,GEOMETRIA,ANALITICA

Joseph H. Kindle

SERIE DE COMPENDIOS SCHA UM

T E O R I AYPR O B L E M A SO Et

fGEOMETRIAANALITICA;

f :! ,;Plana ydelEspacio , , r' a

JOSEPH H . KINDLE, Ph. D.Professor of M athematics Uniuersity of Cincinnati'.ORGANIZACl\. NCHf..RAFEDI N

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TRADUCX'ION Y ADAPTA C ()N

LUIS GUTIRREZ DEZJn(cniero de Armamento

/\ NGEl. GuT1lRREZ VZQUEZ/nl(t>ntero de Armamenl aLi anciado en Ciencias FlsicasDiplomado en ln!{en ina N11clc'-1Cuad ran te 11 1Cuadrante(-.+)1\ + , -)

XoXCuad rante 111 Cuadra n te I V y,' .

ya que P 1P y PP 2 t end ra n sent idos opu est os.Teniend o en cu enta los t ringu los semejan t es de laP 1MX - X P1 Pfigura , --= ---- = -- = r .PNX 2 - Xp pt

',.

P.tx ;y.)J 1----x_.--_x_,-....iM---x'

( 26 . -T1 1 ).

714. Halla r las coordenadas del ba ricent ro de los tri ngulos cuyos vrtices son :a) ( 5, 7). ( 1 , -3). (-5. 1 ):e)(3. 6). (-5. 2). ( 7, -6);e) (-3, 1). (2, 4), (6. -2).

n.h) (2. -1 ), (6, 7), (-4. -3):d) (7. 4). (3. -6). (-5. 2):Sol . al(+h) (.1). e)( ) d )(o).e)(. 1).IS Sabiendo q ue el pu n to (9. 2) d ivide al segmento q ue determi nan los pu ntos P1(6, 8) y P2( X z. Yz) en la relacin r = 3/ 7, halla r las coord enadas de P2 .Sol. ( 16. -1 2).

16. Ha llar las coordenadas de los vrtices de un tringu lo sabiendo q ue las coordenadas de los puntos medios de sus lados son (-2, 1 ), (5, 2) y (2. -3).Sol. ( 1 . 6), (9. -2). (-5. -4).

17. Halla r las coordenadas de los vrtices de u n tringu lo cuyas coordenadas de los puntos medios de sus lados son (3, 2), (-1. -2) y (S. -4).Sol . ( -3, 4). (9, 0). ( l. -8).

18. Demost rar analticamente q ue las rectas q ue unen los punio s med ios de los lados adyacentes del cuadril!ero A( -3, 2), B(5, 4), C(7, -6) y D(-5. -4) forma n otro cuadriltero cuyo permetro es igual a la suma de las diagonales del primero.

19. Demostrar q ue las rectas q ue unen los puntos medios de dos lados de los t ri ngulos del Problema 14son paralela s al tercer lado e iguales a su mitad .

20. Dado el cuadriltero A(- 2, 6), 8(4, 4), C(6, -6) y D(2. -8), demostra r q ue :a) La recta q ue une los puntos medios de A D y BC pasa por el punto med io del segmen to q ue une los puntos med ios de A B y CD.b) Los segmentos que unen los pun tos med ios de los lados adyacentes del cuad riltero forman un paralel ogramo.

21. El segmento q ue une A(-2, -1 ) con 8( 3, 3) se prolonga ha sta C. Sabiendo q ue BC = 3A B. halla r las coordenadas de C. Sol. ( 18, 15).

22. Demostrar q ue el punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo eq u idista de los vrtices. lnd .: Supngase que las coordenadas del vrtice del ngu lo recto son (O. 0) y las de los otros vr tices (a, 0) y (O, b).

23. Demostrar que en los tringulos issceles del Problema 6 dos de las medianas son de la misma lon gitud .

24. Hallar las pendiente s de las rectas q ue pasan por los punt os:a) (3, 4), (1, -2) ;e)(6, 0), (6, v'J);e) (2. 4). (-2, 4);

b) ( -5, 3), (2, -3);d)( 1, 3), (7, I) ;f) (3. -2). (3, 5).

10COOR DE NA DAS R ECTANG ULA R ES

Sol. a) 3, b)

6- 7 e)

00,

1d) -3 e)

o. .n

00.

2S. Hallar las inclinaciones de las rectas que pasan por los puntos :a) (4, 6) y ( l , 3);e) (2, 3) y ( l , 4) ;e) ( v'J 2) y (O, I );b) (2, v'J) y ( l , 0);d) (3, -2) y (3. 5);() (2, 4) y (-2. 4).

Sol. a) O = tg -1 1 = 45 ;b)o = tg -1 v'3 = 60 ;

e)o = tg -1 - 1 = 135 ;d) o = 1g-1 00 = 90";

e)O = tg -1 l/v'f = 30 ;/)O = tg -1 0 = O".

26. Aplicando el concepto de pend iente, averigua r cules de los pun1o s siguiente s son col ineah:s.a) (2, 3), (-4, 7) y (5. 8);d) (0, 5), (5, 0) y (6. -1 );b) (4, 1 ), (5. -2) y (6, -5);e)( a. 0). (2a. -b) y (-a. 2b) ;e) (-1, -4), (2, 5) y (7, -2):()(-2. 1 ). (3. 2) y (6, 3).Sol . a) No.o) S,C')No.d) Si.e) Si. f) N o.

27. Demo strar que el punto ( 1, -2) est situado en la recta q ue pasa por los puntos (-5. 1 ) Y (7. -5) y que equidi sta de ellos.

28. Aplicand o el concept o de pend iente, demost rar que los pu nt os siguiente s son los vrtices de un tringulo rectn gul o.

a) (6, 5), ( l , 3) y (5.-7);b) (3, 2). (5. -4) y (l, -2);

e) (2. 4). (4, 8) y (6, 2) ;d) (3. 4).(-2,-1) y (4. l).

29. Hal lar los ngui os interiores de los tringulos cuyos vrt ices son :

(/) (3, 2), (5, -4) y ( l . -2) ;b) (4, 2), (O, 1) y (6. -1l:e) (-3. -l ). (4, 4) y (-2, 3);

Sol. 45' . 45' . 90 .Sol . 109" 39.2'. 32' 28,3', 37' 52,S' .Sol.1 13' 29.9'. 40' 25,6', 26'' 4,5'.

ll!\

COORDENA DAS R ECTANGULARES11Demost ra r, halla ndo los ngulos i nteriores, q ue los tringulos sigu ien tes son isscele s. y efectuar la comprobacin calculand o las longi t udes de los lados.

a) (2. 4). (5. 1 ) y (6. 5):b) (8. 2). (3. 8) y (-2. 2) :e) (3. 2). (5. -4) y ( l. -2):d) ( l . 5), (5. -l ) y (9, 6);

Sol.59" 2.2'. 61'' 55.6'. 592,2'.Sol.50'' 1 1.7'. 79" 36,6'. 50" 1 1 ,7'.Sol . 45''. 45''. 90".Sol.63" 26', 63" 26'. 53 8'.

La pend ien te de u na recta q ue pa sa por el punt o A( 3, 2) es igual a 3/4. Sit uar dos pu ntos sobre esta recta q ue d isten 5 un idades de A.Sol . (7. 5), (-1. -1).

32. El ngu lo formado por la recta q ue pasa por los puntos ( --4. 5) y (3, y) con la que pasa por ( -2, 4)y (9. 1 ) es de 1 35. Ha lla r el va lor de ) "Sol . y = 9."33. La recta L2 forma un ngulo de 60" con la recta L1 Si la pend iente de L1 es 1 . halla r la pend ien te de L2 Sol . -(2 + v'J.

34.

Hall a r la pendien te de una recta q ue forma un ngu lo de 45 con la recta q ue pasa por los puntos de coordenadas (2. -1 ) y ( 5, 3).Sol . mt = -7.

35. Hal la r la ecuaci n de la recta q ue pasa por el punt o ( 2, 5) y for ma un ngulo de 45'' con la recta de ecuacin .r -3y + 6 = O.Sol.2.r -r + 1 =-- O.

36.

Hallar las reas de los t ringulos cuyas coordenadas de los vrtice s son :

a) ( 2. -3), (4, 2) y (-5. -2)b) ( -3. 4). (6. 2) y (4, -3)Sol . Sol.18.5 un idades de supe rficie. 24;5.

e) {-8. -2). (-4, -6) y ( -1. 5)Sol .28.

d) (0.4). (-8, 0) y (-1 . --4)t') . Y ( 4. -2v2)Sol. Sol.30.7 v'2--2 = 7,899.

.f )(-7, 5). ( l. 1 ) y (-3. 3)g) ( a. h + e). ( h, e + a) y (c. n + h)Sol. Sol.O. Ra zona r la respuesta.O.

37. Halla r las reas de los pol gonos cuyas coordenadas de los vrt ices son :

a) ( 2, 5), (7. 1 ), (3. -4) y (-2. 3)b) (O. 4), (1. -6). (-2._3) y (-4. 2)e) {l. 5). (-2. 4), (-3, -l ), ( 2. -3) y (5. I )

Sol.39.5 u n idades de su perficie.Sol . 25.5.Sol. 40.

38. De mostra r q ue las rectas que unen los puntos med ios de los lados de los t ringulos del Problema 36 dividen a cada uno de ellos en cuat r o t ringulos de reas igua les.

1CA PIT U LO21Ecuaciones y lugares georntricoslLOS DOS PROBLEMAS FU N DA MENTA LES DE LA GEOMETRI A ANA LITICA SON:11 .Dada u na ecuacin , hallar el l ugar geomtrico q ue representa.2.Dad o un l ugar geomt rico defi nido por determinada s condiciones, hallar su ecuacin matemtica.

\'L U G A R GEOM ETR I CO, o grfica. de u na ecuaci n de dos va ria bles es un a l nea, recta o curva, q ue contiene todos los puntos. y solo ellos. cu yas coord en adas satisfacen la ecuacin dada . A ntes de represe11tar grficamente el l u ga r geom trico q ue corresponde a una ecuacin dada, es m uy conven iente, para determinar su forma , conoce r algunas propiedades del lugar en cu estin. como, por ejem plo : i n terseccion es con los ejes, simet ras, ca mpo de variacinde las va riables, etc.

I NTERSECC ION ES CON LOS EJES. Son las distancia s (positivas o negativas) desde el origen hasta los pu ntos en los q ue la l nea del l ugar cort a a los ejes coordenados.Pa ra hall ar la interseccin con el eje x se h ace y = O en la ecuacin dada y se despeja Ja\ a ria ble x . A nlogamen te, para hallar la in terseccin con el eje y, se hace x = O y se despeja y.Por ejem plo, en la ecuacin y2 + 2x = 16, para y = O, x = 8; pa ra x = O, y = 4.Por ta n t o, la a bscisa del pu n to de interseccin con el eje x es 8 y las ordenada s de los de interseccin con el eje y son 4.

