Interés: Es la relación entre el interés y el valor presente. Generalmente se expresa en porcentaje y se representa con la letra i. Periodo de Pago: Son los intervalos de tiempo durante los cuales el valor presente gana interés. Los periodos pueden ser anuales, semestrales, trimestral, mensuales, etc.

PROBLEMAS RESUELTOS.... Ejemplo 1.1 Luisa Cañas, deposita hoy $ 1.000.000 en el Banco que reconoce el 2% mensual. ¿Cuánto retirará al final del primer año? P = 1.000.000

NOTA: Es importante que el n y el i o

sea tasa de interés y periodos de pago,

se expresen en el mismo tiempo, en

otras palabras los periodos de pagos

son mensuales, la tasa de interés debe

estar expresado también en meses.



N = 12 MESES I = 2% F = ? F = ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.000.000 12 MESES F = P ( 1 + ni) F = 1.000 ( 1 + 12 X0.02 ) F = 1.000.000 (1.24) F = 1.240.000 Ejemplo 1.2. ¿Cuánto tengo que depositar hoy, si dentro de 8 trimestres quiero tener $ 3.000.000 y el banco reconoce el 8% trimestral? 3.000.000 8 1 2 3 4 5 6 7 i = 0.08 trimestrales

?p

)1( ni

fp

)08.0*81(

000.000.3

p

64.1

000.000.3p

29,268.829.1p

Ejemplo 1.3. Hoy deposité $ 1.000.000 en un Banco y dentro de 12 meses recibo la suma de $ 1.360.000 ¿Qué interés mensual me reconocieron?

1)(1

P

F

ni



i = 0.03

n = 33.3333 ( 1.36 – 1 )

n = 12 meses

P = 1.000.000 i = 0.08333 (1.36-1)

f = 1.360.000 1)000.000.1

000.360.1(

12

1i i = 0.08333 (0.36)

n = 12 meses i = 0.03 I =?

Ejemplo 1.4. Con base en el ejemplo anterior decimos, hoy deposito $ 1.000.000 en un Banco que reconoce el 3% ¿En cuantos meses tendré $ 1.360.000?

P = 1.000.000 )1(1

P

F

in

F = 1.360.000

n = ? )1000.000.1

000.360.1(

03.0

1n

Ejemplo 1.5. Rubén Cañas deposita $ 4.000.000, por un año en el banco que reconoce una tasa de Intereses trimestrales del 5%, el interés es cancelado trimestralmente. ¿ Que suma recibe Rubén trimestralmente?. 4.000.000 P = 4.000.000 I = ? I = ? I = ? i = 0.05 n = 01 4 I = ? TRIMESTRE 1 2 3 Lo podemos hacer de dos formas: Primera: Como habíamos definido que interés era capital por rata por tiempo; I = c x r x t esto es lo mismo que I = P x i x n. I = 4.000.000 x 0.05 x 1 I = 200.000 Esto significa que cada trimestre Rubén puede retirar $ 200.000 pesos. Segunda: Calculando el valor futuro para un periodo. F = P ( 1 + ni ) I = F – P

0.03 x 100 = 3%

Mensual

Los multiplicamos por 100 para expresarlo en

Porcentajes



F = 4.000.000 ( 1 + 0.05 X 1 ) I = 4.200.000 – 4.000000 F = 4.200.000 I = 2.000.000 Ejemplo 1.6. El Señor Rangel recibe mensualmente $ 60.000 de intereses ¿Cuánto dinero depositaría s la tasa es del 36% mensual? P = ? I = 60.000 i = 36% = 3% mensual n = 1 mes I = P x i x n; despejando P nos queda: P = I P = 60.000 = 2.000.000 P = 200.000 i x n 0.02 x 1 2.000.000 60.000 60.000 60.000 60.000 60.000 1 2 3 4 12 2.000.000 Ejemplo 1.7. Si por depositar $ 5.000.000 en una cuenta de ahorros pagan $ 150.000 trimestral por concepto de intereses, ¿Qué tasa de interés reconoce el Banco? 5.000.000 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000

EL DIAGRAMA DE ESTE EJERCICIO

QUEDARÍA ASÍ:



i = ? n = Trimestre P = 5.000.000 I = P x i x n; despejemos I nos queda:

np

Ii

*

1*000.000.5

000.150i

000.000.5

000.150i

03.0i

Ejemplo 1.8 Si hoy deposito $ 2.000.000 en una Institución financiera que paga el 2.5% mensual ¿Cuántos meses tengo que dejarlo para obtener el doble? 4.000.000

1 2 3 4 5 6 7 n P = 2.000.000 i = 0.025 meses Hay dos formas para desarrollarlo: Primera: I = P x i x n Si decimos que va a obtener el doble, eso quiere decir que si deposito $ 2.000.000, los intereses serán $ 2.000.000, despejando la formula anterior.

ip

In

*

025.0*000.000.2

000.000.2n Meses40

000.50

000.000.2

Segunda: Si P = 2.000.000 F será el doble $ 4.000.000 i = 0.025 y el n no se conoce.

)1(1

p

f

in



)10000.000.2

000.000.4(

025.0

1n

)12(40 n

40n

Ejemplo 1.9 Hoy vendemos mercancías por valor de $ 3.500.000, con el compromiso de cancelarla en un solo pago dentro de 5 meses. Si cobramos una tasa del 24% anual, ¿Cuánto dinero recibiremos en el momento del cobro? P = 3.500.000 n = 5 meses i = 24 anual F =? F = ? 5 1 2 3 4 MESES 3.500.000 I = 0.08 El interés que es del 24% anual lo dividimos en 12 meses y nos da un interés mensual de 0.24/12 = 0.02 o sea el 2%. F = P (1+ ni) F = 3.500.000 (1 + 5 x 0.02) F = 3.500.000 (1.10) F = 3.850.000

RECIBIMOS LA SUMA DE $ 3.850.000,00



PROBLEMAS PROPUESTOS 1.1 Hoy deposito $ 2.500.000 en una cuenta que reconoce el 22% anual ¿ Cuánto dinero tendré dentro de 2 años?. Respuesta $ 3.600.000. 1.2 Si deseo tener dentro de 3 años $ 4.000.000, ¿ Cuanto tengo que ahorrar hoy, si el Banco reconoce el 18% anual? Respuesta $ 2.597.403. 1.3 ¿Qué capital produce un interés mensual de $ 280.000 sí él Banco reconoce el 1.5% mensual? Respuesta $ 18.666.667. 1.4 Luisa Mojica prestó la suma de $ 15.000.000 y recibe trimestralmente $ 900.000 por concepto de intereses ¿ A qué tasa trimestral prestó el dinero? Respuesta 6% Trimestral. 1.5 Hoy presté $ 2.000.000 y me entregaron un tiempo después $ 2.265.000. Si la tasa de interés que me pagaron fue del 1.5% mensual, ¿ Cuánto días tuve que dejar el dinero ? Respuesta 265 días. 1.6 Un inversionista estima que dentro de 2 años una casa puede costar $ 38.000.000 ¿ Cuánto puede pagar hoy si el interés es del 20% anual? Respuesta 27.142.857. 1.7 Un inversionista debe elegir entre las siguientes alternativas:

a- Comprar una casa de contado por $ 30.000.000, esperando venderla dentro de 3 años en $ 60.000.000.

b- Prestar los $ 30.000.000 a un amigo que paga el 30% anual. Respuesta Alternativa a.

1.8 El 01 de enero consigna $ 600.000 en una cuenta de ahorros, el 15 de abril consigne $ 800.000 y el 01 de Julio $ 500.000. Si el Banco reconoce el 2% mensual ¿Cuánto dinero puedo Retirar el 30 de diciembre? Respuesta 2.256.000.



CAPITULO 2 INTERÉS COMERCIAL Y REAL DESCUENTOS

OBJETIVOS Al finalizar el estudio de éste capitulo, el estudiante podrá: Explicar los conceptos y diferencias entre interés comercial e interés real.

Calcular los días comerciales y exactos.

Distinguir, explicar la diferencia entre descuento comercial y descuento

racional. Plantear y resolver problemas sobre los temas antes

Mencionados. TEMAS

2.1 Interés Comercial. 2.2 Interés Real.



2.3 Determinación de Tiempo. 2.4 Descuentos Bancarios. 2.4.1 Descuentos Comerciales o Bancarios. 2.4.2 Descuentos Racional o Matemáticos. 2.5 Problemas Resueltos 2.6 Problemas propuestos

2.1 INTERÉS COMERCIAL

El interés Comercial es también llamado ordinario y es el que se calcula para años de 360 días.

2.2 INTERES REAL Es aquel que se calcula sobre los días exactos, o sea, sobre años de 365 días o 366 días si es año bisiesto. Ejemplo. Calcular el interés real de $ 1.000.000 al 18% durante 125 días. 2.3 DETERMINACIÓN DEL TIEMPO Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. En el cálculo del tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal, se acostumbra excluir el primer día e incluir el último, pero en algunos casos se incluyen ambos, o sea, las fechas inicial y final.

EJEMPLO. Calcular el interés ordinario de $ 1.000.000 al 18% anual durante 125

días.

I = P.n.i I = 1.000.000 x 125 0.18 P = 1.000.000 360 n = 125 días i = 18% anual I = 62.500

I = P x n x i I = 1.000.000x 125 x 0.18 365 I = 61.643,83



Ejemplo. Un préstamo otorgado el 10 de marzo y pagado el 25 de marzo, el tiempo transcurrido es de 15 días, porque el 25 - 10 es igual a 15, en este caso se excluye la fecha inicial. En otras partes se toma la fecha inicial y final y sería entonces 16 días. Una de las maneras para calcular los días es el siguiente: Siempre colocamos la fecha final en el numerador y le restamos la fecha inicial o sea, el denominador, restando años con años, meses con meses y días con días. Ejemplo. Cuantos días hay entre el 15 de abril de 1995 de 30 de junio del 2.001. 30 06 2001 Fecha Final 15 04 1995 Fecha Inicial 15 días 2 meses 6 años 6 años x 360 días = 2.160 2 Meses x 30 días = 60 25 días 15 2.235 ¿Pero qué sucede cuando el numerador de los meses o días es menor que el denominador? En ese caso, como se puede ver, los años tienen 12 meses, los meses tienen 30 días. Cuando el numerador de los meses es menor que el denominador, se le quita un año al numerador de los años y se le suma los 12 meses del numerador de los meses, si el numerador de los días es menor, se le quita un mes al numerador de los meses y se le suman 30 días al numerador de los días y así puedo proceder a la resta. Ejemplo. ¿Cuántos días hay del 30 de noviembre de 1997 al 15 de Marzo del 2000. ?



15 03 2000 Fecha Final 30 11 1997 Fecha Inicial Aquí observamos que al 2000 se le puede restar 1997; al 03 no se le puede restar 11 ni a 15 se le puede restar 30. Entonces, el año 2000 queda convertido en 1999 y los meses que son 03 se le suman los 12 meses que se le restaron al año 2000, quedando 15 meses en el numerador y así se le puede restar los 11 del denominador. Como a 15, que es el numerador de los días, no se le puede restar 30 días, que es el denominador, entonces los meses le prestan un mes a los días, o sea, 30 días quedando convertido El numerador en 45 días y así se puede restar. Entonces queda así: 14 45 15 1999 15 11 2000 NUMERADOR 45 14 1999 30 11 1997 15 días 3 Meses 2 años 2x360 = 720 3x30 = 60 15 795 días Otra forma para calcular los días es a través de las tablas de tiempo, para este caso el año se toma de 365 días y los meses de 30 y de 31 días respectivamente, por lo tanto, el cálculo es más exacto, o sea, los verdaderos días calendarios transcurridos entre 2 fechas. Tabla No 1. Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto) Desde el día del mes inicial

Al mismo día del mes terminal

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

JUL

AGO

SEP

OCT

NOV

DIC



ENE 365 31 59 90 120 151 181 212 243 27 304 334

FEB 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

MAR 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

ABR 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 215 244

MAY 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

JUN 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

JUL 185 215 243 274 304 335 365

31 62 92 123 153

AGO 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

SEP 122 153 181 22 242 273 303 334 365 30 61 91

OCT 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

NOV 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

DIC 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

La tabla fue tomada del libro de matemáticas financieras Linconyan Poetus G Cuando la fecha inicial, ejemplo 6 de marzo, es igual a la fecha final, ejemplo 6 de noviembre, se mira la intersección de los meses de marzo y noviembre dándonos como resultado 245 días, es de anotar que la fecha inicial es la primera columna (vertical) y la fecha final es la fila (horizontal) y 245 es la intersección de las dos.

Cuando la fecha inicial, ejemplo 5 de julio, es menor que la fecha, ejemplo 20 de diciembre, se toma la diferencia entre la fecha final y la fecha inicial y el resultado se le suma a la intersección.

20 - 5 = 15

La intersección de Julio - Diciembre es de 153 días, entonces

153 + 15 = 168 días.

Cuando la fecha inicial, ejemplo 20 de abril, Es mayor que la fecha final, 8 de octubre,

se toma la diferencia entre la fecha inicial y final 20 – 8 = 12 y este resultado se le resta

al número de la intersección.



Ejemplo. Calcular los días que hay entre el 6 de junio y el 10 de febrero del año siguiente Ejemplo. Calcular los días entre el 16 de mayo de 1998 y el 10 de enero del 2001. 2.4 DESCUENTOS BANCARIOS El descuento es una operación de crédito que consiste en comprar o vender una obligación hoy, que se vence en un futuro, descontando intereses que devengaría el documento entre la fecha de compra o venta y la fecha de vencimiento. En los descuentos se usan algunas expresiones que es necesario definir: Valor Nominal de un Pagaré: Es el que está inscrito en la obligación, para el comerciante en general se trata de capital. Descontar un pagaré: Es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio de una suma mayor comprometida en una fecha futura.

BOGOT

Á

Intersección 183 – 12 = 171 días

10 – 6 = 4 Intersección = 245 245 + 4 = 249 días

16 – 10 = 6 Intersección = 245 245 – 6 = 239 días

2años x 356 = 780 + 239 = 969 días



Descuentos: Es el valor que le restamos al valor nominal en el momento de pagar el pagaré, en otras palabras, es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe o se paga en el momento de descontar el documento. Valor Liquido: Es la diferencia entre el valor nominal y el descuento, en otras palabras es el dinero que se recibe o se paga al vender o comprar un documento. 2.4.1 DESCUENTOS COMERCIAL O BANCARIO Es aquel que se calcula sobre el valor nominal del documento. De la formula I = P.n.i. se reemplaza y nos queda: Dc = S.n.d. Dc = Descuento Comercial S = Valor pagaré o valor nominal d = Tasa de descuento n = Tiempo Ejemplo. Una letra de $ 5.000.000 que vence dentro de 90 días se compra hoy con un descuento del 18% anual. ¿Cuál es el valor del descuento y el valor líquido Dc = S.n.d. S = 5.000.000 n = 90 días d = 0.18 anual, lo dividimos en 360 días. Dc = 5.000.000x 90x 0.18

360

000.225D

Valor Líquido = S –D Valor Líquido = 5.000.000 – 225.000 Valor Líquido = 4.775.000

LETRA CAMBIO

Descuento = $ 225.000



Esto significa que la letra que se vencía dentro de 90 días me la cancelaron hoy por un valor de $ 4.775.000. Otra forma de calcular el valor líquido (VL)... VL = VN (1-nd) Con base en el ejemplo anterior: VL = 5.000.000 ( 1-90x 0.18 ) 360 VL = 5.000.000 ( 0.9550) VL = 4.775.000 2.4.2 DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO Es la diferencia entre lo que se pagará en el futuro y lo que se va a pagar hoy, valor presente, o sea, calcular sobre el valor efectivo del documento. Con base en el ejemplo anterior el descuento racional será: Dr = 225.000 1 + 90 x 0.18 360 Dr = 225.000 = 215.311 1045 El valor líquido será entonces:

Dr = Descuento Racional

Dc= Descuento Comercial

VL = Vn – Dr VL = 5.000.000 - 215. 311 VI = 4.784.689

nI

DcDr

1



Otra forma de calcular el valor líquido directamente es :

689.784.4045.1

000.000.5

3601.0*901

000.000.5

1

ni

VnVL

Si comparamos el descuento comercial con el descuento real, vemos que en tiempos iguales y a una misma tasa de interés, el descuento comercial o Bancario, siempre será mayor al descuento racional o matemático y por consiguiente, el valor liquido en el descuento comercial, siempre será menor que el racional.

2.5PROBLEMAS RESUELTOS

2.5.1. Calcular, el interés comercial y el interés real de un depósito de $ 1.800.000, que el Banco reconoce el 14% para 180 días. Para el interés comercial tomamos loa años de 360 días y nos quedó así: I = P.n.i I = 1.800.000 x 180 x 0.14 360 I = $ 126.000 Para el interés real tomamos los años de 365 días y nos queda así: I = 1.800.000 x 180 x 0.14 365 I = $ 124.274 2.5.2 ¿ Cuantos días hay entre el 6 de marzo y el 14 de septiembre.?



Miremos la intersección en la tabla 1 que es 184 días, a la fecha final 14 le restamos la inicial que es 6 y el resultado 8 se lo sumanos a la intersección 184. 184 + 8 = 192 días 2.5.3 Cuántos días hay entre el 20 de mayo y el 5 de diciembre Miramos la intersección en la tabla que es 214 días y a la fecha inicial 20 le restamos la final que es 5 y nos da como resultado 15 y a la intersección le restamos esa cantidad. 2.5.4 Calcular el descuento comercial y el descuento racional como también

sus valores líquidos de una letra por $ 800.000 descontando 200 días antes de su vencimiento a una tasa del 12% anual.

