int. a analise funcional german lozada cruz unesp

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAInstituto de Biociencias, Letras e Ciencias Exatas-IBILCE

Departamento de Matematica

INTRODUCAO A ANALISE FUNCIONAL

Notas de Aula

german lozada-cruz

2004

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

ii

c©German Lozada-CruzDepartamento de Matematica, IBILCEUniversidade Estadual PaulistaR. Cristovao Colombo, 2265Jardim NazarethSao Jose do Rio Preto-SP15054-000, Brazil

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Sumario

Introducao 1

1 Espacos Metricos 31.1 Definicao e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Abertos, fechados e vizinhancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Sequencias e completamento de espacos metricos . . . . . . . . . 111.4 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Espacos Normados 292.1 Espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Espacos normados e de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Exemplos de espacos de Banach . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Compacidade e dimensao de espacos vetoriais . . . . . . . . . . 412.4 Operadores e funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Espaco dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6 Lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Espacos com produto interno e de Hilbert 713.1 Espacos com produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.1 Exemplos de espacos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Complementos ortogonais e somas diretas . . . . . . . . . . . . 783.4 Conjuntos e sequencias ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . 843.5 Sistemas ortogonais completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6 Representacao de funcionais em espacos de Hilbert . . . . . . . 943.7 Adjunto de um operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.8 Lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Aproximacao de Funcoes Contınuas por Polinomios 1054.1 Teorema de Weirstrass classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2 Teorema de Stone-Weirstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

iii

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

iv SUMARIO

4.3 Teorema de Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.1 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5 O Teorema de Baire 1135.1 O teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Consequencias do Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.2.1 O teorema da aplicacao aberta . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.2 O teorema do grafico fechado . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3 O principio da limitacao uniforme . . . . . . . . . . . . . 1175.2.4 O teorema de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3 Lista de exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Referencias Bibliograficas 121

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Introducao

Estas notas de aulas foram preparadas para ministrar a disciplina Introducaoa Analise Funcional para o curso de Bacharelado em Matematica.

Na elaboracao seguimos de perto o livro de Kreysizg [4], usamos as notasde A. N. Carvalho [2], como tambem ...

1

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

2 Introducao

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Capıtulo 1

Espacos Metricos

1.1 Definicao e exemplos

Definicao 1.1.1 (Espaco metrico) Um espaco metrico e um par ordenado(X, ρ), onde X e um conjunto nao vazio com uma funcao ρ : X ×X → [0,∞)satisfazendo

i) (nao-degeneracao) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y

ii) (simetria) ρ(x, y) = ρ(y, x), para todox, y ∈ X

iii) (desigualdade triangular) ρ(x, z) 6 ρ(x, y)+ρ(y, z), para todox, y, z ∈ X.

A funcao ρ e chamada uma metrica em X e o numero real nao negativoρ(x, y) e chamado a distancia de x a y.

Os elementos de um espaco metrico podem ser de natureza bastantearbitraria: numeros, pontos, vetores, matrizes, funcoes, conjuntos, etc. Masnos os chamaremos sempre os pontos de X.Exemplos:Exemplo 1. Se X e um conjunto nao vazio qualquer definimos ρ : X ×X →[0,∞) por

ρ(x, y) =

1, se x 6= y0, se x = y.

A funcao ρ e uma metrica chamada metrica discreta e (X, ρ) e um espacometrico.Exemplo 2. Subespaco: metrica induzida. Se (X, ρ) e um espaco metrico,todo subconjunto S ⊂ X pode ser considerado, de modo natural, como espacometrico: basta considerar a restricao de ρ a S × S, ou seja usar entre oselementos de S a mesma metrica que eles possuıam como elementos de X.Quando isto e feito, S chama-se um subespaco de X e a metrica de S diz-se

3

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

4 1.2. Abertos, fechados e vizinhancas

induzida pela de X. Esta ideia obvia nos permite obter uma grande variedadede exemplos de espacos metricos, considerando os diversos subconjuntos de umespaco metrico dado.Exemplo 3. Consideremos o espaco euclideano Rn e definamos a seguintemetrica ρp : Rn × Rn → [0,∞) definida por ρp(x, y) := ‖x − y‖p, x, y ∈ Rn

onde

‖ξ‖p =( n∑

i=1

|ξi|p)1/p

, ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn, 1 6 p < ∞

‖ξ‖∞ = sup|ξi| : 1 6 i 6 n

, ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn.

(1.1.1)

Entao (Rn, ρp) e um espaco metrico, 1 6 p 6 ∞.Exemplo 4. Seja

lp =x = xn ∈ Rn(ouCn) :

∞∑n=1

|xn|p < ∞, 1 6 p < ∞, e

l∞ =x = xn ∈ Rn(ouCn) : sup|xn| : n ∈ N < ∞

.

(1.1.2)

Em lp, definimos

‖ξ‖p =( n∑

i=1

|ξi|p)1/p

, se 1 6 p < ∞ e

‖ξ‖∞ = sup|ξi| : n ∈ N

.

(1.1.3)

Se ρp : lp × lp → [0,∞) e definida por ρp(x, y) = ‖x − y‖p, 1 6 p 6 ∞, entao(lp, ρp) e um espaco metrico.Exemplo 5. Consideremos C([a, b],R) =

f : [a, b] → R : f e contınua

.

Definamos a metrica ρ : C([a, b],R) × C([a, b],R) → [0,∞) por ρ(x, y) =‖x − y‖∞, x, y ∈ C([a, b],R) e ‖ξ‖∞ = sup|ξ(t)| : t ∈ [a, b] para todoξ ∈ C([a, b],R). Esta metrica e a chamada metrica da convergencia uniforme,ou metrica do sup.

1.2 Abertos, fechados e vizinhancas

Definicao 1.2.1 Seja (X, ρ) um espaco metrico. Dado um ponto x ∈ X er > 0,• B(x, r) = y ∈ X : ρ(x, y) < r, e chamado bola aberta de centro em x eraio r.• B[x, r] = y ∈ X : ρ(x, y) 6 r, e chamado bola fechada de centro em x eraio r.• S(x, r) = y ∈ X : ρ(x, y) = r, e chamado esfera de centro em x e raio r.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

1. Espacos Metricos 5

Note que B[x, r] = B(x, r)∪S(x, r) (∪ significa uniao disjunta).Exemplo 6. Seja X um espaco metrico munido da metrica discreta. Paratodo a ∈ X, tem-se B(a, r) = B[a, r] se r > 1 e B(a, r) = B[a, r] = ase r < 1. Por outro lado B(a, 1) = a e B[a, 1] = X. Consequentemente,S(a, r) = ∅ se r 6= 1, enquanto S(a, 1) = X\a.

Seja Y ⊂ X um subespaco do espaco metrico X. Para cada a ∈ Y e cadar > 0, seja BY (a, r) a bola aberta de centro a e raio r, relativamente a metricainduzida em Y . Tem-se BY (a, r) = B(a, r) ∩ Y , onde B(a, r) e a bola abertade centro a e raio r no espaco X. Analogamente, valem BY [a, r] = B[a, r]∩ Ye SY (a, r) = S(a, r) ∩ Y .

Assim, por exemplo, no cırculo unitario S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1,uma bola de centro a e um arco de cırculo cujo ponto medio e a.

Definicao 1.2.2 (Conjunto aberto) Um conjunto U ⊂ X e dito aberto em(X, ρ) se para cada x ∈ U existe r = rx > 0 tal que B(x, r) ⊂ U .

Lema 1.2.3 Seja (X, ρ) um espaco metrico e x0 ∈ X. Entao para qualquerr > 0, a bola aberta B(x0, r) de raio r e centro em x0 e um conjunto abertoem X.

Demonstracao. Seja x ∈ B(x0, r). Queremos mostrar que existe δ > 0 talque B(x, δ) ⊂ B(x0, r). Como d(x, x0) < r, escolhemos δ = r− ρ(x, x0). Alemdisso se x′ ∈ B(x, δ) entao

ρ(x′, x0) 6 ρ(x′, x) + ρ(x, x0) < δ + ρ(x, x0) = r,

portanto x′ ∈ B(x0, r). Assim B(x, δ) ⊂ B(x0, r), mostrando que B(x0, r) eum conjunto aberto, como querıamos

Lema 1.2.4 Seja (X, ρ) um espaco metrico e x0 ∈ X. Entao para qualquerr > 0, o conjunto x ∈ X : ρ(x, x0) > r e um conjunto abeto em X

Demonstracao. Seja x ∈ X satisfazendo ρ(x, x0) > r e seja x′ ∈ X umponto qualquer satisfazendo ρ(x′, x) < δ, onde δ = ρ(x, x0) − r. Entao peladesigualdade triangular temos

ρ(x, x0) 6 ρ(x, x′) + d(x′, x0),

e portanto

ρ(x′, x0) > ρ(x, x) − ρ(x, x′) > d(x, x0)− δ = r.

Assim B(x, δ) ⊂ x′ ∈ ρ(x′, x0) > r como querıamos.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Proposicao 1.2.5 Seja (X, ρ) um espaco metrico. A colecao de conjuntosabertos de X tem as seguintes propriedades:

i) ∅, X sao conjuntos abertos,

ii) a uniao de qualquer colecao de conjuntos abertos em X e um conjuntoaberto,

iii) a intersecao de qualquer colecao finita de conjuntos abertos em X e umconjunto aberto.

Demonstracao. i). O conjunto ∅ e aberto por convencao. Alem disso adefinicao de conjunto aberto e trivialmente satisfeita pelo conjunto X.

ii) Seja A uma colecao qualquer de conjuntos abertos em X, e denotemospor U a uniao de todos os conjuntos abertos pertencentes a A. Queremosmostrar que U e um conjunto aberto. Seja x ∈ U . Entao x ∈ V para algumconjunto aberto V que pertence a colecao A. Portanto existe δ > 0 tal queB(x, δ) ⊂ V . Mas V ⊂ U , e assim B(x, δ) ⊂ U . Isto mostra que U e aberto.

iii). Seja V1, V2, V3, ..., Vk uma colecao finita de conjunto aberto em X,e seja V = V1 ∩ V2 ∩ ... ∩ Vk. Seja x ∈ V . Entao x ∈ Vj para todo j, eportanto existem numeros reais positivos δ1, δ2, ...δk tal que B(x, δj) ⊂ Vj paraj = 1, 2, ..., k. Seja δ = minδj : j = 1, 2, ..., k. Entao δ > 0 (Isto e ondenecessitamos do fato que estamos lidando com uma colecao finita de conjuntoabertos). Alem disso B(x, δ) ⊂ B(x, δj) ⊂ Vj para j = 1, 2, ..., k e assimB(x, δ) ⊂ V . Isto mostra que a intersecao V de conjuntos abertos V1, V2, ..., Vk

e um conjunto aberto.

Observacao 1.2.6 Para cada numero natural n, denotemos Vn o conjuntoaberto no plano R2 definido por

Vn = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 <1

n.

A intersecao V = ∩n∈NVn = 0 e a origem e este conjunto nao e umsubconjunto aberto de R2. Isto mostra que a intersecao de um numero infinitode conjuntos abertos num espaco metrico nao e necessariamente um conjuntoaberto.

Definicao 1.2.7 O interior A de um conjunto A ⊂ X e uniao de todos osconjuntos abertos de (X, ρ) contidos em A. Isto e

A =⋃F : F e aberto e F ⊂ A.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 1.2.8 (Conjunto fechado) Um conjunto F ⊂ X e dito fechadoem (X, ρ) se F c = X\F (complementar de F ) e aberto em (X, ρ).

Os seguintes resultados seguem imediatamente do Lema 1.2.3 e Lema 1.2.4.

Lema 1.2.9 Seja (X, ρ) um espaco metrico e seja x0 ∈ X. Dado qualquerr > 0, os conjuntos

x ∈ X : ρ(x, x0) 6 r, x ∈ X : ρ(x, x0) > rsao fechados. Em particular, o conjunto x0 consistindo de um so ponto eum conjunto fechado em X.

Seja A alguma colecao de subconjunto de X. Entao

X\⋃S∈A

S =⋂S∈A

(X\S), X\⋂S∈A

S =⋃S∈A

(X\S)

(i.e., o complemento da uniao de alguma colecao de subconjunto de X e aintersecao dos complementos de aqueles subconjuntos, e o complemento daintersecao de alguma colecao de subconjuntos de X e a uniao dos complementosde estes subconjuntos, de modo que a operacao de tomar complementosconverte unioes em intersecoes e intersecoes em unioes). O seguinte resultadosegue diretamente da Proposicao 1.2.5

Proposicao 1.2.10 Seja (X, ρ) um espaco metrico. A colecao dossubconjuntos fechados em X tem as seguintes propriedades:

i) ∅, X sao conjuntos fechados,

ii) a intersecao de qualquer colecao de conjuntos fechados em X e umconjunto fechado,

iii) a uniao de qualquer colecao finita de conjuntos fechados em X e umconjunto fechado.

Definicao 1.2.11 O fecho A de um conjunto A ⊂ X e a intersecao de todosos fechados de (X, ρ) contendo A. Isto e,

A =⋂F : F e fechado eF ⊃ A.

E claro que A e fechado se e somente se A = A.

Definicao 1.2.12 Um conjunto A ⊂ X e dito denso em X se A = X e nuncadenso se A = ∅.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Vejamos os seguintes fatos sobre a metrica ρ em (X, ρ).

Lema 1.2.13 Para qualquer conjunto nao vazio A ⊂ X, seja ρA(x) =infρ(x, a) : a ∈ A, entao

|ρA(x)− ρA(y)| 6 ρ(x, y) ∀x, y ∈ X. (1.2.1)

Alem disso o conjunto Fε = x ∈ X : ρA(x) > ε e fechado em X.

Demonstracao. Seja a ∈ A e x, y ∈ X, entao

ρ(x, a) 6 ρ(x, y) + ρ(y, a).

Tomando inf sob a na desigualdade acima temos que

ρA(x) 6 ρ(x, y) + ρA(y) ∀x, y ∈ X.

Portanto, ρA(x)−ρA(y) 6 ρ(x, y) e trocando x por y temos que ρA(y)−ρA(x) 6ρ(x, y) o qual implica (1.2.1).

Para mostrar que Fε e fechado em X, vamos mostrar que F cε e aberto em

X, isto e vamos mostrar que F cε = X\Fε = x ∈ X : ρA(x) < ε e aberto.

Dado p ∈ F cε um ponto qualquer, entao ρ(p, a) < ε para todo a ∈ A. Tomemos

δ = ε− ρ(p, a), logo para y ∈ B(p, δ) vale

ρ(y, a) 6 ρ(y, p) + ρ(p, a) < δ + ρ(p, a) = ε.

Logo y ∈ F cε . Com isto mostramos que B(p, δ) ⊂ F c

ε para todo p ∈ F cε .

Corolario 1.2.14 A funcao ρ satisfaz

|ρ(x, y)− ρ(x′, y′)| 6 ρ(y, y′) + ρ(x, x′)

e em particular ρ : X ×X → [0,∞) e contınua.

Demonstracao. Pelo Lema 1.2.13 para um conjunto formado por um soponto e pela desigualdade triangular para o valor absoluto de numeros reais,temos

|ρ(x, y)− ρ(x′, y′)| 6 |ρ(x, y)− ρ(x, y′)|+ |ρ(x, y′)− ρ(x′, y′)|6 ρ(y, y′) + ρ(x, x′).

(1.2.2)

Lema 1.2.15 Seja A um subconjunto fechado de X e Fε ⊂ X como foidefinido no Lema 1.2.13. Entao Fε → Ac quando ε → 0.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. E claro que ρA(x) = 0 para x ∈ A de modo que Fε ⊂ Ac

para cada ε > 0 e portanto ∪ε>0Fε ⊂ Ac. Agora suponhamos que x ∈ Ac ⊂ X,logo existe um ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ Ac, i.e., d(x, y) > ε para todo y ∈ A.Portanto x ∈ Fε e portanto temos mostrado que Ac ⊂ ∪ε>0Fε. Finalmente eclaro que Fε ⊂ Fε′ sempre ε′ 6 ε.

Definicao 1.2.16 (Vizinhanca) Seja (X, ρ) um espaco metrico e seja x ∈X. Um subconjunto N ⊂ X e dito uma vizinhanca de x ( em X) se e somentese existe algum δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ N .

Segue diretamente a definicao relevante que um subconjunto V de umespaco metrico X e um conjunto aberto se e somente se V e uma vizinhancade v para todo v ∈ V .

Suponhamos que (X, ρX) e (Y, ρY ) sao dois espacos metricos e f : X → Ye uma funcao.

Definicao 1.2.17 (Funcao contınua) Uma funcao f : X → Y e ditacontınua em x ∈ X se para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que

ρY (f(y), f(x)) < ε sempre que ρX(y, x) < δ.

Uma funcao e dita contınua em X (ou simplesmente contınua) se e somentese esta e contınua em x para todo x ∈ X.

Note que esta definicao de continuidade para funcoes entre espaco metricosgeneraliza a definicao de continuidade para funcoes de uma variavel real oucomplexa.

Lema 1.2.18 Sejam X, Y e Z espacos metricos e sejam f : X → Y e g :Y → Z funcoes contınuas. Entao a funcao composicao g f : X → Z econtınua.

Demonstracao. Denotemos por ρX , ρY e ρZ as metricas em X, Y e Zrespectivamente. Seja x ∈ X um ponto qualquer. Vamos mostrar que g f econtınua em x. Seja ε > 0 dado. Como a funcao g e contınua en f(x), existeη > 0 tal que ρZ(g(y), g(f(x)) < ε para todo y ∈ Y satisfazendo ρY (y, f(x)) <η. Mas entao existe algum δ > 0 tal que ρY (f(x′), f(x)) < η para todox′ ∈ X satisfazendo ρX(x′, x) < δ. Assim ρZ(g(f(x′)), g(f(x))) < ε para todox′ ∈ X satisfazendo ρX(x′, x) < δ, mostrando que g f e contınua en x, comoquerıamos.

Expressando em termos de bolas abertas a definicao de funcao contınua(Definicao 1.2.17), isto significa que a funcao f : X → Y e contınua em x see somente se dado qualquer ε > 0, existe um δ > 0 tal que f leva BX(x, δ)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


na bola BY (f(x), ε) (onde BX(x, δ) e BY (f(x), ε) denotam as bolas abertas deraios δ e ε em x e f(x) respectivamente).

Sejam X e Y conjuntos quaisquer e f : X → Y uma funcao. dado umsubconjunto V ⊂ Y , denotamos por f−1(V ) a pre-imagem de V sob a aplicacaof , definida por

f−1(V ) = x ∈ X : f(x) ∈ V .Proposicao 1.2.19 Sejam X e Y espaco metricos, e seja f : X → Y umafuncao. A funcao f e contınua se e somente se f−1(V ) e um conjunto abertoem X para todo conjunto aberto V de Y .

Demonstracao. Suponhamos que f e contınua. Seja V ⊂ Y um conjuntoaberto. Vamos mostrar que f−1(V ) e aberto em X. Seja x ∈ f−1(V ). Vamosmostrar que existe δ > 0 com a propriedade que BX(x, δ) ⊂ f−1(V ). Comox ∈ f−1(V ) segue que f(x) ∈ V . Como V e aberto, existe ε > 0 com apropriedade que BY (f(x), ε) ⊂ V . Como f e contınua em x, existe um deltaδ > 0 tal que f leva a bola aberta BX(x, δ) na bola BY (f(x), ε). Assimf(x′) ∈ V para todo ’x′ ∈ BX(x, δ), mostrando que B(x, δ) ⊂ f−1(V ). Comisto temos mostrado que se f : X → Y e contınua entao f−1(V ) e aberto emX para todo conjunto aberto V em Y .

Suponhamos que f : X → Y tem a propriedade que f−1(V ) e aberto em Xpara todo conjunto aberto V em Y . Seja x ∈ X um ponto qualquer. Vamosmostrar que f e contınua em x. Seja ε > 0 dado. A bola aberta BY (f(x), ε)e um conjunto aberto em Y (pelo Lema 1.2.3), portanto f−1(BY (f(x), ε)) eum conjunto aberto em X o qual contem x. Segue que existe um δ > 0 talque BX(x, δ) ⊂ f−1(BY (f(x), ε)). Temos mostrado assim que, dado qualquerε > 0, existe um δ > 0 tal que f leva a bola aberta BX(x, δ) na bola abertaaberta BY (f(x), ε). Concluımos assim que f e contınua em x, como querıamos.

Seja F : X → Y uma funcao entre espacos metricos X e Y . Entao apre-imagem f−1(Y \G) do complemento Y \G de qualquer conjunto G de Y eigual ao complemento X\f−1(G) da pre-imagem f−1(G) de G. De fato

x ∈ f−1(Y \G) ⇔ f(x) ∈ Y \G ⇔ f(x) /∈ G ⇔ x /∈ f−1(G).

O seguinte resultado portanto segue diretamente da Proposicao 1.2.19.

Corolario 1.2.20 Sejam X e Y espacos metricos, e seja f : X → Y umafuncao. A funcao f e contınua se e somente se, f−1(G) e um conjunto fechadoem X para todo subconjunto fechado G de Y .

Seja f : X → Y uma funcao contınua entre espacos metricos X e Y . Entao,para qualquer ponto y ∈ Y , o conjunto x ∈ X : f(x) = y e um subconjunto

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


fechado de X. Isto segue diretamente do Corolario 1.2.20 juntamente como fato que o conjunto y consistindo de um elemento so e um subconjuntofechado do espaco metrico Y .

Definicao 1.2.21 Sejam X e Y espaco metricos. Uma funcao h : X → Ye um homeomorfismo se h e uma bijecao e h e h−1 : Y → X sao funcoescontınuas.

Se existe um homeomorfismo h : X → Y de um espaco metrico X emum espaco metrico Y , entao os espacos metricos X e Y sao chamados dehomeomorfos.

O seguinte resultado segue diretamente de aplicar a Proposicao 1.2.19 parah : X → Y e para h−1 : Y → X.

Lema 1.2.22 Qualquer homeomorfismo h : X → Y entre espaco metricos Xe Y induz uma correspondencia um a um entre os conjuntos abertos de X e osconjuntos abertos de Y : um subconjunto V ⊂ Y e aberto em Y se e somentese h−1(V ) ⊂ X e aberto em X.

1.3 Convergencia de sequencias e completa-

mento de espacos metricos

Definicao 1.3.1 (Sequencia convergente) Uma sequencia xn∞n=1 em umespaco metrico (X, ρ) e dita convergente se existe um ponto x ∈ X tal quelimn→∞ ρ(xn, x) = 0. Neste caso escrevemos limn→∞ xn = x ou xn → xquando n →∞.

Note que esta definicao de convergencia generaliza para um espaco metricoarbitrario a definicao ja conhecida de convergencia para sequencias de numerosreais ou complexos.

Se uma sequencia de pontos num espaco metrico e convergente entao olimite desta sequencia e unico. De fato seja xn∞n=1 uma sequencia de pontosno espaco metrico (X, ρ) a qual converge para dois pontos p e p′ de X. Vamosmostrar que p = p′. Dado ε > 0, existem numeros naturais N1 e N2 tal queρ(xn, p) < ε sempre que n > N1 e ρ(xn, p′) < ε sempre que n > N2. EscolhendoN tal que N > N1 e N > N2 vemos que

0 6 ρ(p, p′) 6 ρ(p, xn) + ρ(xn, p′) < 2ε.

Portanto ρ(p, p′) = 0, logo p = p′.O seguinte resultado caracteriza o fecho de um conjunto num espaco

metrico.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

12 1.3. Sequencias e completamento de espacos metricos

Proposicao 1.3.2 Seja A ⊂ X um subconjunto qualquer. Entao

A =x ∈ X : ∃ xn ⊂ A e xn → x

,

i.e., o fecho de A e o conjunto de seus pontos limites (pontos de acumulacao).

Demonstracao.

x /∈ A ⇔ existe um conjunto fechado F com x /∈ F ⊃ A

⇔ x ∈ U := X\F, aberto com U ∩ A = ∅⇔ ∃ ε > 0 tal queB(x, ε) ∩ A = ∅ (entao ρ(x, y) > ε ∀y ∈ A)

⇔ x nao e um ponto limite de A.

Lema 1.3.3 Seja (X, ρ) um espaco metrico e xn ⊂ X uma sequencia depontos de X a qual converge para algum ponto p ∈ X. Entao para qualquerponto y ∈ X, ρ(xn, y) → ρ(p, y) quando n →∞.

Demonstracao. Seja ε > 0 dado. Queremos mostrar que existe um numeronatural N tal que |ρ(xn, y) − ρ(p, y)| < ε sempre que n > N . Entretanto Npode ser escolhido tal que ρ(xn, p) < ε sempre que n > N . Mas

ρ(xn, y) 6 ρ(xn, p) + ρ(p, y), ρ(p, y) 6 ρ(p, xn) + ρ(xn, y) para todo n,

portanto

−ρ(xn, p) 6 ρ(xn, y)− ρ(p, y) 6 ρ(xn, p) para todo n,

e portanto |ρ(xn, y)− ρ(p, p)| < ε sempre que n > N , como querıamos.

Lema 1.3.4 Seja f : X → Y uma funcao entre espacos metricos X e Y .f e contınua em p ∈ X se, e somente se, para toda sequencia xn ⊂ X aqual converge para algum ponto p ∈ X implica que a sequencia f(xn) ⊂ Yconverge para f(p).

Demonstracao. Denotemos por ρX e ρY as metricas dos espacos metricos Xe Y respectivamente. Vamos supor que f e contınua em p e xn → p. Dadoε > 0, pela continuidade de f em p existe, δ > 0 tal que ρX(x, p) < δ implicaque ρY (f(x), f(p)) < ε. Pela convergencia de xn, temos que existe N ∈ Ntal que ρX(xn, p) < δ ∀n > N , agora pela continuidade ρY (f(xn), f(p)) < ε,∀n > N e isto mostra que f(xn) → f(p).

Agora vamos supor que se xn → p implica que f(x) → f(p) entao f econtınua.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Suponhamos por absurdo, que f nao seja contınua no ponto p ∈ X. Entaoexiste ε > 0, tal que para

δ = 1, existe x1 ∈ X com ρ(x1, p) < 1 e ρ(f(x1), f(p) > ε.

δ = 2, existe x2 ∈ X com ρ(x2, p) < 1/2 e ρ(f(x2), f(p) > ε

......

......

δ = 2, existe x2 ∈ X com ρ(xn, p) < 1/n e ρ(f(xn), f(p) > ε.

Portanto existe ε > 0, tal que para n ∈ N, podemos obter xn ∈ X comρ(xn, p) < 1/n e ρ(f(xn), f(p)) > ε. Isto nos da uma seuqencia xn ⊂ X,com xn → p sem que f(xn) convirja para f(p).

Lema 1.3.5 Seja (X, ρ) um espaco metrico. Uma sequencia xn ⊂ Xconverge para um ponto p se e somente se, dado qualquer conjunto abertoU o qual contem p, existe um numero natural N tal que xj ∈ U para todoj > N .

Demonstracao. Suponhamos que a sequencia xj converge para p. SejaU um conjunto aberto o qual contem p.. Entao existe algum ε > 0 tal queB(p, ε) ⊂ U . Mas como xj → p quando j → ∞ existe um numero natural Ntal que ρ(xj, p) < ε para todo j > N . Se j > N entao xj ∈ B(p, ε) e assimxj ∈ U .

Seja xj uma sequencia satisfazendo o criterio dado acima e seja ε > 0dado. A bola aberta B(p, ε) e um conjunto aberto (Lema 1.2.3). Portantoexiste um numero natural N tal que, para todo j > N , xj ∈ B(p, ε), e assimρ(xj, p) < ε. Portanto xj converge para p.

Lema 1.3.6 Seja F ⊂ X um conjunto fechado num espaco metrico (X, ρ) eseja xj : j ∈ N uma sequencia de pontos de F . Suponhamos que xj → pquando j →∞. Entao p pertence a F .

Demonstracao. Suponhamos que o limite p da sequencia pertence aocomplemento X\F do conjunto fechado F . Como X\F e aberto, segue doLema 1.3.5 que existe um numero natural N tal que xj ∈ X\F para todoj > N , contradizendo o fato que xj ∈ F para todo j. Esta contradicao mostraque p pertence a F , como querıamos.

Lema 1.3.7 Sejam X um espaco metrico, A ⊂ X e x ∈ X. Entao x ∈ A se esomente se dado qualquer ε > 0, existe algum ponto a de A tal que ρ(x, a) < ε.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Seja x ∈ A, e seja ε > 0 dado. Seja F = X\B(x, ε). EntaoF e um subconjunto fechado de X, e o ponto x /∈ F . Se B(x, ε)∩A = ∅ entaoA deve estar contido em F , e portanto x ∈ F , o qual e impossıvel. Portantoexiste a ∈ A satisfazendo ρ(x, a) < ε.

Seja x ∈ X com a propriedade que, dado qualquer ε > 0 existe algum a ∈ Asatisfazendo ρ(x, a) < ε. Seja F qualquer subconjunto fechado de X contendoA. Se x /∈ F entao existe algum ε > 0 com a propriedade que B(x, ε)∩F = ∅.Mas isto contradiz o fato que B(x, ε) ∩ A nao-vazio para todo ε > 0. Assim oponto x pertence a todo subconjunto fechado F de X que contem A, e portantox ∈ A, pela definicao de fecho de A.

Sejam X e Y espacos metricos, e seja h : X → Y um homeomorfismo.Uma sequencia de xn de pontos de X e convergente se e somente se, acorrespondente sequencia h(xn) e convergente em Y . (Isto segue diretamentede aplicar o Lema 1.3.4 para h : X → Y e sua inversa h−1 : Y → X.)

Definicao 1.3.8 (Sequencia de Cauchy) Seja (X, ρ) um espaco metrico.Uma sequencia xn de pontos de X e chamada sequencia de Cauchy em Xse e somente se dado qualquer ε > 0, existe um numero natural N tal queρ(xj, xk) < ε para todo j, k > N .

Toda sequencia convergente num espaco metrico e uma sequencia deCauchy. De fato, seja (X, ρ) um espaco metrico e seja xn ⊂ X umasequencia convergente para um ponto p ∈ X. Dado qualquer ε > 0, existe umnumero natrual N tal que ρ(xn, p) < ε/2 para n > N . Usando a desigualdadetriangular temos

ρ(xj, xk) 6 ρ(xj, p) + ρ(p, xk) <ε

2+

ε

2= ε para j, k > N.

Definicao 1.3.9 (Espaco metrico completo) Um espaco metrico (X, ρ) edito completo se toda sequencia de Cauchy em X e convergente e seu limitepertence a X.

Os espacos R e C sao espacos metricos completos com respeito a metricadada por ρ(x, y) = |x− y|. Na verdade este resultado e o Criterio de Cauchypara a convergencia. Entretanto o espaco Q dos numeros racionais (com ametrica ρ(p, q) = |p − q|) nao e completo. De fato podemos construir umasequencia infinita q1, q2, ... de numeros racionais a qual converge (em R) para√

2. Tal sequencia de numeros racionais e uma sequencia de Cauchy em R e Q.Entretanto esta sequencia de Cauchy nao converge para um ponto do espacometrico Q (pois

√2 e um numero irracional). Assim o espaco metrico Q nao e

completo.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Lema 1.3.10 Seja X um espaco metrico completo, e seja A ⊂ X. Entao A ecompleto se e somente se, A e fechado em X.