SI M ETR I AS . Dos pu n tos son simtricos con respecto a u na rect a si sta es la med iatriz del segmento q ue los u ne. Dos pu nt os son simt ricos con respect o a otro punto, si ste es el pun to med io del segmento q ue J os u ne. En con secuencia :1. Si u na ecuacin no se altera al su stit u i r x por -x, su representacin grfica, o lugar,

LUGft

l. R.Ippn

11

ee

2.

es si m t rica con respect o al eje y. A tod o va lor de y en est a ecuacin, le corresponden dos va lores igu ales de x en valor absol ut o pero de sign os cont rarios.Eje m plo:x2 - 6y + 12 = O, es decir, X = v6y - 1 2.2. Si u n a ecuacin no vara al su sti tu ir y por -y, su represen tacin grfica , o lugar, es simt rica con respecto al eje x. A todo valor de x en esta ecuacin le corresponden ctos val ores n um rica mente igu ales de y en valor absol ut o pero de signos contrarios.Ejem plo:y 2 - 4x -7 = O, es decir , y = J:v4x + 1.3. Si u na ecua cin no va r a al su stitu ir x por -x e y por -y, su representacin grfica, o l uga r , es simtrica con respecto a l origen.Ejem plo : x3 + x + y3 = O.CA M POS DE VA R I ACI ON. Los valo res de u na de las varia bles para los cuales la otra se hace/imaginaria, carecen de sen t ido.Sea la ecuacin v2 = 2x -3. o bien, y = -\ 2x -3. Si x es menor q ue 1,5, 2x -3 es negati vo e y es ima.ginario. Por ta n to. n o se deben considera r los va lores de x menores1q ue 1 ,5 y , en consecuencia, la cu rva del l ugar esta r sit uada toda ella a la derecha de la recta :e = 1 ,5.Despeja ndo x, x = HY2 + 3). Como x es real para t odos los valores de y. la cu rva del l uga r se extiend e hasta el i nfinito , a u mentando .r a med ida q ue lo hace x desde el v alor x = 1,5.

12

ECUACIONES Y LUGAR ES GEOMl:.l'RICOS13PROBLEMA S R ESUELTOSLUGA R GEOMETR IC'O DE UNA ECUACION

l. R e prcsenia r la eli pse de e;:cuacin 9 r2 1 6y2 = 144. '/nftrsetcwm.t co11 los ejes. Pa ra y = O. x = r 4. Pa ra x O. )' - ...:. 3. Por tanto. corta a l eje x en los pun t o de abcisa 1 4. y a l eje y en los de orde nada .: J .Sime1r as. Como la ecu acin solo con t ien e po t en cia pares de r l! y. la c u rva es sim t rica con res pecto a los dos ejes y. por tan to. con respect o al orige n. As . pues. ba sta con d i buja r la porcin de cu r va con t en ida en el pri mer cu ad ra n t e y t raza r des p uc l'I rest o de t'l la por si metra .1Ca111pu de 111rion11. Despejando y y x,32

y

o

O,-.:{

(4.0)X

I'--

4- \ 16 -.\ .,\' -

Si r cs. en 1alor ahsol1110. mayor q ue 4, J 6 -x es negativo e y es i magi nario . Luego x ne pue de toma r va lorc.:s mayorc q ue 4 n i meno res q ue -4, es decir. 4 x -4. A nlogamente , y no puede tomar va lores ma yoreo; que 3 ni menores q ue -3. o sea, 3 y -3.

1,\'o 11 2l 31 :J 3,5 4

, 3 , -2.9

2.6 IJ2,o 1-+1.s 1

2 . R epresenta r !:.i par bola de ecuacin y 2 - 2y -4x . 9 = O.Despejando y de la frm ula de resol ucin de la ecuacin de segund o grado,-h 1 vhi -4ac

Y ------ . ien do a1. h = -2. e = -4x +9 :y2a12 \11' -2.( 1 )y2 -- 2y9

Depcjando '

X -4

(2)

lnll!rs1l'ciVt1l'S t1m los ejes. Para 1O. \ - 9/4. ParaoXx - O. y e-; imaginario ( 1 J 2 \''-2). Por t a n t o. l a cu rva corta al l:je 1 en el pun t o de a b::.cisa 914 y no corta a l eje y.Sime1rias. La cu rva no es si m t rica ni con respecto a los ejes n i con respecto al origen .Es simt rica con re spccto a la recta "1 . con lo cual. a cada va lor de x se obt ienen dos de y,u no ma yor q ue 1 y ot ro menor q ue I .Campas de 1ariaci11. De ( 1 ) se ded uce q ue x es men or que 2. ,. -2 es negat ivo e y imagina riu .Por tanto. ,. no puede toma r va lore-; menor..: q ue 2.An logamen te. de (2) e ded uce q uc como ,. o.: rea l para t odos lova lores de y. esta variable puede t omar todos los va lores reale s.

X2,,_ -

9/1

456

--- -

y1O: 23: -13.8 :-1.8 4.5; -2.55: -J

-

14ECUACIONES Y LUGA R ES GEOMETR ICOS

3. R cpn:sc n tar la hi prbola xy -2y -x = O.Int ersecciones con los eies. Pa ra x = O. y = O; paray --= o. ,. = o.Simetras. La curva no es simt rica ni con respectoya los ejes coordenados ni con respecto al origen .11Campos de variacin. Despejando y, y =x x. 12l

para x = 2, el denomi nador. x -2. se a n ula e y se haceinfinic o.

11_1_ _ _ _ _ _ _ _

Despejando x. x =lyy - 1

. Para y = 1 , el denomio1

nad or, y - 1 , se a n ula y x se hace i nfin ito.Ninguna de las dos varia bles se hace imaginar ia para valores rea les de la otra .Xo 1 1 1 11 r rz2 11-29-j 11-25-jJ i

111lo1 t16. y( x + 2)(x -4) - 8 = O17. x2 + xy -2y2 - 3x + 3y = O18. (x2 -- y) -yi = (5 -2x) + 3( 1 -x) i

Representar los siguientes pares de ecuaciones y ref!Olver grficamente el sistema que forman .Comprobar algebraicamente los resultados .19. y = X 2 X -y -j- 2 = .Sol. (2, 4), (-1, 1 ).

20ECUACIONES Y LU(iA R ES UEOMETRICOS

20. 4y -x2 = O, x2y + 4y - 8 =- O.21. x 2 + y 2 - 20 = O. y 2 -2x - 12O._. 22 . y 2 -2x -5 - O. 3x2 -2y2 - 1 - O.23. y 2 -4x -9 = O. x2 + 2y -6 - O.24. 2x2 y 2 - 6 - O. x2 -y 2 -4 - O.25. 2x2 - 5xy + 2y2 " O,.\ 2 1 y 2 5 "'- O.

Sol. (2. 1 ). (-2, 1 ), las otras son i magina r ias.Sol. (2. :!- 4), (-4, 1 2).Sol. (2,7. 1 J.2). (-1.4, t- 1,5).Sol . ( -2, 1 ). ( - 2, 1 ), (4, -5),(0. 3)..:':)ol.1magina rias.Sol. (2, l), (-2, -l),(1. 2),(-1 ,--2).

-26. .r2-y2 +x -y -=O, x2

hy- 3x 1 6y O.

Sol. (3, -4), (-2/ J. -1/ 3), (3. J). (0, 0).

ECUACION DE UN LUGA R GEO METRICO.

27. H al lar la ecuacin de la recta :

a) Sit uad a 3 u n idad es a la derecha del eje y .

b) Sit uada 5 u nidade s po r debajo del eje x.

e)Paralela al eje y y a 7 u n idades del punto (--2, 2).e/ ) Sit uada 8 unidades a la izq uierda de la recta x --2.

Sol. x -3 = OSol. y + 5 = OSol. .r - 5 = O. x + 9 - O.Sol. x + 1O ::- O

+ ysen (() -p = o las ecuaciones de una m isma rect a escri tas en su s forma s ge neral y normal respectivamente ; los coeficien tes de a m bas ecuacio n es han de ser iguales o proporcionales. Por tanto.cos 111sen -p

-A- = -

- = C = k . siendo k la con st an te de propo rcion a l idad .8

En estas cond icion es, cos ,,, = k A , sen > = k B. -p = k C. Eleva nd o a l cu ad rado y su ma nd o las dos primera s, cos2 m + sen 2 "> = k2( A2 + 82). o sea. J = k 2( A2 + 82) , de donde

+k - . .1- VfiBi"Teniendo en cuen ta este valor de k .ABC

+ v,cos r11 =

v Ai + n2 ' sen ,,,

-= -- -p =Ai - ffi

+ v A 2 + a2 .

Por con siguien te. la for ma normal de Ax + By + C = O es

V++ V A++ TV A -+oABC0A t82 X2B'- y8 =22en la q ue se debe considerar el signo del rad ical el opuesto al de C. Si C = O, el signo del radical se considera r igual al de B.

DISTANC I A DE U N PU NTO A U NA RECTA . Pa ra hall a r ladistancia d de un pu nto (xi. y1) a una recta L, se traza la rec ta L1 paralela a L y q ue pase por (x1. J'1).La ecuacin de L es x cos "' + y sen ,,, -p = O, y la ecuacin de L1 es x cos ,,, +y sen "' -( p + d) = O. ya q ueam bas rectas son pa ralelas.Las coorden adas de (x1,y1) satisfacen la ecuacin de L.,x1 cos w + y 1 sen w -(p + d) = O. Despejand o la dista ncia d,d = x 1 cos w + y 1 sen es positivo y sen w es negati vo. w est en el cuarto cuad rant e.

1r)A = 1, B = 1. vA2 + 82 = v2. Como C (= + 8) es positivo. el rad ical se toma con signo negativo. La ecuacin en forma normal es

11---x ---=.y -4v' 2 = OViv2'

YCOS fU = Sen W = --v-=i p = 4yf, (') = 225.

Como cos ci y sen 11i son n egat ivos. 111 est en et t ercer cuad ra n t e.d),1 A 2 +82 = ;f44T25 = 1 3. Como C = O. el rad ical se toma con el m ismo signo q ue8( - - 5). con lo cual, sen 11 ser posi t ivo y 11 1 80 '. La ecuacin en forma norma l es

LA LINEA RECTA28

X +125IJI3

)'0. y COS Cll

12- sen w1 3

513 , p = O,

11i

= 1 57''23'

Como cos c1J es negat ivo y sen 111 es posi tivo, 111 est en el segu ndo cuadran t e.

e) A - O, 8 = 4.A 2 1- 82 =- 4. La ecuacin en forma normal es

4 )' - 7- = o

es se

ded uce. h -

7 . k = - 5 .