Descuento Comercial Valor Líquido Dc = S.n.d. VL = S – D Dc = 800.000 x 200 0.12 VL = 800.000 – 53.333 360 Dc = 53.333 VL = 746.667 Descuento Racional Valor Líquido Dr = Dc (1+ni) VL = Vn-Dr Dr = 53.333 VL = 800.000-49.998 1+200 x 0.12

360 VL = 750.000

Dr = 53.333 1.0667 Dr = 49.998

214 - 15 = 199 días



2.5.5 Un comerciante compra dos pagares con un interés del 18% anual, el primero son $ 2.000.000 que vence en 90 días y otro por $ 1.000.000 que vence a los 60 días. ¿Cuánto pagó el comerciante?

Primer Pagaré Segundo Pagaré

000.000.2VL )36018.0*901( 000.000.1VL )36018.0*601(

)9550.0(000.000.2VL )97.0(000.000.1VL

000.910.1VL 000.970VL

000.880.2000.970000.910.1

2.5.6 Hallar el valor líquido con descuento racional de un pagaré por $ 1.800.000 con vencimiento a 90 días y un interés del 24% anual. VL = Vn 1+ni VL = 1.800.000 1+90 x 0.24 360 VL = 1.800.000 1.06 VL = 1.698.113 2.5.7 Un comerciante presta a un cliente la suma de $ 2.000.000 con vencimiento a 180 días y un interés del 24% anual, el cliente firma una letra por los $ 2.000.000 más los intereses. 30 días después el comerciante vende la letra un banco, que descuenta un interés del 18% anual.

a. ¿Por cuánto firma la letra el cliente?

b. ¿Cuánto recibe el comerciante al descontarle el Banco?

a. Teniendo $ 2.000.000 como valor presente cálculo un valor futuro para los 180 días.

F = P 1+ni F = 2.000.000 1+180 x 0.24



360 F = 2.000.000 (1.12) F = 2.240.000 Valor que firma la letra el cliente

b. La letra se firmó a 180 días, eso quiere decir que 30 días después faltan para vencerse 150 días.

VL = Vn =(1-nd) VL = 2.240.000 1-150 x 0.18 360 VL = 2.240.000 (0.9250) VL = 2.072.000 Valor que recibió el comerciante. 2.5.8 Calcular los días en que se descuenta un pagaré por valor de $ 2.500.000 si

se recibió $ 2.050.000 y el interés es del 36% anual.

VL = Vn (1-nd) d

VN

VL

n

1

VL = (1 nd) Vn 1 - 2.050.000 Reemplazando nos queda 2.500.000 nd = 1- VL 0.36 Vn 2.5.9 Un pagaré por $ 3.000.000 se descuenta por la suma de $ 2.730.000 en 90

días. ¿Cuál fue la tasa de descuento anual?.

n = 0.50 años; lo multiplicamos por 360

360 x 0.50 años = 180 días



n

VN

VL

d

1

36.025.0

09.0

360

90

09.0

360

90000.000.3

000.730.21

d

anuald %36100*036.0

2.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 2.6.1. Calcular el interés Comercial de $ 1.200.000 al 24% anual para 120 días Respuesta $ 96.000. 2.6.2 Calcular el interés real con base en el problema anterior. Respuesta $ 94.684,93 2.6.3. ¿Cuántos días hay entre el 20 de septiembre y el 18 de febrero del año siguiente?. Respuesta 151 días. 2.6.4 ¿Cuántos días hay entre el 5 de mayo y el 5 de noviembre? Respuesta 214 días. 2.6.5 ¿Cuántos días hay entre el 16 de abril y el 29 de noviembre? ? Respuesta 227 días. 2.6.6 El Señor Pérez compra una letra de $ 500.000 que vence dentro de 6 meses y la descuenta con un interés del 3% mensual

a. ¿Cuál es el descuento comercial? Rta. 90.000 b. ¿Cuál es el valor liquido? Rta. 410.000

2.6.7 El Banco compra un pagaré por $ 5.000.000 con un descuento del 2.5% mensual y faltan 150 días para su vencimiento.



a. ¿Cuál es el descuento racional? Rta: $ 555.556 b. ¿Cuál es el valor líquido. ? Rta: $ 4.444.444

2.6.8 Un comerciante compra un pagaré de $ 2.000.000 que vence dentro de 180 días con un descuento del 3% mensual, 60 días, después lo vende a un inversionista que cobra el 3.2% mensual.

a. ¿Cuál fue el valor liquido que pago el comerciante? ? Rta: $ 1.640.000.

b. ¿Cuál fue el valor líquido que pago el inversionista. ? Rta $ 1.744.000. c. ¿Cuánto dinero ganó el comerciante. ? Rta: $ 104.000 d. ¿Cuánto dinero gana el inversionista?. Rta $ 256.000

2.6.9 Calcular la fecha en que se descuenta un pagaré con vencimiento el 28 de octubre cuyo valor nominal son $ 2.000.000 y su valor líquido es de $ 1.820.000 con descuento del 3%. Rta: 30 de Julio. 2.6.10 Un pagaré por $ 5.000.000 se descuenta por la suma de $ 4.625.000 en 90 días, ¿Cual fue la tasa de descuento mensual? ? Rta: 2.5% mensual.



CAPITULO 3 INTERÉS COMPUESTO

OBJETIVO Al finalizar el estudio de éste capítulo el estudiante podrá : Definir el interés compuesto y la diferencia con el interés simple. Deducir de un valor presente, valor futuro, períodos y tasa de interés utilizando la calculadora HP y como hoja electrónica Excel. TEMAS 3.1 Introducción 3.2 Valor futuro 3.2.1 Utilizando la fórmula 3.2.2 Utilizando las tablas 3.2.3 Utilizando la HP. 3.2.4 Utilizando Excel



3.3 Valor Presente 3.3.1 Utilizando la fórmula 3.3.2 Utilizando las tablas 3.3.3 Utilizando la HP. 3.3.4 Utilizando Excel 3.4 Cálculo del número de períodos 3.4.1 Utilizando la fórmula 3.4.2 Utilizado la HP. 3.4.3 Utilizando el Excel 3.5 Calculo de la tasa de interés 3.5.1 Utilizando la HP. 3.5.2 Utilizando el Excel 3.6 Problemas resueltos 3.7 Problemas propuestos 3.1 INTRODUCCIÓN El dinero y el tiempo son factores que se encuentran estrechamente ligado con la vida de las personas y de los negocios. Cuando a las personas y negocios le sobran dineros o efectivo, se ahorran o se invierten durante un periodo determinado, con el propósito de ganar un rendimiento o interés y por consiguiente aumentar el capital. Si en caso contrario las personas o los negocios les hace falta efectivo se debe acudir a préstamos y pagar un interés por uso. En el interés simple el capital inicial siempre permanece constante. Mientras que en el interés compuesto los intereses que se van acumulando van aumentando el capital y a su vez, ese nuevo capital va a generar un mayor interés para el siguiente período. En otras palabras, los intereses generan intereses. 3.2 VALOR FUTURO El valor futuro es la suma de dinero recibido o pagado en un futuro,, por un dinero prestado o recibido tiempo atrás, en el interés compuesto está dado por el capital inicial más los intereses que se van capitalizando cada periodo, esto lo podemos ver en el siguiente

cuadro, con el siguiente ejemplo: Pedro Carvajal deposita $ 1.000.000 en el Banco Bogotá, el cual reconoce una tasa del 24 % anual, con capitalización trimestral, ¿ Cuánto recibirá al final del año? . Cómo la capitalización es trimestral,



eso quiere decir que el interés que es 24 % anual, se divide en 4 trimestres que tiene el año. 0,24 = 24% 4 = Trimestres Nos da como resultado 0.06 % trimestral.

Periodos ( n ) Valor Presente o Capital Inicial ( P )

Intereses de cada Periodo ( i )

Valor Futuro ( F )

1 2 3 4

1.000.000 1.060.000 1.123.600 1.191.016

60.000 63.600 67.416 71.460,96

1.060.000 1.123.600 1.191.016 1.262.476

Podemos concluir, que el señor CARVAJAL depositó hoy $ 1.000.000 y después de un año retiro $ 1.262.476,96, porque el banco Bogotá pagó el 24% anual, capitalizado trimestral neto, eso quiere decir, que reconoció la entidad financiera un 6 % de intereses por cada uno de los periodos del años en este caso 4 períodos. 3.2.1 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA FORMULA El valor futuro se calcula mediante la formula que es: F = P ( 1+ i )n

Donde: F = Valor futuro P = Valor Presente ( Capital depositado, capital tomado en préstamo ) n = Períodos de Capitalización o número de veces que el interés se capitaliza. i = Tasa de interés fijada por períodos de capitalización El ejemplo anterior lo podemos resolverlo así: P = 1.00.000 n = 4 trimestres tiene el año i = 0.06 trimestral 24 % = 6 % = 0,06 4 F = ? F = P ( 1 + i )n F = 1.000.000 ( 1 + 0.06 )4

F = 1.000.000 ( 1,06 )4



F = 1.000.000 ( 1, 262477 ) F = 1.262.476,96 3.2.2 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO TABLAS El cálculo del valor futuro se puede realizar a través de las tablas que han sido elaboradas con base en la fórmula anterior. Para éste caso se busca la tabla I (Valores del Factor de Valor Futuro a Interés compuesto) en otras tablas la notación estándar sería ( F/P, i %, n ). Para un interés del 6 % y buscamos la intersección del 6 % con un n igual a 4 en este caso es de ( 1,26247696 ). Teniendo el valor de la tabla lo multiplicamos por el capital o valor presente. 1000.000 ( 1,26247696 ) = 1.262.476,96 3.2.3 CÁLCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO LA CALCULADORA HEWLETT - PACKARD

Para calcular el valor futuro utilizando la HP. Tomemos nuevamente el ejercicio del señor CARVAJAL PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y nos da una nueva pantalla con los siguientes menú o tecla. VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla

12 pagos / año: MODO FINAL

N %IA VA PAGO VF OTRO

Esta pantalla está dada por la parte superior y por la parte inferior. La parte superior significa que son 12 períodos o capitalizaciones al año o sea mensualmente y MODO FINAL significa vencido, como en el ejemplo la capitalización es trimestral, o sea, 4 períodos en el año, tengo que cambiar a 12 / año por 4 pagos / año y se hace de la siguiente forma.



TERCER PASO Se oprime la tecla OTRO de la pantalla inferior y da la

siguiente pantalla: P/AÑO INIC FINAL AMRT. CUARTO PASO Se oprime el número 4 seguido de la tecla P/AÑO y la tecla de la calculadora EXIT y da una nueva pantalla:

4 Pagos/Año MODO FINAL N %IA VA PAGO VF OTRO

La parte inferior significa lo siguiente N = Número de periodos %IA = Interés anual V.A = Valor Presente o actual PAGO = Esta tecla es para anualidades ( no la usamos ) V.F = Valor Futuro OTRO = Para cambiar los periodos

Retomando el ejercicio anterior se tiene lo siguiente: P = 1.000.000 n = 4 i = 0,06 Trimestral Cómo en la calculadora pide interés anual, multiplica por 4



0,06 x 4 = 0,24 y procede a suministrar la información a la calculadora para pedirle la respuesta o el F o Valor Futuro de la siguiente manera: QUINTO PASO Cómo los períodos son cuatro se oprime el número 4 en la calculadora seguido de la tecla N , como el dinero depositado fue $ 1000.000

y es el valor presente se coloca en números 1.000.000 en el tablero más la tecla +/- y luego se oprime, VA , luego como el interés anual es el 24% se coloca el número 24 en la pantalla y oprimo %IA. Hasta acá, se ha suministrado la información necesaria para que nos de la respuesta. Como lo que estamos buscando es el valor futuro se oprime la tecla VF y nos da la respuesta y en este caso la pantalla nos dice que el

3.2.4 CALCULO DEL VALOR FUTURO UTILIZANDO EXCEL Retomando el Ejemplo anterior, queda así: queda así con los siguientes pasos: 1. Construimos el Excel, inicialmente no tiene archivados todos los

comandos, para activarlos se hace click en Herramientas de la barra de ese mismo menú, se hace click en complementos y aparece un, cuadro titulado COMPLEMNTOS y se debe activar Herramientas para el análisis y se hace click en la casilla del frente.

2. Construimos la estructura o tabla. 3. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx. 4. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de

función click en VF.

V F =1.262.476,96



5. Se hace click en aceptar.



6. Para introducir la información se hace click en B3, se hacer click en Nper y luego click en B4, se hacer click en VA y luego click en B2. 7. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.

3.3.VALOR PRESENTE Es la suma de dinero que se deposita hoy o se entrega en préstamo hoy y se representa con la letra P. Para poder ver más claramente, se hace un ejemplo ¿ Sí al cabo de un año quiero tener en el Banco $ 1.200.000, ¿cuánto tengo que depositar hoy, si el Banco reconoce el 30 % anual, capitalizable mensualmente ?. 3.3.1 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA FORMULA La formula del valor presente es :



P = ni

F

)1(

Conocemos F = 1.200.000 N = 12 períodos i = 0,30 /12 = 0,025

94,266.892344889,1

000.200.1

)025,1(

000.200.1

)025.01(

000.200.1

)1( 1212

ni

FP

Hoy tengo que depositar $ 892.266,94 para que dentro de 12 meses pueda tener $ 1.200.000 si el interés mensual es del 0,025 o 2,5 %. 3.3.2 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LAS TABLAS Para el valor presente se busca la tabla II, llamada: “valores del factor del valor presente a interés compuesto”. O en otras tablas la anotación estándar (P/F, i%, n); se busca en la tabla II el interés 2,5 % para un

n = 12; la tabla muestra el factor, que es (0,74355589); ese factor se multiplica por el valor futuro ($ 1.200.000).

1.200.000 ( 0.74355589 ) = $ 892.267 3.3.3 CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO LA H.P. Para calcular el valor presente se hace en el ejercicio anterior, de la siguiente manera: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menú o teclas. VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO

Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla



12 pagos / año : MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO

La parte superior de la pantalla 12 PAGOS / AÑO : MODO FINAL significa que los periodos son 12 en el año y como ejercicio de capitalización es mensual se deja así. La parte inferior de la pantalla se describió anteriormente cuando se calculó el valor presente. TERCER PASO Estando en la pantalla anterior procedemos a incluir la información que tenemos : n = 12 F = 1.200.000 IA = 30 % A = ?

Se escribe el número 12 en la pantalla seguido de la tecla N Se escribe 30 y se oprime la tecla %IA Se escribe 1.200.000 en la pantalla y oprimo la tecla VF Hasta que el momento se ha suministrado la información; para que de la respuesta, se oprime la tecla VA y la respuesta es $ 892.267,06. 3.3.4 CALCULO DEL VALOR PRESENTE UTILIZANDO EL EXCEL Utilizando el ejemplo anterior, queda así: Construimos la estructura o tabla 1. Dejamos el cursor en B6 y se hace click en el icono fx 2. En categoría de función se hace click en financiera y el nombre de función click

en VP. 3. Se hace click en aceptar 4. Para introducir la información, se hace click en B3, se hace click en Nper y

luego en B4, se hace click en VF y click en B2. 5. Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6.



3.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS

Así como se ha calculado el valor presente y futuro, también se puede calcular el número de períodos n. Es importante resaltar que los intereses pueden pagarse o cobrarse anualmente, semestral, trimestral, mensual, entre otros. Esto se denomina períodos de capitalización. Es de anotar que la tasa de interés está expresada anualmente y los períodos de capitalización están dados en meses, se tiene que dividir el interés anual en 12, para que dé un interés mensual, que es igual al período de capitalización meses. De la Fórmula de

Se despeja n y queda )1( iLog

P

FLog

n

F = P ( 1 + i )n



3.4.1 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA FORMULA Ejemplo: Hoy, deposito $ 1.500.000 en un banco y el banco reconoce el 24 % anual capitalizable mensualmente. ¿ Cuántos meses tengo que dejar el dinero en el banco para tener $ 3.059.831?.

Como el interés es 24 % y el período de capitalización es mensual 12

24 = 2%

)1( iLog

P

FLog

n

)2.0,1(

000.500.1

831.059.3

Log

Log

n

02,1log

039887,2Logn

008600,0

309606,0n

36n

Como el período de capitalización son meses, la respuesta es 36 meses. 3.4.2 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO LA H.P. Retomando el ejemplo anterior PRIMER PASO

Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con los siguientes menús.



VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO Se Oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:

12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL N %IA VA PAGO OTRO

Como en la parte superior de la pantalla aparece 12, pagos eso significa que la capitalización es mensual y se deja así.

TERCER PASO

Como se conoce P = 1.500.000 F = 3.059831 y el interés anual que es 24 % procede a suministrar la información así: Cómo $ 1.500.000 es lo que se deposita debe incluir con signo negativo así: se escribe 1.500.000 luego oprimimos la tecla +/- y luego la tecla VA .

Luego se escribe 24 en la pantalla, que son los intereses anuales y se oprime la tecla, %IA sigue escribiendo 3.059.831 y se oprime la tecla VF y para que dé la respuesta se oprime la tecla N y da 36 meses.



3.4.3 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS UTILIZANDO EXCEL Recurriendo al ejemplo anterior

1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx 3. En categorías de función clic en FINANCIERA y en el nombre de función clic en Nper. 4. Hacemos clic en aceptar. 5. Para introducir la información hacemos clic en B3, hacemos clic en Va y clic en B2, hacemos clic en VF y clic en B4. 6. Hacemos clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.



3.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS 3.5 .1 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA FORMULA

i = P

Fn - 1

Ejemplos si hoy deposito 1.500.000 y dentro de 3 años obtengo $ 4.218.997,17 y el banco reconoce los intereses trimestralmente, ¿Que tasa me reconoció ? .