Demonstracao. Suponhamos que A e fechado em X. Seja an umasequencia de Cauchy em A. Esta sequencia de Cauchy converge para umponto p ∈ X (pois X e completo). Mas o limite de qualquer sequencia depontos de A pertence a A, pois A e fechado (Lema 1.3.6). Em particularp ∈ A. Concluımos que A e completo.

Agora suponhamos que A e completo. Vamos supor que A nao e fechado.Entao o complemento X\A de A nao e conjunto aberto, e portanto existe umponto p ∈ X\A com a propriedade que B(p, δ) ∩ A 6= ∅ para todo δ > 0.Entao podemos encontrar uma sequencia an de pontos de A satisfazendoρ(aj, p) < 1/j para todo numero natural j. Esta sequencia e de Cauchy em Aa qual nao converge para um ponto de A, contradizendo a completitude de A.Assim A e fechado, como querıamos.

Teorema 1.3.11 O espaco metrico Rn ( com a metrica euclideana) e umespaco metrico completo.

Demonstracao. Seja pn uma sequencia de Cauchy em Rn. Entao paracada inteiro m entre 1 e n, a sequencia (pn)m e uma sequencia de Cauchyde numeros reais, onde (pn)m denota a m-esima componente de pn. Mas todasequencia de cauchy de numeros reais e convergente. Seja qm = limj→∞(pn)m

para m = 1, 2, ..., n, e seja q = (q1, q2, ..., qn). Afirmamos que pn → q quandon →∞.

Seja ε > 0 dado, existem numeros naturais N1, N2, ..., Nn tal que |(pn)m −qm|2 < ε/

√n sempre que j > Nm (m = 1, 2, ..., n). Seja N = maxNm : m =

1, 2, ..., n. Se j > N entao

|pn − q| =n∑

m=1

((Pn)m − qm)2 < ε2.

Assim pn → q quando n → ∞. Assim toda sequencia de Cauchy em Rn econvergente, como querıamos.

O seguinte resultado segue diretamente do Lema 1.3.10 e o Teorema 1.3.11.

Corolario 1.3.12 Um subconjunto A de Rn e completo se e somente se, estee fechado.

Exemplo A esfera Sn (com a metrica dado por ρ(x, y) = |x− y|) e um espacometrico completo, onde

Sn = (x1, x2, ..., xn+1) ∈ Rn+1 : x21 + x2

2 + · · ·+ x2n+1 = 1.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 1.3.13 (Contracao) Sejam (X, ρX) e (Y, ρY ) espacos metricos.Uma aplicacao T : X → Y e chamada uma contracao em X se existe k,0 6 k < 1, tal que

ρ(T (x), T (y)) 6 kρ(x, y), ∀x, y ∈ X.

Dizemos que x ∈ X e um ponto fixo para T se T (x) = x.

Teorema 1.3.14 (Princıpio da Contracao de Banach) Se X e um es-paco metrico completo e T : X → X e uma contracao entao T tem um unicoponto fixo.

Demonstracao. Vamos primeiramente prova que T no maximo um pontofixo. Se x e y sao pontos fixos de T , temos que

ρ(x, y) = ρ(Tx, Ty) 6 kρ(x, y)

e portanto x = y.Vamos agora mostrar a existencia. Seja x ∈ X e considere a orbita de x

x, Tx, T 2x, · · · .Mostremos que T nx e uma sequencia de Cauchy. De fato:

ρ(T n+px, T nx) 6 kρ(T n+p−1x, T n−1x) 6 · · · 6 knρ(T px, x)

6 kn[ρ(T px, T p−1x) + · · ·+ ρ(Tx, x)

]

6 kn[kp−1ρ(Tx, x) + · · ·+ ρ(Tx, x)

]

6 kn[kp−1 + · · · 1] ρ(Tx, x) 6 kn

1− kρ(Tx, x)

e como k < 1 temos que T nx e uma sequencia de Cauchy e portantoconvergente para algum x0 ∈ X. Mostremos que x0 e um ponto fixo de T .De fato:

Tx0 = T ( limn→∞

T nx) = limn→∞

T n+1x = x0.

Agora vamos ver uma aplicacao do Princıpio da Contracao de Banach.Seja U ⊂ Rn+1 um aberto e conexo e f : U → Rn tal que

|f(t, x1)− f(t, x2)| 6 L|x1 − x2|, ∀(t, xi) ∈ U, i = 1, 2.

Assuma ainda que f e contınua. Consideremos a equacao diferencial

x = f(t, x) (1.3.1)

Se (t0, x0) ∈ U , uma solucao local de (1.3.1) passando por (t0, x0) e umafuncao contınuamente diferenciavel φ definida num intervalo I, contendo t0 emseu interior, tal que φ(t0) = x0, (t, φ(t)) ∈ U , ∀t ∈ I e φ = f(t, φ(t)), ∀t ∈ I.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 1.3.15 (Teorema de Picard) Se f e como acima, para cada(t0, x0) ∈ U , a equacao diferencial (1.3.1) possui uma unica solucao local por(t0, x0).

Demonstracao. E facil ver que φ : I ⊂ R → Rn e solucao local de (1.3.1)por (t0, x0) se e somente se φ e uma funcao contınua definida em um intervaloI contendo em seu interior satisfazendo (t, φ(t)) ∈ U , ∀t ∈ I e

φ(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, φ(s))ds, t ∈ I. (1.3.2)

Seja U ′ ⊂ U um aberto contendo (t0, x0) tal que f e limitada em U ′, isto e,|f(t, x)| 6 M , ∀(t, x) ∈ U ′.

Seja α > 0 tal que

• R = [t0 − α, t0 + α]×B[x0, αM ] ⊂ U ′

• L α < 1.

Seja J := [t0 − α, t0 + α] definimos

B := ψ : J → Rn : ψe contınua, ψ(t0) = x0 e |ψ(t)− x0| 6 Mα, ∀ t ∈ J.Entao B e um subconjunto fechado de C(J,Rn) e portanto um subespaco

metrico completo. Seja T : B → C(J,Rn) definida por

(Tψ)(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, ψ(s))ds, t ∈ J, ψ ∈ B. (1.3.3)

Mostremos que T (B) ⊂ B e que T e uma contracao. De fato, se ψ ∈ B entaoTψ e contınua, (Tψ)(t0) = x0 e

|(Tψ)(t)− x0| 6∣∣∣∣∫ t

t0

∣∣f(s, ψ(s))∣∣ds

∣∣∣∣ 6 Mα, ∀ t ∈ J,

mostrando que T (B) ⊂ B. Ainda, para ψ1, ψ2 ∈ B temos que, ∀ t ∈ J ,

|(Tψ1)(t)− (Tψ2)(t)| 6∣∣∣∣∫ t

t0

∣∣f(s, ψ1(s))− f(s, ψ2(s))∣∣ds

∣∣∣∣

6 L

∣∣∣∣∫ t

t0

∣∣ψ1(s)− ψ2(s)∣∣ds

∣∣∣∣ 6 Lα‖ψ1 − ψ2‖∞,

mostrando que T e uma contracao em B. Segue do Princıpio da Contracaode Banach, Teorema 1.3.15, que T tem um unico ponto fixo e que (1.3.1) temuma unica solucao por (t0, x0).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 1.3.16 Sejam (X, ρX) e (Y, ρY ) dois espacos metricos. Umatransformacao T : X → Y e dita uma isometria se para todo x, y ∈ X temosque ρY (Tx, Ty) = ρX(x, y). Neste caso dizemos que (X, ρX) pode ser imersoem (Y, ρY ).

Os espacos metricos (X, ρX) e (Y, ρY ) sao ditos isomorfos de T e sobrejetora.Seja (X, ρX) um espaco metrico qualquer. Vamos construir um espaco

metrico completo (X, ρ) a partir de (X, ρX), tal que (X, ρX) pode ser imerso

densamente en (X, ρ). Assumiremos que R e um espaco metrico completo.Seja X o conjunto das sequencias de Cauchy em X e seja ∼ a seguinte

relacao em X

xn ∼ yn ⇔ ρ(xn, yn) → 0.

Lema 1.3.17 A relacao ∼ e uma relacao de equivalencia.

Demonstracao. Para provar que ∼ e uma relacao de equivalencia,primeiramente observamos que claramente

i) xn ∼ xn para toda xn em X eii) xn ∼ yn implica yn ∼ xn para toda xn, yn ∈ X.

Resta apenas verificar que seiii) Se xn, yn, zn ∈ X, xn ∼ yn e yn ∼ zn entao xn ∼

zn.Isto segue do fato que ρ(xn, zn) 6 ρ(xn, yn) + ρ(yn, zn).

Se x ⊂ X denota a classe de equivalencia de x = xn ∈ X temos queX e uniao disjunta dessas classes de equivalencia. O conjunto das classes deequivalencia de elementos de X e denotado por X.

Lema 1.3.18 Sejam (X, ρ) um espaco metrico, xj e yj sequencias deCauchy de pontos de X, e seja ρj = ρ(xj, yj) para todo j ∈ N. Entao ρj euma sequencia de cauchy de numeros reais.

Demonstracao. Da desigualdade triangular temos que

ρj 6 ρ(xj, xk) + ρk + ρ(yk, yj)

e assim ρj − ρk 6 ρ(xj, xk) + ρ(yk, yj) para todo inteiro j e k. Similarmenteρk − ρj 6 ρ(xj, xk) + ρ(yk, yj). Logo segue que

|ρj − ρk| 6 ρ(xj, xk) + ρ(yk, yj) para todo inteiro j e k.

Seja ε dado. Entao existe um numero natural N tal que ρ(xj, xk) < ε2

e ρ(yj, yk) < ε2

sempre j > N e k > N (pois as sequencias xj e yj saosequeencias de Cauchy em X). Portanto |ρj−ρk| < ε sempre j, k > N . Assim a

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


sequencia ρj e uma sequencia de Cauchy de numeros reais, como querıamos.

Seja (X, ρ) um espaco metrico. Segue do criterio de Cauchy paraconvergencia e Lema 1.3.18 que lim

j→∞ρ(xj, yj) existe para todo par de sequencias

de Cauchy xj e yj em X.

Lema 1.3.19 Sejam (X, ρ) um espaco metrico e xj, yj, zj ∈ X. Entao

0 6 limj→∞

ρ(xj, zj) 6 limj→∞

ρ(xj, yj) + limj→∞

ρ(yj, zj).

Demonstracao. Segue imediatamente de tomar limite em ambos os lados dadesigualdade triangular.

Lema 1.3.20 Sejam (X, ρ) um espaco metrico e xj, yj, zj ∈ X.Suponhamos que

limj→∞

ρ(xj, yj) = 0, limj→∞

ρ(yj, zj) = 0.

Entao limj→∞

ρ(xj, zj) = 0.

Demonstracao. E uma consequencia imediata do Lema 1.3.19.

Lema 1.3.21 Sejam (X, ρ) um espaco metrico e xj, x′j, yj, y′j ∈ X.Suponhamos que

limj→∞

ρ(xj, x′j) = 0, lim

j→∞ρ(yj, y

′j) = 0.

Entaolimj→∞

ρ(xj, yj) = limj→∞

ρ(x′j, y′j).

Demonstracao. Segue do Lema 1.3.20 que

limj→∞

ρ(xj, yj) 6 limj→∞

ρ(xj, x′j) + lim

j→∞ρ(x′j, y

′j) + lim

j→∞ρ(y′j, yj) = lim

j→∞ρ(x′j, y

′j).

Similarmente limj→∞

ρ(x′j, y′j) 6 lim

j→∞ρ(xj, yj). Segue que limj→∞ ρ(xj, yj) =

limj→∞ ρ(x′j, y′j), como querıamos.

Definimosρ(x, y) = lim

j→∞ρ(xj, yj).

Segue do Lema 1.3.21 que o valor ρ(x, y) nao depende da escolha dasequencias de Cauchy xj e yj representado x e y. Obtemos desta maneira

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


uma metrica no conjunto X. Esta funcao satisfaz a desigualdade triangular(Lema 1.3.19) e outros axiomas de metrica. Portanto X com esta metrica e

um espaco metrico. Nos referimos ao espaco X como sendo o completamentodo espaco metrico X.

Podemos considerar o espaco metrico X como sendo imerso em seucompletamento X, onde um ponto x ∈ X e representado em X pela classede equivalencia da sequencia constante x = (x, x, ..., x, ...).Exemplo. O completamento do espaco Q dos numeros racionais e o espacoR dos numeros reais.

Teorema 1.3.22 O completamento X de um espaco metrico X e um espacometrico completo.

Demonstracao. Se xk e uma sequencia de Cauchy em X e X 3 xk =xk

n ∈ xk temos que

ρ(xk, xl) = limn→∞

ρ(xkn, x

ln).

Do fato que xk = xkn e uma sequencia de Cauchy para cada k ∈ N existe

nk ∈ N (nk > k) tal que

ρ(xkn, x

knk

) <1

k, n > nk.

Escolhemos x = xknk. Entao x e uma sequencia de Cauchy. De fato, se yk

denota sequencia constante xknk

, xknk

, xknk

, ... e yk = [yk] temos que

ρ(xknk

, xlnl

) = ρ(yk, yl) 6 ρ(yk, xk) + ρ(xk, xl) + ρ(xl, yl)

6 1

k+ ρ(xk, xl) +

1

l

k,l→∞−→ 0.

Seja x a classe de equivalencia de x.Mostremos que ρ(xk, x) → 0 quando k →∞. Note que

ρ(xl, x) = limk→∞

ρ(xlk, x

knk

)

e que, dado ε > 0, existe N ∈ N tal que, 1N

< ε2

e ρ(xlnl

, xknk

) < ε2, para

k, l > N . Segue que para l > N e k > maxN, nl,

ρ(xlk, x

knk

) 6 ρ(xlk, x

lnl

) + ρ(xlnl

, xknk

) <1

l+

ε

2< ε.

Logo, ρ(xl, x) < ε para l > N e liml→∞

ρ(xl, x) = 0.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 1.3.23 Se (X, ρ) e um espaco metrico ele pode ser imerso, como

subespaco denso, em um espaco metrico completo (X, ρ). Dois espacos nosquais (X, ρ) pode ser imerso, como subespaco denso, sao isomorfos.

Demonstracao. Se X0 := x : x ∈ X ⊂ X definimos T : X → X por

Tx = x. E claro que T e uma isometria de X sobre X0. Mostremos que X0

e denso em X. De fato, se x = xn ∈ X seja xn = xn, xn, ... ∈ X0. Comoxn e uma sequencia de Cauchy, dado ε existe N ∈ N tal que ρ(xn, xm) < εpara todo m,n > N . Segue que

ρ(xn, x) = limm→∞

ρ(xn, xm) 6 ε

para todo n > N . Logo limn→∞ ρ(xn, x) = 0.

Resta apenas mostrar que X e unico a menos de isometria. Se existem X, X

espacos metricos completos e isometrias T : X → X, S : X → X com imagensdensas, definimos a isometria V : X → X como a unica extensao contınua daisometria V : T (X) → S(X) a X.

1.4 Compacidade

Definicao 1.4.1 Sejam (X, ρ) um espaco metrico e K ⊂ X. Seja

F = Gα : α ∈ I

uma familia de subconjuntos abertos em X. Dizemos que F e uma coberturaaberta de K se

K ⊂⋃α∈I

Gα.

Tambem dizemos que F cobre K. Uma subcobertura de F e um subconjunto deF que tambem e uma cobertura de K.

Definicao 1.4.2 Dizemos que K ⊂ X e compacto se toda cobertura abertaGα : α ∈ I de K possui uma subcobertura finita. Isto e, existe um numerofinito de indices α1, α2, ..., αn ∈ I tal que

K ⊂n⋃

j=1

Gαj.

Dizemos que K e relativamente compacto se K e compacto.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

22 1.4. Compacidade

O seguinte resultado e uma caracterizacao de conjuntos compactos que emuito util em diversas aplicacoes. Em algumas ocasioes uma demonstracaosera mais facil se utilizarmos esta caracterizacao. Entretanto, a definicaode compacidade dada em 1.4.2 se pode generalizar ao chamados espacotopologicos, coisa que nao se pode aplicar no caso de compacidade porsequencias.

Teorema 1.4.3 (Compacidade por sequencias) Em um espaco metrico,um conjunto K e compacto se e somente se toda sequencia em X tem umasubsequencia convergente em K.

A demonstracao e omitida, mas o leitor pode ver [1]. Acontinuacao vamosdar duas propriedades importantes dos conjuntos compactos. Lembremos queum conjunto G e limitado em um espaco metrico (X, ρ) se somente se existeM > 0 tal que para todo x, y ∈ G se cumpre ρ(x, y) 6 M , ou se para todoz ∈ X existe M > 0 tal que G ⊂ B[z,M ].

Proposicao 1.4.4 Todo subconjunto compacto de um espaco metrico efechado e limitado.

Demonstracao. Seja M ⊂ X um subconjunto compacto. Para cadax ∈ M existe uma sequencia xn ⊂ M tal que xn → x. Como M ecompacto, x ∈ M . Portanto M e fechado pois x ∈ M . Provemos agoraque M e limitado. Se M for ilimitado, existe uma sequencia ilimitada yntal que ρ(yn, b) > n, onde b e qualquer elemento fixo. Esta sequencia naotem subsequencia convergente pois uma subsequencia convergente e limitada,absurdo. Isto conclui a demonstracao.

A recıproca da proposicao acima em geral e falsa.

Proposicao 1.4.5 Sejam X e Y espacos metricos. Se f : X → Y e contınuae K ⊂ X compacto em X, entao a imagem f(K) e um subconjunto compactoem Y .

Demonstracao. Seja yn ⊂ f(K) uma sequencia qualquer. Como yn ∈f(K), temo que yn = f(xn) para algum xn ∈ K. Como K e compacto, xncontem uma subsequencia xnk

a qual converge em K. A imagem de xnk e

um subsequencia de yn a qual converge em f(K) pois f e contınua. Portantof(K) e compacto.

Corolario 1.4.6 (Maximo e Mınimo) Sejam f : X → R uma aplicacaocontınua em um espaco metrico X e K ⊂ X um subconjunto compacto. Entaof assume seu maximo e seu mınimo em K.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. f(K) ⊂ R e compacto pela Proposicao 1.4.5 e fechadoe limitado pela Proposicao 1.4.4 (aplicada a f(K)), entao inf f(K) ∈f(K), sup f(K) ∈ f(K), e as imagens inversas destes dois pontos sao pontosde K nos quais f(x) e mınimo ou maximo, respectivamente.

Agora vejamos uma caracterizacao dos conjuntos compactos no espacoeuclideano Rn. Resulta que a propriedade de ser fechado e limitado nao soe necessaria se nao que tambem e suficiente para subconjuntos do espacoeuclideano.

Teorema 1.4.7 Seja (Rn, ρ2) o espaco euclideano com a metrica usual.Entao, um conjunto K ⊂ Rn e compacto se e somente se e fechado e limitado.

Duas metricas ρ1 e ρ2 em um conjunto X sao ditas equivalentes se existemc1, c2 > 0 tais que

c1ρ1 6 ρ2 6 c2ρ1.

Definicao 1.4.8 Sejam (X, ρX) e (Y, ρY ) dois espacos metricos. Dizemos queuma funcao f : X → Y e uniformemente contınua se para todo ε > 0 dado,existe um δ > 0 tal que para quaisquer x, y ∈ X satisfazendo ρX(x, y) < δtem-se ρY (f(x), f(y)) < ε. Isto e

(∀ε > 0) (∃ δ > 0) (∀x, y ∈ X) : ρX(x, y) < δ ⇒ ρY (f(x), f(y)) < ε.

Note que, neste caso, δ > 0 nao depende do ponto.

1.5 Lista de exercıcios

1. Sejam p, q > 1 tais que 1p+ 1

q= 1 se p = 1 (q = 1) entao q = ∞ (p = ∞).

para x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn) ∈ Rn defina ‖ · ‖p : Rn → [0,∞) por

‖x‖p =( n∑

i=1

|xi|p)1/p

, 1 6 p < ∞

‖x‖∞ = sup|xi| : 1 6 i 6 n

.

e ρp : Rn ×Rn → [0,∞) por ρp(x, y) = ‖x− y‖p.

(a) Mostre a desigualdade de Young; isto e, para todo a, b ∈ [0,∞)

a1p b

1q 6 a

p+

b

q.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

24 1.5. Lista de exercıcios

Sugestao: Mostre que para a > 0 e b > 0 esta desigualdade eequivalente a

1

p(a

b) +

1

q− (

a

b)

1p > 0

e mostre que a funcao f(t) = 1pt + 1

q− t

1p , t > 0 atinge o seu valor

mınimo em t = 1.

(b) Mostre a desigualdade de Holder; isto e, que para todo x, y ∈ Rn,

n∑i=1

|xiyy| 6 ‖x‖p‖y‖q.

Sugestao: Use a desigualdade de Young para a =|xj |p‖x‖p

pe b =

|yj |q‖x‖q

qe

some.

(c) Mostre a desigualdade de Minkowski; isto e, que para todo x, y ∈Rn,

‖x + y‖p 6 ‖x‖p + ‖y‖p.

Sugestao: Use a desigualdade de Holder para

(|x1|, ..., |xn|) e (|x1 + y1|p−1, ..., |xn + yn|p−1)

e para(|y1|, ..., |yn|) e (|x1 + y1|p−1, ..., |xn + yn|p−1).

(d) Mostre que ‖ · ‖p e uma norma e conclua que ρp e uma metrica emRn.

(e) Mostre que ‖x‖∞ = limp→∞

‖x‖p.

2. Sejam a, b numeros reais com a < b e C[a, b] = f : [a, b] → R :f e contınua em R e ρ : C[a, b]× C[a, b] → [0,∞) dada por

ρ(x, y) = maxa6t6b

|x(t)− y(t)|.

Mostre que ρ e uma metrica e que C[a, b] e completo com esta metrica.

3. Sejam a, b numeros reais com a < b e I[a, b] o conjunto das funcoesRiemann integraveis de [a, b] em R e ρ : I[a, b] × I[a, b] → [0,∞) dadapor

ρ(x, y) =

∫ b

a

|x(t)− y(t)|dt.

Mostre que ρ nao uma metrica em I[a, b] mas e uma metrica em C[a, b] ⊂I[a, b] e que C[a, b] nao e completo com esta metrica.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


4. Mostre que (X, ρ) e completo se e soment se, toda sequencia Bk debolas fechadas com Bn+1 ⊂ Bn e lim

n→∞rn = 0 (rn = raio de Bn), a

intersecao ∩∞n=1Bn consiste exatamente de um ponto.

5. Seja (X, ρ) um espaco metrico e A ⊂ X. Mostre que A e fechado se esomente se A = A.

6. Seja X um espaco metrico, e seja f : X → R uma funcao contınua.Entao, dado qualquer numero real r, os conjuntos

x ∈ X : f(x) > r, x ∈ X : f(x) < r

sao conjuntos abertos de X, e os conjuntos

x ∈ X : f(x) > r, x ∈ X : f(x) 6 r, x ∈ X : f(x) = r

sao conjuntos fechados de X. Tambem dados numeros reais a e bsatisfazendo a < b, o conjunto

x ∈ X : a < f(x) < b

e um conjunto aberto de X, e o conjunto

x ∈ X : a 6 f(x) 6 b

e um conjunto fechado de X.

7. Sejam X, Y , Z e W espacos metricos, e h : X → Y um homeomorfismo.Uma funcao f : Z → X e contınua se e somente se h f : Z → Y econtınua, e uma funcao g : Y → W e contınua se e somente se, g h :X → W e contınua.

8. Seja (X, ρ) um espaco metrico completo e T : X → X umatransformacao. Assuma que, para algum n0 ∈ N, T n0 e uma contracao emostre que T tem um unico ponto fixo.

9. Fazer o desenho da bola unitaria B(0, 1) (de raio 1) em R2 com a normametrica ρp, onde p = 1, 2, 4,∞.

10. Encontrar um sequencia de cauchy que nao seja convergente em (Q, ρ).

11. Seja (X, ρ) um espaco metrico. Sejam A ⊂ B ⊂ C ⊂ X. Demonstrarque se A e denso em B y B e denso C entao A e denso em C.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


12. Sejam (X, ρX) e (Y, ρY ) dois espacos metricos. Suponhamos que A ⊂ Xe denso. Sejan f, g : X → Y duas funcoes contınuas tal que, para todox ∈ A, f(x) = g(x). Demonstrar que f = g, isto e f(x) = g(x), paratodo x ∈ X.

13. De um exemplo de uma cobertura aberta de (a, b) que nao tenha umasubcobertura finita.

14. Demonstrar a proposicao 1.4.4.


16. Seja f : X → Y uma funcao contınua e bijetiva entre dois espacosmetricos X e Y . Demonstrar que se X e compacto entao a funcao f−1 :Y → X e contınua.

17. Demonstre o teorema 1.4.7.

18. Demonstre que metricas equivalentes definem os mesmo abertos, fechadose compactos, as mesmas sequencias de Cauchy, e as mesmas funcoescontınuas e uniformemente contınuas.

19. Demonstrar que f(x) = x2 e uniformemente contınua em [0, 1], mas naoe em (0,∞).

20. Mostre que ρ : R × R → [0,∞), definida por ρ(x, y) = (x − y)2, nao euma metrica.

21. Seja ρ : X×X → [0,∞) uma metrica. Verifique que α(x, y) =√

ρ(x, y),

β(x, y) =ρ(x, y)

1 + ρ(x, y)e γ(x, y) = min1, ρ(x, y) sao metricas em X.

22. Em todo espaco metrico X, tem-se

B[a, r] =⋂s>r

B(a, s) =∞⋂

n=1

B(a, r +1

n)

e

a =⋂r>0

B(a, r) =∞⋂

n=1

B(a,1

n).

Exprima, dualmente, cada bola aberta de X como reuniao de bolasfechadas.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


23. Sejam I < J intervalos arbitrarios da reta e f : I → J uma bijecao talque x < y ⇒ f(x) < f(y). Prove que f (e consequentemente f−1) econtınua. Conclua daı a continuidade de f : [0, +∞) → [0,∞), dada porf(x) =

√x.

24. Mostre que toda funcao contınua f : [a, b] → R e limitada.

25. Seja X = A∪B. Se f : X → Y e tal que f |A e f |B sao contınuas, entaof e contınua em cada ponto a ∈ A ∩B.

26. Num espaco metrico X, sejam F = B[a, r] e G = X\B(a, s), onde0 < r < s. Mostre que f : X → [0, 1], definida por

f(x) =ρ(x, F )

ρ(x, F ) + ρ(x,G),

e contınua e, alem disso, f−1(0) = F , f−1(1) = G.

27. f : X → Y e contınua se, e somente se, para todo M ⊂ X tem-sef(M) ⊂ f(M).

28. Uma bijecao f : X → Y e um homeomorfismo se, e somente, se f(M) =f(M) para todo M ⊂ X.

29. Mostre que: Todo subconjunto fechado de um conjunto compacto ecompacto.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Capıtulo 2

Espacos Normados

2.1 Espacos vetoriais

Seja K o corpo dos numeros reais R ou o corpo dos numeros complexos C.

Definicao 2.1.1 Um espaco vetorial sobre um corpo K e um conjunto Xequipado com aplicacoes + : X×X → X e · : K×X → X as quais satisfazemas seguintes propriedades

1. x + y = y + x para todo x, y ∈ X (adicao e comutativa),

2. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ X (adicao e associativa),

3. existe um unico elemento 0 ∈ X tais que x + 0 = 0 + x = x para todox ∈ X (elemento zero),

4. para cada x ∈ X existe um unico elemento −x ∈ X com x + (−x) = 0(inverso aditivo),

5. α · (β · x) = (αβ) · x para todo α, β ∈ K e x ∈ X,

6. (α + β) · x = α · x + β · x para todo α, β ∈ K e x ∈ X (multiplicacaoescalar e distributiva sob a adicao escalar),

7. α · (x + y) = α · x + α · y para todo α ∈ K e x, y ∈ X (multiplicacaoescalar e distributiva sob a adicao vetorial)

8. 1 ·x = x para todo x ∈ X onde 1 e identidade multiplicativa no corpo K.

Os elementos de um espaco vetorial sao chamados de vetores. Note que(X, +) forma um grupo abeliano.

29

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

30 2.1. Espacos vetoriais

Exemplo 1. Seja X = Rn = x = (x1, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, ..., n com aadicao de vetores y multiplicacao escalar usual.

Exemplo 2. Seja X o conjunto de todos os polinomios com coeficientes en Rde grau 6 n com a adicao de polinomios y multiplicacao escalar usual.

Exemplo 3. Seja X o conjunto Mm,n(C) das matrizes de ordem m × n avalores complexos, com a adicao e multiplicacao escalar usual.

Exemplo 4. Seja l∞ o conjunto das sequencias infinitas (x1, x2, ...) que saolimitadas, isto e sup|xn| < ∞. Entao l∞ e um espaco vetorial, desde quesup|xn + yn| 6 sup|xn|+ sup|yn| < ∞ e sup|α xn| = |α| sup|xn|.Examplo 5. Seja C(S) = f : S → R : f e contınua com a adicao (f +g)(x) = f(x) + g(x) e a multiplicacao escalar (α · f)(x) = αf(x). Aqui S e,por exemplo, qualquer subconjunto de R.

Examplo 6. Seja C∞((a, b),R) o espaco das funcoes reais infinitamentediferenciaveis em (a, b).

Definicao 2.1.2 (Subespaco) Seja X um espaco vetorial sobre um corpo K.Um subconjunto Y ⊂ X e um subespaco vetorial de X se para todo x, y ∈ Ye α, β ∈ K, a combinacao linear αx + βy ∈ Y .

Exemplo 1. O conjunto de vetores em Rn da forma (x1, x2, x3, 0, ..., 0) formaum subespaco vetorial.

Exemplo 2. O conjunto dos polinomios de grau 6 r forma um subespacovetorial do conjunto de polinomios de gran 6 n para qualquer r 6 n.

Definicao 2.1.3 (Combinacao linear de vetores) Seja X um espaco ve-torial. Um vetor v ∈ X e combinacao linear dos vetores v1, v2, ..., vr se existemescalares a1, a2, ..., ar de forma que v = a1v1 + a2v2 + ... + arvr.

Os vetores x1, x2, ..., xn de X sao linearmente dependentes se existemescalares α1, α2, ...αn (nao todos nulos) tal que

α1x1 + · · ·+ αnxn = 0.

Se nao existem tal conjunto de escalares, entao os vetores sao linearmenteindependentes.

A seguinte proposicao e muito util na analise da dependencia linear entrevetores:

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

2. Espacos Normados 31

Proposicao 2.1.4 Os vetores v1, v2, ..., vr sao l.i. se, e somente se, a unicaforma de escrever o vetor nulo 0 na forma 0 = a1v1 + a2v2 + ... + arvr efazendo a1 = a2 = ... = ar = 0 (isto e, 0 = a1v1 + a2v2 + ... + arvr implicaa1 = a2 = ... = ar = 0).

Consequentemente, os vetores v1, v2, ..., vr sao l.d. se, e somente se existema1, a2, ..., ar nao todos nulos com a1v1 + a2v2 + ... + arvr = 0.