22Por t a n to, r = V( ;-1-;y 1 (--.1 r= v'fo.

La ecuac1.o.n pe d.1da es (x - 7 )2 + (y +2

5 )2 =2

130-. o b.1en. x 24

f- y2 - 7x + 5y - 14 = O.

9. Hallar la ecuacin de la cin:u nferencia inscri ta en e l t ringulo cuyos lados son las recta s L 1 :2.\'.. - 3y + 21 - O.L 2 :3x -2y - 6 = O.L3 : 2x + 3y + 9 = O.Como el cent ro de la circu nferencia es el punto de in ter seccin de las bi sectrices de los ngu los interiores del tringulo ser necesa rio ha lla r. previamen te. las ecu aciones de d icha s bi

_7.h =3k_! 21 . _ 311 -2k - 6 .

bien, h _ k +

= O.

----

sectrices. Sea n (h. k) la!> coordenadas del cent ro. Pa ra determ ina rla bi sectriz ( 1 } ( ver Fig ura) :X03' 1-,, , J\/ 13Pa ra la biscct ri L (2) :_2!!. -+: Jk +.2_ =- 2 ' -Jk + 21 , o bien, 6k - 1 2 = O._ ,113-v lJ1 3

Luego. k = 2. 11 - -1. y ,. _ 2< -!1_ +21 1- 9 =- _, v'I J,11 3

v'T3.

Sustituyendo en ( x -h) + (y -k )2 = r 2,(x 1 1 )2 + (y -2)2 = 13. o sea. x2 . y 2 + 2x -4y=8.1IO. H allar la ecuacin de la ci rcunferencia ci rcun!>crita al t ri ngu lo cuyos lados son las recta sx +y8,2x +y "- 14.3x +y = 22.Resolv iendo esta s ecuaciones tomadas dos a dos, se obtie nen las coordenadas de los vr t ices (6, 2), (7, 1) y (8. -2).Sustit uyendo estas coordenadas en la ecuacin genera l de la ci rcu nfe rencia, x2 + y 2 + Dx + Ey f- F = O. resu lta el istema sigui ente: 60 + 2E + F = -40,70 + E -+ F - -50,8D - 2E -1 F-68.cuya ol ucin proporciona los va lores D = -6, E =- 4 y F = -12. Por sustitucin se ded uce la ecuacin ped ida, x +y -6x+ 4y - 12 = o.

38LA CIRCUNFERENCIA11. Halla r la ecuacin de la circu nferencia de centro el punto (-4,2) y q ue sea tangente a la recta3x + 4y - 16 = O.El radio se puede determinar calculando la d istancia del punto (-4,2) a la recta.r = 1 3(-4) +;(2) -16 1 = 1 - 2 - 1 = 1-41 o sea 4.La ecuacin ped ida es (x + 4)2 +( y -2)2 = 16, o x2 +y2 + 8x -4y + 4 = O.

.- 12. Hallar la ecuacin de la circunferencia q ue pase por ely punto (-2, 1 ) y sea tangente a la recta 3x -2y -6 = O enel punto (4, 3).Como la circunferencia debe pasar por los dos puntos (-2, 1 ) y (4, 3), su centro estar situado sobre la mediatri z del segmen to que determi nan. Por otra parte, tambin debeperten ecer a la perpendicular a la recta 3x -2y -6 = Oen el pun to (4, 3).La ecuacin de la mediatriz del segmento es 3x +y- 5 = 0.XLa ecuacin de la perpendicular a la recta 3x -2y-6 = O en el punto (4, 3) es 2x + 3y -17 = O.

.241V(2 )2(41 )-2'_Resolviendo el sistema formado por amba s ecuacione s, 2x + 3y - 17 = O y 3x + y - 5 = O

=se obtien e, X = - 7' y = -7Por tanto, r =4 + 7+ 3 --7- = --;- vi3.

2La ecuacin pedida es (x +)

+ (y -- l )1

11 , o bien, 7x1 + 7y2 + 4x -82y +55 = O.

13. Hallar el lugar geomtrco de los vrtices del ngulo recto de los tringulos cuyas hipotenusas son el segmen to q ue determinan los puntos (O, b) y (a, b).Sea (x. y ) el vrtice del ngulo recto. Entonces, como los dos catetos son perpendiculares, la pend ien te de uno de ellos debe ser el recproco con signo contrario de la pendiente del otro, es decir,

x -0-y -- -y - b-bx -a

x -ay - b .

Simplificando, ( y -b)2 = -x( x -a), o sea, x2 +y 2 -ax - 2by + b2 = O (una circun ferencia).

14. Hallar la longitud de la tangente desde el punto P1(x1, y 1) a laycircunfere ncia ( x - h)2 + ( y -k)2 = ,2.

o bien

2 = (P1C)2 -,2,/2 = (X _ /)2 + (y _ k)2 _ rt,

de donde/ = ../(x 1 -h)2 +(y 1 - k)2 _ ,2.En consecuencia, la longitud de la tangente trazada desde un pu nto cualquiera exterior a una circunfer encia es igual a la ra z cuad rada del va lor que se obtiene al sustituir las coordenadas del punto en la ecuacin de la misma.oX

'\l

LA CIRCUNFERENCIA39

Definicin. Se llama eje radical de dos ci rcunferencias al lugar geomtrico de los pu ntos desde los cuales las tangentes a ellas son de igual longit ud .Deducir la ecuacin del eje radical de las circunferencias,x 2 +y2 + d1x + e1y +/1 = Oyx2 +y 2 + d2x + e2y +/2 = O.Sea P'( x ',y') un punto genrico cualq uiera del eje radica l pedid o.Tend remos 1, = Vx'Z +y' 2 + d,x + e.y' +/1 y12 = vx'2 +y'2 + dzx' + e2y' +/2Como 11 = /2,v'x '2-+y 2 + d1x ' + e1y ; +f1 = v72 + y'2 + d2x ' + e2y' +/2Elevando al cuad rado, si m pl ificand o y suprimiendo las pri mas , (d1 -d2)x + (e1 -e2)y +j 1 -/2= O, que es la ecuacin de una recta.

16. Hallar la ecuacin de la famil ia de circunf erencias que pasan por los puntos de interseccin de dos dadas.Sean x2 +y2 + d1x + e1y + /1 = O y x2 + y 2 + d2x + e2y +/2 = O, dos circun ferencias se cantes.La ecuacin x2 + y 2 + d1x + e1y +/1 + K( x2 + y2 + d2x + e2y +/2) = O representa a dicha familia , ya q ue las coorden adas de los puntos de interseccin satisfacen a las ecuaciones de dichas circunferencias.Para todos los va lores de K, excepto para K = -1, se obtiene una circunferencia. Para K = -1,la ecuacin se reduce a una recta, que es la cuerda comn de dichas circu nferencias.

Hallar las ecuaciones de las circu n ferencias que pasen por los puntos A ( 1, 2), 8(3, 4) y sean tangent es a la recta3x + y -3 = O.Para hallar las coordenada s del centro, C(h, k), se tienen en cuenta las igualdades C,A = CB y CA = CN, es decir,(h - 1)2 + (k -2)2 = (h -3)2 + ( k - 4)2y(h - 1)2 + (k -2)2 = ( 3h +-3 )2v' I OXDesarrollando y si mplificand o se obtiene ,h + k = Sh' + 9k' -6hk -2/t - 34k + 41 = o.Resolviend o este sistema de ecuaciones resu lta n h = 4, k = 1 y h = 3/2, k = 7/2.Dc r = Jh + k - 3 se ded uce r = 12 + 1 -3 = ,1() yr = 9/ 2 + 7/ 2 -3 = v2'10_ .v io.v iov ioTeniendo en cuenta (x - '1)2 +(y -k)2 = r2, tendrem os3 )2(7 )210

(x -4)2 + (y - 1 )2 = 10 y

(x - 2+ y - 2= 4

Desarrolland o estas ecuaciones , resulta x2 +y2 -8x -2y + 7 = O y x2 +y2 -3x -7y+ 12 = 0.

i, ". @t .. Hallar la ecuaci n de la circu nfe rencia de radio 5 que sea tangen te a la recta 3x + 4y - 16 = O enel punto (4, 1).

40LA CIRCU NFER ENCIA

Sean (h, k ) las coordenadas del centro.

Entonces

3h + 4k -165

= 5, o

.bien

, 3h + 4k - 16 = 25.

Por ot ra parte, (h -4)2 + (k - 1)2 = 25, es decir, h2 + k 2 -8h -2k = 8.Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen las dos soluciones (7, 5) y (1, -3).Las ecuaciones de las dos circunferencias resoecti vas son (x -7)2 +( y -5)2 = 25, y (x - 1)2+ (y + 3)2 = 25.

- 19. Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias tan gentes a las rectas 3x -4y + 1 = O y 4x + 3y - 7 = O y q ue pasan porel punto (2, 3).' Sea (h, k) las coordenadas del centro. Ent onces,

63h -4k + 14h + 3k -7?h _ k _= O. (a)-5=---5o

=_3h - 4k + 1

rPor otra parte, como r5(h -2)2 + (k -3)2 = ( 3h -+ ,

C(2 ,8)

r--/

.' 1, la cn ica se lla m a hiprbola.

PA RA BOLA. Sean L' L y F la recta y pu n to jos . Tracemos por F la perpend icula r al eje x y sea 2ala dstancia de F a L'L. Por defi n icin de parbola la curva debe cortar al eje x en el pu n t o O, eq u idist a nt e de F y L' L. El eje y se traza perpend icular a l x por el punto O. Las coordenadas de F son (a, O) y l a ecuacin deLyla d irectriz es x = -a, o bien, x +a = O.Sea P( x, y) un pu n to genrico cualq u iera de ma-MPF.nera q ue PM = e = l .Entonces,V'(xa)2 + (y -0)2 = x + a.oXElev mdo al cuadrado,

,x2 - 2ax + a2 + y 2 = x2 + 2ax + a2

o bien,y2 = 4ax.

De la forma de la ecuacin se ded uce q ue la par-bola es simt rica con respecto al eje x. El pu nt o en q ue la cu rva corta al eje de simetra se denom i na vrtice. La cuerda CC q ue pasa por el foco y es perpend icular al eje se llama ldtus rectum. La l ongit ud del larus rectum es 4a, es decir . el coeficiente del trmino de pri mer grado en la ecuacin.Si el foco est a la izq uierda de la direct riz, la ecuacin torna la forma

y i = -- 4ax .