Se Aplica la fórmula i = n

P

F - 1

Como la capitalización es trimestral y el año tiene 4 trimestres y el dinero se depositó durante 3 años, entonces 3 x 4 = 12 trimestres será n.



i = 12

000.500.1

17,997.218.4 - 1

i = 12 812665,2 - 1

i = 1,09 - 1

i = 0,09 = 9% trimestral 3.5.2. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CON LA H.P. Con base en el ejemplo anterior: PRIMER PASO Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla con el siguiente menú: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC

SEGUNDO PASO

Se oprimo la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:

12 PAGOS / AÑO: MODO FINAL

N %IA VA PAGO OTRO

Como los intereses son trimestrales, eso quiere decir que el año tiene 4 períodos, entonces se procede a cambiar la parte superior de la pantalla así: Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla seguido de la tecla P/AÑO y la tecla EXIT y da como una nueva pantalla:



4 PAGOS AÑ: MODO FINAL N %IA VA PAGOS OTROS Como conocemos VA = 1.500.000 VF = 4.218.997.17 como conocemos n = 12 y no conocemos iA procedemos a meter la información así: Tercer Paso: Escribimos $ 1.500.000 en la pantalla, se oprime la Tecla +/- y la tecla VA, Se escribe 4.218.997,17 mas la tecla N y por último se oprime %IA y nos da como Respuesta 36% anual que es = 9% trimestral. 3.5.3 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS UTILIZANDO EL EXCEL

1. Construimos la estructura o tabla 2. Dejamos el cursor en B6 y hacemos clic en el incono fx 3. En categoría de función hacemos clic en Financiera y en el nombre de función clic en TASA. 4. Hacemos clic en aceptar



5.Para introducir la información se hace clic en B4 y clic en VA, se hace clic en B2 y clic en VF luego se hace click en B3. 5. Se hace clic en aceptar y nos aparece la respuesta en B6.

Se oprime OTRO y se escribe 4 en la pantalla, seguido de la tecla P/AÑO y la Tecla EXIT y da una nueva pantalla:

4 PAGOS AÑO: MODO FINAL



N %IA VA PAGO OTRO Como se conoce V.A = 1.500.000 V.F = 4.218.997,17, como se conoce n = 12 y no se conoce se procede a suministrar la información así: TERCER PASO Se escribe $ 1.500.000 en la pantalla, se oprime la tecla +/- y la tecla VA se escribe 4.218.997,17 más la tecla VF se escribe 12 en la pantalla más la tecla N y

por último se oprime la tecla %IA y da como respuesta 36% anual, que es igual 9% trimestral. 4.5 PROBLEMAS RESUELTOS 3.6.1 Hoy se depositan $ 2.000.000 en el Banco Superior que reconoce un 18% anual capitalizable trimestralmente. ¿ Qué suma se retira al cabo de 3 años ?. 4,5 % Trimestral F ? 1 2 3 4 5 6 11 12 Trimestres

P = 200.000 F = iP 1

n

F = 2.000.000 045,01

12

F = 2.000.000 045,112



F = 3.391.762,86 3.6.2 ¿ Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 24% anual, capitalizable bimestralmente, si quiero tener dentro de 4 años $ 600.000 ? 2 % Bimestrial F=6.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...22 23 24 P = ?

P = i

F

1

n

P = 02,01

000.000.6

24

P = 02,1

000.000.6 24

P = 608437,1

000.000.6 P = 3.730.329,50

3.6.3 Hace 10 años se depositaron $ 4.000.000 y hoy se recibieron $ 14.000.000; si el banco paga intereses semestralmente ¿Cuál fue la tasa de interés semestral? 10 años corresponden a 20 semestres = n

i = n

P

F - 1



i = 1000.000.4

000.000.1420

i = 20 5,3 - 1

i = 1,0646 – 1 i = 0,0646 i = 0,046 x 100 = 6,46% semestral 3.6.4 Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy

deposito $ 500.000 ¿ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ 1.000.000 ?

Como el interés está anual lo dividimos en 12

12

33,23 = 1,944

n = iLog

P

FLog

1 n =

01944,01

000.000.5

000.000.1

Log

Log

n = 01944,1

2

Log

Log n =

008361,0

301029,0

n = 36 meses 3.6.5 ¿ Cuál es el valor futuro de $ 600.000 del 7,8% anual capitalizable mensualmente en 5 años, 6 meses ? 5 años x 12 = 60 meses + 6 meses = 66 meses 7,8% anual / 12 meses = 0,65% = 0,0065



F = P i1

n F = 600.000 0065,166

F = 920.154 Un banco reconoce el 23,33% anual capitalizable mensualmente; si hoy deposito $ 500.000 ¿ cuánto tiempo tengo que dejar el dinero si quiero retirar $ 1.000.000 ? Se Puede inventar para este ejemplo, cualquier valor presente. Ejemplo: $ 1.000.000 para que se duplique el valor futuro será $ 2.000.000 y el n es igual a 12 trimestres y buscamos i .

i = n

P

F - 1 = 12

000.000.1

000.000.2 - 1

i = 12 2 - 1

i = 1,05946 - 1 i = 0,05946 x 100 = 5,94% trimestral 3.6.7 Una persona compra unas mercancías por valor de $ 10.000.000, que le será entregada dentro de un año, hoy tiene que pagar $ 4.000.000 y un año después de recibir la mercancía $ 6.000.000. El día que recibe las mercancías la vende en $ 9.600.000.

¿ Si puede invertir el dinero al 10% anual debe hacer el negocio?, ¿cuánto interés ganó ? 9.600.000



2 años

4.000.000 6.000.000

1. Como los $ 9.600.000 los puede invertir al 10% esto significa 9.600.000 (1,10)1 = $ 10.560.000. A los $ 10.560.000 le restamos el pago de $ 6.000.000 y nos queda $ 4.560.000 eso significa que $ 4.000.000 de pesos que cancele el primer mes se convierten en $ 4.560.000 eso quiere decir que si hacen el negocio.

2. Para saber cuánto interés ganó, el valor inicial o valor presente fue $ 4.000.000 . El valor futuro $ 4.560.000 los periodos son 2 años queda entonces:

I = n

P

F - 1 i = 2

000.000.4

000.560.4 - 1

I = 2 14,1 - 1

I = 1,067708 - 1 I = 0,067708 x 100 = 6,77% anual

3.6.8 Una corporación me presta $ 1.000.000 al 24% anual capitalizable trimestralmente para ser cancelado dentro de 3 años; la misma corporación me presta $ 2.000.000 un año después del 24% anual capitalizable semestralmente par ser cancelados dentro de 2 años. ¿ Cuánto dinero tengo que pagarle al banco?.



1.000.000 2.000.000 3 años 0 1 2

VF ?

Para el primer $ 1.000.000 como la capitalización es trimestral 4

24 = 6%

F = P i1n

F = 1.000.000 (1,06)12

F = 2.012.196,47

Para los $ 2.000.000 como la capitalización es semestral 12

24 = 12%

F = P i1

n

F = 2.000.000 (1,12)4

F = 3.147.038,72 Tendrá que hacer un solo pago por $ 5.159.235. 3.6.9 Si para la graduación de mi hijo necesito $ 3.000.000 y se gradúa dentro 3

años cuanto tengo que ahorrar hoy si el banco recorre el 12% anual capitalizable mensualmente.

P = i

F

1

n



P = 01,1

000.000.3 36

P = 769.430.1

000.000.3

P = 2.096.818,49 3.6.10 un cliente dentro de 3 años debe pagar $ 3.000.000 y dentro de 5 años $

6.000.000 cuándo hace un solo pago en 4 año si la tasa de interés es del 12% capitalizable trimestralmente. ¿ Cuál es el valor del pago ?

0 1 2 3 4 5

3.000.000 5.000.000 Como los $ 3.000.000 los tenia que pagar en el año 3 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor futuro.

F = P i1n

4

12 = 3% trimestral

F = 3.000.000 (1,03)4

F = 3.376.526,43 Como los $ 5.000.000 los tenía que pagar en el año 5 y se van a pagar en el año 4 se lleva a valor presente.

P = i

F

1

n



P = 5.000.000 (1,03)4

P = 5.000.000 1,125509 P = 4.442.434,48 $ 3.376.526,43 + 4.442.434,48 = $ 7.818.960,91 Se hace un solo pago en el cuarto año por $ 7.818.960,91

3.7 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.1.1 Calcular el valor futuro de un deposito de $ 4.000.000 al 9 % de interés

anual capitalizable mensualmente durante dos años y 6 meses ? Respuesta: $ 5.005.087.

3.1.2 Un cliente recibe un préstamo un préstamo de $ 800.000 a 6 años con un

interés del 12 % anual capitalizable semestralmente. Calcule cuanto tiene que cancelar al vencimiento ?. Respuesta: $ 1.609.757.

3.1.3 Cuánto tengo que depositar hoy si dentro de 5 años quiero tener $

10.000.000 si el banco reconoce el 16% anual capitalizable trimestralmente ?. Respuesta: $ 4.563.869,46.



3.1.4 Si dentro de 18 meses tengo que pagarle al banco $ 1.600.000 que

reconoce el 14% anual capitalizable mensualmente . ¿ Cuánto fue el préstamo?. Respuesta: $ 1.298.512.

3.1.5 ¿ Cuántos semestres hay que dejar un deposito de $ 4.000.000 para que se

convierta en $ 8.000.000 si el banco pago el 8% anual. Respuesta: 17,67 semestres.

3.1.6 Hoy deposita $ 2.000.000 en un banco que reconoce el 12% de interés

anual capitalizable trimestralmente si retira $ 3.000.000 ¿ Cuántos años deja el dinero ?. Respuesta: 3,43 años.

3.1.7 Qué es más conveniente invertir en un CDT que duplica el capital invertido cada 8 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofreced el 8% anual capitalizable trimestralmente ?. Respuesta: Invertir en el CDT.

3.1.8 Hoy se invierten $ 500.000 en una corporación que reconoce sin sus intereses trimestralmente y al cabo de 3 años se recibe $ 800.516. Qué interés trimestral reconocieron ?. Respuesta: 4% trimestral.

3.1.9 Un cliente me debe $ 5.000.000 que vencen dentro de 1 año y $

10.000.000 que vencen dentro de 5 años si la tasa que cobra es de 12% anual capitalizable trimestralmente. El cliente decide hacerme un solo pago al tercer año. ¿ Cuánto dinero tendrá que pagarme ?. Respuesta: $ 14.227.942.

3.1.10 Un cliente tiene la oportunidad de comprar una casa que costo $ 2.800.000

hace 20 años y está dispuesto a reconocer un 20% anual. ¿ Cuánto debe ofrecer por la casa ?. Respuesta: $ 107.345.280.



CAPITULO 4 TASAS NOMINALES, EFECTIVAS Y EQUIVALENTES

OBJETIVO

Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir ¿Qué

es una tasa nominal, y una tasa efectiva?. Hacer las diferentes

conversiones de las tasas. Desarrollar algunos temas la calculadora

H.P. y la hoja electrónica Excel.

TEMAS

4.1 Introducción

4.2 Tasa Nominal

4.3 Tasa Efectiva

4.4 Conversión Tasas Nominales



4.4.1 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la formula

4.4.2 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando la H.P

4.4.3 Conversión de una tasa nominal a efectiva utilizando el EXCEL

4.4.4 Conversión de una tasa nominal anual a una tasa nominal periódica

4.4.5 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva periódica

4.4.6 Conversión de una tasa efectiva anual en una tasa nominal anual utilizando

la fórmula.


la H.P .


el EXCEL.

4.4.9 Conversión de tasas efectivas

4.4.9.1 Conversión de una tasa efectiva anual a tasa efectiva

periódica

4.4.9.2 Conversión de una tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual

4.4.9.3 Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa efectiva

periódica

4.10 Capitalizaciones Anticipadas

4.10.1 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva

utilizando la formula

4.10.2 Conversión de una tasa nominal anual en una tasa efectiva utilizando la

H.P.


la formula.


la H.P

4.11 Resumen de formulas

4.11.1 Vencidas

4.11.2 Anticipadas

4.12 Problemas resueltos



4.13 Problemas propuestos

4.1 INTRODUCCIÓN

Cuando se realiza cualquier operación financiera, se pacta un interés, y

para medir la rentabilidad o el costo de la inversión se hace a través de

la tasa de interés efectivo.

Por lo general, cuando hablamos de interés, lo hacemos haciendo referencia a la

tasa nominal; por eso es necesario calcular la tasa efectiva, que es la que mide la

verdadera rentabilidad y el costo de cualquier inversión.

4.2 TASA NOMINAL

Es la tasa que por lo general se refieren todas las operaciones

financieras y se expresa generalmente sobre la base de un año.

Es una tasa aparente, pues si hay varios períodos de capitalización no refleja la

realidad.

La tasa nominal anual será igual a tasa nominal periódica multiplicado por los

números de periodos que tiene el año.

Ejemplo: Una tasa nominal de 3% mensual es equivalente a 3 x 12 = 36 al 36%

nominal anual.



4.3TASA EFECTIVA

Cuando la tasa de interés nominal anual se capitaliza en forma semestral,

trimestral, mensual, la cantidad que se paga o se gana es mayor si la capitalización

es anual.. Cuando esto sucede se denomina tasa efectiva.

En otras palabras, es la tasa que se utiliza para determinar el interés

periódico, que efectivamente debe sumarse al capital en el momento

de la liquidación.

El interés efectivo es el que verdaderamente pagamos al utilizar un

crédito, o recibimos al invertir un dinero.

Cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva siempre será igual a la tasa

nominal.

4.4 CONVERTIR TASAS NOMINALES

4.4.1 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA

TASA EFECTIVA ANUAL ( VENCIDA)

Utilizando la Fórmula

Ejemplo: Si un banco presta $ 1.000.000 al 30% anual capitalizable

trimestralmente. ¿ Cuánto recibirá al final del año?

F = P (1+i )n i = 4

%30 7,5 trimestral

F = 1.000.000 ( 1+ 0,075 )4



F = 1.335.469

Eso significa que $ 335.469 fueron los intereses que recibió.

Eso significa que por el $ 1.000.000 ganó intereses por 33,5469% que es la tasa efectiva.

Para este ejemplo se puede decir que una tasa del 30% nominal anual

capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva anual del 33,5469%.

De lo anterior se saca la fórmula y queda así:

n

n

INIe )1( -1

Ie = la tasa de interés efectiva anual IN = la tasa de interés nominal anual n = número de capitalización al año

Ejemplo: Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal

del 24% anual capitalizable bimestralmente.

In = 24% Ie = 66

24,01

- 1

N = 6 Ie = ? Ie = ( 1 + 0,04 )6 - 1 Ie = ( 1,04 )6 - 1 Ie = 1,265319 - 1 Ie = 0,265319 = 26,53%



Ejemplo: Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 36% anual

capitalizable anualmente.

Ie =

1

36,01

1 - 1

Ie = (1,36 )1 - 1 Ie = 1.36 – 1

Ie = 0.36 = 36%

Por eso se dice que cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva

anual, siempre será igual a la tasa nominal.

4.4.2CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA

ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO LA H.P

PRIMER PASO

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una nueva pantalla

con el siguiente menú

VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC.



SEGUNDO PASO Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla.

EFECT CONTA Se oprime la techa EFECT y da la Siguiente pantalla. Esto significa: = Tasa nominal anual = Tasa efectiva anual = Número de períodos o capitalizaciones

TERCER PASO

Con base en el ejemplo del 24% nominal anual capitalizable bimestralmente, hallar

la tasa efectiva anual.

% NOM % EFEC P

% NOM

% EFEC

P



Se Coloca en la pantalla 24 más la tecla %NOM luego el número 6 que son los

períodos, más la tecla P oprime la tecla la tecla luego la tecla % EFECT y nos

da la respuesta % EFE= 26,531902%

4. 4. 3 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA EFECTIVA

ANUAL ( VENCIDA ) UTILIZANDO EXCEL.

Antes de empezar hay que activar todos los comandos; para activarlos haga clic en

“ Herramientas “ de la barra de herramientas y haga clic en complementos y

luego:

1 Se construye la tabla o estructura.

2 Se deja el cursor en B5 y se hace ckick en el icono fx

3 En categorías de función se hace click en financieras y en nombre

de función se hace click en INT EFECTIVO



4.4.4 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA NOMINAL PERIÓDICA (VENCIDA)

INP = n

IN

INP = Interés nominal periódico



IN = Interés nominal anual

n = número de periodos o capitalización

Ejemplo: una tasa nominal del 36% anual a que tasa nominal periódica

corresponde si la capitalización es mensual.

I N P = n

IN

INP = 0,36 12 INP = 0.03 = 3%

4.4.5 CONVERTIR UNA TASA NOMINAL ANUAL EN UNA TASA

NOMINAL PERIODICA (VENCIDA)

Ejemplo: una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, hallar la tasa

efectiva periódica.

I e p = n

IN

Iep = tasa de interés efectivo periódico

IN = tasa nominal anual

n= número de periodos o capitalizaciones

I e p = 4

36,0

I e p = 0,09 o 9%



Una tasa del 36% anual capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa efectiva

trimestral del 9%.

4.4.6 CONVERTIR UNA TASA EFECTIVA ANUAL EN UNA TASA

NOMINAL ANUAL (VENCIDA)

Ejemplo: Una tasa efectiva anual de 19,56% capitalizable mensualmente ¿ a qué

tasa nominal anual corresponde?

IN = Interés nominal

Ie = interés efectivo

n = Número de periodos o capitalizaciones

I N = n Ie11/n - 1 o IN = n n Ie1 - 1

In = 12 1956,11/12 - 1

In = 12 ( 1,015 - 1 ) In = 12 ( 0,015 )

In = 18 %


NOMINAL ANUAL (VENCIDA) UTILIZANDO LA H.P retomando el ejemplo anterior

PIRMER PASO

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla con el

siguiente menú.