Definicao 2.1.5 (Subespaco gerado) O conjunto de todos os vetores quesao combinacao linear dos vetores v1, v2, ..., vr e chamado de espaco geradopor v1, v2, ..., vr e e denotado por [v1, v2, ..., vr]. Isto e,

[v1, v2, ..., vr] =

v =

r∑j=1

ajvj : aj ∈ K

.

Definicao 2.1.6 Se um espaco vetorial X e igual a espaco gerado de umconjunto de n vetores linearmente independentes, entao X e dito que temdimensao n. Se nao existe tal conjunto de vetores, entao X e de dimensaoinfinita.

Um conjunto de vetores linearmente independentes que gera X e chamadouma base para X.

2.2 Espacos normados e de Banach

Uma norma em um espaco vetorial e uma maneira de medir distancia entrevetores.

Definicao 2.2.1 (Norma) Uma norma em um espaco vetorial X sobre K euma funcao na-negativa ‖ · ‖ : X → [0,∞) com as seguintes propriedades

1. ‖x‖ = 0 se, e somente, se x = 0 ( positiva definida),

2. ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ para todo x, y ∈ X ( desigualdade triangular)

3. ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todo x ∈ X e α ∈ KUm espaco normado e um par ordenado (X, ‖ · ‖) onde X e um espaco vetoriale ‖ · ‖ e uma norma em X.

Definicao 2.2.2 Duas normas em X, ‖·‖1 e ‖·‖2 sao equivalentes se existemc1 > 0 e c2 > 0 tal que

c1‖x‖1 6 ‖x‖2 6 c2‖x‖1 ∀x ∈ X.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

32 2.2. Espacos normados e de Banach

Teorema 2.2.3 Em um espaco vetorial de dimensao finita X, qualquer norma‖ · ‖1 e equivalente a outra norma qualquer ‖ · ‖2.

Demonstracao. Seja n = dim X e seja v1, · · · , vn uma base de X. Entaotodo x ∈ X tem uma unica representacao x = a1v1+· · · anvn. Como o conjuntov1, · · · , vn e l.i, existe c > 0 tal que

‖x‖1 > c

( n∑j=1

|aj|)

.

Por outro lado usando a desigualdade triangular temos

‖x‖2 6n∑

j=1

|aj| ‖vj‖2 6 k

n∑j=1

|aj|, k = maxj‖vj‖2.

Portanto a‖x|2 6 ‖x‖1 onde a = c/k > 0. Para obter a outra desigualdadetrocamos as norma ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 no argumento anterior.

Normas equivalentes em X induzem a mesma topologia em X. Observemos oseguinte:

1. Um subespaco Y de um espaco vetorial normado e de novo um espacovetorial normado.

2. Se X, Y sao espacos vetoriais normados, entao denotamos o conjuntode todos os pares ordenados (x, y) com x ∈ X, y ∈ Y por X ⊕ Y . O espacoX ⊕ Y pode ser equipado com uma norma definindo

‖(x, y)‖1 := ‖x‖+‖y‖, ‖(x, y)‖2 := max‖x‖, ‖y‖, ‖(x, y)‖3 :=√‖x‖2 + ‖y‖2.

Se X e um espaco vetorial normado, entao ρ : X × X → [0,∞), definidapor ρ(x, y) = ‖x − y‖, e uma metrica em X. Esta metrica e invariante sobtranslacoes e e homogena, i.e.,

ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), ρ(λx, λy) = |λ|ρ(x, y).

Definicao 2.2.4 Um espaco vetorial normado que e completo com a metricainduzida pela norma e dito um espaco de Banach.

Seja X um espaco vetorial normado e Y ⊂ X um subespaco. Se Y e fechadoentao existe uma norma natural no espaco quociente X/Y como segue:

Proposicao 2.2.5 Sejam X e Y como acima com Y fechado. Se x ∈ X/Y euma classe de equivalencia de X modulo Y entao uma norma e definida por

‖x‖ := infx∈x

‖x‖ = infy∈Y

‖x + y‖.

Se alem disso, X e um espaco de Banach entao X/Y e um espaco de Banachcom a norma acima.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


2.2.1 Exemplos de espacos de Banach

Ckb (Ω), Ck(Ω) e espacos de Holder

Seja Ω ⊂ Rn um conjunto aberto. Denotemos por Ckb (Ω) o espaco das funcoes

reais k-vezes continuamente diferenciaveis tal que todas as derivadas ate aordem k sao limitadas na norma do sup, i.e., definimos para f ∈ Ck(Ω)

‖f‖Ck(Ω) :=∑

06|α|6k

supx∈Ω

|Dαf(x)|

eCk

b (Ω) :=f : Ω → R : f ∈ Ck(Ω) e ‖f‖Ck(Ω) < ∞

.

Lembremos a seguinte notacao: α = (α1, ..., αn) e uma n-upla de numerosinteiros αk > 0 e |α| = α1 + · · ·+ αn e

Dαf =∂|α|f

∂xα11 · · · ∂xαn

n

.

Se 0 < β 6 1 entao definimos para f ∈ Ck(Ω)

‖f‖Ck,β(Ω) := ‖f‖Ck(Ω) +∑

|α|=k

supx,y∈Ωx 6=y

|Dαf(y)−Dαf(x)||x− y|β

e

Ck,β(Ω) :=f ∈ Ck(Ω) : ‖f‖Ck,β(Ω) < ∞

.

Funcoes em C0,β(Ω) sao chamadas Holder contınuas e Lipschitz contınuasno caso de β = 1. Nos referiremos aos espacos Ck,β(Ω) simplesmente comoespacos de Holder. Se Ω e um domınio limitado, definimos

Ck(Ω) :=f ∈ Ck,β(Ω) : Dαf se estende continuamente ate Ω para todo 0 6 |α| 6 k

e

Ck,β(Ω) :=

f ∈ Ck(Ω) : ‖f‖Ck,β(Ω) < ∞

onde as normas ‖ · ‖Ck(Ω) e ‖ · ‖Ck,β(Ω) sao definidas de modo similar como

acima, apenas substituindo Ω por Ω na definicao. Os espacos de Holder saoextremamente importantes na teoria de equacoes diferenciais parciais.

Teorema 2.2.6 Seja Ω ⊂ Rn um domınio. Entao os espacos Ckb (Ω) e Ck,β(Ω)

sao espacos de Banach com as normas ‖ · ‖Ckb (Ω) e ‖ · ‖Ck,β(Ω) respectivamente.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Vamos considerar os espacos C1(Ω) e C0,β(Ω). O caso geralsegue por iteracao. Primeiro o espaco C0

b (Ω) e um espaco de Banach com anorma do sup pela seguinte razao: Se fn ⊂ C0(Ω) e uma sequencia de Cauchyentao para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que

|fn(x)− fm(x)| < ε, ∀n,m > N, x ∈ Ω.

A sequencia de numeros reais fn(x) e entao uma sequencia de Cauchypara todo x ∈ Ω, portanto esta tem um limite f(x) para completitude dosnumeros reais. Por outro lado, tambem temos ‖fn − f‖C0(Ω) → 0 desde que

|fn(x)− f(x)| = limm→∞

|fn(x)− fm(x)| 6 lim infm→∞

‖fn − fm‖C0(Ω)

e

‖fn − f‖C0(Ω) 6 lim infm→∞

‖fn − fm‖C0(Ω) → 0 para n →∞.

Como ‖fn − f‖C0(Ω) → 0 a sequencia fn converge uniformemente para fentao f contınua e tambem limitada. Agora seja fnn∈N uma seqencia deCauchy em C1

b (Ω). Entao as sequencias ∂ifnn∈N, fn, sao sequencias deCauchy com respeito a norma do sup e portanto tem limites contınuos osquais os denotaremos por gi e f respectivamente. Resta mostrar que o limitef e diferenciavel e que ∂if = gi. Definamos g := (g1, ..., gd) (com d sendoa dimensao do domınio Ω), ∇fn(x) := (∂1fn(x), ..., ∂dfn(x)), e para x ∈ Ωescolhemos y ∈ Ω tal que xt := (1− t)x + ty ∈ Ω para todo 0 6 t 6 1. Entao

|fn(y)− fn(x)−∇fn(x) · (y − x)| =∣∣∫ 1

0

(∇fn(xt)−∇fn(x)) · (y − x)dt∣∣

6 |y − x|∫ 1

0

|∇fn(xt)−∇fn(x)|dt

6 |y − x| ( 2‖∇fn − g‖C0(Ω) + sup06t61

|g(xt)− g(x)|).

Na ultima desigualdade acima temos ±g(xt) e temos ±g(x).Para n →∞ obtemos

|f(y)− f(x)− g(x) · (y − x) 6 |y − x| sup06t61

|g(xt)− g(x)|,

mas sup06t61

|g(xt)− g(x)| converge para zero quando y → x. Isto significa que f

e diferenciavel em x com ∇f(x) = g(x). Isto mostra que C1b (Ω) e um espaco

de Banach.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Agora suponhamos que fnn∈N e uma sequencia de Cauchy em C0,β(Ω). Asequencia fnn∈N e tambem uma sequencia de Cauchy com a norma do sup,portanto existe uma funcao contınua e limitada f tal que ‖fn − f‖C0,β(Ω) → 0quando n →∞. Temos que mostrar

supx,y∈Ωx 6=y

|f(y)− f(x)||x− y|β < ∞.

Dado ε > 0 entao existe N ∈ N tal que para todo n,m > N

supx,y∈Ωx6=0

|fn(x)− fm(x)− (fn(y)− fm(y))||x− y|β < ε

pois fn e uma sequencia de Cauchy respeito a norma ‖ · ‖C0,β(Ω). Para cadapar x, y ∈ Ω com x 6= y podemos passar al limite quando m →∞, e obtemos

|fn(x)− f(x)− (fn(y)− f(y))||x− y|β 6 ε

o qual implica que

|f(x)− f(y)||x− y|β 6 ε +

|fn(x)− fn(y)||x− y|β ,

portanto f ∈ C0,β(Ω), e ‖fn − f‖C0,β(Ω) → 0 quando n →∞.No mesmo caminho temos

Teorema 2.2.7 Seja Ω ⊂ Rn um domınio limitado. Entao os espacos Ck(Ω)e Ck,β(Ω) sao espacos de Banach com as normas ‖ · ‖Ck

b (Ω) e ‖ · ‖Ck,β(Ω)

respectivamente.

Lp(Ω) e lp

Se Ω ⊂ Rn e p ∈ R com 1 6 p < ∞ definimos para uma funcao mensuravelf : Ω → R

‖f‖Lp(Ω) :=

( ∫

Ω

|f(x)|pdx

)1/p

e

Lp(Ω) := f : Ω → R : f e mensuravel e‖f‖Lp(Ω) < ∞.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


O espaco vetorial (Lp(Ω), ‖ · ‖Lp(Ω)) nao e um espaco normado pois‖f‖Lp(Ω) = 0 nao implica que f ≡ 0. Antes introduzimos a seguinte relacaode equivalencia no espaco vetorial Lp(Ω). Dizemos que f, g ∈ Lp(Ω) saoequivalentes se o conjunto x ∈ Ω : f(x) 6= g(x) tem medida nula. Denotamoso espaco vetorial das classes de equivalencia por Lp(Ω) o qual entao torna-seum espaco normado. Observamos que a prova da desigualdade triangular‖f + g‖Lp(Ω) 6 ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω) nao e trivial (esta e tambem chamadade desigualdade de Minkowski). Discutiremos a prova num momento. Parafuncoes mensuraveis f : Ω → R definimos

ess supx∈Ω

f(x) := infc ∈ R ∪ ∞ : f(x) 6 c para quase todo x ∈ Ω

= inf supx∈Ω\N

|f(x)| : N ⊂ Ω, |N | = 0

e denotemos por L∞(Ω) as classes de equivalenciaa de todas a funcoesmensuraveis com

‖f‖L∞(Ω) := ess supx∈Ω

|f(x)| < ∞.

Estas sao as funcoes limitadas exceto em um conjunto de medida nula.Frequentemente falaremos sobre uma funcao mensuravel que esta no espaco

Lp(Ω) em vez de referirmos a sua classe de equivalencia.Vamos a mostrar uma desigualdade fundamental (desigualdade de Holde)

para os espacos Lp a qual implica entre outras coisas a desigualdade deMinkowski. Depois mostraremos que os espacos Lp(Ω) sao espacos de Banachpara 1 6 p < ∞.

Teorema 2.2.8 (Desigualdade de Holder) Seja Ω ⊂ R um domınio e f ∈Lp(Ω) com 1 6 p, q 6 ∞ tal que

1

p+

1

q= 1.

Entao fg ∈ L1(Ω) e

‖fg‖L1(Ω) 6 ‖f‖Lp(Ω) ‖g‖Lq(Ω).

Demonstracao. O teorema e obvio se p = 1 e q = ∞ ou viceversa. Portantoassumimos que 1 < p, q < ∞. Lembremos a desigualdade de Young a qual e

ab 6 1

pap +

1

qbq ∀a, b > 0.

A prova e evidente: Desde que a funcao logaritmo e concava em (0,∞) temos

log(1

pap +

1

q

)> 1

plog ap +

1

qlog bq = log(ab).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Portanto,

|f(x)| |g(x)| 6 1

p|f(x)|p +

1

q|g(x)|q para quase todo x ∈ Ω.

Concluımos que fg ∈ L1(Ω) e que∫

Ω

|fg|(x)dx 6 1

p‖f‖p

Lp(Ω) +1

q‖g‖q

Lq(Ω).

Substituindo agora f por λf , onde λ > 0 obtemos∫

Ω

|fg|(x)dx 6 λp−1

p‖f‖p

Lp(Ω) +1

λq‖g‖q

Lq(Ω).

Escolhendo agora λ = ‖f‖−1Lp(Ω) ‖g‖q/p

Lq(Ω) obtemos

∫

Ω

|fg|(x)dx 6 ‖f‖Lp(Ω)

p‖g‖q(p−1)/p

Lq(Ω) +‖f‖Lp(Ω)

q‖g‖q−q/p

Lq(Ω)

= ‖f‖Lp(Ω) ‖g‖Lq(Ω)

(1

p+

1

q

).

Antes de prosseguir, vamos ver algumas consequencias uteis dadesigualdade de Holder. A primeira e desigualdade de Minkowski:

Teorema 2.2.9 (Desigualdade de Minkowski) Sejam 1 6 p 6 ∞ e f, g ∈Lp(Ω). Entao f + g ∈ Lp(Ω) e

‖f + g‖Lp(Ω) 6 ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω).

Demonstracao. Os casos p = 1 e p = ∞ sao obvios, entao assumimos que1 < p < ∞. Nos temos

|f(x) + g(x)|p 6 (|f(x)|+ |g(x)|)p 6 2p−1 (|f(x)|p + |g(x)|p)entao f + g ∈ Lp(Ω). Seja agora q := p

p−1tal que 1

p+ 1

q= 1. Usamos a

desigualdade trivial

|f(x) + g(x)|p 6 |f(x)| |f(x) + g(x)|p−1 + |g(x)| |f(x) + g(x)|p−1

e observamos que a funcao |f(x) + g(x)|p−1 ∈ Lq(Ω). Entao concluımos dadesigualdade de Holder

∫

Ω

|f(x) + g(x)|pdx 6 ‖f‖Lp(Ω) ‖|f + g|p−1‖Lq(Ω)

=(‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω)

) ( ∫

Ω

|f(x) + g(x)|pdx

)1− 1p

.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Se∫

Ω|f(x) + g(x)|pdx = 0 entao a desigualdade de Minkowski e trivialmente

verdadeira. Caso contrario dividimos a desigualdade acima por( ∫

Ω|f(x) +

g(x)|pdx)1− 1

p .Eis algumas consequencias simples de desigualdade de Holder

Corolario 2.2.10 Seja Ω ⊂ Rn um domınio limitado e 1 6 p 6 q 6 ∞.Entao Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) e

|Ω|−1/p‖f‖Lp(Ω) 6 |Ω|−1/q‖f‖Lq(Ω) ∀f ∈ Lq(Ω).

Demonstracao. O caso q = ∞ e obvio, portanto suponhamos que q,∞.Usando a desigualdade Holder obtemos

‖f‖pLp(Ω) =

∫

Ω

1 · |f(x)|pdx 6 ‖1‖L

qq−p (Ω)

‖|f |p‖L

qp (Ω)

= |Ω|1− pq ‖f‖p

Lp(Ω)

desde que pq

+ q−pq

= 1.

Corolario 2.2.11 (Desigualdade de Interpolacao) Suponhamos que 1 6p 6 q 6 r e 0 6 λ 6 1 com

1

q=

λ

p=

1− λ

r.

Se f ∈ Lp(Ω) ∩ Lr(Ω) entao f ∈ Lq(Ω) e

‖f‖Lq(Ω) 6 ‖f‖λLp(Ω) ‖f‖1−λ

Lr(Ω).

Demonstracao. Temos 1p1

+ 1p2

= 1 se escolhemos p1 = pλq

e p2 = r(1−λ)q

.Entao da desigualdade de Holder obtemos

∫

Ω

|f(x)|qdx =

∫

Ω

|f(x)|λq |f(x)|(1−λ)qdx 6 ‖|f |λq‖Lp1(Ω) ‖|f |(1−λ)q‖Lp2 (Ω)

= ‖f‖λqLp(Ω) ‖f‖(1−λ)q

Lr(Ω) .

O seguinte resultado interessante explica por que o espaco L∞(Ω) echamado como este (se Ω e um domınio limitado).

Proposicao 2.2.12 Seja Ω ⊂ Rn um domınio limitado. Para f ∈ Lp(Ω),1 6 p < ∞ definimos

Φp(f) :=

(1

|Ω|∫

Ω

|f(x)pdx

)1/p

.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Se |f |p e simplesmente mensuravel, mas nao e integravel colocamos Φp(f) :=∞. Entao para cada funcao mensuravel f : Ω → R ∪ ±∞

limp→∞

Φp(f) = ‖f‖L∞(Ω).

Demonstracao. Temos que

Φp(f) := |Ω|−1/p‖f‖Lp(Ω).

Pelo Corolario 2.2.10, Φp(f) visto como uma funcao de p e crescente com

Φp(f) 6 ‖f‖L∞(Ω).

Portanto, o limite limp→∞ Φp(f) ∈ R ∪ ∞ existe e resta mostrar que

‖f‖L∞(Ω) 6 limp→∞

Φp(f).

Para r ∈ R sejaAr := x ∈ Ω : |f(x)| > r.

O conjunto Ar e mensuravel desde f o e e Ar| > 0 se r < ‖f‖L∞(Ω). Alemdisso,

Φp(f) > |Ω|−1/p

(∫

Ar

|f(x)|pdx

)1/p

> |Ω|−1/p|Ar|1/pr.

Passando ao limite quando p →∞ obtemos

limp→∞

Φp(f) 6 r.

Pois isto vale para todo r < ‖f‖L∞(Ω) nos concluımos que

limp→∞

Φp(f) > ‖f‖L∞(Ω).

Teorema 2.2.13 (Fischer-Riesz) O espaco (Lp(Ω), ‖ · ‖Lp(Ω)) e um espacode Banach.

Demonstracao. Seja fkk∈N ⊂ Lp(Ω) uma sequencia de Cauchy. Esuficiente provar que fk tem uma subsequencia convergente. Para cada i ∈ Nexiste um numero inteiro Ni tal que

‖fn − fm‖ 6 2−i sempre que n,m > Ni.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Construımos uma subsequencia fki ⊂ fk tal que

‖fki+1− fki

‖Lp(Ω) 6 2−i

colocando ki := maxi, Ni. Para simplificar a notacao vamos assumir deagora em diante que

‖fk+1 − fk‖Lp(Ω) 6 2−i

de modo que

M :=∑

k∈N‖fk+1 − fk‖Lp(Ω),∞.

Definimos

gl(x) :=l∑

k=1

|fk+1(x)− fk(x)|.

A sequencia gpl (x)l∈N e crescente monotamente e consiste de funcoes nao-

negativas integraveis desde que

∫

Ω

gpl (x)dx = ‖gl‖p

Lp(Ω) 6( l∑

k=1

‖fk+1 − fk‖Lp(Ω)

)p

6 Mp.

Pelo teorema da convergencia monotona a sequencia gpl l∈N converge

pontualmente em quase todo lugar para uma funcao integravel h. Isto implicapela definicao de gl que a sequencia fk(x)k∈N e uma sequencia de Cauchyem R para quase todo x ∈ Ω tal que o limite pontual

f(x) := limk→∞

fk(x)

existe em quase todo lugar. Agora aplicamos o Lema de Fatou a sequencia defuncoes integraveis |fk − fl|k∈N e concluımos

∫

Ω

|f(x)− fl(x)|pdx 6 lim infk→∞

∫

Ω

|f(x)− fl(x)|pdx

6(lim inf

k→∞‖fk − fl‖p

Lp(Ω)

)p

6(∑

k>l

‖fk − fl‖Lp(Ω)

)p

o qual tende para zero quando l → ∞. Isto mostra que a sequencia fkconverge para f na norma Lp e tambem mostra que f − fl ∈ Lp(Ω) e portantof ∈ Lp(Ω).

Durante a demonstracao do teorema 2.2.13 temos usado o seguinteresultado.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Corolario 2.2.14 Seja 1 6 p 6 ∞ e seja fkk∈N ⊂ Lp(Ω) uma sequenciaa qual converge em Lp(Ω) para alguma f ∈ Lp(Ω). Entao existe umasubsequencia a qual converge pontualmente quase em todo lugar para f .

Terminaremos esta secao com a seguinte definicao: Denotemos por RN oconjunto de todas as sequencias de numeros reais, isto e, RN = a : N → R :para cada n ∈ N, an ∈ R. Escrevemos x = xkk∈N ∈ RN e

‖x‖lp :=

( ∑

k

|xk|p)1/p

,

‖x‖l∞ := supk∈N

|xk|.

Definicao 2.2.15 Para 1 6 p < ∞ definimos

lp :=x ∈ RN : ‖x‖lp < ∞

e

l∞ :=x ∈ RN : ‖x‖l∞ < ∞

.

Os espacos (lp, ‖ · ‖lp) e (l∞, ‖ · ‖l∞) sao espacos de Banach. De fato, os espacosLp podem ser definidos em espacos de metricos arbitrarios em lugar de Ω ⊂ Rn

equipado com a metrica de Lebesque. Neste contexto os espacos lp, l∞ sao osespacos Lp, L∞ onde os espacos onde estao definidos sao os numeros naturaiscom a metrica discreta.

2.3 Compacidade e dimensao de espacos

vetoriais

Vimos na Proposicao 1.4.4 que qualquer subconjunto compacto de um espacometrico e fechado e limitado. Em geral a recıproca nao e verdadeira.Entretanto para espacos vetoriais normados de dimensao finita temos oseguinte resultado.

Teorema 2.3.1 (Compacidade) Em um espaco vetorial normado X dedimensao finita, qualquer subconjunto M ⊂ X e compacto se e somente seM e fechado e limitado.

Demonstracao. Se M ⊂ X e compacto entao M e fechado e limitado istopel Proposicao 1.4.4. vamos provar recıproca. Seja M fechado e limitado.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

42 2.3. Compacidade e dimensao de espacos vetoriais

Seja dim X = n e v1, · · · , vn uma base para X. Consideremos qualquersubsequencia xk ⊂ M . Cada xk tem uma representacao

xk = αk1v1 + · · ·αk

nvn.

Como M e limitado, entao xk tambe o e, isto e, existe a > 0 tal que ‖xk‖ 6 apara todo k. Com isto temos

a > ‖xk‖ =∥∥

n∑j=1

αkj vj

∥∥ > c

n∑j=1

|αkj |

onde c > 0. Portanto a sequencia de numeros αkj (j fixo) e limitada e pelo

Teorema de Bolzano- Weierstrass, tem um ponto de acumulacao αj, 1 6 j 6n. Logo concluımos que xk tem uma subsequencia zk a qual convergepara z =

∑αjvj. Como M e fechado, z ∈ M . Isto mostra que a sequencia

arbitraria xk em M tem uma subsequencia convergente a qual converge emM . Portanto M e compacto.

Lema 2.3.2 (Lema de Riesz) Seja Y e Z subespacos de um espaconormado X (de qualquer dimensao), e suponhamos que Y e fechado e e umsubespaco proprio de Z. Entao para todo numero real ϑ ∈ (0, 1) existe z ∈ Ztais que

‖z‖ = 1, ‖z − y‖ > ϑ para todo y ∈ Y.

Demonstracao. Seja w ∈ Z\Y e denotemos a distancia de w a Y por d, istoe,

d := infy∈Y

‖w − y‖.

Como Y e fechado, entao d > 0. Seja ϑ ∈ (0, 1). Pela Definicao de ınfimoexiste y0 ∈ Y tal que

d 6 ‖w − y0‖ 6 d

ϑ. (2.3.1)

Seja z =w − y0

‖w − y0‖ , entao ‖z‖ = 1, e vamos mostrar que ‖z − y‖ > ϑ para

todo y ∈ Y . Temos que

‖z − y‖ = ‖ w − y0

‖w − y0‖ − y‖ =1

‖w − y0‖‖w − y0 − ‖w − y0‖y‖

=1

‖w − y0‖‖w − y1‖

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


onde y1 = y0 + ‖w − y0‖y. Pela forma de y1 segue que y1 ∈ Y . Portanto‖w − y1‖ > d, pela definicao de d. Logo

‖z − y‖ = ‖w − y0‖−1‖w − y1‖ > cd =d

‖w − y0‖ > d

d/ϑ= ϑ.

Como y ∈ Y e arbitrario, isto conclui a demonstracao.

Em um espaco normado de dimensao finita a bola fechado unitaria ecompacta pelo Teorema 2.3.1. Reciprocamente, o Lema de Riesz da a seguir outil e notavel

Teorema 2.3.3 (Dimensao) Um espaco vetorial normado X e de dimensaoinfinita se e somente se a bola unitaria fechada B = x ∈ X : ‖x‖ 6 1 enao-compacta.

Demonstracao. Se X e de dimensao finita entao todas as normas saoequivalente a norma euclideana. Neste caso temos que todo conjunto fechado elimitado e compacto. Agora vamos mostrar que a bola unitaria e nao compactase X e de dimensao infinita.

Suponhamos que B e compacta e dim X = ∞, vamos mostrar que isto nosleva a uma contradicao. Escolhamos x1 com ‖x1‖ = 1. Este gera um subespacounidimensional X1 de X, o qual e fechado e e um subespaco proprio de X poisdim X = ∞. Pelo Lema de Riesz existe x2 ∈ X com ‖x2‖ = 1 tal que

‖x2 − x1‖ > 1

2.

Os elementos x1, x2 geram um subespaco X2 fechado e proprio de X e dedimesao 2. Pelo Lema de Riesz existe x3 com ‖x3‖ = 1 tal que para todox ∈ X2 temos

‖x3 − x‖ > 1

2.

Em particular

‖x3 − x1‖ > 1

2, ‖x3 − x2‖ > 1

2.

Procedendo por inducao, obtemos uma sequencia xn ⊂ B tal que

‖xm − xn‖ > 1

2(m 6= n).

Obviamente, xn nao tem nenhuma subsequencia convergente. Isto contradiza compacidade de B. Portanto dim X < ∞.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

44 2.4. Operadores e funcionais lineares

2.4 Operadores e funcionais lineares

No calculo consideramos funcoes da reta na reta (ou em um subconjuntoda reta). Obviamente qualquer funcao e uma aplicacao de seu domınio nareta. Em analise funcional consideramos espacos mais gerais tais como espacosmetricos e espacos normados, e aplicacoes entre este espacos.

No caso de espacos vetoriais e, em particular, espacos normados, umaaplicacao e chamada um operador.

Sao de especial interesse os operadores o quais preservam as duas operacoesalgebricas de espacos vetoriais.

Definicao 2.4.1 (Operador linear) Sejam X e Y espacos vetoriais sobre ocorpo K. T : D(T ) ⊂ X → Y e um operador linear se

T (x + y) = Tx + Ty

T (αx) = αTx(2.4.1)

para todo x, y ∈ D(T ) e todo escalar α.

Notacao:D(T ) denota o domınio de T .R(T ) = y ∈ Y : y = Tx, x ∈ D(T ) denota a imagem de T .N (T ) = ker(T ) = x ∈ D(T ) : Tx = 0 denota o espaco nulo ou ker de T .

Observe claramente que (2.4.1) e equivalente a

T (αx + βy) = αTx + βTy. (2.4.2)

Exemplos:Exemplo 1. O operador identidade IX : X → X e definido por IX(x) = xpara todo x ∈ X. Tambem escrevemo simplesmente I por IX , assim Ix = x.

Exemplo 2. Seja X o espaco vetorial de todos os polinomios em [a, b].Definimos T : X → X por Tx(t) = x′(t). O operador T e chamado operadordiferenciacao.

Exemplo 3. Seja T : C[a, b] → C[a, b] definido por

Tx(t) =

∫ t

a

x(τ)dτ, t ∈ [a, b].

Exemplo 4. Seja a = (a1, · · · , an) ∈ Rn fixo. Definamos T : Rn → R por

Tx = x · a =n∑

j=1

ajxj, x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Exemplo 5. Uma matriz real A = (aij) com m filas e n colunas define umoperador T : Rn → Rm pela formula y = Ax onde x = (xj) tem n componentese y = (yj) tem m componentes e estes sao escritos na forma de colunas porcausa da conversao de multiplicacao de matrizes, escrevendo y = Ax,temos

y1

y2...

ym

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

x1

x2...

xn

.

Teorema 2.4.2 (Imagem e o Ker) Seja T : D(T ) ⊂ X → Y . Entao:

(a) A imagem R(T ) e um espaco vetorial.

(b) Se dimD(T ) = n < ∞, entao dimR(T ) 6 n.

(c) O ker(T ) e um espaco vetorial.

Definicao 2.4.3 Sejam X, Y espacos vetoriais e T : D(T ) ⊂ X → Y umoperador linear. Dizemos que T e injetivo ou um-a-um se para pontodiferente no domınio temos imagens diferentes, isto e, se para quaisquerx1, x2 ∈ D(T ),

x1 6= x2 ⇒ Tx1 6= Tx2

equivalentemente

Tx1 = Tx2 ⇒ x1 = x2.

No caso de T ser injetivo existe o operador

T−1 : R(T ) → D(T )y 7→ x

(2.4.3)

o qual aplica todo elemento y ∈ R(T ) no elemento x ∈ D(T ) para o qualTx = y. O operador T−1 e chamado inverso de T .

De (2.4.3) claramente temos

T−1Tx = x para todo x ∈ D(T )

TT−1y = y para todo y ∈ R(T ).

Teorema 2.4.4 (Operador inverso) Sejam X e Y espacos vetoriais (ambosreais ou complexos), e T : D(T ) → Y um operador linear. Entao

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


(a) o operador T−1 : R(T ) → D(T ) existe se, e somente se, Tx = 0 implicaque x = 0 (ou seja ker(T ) = 0)

(b) se T−1 existe, ele e unico e linear.

(c) se dimD(T ) = n < ∞ e T−1 existe, entao dimR(T ) = dimD(T ).

Demonstracao. (a) Suponhamos que T−1 existe. Seja x ∈ D(T ) tal queTx = 0. Como T−1 existe segue que x = T−1Tx = 0.

