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Capıtulo 1:

FORMULARIO

ALGEBRA

TEORIA DE EXPONENTES

Expresiones algebraicas

E

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

EA

8

>

>

<

>

>

:

EAR

8

<

:

EARE −→ Z+0

EARF −→ Z−

EAI −→ Q

ET

Teoremas de exponentes:

1) aman = am+n

2)am

an= am−n , a 6= 0

3) (a · b)n = anbn

4)

�

a

b

�n

=an

bn, b 6= 0

5)

�

am�n

= amn =

�

an�m

6)

��

am�n�p

= amnp

7) a−1 =1

a, a 6= 0

8) a−n =1

an, a 6= 0

9)

�

a

b

�−n

=

�

b

a

�n

, a 6= 0, b 6= 0

Teoremas de radicales:

Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0, n 6= 0, p 6= 0

10) n√ab = n

√a n√b

11) n

É

a

b=

n√a

n√b, b 6= 0

12) m

È

n√a = mn

√a

13) p

q

m

È

n√a = pmn

√a

14) n√a = a1/n

15) n√am = am/n = ( n

√a)m

16) n√am

p= amp/n

17) am. n√ap = n

√amn.ap

Casos especiales:

18)m

q

xr n

È

ysp√zt = mnp

p

xrnp.ysp.zt

19)n

É

xn

q

xn

È

x . . . n√x

| {z }

m radicales

=

nm

Ê

x

nm − 1

n− 1

20)

É

x3

q

x2 4È

x3 . . .n√xn−1 =

n!√xn!−1

Ecuaciones exponenciales

1) Si ax = ay ⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1

2) Si ax = bx ⇒ a = b ⇔ a > 0 y b > 0

3) Si xx = aa ⇒ x = a

4) Si x√x = a

√a ⇒ x = a

5) Si ax = by ⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.

1

2 Algebra Walter Arriaga Delgado

Formas indeterminadas:

1)m

q

xn m

È

xn m√xn . . .∞ = m−1

√xn

2)m

q

xn ÷ m

È

xn ÷ m√xn ÷ . . .∞ = m+1

√xn

3)q

n(n+ 1) +È

n(n+ 1) + . . .∞ = n+ 1

4)q

n(n+ 1)−È

n(n+ 1)− . . .∞ = n

5) n√n

n√n

n√n...∞

= n

6) xxx...∞

= n ⇒ x = n√n

GRADOS

Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de

grado n (con m > n), entonces:

Operacion Grado

P (x)±Q(x) m

P (x).Q(x) m+ n

P (x)

Q(x)m− n

[P (x)]k m.k

k

È

P (x)m

k, k 6= 0

Si P (x) es completo, entonces NT = GA+ 1

Si P (x, y) es completo, homogeneo y ordenado

entonces NT = GA+ 1

P

coef. de P (x) = P (1)

T.I. de P (x) = P (0)

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de un binomio

1) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

3) (a− b)2b = (b− a)2b

Suma por su diferencia

4) (a+ b)(a− b) = a2 − b2

5) (an + bn)(an − bn) = a2n − b2n

Cubo de un binomio

6) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

7) (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)

8) (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

9) (a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a− b)

Binomio por trinomio

10) (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

11) (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

Suma y diferencia de potencias n-esimas

12) (a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−· · ·+bn−1) = an+bn

13) (a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+· · ·+bn−1) = an−bn

Cuadrado de un trinomio

14) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

15) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc)

16) (a+ b− c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

17) (a− b+ c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab+ 2ac− 2bc

18) (a− b− c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc

19) (a− b− c)2 = (b + c− a)2

20) (ab+ac+ bc)2 = a2b2+a2c2+ b2c2+2abc(a+ b+ c)

Cubo de un trinomio

21) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a +

b2c+ c2a+ c2b) + 6abc

22) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(a+ c)(b + c)

23) (a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) − 2(a3 +

b3 + c3) + 6abc

24) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ ac+

bc)− 3abc

Identidades de Stevin: Producto de binomios

con un termino comun

25) (x+ a)(x + b) = x2 + (a+ b)x+ ab

Walter Arriaga Delgado Algebra 3

26) (x− a)(x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

27) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a+ b + c)x2 + (ab +

ac+ bc)x+ abc

28) (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a+ b + c)x2 + (ab +

ac+ bc)x− abc

Identidades de Legendre

29) (a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)

30) (a+ b)2 − (a− b)2 = 4ab

31) (a+ b)4 − (a− b)4 = 8ab(a2 + b2)

Identidades de Lagrange

32) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax+ by)2 + (ay − bx)2

33) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 +

(ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2

Identidades de Argand

34) (x2 + x+ 1)(x2 − x+ 1) = x4 + x2 + 1

35) (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

36) (x2m + xmyn + y2n)(x2m − xmyn + y2n) = x4m +

x2my2n + y4n

Identidades auxiliares

37) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab−bc− ac) (Equivalencia de Gauss)

38) a3 + b3 + c3 − 3abc =1

2(a + b +

c)�

(a− b)2 + (a− c)2 + (b − c)2�

39) (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a + b + c)(a2 +

b2 + c2) + 6abc

40) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(a2 + b2 +

c2)− 3abc

41) (a− b)3+(b− c)3+(c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)

42) (a+ b)(a+ c)(b+ c)+abc = (a+ b+ c)(ab+ bc+ ca)

43) a3 =

�

a(a+ 1)

2

�2

−�

a(a− 1)

2

�2

Igualdades condicionales

1) Si a+ b+ c = 0 entonces:

a) a2 + b2 + c2 = −2(ab+ ac+ bc)

b) a3 + b3 + c3 = 3abc

c) a4 + b4 + c4 = 2�

a2b2 + a2c2 + b2c2�

d) a5 + b5 + c5 = −5abc(ab+ ac+ bc)

e) a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 − 2(ab+ ac+ bc)3

f) a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+ ac+ bc)2

g)�

a2 + b2 + c2�2

= 2�

a4 + b4 + c4�

h) (ab+ ac+ bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2

i)

�

a2 + b2 + c2

2

��

a3 + b3 + c3

3

�

=a5 + b5 + c5

5

j)

�

a2 + b2 + c2

2

��

a5 + b5 + c5

5

�

=a7 + b7 + c7

7

2) Si a2 + b2 + c2 = ab+ ac+ bc ⇒ a = b = c

3) Si a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a = b = c

4) Si (a+b+c)3 = a3+b3+c3 ⇒ (a+b+c)2n+1 =

a2n+1 + b2n+1 + c2n+1

COCIENTES NOTABLES

CASOS Condicion (r = 0)

xn − yn

x− yC.N. ∀n ∈ N

xn − yn

x+ yC.N. ∀n par

xn + yn

x+ yC.N. ∀n impar

xn + yn

x− yNo es C.N.