SEGUNDO PASO

Se oprime la tecla CONVI y da como resultado la siguiente pantalla:

%NOM % EFEC P Que fueron explicados anteriormente TERCER PASO

Procedemos a incluir la información que tenemos así: Se escribe 19,5618 en la pantalla y oprimo la tecla, se escribe 12 y se oprime la

tecla % EFEC y para obtener la respuesta se oprime la tecla p y para

obtener la respuesta % NOM y da como resultado % NOM = 18%.


NOMINAL ANUAL ( VENCIDA) UTILIZANDO EXCEL.

El ejemplo anterior una tasa efectiva del 19,5618% con capitalizaciones

mensuales. Hallar la tasa nominal anual.



4.4.9 CONVERSION DE TASAS EFECTIVAS EQUIVALENTES (

VENCIDAS)



4.4.9.1 Conversión De Una Tasa Efectiva Anual A Una Tasa Efectiva

Periódica

(Vencida).

Ejemplo: Una tasa efectiva anual del 35% ¿ a qué tasa efectiva periódico mensual

corresponde?

Iep = Ie11/n - 1 o Iep = n Ie1 - 1

Iep = ( 1 + 0,35 )1/12 - 1 Iep = ( 1,35 )1/12 - 1 Iep = 1,025324 - 1 Iep = 0,025324 = 2,5324 % 4.4.9.2 Conversión de una tasa efectiva periódica a una tasa efectiva anual (vencida.) Ejemplo: ¿ Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral

del 4,5%?

Ie = ( 1 + Iep )n - 1

Ie = Interés efectivo anual

Iep = Interés efectivo periódico

N = número de periodos o capitalizaciones

Ie = ( 1 + Iep )n - 1

Ie = ( 1 + 0,045 )4 - 1



Ie = ( 1,045 )4 - 1

Ie = 1,192519 - 1

Ie = 0,192519 = 19,25%

Una tasa efectiva trimestral del 4,5% equivale a una tasa efectiva anual del

19,25%.

4.4.9.3 Conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa

efectiva periódica (vencida).

Ejemplo: ¿ Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa efectiva

bimestral del 4,04%?

Iepo = ( 1 + Iep )1/m xn - 1

Iepo = Es el interés efectiva periódico que se busca

Iep= Es el interés efectivo periódica que se conoce

m = Cuantos meses, bimestres, trimestre, semestres tiene el año del interés

efectivo periódico que se busca

n = ¿cuántos meses, bimestres, trimestres, semestres, tiene el año del

interés efectivo periódico que se conoce?.

Iep = ( 1 + Iep )1/m xn - 1

Iepo = ( 1 + 0,0404 )1/2 x 6 - 1

Iepo = ( 1,0404 )3 - 1

Iepo = 1,126162 - 1



Iepo = 0,126162 = 12,6162%

Una tasa efectiva bimestral del 4,04% equivale a una tasa efectiva semestral del

12,61 %.

4.10 CAPITALIZACIONES ANTICIPADAS

Se puede pactar el pago de los intereses del final del período durante el cual ellos

se causan, caso en el cual se denominarían vencidos como se realizaron en los

ejercicios anteriores.

O estipular que se paguen al principio del período denominándose en este caso

ANTICIPADOS.

En Colombia en diferentes operaciones financieras, se cobran intereses por

anticipado, sobre todo en los préstamos bancarios y corporaciones financieras.

Cuando los intereses se cobran por anticipado esto implica que las tasas efectivas

sean mayores.

Supongamos que un crédito de $ 1.000.000 con una tasa del 25% anual

anticipado. En el día inicial del préstamo se calculan los intereses de todo el año,

los cuales son $ 1.000.000 x 0.25 = $ 250.000 que deben ser cancelados o

descontados de inmediato. Por consiguiente el préstamo de $ 1.000.000 menos $

250.000 de los intereses anticipados sólo se dan al cliente $ 750.000. Y al cabo de

un

año el cliente tendrá que cancelar solo $ 1.000.000 de capital por cuanto los

intereses ya habían sido pagados desde el primer día.



Se observa con detenimiento lo anterior, podemos deducir que realmente el

préstamo fue por $ 750.000, con estas cifras se calculó la tasa de interés efectivo,

000.750

000.250 = 33,33%

El ejemplo anterior permite entender lo que sucede cuando los intereses deben

ser pagados por anticipado.

- En primer lugar se recibe en préstamo menos dinero que el monto ofrecido,

por cuanto se descuentan de antemano los intereses.

- En segundo lugar, los intereses comparados con el desembolso efectivo del

dinero, representan un porcentaje mayor.

4.10.1 Convertir una tasa nominal anual en una tasa

Efectiva con capitalizaciones (anticipadas)

Ejemplo: Con una tasa nominal del 24% hallar la tasa efectiva anual, si la

capitalización es trimestre anticipado.

FÓRMULA 1)1( n

n

INIe

Ie= Interés efectivo

IN= Interés Nominal

n = Número de periodos o capitalizaciones



Ie= (1- IN/N)-n –1

Ie= (1 – 0.24/4)-4 –1

Ie= (1 – 0.06)-4 –1

Ie= (0.94)-4 –1

Ie= 1.28.08 – 1

Ie= 0.2808 = 28,08%

Una tasa nominal del 24% anual es equivalente a una tasa efectiva del 28,8% si la

capitalización es trimestral anticipado.

4.10.2 Convertir una tasa nominal anual en una tasa

efectiva con capitalización (anticipada) utilizando H

o B con base en el ejemplo anterior.

PRIMER PASO:

Estando encendida la calculadora se oprime las tecla Fi4 y da una

pantalla con el siguiente menú:

VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. SEGUNDO PASO:

Se oprime la fecha CONVI y da como resultado la siguiente pantalla: EFEC

CONT y se oprime EFEC y da la siguiente

Pantalla:

%NOM % EFEC P TERCER PASO:



Se Procede a incluir la información que se tiene así:

Se escribe en la pantalla 24 más la fecha %NOM para las capitalizaciones

anticipadas, los períodos se colocan acompañados de la fecha +/- para este

ejemplo se escribe 4 en la pantalla más

la fecha +/- más la fecha P y para obtener la respuesta T se oprime la fecha

% EFEC y da % EFE = 28,08

4.10.3Convertir una Tasa efectiva anual en una tasa nominal con

capitalizaciones (anticipadas)

Ejemplo una tasa efectiva del 30,84anual, con capitalizaciones

trimestrales ¿A que tasa nominal equivale?.

FÓRMULA : IN = O IN = IN = Interés Nominal

IE = Interés Efectivo

n = Número de períodos o capitalizaciones

IN = n 1 – (1+IE) – 1/n

n 1- ( 1+IE)- 1/n

- n -n

1+Ie -1



IN = 4 1- (1+0,3084)-1/4

IN = 4 1-(0,935007)

IN = 4 0,064993

IN = 0,259972 = 26% aproximadamente eso significa que una tasa del 30,84%

efectivo anual con capitulaciones trimestrales anticipado equivale a una tasa del 26

% nominal anual.

IN= 0.259972 = 26% aproximadamente eso significa que una tasa de 30,804%

efectiva anual con capitalizaciones trimestres anticipado equivale a una tasa del

26% Nonimal Anual.

4.10.4 Convertir una Tasa Efectiva anual en una tasa

nominal con capitalizaciones (anticipadas)

Utilizando la HP.

Con base en el ejemplo anterior PRIMER PASO:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da una pantalla:

SEGUNDO: Se oprime la tecla CONAVI y da como resultado la siguiente pantalla: VDT CONVI y se oprime la techa EFEC y da la siguiente pantalla:



% NOM % EFECT P TERCER PASO: Se Procede a incluir la información que se tiene así:

Se escribe en la pantalla 30,80 más la fecha % EFE luego se escribe 4 más la

tecla +/- más la tecla P y para obtener la respuesta se oprime la fecha %

NOMB y da % NOM = 26%.

4.11 Resumen de Fórmulas

4.11.1 Vencidas

Tasa nominal anual Tasa efectiva anual.

Ie = 1+ In n -1

n

Tasa nominal anual tasa nominal periódica

INp = In

n Tasa nominal anual tasa efectiva periódica

Iep = In



n

Tasa efectiva anual tasa nominal anual IN = n 1 + Ie 1/n - 1

Tasa efectiva anual tasa efectiva periódica

Iep = 1 + Ie 1/ n -1

Tasa efectiva periódica tasa efectiva anual

Ie = 1 + Iep n -1

Tasa efectiva periódica tasa efectiva periódica

Iepo = 1 + Iep I X N - 1

MM

4.11.2 ANTICIPADOS

Tasa nominal anual convertir Tasa efectiva anual

Ie = 1- IN –n - 1

n

Tasa efectiva anual Tasa nominal anual



IN 1- (1+IE)-1 / n ó IN = - N -N

1 + IE -1

4.12 PROBLEMAS RESUELTOS 4.12.1 En un Banco se pacta a una tasa del 18% anual vencido capitalizable

mensualmente. Hallar la tasa efectiva.

Ie = 1 + In n -1

n

Ie = ( 1 + 0.18)12 -1

12

Ie = 19,56 efectivo anual

4.12.2 ¿En dónde debo prestar el dinero: En un Banco que cobra el 26% anual

capitalizable trimestralmente, o en una que cobre el 24% con

capitalización mensual?

Debo prestar en un Banco con la menor tasa efectiva.



Ie = ( 1 + 0.26 )4 - 1

4

Ie = 28,64%

Ie = ( 1 + 0.24 )12 - 1

12

Ie = 26,82 %

Debo hacer el préstamo donde me cobran el 24% anual capitalizable

trimestralmente.

4.12.3 Una tasa nominal del 36% anual a ¿qué tasa nominal semestral

corresponde?.

INP = I N

N

INP = 0.36

2

INP = 0.18 = 18% nominal semestral.

4.12.4 Una tasa efectiva anual del 27,5% a ¿qué tasa nominal anual

corresponde, si la capitalización es bimestral?.

IN = n ( 1 + Ie ) 1/n -1



IN = 6 ( 1 + 0.275 ) 1/ 6 - 1

IN = 24,79% Nominal anual

4.12.5 Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva anual

del 36.75%

Iep = ( 1 + Ie )1 / n - 1

Iep = ( 1 + 0.3675 ) ¼ - 1

Iep = 8,138 % Tasa efectiva trimestral

4.12.6 Calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva trimestral

del 8,138%.

Ie = ( 1 + Iep )n – 1

Ie = ( 1 + 0.08138 ) 4 - 1

Ie = 36.75% anual

4.12.7 Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa

efectiva del 2.5% mensual.



Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n - 1

Iepo = ( 1 + 0,025 ) ¼ x 12 - 1

Iepo = 7,69% tasa efectiva trimestral

4.12.8 Calcular la tasa efectiva mensual equivalente o una tasa efectiva

semestral del 32.65%.

Iepo = ( 1 + Iep ) 1/mm x n – 1

Iepo = ( 1 + 0,3265 ) 1/12x2 - 1

Iepo = 4.82 % efectiva mensual

4.12.9 Calcular el Interés efectivo equivalente a una tasa nominal anual del 28%

capitalizable bimestre anticipado.

Ie = ( 1 - I N ) –n – 1

Ie = ( 1 - 0.28 ) –6 –1

6

Ie = ( 1 - 0,046667 )-6 -1



4.12.10 Calcular la tasa nominal anual si la tasa efectiva anual es

33,2% capitalizable bimestre anticipado.

In = n 1 - ( 1 + Ie ) – 1/n

In = 6 1 - ( 1 + 0,332 ) – 1/ 6

In = 28% anual nominal

4.12.10 En dónde debo depositar el dinero, en un Banco que paga el

16% nominal anual capitalizable trimestre vencido, o el 15%

nominal anual capitalizable trimestral anticipado?

Debo depositarlo donde sea mayor la tasa efectiva anual.

A-) Ie = ( 1 + I n ) n – 1

n

Ie = ( 1 + 0,16 ) 4 -1

Ie = 16,98 Tasa efectiva anual

B-) Ie = ( 1 - I n )- n –1

Ie = 33,2 % tasa efectiva anual



n

Ie = ( 1 - 0,15 ) – 4 - 1

4

Ie = 16,51%

Debo depositar el dinero al 16% anual capitalizable trimestral

anticipado.

4.13. PROBLEMAS PROPUESTOS

4.13.1 Convertir una tasa nominal anual del 24% en efectivo anual con

capitalizaciones : a) anual, b) semestral, c) trimestral, d) mensual.

Respuesta: a-) 24% b-) 25.44% c-) 26,24% d-) 26,82%

4.13.2 Convertir una tasa nominal anual del 36% a una tasa nominal

mensual?

Respuesta: 3% Nominal mensual

4.13.3 Convertir una tasa efectiva del 46% anual, en una tasa nominal

anual con capitalización a) Mensual b) Bimestral c) trimestral.

Respuesta: a) 38,44 b) 39,06% c) 39,69

4.13.4 Convertir una tasa efectiva anual del 26.84% en una tasa

efectiva bimestral?

Respuesta: 4,042163% efectiva bimestral.



4.13.5 Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,042163% en una

tasa efectiva anual?

Respuesta: 26,84% efectiva anual

4.13.6 Convertir una tasa efectiva bimestral del 4,83% en una tasa

efectiva semestral?

Respuesta 15,20 % efectiva semestral

4.13.7 Convertir una tasa efectiva semestral del 15.20 en una tasa

efectiva Bimestral.

Respuesta: 4.83%

4.13.8 Convertir una tasa nominal del 28% anual en una tasa efectiva

anual si la capitalización es: a) mensual b) bimestral c) trimestral

d) semestrales anticipadas?

Respuesta: a) 32,75% b) 33,20% c) 33.68% d) 35,20%

4.13.9 Convertir una tasa efectiva anual del 30% en una tasa nominal

anual con capitalización a) mensual b) bimestral c)trimestral d)

semestral e) anual (anticipada.

Respuesta: a) 25,95% b) 25,67% c) 25,39 d) 24,58% e) 23,07%.



CAPITULO 5 ANUALIDADES

ANUALIDADES

OBJETIVO

Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir que es una anualidad como también distinguir los diferentes tipos de anualidad, calcular valor presente y futuro, también plantear e identificar situaciones de la vida real en que se apliquen como también utilizar herramientas como la calculadora H.P.y la hoja de calculo Excel. importante es poder determinar donde colocar o prestar dinero con mayor beneficio pero el usuario.



TEMAS

5.1 Introducción

5.2 Clasificación

5.3 Representación gráfica

5.4 Anualidades ciertas a término vencidas

5.4.1 Valor presente de una anualidad

5.4.1.1 Utilización formula

5.4.1.2 Utilización Tablas

5.4.1.3 Calculadora H.P.

5.4.1.4 Utilizando Excel

5.4.2 Calcular la anualidad conociendo el valor presente

5.4.2.1 Utilizando formula

5.4.2.2 Utilizando Tabla

5.4.2.3 Utilizando H.P.


5.4.3 Calculo del numero de periodos conociendo el valor presente y la

Anualidades.


5.4.4 Calculo de la tasa de interés conociendo el valor presente y la

anualidades.

5.4.4.1 Interpelando

5.4.4.2 Ensayo error

5.4.4.3 Utilizar la calculadora HP.

5.4.4.4 Utilizar Excel

5.4.5 Valor Futuro De Una Anualidad

5.4.5.1 Utilizando fórmula



5.4.5.2 Utilizando tablas

5.4.5.3 Utilizando Calculadora HP


5.4.6 Cálculo de la anualidad teniendo un futuro


5.4.6.2 Utilizando Tablas

5.4.6.3 Utilizando HP


5.4.7 Calculo del numero de periodos conociendo la anualidad

5.4.7.1 Utilizando la fórmula

5.4.7.2 Utilizando la calculadora HP


5.4.8 Calculo del interés conociendo la anualidad y el valor

futuro

5.4.8.1 Interpelando

5.4.8.2 Utilizando la calculadora HP

5.4.8.3 Utilizando el Excel

5.4.9 Resumen de las fórmulas

5.4.10 Problemas resueltos

5.4.11 Problemas propuestos



5.1 INTRODUCCIÓN

Una de las principales modalidades más utilizadas por los usuarios del

dinero es pagar o ahorrar por cuotas constantes que son llamadas

anualidades.

La anualidad no significa pagos anuales sino pagar o intervalos iguales. Algunos

libros anualidad lo cambia por la de renta o serie de pagos uniformes.

Definición: Anualidad es una serie de pagos periódicos e iguales de dinero que pueden ocurrir al comienzo o al final de cada periodo y se representa con la letra A.

5.2 CLASIFICACIÓN DE LA ANUALIDAD.

Las anualidades se clasifican según el tiempo, según la forma como se estipule el

pago, pero principalmente se dividen en dos grandes grupos: Anualidad cierta y

anualidad eventual o contigente.

Anualidad Ciertas

Las anualidades ciertas son aquellas en la cual la fecha de iniciación y

culminación se conocen o están definidos previamente.

Anualidad Eventual o contingente

Las anualidades eventuales son aquellas en que su fecha de iniciación

y/o culminación no se conocen o dependen de que ocurra algún

suceso. Un ejemplo las pensiones de Jubilación, se conoce cuando



inicia pero no cuando termina por que no se sabe hasta cuando va a

vivir el jubilado.

Las anualidades ciertas y las anualidades eventuales se subdividen en anualidades

a término y anualidades perpetuas.

Anualidades a Término

Son aquellas anualidades que tienen un plazo preciso.