Reciprocamente, suponhamos que se Tx = 0 entao x = 0. Sejam x1, x2 ∈D(T ) tais que Tx1 = Tx2. Pela linearidade de T , temos que T (x1 − x2) = 0 epela hipotese x1 − x2 = 0, ou seja, x1 = x2, o que implica a existencia de T−1.(b) Suponhamos que T−1 existe. Vamos mostrar que T−1 e unico. De fato,suponhamos que existe S−1 tal que S−1T = ID(T ) e TS−1 = IR(T ). Como T−1

existe segue que (S−1T )T−1 = T−1 e T−1(TS−1) = T−1. Disto segue que T−1

e unico. Sejam y1, y2 ∈ R(T ) e α, β escalares. Entao existem x1, x2 ∈ D(T )tais que x1 = T−1y1 e x2 = T−1y2 e αx1 + βx2 ∈ D(T ). Como

αy1 + βy2 = αTx1 + βTx2 = T (αx1 + βx2)

segue que

T−1(αy1 + βy2) = T−1T (αx2 + βx2) = αx1 + βx2 = αT−1y1 + βT−1y2.

Isto mostra que o operador T−1 e linear.(c) Suponhamos que dimD(T ) = n < ∞. Pelo Teorema 2.4.2 dimR(T ) 6 n.Como T−1 existe e dimD(T−1) = dimR(T ) 6 n, temos que dimR(T−1) =dimD(T ) 6 n, isto pelo mesmo teorema. Portanto dimD(T ) = dimR(T ).

Definicao 2.4.5 Sejam X e Y espacos vetoriais. Dizemos que um operadorT : D(T ) ⊂ X → Y e sobrejetivo se R(T ) = Y .

Lema 2.4.6 Sejam T : X → Y e S : Y → Z operadores lineares bijetivos,onde X,Y, Z sao operadores vetoriais sobre um mesmo corpo K. Entao (S T )−1 : Z → X existe e (S T )−1 = T−1 S−1.

Demonstracao. O operador ST : X → Z e bijetivo, portanto (ST )−1 existe.Temos assim

ST (ST )−1 = IZ .

Aplicando o operador S−1 temos que T (ST )−1 = S−1 e aplicando o operadorT−1, temos (ST )−1 = T−1S−1.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 2.4.7 (Operadores lineares em espacos de dimensao finita)Sejam X e Y espacos vetoriais sobre um mesmo corpo K de dimensoes m e nrespectivamente.

(a) Sejam u1, · · · , um e v1, · · · , vn bases arbitrarias e fixas de X e Y ,respectivamente e T : X → Y um operador linear. Entao o operador Tdetermina uma unica matriz representacao de T nas bases de X e Y .

(b) Uma matriz com n linhas e m colunas, define um operador linear deT : X → Y e A e a matriz representacao do operador.

Demonstracao. (a) Para qualquer x ∈ X, x possui uma unica representacao

x =m∑

i=1

aiui, ai ∈ K, i = 1, · · · ,m. Usando a linearidade de T temmos

y = Tx = T( m∑

i=1

aiui

)=

m∑i=1

aiT (ui). (2.4.4)

Portanto, se as imagens yi = Tui, i = 1, · · · ,m sao dadas o operador T eunicamente determinado. Como y, yi ∈ Y e v1, · · · , vn e uma base de Ytemos

y =n∑

j=1

bjvj e yi = Tui =n∑

j=1

τjivj

e substituindo Tui em (2.4.4) segue que

y =n∑

j=1

bjvj =m∑

i=1

aiTui =m∑

i=1

( n∑j=1

τjivj

)=

n∑j=1

( m∑i=1

τjiai

)vj.

Como v1, · · · vn sao vetores linearmente independentes, temos

bj =m∑

i=1

τjiai, j = 1, · · ·n. (2.4.5)

Portanto, a imagem y = Tx =n∑

j=1

bjvj de x =m∑

i=1

aiui pode ser obtida de

(2.4.5).Usando a notacao matricial, podemos escrever (2.4.5) na forma

b1

b2...bn

=

τ11 τ12 · · · τ1m

τ21 τ22 · · · τ2m...

.... . .

...τn1 τn2 · · · τnm

a1

a2...

am

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


onde os coeficientes formam uma matriz (τji). Tal matriz e unicamentedeterminada pois as bases sao arbitrarisa mas fixas. Dizemo que esta e amatrz representacao do operador T em relacao a essas bases.(b). Seja A = (aji)nm e u1, · · · , um e v1, · · · , vn de X e Y ,

respectivamente. Dado x ∈ X, x =m∑

i=1

aiui, definimos Tx = y = Ax, ou

seja y =n∑

j=1

bjvj, bj =m∑

i=1

ajiai, j = 1, · · · , n. Temos que T e linear e A e a

matriz representacao de T .O leitor pode ter observado que nesta secao nao fizemos uso de normas,

pois trabalhamos so em espacos vetoriais. Agora vamos trabalhar comespacos normados, o que nos permite considerar operadores lineares limitadose contınuos.

Definicao 2.4.8 Sejam X e Y espacos vetoriais normados e T : D(T ) ⊂X → Y um operador linear. Dizemos que o operador T e limitado se existeum numero real c > 0 tal que

‖Tx‖Y 6 c‖x‖X , ∀x ∈ D(T ). (2.4.6)

Observacao. O conceito de operador limitado difere do conceito de funcaolimitada considerada nos curso de Calculo, onde funcao limitada e aquelacuja imagem e um conjunto limitado. A motivacao do termo operadorlimitado deve-se ao fato que tal operador leva conjuntos limitados em conjuntolimitados.

Da Definicao 2.4.8 surge a seguinte pergunta: Qual e o menor valor possıvelde c tal que (2.4.6) ainda vale para todo x ∈ D(T )? [Excluımos o caso x = 0].Dividindo por ‖x‖ em (2.4.6) temos

‖Tx‖‖x‖ 6 c (x 6= 0)

e isto mostra que o menos valor possıvel e o supx∈D(T )

x6=0

‖Tx‖‖x‖ . Esta quantidade e

denotada por ‖T‖, assim

‖T‖ = supx∈D(T )

x 6=0

‖Tx‖‖x‖ . (2.4.7)

Lema 2.4.9 (Norma) Seja T um operador linear limitado como na Definicao2.4.8. Entao:

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


(a) Uma formula alternativa para a norma de T e

‖T‖ = supx∈D(T )‖x‖=1

‖Tx‖. (2.4.8)

(b) A norma definida por (2.4.7) satisfazem 1, 2 e 3 da Definicao 2.2.1.

Demonstracao. (a) Seja x ∈ X com ‖x‖ = a 6= 0 e coloquemos y = 1ax.

Entao ‖y‖ = ‖x‖a

= 1, como T e linear, (2.4.7) da

‖T‖ = supx∈D(T )

x6=0

1

a‖Tx‖ = sup

x∈D(T )x 6=0

∥∥∥∥T

(1

ax

) ∥∥∥∥ = supy∈D(T )‖y‖=1

‖Ty‖.

Escrevendo x por y no lado direito, temos (2.4.8).(b) 1. e obvio, pois ‖0‖ = 0 e de ‖T‖ = 0 temos Tx = 0 para todo x ∈ D(T ),segue que T = 0. 2. segue do fato que

‖(T1 + T2)x‖ 6 sup‖x‖=1

‖T1x‖+ sup‖x‖=1

‖T2x‖, x ∈ D(T1) ∩ D(T2).

3. segue de

sup‖x‖=1

‖αTx‖ = sup‖x‖=1

|α|‖Tx‖ = |α| sup‖x‖=1

‖Tx‖, x ∈ D(T ).

De (2.4.7) costumamos escrever ‖Tx‖ 6 ‖T‖‖x‖ e denotar por L(X,Y ) =T : X → Y : T e linear limitado e L(X) se T : X → X. Segue do Lema2.4.9 que L(X,Y ) e um espaco normado. O seguinte resultado diz que L(X, Y )e um espaco de Banach.

Teorema 2.4.10 Se X e um espaco normado e Y e um espaco de Banach,entao L(X, Y ) e um espaco de Banach.

Demonstracao. Seja Tn uma sequencia de Cauchy em L(X, Y ), entao paratodo ε > 0, existe N ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε, ∀n,m > N .

Para todo x ∈ X e m,n > N temos,

‖(Tn − Tm)x‖ 6 ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ < ε‖x‖. (2.4.9)

Agora, para cada x ∈ X, x fixo, e ε1 dado podemos escolher ε = εx tal queεx‖x‖ < ε1. Entao de (2.4.9) temos que ‖Tnx − Tmx‖ < ε1 ou seja Tnx euma sequencia de Cauchy em Y . Como Y e completo, Tnx converge para

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


algum elemento y ∈ Y . O elemento y depende da escolha de x ∈ X. Dessaforma definimos um operador T : X → Y , onde y = Tx. O operador T elinear, limitado e Tn → T . A linearidade de T segue de

T (αx1 + βx2) = limn→∞

Tn(αx1 + βx2) = limn→∞

(αTnx1 + βTnx2)

= α limn→∞

Tnx1 + β limn→∞

Tnx2 = αTx1 + βTx2.

Provemos que T e limitado e Tn → T , ou seja ‖Tn − T‖ → 0. De (2.4.9) e dacontinuidade da norma, segue que para todo n > N e ∀x ∈ X

‖Tnx− Tx‖ = ‖Tnx− limm→∞

Tnx‖ = limm→∞

‖Tnx− Tmx‖6 lim

m→∞‖(Tn − Tm)x‖ 6 lim

m→∞‖Tn − Tm‖ ‖x‖ 6 ε‖x‖. (2.4.10)

Isto mostrar que, para n > N , Tn−T e um operador linear limitado. Como Tn elimitado e T = Tn−(Tn−T ), temos que T e limitado. Considerando o supremopara todo x ∈ X de norma 1 em (2.4.10) temos que ‖Tn − T‖ < ε (n > N).Portanto ‖Tn − T‖ → 0, quando n →∞.

Exemplos

Exemplo 1. O operador identidade I : X → X, definido por Ix = x, ∀x ∈ X,X espaco normado, X 6= 0 e

‖I‖ = supx∈X‖x‖=1

‖Tx‖ = supx∈X‖x‖=1

‖x‖ = 1.

Exemplo 2. O operador diferenciacao. Seja X o espaco normado de todosos polinomios definido em [0, 1] com a norma ‖x‖ = max|x(t)| : t ∈ [0, 1].O operador diferenciacao e T : X → X e definido por Tx(t) = x′(t). Esteoperador nao e limitado. De fato, seja xn(t) = tn, onde n ∈ N. Entao

‖xn‖ = 1 e Txn(t) = x′n(t) = ntn−1. Disto segue que ‖Txn‖ = n e ‖Txn‖‖xn‖ = n.

Como n ∈ N e arbitrario, isto mostra que no existe um numero fixo c tal que‖Txn‖‖xn‖ 6 c. Disto e de (2.4.6) concluımos que T nao e limitado.

Exemplo 3. Operador integral. Seja X = C[0, 1] com ‖x‖ = maxx∈[0,1]

|x(t)| e

definamos um operador integral T : X → X por Tx(t) =∫ 1

0k(t, τ)x(τ)dτ ,

onde k e uma funcao contınua, a qual e chamada de nucleo de T .∣∣∣∣∫ 1

0

k(t, τ)x(τ)dτ

∣∣∣∣ 6∫ 1

0

|k(t, τ)| |x(τ)|dτ 6 k0

∫ 1

0

|x(τ)|dτ

6 k0 maxt∈[0,1]

|x(t)|∫ 1

0

dτ = k0‖x‖, ∀x ∈ X

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


onde k0 = max(t,τ)∈[0,1]×[0,1]

|k(t, τ)|. Portanto ‖Tx‖ = maxt∈[0,1]

|Tx(t)| 6 k0‖x‖ e T e

limitado.

Exemplo 4. Multiplicacao por uma matriz. O operador T : Rn → Rm,definido por Tx = Ax, onde A = (aji)mn e um operador linear limitado.

Sejam x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn, y = (y1, · · · , ym), y = Ax, yj =∑i=1

ajixi,

j = 1, · · · ,m, ‖x‖ =( n∑

i=1

)1/2

. Pela definicao de norma noRn e a desigualdade

de Cauchy-Schwartz temos

‖Tx‖2 =m∑

j=1

y2j =

m∑j=1

(m∑

i=1

ajixi

)2

6m∑

j=1

(n∑

i=1

a2ji

)1/2 (n∑

i=1

x2i

)2

2

= ‖x‖2

m∑j=1

n∑i=1

a2ji = c2‖x‖2,

onde c2 =m∑

j=1

n∑i=1

a2ji. Portanto ‖Tx‖2 6 c2‖x‖2, ou seja, ‖Tx‖ 6 c‖x‖ o que

implica que T e um operador limitado.

Teorema 2.4.11 (Dimensao finita) Se X e Y sao espacos normados comdim X = n < ∞, entao todo operador linear em T : X → Y e limitado.

Demonstracao. Seja dim X = n e v1, · · · , vn uma base para X e T :X → Y um operador linear, onde Y e um espaco normado qualquer. Para um

elemento qualquer x ∈ X, temos x =n∑

i=1

aivi, ai ∈ K, i = 1, · · · , n,

‖Tx‖ = ‖T( n∑i=1

aivi

)‖ = ‖n∑

i=1

aiTvi‖ 6n∑

i=1

|ai| ‖Tvi‖

6 max16i6n

‖Tvi‖n∑

i=1

|ai|.

Como v1, · · · , vn e um conjunto linearmente independente num espaconormado (segue do Lema 2.3.2 que), existe k > 0 tal que

‖x‖ =∥∥

n∑i=1

aivi‖ > k

n∑i=1

|ai|.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Portanto, ‖Tx‖ 6 max16i6n

‖Tvi‖1

k‖x‖ ou seja ‖Tx‖ 6 c‖x‖, onde c =

max16i6n

‖Tvi‖k

, ou que implica que T e limitado.

Os operadores sao aplicacoes, portanto a definicao de continuidade paraaplicacoes aplica-se a estes. Um fato importante e que para operadores lineares,continuidade e limitacao tornam-se conceitos equivalentes como veremos commais detalhes.

Definicao 2.4.12 Seja T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear naonecessariamente limitado, onde X e Y sao espacos vetoriais normados. Ooperador T e contınuo em x0 ∈ X se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖Tx− Tx0‖ < ε para todo x ∈ D(T ) satisfazendo ‖x− x0‖ < δ.

T e contınuo se T em contınuo em todo x ∈ D(T ).

Teorema 2.4.13 (Continuidade e limitacao) Sejam X e Y espacos nor-mados e T : D(T ) ⊂ X → Y um operador linear. Entao

(a) Se T e contınuo num ponto x0 ∈ D(T ), entao T e limitado;

(b) Se T e limitado, entao T e contınuo.

Demonstracao. (a) Suponhamos que T e contınuo em x0 ∈ D(T ). Entaodado ε = 1, existe δ > 0 tal que

‖Tx− Tx0‖ < 1 se ‖x− x0‖ < δ, x ∈ D(T ). (2.4.11)

Dado x ∈ D(T ), x 6= 0 nosso objetivo e provar que ‖Tx‖ 6 c‖x‖. Para isto,devemos usar a continuidade de T em x0, isto e, devemos considerar x1 ∈ D(T )tal que ‖x1−x0‖ < δ. Basta tomar x1 de tal forma que x1−x0 seja paralelo de xe pertenca a bola de centro x0 e raio δ. Seja x1 = x0 + δ

2‖x‖x, ‖x1−x0‖ = δ2

< δ

e entao de (2.4.11) temos

‖Tx1 − Tx0‖ = ‖T (x1 − x0)‖ = T (δx

2‖x‖)‖ =δ

2‖x‖‖Tx‖ < 1

ou seja, ‖Tx‖ 6 2δ‖x‖. Portanto ‖Tx‖ 6 c‖x‖ onde c = 2

δ, ou seja, T e um

operador limitado.(b) Suponhamos que T e um operador limitado e provemos que T e contınuoem D(T ).

Para T ≡ 0, a continuidade e clara.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Suponhamos que T e nao nulo. Eatao

‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖, ‖T‖ 6= 0. (2.4.12)

Seja x0 ∈ D(T ) um elemento qualquer, como D(T ) e um subespaco x − x0 ∈D(T ), ∀x ∈ D(T ) e (2.4.12) segue

‖Tx− Tx0‖ = ‖T (x− x0)‖ 6 ‖T‖‖x− x0‖.

Portanto, dado ε > 0, ∃ δ > 0 (basta tomar δ =ε

‖T‖) tal que ‖Tx− Tx0‖ < ε

para todo x ∈ D(T ) com ‖x−x0‖ < δ ou seja T e um operador linear contınuoem D(T ).

Corolario 2.4.14 Nas hipoteses do Teorema 2.4.13 temos:

(a) se T e contınuo em x0 ∈ D(T ), entao T e contınuo;

(b) T e contınuo se, e somente se, T e limitado.

Corolario 2.4.15 Sejam X e Y espacos normados e T : D(T ) ⊂ X → Y umoperador linear limitado. Entao o ker(T ) de T e fechado.

Demonstracao. Para todo x ∈ ker(T ) existe uma sequencia xn ⊂ ker(T )tal que xn → x. Pela continuidade de T , temos que Txn → Tx. Comoxn ker(T ), Txn = 0, ∀n ∈ N, e portanto Tx = 0, ou seja x ∈ ker(T ).

Definicao 2.4.16 (Igualdade, restricao e extensao de operadores) Doisoperadores T1, T2 : X → Y sao iguais e escrevemos T1 = T2 se tem o mesmodomınio D(T1) = D(T2) e se T1x = T2x para todo x ∈ D(T1) = D(T2).

A restricao de um operador T : D(T ) ⊂ X → Y a subconjunto B ⊂ D(T )e denotada por T |B e e o operador definido por T |B : B → Y , T |Bx = Tx paratodo x ∈ B.

Uma extensao de T : D(T ) ⊂ X → Y a um conjunto M ⊃ D(T ) e um

operador T : M → Y tal que T |D(T ) = T , isto e T x = Tx para todo x ∈ D(T ).

Se D(T ) e um subconjunto proprio de M , entao dado T qualquer, pode termuitas extensoes. Sao de nosso interesse aquelas extensoes as quais preservamalgumas propriedades basicas, como por exemplo lineraridade (se T e linear) oulimitacao (se D(T ) esta num subespaco normado e T e limitado). O seguinteresultado e tıpico neste respeito.

Teorema 2.4.17 Sejam X espaco vetorial normado, Y espaco de Banach T :D(T ) ⊂ X → Y um operador linear limitado. Entao T tem uma extensao

T : D(T ) → Y , onde T e um operador linear limitado e ‖T‖ = ‖T‖.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Seja x ∈ D(T ). Entao existe uma sequencia xn ⊂ D(T )tal que xn → x. Como T e linear e limitado, temos que

‖Txn − Txm‖ = ‖T (xn − xm)‖ 6 ‖T‖ ‖xn − xm‖.Isto mostra que Txn e uma sequencia de Cauchy pois xn e convergente.Como Y e completo Txn e convergente, digamos Txn → y ∈ Y . Definamos

T por T x = y.Vamos mostrar que esta definicao nao depende da escolha da sequencia en

D(T ) convergindo para x. Suponhamos que xn → x e zn → x. Entao vm → x,onde vm e a sequencia x1, z1, x2, z2, · · · . Portanto Tvm converge e duassubsequencias Txn e Tzn de Tvm tem o mesmo limite. Isto prova que

T e univocamente definido em todo x ∈ D(T ).

Claramente, T e linear e T x = Tx para cada x ∈ D(T ), e entao T e umaextrensao de T . Agora vamos usar ‖Txn‖ 6 ‖T‖‖xn‖ fazer n → ∞. Entao

Txn → y = T x. Como x → ‖x‖ define uma aplicacao contınua, obtemos

‖T x‖ 6 ‖T‖‖x‖. Portanto T e limitado e ‖T‖ 6 ‖T‖. Por outro lado,

‖T‖ > ‖T‖ pois a norma sendo definida pelo supremo, nao pode decrescer na

extensao. Portanto ‖T‖ = ‖T‖.Definicao 2.4.18 Seja X um espaco vetorial sobre o corpo K (K = R ou C).Um operado linear x′ : D(x′) ⊂ X → K chama-se funcional linear.

Denotaremos o valor de x′ em x por x′(x) ou 〈x′, x〉.No caso de x′ ser um operador linear limitado, temos

‖x′‖ = supx∈D(x′)

x 6=0

|〈x′, x〉|‖x‖ = sup

x∈D(x′)‖x‖=1

|〈x′, x〉|.

Considerando o Teorema 2.4.13 para funcionais temos:

Teorema 2.4.19 Um funcional linear x′ : D(x′) ⊂ X → K, onde X e umespaco normado sobre K e limitado se, e somente se, x′ e contınuo.

Exemplos

Exemplo 1. O funcional x′ : Rn → R, definido por x′(x) = a1x1+· · ·+anxn =a ·x, onde x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn e a = (a1, · · · , an) ∈ Rn e um vetor fixo e umlinear e limitado. De fato, usando a desigualdade de Cauchy -Schwartz temos

|〈x′, x〉| = |a · x| = |n∑

i=1

aixi| 6n∑

i=1

|aixi| 6(

n∑i=1

|ai|2)1/2 (

n∑i=1

|xi|2)1/2

= ‖a‖ ‖x‖.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Entao

|〈x′, x〉| = |a · x| 6 ‖a‖ ‖x‖ e ‖x′‖ = supx∈Rn

‖x‖=1

|〈x′, x〉| 6 ‖a‖. (2.4.13)

Por outro lado, tomando x = a e lembrando que

‖x′‖ = supx∈Rn

x6=0

|〈x′, x〉|‖x‖ ou seja ‖x′‖ > |〈x′, x〉|

‖x‖ , ∀x ∈ Rn, x 6= 0

temos

‖x′‖ > |〈x′, a〉|‖x‖ =

|a · a|‖a‖ =

‖a‖2

‖x‖ = ‖a‖. (2.4.14)

De (2.4.13) e (2.4.14) segue que ‖x′‖ = ‖a‖.Exemplo 2. O funcional x′ : C[a, b] → R definido por x′(x) = x(t0), ondet0 ∈ [a, b] e fixo e linear e limitado. De fato, para verificar a limitacao, sejax ∈ C[a, b], entao |〈x′, x〉| = |x(t0)| 6 max

t∈[a.b]|x(t)| = ‖x‖. Entao para x 6= 0,

|〈x′, x〉|‖x‖ 6 ‖x‖

‖x‖ = 1, o que implica que ‖x′‖ 6 1. (2.4.15)

Tomando x = 1, temos

1 = |〈x′, 1〉| 6 supx∈C[a,b]‖x‖=1

|〈x′, x〉| = ‖x‖. (2.4.16)

De (2.4.15) e (2.4.16) segue que x′ e limitado e ‖x′‖ = 1.

Exemplo 3. Integral definida. O funcional x′ : C[a, b] → R, definido por

〈x′, x〉 =

∫ b

a

x(s)ds, x ∈ C[a, b] (a < b)

e linear e limitado.Mostremos que ‖x′‖ = b− a. Seja x ∈ C[a, b], entao

|〈x′, x〉| =∣∣∣∣∫ b

a

x(s)ds

∣∣∣∣ 6∫ b

a

|x(s)|ds 6 maxa6s6b

|x(s)|∫ b

a

ds = ‖x‖(b− a).

Entao‖x′‖ = sup

x∈C[a,b]‖x‖=1

|〈x′, x〉| 6 b− a. (2.4.17)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

56 2.5. Espaco dual

Considerando x = 1, temos

‖x′‖ > |〈x′, x〉|‖x‖ = |〈x′, x〉| =

∣∣∣∣∫ b

a

ds

∣∣∣∣ = b− a,

ou seja‖x′‖ > b− a. (2.4.18)

De (2.4.17) e (2.4.18) segue que x′ e limitado e ‖x′‖ = b− a.

2.5 Espaco dual

Definicao 2.5.1 (Dual algebrico) Seja X um espaco vetorial sobre umcorpo K (K = R ou C). O conjunto de funcionais lineares x′ : X → K echamado espaco dual algebrico de X e denotamos por X∗ = x′ : X → K :x′ e funcional linear.

(X∗, +, ·) e um espaco vetorial, onde

(x′1 + x′2)(x) = x′1(x) + x′2(x)

(αx′1)(x) = α · x′1(x),

para todo x′1, x′2 ∈ X∗, x ∈ X e α ∈ K.

O espaco dual algebrico de X tambem e chamado espaco conjugadoalgebrico de X.

Os funcionais dados nos exemplos 1, 2 e 3 sao elementos de X∗, ondeX = Rn, C[a, b] e C[a, b], respectivamente.

Exemplo. O dual algebrico do Rn.

(Rn)∗ = x′ : Rn → R : x′ e funcional linear.

Todo x′ ∈ (Rn)∗ possui uma representacao

x′(x) = 〈x′, x〉 =n∑

i=1

αiai (2.5.1)

onde x =n∑

i=1

αivi, v1, · · · , vn e uma base do Rn e ai = 〈vi, x′〉, i = 1, · · · , n e

toda n-upla de escalares (a1, · · · , an) pode ser usada para definir um funcionalx′ pela formula (2.5.1). Portanto o operador T : (Rn)∗ → Rn definido porTx′ = (a1, · · · , an) e um operador linear. Temos ainda que T−1 existe e queR(T ) = Rn, ou seja, T e um isomorfismo. Portanto (Rn)∗ e Rn sao isomorfos.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 2.5.2 (Dimensao de X∗) Seja X um espaco vetorial de dimensaon < ∞ e e1, · · · , en uma base de X. Entao x′1, · · · , x′n onde

〈x′j, ei〉 = δij =

0, se i 6= j;1, se i = j

e uma base de X∗, chamada base dual de X, e dim X∗ = dim X = n.

Demonstracao. Seja a1, · · · , an, aj ∈ K, j = 1, . . . , n, tais quen∑

j=1

aj〈x′j, x〉 = 0, x ∈ X. Para x = ei, temosn∑

j=1

aj〈x′j, ei〉 =n∑

j=1

ajδij =

ai = 0, ou seja o conjunto x′1, · · · , x′n e linearmente independente.

Seja x′ ∈ X∗ e x =n∑

i=1

αiei, temos

〈x′, x〉 =n∑

i=1

αi〈x′, ei〉 =n∑

i=1

αiβi (2.5.2)

onde βi = 〈x′, ei〉, i = 1, · · · , n. Entao x′ ∈ X∗ e unicamente determinado peloseu valor nos elementos da base e1, · · · , en de X.

Pela definicao de x′i, i = 1, · · · , n, temos

〈x′i, x〉 = 〈α1e1 + · · ·+ αnen, x′i〉 = αi. (2.5.3)

Entao de (2.5.2) e (2.5.3) temos

〈x′, x〉 =n∑

i=1

βiαi =n∑

i=1

βi〈x′i, x〉 = 〈n∑

i=1

βix′i, x〉

ou seja a representacao unica de um funcional x′ ∈ X∗ em termos dos funcionaisx′i, i = 1, · · · , n, e dada por

x′ =n∑

i=1

βix′i onde βi = 〈x′, ei〉, i = 1, · · · , n.

Teorema 2.5.3 Seja X um espaco vetorial de dimensao finita. Se x0 ∈ Xpossui a propriedade que 〈x′, x0〉 = 0, ∀x′ ∈ X∗, entao x0 = 0.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

58 2.5. Espaco dual

Demonstracao. Seja e1, · · · , en uma base de X e x0 =∑n

i=1 aiei. Parax′ ∈ X∗ temos

〈x′, x0〉 =n∑

i=1

ai〈x′, ei〉 =n∑

i=1

aibi, bi = 〈x′, ei〉.

Como por hipotese, 〈x′, x0〉 = 0 para todo x′ ∈ X∗, temos

n∑i=1

aibi = 0

para toda escolha de b1, · · · , bn. Entao ai = 0, para i = 1, · · · , n, ou sejax0 = 0.

Teorema 2.5.4 Seja M ⊂ X um subespaco proprio de um espaco vetorial Xde dimensao finita e suponhamos que x0 ∈ X\M . Entao existe um elementox′ ∈ X∗ tal que 〈x′, x〉 = 0 se x ∈ M e 〈x′, x0〉 = 1.

Demonstracao. Suponhamos que dim M = m. Caso m = 0 e trivial. Para0 < m < n, seja e1, · · · , em uma base de M e em+1 = x0. O conjuntoe1, · · · , em, em+1 e linearmente independente (em+1 /∈ M). Podemosencontrar uma base de X cujo primeiros termos sao os vetores e1, · · · , em+1.Seja x′1, · · · , x′n a base dual de X e x′m+1 = x′0. Entao 〈x, xm+1〉 = 〈x′0, x〉 = 0se x 6= em+1 e 〈x′m+1, x〉 = 〈x′0, x〉 = 1 se x = x0 = em+1.

Observacao: O Teorema 2.5.4 continua valido se X e um espaco vetorial dedimensao infinita.

Definicao 2.5.5 (Segundo espaco dual algebrico) Seja X um espacovetorial sobre um corpo K (K = R ou C) e X∗ seu dual algebrico. O conjuntodos funcionais lineares x′′ : X∗ → K e chamado segundo dual algebrico deX e denotamos por X∗∗ = x′′ : X∗ → K : x′′ e funcional linear.

Notacao: Dado x′′ ∈ X∗∗, temos que

x′′ : X∗ → K

x′ → x′′(x′) = 〈x′′, x′〉.

Exemplo O segundo dual algebrico do Rn. Como (Rn)∗ e isomorfo ao Rn,temos que (Rn)∗∗ tambem e isomorfo ao Rn.

Para cada x ∈ X podemos associar um elemento Cx ∈ X∗∗ da seguintemaneira:

〈x′, Cx〉 = 〈x′, x〉, ∀x′ ∈ X∗.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Verifiquemos que Cx ∈ X∗∗, ou seja, Cx e um funcional linear definido emX∗. a) D(Cx) = X∗ que e um espaco vetorial, b) 〈x′, Cx〉 = 〈x′, x〉 ∈ K,pois x′ ∈ X∗, c) 〈αx′1 + βx′2, Cx〉 = 〈αx′1 + βx′2, x〉 = 〈αx′1, x〉 + 〈βx′2, x〉 =α〈x′1, x〉 + β〈x′2, x〉 = α〈x′1, Cx〉 + β〈x′2, Cx〉, α, β ∈ K. Portanto Cx ∈ X∗∗,para cada x ∈ X. Podemos entao dar a seguinte definicao.

Definicao 2.5.6 (Aplicacao canonica) Seja X um espaco vetorial sobreum corpo K (K = R ou C), X∗ e X∗∗ o dual algebrico e segundo dual algebricode X, respectivamente. A aplicacao

C : X → X∗∗

x → C(x) = Cx : X∗ → K

x′ → Cx(x′) = 〈x′, Cx〉 = 〈x′, x〉

e chamada aplicacao canonica de X em X∗∗

Proposicao 2.5.7 (Imersao canonica) A aplicacao canonica (Definicao2.5.6) e linear e injetiva, ou seja e uma imersao de X em R(C) ⊂ X∗∗,chamada de imersao canonica.