Si el foco pertenece a l eje y. la forma de la ecuacin esx2 = 4ayen la que el signo depende de q ue el foco est por enci ma o por debajo de la directriz .Consideremos ahora una pa r bola de vrtice el punto (h. k ). de eje paralelo al de coor denadas x y cuyo foco est a una d istancia a del vrt ice y a l a derecha de l. La d irectri z .46

---/

SECCIONES CONICAS.-LA l'A RA BOLA47pa ralela al eje y y a u na d ist a ncia 2a a la izq uierda del foco, tend r la ecu acin x = h -a.o bie n. x - h + a - O.Lla memos P( x .y) u n pu nt o genrico cualq u ierayLde la pa rbola . Como PF = PM .J (x - h -a)t + (y - k)' = x -h + a.M

es decir . o bien.

y1- 2ky ; kt = 4ax -4ah,( y - k )2 = 4a(x -h).

------ ;:;(h.k)

Ot ra s expresiones t i picas son :(y - k )2 = -4a( x - h);(x -'1}2 = 4a( y -k );(x -h)2 = -4a( y --:k ).Que desarrollada s adq uieren la forma

o

L'.\ - ay2 ; hy .. c.yax1 + hx + c.

PROBLEMAS RESUELTOSl.Hallar el foco. la ecuacin de la d i rectriz y la longitud del latus recttnn de la parbola 3y1 = 8x, ""o bi en .y2 -x.

De la ecuacin de la parbola se ded uce q ue 4a = -}. de donde. a =. El foco es. pues el pun- to de coordenada s (, o). y la ecuacin de la directriz. X .= -.)Para hallar la longitud del latus rectum se calcula el va lor de y pa ra x =. Para x =, y =;.con lo cual , la longi t ud del /atus rectum es 2(;) = '.2.H allar la ecuacin de la pa rbola cuyo foco es el pun to (o. - ;) y por direct riz la recta y -= O.Hallar la longitud del latus rectum .Sea P( x, y ) un punto genrico cualquiera de la parbola . En estas condiciones.VAR A ROLA

4. .H a l la r Ja ecuacin de la para bola de vrtice el origen. de eje el de coordena da:. J '. y que pa se por el pu n t o (6.3).La ecuacin q ue hemo' de a pl ica r es x 1 - -4ay.Com o el pu n to (, -3) pertenece a la cu rva el valor de ft debe c;er ta l q ue las coordenada!> del punlo a t bfaga n a la ecuacin .Suc;t it u yendo. 36 - -4a( -3). de o lv icn do C'> t e .istema de ecuaciones se 0011c n en como va lores de Ji y k l o c. a2 - e s rosi t i vo . H aciendo a2 -c2 = h2 resul t a la ecuacin de la el i pse en la for m.

9. La Tierra describe una trayectoria elpt ica alred ed or de l Sol que e encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la el ipse vale 1,485 X 108 k ilmetros y q ue la excentricidad es. aproxi!lladamente, l /62, hallar la mxima y la mnima d istancias de la Tierra al Sol.

Excentnct'dad e =

e-. Luego1 =

_ e _

, o sea, e = 2.400.000.

062

148 500 000

La mxima dil-tan cia es a + e = 1,509 x 108 k m . La mnima distancia es a + e = 1 ,46 1 X 108 k m .

---.

--.

l

LA ELIPSE5510. Hallar la ecuacin de la elipse de centro (l . 2), uno de los focos (6, 2) y que pase por el punto (4, 6).

+(x - 1)2(y -2)i

Aplicamos la ecuacin

b'= 1-02

aCorno (4, 6) perlen :ce a 1

curva,

(4 - J )202

(6 -2)2

+ b2

= , o1b'91en,02

+= l .16b'b'

Como e = 5, resulta b2 = a2 -c2 = a2 -25 y

9 + -

16 - = t.

-a2a2 -25

-Resolviendo, a2 = 45 y b2 = 20. Sustitu yend o, (x - 1)2

+ (y -2)2

= l

4520

11. Hallar Ja ecuacin de Ja elipse de centro (-1, -1), uno de los vrtices el punto (5, -1) y excentri-\ cidad e =.Como el centro es el punto (-1,-1) y el vrtice (5, -1) se tiene, a = 6, e = :==,de donde e = 4. Por otra parte, b2 = a2 -c2 = 36 - 1 6 = 20.(x + 1)2(y + 1)2

La ecuacin pedida es36

+= 1.20

12. Hallar la ecuacin de Ja elipse cuya directriz es la recta x = -1,

uno de los focos el pun to (4, -3) y excentricidad 2/3.1-De la definicin general de seccin cnica, si

PF = e

J -------

p My e < 1 Ja curva es una elipse.v(x -4)2 +( y + 3)2Por consigu iente'x + IEkvando al cuad rad o los dos miembros de esta ecuaciny simplificando resulta,5x2 + 9y2 -80x + 54y = -221 .

7Pfx.y)

IoIX1I

IIoIF(4,-3)+

Completando cuadrados, 5(x2 -- l 6x + 64) + 9(y2 + 6y + 9) = -22 1 + 320 + 81,1es decir, 5(x - 8)2 + 9(y + 3)2 = 180,.(x -8)2(y + J)2

'f1o bien ,36+ -W -= 1.13. Hallar el lugar geomtrico de los puntos P( x , y) cuyo producto de las pendientes de las rectas que unen P(x, y) con los puntos fijos (3, -2) y (-2, 1) es igua l a -6.r\( ;.: ) ( ;) = -6, o bien , 6x2 +y 2 +y -6x = 38. una el i pse.14. Hallar la ecuacin de la elipse de focos (O, 4) y q ue pase por el punto ( 12 , 3) .5

=,++.12x 2y2144 9Sustituyendo x5 y = 3 en b202 = 1 se obtiene 25b2a' = 1 .

fComo los focos son (O, 4), resulta e = 4 y a2 -b2 = 42 = 16.

22 .Resolv iendo el sistema de ecuaciones, a2 = 25. b2 = 9. Luego, -+5

= 1.

56LA ELIPSE:

15. Hallar el l ugar geomtrico de los pun tos que dividen a las ordenadas de los puntos de la ci rcu nferen cia x2 + y2 =- 25 en la relacin.

Sca y , =

3 y , o b. n , y =

5 y ,. y x = x ,. En tonce s, x ,2 + 25 y . =- 25.

1e539Suprimiendo las primas y simpl ificando se llega a la ecuacin 9x2 + 25y2 = 22 . que es unaelipse.

y(X.y)

y

\l.6)

,.,.,.,..,,,,.. --- rx'.y ) .....I''

(-8.1)

(12,t)

oXo'' _ _ ----,.,. ,X\/

(2,-4)

Problema 15

Problema 16

16. Hallar la ecuacin de la elipse que pasa por los pu n tos (-6, 4), (-8, 1), (2, -4) y (8, -3) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas.En la ecuacin x2 + By2 + Cx + Dy + E = O, susti tuyendo x e y por las coordenad as de loscuat ro pu ntos dados.

1 68 -6C + 40 + E = -36,B -8C + O + E = -64,1 68 + 2C -40 + E = -4,9B + 8C - 30 + E = -64.Resolviend o el sistema, B = 4, C = -4, O = -8, y E = -92.

2La ecuacin ped ida es x2 + 4y2 -4x - 8y -92 = O, o bien , (x2

2+ (y ;1)

= J .

>

17. ryH allar la ecuacin del l ugar geomtrico del centro de una circunferencia tangente a x2 += 1 y x2 + y2 -4x-21 = O.

Sean (x0, y0) las coordenadas del centro. Las circun ferencia s dada s tienen de rad ios 1 y 5 respectivamente .

111,f Pt>... ,y )/

2a) 5 - (X0 -2)2 + (Yo -0)2 = v'X0

+ Yo2

- 1 ." I

9r-Elevando al cuadrado, simpl ificando y suprimiendo las primas se llega a la ecuacin 8x2 +l 6x -64 = O,,ue es u na elipse. Poniendo esta ecuacin en la forma(x - 1)2(y - 0)2-9-- +8-= I,se ded uce c.ue el centro de la elipse corresponde al punto( I,0).

(1,0) '-(2 0)X

2b)\f x0

+ y 2

+ 1 = 5 - (x -2)2

+ y 2. Elevando al cuadrado , si mplificando y suprimiendo

0002las primas se llega a la ecuacin ]x2 + 4y2 - 6x - 9 = O, o bien, ( x -:; 1>

2+ (y -;0)

= 1.

El centro de esta elipse es el punto ( 1, 0).

7RT&2 car: a rs

LA ELIPSE5718. En una elipse, los radi os focales son las rectas que unen los focos .con un punt o cualq uiera de ella. Hallar las ecuacione s de los radios focale s correspond ien tes al punt o (2. 3) de la elipse 3x2 + 4y2 = 48.

n 1enEse .b.do esta

. .ecuac1on

1 r

ena 1orma

lx62

+ Tyzf = 1 se

.tien

e. e = v' 16 - 12 = 2.

Los focos son los puntos (2, 0). La ecu acin del rad io foca l del punto (2, O) al (2, 3) es x -iO

1y la del (-2, 0) al (2, 3) es y -O =

3 + 0 (x + 2), o bien, 3x -4y + 6 = O.

22PROBLEM AS PROPUESTOSt.En cada u na de las el i pses siguientes hallar a) la longit ud del sem ieje mayor, b) la longitud del semieje menor , e) las coordenadas de los focos. d) la excentricidad .

{I)

+= l.Sol. a) 13, b) 12, e) ( S. 0), d) - 5 .

16x2y2

144

13Sol . a) 2v'3-,b) 2v'2-, e) (O, 2), d)

v3.

(2)8 + 12 = l .(3) 22Sx2 + 289y2 = 65.025.

3

Sol. a) 17, b) I S,c) ( 8, 0), d)8 .0

2. Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes de forma que satisfagan las condiciones que se i ndican.

+=1x2 12{( 1) Focos ( 4, 0), vrtices ( S, O).Sol.2 -9l.

I(2)Focos (O, 8), vrtices (O, 17).Sol.(3)Longitud del latus rectum = 5, vrtices ( 10, O).Sol.1(4) Focos (O, 6), semieje menor = 8.Sol.

x2y2225 + 289 = l.x2y2ICo + 25 = 1.xiy2+ 100 = J.

(S)Focos ( 5, O), excentricidad = -.Sol.

64-

x2y26i{ +39 = l.

3. Hallar la ecuacin de la el ipse de centro el origen, focos en el ej e x, y que pase por los puntos (-3, 2'/ J) y (4, 4 '513).Sol. 4x2 + 9y2 = 144.4. H alla r la ecuacin de la el i pse de cent ro el origen , semieje mayor de 4 u n idades de longitud sobre el eje y, y la longitud del latus rectum igua l a 9/2.Sol.l 6x2 t 9y2 = 144.5. H allar el l ugar geom t r ico de los pu ntos P(x. y) cuya suma de d istancias a los puntos fijos (3. 1)1y (-5, 1 ) sea igua l a 10. Qu curva represen ta d icho l uga r ?Sol. 9x2 +- 25y2 .J- l 8x -50y - 191 = O, una el ipse.