Dado el cociente notable:

xm ± yn

xp ± yq

1)m

p=

n

q= (NT)

2) Tk = (signo)(xp)NT−k(yq)k−1

3) Tk←

= (signo)(yq)NT−k(xp)k−1

4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:

k1 =NT

2k2 =

NT

2+ 1

5) Si NT es impar, existe un termino central:

k =NT+ 1

2

MCD y MCM

A×B = MCD(A,B) ×MCM(A,B)

Siax+ by + c

px+ qy + r, es constante o independiente de

x e y, entoncesa

p=

b

q=

c

r

Si x → 1 entoncesxn − 1

xm − 1=

n

m

POTENCIACION

Coeficiente binomial

Si n ∈ R, r ∈ Z+0 , entonces:

�

n

r

�

=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)

r!

Si n, r ∈ Z+0 y r ≤ n, entonces:

�

n

r

�

= Cnr

Numero combinatorio

1) Cnr =

n!

r!(n − r)!

2) Cn1 = n

3) Cnn = 1

4) Cn0 = 1

5) Cnr = Cn

n−r

6) Cnr + Cn

r+1 = Cn+1r+1

7) Cnr =

n

rCn−1

r−1

8) Cnr =

n

n− rCn−1

r

9) Cnr =

n− r + 1

rCn

r−1

10) Cnp = Cn

q ⇔

8

<

:

p = q

p+ q = n

11) Cn0 + Cn

1 + Cn2 + · · ·+ Cn

n = 2n

Binomio de Newton

Dado el binomio de Newton:

(axp + byq)n

1) NT = n+ 1

2) Tk+1 = Cnk (ax

p)n−k(byq)k

3) Tk+1←

= Cnk (by

q)n−k(axp)k

4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:

k1 = NT2 k2 = NT

2 + 1

5) Si NT es impar, existe un termino central:

k = NT+12

6) Suma de coeficientes:P

coef = (a+ b)n

7) Suma de exponentes:P

expo =(p+ q)n(n+ 1)

2

8) Si u y v son los lugares de dos terminos equidistan-

tes, entonces: u+ v = n+ 2

9) NTRF = NTR−NTRE

10) NTI = NT−NTR

Triangulo de Pascal

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Dada la expresion:

(a1 + a2 + · · ·+ ar)n

NT = Cn+r−1n =

(n+ r − 1)!

n!(r − 1)!


Analisis combinatorio

1) Permutacion: Pn = n!

2) Permutacion circular: PCn = (n− 1)!

3) Permutacion con repeticion:

PRα1,α2,...,αmn =

n!

α1!α2! . . . αm!

4) Variaciones: V nr =

n!

(n− r)!

5) Variaciones con repeticion de n elementos tomados

de m en m: V Rmn = nm

6) Combinaciones: Cnr =

n!

r!(n− r)!

7) V nn = Pn

8) V nr = r!Cn

r

RADICACION

Radicales dobles

1)È

A±√B =

É

A+ C

2±É

A− C

2donde: C =

√A2 −B

2)È

A±√B =

È

a+ b± 2√ab =

√a±

√b, a > b

3)È

a+ b+ c+ 2√ab+ 2

√ac+ 2

√bc =

√a+

√b+

√c

Racionalizacion

Para hallar el denominador racionalizado DR

Fraccion DRN

2n√a± 2n

√b

a− b

N2n+1

√a± 2n+1

√b

a± b

N

3√a2 − 3

√ab+ 3

√b2 a+ b

N

3√a2+ 3

√ab+ 3

√b2 a− b

MATRICES Y DETERMINANTES

Matrices

AB 6= BA

(A±B)T = AT ±BT

(λA)T = λAT

((A)T )T = A

(AB)T = BTAT

Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:

Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)

Traz(λA) = λTraz(A)

Traz(AB) = Traz(BA)

Traz(A) = Traz(AT )

A es simetrica si y solo si AT = A

A es antisimetrica si y solo si AT = −A

A es involutiva si y solo si A2 = I

A es nilpotente si y solo si Ak = 0

A es idempotente si y solo si A2 = A

Determinantes

Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:

|AB| = |A||B|

|AT | = |A|

|An| = |A|n

|kA| = kn|A|

Adj(A) = [cofact(A)]T

A−1 =Adj(A)

|A| ; |A| 6= 0

(AB)−1 = B−1A−1

|Adj(A)| = |A|n−1

ECUACIONES

Ecuaciones

8

>

>

<

>

>

:

E. Compatibles

8

<

:

E. C. Determinadas

E. C. Indeterminadas

E. Incompatibles

Dada la ecuacion cuadratica:

ax2 + bx+ c = 0

1) x =−b±

√b2 − 4ac

2a

2) ∆ = b2 − 4ac

3) Suma de raıces: x1 + x2 = − b

a

4) Producto de raıces: x1x2 =c

a

5) Diferencia de raıces: x1 − x2 =

√∆

a

6) Suma de inversas de raıces:1

x1+

1

x2= −b

c

7) Raıces simetricas: x1 + x2 = 0 o b = 0

8) Raıces recıprocas: x1x2 = 1 o a = c

9) Raıces iguales: x1 − x2 = 0 o ∆ = 0

10) Si ∆ > 0, las raıces son reales y diferentes.