Demonstracao. Para provar a linearidade de C, sejam x,x2 ∈ X e α, β ∈ K.

Cαx1+βx2(x′) = 〈x′, Cαx1+βx2〉 = 〈x′, αx1 + βx2〉

= α〈x′, x1〉 = β〈x′, x2〉 = αCx1(x′) + βCx2(x

′)

= (αCx1 + βCx2)(x′).

Portanto C(αx1 + βx2) = Cαx1+βx2 = αCx1 + βCx2 = αC(x1) + βC(x2).Suponhamos agora que C(x) = 0, entao C(x)(x′) = Cx(x

′) = 〈x′, x〉 = 0 paratodo x′ ∈ X∗. Se X e de dimensao finita segue do Teorema 2.5.3 que x = 0.Logo C e injetiva. Aplicando o Teorema 2.5.4 com X de dimensao infinita comM = 0 vemos que se x 6= 0, entao existe x′1 ∈ X∗ tal que 〈x′1, x1〉 6= 0. Estaafirmacao e a forma contrapositiva do Teorema, portanto a demonstracao estacompleta.

Nos casos onde a aplicacao C : X → X∗∗ e sobrejetiva, ou sejaR(C) = X∗∗,temos um isomorfismo de X e X∗∗ e podemos, de certa forma, identificar oselementos de x com os elementos de X∗∗.

Definicao 2.5.8 (Espacos algebricamente reflexivos) Um espaco veto-rial diz-se algebricamente reflexivo quando a imersao canonica C : X → X∗∗

e sobrejetiva, isto e R(C) = X∗∗.

Os espacos vetoriais de dimensao finita sao algebricamente reflexivos, comovemos abaixo

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

60 2.5. Espaco dual

Teorema 2.5.9 (Reflexibilidade algebrica) Se X e um espaco vetorial dedimensao finita, entao X e algebricamente reflexivo.

Demonstracao. Pela Proposicao 2.5.7, a aplicacao canonica C : X → X∗∗

possui inversa C−1 : R(C) → X e entao dimR(C) = dim X. Agora, aplicandoo Teorema 2.5.2, para X∗ e X, temos dim X∗∗ = dim X∗ = dim X. Entao,dimR(C) = dim X = dim X∗∗. PortantoR(C) = X∗∗, poisR(C) e um espacovetorial e um subespaco proprio de X∗∗ tem dimensao menor do que dim X∗∗.Portanto X e algebricamente reflexivo.

Definicao 2.5.10 Seja X um espaco vetorial. Um subconjunto H ⊂ X echamado base de Hamel de X se:

1. H e um subconjunto linearmente independente de X.

2. O espaco gerador por H e todo X.

Teorema 2.5.11 Se X e um espaco vetorial de dimensao infinita, entaoX nao e algebricamente reflexivo. Consequentemente, um espaco vetorial ealgebricamente reflexivo se, e somente se, este e de dimensao finita.

Demonstracao. Seja H = xi : i ∈ I uma base de Hamel de X. Entao Ie um conjunto infinito de indices, e xi 6= xj se i 6= j. Definamos x′i ∈ X∗ porx′i(xi) = 1, x′i(xj) = 0 se i 6= j. Entao conjunto x′1 : i ∈ I e um conjunto

linearmente independente de X∗. Para, se supomos quen∑

ν=1

ανx′i(ν) = 0, temos

que 0 =n∑

ν=1

ανx′i(ν)(xi(µ)) = αµ quando µ = 1, · · · , n. Agora seja H∗ uma base

Hamel de X∗ a qual contenha o conjunto x′i; i ∈ I.Seja βi : i ∈ I um conjunto de numeros tal que βi 6= 0 para um numero

infinito de indices. Definamos x′′ ∈ X∗∗ colocando x′′(x′i) = βi e x′′(x′) = 0 sex′ ∈ H∗ mas x′ nao e nenhum dos elementos x′i. Consideremos um elementox′′0 ∈ X∗∗ de forma que x′′0 = C(x), x ∈ X. temos que x′′0(x

′i) = x′i(x) = αi, onde

αi e o coeficiente de xi na representacao de x em termos da base de HamelH. Como αi = 0 para todo um mas um numero finito de indices i, segueque o conjunto dos α’s nao poder ser o mesmo conjunto dos βi’s e portantox′′ 6= x′′0. Isto mostra que X∗∗ contem elementos que nao estao na imagem deC, portanto X nao e algebricamente reflexivo.

Agora vamos considerar funcionais lineares definidos em espacos normados.Isto nos permitira trabalhar com funcionais lineares limitados.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 2.5.12 (Espaco dual de X) Seja X um espaco vetorial normadosobre um corpo K (K = R ou C). O conjunto de funcionais lineares limitadosx′ : X → K e chamado espaco dual de X e denotamos por X ′ = x′ : X →K : x′ e funcional linear limitado.

Denotaremos o valor de x′ em x por x′(x) ou 〈x′, x〉, onde a notacao 〈, 〉denota a dualidade entre X ′ e X, algumas vezes escrevemos como 〈, 〉X′,X .

As vezes o espaco dual X ′ e tambem chamado de conjugado normadode X ou ainda adjunto de X.

O espaco dual X ′ e um subespaco vetorial do espaco dual algebrico X∗ deX e pelo teorema abaixo, X ′ e um espaco de Banach independente do espacoX ser completo ou nao.

Teorema 2.5.13 (Espaco dual) Seja X um espaco vetorial normado sobreum corpo K (K = R ou C). Entao o espaco dual de X, X ′ = (X ′, ‖ · ‖) onde

‖x′‖ = supx∈D(x′)

x6=0

|〈x′, x〉|‖x‖ = sup

‖x‖=1

|〈x′, x〉|, e um espaco de Banach.

Demonstracao. Segue do Teorema 2.4.10 pois X ′ = L(X,K) e K = R ou Ce um espaco completo.

Em analise funcional varios estudos dos espacos estao relacionados com osrealizados nos espacos duais. Por esta razao vamos determinar os espacos duaisde alguns espacos importantes.

Exemplo 1. O espaco dual do Rn e o Rn.Como dimRn = n < ∞, temos (Rn)′ = (Rn)∗. Todo x′ ∈ (Rn)∗ possui

uma representacao

x′(x) = 〈x′, x〉 =n∑

i=1

αiai

onde x =n∑

i=1

αiei, e1, · · · , en e uma base do Rn e ai = 〈ei, x′〉, i = 1, · · · , n.

Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz temos

|〈x′, x〉| 6n∑

i=1

|αi| |ai| 6(

n∑i=1

α2i

)1/2 (n∑

i=1

a2i

)1/2

= ‖x‖(

n∑i=1

a2i

)1/2

.

Como para x =n∑

i=1

aiei, 〈x′, x〉 =n∑

i=1

a2i =

(n∑

i=1

α2i

)1/2

, ou seja, vale a

igualdade temos ‖x′‖ = sup‖x‖=1

|〈x′, x〉| =

(n∑

i=1

α2i

)1/2

. Isto prova que ‖x′‖ e a

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

62 2.5. Espaco dual

norma euclideana, e

‖x′‖ = ‖a‖, onde a =n∑

i=1

aiei ∈ Rn.

Seja T : (Rn)′ → Rn, definida por Tx′ = a =∑n

i=1 aiei, ai = 〈ei, x′〉.

Temos que preserva norma. Como T e linear e bijetiva, T e um isomorfismo.Portanto, o espaco dual de Rn e o Rn.

Exemplo 2. O dual do lp e o lq, onde q = ∞ se p = 1 e q = pp−1

se 1 < p < ∞(que e o conjugado de p).a) p = 1.Uma base de Schuader de l1 e ei onde ei = (δij), tem 1 na posicao i e zeronas demais, e1 = (1, 0, · · · ), e2 = (0, 1, · · · ), · · · . Entao todo x ∈ l1 tem uma

representacao unica x =+∞∑i=1

αiei.

Seja x′ ∈ (l1)′, x′ e linear e limitada, 〈x′, x〉 =∑∞

i=1 αiβi, onde βi = 〈x′, ei〉sao unicamente determinados por x′. Como ‖ei‖ = 1 e |βi| = |〈x′, ei〉| 6‖ei‖ ‖x′‖ = ‖x‖, temos supi |βi| 6 ‖x′‖. Portanto, βi ∈ l∞.

Por outro lado, para todo y = γi ∈ l∞ podemos obter um funcional

linear limitado g ∈ (l1)′. De fato, definimos g ∈ (l1)′ por g(x) =∞∑i=1

αiγi onde

x = αi ∈ l1. Entao g e linear, e

|g(x)| 6∞∑i=1

|αiγi| 6 supi|γi|

∞∑i=1

|αi| = ‖x‖ supi|γi|.

Portanto, ‖g‖ = sup x∈l1

‖x‖=1

|g(x)| supi |γi| ou seja, g ∈ (l1)′.

Mostremos que a norma de x′ e a norma do l∞,

|〈x′, x〉 = |∞∑i=1

αiβi| 6 supi|βi|

∞∑i=1

|αi| = ‖x‖ supi|βi|

entao

‖x′‖ = supx∈l1

‖x‖=1

|〈x′, x〉| 6 supi|βi|.

Como |βi| 6 ‖x′‖, temos ‖x′‖ > supi |βi|. Portanto, a aplicacao T : (l1)′ → l∞

definida por Tx′ = c = βi e um isomorfismo.

b) 1 < p < ∞.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Uma base de Schauder de lp e ei, onde ei = δij, como no caso anterior. Entao

todo x ∈ lp possui uma representacao unica x =∞∑i=1

αiei.

Seja x′ ∈ (lp)′, funcional linear e limitado,

〈x′, x〉 =∞∑i=1

αiβi, βi = 〈x′, ei〉.

Seja q o conjugado de p e xnα(n)i onde

α(n)i =

|βi|qβi

, se i 6 n e βi 6= 0;

0, se i > n ou βi = 0.

Entao, 〈x′, xn〉 =∑∞

i=1 α(n)i βi =

∑∞i=1 |βi|q. Usando a definicao de α

(n)i e

(q − 1)p = q, temos

〈x′, xn〉 6 ‖xn‖ ‖x′‖ = ‖x′‖( ∞∑

i=1

|α(n)i |p

)1/p

= ‖x′‖(

n∑i=1

|βi|(q−1)p

)1/p

= ‖x′‖( ∞∑

i=1

|βi|q)1/p

Agora, 〈x′, xn〉 =∑n

i=1 |βi|q 6 ‖x′‖ (∑n

i=1 |βi|q)1/p. Dividindo por

(∑n

i=1 |βi|q)1/pe usando que 1− 1

p= 1

q, temos

(n∑

i=1

|βi|q)1− 1

p

=

(n∑

i=1

|βi|q)1/q

6 ‖x′‖.

Fazendo n →∞ temos ( ∞∑i=1

|βi|q)1/q

6 ‖x′‖

o que implica que x = βi ∈ lq.Reciprocamente, para todo y = γi ∈ lq, podemos associar um funcional

linear g ∈ (lp)′. De fato, definimos por

〈y, g〉 =∞∑i=1

αiγi

onde x = αi ∈ lp. Temos que g e linear e alimitacao segue da desigualdadede Holder. Portanto, g ∈ (lp)′.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

64 2.5. Espaco dual

Provemos que a norma de x′ e a norma de lq

|〈x′, x〉| = |∞∑i=1

αiβi| 6( ∞∑

i=1

|αi|p)1/p ( ∞∑

i=1

|βi|q)1/q

= ‖x‖( ∞∑

i=1

|βi|q)1/q

‖x′‖ = sup‖x‖=1

|〈x′, x〉| 6( ∞∑

i=1

|βi|q)1/q

.

Como (∑∞

i=1 |βi|q)1/q 6 ‖x′‖, temos

‖x′‖ =

( ∞∑i=1

|βi|q)1/q

.

Escrevemos ‖x′‖ = ‖c‖q, onde c = βi ∈ lq e βi = 〈x′, ei〉. A aplicacao

T : (lp)′ → lq definida por Tx′ = c e linear e bijetiva, e de ‖x′‖ = (∑∞

i=1 |βi|q)1/q

temos que T preserva norma, ou seja e um isomorfismo isometrico.

A seguir daremos alguns resultados sobre espacos duais e deixaremos asdemonstracoes para o leitor.

Teorema 2.5.14 Seja X um espaco vetorial normado e x0 ∈ X, x0 6= 0.Entao existe x′ ∈ X ′ tal que ‖x′‖ = 1 e 〈x′, x0〉 = ‖x0‖. Como consequenciatemos

sup‖x‖=1

|〈x′, x〉| = ‖x′‖, x ∈ X. (2.5.4)

Teorema 2.5.15 Seja X um espaco vetorial normado e x ∈ X tal que〈x′, x〉 = 0 para todo x′ ∈ X ′. Entao x = 0.

Definicao 2.5.16 Seja X um espaco vetorial normado sobre um corpo K

(K = R ou C) e X ′ o espaco dual de X. O dual de X ′ e o segundo dualde X, e denotamos por X ′′ = x′′ : X ′ → K : x′′ e funcional linear limitado.

Observamos que, X ′ e um subespaco de X∗ e X ′′ e um subespacos de (X ′)∗

mas nem sempre X ′′ e um subespacos de X∗∗. Existe uma aplicacao canonicade X em X ′′, analoga a definida no dual algebrico. Usaremos a mesma letraC para denota-la. A aplicacao C e definida da seguinte forma

C : X → X ′′

x → C(x) = Cx : X ′ → K

x′ → Cx(x′) = 〈x′, Cx〉 = 〈x′, x〉,

(2.5.5)

isto e C(x) = Cx = x′′, onde x′′(x′) = x′(x). E claro que Cx ∈ (X ′)∗ e desdeque ‖〈x′, Cx〉‖ 6 ‖x‖ ‖x′‖ segue que cx ∈ X ′′ e ‖Cx‖ 6 ‖x‖.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Provemos que ‖Cx‖ = ‖x‖. Para x = 0 e obvio. Suponhamos que x 6= 0.Pelo Teorema 2.5.14, existe x′ ∈ X ′ tal que ‖x′| = 1 e 〈x′, x〉 = ‖x‖. Como‖Cx‖ = sup

‖x′‖=1

‖〈x′, Cx〉‖ = sup‖x′‖=1

|〈x′, x〉| temos ‖Cx‖ > ‖x‖. Portanto, ‖Cx‖ =

‖x‖ e evidentemente a aplicacao C e uma imersao de X em R(C) ⊂ X ′′.

Definicao 2.5.17 Um espaco vetorial normado X diz-se reflexivo quando aaplicacao canonica C : X → X ′′,definida em (2.5.5), e sobrejetiva, isto e,R(C) = X ′′.

Ao contrario do que ocorre com espacos algebricamente reflexivos, existemespacos normado de dimensao infinita reflexivos. Por exemplo, lp, 1 < p < ∞,e reflexivo.

Como X ′ e completo, independente de X ser completo ou nao, segue de‖Cx‖ = ‖x‖ que se X e incompleto, ele nao pode ser reflexivo.

Teorema 2.5.18 Se X e um espaco vetorial normado reflexivo, entao X ′ ereflexivo.

Teorema 2.5.19 Se X e um espaco vetorial normado reflexivo, entao todsubespaco fechado de X ′ e reflexivo.

O Teorema de Hanh-Banach

Teorema 2.5.20 (Hahn-Banach, forma analıtica) Seja X um espacovetorial real, p um funcional sublinear em X, isto e,

p(λx) = λp(x) ∀x ∈ X, ∀λ > 0,

p(x + y) 6 p(x) + p(y) ∀x, y ∈ X,

M ⊂ X e f : M → R um funcional linear tal que f(x) 6 p(x) para todox ∈ M . Entao existe um funcional linear F : X → R tal que F (x) 6 p(x)para todo x ∈ X e F |M = f .

Demonstracao. Vamos supor que x ∈ X\M , vamos mostrar que podemosestender f a um funcional linear g : M + [x] → R o qual satisfaz g(y) 6 p(y)para todo y ∈ M + [x]. Se y1, y2 ∈ M temos

f(y1) + f(y2) = f(y1 + y2) 6 p(y1 + y2) 6 p(y1 − x) + p(x + y2)

ouf(y1)− p(y1 − x) 6 p(x + y2)− f(y2).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

66 2.5. Espaco dual

Logo

r1 = supf(y)− f(y − x) : y ∈ M 6 infp(x + y)− f(y0 : y ∈ M = r2.

Seja α ∈ R tal que r1 6 α 6 r2 e defina g : M + [x] → R por g(y + λx) =f(y) + λα. E claro que g e linear e que g|M = f , o que implica g(y) 6 p(y)para todo y ∈ M . Adicionalmente se λ > 0 e y ∈ M

g(y + λx) = λ[f(y/λ) + α] 6 λ[f(y/λ) + p(x + (y/λ))− f(y/λ)] = p(y + λx)

enquanto se λ = −µ < 0

g(y + λx) = µ[f(y/µ)− α] 6 µ[f(y/µ)− f(y/µ) + p(y/µ− x)] = p(y + λx).

Portanto g(z) 6 p(z) para todo z ∈ M + [x].Isto mostra que o domınio de uma extensao linear maximal de f

satisfazendo f 6 p deve ser o espaco todo.Seja F a familia de todas as extensoes lineares de f satisfazendo f 6 p

e parcialmente ordenado pela inclusao nos graficos. Como um conjuntoparcialmente ordenado de extensoes tem a uniao como limitante superior seguedo lema de Zorn que F tem elemento maximal.

Lema 2.5.21 (Lema de Zorn) Se X e parcialmente ordenado e todosubconjunto parcialmente ordenado de X tem um limitante superior, entaoX tem um elemento maximal.

A demonstracao do Lema de Zorn pode ser encontrada por exemplo emDunford-Schwartz [3].

Nao e indispensavel conhecer a demonstracao do lema de Zorn, entretantoe essencial entender bem o seu enunciado e saber aplicar.

Vejamos algumas aplicacoes do Teorema de Hahn-Banach quando X e umespaco vetorial normado.

Corolario 2.5.22 Seja M um subespaco vetorial de X e g : M → R umfuncional linear contınuo. Entao existe f ∈ X ′ tal que ‖f‖ = ‖g‖.

Demonstracao. Aplicar o teorema de Hahn-Banach com p(x) = ‖g‖ ‖x‖.

Corolario 2.5.23 Para todo x0 ∈ X existe f0 ∈ X ′ tal que

‖f0‖ = ‖x0‖ e 〈f0, x0〉 = ‖x0‖2.

Demonstracao. Aplicar o Corolario 2.5.22 com M = [x0] e g(tx0) = t‖x0‖2

de modo que ‖g‖ = ‖x0‖.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P



1. Sejam X e Y espaco vetoriais normados. Consideremos o conjunto X ⊕Y = (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y e definamos

‖(x, y)‖1 := ‖x‖+‖y‖, ‖(x, y)‖2 := max‖x‖, ‖y‖, ‖(x, y)‖3 :=√‖x‖2 + ‖y‖2.

Mostre que ‖ · ‖k, k = 1, 2, 3 e uma norma e mostre que estas normas saoequivalentes.


3. Demonstrar o teorema 2.2.7.

4. Mostrar que (L∞(Ω), ‖ · ‖L∞(Ω)) e um espaco de Banach.

5. provar a seguinte generalizacao da desigualdade de Holder: Sejamp1, ..., pn > 1 tal que

1

p1

+ · · ·+ 1

pn

= 1

e fk ∈ Lpk(Ω), k = 1, ..., n. Entao∫

Ω

|f1(x) · · · fn(x)|dx 6 ‖f1‖Lp1 (Ω) · · · ‖fn‖Lpn (Ω).

6. Demonstrar que C0(Ω) e denso em Lp(Ω) se 1 6 p < ∞.

7. Demonstrar que lp e um espaco de Banach para 1 6 p < ∞.

8. Demonstrar o teorema 2.4.2.

9. Demonstrar o corolario 2.4.14.

10. Sejam X, Y e Z espacos vetoriais normados e T : X → X, T1 : Y → Ze T2 : X → Y operadores lineares limitados. Mostre que T1T2 e umoperador linear limitado e ‖T1T2‖ 6 ‖T1‖ ‖T2‖. Alem disso ‖T n‖ 6‖T‖n, n ∈ N.

11. Sejam X e Y espacos vetoriais e T : D(T ) ⊂ X → Y um operadorlinear cuja inversa existe. Se x1, · · · , xn e um conjunto linearmenteindependente de D(T ), mostre que o conjunto Tx1, · · · , Txn elinearmente independente.

12. Seja T : X → Y um operador linear limitado entre espacos vetoriaisnormados X e Y . Se existe b > 0 tal que ‖Tx‖ > b‖x‖, ∀x ∈ X, mostreque T−1 : Y → X existe e e limitado.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


13. Mostre que a inversa T−1 : R(T ) → X de um operador limitado T :X → Y pode nao ser limitada. Suguestao: Considere o operador lineare limitado T : l∞ → l∞ definido por Tx = y = ηj, ηj =

αj

j, x = αj.

14. Seja T : C[0, 1] → C[0, 1] definido por Tx(t) =∫ t

0x(s)ds. Encontre R(T )

e T−1 : R(T ) → C[0, 1]. O operador T−1 e linear e limitado?

15. Considere os seguintes funcionais x′1, x′2 : C[a, b] → K definidos por

〈x, x′1〉 =

∫ b

a

x(t)y0(t)dt, y0 ∈ C[a, b]

〈x, x′2〉 = αx(a) + βx(b), α, β ∈ K.

Mostre que x′1, x′2 sao lineares e limitados.

16. Seja Y ⊂ X um subespaco de um espaco vetorial X e x′ um funcionallinear sobre X tal que x′(Y ) nao e todo o corpo dos escalares K de X.Mostre que 〈y, x′〉 = 0, ∀y ∈ Y .

17. Encontre uma base para o ker(f) de f , onde f : R3 → R e definido porf(x1, x2, x3) = x1 + x2 − x3.

18. Definamos S, T : C[0, 1] → C[0, 1] por Sx(t) = t∫ 1

0x(s)ds, Tx(t) = tx(t).

S e T comutam?. Encontre ‖S‖, ‖T‖, ‖ST‖ e ‖TS‖.

19. Sejam X e Y espacos vetoriais normados. Mostrar que um operadorlinear T : X → Y e limitado se, e somente se, T leva conjunto limitadosde X em conjuntos limitados de Y .

20. Mostrar que Rn e Cn nao sao compactos.

21. (Compacidade local). Um espaco metrico X e dito localmentecompacto se todo ponto de x tem uma vizinhanca compacta. Mostreque R e C e mais geralmente, Rn e Cn sao localmente compactos.

22. Definamos em Rn a seguinte norma

‖ξ‖p =( n∑

i=1

|ξi|p)1/p

, x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, 1 6 p < ∞.

Mostrar que1√n‖x‖1 6 ‖x‖2 6 ‖x‖1.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


23. (Continuidade das operacoes de espacos vetoriais) Mostrar queem um espaco vetorial normado X, a adicao de vetores e multiplicacaopor escalares sao operacoes contınuas com respeito a norma, isto e, asaplicacoes definidas por (x, y) 7→ x + y e (α, x) 7→ αx sao contınuas.

24. (Conjunto convexo, segmento) Um subconjunto A ⊂ X de um espacovetorial X e dito convexo se x, y ∈ A implica

M = z ∈ X : z = αx + (1− α)y, 0 6 α 6 1 ⊂ A.

M e chamado segmento fechado com pontos finais x e y, qualquer outroponto z ∈ M e chamado um ponto interior de M . Mostrar que a bolaunitaria fechada B[0, 1] = x ∈ X : ‖x‖ 6 1 em um espaco normado Xe convexa.

25. Mostrar que a norma ‖x‖ de x e distancia de x a origem 0.

26. Mostre que as expressoes abaixo definem normas nos respectivos espacosvetoriais:

(a) ‖x‖∞ = supn∈N

|xn| em l1(N);

(b) ‖f‖ = max‖f‖∞, ‖f ′‖∞ em C1[a, b] = f : [a, b] ⊂ R → K :f e contınua e tem derivada contınua em [a, b]

(c) ‖p‖ =∫ 1

0t|p(t)|dt em Pn[0, 1] = p : [0, 1] ⊂ R → R :

p e um polinomio de grau no maximo n.27. Se M e subespaco vetorial fechado de um espaco vetorial normado N , e se

π : N → N/M definida por π(x) = x = x+M e a aplicacao (sobrejetiva)natural, mostrar que π e uma aplicacao linear contınua e ‖π‖ 6 1.

28. Sejam X e Y espacos vetoriais normados e T : X → Y uma aplicacaolinear contınua, e ker(T ) o espaco nulo de T , mostre que T induz umatransformacao linear contınua natural T ′ : X/ ker T → Y e que ‖T ′‖ =‖T‖.

29. Seja X um espaco vetorial normado. Mostre que um funcional linearf : X → K e contınuo se, e somente se, ker(f) = f−1(0) e fechado.

30. Se X e um espaco de Banach e A ∈ L(X). Mostre que o operador eA

definido por

eA = I +1

2!A2 +

1

3!A3 + · · · ,

pertence a L(X) e que ‖eA‖ 6 e‖A‖.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Capıtulo 3

Espacos com produto interno ede Hilbert

No Rn sabemos adicionar vetores e multiplicar vetor por um escalar, ou seja,(Rn, +, ·) e um espaco vetorial sobre R, onde x + y = (x1 + y1, · · · , xn +yn), x, y ∈ Rn e α · x = (αx1, · · · , αxn), α ∈ R, temos tambem a nocao decomprimento de um vetor, ‖x‖ =

√∑ni=1 x2

i , pois (Rn, ‖ · ‖) e um espaconormado, e consequentemente a distancia entre dois elementos ρ(x, y) = ‖x−y‖. Alem disso, temos o produto escalar x · y =

∑ni=1 xiyi, com ‖x‖ =

√x · x

e ainda o conceito de ortogonalidade (se x · y = 0 x e y sao ortogonais)

No capitulo anterior consideramos espacos vetoriais normados, onde temosa adicao de vetores, a multiplicacao de vetor por escalar, a norma ( a qualgeneraliza a nocao de comprimento). Agora consideraremos espacos vetoriaisX e uma aplicacao de X × X → K, analoga ao produto escalar no Rn, ouseja generalizar o produto escalar e ortogonalidade para espacos arbitrarios,obtendo os espacos com produto interno. Veremos que atraves do produtointerno podemos definir uma norma e consequentemente uma metrica. Osespacos com produto interno completos (metrica induzida) sao chamados deespacos de Hilbert.

Portanto, espacos com produto interno sao espacos normados especiais.Historicamente eles sao mais antigos do que espacos normado gerais. Ateoria sobre esses espacos e mais rica e possui varias caracterısticas do espacoeuclideano. A teoria toda foi iniciada pelo trabalho de Hilbert (1912) sobreEquacoes Integrais. Esses espacos tem sido, ate agora, os espacos mais uteisnas aplicacoes de Analise Funcional.

Algumas caracterısticas distintas da teoria de produto interno e espaco deHilbert (H) e da norma e espacos de Banach: Pode-se representar o espacoH como soma direta de um subespaco fechado e seu complemento ortogonalH = Y ⊕ Y ⊥, todo funcional linear limitado f sobre H pode ser representado

71

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

72 3.1. Espacos com produto interno

em termos de produto interno, x(y) = 〈x, y〉 onde y e unicamente determinadopor f , ‖y‖ = ‖f‖. e um resultado que talvez seja a razao decisiva para aimportancia de espaco de Hilbert e o fato que todo espaco de Hilbert e reflexivo,ou seja, seu dual H ′′ e isomorfo a H. Para espacos normados isto nao poderocorrer, por exemplo o espaco l1 nao e reflexivo.

3.1 Espacos com produto interno

Definicao 3.1.1 (Produto interno) Um produto interno em um espacovetorial X ( sobre K) e uma aplicacao

〈, 〉 : X ×X → R

(x, y) 7→ 〈x, y〉tal que para todo x, y, z ∈ X e α ∈ K,

(i) 〈x, x〉 > 0 e 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0

(ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 se K = C e 〈x, y〉 = 〈y, x〉 se K = R (simetria)

(iii) 〈αx, y〉 = α〈x, y〉(iv) 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.

Definicao 3.1.2 O espaco X = (X, 〈, 〉) e chamado espaco com produtointerno ou espaco euclideano.

Lema 3.1.3 (Propriedades) Seja X = (X, 〈, 〉) um espaco com produtointerno. Entao

(1) 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉(2) 〈x, αy〉 = α〈x, y〉(3) 〈x, αy + βz〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉(4) 〈αx, αy〉 = |α|2〈x, y〉

Demonstracao. E imediata, segue diretamente da Definicao 3.1.1.

Teorema 3.1.4 (Desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz) SejaX um espaco com produto interno e x, y ∈ X. Entao vale a seguintedesigualdade

|〈x, y〉| 6 〈x, x〉1/2〈y, y〉1/2. (3.1.1)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

3. Espacos com produto interno e de Hilbert 73

Demonstracao. Se y = 0, a desigualdade (3.1.1) vale. Para y 6= 0 e α ∈ Karbitrario temos

0 6 〈x− αy, x− αy〉 = 〈x, x〉 − α〈x, y〉 − α〈y, x〉+ αα〈y, y〉= 〈x, x〉 − α〈x, y〉 − α(〈y, x〉 − α〈y, y〉).

Para que a expressao entre parenteses se anule devemos escolher α tal que

α =〈y, x〉〈y, y〉 . Entao

0 6 〈x, x〉 − 〈y, x〉〈y, y〉〈x, y〉 = 〈x, x〉 − |〈x, y〉|2

〈y, y〉 ;

ou seja

0 6 〈x, x〉〈y, y〉 − |〈x, y〉|2.

Portanto |〈x, y〉| 6 〈x, x〉1/2〈y, y〉1/2, ∀x, y ∈ X.

Proposicao 3.1.5 Seja X = (X, 〈, 〉) um espaco com produto interno. Afuncao definida ‖ · ‖ : X → R definida por ‖u‖ = 〈x, x〉1/2 e uma norma.Consequentemente (X, ‖ · ‖) e um espaco normado.

Demonstracao. Para verificar que de fato ‖ · ‖ e uma norma basta mostrarque ‖x + y‖ 6 ‖x‖ + ‖y‖ para todo x, y ∈ X. Iso segue da Desigualdade deCauchy-Buniakowski-Schwarz e de que

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re 〈x, y〉+ ‖y‖2 6 ‖x‖2 + 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2

6 ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2.

Entao todo espaco com produto interno (X, 〈, 〉) e um espaco normado(X, ‖ · ‖), ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 e consequentemente um espaco metrico (X, ρ), ondeρ(x, y) =

√〈x− y, x− y〉 = ‖x− y‖.

A questao que surge naturalmente e a seguinte: Toda norma pode serobtida de um produto interno definido num espaco vetorial? Para responderisto vamos primeiro verificar uma propriedade importante que uma normaobtida de um produto interno satisfaz.

Proposicao 3.1.6 (Igualdade do Paralelogramo) Seja X = (X, ‖ · ‖) umespaco normado com norma ‖ · ‖. ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 se, e somente se, vale aseguinte igualdade

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

). (3.1.2)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

74 3.1. Espacos com produto interno

Demonstracao.