Anualidades Perpetuas

Son aquellas anualidades cuyo plazo es ilimitado. Según la forma

como se estipula el pago de la anualidad y las anualidades a termino y

las anualidades perpetuas se subdividen en :

Vencidas Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas.

Anualidades Vencidas

Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al final de cada periodo.

Anualidades Anticipadas

Se llama así porque el pago de la cuota se cancela al comienzo de cada periodo.

Anualidades Definida vencida

Se llama así cuando la serie de pagos no comienza al final del primer periodo sino

al final de un periodo futuro.

Anualidades Deferido anticipado



Se llama así cuando la serie de pagos no comienza del iniciar el primer

periodo sino del iniciar un periodo futuro

Vencidas Termino Anticipadas Diferidos vencidas Diferidos Anticipadas Anualidades Ciertas Vencidas Perpetuas Anticipadas Diferidos vencidas Diferidos Anticipadas Vencidas Termino Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas Anualidades Eventuales ó Contingentes Vencidas Perpetuas Anticipadas Diferidas vencidas Diferidas anticipadas.



5.3 Representación Gráfica P F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 n Periodos A A A A A A A A A A 5.4 Anualidad Ciertas A Término Vencidas.

Son aquellas anualidades donde conocemos la fecha de iniciación como

el de terminación pero principalmente que los pagos de las cuentas se

hacen al final del periodo.

SIMBOLOGIA UTILIZADA.

A = Anualidades

F = Valor futuro

P = Valor Presente

n = Número de periodos o capitalización

i = Tasa efectiva por periodos de capitalización

5.4.1 Valor Presente De Una Anualidad

Podemos definirla como la cantidad de dinero recibido hoy equivalente a una serie

de pagos uniformes.

5.4.1.1 UTILIZANDO LA FÓRMULA

P = ? 1 2 3 4 5 n3 n2 n A A A A A A A A



Formula P = Presente o valor presente

n = Numero de periodos

P = A ( 1 + i ) n –1 i ( + i ) n

A = Anualidad

i = Tasa de interés

Ejemplo ¿ Cuál es el valor actual de una renta mensual de $ 250.000,00

depositados al final de cada mes durante 24 meses al 3% mensual (primero la

gráfica).

P = A (1+i )n-1

i (1+i )n P= ? 3% 1 2 3 4 5 6 24 250.000,00

P = 250.000,00 ( 1 + 0,03 )24 - 1 0,03 ( 1+0,03 )24



2,032794 - 1 P = 250.000,00 0,03 ( 2,032794 ) 1,032794 P = 250.000,00 0,060984 P = 250.000,00 ( 16,935491 )

Ahorrar $ 250.000,00 durante 24 meses equivale a hacer un solo deposito hoy por valor de $ 4.233.872,81. 5.4.1.2 UTILIZANDO LAS TABLAS.

El cálculo del valor presente de una anualidad la podemos realizar a

través de las tablas que han sido elaboradas con base en la formula

anterior. Para este caso buscamos la tabla VI (valor del factor

presente de una anualidad ordinaria) en otras tablas la notación

estándar (P/a, i%,n), para un interés del 3% y para un n igual a 24

buscamos la intersección que es ( 16,93554212 )

Anualidad que son $ 250.000,00 la multiplicación por el factor de la tabla

(16,93554212).

P = 250.000, 00 x 16,93554212 = 4.233.885,60

Con el ejemplo anterior nos da una pequeña diferencia debido a que las tablas

están constituido con más decimales.

P = 4.233.872,81



5.4.12 TILIZANDO LA CALCULADORA H.P.

(con base con el ejemplo anterior)

Tenemos: Primer paso:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y nos da como

resultado la nueva pantalla con las siguientes menú.


Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla 12

pagos/añ: Modo final.

N %IA VA PAGO VF OTRO

Tercer paso:

Estando en la pantalla anterior incluimos los datos conocidos así:

Nota: Los ingresos siempre los coloco con signo positivo y los egresos o salidas

con signos negativos. Como los $ 250.000,00 en la pantalla más tecla +/- y la

tecla PAGO luego se escribe 24 en la pantalla

mas la techa N luego 36 que es el interés anual más la tecla %

IA para pedir el resultado se oprime la tecla V.A. y me da $

4.233.885,53.



5.4.12.1 UTILIZANDO EL EXCEL

Con base en el ejemplo anterior tenemos :

1 Se construye la tabla o estructura

2 Se deja el cursor en B6

3 Se hace click en Fx

4 En categorías de función se selecciona Financieras y en nombre de función se

selecciona VA y luego aceptar.

5 Se incluye la información haciendo click en B4, SE HACE CLICK EN Nper y luego

click en B3, se hace click en Pago y luego click en B2

se hace click en aceptar y aparece la respuesta en b



5.4.2 CALCULAR UNA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE

Este caso es por ejemplo cuando nos otorga un determinado préstamo

y queremos saber el valor de la cuota.

5.4.2.1 UTILIZANDO LA FORMULA

1)1(

)1(n

n

i

iiPA

Ejemplo hoy el banco de Bogotá me presta $ 300.000,00 para ser cancelado en 3 años en cuotas periódicas trimestrales y cobra un interés del 36% anual ¿Cuál será el valor de la cuota o anualidad? P= 3.000.000,00 9% Trimestral



1 2 3 4 5 6 7 8 11 12 Trimestres A = P i ( 1+i) n 36% = 9% Trimestral

4 trimestrales

(1+i) n-1 4 AÑOS = 12 trimestrales

A = 3.000.000,00 0,09 ( 1+0,09) 12

( 1+0,09)12 -1

0,253140 A = 3.000.000,00

1,812665 A = 3.000.000,00 0,139651

Por el préstamo de $ 3.000.000,00 se van a pagar 12 cuotas

trimestrales de $ 418.952,00.

5.4.2.2 UTILIZACIÓN DE TABLAS

Para calcular la anualidad busca la notación estándar ( A/P,i % n) para un interés del 9% y un n = 12 ver tabla. 0.13965016 x 3.000.000 = 418.951,98 5.4.2.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP

A = 418.952,00



(con el ejemplo anterior) Primer Paso:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y nos da como

resultado la nueva pantalla con el siguiente menú:

VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla.

12 pagos/año: Modo Final. N %IA VA PAGO VF OTRO

NOTA: Como el ejemplo está en cuotas trimestrales tenemos que cambiar la parte

superior de la pantalla así:

Se Oprime OTRO se escribe 4 en la pantalla más P/AÑO y EXIT y da una nueva pantalla:

4 pagos/año: MODO FINAL

N %IA VA PAGO VF

OTRO

Tercer paso:

Estando en la pantalla anterior incluimos los datos así:



Se escribe $ 3.000.000 en la pantalla y oprimo V.A. como en tres años a 12

trimestrales se escribe 12 en la pantalla y se oprime N Luego se escribe 36 y se

oprime %IA y para pedir el resultado se oprime PAGO y aparece el resultado en

la pantalla PAGO = 418.951,97


(como en el ejemplo anterior)

Con base en el ejemplo anterior tenemos

1 Se construye la estructura o tabla

2 S e deja el cursor en B6

3 Se hace clic en Fx

4 En categorías de función se selecciona Financieras y en nombre de

función se selecciona PAGO y luego aceptar.



5 Se incluye la información haciendo click en B4, Se hace click en Nper y luego

click en B3, se hace click en VA y luego click en B2.

6 Se hace click en aceptar y aparece la respuesta en B6



5.4.3 CALCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS CONOCIENDO EL VALOR

PRESENTE Y LA ANUALIDAD. 5.4.3.1 UTILIZANDO LA FÓRMULA

Ejemplo: El Banco Popular me presta $ 3.000.000,00 para ser canceladas en

cuotas trimestrales de $ 418.952,00 con interés trimestral del 9% ¿cuántas cuotas

debo pagar?

Como los intereses son trimestrales , la respuesta da en trimestres y como se hizo

con base en el ejemplo anterior sabemos que la respuesta son 12 trimestrales.



)1(

)(

iLog

piA

ALog

n

=

)09,01(

09.0*000.000.3954.418(

)952.418(

Log

Log

= )09,1(

952.148

)952.418(

Log

Log

n =)09,1(

812664,2(

Log

Log =

037426,0

449117,0 = 12 Trimestrales.

Como no es muy común calcular n se deja que el estudiante investigue como se

calcula con la calculadora HP y con la hoja electrónica Excel.

5.4.4 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE Y LA ANUALIDAD.

Generalmente cuando una persona utiliza un crédito bancario o compra bienes o

plazos, ignora que tasa de interés le están cobrando. Por eso es de gran

importancia conocer cual es la tasa de interés.

La importancia de este tema radica en buscar donde tiene menos costo el valor del

dinero.

Un ejemplo sencillo sería si se va comprar una nevera a 24 meses de plazo donde

es más económico, hacer un préstamo en un Banco a 24 meses y comprarla de

contado, o pagar las 24 cuotas fijadas por la empresa que me vende la nevera,

sin saber la tasa de interés.

Es muy difícil calcular la tasa de interés utilizando una fórmula, existen otras formas como son: Interpolando

Ensayo y error

Calculadora financieras

Excel



5.4.4.1 INTERPOLANDO

Ejemplo: el banco me presta $ 1.000.000,00 para ser cancelados en 24 cuotas mensuales de $ 55.912,80 ¿qué tasa de interés me cobraron? Hay dos formas de hacerlo

a-) Utilizando la formula del calculo de A teniendo P

b-) Utilizando las tablas

UTILIZAMOS LA FÓRMULA

Para calcular una anualidad teniendo en presente utilizamos la

siguiente formula.

A = P i (1+i) n ( 1 +i) n-1

Como sé que la anualidad es de $ 55.912.80 invento una tasa de interés y vuelvo a

calcular la anualidad.

Para este caso me invento una tasa del 3% mensual y tenemos

entonces:

P = 1.000.000 A = P 0,03 ( 1.03) 24 n = 24 i = 0.03 (1.03) 24 - 1 A = ? A=1.000.000 0,060984 1,032794

A = 59.047,42



Aquí se ve que para un interés del 3% mensual, la anualidad es de $ 59.047,42

lo que se deduce que la tasa de interés para que la anualidad sea igual a

$ 55.912,80, tienen necesariamente que ser menor.

Luego hago el mismo procedimiento para una tasa del 2% mensual.

A = 1000.000 0.02 (1,02)24 A = 1.000.000 0,032169 (1,02)24 -1 0,608437 A = 52.871,11

Esto significa que para una tasa del 2 %, la anualidad es de

$ 52.871,11 lo que me demuestra que para que la anualidad sea

$ 55.912,80 la tasa de interés debe ser superior al 2% e inferior al 3%

entonces para hallar la tasa se interpola así:

0.03 59.047,42 i 55.912,80 0,02 52.871,11 0,02 52.871,11

Luego se procede a restar cada uno de los numeradores con los denominadores. 0.03 59.047,42 i 55.912,80 0,02 52.871,11 0,02 52.871,11 0,01 6.176,31 i-0,02 3.041,69

Luego:



0,01 = i - 0,02

6.176,31 3.041,69

3.041,69 a multiplicar a 0,01 y da

6.176,31

0,01 x 3.041,69 = i-0,02

6.176,31

0,004925 = i-0,02

Es lo mismo i-0,02 = 0,004925 dejamos la i sola y el - 0,02 lo pasamos a sumar

así:

i = 0,004925 + 0,02

i = 0,004925 lo multiplicamos por 100

UTILIZAMOS LAS TABLAS

El procedimiento es el siguientes:

P = A ( 1 +i) n-1 i (1+i) n

1.000.000 P/A, i%24 = 17,884992 P/A, i%24 55.912,80

2,49% aprox.

REEMPLAZAMOS



Esto significa que tengo que buscar en la tabla VI. Un valor que esté por encima de 17,884992 y otro por debajo para n=24 y luego se procede a interpolar.

Para el 3% = 16,93554212 para 2% = 18,91392560

Ahora con los datos anteriores se procede a interpolar asi:

0.03 16,93554212 i 17,884992

0,02 18,91322560 0,02 18,91322560

Resultado 0,01 - 1,977683 i - 002 - 1.028234

Luego 0,01 = i - 0,02 -1,977683 - 1,028234 0,01 x ( - 1,028234 ) = i-0,02 - 1,977683 0,005199 = i - 0,02

i = 0,005199 + 0,02

i = 0,25199 x 100 = 2,51 % Aprox.

5.4.4.2 ENSAYO Y ERROR

Lo que busca este método es encontrar una tasa de interés cualquiera

y con base en ella empezar a buscar la tasa que más se acerque al

resultado posible. Para el ejemplo anterior se busca el 3% y dio

una anualidad de $ 59.047,42 de antemano se sobre entiende que a

menos interés menor cuota. Entonces se busca para 2,8% mensual y



así sucesivamente hasta que se llegue a una anualidad muy

aproximada.

5.4.4.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA H.P.

Retomando el ejemplo anterior tenemos: Primer paso:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da como

resultado la siguiente pantalla con el siguiente menú:


Segundo Paso:

Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla

12 pagos/añ: Modo Final. N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer Paso:


Se Escribe 1.000.000,00 y se oprime VA, se escribo 24 en la pantalla y se

oprime PAGO y para pedir el resultado se oprime %IA y aparece en la pantalla

%IA = 29,99. Como el interés está anual lo divido entre 12 y me da el interés

mensual que es 2.4999 % aproximadamente.

5.4.4.4 UTILIZANDO EXCEL 1. Construimos la estructura como lo muestra la gráfica siguiente.



2. Dejamos el curso en B6 y se hace clic en el icono fx.

3. Se Hace clic en FINANCIERA en la ventana izquierda y TASA en la ventana

derecha gráfica anterior.

4. Se Hace clic en aceptar

5. Se hace click en B4, se hace click en pago y click en B3, se hace click en VA, y

click último traslado B2 haciendo click en va y luego click en B2.

6. Se hace click en aceptar y da la respuesta en la gráfica siguiente.



5.4.5 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD

El calculo del valor futuro no es otra cosa que el pago de una serie de cuotas que equivalencia tiene al hacer un solo pago en la fecha final. 1 2 3 4 20 0

5.4.5.1 UTILIZANDO LA FORMULA Formula

F= A (1+i) n-1 i



Ejemplo un ahorrador deposita $ 250.000 mensuales durante 4 años ¿cuánto

tendrá al finalizar los 4 años si el banco reconoce el 18% anual capitalizarse

mensualmente?

F = Valor futuro y no se conoce

A = Anualidad y es $ 250.000

n = periodos que son 4 años y equivale a 48 meses

i = Tasa de interés y es 18% anual y equivale a 1,5 % mensual

1 2 3 4 5 47 48 F = ? 0 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 250.000 ( 1 + i ) n -1 F = A i F = 250.000 ( 1,015) 48 -1 0,015 F = 250.000 ( 69,565219 ) F = 17,391.304,82

El ahorrador que deposito $ 250.000 durante 48 meses tendrá al final $ 17,391.304,82 si el banco reconoce el 1.5% mensual.



5.4.5.2 UTILIZANDO LAS TABLAS.

El valor futuro se puede calcular con base en las tablas que han sido elaboradas utilizando la formula anterior, para este caso buscamos en la tabla, cálculo del factor futuro teniendo una anualidad, en otras tablas la notación estándar ( F/A,i%,n) para un interés del 1.5 % mensual para 48 periodos, buscamos la intersección, el factor es (69,56521929) x 250.000 = $ 17.391.304,82. 5.4.5.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP.

(con base en el ejemplo anterior)

Primer paso:

Estando encendido la calculadora se oprime la techa FIN y nos da como resultado

la nueva pantalla con los siguientes menús:

VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC Segundo Paso: Se prime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla 12 Pago/añ : Modo Final N %IA VA PAGO VF OTRO Tercer paso: Estando en la pantalla anterior incluimos los datos así:



Se escribe 250000 y oprimo +/- luego la tecla PAGO se escribe 48 y se

oprime la tecla %IA y para pedir la respuesta se oprime F y aparece el

restultado en la pantalla VF = 17.391.304,82.


1. Se construye la Tabla o estuctura

2. Dejamos el cursor en B6 se hace clic en el icono fx.

3. Se selecciona financiera y VA aceptar. 4. Se hace clic en B2, luego se hace clic en NPER y clic en B4, luego se

hace clic en PAGO y clic en B3 y aceptar, se deja el cursor en B7. 5. Se hace nuevamente clic en fx y se selecciona finaciera y VF y luego

aceptar. 6. Se hace clic en B2, luego clic en Nper y clic en B4, clic en pago y clic

en B3 y aceptar.



7. Y aparece la respuesta en B7.



5.4.6 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD TENIENDO UN FUTURO

Este caso es muy frecuente porque muchas personas quieren saber

cuánto deben ahorrar periódicamente para tener una cantidad de

dinero futura, para así cumplir obligaciones,, celebraciones de días

especiales, nacimiento de un hijo, matriculas universitarias etc.

5.4.6.1 Utilizando la Fórmula



1)1( ni

iFA

Gráfica:

i = % F= DADO

0

1 2 3 4 5 6 7 n

A A A A A A A A

Ejemplo:

¿Cuánto tengo que ahorrar mensualmente si quiero tener dentro de 3

años $ 10.000.000, para tener la capacidad de enviar a mi hijo a

Estudiar al exterior de intercambio, si el Banco reconoce un interés del

24% anual, capitalizable mensualmente?. El interés anual es de

24%, lo paso a meses y me da el 2% y 3 años equivale a 36 meses.

1)1( ni

iFA

A = 10.000.000 0,02



(1,02) 36 - 1

A = 10.000.000 0,02

1,039887 A = 10.000.000 0,019233

El cliente debe ahorrar la suma de $ 192.328,58 durante 36 meses siguientes si desea obtener $ 10.000.000 con un interés del 2% mensual.