11) Si ∆ = 0, las raıces son reales e iguales.

12) Si ∆ < 0, las raıces son complejas y conjugadas.

INECUACIONES

Desigualdades

1) Para a 0, entonces a2 < b2 < c2

Si c < 0, entonces c2 < b2 < a2

Si a < 0, ∧ c > 0, entonces

0 ≤ b2 < (max{|a|, |c|})2

Inecuaciones exponenciales

1) Si b > 1 entonces:

bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

2) Si 0 bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

Inecuaciones irracionales

0 ≤ x ≤ y ⇔ 0 ≤ √x ≤ √

y

0 < x < y ⇔ 0 <√x <

√y

2n√a > 0 ⇔ a ≥ 0

2n√a = 0 ⇔ a = 0

2n√a ≤ 2n

√b ⇔ 0 ≤ a ≤ b

2n+1√a ≥ 0 ⇔ a ≥ 0

2n+1√a < 0 ⇔ a < 0

2n+1√a ≤ 2n+1

√b ⇔ a ≤ b

2n√a+ 2n

√b ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0

2n√a+ 2n

√b ≤ 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

√a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a ≤ b2)

√a 0 ∧ a < b2)

√a ≥ b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2)]

√a > b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2)]

Inecuaciones con valor absoluto

|x| =

8

<

:

x , x ≥ 0

−x , x < 0

|x| ≥ 0 ∀x ∈ R

|x| = 0 ⇔ x = 0

|x|2 = x2

|x| =√x2

|x| = | − x|

|xy| = |x||y|�

�

�

�

x

y

�

�

�

�

=|x||y| y 6= 0

|a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

|a| = |b| ⇔ a2 = b2

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triangular)

|a| b ⇔ a > b ∨ a < −b

|a| ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b

LOGARITMOS

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb an = n logb a

4) logb bn = n

5) logbm an =n

mlogb a

6) logbm bn =n

m

7) logb(xy) = logb x+ logb y

8) logb

�

x

y

�

= logb x− logb y

9) logb a =logx a

logx b

10) logb a loga c = logb c

11) logb a = logbn an

12) logb a = log n√b

n√a

13) cologba = − logb a

14) antilogba = ba

15) antilogb logb a = a

16) logb antilogba = a

17) cologbantilogba = −a

18) ln a = loge a

19) Si b > 1 entonces:

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U

U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

20) Si 0 logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U

U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

RAZONAMIENTO MATEMATICO

SERIES Y SUCESIONES

1) Numero de terminos de una sumatoria.nX

k=r

ak tiene (n− r) + 1 terminos.

2)nX

k=1

cak = cnX

k=1

ak ; c: constante.

3)nX

k=r

c = c(n− r + 1) ; c: constante.


4)nX

k=r

(ak − ak−1) = an − ar−1

5)nX

k=1

(ak + bk − ck) =nX

k=1

ak +nX

k=1

bk −nX

k=1

ck

6)nX

k=1

ak =mX

k=1

ak +nX

k=m+1

ak ; ∀n > 1

7)nX

k=0

ak =n+hX

k=h

ak−h ; h ∈ Z

8)nX

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

9)nX

k=1

2k = 2nX

k=1

k = 2(1+2+3+ · · ·+n) = n(n+1)

10)nX

k=1

(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2

11)nX

k=1

k2 = 12+22+32+ · · ·+n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

12)nX

k=1

k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

�

n(n+ 1)

2

�2

13) S = a1+a2+a3+ · · ·+an+ · · · = a11− r

, r : razon

geometrica.

14)nX

k=1

k(k+1) = 1×2+2×3+3×4+ · · ·+n(n+1) =

n(n+ 1)(n+ 2)

3

15)nX

k=1

k(k+1)(k+2) = 1× 2× 3+2× 3× 4+3× 4×

5+ · · ·+ n(n+1)(n+ 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

16)mX

k=n

1

k(k + r)=

1

r

�

1

n− 1

m+ r

�

17)nX

k=1

1

k(k + 1)=

1

1

�

1

1− 1

n+ 1

�

18)nX

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)=

1

2

�

1

1× 2− 1

(n+ 1)(n+ 2)

�

19)nX

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3)=

1

3

�

1

1× 2× 3− 1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

�

FRACCIONES

Dada la descomposicion canonica de N :

N = Aa ×Bb × Cc × · · ·

la cantidad de numeros menores que N que son PESI

con el esta dado por:

∅(N) = n(1− 1/A)(1− 1/B)(1− 1/C) . . .

Razones y proporciones:

Razon aritmetica: a− b = r

Razon geometrica:a

b= r

Tipos de proporcion:

Discreta: terminos medios diferentes

Proporcion Proporcion

aritmetica geometrica

a− b = c− da

b=

c

d

d = 4◦ diferencial d = 4◦ proporcional

de a, b y c de a, b y c

d = b+ c− a d =bc

a

Continua: terminos medios iguales

Proporcion Proporcion

aritmetica geometrica

a− b = b− ca

b=

b

c

c = 3◦ diferencial c = 3◦ proporcional

de a y b de a y b

c = 2b− a c =b2

a

b = media diferencial b = media proporcio-

de a y b nal de a y b

b =a+ c

2b =

√ac

Propiedades: Si:

a1b1

=a2b2

=a3b3

= · · · = anbn

= k

entonces:

1) a1 = b1k; a2 = b1k; a3 = b3k; . . . an = bnk


2)a1 + a2 + a3 + · · ·+ anb1 + b2 + b3 + · · ·+ bn

= k

3)am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnbm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn

= km

4)mp

am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnmp

bm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn= k

5)a1 × a2 × a3 × · · · × anb1 × b2 × b3 × · · · × bn

= kn

6)a1 ± b1

b1=

a2 ± b2b2

= · · · = an ± bnbn

= k ± 1

7)a1 ± b1

a1=

a2 ± b2a2

= · · · = an ± bnan

=k ± 1

k

8)a1 + b1a1 − b1

=a2 + b2a2 − b2

= · · · = an + bnan − bn

=k + 1

k − 1

Porcentajes

Propiedades:

a%N =a

100×N

(a± b)%N = a%N ± b%N

a%b = b%a

Descuentos sucesivos:

Du = 100%−(100−D1)%(100−D2)% . . . (100−Dn)%

Aumentos sucesivos:

Au = (100+A1)%(100+A2)% . . . (100+An)%−100%

Aplicaciones:

Pv = Pc+G

Pv = Pc− P

Pv = PL(100 + A1)%(100 + A2)% . . . (100 +

An)%

Pv = PL(100 − D1)%(100 − D2)% . . . (100 −Dn)%

LOGICA MATEMATICA

Variables Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional Bicondicional Disyuncion

inclusiva exclusiva

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p∆ q

V V F V V V V F

V F F F V F F V

F V V F V V F V

F F V F F V V F

1. Idempotencia:

a) p ∧ p ≡ p

b) p ∨ p ≡ p

2. Conmutativa:

a) p ∧ q ≡ q ∧ p

b) p ∨ q ≡ q ∨ p

c) p ↔ q ≡ q ↔ p

d) p ∆q ≡ q∆p

3. Asociativa:

a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r)

4. Distributiva:

a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

c) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

d) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

5. Identidad:

a) p ∧ V ≡ V ∧ p ≡ p

b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F

c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V

d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p

6. Complemento:

a) ∼∼ p ≡ p

b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F

c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V

d) p → p ≡ V

e) p ↔ p ≡ V

f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V

g) ∼ V ≡ F

h) ∼ F ≡ V

7. Morgan:

a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

8. Absorcion:

a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q

d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q

9. Implicacion:

a) p → q ≡ ∼ p ∨ q

b) p → q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q)

c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p

10. Doble Implicacion:

a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

b) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

11. Diferencia Simetrica:

a) p ∆q ≡ ∼ (p ↔ q)

b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)

12. Expansion Booleana:

a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)

b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q)

13. Transposicion:

a) p → q ≡ ∼ q → ∼ p

b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p

14. Exportacion:

a) (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧pn−1) → (pn → r)

CONJUNTOS

1) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

2) Numero de subconjuntos de A: n[P (A)] = 2n(A)

3) Numero de subconjuntos propios de A: 2n(A) − 1

4) Numero de subconjuntos binarios de A: Cn(A)2

5) Numero de subconjuntos ternarios de A: Cn(A)3

Leyes del algebra de conjuntos

1. Reflexivas:

a) A ∪ A = A

b) A ∩ A = A

2. Conmutativas:

a) A ∪B = B ∪ A

b) A ∩B = B ∩ A

c) A∆B = B∆A

3. Asociativas:

a) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪ C

b) A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C

c) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C

4. Distributivas:

a) A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

b) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

c) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

d) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

5. Inclusion:

Si A ⊂ B entonces:

8

>

>

<

>

>

:

A ∪B = B

A ∩B = A

A−B = φ

A∆B = B −A

6. Exclusion:

Si A ∩B = φ entonces:

¨

A−B = A

A∆B = A ∪B

7. Elemento neutro:

a) A ∪ φ = A

b) A ∩ φ = φ

c) A ∪ U = U

d) A ∩ U = A

8. Complemento:

a) (A′)′ = A

b) A ∪ A′ = U

c) A ∩ A′ = φ

d) φ′ = U

e) U ′ = φ

9. Diferencia:

a) A− B = A ∩B′

b) A− B = B′ −A′

10. Diferencia simetrica:

a) A∆B = (A ∪B)− (A ∩B)

b) A∆B = (A−B) ∪ (B −A)

11. Morgan:

a) (A ∪B)′ = A′ ∩B′

b) (A ∩B)′ = A′ ∪B′

12. Absorcion:

a) A ∪ (A ∩B) = A

b) A ∩ (A ∪B) = A

c) A ∪ (A′ ∩B) = A ∪B

d) A ∩ (A′ ∪B) = A ∩B

NUMERACION

8

<

:

(1a)(1b)

(1c)

. . .(1z)(n)

= n+ a+ b + c+ · · · z

8

<

:

(a1)(a1)

(a1)

. . .(a1)(n)

= akn + ak−1 + ak−2 +

· · ·+ a2 + a+ 1

Operaciones combinadas

1) N◦ mayor =S +D

2N◦ menor =

S −D

2

2) N◦ mayor =SQ

Q+ 1N◦ menor =

S

Q+ 1

3) N◦ mayor =DQ

Q− 1N◦ menor =

D

Q− 1

4) N◦ mayor =S +

√∆S

2N◦ menor =

S −√∆S

2

5) N◦ mayor =

√∆D +D

2N◦ menor =

√∆D −D

2donde:S = suma, D = diferencia, Q = cociente, P = pro-ducto, ∆S = S2 − 4P , ∆D = D2 + 4P ,

CONTEO DE FIGURAS

1. Segmentos

A B C D E F

1 2 3 4 · · · n

N◦ de segmentos =n(n+ 1)

2

2. Triangulos

1 2 3 4 · · · n

N◦ de triangulos =n(n+ 1)

2

1 2 3 4 · · · n

2

3

...

m

N◦ de triangulos =

�

n(n+ 1)

2

�

m

1 2 3 4 · · · n

2

3

...

m

N◦ de triangulos =nm(n+m)

2

3. Cuadrilateros

1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

m

N◦ de cuadrilateros =n(n+ 1)

2× m(m+ 1)

2

4. Cuadrados


1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

n

N◦ de cuadrados =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

m

N◦ de cuadrados = nm + (n − 1)(m − 1) + (n −2)(m− 2) + · · ·

5. Semicırculos

N◦ semicırculos = 2(N◦ diametros)(N◦ cırculos)