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 〈x + y, x + y〉+ 〈x− y, x− y〉= 〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈x, x〉 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉+ 〈y, y〉= 2 (〈x, x〉+ 〈y, y〉) = 2

(‖x‖2 + ‖y‖2).

Portanto, para verificar que uma norma definida em um espaco X nao podeser obtida de um produto interno basta verificar que a norma nao satisfaz aigualdade do paralelogramo.

Exemplo. Seja lp = x = αj, αj ∈ C :∑∞

j=1 |αj|p < ∞, ‖x‖p =

( ∞∑j=1

|αj|p)1/p

, 1 < p < ∞. Para x = (1, 1, 0, · · · ) e y = (1,−1, 0, · · · )

elementos de lp temos

‖x‖ = ‖y‖ = 21/p

‖x + y‖ = ‖x− y‖ = (2p)1/p = 2.

Entao, ‖x+y‖2+‖x−y‖2 = 22+22 = 23 e 2(‖x‖2+‖y‖2) = 2(22/p+22/p) = 22+ 2p .

Portanto a igualdade do Paralelogramo so e valida para p = 2. Conclusao

para p 6= 2 o espaco lp = (lp, ‖ · ‖p), ‖x‖p =( ∞∑

j=1

|αj|p)1/p

, 1 < p < ∞, nao e

um espaco com produto interno.

Lema 3.1.7 Dado um espaco com produto interno X, para todo y ∈ X, aaplicacao fy : X → C definida por fy(x) = 〈x, y〉 e linear contınua e temos‖fy‖ = ‖y‖.

Lema 3.1.8 (Continuidade do produto interno) Num espaco com pro-duto interno X, o produto interno 〈, 〉 e uma funcao contınua.

Lema 3.1.9 Dadas duas sequencias convergentes, xn → x e yn → y de umespacos com produto interno X, temos 〈xn, yn〉 → 〈x, y〉.

Vamos considerar agora o conceito de ortogonalidade, o qual e basico emtoda a teoria.

Definicao 3.1.10 (Ortogonalidade) Dois vetores x, y em um espaco comproduto interno X sao ditos ortogonais se 〈x, y〉 = 0 e escrevemos x⊥y.Similarmente para subconjuntos A,B ⊂ X escrevemos x⊥A se x⊥a para todoa ∈ A, e A⊥B se a⊥b para todo a ∈ A e todo b ∈ B.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


3.2 Espacos de Hilbert

Definicao 3.2.1 (Espaco de Hilbert) Um espaco vetorial com produtointerno X chama-se espaco de Hilbert quando (X, ρ) e completo, onde ρ ea metrica definida pela norma que provem do produto interno.

Em particular espacos de Hilbert sao espacos de Banach.

3.2.1 Exemplos de espacos de Hilbert

Exemplo 1. O espaco euclideano Rn. O espaco Rn e um espaco de Hilbertcom o produto interno definido por

〈x, y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn (3.2.1)

onde x = (x1, · · · , xn) e y = (y1, · · · , yn).

De (3.2.1) temos que ‖x‖ = (x21 + · · · x2

n)1/2 e deste temos a metricaeuclideana definida por ρ(x, y) = ‖x − y‖ = 〈x − y, x − y〉1/2 =[(x1 − y1)

2 + · · ·+ (xn − yn)2]2.

Temos que (Rn, ρ) e completo e portanto (Rn, 〈, 〉) e de Hilbert

Se n = 2 ou 3 a formula (3.2.1) corresponde ao produto interno habitualdo calculo vetorial.

Exemplo 2. O espaco Cn. O produto interno e Cn e definido por

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi, x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Cn.

‖x‖ =( n∑

i=1

|xi|2)1/2

ρ(x, y) = 〈x− y, x− y〉1/2 =( n∑

i=1

|xi − yi|2)1/2

.

Como (Cn, ρ) e completo, entao (Cn, 〈, 〉) e de Hilbert.

Exemplo 3. O espaco l2.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

76 3.2. Espacos de Hilbert

l2 = x = αj, αj ∈ C :∞∑

j=1

|αj|2 < ∞

〈x, y〉 =∞∑

j=1

αjβj, x = αj, y = βj

‖x‖ = 〈x, x〉1/2 =( n∑

j=1

|αj|2)1/2

ρ(x, y) = ‖x− y‖.

(l2, ρ) e completo, entao (l2, 〈, 〉) e de Hilbert.

O espaco (lp, ‖ · ‖p), 1 < p < ∞ e p 6= 2, onde ‖x‖p

(∑∞j=1 |αj|p

)1/p

e de

Banach mas nao de Hilbert.

Exemplo 4. O Espaco L2[a, b]. A norma no espaco L2[a, b] e definida por

‖x‖ =

(∫ b

a

x(t)2dt

)1/2

e pode ser obtida do produto interno definido por

〈x, y〉 =

∫ b

a

x(t)y(t)dt.

A metrica ρ(x, y) = ‖x − y‖ faz que o espaco L2[a, b] seja completo, logo(L2[a, b], 〈, 〉) e de Hilbert.

Exemplo 5. O espaco C[a, b]. O espaco C[a, b] nao e um espaco com produtointerno, portanto nao e um espaco de Hilbert.

De fato, mostremos que a norma definida por

‖x‖ = maxt∈[a,b]

|x(t)|

nao poder ser obtida de um produto interno desde que a norma nao satisfacaa igualdade do Paralelogramo. Tomemos x(t) = 1 e y(t) = (t − a)/(b − a),temos que ‖x‖ = ‖y‖ = 1 e

x(t) + y(t) = 1 +t− a

b− a

x(t)− y(t) = 1− t− a

b− a.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Portanto ‖x+y‖ = 2, ‖x−y‖ = 1 e ‖x+y‖2+‖x−y‖2 = 5 mas 2 (‖x‖2+‖y‖2) =4.

Um fato interessante e o seguinte. Se sabemos que uma norma provem deum produto interno (verificando a igualdade do Paralelogramo). E obvio que,gostarıamos de redescobrir o produto interno da norma correspondente. Defato, e facil de verificar que para um espaco (real) com produto interno temos

〈x, y〉 =1

4

(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2)

(3.2.2)

e para um espaco (complexo) com produto interno temos

Re 〈x, y〉 =1

4

(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2)

Im 〈x, y〉 =1

4

(‖x + iy‖2 − ‖x− iy‖2).

(3.2.3)

A equacao (3.2.3) algumas vezes e chamada de Identidade dePolarizacao.

A desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz pode ser reescrita usandoa norma

|〈x, y〉| 6 ‖x‖ ‖y‖, ∀x, y ∈ X.

Nos capıtulos anteriores foi mostrado que pode-se completar espacosmetricos e normados, respectivamente. Utilizando a continuidade do produtointerno mostra-se um resultado analogo para espacos com produto interno

Definicao 3.2.2 (Isomorfismo entre espacos com produto interno) SejamX e Y espacos vetoriais sobre o mesmo corpo K, com produtos internos. Umisomorfismo de X em Y e um operador linear bijetivo T : X → Y , o qualpreserva o produto interno, isto e,

〈Tx, Ty〉Y = 〈x, y〉X , ∀x, y ∈ X,

os espacos Xe Y dizem-se isomorfos.

Um isomorfismo entre espacos com produto interno e em particular umaisometria.

Teorema 3.2.3 (Completamento) Seja X um espaco com produto interno.Entao existe um espaco de Hilbert H e um isomorfismo T : X → W ⊂ H, oqual e denso em H. Alem disso o espaco H e unico exceto por isomorfismo.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

78 3.3. Complementos ortogonais e somas diretas

Definicao 3.2.4 (Subespaco) Um subespaco Y de um espaco com produtointerno X e um subespaco vetorial de X considerado com o produto interno deX restrito a Y × Y .

Um subespaco Y de um espaco de Hilbert H e definido como sendo umsubespaco de H, considerado como um espaco com produto interno. Note queY nao necessariamente e um espaco de Hilbert pois Y pode nao ser completo.

Teorema 3.2.5 (Subespaco) Seja H um espaco de Hilbert e Y ⊂ H umsubespaco. Entao:

(a) Y e completo se, e somente se Y e fechado em H

(b) Se dim Y = n < ∞, entao Y e completo.

3.3 Complementos ortogonais e somas diretas

O espaco vetorial R2 possui subespacos Y e Z, Y fechado, tais que todoelemento x ∈ R2 pode ser escrito de maneira unica, x = y + z onde y ∈ Y ez ∈ Z. Dizemos que R2 e soma direta de Y e Z e denotamos R2 = Y ⊕ Z.Por exemplo Y = R e se Z e uma reta real isto ocorre. Quando escolhemos Zperpendicular a Y obtemos a situacao mais interessante, e o que ocorre quandotrabalhamos com o sistema de coordenadas cartesianas. Temos R2 = Y ⊕ Zez = (z1, z2) ∈ Z, z · y = z1y1 + z2y2 = 0 para todo y = (y1, y2) ∈ Y .

Para o espaco de Hilbert H, tambem e interessante representar H comouma soma direta de subespacos fechados Y e Y ⊥. Para isto necessitamos dealguns conceitos e resultados.

Definicao 3.3.1 (Complemento ortogonal) Seja X um espaco com pro-duto interno e Y ⊂ X um subespaco vetorial. Definimos o complementoortogonal de Y como sendo o conjunto Y ⊥ = x ∈ X : x⊥Y = x ∈ X :x⊥y, ∀y ∈ Y .E facil ver que Y ⊥ e sempre um subespaco vetorial fechado de X mesmo queY nao seja fechado.

Em um espaco metrico X, a distancia de um elemento x ∈ X a um conjuntonao vazio M ⊂ X e definida como

ρ = infξ∈M

ρ(x, ξ) (M 6= ∅).

Em um espaco normado esta se transforma em

ρ = infξ∈M

‖x− ξ‖ (M 6= ∅). (3.3.1)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Veremos que e importante saber se ha um x0 ∈ M tal que

ρ = ‖x− x0‖, (3.3.2)

isto e, intuitivamente falando, se existe um ponto x0 ∈ M o qual e perto do xdado, e se existe de tal elemento, e unico. Este e um problema de existenciae unicidade. Este e de fundamental importancia teorica como tambem emaplicacoes, como por exemplo, em conexao com aproximacao de funcoes.

Teorema 3.3.2 Se K e um subconjunto fechado e convexo de um espaco deHilbert H e x ∈ H, entao existe um unico x0 ∈ K tal que

‖x− x0‖ = infξ∈K

‖x− ξ‖. (3.3.3)

Demonstracao. (a). Existencia de x0. Seja xn ⊂ K uma sequencia em Ktal que

ρn = ‖x− xn‖ → ρ = infξ∈K

‖x− ξ‖.

Mostraremos que xn e uma sequencia de cauchy. Da identidade doparalelogramo para a = x− xn e b = x− xm temos que

∥∥x− (xn + xm)

2

∥∥2+

∥∥xn − xm

2

∥∥2=

1

2

(ρ2

n + ρ2m

).

Como(xn + xm)

2∈ K (pois K e convexo) temos que ‖x − (xn+xm)

2‖ > ρ.

Consequentemente

‖xn − xm

2‖ 6 1

2

(ρ2

n + ρ2m

)− ρ2 e limm,n→∞

‖xn − xm

2‖ = 0.

Se x0 = limn→∞

xn temos que ‖x− x0‖ = infξ∈K

‖x− ξ‖.(b). Unicidade. Suponhamos que existem dois elementos x0, z0 ∈ K tal que‖x−x0‖ = ‖x−z0‖ = ρ. Entao da identidade do paralelogramo para a = x−x0

e b = x− z0 temos

‖x0 − z0‖2 = 2‖x− x0‖2 + 2‖x− z0‖2 − ‖2x− (x0 + z0)‖2

= 4ρ2 − 4‖x− x0 + z0

2‖2 6 0.

Portanto x0 = z0.

Definicao 3.3.3 (Projecao) O elemento x0 ∈ K definido no Teorema 3.3.2e chamado a projecao de x em K. Escrevemos x0 = PKx e dizemos quePK : H → K e a projecao ortogonal sobre o convexo K.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 3.3.4 (Caracterizacao da projecao) Seja K e um subconjuntofechado e convexo de um espaco de Hilbert H e x ∈ H dado. As seguintes tresproposicoes sao equivalentes:

(i) x0 ∈ K, ‖x− x0‖ 6 ‖x− y‖ ∀y ∈ K,

(ii) x0 ∈ K, Re 〈x− x0, y − x0〉 6 0 ∀y ∈ K,

(iii) x0 ∈ K, Re 〈x− y, x0 − y〉 > 0 ∀y ∈ K.

Demonstracao. (i)⇒ (ii). Seja y ∈ K e seja ξ = (1− t)x0 + ty ∈ K, t ∈ (0, 1]

‖x− x0‖2 6 ‖x− ξ‖2 = ‖x− x0‖2 − 2t Re 〈x− x0, y − x0〉+ t2‖y − x0‖2,

disto segue que2 Re 〈x− x0, y − x0〉 6 t‖y − x0‖2.

Fazendo t → 0+, obtemos (ii).(ii) ⇒ (iii). Se Re 〈x− x0, y − x0〉 6 0 podemos escrever

0 > Re 〈x− y + y − x0, y − x0〉 = Re 〈x− y, y − x0〉+ ‖y − x0‖2,

do qual segue (iii).(iii) ⇒ (ii). Seja y ∈ K e ξ = x0 + t(y − x0) ∈ K, t ∈ (0, 1].

Re 〈x− ξ, x0 − ξ〉 > 0 ⇒ −t Re 〈x− x0, y − x0〉+ t2‖y − x0‖2 > 0,

do qual segue quet‖y − x0‖2 > Re 〈x− x0, y − x0〉,

obtemos (ii) fazendo t → 0+.(ii)⇒ (i). Temos que

Re 〈x− x0, y − x0〉 = Re 〈x− x0, y − x + x− x0〉 6 0

Re 〈x− x0, y − x〉+ ‖x− x0‖2 6 0,

de onde segue que

‖x− x0‖2 6 Re 〈x− x0, x− y〉 6 ‖x− x0‖ ‖x− y‖pela desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz, isto prova (i) e portantoo teorema.

Teorema 3.3.5 Se H e um espaco de Hilbert e K ⊂ H e um convexo fechadoentao

‖PKx− PKy‖ 6 ‖x− y‖, ∀x, y ∈ H.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Se z = PKx e w = PKy temos que

Re 〈x− z, u− z〉 6 0, ∀u ∈ K (3.3.4)

Re 〈y − w, u− w〉 6 0, ∀u ∈ K. (3.3.5)

Substituindo u = w em (3.3.4) e u = z em (3.3.5) e somando temos

Re 〈x− z, w − z〉+ Re 〈y − w, z − w〉 6 0,

Re 〈x− z, w − z〉+ Re 〈y − z + z − w, z − w〉 6 0

Re 〈x− z, w − z〉+ Re 〈z − y, w − z〉+ ‖z − w‖2 6 0

Re 〈x− y, w − z〉+ ‖z − w‖2 6 0

do qual segue que‖z − w‖2 6 Re 〈x− y, z − w〉,

agora usando a desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz no lado direitoda ultima desigualdade obtemos

‖z − w‖2 6 Re 〈x− y, z − w〉 6 ‖x− y‖ ‖z − w‖e o resultado segue.

Um subespaco vetorial fechado de H e um exemplo particular de umconjunto convexo, neste caso obtemos o seguinte resultado

Proposicao 3.3.6 (Ortogonalidade) Seja H um espaco de Hilbert, V umsubespaco vetorial fechado de H e x ∈ H dado. Entao existe um unico elementox0 ∈ V tal que 〈x− x0, v〉 = 0, ∀v ∈ V

x0 = PV x, .(3.3.6)

Demonstracao. A existencia e unicidade segue do Teorema 3.3.2. Seja x0 =PV x onde PV e dada pela Definicao 3.3.3. Do Teorema 3.3.4 (ii) temos que

Re 〈x− PV x, y − PV x〉 6 0, ∀y ∈ V.

Escolhendo y = PV x± v, v ∈ V , temos que

±Re 〈x− PV x, v〉 6 0, ∀v ∈ V,

disto segue queRe 〈x− PV x, v〉 = 0, ∀v ∈ V. (3.3.7)

Agora se substituımos v por ±iv em (3.3.7) obtemos

Im 〈x− PV x, v〉 = 0, ∀v ∈ V,

portanto 〈x− PV x, v〉 = 0, ∀v ∈ V .

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 3.3.7 (Soma Direta) Um espaco vetorial X e dito ser uma sumadireta dos dois subespacos Y e Z de X, e escrevemos

X = Y ⊕ Z,

se cada x ∈ X tem uma unica representacao

x = y + z, y ∈ Y, z ∈ Z.

O espaco Z e chamado o complemento algebrico de Y em X e viceversa,e Y , Z sao chamados par complementar de subespacos em X.

A Proposicao 3.3.6 mostra que x− PV x = x− x0 ∈ V ⊥. Reciprocamente,se x− y0 ∈ V ⊥ entao y0 = PV x = x0.

Todo elemento x ∈ H pode assim ser escrito de maneira unica

x = v + w, v ∈ V, w ∈ V ⊥

v = PV x.(3.3.8)

Teorema 3.3.8 (Soma direta) Seja H um espaco de Hilbert e V ⊂ H umsubespaco vetorial fechado, entao

H = V ⊕ V ⊥, (3.3.9)

isto e, cada elemento x ∈ H pode ser expresso como x = v + w onde v ∈ V ew ∈ V ⊥. Os vetores v e w sao os unicos elementos de V e V ⊥ cuja distanciaa x e minima, isto e, v = PV x e w = PV ⊥x.

Demonstracao. Se x ∈ H entao PV x e o unico elemento de V que minimizaa distancia de x a V . Note que V ∩V ⊥ = 0 e x = PV x+(I−PV )x ∈ V +V ⊥

para todo x ∈ H. Alem disso, se z ∈ M⊥, ‖x−z‖ = ‖PV x+(I−PV )x−z‖2 =‖PV x‖2 + ‖(I − PV )x− x‖2 > ‖PV x‖2 e (I − PV )x e o unico ponto de V ⊥ queminimiza a distancia de x a V ⊥. Segue que (I − PV )c = PM⊥x.

Definicao 3.3.9 Seja H um espaco de Hilbert e V ⊂ H um subespaco vetorialfechado. Uma transformacao linear P : H → V e dita uma projecao se P 2 =P .

Se P ∈ L(H), e uma projecao, V = P (E) e V ⊥ = ker(P ) dizemos que P euma projecao ortogonal sobre V .

Teorema 3.3.10 Seja H um espaco de Hilbert e V ⊂ H um subespaco vetorialfechado de H e seja PV a projecao ortogonal de V . Entao PV ∈ L(E) e temosque

P 2V = PV ,〈PV x, y〉 = 〈x, PV y〉. (3.3.10)

Reciprocamente, todo P ∈ L(E) satisfazendo (3.3.10) e uma projecaoortogonal em V = R(P ).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. (i) Se x, y ∈ H e α, β ∈ K entao z = PV (αx + βy) e oelemento de V que minimiza a distancia de αx + βy a V e

‖αx + βy − w‖ = ‖α(x− PV x) + β(y − PV y) + αPV x + βPV y − w‖= ‖α(x− PV x) + β(y − PV y)‖2 + ‖αPV x + βPV y − w‖2

e o mınimo ocorre quando w = αPV x + βPV y. A continuidade segue doTeorema 3.3.5. Da Definicao 3.3.3 de PV segue que PV PV = PV . Se Q denotaa projecao ortogonal sobre V ⊥ temos que

〈PV x, y〉 = 〈PV x, PV y + Qy〉 = 〈PV x, PV y〉= 〈PV x + Qx, PV y〉 = 〈x, PV y〉,

da qual (3.3.10) segue.

(ii) Reciprocamente, colocando V = R(P ); com P ∈ L(H) implica que V eum subespaco vetorial de E.

Vamos mostrar que

v ∈ V ⇔ v = Pv. (3.3.11)

Primeiro de tudo se v ∈ V , entao por definicao, existe u ∈ H tal que v = Pu.Portanto (3.3.10) implica que v = Pu = P 2u = Pv.

Agora se vm ∈ He se Pvm → w quando m →∞ temos (pela continuidadede P )

PPvm → Pw quando m →∞,

ou de novo (P 2 = P ) Pvm → Pw. Assim V e fechado.

Seja P a projecao ortogonal em V , Q a projecao ortogonal em V ⊥. Vamosprovar que P = PV .

Se v ∈ V temos que v = Pv de (3.3.10) e P v = v, entao P v = PV v.

Se v ∈ V ⊥, P v = 0. De (3.3.10), 〈PV v, PV v〉 = 〈v, P 2V v〉 = 〈v, PV v〉 = 0 como

v ∈ V ⊥, Pv ∈ V , portanto Pv = 0 e P v = Pv.

Se v ∈ H, usamos a decomposicao de v = P v + Qv e usamos os dois casosacima, portanto o teorema esta provado.

Lema 3.3.11 (Espaco Nulo) Seja V ⊂ H um subespaco vetorial fechado deum espaco de Hilbert e PV : H → V a projecao ortogonal sobre V . Entaoker(PV ) = V ⊥.

Lema 3.3.12 (Conjunto denso) Seja H um espaco de Hilbert e V ⊂ H umsubconjunto nao vazio. O espaco gerado por V e denso em H se, e somente seV ⊥ = 0.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

84 3.4. Conjuntos e sequencias ortogonais e ortonormais

3.4 Conjuntos e sequencias ortogonais e

ortonormais

Definicao 3.4.1 (Conjuntos e sequencias ortonormais) Um conjuntoortogonal M em um espaco com produto interno e um subconjunto M ⊂ Xcujos elementos dois a dois sao ortogonais. Um conjunto ortonormalM ⊂ X e um conjunto ortogonal cujos elementos tem norma 1, isto e, paratodo x, y ∈ M ,

〈x, y〉 =

0, se x 6= y;1, se x = y.

(3.4.1)

Se um conjunto ortogonal ou ortonormal M e enumeravel, podemo arranja-lo numa sequencia xn e chamar este de sequencia ortogonal ou ortonormal,respectivamente.

Mais geralmente, um conjunto indexado, ou uma familia, xαα∈I (I e umconjunto de indices)e chamada ortogonal se xα⊥xβ para todo α, β ∈ I, α 6= β.A familia e chamada ortonormal se esta e ortogonal e xα tem norma 1 paratodo α ∈ I, de modo que para todo α, β ∈ I temos

〈xα, xβ〉 = δαβ =

0, se α 6= β;1, se α = β

(3.4.2)

onde δαβ e o delta de Kronecker.

Lema 3.4.2 (Independencia linear) Um conjunto ortonormal e linear-mente independente.

Demonstracao. Seja xαα∈I um conjunto ortonormal e consideremos aequacao

n∑i=1

αixαi= 0, αi ∈ K (K = R ouC).

Entao αj = 〈n∑

i=1

αixαi, xαj

〉 = 0, j = 1, 2, · · · , n.

Reciprocamente se vn∞n=1 e uma sequencia linearmente independente devetores em um espaco de Hilbert existe um procedimento usual para converte-loem uma sequencia ortonormal un∞n=1 tal que o espaco gerado por v1, · · · , vncoincide com o espaco gerado por u1, · · · , un. Este processo e conhecido como

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt e consiste em tomar

u1 =v1

‖v1‖ ,

un =

un −n−1∑i=1

〈vn, ui〉ui

‖un −n−1∑i=1

〈vn, ui〉ui‖.

(3.4.3)

Exemplos

1. O espaco Euclideano Rn. No espaco Rn, os vetores ej =(0, 0, · · · , 1, · · · , 0) onde tem 1 na j-esima coordenada formam umconjunto ortonormal.

2. O espaco l2. No espaco l2, uma sequencia ortonormal e en ondeej = (0, 0, · · · , 1, · · · , 0) onde tem 1 na j-esima coordenada e o restotodo zero.

3. O espaco da funcoes contınuas. Seja X = x : [0, 2π] → R :x e contınua. Definamos em X o produto interno

〈x, y〉 =

∫ 2π

0

x(t)y(t)dt.

Uma sequencia ortogonal em X e un, onde

un(t) = cos nt n = 0, 1, 2, · · · .

Outra sequencia ortogonal em X e vn, onde

vn(t) = sen nt n = 1, 2, · · · .

De fato, por integracao temos

〈um, un〉 =

∫ 2π

0

cos mt cos nt =

0, se m 6= n;π, se m = n = 1, 2, ·;2π, se m = n = 0.

(3.4.4)

e similarmente para vn. Portanto uma sequencia ortonormal e en,onde

e0(t) =1√2π

, en(t) =un(t)

‖un‖ =cos nt√

πn = 1, 2, · · · .

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


De vn obtemos a sequencia ortonormal en, onde

en(t) =vn(t)

‖vn(t)‖ =sen nt√

πn = 1, 2, · · · .

Note que temos um⊥vn para todo m e n (Prove isto). Estas sequenciasaparecem em Series de Fourier.

Uma grande vantagem de sequencias ortonormais sobre sequenciaslinearmente independentes e a seguinte. Se sabemos que um dado x podemosrepresenta-lo como uma combinacao linear de alguns elementos em umasequencia ortonormal, entao a ortonormalidade faz com a determinacao doscoeficientes seja mais facil. De fato, se e1, e2, · · · , e uma sequenciaortonormal em um espaco com produto interno X e temos que x ∈spane1, · · · , en, onde n e fixado, entao da definicao de span, temos

x =n∑

k=1

αkek, (3.4.5)

e se tomamos o produto interno por ej fixado, temos

〈x, ej〉 =

⟨n∑

k=1

αkek, ej

⟩=

n∑

k=1

αk〈ek, ej〉 = αj.

Com estes coeficientes, (3.4.5) torna-se

x =n∑

k=1

〈x, ek〉ek. (3.4.6)

Isto mostra que a determinacao dos coeficientes desconhecidos em (3.4.5)e simples.

Teorema 3.4.3 Seja e1, · · · , en um conjunto ortonormal em um espaco comproduto interno X. Se x ∈ X e qualquer vetor, entao

n∑i=1

|〈x, ei〉|2 6 ‖x‖2, (3.4.7)

x−n∑

i=1

〈x, ei〉ei ⊥ej ∀j. (3.4.8)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. A desigualdade (3.4.7) segue de um calculo facil

0 6 ‖x−n∑

i=1

〈x, ei〉ei‖2

= 〈x−n∑

i=1

〈x, ei〉ei, x−n∑

j=1

〈x, ej〉ej〉

= 〈x, x〉 −n∑

i=1

〈x, ei〉〈x, ei〉 −n∑

j=1

〈x, ej〉〈x, ej〉+n∑

i=1

n∑j=1

〈x, ei〉〈x, ej〉〈ei, ej〉

= ‖x‖2 −n∑

i=1

|〈x, ei〉|2.

Para concluir a prova, observamos que

〈x−n∑

i=1

〈x, ei〉ei, ej〉 = 〈x, ej〉 −n∑

i=1

〈x, ei〉〈ei, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈x, ej〉 = 0,

da qual segue (3.4.8).

Da Proposicao 3.3.6 segue que∑n

i=1〈x, ei〉ei e projecao ortogonal de x sobreo espaco gerado por e1, · · · , en, isto e,

PVnx =n∑

i=1

〈x, ei〉ei, onde Vn = spane1, · · · , en (3.4.9)

e do Teorema 3.3.5 segue que

‖PVnx‖ =( n∑

i=1

|〈x, ei〉|2)1/2 6 ‖x‖

que e a desigualdade (3.4.7). Como PVnx = x para todo x ∈ Vn temos que

‖PVnx‖2 =n∑

i=1

|〈x, ei〉|2 = ‖x‖2. (3.4.10)

A desigualdade (3.4.7) e conhecida como a desigualdade de Bessel e aigualdade (3.4.10) igualdade de Bessel.

O seguinte passo e generalizar o Teorema 3.3.5 para o caso de conjuntoortonormal arbitrario. O principal problema aqui e mostrar que a somas em(3.4.7) e (3.4.8) podem ser definidas de uma maneira razoavel quando nenhumarestricao e tomada com relacao ao numero dos ei’s em consideracao.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 3.4.4 Se eii∈I e um conjunto ortonormal em um espaco deHilbert, e se x ∈ H e um elemento qualquer, entao o conjunto S = ei :〈x, ei〉 6= 0 e vazio ou enumeravel.

Demonstracao. Para cada inteiro positivo n, consideramos o conjunto

Sn =

ei : |〈x, ei〉|2 >

‖x‖2

n

.

Pela desigualdade de Bessel, Sn contem no maximo n−1 vetores. A conclusaoagora segue do fato que S = ∪∞n=1Sn.

Como uma primeira aplicacao deste resultado vamos provar a forma geralda desigualdade de Bessel

Teorema 3.4.5 (Desigualdade de Bessel) Se eii∈I e um conjuntoortonormal em um espaco de Hilbert H, entao

∑i∈I

|〈x, ei〉|2 6 ‖x‖2 para todo x ∈ H. (3.4.11)

Demonstracao. Primeiramente vamos explicar que significa a soma no ladoesquerdo de (3.4.11). Uma vez que entendemos isto a prova se torna maisfacil. Como no teorema anterior, escrevemos S = ei : 〈x, ei〉| 6= 0. SeS e vazio, definimos

∑i∈I |〈x, ei〉|2 = 0, e neste caso (3.4.11) e obviamente

satisfeita. Vamos assumir que S e nao-vazio, e do Teorema 3.4.4 vemos queS deve ser finito o infinito enumeravel. Se S e finito, este pode ser escrito naforma S = e1, · · · , en para algum inteiro positivo n. Neste caso definimos∑

i∈I |〈x, ei〉|2 =∑n

i=1 |〈x, ei〉|2, o qual e claramente independente da ordemnos quais os elementos de S sao arranjados. Neste caso a desigualdade (3.4.11)reduz-se a (3.4.7) a qual ja foi provada. So resta provar no caso em que S einfinito enumeravel. Neste caso caso os elementos de S podem ser arranjadosnuma ordem definida:

S = e1, e2, · · · , en, · · · , .

Pela teoria de series absolutamente convergentes, se∑∞

n=1 |〈x, en〉|2converge, entao toda serie obtida desta re-arranjando os termos desta tambeme convergente, e todas esta series tem a mesma soma. Portanto definimos∑i∈I

|〈x, ei〉|2 =∞∑

n=1

|〈x, en〉|2, e segue da observacao acima que∑∞

n=1 |〈x, en〉|2

e um numero real estendido nao-negativo o qual so depende de S e nao do

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


arranjo de seus elementos. A prova e concluıda observando que neste caso,(3.4.11) reduz-se a seguinte desigualdade

∞∑n=1

|〈x, en〉|2 6 ‖x‖2, (3.4.12)

e esta segue de (3.4.7), pois a sequencia∑n

i=1 |〈x, ei〉|2 das somas parciais de∑∞n=1 |〈x, en〉|2 formam uma sequencia crescente e limitada por ‖x‖2, portanto

esta e convergente, isto e, existe limn→∞∑n

i=1 |〈x, ei〉|2. Tomando limitequando n →∞ em (3.4.7) segue (3.4.12).

A outra parte do Teorema 3.4.3 e generalizada do mesmo modo.

