Introducción a la Inferencia Estadística

Dept. of Marine Science and Applied BiologyJose Jacobo Zubcoff

Modelos de Regresión Simple

• Que tipo de relación existe entre 2 variables• Predicción de valores a partir de una de ellas

• Variable Explicativa, Predictor o Independiente• Variable Dependiente

Estudio conjunto de dos variables

• Datos de dos variables de una muestra.– En cada fila tenemos los datos de un individuo– Cada columna representa los valores que toma una

variable sobre los mismos.– Las individuos no se muestran en ningún orden

particular.

• Las observaciones pueden ser representadas enun diagrama de dispersión

• Nuestro objetivo será intentar reconocer a partirdel mismo si hay relación entre las variables, dequé tipo, y si es posible predecir el valor de unade ellas en función de la otra.

...

163

176

166

169

171

158

180

154

162

Alturaen cm.

...

68

84

54

60

66

62

78

60

61

Pesoen Kg.

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Diagramas de dispersión o nube de puntos

Mid

e 18

7 cm

.

Mide 161 cm.

Pesa 76 kg.

Pesa 50 kg.

Tenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en undiagrama de dispersión.

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Relación entre variablesTenemos las alturas y los pesos de 30 individuos representados en undiagrama de dispersión.

Parece q

ue el pe

so aume

nta con

la

altura

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Predicción de una variable en función de la otra

Aparentemente el peso aumenta 10Kg por cada 10 cm de altura... o sea,el peso aumenta en una unidad por cada unidad de altura.

10 cm.

10 kg.

Incorrelación

30

80

130

180

230

280

330

140 150 160 170 180 190 200

Relación directa e inversaFuerte relación

directa.

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Cierta relación

inversa

0

10

20

30

40

50

60

70

80

140 150 160 170 180 190 200

Para valores de X por encima de lamedia tenemos valores de Y porencima y por debajo en proporcionessimilares. Incorrelación.

Para los valores de X mayores que lamedia le corresponden valores de Ymenores. Esto es relación inversa odecreciente.

•Para los valores de X mayores que la mediale corresponden valores de Y mayorestambién.•Para los valores de X menores que la mediale corresponden valores de Y menorestambién. Esto se llama relación directa.

¿Cuándo es bueno un modelo de regresión?• Lo adecuado del modelo depende de

la relación entre:– la dispersión marginal de Y– La dispersión de Y condicionada a X

• Es decir, fijando valores de X, vemoscómo se distribuye Y

– La distribución de Y, para valoresfijados de X, se denomina distribucióncondicionada.

– La distribución de Y,independientemente del valor de X, sedenomina distribución marginal.

• Si la dispersión se reducenotablemente, el modelo de regresiónserá adecuado.

150 160 170 180 190

32

03

40

36

03

80

40

04

20

y

32

03

40

36

03

80

40

04

20

32

03

40

36

03

80

40

04

20

32

03

40

36

03

80

40

04

20

32

03

40

36

03

80

40

04

20

r= 0.415 r^2 = 0.172

150 160 170 180 190

35

03

60

37

03

80

39

0

y

35

03

60

37

03

80

39

03

50

36

03

70

38

03

90

35

03

60

37

03

80

39

03

50

36

03

70

38

03

90

r= 0.984 r^2 = 0.969

Ejemplos de correlaciones positivas

r=0,1

30

80

130

180

230

280

330

140 150 160 170 180 190 200

r=0,4

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140 150 160 170 180 190 200

r=0,8

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

r=0,99

30

40

50

60

70

80

90

100

140 150 160 170 180 190 200

Ejemplos de correlaciones negativas

r=-0,5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,7

0

10

20

30

40

50

60

70

80

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,95

0

10

20

30

40

50

60

70

80

140 150 160 170 180 190 200

r=-0,999

0

10

20

30

40

50

60

70

80

140 150 160 170 180 190 200

Modelo de regresión lineal simple• En el modelo de regresión lineal simple, dado dos

variables– Y (dependiente)– X (independiente, explicativa, predictora)

• buscamos encontrar una función de X muy simple(lineal) que nos permita aproximar Y mediante– Ŷ = b0 + b1X

• b0 (ordenada en el origen, constante)• b1 (pendiente de la recta)

• Y e Ŷ rara vez coincidirán por muy bueno que sea elmodelo de regresión. A la cantidad– e = (Y-Ŷ) se le denomina residuo o error residual.