5.4.6.2 UTILIZANDO LAS TABLAS

Se puede calcular la anualidad teniendo el valor Futuro utilizando las tablas que han sido elaboradas con base en la fórmula anterior.

Para este caso debo busca la tabla VII, cálculo de las tablas la notación estándar

(A/F, i%, n), para un interés del 2% y buscamos la intersección con un n= 36 y el

factor es (0,01923285) y lo multiplicamos por el valor futuro $ 10.000.000 y

la Respuesta es $ 192.328,50.


Siguiendo el ejemplo anterior tenemos:

PRIMER PASO:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da como resultado una

pantalla con el siguiente Menú:

A =

192.328,58




SEGUNDO PASO:

Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla así:

N %IA V.A. PAGO

V.F. OTRO

TERCER PASO:


Se escribe 36 en la pantalla y se oprime N, escribo 24 en la pantalla que es el

interés anual y oprimo %IA, se escribe $ 10.000.000 y se oprime VF y para

pedir el resultado de la operación, oprimo la tecla PAGO y aparece la respuesta

de la operación en la pantalla.

PAGO= -192.328,52


Con base en el ejemplo anterior:

1. Construimos la tabla o estructura

2. Se deja el cursor en B6 y se hace clic en el icono fx.

3. En categoría de funciones se selecciona “Financiera” y en

Nombre de la función se selecciona PAGO y aceptar.



4. Luego trasladamos los valores así: se hace clic en B3, de igual manera

pulsamos Nper y luego clic en B4, me dirijo VF y pulso un clic en B3, y por

último aceptar.

5. Y luego da el resultado de la anualidad



5.4.7 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS CONOCIENDO LA ANUALIDAD 5.4.7.1 UTILIZANDO LA FÓRMULA

)1(

)1(

iLog

A

iFLog

n



Retomamos el anterior ejemplo con el objetivo que de antemano se conoce n = 36 meses se puede definir así: Ejemplo Si el cliente ahorra mensualmente $ 192.328,58 en una cuenta de ahorros que paga el 24% capitalizable mensualmente, ¿Cuántos depósitos deben hacer si al final quiere obtener $ 10.000.000?

)1(

)1(

iLog

A

iFLog

n

)02.01(

)158.328.192

000.000.10*02.0(

Log

Log

n

36008600.0

309606.0

)02.1(

)039887,2(

Log

Logn

Debo efectuar 36 depósitos mensuales por la suma de $ 192.328,58,

para obtener los $ 10.000.000 al 2% mensual.


PRIMER PASO:

Estando encendida la Calculadora se oprime la tecla FIN y da como resultado una


VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC

SEGUNDO PASO:

Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla:



12 PAGOS / AÑ: MODO FINAL

N %IA V.A. PAGO V.F. OTRO TERCER PASO:


Se escribe $ 10.000.000 en la pantalla y se oprime la tecla V.F., Luego procede a

escribir 24 más la fecha %IA, se escribe 192.328,58 y oprimo la tecla +/- y

luego la tecla PAGO y para pedir el resultado oprime la tecla N y da como

resultado en la pantalla N = 36.


Se construye la tabla o estructura

S e deja el cursor en B6 y se hace clic en el icono fx

En categoría de la función se selecciona “Financiera” y en

nombre de la función se selecciona Nper

Se hace clic en aceptar

Luego trasladamos los valores haciendo clic en B3, se hace

clic en pago y clic en B4, se hace clic en VF y clic en B2.

Se hace clic en aceptar y da el resultado.



5.4.8 CÁLCULO DEL INTERÉS CONOCIENDO LA ANUALIDAD Y EL VALOR FUTURO

Como se dijo anteriormente uno de los aspectos más importantes que

una persona debe conocer al hacer un negocio es la tasa de intereses.

Por lo general la persona que compra a cuotas, le dicen quedan

debiendo 24 cuotas, de tal valor sin saber que interés le cobran, por

esa razón estudiaremos como calcular el interés.

Ensayo y error que se explico en el ( 5.4.4.2).

Interpolando

Calculadora financiera

Excel

5.4.8.1 INTERPOLANDO

1)1( i

iFA



Hay dos formas que son las siguientes:

1. Utilizando la Fórmula

Como matemáticamente es bastante difícil despejar i hacemos el siguiente:

Lo vamos a elaborar con base en el ejemplo anterior que sabemos que

el interés mensual es del 2%.

Ejemplo: Si durante 36 meses ahorro $ 192.328,58 ¿Qué interés mensual me

pagaran, si al final obtengo $ 10.000.000?.

Como en este Ejemplo se conoce el VF, la anualidad y el número de periodos, me

invento cualquier interés mensual en este caso 2.5% y vuelvo a calcular la

anualidad.

1)1( i

iFA

1)025.01(

025.0000.000.10

36A

1)025.1(

025.0000.000.10

36A

432535,1

025.0000.000.10A

)017452,0(000.000.10A

80,174515A



Esto significa que con el 2.5% que me reconoció el Banco tengo que ahorrar $ 174.515,80 de ahí se deduce que como la anualidad del Ejemplo es $ 192.328,52 el interés que me reconocieron es menor, por que a menor interés tengo que ahorrar más y $ 174.515,80 es menor que 192.328,52. Por lo tanto tengo que buscar un interés menor y para este caso, digo que es el 1.5% mensual y vuelvo aplicar la fórmula. A = 10.000.000 0,015 (1.015)36 - 1 A = 10.000.000 0,015 0,709140

A = 10.000.000 ( 0,021152 )

A = 211.523,81

Esto significa que con el 1.5% que me reconoció el Bango tengo que

ahorrar $ 211.523,81, de ahí se deduce que la anualidad del ejemplo

que es $ 192.382,52, la tasa que paga el Banco debe ser superior al

1.5%, entonces si con 2.5% se tiene que ahorrar $ 174.515,80 y con

el 1.5% ahorró $ 211.523,81 esto indica que la anualidad debe estar

entre 2.5% y 1.5%, para calcular interpelamos así:

0,025 174.515,80 i 192.328,52

0,015 211.523,81 0,015 211.523,81

Restamos 0,10 - 37.008,01 i – 0,015 - 19.195,29 0,01 = I - 0,015 -37.008,01 - 19.195,29



0,01 x -19.195,29 = I - 0.015 -37.008,01 0,0051868 = I - 0,015 I – 0,015 = 0,00551868 I = 0,0051868 + 0,015 I = 0,02018 x 100 = 2.01% Aproximadamente.

B) Utilizando las tablas

La fórmula es:

A = F i ( 1 + i ) n -1

192.328,52 = 10.000.000 i ( 1 + i ) n -1 192.328,52 = i 10.000.000 (1 + i ) n -1

0,019233 = ( A/F, i, 36 )

Busco en la tabla (A/F) en un n que se acerque, osea igual a 0,019233 y para

este caso vemos que es el 2%. Si no está el número exacto, se busca un número

superior y otro número inferior y se hace la interpelación.



5.4.8.2 UTILIZANDO LA CALCULADORA FINANCIERA

PRIMER PASO:

Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da como resultado la


VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC

SEGUNDO PASO:

Se oprime la tecla VDT y nos da como resultado la siguiente pantalla:

12 PAGOS / AÑ: MODO FINAL

N %IA V.A. PAGO V.F. OTRO

TERCER PASO:

Incluimos los datos de la siguiente manera así:

Escribo 10.000.000 y se oprime la tecla V.F., escribo 36 y oprimo la tecla N, se

escribe 192.328,52 y se oprime +/- y luego oprimo la tecla PAGO y para pedir

el resultado se oprime la tecla %IA y da como resultado un interés anual, %IA

= 24%, el cuál se divide en 12 meses y da el 2% mensual.


Se construye la tabla o estructura



Se deja el cursor en B6 y se hace clic en el icono fx

En categoría de la función se selecciona “Financiera” y en

nombre de la función se selección Nper

Se hace clic en aceptar

Luego trasladamos los valores haciendo clic en B3, se hace

clic en pago y clic en B4, se hace clic en VF y clic en B2.

Se hace clic en aceptar y da su resultado.



5.4.9 RESUMEN DE FÓRMULAS Anualidades Ciertas Vencidas

P = A ( 1 + i ) n –1 i ( + i ) n

A = P i ( + i ) n

( 1 + i ) n –1

n = Log A

A - Pi

Log ( 1 + i)

F = A ( 1 + I ) n -1

i

A = F i ( 1 + i ) n - 1

Teniendo una anualidad se calcula un valor presente.

Teniendo un valor presente se calcula una anualidad

Teniendo un valor presente y una anualidad, calculamos n o número de

periodos.

Teniendo una anualidad se calcula el valor futuro.

Teniendo Futuro se calculamos una anualidad



)1(

1

iLog

A

iFLog

n

)1( iLog

FiA

ALog

n

Teniendo Futuro y anualidad, calculamos n.



5.4.10 PROBLEMAS RESUELTOS

5.4.10.1 Un Señor compra una casa dando una cuota inicial de $ 20.000.000 y

el saldo a 120 cuotas mensuales de $ 1.235.596,70, si el

financiamiento es del 3%, ¿Cuál fue el precio total de la casa?.

Diagrama:

i = 3% Mensual

P = ?

1 2 3 4 5 119 120 Meses

0

A = 1.235596,70

P = A ( 1 + I ) n - 1

i ( 1 + i ) n

P = 1235596,70 ( 1,03 ) 120 -1

0,03 ( 1,03) 120

P = 1.235.596,70 33,710987

1.041330

P = 1.235.596,70 32.373.010



P = 40.000.000

40.000.000 + 20.000.000 de cuota inicial, el precio total de la casa fue de $

60.000.000.

5.4.10.2 Un ahorrador deposita $ 250.000 trimestrales durante 5 años, si el Banco reconoce el 18% anual, ¿Cuánto podrá retirar al final de 5 años?.

Diagrama:

F = ?

I = 4.5 % Trimestral

0 1 2 3 4 9 19 20 TRIMESTRALES

A A A A A A A

A = 250.000

F= A (1 + i ) n - 1

i

F = 250.000 (1,045)20 -1

0,045

F = 250.000 1,411714

0,045

F = 250.000 ( 31,371422 )



F = 7.842.855,15

El ahorrador puede retirar al final de 5 años la suma de $ 7842856.

5.4.10.3 Un padre de familia quiere obtener $ 10.000.000 para hacerle la

fiesta de 15 años a su hija dentro de 3 años. ¿Cuánto debo ahorrar

mensualmente si el Banco reconoce el 18% anual?.

I = 1.5% Mensual

Mensual

0 1 2 3 4 5 6 34 35 36

A A A A A A A A A

A = ?

A = F i ( 1 + I ) n - 1

A = 10.000.000 0,015

( 1,015 ) 36 - 1

A = 10.000.000 0,015

0,709140



A = 10.000.000 ( 0,021152 )

A = 211.523,81

El padre de familia tiene que ahorrar $ 211.523,81 durante 36 meses para poder

pagar la celebración de los quince años que vale $ 10.000.000.

5.4.10.4 Un préstamo de $ 3.000.000 al 32% anual será cancelado en cuotas

mensuales de $ 130.663,21 , ¿Cuántas cuotas mensuales deberá

pagar?

P = 3.000.000

1 2 3 4 5 n-1 n ? mesuales

A = 130.663,21

N = Log A A – Pi

Log ( 1 + i )

N = Log 130663,21

50.563,21

Log ( 1,0267 )



N = Log 130.663,21

130.663,21 – 3.000.000 x 0,0267

Log ( 1,0267 )

N = Log ( 2.584156 ) n = 0,412318727 g ( 1,0267 ) 0,011443562

Un préstamo de $ 3.000.000 al 32% anuales son cuotas mensuales de $

130.663,21 debe ser canceladas en 36 cuotas mensuales.

5.4.10.5 Un televisor tiene un valor de contado de $ 800.000, si lo compra de

la siguiente forma:

1. Una cuota inicial de $ 200.000

2. 24 cuotas mensuales de $ 37.446.

¿Qué tasa de interés me cobran?

Como el televisor vale $ 800.000 y si da una cuota inicial de $ 200.000

quiere decir que me financiaran $ 600.000.

P = 600.000

i = ?

36

MESES



1 2 3 4 5 6 24 MESES

A A A A A A A A = 37.446 Me invento una tasa de interés para este caso el 4% y calculo la anualidad teniendo un valor presente. A = P N I ( 1 + I ) n

( 1 + I ) n - 1

A = 600.000 0,04 ( 1,04) 24

( 1,04) 24 - 1

A = 600.000 ( 0,102532 )

( 1,563304 )

A = 600.000 ( 0,065587 )

Deduzco que la tasa de interés debe ser menos del 4% porque la

cuota que se conoce es de $ 37.446, hago lo mismo para una tasa

del 3%.

A = 600.000 0,03 ( 1,03 ) 24

(1,03) 24 -1

A = 600.000 0,060984

A = 39.352



1,032794

A = 600.000 0,059047

A = 35.428

Deduzco que la tasa de interés debe ser mayor que el 3% y menor que el 4%,

hago interpolación así:

0,04 39.352 i 37.446

0,03 35.428 0,03 35.428

Resto 0,01 3.924 i –0,03 2.018

0,01 = i – 0,03

3924 2.018

0,01 x 2.018 = i – 0,03

3.924

0,005143 = i – 0,03

i - 0,03 = 0,005143

Por la financiación de los $ 600.000, por la compra del televisor, me cobran un

interés aproximadamente de 3.51%.

5.4.10.6 El propietario de un edificio tiene 2 alternativas que son:

1. Venderlo hoy por $ 90.000.000

I = 3.51 % Mensual



2. Arrendarlo por $ 800.000 mensuales durante 3 años y al final venderlo en $

136.000.000

Si la tasa es del 3% mensual ¿qué decisión debe tomar?

Se puede saber ¿Cuál es el valor futuro de las dos alternativas al

finalizar los 3 años y lo que más valor futuro me da es la que debo

tomar?

ALTERNATIVA A:

I = 3 % Mensuales

A P = 9.000.000 Meses

1 2 3 4 5 6 7 36 F = ¿?

Aplico la fórmula teniendo un valor presente, calculo un valor futuro.

F = P ( 1 + i )

F = 9.000.000 ( 1,03 ) 36

F = 9.000.000 ( 3,572327 ) F = 321.509.430

Eso significa que los $ 90.000.000 colocados al 3% mensual dentro de 3 años, se

convertirán en $ 321.509.430.

ALTERNATIVA B

A = 800.000 F = ?

I = 3% mensual P = 136.000.000



A A A A A A A

0

1 2 3 4 5 35 36 Meses

Se debe calcular a que valor futuro, corresponde la anualidad de los $

800.000 de arriendo y sumarle los $ 136.000.000.

F = A ( 1 + i ) n -1

i

F = 800.000 (1,03 ) 36 - 1

0,03

F = 800.000 1,898278

0,03

F = 800.000 ( 63,275444 )

F = 50.620.755

50.620.755 + 136.000.000 = 186.620.755

Podemos concluir que la alternativa que nos sirve es la A debido a que nos da un

mayor valor futuro en el mes de 36.

5.4.10.7 El señor Rubén Cañas solicita un préstamo de $ 500.000 a 60 meses

con un interés del 2.8% mensual para ser cancelado en cuotas

mensuales.



a-) Cuál es el valor de cada cuota

b-) Si después de pagar la cuota 36 decide cancelar con un solo pago

en el mes siguiente. ¿De cuánto debe ser el pago?

P = 5.000.000

i = 2.8 %

0 1 2 3 4 5 60 Meses

A A A A A A A

A = ?

A) A = P I ( 1 + I ) n

I ( 1 + I ) n - 1

A = 5.000.000 0,028 ( 1,028) 60

( 1,028 ) 60 – 1

A = 5.000.000 0,146806

4.243085

A = 5.000.000 0,034599

A = 172.995

VALOR CUOTA



B) Sé calcular un valor presente en la cuota 36.

36 37 38 39 40 41 60

A A A A A A A

A = 172.995

P = A ( 1 + i ) n - 1

i (1 + i ) n

P = 172.995 ( 1,028 ) 24 - 1

0,028 ( 1,028) 24

P = 172.995 0,940148

0,054324

P = 172.995 17,306.310

P = 2.993.905



El valor del pago en la cuota 36 debe ser de 2.993.905.

5.4.10.8 Un cliente va a comprar una máquina de hacer tornillos por valor de

$ 55.500.000 el mantenimiento mensual de la máquina es de

$1.200.000 mensuales y los ingresos mensuales son de $ 3.000.000.

Si al final de cinco años la vende en $ 37.500.000 y la tasa de

intereses es del 3%, ¿Se debe comprar la máquina?. Este

problema se puede resolver llevando toda al valor presente o a valor

futuro, para este caso lo resolveremos a valor presente.

Valor de la máquina $ 55.000.000 = Valor Presente

El mantenimiento de la máquina es de 60 cuotas de $ 1.200.000 mensuales,

calcular su valor presente.

P = A ( 1 + i ) P = 1.200.000 ( 1,30) 60- 1

I ( 1 + I ) 0,03 ( 1,03 ) 60

P = 1.200.000 4.891603

0,176748 1.200.000 ( 27,675578 )

Valor presente del mantenimiento

El valor de la máquina que es $ 55.000.000 le sumamos el valor del

mantenimiento $ 33.210.692, quedando un resultado de $

88.210.692 valor

presente de los

egresos.

P = 33.210.693

NOTA: Hacemos lo mismo para los ingresos.



Al final de cinco años o sea en el mes 60 vendemos la máquina en 37.500.000 y la

traemos a valor presente.

F = 37.500.000 P = F P = 37.500.000

P = ? ( 1 + i ) n ( 1,03 ) 60

n = 60 P = 37.500.000

i = 3 % 5.891603

El valor de la venta por $ 37.500.00 corresponde a pesos de hoy de $ 6.364.991.