Teorema 3.4.6 Se eii∈I e um conjunto ortonormal em um espaco de HilbertH, entao

x−∑i∈I

〈x, ei〉ei⊥ej ∀j. (3.4.13)

Demonstracao. Como a prova acima, definimos∑

i∈I〈x, ei〉ei para casa umdos casos. Novamente definimos

S = ei; 〈x, ei〉 6= 0.Quando S = ∅, definimos

∑i∈I〈x, ei〉ei como sendo o elemento 0, e vemos que

(3.4.13) reduz-se a afirmacao que x − 0 = x e ortogonal a cada ej, o qual eprecisamente dizer que S e vazio.Quando S e nao-vazio e finito, e podemos escrever S na forma

S = e1, e2, · · · , en,definimos

∑i∈I〈x, ei〉ei como sendo

∑ni=1〈x, ei〉ei, e neste caso, (3.4.13) reduz-

se a (3.4.8), a qual ja temos provado. Pelo Teorema 3.4.4, vamos assumirpelo resto da prova que S e infinito enumeravel. Os elementos de S podemser litados numa ordem definida: S = e1, e2, · · · , en, · · · . Coloquemos sn =∑n

i=1〈x, ei〉ei, e observamos que para m > n

‖sm − sn‖2 = ‖m∑

i=n+1

〈x, ei〉ei‖2 =m∑

i=n+1

|〈x, ei〉|2.

A desigualdade de Bessel mostra que a serie∑∞

n=1 |〈x, ei〉|2 converge,portanto sn e uma sequencia de Cauchy em H, e como H e completo,esta sequencia converge para um elemento s, o qual escrevemos na formas =

∑∞n=1〈x, en〉en. Agora definimos

∑i∈I〈x, ei〉ei como sendo

∑∞n=1〈x, en〉en e

vamos adiar por um momento a pergunta de que acontece quando os vetores em

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

90 3.5. Sistemas ortogonais completos

S sao re-arranjados, observamos que (3.4.13) segue de (3.4.8) e da continuidadedo produto interno:

〈x−∑i∈I

〈x, ei〉ei, ej〉 = 〈x− s, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈s, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈 limn→∞

sn, ej〉

= 〈x, ej〉 − limn→∞

〈sn, ej〉 = 〈x, ej〉 − 〈x, ej〉 = 0.

So resta mostrar que a definicao de∑

i∈I〈x, ei〉ei e valida, no sentido queesta nao depende do arranjo dos elementos em S.

Consideremos outro arranjo de S

S = f1, f2, · · · , fn, · · · .Coloquemos s′n =

∑ni=1〈x, fi〉fi e vemos como acima que a sequencia s′n

converge para um s′, o qual escrevemos na seguinte forma s′ =∑∞

n=1〈x, fi〉fi.Concluımos a prova se mostrarmos que s = s′. De fato, seja ε > 0 dado,e seja N ∈ N suficientemente grande que, se n > N , entao ‖sn − s‖ < ε,‖s′n − s′‖ < ε, e

∑∞i=N+1 |〈x, ei〉|2 < ε2. Para algum inteiro positivo M > N ,

todos os termos de sN encontram os the s′M , portanto s′M−sn e uma soma finitada termos da forma 〈x, ei〉ei para i = N + 1, N + 2, · · · . Isto da ‖s′M − sN‖2 6∑∞

i=N+1 |〈x, ei〉|2 < ε2, portanto ‖s′M − sn‖ < ε e

‖s′ − s‖ 6 ‖s′ − s′M‖+ ‖s′M − sN‖+ ‖SN − s‖ < ε + ε + ε = 3ε.

Como ε e arbitrario, isto mostra que s′ = s.

Do Teorema 3.4.5 e do Teorema 3.4.6 segue que PK : H → K definido por

PKx =∑i∈I

〈x, ei〉ei (3.4.14)

e a projecao de x sobre K, onde K = spanei : i ∈ I.

3.5 Sistemas ortogonais completos

Seja H um espaco de Hilbert nao-vazio, de modo que a classe de todos seusconjuntos ortonormais e nao-vazio. Esta classe e claramente um conjuntoparcialmente ordenado com relacao a inclusao de conjuntos.

Definicao 3.5.1 (Conjunto ortonormal total) Um conjunto ortonormalei em um espaco de Hilbert e dito total ou completo se este e maximo noconjunto parcialmente ordenado, isto e, se nao e possıvel juntar um elemento eao conjunto ei de modo que e, ei e um conjunto ortonormal o qual contempropriamente ei.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Teorema 3.5.2 Todo conjunto de Hilbert nao-vazio contem um conjuntoortonormal completo.

Demonstracao. A conclusao segue imediatamente de lemma de Zorn, desdeque a uniao de qualquer cadeia de conjuntos ortonormais e claramente umacota superior para a cadeia nos conjuntos parcialmente ordenados de todos osconjuntos ortonormais.

Os conjuntos Ortonormais sao verdadeiramente interessantes so quando saototais (completos). As razoes para isto soo apresentadas em nosso proximoteorema.

Teorema 3.5.3 Seja H um espaco de Hilbert, e seja ei um conjuntoortonormal em H. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

(a) ei e total,

(b) x⊥ei ⇒ x = 0,

(c) se x e um elemento qualquer em H, entao x =∑

i∈I〈x, ei〉ei,

(d) se x e um elemento qualquer em H, entao ‖x‖2 =∑

i∈I |〈x, ei〉|2.

Demonstracao. (a) ⇒ (b). Se (a) nao e verdade, existe um elementox 6= 0 tal que x⊥ei. Agora definimos e como sendo e = x/‖x‖, e observamosque e, ei e um conjunto ortonormal o qual contem propriamente ei. Istocontradiz o fato que e e total.(b) ⇒ (c). Pelo Teorema 3.4.6, x−∑〈x, ei〉ei e ortogonal a ei, portanto por(b) temos que x−∑〈x, ei〉ei = 0, ou equivalentemente que x =

∑〈x, ei〉ei.(c) ⇒ (d). Pela continuidade do produto interior, o expressao em (c) da

‖x‖2 = 〈x, x〉 = 〈∑

〈x, ei〉ei,∑

〈x, ej〉ej〉 =∑

〈x, ei〉〈x, ei〉 =∑

|〈x, ei〉|2.

(d) ⇒ (a). Se ei nao e completo, este e subespacp proprio de um conjuntoortonormal e, ei. Como e e ortogonal a todos os ei’s”

(d) da que ‖e‖2 =∑ |〈e, ei〉|2 = 0, e isto contradiz o fato que e e um vetor unitario.

Existe uma terminologia usual a qual e frequentemente usada em conexaocom este teorema. Os coeficientes 〈x, ei〉 sao chamados os coeficientes deFourier de x, a expressao x =

∑i∈I〈x, ei〉ei e chamada expansao (serie)

de Fourier de x, e equacao ‖x‖2 =∑

i∈I |〈x, ei〉|2 e chamada identidade deParseval tudo isto com relacao a sequencia ortonormal eii∈I . Estes termosvem da teoria classica da Teoria de series de Fourier.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

92 3.5. Sistemas ortogonais completos

Exemplo (Series de Fourier). Uma serie trigonometrica e uma serie daforma

a0 +∞∑

k=1

(ak cos kt + bk sen kt). (3.5.1)

Uma funcao x : R→ R e dita periodica se existe um numero T > 0 (chamadoo perıodo de x) tal que x(t + T ) = x(t) para todo t ∈ R.

Seja x uma funcao de periıodo 2π e contınua. Por definicao, a serie deFourier de x e serie trigonometrica (3.5.1) com coeficientes ak e bk dados pelaformulas de Euler

a0 =1

2π

∫ 2π

0

x(t)dt

ak =1

π

∫ 2π

0

x(t) cos ktdt k = 1, 2, · · · ,

bk =1

π

∫ 2π

0

x(t) sen ktdt k = 1, 2, · · · .

(3.5.2)

Estes coeficientes sao chamados os coeficientes de Fourier de x.

Se a serie de Fourier de x converge para cada t e tem a soma x(t), entaoescrevemos

x(t) = a0 +∞∑

k=1

(ak cos kt + bk sen kt). (3.5.3)

Como x e periodica de perıodo 2π, em (3.5.2) podemos substituir o intervalo deintegracao [0, 2π] por qualquer outro intervalo de comprimento 2π, por exemplo[−π, π].

As series de Fourier surgiram em conexao com problemas fısicosconsiderados por D. Bernoulli (corda vibrante, 1753) e J. Fourier (conducaodo calor, 1822). Esta series ajudam a representar um fenomeno periodicocomplicado em termos de funciones periodicas simples (seno e coseno).

Para ajudar aqueles que nao tem visto series de Fourier antes vamos darum exemplo, consideremos

x(t) =

t, se −π/2 6 t < π/2;π − t, se π/2 6 t < 3π/2.

e x(t+2π) = x(t). De (3.5.2) obtemos ak = 0 para k = 0, 1, 2, · · · e, escolhendo[−π/2, 3π/2] como um intervalo conveniente de integracao e integrando por

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


partes temos

bk =1

π

∫ π/2

π/2

t sen ktdt +1

π

∫ 3π/2

π/2

(π − t) sen ktdt

= − 1

πk[t cos kt]|π/2

−π/2 +1

πk

∫ π/2

−π/2

cos ktdt

− 1

πk[(π − t) cos kt]|3π/2

π/2 − 1

πk

∫ 3π/2

π/2

cos ktdt

=4

πksen

πk

2, k = 1, 2, · · · .

Portanto (3.5.3) toma a forma

x(t) =4

π

(sen t− 1

32sen 3t +

1

52sen 5t−+ · · ·

).

Voltando as series de Fourier gerais, podemos ver come estas series saoatacadas com a nossa terminologia e formalismo da secao anterior. Obviamenteas funcoes sen e cos em (3.5.3) sao as sequencias uk e vk do exemplo 3 daSeca 3.4, isto e

uk(t) = cos kt, vk(t) = sen kt.

Portanto podemos escrever (3.5.3) na forma

x(t) = a0u0(t) +∞∑

k=1

[akuk(t) + bkvk(t)]. (3.5.4)

Vamos fazer o produto interno de (3.5.4) com uj, j fixo, entao obtemos

〈x, uj〉 = a0〈u0, uj〉+∞∑

k=1

[ak〈uk(t), uj(t)〉+ bk〈vk(t), uj〉]

= aj〈uj, uj〉

= aj‖uj‖2 =

2πa0, se j = 0;πaj, se j = 1, 2, · · · ,.

Similarmente, se multiplicamos (3.5.4) por vj e procedemos como antes,chegamos a

〈x, vj〉 = bj‖vj‖2 = πbj j = 1, 2, · · · .

Encontrando aj e bj e usando a ortonormalidade das sequencias ej e ej,onde ej = ‖uj‖−1uj e ej = ‖vj‖−1vj, obtemos

aj =1

‖uj‖2〈x, uj〉 =

1

‖uj‖〈x, ej〉

bj =1

‖vj‖2〈x, vj〉 =

1

‖vj‖〈x, ej〉.(3.5.5)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

94 3.6. Representacao de funcionais em espacos de Hilbert

Isto e igual com (3.5.2). Isto mostra que em (3.5.4),

akuk(t) =1

‖uk‖〈x, ek〉uk(t) = 〈x, ek〉ek

e similarmente para bkvk. Portanto podemos escrever a serie de Fourier (3.5.3)na forma

x = 〈x, e0〉e0 +∞∑

k=1

[〈x, ek〉ek + 〈x, ek〉ek]. (3.5.6)

Isto justifica o termo “coeficientes de Fourier” na secao anterior.

3.6 Representacao de funcionais em espacos

de Hilbert

Seja H um espaco de Hilbert e H ′ seu dual. Denotemos por 〈, 〉 = 〈, 〉H′,H adualidade entre H ′ e H e por 〈, 〉H o produto interno de H.

Temos os seguinte resultado importante

Teorema 3.6.1 (Teorema de Riesz-Funcionais lineares) Se f ∈ H ′,entao existe um unico elemento uf ∈ H tal que

〈f, v〉 = 〈v, uf〉H , ∀v ∈ H;‖f‖ = ‖uf‖, . (3.6.1)

Reciprocamente, todo elemento u ∈ H define um elemento fu ∈ H ′ tal que 〈fu, v〉 = 〈v, u〉H ,∀v ∈ H;

‖fu‖ = ‖u‖. (3.6.2)

Demonstracao. (i) A recıproca do teorema e imediata. Pois para cada u ∈ Ho funcional

fu : H → K

v → fu(v) = 〈v, u〉verifica (3.6.2).(ii) O teorema direto e divido em duas partes:(a) Unicidade de uf . Se 〈f, v〉 = 〈v, u1

f〉H = 〈v, u2f〉H para todo v ∈ H, temos

que〈v, u1

f − u2f〉H = 0, ∀v ∈ H,

portanto u1f = u2

f .(b) Existencia de uf . Se f ≡ 0, uf = 0 responde nossa questao. Se f 6= 0, sejaN = ker(f) = v ∈ H : 〈f, v〉 = 0, N H e um subespaco proprio fechado

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


de H e portanto N⊥ 6= 0 pelo Teorema 3.3.8. Seja z ∈ N⊥ com ‖z‖ = 1. Seu = 〈f, v〉z − 〈f, z〉v entao u ∈ N e

0 = 〈u, z〉 = 〈f, v〉‖z‖2 − 〈f, z〉〈v, z〉H = 〈f, v〉 − 〈v, 〈f, z〉z〉H .

Portanto 〈f, v〉 = 〈v, uf〉H onde uf = 〈f, z〉 z.Alem do mais,

‖f‖ = sup‖v‖=1

|〈f, v〉| = sup‖v‖=1

|〈v, uf〉H | 6 ‖uf‖

‖f‖ > |〈f,uf

‖uf‖〉| = |〈 uf

‖uf‖ , uf〉| = ‖uf‖,

portanto ‖f‖ = ‖uf‖, completando a prova.

O Teorema de Riesz diz que a aplicacao que preserva a norma de H em H ′

definida por

J : H → H ′

u → Ju = fu : H → K

v → fu(v) = 〈v, u〉(3.6.3)

e uma aplicacao bijetiva, linear-conjugada, isto e

fαu1+βu2(v) = 〈v, αu1 + βu2〉H = 〈v, αu1〉H + 〈v, βu2〉H = fαu1(v) + fβu2(v)

= α〈v, u1〉+ β〈v, u2〉 = αfu1 + βfu2 .

(3.6.4)

E uma consequencia facil de (3.6.4) que a aplicacao (3.6.3) e uma isometria,pois

‖fx − fy‖ = ‖fx−y‖ = ‖x− y‖.Em outras palavras o Teorema de Riesz nos permite identificar os funcionais

lineares contınuos de H ′ aos elementos de H. Via o Teorema de Riesz temosH ′ ≈ H, logo (H ′)′ ≈ H ′ ≈ H e portanto o espaco de Hilbert H e um espacode Banach reflexivo.

Um exemplo classico. Consideremos V = H10 (Ω) = u ∈ H1(Ω) : u|Γ =

0, onde Ω e um aberto e limitado em Rn e Γ = ∂Ω. Sabemos que junto como produto interno

〈〈u, v〉〉 =

∫

Ω

∇u∇vdx,

V e um espaco de Hilbert para a norma

‖u‖ =

(∫

Ω

|∇u|2dx

)1/2

.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Do Teorema de Riesz, ∀f ∈ H−1(Ω) = (H10 (Ω))′, existe um unico u ∈ H1

0 (Ω),tal que

〈〈u, v〉〉 = 〈f, v〉, ∀v ∈ H10 (Ω).

E facil ver que tomando v ∈ D(Ω) (o espaco das funcoes infinitamentediferenciaveis com suporte compacto em Ω e com valores em C)

〈−∆u, v〉 = 〈f, v〉, ∀v ∈ D(Ω).

(3.6.3) pode ser interpretado por −∆u = f ∈ H−1(Ω), u ∈ H1

0 (Ω)

‖ −∆u‖H−1(Ω) =(∫

Ω|∇u|2dx

)1/2.

(3.6.5)

(−∆) aparece aqui como um isomorfismo isometrico de H10 (Ω) sobre

H−1(Ω) (portanto (−∆) ∈ L(H10 (Ω), H−1(Ω))), isto e, e um operador limitado

e (3.6.5) e o problema de Dirichlet.Sabemos que H1

0 (Ω)⊂−→L2(Ω), isto e H10 (Ω) esta contido em L2(Ω) com

injecao contınua. Pelo Teorema de Riesz identificamos L2(Ω) com seu dual(L2(Ω))′, temos assim

H10 (Ω)⊂−→L2(Ω)⊂−→H−1(Ω), (3.6.6)

podemos considerar entao (−δ) como um operador nao-limitado em H =L2(Ω), associado com o problema de Dirichlet, onde H e dotado com a norma‖u‖ = (

∫Ω|u(x)|2dx)1/2 e com o produto escalar 〈u, v〉 =

∫Ω

u(x)v(x)dx. Odomınio de D(−∆) e entao

D(−∆) = u ∈ H10 (Ω) : ∆u ∈ L2(Ω)

e podemos mostrar que, se a fronteira de Ω e suficientemente regular, temosque

D(−∆) = H10 (Ω) ∩H2(Ω). (3.6.7)

Do Teorema de Riesz, (3.6.5) e (3.6.6), (−∆) e um isomorfismo de D(−∆),provido com a norma do grafico, em H = L2(Ω).

Assim, em este exemplo, com a forma sesquilinear 〈〈, 〉〉 contınua em H×H,associamos um operador −∆ ∈ L(H1

0 (Ω), H−1(Ω)) o qual aparece como umaextensao para V de um operador em H = L2(Ω), (denotamos de novo por −∆)com domınio D(−∆) = H1

0 (Ω) ∩H2(Ω) denso em V (e em H).Este exemplo mostra tambem que, reciprocamente, para o operador

(−∆) considerado como nao-limitado em L2(Ω) associado com o problemade Dirichlet, com domınio D(−∆) definido por (3.6.7), podemos fazercorresponder com a forma sesquilinear u, v → 〈〈, 〉〉 por

〈〈u, v〉〉 = 〈−∆u, v〉 para u, v ∈ D(−∆)×D(−∆).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Definicao 3.6.2 (Forma sesquilinear) Sejam X e Y espacos vetoriaissobre o mesmo corpo K (K = R ou C). Uma forma sesquilinear ( ou funcionalsesquilinear) a sobre X × Y e uma aplicacao a : X × Y → K tal que para todox, x1, x1 ∈ X e y, y1, y2 ∈ Y e escalares α e β temos

(i) a(x1 + x2, y) = a(x1, y) + a(x2, y)

(ii) a(x, y1 + y2) = a(x, y1) + a(x, y2)

(iii) a(αx, y) = αa(x, y)

(iv) a(x, βy) = βa(x, y).

Portanto, a e linear no primeiro argumento e linear conjugada no segundoargumento. Se K = R, a(x, βy) = βa(x, y) e a e chamada forma bilinear, poise linear no primeiro e no segundo argumentos.

No caso que X e Y sao espacos normados e se existe c > 0 tal que

|a(x, y)| 6 c‖x‖ ‖y‖, ∀ x ∈ X, ∀y ∈ Y (3.6.8)

a diz-se limitada e

‖a‖ = supx 6=0y 6=0

|a(x, y)|‖x‖ ‖y‖ = sup

‖x‖=1‖y‖=1

|a(x, y)|. (3.6.9)

A propriedade (3.6.8) implica que os funcionais βx := a(x, ·), isto e,

βx : Y → R

y → βx(y) = a(x, y)

sao limitados.E bastante interessante que de Teorema 3.6.1 podemos obter uma

representacao geral de formas sesquilineares em espacos de Hilbert como segue.

Teorema 3.6.3 (Teorema de Riesz-Formas sesquilineares) Sejam H1 eH2 espacos de Hilbert e a : H1 × H2 → K uma forma sesquilinear limitada.Entao a tem uma representacao

a(x, y) = 〈Ax, y〉 (3.6.10)

onde A : H1 → H2 e um operador linear limitado. A e unicamente determinadopor a e tem norma

‖A‖ = ‖a‖. (3.6.11)

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Consideremos a(x, y). Esta e linear em y, por causa daconjugacao. Para aplicar o Teorema 3.6.1, mantemos x fixo. Entao esteteorema nos da uma representacao na qual y e a variavel , digamos

a(x, y) = 〈y, z〉.

Portanto

a(x, y) = 〈z, y〉. (3.6.12)

Aqui z ∈ H2 e unico mas de fato, depende de x ∈ H1 fixado. Segue que (3.6.12)com a variavel x define um operador

A : H1 → H2 dado por z = Ax.

Substituindo z = Ax em (3.6.12), temos (3.6.10).

A e linear. De fato, seu domınio e o espaco vetorial H1, e de (3.6.10) e asesquilinearidade obtemos

〈A(αx1 + βx2), y〉 = a(αx1 + βx2, y) = αa(x1, y) + βa(x2, y)

= α〈Ax1, y〉+ β〈Ax2, y〉 = 〈αAx1 + βAx2, y〉 ∀y ∈ H2

Logo temos que A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2.

A e limitado. De fato, deixando fora o caso trivial A = 0, de (3.6.9) e(3.6.10) temos

‖a‖ = supx6=0y 6=0

|〈Ax, y〉‖x‖ ‖y‖ > sup

x 6=0Ax 6=0

|〈Ax,Ax〉‖x‖ ‖Ax‖ = sup

x6=0

‖Ax‖‖x‖ = ‖A‖.

Isot prova a limitacao. Alem disso, ‖a‖ > ‖A‖.Usando a desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz temos

‖a‖ = supx6=0y 6=0

|〈Ax, y〉‖x‖ ‖y‖ 6 sup

x6=0

‖Ax‖ ‖y‖‖x‖ ‖y‖ = ‖A‖.

A e unico. De fato, suponhamos que existe outro operador linear limitadoB : H1 → H2 tal que par todo x ∈ H1 e y ∈ H2 temos

a(x, y) = 〈Ax, y〉 = 〈Bx, y〉,

segue que Ax = Bx para todo x ∈ H1. Portanto A = B por definicao.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


3.7 Adjunto de um operador

Definicao 3.7.1 (Operador Adjunto) Sejam H1 e H2 espacos de Hilbert eT : H1 → H2 um operador linear limitado. O operador T ∗ : H2 → H1 tal que

〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉, ∀x ∈ H1 e y ∈ H2 (3.7.1)

e chamado operador adjunto de T .

Teorema 3.7.2 (Existencia do operador adjunto) O operador adjuntoT ∗ de T na definicao 3.7.1 existe, e unico e e um operador linear limitadocom norma

‖T ∗‖ = ‖T‖. (3.7.2)

Demonstracao. A formula

a(x, y) = 〈y, Tx〉 (3.7.3)

define uma forma sesquilinear pois o produto interno e sesquilinear e T e linear.De fato, a linearidade conjugada da forma e vista de

a(y, αx1 + βx2) = 〈y, T (αx1 + βx2)〉 = 〈y, αTx1 + βTx2〉= α〈y, Tx1〉+ β〈y, Tx2〉 = αa(y, x1) + βa(y, x2).

a e limitado. De fato, pela desigualdade de Cauchy-Buniakowski -Schwarz,temos

|a(x, y)| = |〈y, Tx〉| 6 ‖y‖ ‖Tx‖ 6 ‖T‖ ‖x‖ ‖y‖.Isto implica que ‖a‖ 6 ‖T‖. Alem disso,

‖a‖ = supx6=0y 6=0

|〈y, Tx〉|‖y‖ ‖x‖ > sup

x6=0Tx 6=0

|〈Tx, Tx〉|‖Tx‖ ‖x‖ = ‖T‖.

Portanto temos que ‖a‖ = ‖T‖.O Teorema 3.6.3 da uma representacao de Riesz para a, escrevendo T ∗ para

A, temosa(y, x) = 〈T ∗y, x〉, (3.7.4)

e deste mesmo teorema sabemos que T ∗ : H2 → H1 e um operador linearlimitado unicamente determinado com norma

‖T ∗‖ = ‖a‖ = ‖T‖.Comparando (3.7.3) e (3.7.4) temos 〈y, Tx〉 = 〈T ∗y, x〉, tomando conjugadanesta ultima equacao temos (3.7.1), e assim vemos que the fato T ∗ e o operadorque de fato estamos procurando.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

100 3.7. Adjunto de um operador

Lema 3.7.3 (Operador Zero) Sejam X e Y espacos com produto interno eQ : X → Y um operador linear limitado. Entao

(a) Q = 0 se, e somente se 〈Qx, y〉 = 0 para todo x ∈ X e y ∈ Y .

(b) Se Q : X → Y , onde Y e um espaco sobre C, e 〈Qx, x〉 = 0 para todox ∈ X, entao Q = 0.

Teorema 3.7.4 (propriedades dos operadores adjuntos) Sejam H1 eH2 espacos de Hilbert, S : H1 → H2 e T : H1 → H2 operadores lineareslimitados e α ∈ K. Entao:

(a) 〈T ∗y, x〉 = 〈y, Tx〉, x ∈ H1, y ∈ H2

(b) (S + T )∗ = S∗ + T ∗

(c) (αT )∗ = αT ∗

(d) (T ∗)∗ = T

(e) ‖T ∗T‖ = ‖TT ∗‖ = ‖T‖∗

(f) T ∗T = 0 ⇔ T = 0

(g) (ST )∗ = T ∗S∗ (com H1 = H2)

Demonstracao. (a) De (3.7.1) temos

〈T ∗y, x〉 = 〈x, T ∗y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈y, Tx〉.(b) Por (3.7.1), para todo x e y,

〈x, (S + T )∗y〉 = 〈(S + T )x, y〉= 〈Sx, y〉+ 〈Tx, y〉= 〈x, S∗y〉+ 〈x, T ∗y〉= 〈x, (S∗ + T ∗)y〉.

Portanto (S + T )∗y = S∗ + T ∗y para todo y, o qual e (b) por definicao.(c) Consideremos Q = (αT )∗ − αT ∗.

〈(αT )∗y, x〉 = 〈y, (αT )x〉 = 〈y, α(Tx)〉 = α〈y, Tx〉= α〈T ∗y, x〉 = 〈αT ∗y, x〉.

(d) Escrevemos (T ∗)∗ como T ∗∗ e e igual a T desde que para x ∈ H1 e y ∈ H2

temos de (a) e de (3.7.1)

〈(T ∗)∗x, y〉 = 〈x, T ∗y〉 = 〈Tx, y〉

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


e (d) segue do Lema (3.7.3) com Q = (T ∗)∗ − T .(e) Vemos que T ∗T : H1 → H1, mas TT ∗ : H2 → H2. Pela desigualdade deCauchy-Bubiakowski-Schwarz temos

‖Tx‖2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉 6 ‖T ∗Tx‖ ‖x‖ 6 ‖T ∗T‖ ‖x‖2.

Tomando o sup sobre todos os x de norma 1, obtemos ‖T‖2 6 ‖T ∗T‖. Distosegue que

‖T‖2 6 ‖T ∗ T‖ 6 ‖T ∗‖ ‖T‖ = ‖T‖2.

Portanto ‖T ∗T‖ = ‖T‖2. Substituindo T por T ∗ e usando (3.7.2), temos

‖T ∗∗T ∗‖ = ‖T ∗‖2 = ‖T‖2.

Aqui temos usado que T ∗∗ = T .(f) Segue imediatamente da (e).(g) Aplicando (3.7.1) temos

〈x, (ST )∗y〉 = 〈(ST )x, y〉 = 〈Tx, S∗y〉 = 〈x, T ∗S∗y〉.Portanto (ST )∗y = T ∗S∗y o qual da (g) por definicao.

Definicao 3.7.5 (Operador auto-adjunto) Seja H um espaco de Hilbert.Um operador linear linear limitado T : H → H diz-se auto-adjunto quandoT = T ∗.

Teorema 3.7.6 Seja H um espaco de Hilbert e T : H → H um operadorlinear limitado. Entao

(a) se T e auto-adjunto, temos 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 e 〈Tx, x〉 e real para todox ∈ H.

(b) se H e complexo e 〈Tx, x〉 e real para todo x ∈ H, o operador T eauto-adjunto.

Demonstracao. (a) Se T e auto-adjunto, entao para todo x,

〈Tx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈Tx, x〉.Portanto 〈Tx, x〉 e igual a seu complexo conjugado, logo este e real.(b) Se 〈Tx, x〉 e real para todo x, entao

〈Tx, x〉 = 〈Tx, x〉 = 〈x, T ∗x〉 = 〈T ∗x, x〉.Hence

0 = 〈Tx, x〉 − 〈T ∗x, x〉 = 〈(T − T ∗)x, x〉e T − T ∗ = 0 por (b) do Lema 3.7.3 pois H e complexo.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P



1. Demonstrar o lema 3.1.7.



4. Teorema de Pitagoras. Se x⊥y em um espaco com produto internoX, mostrar que

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

Mais geralmente, se x1, · · · , xn sao vetores dois a dois ortogonais em Xentao

∥∥n∑

i=1

xi

∥∥2=

m∑i=1

‖xi‖2.

5. Identidade de Apolonio. Mostrar que em um espaco com produtointerno vale a seguinte igualdade

‖z − x‖2 + ‖z − y‖2 =1

2‖x− y‖2 + 2‖z − 1

2(x + y)‖2.

Mostrar que esta identidade tambem pode ser obtida da identidade doparalelogramo.

6. Sejam x 6= 0, y 6= 0. (a) se x⊥y, mostrar que x, y e umconjunto linearmente independente. (b) Mais geralmente mostrar quese x1, · · · , xn sao vetores nao nulos mutuamente ortogonais, entaox1, · · · , xn e um conjunto linearmente independente.

7. Se em um espaco com produto interno, 〈x, u〉 = 〈x, v〉 para todo X,mostrar que u = v.

8. Prove (3.2.2).

9. Prove (3.2.3).

10. Demonstre o teorema 3.2.5.

11. Mostrar que se y⊥xn e xn → x entao x⊥y.

12. Mostrar que para uma sequencia xn em um espaco com produto internoas condicoes ‖xn‖ → ‖x‖ e 〈xn, x〉 → 〈x, x〉 implica xn → x.

13. Mostrar que em um espaco com produto interno, x⊥y se, e somente se‖x + αy‖ = ‖x− αy‖ para tod α ∈ K.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


14. Mostrar que em um espaco com produto interno, x⊥y se, e somente se‖x + αy‖ > ‖x‖.

15. Se Y e um subespaco fechado de um espaco de Hilbert H, entao Y =(Y ⊥)⊥.

16. Demonstrar o lema 3.3.11

17. Demonstrar o lema 3.3.12

18. Seja H um espaco de Hilbert, K ⊂ H um subconjunto convexo, e xn ⊂K uma sequencia tal que ‖xn‖ → ρ, onde ρ = infx∈K ‖x‖. Mostrar quexn converge em K.

19. Sejam A e B ⊃ A subconjuntos nao vazios de um espaco com produtointerno X. Mostrar que

(a) A ⊂ A⊥⊥, (b)B⊥ ⊂ A⊥, (c)A⊥⊥⊥ = A⊥.