6. H alla r el l uga r geom t rico de los pu ntos P(x, y) cu ya suma de d istancias a los puntos fijos (2, -3)y (2. 7) sea igua l a 1 2.Sol. 36x2 + l l y2 - l 44x -44y -208 = O.7. Ha llar el l ugar geomtrico de los pun tos cuya distancia al pu nt o fijo (3, 2) sea la imitad de Ja corres pond iente a J a recta x + 2 = O. Qu curva representa dicho l ugar?Sol .3x2 + 4y2 - 28x -16y + 48 = O, una el ipse.

. ......

r

58LA ELI PSE

8. Dada la elipse de ecuacin 9x2 + 16y2 -36x + 96y + 36 = O, hallar a) las coordenadas del centro,b) el semieje mayor, e) el semieje menor, d) los focos y e) la longitud del latus rectum. Sol. a) (2, -3), b) 4, e) 3, d) (2 v7, -3), e) 4,5.9. Hallar la ecuacin de la elipse de centro (4, -1), uno de los focos en (1, -1) y que pase por el

>2punto (8, O).Sol.(x4

2+ (y1)

= 1, o bien , x 2 + 2y2 -8x + 4y = O.

JO. Hallar la ecuacin de la elipse- de centro (3, 1), uno de los vrtices en (3, -2) y excentricidad e = l /3.(x -3)2(y -1)2

Sol.+= , o bien , 9x2 8 9

+ 8y2

-54x -16y + l 7 = 0.

11. Hallar la ecuacin de la elipse uno de cuyos focos es el punto (-1, -1), directriz x = O, y excen tri-

ct'dad e =

..;22

Sol. x2 + 2y2 + 4x + 4y + 4 = O.

12. Un punto P(x, y) se mueve de forma que el producto de las pendien tes de las dos rectas que unen P con los dos puntos fijos (-2, 1) y (6, 5) es constante e igual a -4. Demostrar que dicho lugar es una elipse y hallar su centro. Sol. 4x2 + y2 - 16x -6y -43 = O. Centro (2, 3).

13. Un segmento AB, de 18 unidades de longitud, se mueve de forma que A est siempre sobre el eje y y B sobre el eje x. Hallar el luga r geomtrico de los puntos P(x, y) sabiendo que P pertenece al seg- mento AB y est situado a 6 unidades de B. Sol. x2 + 4y1 = 144, una el ipse.

14. Un arco de 80 metros de l uz tiene forma semielptica . Sabiendo que su altura es de 30 metros, hallarla altura del .arco en un punto situado a 1 5 metros del centro.Sol. l 5v55/4 met ros.

lS. La rbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos est el Sol. Sabiendo q ue el semieje mayor de la elipse es 148,5 mi llones de kilmetros y que Ja excentricidad vale 0,01 7, hallar La mx ima y la mf nima distancias de la Tierra al Sol. Sol. (152, 146) millones de kilmetros.

16. Hallar la ecuacin de la elipse de focos ( 8, O) y que pasa por el punto (8, 18/ 5).xiy'Sol.100 + 36 = l.

17. Hallar el lugar geomtrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los punto s de la circunferen cia x2 + y 2 = 16 en la relacin!. Sol. x2 + 4y 2 = 16.18. Hallar las ecuaciones de los radios focales correspond ientes al punto (1, -1) de la elipsex2 + 5y2 -2x + 20y + 16 = O.Sol. x -2y -3 = O, x + 2y + 1 = O.

19. Ha llar la ecuacin de la elipse q ue pasa por los puntos (O, 1 ), (1 , -1), (2, 2), (4, O) y cuyos ejes son paralelos a los de coordenadas . Sol. l 3x2 + 23y2 - 51x - l 9y -4 = O.10. Hallar el lugar geomtrico del centro de la circunferencia tangen te ax2 +y2 = 4 y x2 +y2 - 6x -27 = O.Sol. 220x2 + 256y2 -660x -3.025 = O y28x2 + 64y2 -84x -49 = O.

\\

CA P IT U LO7

La h iprhola

DE FI N ICI O . La hi pr bola e el h1gar geornl rico de los punlcs cuya diferencia de d islancias a los pu n t os tijos f"( c. 0) y F( -c. 0) es con stante e igual a 2a. Ver Figu ra {a).

Sea P{ x . y) u n punlo genrico cualq u iera de la curva .'.Por defi nicin. F' P -PF = 2a, o bien v(x + c)2 + (y -0}2 - (x -c)2 +(y --0)2 = 2a.Trasponiendo un rad ical. v(x + c)2 + ( y - 0)2 = 2a +(x -c)2 + ( y - 0)2 Elevand o al cuadrado y red uciendo trmi nos. ex -a2 = a v'x -c)2 + y2

)Elevand o al cuad rado y si m pl ificando, (c2 -a2)x2 -a2y2 = a2(c2 -a2 .Dividiendo por a2(c2 -0 ), se obtiene la ecuacin -:;. -+--; = 1 ..'222ae -a

Como e > a, c2 -a2 es positivo. Haciendo c2 -a2 = b2 se obtiene la ecuacin de la hi prbola con centro en el origen y focos en el eje x,xiyiQS - bz = I.

Si los focos fueran (0. e) y (O, -e), la ecuacin sera de la forma- : = 1.

La expresin gen ral de la ecu acin de la hiprbola de centro en el origen y cuyos focos estn sobre los ejes de coordenadas es Ax 2 -By = l , correspondiendo el signo ms cuando los focos pertenezcan al eje x.Como Ja ecuacin solo contiene potencias pares de x e y , la curya es simtrica con respecto a los ejes x e y y con respecto al origen.El eje real o t ransversa l de Ja hiprbola es A 'A de longitud igua l a 2a. El eje imagina rio1es B 'B de longitud 2b. Ver Figura (b).

59

LA HIPERBOLA

ev'a2 + b2

La exce ntricidad es e = a =

a. Como vemos e > 1, lo cu al coincide con la

definicin general de seccin cnica . Las ecuacione s de l as d irectrices, DD y D'D, son

x =!!_ cuando los focos estn sobre el eje x, e y =!!_ cuando estn sobre el eje y.ee(\Los vrtices reales de la hiprbola son J os puntos en Jos q ue la curva corta al eje real.Los otros dos vrti ces son i maginari os.

2b2 La longitud del latus rectum es--.aLas ecuaciones de las as ntotas son :

y = !a!_ x cuando el eje real o tran sversal es el eje x.

ey = :x cuando el eje rea l o transversal es el eje y.

Si el centro de la hiprbola es el punto de coordenaaas (h , k) y el eje real es paralelo al eje x, Ja ecuacin de la hiprbola es(x - h)2

Si el eje real es paralelo al eje y, la ecuacin es(y - k)2(x - h)2

- l.

a'b2l.Las ecuaciones de las asntotas sony -k = .!a!.. (x -h) si el eje real es paralelo al eje x,

aey -k = -; (x - h) si el eje real es paralelo al eje y.La forma general de la ecuacin de la hiprbola de ejes pa ralelos a los de coordenad asx e y esAx2 - By 2 + Dx + Ey + F =.-= O,siendo A y B del mism o signo.

PROBLEMAS RESUELTOS

J .Hallar la ecuacin de la hiprbola de centro el origen , eje real sobre el de coordenadas y y que pase por los pun tos (4, 6) y ( 1, -3).Sustit uyendo x e y por las coordenadas de los pun t os dados en la ecuaciny2x236169l02 - b2 = 1 resul tan , Qt -/)2 = 1 y a2 - b'I. = l.Resol viendo este sistema de ecuaciones, a2 = 36/5 y b2 = 4.Sdl'fid5Y2x 25 9ustituyen o y s1mp 1 can o, 36 -4 = 1, o bien , y2 - x2 = 36.

LA HI PERBOLA612. Hallar las coordenada s de los vrtices y de los focos. las ecuaciones de las d i rectrices, las corres pond ien tes de las asn totas. la longit ud del latus rectum. la excent ricidad y la representacin grfica?e l,hiprbola 9x2 - 16y2 = 144.

2Escribiendo la ecuacin en la forma -":- J

= 1 se tiene. a = 4. b = 3,= v/1 6 + 9 =:, S.

16Los puntos reales de corte con los ejes son ( 4. 0). y los focos ( S, 0).

La excenlrtCIdad e =

e = 45 ' y 1as ecuaciones de 1as d.lfeCtrtCeS SOn0

X = e .= 5

2b1892La tus rectum = -- = -- = -.(/42Las ecuaci.ones de 1as asi.ntotas son y = ab

X = 43 X.

X

Problema 23Hallar la ecuacin de la hiprbol de ejes paralelos a los de coordenadas y de centro el origen. sa biendo q ue el !atus rectum vale 18 y q ue la distancia entre los focos es 12.

yJt91y1111t .(3.0):F(G,O)X

X

:i'

1{6 9)

Proh/ema J(a)

Problema J(b)

Latus ree1u111 = 2b2/ a = 1 8. y 2c = 1 2. Luego b2 = 9a y t = 6.Corno b2 = c2 -- a2 = 36 -a2, se tiene 9a = 36 -a2, o sea. a2 + 9a -36 = O.1 .Resolviendo. ( a - 3) (a + 12) = O y a = 3, -12. Se desecha a = -12.Para a"l = 9. h2 = 36 -9 = 27 y las dos ecuaciones ped idas sonx2yt...yzxz

27a) 9 - 27 = 1, o bien. 3x2 - y 2 = 27. y h) 9 -.

I

"' l. o bien, 3y2 - xi = 27.

.M..

62LA HIPER BOLA4. 5251 1Ha lla r la ecuacin de la h iprbola de focos (0, 3) y de eje imaginario igual a 5. Dat os: e = 3 y h = 2. Luego a2 = c2 -b2 = 9 -- T = -- .

Sustituyendo en

y2x2y2x2

li'/4-- b2 = 1. se obtiene

= J , o bien , J 00y2

-44x2

= 275.

012514

5. Hallar la ecuacin de la h iprbola que tiene su cent ro en el origen, el eje real sobre el eje x, excentri cidad !v7 y larus recturn igua l a 6..Ya2 + b2.Y72b2

Da tos: e == -a

-, y latus rectum =- = 6, o sea. b2 = 3a.2a

R esolviendo el sist ema a2 + b2 = - a2 y b2 = Ja, se obtiene a216, b2 = 12.

Susti tuyendo en

x2y2x 2y2 -.2 2

=T6 - 2 -02 - b21 , la ecuacin pedida e.s1, o bien , 3x -4y48.