El ingreso mensual de $ 3.000.000 durante los 60 meses lo traemos a

pesos de hoy osea a valor presente.

P = A ( 1 + I ) n - 1

I ( 1 + I ) n

P = 3.000.000 ( 1,03 ) 60 - 1

0,03 ( 1,03 ) 60

P = 3.000.000 ( 27,675578 )

Se suman los valores presente de los ingresos y da como resultado la suma de $

89.391.725, este es el valor presente de los ingresos.

Comparamos los valores presente de los ingresos y de los egresos:

P = 6.364.991

P = 83.026.734

VALOR PRESENTE DEL

INGRESO MENSUAL



De ahí deducimos que debemos comprar la maquinaria por ser el valor presente de los ingresos mayor que los egresos.

5.4.10.9 Una pareja quiere ahorrar $ 30.000.000, para su matrimonio. Si

estos ahorros los hace trimestralmente durante cinco años y el Banco

reconoce un interés del 24% anual, ¿Cuánto es el ahorro trimestral?.

F = 30.000.000

I = 6% Trimestral

0 1 2 3 4 5 19 20 TRIMESTRAL

A A A A A A A

A = ?

A = F i A = 30.000.000 0,06

( 1 + I ) n - 1 ( 1,06 ) 20 - 1

A = 30.000.000 0,06 A = 30.000.000 ( 0,027185 )

2,207135

VALOR PRESENTE INGRESO $

89.391.725

VALOR PRESENTE EGRESO $ 88.210.692

A = 815.537

La pareja debe ahorrar $ 815.537 cada trimestre



5.4.10.10 Hace 4 años se compro una casa, en la actualidad se pagan cuotas

mensuales de $ 250.000 a una corporación que financio el 75% a 15

años con una tasa de interés de 1.5% mensual, ¿Cuál fue el precio

de compra de la casa?

CONOCEMOS:

A = 250.000

N = 180 meses

I = 1.5% mensual

Con base en lo anterior, calculamos el valor presente o sea el saldo que me

prestaron.

( 1,015 ) 180 - 1

P = A ( 1 + I ) n -1 = P = 250.000 0,015 ( 1,015 ) 80

I ( 1 + I ) n

P = 250.000 13,584368 P = 250.000 ( 62,097128 )

0,218760

Para saber el precio de la casa hacemos una regla de 3 de la siguiente manera:

15.524.282 75% = 20.699.042

P = 15.524.282 que equivale al

75% de la casa



100% X

5.4.11 PROBLEMAS PROPUESTOS

5.4.11.1 Luis Pérez canceló una cuota trimestral de $ 600.000 durante 5 años en un Banco que cobra el 26% anual, ¿Cuánto le prestaron? Respuesta 6.611.104.

EL PRECIO DE LA CASA FUE DE

$ 20.699.042



5.4.11.2 Javier Carvajal prestó $ 8.000.000 para ser cancelados en cuotas

bimestrales, durante 3 años, si el Banco cobra 18% anual, ¿Cuál es

el valor de la cuota?. Respuesta $ 581.670.

5.4.11.3 ¿Cuánto tengo que ahorrar semestralmente si dentro de

cinco años quiero obtener $ 20.000.000, el Banco

reconoce un interés del 24% anual?. Respuesta

1.139.638.

5.4.11.4 Un préstamo de 1.000.000 al 28% anual, pagaderos mensualmente,

paga una cuota de $ 41.363,58 mensual, ¿Cuántos meses debo

pagar?. Respuesta 36 meses.

5.4.11.5 Una nevera de contado vale $ 1.000.000 y se compra dando una

cuota inicial de $ 250.000 y 24 cuotas mensuales de $ 41.935. ¿Qué

tasa de interés mensual me cobrarán?. Respuesta 2.5% mensual.

5.4.11.6 Para comprar una moto hay dos alternativas:

a-) De contado $ 2.800.000

b-) Cuota inicial de $ 800.000 y 12 cuotas mensuales de

$189.000 ¿si la tasa de interés es del 2.8% mensual,

¿Cuál debo escoger?. Respuesta Opción B.

5.4.11.7 Martha Cáceres compro un, juego de sala el valor de contado es de %

2.800.000 y ella dio $ 400.000 de cuota inicial y el resto a 20 cuotas

mensuales cobrando el 32% anual )¿ Cual fu el valor de la cuota ?

Respuesta $ 156.387.



5.4.11.8 Un, préstamo de $ 28.000.000 paga cuotas mensuales de

$559.807 en un, banco que cobra el 21% anual ¿ A que

plazo prestaron el dinero? Respuesta 120 meses.

5.4.11.9 Un, carro se puede comprar en $ 22.950.000 al contado. Pero se compra dando una cuota inicial de $ 2.250.000 y 18 cuotas mensuales de $ 1.400.000 ¿ Calcular la tasa nominal de interés y la tasa efectiva ? Respuesta 25.90% nominal y 29.20 efectivo. 5.4.11.10 Un, cliente deposita hoy en una cuenta cierta cantidad de dinero para

que le entreguen $ 200.000 mensuales durante 5 años si el banco

reconoce el 12% anual capitalizables mensualmente . ¿ si ?

5.4.11.11 desea recibir $250.000 mensuales durante cuantos meses recibirá el

dinero ? Respuesta 44,79 meses



CAPITULO 6 ANUALIDADES ANTICIPADAS

OBJETIVO

Al finalizar el estudio de este capitulo el estudiante podrá definir que es una anualidad anticipada. La diferencia con la vencida, como resolver problemas que impliquen, Valor Presente, Valor Futuro, Anualidades, Tasa de Interés y Número de Periodo TEMAS

6.1 Introducción. 6.2 Cálculo del valor presente. 6.2.1 Utilizando la Fórmula.



6.2.2 Utilizando las tablas. 6.2.3 Utilizando La Calculadora H.P. 6.3 Cálculo de la Anualidad teniendo un presente. 6.3.1 Utilizando la fórmula. 6.3.2 Utilizando la Calculadora H.P. 6.3.3 Utilizando las tablas. 6.4 Cálculo del Número de Períodos. 6.4.1 Utilizando la fórmula. 6.4.2 Utilizando la Tabla. 6.4.3 Utilizando la Calculadora H.P. 6.5 Cálculo de la Tasa de Interés. 6.5.1 Utilizando la Tabla. 6.5.2 Utilizando la Calculadora H.P.. 6.6 Valor Futuro. 6.6.1 Utilizando la Fórmula. 6.6.2 Utilizando las Tablas. 6.6.3 Utilizando la HP. 6.7 Cálculo de la anualidad teniendo un, Valor futuro 6.7.1 Utilizando la fórmula 6.7.2 Utilizando las tablas 6.7.3 Utilizando la Calculadora H.P. 6.8 Cálculo del número de Períodos. 6.8.1 Utilizando la Fórmula. 6.8.2 Utilizando las tablas. 6.8.3 Utilizando la calculadora H.P. 6.9 la tasa de interés 6.9.1 Utilizando las tablas. 6.9.2 Utilizando la Calculadora HP. 6.9.3 Interpelando. 6.10 Resumen de Fórmulas. 6.11 Problemas Resueltos. 6.12 Problemas Propuestos.



6.1 INTRODUCCIÓN

Es los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada período, como es el caso de los créditos Bancarios, Ventas a plazo, seguros etc. La anualidad anticipada la podemos definir como una serie de pagos periódicos e iguales de dinero que ocurren al comienzo de cada período, durante todo el plazo que dura la anualidad. 6.2 CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

ANTICIPADA. 6.2.1 Utilizando la Fórmula P = Presente A = Anualidad

n = Número de Periodos

i

iAP

n )1()1(11

i = Tasa de Interés Representación Gráfica 0 1 2 3 4 n n1 A A A A A A A

Ejemplo: Si un inquilino paga $ 300.000 mensuales de arriendo anticipadamente y

quiera pagar los arriendos de todo el año y le reconoce un interés del 2% mensual

¿Cuánto debe pagar por el año?.

Representación Gráfica P i = 2% 12 meses



A A A A A A n A = 300.000

i

iAP

n )1()1(11

P = 300.000 1 + 1 - ( 1+0.02 ) – (12-1)

0,02 P = 300.000 1 + 1- ( 1,02 ) -11

0,02 P = 300.000 1 + 1-0,804263 0,02 P = 300.000 1 + 9,786850 P = 300.000 ( 10,786850 ) P = 3.236055

Esto significa que si se realiza un solo pago debe cancelar $ 3.236055. 6.2. UTILIZANDO LAS TABLAS



6.2.2 Utilizando las Tablas Para calcular el valor presente de una anualidad anticipada, se hace con base en la notación estándar que es P = A ( 1 + (P/A, i, n –1), la parte del paréntesis (P/A, i, n –1), es la notación estándar para el cálculo del valor presente de una anualidad vencida la que se incluye es para un n-1. Para este caso el ejercicio anterior, se tiene una anualidad de $ 300.000, un n= 12 meses y un interés del 2%, se busca en la tabla VI (Valores del factor VP de una anualidad ordinaria) para un interés del 2% para n = 11 y el factor es $ 9.78684805 y lo reemplazamos en la notación estándar. P = A ( 1 + (P/A, i, n –1) ) P = 300.000 ( 1+( 9,78684805) ) P = 300.000 ( 10.78684805 ) P = 3.236.085

6.2.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA H P

Se toma como base el ejemplo anterior, se

tiene lo siguiente:

Primer Paso: Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da como resultado la siguiente pantalla: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGOS/AÑ: MODO FINAL

N %IA V.A PAGO VF OTRO

Se oprime OTRO con el fin de pasar MODO FINAL a MODO INICIAL que significa anticipado; y se oprime INICIAL y luego EXIT y da como resultado la siguiente pantalla:



12 PAGOS/AÑ: MODO INICIAL N %IA V.A PAGO V.F OTRO

Tercer Paso:

Se procede a incluir la información así: Se escribe 12 en la pantalla y se oprime N, se escribe 24 en la pantalla y se oprime % IA, se escribe $ 300.000 en la pantalla y oprimo +/- y luego PAGO y para pedir la respuesta oprimo V.A. y da como respuesta en la pantalla V.A = 3.236.055. 6.3 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD TENIENDO EL VALOR PRESENTE 6.3.1 UTILIZANDO LA FÓRMULA

i

i

PA

n )1()1(11

Representación Gráfica: I = 2% Mensual P = 3.236.055 1 2 3 4 5 6 7 8 n Meses A A A A A A A A A A = ¿? Ejemplo: Un cliente del Banco se le otorga un crédito por $ 10.000.00 al 24% anual a 36 meses de plazo pagando cuotas mensuales anticipada, ¿Cuál es el valor de la cuota? I = 2% Mensual P = 10.000.000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 A A A A A A A A A A A A=?



i

i

PA

n )1()1(11

P = 10.000.000 1 + 1-( 1,02) – 35

0,02

P = 10.000.000 1 + 1-( 0,500028 )

0,02

P = 10.000.000

1 + 24,9986

P = 10.000.000 25,9986 El cliente por el préstamo tiene que pagar 36 cuotas anticipadas de $ 384.636. 6.3.2 UTILIZANDO LA CALCULADORA H P Se toma el ejemplo anterior: Primer Paso: Estando encendida la calculadora se oprime la tecla FIN y da como resultado la siguiente pantalla:

P = 384.636




Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGO/AÑ: MODO INICIAL


Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 10.000.000 en la pantalla y se oprime VA, se escribe 24 en la pantalla %IA, se escribe 24 y N y pulso PAGO y da como resultado en la pantalla así:

6.3.3 UTILIZANDO LAS TABLAS

La notación estándar para calcular el valor

presente es P = A ( 1 + (P/A, i, n –1), se

despeja A, quedando de la siguiente manera:

A = P

1 + (P/A, i, n –1) Para el Ejemplo anterior que son 36 cuotas mensuales, se busca en la tabla VI para un interés del 2% y un n=35 y da un factor de 8 (24,99861933) y lo reemplazo en la notación estándar así: A = P

1 + (P/A, i, n –1)

PAGO= 384.634,80

Esta es la notación estándar para calcular una anualidad teniendo un valor presente



A = 10.000.000 1 + 24,99861933 A = 10.000.000 25,99861933 6.4 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS 6.4.1 Utilizando la Fórmula

Log ( 1 + i - ( Pi ) A Fórmula n = 1 - Log ( 1 + i ) n = 1- Log ( 1 + 0,015 - ( 5.000.000 x 0,015) 144.704,42 Log ( 1 + 0,015) n = 1 - Log ( 1,015 - 0,518298) Log ( 1,015) n = 1 - Log ( 0,497609)

Log ( 1,015) n = 1 - -0,30389797 0,006466042 n = 1 - ( - 47)

6.4.2 UTILIZANDO LAS TABLAS

A = 386.635,84

n = 48



Para el cálculo del número de períodos, se hace con base en la notación estándar, para calcular el valor presente que es P=A (1 + (P/A, i%, n-1) que es igual a P = A ( 1 + i )( P/A, i%, n ). Ejemplo: Por un préstamo de $ 5.000.000, se pagan cuotas anticipadas de $ 144.704,43 mensuales, si el Banco cobro el 18% anual, ¿Cuántas meses debo pagar la cuota? I = 1.5% 5.000.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n=? A A A A A A A A A A A = 144.704,43 Tenemos: A = 144.704,43 P = 5.000.000 I = 1.5% Mensual n = ? Si P = A ( 1 + i ) (P/A,i%, n ) reemplazamos: 5.000.000 = 144.704,43 ( 1 + 0,015 ) ( P/A, i%, n ) 5.000.000 = ( P/A, i%, n ) 144.704,43 5.000.000 = ( P/A, i%, n ) 146.874,49 34,042556 = ( P/A, i%, n ) esto significa que se tiene que buscar para un interés del 1.5% un n que sea 34.042556 o que este muy cerca de ese factor y al buscarlo en la tabla VI (Valores del factor VP de una anualidad ordinaria) y da 48 períodos o meses, si el número no es exacto, se busca un número mayor y un número menor e interpolamos. 6.4.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP. Tomando como base el ejemplo anterior Primer Paso:



Estando encendida la Calculadora oprimimos la tecla FIN y da como resultado la siguiente pantalla:

VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: 12 PAGO/AÑ: MODO FINAL

N %IA V.A PAGO VF OTRO

Tercer Paso: Se procede a incluir la siguiente información así : Se escribe 5.000.000 en la pantalla y oprimo V.A , luego se escribe 18 en la pantalla y se oprime la tecla %IA, se escribe 144.704,43 y oprimo +/- y luego PAGO, y para pedir la respuesta se oprime N y aparece la respuesta N = 48. 6.5 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Para el cálculo de la tasa de interés se puede hacer de tres formas de la siguiente manera: 1. En base de la notación estándar P =A 1 + (P/A,i%,n-1) 2. Con base en el ensayo 3. Interpolando NOTA: La 2 y 3 se describieron en el capítulo de anualidades ciertas vencidas. 6.5.1 UTILIZANDO LAS TABLAS Ejemplo: Un televisor cuyo valor de contado es de 800.000, se adquiere pagando 12 cuotas mensuales anticipadas de $ 72.639,41 cada una, ¿Qué tasa de interés están cobrando? Notación Estándar P =A 1 + (P/A,i%,n-1) Despejo P = - 1 (P/A,i%,n-1) Reemplazando



A 800.000 - 1 = (P/A,i%,n-1) 72.639,41 800.000 - 1 = (P/A,I, 11 ) 72.639,41 10,013305 = (P/A,I, 11 ) Se busca para un n igual a 11 un factor que sea igual o superior o inferior a 10,013305, encontramos lo siguiente:

Para 1.5% un factor de 10,07111779

Para 1,75 un factor de 9,92749181 Esto nos indica que la tasa de interés está entre 1.5% y 1.75% debido a que el factor 10.013305 está dentro de los dos factores. Para calcularlos hacemos la interpolación así:

0,0175 9,92749181 i 10,013305 0,015 10,07111779 0,05 10,07111779 0,0025 - 0,143626 i – 0,015 -0,057813 0,0025 = i - 0,015 - 0,143626 - 0,057813 0,0025 - 0,057813 = i – 0,015 -0,143626 0,001006 = i – 0,015 i – 0,015 = 001006

I = 1.6% APROXIMADAMENTE



i = 0,01006 + 0,015 i = 0,016006 6.5.2 UTILIZANDO LA CALCULADOFINANCIERA

Tomando como base el Ejemplo anterior.

Primer Paso Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da como resultado la siguiente pantalla:


Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y da como resultado la siguiente pantalla: N %IA V.A. PAGO V.F. OTRO Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 800.000 en la pantalla y se oprime la tecla V.A., luego se escribe 12 en la pantalla y se oprime N , Se escribe 72.639,41 y se oprime +/- y PAGO, si deseas obtener la respuesta se oprime %IA y da como resultado 19,1999 interés anual y lo divido en 12 dará 1.5999% aproximado 1.6% mensual. 6.6 VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. Así como hemos calculado el valor presente de una anualidad anticipada, podemos calcular su valor futuro. 6.7 UTILIZANDO LA FORMULA

11)1( 1

i

iAF

n

Ejemplo se depositan $ 400.000 trimestrales en una cuenta de ahorros que pago el 24% anual capitalizable trimestre, ¿Cuánto tendrá al final del año? i : 6% Trimestral F = ?