DIVISIBILIDAD

1) Si A =◦n y B =

◦n ⇒ A±B =

◦n

2) Si A =◦n y B =

◦n ⇒ AB =

◦n

3) Si A =◦n+r1 ; B =

◦n+r2 ; ⇒ A+B =

◦n+r1+r2

4) Si A =◦n+r1 ; B =

◦n+r2 ; ⇒ AB =

◦n+r1r2

5) Si A =◦n1 +r; A =

◦n2 +r; ⇒ A =

◦MCD(n1, n2)+r

6) Si A =◦n ⇒ Ak =

◦n , k ∈ Z

7) Si A =◦n ⇒ kA =

◦n , k ∈ Z

8) Si A =◦n+r ⇒ Ak =

◦n+rk , k ∈ Z

9) Teorema de Wilson: Si p es un numero primo:

(p− 1)! =◦p−1

Divisores

Dado el numero

N = aαbβcγ

1) CDN = (α+ 1)(β + 1)(γ + 1)

2) CDN = 1 + CDprimos + CDcompuestos

3) SDN =aα+1 − 1

a− 1× bβ+1 − 1

b− 1× cγ+1 − 1

c− 1

4) SIDN =SDN

N

5) PDN =√NCDN

RELOJES

Hora real = Hora marcada – Adelanto

Hora real = Hora marcada + Atraso

θ = ±11m

2∓ 30H

RELACIONES Y FUNCIONES

Producto cartesiano:

Si A 6= B, entonces A×B 6= B ×A

A×B = B ×A ⇐⇒ A = B.

A× φ = φ×A = φ.

A×B = φ ⇐⇒ A = φ o B = φ.

A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

(A×B)× C 6= A× (B × C)

A ⊂ B =⇒ (A× C) ⊂ (B × C)

A ⊂ C y B ⊂ D ⇐⇒ (A×B) ⊂ (C×D)

(A′ ×B′) ⊂ (A×B)′

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)

(A×B) ∪ (C ×D) ⊂ (A ∪ C)× (B ∪D)

Dominio y rango:

Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R} ⊂ A

Ran(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R} ⊂ B

Dom(R1 ∪R2) = Dom(R1) ∪Dom(R2)

Dom(R1 ∩R2) ⊂ Dom(R1) ∩Dom(R2)

Dom(R1 −R2) ⊃ Dom(R1)−Dom(R2)

Ran(R1 ∪R2) = Ran(R1) ∪ Ran(R2)

Ran(R1 ∩R2) ⊂ Ran(R1) ∩Ran(R2)

Ran(R1 −R2) ⊃ Ran(R1)− Ran(R2)

Clases de relaciones:

R es reflexiva ⇔ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A

R es simetrica ⇔ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ RR es transitiva ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒(x, z) ∈ RR es de equivalencia si es reflexiva, simetrica ytransitiva.

R es antisimetrica ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒x = y

R es de orden si es reflexiva, antisimetrica ytransitiva.

Linea recta:

R = {(x, y) / Ax+By + C = 0}m = −A/B

La parabola:

De forma implicita:

R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 +Dx+ Ey + F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 /Cy2 +Dx+ Ey + F = 0}

De forma explicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx+ c}

vertice=

�−b

2a,4ac− b2

4a

�

Si a > 0 la grafica se orienta hacia arriba.

Si a < 0 la grafica se orienta hacia abajo.

R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay2 + by + c}

vertice=

�−b

2a,4ac− b2

4a

�

Si a > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.

Si a < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.

Completando trinomios cuadrados perfectos:

R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x− h)2}vertice= (h, k)

Si p > 0 la grafica se orienta hacia arriba.

Si p < 0 la grafica se orienta hacia abajo.

R = {(x, y) ∈ R2 / x− h = 4p(y − k)2}vertice= (h, k)

Si p > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.

Si p < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.

La circunferencia:

R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 +Dx+Ey+ F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 / (x− h)2 + (y − k)2 = r2}radio= r, centro= (h, k)

La elipse:

R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1}

radio= r, centro= (h, k)

La hiperbola:

R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1}

radio= r, centro= (h, k)

PROMEDIOS

1) Promedio aritmetico:

Pa =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

n=

nX

i=1

xi

n

Media aritmetica: Ma =a+ b

2

Promedio aritmetico ponderado:

Pp =a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

2) Promedio geometrico:

Pg = n√x1x2x3 . . . xn

Media geometrica: Mg =√a× b

3) Promedio armonico:

Ph =n

1

x1+

1

x2+

1

x3· · ·+ 1

xn

=n

nX

i=1

1

xi

Media armonica: Mh =2ab

a+ b

Propiedades:

Ph < Pg < Pa

a× b = Ma ×Mh

M2g = Ma ×Mh

GEOMETRIA

SEGMENTOS Y ANGULOS

Segmentos

A B C DE F

x

x =AC +BD

2

A B C D

AB2+AD

2= 2(AC

2+BC

2)

Angulos

Angulo nulo o perigono: α = 0◦

Angulo convexo: 0◦ < α < 180◦

Angulo agudo: 0◦ < α < 90◦

Angulo recto: α = 90◦

Angulo obtuso: 90◦ < α < 180◦

Angulo llano: α = 180◦

Angulo concavo: 180◦ < α < 360◦

Angulo de una vuelta: α = 360◦

Angulos complementarios: α+ β = 90◦

Angulos suplementarios: α+ β = 180◦

Angulos formados por dos rectas paralelas cor-

tadas por una secante

L1

L2

b1b2

b3 b4

b5b6

b7 b8

1) Angulos internos:

Alternos internos Conjugados internosb3 ∼= b6 b4 + b6 = 180◦

b4 ∼= b5 b3 + b5 = 180◦

2) Angulos externos:

Alternos externos Conjugados externosb2 ∼= b7 b2 + b8 = 180◦

b1 ∼= b8 b1 + b7 = 180◦

3) Angulos correspondientes:

b1 ∼= b5 b2 ∼= b6b3 ∼= b7 b4 ∼= b8

a

b

c

d

e

f

L2

L1

a+ b+ c = d+ e+ f

TRIANGULOS

B

A C

x

x = 90◦ +ÒB

2

B

A C

x

x = 90◦ −bA

2

B

A C

xx =

ÒB

2

B

A C

x

θ

x+ θ = 180◦

B

A C

x

θα

H M

BH = altura

BM = mediana

α > θ

x = α− θ


B

A C

x

θα

H P

BH = alturaα > θ

x =α− θ

2

B

A C

xα θ

β

x = α+ β + θ

xα β

x =α+ β

2

B

A C

x

α

β

x =α+ β

2

Triangulos rectangulos notables

a2a

a√3

60◦

30◦

aa√2

a

45◦

45◦

3a5a

4a

53◦

37◦

24a25a

7a

16◦

74◦

3a

√10a

a

18◦30′

71◦30′

a

√5a

2a

63◦30′

26◦30′

CUADRILATEROS

B

b

mm =

B + b

2

B

b

P Q PQ =B − b

2

a

b

x

α 90− α

x =a− b

2

b

a

xm n

2m 2nx =

2a+ b

3

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

x α

A

B

x = α

x α

A

B

x =α

2


x

α

A

P

x =α

2

x αβ

A

B

C

D

x =α+ β

2

x

αβ

A

BC

x =α− β

2

x

α

β

A

BC

Dx =

α− β

2

xα

β

A

B

x =α− β

2

β

x

αA

B x =α+ β

2

d

b

c

a

Teorema de Steiner

a− c = d− b

x

x = 90◦

b

c

R

a

Teorema de Poncelet

a+ b = c+ 2R

RELACIONES METRICAS

h

c

a b

m nB

C

A

a2 + b2 = c2

h2 = mn

a2 = cm

b2 = cn

ab = ch

1

h2=

1

a2+

1

b2

AREA DE REGIONES PLANAS

h

b

A =bh

2

l lh

l

A =l2√3

4

A =h2

√3

3

a

b

θ

A =ab

2sen θ


a

b

c

A =È

p(p− a)(p− b)(p− c)

p =a+ b+ c

2

p = semiperımetro

B

A CH P

A∆ABP

A∆PBC=

AP

PC

Mediana

A1 = A2A1 A2

Ceviana

A1

A2=

m

nA1 A2

m n

bc

bc

Baricentro

A A

A A

AA

a

b

cr A =

abc

4r

r

A = p× r

p = semiperımetro

m n

A = m× n

A

B

C

D

θ A =AC ×BD

2sen θ

B

A C

D

A =AC ×BD

2

Da

a

A =d2

2= a2

a

b

h A =

�

a+ b

2

�

h

b

h A = bh

a

b

θ

A = ab sen θ


a

A =3√3a2

2

R

A = πR2

R

R

α A =πR2α

360◦

R

R

α A =πR2α

360◦− R2 senα

2

R

rA = π(R2 − r2)

R

rα A =

π(R2 − r2)α

360◦

B

A C

A1

A2 A∆ABC = A1 +A2

GEOMETRIA DEL ESPACIO

AL : Area lateral

A : Area total o Area de la superficie

Ab : Area de la basePb : Perımetro de la basea : aristah : alturaV : volumenD : diagonal

Tetraedro regular

h =a√6

3

A = a2√3

V =a3√2

12

ha

Hexaedro regular o cubo

D = a√3

V = a3

AL = 4a2

A = 6a2

a

Ortoedro

D =√a2 + b2 + c2

V = abc

A = 2(ab+ ac+ bc) a

b

c

Prisma recto

a = h

AL = Pb × h

A = AL + 2Ab

V = Ab × h

h

Esfera

A = 4πr2

A = πD2

V =4

3πr3

r

Cono circular recto

A = πr2 + πrg,g =

√h2 + r2

V =1

3πr2h

r

h


Tronco de cono

g2 = (r1 − r2)2 + h2

AL = π(r1 + r2)g

A = A1 +A2 +AL

π[r21 + r22 + (r1 + r2)g]

V =1

3πr2h

r1

r2

h g

Cilindro recto

AL = Pb × hAL = 2πrh

A = AL + 2Ab

A = 2πrh+ 2πr2

V = πr2hr

h

Poliedros regulares

Nombre Caras Vertices AristasTetraedro 4 4 6Exaedro 6 8 12Octaedro 8 6 12Dodecaedro 12 20 30Icosaedro 20 12 30

TRIGONOMETRIA

Razones trigonometricas

A

B

C

a

b

c

θ

sen θ =a

ccot θ =

b

a

cos θ =b

csec θ =

c

b

tan θ =a

bcsc θ =

c

a

Signos de las razones trigonometricas

Cuadrante I II III IVsenα + + – –

cosα + – – +

tanα + – + –

cotα + – + –

secα + – – +

cscα + + – –

Razones trigonometricas de angulos notables

π/6 π/3 π/430◦ 60◦ 45◦ 37◦ 53◦

senα 1/2√3/2

√2/2 3/5 4/5

cosα√3/2 1/2

√2/2 4/5 3/5

tanα√3/3

√3 1 3/4 4/3

cotα√3

√3/3 1 4/3 3/4

secα 2√3/3 2

√2 5/4 4/5

cscα 2 2√3/3

√2 4/5 5/4

Razones trigonometricas de angulos cuadranta-

les

0 π/2 π 3π/2 2π0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

senα 0 1 0 −1 0cosα 1 0 −1 0 1tanα 0 ∞ 0 ∞ 0cotα ∞ 0 ∞ 0 ∞secα 1 ∞ −1 ∞ 1cscα ∞ 1 ∞ −1 ∞