20. (A propriedade de Mınimo de coeficientes dos Fourier) Sejae1, · · · , en um conjunto ortonormal em um espaco com produto internoX, onde n e dixo. Seja x ∈ X um elemento qualquer fixado ey = β1e1 + · · · + βnen. Entao ‖x − y‖ depende de β1, · · · , βn. Mostrarque ‖x− y‖ e mınimo se, e somente se βj = 〈x, ej〉, onde j = 1, 2, · · · , n.

21. Seja ek uma sequencia ortonormal em um espaco com produto internoX. Mostrar que para qualquer x, y ∈ X,

∞∑

k=1

|〈x, ek〉| |〈x, ek〉| 6 ‖x‖ ‖y‖.

22. Ortonormalize os tres primeiros termos da sequencias xn∞n=0, ondexn(t) = tn, no intervalo [−1, 1], onde

〈x, y〉 =

∫ 1

−1

x(t)y(t)dt.

23. Se xj e uma sequencia en um espaco com produto interno X tal quea serie

∑ ‖xj‖ converge, mostrar que sn e uma sequencia de Cauchy,onde sn = x1 + · · ·xn.

24. Mostrar que em um espaco com produto de Hilbert H, convergencia de∑ ‖xj‖ implica convergencia de∑

xj.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


25. Seja H um espaco de Hilbert, mostrar que H ′ e um espaco de Hilbert comrespeito ao produto interno definido por 〈fx, fy〉 = 〈y, x〉. Pelo mesmomodo, o fato que H ′ e um espaco de Hilbert implica que H ′′ e um espacode Hilbert cujo produto interno e dado por 〈Ff , Fg〉 = 〈g, f〉.

26. Seja H um espaco de Hilbert. Temos duas aplicacoes naturais de H emH ′′, o segunda das quais e sobre: o mergulho natural x → Fx, ondeFx(f) = 〈f, x〉, e a aplicacao produto x → fx → Ffx , onde fx(y) = 〈y, x〉e Ffx(f) = 〈f, fx〉 Mostrar que estas aplicacoes sao iguais, e concluir queH e reflexivo. Mostrar que tambem 〈Fx, Fy〉 = 〈y, x〉.

27. Seja X um espaco com produto interno. Se 〈v1, w〉 = 〈v2, w〉 para todow ∈ X, entao v1 = v2. Em particular, 〈v, w〉 = 0 para todo w ∈ Ximplica v = 0.

28. (Forma Hermitiana) Seja X um espaco vetorial sobre um corpo K.Uma forma sesquilinear Hermitiana ou simplesmente forma Hermitianaa em X×X e uma aplicacao a : X×X → K tal que para todo x, y, z ∈ Xe α ∈ K

a(x + y, z) = a(x, z) + a(y, z)

a(αx, y) = αa(x, y)

a(x, y) = a(y, x).

Que significa a ultima condicao se K = R? Que condicao deve seracrescentada a a para que esta seja um produto interno em X?

29. (Desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Seja X umespaco vetorial e a uma forma Hermitiana em X × X. Esta forma edita positiva semi-definida se a(x, y) > 0 para todo x ∈ X. Mostrar quea satisfaz a Desigualdade de Cauchy-Buniakowski-Schwarz

|a(x, y)| 6 a(x, x) a(y, y).


German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Capıtulo 4

Aproximacao de FuncoesContınuas por Polinomios

Definicao 4.0.1 Seja (X, ρ) um espaco metrico. Dizemos que (X, ρ) e umespaco metrico separavel se X possui um subconjunto denso enumeravel.

Exemplos

1. Rn e Cn com as metricas usuais sao espacos metricos separaveis.

2. Rn com a metrica discreta nao e separavel.

3. lp, 1 6 p < ∞, e separavel e l∞ nao e separavel.

4. C[a, b] com a metrica da convergencia uniforme e separavel.

A prova que C[a, b] com a metrica da convergencia uniforme e separaveldepende do Teorema de Aproximacao de Weierstrass.

4.1 Teorema de Weirstrass classico

Teorema 4.1.1 (Weierstrass) Se f ∈ C[a, b] e ε > 0, entao existe umpolinomio p : R→ R tal que ‖p− f‖∞ = sup

x∈[a,b]

|p(x)− f(x)| < ε.

Demonstracao. Faremos apenas a prova para a = 0 e b = 1. Seja f ∈ C[a, b]e

Bn(x) =n∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−kf(k/n)

105

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

106 4.1. Teorema de Weirstrass classico

os polinomios de Berstein associados a f . Note que se f ≡ 1 entao

n∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k = [x + (1− x)]n = 1 (4.1.1)

cuja derivada da

n∑

k=0

(nk

)[kxk−1(1− x)n−k − (n− k)xk(1− x)n−k−1]

=n∑

k=0

(nk

)xk−1(1− x)n−k−1(k − nx) = 0.

Multiplicando por x(1− x) obtemos que

n∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k(k − nx) = 0.

Derivando esta ultima expressao, aplicando (4.1.1) e multiplicando porx(1− x)

n2obtemos que

n∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k(x− k

n)2 =

x(1− x)

n. (4.1.2)

E claro que

|f(x)−Bn(x)| 6n∑

k=0

(nk

)xk(1− x)n−k|f(x)− f(k/n)|.

Como f e uniformemente contınua em [0, 1], podemos encontrar δ > 0 tal que

|x − k

n|, δ implica que |f(x) − f(

k

n)| < ε

2. Agora separamos a soma do lado

direito em duas partes, denotadas por∑

e∑′, onde

∑e a soma daqueles

termos para os quais |x− k

n| < δ ( x esta fixo mas e arbitrario) e

∑′ e a soma

sobre os termos remanescentes. E claro que∑

< ε/2. Completamos a provamostrando que para n suficientmente grande

∑′ pode ser feito menos que ε/2independente de x. Como f e limitada existe K > 0 tal que sup

x∈[0,1]

|f(x)| 6 K

e segue que

∑ ′ 6 2K∑

16k6n|x− k

n|>δ

(nk

)xk(1− x)n−k = 2K

∑ ′′.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

4. Aproximacao de Funcoes Contınuas por Polinomios 107

Segue de (4.1.2) que

δ2∑ ′′ 6 x(1− x)

n6 1

4n→ 0 quando n →∞.

Isto prova o resultado.

Corolario 4.1.2 C[a, b] e separavel.

4.2 Teorema de Stone-Weirstrass

Seja (X, ρ) um espaco metrico e C(X) = f : X → R : f e contınua com ametrica usual

ρ∞(f, g) = maxx∈X

|f(x)− g(x)|.

C(X) definimos a soma f + g e a multiplicacao f · g de duas funcoes alemdas multiplicacao af de um escalar por uma funcao de forma usual.

Definicao 4.2.1 (Algebra) Um conjunto A ⊂ C(X) e dito uma algebra sef, g ∈ A, a ∈ R implica f + g, f · g, af ∈ A.

Exemplo. O conjunto dos polinomios trigonometricos e uma algebra em C[a, b]

Se E ⊂ C(X) a intersecao de todas as algebras contendo E e uma algebra,denotada por A(E), chamada algebra gerada por E.

Exemplo. Os polinomios reais em uma variavel real sao gerados por 1, x.

Teorema 4.2.2 (Stone-Weierstrass Real) Seja X um espaco metricocompacto e A ⊂ C(X) uma algebra fechada tal que 1 ∈ A e se x, y ∈ X,x 6= y, existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y). Entao A = C(X).

4.3 Teorema de Ascoli

Seja X = (X, ρ) um espaco metrico.

Definicao 4.3.1 (Conjunto totalmente limitado) Dizemos que um con-junto E ⊂ X e totalmente limitado se, para cada ε > 0, pode ser coberto porum numero finito de bolas de raio ε.

Teorema 4.3.2 Seja e ⊂ X. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) E e completo e totalmente limitado

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

108 4.3. Teorema de Ascoli

(b) (A propriedade de Bolzano-Weierstrass) Toda sequencia em E tem umasubsequencia que converge para um ponto de E

(c) (A propriedade de Heine-Borel) Se Vαα∈I e uma cobertura de E porabertos de X, existe um conjunto finito J ⊂ I tal que Vαα∈J cobre E.

Definicao 4.3.3 (Conjunto compacto e relativamente compacto) E ⊂X e dito compacto se tem as propriedades (a) − (c) do Teorema 4.3.2 e ditorelativamente compacto se E e compacto.

Consideremos agora X um espaco metrico compacto e C(X) = f : X →R : f e contınua .

C(X), ρ∞) e um espaco metrico completo, onde ρ∞ e definida por

ρ∞(f, g) = maxt∈X

|f(t)− g(t)|.

Definicao 4.3.4 Uma colecao F de funcoes e dita uniformemente limitada seexiste M > 0 tal que

|f(x)| 6 M, ∀x ∈ X e ∀f ∈ F.

Uma famılia F de funcoes em C(X) e dita equicontınua se dado ε > 0, existeδ > 0 tal que

|f(x)− f(y)| < ε, ∀x, y ∈ X com ρ(x, y) < δ e ∀f ∈ F.

Teorema 4.3.5 (Arzela-Ascoli) Se X e um espaco metrico compacto,um subconjunto F ⊂ C(X) e relativamente compacto se e somente se euniformemente limitado e equicontınuo.

Demonstracao. Suponhamos que F e relativamente compacto. Entao F

e totalmente limitado e portanto uniformemente limitado. Seja ε > 0 e

f1, · · · , fn tais que F ⊂n⋃

i=1

B(fi, ε/3). Seja f ∈ F e x, y ∈ X. Para cada

i = 1, · · · , n

|f(x)− f(y)| 6 |f(x)− fi(x)|+ |fi(x)− fi(y)|+ |fi(y)− f(y)|.Escolhamos 1 6 j 6 n tal que

supx∈X

|f(x)− fj(x)| < ε/3.

Entao

|f(x)− f(y)| 6 2ε

3+ |fj(x)− fj(y)|.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Como X e compacto, f1, · · · , fn sao uniformemente contınuas. Logo existeδ > 0 tal que ρ(x, y) < δ implica

|fi(x)− fi(y)| < ε/3, 1 6 i 6 n.

Segue que se ρ(x, y) < δ entao

|f(x)− f(y)| < ε, ∀f ∈ F

e F e equicontınuo.Reciprocamente, suponha que F e uniformemente limitado e equicontınuo.

Seja M um inteiro tal que

|f(x)| 6 M, ∀x ∈ X e ∀f ∈ F

e ε > 0. Escolha δ > 0 tal que ρ(x, y) < δ implica |f(x)− f(y)| < ε/4,∀f ∈ F.

Como X e compacto existem x1, · · · , xn tais que X ⊂n⋃

i=1

B(xi, δ). Escolha um

numero inteiro positivo m tal que 1/m < ε/4 e divida o intervalo [−M, M ] em2Mm intervalos de comprimento 1/m pelos pontos

y0 = −M < y1 < · · · < y2Mm = M.

Considere as n-uplas (yi1, · · · , yin) de numeros yi, 1 6 i 6 2Mm, tais que paraalgum f ∈ F

|f(xj)− yij| < ε/4, 1 6 j 6 n

e escolha um tal f ∈ F para cada n-upla. Se E e o conjunto resultante dessa

escolha, E e finito, e e tal que F ⊂⋃

f∈EB(f, ε). De fato, escolhemos yi1, · · · , yin

tal que|f(xj)− yij| < ε/4, 1 6 i 6 n

e seja e ∈ E tal que

|e(xj)− yij| < ε/4, 1 6 i 6 n.

Seja x ∈ X e j tal que ρ(x, xj) < δ. Entao

|f(x)− e(x)| 6 |f(x)− f(xj)|+ |f(xj)− yij|+ |yij − e(xj)|+ |e(xj)− e(x)| < ε.

Logosupx∈X

|f(x)− e(x)| < ε.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

110 4.3. Teorema de Ascoli

4.3.1 Aplicacoes

Seja Ω ⊂ Rn+1 um subconjunto aberto e f : Ω → Rn uma funcao contınua.

Teorema 4.3.6 (Peano) Dado (t0, x0) ∈ Ω a equacao diferencial x = f(t, x)tem uma solucao local passando por (t0, x0).

Demonstracao. Seja (t0, x0) ∈ Ω′ ⊂ Ω aberto tal que f e limitada em Ω′,isto e, existe M > 0 tal que

|f(t, x)| 6 M, ∀(t, x) ∈ Ω′.

Seja a > 0 tal que R = [t0−a, t0 +a]×B(x0, aM) ⊂ Ω. Como f e contınuaem R, segue que f e uniformemente contınua em R, dado ε > 0, existe δ > 0tal que

|(t, x)− (s, y)| < δ ⇒ |f(t, x)− f(s, y)| < ε, ∀(t, x), (s, y) ∈ R.

Seja t0 < t1 < · · · < tn = t0 + a uma particao do intervalo [t,t0 + a] tal que|ti − ti−1| < minδ, δ/M, 1 6 i 6 n e φε : [t0, t0 + a] →R definida por

• φε e contınua

• φε(t0) = x0 e em [t,t1] e linear com direcao f(t0, x0), entao φε(t1) ∈ R.

• Em [t1, t2], φε e linear com direcao f(t1, φε(t1)).

• Prosseguindo desta forma construımos φε(t) em B(x0, aM), t ∈ [t0, t0+a].

Como a direcao de φε e f(ti, φε(ti)) para t ∈ [ti, ti+1] temos que

|φε(t)− φε(s)| 6 sup06θ61

|φ′ε(θt + (1− θ)s)| |t− s| 6 M |t− s|.

Logo, φε0<ε61 ⊂ C([t0, t0 + a],Rn) e uma famılia equicontınua. Fixemosε > 0, se t ∈ [t0, t0 + a], t 6= ti, i = 0, 1, · · · , n, entao tj−1 < t < tj para algumj e

|φε(t)− φε(tj−1)| < M |t− tj−1| < M(δ/M) = δ.

Isto implica que

|f(tj−1, φε(tj−1))− f(t, φε(t))| < ε, tj−1 < t < tj.

Masd

dtφε existe exceto para um numero finito de pontos e portanto

d

dtφε(t) = f(tj−1, φε(tj−1)).

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Segue que

∣∣∣∣d

dtφε(t)− f(t, φε(t))

∣∣∣∣ < ε, t ∈ [t0, t0 + a], t 6= ti, 0 6 i 6 n.

Agora escrevemos

φε(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, φε(s) + [φε(s)− f(s, φε(s))]

ds (4.3.1)

Se εn e uma sequencia de numeros reais positivos que converge para zero,φεn e limitada e equicontınua. Do teorema de Arzela-Ascoli, esta sequenciatem uma subsequencia uniformemente convergente com limite φ. Segue de(4.3.1) que

φ(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, φ(s))ds.

Logo φ e uma solucao de x = f(t, x) passando por (t0, x0) e definida em[t0, t0 + a]. Um argumento semelhante pode ser aplicado para [t0 − a, a].


1. Mostre que lp, com 1 6 p < ∞ e separavel.

2. Se A ⊂ C(X) e um algebra entao A tambem e uma algebra.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Capıtulo 5

O Teorema de Baire

Seja X = (X, ρ) um espaco metrico, A ⊂ X e dito nunca denso se Ao

= ∅.A uniao de um conjunto finito de conjuntos nunca densos e um conjunto

nunca denso. Contudo, a uniao enumeravel de conjuntos nunca densos naoprecisa ser nunca denso.

Definicao 5.0.1 Um conjunto A ⊂ X e dito de primeira categoria em X see a uniao enumeravel de conjuntos nunca densos, caso contrario ele e dito desegunda categoria em X.

E uma consequencia imediata desta definicao que

Proposicao 5.0.2 (X, ρ) e de segunda categoria nele mesmose, e somentese, em qualquer representacao de X como uniao enumeravel de conjuntosfechados, pelo menos um deles contem uma bola.

5.1 O teorema de Baire

Teorema 5.1.1 (Baire) Todo espaco metrico completo e de segunda catego-ria nele mesmo.

Demonstracao. Suponha que nao

X =∞⋃i=1

Fi

com cada Fi fechado e de interior vazio. Entao X\F1 e nao vazio e aberto.Seja x1 e 0 < ε1 < 1 tal que x1 ∈ X\F1 e B(x1, ε1) ∩ F1 = ∅.

113

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

114 5.2. Consequencias do Teorema de Baire

A bola B(x1, ε1/2) nao esta contida em F2, logo existe x2 ∈ B(x1, ε1/2) eε2 < 1/2 tal que

B(x2, ε2) ∩ F2 = ∅ e B(x2, ε2) ⊂ B(x1, ε1/2).

Indutivamente existe xn, εn < 1/2n−1 tais que xn ∈ B(xn−1, εn−1/2)

B(xn, εn) ∩ Fn = ∅ e B(xn, εn) ⊂ B(xn−1, εn−1/2).

A sequencia xn e de Cauchy pois xn+k ∈ B(xn, εn/2) para k = 1, 2, · · · eεn → 0 quando n → ∞. Como X e completo xn e convergente. Seja xo seu limite. Para cada n fixo x ∈ B(xn, εn) pois xn+k ∈ B(xn, εn/2) parak = 1, 2, · · · . Logo x /∈ ⋃∞

n=1 Fn = X o que e uma contradicao.

5.2 Consequencias do Teorema de Baire

Sejam X, Y espacos normados e T : X → Y uma transformacao linear.

Definicao 5.2.1 (Aplicacao aberta) Dizemos que T e uma aplicacaoaberta se T (U) e um subconjunto aberto de Y sempre que U e um subconjuntoaberto de X.

Em geral f : A → B nao leva abertos em abertos ou fechado em fechados,nem mesmo se f for contınua.

Exemplo 1. Seja f : R→ R dada por f(x) = x2. Consideremos U = (−2, 2),entao f(U) = [0, 2).

Exemplo 2. Seja f : R+ → R definida por f(t) =1

t. Consideremos C =

[1, +∞), entao f(C) = (0, 1].

Se Z e um espaco normado denotaremos o conjunto z ∈ Z : ‖x − z0‖ <r por BZ

r (z0) (ou simplesmente Br(z0) quando nao houver possibilidade deconfusao).

5.2.1 O teorema da aplicacao aberta

Teorema 5.2.2 (Aplicacao aberta) Sejam X e Y espacos de Banach. SeT ∈ L(X,Y ) e sobrejetora, entao T e aberta.

Para provar o Teorema da Aplicacao Aberta precisamos dos dois lemasseguintes:

Lema 5.2.3 Sejam X, Y espacos de Banach e T : X → Y uma transformacaolinear entao sao equivalentes:

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

5. O Teorema de Baire 115

(a) T e uma aplicacao aberta

(b) Existe r > 0 tal que T (BX1 (0)) ⊃ BY

r (0).

Demonstracao. E claro que (a) ⇒ (b). Mostremos que (b) ⇒ (a). Bastamostrar que Tx e interior a T (U) para todo x ∈ U aberto. Seja x ∈ U , comoU e aberto, existe δ > 0 tal que BX

δ (x) ⊂ U e T (BXδ (x)) ⊂ TU .

T (BXδ (x)) = T (x + δBX

1 (0)) = Tx + δT (BX1 (0))

⊃ Tx + BYr (0) = BY

r (Tx)

mostrando que Tx e interior a T (U).

Lema 5.2.4 Se X, Y sao espacos de Banach e T ∈ L(X,Y ) e tal que, para

qualquer r > 0 BYr (0) ⊂ T (BX

1 (0)) entao

BYr/2 ⊂ T (BX

1 (0)).

Demonstracao. Como T comuta com homotetias segue que se ‖y‖ < r2−n

entao y ∈ T (BX2−n(0)). De fato, observe que

BYr2−n(0) = 2−nBY

r (0) e BX2−n(0) = 2−nBX

1 (0).

Logo temos

BYr (0) ⊂ T (BX

1 (0)) = 2nT (BX2−n(0))

2nBYr2−n(0) ⊂ 2nT (BX

2−n(0))

BYr2−n(0) ⊂ T (BX

2−n(0)).

Suponha que ‖y‖ < r/2, podemos encontrar x1 ∈ BX1/2(0) tal que ‖y−Tx1‖ <

r/4 e procedendo indutivamente podemos encontrar xn ∈ BX2−n(0) tal que

‖y −n∑

j=1

Txj‖ < r2−n−1.

Como X e completo a serie∑

xn converge, digamos para x, mas entao‖x‖ <

∑∞n=1 2−n = 1 e y = Tx. Em outras palavras y ∈ T (BX

1 (0), para todo‖y‖ < r/2.

Demonstracao da Aplicacao abertaComo X =

⋃∞n=1 BX

n (0) e T e sobrejetora temos que Y =⋃∞

n=1 T (BXn (0)

mas Y e completo e a aplicacao y → ny e um homeomorfismo de Y nelemesmo que leva BX

1 (0) em BXn (0). Do Teorema de Baire T (BX

1 (0) nao poder

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


ser nunca denso. Isto e, existe y0 ∈ Y e r > 0 tal que BY4r(y0) esta contida

em T (BX1 (0)). Como y1 = Tx1 ∈ T (BX

1 (0)) tal que ‖y1 − y0‖ < 2r. Entao

BY2r(y1) ⊂ BY

4r(y0) ⊂ T (B(10)), logo se ‖y‖ < 2r

y = Tx1 + y − y1 ∈ T (BX1 (0)) + T (BX

1 (0)) ⊂ 2T (BX1 (0)).

Dividindo ambos os lados por 2 concluımos que existe r > 0 tal que se ‖y‖ < r

entao y ∈ T (BX1 (0)). O resultado segue agora dos lemas anteriores.

Corolario 5.2.5 (Teorema de Banach) Se X e Y sao espacos de Banache T ∈ L(X,Y ) e bijetora, entao T e um isomorfismo, isto e, T−1 ∈ L(Y, X).

Demonstracao. Se T ∈ L(X,Y ) e sobrejetora entao T (U) e aberto em Ysempre que U e aberto em X. Como (T−1)−1(U) = T (U) e aberto segue queT−1 e contınuo.

5.2.2 O teorema do grafico fechado

Seja T : D(T ) ⊂ X → Y uma transformacao linear. Definimos o grafico de Tpor

G(T ) = (x, Tx) : x ∈ D(T ) ⊂ X × Y.

Uma transformacao linear T : D(T ) ⊂ X → Y e fechada se o grafico de Te fechado, isto e, se G(T ) = G(T ).

G(T ) e fechado ⇔ G(T ) = G(T ) ⇔ z = (x, y) ∈ G(T ) ⇒ z ∈ G(T ).z ∈ G(T ) ⇔ ∃zn = (xn, yn) ∈ G(T ) tal que zn → z. Portanto xn → x,Txn → y, e z = (x, y) ∈ G(T ) ⇔ x ∈ D(T ) e y = Tx. Isto mostra que D(T ) eum subespaco vetorial fechado.

Afirmacao: Toda transformacao linear contınua T e fechada. De fato, seja(an, Tan) ⊂ G(T ) com (an, Tan) → (a, b), entao an → a e Tan → b. ComoT e contınua, b = Ta e dai (a, b) ∈ G(T ). Portanto G(T ) e fechado. Aqui naoprecisa de T ser linear neste caso.

A recıproca da afirmacao acima e dado pelo seguinte

Teorema 5.2.6 (Grafico fechado) Se X e Y sao espacos de Banach e T :X → Y e um operador linear fechado entao T e limitada.

Demonstracao. Sejam

π1 : G(T ) ⊂ X × Y → X

(x, Tx) → x

π2 : G(T ) ⊂ X × Y → Y

(x, Tx) → Tx.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Obviamente π1 ∈ L(G(T ), X) e π2 ∈ L(G(T ), X). Como X e Y sao completosX × Y e completo e portanto G(T ) e completo (pois e fechado). π1 e umabijecao de G(T ) em X e portanto π−1

1 e limitado. Entao T = π2 π−11 .

O seguinte resultado caracteriza os operadores fechados

Teorema 5.2.7 (Operador linear fechado) Seja T : D(T ) ⊂ X → Y umoperador linear com X e Y espacos normados. T e fechado se, e somente separa toda sequencia xn ⊂ D(T ) com xn → x e Txn → y entao x ∈ D(T ) ey = Tx.

Exemplo de um operador fechado. Seja X = C[0, 1] e T : D(T ) ⊂ X → Xdefinido por Tx = x′.

Ja vimos que T nao e limitado.

D(T ) = x ∈ C[0, 1] : x′ ∈ C[0, 1] = C1[0, 1].

Mostraremos que T e fechado usando o Teorema 5.2.7.Seja xn ⊂ D(T ) tal que xn → x e Txn = x′n → y.Como a convergencia na norma de C[0, 1] e norma da convergencia uniforme

em [0, 1], de x′n → y temos

∫ t

0

y(τ)dτ =

∫ t

0

limn→∞

x′n(τ)dτ = limn→∞

∫ t

0

x′n(τ)dτ

= limn→∞

xn(τ)∣∣t0

= x(t)− x(0),

isto e, x(t) = x(0) +∫ t

0y(τ)dτ . Isto mostra que x ∈ D(T ) e y = x′. Logo T e

um operador fechado.

5.2.3 O principio da limitacao uniforme

Teorema 5.2.8 (Princıpio da Limitacao Uniforme) Sejam X um espacode Banach, Y um espaco normado e Tαα∈Λ uma familia em L(X, Y ) tal quesupα∈Λ 6 Mx, para todo x ∈ X. Entao existe M > 0 tal que

supα∈Λ

‖Tα‖ 6 M.

Demonstracao. Seja Fn = x ∈ X : ‖Tα(x)‖ 6 n, ∀α ∈ Λ, n ∈ N. Observeque

Fn =⋂α∈Λ

x ∈ X : ‖Tα(x)‖ 6 n .

Entao os Fn’s sao fechados e X =⋃

n∈N Fn e como X e completo existe pelomenos um n0 ∈ N (pelo Teorema de Baire) com F o

n0= ∅.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Seja x0 ∈ F on0

e ε > 0 com B(x0, ε) ⊂ F on0

. Seja x ∈ X com ‖x‖ < 1.Se x = 0, nada a fazer.

Se x 6= 0, consideramos x0 +ε

2

x

‖x‖ e calculemos yα = Tα(x0 +ε

2

x

‖x‖). Por

um ladoyα = Tαx0 +

ε

2‖x‖Tαx.

Por outro lado ‖yα‖ 6 n0. Entao

ε

2

∥∥∥Tαx

‖x‖∥∥∥ = ‖yα − Tαx0‖ 6 ‖yα‖+ ‖Tαx0‖ 6 2n0.

Logo temos que

‖Tαx‖ 6 4n0

ε‖x‖ 6 4n0

ε(‖x‖ 6 1).

Assim ‖Tα‖ 6 M =4n0

ε, ∀α ∈ Λ.

5.2.4 O teorema de Banach-Steinhaus

Teorema 5.2.9 (Banach-Steinhaus) Sejam X, Y espacos normados comX Banach. Se Tnn∈N for uma sequencia em L(X, Y ) tal que existelimn→∞ Tn(x) = Tx para todo x ∈ X, entao T ∈ L(X, Y ) e ‖T‖ 6lim infn→∞ ‖Tn‖.

Demonstracao. Para todo x ∈ X, ‖Tn(x)‖ e convergente (para ‖Tx‖) eportanto limitada, isto e existe Mx com sup

n∈N‖Tnx‖ 6 Mx aplicando o PLU

existe M tal que supn‖Tn‖ 6 M .

Vamos a T . T e linear, isto e claro. T e contınua. De fato

‖Tnx‖ 6 ‖Tn‖‖x‖ 6 M‖x‖, ∀n. (5.2.1)

Quando n → ∞, ‖Tnx‖ → ‖Tx‖ 6 M‖x‖. Dai segue que T e contınua e‖T‖ 6 M .

Tomando lim inf em (5.2.1) temos

lim infn→∞

‖Tnx‖ 6 lim infn→∞

‖Tn‖ ‖x‖‖Tx‖ 6 lim inf

n→∞‖Tn‖ ‖x‖.

Teorema 5.2.10 Se X e um espaco de Banach e B ⊂ X, suponha que ∀f ∈X∗ f(B) =

⋃b∈B f(b) e limitado entao B e limitado.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P


Demonstracao. Defina b : X∗ → K por b(f) = f(b). Entao para cadaf ∈ X∗

supb∈B

|b(f)| = supb∈B

|f(b)| < ∞.

Segue do PLU quesupb∈B

‖b‖ = supb∈B

‖b‖ < ∞.

Teorema 5.2.11 Suponha que X e um espaco de Banach e B∗ ⊂ X∗.Suponhamos que ∀x ∈ X o conjunto B∗(x) =

⋃f∈B∗ f(x) e limitado, entao

B∗ e limitado.

Demonstracao. Por hipotese |f(x)| 6 cx para todo f ∈ B∗. Segue do PLUque sup

f∈B∗‖f‖ < ∞.

Proposicao 5.2.12 Seja X um espaco vetorial normado e ‖·‖i : X → [0,∞),i = 1, 2, duas normas tais que X com qualquer dessas normas e um espaco deBanach. Se existe c > 0 tal que ‖·‖1 6 c‖·‖2 entao as normas sao equivalentes.

Demonstracao. Seja X1 = (X, ‖·‖1) e X2 = (X, ‖·‖). A aplicacao identidadeI : X − 2 → X1 dada por Ix = x e contınua (pois ‖Ix‖1 = ‖x‖1 6 c‖x‖2).Pelo Teorema de Banach, T−1 = I : X1 → X2 e contınua, isto e

‖T−1x‖2 = ‖Ix‖2 = ‖x‖2 6 c‖x‖1.

Portanto1

c‖x‖2 6 ‖x‖1 6 c‖x‖2.

Proposicao 5.2.13 Sejam X um espaco de Banach e T ∈ L(X). Se ‖T‖ < 1,entao (I − T )−1 existe e e um operador limitado em todo o espaco X e

(I − T )−1 =∞∑

n=0

T n. (5.2.2)

Demonstracao. Como ‖T n‖ 6 ‖T‖n a serie geometrica∑∞

n=0 ‖T‖n convergeabsolutamente. Como X e Banach, L(X) e Banach. Convergencia absolutaimplica em convergencia.

Denotemos por L a soma da serei em (5.2.2). Vamos mostrar que L =(I − T )−1. Calculemos

(I − T )(I + T + T 2 + · · ·+ T n) = (I + T + T 2 + · · ·+ T n)(I − T )

= I − T n+1.

Agora fazendo n →∞, T n+1 → 0, pois ‖T‖ < 1. Assim obtemos

(I − L)L = L(I − T ) = I.

Isto mostra que L = (I − T )−1.

German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P



German

Loza

da C

ruz

Matemáti

ca-IB

ILCE

UNESP-SJR

P

Referencias Bibliograficas

[1] D. Bridges, Foundations of real and abstract analysis, Graduate Texts inMathematics, no. 174, Springer-Verlag, New York, 1998.

[2] A. N. Carvalho, Analise I, Notas de Aula, ICMC-USP, Departamento deMatematica, ICMC-USP, Sao Carlos, 2002.

[3] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators. I. General theory, Pureand Applied Mathematics, vol. 7, Interscience Publishers, New York, 1958.

[4] E. Kreysizg, Introductory funcional analysis with applications, WileyClassics Library, New York, 1989.

121

int. a analise funcional german lozada cruz unesp

Documents

pontos de x

degeneracao x

desigualdade triangular

yii simetria x

espacos vetoriais292

espacos vetoriais412

espacos metricos1

exerccios673 espacos