0 1 2 3 4 Trimestre

A = 400.000 F = 400.000 ( 1 + 0,06 ) 4 + 1 -1 0,06 F = 400.000 ( 1,06 ) 5 -1 0,06 F = 400.000 0,332826 -1 0,06 F = 400.000 ( 4,637093 ) Si el ahorro $ 400.000 en una cuenta que paga sus intereses por anticipado al 24% anual, al final del año tendré $ 1.854.837. 6.6.2 UTILIZANDO LAS TABLAS

La notación estándar es F= A (F/A,i%,n+1 )

- 1

Con base en el ejemplo anterior: F = 400.000 (F/A,i%,n+1 ) - 1 se busca

en la tabla del 6% para el cálculo futuro, se

F = 1.854.837,18



tiene A para un n = 5 y da la tabla 5,63709296

y reemplazamos:

F = 400.000 ( 5,63709296 ) - 1

F = 400.000 ( 4.63709296 ) 6.6.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP Primer Paso: Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da como aparece en la siguiente pantalla: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso : Se oprime la tecla VDT y da como aparece la siguiente pantalla:

12 PAGOS/AÑ: MODO FINAL

N %IA V.A. PAGO V.F. OTROS

Como el ejemplo habla de capitalizaciones trimestrales y el año tiene 4 trimestres, tenemos que cambiar la parte superior de la pantalla así: Se oprime OTRO, se escribe 4 en la pantalla y se oprime P/AÑO y EXIST y aparece: N %IA V.A. PAGO V.F. OTR Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 400.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, se escribe 24 en la pantalla y se oprime %IA , se escribe 4 en la pantalla y se oprime N y aparece

F = 1.854.837,18



pedir la respuesta se oprime VF y aparece la respuesta en la pantalla así: VF = 1.854.837,18. 6.7CÁLCULO DE UNA ANUALIDAD TENIENDO UN VALOR FUTURO. 6.7.1 Utilizando la Fórmula.

A=

11)1( 1

i

i

Fn

Ejemplo: ¿Qué suma debo depositar al comienzo de cada mes en un Banco que reconoce el 16% anual capitalizable mensualmente, si dentro de 5 años quiero tener $ 20.000.000? i = 1,3333 % Mensual F = 20.000.000 0 1 2 3 4 5 6 59 60 Meses A A A A A A A A

A = 20.000.000 1.242874 - 1

0,01333 A = 20.000.000 92,238860 Si quiero tener $ 20.000.000 dentro de 5 años debo depositar $ 216.828,31 en un Banco que reconozca el 1,33% mensual anticipado. 6.7.2 UTILIZANDO LAS TABLAS

A = ?

A = 216.828,31



Para el cálculo de la anualidad teniendo un futuro, la notación estándar es n = F (F/A,i%,n+1 ) - 1 Ejemplo: si quiere tener dentro de 4 años $ 16.188.117,93 ¿Cuánto tengo que ahorrar mensualmente, si el Banco reconoce el 24% anual capitalizable mensualmente?. Con el ejemplo anterior tenemos: F = 16.188.117,93 i = 2% mensual n = 48 meses A = F (F/A,i%,n+1 ) - 1

A = 16.188.117,93

(F/A,i%,n+1 ) - 1 Se busca en la tabla del 2% para el cálculo del valor futuro, teniendo una anualidad el factor para un n = 49 y reemplazamos factor 2% para n= 49 = 81,94058966 A = 16.188.117,93 A = 16.188.117,93 ( 81,94058966 ) –1 80,94058966

Se tiene que ahorrar $ 200.000 mensuales, si dentro de 48 meses quiero tener $ 16.188.117,93. 6.7.3 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP Primer Paso: Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da aparece la siguiente pantalla:

A = 200.000




Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla: 12 PAGOS/AÑ : MODO FINAL


Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.117,93 en la pantalla y se oprime la tecla V.F., se escribe 48 en la pantalla y se oprime N , Luego se escribe 24 en la pantalla y se oprime %IA y para pedir el resultado se oprime PAGO y aparece la respuesta en la pantalla PAGO= 199,999,999 aproximado $ 200.000. 6.8 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS 6.8.1 Utilizando las Tablas.

Para el calculo del número de períodos utilizamos la notación estándar F = A (F/A,i%,n+1 ) - 1 F = 16.188.118 A = 200.000 i = 2% Mensual n = ? Reemplazamos: 16.188.118 = 200.000 (F/A,2%,n+1 ) - 1 16.188.118 = (F/A,2%,n+1 ) - 1 200.000.



80,940940 = (F/A,2%,n+1 ) - 1 80,940940 + 1 = (F/A,2 %,n+1 ) - 1 81,940940 = (F/A,2 %,n+1 ) - 1 Se busca en la tabla del 2% para el cálculo del valor futuro, teniendo una anualidad un n igual a 81,940940 y el resultado es 49, entonces: n + 1 = 49 de donde n=48 si quiero ahorrar $ 200.000 durante 48 meses para obtener $ 16.188.188. 6.8.2 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP Primer Paso: Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y da la siguiente pantalla: V.D.T CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla: 12 PAGOS/AÑ: MODO INICIAL N %IA V.A. PAGO VF OTRO Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.118 en la pantalla y se oprime V.F., se escribe 200.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, luego se escribe 24 en la pantalla y se oprime %IA, para pedir el resultado en la pantalla, se oprime N y da como respuesta

6.9 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS 6.9.1 Utilizando la tabla

N = 48



Con base en el ejemplo anterior que sabemos con anticipación que la tasa es del 2% mensual. Ejemplo: Si ahorro $ 200.000 mensuales y dentro de 48 meses me entregan $ 16.188.118, ¿Qué tasa de interés me reconoció el Banco? Se utiliza la notación estándar F = A (F/A,i %,n+1 ) - 1 Reemplazamos: 16.188.118 = 200.000 (F/A,i %,n+1 ) - 1

16.188.118 = (F/A,i %,49 ) - 1 80,940590 + 1 = (F/A,i %,49 )

81,940590 = (F/A,i %,49 ) se busca en las tablas del cálculo del valor futuro teniendo una anualidad para un n = 49, un porcentaje que de un factor de 81,940590 y para este caso el factor esta en la tecla de 2%. 6.9.2 UTILIZANDO LA CALCULADORA HP Primer Paso Estando encendida la calculadora, se oprime la tecla FIN y aparece la siguiente pantalla: VDT CONVI F.CAJA BONO DEPREC. Segundo Paso: Se oprime la tecla VDT y aparece la siguiente pantalla: 12 PAGOS/AÑ : MODO FINAL N %IA V.A. PAGO VF OTRO



Tercer Paso: Se procede a incluir la información así: Se escribe 16.188.118 en la pantalla y se oprime la tecla VF, se escribe 48 en la pantalla y se oprime la tecla N, se escribe 200.000 en la pantalla y se oprime +/- y PAGO, para pedir el resultado se oprime %IA y aparece la respuesta en la pantalla así: %IA = 24 este interés está dado en años y los pasamos a meses dividiéndolo en 12 24/12 = 2%.

6.9.3 UTILIZANDO INTERPOLACIÓN Como se ha dicho en las anteriores capítulos, el cálculo del interés es de gran importancia, debido a que a través del interés el verdadero valor del crédito. Ejemplo: Si depositamos $ 250.000 en una cuenta de ahorros durante 24 meses y al final obtengo $ 8.125.476, ¿Qué interés me reconoció el Banco?. Lo primero que debo hacer es volver a calcular la anualidad inventando una tasa de interés, en este caso decimos 3%. A = F ( 1 + i ) n + 1 -1 i A = 8.125.476 ( 1,03 ) 25 – 1 0,03 A = 8.125.476 1,093778 -1 0,03



A = 8.125.476 ( 35,459.264 - 1 ) A = 8.125.476 35,459264

De aquí deducimos que con un interés del 3%, la anualidad sería de $ 229.145 lo que nos indica, que la anualidad de $ 250.000, debe corresponder a un interés menor. Se hace el mismo procedimiento para una tasa del 2%. 8.125.476 ( 1,02 ) 25 - 1 A= 0,02 A = 8.125.476 ( 32,0303 - 1 ) A = 8.125.476 31,0303

Se puede observar que con una tasa del 2%, se tiene que ahorrar $ 261.856 y con una tasa de 3%, se tiene que ahorrar $ 229.145. Pero como lo que verdaderamente ahorramos es $ 250.000, esto significa que la tas de interés está entre 2 y 3%, para calcular INTERPOLAMOS así: 0,3 229.145 i 250.000 0,02 261.856 0,02 261.856 0,01 - 32.711 i -0,02 -11.856 0,01 = i – 0,02 -32711 11856 - 11.856 = i - 0,02 0,003624 = i - 0,02 i = 0,02 = 0,003624 i = 0,003624 + 0,02

A = 229.145

-1

A = 261.856

i = 2,36 %



i = 0,0236 Lo que se deduce, es que el Banco reconoce el 2,36 % mensual, para poder obtener $ 8.125.476 ahorrando $ 250.000 cada mes.

6.10 RESUMEN FÓRMULAS ANUALIDADES ANTICIPADAS.

i

iAP

n )1()1(11

i

i

PA

n )1()1(11

)1(

)1(

1iLog

A

PiiLog

n

i

iAF

n 1)1( 1

11)1( 1

i

i

FA

n

Hallar valor Presente teniendo una anualidad

Hallar una anualidad teniendo un valor presente

Hallar el número de períodos teniendo una anualidad y valor

presente.

Hallar el valor futuro teniendo una anualidad

Hallar una anualidad teniendo un

futuro



6.11 PROBLEMAS RESUELTOS

6.11.1 Un cliente de un Banco pagó cuotas trimestrales de $ 650.000, durante cinco años, si el Banco cobra sus intereses por anticipado del 28% anual, ¿Cuál fue el valor del préstamo?

P = ? 7% Trimestral

0 1 2 3 4 5 6 7 30 Trimestral A A A A A A A A A A = 650.000 P = A 1 + 1 - ( 1+i ) – ( n – 1 ) i P = 650.000 1 + 1- ( 1,07 ) - 19

0,07 P = 650.000 1 + 1 – 0,276508 0,07



P = 650.000 ( 11,335600 ) 6.11.2Un almacén vende equipo de sonido a $ 950.000 al contado, y ofrece venderlos a 18 meses de plazo, con un recargo del 24% , ¿Hallar la cuota periódica?

P = 950.000 2% MENSUAL 0 1 2 3 4 5 6 7 18 Meses A A A A A A A A A A = ? P A= 1 + 1 – ( 1 + i ) – ( n – 1 )

I 950.000 A= 1 + 1 – ( 1,02 ) 17

0,02 950.000 A= 1 + 1 – 0,714163 0,02

P = 7.368.137



950.000 A= 15,291872 A = 62.124,50 6.11.3 Por un préstamo de $ 1.500.000 se pagan cuotas mensuales anticipadas de $ 73.299,41 con un interés del 30% anual. ¿Cuántas cuotas hay que pagar? Log ( 1 + 0,025 – 1500000 x 0,025) n = 1 - 73.299,41 Log ( 1,025 ) Log ( 0,513400 ) n= 1- Log ( 1,025 ) -0,28954413 n= 1- 0,010723865 n = 1 - ( - 27 )

n = 28



6.11.4 Una moto cuyo valor de contado es de $ 4.000.000 se cancela en 20 pagos trimestrales del 250.000, ¿Qué tasa de interés cobraría? P = A 1 + ( P/A, i%, n-1 ) Reemplazamos: 4.000.000 = 250.000 1 + ( P/A, I%, 20 – 1 ) 4.000.000 = 1 + ( P/A, I%, 19 ) 250.000 16 - 1 = ( P/A, I%, 19 ) 15 = ( P/A, I%, 19 )

Se busca en la tabla del cálculo del valor presente, teniendo una anualidad que factor da 15 para un n= 19. En este caso para 2.25% el factor 19 = 15,32289590 y para una tasa del 2.5%, el factor es 18 = 14.97889134, lo que da ha entender, que la tasa está entre 2,25 y 2.5% más cerca al 2.5% y para calcularlo interpolamos: 0,025 15,32289590 i = 15 0,025 14,97889131 0,025 = 14,97889134 - 0,0025 0,344005 i – 0,025 0,021109 -0,0025 = i - 0,025 0,344005 0,021109 -0,0025 ( 0,021109 ) = i – 0,025 0,344005

- 0,000153 = i – 0,025 i – 0,0025 = - 0,000153 i = - 0,000153 + 0,0025 i = 0,024847

2.48%



0,024847 x 100 = 6.11.5 Un cliente ahorra $ 200.000 mensuales en una cuenta de ahorros, que pago el 18% anual capitalizable mensualmente, ¿Cuánto tendrá al final del trimestre? I = 1.5% Mensual F =? 0 1 2 3 4 35 36 A A A A A A A = 200.000 F = A ( i + i ) n + 1 –1 i F = 200.000 ( 1,015 ) 37 -1 0,015 F = 200.000 ( 48,985109 - 1 )

6.11.6 Si dentro de cinco años, quiero tener $ 18.000.000 para enviar un hijo a intercambio ¿cuánto tengo que ahorrar trimestralmente, si el Banco reconoce el 24% anual?. 6% Trimestral F = 18.000.000 0 1 2 3 4 5 6 11 20 Trimestres

-1

-1

F = 9.597.021,74



A A A A A A A A A = ? F A = ( 1 + i ) n + 1 i

A = 18.000.000 ( 1,06 ) 21 - 1 0,06 A = 18.000.000 38,992727

6.11.7Una persona quiere vender su finca y tiene 3 ofertas :

A) 20.000.000 de contado B) 9.500.000 de contado y 5 cuotas semestrales vencidos $ 2.500.000. C) 12 cuotas trimestrales anticipada de $ 1.000.000 y un pago único de $ 12.500.000 al final de 4 años.

¿Qué oferta debe escoger, si la tasa es del 8% anual? Para solucionar este problema llevamos las 3 alternativas a valor presente y la que mayor valor presente de es la que conviene vender.

A) ¿Cuál es el valor presente de vender hoy por $ 20.000.000; entonces: El valor presente es $ 20.000.000.

B) $ 9.500.000 contado y cinco cuotas semestrales vencidas de 2.500.000, el valor presente de $ 9.500.000 es $ 9.500.000, le sumamos el valor presente de la anualidad de $ 2.500.000.

- 1

-1

A = 461.624,54



( 1 + i ) n - 1 P=A i ( 1 + i ) n

( 1,04 ) 5 – 1 P = 2.500.000 0,04 ( 1,04) 5 P = 2.500.000 0,216653 0,048666 P = 11.129.582,37 9.500.000 + 11.129.582,37 = 20.629.582,37 Valor presente 2 alternativa = 20.629.582,37

c. Calculemos el valor presente, para la anualidad anticipada y le sumamos el valor presente de un futuro así: P = A 1 + 1- ( 1+ I ) – ( n –1 ) + F i ( 1 + i ) n

1 + 1 - ( 1,02 ) – 11 + 12.500.000 P = 1.000.000 0,02 ( 1,08 ) 4

12.500.000

P = 1.000.000 10,786848 + 1, 360489

P = 10.786.848 + 9.187.873 P1 = 20.000.000 P2 = 20.629.582,37



P3 = 19.974.721 La alternativa que más conviene s la P2 porque a pesos de hoy o sea valor presente es la que más da.

6.11.8¿Cuál es el valor de contado de un vehículo que se compra con una cuota inicial de $ 8.000.000 y 24 cuotas mensuales de $ 1.244.025,81 si la financiación se cobra el 24% anual?.

1- ( 1 + i ) - ( n – 1 ) P = A 1 + i

P = 1.244.025,81 1 + 18,292204 P = 1.244.025,81 ( 19,292204 )

P = 24.000.000 + 8.000.000 =

6.12 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.12.1. Un inquilino pago $ 280.000 de Arriendo por anticipado y decide pagarle todo el año al dueño de la casa, que le reconoce un interés del 24% anual. ¿Cuánto recibe el Señor de la casa?. Respuesta $ 3.020.317,45. 6.12.2 El Banco Bogotá le presta a un cliente $ 10.000.000, para ser pagados en 36 cuotas anticipadas. Si cobro el 28% anual, ¿Cuál es el valor de la cuota? Respuesta $ 404.204,43 6.12.3. ¿Cuál es el valor de contado de una casa vendida a 20 años de plazo con pagos mensuales de $ 300.000, mes anticipado y una tasa del 12% anual? Respuesta 27.518.283.

$ 32.000000

VALOR DE

CONTADO



6.12.4. ¿Cuánto debo depositar al comienzo de cada año, en un fondo que paga el 28% anual, si quiero en cinco años tener $ 50.000.000 para la compra de un equipo. Respuesta $ 4.489.990,75. 6.12.5. ¿Cuántos trimestres tengo que consignar $ 103.294 si quiero tener $ 5.000.000 en un banco que reconoce el 21% anual?. Respuesta 24 trimestrales. 6.12.6. Una moto vale de contado $ 6.700.000, puede adquirirse en 12 pagos mensuales anticipado de $ 645.343 cada uno. ¿ Qué tasa de interés mensual cobraron?. Respuesta 2.75%. 6.12.7. Un trabajador ahorra en un fondo de empleados $ 50.000, al principio de cada mes y el fondo reconoce el 18% anual, ¿Cuánto ahorra durante 20 años?. Respuesta 117.174.359.

6.12.8.¿Qué conviene más para quien cobra? :

a) Recibí 14 pagos vencidos de $ 102.644 b) Recibí 14 pagos anticipados de $ 100.000

Si el interés es del 1.5% mensual? Respuesta a) 6.12.9. Si usted deposita la misma cantidad de dinero en 2 corporaciones que ofrecen el mismo interés, pero una paga vencida y la otra anticipada. ¿Cuál produce más?. Respuesta Anticipada. 6.12.10. a) Por 16.000.000 se pagan 48 cuotas de $ 511.401 b) Por 20.000.000 se pagan 60 cuotas de $ 542.433 ¿Por cuál se paga más interés? Respuesta a).

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