Identidades trigonometricas

1) Identidades recıprocas:

senx · cscx = 1

cosx · secx = 1

tanx · cotx = 1

2) Identidades de cociente:

tanx =senx

cosx

cotx =cosx

senx

3) Identidades pitagoricas:

sen2 x+ cos2 x = 1

1 + tan2 x = sec2 x

1 + cot2 x = csc2 x

Identidades auxiliares

sen4 x+ cos4 x = 1− 2 sen2 x cos2 x

sen6 x+ cos6 x = 1− 3 sen2 x cos2 x√1± 2 senx± cosx = | senx± cosx|

sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x

(senx± cosx)2 = 1± 2 senx cos x

tan2 x− sen2 x = tan2 x sen2 x

1 + senx

cosx=

cosx

1− senx

1− cosx

senx=

senx

1− cosx


Formulas elementales

1) sen(α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

2) sen(α− β) = senα cosβ − cosα senβ

3) cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

4) cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ

5) tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

6) tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

7) cot(α+ β) =cotα cotβ − 1

cotα+ cotβ

8) cot(α− β) =cotα cotβ + 1

cotα− cotβ

9) sen(α+β+θ) = senα cosβ cos θ+cosα senβ cos θ+cosα cosβ sen θ − senα senβ sen θ

10) cos(α+β+θ) = senα cosβ cos θ−cosα senβ sen θ−senα cosβ sen θ − senα senβ cos θ

11) sen(α+ β) sen(α− β) = sen2 α− sen2 β

12) cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− cos2 β

13) tanα+ tanβ =sen(α+ β)

cosα cosβ

14) tanα− tanβ =sen(α− β)

cosα cosβ

15) cotα+ cotβ =sen(α+ β)

senα senβ

16) cotα− cotβ =sen(β − α)

senα senβ

17) sen 2x = 2 senx cos x

18) sen 2x =2 tanx

1 + tan2 x

19) cos 2x = cos2 x− sen2 x

20) cos 2x = 1− 2 sen2 x

21) cos 2x = 2 cos2 x− 1

22) cos 2x =1− tan2 x

1 + tan2 x

23) tan 2x =2 tanx

1− tan2 x

24) 2 sen2 x = 1− cos 2x

25) 2 cos2 x = 1 + cos 2x

26) 8 sen4 x = 3− 4 cos 2x+ cos 4x

27) 8 cos4 x = 3 + 4 cos 2x+ cos 4x

28)√1 + sen 2x = | senx+ cosx|

29)√1− sen 2x = | senx− cosx|

30) cotx+ tanx = 2 csc 2x

31) cotx− tanx = 2 cot 2x

32) 1 + sec 2x =tan 2x

tanx

33)�

�

�

senx

2

�

�

�

=

É

1− cosx

2

34)�

�

�

cosx

2

�

�

�

=

É

1 + cosx

2

35)�

�

�

tanx

2

�

�

�

=

É

1− cosx

1 + cosx

36)�

�

�

cotx

2

�

�

�

=

É

1 + cosx

1− cosx

37) tanx

2= cscx− cotx

38) cotx

2= cscx+ cotx

39) cotx

2+ tan

x

2= 2 cscx

40) cotx

2− tan

x

2= 2 cotx

41)�

�

�

senx

2+ cos

x

2

�

�

�

=√1 + senx

42)�

�

�

senx

2− cos

x

2

�

�

�

=√1− senx

43) sen 3x = 3 senx− 4 sen3 x

44) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx

45) tan 3x =3 tanx− tan3 x

1− 3 tan2 x

46) sen 3x = senx(2 cos 2x+ 1)

47) cos 3x = cosx(2 cos 2x− 1)

48) 4 senx sen(60− x) sen(60 + x) = sen 3x

49) 4 cosx cos(60− x) cos(60 + x) = cos 3x

50) tanx tan(60− x) tan(60 + x) = tan 3x


Transformaciones trigonometricas

1) Si x > y, entonces:

senx+ sen y = 2 senx+ y

2cos

x− y

2

senx− sen y = 2 cosx+ y

2sen

x− y

2

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y

2

cos y − cosx = 2 senx+ y

2sen

x− y

22 senx cos y = sen(x+ y) + sen(x− y)

2 cosx sen y = sen(x+ y)− sen(x− y)

2 cosx cos y = cos(x+ y) + cos(x− y)

2 senx sen y = cos(x− y)− cos(x+ y)

2) Si x+ y + z = 180◦, entonces:

senx+ sen y + sen z = 4 cosx

2cos

y

2cos

z

2

cosx+ cos y + cos z − 1 = 4 senx

2sen

y

2sen

z

2

3) Si x+ y + z = 360◦, entonces:

2 senx+ sen y + sen z = 4 senx

2sen

y

2sen

z

2

cosx+cos y+cos z+1 = −4 cosx

2cos

y

2cos

z

2

Triangulos oblicuangulos:

1) Ley de senos:

A

B Ca

bca

senA=

b

senB=

c

senC

A

B Ca

bc

r

a

senA=

b

senB=

c

senC= 2r

2) Ley de cosenos:

A

B Ca

bc

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

3) Ley de tangentes:

A

B Ca

bc

a+ b

a− b=

tan A+B2

tan A−B2

b+ c

b− c=

tan B+C2

tan B−C2

a+ c

a− c=

tan A+C2

tan A−C2

4) Ley de proyecciones:

A

B Ca

bc

a = b cosC + c cosB

b = a cosC + c cosA

c = a cosB + b cosA

Razones trigonometricas de los semiangulos in-

ternos:

A

B Ca

bc

P = semiperımetro.

P =a+ b + c

2

senA

2=

r

(P − b)(P − c)

bc

senB

2=

r

(P − a)(P − c)

ac

senC

2=

r

(P − a)(P − b)

ab

cosA

2=

r

P (P − a)

bc

cosB

2=

r

P (P − b)

ac

cosC

2=

r

P (P − c)

ab

Ley de cosenos para un cuadrilatero inscripti-

ble:


A

B

C

Da

b

c

dcosA =

a2 + d2 − b2 − c2

2(ad+ bc)

cosB =a2 + b2 − c2 − d2

2(ab+ cd)

cosC =b2 + c2 − a2 − d2

2(ad+ bc)

cosD =c2 + d2 − a2 − b2

2(ab+ cd)

FISICA

Analisis Dimensional

L : LongitudM : MasaT : Tiempoθ : Temperatura termodinamicaI : Intensidad de corriente electricaJ : Intensidad luminosaN : Cantidad de sustancia

Cinematica

MRU:

d = vt

MRUV:

v = v0 + at

v2 = v20 + 2ad

d = v0t+12 at

2

r = r0 + v0t +12 at

2, r indica el eje de movi-miento.

dn = v0 +12 a(2n− 1), distancia recorrida en el

enesimo segundo.