6. Hallar el lugar geomtr ico de los puntos cuyo prod ucto de d istancias a las rectas 4x -3y + 1 1 = O y 4x + 3y + 5 = O sea igual a 144/25.Sea P(x. y) un punto genrico cualquiera del l ugar . En t onces.4x -3y + 1 1 ) ( 4x + 3y + 5 ) = _!.44 .(-5-52521 2

Simplificand o. 16x2 -9y2 +64x + l 8y -89 = O, o bien , (x ;

) - (y

> = 1.

que es la ecuacin de u na hiprbola q ue tiene por asntotas las rectas dadas.

XProblema 6Problema 7

7. Hallar el l uga r geomtrico de los puntos (x. y) cuya d istancia a l punto fijo (0, 4) sea.igual a 4/3 de Ja correspond iente a la recta 4y -9 = O.v'(x -0)2 + ( y -4)2 =- ( 4y 4)

y2x2Elevando a l cuadrado y simplifican do. 9x 2 - 7y2 + 63 = O. o bien. 9 - -=hiprbola .

1 , que es una

-lililil......

'"t

lllllll ..........

__f

-:;jjj.-zf-

pe3W!Q 1

LA H I PE R BOL1\63

8. Hal la r la ecu:icin de la hi prbola q ue 1iene su ccn1ro en el origen. un vrt icl.' en (6, 0) y por una de us asntota s la recta 4x - 3.r = O.

Escribi mos la ecuacin de la asntota dada en la for ma y =x ..x2y 2hb 4

(La s asntota de-21

- h2

= 1 son ) ' = J -- x. Lu ego- = - .(/a 3

e01110 u n vc.rt1.ce es (6. O ). (/ = 6 y h = -4a3

= , con o q ue la ecuacin es x2y2l.

81.3664

9. H a l la r la ecuaci n ele la h iprbola con cen t ro en (-4, 1), un vrtice en (2, 1 ) y semieje i magina rio ig ua l a 4 .La d ista nci a ent re d cent ro y el vrt ice es 6; l u ego a = 6. El semieje i magi na rio es 4: l uego b = 4.

(x -,)2(y -k )2

(\" + 4)2(y - 1)2

b2Sust i t u yendo en ---- -(/%

1, se obt iene :36

----- = I.16

10. Dada la hi prbola 9.r2 - l 6y2 -- l 8x -64y - 199y- O. ha lla r a) el Ct:nt ro. h ) l os vrtices. e) los focos. d) la ccuaciom:s de las asntotas y e) efect uar u reprccntacin grfica.Proced iendo como se indica. escribimos la ecuacin en la forma()' -k )2Xb2- = l.

9( \'2-2x -! 1 ) - 1 6(y2 + 4y + 4) = 199 -- 64 +9.9(x - 1 )2 - 16(y + 2)2 = 144.

-w--(x1)2(y + 2)2- 9 - . = l.

Sol.a) (l,-2); b)(-3, -2).(5,-2); c)(-4,-2), (6, -2) : d) y + 2 =

34(x - I).

11. H alla r la ecuacin de la hiprbola q ue pase por el punt o ( 4, 6) y cuyas asntotas sean y = vTx.

2Las a intotas de 1a 1i1pe'r bo1a "'102\

2

2-Yh

= 1 son y = + b x.0

)'X.X)'X)1

0Opera ndo. ; = :t- -; o bien.- ; = O y 0

+ ; = O.

Como el prod ucto (. -by ) ( \'

+by ) =

\'2 2

y2- b'l.

= O, se ded uce q ue las ecuaciones de las

asntota s de ;:- : = 1 - ( y)1 .

10. Hallar las coordenadas de a) el centro, b) los focos, e) los vrtices, y d) las ecuaciones de las asnto tas, de la hiprbola 9x2 - l 6y2 -36x -32y - 124 = O.Sol. a) (2, -;-1) ; b) (7, -1), (-3, -1); e) (6, -1), (-2, -1); d) y + 1 = i O, la curva es una hiprbola.

en casos pa rticulares,

En los casos particulares, la ecuacin puede representar (degeneracin) dos rectas, un punt o o rectas imaginar ias.6. Hallar la naturaleza de la curva representada por la ecuacin : 4x2 -4xy +y2 -6x + 3y + 2 = O.

Como 81

4A C = 16 - 16 = O, puede ser una parbola.

-Agr upando trminos, esta ecuacin se puede descomponer en factores.(4x2 -4xy + y2) -3(2x - y) + 2 = O,(2x -y)2 -3( 2x -y) + 2 = O,(2x -y - 1) (2x -y -2) = O.Se trata de las dos recta s paralelas , 2x -y - 1 = O y 2x -y - 2 = O.7. Determinar la nat uraleza del l ugar geomtrico representado por la ecuacin 9x2 - l 2xy + 7y2 + 4 =0.En este caso, 82 -4AC = (144 -252) < O, que es la condicin necesaria para Ja el ipse.Sin embargo. escribiendo esta ecuacin en la for ma(3x -2y)2 + 3y2 + 4 .....,. Ose observa q ue no se satisface para valores reales de x e y . Por canco, el l ugar en cuestin es ima ginario.Otro mtodo consiste en despejar y en funcin de x,

+ 12x v{l2x)1-4(7)(9x1+ 4)y =2(7)

+ 6x v-(27x1 + 28)1

El luga r geomtrico dado es imaginario para todos los valores real es de x.8. El im inar los trmin os de primer grado en la ecuacin 3x2 + 4y2 - 1 2x + 4y + 13 = O.Sumando y restando t rminos. pa ra completar cuad rados, 3(x2 - 4x + 4) + 4(y2 +y + !) = O,o sea. 3(x -2)11 + 4(y + )2 = O.H aciendo x - 2 = x' e y + != y' se obtiene 3x'2 + 4y'2 = O.Esta ecuacin solo se satisface para x' = O. y' = O, q ue es t:l nuevo origen .El l uga r geomtrico repre sentad o por la ecuacin orig111a l se red uce a u n punto (2, -j).

-

70TR ANSFORMACION DE COORDENADAS9. Simplifica r la ecuacin siguiente: 4x2 -4xy + y 2 - 8 \fsx -16\/SI' - O. Como 82 - 4AC = O, puede t rata rse de u na pa rbola .En el caso de la pa rbola. con viene gi ra r los ejes a n tes dt.> efect uar la traslacin .

t g 20 =

-4= - 4 . De donde cos 2() :....:: - 3..

_4135

Como cos 20 = 2 cos2 (J - 1 = -. cos2 fJ = + cos O = -

, ysen () .-...2

5

= -- - --...x ' - 2y'2x' +y'.Las ecuaciones de la rotac1on son xvsy = - v-s-- Sust11uycndo.

Js

4 ( x'}.v' )2-4(-x'-!y' ) (2x' :y' ) + (2x' +y ' )2-8v'5 ( x' -!y' ') - 16 v'5 ( 2x'-y') = O. v 5,15v sv'5v'5v'5Desarrollando y simpl i ficando se obtien e y '2 - 8x' = O, q ue es u na pa r bola .

1j

X

Prob/e111a. 9Problema !U

10. Simplifica r la ecuacin xy -2y -4x = O. Hacer un esquema con los t res sistemas de ejes.Como 82 -4AC = 1 > O, la curva, si existe, es una hiprbola . Sustit uyendo x = x' + h, y = y' + k . se obt iene .(x' + h) (y' + k ) -2(y ' + k ) -4(x' + h) = O, o bien,x'y' + (k -4)x' + (h -2)y"+ hk -2k - 4/i = O. Para k = 4, h =- 2, se llega a la ecuacin x' y' "" 8.Para hallar el ngulo de la rotacin :r.g 20 == l"lV, 20 = 90", O = 45.

1Luego x' = x "-:iy" , y' = x ":.y (,

" ) (:'"' , /'' ) = 8.

Simplificando, la ecuacin final es x "2 -y" 216, una h i prbola eq u iltera.

ll. Hallar la ecuacin de la cn ica q ue pasa por los pu n t os (1, 1 ). (2, J), (3, -1 ), (-3. 2), (-2. -1 ).Divid iendo po r A la ecuacin genera l de segu ndo grado,x2 + B'xy + Cy 2 + D'x + E'y -1- F' = O.

TR ANSFOR MACION DE COOR DENADAS71

Sust it uye ndo las coo rd enadas de los pu nt os por x e y,8' -1C + f)' ! E' -! F'-168' + 9C r 20' + JE ' -1 F' = -4-38' + C + JO' - E ' 1 F' =- -9-68' 14C -30' + 2E' + F' = -928' 1 C -20' - E' + F' - -4

JReso1v1.cn do eI s.istema. 8. = 98 (" = 91 3 f. . = -91 . E- = T19 F' ...:: - -292 Sustit uye ndo estos valores en la ecuacin original y simpl ifica ndo resulta9x2 + 8xy - 1 3y2. + 19y - 22 - 0.Como 82 -4 AC = (64 I 468) > O. la cn ica es u na h i prbola .yOtro mt odo de resolver esle problema es el siguien te.La ecuacin de la recta AB es x - 5y + 13 = O. y l a de CDes y -1 1 = O. La ecuacin de este par de recta s es (y f- 1 ) (.\ -5y+ 13) = X )' - 5y2 + x .... 8y + 1 3 = 0.Anl ogamen te. la ecuacin d el par de rectas A f) y BC es 12.\'2 + 7xy 1y 2 - 5x -4y - 77 = O.La fa mil ia de cu rvas q ue pasa n por los puntos de in terseccin de estas rectas e

xy - 5y2 L x ,- 8y + 1 3 -+ k( l 2x2 + 7xy +. y 2 - 5x -4y -77 ) = 0.

Pa ra determi nar la curva de esta fa mil ia q ue pase por el q u in to pun to ( l . 1), se sustit uyen x e ypor las coordenada s de sle y se despeja el valor de k ; se obtiene k = 311 1 .Pa ra este valor de k . la ecuacin es9x2 + 8xy - 1 3y2 -x + 19y -22 = O.

PROBLEM AS PROPU ESTOSl. Apl icando las frm u las de la traslacin de ejes. x =- x ' + h. y = y ' + k , red uci r las ecuaciones si gu ientes a su forma ms simple y establecer la n aturaleza de la figu ra q ue representan.a) yz -6y -4x + 5 = O.Sol. y 2 = 4x. Parbola .h) "2 + y2 + 2x -4y -20 "-'" O.Sol . x2 + y2 = 25. Ci rcunferencia.l)Jx2 -4y t -j 1 2x + 8y -4 = O.Sol.Jx2 -4y2 = 12.H i prbola .

e/)2x2 + 3y2 - 4x t- l 2y -20 = o.Sol .2xt + 3y2 = 34. Elipse .

e)x2 + 5y 2 + 2x -20y + 25 = O.Sol.x2 + 5y2 + 4 = O. El i pse imaginaria.