0

30

60

90

120

150

180

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

Regresion lineal: ejemplo de las alturas (padres e hijos):

Ŷ = b0 + b1X• b0=85 cm• b1=0,5

b0=85 cm

b1=0,5

0

30

60

90

120

150

180

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

Regresion lineal

• La relación entre las variables no es exacta =>– Cuál es la mejor recta que sirve para predecir los valores de Y

en función de los de X– Qué error cometemos con dicha aproximación (residual).

b0=85 cm

b1=0,5

• El modelo lineal de regresión se construye utilizando la técnica deestimación mínimo cuadrática:– Buscar b0, b1 de tal manera que se minimice la cantidad

• Σi ei2• Se comprueba que para lograr dicho resultado basta con elegir:

• Se obtiene además otras ventajas– El error residual medio es nulo– La varianza del error residual es mínima para dicha estimación.– Traducido: En término medio no nos equivocamos. Cualquier otra

estimación que no cometa error en término medio, si es de tipo lineal,será peor por presentar mayor variabilidad con respecto al error medio(que es cero).

Regresión lineal

Interpretación de la variabilidad en Y

YEn primer lugar olvidemos que existela variable X. Veamos cuál es lavariabilidad en el eje Y.

La franja sombreada indica la zonadonde varían los valores de Y.

Proyección sobre el eje Y = olvidar X

Interpretación del residuoYMiremos ahora los errores de predicción

(líneas verticales). Los proyectamos sobre eleje Y.

Se observa que los errores de predicción,residuos, están menos dispersos que lavariable Y original.

Cuanto menos dispersos sean losresiduos,mejor será la bondad del ajuste.

Modelos de Regresión Simple

• Modelo Lineal o Recta de Regresión

XY !" +=

Método de Mínimos Cuadrados

XXYE !" +=)(

2

11

2 ))(( XYn

i

i

n

i

i!"# +$=%%

==

Modelos de Regresión Simple

XbYa !=

2

1

2

1

1

22

1

)(

))((

X

XY

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

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S

S

XX

YYXX

XnX

YXnYX

b =

!

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=

""""

#

$

%%%%

&

'

!

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=

(

(

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=

=

=

Fórmula para la estimación por Mínimos Cuadrados

Varianza Residual de Y para cada valor de X

( )2221

22

..2

1))((

2

1XY

n

i

iiXYSbS

n

nbXaY

nS !

!

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=

Modelos de Regresión Simple

( )!"#

$%& +!

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''

'...,

12

,2

1 .. btbInS

S

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XY

((

)

2,2

..

0 1)(!

"#

<##

n

XY

Xt

S

nSb

Intervalo de confianza para el coeficiente

Contraste de Hipótesis

!"#

$

=

01

00

:

:

%%

%%

H

H

Modelos de Regresión Simple

( )!"

#$%

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$%& ++'+=

'

'

'

' ...,)1( 0)1()(1

..2

,20

12

20

0bxaStbxaI

XSn

Xx

nXYny ((

2

2

20

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00

)(

)(!

µ"

"

"

<+

"+n

Sn

Xx

nXY

t

S

bxa

X

Intervalo de predicción para un nuevo valor de Y dado X0

Contraste de Hipótesis

!"#

$+

=+

01

00

:

:

µ%&

µ%&

XH

XH

Modelos de Regresión Simple

!

2

X

XY

S

Sb =

YX

XY

SS

Sr =

Medidas de Bondad de Ajuste

Estiman y !Por tanto

rS

Sb

X

Y= !"

"#

X

Y=

Regresion LinealProblema

Regresion LinealSe desea saber si existe relación lineal entre el peso del recién nacido y el nivel de estriol en su madre.

7 2500 9 25009 2500 12 270014 2700 16 270016 2400 14 300016 3000 16 310017 3000 19 310021 3000 24 280015 3200 16 320017 3200 25 320027 3400 15 340015 3400 15 350016 3500 19 340018 3500 17 360018 3700 20 380022 4000 25 390024 4300

Regresión Simple

XbYa !=

2

1

2

1

1

22

1

)(

))((

X

XY

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

S

S

XX

YYXX

XnX

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$

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'

!

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(

(

(

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=

=

=

=

Varianza Residual de Y (Error tipico de estimacion) para cada valor de X

( )2221

22

..2

1))((

2

1XY

n

i

iiXYSbS

n

nbXaY

nS !

!

!=+!

!= "

=

Con las expresiones de b y a calculamos los coeficientes y cte.

Regresion Lineal

Covarianza / Varianza(X)

Regresion Lineal

Asociación entre variables continuas

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal

Regresion Lineal