Caıda libre:

v = v0 ± gt

v2 = v20 ± 2gh

h = v0t+12 gt

2

h =�v0 + v

2

�

t

hn = v0 ± 12 g(2n− 1)

tvuelo =2v0g

, tiempo de vuelo

hmax =v202g

, altura maxima

Movimiento parabolico:

v0x = cte

vx = v0x = v0 cos θ, componente horizontal dela velocidad es constante

x = (v0 cos θ)t, desplazamiento horizontal

A =v20 sen 2θ

g, alcance horizontal

T =2v0 sen θ

g, tiempo de vuelo

|ay| = cte

v0y = v0 sen θ, componente vertical de la velo-cidad

vy = v0 sen θ − gt, velocidad vertical

y = v0t sen θ − 12 gt

2, desplazamiento vertical

QUIMICA

Elementos

S=Sımbolo G=Grupo Pe=PerıodoA=Atomo M=Masa P=ProtonesN=Neutrones E=Electrones F=Familia

Gases

Elemento S Elemento S Elemento SHidrogeno H Nitrogeno N Oxıgeno OFluor F Cloro Cl Helio HeNeon Ne Argon Ar Cripton KrXenon Xe Radon Rn


S G Pe A M P N EH 1 1 1 1 1 0 1N 15 2 7 14 7 7 7O 16 2 8 16 8 8 8F 17 2 9 19 9 10 9Cl 17 3 17 36 17 19 17He 18 1 2 4 2 2 2Ne 18 2 10 20 10 10 10Ar 18 3 18 40 18 22 18Kr 18 4 36 84 36 48 36Xe 18 5 54 131 54 77 54Rn 18 6 86 222 86 136 86

Lıquidos

Elemento S Elemento S Elemento SCesio Cs Francio Fr Mercurio HgGalio Ga Bromo Br

S G Pe A M P N ECs 1 6 55 133 55 78 55Fr 1 7 87 223 87 136 87Hg 12 6 80 201 80 121 80Ga 13 4 31 70 31 39 31Br 17 4 35 80 35 45 35

Preparados de transicion

Elemento S Elemento SRutherfordio Rf Dubnio DbSeaborgio Sg Tecnecio TcBohrio Bh Hassio HsMeitnerio Mt Darmstadtio DsRoentgenio Rg Copernicio CnUnuntrio Uut Ununcuadio UuqUnunpentio Uup Ununhexio UuhUnunseptio Uus Ununoctio Uuo

S G Pe A M P N ERf 4 7 104 261 104 157 104Db 5 7 105 262 105 157 105Sg 6 7 106 263 106 157 106Tc 7 5 43 99 43 56 43Bh 7 7 107 262 107 155 107Hs 8 7 108 265 108 157 108Mt 9 7 109 266 109 157 109Ds 10 7 110 271 110 161 110Rg 11 7 111 272 111 161 111Cn 12 7 112 272 112 160 112Uut 13 7 113 283 113 170 113Uuq 14 7 114 285 114 171 114Uup 15 7 115 288 115 173 115Uuh 16 7 116 289 116 173 116Uus 17 7 117 291 117 174 117Uuo 18 7 118 293 118 175 118

Preparados lantanidos y actınidos

Elemento S Elemento SPrometio Pm Neptunio NpPlutonio Pu Americio AmCurio Cm Berkelio BkCalifornio Cf Einstenio EsFermio Fm Mendelevio MdNobelio No Laurencio Lr

S Pe A M P N EPm Lantanido 61 147 61 86 61Np Actınido 93 237 93 144 93Pu Actınido 94 244 94 150 94Am Actınido 95 243 95 148 95Cm Actınido 96 247 96 151 96Bk Actınido 97 247 97 150 97Cf Actınido 98 251 98 153 98Es Actınido 99 252 99 153 99Fm Actınido 100 257 100 157 100Md Actınido 101 258 101 157 101No Actınido 102 259 102 157 102Lr Actınido 103 262 103 159 103

Solidos alcalinos y alcalinoterreos

Elemento S Elemento S Elemento SLitio Li Sodio Na Potasio KRubidio Rb Berilio Be Magnesio MgCalcio Ca Estroncio Sr Bario BaRadio Ra

S G Pe A M P N ELi Alcalino 2 3 7 3 4 3Na Alcalino 3 11 23 11 12 11K Alcalino 4 19 39 19 20 19Rb Alcalino 5 37 86 37 49 37Be Alcalinoterreo 2 4 9 4 5 4Mg Alcalinoterreo 3 12 24 12 12 12Ca Alcalinoterreo 4 20 40 20 20 20Sr Alcalinoterreo 5 38 88 38 50 38Ba Alcalinoterreo 6 56 137 56 81 56Ra Alcalinoterreo 7 88 226 88 138 88

Solidos de la familia del escandio, titanio y va-

nadio

Elemento S Elemento S Elemento SEscandio Sc Itrio Y Lantano LaActinio Ac Titanio Ti Circonio ZrHafnio Hf Vanadio V Niobio NbTantalio Ta


S F Pe A M P N ESc Escandio 4 21 45 21 24 21Y Escandio 5 39 89 39 50 39La Escandio 6 57 139 57 82 57Ac Escandio 7 89 227 89 138 89Ti Titanio 4 22 48 22 26 22Zr Titanio 5 40 91 40 51 40Hf Titanio 6 72 179 72 105 72V Vanadio 4 23 50 23 27 23Nb Vanadio 5 41 93 41 52 41Ta Vanadio 6 73 181 73 108 73

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elıas; parami adorable esposa, Flor Angela y pa-ra los mas grandes tesoros de mi vida,mis hijas Alessandra Anghely y StefanyGrace.

formulario 2.pdf

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