2.Eliminar los trm i nos de primer grado de las ecuaciones siguientes com pletando cuadrados perfectos.a)x2 + 2y2 -4x + 6y -8 = O.Sol. 2x2 + 4y2 = 33.

,,)3x2 -4y2 -,. 6x -8y - 10 = O.Sol. 3x2 _ 4y2 = 9.

e)d)2x2 + 5y2 - 1 2x + I Oy - 1 7 = O.3x2 + 3y2 - 1 2x + 12y -J = 0.Sol. 2x2 + 5y2 = 40.Sol. 3x2 + 3y2 = 25.

72TRANSFORMACI ON DE COORDENADAS

3. Por medio de u na t ra slacn de ejes. eli mi nar los trmnos de primer grado de la ecuacin 2xy -x -y+ 4 = O.Sol . 4xy + 7 = O.

4. Por med io de u na traslacin de ejes. el im inar los trm inos de pri mer grado de la ecuacin x2 + 2xy+ 3y 2 + 2x -4y - 1 = O.Sol. 2x2 + 4xy + 6y2 - 1 3 = O.

S. Halla r la nat uraleza de las cnicas siguien tes ten iendo en cuenta el valor del d iscri mi nante 82 -4AC.a) 3x2 - 1Oxy + 3y2 + x -32 = O.Sol . Hi prbola .h) 4 1x2 -84xy + 76y2 = 168.Sol .El ipse.e)1 6x2 + 24xy + 9yi - 30x + 40y = O.Sol . Parbola.d) xy + x -2y + 3 = 0.Sol . Hipr bola.e) x2 -4xy + 4y2 = 4.Sol.Dos rectas paralelas.I.

6. Por medio de una rotacin de ejes, sim pl ificar la ecuacin 9x2 + 24xy + l6y2 + 90x - l 30y = Oy hallar la nat uraleza de la figura que representa.Sol. x2 -2x -6y = O.Parbola.l7. Por med io de una rotacin de ejes de valor O = are tg, simplificar la ecuacin9x2 + 24xy + 16y2 + 80x -60y = O.

lllHacer u n esquema con am bos sistemas de ejes.Sol. x2 -4y = O.

'.j

t' t18. Sim.plficar las ecuacones sigu ientes por med io de una t ransformacn adecuada de ejes y d i bujar la figura q ue representan as como los sistemas de ejes.a) 9x2 + 4xy + 6y 2 + 1 2x -t 36y + 44 = O.Sol. 2x2 t yz2.h) xz - 1Oxy + y 2 + x + y + 1 = O.Sol .32x2 -48y2 = 9.e) 17x2 - 1 2xy + 8y2 -68x + 24y - 12 = O.Sol. x 2 + 4y2 = 16.d) 2x2 + 3xy + 4y2 + 2x -3y + 5 = O.Sol.1m.aginaria.

'!.9. Hal lar la ecuacin de la cnica q ue pasa por los puntos (5. 2), (1, -2), (-1. 1), (2, 5) y (-l,-2).Sol. 49x2 - 55xy + 36y2 - l I Ox - 19y -231 = O. Eli pse .

110. Hallar la ecuacin de la cn ica q ue pasa por los pun t os (1, 1 ), (-1, 2), (0, -2), (-2,-1), (3, -3).ISol.1 6x2 + 46xy + 49y 2 + 1 6x + 23y - 1 50 = O. El i pse.

11. Halla r la ecuacin de la cnica q ue pasa por los puntos (4, 1), (2, 2), (3, -2), (4, -1), (1 , -3).Sol.1 7x2 - 1 6xy + 54y2 + ll x + 64y - 370 = O. El ipse.

12. Hallar la ecuacin de la con1ca q ue pasa por los puntos (1, 6), (-3, -2), (.-5, 0), (3, 4), (O, 10)Sol. xy -2x + y - 10 = O.Hiprbola.

_.::.

CA PITU LO9

Coordenadas polares

COOR DENADAS POLA R ES. En l ugar de fijar la posicin de un pu nto del plano en funcin de sus d istancias a dos rectas perpendiculares es preferi ble, a veces, hacerlo en fu ncin de su d istancia a u n pun to fijo y de la d ireccin con respecto a u na recta fija q ue pase por este pu n to . Las coordenadas de u n pu n to, en esta referencia, se llaman coordenadas polares.El pun to fijo O se denomina polo y la recta fija OA se llamaeje polar.Las coordenadas polares de un pu nto P se representan por

(r; O), siendo r la distancia OP y O el ngulo AOP. La d istancia r medida desde O hasta P es positiva. I gual q ue en trigonomet ra , el ngulo () es positivo cuando se mide en sen tido cont rario al de las agujas del reloj; r es positivo cua ndo se mide desde el polo al pun to, 'X _negativo en caso con trario .Si r y O estn relacionados por u na ecuacin cualq uiera , se pueden asignar valore s a O y determi nar los correspondientes de r.Los puntos que resultan constituyen u na l nea, recta o cu rva, defi nida.

P(r.e)

oA

...

SI METRIAS. Igual q ue ocu rre en el caso de coordenadas cartesianas rectangulares, cua ndo se emplean coordenadas polares tambin se dispone de criterios para averiguar las si m etras q ue puede presen tar una l nea o l ugar geomtrico cualq uiera .Si la ecuacin no se mod ifica a l sustit ui r O por -0, la cu rva es si mtrica con respecto al eje pola r.La cu rva es simtrica con respecto a la perpendicular al eje polar q ue pasa por el polo cuando la ecuacin no va ra al susti tu i r () por n -O .U na cur va es simtrica con respecto al polo cuando la ecuacin no va ra al sus1i1ui r rpor -r, o cuando se sustituye O por n + O.'

RELA CION ENTR E LAS COO R DEN A DAS R ECTA NG U LA R ES Y POLA R ES.Consideremos al pun to P(r ; O) y su pongamos q ue el eje

polar OX y el polo O son, respectivamente, el eje x y el origen de un sistema de coordenadas recta ngulares . Sean (x. y ) las coordenadas recta ngulares del mismo pu n to P. En estas con-dicione..s,

yp(x,y'.{r,8)

x = r cos O,ryy = r sen O,r = y'X2 + y2,XX! 'yO = are tg X .X

73

PROBLEMAS RESUELTOS

Como se conocen dos lados de un tringulo y el n gu lo q ue forman, el tercer lado se puede determinar me d iante el teorema del coseno.

X2. Hallar la d ista ncia entre los pun tos (6; 1 5) y (8: 75).

Apl icando la frm ula del Problema 1, d = V6'+ 81-2(6) (8) cos (75" - 15)= v'36 + 64 -96(!) = 2v'l3.

3. Hallar la ecuacin en coordenadas polares de la circunferencia de centro (r1 ; fJ1) y radio a.Sea (r ; 0) un punto genrico cua lquiera de la ci rcunferencia.

2Del tringu lo de Ja figura se obtiene la ecuacina2 = r2 + r1 -2rrl cos (fJ - 01)o bien,

X

74COOR DENA DAS POLAR ES

Problema 3

Problema 4

4.Ha l lar la ecuacin de Ja circunferencia de centro (a ; O) y rad io a.

Se tiene. 01 = O. Del tringulo se ded uce, a2 = r2 + a2 -2ra cos fJ.Luego la ecuacin ped ida es r2 = 2ar cos O o r = 2a cos O.

5.Halla r el rea del tringulo cuyos vrtices son los pun tos (O ; 0), (r, ; O,) y ola r y el menoscuando est por debajo.

21 . Hallar la nat u raleza de las cn icas sigu ientes q ue t ie nen un foco en el polo. Hall ar e y situar la di rect riz en funcin de sus direccin con respecto a l eje polar y su d istancia al polo ......

4 a) r = 2 -3 cos () . 2 h) r = 1 -cos o . 6 e) r = 2 -sen O

Sol.Hiprbola ; e = 3/ 2; una d irect riz perpend icu lar al eje polar y a 4/ 3 unidades de! foco correspond ien te.Sol.Parbola ; e = 1 ; d i rectriz perpend icular al eje polar y a 2 unida des a la izq uierda del foco.

Sol. El i pse; e = ; d irect riz para lela al eje polar y a 6 u nidades debajo del polo.

22. Identificar y dibuja r las cn icas sigu ientes :

4a) r = 2 +cos (J ;

5b) r = 1 -cos O- ;

2e)'= 2 +-3 sen O

23. Hallar la ecuacin polar de Ja el i pse 9x2 + 16y2 = 144.Sol. r2(9 cos2 0 + 16 sen2 0) = 144.24. Pasar a coordenadas polares : 2x2 -3y2 -x +y = O.cos

O -sen 8

Sol. ' =

2 coso -3 sen2ff

En los Problema s 25-30 pasa r las ecuaciones a coorde nadas polares.25. (x2 +y2 )2 = 2a2xy.Sol. r 2 = a2 sen 20 .

26.

xs

17. (x2 + y2)3 = 4x2y2.Sol.r2 = sen2 20.J28. x -3y = O.29. x + x'yt -(x + y)2 = O.30. (x' + y)' = 16x2y2(x2 -y2)2.Sol. Sol.Sol.O = are 1g 1/ 3.r = l ( 1 -t tg fJ).r = :t- ese 40.y = 1a=- x

Sol. r = 2a sen O tg O .

31 . Pasar a coordenadas polares la ecuacin de la recta q ue pa sa por dos puntos y demostrar que la.. :.:acin polar de la recta que pasa por (r.; o.) y (r2 ; 02) esrr 1 sen( O - 01) + r1r2 sen({J1 - O) + r r sen(O, - 0) = O.

32.

42Pasar R coordenadas polares y s1 mp1L11car. supnm 1en do 1os rad.1ca1es, 1a ecuac1'6n (x - >25

+2>' =.9

--1Sol . r =

9., o .r =

-9. Por q u son idnticas estas ecuaciones?

5 -4 cos 8

bien,

5 + 4 cos 0.

mr

COOR DE NMJAS POLA R ES83

E n los Problema s 33-39. pasa r las ccuacione a coo rdenadas pola res.

33. r - 3 cos O.Sol . xz -i. y2 - J x = O.34. r - 1 - cos O.Sol. (xz + )'2 + x )2 -: \'2 +yi .35. /' -= 2 cos {) 1- 3 sen O.Svl. x2 + y 2 -2x - 3y =, O.36. () = 45Sol. .\' -.)' = o. J

+ JO x - -37. r =

Sol. 4 .,5yZ + 1 8y -9 = o.2sen

38.

r --= nO.Sol.Vx2 -r y 2 = a a re tg \/

-X

39. ri - 9 cos 20 .Sol. (x2 + y2)2 == 9(x2 _ y2) .40. Ha llar los pun tos de interseccin de los pares de curvas siguientes: r - 4(1 + cos 8) = O,r(I -cos O) = 3.Sol. (6. 60 }(2, 1 20 ). (2, 240"'), (6. 300).41. Hallar los puntos de i nterseccin de las curvas : r ="' v2 cos O, r = sen '20.Sol . ( l . 45). (O. 90 ). (--1 , 1 35'').

42. Halla r los pu n tos 1.k in tcrcccin de las curvas : r = 1 + cos O,Sol.(1 +l , :::45')(1 ---..;; . : 135)

I

2(0) .r = -----1 -cos

43. Hal lar los p u ntos de i n terseccin de la s curvas : ,. = \ 6 cos , r2 == 9 cos 20.

Sol.(]_

2 .Jol (- 3

. I SO'). (-22", 210 ). ( 3 2

, 330).

44. Dibuja r la curva de ecuacin r = 4 sen 20.

45.

D1'bU.Jar 1a curva de ecuac.1o,n r =--= --9 -- .

446. Dibujar la curva ,. = 2(1 + sen 0).47. Di bujar la curva r2 = 4 sen 20.48. Dibujar la curva r = 1 + 2 sen O.49. Dibujar la espiral rO = 4.

--5 cos 0

50. Deducir la ecuacin polar de la el ipse cuando el polo es el centro. lnd .: Aplicar el teorema del cosenoy la propiedad de q ue la suma de los rad ios focales es igua l a 2a.Sol. r2( 1 -e2 cos2 0) = b2

..51.(

f..>

51.

Un segmento. de 20 un idades de longitud, tiene sus ext remos sobre dos rectas perpendiculares. Halla r el l ugar geomtrico de los pie s de las perpendiculares trazadas desde el punto de interseccin de las recta s fijas a la recta de lon git ud constante. Tmese una de las rectas fijas como eje polar. Sol. r =- JO sen 20 .

Hallar el luga r geomt rico del vrtice de un t ringulo cuya base es una recta fija d!! longitud 2b y el producto de los otros dos lados es b2 Tmese la base del t ringu lo como eje polar y el polo en su punto medio. Sol. r2 = 2b2 ccs2 fJ. Esta curva es la lemniscata.

CA PI TU LO10rrangenles y norrna les

TA NGE NTE Y NOR M A L. La definicin de la ta ngente a u na cu rva en un o de su s pu ntos es como sigue : Sea n P y Q dos pu n tos de la cu rva y t ra cem osJa secante PQ . Si el pu n to Q se despla za a lo largo de la curva hacia P , la seca n te PQ i r gi ra ndo al re dedor de P, y cu a ndo Q t iend a a confu nd i rse con P, la secan te PQ coincide, en el l mite, con la recta PT q ue se lla ma tangente a la cu r va en P.La normal PN a u n a cu rva es la perpend iculara la tangen te en el pu nt o de conta cto P.Para hallar la ecua cin de la t a nge n te a la curva en uno de su s pu n t os, P1(x 1 y1 ), hay q u e de t ermi na r la pend ient e de d icha ta ngen te.Ejem plo: H alla r la pend ient e de la t a ngente a la circu nferencia x2 1- y2 = r2 en el pu nt o P1( X ,, y ,).Sea Q( \"1 -L h. y, t- k ) ot ro pu n to cua lq uiera de la circu nferencia . La pend iente de la !>ecante es k fh. Al gira r la tange n te al rededor de P., el pu nto Q tiende hacia Pi. y l os va lores de k y h lo hacen hacia cero . La pend ien te m de la t a ngen te es el lmite de la relacin k/ h cua nd o am bos t ienden a cero.Como (x ,, y1) y (x1 + h. y, + k) pertenecena la ci rcu nferenci a. estas coord enadas deben a t is facer a la ecuacin de aq u lla ; susti t uyend p va lores se obtiene(!) x: + y,2

y

T

X

y-Q (x, h.y,k)T

o

1y(2) (x, + '1)2 1 (.1 1 + k )2 = r2,o bien ,xr2hx

+ h2 1- y + 2k y , f- k 1 = r 2

Restand o (1) de (2). resulta ?hx, f /2 L. 2ky , + k2 = Oo bien, k ( 2y, + J..) = -J1(2x1 ,h).

1\k2x 1 l h

Por tan to, ,,1

2y , 1 ,_ El limi t e de esta ex presin cua ndo h y k t iend en a cero

-es - 2x1 , o sea, m = - x 12Y1Y 1Como la tangen te pa sa por P 1(x 1 y1) u ecuacin ex ,

J1- r= - -(x - x ,). Y iQuitando denominad ores,y 1y -y: - -x1x + x . o bien,X1X j ,l'i,l' - X + y = r 2.

84

l

TANGENTES Y NORMALES85

La ecuacin de la normal es y -y1 = Y1 (x -x1),X1o bien, XiY -y 1x = X1Y1 -X iY1 = O.

PROBLEMAS RESUELTOS

l.Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normalyxiy2

a la elipse+ b

= 1 en el punto P (x1, y 1).

a2.Sea Q un punto de coordenadas (x1 + h, y1 + k). Sustituyendo tas coordenadas de P1 y Q en la ecua cin dada,

(1)

xra?.

YT -

1 y+b2 -X

( )(x1 + h)'l + (y1 + k)2 = l.2a1b2Desarrollando (2) y restando ( 1) de (2), 2b2hx1 + b2h2 + 2a2ky 1 + k2a2 = O..kb2(2X1 + h)

2Despejando, Ti = - a2( y1

+k) ,

a y,Teniendo en cuenta y -y1 = m( x -x1) resulta y -y1 = - b:x i (x -x1)o biena2yy -a'yr = -b2x,x + b2xf .Como bixr +aty = a'b'. se iene b'x1x + a2y 1y = a2b2, o bien, X i: + _Y { = 1 , que es laecuacin de la tangente.2

,La pendi ente de la normal es b/1

y su ecuacin a2y 1x -b2x1y = (a2 -b2)XtY1

Xi

2. Hallar las ecuaciones de!a tangente y de la normal a lay parbola y = 4ax en el punto Pi(x 1 y 1).Sustituyendo t as coordenadas de P1(x1, y1) y Q(x 1

1+h, y

+ k) en la ecuacin dada,yf = 4ax 1 y (y 1 + k)2 = 4a(x 1 + h).

Desarrollando y despejando el valor k/ h,

k4ak1 4a1

= -2a .

1h = 2y1 + k ' yim. h = tm. 2y +kLa ecuacin de la tangente es

)'

y -y 1 = 2a (x - x1),o bien, y 1y -y f = 2ax - 2ax 1)'Como y = 4ax 1, esta ecuacin se puede escribiren ta formay 1y = 2a(x + x1).La pendiente de la normal es -y su ecuacin, y 1x + 2ay = XiY 1 + 2aY1

86TANGENTES Y NOR MA LES3. Hallar la ecuacin de la tangente a la curva xy = a2 en el punt o P1(x1, yi).Sust ituyendo las coord enadas de los puntos P1(x1 y 1)y Q(x 1 + h. y 1 + k ) en la ecuacin dada, y despeja ndo e lvalor k/ h,! _ _ Y1 + kylim. .!!_ = _ lm. Yt + k_ = _ Y1.h -x1JiX1X 1La ecuacin de la tangente es

Y11- v = - Yt (x -x ) ; Xq uitando denominadores, x 1y - X 1Y1 = -y.x + X1Y 1

/o bien. y 1x + x 1y = 2x,y, = 2a2,q ue se puede escri bi r ()'x +x ,y ) = a2 Asi , pue s, para establecer la ecuacin de la tangen te en un pun to P1(x1 y1) de una cu rva dad a por una ecuacin de segu ndo grado ba sta con su stit ui rx2 por x,x. y2 por }' iJI, xy por(y 1x + x 1y), x por Hx + x ,) e y por HY +y 1).

4. Sea P 1T y P1N las longit udes de la tangente y de la n ormal,yrespectivamen te, a u na cu rva en el punto P1 Las proyec ciones ST y SN se denominan subta ngcntc y !>ubnorrnal.respecti vamen te, en P1Llama n do m a la pend iente de la tangt> nte en P,(x 1 y 1).

resulta

e

-2'..!. = longit ud de ubtangente,my 1m = longitud de subnorma l.

Esto es ev .

e ya que ST

= -cot O = - 1

y S T = - Y 1 .

ident-Y1

-/11

111

Tambi n, SN = -cot = -cot(O -90'') = t g O = 111 y SN == 111y1.Y 1

Las subtan gente y subnorma l se miden en sen t id os opu est os, es deci r, son de signo contrario.1Para ha llar las longit udes de la ta ngente y de la n ormal se a pl ican las relaciones pi t agricas enun tringu lo rectngulo.

5. Hallar las pendi entes de la tangente y de la norma l a la circunferencia x2 +yt = 5 en t:I punto (2. 1).1Teniendo en cuen ta que 111 = -2, la pend iente de la t a ngente es - 3 y la corre;;pondien te de

la normal vale

-1 .2

J"11

26. H allar las pendientes de la tangente y de la n ormal a la el i pse ;

:: - 1 en el punto (2. -4 2).

es ma2x 1La pend iente de la tangente= - h2y,

Sustituyend o las coordenadas del punt o dado.

16(2)svs.3 vs

111 = -

( VS/ J ) = - -9 4

--, y la pend iente de la normal--. 158

TANGENTES Y NORMALES877. Dem ostra r q ue Ja pendien te de la ta ngen te a la cu rva 4x 1 4xy 1 y 2 -9O en un punt o cual- quiera de dla es 111 - -2.

Tomcmo los dos pun t os P,(x y ) y Q( x

-! h. y

1- k ) , y h allem :>s e l lm it e de k .

1111h

2Sust it u yendo . ( 1 ) 4(x 1 -l hf -l 4(x1 1 /) (y1 1- k ) ! (y1 k )( 2) 4x __ 4_,1y1 -1 J'I -9O.Desarro lla nd o ( 1 ) y restand o (2) de d icho desarrol lo..k8x1 -t- 4y 1

+li m . - ------2./4.\ 12)'1

- 9 - O y

Orro 111r odv. La ecuacin or igi nal se puede escri bi r en la for ma (2.\' i y )2 -9 = O.Descom poniendo en factores. (2x + y + 3) (2x \- y - 3) = O. q ue son dos rectas pa ra lelas de pe nd il!nt e igu a l a -2.8. Hal la r la pend ien te de la ta ngente a la h i prbola 9.\ 2 -- 4y2 .-= 36 en el pu n to (3.-3ys ).Tomem os lo dos pun t os P1(.\1, y 1 ) y Q(.\ 1 + /1. y 1k ). y h alle1 10!> el lmite de. Sust i t u yend o. ( 1 ) 9(x 1 f- /) -4(y1 -! k)2 == J6 y (2) 9xr - 4Ji -- 36.

.i